Eerste‒ graadsfuncties · 2019-08-26 · Eerste-graadsfuncties 3 Opfriscursus Wiskunde in...

1Eerste-graadsfuncties

Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs

Opfriscursus Wiskunde

Eerste ‒ graadsfuncties




Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten:

■ een vaste vertrekprijs van 5 €

■ een kilometerprijs van 2 €

Dan

een rit van 7 km kost 5 + 2 (7) = 19 €



Eerste – graadsfuncties: een voorbeeld

.

.

.

Algemeen: een rit van x km kost 5 + 2x = y €


Eerste – graadsfuncties: een voorbeeld

Besluit: de kostprijs y ( in euro) van een taxirit van x km

wordt gegeven door y = 5 + 2x

wiskundige terminologie:

■ x en y zijn veranderlijken

■ de vergelijking y = 5 + 2x definieert een relatie tussen

de veranderlijken x en y

Merk op: dit is een bijzondere soort van relatie

nl. je kiest x , en dan ligt y vast

dit soort relatie noemt men een functie



Begripsomschrijving: (voorlopige versie )

een functie van één veranderlijke is een regel die moet

toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y

outputinput

functieyx

( … ) 2 + 5= 5 + 2x

Terminologie: x is de onafhankelijke veranderlijke

y is de afhankelijke veranderlijke




Andere voorbeelden van eerste – graadsfuncties

Andere taxibedrijven hanteren andere vertrek- en km–prijzen

bv. y = 4.50 + 2.10x resp. y = 5.20 + 1.90x enzovoort

Algemeen: kostprijs y = (vaste startprijs) + (prijs per km) x

formeel: y = q + mx met q , m IR constanten

terminologie: m en q noemt men parameters

Merk op: y is een veelterm van de eerste graad in x

y is een eerste – graadsfunctie van x


Voorbeeld 2

Het maandloon van een verkoper bestaat uit een basisbedrag

van 1500 € aangevuld met 5% van de totale waarde van de

omzet die hij vorige maand gerealiseerd heeft .

Als de verkoper vorige maand voor een totaal van x = 10 000 €

verkocht heeft , dan bedraagt zijn loon deze maand

y = 1500 + [ 5 % van 10 000 ]

= 1500 + 0.05 (10000 ) = 2000 €

Algemeen: als de verkoper ’s omzet vorige maand x € bedroeg ,

dan krijgt hij deze maand y = 1500 + 0.05 x € loon .

Merk op: y = q + mx met q = 1500 en m = 0.05

een eerste – graadsfunctie



Voorbeeld 3

Een bedrijfswagen wordt aangekocht voor 20000 €

maar verliest elk jaar 1000 € van zijn waarde .

De waarde y van de bedrijfswagen

1 jaar na aankoop is y = 20000 – 1000 €

2 jaar na aankoop is y = 20000 – 1000 (2) €

3 jaar na aankoop is y = 20000 – 1000 (3) €

Algemeen: x jaar na aankoop is y = 20000 – 1000 x €

Merk op: y = q + mx met q = 20000 en m = –1000

een eerste – graadsfunctie

.

.

....

Andere voorbeelden van functies

De vraag v naar een product hangt af van de prijs x van het

product: hoe hoger de prijs , hoe minder er van verkocht wordt

en hoe lager de prijs , hoe meer er van verkocht wordt

bv. v = 1200 – 30x een eerste – graadsfunctie

MAAR de opbrengst die de producent ontvangt bij prijs x is

TO = (eenheidsprijs)(verkochte hoeveelheid)

= x v

= x [ 1200 – 30x ]

= 1200 x – 30 x2

Merk op: dit is NIET van de vorm y = q + mx met q ,m const.

y is GEEN eerste – graadsfunctie van x


Functies en hun voorstellingswijzen

Voorbeelden

■ een taxirit van x km kost y = 5 + 2x euro

■ een omzet van x euro , geeft y = 1500 + 0.05 x euro loon

■ x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 20000 €

nog y = 20000 – 1000 x euro waard

■ bij een prijs van x € is de vraag v = 1200 – 30x eenheden

■ bij een prijs van x € is de opbrengst TO = 1200 x – 30 x2 €


een functie van één veranderlijke is een regel die moet

toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y

Voorstellingswijze 1: met een vergelijking

Voorbeelden

■ een taxirit van x km kost f (x) = 5 + 2x euro

■ een omzet van x euro geeft f (x) = 1500 + 0.05 x euro loon


nog f (x) = 20000 – 1000x euro waard

■ bij een prijs van x € is de vraag f (x) = 1200 – 30x eenheden

■ bij een prijs van x € is de opbrengst f (x) = 1200 x – 30 x2 €


een functie f van één veranderlijke is een regel die moet

toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x)

formeel: f : IR IR : x f (x)

Voorstellingswijze 2: met een functievoorschrift



Voorstellingswijze 3:

Voorbeelden

■ een taxirit van x km kost f (x) = 5 + 2x euro

graf f

0 20 25

55

45

x

y

5

10 155

15

25

35

y = 5 + 2 x

met een grafiek

Dan

f (0) = 5 + 2 (0) = 5

f (5) = 5 + 2 (5) = 15

f (10) = 5 + 2 (10) = 25

f (15) = 5 + 2 (15) = 35

f (20) = 5 + 2 (20) = 45

f (25) = 5 + 2 (25) = 55

Begripsomschrijving : (voorlopige versie )

een functie f van één veranderlijke is een regel die moet toegepast

worden om een getal x om te zetten in een getal y = f (x)


Dan

f (0) = 20 – 1(0) = 20

f (2) = 20 – 1(2) = 18

f (4) = 20 – 1(4) = 16

f (6) = 20 – 1(6) = 14

f (8) = 20 – 1(8) = 12

f (10) = 20 – 1(10) = 10

0 4 5

12

10

x

y k €

2

2 31

4

6

8

9 107 86

20

14

16

18

y = 20 – 1x


nog f (x) = 20 000 – 1000 x k EUR waard

.

.

....


Meetkundige interpretatie van de parameters

■ de grafiek van een eerste – graadsfunctie f (x) = mx + q

is de rechte met vergelijking y = mx + q

■ q = f (0) is de intercept

en geeft de plaats waar de grafiek de vertikale as snijdt

■ m is de richtingscoëfficiënt [ of kortweg rico ]

en geeft de helling van de rechte weer

[ Engels : slope ]

en , de grootte van m bepaalt hoe steil de rechte is

Meer nog ,m > 0 een stijgende rechte

m = 0 een horizontale rechte

m < 0 een dalende rechte


Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt

of nog: als x toeneemt met 1 eenheid ,

dan neemt y toe met m = 2 eenheden

Anders gezegd ,

als er 1 km méér gereden wordt ,

dan neemt de prijs toe met m = 2 €

Bijgevolg ,

als er x km gereden worden , dan kost de rit y = 2 x + 5 €

Merk op: m = 2 = marginale kost

Voorbeeld

Taxibedrijf : vertrekprijs 5 € vaste kost

prijs per km 2 € marginale kost




m richtingscoëfficiëntvan de grafiek

=

Voorbeeld ( taxibedrijf )

vertrekprijs 5 € vaste kost


Y

X

>

>y = 5 + 2 x

d.w.z.

als x toeneemt met 1 eenheid ,


+ 1

+ 2 = m



m richtingscoëfficiëntvan de grafiek

=


vertrekprijs 5 € vaste kost


Y

X

>

>

y = 5 + 2 x

+ 1

+ 2 = m

d.w.z.

als x toeneemt met 1 eenheid ,


+ 1

+ 2 = m

Merk op: dit hangt niet af van

de plaats op de grafiek



Samengevat : prijs per km 2 € = marginale kost

= rico m van de grafiek

Concreet ,

■ als er 1 km méér gereden wordt ,

dan neemt de prijs toe met m = 2 €

Formeel: y = m x myx

Maar ook ,

■ 3 km meer rijden 3 m = 3 (2) = 6 € meer betalen

■ 5 km meer rijden 5 m = 5 (2) = 10 € meer betalen

■ x km meer rijden y = m x € meer betalen

of nog

.

.

....



m rico van de grafiek

=


prijs per km 2 € marginale kostY

X

>

>

y = 5 + 2 x

x = 1

y = 2 yx

mFormeel:

21

2yx

mWelnu,





=



X

>

>y = 5 + 2 x

yx

mFormeel:

21

2yx

mWelnu,

42

2yx

malsook

y = 4

x = 2




=



X

>

>

y = 5 + 2 x

yx

mFormeel:

21

2yx

mWelnu,

42

2yx

malsook

63

2yx

mof nog

x = 3

y = 6



Y

X

Oefening

Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten

(a)

x = 3

y = 2

rico m = =yx

23


Y

X

Oefening

Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten

(b)

x = 2

y = – 1

rico m = =yx

– 12



Oefening 1

(a) Stel de rechte met vergelijking y = – 2x – 1 voor op

een figuur . Maak hiervoor gebruik van de meetkundige

betekenis van intercept en richtingscoëfficiënt.

(b) Welke y -waarde hoort er bij x = 2 ?

[ Controleer je antwoord op de figuur . ]

(c) Welke x -waarde hoort er bij y = 2 ?

[ Controleer je antwoord op de figuur . ]

Oefening 2

Bepaal de vergelijking van de vorm y = m x + q voor elk van de

rechten A , B , C , D , E en F uit de onderstaande figuur door

gebruik te maken van de meetkundige betekenis van m en q .

Y

X

D

FE B

>

>

(6,6)

C

A

(3,9)


Oefening 5Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van

Manneken Pis . Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt ,

dan worden er dagelijks 24 stuks van verkocht . Als men echter

10 euro per beeldje vraagt , dan worden er slechts 16 stuks per

dag van verkocht . Wat is het functievoorschrift van de eerste –

graadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes

modelleert ?

Oplossing

Stel x = de prijs ( in euro) voor een Manneken Pis beeldje

f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes

Dan f is de gezochte vraagfunctie

Gegeven : f is een eerste – graadsfunctie

f (x) = m x + q met m , q IR constanten

en de grafiek van f is de rechte y = m x + q


Verder is er gegeven dat

■ als de prijs 8 euro is , dan is de vraag 24 stuks

■ als de prijs 10 euro is , dan is de vraag 16 stuks

vraag y

prijs x

y = m x + q

Gevraagd: zoek de vergelijking van de rechte die

door de punten (8 , 24) en (10 ,16) gaat

24

16

108


De vergelijking van een rechte

x0

y0

y

x

y = m x + q

■ alle punten op de rechte voldoen aan y = m x + q

■ (x0 ,y0 ) ligt op de rechte y0 = m x0 + q

■ maar dan y – y0 = m x – m x0

of equivalent, y – y0 = m ( x – x0 )

‒

punt ‒ ricoformule


De vergelijking van een rechte

■ alle punten op de rechte voldoen aan y – y0 = m ( x – x0 )

■ (x1 ,y1 ) ligt op de rechte y1 – y0 = m ( x1 – x0 )

■ als x1 ≠ x0 dan = my1 – y0

x1 – x0

punt ‒ puntformule

x1

y1

x0

y0

y

x

y = m x + q



Eigenschap

Zij (x0 , y0 ) een punt in IR2

(1) Elke niet – verticale rechte door het punt (x0 , y0 )

heeft vergelijking

y – y0 = m ( x – x0 ) met m IR de rico

(3) De verticale rechte door het punt (x0 , y0 ) heeft

vergelijking x = x0

en ( x1 , y1 ) punten in IR2 met x0 = x1/

(2) De rechte door de punten (x0 , y0 ) en ( x1 , y1 ) heeft

vergelijking

y – y0 = m ( x – x0 ) met rico m =y1 – y0

x1 – x0



Oplossing 5 (vervolg )

Stel x = de prijs ( in euro) voor een Manneken Pis beeldje

f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes

Gegeven : f is een eerste – graadsfunctie zodat

Gevraagd: zoek het functievoorschrift y = f (x) van de functie

waarvan de grafiek de rechte is die door de punten

(8 , 24) en (10 ,16) gaat

vraag y

prijs x

y = m x + q

24

16

108

x = 2

y = – 8

Welnu,

■ een rechte door het punt ( 8 , 24) heeft vergelijking

y – 24 = m ( x – 8 ) met m IR de rico

■ de rechte gaat ook door het punt (10 ,16)

rico m = = = – 4

■ de vergelijking van de rechte is y – 24 = – 4 ( x – 8 )

of uitgewerkt : y = – 4x + 32 + 24

y = – 4x + 56

16 – 2410 – 8

– 82

■ deze rechte met vergelijking y = – 4x + 56 is de grafiek van

de functie f die de dagelijkse vraag y = f (x) naar beeldjes

van Mannenken Pis beschrijft in functie van de prijs x

het functievoorschrift van f is f (x) = – 4x + 56



Oefening 3

(a) Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1 , 2)

en met rico 3 . Wat is de intercept van deze functie ?

(b) Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4

die evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking

4x – 3y – 4 = 0 .

(c) Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt

(2 , ‒3) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door

de punten (4 ,1) en (–2 ,2) .

(d) Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt

(‒2 ,3) en loodrecht staat op de rechte met vergelijking

2x – 3y + 6 = 0 .


Oefening 3(a)

Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1 , 2)

en met rico 3 . Wat is de intercept van deze functie ?

Oplossing

■ een rechte door het punt (1 , 2) heeft vergelijking

y – 2 = m ( x – 1 ) met m IR de rico

■ gegeven : rico m = 3 vergelijking y – 2 = 3 ( x – 1 )

of uitgewerkt : y = 3x – 3 + 2

y = 3x – 1

■ de intercept van deze rechte is q = – 1



Oefening 3(b)

Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4 die

evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking 4x – 3y – 4 = 0 .

□

Oplossing

■ een rechte met intercept 4 heeft vergelijking

y = mx + 4 met m IR de rico

■ gegeven: evenwijdig met de rechte met vgl. 4x – 3y – 4 = 0

rico m = rico van de rechte met vgl. 4x – 3y – 4 = 0

y = – x – –

■ de vergelijking van de gezochte rechte is y = – x + 4

43

43

=

rico

43

Oefening 3 (c)

Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (6 ,‒3) gaat

en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4 ,1) en (–2 ,2) .

Oplossing

■ een rechte door het punt (6 , –3 ) heeft vergelijking

y – ( –3 ) = m ( x – 6 ) met m IR de rico

■ gegeven: evenwijdig met de rechte door (4 ,1) en (–2 ,2)

rico m = rico van de rechte door (4 ,1) en (–2 ,2)

= =

■ de vergelijking van de gezochte rechte is y + 3 = – – ( x – 6 )

of uitgewerkt : y = – – x + 1 – 3

y = – – x – 2

2 – 1–2 – 4

16

– –

16

16

16



Herinner u: een rechte die loodrecht staat op de rechte

met vergelijking y = mx + q heeft

richtingscoefficient – –1m

Oefening 3(d)

Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (‒2 ,3)

en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 2x – 3y + 6 = 0 .

Oefening 7

Ga door berekening na of de grafieken van de functies

f (x) = x – 3 en g(x) = 2x – 2 en h(x) = – 3x + 1

door één punt gaan .


Oefening 11

Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve - dag – reis

200 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km . Een

tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en

daarbij 0.95 EUR per km . Hoeveel km moet een halve - dag -

reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper

zou zijn dan de eerste ?



Oefening 12

De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren

van een tijdschrift wordt gegeven door TO = 2.5q . De vaste

productiekosten bedragen 1485 EUR . De variabele productie -

kosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor

0.25 . Zoek het break even point (d.w.z. de waarde van q

waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt ) .


Oefening 13

Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze

tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig

tarief . Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse

vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0.13 EUR per

verbruikte kWh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere

prijs voor het gebruik tijdens de 9 ‘nachturen’ . Bij dit tarief

wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.93 EUR

aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kWh

overdag en 0.06 EUR per verbruikte kWh 's nachts. Bepaal

vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper

wordt .



Oefening 14

Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het

gedeelte van het inkomen tot 750000 EUR betaalt men

20 % belastingen en op het gedeelte boven 750000 EUR

betaalt men 60% belastingen .

(a) Bepaal het functievoorschrift van de functie die het verband

geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en

maak een grafiek van deze functie.

[ Hint : stel de bedragen voor in veelvouden van 1000000 EUR]

Men overweegt in Lovania een belastinghervorming . Het

voorstel bepaalt dat men 10 % belastingen zou moeten betalen

op het gedeelte van het inkomen tot 300 000 EUR en 40% op

het gedeelte boven 300000 EUR .


(b) Geef het voorschrift van de functie die in het voorstel het

verband geeft tussen de belasting en het inkomen .

Maak een grafiek van deze nieuwe functie op de figuur uit

opgave (a).

(c) Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door

berekeningen te maken , voor welke inkomens het voorstel

minder voordelig zou zijn.



Impliciet gedefinieerde functies

Voorbeeld

Iemand wil 100 000 euro beleggen in aandelen en obligaties .

Een aandeel kost 100 euro per stuk

en een obligatie kost 250 euro per stuk .

Hoeveel aandelen en obligaties kan die persoon kopen?

Antwoord

Stel zij koopt qA aandelen en qO obligaties

Dan 100 qA + 250 qO = 100000

Er zijn dus oneindig veel combinaties mogelijk . . .

bv. qA = 1000 en qO = 0

of qA = 0 en qO = 400

of qA = 500 en qO = 200

of . . .

. . . maar niet alle combinaties zijn mogelijk !!!!!

want er moet altijd voldaan zijn aan de vergelijking

100 qA + 250 qO = 100 000

Deze vergelijking definieert een relatie tussen de veranderlijken

qA en qO


2 mogelijke scenario’s

ofwel kiest zij het aantal aandelen qA

dan 100 qA + 250 qO = 100 000

250 qO = 100 000 – 100 qA

qO = 400 – 0.4 qA

qO =100 000 – 100 qA

250

expliciete vergelijking

qO

qA0 1000

400 qO = 400 – 0.4 qA


Terminologie

■ de vergelijking 100 qA + 250 qO = 100 000 definieert

qO impliciet als functie van qA , namelijk

qO : IR IR : qA 400 – 0.4 qA

■ qA is de onafhankelijke veranderlijke

■ qO is de afhankelijke veranderlijke



ofwel kiest zij het aantal obligaties qO

dan 100 qA + 250 qO = 100 000

100 qA = 100 000 – 250 qO

qA = 1000 – 2.5 qO

qA =100 000 – 250 qO

100

expliciete vergelijking

qO

qA0 400

qA = 1000 – 2.5 qO

1000


Terminologie

■ de vergelijking 100 qA + 250 qO = 100 000 definieert

qA impliciet als functie van qO , namelijk

qA : IR IR : qO 1000 – 2.5 qO

■ qO is de onafhankelijke veranderlijke

■ qA is de afhankelijke veranderlijke



Wiskunde leren

= heel veel oefeningen maken;

en … soms ook fouten maken,

begrijpen waarom het verkeerd

is en de oefeningen correct

opnieuw maken !


Eerste‒ graadsfuncties · 2019-08-26 · Eerste-graadsfuncties 3 Opfriscursus Wiskunde in...

Documents

Transcript of Eerste‒ graadsfuncties · 2019-08-26 · Eerste-graadsfuncties 3 Opfriscursus Wiskunde in...