Opfriscursus Wiskunde · Hoofdstuk 5. Meetkunde : x12. Lijnen in het vlak en x14. Cirkels (maar...

$: Opfriscursus Wiskunde · Hoofdstuk 5. Meetkunde : x12. Lijnen in het vlak en x14. Cirkels (maar niet \Raaklijnen aan een cirkel") Hoofdstuk 6. Functies : x16. Functies en gra eken$
Opfriscursus Wiskunde voor het Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs

FEB Campus Brussel

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN

Inleiding 1

Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs

Opfriscursus Wiskunde

Schakelprogramma

Handelswetenschappen

in avondonderwijs



Inleiding

Inleiding 2


docent : Theo Moons

bureel : T’Serclaes – gebouw, lokaal A.06 –01

email : [email protected]

Skype : theomoonshub



doel: de nodige voorkennis van wiskunde opfrissen om het

Schakelprogramma Handelswetenschappen succesvol

te kunnen aanvatten

praktisch:

■ 5 lessen telkens van 17u30 tot 21u30 (met pauze )

■ gevolgd door een zelftest

■ per les ongeveer 3 uur om extra oefeningen te maken

■ en, een ruime herhaling als voorbereiding op de zelftest

voorkennis: elementair algebraïsch rekenen

[ indien nodig , zelf op te frissen ! ]


Inleiding 3


Didactisch materiaal

■ map met handouts van de presentaties en oefeningen

■ website feb.kuleuven.be/toekomstigestudenten/opfriscursussen/

brussel/cursusmateriaal-schakel-hw-avondonderwijs/

met daarop

tekst “ Elementair algebraïsch rekenen” ( voor zelfstudie )

de verwachte voorkennis voor het Schakelprogramma

per lesdag een printout van de volledige powerpoint

herhalingsoefeningen ter voorbereiding van de zelftest

■ software: VisuMath 3.0 (download van www.visumath.be )

voor Apple & Mac : Grapher

■ eventueel een rekenmachine (als je er één hebt )

Voor bijkomende informatie en oefeningen

■ J. van de Craats en R. Bosch,

Basisboek wiskunde , 2de editie ,

Pearson Education Benelux, Amsterdam, 2009,

ISBN 978-90-430-1673-5

gedeeltelijk beschikbaar via

http://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/BasisboekWiskunde2HP.pdf

[ zie website opfriscursus voor wat je hiervan moet kennen ]

■ websites met instructiefilmpjes en/of interactieve oefeningen : www.khanacademy.org

www.zweigmedia.com/tuts/index.php?lang=en

www.purplemath.com/modules/index.htm

www.onlinemathlearning.com/

www.mathispower4u.com/

www.mathcentre.ac.uk/

Voorkennis wiskunde

In de cursussen “Wiskunde voor Bedrijfswetenschappen” wordt er verondersteld dat u eenaantal elementaire begrippen en rekentechnieken uit de wiskunde kent en kunt gebruiken.Een goed boek waarin de basiskennis van wiskunde overzichtelijk weergegeven wordt en dateveneens voldoende oefenmateriaal bevat om die kennis opnieuw in de vingers te krijgen is:

J. van de Craats & R. Bosch, Basisboek Wiskunde (2de editie),Pearson Education Benelux, Amsterdam, 2009, ISBN 978-90-430-1673-5.

Grote delen van dit boek kan u ook online raadplegen via de link

https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/BasisboekWiskunde2HP.pdf

De volgende hoofdstukken uit dit boek worden in de cursussen “Wiskunde voor Bedrijfs-wetenschappen” verondersteld gekend te zijn. De onderwerpen aangeduid met een asterix(d.i. ∗ ) komen aan bod in de Opfriscursus Wiskunde voor het avondprogramma.

• Hoofdstuk 1. Getallen

• Hoofdstuk 2. Algebra

• Hoofdstuk 3. Getallenrijen∗ : § 8. Rijen en limieten (alleen “Rekenkundige rijen” en“Meetkundige rijen”, maar niet “Limieten van rijen” en “Snelle stijgers”.)

• Hoofdstuk 4. Vergelijkingen

• Hoofdstuk 5. Meetkunde∗ : § 12. Lijnen in het vlak en § 14. Cirkels (maar niet“Raaklijnen aan een cirkel”)

• Hoofdstuk 6. Functies∗ : § 16. Functies en grafieken

• Hoofdstuk 6. Functies∗ : § 18. Exponentiele functies en logaritmen

Verder wordt er ook verondersteld dat je elementaire berekeningen met matrices kan uit-voeren. Een goede referentie hiervoor is

• Hoofdstuk 5. Matrixrekening∗

uit het boek

J. van de Craats, Vervolgboek Wiskunde,Pearson Education Benelux, Amsterdam, 2009, ISBN 978-90-430-1619-3.

waarvan u eveneens grote delen online kan raadplegen raadplegen via de link

https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/VervolgboekWiskundeHP.pdf

Eerste-graadsfuncties 1



Eerste ‒ graadsfuncties




Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten:

■ een vaste vertrekprijs van 5 €

■ een kilometerprijs van 2 €

Dan

een rit van 7 km kost



Eerste – graadsfuncties: een voorbeeld

.

.

.

Algemeen: een rit van x km kost


Eerste – graadsfuncties: een voorbeeld

Besluit: de kostprijs y ( in euro) van een taxirit van x km

wordt gegeven door y = 5 + 2x

wiskundige terminologie:

■ x en y zijn

■ de vergelijking y = 5 + 2x definieert een tussen

de veranderlijken x en y

Merk op: dit is een bijzondere soort van relatie

nl. je kiest x , en dan ligt y vast

dit soort relatie noemt men een



Begripsomschrijving: (voorlopige versie )

een functie van één veranderlijke is een regel die moet

toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y

functieyx

( … ) 2 + 5= 5 + 2x

Terminologie: x is de veranderlijke

y is de veranderlijke




Andere voorbeelden van eerste – graadsfuncties

Andere taxibedrijven hanteren andere vertrek- en km–prijzen

bv. y = 4.50 + 2.10x resp. y = 5.20 + 1.90x enzovoort

Algemeen: kostprijs y = (vaste startprijs) + (prijs per km) x

formeel: met q , m IR constanten

terminologie: m en q noemt men

Merk op: y is een van de eerste graad in x

y is een eerste – graadsfunctie van x


Voorbeeld 2

Het maandloon van een verkoper bestaat uit een basisbedrag

van 1500 € aangevuld met 5% van de totale waarde van de

omzet die hij vorige maand gerealiseerd heeft .

Als de verkoper vorige maand voor een totaal van x = 10 000 €

verkocht heeft , dan bedraagt zijn loon deze maand

y =

Algemeen: als de verkoper ’s omzet vorige maand x € bedroeg ,

dan krijgt hij deze maand y = € loon .

Merk op: y = q + mx met q = en m =

een eerste – graadsfunctie



Voorbeeld 3

Een bedrijfswagen wordt aangekocht voor 20000 €

maar verliest elk jaar 1000 € van zijn waarde .

De waarde y van de bedrijfswagen

1 jaar na aankoop is y = €



Algemeen: x jaar na aankoop is y = €

Merk op: y = q + mx met q = en m =

een eerste – graadsfunctie

.

.

....

Andere voorbeelden van functies

De vraag v naar een product hangt af van de prijs x van het

product: hoe hoger de prijs , hoe minder er van verkocht wordt

en hoe lager de prijs , hoe meer er van verkocht wordt

bv. v = 1200 – 30x een eerste – graadsfunctie

MAAR de opbrengst die de producent ontvangt bij prijs x is

TO =

Merk op: dit is van de vorm y = q + mx met q ,m const.

y is eerste – graadsfunctie van x


Functies en hun voorstellingswijzen

Voorbeelden

■ een taxirit van x km kost y = 5 + 2x euro

■ een omzet van x euro , geeft y = 1500 + 0.05 x euro loon

■ x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 20000 €

nog y = 20000 – 1000 x euro waard

■ bij een prijs van x € is de vraag v = 1200 – 30x eenheden

■ bij een prijs van x € is de opbrengst TO = 1200 x – 30 x2 €


een functie van één veranderlijke is een regel die moet

toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y

Voorstellingswijze 1: met een

Voorbeelden

■ een taxirit van x km kost f (x) = 5 + 2x euro

■ een omzet van x euro geeft f (x) = 1500 + 0.05 x euro loon


nog f (x) = 20000 – 1000x euro waard

■ bij een prijs van x € is de vraag f (x) = 1200 – 30x eenheden

■ bij een prijs van x € is de opbrengst f (x) = 1200 x – 30 x2 €


een functie f van één veranderlijke is een regel die moet

toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x)

formeel: f : IR IR : x f (x)

Voorstellingswijze 2: met een



Voorstellingswijze 3:

Voorbeelden

■ een taxirit van x km kost f (x) = 5 + 2x euro

0 20 25

55

45

x

y

5

10 155

15

25

35

met een

Dan

f (0) =

f (5) =

f (10) =

f (15) =

f (20) =

f (25) =


een functie f van één veranderlijke is een regel die moet

toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x)


Dan

f (0) = 20 – 1(0) =

f (2) = 20 – 1(2) =

f (4) = 20 – 1(4) =

f (6) = 20 – 1(6) =

f (8) = 20 – 1(8) =

f (10) = 20 – 1(10) =

0 4 5

12

10

x

y k €

2

2 31

4

6

8

9 107 86

20

14

16

18


nog f (x) = 20 000 – 1000 x k EUR waard

.

.

....


Meetkundige interpretatie van de parameters

■ de grafiek van een eerste – graadsfunctie f (x) = mx + q

is de met vergelijking y = mx + q

■ q = is de

en geeft de plaats waar de grafiek de vertikale as snijdt

■ m is de [ of kortweg ]

en geeft de van de rechte weer

[ Engels : slope ]

en , de grootte van m bepaalt hoe de rechte is

Meer nog ,m > 0 een rechte

m = 0 een rechte

m < 0 een rechte


Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt

of nog: als x toeneemt met 1 eenheid ,

dan neemt y toe met eenheden

Anders gezegd ,

als er 1 km méér gereden wordt ,

dan neemt de prijs toe met

Bijgevolg ,

als er x km gereden worden , dan kost de rit y = 2 x + 5 €

Merk op: m = 2

Voorbeeld

Taxibedrijf : vertrekprijs 5 €

prijs per km 2 €




m richtingscoëfficiëntvan de grafiek

=

Voorbeeld ( taxibedrijf )

vertrekprijs 5 € vaste kost

prijs per km 2 € marginale kost

Y

X

>

>y = 5 + 2 x

d.w.z.

als x toeneemt met 1 eenheid ,

dan neemt y toe met m = 2 eenheden



m richtingscoëfficiëntvan de grafiek

=


vertrekprijs 5 € vaste kost

prijs per km 2 € marginale kost

Y

X

>

>

y = 5 + 2 x

d.w.z.

als x toeneemt met 1 eenheid ,

dan neemt y toe met m = 2 eenheden

Merk op: dit hangt niet af van

de plaats op de grafiek



Samengevat : prijs per km 2 € = marginale kost

= rico m van de grafiek

Concreet ,

■ als er 1 km méér gereden wordt ,

dan neemt de prijs toe met m = 2 €

Formeel: y = m

Maar ook ,

■ 3 km meer rijden meer betalen

■ 5 km meer rijden meer betalen

■ x km meer rijden y = € meer betalen

of nog

.

.

....



m rico van de grafiek

=


prijs per km 2 € marginale kostY

X

>

>

y = 5 + 2 x

yx

mFormeel:

yx

mWelnu,





=



X

>

>y = 5 + 2 x

yx

mFormeel:

21

2yx

mWelnu,

yx

malsook




=



X

>

>

y = 5 + 2 x

yx

mFormeel:

21

2yx

mWelnu,

42

2yx

malsook

yx

mof nog



Y

X

Oefening

Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten

(a)

rico m = =yx


Y

X

Oefening

Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten

(b)

rico m = =yx



Oefening 1

(a) Stel de rechte met vergelijking y = – 2x – 1 voor op

een figuur . Maak hiervoor gebruik van de meetkundige

betekenis van intercept en richtingscoëfficiënt.

(b) Welke y -waarde hoort er bij x = 2 ?

[ Controleer je antwoord op de figuur . ]

(c) Welke x -waarde hoort er bij y = 2 ?

[ Controleer je antwoord op de figuur . ]

Oefening 2

Bepaal de vergelijking van de vorm y = m x + q voor elk van de

rechten A , B , C , D , E en F uit de onderstaande figuur door

gebruik te maken van de meetkundige betekenis van m en q .

Y

X

D

FE B

>

>

(6,6)

C

A

(3,9)


Oefening 5Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van

Manneken Pis . Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt ,

dan worden er dagelijks 24 stuks van verkocht . Als men echter

10 euro per beeldje vraagt , dan worden er slechts 16 stuks per

dag van verkocht . Wat is het functievoorschrift van de eerste –

graadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes

modelleert ?

Oplossing

Stel x =

f (x) =

Dan f is de gezochte

Gegeven : f is een eerste – graadsfunctie

f (x) = m x + q met m , q IR constanten

en de grafiek van f is de


Verder is er gegeven dat

■ als de prijs 8 euro is , dan is de vraag stuks

■ als de prijs 10 euro is , dan is de vraag stuks

vraag y

prijs x

Gevraagd: zoek de vergelijking van de die

door gaat


De vergelijking van een rechte

■ alle punten op de rechte voldoen aan y = m x + q

■ (x0 ,y0 ) ligt op de rechte

■ maar dan

of equivalent,

x0

y0

y

x

y = m x + q

‒

punt ‒ ricoformule


De vergelijking van een rechte

■ alle punten op de rechte voldoen aan y – y0 = m ( x – x0 )

■ (x1 ,y1 ) ligt op de rechte

■ als x1 ≠ x0 danpunt ‒ punt

formule

x1

y1

x0

y0

y

x

y = m x + q



Eigenschap

Zij (x0 , y0 ) een punt in IR2

(1) Elke niet – verticale rechte door het punt (x0 , y0 )

heeft vergelijking

y – y0 = m ( x – x0 ) met m IR de rico

(3) De verticale rechte door het punt (x0 , y0 ) heeft

vergelijking x = x0

en ( x1 , y1 ) punten in IR2 met x0 = x1/

(2) De rechte door de punten (x0 , y0 ) en ( x1 , y1 ) heeft

vergelijking

y – y0 = m ( x – x0 ) met rico m =y1 – y0

x1 – x0



Oplossing 5 (vervolg )

Stel x = de prijs ( in euro) voor een Manneken Pis beeldje

f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes

Gegeven : f is een eerste – graadsfunctie zodat

Gevraagd: zoek het functievoorschrift y = f (x) van de functie

waarvan de grafiek de rechte is die door de punten

(8 , 24) en (10 ,16) gaat

vraag y

prijs x

y = m x + q

24

16

108

Welnu,

■ een rechte door het punt ( 8 , 24) heeft vergelijking

met m IR de rico

■ de richtingscoëfficiënt van de rechte is m =

■ de vergelijking van de rechte is

het functievoorschrift van f is f (x) =

■ deze rechte met vergelijking y = is de grafiek van

de functie f die de dagelijkse vraag y = f (x) naar beeldjes

van Manneken Pis beschrijft in functie van de prijs x



Oefening 3

(a) Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1 , 2)

en met rico 3 . Wat is de intercept van deze functie ?

(b) Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4

die evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking

4x – 3y – 4 = 0 .

(c) Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt

(2 , ‒3) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door

de punten (4 ,1) en (–2 ,2) .

(d) Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt

(‒2 ,3) en loodrecht staat op de rechte met vergelijking

2x – 3y + 6 = 0 .


Oefening 3(a)

Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1 , 2)

en met rico 3 . Wat is de intercept van deze functie ?

Oplossing

■ een rechte door het punt (1 , 2) heeft vergelijking

met m IR de rico

■ gegeven : rico m = 3 vergelijking

of uitgewerkt :

■ de intercept van deze rechte is q =



Oefening 3(b)

Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4 die

evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking 4x – 3y – 4 = 0 .

□

Oplossing

■ een rechte met intercept 4 heeft vergelijking

met m IR de rico

■ gegeven: evenwijdig met de rechte met vgl. 4x – 3y – 4 = 0

rico m =

■ de vergelijking van de gezochte rechte is

Oefening 3 (c)

Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (6 , ‒3) gaat

en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4 ,1) en (–2 ,2) .

Oplossing

■ een rechte door het punt (6 , –3 ) heeft vergelijking

met m IR de rico

■ gegeven: evenwijdig met de rechte door (4 ,1) en (–2 ,2)

rico m =

■ de vergelijking van de gezochte rechte is

of uitgewerkt :



Herinner u: een rechte die loodrecht staat op de rechte

met vergelijking y = mx + q heeft

richtingscoefficient

Oefening 3(d)

Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (‒2 ,3)

en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 2x – 3y + 6 = 0 .

Oefening 7

Ga door berekening na of de grafieken van de functies

f (x) = x – 3 en g(x) = 2x – 2 en h(x) = – 3x + 1

door één punt gaan .


Oefening 11

Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve - dag – reis

200 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km . Een

tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en

daarbij 0.95 EUR per km . Hoeveel km moet een halve - dag -

reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper

zou zijn dan de eerste ?



Oefening 12

De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren

van een tijdschrift wordt gegeven door TO = 2.5q . De vaste

productiekosten bedragen 1485 EUR . De variabele productie -

kosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor

0.25 . Zoek het break even point (d.w.z. de hoeveelheid q

waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt ) .


Oefening 13

Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze

tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig

tarief . Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse

vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0.13 EUR per

verbruikte kWh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere

prijs voor het gebruik tijdens de 9 ‘nachturen’ . Bij dit tarief

wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.93 EUR

aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kWh

overdag en 0.06 EUR per verbruikte kWh 's nachts. Bepaal

vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper

wordt .



Oefening 14

Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het

gedeelte van het inkomen tot 750000 EUR betaalt men

20 % belastingen en op het gedeelte boven 750000 EUR

betaalt men 60% belastingen .

(a) Bepaal het functievoorschrift van de functie die het verband

geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en

maak een grafiek van deze functie.

[ Hint : stel de bedragen voor in veelvouden van 1000000 EUR]

Men overweegt in Lovania een belastinghervorming . Het

voorstel bepaalt dat men 10 % belastingen zou moeten betalen

op het gedeelte van het inkomen tot 300 000 EUR en 40% op

het gedeelte boven 300000 EUR .


(b) Geef het voorschrift van de functie die in het voorstel het

verband geeft tussen de belasting en het inkomen .

Maak een grafiek van deze nieuwe functie op de figuur uit

opgave (a).

(c) Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door

berekeningen te maken , voor welke inkomens het voorstel

minder voordelig zou zijn.



Impliciet gedefinieerde functies

Voorbeeld

Iemand wil 100 000 euro beleggen in aandelen en obligaties .

Een aandeel kost 100 euro per stuk

en een obligatie kost 250 euro per stuk .

Hoeveel aandelen en obligaties kan die persoon kopen?

Antwoord

Stel zij koopt qA aandelen en qO obligaties

Dan 100 qA + 250 qO = 100000

Er zijn dus oneindig veel combinaties mogelijk . . .

bv. qA = en qO =

of qA = en qO =

of qA = en qO =

of . . .

. . . maar niet alle combinaties zijn mogelijk !!!!!

want er moet altijd voldaan zijn aan de vergelijking

Deze vergelijking definieert een tussen de veranderlijken

qA en qO


2 mogelijke scenario’s

ofwel kiest zij het aantal aandelen qA

dan 100 qA + 250 qO = 100 000

qO

qA0


Terminologie

■ de vergelijking 100 qA + 250 qO = 100 000 definieert

qO impliciet als functie van qA , namelijk

qO : IR IR : qA 400 – 0.4 qA

■ qA is de veranderlijke

■ qO is de veranderlijke



ofwel kiest zij het aantal obligaties qO

dan 100 qA + 250 qO = 100 000

qO

qA0


Terminologie

■ de vergelijking 100 qA + 250 qO = 100 000 definieert

qA impliciet als functie van qO , namelijk

qA : IR IR : qO 1000 – 2.5 qO

■ qO is de veranderlijke

■ qA is de veranderlijke



Wiskunde leren

= heel veel oefeningen maken;

en … soms ook fouten maken,

begrijpen waarom het verkeerd

is en de oefeningen correct

opnieuw maken !


1

Opfriscursus wiskunde – dag 1

1. a. Stel de rechte met vergelijking 2 1y x voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik

van de betekenis van y-intercept en richtingscoëfficiënt.

b. Welke y-waarde hoort er bij 2x ? (Controleer je antwoord op de figuur.)

c. Welke x-waarde hoort er bij 2y ? (Controleer je antwoord op de figuur.)

2. Bepaal de vergelijking van de vorm y mx q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F

uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de betekenis van m en q.

3. a. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1,2) en met rico 3.

Wat is de y-intercept van deze rechte?

b. Bepaal de vergelijking van de rechte met y-intercept 4 die evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking 4 x – 3 y – 4 = 0.

c. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (6,‒3) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,1) en (–2,2).

d. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (-2,3) gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 2 x – 3 y + 6 = 0.

4. Welke figuur wordt voorgesteld door de vergelijking

a. 2 3 1 0x y ?

b. (0 ) 3 1 0x y ?

c. 2 ( 0 ) 1 0x y ?

d. (0 0 ) 1 0x y ?

5. Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van Manneken Pis. Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt, dan worden er dagelijks 24 stuks van verkocht. Als men echter 10 euro per beeldje vraagt, dan worden er slechts 16 stuks per dag van verkocht. Wat is het functievoorschrift van de eerstegraadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes modelleert?

(3,9)

y

x

(0,7)

(0,3)

(6,6)

(2,0)

A

B

C

D E

F

2

6. De hoeveelheid q die van een zeker product verkocht kan worden, hangt af van de prijs p die ervoor gevraagd wordt. Veronderstel dat het verband tussen beide grootheden gegeven wordt door 24 0.8q p . Deze functie wordt de vraagfunctie genoemd.

a. Maak een grafiek van deze vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af.

Deze vraagfunctie is in eerste instantie bruikbaar om de waarde van q te bepalen als er een waarde voor p gegeven is. Deze formule kan echter ook gebruikt worden 'in de omgekeerde zin'.

b. Veronderstel dat je zou willen dat er 16 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen?

c. Veronderstel dat je zou willen dat er 20 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen?

d. Als je de waarde van p moeten bepalen voor heel veel verschillende waarden van q, dan kan je de bovenstaande vergelijking beter in een andere vorm schrijven, namelijk de vorm waarbij p uitgedrukt wordt in functie van q. Doe dit.

e. Controleer het antwoord op de vragen b. en c. met behulp van deze formule.

De formule uit oefening d. Kan geinterpreteerd worden als de vergelijking van een functie die p uitdrukt in functie van q. Deze nieuwe functie wordt de inverse vraagfunctie genoemd.

f. Maak een grafiek van deze inverse vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af.

g. Welk verband bestaat er tussen de richtingscoëfficiënt van de grafieken van de vraagfunctie en de inverse vraagfunctie?

7. Ga door berekening na of de grafieken van de functies f(x) = x – 3 , g(x) = 2 x – 2 , en h(x) = –3 x + 1 door één punt gaan.

8. a. Bepaal x en y zó dat 8 25

11 29 4

x y

x y

b. Bepaal p en q zó dat 5 9 8

3 1 13

p q

q p

c. Bepaal a en b zó dat 4 5

3 8 2

a b

a b

9. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op:

a. 3 2 9

2 5

x x ;

b. 3 7 ( 9) ( 30)x x x ;

c. 2 22 4x x ;

d. 2 2 2( 2) ( 2) 2x x x ;

e. 12 1 13 4 4 7

2 6 5

x x x ;

f. 3 7 2 1 2 1

57 3 7 3

x x x

;

g. 2( 1)( 1) ( 2)x x x ;

h. 2 3 4

36 5 2

x x xx

;

i. 2 3 3 6x x .

3

10. Hoeveel kg koffie van 4.12 EUR per kg moet men mengen met 45 kg koffie van 3.02 EUR per kg om een mengsel te verkrijgen van 3.79 EUR per kg ?

11. Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve-dag-reis 200 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km. Een tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per km. Hoeveel km moet een halve-dag-reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste?

12. De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren van een tijdschrift wordt gegeven door 2.5TO q . De vaste productiekosten bedragen 1485 EUR. De variabele

productiekosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor 0.25. Zoek het break-even-point (d.w.z. de hoeveelheid q waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt).

13. Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig tarief. Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0.13 EUR per verbruikte kWh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 'nachturen'. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.93 EUR aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kWh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kWh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt.

14. Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot 750 000 EUR betaalt men 20 % belastingen en op het gedeelte boven 750 000 EUR betaalt men 60% belastingen.

a. Bepaal het functievoorschrift van de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en maak een grafiek van deze functie. (Hint: stel de bedragen voor in veelvouden van 1 000 000 EUR).

Men overweegt in Lovania een hervorming van het belastingstelsel. Het voorstel bepaalt dat men 10% belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot 300

000 EUR en 40% op het gedeelte boven 300 000 EUR.

b. Stel een vergelijking op voor de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen volgens het voorstel. Maak een grafiek van deze functie op de figuur uit vraag a.

c. Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn.

4

Oplossingen

1. a. Daar de y-intercept –1 is, volgt dat de rechte door het punt 0, 1 gaat. Omdat de

richtingscoëfficiënt –2 bedraagt, moet met een toename van één eenheid in de x-richting een toename van –2 eenheden in de y-richting corresponderen. Omdat het

punt 0, 1 tot de rechte behoort, ligt dus ook het punt 1, 3 erop. De gevraagde

rechte is dus de rechte door de punten 0, 1 en 1, 3 .

b. –5

c. –1.5

2. 1

: 32

A y x , : 2 3B y x , : 3C y , 3

: 32

D y x , 3

: 72

E y x , 2

: 73

F y x

3. a. y = 3 x – 1 ; de y-intercept is -1.

b. � =�

�� + 4

c. � = −�

�� − 2

d. 3

2y x

4. a. (schuine) rechte door de punten 1

0,3

en

1,0

2

;

b. horizontale rechte door het punt 1

0,3

;

c. verticale rechte door het punt 1

,02

;

d. lege verzameling.

5. Als x de prijs (in euro) voor een beeldje van manneken Pis voorstelt, dan wordt de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes gegeven door f (x) = 56 – 4 x .

6. a. rechte door de punten 24,0 en 0,30 ; richtingscoëfficiënt is -0.8.

b. 10

c. 5

d. 1.25 30p q

e. OK

f. rechte door de punten 30,0 en 0,24 ; richtingscoëfficiënt is –1.25.

g. de richtingscoëfficiënten zijn elkaars omgekeerde (d.w.z. richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie

=tie vraagfuncinverse den grafiek va de van oëfficiëntrichtingsc

1

of nog:

richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie

=tie vraagfuncden grafiek va de van oëfficiëntrichtingsc

1. )

5

7. Neen. De grafieken van de functies f en g snijden elkaar in het punt met coördinaten

4,1 . De grafiek van de functie h gaat niet door dit punt.

8. a. 3 en 1x y

b. 1 3

en 4 4

p q

c. 10 8

en b17 17

a

9. a. 8

13x

b. 32

3x

c. 2x

d. x is een willekeurig reëel getal

e. 47

139x

f. 9

10x

g. 5

4x

h. 6

13x

i. 3x

10. 105 kg

11. meer dan 500 km

Om het resultaat grafisch te controleren, teken je in dezelfde figuur de grafiek van de kostprijs K1 in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de eerste uitbater en de grafiek van de kostprijs K2 in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de tweede uitbater. De

vergelijkingen van deze functies zijn 1

200 1.15K x respectievelijk 2

300 0.95K x .

12. 660 exemplaren

13. Noem x het verbruik in kWh overdag en y het verbruik in kWh 's nachts. De kostprijs in

EUR volgens het normale tarief is dan 66.98 0.13( )n

K x y . En de kostprijs in EUR

volgens het tweevoudig tarief is 99.93 0.13 0.06t

K x y . We zoeken de waarden van

y waarvoor n t

K K . Aan deze ongelijkheid voldaan is als en slechts als 470.71...y .

Bijgevol zal het tweevoudig tarief voordeliger zijn vanaf 470.71 kWh nachtverbruik.

200

400

600

800

1000

0 250 500 750

K

x

uitbater

uitbater 2

6

14. a. 0.2 als 0 0.75

0.6 0.3 als 0.75

x xb

x x

b. 0.1 als 0 0.3

0.4 0.09 als 0.3

x xb

x x

c. De grafieken snijden elkaar in twee punten. Het inkomen dat overeenkomt met het meest linkse snijpunt noemen we a en het inkomen dat overeenkomt met het meest rechtse snijpunt noemen we c. Voor de inkomens die gelegen zijn tussen a en c is de huidige berekening van de belasting voordeliger dan het voorstel. Het meest linkse snijpunt onstaat door het linkse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om a te vinden moeten we dus de vergelijking 0.2 0.4 0.09x x oplossen. Zo vinden we dat 0.45a . Het meest rechtse snijpunt

onstaat door het rechtse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om c te vinden moeten we dus de vergelijking 0.6 0.3 0.4 0.09x x oplossen. Zo vinden we dat 1.05c . We bsluiten dat het

voorstel minder voordelig is dan het huidige systeem voor de inkomens gelegen (strikt) tussen 450 000 EUR en 1 050 000 EUR.

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5

b

x

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5

b

x

Tweede-graadsfuncties 1



Tweede ‒ graadsfunctiesDeel 1: kwadratische vergelijkingen

en ongelijkheden



Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalenals er 20 deelnemers zijn?

Oplossing

⇒ totaal te betalen is €

� kosten voor de gids : euro

� 20 deelnemersprijs per persoon is euro

⇒ samen = €

� minimum 20 deelnemers

� kosten voor de gids : 122 euro

� prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon

� bij méér dan 20 deelnemers:voor iedereen 2 euro korting per persoon

voor elke extra deelnemer

Toepassing: organisatie van een daguitstap

Oplossing

26 deelnemers

Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalenals er deelnemers zijn?






⇒

26



Oplossing

32 deelnemers

Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalenals er deelnemers zijn?







⇒

32






Algemeen: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalenals er deelnemers zijn?

Oplossingx deelnemers ⇒ méér dan het minimaal aantal 20

⇒ euro vermindering per persoon

⇒ prijs per persoon is

⇒ totaal te betalen is €

x



Besluit : als er x mensen aan de uitstap deelnemen,dan moet je aan het reisagentschap

x (120 – 2x ) + 122 euro

betalen.

Anders gezegd,als er x deelnemers zijn,

dan moet je f (x) = –2 x2 + 120 x + 122 euro betalen.

Dit definieert een functie ,namelijk

input x output f (x) = –2 x2 + 120 x + 122

Formeel,f : IR IR : x f (x) = –2 x2 + 120 x + 122

een tweede – graads functie

= –2 x2 + 120 x + 122


y = –2 x 2 + 120x + 122

Y

X>

>

aantal deelnemers

totaalbedrag

10 20 30 40 50 60

2000

1500

1000

500

0

(1) functievoorschrift : f (x) = –2 x2 + 120 x + 122

(2) vergelijking : y = –2 x2 + 120 x + 122

(3) grafiek

Drie manieren om de functie voor te stellen



(3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen.Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen?

Vragen(1) Ik moet het reisagentschap 1872 euro betalen.

Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel?

Oplossing

Methode 1: aflezen van de grafiek

Methode 2: berekenen

(2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschaphet hoogste bedrag?


f : IR IR : x a x2 + b x + c met a ,b ,c ∈ IR en a ≠ 0

De grafiek van een tweede – graadsfunctie

IR

IR

0 IR

IR

0

IR

IR0

IR

IR

0

IR

IR

0

IR

IR0

Te onthoudende grafiek van een tweede – graadsfunctie

f : IR IR : x a x2 + bx + c

is de met vergelijking y = a x2 + bx + c





IR

IR

0

IR

IR

0

IR

IR0

IR

IR0

IR

IR0IR

IR

0




IR

IR

0

IR

IR

0

IR

IR0

IR

IR0

IR

IR0IR

IR

0



Te onthouden

■ de grafiek van een tweede – graadsfunctie f (x) = a x2 + b x + c

is een

■ als a > 0 , dan is het een parabool ( parabool )

als a < 0 , dan is het een parabool ( parabool )

■ de parabool heeft haar top in xtop =

■ de oplossingen van de vergelijking ax2 + b x + c = 0

geven de van de functie f (x) = a x2 + b x + c

d.i. de snijpunten van de parabool met de – as


Te onthoudenDe oplossingen van een kwadratische vergelijking

a x2 + b x + c = 0 met a , b , c ∈ IR en a ≠ 0

worden gevonden door eerst de discriminant

discr = b2 – 4 a c

te bereken en vervolgens

– b + √ discr2a

– b – √ discr2a

en

(1) als discr > 0 dan zijn er twee verschillende oplossingen,namelijk

(2) als discr = 0 dan is er slechts één oplossing,

namelijk b2a

–

(3) als discr < 0 dan zijn er geen oplossingen



Oefening 1

Hieronder vind je zes tweede-graadsfuncties van één veranderlijke.Schets de grafiek van elk van deze functies.

f1 : y = x2 – 5x + 6 f2 : y = x2 – 4x + 4 f3 : y = x2 – 4x + 6

f4 : y = –x2 + 5x – 6 f5 : y = –x2 + 4x – 4 f6 : y = –x2 + 4x – 6




Oplossingf1(x) = x2 – 5x + 6

⇒ de grafiek is een

■ a = ⇒ een

en ytop =

■ met top in xtop =

■ de nulpunten van f1 voldoen aan f1(x) = 0

⇔ = 0

⇒ de nulpunten zijn


Verderf1(0) =

f1(1) =

De grafiek van de functie f1 is

Y

X−1 0 1 2 3 4 5 6

7

6

5

4

3

2

1

−1

>

>IR

IR



Oplossingf6(x) = –x2 + 4x – 6


■ a = ⇒ een

en ytop =

■ met top in xtop =

■ de nulpunten van f6 voldoen aan f1(x) = 0

⇔ = 0

een kwadratische vergelijking

discr =

⇒ de functie f6 heeft nulpunten


Verderf6(1) =

f6(0) =

De grafiek van de functie f6 is

Y X−1 0 1 2 3 4 5 6

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

IR>

>IR



Oefening 3Gegeven zijn de functies f (x) = 2x + 4 en g(x) = x2 + 4x + 5 .

(a) Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies.

(b) Teken de grafieken van beide functies in één figuur en

controleer hiermee het resultaat van je berekeningen.


Voorbeeld: organisatie van een daguitstap (vervolg )

Herinner u : als er als er x mensen aan de uitstap deelnemen,dan moet men aan het reisagentschap

f (x) = –2 x2 + 120x + 122 euro betalen.

(3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen.Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen?

Vragen

(2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschaphet hoogste bedrag?

(1) Men moet het reisagentschap 1872 euro betalen.Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel?

Oplossingsmethoden: 1. aflezen van de grafiek

2. berekenen



Vragen(1) Ik moet het reisagentschap 1872 euro betalen.

Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel?

OplossingMethode 1: aflezen van de grafiek

y = –2 x 2 + 120x + 122

Y

X>

>

aantal deelnemers

totaalbedrag

10 20 30 40 50 60

2000

1500

1000

500

0

Methode 2: berekenengevraagd: zoek alle x waarvoor f (x) =

Welnu,

f (x) = ⇔ –2 x2 + 120 x + 122 =

⇔ –2 x2 + 120 x –


discr =


Besluit: er zijn mogelijkheden voor het aantal deelnemers,namelijk



Vragen(2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap

het hoogste bedrag?

Oplossing

y = –2 x 2 + 120x + 122

Y

X>

>

aantal deelnemers

totaalbedrag

10 20 30 40 50 60

2000

1500

1000

500

0 30

Methode 1: aflezen van de grafiek


Methode 2: berekenen

Besluit: bij deelnemers zal men aan het reisagentschap

het hoogste bedrag moeten betalen,

namelijk f ( ) = €

f (x ) = –2 x2 + 120 x + 122 een tweede – graadsfunctie


■ a = ⇒ een

⇒ de functie bereikt haar in de top

■ Nu is xtop =



Oefening 4

Bepaal de getallen b en c in de vergelijking y = x2 + bx + c van

de functie f zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in 4 .

Oefening 5

De functie f(x) = 2x2 + 2x + p – 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p .


Vragen(3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen.

Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen?

y = –2 x 2 + 120x + 122

Y

X>

>

aantal deelnemers

totaalbedrag

10 20 30 40 50 60

2000

1500

1000

500

0

Methode 1: aflezen van de grafiekOplossing



Methode 2: berekenengevraagd: zoek alle x waarvoor f (x)

Welnu,

f (x) ⇔ –2 x2 + 120x + 122

⇔ –2 x2 + 120 x

Nu is

■ h (x ) = –2x2 + 120x een tweede – graadsfunctie


■ a = ⇒ een

⇒ de functie bereikt waardenhaar nulpunten


Besluit: het aantal deelnemers moet minstens bedragen

en mag niet hoger zijn dan

■ de nulpunten van h voldoen aan h(x) = 0

⇔ –2 x2 + 120x = 0


discr =




Oefening 2

Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op:

(a) 11x2 + 2 (19x – 12) = 0

(b) x2 – x = –

(c) 4x2 + 3x + 1 > 7x2 + x + 3

(d) (6 – 3x)(2 + 9x) ≥ 0

(e) x2 ≤ 100

(f) 3x(x – 3) < 5(x – 3 )

(g) (2x + 3)2 > 9x + 54

12

176


Oefening 8

Een firma van elektronische onderdelen verkoop maandelijks

5000 stuks van een bepaalde component tegen 15 euro per

stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens

met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 euro

verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen

om een zo hoog mogelijke omzet te realiseren?


Oefening 6

Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 euro per liter. Om grotebestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om eenreductie toe te kennen voor bestellingen van méér dan 100 liter.Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voorde hele bestelling met 0.01 euro verlaagd.

(a) Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TOvan de handelaar bij een bestelling van x liter wijn.

(b) Maak een grafiek van de functie TO(x) .

(c) Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale ontvangstenTO(x) van de wijnhandelaar maximaal?

(d) Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van de bestelling opdat de totaleontvangsten positief zouden blijven?


Oefening 7

Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen

een prijs van 300 euro per persoon. Om meer mensen aan te

trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt

voor elke deelnemer verlaagd met 5 euro telkens er zich een

persoon extra (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn )

aanmeldt.

(a) Bij welk aantal deelnemers zijn de totale ontvangsten van

het reisbureau maximaal?

(b) Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het

toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten

positief zouden blijven?




Tweede ‒ graadsfuncties

Deel 2 : de cirkel




5

12ℓ = ?

De stelling van Pythagoras

In een rechthoekige driehoekgeldt :

a b

c

a2 = b2 + c2

Voorbeeld

⇒ ℓ =

Pythagoras : ℓ =2

de afstand tussen twee punten

Y

X−1 0 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

−1

de afstand d tussen de punten(2 ,1) en (5 ,5)

d d 2 =

en dus d =

of kortweg,

de stelling van Pythagoras

d =

voldoet aan



de afstand tussen twee punten

te onthouden :

de afstand d tussen 2 punten

(x1 ,y1) en (x2 ,y2) wordt

gegeven door

Y

X−1 0 1 2 3 4 5

6

5

4

3

2

1

−1

d

∆x

∆y

d = √ ∆x 2 + ∆y 2

= √ ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 ) 2


de vergelijking van een cirkel

Definitieeen cirkel met middelpunt ( x0 , y0 ) en straal r is de

verzameling van alle punten die op afstand r van het

middelpunt verwijderd liggen

cirkel

rmpt



Y

X−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

2

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

Voorbeeldde cirkel met middelpunt ( 3 , – 2 ) en straal 5


of equivalent

of nog

(3 , – 2 )

(x , y )

5

heeft vergelijking


Y

X−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

4

3

2

1

−1

−2

−3

−4

(x , y )

r

(0 ,0)

Algemeen :een cirkel met middelpunt ( x0 , y0 ) en straal r heeft

als vergelijking : [ x – x0 ] 2 + [ y – y0 ] 2 = r 2


In het bijzonder,

een cirkel met middelpunt (0,0)

en straal r heeft als vergelijking


een cirkel met middelpunt ( x0 , y0 ) en straal r heeft


Besluit

De algemene vergelijking van een cirkel in IR2 is dus van

de vorm x2 + y 2 + a x + b y + c = 0


standaardvormvan de

vergelijking


Vraag : stelt de vergelijking

4 x 2 + 4 y 2 – 16 x – 24 y – 12 = 0

een cirkel voor ?

Zo ja, wat zijn dan het middelpunt en de straal

van die cirkel ?




een cirkel met middelpunt ( x0 , y0 ) en straal r heeft


⇔ [ x2 – 2 x0 x + x02 ] + [ y 2 – 2 y0 y + y0

2 ] = r 2

⇔ x2 + y 2 – 2 x0 x – 2 y0 y + x02 + y0

2 – r 2 = 0

een vergelijking van de 2 de graad in x en y


standaardvormvan de

vergelijking


Te onthouden :een vergelijking in 2 veranderlijken stelt een cirkel voor

als en slechts als

� een vergelijking van de 2de graad in x en y

� geen term in x y

� de coëfficiënt van x2 = de coëfficiënt van y2

� na herwerking tot de vorm [ x – x0 ]2 + [ y – y0 ]2 = cmoet c ≥ 0

In dat geval,

een cirkel met middelpunt (x0 , y0 ) en straal √ c



Oefening 9Stellen de volgende vergelijkingen een cirkel voor?Zo ja, geef dan het middelpunt en de straal.

(a) x 2 + y 2 = –9 (f) x 2 + y 2 + 2x = 0

(b) x 2 + y 2 = 0 (g) x 2 + y 2 + 2x – 4y = 4

(c) x 2 + y = 5 (h) – x 2 – y 2 + 4x – 6y = 4

(d) (x – 1)2 + y 2 = 4 (i) 3x 2 + 3y 2 + 24x – 6y – 15 = 0

(e) (x + 1)2 + ( y – 2)2 = 3 (j) – 2x 2 – 2y 2 – 8x + 6y – 100 = 0


Oefening 10

Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt

van de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 – 2 x – 2 y – 2 = 0 gaat

en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + 2 y = 0 .

1

Opfriscursus wiskunde – dag 2.

1. Hieronder vind je het functievoorschrift van zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies.

��(�)= �� − 5� + 6 ; ��(�)= �� − 4� + 4 ; ��(�)= �� − 4� + 6 ;

��(�)= −�� + 5� − 6 ; ��(�)= −�� + 4� − 4 ; ��(�)= −�� + 4� − 6 .

2. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op:

a. 0)1219(211 2 xx ;

b. 2

1

6

172 xx ;

c. 37134 22 xxxx ;

d. 0)92)(36( xx ;

e. �� ≤ 100 ;

f. )3(5)3(3 xxx ;

g. (2� + 3)� > 9� + 54 .

3. Gegeven zijn de functies �(�)= 2� + 4 en �(�)= �� + 4� + 5 .

a. Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies.

b. Teken de grafiek van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen.

4. Bepaal de getallen b en c in de vergelijking y = x2 + b x + c van de functie f zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in 4.

5. De functie �(�)= �� + 2� + � − 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p.

6. Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 € per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van meer dan 100 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling (dus niet alleen voor de extra liters) met 0.01 € verlaagd.

a. Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO (in euro) van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn.

b. Maak een grafiek van de functie TO(x).

c. Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale inkomsten TO van de wijnhandelaar maximaal?

d. Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van een bestelling opdat zijn totale ontvangsten positief zouden blijven?

2

7. Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 € per persoon. Om meer mensen te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer (dus niet alleen voor de nieuwe deelnemers) verlaagd met 5 € telkens als zich één persoon extra aanmeldt (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn).

a. Bij welk aantal deelnemers zijn de totale onvangsten van het reisbureau maximaal?

b. Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven?

8. Een firma van elektronische onderdelen verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald onderdeel tegen 15 € per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 € verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een maximale omzet te realiseren?

9. Stellen de volgende vergelijkingen een cirkel voor? Indien ja, geef het middelpunt en de straal.

a. 2 2 9 x y

b. 2 2 0 x y

c. 2 5 x y

d. 2 21 4 x y

e. 2 2

1 2 3 x y

f. 2 2 2 0 x y x

g. 2 2 2 4 4 x y x y

h. 2 2 4 6 4 x y x y

i. 2 23 3 24 6 15 0 x y x y

j. 2 22 2 8 6 100 0 x y x y

10. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking

022222 yxyx gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 02 yx .

3

Oplossingen

1.

2. a. 11

6,4 21 xx ;

b. 3,6

121 xx ;

c. geen oplossingen;

d.

2,

9

2x ;

e. 10,10x ;

f.

3,

3

5x ;

g. � ∈ �−∞, −��

�� ∪ ]3, +∞[ .

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5

y

x

f1

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5

y

x

f4

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5

y

x

f2

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5

y

x

f5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 1 2 3 4 5

y

x

f3

-4

-3

-2

-1

00 1 2 3 4 5

yx

f6

2

3. a. 2,1

b.

4. 19,8 cb

5. 2

3p

6. a. 2

7.5 als 0 100

0.01 8.5 als 100

x xTO

x x x

b.

c. 425x , de totale ontvangsten van de handelaar zijn maximaal bij een bestelling van 425 liter.

d. 850x , bestellingen van 850 liter of meer zijn dus niet toegelaten.

-4

0

4

8

-4 -2 0

y

x

g

f

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

0 200 400 600 800 1000

TO

x

3

7. a. De totale ontvangsten van het reisbureau zijn maximaal bij 50 deelnemers.

b. Het aantal deelnemers moet kleiner zijn dan 100.

8. 12.5 €

9. a. geen cirkel

b. cirkel met middelpunt (0,0) en straal 0, d.i. het punt 0,0

c. geen cirkel

d. cirkel met middelpunt (1,0) en straal 2

e. cirkel met middelpunt (− 1,2) en straal √3

f. cirkel met middelpunt (− 1,0) en straal 1

g. cirkel met middelpunt (− 1,2) en straal 3

h. cirkel met middelpunt (2, − 3) en straal 3

i. cirkel met middelpunt (−4,1) en straal √22

j. geen cirkel

10. 12 xy

1Exponentiële en logaritmische functies



exponentiële en

logaritmische functies



breng een rekenmachine

mee naar de les

( om logaritmen te berekenen )


Merk op: “+ 3% van” wordt wiskundig “ ”

Voorbeeld

1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van

3% per jaar

■ over 1 jaar zal men beschikken over

1000 + ( 3% van 1000 ) =

Machten van getallen


Voorbeeld


3% per jaar

1030 + ( 3 % van 1030 ) =



■ over 1 jaar zal men beschikken over euro



Voorbeeld


3% per jaar

■ over 1 jaar zal men beschikken over euro



1060.90 + ( 3 % van 1060.90 ) =


■ over 3 jaar zal men beschikken over 1000 (1.03 )3 euro

Voorbeeld


3% per jaar




1000 (1.03 ) ( 1.03) ( 1.03 ) . . . ( 1.03 )


Merk op: “+ 3% van” wordt wiskundig “maal 1.03”



Terminologie

ar leest men als “de r -de macht van a”

a heet het grondtal

r heet de exponent

a–n =

a = 1n a =

mnen

Definitie

Als a een positief reëel getal en n en m natuurlijke getallenzijn,

an = a a a . . . an keer

en a0 =


dan


Oefening 1

Schrijf zonder exponenten

5–2 27

7–1 150

3 1000.132

– –

– –13


Rekenregels voor machten

Voor alle grondtallen a > 0 en b > 0

en voor alle exponenten r en s geldt :

ar as =

=ar

as

ar =s

a b =r a

b

r

=en

MAAR . . . (a + b )r ≠ ar + br !!!!!

en (a – b )r ≠ ar – br !!!!!


Oefening 5

Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x

x0.53

x2 √ x3 1

x0.25

6 x3 √ x

√ x34

Oefening 6

Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen

x2 y3 4 x y x y23

12

34

13

xy z

2 yx z

2 zx y

2 2

x – y12

12



Voorbeeld

Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13 .

Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet . Op een

bepaald ogenblik zien wij hem 1024 euro inzetten . Hoeveel keer

is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen ?

Antwoord

■ de eerste inzet bedraagt 1 euro

■ 1 keer niet uitgekomen de inzet wordt euro



■ m keer niet uitgekomen de inzet wordt euro

.

.

.

Logaritmen


Antwoord

er wordt dus gevraagd : bepaal m zodat 2m = 1024

welnu ,

1024 = m =

Besluit : nummer 13 is reeds keer niet uitgekomen !

nieuwe bewerking: “de exponent plukken bij grondtal 2 ”

LogaritmenVoorbeeld

Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13 .

Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet . Op een

bepaald ogenblik zien wij hem 1024 euro inzetten . Hoeveel keer

is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen ?



lees : de logaritme van x bij grondtal g is m

of kortweg : de g – logaritme van x is m

Logaritmen

Definitie

Als g en x positieve getallen zijn en g ≠ 1 ,

dande logaritme van het getal x bij grondtal g

= de macht waartoe men g moet verheffen

om x te vinden

Formeel : g log x = m gm = x

Voorbeeld : 2 log 1024 = want


praktisch: schrijf x = g??

zeg x = gm

dan g log x = m

gevraagd: g log x = ??

Te onthouden !!!!!

Definitie

Als g en x positieve getallen zijn en g ≠ 1 ,

dande logaritme van het getal x bij grondtal g

= de macht waartoe men g moet verheffen

om x te vinden

Formeel : g log x = m gm = x

Logaritmen



Oefening 2

Bereken ( indien mogelijk ) uit het hoofd

2 log 8

2 log 32

2 log 1

2 log (–2)

5 log 1

2 log 0

3 log 10

2 log 18

2 log √ 2 54

2 log 1

√ 23

log 913




Bijzondere grondtallen

■ grondtal g = 10

dan spreekt men van de decimale of de Briggse logaritme

Notatie : 10 log = log

Voorbeeld: log 10000 = 10 log 10000

=

Voorbeeld:

■ grondtal g = e = 2.71828 . . . het getal van Euler

dan spreekt men van de natuurlijke of de Neperiaanse log.

Notatie : e log = ln

1

e3ln

1

e3e log= =


Oefening 3

Bereken met behulp van een rekenmachine

log 1000 ln 3 ln e

log 2 ln 0.25 log e

Oefening 4

Bereken uit het hoofd

log 0.001 log 1012 ln √e

log 1 000000 ln 1 ln –1e



Rekenregels voor logaritmen

Voor elk grondtal g > 0 en g ≠ 1

en voor alle positieve getallen x en y

en voor elke exponent r geldt :

g log (x y ) =

g log (x r ) =

g log = xy


Eigenschap

Voor elk grondtal g IR0 en g ≠ 1

geldt dat

+

g log x =

Bewijs

noem g log x = m

d.w.z. x =

en dus ln x = ln ( )

of nog ln x =

of m.a.w. g log x =

zodat =ln xln g


Exponentiële vergelijkingen

Voorbeeld

Een kapitaal van 10000 euro staat uit aan een samengestelde

interest van 10% per jaar . Hoe lang duurt het vooraleer het

kapitaal verdubbeld is?


10000 + ( 10 % van 10000 ) = 10000 + (0.10) 10000

= 10000 (1) + 10000 (0.10)

= 10000 (1 + 0.10 )

= 10000 (1.10 )

= 11000 euro

Herinner u: “+ 10% van” wordt wiskundig “maal 1.10”

Antwoord

Exponentiële vergelijkingen

Voorbeeld

Een kapitaal van 10000 euro staat uit aan een samengestelde

interest van 10% per jaar . Hoe lang duurt het vooraleer het

kapitaal verdubbeld is?

Antwoord

■ over m jaar zal men beschikken over 10000 (1.10 )m euro

.

.

.

10000 ( 1.10 )1 euro

■ over 2 jaar zal men beschikken over 10000 ( 1.10)2 euro

■ over 3 jaar zal men beschikken over 10000 ( 1.10)3 euro


gevraagd : bepaal m zodat 10000 (1.10 )m =



Oefening 7

Los de volgende vergelijkingen op .

Welke vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen ?

20 (1.03) t = 30

12 (0.97)x – 8 (1.01)x = 0

10 g17 = 50

5 (1.005)12 t – 6 = 3 (1.07) t + 2

15 e3t = 47




Oefening 8

(a) Hoe lang moet een bedrag van 10000 euro belegd worden

aan 5 % per jaar opdat het zou aangroeien tot 15000 euro ?

(b) Welk bedrag moet men beleggen aan 5 % per jaar opdat

het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot 15 000 euro ?

(c) Aan welke rentevoet moet men een bedrag van 10 000 euro

beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot

15 000 euro ?

(d) Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële

vergelijkingen ?


Oefening 9

In 2018 bedroeg het BBP (Bruto Binnenlands Product ) van

de Verenigde Staten van Amerika 20494 miljard USD met

een jaarlijkse groei van 2.9%. Het BBP van China daarentegen

bedroeg toen 13608 miljard USD, maar de jaarlijkse groei

was 6.6%. In de veronderstelling dat de jaarlijkse groei van

het BBP in beide landen constant blijft, wanneer zal het BBP

van China dan gelijk zijn aan dat van de Verenigde Staten?

1


1. Schrijf zonder exponenten (eventueel wel met wortels) en bereken (uit het hoofd of met je rekenmachine)

a. 25

b. 17

c. 3

23

d. 1

327

e. 015

f. 0.1100

2. Bereken (zo mogelijk) uit het hoofd

a. 2 log8

b. 2 log32

c. 2 1log

8

d. 2 log1

e. 5 log1

f. 2 log( 2)

g. 2 log0

h. 42 5log 2

i. 2

3

1log

2

j. 1

3 log9

k. 3 log10

3. Bereken met behulp van je rekenmachine

a. log1000 b. log 2

c. ln3

d. ln 0.25

e. ln e

4. Bereken uit het hoofd:

a. log0.001

b. log1000 000

c. 12log10

d. ln1

e. ln e

f. 1

lne

5. Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x.

a. 3

0.5x

b. 2 3x x

c. 6

0.25

1

x

d. 3

4 3

x x

x

6. Vereenvoudig:

a. 4

2 3x y

b. 2 11 3

3 32 4x y x y

c.

2 22x y z

yz xz xy

d.

2

2

1

2

1

yx

2

7. Los de volgende vergelijkingen op en controleer de oplossing door ze in de vergelijking in te vullen. Welke van deze vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen?

a. 20 1.03 30t

b. 12 0.97 8 1.01 0x x

c. 1710 50g

d. 12 6 25 1.005 3 1.07t t

e. 315 47te

8. Als een bedrag 0B belegd wordt op samengestelde intrest tegen een rente van p% per jaar, dan is dat

bedrag na t jaar aangegroeid tot 0 1100

tp

B B

.

a. Hoe lang moet een bedrag van € 10 000 belegd worden aan 5% per jaar opdat het zou aangroeien tot € 15 000?

b. Welk bedrag moet men beleggen aan 5% per jaar opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot € 15 000?

c. Aan welke rentevoet moet men een bedrag van € 10 000 beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot € 15 000?

d. Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen?

9. In 2018 bedroeg het BBP ( Bruto Binnenlands Product ) van de Verenigde Staten van Amerika 20 494 miljard USD met een jaarlijkse groei van 2.9 %. Het BBP van China daarentegen bedroeg toen 13 608 miljard USD, maar Chinese economie groeide jaarlijks wel met 6.6 %. In de veronderstelling dat de jaarlijkse groei van het BBP in beide landen sinds 2018 constant zou blijven, wanneer zal het BBP van China dan gelijk zijn aan dat van de Verenigde Staten?

3

Oplossingen

1. a. 1

0.0425

b. 1

0.1428...7

c. 1

0.1924...27

d. 1

0.3333...3

e. 1

f. 10 100 1.5848...

2. a. 3

b. 5

c. 3

d. 0

e. 0

f. niet bepaald

g. niet bepaald

h. 5

4

i. 1

3

j. 2

k. kan niet uit het hoofd uitgerekend worden

3. a. 3

b. 0.3010…

c. 1.0986…

d. 1.3862...

e. 1

4. a. 3

b. 6

c. 12

d. 0

e. 1

2

f. 1

5. a. 1.5x

b. 7

3x

c. 1.5x

d. 2.75x

6. a. 8 12x y

b. 517

612x y

c. 2 2 2

1

x y z

d. yyxx 2

1

2

1

2

7. a. 13.7172...t , exponentiële vergelijking

b. 10.0338...x , exponentiële vergelijking

c. 1.0992...g , geen exponentiële

vergelijking

d. 44.2592...t , exponentiële vergelijking

e. 0.3806...t , exponentiële vergelijking

8. a. 8.31 jaar

b. € 9 208.70

c. 4.14%

d. alleen de eerste

9. 11.6 jaar later, dus midden 2030

Rekenkundige en meetkundige rijen 1



Rijen en partieelsommen



■ bij storting

■ over 1 jaar geeft dit

Besluit : dit genereert een rij getallen

10000 , 10200 , 10404 , 10612.08 , . . . , 10000 (1.02)n , . . .

Kapitaal op samengestelde interest

......

■ over n jaar geeft dit Kn = 10000 (1.02 )n €

VoorbeeldEen kapitaal van 10000 euro staat uit aan een samengestelde

interest van 2% per jaar .

K1 = 10000 ( 1.02) = 10200 €

■ over 2 jaar geeft dit K2 = 10000 (1.02 )2 = 10404 €

■ over 3 jaar geeft dit K3 = 10000 (1.02 )3 = 10612.08 €

heeft men K0 = 10000 (1.02 )0 = 10000 €

1

rij

DefinitieEen meetkundige rij met reden q is een rij getallen

t0 , t1 , t2 , t3 , . . . , tn , tn +1 , . . .

waarbij t0

t1 = t0 q

t2 = t1 q

t3 = t2 q...

tn = tn –1 q

Meetkundige rij

Terminologietn = t0 qn noemt men de algemene term van de rij

t0 noemt men de beginterm



Oefening 1

Een wagen kost bij aankoop 20000 EUR . Elk jaar verliest de

wagen 20% van zijn waarde . Noteer de waarde van de wagen

na n jaar met Wn .

(a) Druk Wn uit in functie van n .

(b) Welk soort rij vormen de getallen W1 , W2 , W3 , . . . ?


Oefening 4

Een blad papier heeft een dikte van 0.1 mm . We vouwen het

blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel . Stel de

dikte van het blad na n keer vouwen voor door dn .

(a) Druk dn uit in functie van n .

(b) Welk soort rij vormen de getallen d1 , d2 , d3 , . . . ?

Oefening 5

De rij t0 , t1 , t2 , . . . is een meetkundige rij met reden 3 .

Wat kan je dan zeggen over de rij t0 , t2 , t4 , . . . ?



Oefening 3

Het BBP (Bruto Binnenlands Product ) van een land neemt

elk jaar met 2.5% toe . In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard

EUR . Noteer het BBP ( in eenheden van 1 miljard EUR ) in

jaar n met Bn .

(a) Druk Bn uit in functie van n .

(b) Welk soort rij vormen de getallen B1 , B2 , B3 , . . . ?




Kapitaal op enkelvoudige interest

■ bij afsluiting is men de bank 10000 euro verschuldigd

■ over 1 jaar is men de bank

VoorbeeldEen lening van 10000 euro staat open aan een enkelvoudige


verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft .

K1 = 10000 + ( 2% van 10000 )

=

enkelvoudigeinterest






K2 = 10200 + ( 2% van 10000 )■ over 2 jaar is men de bank

K1 = 10000 + 200 = 10200 €

verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft .



■ over 1 jaar geeft dit K1 = 10000 + 200 = 10200 €

■ over 2 jaar

Kapitaal op enkelvoudige interestVoorbeeldEen lening van 10000 euro staat open aan een enkelvoudige


■ over 3 jaar is men de bank

K3 = 10400 + ( 2% van 10000 )

verschuldigd.

geeft dit K2 = 10000 + 2 (200) = 10400 €



■ over 1 jaar geeft dit K1 = 10000 + 200 = 10200 €

■ over 2 jaar geeft dit K2 = 10000 + 2 (200) = 10400 €




K3 = 10000 + 3 (200) = 10600 €

K1 = 10000 + 1 (200) = 10200 €

heeft men K0 = 10000 + 0 (200) = 10000 €

......

■ over n jaar geeft dit Kn = 10000 + n (200) €

Besluit : dit genereert een rij getallen

10000 , 10200 , 10400 , 10600 , . . . , 10000 + n (200) , . . .

rij


DefinitieEen rekenkundige rij met verschil v is een rij getallen

t0 , t1 , t2 , t3 , . . . , tn , tn +1 , . . .

waarbij t0

t1 = t0 + v

t2 = t1 + v

t3 = t2 + v...

tn = tn –1 + v

Rekenkundige rij

Terminologietn = t0 + nv noemt men de algemene term van de rij

t0 noemt men de beginterm




Oefening 2

Een machine in een firma kost bij aankoop 20000 EUR .

Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar .

Elk jaar wordt hetzelfde bedrag afgeschreven . Noteer

de waarde van de machine na n jaar met Wn .

(a) Druk Wn uit in functie van n .

(b) Welk soort rij vormen de getallen W1 , W2 , W3 , . . . ?


Oefening 7

Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke

maand eenzelfde bedrag betaald . Soms is het echter

interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de

maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij

vormen . Veronderstel dat de betalingen voor een zekere

lening gespreid worden over 240 maanden . De eerste

maand betaalt men 855 EUR . Elke maand daalt het te

betalen bedrag met 2 EUR .

(a) Bereken hoeveel men in de 61ste maand moet betalen .

(b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen .


Partieelsom van een rekenkundige rij

VoorbeeldOm een lening af te betalen moet iemand aan het eind van elke maand

een bedrag aan de bank storten . Deze maand is dit bedrag 1000 € en

voor elke volgende maand wordt het bedrag verminderd met 20 € .Wat is het totaal bedrag dat die persoon na 2 jaar zal betaald hebben?

Antwoord■ deze maand is het bedrag t0 = 1000 €

■ volgende maand is het bedrag t1 = 1000 – 1 (20 ) = 980 €

■ over 2 maanden is het bedrag t2 = 1000 – 2 (20 ) = 960 €

■ over 3 maanden is het bedrag t3 = 1000 – 3 (20 ) = 940 €

■ over 23 maanden is het bedrag t23 = 1000 – 23 (20) = 540 €

......

...

Te onthouden

de som van n opeenvolgende termen in een rekenkundige rij

wordt gegeven door de formule

Sn = t1 + t2 + t3 + . . . + tn – 1 + tn =

d.i. de som van de eerste en de laatste term

maal het aantal termen gedeeld door 2

( t1 + tn ) n2

Voorbeeld

1000 + 980 + 960 + . . . + 560 + 540 =



Oefening 7

Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke

maand eenzelfde bedrag betaald . Soms is het echter

interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de

maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij

vormen . Veronderstel dat de betalingen voor een zekere

lening gespreid worden over 240 maanden . De eerste

maand betaalt men 855 EUR . Elke maand daalt het te

betalen bedrag bedrag met 2 EUR .

(a) Bereken hoeveel men in de 61ste maand moet betalen .

(b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen .


OplossingHet bedrag van de maandelijkse betaling voor de lening

■ in maand 1 is t1 = 855 = 855 €

■ in maand 2 is t2 = 855 – 2 = 853 €

■ in maand 3 is t3 = 855 – (2) 2 = 851 €

■ in maand 4 is t4 = 855 – (3) 2 = 849 €

■ in maand n is tn = 855 – (n – 1) 2

■ in maand 240 is t240 =

De gevraagde partieelsom is

855 + 853 + 851 + . . . + =

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Partieelsom van een meetkundige rijVoorbeeldEen persoon beslist op zijn 20 ste verjaardag om aan pensioensparente doen . Van zijn 20 ste tot en met zijn 65 ste verjaardag zal hij 1000 €storten op een rekening die 10 % samengestelde interest opbrengt .Welk bedrag zal er net na zijn 65 ste verjaardag op die rekening staan?

Antwoord■ de storting op 20 ste verjaardag brengt 1000 (1.10 ) 45 € op

■ de storting op 21 ste verjaardag brengt 1000 (1.10 ) 44 € op



■ de storting op 65 ste verjaardag brengt 1000 € op

......

EigenschapAls q ≠ 1, dan

1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn = 1 – qn + 1

1 – q

Bewijs

1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn

= 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn– 1 + qn



Voorbeeld

1000 ( 1 + 1.10 + 1.102 + 1.103 + . . . + 1.1044 + 1.1045 )

Te onthouden

de som van de n+1 eerste termen van de meetkundige rij

1 , q , q2 , q3 , q4 , . . . , qn–1 , qn

wordt gegeven door de formule

Sn = 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn–1 + qn = 1 – qn + 1

1 – q


Oefening 6Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de

formule voor de partieelsommen van een rekenkundige of een

meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule .

(a) 1 + 2 + 3 + . . . + 100

(b) de som van de eerste 20 termen van de rij 3 , 9 , 15 , 21 , . . .

(c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5 , 2.5 , 1.25 , . . .

(d) 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + . . . + 0.56

(e) 1 – 0.5 + 0.25 – 0.125 + . . . + 0.56

(f) 1 + 1.1 + 1.11 + 1.111 + . . . + 1.111111111

(g) 1000 + 995 + 990 + . . . + 100

(h) 4 + 12 + 36 + . . . + 236196



Het sommatieteken

Alle termen in de som

S = 1 + 1.10 + 1.102 + 1.103 + . . . + 1.1044 + 1.1045

zijn van dezelfde vorm (d.w.z. hebben dezelfde structuur ) ,

namelijk

1.10k waarbij k = 0, 1, 2, . . . , 45

Dit wordt verkort genoteerd als

Terminologie: ∑ noemt men het sommatieteken

∑ 1.10k

k = 0

45

S =


Het sommatieteken

Alle termen in de som

S = 1 + 1.10 + 1.102 + 1.103 + . . . + 1.1044 + 1.1045

zijn van dezelfde vorm (d.w.z. hebben dezelfde structuur ) ,

namelijk

1.10k waarbij k = 0, 1, 2, . . . , 45

Dit wordt verkort genoteerd als

Terminologie: ∑ noemt men het sommatieteken

∑ 1.10k

k =

45

S =



Oefening 8Schrijf de volgende sommen uit oefening 6 met het sommatieteken .

(a) 1 + 2 + 3 + . . . + 100

(b) de som van de eerste 20 termen van de rij 3 , 9 , 15 , 21 , . . .

(c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5 , 2.5 , 1.25 , . . .

(d) 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + . . . + 0.56

(e) 1 – 0.5 + 0.25 – 0.125 + . . . + 0.56

(f) 1 + 1.1 + 1.11 + 1.111 + . . . + 1.111111111

(g) 1000 + 995 + 990 + . . . + 100

(h) 4 + 12 + 36 + . . . + 236196


Oefening 9Bereken ( indien mogelijk ) de volgende sommen :

k = 1

2075k∑

l = 3

192l – 1∑ 6

j = 0

405 – j

3∑

i = 1

100

∑ (2 i + 1)

m = 1∑ ( –1)mn


1. Een wagen kost bij aankoop 20 000 EUR. Elk jaar verliest de wagen 20% van zijn waarde. Noteer de waarde van de wagen na n jaar met nW .

a. Druk nW uit in functie van n.

b. Welk soort rij vormen de getallen 0W , 1W , 2W , …?

2. Een machine in een firma kost bij aankoop 20 000 EUR. Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar. Elk jaar wordt een zelfde bedrag afgeschreven. Noteer de waarde van de machine na n jaar met

nW .

a. Druk nW uit in functie van n.

b. Welk soort rij vormen de getallen 0W , 1W , 2W , …?

3. Het BBP van een zeker land neemt elk jaar met 2.5% toe. In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard EUR. Noteer het BBP (in eenheden van 1 miljard EUR) in jaar n met nB .

a. Druk nB uit in functie van n.

b. Welk soort rij vormen de getallen 1B , 2B , 3B , …?

4. Een blad papier heeft een dikte van 0.1 mm. We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel. Stel de dikte van het blad na n keer vouwen voor door nd .

a. Druk nd uit in functie van n.

b. Welk soort rij vormen de getallen 0d , 1d , 2d , …?

5. De rij 0t , 1t , 2t , … is een meetkundige rij met reden 3. Wat kan je dan zeggen over de rij 0t , 2t , 4t ,

…?

6. Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule.

a. 1 2 3 ... 100

b. de som van de eerste 20 termen van de rij 3, 9, 15, 21, …

c. de som van de eerste 10 termen van de rij 5, 2.5, 1.25, …

d. 61 0.5 0.25 0.125 ... 0.5

e. 61 0.5 0.25 0.125 ... 0.5

f. 1 1.1 1.11 1.111 ... 1.111111111

g. 1000 995 990 ... 100

h. 4 12 36 ... 236196

7. Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 240 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag met 2 EUR.

a. Bereken hoeveel men in de 61ste maand moet betalen.

b. Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen.

8. Schrijf de sommen uit oefening 6 met het sommatieteken:

a. 1 2 3 ... 100

b. de som van de eerste 20 termen van de rij 3, 9, 15, 21, …

c. de som van de eerste 10 termen van de rij 5, 2.5, 1.25, …

d. 61 0.5 0.25 0.125 ... 0.5

e. 61 0.5 0.25 0.125 ... 0.5

f. 1 1.1 1.11 1.111 ... 1.111111111

g. 1000 995 990 ... 100

h. 4 12 36 ... 236196

9. Bereken (indien mogelijk) de volgende sommen:

a.

100

1

)12(i

i

b.

20

1 5

7

kk

c.

40

0 3

5

j

j

d.

19

3

126l

l

e.

n

m

m

1

)1(

Oplossingen

1. a. nnW 8.000020

b. meetkundige rij

2. a. nWn 50000020

b. rekenkundige rij

3. a. 1025.1600 nnB (let op: 600 is de term met rangnummer 1)

b. meetkundige rij

4. a. nnd 21.0

b. meetkundige rij

5. Deze rij is ook een meetkundige rij en heeft reden 9.

6. a. 5050

b. 1200

c. 9.990 234 375

d. 1.984 375

e. 0.671 875

f. geen partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij

g. 99 550

h. 354 292

7. a. 735 EUR b. 147 840 EUR

8. a.

100

1k

k

b.

20

1

36k

n

c.

10

1

15.05

k

k

d.

6

0

5.0k

k

e.

6

0

5.0k

k

f. gaat niet zo gemakkelijk

g.

180

0

51000k

k

h.

10

0

34k

k

9. a. 12 200

b.

20

5

11

4

7

c. -205

d. 35

66 539

e.

0 als n oneven is

1 als n even is

Matrices en hun bewerkingen 1



Matrices en

hun bewerkingen




Tabellen en matrices

Voorbeeld 1

Een boekhandel heeft filialen in verschillende steden .

De verkoop van vorige maand in de respectievelijke filialen

wordt samengevat in de volgende tabel:

strips literatuur reisgidsen wetenschap hobby

Antwerpen 45 243 32 23 68

Brussel 76 216 54 18 65

Gent 37 197 45 31 59

Hasselt 51 201 25 21 77

Leuven 63 183 48 37 48



Voorbeeld 2

Een bank biedt beleggingsproducten aan met verschillende

risicoprofielen . Het aantal producten in elke risicocategorie

wordt samengevat in de volgende tabel:

aandelen obligaties fondsen

hoog risico 6 1 3

gematigd risico 3 2 3

laag risico 1 5 3




Voorbeeld 3

Een meubelbedrijf heeft twee distributiecentra van waaruit

vijf winkels worden bevoorraad . De volgende tabel geeft

de transportkosten ( in euro ) weer :

winkel A winkel B winkel C winkel D winkel E

DC 1 123 142 175 93 78

DC 2 234 86 150 102 111



Voorbeeld 4

De jaarlijkse productie van de respectievelijke continenten

vind een afzetmarkt op de volgende manier:

naarEuropa Amerika Azië

van Europa 50 % 30 % 20 %

Amerika 20 % 60 % 20 %

Azië 10 % 20 % 70 %



Het wiskundig concept “matrix”

Terminologie

Een m x n – matrix A is een ordening van mn getallen aijin de vorm

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n

ai1 ai2 . . . aij . . . ain

am1 am2 . . . amj . . . amn

. . .

. . .

. . .

. . .. . .

. . .

. . .

. . .

A =

De getallen aij noemt men de van de matrix A


Voorbeelden

1 2 3

4 5 6

5 8

7 – 3

2 9

6 4

8 2

1 2 3 4

1

2

3

4



Oefening 1

Beschouw de matrix A =

Wat zijn de dimensies van deze matrix ?

Bepaal de componenten a13 , a21 en a44 van A .

5 –3 8 6

–2 7 –1 9

Oefening 2

Construeer de 4 x 3 – matrix A met componenten a12 = 0 ,

a23 = 1 , a33 = 3 , a41 = 7 , en waarbij de overige componenten

voldoen aan aij = 2 i – j .




1 2

3 4

1 2

3 4

Definitie: gelijke matrices

A = B dezelfde afmetingen en " i , j aij = bij

Bijvoorbeeld,

1 2

3 4

1 3

2 4

1 2 3 4

1

2

3

4

1 2

3 4

e0 2.00

– 3 log 819

3


Oefening 3

Voor welke waarden van de parameters u , v , w en t is

3 t – 1 t 2v

2 t u u + 1 t + w=

Oefening 4

Voor welke waarden van de parameters u , v en w is

u2 4 u + 6 2 log v

9w √u2 8(3w) + 9 –u=



Oefening

De studentenpopulatie in een bacheloropleiding ziet er als

volgt uit: in het eerste jaar zijn er 522 studenten ingeschreven ,

436 in het tweede jaar studenten, en 385 in het derde jaar .

Het aantal generatiestudenten in deze jaren zijn respectievelijk

475 , 283 en 194 . Stel deze gegevens voor in matrixvom .


Definitie: de getransponeerde matrix

C =

1 3 5

3 7 9

5 9 11

CT =

Notatie: AT

1 2 3

4 5 6B = BT =

3

A = 6

9

AT =



Bewerkingen met matrices

Voorbeeld

Een multinational laat de volgende kwartaalcijfers optekenen:

Voor volgend jaar stelt men een groei van deze cijfers met 15%

voorop . Hoe zullen de kwartaalcijfers er dan moeten uitzien?

kwartaal 1 kwartaal 2 kwartaal 3 kwartaal 4

Amerika 463 438 467 452

Azië 376 342 375 385

Europa 521 493 509 547

Oceanië 145 139 152 113

in kEUR


1 2 3

4 5 6A =

1 2 3

4 5 6 5A = 5 =

1. scalair veelvoud


In het bijzonder,

0A =

1A =

( –1)A =



2 jaargeleden:

vorig jaar:

Voorbeeld (vervolg )

Een multinational laat de volgende kwartaalcijfers optekenen :

(b) Wat zijn de gedetailleerde resultaten van deze multinational

over de twee jaren samen?

(c) Hoe zijn de kwartaalcijfers geëvolueerd over deze twee jaren ?


Amerika 458 449 462 454

Azië 343 339 368 395

Europa 502 487 510 523

Oceanië 123 119 133 142

in kEUR


Amerika 463 438 467 452

Azië 376 342 375 385

Europa 521 493 509 547

Oceanië 145 139 152 113

in kEUR


semester 1 semester 2

Europa 550 560

Amerika 480 460

Azië 370 380

2 jaar geleden vorig jaar

over de vorige 2 jaren samen: evolutie over de vorige 2 jaar:

Voorbeeld (vereenvoudigde opgave )

Een multinational laat de volgende resultaten ( in kEUR) optekenen:


Europa 570 530

Amerika 470 480

Azië 400 390


Europa

Amerika

Azië


Europa

Amerika

Azië



1. scalair veelvoud


aftrekking

2. optelling

1 2 3

4 5 6

5 – 8 7

– 2 3 – 9=+

1 2 3

4 5 6

5 – 8 7

– 2 3 – 9=–


A =

2 – 7

– 3 8

0 1

Oefening 5

Beschouw de matrices

en

Bereken 6 A , – 9 B , A + B , 2 A – 3 B , A + C en B – CT .

B =

– 4 9

6 0

5 – 1

en1 – 2 3

– 4 5 – 6C =


Oefening 6

De volgende twee tabellen geven de verkoopscijfers ( in duizend-

tallen ) weer die ACCO in 2010 en in 2015 gerealiseerd heeft in

haar respectievelijke vestigingen :

In 2011 zag ACCO de verkoopscijfers in al haar vestigingen dalen

met 10% , maar door exclusiviteitscontracten af te sluiten met de

universiteiten in haar vestigingsplaatsen kan zij in 2016 de verkoop

met de helft doen toenemen ten opzichte van 2015 . Beschijf de

evolutie van de verkoop tussen 2011 en 2016 .

2010 Leuven Gent Antwerpen

cursussen 70 50 30

kantoorben. 400 150 100


cursussen 100 80 40

kantoorben. 500 250 150


Oefening 7

Een speelgoedfabricant maakt puzzels , bord- en kaartspellen .

De winst ( in kEUR ) die zij op elk van deze spellen maakt wordt

weergegeven door de kolommatrix W = ( 100 200 60 )T

en de productie kosten (ook in kEUR ) door de kolommatrix

K = ( 60 80 40 )T . Na een grondig marktonderzoek becijfert

zij dat , indien de productiekosten ongewijzigd blijven , zij haar

winst kan verdubbelen door via een andere prijsstrategie haar

opbrengst op te krikken tot 80 % van de omzet van haar

grootste concurrent. Wat is dan de omzet van die concurrent ?



Voorbeeld

Het wekelijkse boodschappenlijstje van de familie Kiekeboe en

dat van de familie Van Der Neffe ziet er als volgt uit :

familie Kiekeboe

droge voeding 4 stuks

vlees & vis 7 stuks

groenten & fruit 9 stuks

drank 5 stuks

was - & poetsproducten 4 stuks

huishoudmateriaal 1 stuks

familie Van Der Neffe

droge voeding 7 stuks

vlees & vis 5 stuks

groenten & fruit 6 stuks

drank 9 stuks

was - & poetsproducten 5 stuks

huishoudmateriaal 2 stuks

(a) Construeer een 6 x 2 – matrix die de kwantitatieve informatie

in de boodschappenlijstjes van beide families samenvat .


drogevoeding

vlees & vis groeten& fruit

drank was - & poets -

producten

huishoud -materiaal

Aldi 3.73 13.84 4.28 5.45 3.38 5.19

Carrefour 5.23 12.54 3.36 7.12 2.87 4.32

Delhaize 4.14 10.07 2.94 4.68 5.34 3.48

Match 6.33 9.94 5.18 6.25 4.73 2.88

(b) De familie Kiekeboe gaat winkelen bij Carrefour.

Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten?

(c) De familie Van Der Neffe daarentegen gaat winkelen bij Match .


(d) Bij welke winkelketen zou de familie Kiekeboe het goedkoopst

gediend zijn? En , de familie Van Der Neffe?

De gemiddelde prijzen (in € ) van basisproducten bij verschillende

supermarketketens wordt samengevat in de volgende tabel :



Oplossing

Aldi

Carrefour

Delhaize

Match

3.73 13.84 4.28 5.45 3.38 5.19

5.23 12.54 3.36 7.12 2.87 4.32

4.14 10.07 2.94 4.68 5.34 3.48

6.33 9.94 5.18 6.25 4.73 2.88

4 7

7 5

9 6

5 9

4 5

1 2

Kiekeboe V.D. Neffe

(b) De familie Kiekeboe gaat winkelen bij Carrefour.


antwoord: de familie Kiekeboe zal bij Carrefour

euro moeten betalen .


Oplossing

Aldi

Carrefour

Delhaize

Match

3.73 13.84 4.28 5.45 3.38 5.19

5.23 12.54 3.36 7.12 2.87 4.32

4.14 10.07 2.94 4.68 5.34 3.48

6.33 9.94 5.18 6.25 4.73 2.88

4 7

7 5

9 6

5 9

4 5

1 2

Kiekeboe V.D. Neffe

(c) De familie Van Der Neffe daarentegen gaat winkelen bij Match.


antwoord: de familie Van Der Neffe zal bij Match

euro moeten betalen .



1 3

1 – 2

1 – 1

1 2 3

4 5 6=

Algemeen: de ( i , j ) – de component van A B is

(AB )ij

=


3. vermenigvuldiging


Te onthouden

Als A een m x n – matrix is en B is een p x q – matrix ,

dan bestaat AB enkel en alleen indien

In dat geval

A B is dan een – matrix

Merk op: 1 3

1 – 2

1 – 1

1 2 3

4 5 6

6 – 4

15 – 4=



Oefening 8

Bereken alle mogelijke producten van de matrices met de hand

1 2

3 4

5 6

A =1 0 – 1

– 2 1 0B =, en

1 1

1 –1C =


Oefening 9

Bereken , indien mogelijk , de volgende matrixvermenigvuldigingen:

– 1 2

5 3

0 – 4

x

y 1 3 5

2

4

6

1 3 5

2

4

6

1 2

3 4

5 6

0 0

0 0

1 2

3 4

5 6

1 1

1 1

1 2

3 4

5 6

1 0

0 1

, ,

,,



–1 2

5 3

0 –4

x

y =

1 3 5

2

4

6

=

1 3 5

2

4

6

=

Oplossing


1 2

3 4

5 6

0 0

0 0=

1 2

3 4

5 6

1 1

1 1=

1 2

3 4

5 6

1 0

0 1=

Oplossing (vervolg )



Bijzondere matrices

0pxq =

0 0 . . . 00 0 . . . 0

0 0 . . . 0

.

.

....

.

.

.een p x q - nulmatrix

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0

0 0 . . . 1

.

.

....

.

.

..

..

een n x n - eenheidsmatrix

Eigenschap : 0pxq + A = A en A + 0pxq = A

0pxq A = 0pxq en A 0pxq = 0pxq

In A = A en A In = A


Rekenregels voor matrices

Voor alle getallen r , s IR en alle matrices A , B , C waarvoor

de bewerkingen gedefinieerd zijn, gelden de volgende rekenregels :

( r + s ) A = r A + s A r ( A + B ) = r A + r B

( r s ) A = r ( s A ) ( AT )T = A

( r A )T = r AT ( A + B )T = AT + BT

A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C )

( A B ) C = A ( B C ) ( r A ) B = r ( A B ) = A ( r B )

A ( B + C ) = A B + A C A ( r B + s C ) = r A B + s A C

( B + C ) A = B A + C A ( r B + s C ) A = r B A + s C A



Belangrijke opmerkingen

(a) AB ≠ BA in het algemeen

bv.1 2

3 4A =

0 1

1 0B =en

(b) AB = 0pxq A = 0pxr of B = 0rxq

bv.1 1

1 1A =

1 –1

–1 1B =en

X

(c) A2 = 0nxn A = 0nxn

bv.1 1

–1 –1 A =

X


(d) AB = AC en A ≠ 0pxq B = C

– 5 3

4 –1C =enbv.

1 2

2 4A =

1 –1

1 1B =en

BA = CA en A ≠ 0pxq B = C

dan A ≠ 02x2 en B ≠ C

maar1 2

2 4A B =

1 –1

1 1=

– 5 3

4 –1en

1 2

2 4A C = =

X

X



Oefening 10

A , B en C zijn vierkante matrices .

Is de volgende uitspraak juist of fout ?

Corrigeer de foute uitspraken .

( A + B )2 = A2 + 2 A B + B2

( A – B )2 = A2 – 2 A B + B2

A (B – C ) = A B – A C

( A + B ) ( A – B ) = A2 – B2


Oefening 11

Werkstudenten hebben de volgende studiegewoonten. Als hij /zij

vanavond studeert , dan is er 80% kans dat hij /zij morgenavond

ook zal studeren . Maar als hij /zij vanavond niet studeert , dan

geraakt hij /zij moeilijk terug in het studeerritme en is er 60%

kans dat hij /zij morgenavond ook niet zal studeren .

(a) Stel een matrixmodel op dat het studeergedrag van deze

studenten modelleert.

(b) In een schakeljaar zijn er 100 studenten ingeschreven .

Als er vanavond 70 studenten studeren , hoeveel studenten

zullen er dan morgenavond studeren? En hoeveel niet ?

(c) Hoeveel van deze 100 studenten hebben er gisterenavond

gestudeerd ?



Oefening 12

De demografische verdeling van een land is als volgt : 3 miljoen

inwoners zijn jonger dan 30 jaar , 5 miljoen hebben er een leeftijd

tussen 30 en 60 jaar , en 2 miljoen inwoners zijn ouder dan 60 jaar .

Door natuurlijke evolutie zijn deze aantallen continu in beweging .

Noteer met L1 de leeftijdscategorie van inwoners die jonger zijn

dan 30 jaar , met L2 de leeftijdsklasse van mensen tussen 30 en

60 jaar oud , en met L3 de leeftijdsgroep van burgers ouder dan

60 jaar . Over een periode van 30 jaar verandert de leeftijds -

structuur van dat land als volgt : door geboortes groeit de bevolking

aan met 0.8 eenheden per persoon uit L1 en met 0.1 eenheden

per persoon uit L2 , maar er zijn geen geboortes uit L3 . Anderzijds

vermindert het bevolkingsaantal over eenzelfde periode van 30 jaar


door sterftes en emigratie met 10 % in L1, met 30 % in L2 , en

met 100 % in L3 . Bovenop deze natuurlijke processen groeit de

bevolking van het land ook aan door immigratie . Over dezelfde

periode van 30 jaar komen er 198 000 personen bij in leeftijds -

categorie L1 , 66 000 in leeftijdsklasse L2 en 22 000 in L3 .

(a) Construeer een matrixmodel dat de evolutie van de bevolkings-

aantallen in elke leeftijdscategorie over een periode van 30 jaar

beschrijft .

(b) Hoe zal de leeftijdsverdeling van de bevolking er over 30 jaar

uitzien? En hoe over 60 jaar?



Nog veel moed bij het studeren,

succes bij de test , en vooral

heel veel succes bij de studies !!!!!


Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs — dag 5

1. Beschouw de matrix A =

(5 −3 8 6

−2 7 −1 9

).

Wat zijn de dimensies van deze matrix ?Bepaal de componenten a13 , a21 en a44 van A.

2. Construeer de 4 × 3 – matrix A met componenten a12 = 0 , a23 = 1 , a33 = 3 ,a41 = 7 , en waarbij de overige componenten voldoen aan aij = 2 i− j .

3. Voor welke waarden van de parameters u, v, w en t is(3 t− 1

2 t u

)=

(t 2 v

u + 1 t + w

).

4. Voor welke waarden van de parameters u, v en w is(u2 4

9w√u2

)=

(u + 6 2 log v

8 ( 3w ) + 9 −u

).

5. Beschouw de matrices

A =

2 −7

−3 8

0 1

en B =

−4 9

6 0

5 −1

en C =

(1 −2 3

−4 5 −6

).

Bereken 6A , −9B , A + B , 2A− 3B , A + C , en B − C T .

6. De volgende twee tabellen geven de verkoopscijfers ( in duizendtallen ) weer die ACCOin 2010 en in 2015 gerealiseerd heeft in haar respectievelijke vestigingen :


cursussen 70 50 30

kantoorbenodigdheden 400 150 100


cursussen 100 80 40

kantoorbenodigdheden 500 250 150

1

In 2011 zag ACCO de verkoopscijfers in al haar vestigingen dalen met 10% , maardoor exclusiviteitscontracten af te sluiten met de universiteiten in haar vestigings-plaatsen kan zij in 2016 de verkoop met de helft doen toenemen ten opzichte van2015. Beschijf de evolutie van de verkoop tussen 2011 en 2016.

7. Een speelgoedfabricant maakt puzzels, bord- en kaartspellen. De winst ( in kEUR )die zij op elk van deze spellen maakt, wordt weergegeven door de kolommatrix

W =(

100 200 60)T

en de productiekosten ( ook in kEUR ) door de kolommatrix

K =(

60 80 40)T

. Na een grondig marktonderzoek becijfert zij dat, indien deproductiekosten ongewijzigd blijven, zij haar winst kan verdubbelen door via eenandere prijsstrategie haar opbrengst op te krikken tot 80% van de omzet van haargrootste concurrent. Wat is dan de omzet van die concurrent ?

8. Bereken met de hand alle mogelijke producnten van de matrices

A =

1 2

3 4

5 6

, B =

(1 0 −1

−2 1 0

)en C =

(1 1

1 −1

).

9. Bereken, indien mogelijk, de volgende matrixvermenigvuldigingen : −1 2

5 3

0 −4

( x

y

),

(1 3 5

) 2

4

6

,

2

4

6

( 1 3 5)

,

1 2

3 4

5 6

( 0 0

0 0

),

1 2

3 4

5 6

( 1 1

1 1

),

1 2

3 4

5 6

( 1 0

0 1

).

10. A, B en C zijn vierkante matrices.Is de volgende uitspraak juist of fout ?Corrigeer de foute uitspraken.

(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(b) (A−B)2 = A2 − 2AB + B2

(c) A (B − C) = AB − AC

(d) (A + B) (A−B) = A2 −B2

2

11. Werkstudenten hebben de volgende studiegewoonten. Als hij / zij vanavond studeert,dan is er 80% kans dat hij / zij morgenavond ook zal studeren. Maar als hij / zijvanavond niet studeert, dan geraakt hij / zij moeilijk terug in het studeerritme en iser 60% kans dat hij / zij morgenavond ook niet zal studeren.

(a) Stel een matrixmodel op dat het studeergedrag van deze studenten modelleert.

(b) In een schakeljaar zijn er 100 studenten ingeschreven. Als er vanavond 70studenten studeren, hoeveel studenten zullen er dan morgenavond studeren ?En hoeveel niet ?

(c) Hoeveel van deze 100 studenten hebben er gisterenavond gestudeerd ?

12. De demografische verdeling van een land is als volgt : 3 miljoen inwoners zijn jongerdan 30 jaar, 5 miljoen hebben er een leeftijd tussen 30 en 60 jaar, en 2 miljoeninwoners zijn ouder dan 60 jaar. Door natuurlijke evolutie zijn deze aantallen continuin beweging. Noteer met L1 de leeftijdscategorie van inwoners die jonger zijn dan30 jaar, met L2 de leeftijdsklasse van mensen tussen 30 en 60 jaar oud, en met L3 deleeftijdsgroep van burgers ouder dan 60 jaar. Over een periode van 30 jaar verandertde leeftijdsstructuur van dat land als volgt : door geboortes groeit de bevolking aanmet 0.8 eenheden per persoon uit L1 en met 0.1 eenheden per persoon uit L2, maar erzijn geen geboortes uit L3. Anderzijds vermindert het bevolkingsaantal over eenzelfdeperiode van 30 jaar door sterftes en emigratie met 10% in L1, met 30% in L2, enmet 100% in L3. Bovenop deze natuurlijke processen groeit de bevolking van hetland ook aan door immigratie. Over dezelfde periode van 30 jaar komen er 198 000personen bij in leeftijdscategorie L1, 66 000 in leeftijdsklasse L2 en 22 000 in L 3.

(a) Construeer een matrixmodel dat de evolutie van de bevolkingsaantallen in elkeleeftijdscategorie over een periode van 30 jaar beschrijft.

(b) Hoe zal de leeftijdsverdeling van de bevolking er over 30 jaar uitzien ? En hoeover 60 jaar ?

3

Oplossingen

1. A is een 2× 4–matrix met a13 = 8 en a21 = −2 ; maar a44 bestaat niet.

2. A =

1 0 −1

3 2 1

5 4 3

7 6 5

3. u = 5 , v = 1 , w = 2 , en t = 3 .

4. u = −2 , v = 16 , en w = 2 .

5.

6A =

12 −42

−18 48

0 6

, −9B =

36 −81

−54 0

−45 9

, A + B =

−2 2

3 8

5 0

,

2A− 3B =

16 −41

−24 16

−15 5

, A + C is onmogelijk , B − C T =

−5 13

8 −5

2 5

.

6. De evolutie van de verkoopscijfers ( in duizendtallen ) tussen 2011 en 2016 is

Leuven Gent Antwerpen

cursussen + 87 + 75 + 33

kantoorbenodigdheden + 390 + 240 + 135

7. De omzet van de concurrent bedraagt 400 kEUR op puzzels, 600 kEUR op bord-spellen en 200 kEUR op kaartspellen.

8.

AB =

−3 2 −1

−5 4 −3

−7 6 −5

, BA =

(−4 −4

1 0

), AC =

3 −1

7 −1

11 −1

,

CB =

(−1 1 −1

3 −1 −1

), en C 2 = CC =

(2 0

0 2

).

4

9. −x + 2 y

5x + 3 y

−4 y

, ( 44 ) ,

2 6 10

4 12 20

6 18 30

)

,

0 0

0 0

0 0

,

3 3

7 7

11 11

,

1 2

3 4

5 6

.

10. (a) Fout, (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2

(b) Fout, (A−B)2 = A2 − AB −BA + B2

(c) Juist

(d) Fout, (A + B) (A−B) = A2 − AB + BA−B2

11. (a) Noteer met sk het aantal studenten dat studeert en met nk het aantal studen-ten dat niet studeert op avond k. Dan wordt het beschreven studeergedraggemodelleerd als (

sk+1

nk+1

)=

(0.80 0.40

0.20 0.60

)(sk

nk

).

(b) Morgenavond zullen er 68 studenten studeren, maar 32 zullen niet studeren.

(c) Gisterenavond hebben er 75 studenten gestudeerd.

12. (a) Noteer met n = de tijd in perioden van 30 jaren verstreken sinds ‘nu’[ d.w.z. n = 0 correspondeert met ‘de huidige situatie’ ]

xn = het aantal personen in leeftijdscategorie L1 op tijdstip nyn = het aantal personen in leeftijdscategorie L2 op tijdstip nzn = het aantal personen in leeftijdscategorie L3 op tijdstip n

Dan wordt de evolutie van de leeftijdsstructuur in dat land beschreven door xn+1

yn+1

zn+1

=

0.80 0.10 00.90 0 00 0.70 0

xn

ynzn

+

250 000175 00075 000

.

(b) Over 30 jaar zullen er 3 150 000 inwoners jonger dan 30 jaar zijn, 2 875 000 in-wonders tussen 30 en 60 jaar, en 3 575 000 ouder dan 60 jaar. En, over 60 jaarzullen er 3 057 500 inwoners jonger dan 30 jaar zijn, 3 010 000 inwonders tussen30 en 60 jaar, en 2 087 500 ouder dan 60 jaar.

5

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN CAMPUS BRUSSEL

Warmoesberg 26 1000 Brussel, België tel. + 32 2 210 12 11

[email protected] feb.kuleuven.be/brussel

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN

HANDELSWETENSCHAPPEN

ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN

Een zelfhulpgids voor letterrekenen

Rekenregels

Uitgewerkte voorbeelden

Oefeningen met oplossingen

September 2013

C. Biront

met medewerking van D. De Bock, A. Gheysen, A. Laeremans en T. Moons

1

Verantwoording

Als je handelswetenschappen studeert, zal je vaak geconfronteerd worden met cijfermateriaal. De geproduceerde hoeveelheid van een goed, de prijs

van dat goed, de totale, gemiddelde en marginale kosten, … zijn allemaal grootheden die met getallen uitgedrukt worden en waarmee gerekend kan

worden, m.a.w. kwantitatieve grootheden. In heel wat situaties zijn de concrete getalwaarden van die grootheden niet

gegeven omdat het veranderlijken (variabelen) of parameters zijn. In dat geval worden die grootheden voorgesteld door letters (hoeveelheid: q, prijs:

p, …). Om de verbanden tussen die grootheden weer te geven, ontstaan

uitdrukkingen met letters (die getallen voorstellen). We spreken van algebraïsche uitdrukkingen. Om die verbanden verder te analyseren moet met

die algebraïsche uitdrukkingen gerekend worden. Om dat te kunnen, moet je over algebraïsche vaardigheden beschikken.

In deze tekst herhalen we een aantal basisregels van de elementaire algebra1. Daarna illustreren we het gebruik van die regels met een aantal voorbeelden.

Tot slot geven we opgaven (met de eindoplossingen) zodat je zelf kan oefenen. Door die oefeningen te maken leer je de juiste regels van de algebra

toepassen en verwerf je de algebraïsche vaardigheden die als voorkennis voor je studie handelswetenschappen vereist zijn.

We willen beklemtonen dat de algebraïsche vaardigheden geen doel op zich zijn maar een middel om o.a. (bedrijfs)economische en statistische

problemen te analyseren. De cursussen wiskunde in de opleiding handelswetenschappen zijn dan ook helemaal niet te vergelijken met deze tekst. Ze zijn veel meer op toepassingen gericht. Deze tekst bevat (een deel

van) de noodzakelijke voorkennis.

1 Het woord Algebra is afgeleid van het Arabisch woord Al-Jabr uit het rond 820

geschreven werk Hisab al-jabr w'al-muqabala van Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-

Khwarizmi. Met elementaire algebra bedoelen we het rekenen met letters en het

manipuleren en oplossen van vergelijkingen. In de hedendaagse wiskunde heeft het

woord Algebra een ruimere en abstractere betekenis gekregen.

2

1. Uitwerken van haakjes en buiten haakjes brengen VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING EN HAAKJES

Het TEGENGESTELDE van een getal verkrijg je door DAT GETAL TE

VERMENIGVULDIGEN MET −1.

1a a

Een AFTREKKING kan je herleiden tot een OPTELLING, een DELING tot

een VERMENIGVULDIGING.

1

1:

a b a b a b

aa b a

b b

VERMENIGVULDIGINGEN moet je VÓÓR OPTELLINGEN uitvoeren. HAAKJES kunnen die volgorde veranderen. Je moet ze EERST uitwerken

waarbij je weer VERMENIGVULDIGINGEN VÓÓR OPTELLINGEN moet

uitvoeren.

Voorbeelden

1. 2 3 6 2 4 2 18 8 2 18 8 12

2. 2 3 6 2 4 5 6 8 30 8 22

3. 2 3 6 2 4 2 18 2 4 2 16 4 66

REKENREGELS

Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt:

... ...a b c d a b c d a b c d a b c d

In een som van meerdere termen (gedurige som)

mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.

... ...a b c d c a d b b c d a


mag je de volgorde van de termen om het even hoe

wijzigen.

3

Uiteindelijk betekent dit dus:

... ...a b c d a b c d d c a b c a d b


mag je de volgorde van de termen om het even hoe

wijzigen en mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.

Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt:

... ...a b c d a b c d a b c d a b c d

In een product van meerdere factoren (gedurig product)

mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.

... ...a b c d c a d b b c d a


mag je de volgorde van de factoren om het even hoe

wijzigen.

Uiteindelijk betekent dit dus:

... ...a b c d a b c d d c a b c a d b


mag je de volgorde van de factoren om het even hoe

wijzigen en mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten.

Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt ook:

1 1 1

a b c ab ac

a b c ac bc

a b c d a c d b c d ac ad bc bd

a b a b a b a b a b

Voorbeelden

1.

7 3 2 7 3 2 7 3 2

7 3 2 12

a b c d a b c d a b c d

a b c d a b c d

2.

3 2 5 3 2 5 3 2 5

3 2 5 30

b a b a a b

a b ab

4

3. 1 1 1 1 1a b a b a b a b

1 1 1 1 1 1a b a b a b a b a b

Praktische regel: als er een minteken voor een haakje staat mag je de haakjes en dat minteken weglaten op voorwaarde dat je alle tekens

binnen de haakjes verandert.

4.

6 2 5 3 6 2 5 3

6 3 3

6 3 3

a c b d a c b d

a c b d

a c b d

12 a b c d

5.

1 2 3 5 2 1 2 3 5 2

1 2 15 3 3 3 2

1 30 6 6 6 4

1 30

a b x y a b x y

a b x y

a b x y

6 6 6 4

29 6 6 6 4

a b x y

a b x y

Bij meerdere paren haakjes begin je best met het uitwerken van de

binnenste haakjes.

6.

3 5 4 5 2 3 5 5 2 4

3 5 5 2 4

8 7 4

a b c a b a a b b c

a b c

a b c

7. 3 2 3 6 5 8 5 7 6 9 18 40 25 35

6 40 9 25 18 35

46 34 17

x y x y x y x y

x x y y

x y

8. 2 3 2 2 3 3 3

2 6 3 3

p s a b a b ap bp as bs

a b ap bp as bs

9. In de vorige voorbeelden hebben we telkens haakjes weggewerkt. In veel

toepassingen is het net nuttig om zoveel mogelijk factoren buiten haakjes te plaatsen:

3 6 30 3 3 2 3 10 3 2 10abc ac bc c ab c a c b c ab a b

5

Oefeningen

1. Werk de haakjes uit en vereenvoudig.

(a) 3 2x y z

(b) 3 2r s s r

(c) 2 3 4 5 3 2 6 3 1r s r r s

(d) 2 5 7 3 5 2 3b a a a b a

(e) 2 3 1a b c a b c

2. Plaats zoveel mogelijk factoren buiten haakjes.

(a) 5 25 50xyz xz z

(b) 3 12 24 33pr prst prt prs

3. Vul aan door de aangeduide factor buiten haakjes te brengen,

vereenvoudig die factor en plaats indien mogelijk nog meer factoren buiten haakjes.

(a) 2 4 ( 2 ) 4 8 3 2 ...a b x y a b x y z a b

(b) 2 6 2 6 4 12 3 ...a y z b c y z b y z y z

(c) 2 2 2 ...p r s t pq r s t r s t r s t

Oplossingen

1. (a) 5x y z

(b) 5

(c) 18 116 68r s

(d) 43 13 80a b

(e) 3 3 3 2 2 3a b c ac bc

2. (a) 5 5 10z xy x

(b) 3 1 4 8 11pr st t s

3. (a) 2 2 8 2a b x y z

(b) 2 3y z a b c

(c) 2 1r s t p pq

6

2. Rekenen met breuken

REKENREGELS Als a, b, c en d reële getallen zijn (en de getallen in de noemer verschillend van nul zijn), dan geldt:

1

1

a a c

b b c

aa a

b b b

Teller en noemer mag je met eenzelfde getal

vermenigvuldigen of door eenzelfde getal delen.

1 1

a b a b

c c c

a c a d c b ad bc

b d b d d b bd

b a b a c b ac ba

c c c c c

Breuken optellen:

gelijknamig maken (gelijke noemers) en de tellers optellen.

1

11

1

11

1

a c a c ac

b d b d bd

b a b aba

c c c

b b b b

c c c c

b b b b

c c c c

Breuken vermenigvuldigen:

tellers vermenigvuldigen met elkaar

én noemers vermenigvuldigen met elkaar.

7

1

1

11

aa d adb

c b c bc

d

a aa ab b

cc b c bc

aa a c ac

b b b b

c c

Delen door een breuk:

vermenigvuldig met de omgekeerde breuk

Voorbeelden

1.

2 2 22 2 1 2 4 23 3 13 4 34 3 4 1 3

4 1 4

1

3 4

2

2 4 1 8

1 3 6 3

1 8 2 1 16

6 3 2 6 6

1 16 15 15 5 3

6 6 6

2 3

5

2

2.

3 5 3 2

2 5 10 2 5 5 2 10

5 6

10

a b a x z y z b x y

y x z y x z x y z z x y

axz yz bxy

xyz

3. 2 22 4

2

s r prs ps p s

r p r

2r p

1

2 2

1 1

2 2

p s s p s s r p s

r r r r

rs p s rs p s

r r

4. 1

1

x x x y x y xyx

a y a y a y a y a y a

y y y y

5. De breuk uit vorig voorbeeld kan eenvoudiger als volgt berekend worden:

1 1

x x y xy

a aa yyy yy

1

y

xy

y a

8

Oefeningen

Herleid tot één breuk (met één enkele breukstreep). Vereenvoudig indien mogelijk. Werk de tellers en de noemers uit.

1. 2

2

x y x y

z z

2. 2

2 3

x y a b

z

3.

2

2

2

x y

za b

c

4. 2

4

2 3

p

p

x y

5.

3

5

x y

a b

6. 1

2

a

bc

d

Oplossingen

1. 2 2

x x

z z

2. 2 2

6

ax bx ay by

z

3. 2cx cy

az bz

4. 2 3

2

x y

5. 3

5 5

x y

a b

6. 2

bd ad

bc bd

9

3. Machten met gehele exponenten DEFINITIES

Als a een reëel getal is en n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1 geldt:

factoren

1

0

1 ( 0)

1 ( 0)

n

n

n

n

a a a a a

a aa

a a

a a

VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING, MACHTSVERHEFFING EN HAAKJES

MACHTEN hebben VOORRANG op VERMENIGVULDIGINGEN. VERMENIGVULDIGINGEN hebben VOORRANG op OPTELLINGEN.

Als er HAAKJES voorkomen, moet je die EERST uitwerken.

Voorbeelden

1. 22 22 3 3 2 2 9 6 18 36 54

2.

22 02

22 0

32 2 4 2

2

1

31 2 4 82

11 4 4 1

18

1 18 1 19 194 4 1

18 18 18 18 18

3. 23 22 3 2a a a

is voor 1a gelijk aan:

23 2 2

2

12 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 3

2

1 12 1 11 12 11 23 232 1 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4

10

REKENREGELS Als a en b reële getallen zijn en r en s gehele getallen dan geldt (indien nodig

wordt verondersteld dat a en/of b verschillend zijn van 0):

r s r s

rr s

s

sr r s

r r r

r r

r

a a a

aa

a

a a

a b a b

a a

b b

Voorbeelden

1. 2

2 4

4

1 15 5

6255

2.

2

22 2 1 2 2

2

22 4 8 8 3 3 93

1 3 1 3 3 8 648

4

3. 33 22 8

8

1 12 2 2

2562

4.

2 3 5 3 2 2

2 5 3 1 2 3 2

3 2 2 5

5 5 2 7

3 2 2 3 2 2 2 3 2

2 2 3

2 2 3

2 6

2 6 2 6 2 6

x y x y y x y

x x y y x y y

x y x y

y y x y xy

x y x x y x x y x y

5.

2 2 1 2

2 2 1 2

2 2 1 2

2 2 0 3

2 2 3

3 2 2

5 2 8 3 5 2 3

5 5 2 8 2 3 5 2 5 3

5 5 2 8 2 3 5 2 5 3

5 5 16 6 10 15

5 5 16 6 10 15

15 5 5 4 16

x y x x y y x y

x y x x x y y x y y

x y x x x y y x y y

x y x xy xy y

x y xy xy y

y x y xy

11

Oefeningen Vereenvoudig zover mogelijk. Schrijf het resultaat als één breuk en zonder

negatieve exponenten.

1.

32 3

4

2

x yx y

x

2.

2 1

2 4

2

3

a a b

b

3. 2

3 1

1

2 3

x

x y

4.

31

2 2

4 1 1

2x x y

y xy

5.

2 12 1

2

2

( 2 )

2

3

x y

y

x

(Bij meerdere paren haakjes gebruiken we soms

verschillende soorten haakjes.)

Oplossingen

1. 7 10

7 101

8 8

x yx y

2. 3 3

2 3 2 3

18 18

9 9

a b a b

a b a b

3. 5

3

3 2

6

x y

x

4. 3 10

6 12

8x y

x y

5. 3

36

y

12

4. Merkwaardige producten en ontbinden in factoren REKENREGELS

Als a, b, en c reële getallen zijn dan geldt:

a b c ab ac

a b c ac bc

Als a en b reële getallen zijn, dan gelden de volgende MERKWAARDIGE PRODUCTEN:

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

a b a b a b a ab b

a b a b a b a ab b

a b a b a b

Een uitdrukking UITWERKEN betekent dat je ze als een SOM schrijft. Bovenstaande formules toepassen van links naar rechts is dus

uitwerken. Een uitdrukking ONTBINDEN betekent dat je ze als een PRODUCT schrijft. Bovenstaande formules toepassen van rechts naar links is dus

ontbinden.

Voorbeelden van uitwerken

1.

22

22 3 2 2 2

2 3 2 2 2

3 2 2

2 3 2 4 5

6 4 4 2 4 5 5

6 4 16 40 25

4 9 40 25

x x x x x y x y

x x x x x y

x x x x x y

x x y x

2. 3 1 2 2 2

2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

( ) 2

2 2

2 2

3 3

a b a b a b a b a ab b

a a a ab a b b a b ab b b

a a b ab a b ab b

a a b ab b

3.

2 2 2 2

2 2 2 2

3 5 5 3 5 3 5 3

2 4

5 3 25 9

x y y x y x y x

y x y x

13

4.

22

22

2

22 22

2 22

2 22 2

2 2

2 12

3 2 3 4

22 1 2

3 2 2 3 12

21 2

3 4 3 12

2 22

6 3 3 3 12

2 24 4

6 3 3 3 12

2 24

6 3 3

a bb a b a

a a a bb b a b

a a bab b a b

a ab b a ba b

a ab b a ba ab b

a ab b

2 2

2 2

43 12

23 14

6 3 3 3 12

a ba ab b

a ab b a b

Voorbeelden van ontbinden

1. 22 2 2 22 12 18 2 6 9 2 2 3 3 2 3x x x x x x x

2. 2 22

22 44 2 2 2 2

3 9 3 3 3

b b b ba ab a a a

3.

2 2 2 2

2

4 4 2 4 4 2

2 2 2 2 1 2 1 2

a ab b a b a ab b a b

a b a b a b a b a b a b

4.

2 2

2

1 12 1 2 1

2 2

1 1 31 1 1 1

2 2 2

x xx x x x

xx x x x x

5.

2 222 2 2

4 2 2 2 2 2

12 2 2 2 2

x x x x x xy y y y y y

x x x x xy y y y y

14

5. Herhalingsoefeningen Van de oplossingen worden soms twee vormen gegeven die aan elkaar gelijk zijn. Het volstaat in eerste instantie minstens één van die vormen

te vinden (of nog een andere die er ook aan gelijk is). Bij het vergelijken van je antwoord met de opgegeven oplossing, moet je dan kunnen

verklaren waarom de andere vorm(en) ook correct is (zijn). 1. Elk van de uitdrukkingen in de linkerkolom is gelijk aan precies één

uitdrukking in de rechterkolom. Plaats de gelijke uitdrukkingen bij elkaar.

a. a b

a b

A. a b a b

b. 2

b a B. b a b a

c. b a

a b

C.

b a

a b

d. a b

a b

D.

2b a

e. 2 2b a E. 2

a b

f. a b

a b

F.

2

b

a

g. 2

a b

a a

G.

b a

b a

h. 2

b a H. b a

a b

i. 2

a b I. a b

b a

j. 2

3 2

ab b

a a b

J.

1

1 1

b

aa a

2. Werk uit. Gebruik indien mogelijk merkwaardige producten.

(a) 2 2

5 1 2x y x x y x y

(b) 1 2 3 8a a b

(c) 3 2 23 2 3 4x x x x

(d) 2

2 3xy

(e) 2 22 2p q p q

(f) 22 2 4a a a

(g) 2

y x y x

15

3. Ontbind in factoren.

(a) 3 2 2 320 30 25xy xy z xy z

(b) 2 3 2

16 4

a b abab

(c) 2

3

3

x yx y

(d) 22 3 3 32 2 4 2x y x y x y x y

(e) 2 54 16r s rs

(f) 3 12 4 5 8 4 2 425 15 40x y z x z x y z

(g) 2 3

5 20a b a b

(h) 4 3 25 40 80x x x

(i) 236 25A

(j) 3 22 2 1p p p

(k) 2 2 2 2ax ay bx by

4. Vul de juiste factor op de puntjes in.

(a) 29

5 92

aa a

(b)

3

2 21

3 3

a ba b a b

(c) 4 4

3 2 4 13 3

xx x x x

5. Schrijf als één enkele breuk en ontbind teller en noemer van deze breuk zoveel mogelijk in factoren.

(a) 1

11

a

a

(b) 2

2

y xy

x y

y

x

16

(c) ab c a b

b a ab c

(d)

22 3

2

5

2 25

x y z

yz x

(e) 2 3

3

4 4

1

x

x y

x

x y

(f) 3 2

5 2 1x x

(g) 25

55x

(h) 1 1

1 1

a a

a a

(i) 2

5 1 1

3

s s

s s s

(j) a b b

b a a b

(k) 2

1 1 2 2

1

ab

a b ab aa

(l)

2

23 5

xx

x x

(m)

1 1y x

y x

x y

y

17

6. De uitdrukking 2

1 2x y is gelijk aan één van de onderstaande

uitdrukkingen. Aan welke? Verklaar uw antwoord.

(a) 2 21 2x y

(b) 2 21 4x y

(c) 2 21 2x y

(d) 2 21 4x y

(e) 2 24 4 2 4 1x y xy x y

Oplossingen 1. a en H; b en E; c en C; d en G; e en B; f en I; g en J; h en A; i en D;

j en F

2. (a) 2 22 10 24 4 1x xy y x

(b) 22 3 10 3 8a ab a b

(c) 5 4 3 26 15 21 12x x x x

(d) 2 4 26 9x y xy

(e) 4 24p q

(f) 416 a

(g) 4 2 2 42x x y y

3. (a) 2 35 4 6 5xy y z z

(b) 2

211 4 16

16 4 16

ab bab ab ab b

(c) 2 21 1

9 9 19 9

x y x y x y x y

(d) 2 3 2 32 2 2 2 2 2x y x y x y x y x y x y

(e) 44 4rs r s

(f) 3 4 12 2 4 25 5 3 8x z y x z xy

(g) 2

5 1 4 4a b a b

(h) 225 4x x

(i) 6 5 6 5A A

(j) 2 1 2 1p p

(k) x y x y a b

18

4. (a) 5

92 9

aa

(b) 21

33

a b a b

(c) 4 20 20

53 3 3

xx x

5. (a) a

(b) 2

1 x

xy

(c) c ab

ab c

(d)

25

2 5

x yz

x

(e) 2

4x

y

(f)

8 13

5 2 1

x

x x

(g) 5

5

x

x

(h)

4

1 1

a

a a

(i)

3 2

2

4 2 4 3

3

s s s

s s

(j) a b

a

(k) 2a b

a

(l) 3

6 10

x

x

(m) 1

x

6. De uitdrukking onder (e). Verklaring:

22 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2x y x y x x y y

Opfriscursus Wiskunde · Hoofdstuk 5. Meetkunde : x12. Lijnen in het vlak en x14. Cirkels (maar...

Documents

Transcript of Opfriscursus Wiskunde · Hoofdstuk 5. Meetkunde : x12. Lijnen in het vlak en x14. Cirkels (maar...