E ectieve weerstand en de Pseudoinverse · 2016. 10. 17. · 3 De Laplaciaan 6 4 E↵ectieve...
41
S.E. Hurkmans E↵ectieve weerstand en de Pseudoinverse Bachelorscriptie Scriptiebegeleiders: Dr. J.L. Dorsman, Dr. F.M. Spieksma Datum Bachelorexamen: 21 augustus 2016 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
Transcript of E ectieve weerstand en de Pseudoinverse · 2016. 10. 17. · 3 De Laplaciaan 6 4 E↵ectieve...
S.E. Hurkmans
E↵ectieve weerstand en de
Pseudoinverse
Bachelorscriptie
Scriptiebegeleiders: Dr. J.L. Dorsman,Dr. F.M. Spieksma
Datum Bachelorexamen: 21 augustus 2016
Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
Inhoudsopgave
1 Inleiding 3
2 Robuustheid en e↵ectieve weerstand 4
3 De Laplaciaan 6
4 E↵ectieve weerstand en Laplaciaan pseudoinverse 11
5 Methode voor een klasse speciale symmetrische matrices 14
6 E↵ectieve Weerstand en alternatief voor Laplaciaan pseudoin-verse 19
7 Toepassing op Amsterdams metronetwerk 247.1 Het Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 De Resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.3 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3.1 Vraag 1: Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een posi-tieve invloed op de e↵ectieve weerstand van het Amster-damse metronetwerk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3.2 Vraag 2: Zou het aanleggen van een lijn tussen CentraalStation en Station Sloterdijk een positieve invloed hebbenop de e↵ectieve weerstand tussen de twee knopen en opde totale e↵ectieve weerstand van het netwerk? . . . . . . 28
7.3.3 Slotconclusies en mogelijk vervolgonderzoek . . . . . . . . 29
Appendices 31
A Codes 31
Code 1 31
Code 2 31
Code 3 32
B Graaf Amsterdams Metronetwerk 33
C Tabellen met procentuele verschillen e↵ectieve weerstand perknoop 34
2
1 Inleiding
Om ons heen zijn veel verschillende soorten netwerken te vinden. Zo zijn erbijvoorbeeld metronetwerken, netwerken van wegen, telefoonnetwerken en elek-triciteitsnetwerken. Het is voor deze netwerken van groot belang dat ze goedfunctioneren, ook als er een deel beschadigd is. Als we een netwerk door eengraaf representeren, dan verstaan we onder beschadigen het wegvallen van eentak. Het netwerk functioneert dan nog wel, als alle knopen in het netwerk tebereiken zijn. We zeggen ook wel dat het belangrijk is dat het netwerk robuustis. Hoe minder gevoelig voor storingen, des te robuuster het netwerk is. Omduidelijk te maken wat robuustheid precies is, geven we eerst een definitie.
Definitie 2.1 Robuustheid is het vermogen van een netwerk om te functio-neren na een beschadiging aan het netwerk.
Om te bepalen hoe robuust een netwerk is of om netwerken te kunnen vergelij-ken op basis van robuustheid, moeten we robuustheid kwantificeren. Daarvooris een maat nodig. Er zijn door de jaren heen meerdere maten bedacht waarmeede robuustheid van een netwerk gekwantificeerd kan worden. In deze scriptiebeschouwen we de inverse van de totale e↵ectieve weerstand als maat voor derobuustheid van een netwerk. Deze maat is voorgesteld door D.J. Klein en M.Randic [6]. De keuze voor de e↵ectieve weerstand als maat van robuustheid lijktgoed overeen te komen met onze intuıtie.
In Hoofdstuk 2 introduceren we het begrip “e↵ectieve weerstand” als natuur-kundig begrip. Hierbij wordt niet diep ingegaan op de natuurkundige achter-gronden. In Hoofdstuk 3 introduceren we de zogenaamde Laplaciaan en zijnpseudoinverse en laten we zien hoe we deze kunnen berekenen. In Hoofdstuk 4bewijzen we dat de Laplaciaan en zijn pseudoinverse gebruikt kunnen wordenom de e↵ectieve weerstand tussen twee knopen en de e↵ectieve weerstand vanhet totale netwerk te berekenen. In Hoofdstuk 5 bekijken we een vermoedelijknumeriek stabielere methode, waarbij via vegen een alternatieve pseudoinversevan de Laplaciaan wordt bepaald. Tijdens het onderzoek bleek dat deze me-thode feitelijk al beschreven staat in [2]. In Hoofdstuk 6 zullen we bewijzendat we uit de matrix die we met deze alternatieve methode verkrijgen ook dee↵ectieve weerstand tussen twee knopen en de e↵ectieve weerstand van het to-tale netwerk kunnen berekenen. Tot slot behandelen we in Hoofdstuk 7 eentoepassing op het Amsterdamse metronetwerk met behulp van de gevonden re-sultaten. We bekijken of de Noord-Zuidlijn en een extra lijn tussen CentraalStation en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op de robuustheidvan het netwerk. Hieruit volgt het opmerkelijke resultaat dat het toevoegen vande lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een grotere reductie geeftvan de totale e↵ectieve weerstand dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn.
3
2 Robuustheid en e↵ectieve weerstand
Als maat voor robuustheid zullen we de inverse van de e↵ectieve weerstand ge-bruiken. In dit hoofdstuk zullen we kort behandelen waarop het begrip “e↵ec-tieve weerstand” gebaseerd is en hoe dit berekend wordt. In latere hoofdstukkenzullen alternatieve berekeningswijzen behandeld worden.
De e↵ectieve weerstand is een term die afkomstig is uit de natuurkunde. Hetnetwerk wordt dan gezien als een elektrisch circuit. Hierbij wordt aan elke tak(i, j) een weerstand rij toegekend. Er wordt een spanningsbron over een gege-ven tweetal knopen uit het netwerk, knoop a en knoop b, gezet en we laten eengegeven stroom lopen van knoop a naar knoop b. Voor het tweetal knopen a enb kunnen we het netwerk van takken tussen de knopen vervangen door een tak(a, b), met behoud van spanning en stroom. De vervangingsweerstand voor debijbehorende samengevoegde takken, Rab, noemen we de e↵ectieve weerstandtussen knoop a en knoop b. De e↵ectieve weerstand kan worden uitgerekendmet behulp van wetten voor serie- en parallelschakeling van elektrische circuits.[4]
Voor twee weerstanden, met waarden r1 en r2, die in serie zijn geschakeld,geldt dat deze weerstanden vervangen kunnen worden door een weerstand metwaarde r1 + r2. Voor twee weerstanden, met waarden r1 en r2, die parallelgeschakeld zijn, geldt dat deze vervangen kunnen worden door een weerstand
met waarde1
1r1
+ 1r2
. Zie ter illustratie de onderstaande figuur. [4]
a br1 r2
Rab = r1 + r2
a b
r1
r2
Rab =1
1r1
+ 1r2
Figuur 1: Serie- en parallelschakeling van weerstanden
De analyse van het netwerk staat toe, dat de takken van een netwerk gewichtenhebben, die het belang van de takken kwantificeren. In het geval dat de gewich-ten van de takken van het netwerk de afstanden tussen twee knopen aangeven,is de weerstand van een tak gelijk aan de afstand. Dit zorgt ervoor dat langerepaden een grotere e↵ectieve weerstand veroorzaken dan kortere paden. Als degewichten van de takken de geleiding tussen twee knopen voorstellen, dan is deweerstand gelijk aan de inverse van het gewicht. Zo zorgen we ervoor dat dee↵ectieve weerstand van in serie geschakelde paden groter is dan de e↵ectieveweerstand van in parallel geschakelde paden. Het toevoegen van takken of ge-wichten zorgt er daarmee voor dat de e↵ectieve weerstand Rab niet toeneemt. [4]
4
De bovenstaande methode is echter vooral handig voor kleine netwerken. Hoegroter het netwerk, hoe moeilijker het wordt om voor elk paar knopen deze be-rekeningen uit te voeren. Daarnaast is het zo dat niet elk netwerk als elektrischnetwerk kan worden geınterpreteerd. In deze gevallen moet de weerstand echterook te definieren zijn. Daarom is een handigere methode gevonden, waarbij dee↵ectieve weerstand wordt berekenen met behulp van de Laplaciaan. In hetvolgende hoofdstuk zullen we uitleggen hoe dit werkt.
5
3 De Laplaciaan
In dit hoofdstuk introduceren we de Laplaciaan en zijn pseudoinverse en latenwe zien hoe we deze pseudoinverse kunnen berekenen. Ook laten we zien dat depseudoinverse van de Laplaciaan een specifieke vorm is van de Moore-Penrosepseudoinverse. In Hoofdstuk 4 zullen we bespreken hoe de Laplaciaan en zijnpseudoinverse kunnen worden gebruikt om de e↵ectieve weerstand te bereke-nen. We beperken ons hierbij tot netwerken die worden gerepresenteerd doornormale, samenhangende, ongerichte grafen.
Definitie 3.1 Zij G = (V,E) een normale, ongerichte, samenhangende graaf,met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Dan is de Laplaci-
aan L de n⇥ n matrix met de elementen:
Lij =
8><
>:
di als i = j
�1 als (i, j) 2 E
0 anders,
waarbij di de graad van de knoop i is.
De Laplaciaan heeft dus op de diagonaal de graden van de knooppunten staanen verder een �1 als (i, j)de element wanneer er een tak is tussen knoop i enknoop j. Hieruit volgt dat de rijsommen gelijk zijn aan 0. De Laplaciaan karak-teriseert de graaf waarmee hij geassocieerd is volledig. Dus als de Laplaciaangegeven is, kunnen we altijd de originele graaf weer reconstrueren. [4]
We kunnen ook de Laplaciaan definieren voor een gewogen, ongerichte, samen-hangende graaf met gewichten w(i,j) voor de takken (i, j).
Definitie 3.2 Zij G = (V,E) een gewogen, normale, ongerichte, samenhan-gende graaf met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Laatw(i,j) � 0 het gewicht van tak (i, j) zijn, (i, j) 2 E. Dan is de gewogen Laplaci-
aan L
W de n⇥ n matrix met de elementen:
L
Wij =
8><
>:
wi =Pn
j=1 w(i,j) als i = j
�w(i,j) als (i, j) 2 E
0 anders.
Als er in een elektrisch netwerk een spanningsbron tussen knoop a en knoopb wordt aangesloten, kunnen we met de stroomwet van Kircho↵ en wet vanOhm de spanning berekenen. Bij gegeven stroom 1 en gegeven weerstandenkomt dit neer op het berekenen van de e↵ectieve weerstand Rab voor elke knoopa en knoop b in een elektrisch netwerk. [4]
6
Deze kan als volgt berekend worden:
(a) Bepaal x 2 Rn met LWx = (ea � eb)
(b) Rab = xa � xb.
Als LW niet-singulier zou zijn, dan zou de oplossing van het bovenstaande stel-sel berekend kunnen worden via de inverse van L
W . Uit de definitie van deLaplaciaan blijkt echter dat de rij- en kolomsommen van zowel de gewogen alsongewogen Laplaciaan nul zijn. Daardoor is de constante vector gelijk aan 1een eigenvector bij eigenwaarde 0 . Dus is de Laplaciaan singulier en daarmeeniet inverteerbaar. We kunnen echter wel de zogenaamde pseudoinverse van deLaplaciaan berekenen. Deze pseudoinverse kunnen we gebruiken om de e↵ec-tieve weerstand van de geassocieerde graaf te bepalen. [4]
Definitie 3.3 Zij A een n⇥m reele matrix. De Moore-Penrose pseudoinverse
A
+ van A is de unieke n⇥m matrix met de volgende eigenschappen:
(i) A
+A = (A+
A)>
(ii) AA
+ = (AA
+)>
(iii) AA
+A = A
(iv) A
+AA
+ = A
+.
Hierbij is B> de getransponeerde van B. [3]
Een specifiek geval van de Moore-Penrose pseudoinverse is de pseudoinversevan de Laplaciaan.
Definitie 3.4 De pseudoinverse (LW )+ van de Laplaciaan wordt gedefinieerdals de matrix die voldoet aan de volgende eisen [4]:
1. (LW )+1n = 0 ;
2. Voor elke w,v ? 1n geldt dat (LW )+w = v dan en slechts dan alsL
Wv = w.
Met 1n wordt hier de constante vector gelijk aan 1 met n elementen bedoeld.Merk op dat dit een iets helderder formulering is dan in [4]. De bovenstaandeeisen betekenen dus dat de pseudoinverse (LW )+ inverteert op de loodrecht-ruimte 1?
n = {x 2 Rn|x>?1n = 0} en 1n op 0 afbeeldt.
7
L
W is een symmetrische matrix. Dus LW is diagonaliseerbaar. Het gevolg hier-van is dat L
W een orthonormale basis van eigenvectoren heeft. Hieruit volgtdat LW = UDU
�1 = UDU
>, waarbij U de n⇥n-matrix is met de genormeerdeeigenvectoren als kolommen en
D =
0
BBB@
0 0 · · · 00 �
W2 · · · 0
......
. . ....
0 · · · 0 �
Wn
1
CCCA,
de diagonaalmatrix met de corresponderende eigenwaarden. [4]
Met behulp van diagonalisatie volgt dat (LW ) goed gedefinieerd is en uniekis vastgelegd. In het bijzonder geldt dat (LW )+ = UD
+U
�1, waarbij
D
+ =
0
BBBB@
0 0 · · · 00 1
�W2
· · · 0...
.... . .
...0 · · · 0 1
�Wn
1
CCCCA.
Uit de verificatie van de eigenschappen van de Moore-Penrose pseudoinverse,zie hieronder, volgt met behulp van diagonalisatie dat de pseudoinverse (LW )+
ook een Moore-Penrose pseudoinverse is.
(i)
(LW )+LW = UD
+U
�1UDU
�1 = UD
+DU
�1
= (U>)>(D+)>D>U
>
= (UDD
+U
>)> = (UD
+DU
�1)>
= (UD
+U
�1UDU
�1)>
= ((LW )+LW )>;
(ii)
L
W (LW )+ = UDU
�1UD
+U
�1 = UDD
+U
�1
= (U>)>D>(D+)>U>
= (UD
+DU
>)> = (UDD
+U
�1)>
= (UDU
�1UD
+U
�1)>
= (LW (LW )+)>;
8
(iii)
L
W (LW )+LW = UDU
�1UD
+U
�1UDU
�1
= UDD
+DU
�1
= U
0
BBB@
0 0 · · · 00 1 · · · 0...
.... . .
...0 · · · 0 1
1
CCCADU
�1
= UDU
�1 = L
W ;
(iv)
(LW )+LW (LW )+ = UD
+U
�1UDU
�1UD
+U
�1
= UD
+DD
+U
�1
= U
0
BBB@
0 0 · · · 00 1 · · · 0...
.... . .
...0 · · · 0 1
1
CCCAD
+U
�1
= UD
+U
�1 = (LW )+.
De pseudoinverse van de Laplaciaan is dus een Moore-Penrose pseudoinverse.Als gevolg daarvan is het de unieke matrix die voldoet aan Definitie 3.3.
Voorbeeld 3.1Beschouw de volgende graaf G:
a
c
b
1 2
2
De Laplaciaan van G is
L
W =
0
@3 �2 �1�2 4 �2�1 �2 3
1
A.
De eigenwaarden van L
W zijn �1 = 0,�2 = 6 en �3 = 4, met bijbehorendeeigenvectoren
v1 =
0
@111
1
A, v2 =
0
@1�21
1
A en v3 =
0
@�101
1
A.
9
Dan geldt
U =
0
B@
1p3
1p6
�1p2
1p3
�2p6
01p3
1p6
1p2
1
CA en D
+ =
0
@0 0 00 1
6 00 0 1
4
1
A,
zodat de pseudoinverse van L
W gegeven wordt door
(LW )+ =
0
B@
1p3
1p6
�1p2
1p3
�2p6
01p3
1p6
1p2
1
CA
0
@0 0 00 1
6 00 0 1
4
1
A
0
B@
1p3
1p3
1p3
1p6
�2p6
1p6
�1p2
0 1p2
1
CA
= 172
0
@11 �4 �7�4 8 �4�7 �4 11
1
A.
Uit (a) volgt nu dat voor x 2 Rn geldt x = (LW )+(ea � eb) + c · 1n metc 2 R. Daarnaast geldt
xa�xb = (ea�eb)>(LW )+(ea�eb)+(ea�eb)
> ·c·1n = (ea�eb)>(LW )+(ea�eb).
Met (b) geldt dan dat Rab = xa � xb onafhankelijk is van c. Daarmee is Rab deunieke oplossing uit het stelsel vergelijkingen (a) en (b).
In het volgende hoofdstuk zullen we zien dat we L
W en (LW )+ kunnen ge-bruiken om de e↵ectieve weerstand tussen knopen en de e↵ectieve weerstandvan het totale netwerk te berekenen.
10
4 E↵ectieve weerstand en Laplaciaan pseudoin-verse
In het vorige hoofdstuk hebben we gezien hoe we een pseudoinverse van L
W
kunnen vinden. Op grond van elektrische weerstanden kan vervolgens Rab ge-defineerd worden voor een algemeen netwerk. Verder zullen we aantonen dataan de hand van Rab en aan de hand van de Laplaciaan de totale e↵ectieveweerstand kan berekenen.
Definitie 4.1 Zij G = (V,E) een gewogen, normale, ongerichte, samenhan-gende graaf met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Laatw(i,j) � 0 het gewicht van tak (i, j) zijn, (i, j) 2 E. Zij LW de Laplaciaan vanG. Dan geldt dat de e↵ectieve weerstand Rab tussen knoop a en knoop b gelijkis aan:
Rab = (ea � eb)>(LW )+(ea � eb) = (LW )+aa � 2(LW )+ab + (LW )+bb (1)
waarbij (LW )+ij het (i, j)-de element van de pseudoinverse (LW )+ is.
Merk op dat dit overeenkomt met de elektrische weerstand zoals in Theorem4.1 uit [4].
Gevolg 4.1 Uit (1) volgt Rij = Rji en Rii = 0 voor alle i en j.
Bewijs
Rij = (LW )+ii � 2(LW )+ij + (LW )+jj = (LW )+jj � 2(LW )+ji + (LW )+ii = Rji.
De tweede gelijkheid volgt uit de symmetrie van (LW )+.
Rii = (LW )+ii � 2(LW )+ii + (LW )+ii = 0.
De robuustheid van een netwerk moeten we enkel via een getal meten. Duswe moeten de e↵ectieve weerstand van het totale netwerk weten. Deze is gede-fineerd als de som van de e↵ectieve weerstanden van elk tweetal knopen in hetnetwerk.
Definitie 4.2 [4] De totale e↵ectieve weerstand is de som van de e↵ectieveweerstanden over alle knopenparen:
R
tot =n�1X
i=1
nX
j=i+1
Rij .
We kunnen de totale e↵ectieve weerstand ook schrijven als functie van de niet-nul eigenwaarden van de Laplaciaan.
11
Stelling 4.1(Klein en Randic, 1993) [6] De totale e↵ectieve weerstand is ge-lijk aan de vergelijking
R
tot = n
nX
i=2
1
�
Wi
.
BewijsWe maken gebruik van het bewijs van Theorem 4.2 uit [4]. Met Gevolg 4.1 geldtRii = 0 en Rij = Rji. Dan kunnen we de totale e↵ectieve weerstand als volgtschrijven:
R
tot =nX
i=1
nX
j=i+1
Rij
=1
2
nX
i=1
nX
j=1
Rij
=1
2
nX
i=1
nX
j=i+1
(LW )+ii � 2(LW )+ij + (LW )+jj
= n
nX
i=1
(LW )+ii � 1>(LW )+1
= n tr((LW )+).
De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat (LW )+ overeenkomt met de nulaf-
beelding op sp{1}. We kunnen nu concluderen dat Rtot = n
nX
i=2
1
�
Wi
, omdat het
spoor tr(LW )+ gelijk is aan de som van de eigenwaarden van (LW )+.
Voor de totale e↵ectieve weerstand geldt het volgende:
Stelling 4.2 De totale e↵ectieve weerstand is strikt dalend als er takken wordentoegevoegd of gewichten worden verhoogd.
Bewijs Zie het bewijs van Theorem 4.8 uit [4].
In het volgende voorbeeld worden Definitie 4.1, Definitie 4.2 en Stelling 4.1toegepast om de totale e↵ectieve weerstand te berekenen.
12
Voorbeeld 4.1We gebruiken dezelfde matrix als in Voorbeeld 3.1, namelijk
L
W =
0
@3 �2 �1�2 4 �2�1 �2 3
1
A met (LW )+ = 172
0
@11 �4 �7�4 8 �4�7 �4 11
1
A
Als we de totale e↵ectieve weerstand R
tot willen uitrekenen met toepassing vanDefinitie 4.1 en Definitie 4.2 krijgen we:
R12 = 1172 + 8
72 + 872 = 3
8 ,R13 = 11
72 + 1472 + 11
72 = 12 ,
R23 = 872 + 8
72 + 1172 = 3
8 ,zodat Rtot = 3
8 + 12 + 3
8 = 54 .
Met toepassing van Stelling 4.1 krijgen we:
R
tot = 3 · ( 14 + 16 ) =
54 .
De pseudoinverse (LW )+ kan via spectraaldecompositie berekend worden. Hetdoel is om een e�cientere, numeriek stabielere methode te vinden. Daarvoorzullen we in het volgende hoofdstuk eerst een bepaald type symmetrische ma-trices bestuderen, waaraan ook de Laplaciaan voldoet.
13
5 Methode voor een klasse speciale symmetri-sche matrices
Zij A een n ⇥ n symmetrische matrix van rang (n � 1) waarvoor geldt datA · 1n = 0. Merk op dat de Laplaciaan L
W uit Hoofdstuk 3 hier ook aan vol-doet. Gauss-Jordan eliminatie toegepast op de n ⇥ 2n matrix (A|I) geeft den ⇥ 2n matrix (T |S). Aangezien A een singuliere matrix is, geldt dat T nietde identiteitsmatrix is. S is dus niet gelijk aan A
�1. Er geldt echter wel datSA = T , omdat we dezelfde rijoperaties op A uitvoeren als op I, waardoor T
respectievelijk S ontstaan.
S en T zijn niet uniek. Als echter in de eerste stap van de Gauss-Jordan eli-minatie de n � de rij 0 wordt gemaakt, levert Gauss-Jordan eliminatie wel deunieke matrices S en T op. Voor dit geval zullen we de structuur van T en S
afleiden. Vervolgens zullen we met behulp van S en T een matrix S
0 bepalendie als alternatief voor de Laplaciaan pseudoinverse gebruikt kan worden.
Definitie 5.1 A[i1,i2,....,ik] is de matrix A zonder de rijen en kolommen metindices i1, ..., ik
Zij A een n ⇥ n symmetrische matrix van rang (n � 1) met A · 1n = 0. PasGauss-Jordan eliminatie toe op de n⇥ 2n matrix (A|I), met als eerste stap hetoptellen van de eerste (n� 1) rijen bij de n� de rij.
Lemma 5.1Het resultaat van de bovengenoemde Gauss-Jordan eliminatie is de n⇥ 2n ma-trix (T |S) met
T =
0
BBBB@
1 0 · · · �1
0. . . · · ·
......
... 1 �10 0 · · · 0
1
CCCCA, S =
0
BBB@
0
A
�1[n]
...
01 · · · · · · 1
1
CCCA
en SA = T .
BewijsDoor het toepassen van Gauss-Jordan eliminatie op de n ⇥ 2n matrix (A|I),krijgen we als resultaat een n⇥ 2n matrix (T |S). Hierbij is T de gereduceerderij-echelon vorm van de matrix A. Het optellen van de eerste (n � 1) rijen bijde laatste rij, geeft als resultaat dat (0 · · · 0|1 · · · 1) de laatste rij van (T |S) is.Met deze rij wordt vervolgens verder niks meer gedaan tijdens het vegen.
Immers er is gegeven dat A ·1n = 0n en dat A symmetrisch is, oftewel A = A
>.
14
Hieruit volgt dat 0n = (A1n)> = 1>nA
> = 1>nA. Uit het feit dat T in geredu-
ceerde rij-echelon vorm staat en dat 1>nA = 0>
n volgt dat de n � de rij van T
gelijk is aan de nulvector. Aangezien geldt dat n � 1 = rang(A) = rang(A>),volgt dat de rij- en kolomruimte gelijk zijn. Dus de n-de rij van T is de enigenulrij.
Stel A[n] is singulier. Dan geldt dat rang(A) n � 2. Aangezien dit in te-genspraak is met de aanname, geldt dus dat A[n] niet singulier is. Hieruit volgtdat de identiteitsmatrix ontstaat, als we A vegen op de eerste n � 1 rijen enkolommen. Dus T[n] = I[n] en S[n] = A
�1[n] .
We voeren alleen elementaire rijoperaties uit, dus de eigenschap dat de rij-sommen 0 zijn blijft behouden. Wegens het feit dat A rang (n� 1) heeft en datT in gereduceerde rij-echelon vorm staat, zijn slechts twee elementen ongelijk 0per rij i, 1 i n� 1, namelijk 1 en �1. Uit het feit dat T[n] = I[n], geldt datalleen het n-de element van elke rij gelijk kan zijn aan �1. Dus de n-de kolomvan T ziet er als volgt uit:
N =
0
BBB@
�1...�10
1
CCCA.
Dus T is van de gegeven vorm.
Aangezien we dezelfde rij-operaties toepassen op I als op A en we de eerste(n � 1) rijen optellen bij de n-de rij, bestaat de onderste rij van S uit 1T
n . Ergeldt 1>
nA = 0>n . Dus er wordt in de rijoperaties die gebruikt worden om A
naar T te transformeren, geen gebruik gemaakt van de n-de rij van A. Hierdoorwordt de n-de rij van I ook niet gebruikt in de rijoperaties die I naar S trans-formeren. Aangezien de laatste kolom van I op het n� de element na gelijk isaan 0, geldt nu ook dat alle eerste n� 1 elementen van de laatste kolom van S
gelijk zijn aan 0. Hierboven werd al aangetoond dat S[n] = A
�1[n] . Dus ook S is
van gegeven vorm.
Tot slot weten we dat SA = T , want de rij-opreaties die A naar T transfor-meren, transformeren I naar S.
We willen S gebruiken om Rab en R
tot te berekenen. Het is echter niet di-rect duidelijk hoe we dat kunnen doen. Bijvoorbeeld geldt in het algemeen nietdat tr(S) = tr((LW )+) (zie pagina 20). Het doel is nu S te transformeren toteen matrix S
0 met de eigenschap tr(S0) = tr((LW )+). Dat wil zeggen dat weeisen dat de eigenwaarden van S
0 gelijk zijn aan die van (LW )+. We zullenhieronder een matrix S
0 met de gewenste eigenschappen construeren.
Bovenstaande eis impliceert dat er moet gelden dat:
15
1. S
0 heeft eigenwaarde 0.
2. 8 x, y?1n geldt S
0y = x , Ax = y.
N.B. De eerste eis voor de pseudoinverse van L
W uit Definitie 3.4 is verzwakt.Op grond van de berekening van Rab doormiddel van (a) en (b) blijkt deze eisniet nodig te zijn.
Laat x?1n en y = Ax. SA = T impliceert dan Sy = SAx = Tx. Met destandaardvorm van T , zoals in Lemma 5.1, geldt nu dat Sy = x� xn · 1n.
Dit impliceert dat
Sy = x� xn · 1n (⇤)X
i
(Sy)i =X
i
xi � nxn = �nxn
� 1
n
X
i
X
j
Sijyj = xn,
oftewel,
� 1
n
X
j
X
i
Sij
!yj = xn. (⇤⇤)
Uit Sy = x� xn · 1n volgt dat S al bijna een pseudoinverse van A is. Er moetechter nog gecorrigeerd worden voor de term xn · 1n. Uit (⇤⇤) volgt dat we eenmatrix krijgen die corrigeert voor de term xn ·1n voor alle vectoren die loodrechtstaan op 1n, als we
1n maal de som van kolomsommen van S aftrekken van elke
rij van S. Definieer dus S
0 := S � 1
n
· 1n · 1>n · S. In Stelling 5.1 zullen we
bewijzen dat S0 voldoet aan de bovenstaande eisen.
We kunnen al het bovenstaande samenvatten in het volgende algoritme:
Algoritme 5.1
1. Tel de eerste (n� 1) rijen van (A|I) op bij de n� de rij.
2. Bepaal A�1[n] via het vegen van (A[n]|In�1).
3. S =
0
BBB@
0
A
�1[n]
...
01 · · · · · · 1
1
CCCA.
4. S
0 = S � 1
n
· 1n · 1>n · S.
16
Met het volgende voorbeeld laten we zien hoe het algoritme wordt toegepast.
Voorbeeld 5.1Pas Algoritme 5.1 toe op de matrix
0
@3 �2 �1 1 0 0�2 4 �2 0 1 0�1 �2 3 0 0 1
1
A.
1.
0
@3 �2 �1 1 0 0�2 4 �2 0 1 00 0 0 1 1 1
1
A.
2. A
�1[n] =
✓12
14
14
38
◆.
3. S =
0
@12
14 0
14
38 0
1 1 1
1
A.
4. S
0 =
0
@� 1
12 � 724 � 1
3� 1
3 � 16 � 1
3512
1124
23
1
A.
Vergelijk dit met Voorbeeld 3.1. Dan geldt inderdaad dat het spoor van S,tr(S) = 15
8 , en het spoor van (LW )+, tr((LW )+) = 512 , niet overeenkomen. We
zien echter wel dat tr(S0) = tr((LW )+) = 512 . Duidelijk geldt S0 6= (LW )+.
We zullen nu aantonen dat de eigenwaarden van S
0 en (LW )+ altijd overeenko-men.
Stelling 5.1Laat {0,�2, ...,�n} de eigenwaarden zijn van L
W met bijbehorend orthogonaalstelsel van eigenvectoren {1n, v2, ...., vn}. Dan heeft S0:
(1) eigenwaarden 1�i
bij eigenvectoren vi met i = 2, ..., n.
(2) eigenwaarde 0 met multipliciteit 1.
BewijsWe bekijken eerst de eigenwaarden 1
�2, ...,
1�n
. Laat i 2 {2, ..., n} en x = vi. Dan
17
geldt LWvi = �ivi en invullen in (⇤) geeft dan S�ivi = vi � (vi)n1n.
S
0�ivi = S�ivi �
1
n
· 1n · 1>n · S · �ivi.
= vi � (vi)n · 1n � 1
n
· 1n · 1>n (vi � (vi)n · 1n)
= vi � (vi)n · 1n � 1
n
((vi)1 � (vi)n + (vi)2 � (vi)n + ...+ (vi)n � (vi)n)1n
= vi � (vi)n · 1n � 1
n
((vi)1 + (vi)2 + ...+ (vi)n � n(vi)n)1n
= vi � (vi)n · 1n � 1
n
(�n(vi)n)1n
= vi � (vi)n · 1n + (vi)n · 1n
= vi
De vijfde vergelijking volgt uit het feit dat vi?1n. Dus geldt S0vi =
1�ivi voor
�i 6= 0. Dus uitspraak (1) is bewezen.
We bekijken nu het geval �1 = 0. Er geldt dat 1>n een linkereigenvector van S
0
is. Namelijk:
1>nS
0 = 1>nS � 1
n
· 1>n · 1n · 1>
nS = 1>nS � 1
n
· n · 1>nS = 0n = 0n · 1>
n .
Aangezien 1n een linkereigenvector is van S
0, geldt dat 1n een rechtereigenvector
is van (S0)>. Daarmee geldt dat 0 een eigenwaarde is van (S0)>. Verder geldter dat
det�(S0)> � �I
�= det
⇣�(S0)> � �I
�>⌘= det
⇣�(S0)>
�> � (�I)>⌘=
det�S
0 � �I
>� = det (S0 � �I) .
Het karakteristiek polynoom en daarmee de eigenwaarden van (S0)> en S
0 zijngelijk, dus 0 is ook een eigenwaarde van S
0.
In het volgende hoofdstuk zullen we aantonen dat we de geconstrueerde ma-trix S
0 ook kunnen gebruiken voor het berekenen van de e↵ectieve weerstandRab tussen knoop a en knoop b en de totale e↵ectieve weerstand R
tot. Opdezelfde manier zijn Rab en R
tot ook uit te drukken in termen van S.
18
6 E↵ectieve Weerstand en alternatief voor Lap-laciaan pseudoinverse
In Hoofdtsuk 4 is gebleken dat we met de Laplaciaan en de pseudoinverse vande Laplaciaan de e↵ectieve weerstand kunnen berekenen. In dit hoofdstuk latenwe zien dat we met behulp van de algemene methode voor symmetrische ma-trices ook de e↵ectieve weerstand Rab tussen knoop a en knoop b en de totalee↵ectieve weerstand R
tot kunnen berekenen.
Uit de combinatie van Stelling 5.1 en Definitie 4.1 kunnen we een uitdrukkingvan Rab in S
0 vinden.
Gevolg 6.1
Rab = (ea � eb)>S
0(ea � eb).
BewijsUit Stelling 4.1 volgt dat S0
x = (LW )+x voor alle x?1n, omdat 1?n = sp{v2, ..., vn}
waarbij v2, ..., vn de eigenvectoren van L
W zijn horende bij de eigenwaarden�2, ...,�n ongelijk aan 0. S
0 werkt dus hetzelfde op 1?n als (LW )+. Uit het feit
dat (ea � eb)?1n volgt dat S0(ea � eb) = (LW )+(ea � eb). Dus uit Definitie 4.1volgt dan
Rab = (ea � eb)>(LW )+(ea � eb) = (ea � eb)
>S
0(ea � eb).
Met Stelling 4.1 en Stelling 5.1 kunnen we de totale e↵ectieve weerstand R
tot
als functie van het spoor van S
0, tr(S0), schrijven.
Gevolg 6.2
Zij S0 = S � 1
n
· 1n · 1>n · S. Dan geldt dat Rtot = n · tr(S0).
BewijsLaat {0,�W
2 , ...,�
Wn } de eigenwaarden zijn van L
W . Uit Stelling 5.1 volgt dandat {0, 1
�W2, ....
1�Wn} de eigenwaarden van S
0 zijn. Dus het spoor van S
0 is gelijkaan
tr(S0) = 0 +nX
i=2
1
�i.
Uit Stelling 4.1 volgt dan, dat
R
tot = n · tr(S0).
19
Met behulp van het bovenstaande gevolg kunnen we de totale e↵ectieve weer-stand R
tot ook uitdrukken in S.
Gevolg 6.3
R
tot = n · tr(S)� 1>n · S · 1n.
BewijsUit Gevolg 6.2 geldt Rtot = n · tr(S0). Verder is het een feit dat S0 ontstaat uitS door de kolomsommen van de rijen van S af te trekken. Daarmee kunnen wehet spoor van S
0 als volgt uitdrukken in S:
tr(S0) = tr(S)� 1n ·
nX
i=1
Si1 + ...+nX
i=1
Sin
!= tr(S)� 1
n · 1>n · S · 1n.
Uit het bovenstaande volgt dat
R
tot = n · tr((LW )+) = n · tr(S) , 1n · 1>
n · S · 1n = 0n.
Uit [5] volgt echter dat alle elementen van (LW[n])
�1 groter of gelijk zijn aan 0.Daarmee geldt dat alle elementen van S[n] groter of gelijk zijn aan 0. Dus alle
kolomsommen van S zijn groter dan 0. Daarmee geldt 1n · 1>
n ·S · 1n 6= 0n. Dusgeldt tr((LW )+) 6= tr(S).
We zullen nu laten zien dat we de e↵ectieve weerstand Rab tussen knopen a
en b ook kunnen berekenen met behulp van S. We hebben S
0 dus niet nodigvoor het berekenen van Rab.
Lemma 6.1Er geldt Rab = (ea � eb)>S(ea � eb) en in het bijzonder geldt Ran = Saa,a = 1, ..., n� 1.
BewijsWe hebben S
0 gedefinieerd als S0 := S � 1n · 1n · 1>
n · S. Uit
Rab = (ea � eb)>S
0(ea � eb)
volgt
Rab = (ea � eb)>✓S � 1
n
· 1n · 1>n · S
◆(ea � eb).
20
Oftewel,
Rab = (ea � eb)>✓S � 1
n
· 1n · 1>n · S
◆(ea � eb)
=
✓(ea � eb)
>S � (ea � eb)
> 1
n
· 1n · 1>n · S
◆(ea � eb)
=�(ea � eb)
>S � 0
�(ea � eb)
= (ea � eb)>S(ea � eb)
= Saa � Sab � Sba + Sbb.
De derde gelijkheid volgt uit het feit dat (ea � eb)>?1n.Als we voor b knoop n kiezen, dan geldt dat San = Sna = Snn = 0. Oftewel datRan = Saa.
Tot slot volgt uit Lemma 6.1 nog een alternatieve methode om Rab te kun-nen berekenen. Hierbij drukken we Rab uit in termen van L
W .
Stelling 6.1
Rab =det(LW
[a,b])
det(LW[a])
.
BewijsKies A = L
W . Een gevolg van de regel van Cramer is de volgende stelling [7] :Als B een n⇥ n inverteerbare matrix is dan geldt
B
�1 =1
det Badj B,
waarbij adjB de geadjungeerde van B is.
Hieruit kunnen we dan ook concluderen dat
B
�1[n] =
1
det B[n]adjB[n].
We hebben dat T en S uit Lemma 5.1 van de volgende vorm zijn:
T =
0
BBBB@
1 0 · · · �1
0. . . · · ·
......
... 1 �10 0 · · · 0
1
CCCCAen S =
0
BBB@
s11 · · · s1n�1 0...
. . ....
sn�11 · · · sn�1n�1 01 · · · · · · 1
1
CCCA.
21
Hieruit kunnen we concluderen dat S[n] = (LW[n])
�1. Dan volgt dat:
Saa = (S[n])aa
= ((LW[n])
�1)aa
=1
det LW[n]
(adj LW[n])aa
=det LW
[a,n]
det LW[n]
.
Uit Lemma 6.1 volgt dat Ran = Saa. Dus met het bovenstaande volgt dan
Ran =det LW
[a,n]
det LW[n]
.
Aangezien we te maken hebben met een netwerk, kunnen we via hernummeringelke knoop b als knoop n kiezen. De formule is dus onafhankelijk van welke rijen kolom we verwijderen [2].
Stelling 6.1 is een bekende stelling en is bijvoorbeeld terug te vinden in [1].Het bewijs dat hiervoor normaal gesproken wordt gegeven, is een vrij lang be-wijs via een energieminimalisatie-argument. Het bovenstaande bewijs is een veeldirecter, alternatief bewijs voor Stelling 6.1.
In het volgende voorbeeld worden Gevolg 5.2, Stelling 6.2 en Definitie 4.2 toe-gepast om de totale e↵ectieve weerstand te berekenen.
Voorbeeld 6.1We gebruiken dezelfde voorbeeldmatrix als in Voorbeeld 3.1, Voorbeeld 4.1 enVoorbeeld 5.1, namelijk
L
W =
0
@3 �2 �1�2 4 �2�1 �2 3
1
A met S
0 =
0
@� 1
12 � 724 � 1
3� 1
3 � 16 � 1
3512
1124
23
1
A.
Door toepassing van Gevolg 5.2 krijgen we:
R
tot = 3 · (� 112 � 1
6 + 23 ) =
54 .
Door toepassing van Stelling 6.1 en Definitie 4.2 krijgen we:
R12 =det(3)
det
✓4 �2�2 3
◆ =3
8.
R13 =det(4)
det
✓4 �2�2 3
◆ =1
2.
22
R23 =det(3)
det
✓3 �1�1 3
◆ =3
8.
R
tot =3
8+
1
2+
3
8=
5
4.
De uitkomsten uit Voorbeeld 4.1 zijn gelijk aan de bovenstaande uitkomsten.Het is interessant dat er verschillende methoden zijn om de e↵ectieve weerstandte berekenen.
23
7 Toepassing op Amsterdams metronetwerk
Aan de hand van de resultaten in de voorgaande secties zullen we de e↵ectieveweerstand van het metronetwerk van Amsterdam analyseren. We zijn hierbijgeınteresseerd in de volgende twee vragen:
1. Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een positieve invloed op de e↵ectieveweerstand van het Amsterdamse metronetwerk?
2. Zou het aanleggen van een lijn tussen Centraal Station en Station Slo-terdijk een positieve invloed hebben op de e↵ectieve weerstand tussen detwee knopen en op de totale e↵ectieve weerstand van het netwerk?
We bekijken de volgende vier netwerken:
• G
O: Het oorspronkelijke metronetwerk van Amsterdam. Dit is hoe hethuidige Amsterdamse metronetwerk eruit ziet.
• G
NZ : Het metronetwerk van Amsterdam met Noord-Zuidlijn.
• G
CS : Het metronetwerk van Amsterdam zonder Noord-Zuidlijn en meteen extra lijn tussen Amsterdam Centraal en Amsterdam Sloterdijk.
• G
NZ,CS Het metronetwerk van Amsterdam met Noord-Zuidlijn en meteen extra lijn tussen Amsterdam Centraal en Amsterdam Sloterdijk.
Voor elk van de gevallen kijken we naar de totale e↵ectieve weerstand van hetnetwerk en naar de e↵ectieve weerstand tussen knoop Centraal Station en knoopStation Sloterdijk, zodat we deze later kunnen vergelijken. Voor de netwerkenG
NZ en G
NZ,CS bekijken we ook nog de totale e↵ectieve weerstand van deknooppunten die niet bij de Noord-Zuidlijn horen om te kijken wat voor invloedde Noord-Zuidlijn op de gemeenschappelijke knopen met GO heeft.
7.1 Het Model
Het Amsterdamse metronetwerk met Noord-Zuidlijn kunnen we modelleren alseen ongerichte, samenhangende graaf met 57 knopen. Het Amsterdamse metro-netwerk zonder Noord-Zuidlijn kunnen we modelleren als een ongerichte, nor-male, samenhangende graaf met 52 knopen. De knopen corresponderen met demetrohaltes. De matrices die we hebben gebruikt, zijn de gewogen Laplacianenvan de verschillende variaties van het metronetwerk dat we bestuderen. Alsgewichten op de takken hebben we het aantal lijnen tussen de corresponderendemetrohaltes gekozen.
Voor de berekening hebben we gebruik gemaakt van drie matlabcodes die inAppendix A zijn opgenomen.
In deze codes hebben we gebruik gemaakt van het feit dat S[n] = (LW )�1[n]
24
zoals in het bewijs van Stelling 6.1. Als formules in de eerste twee matlabcodeshebben we Rab = (ea � eb)>S(ea � eb) en Ran = Saa (zie Lemma 6.1) gebruikt.
Verder is gebruik gemaakt van Definitie 4.1 die zegt dat Rtot =n�1X
i=1
nX
j=i+1
Rij .
Met de eerste code kunnen we R
tot en Rij met 1 i < j n tussen deknopen 1 tot en met n berekenen.
Aangezien het aantal knopen van de netwerken G
NZ en G
NZ,CS (n = 57) groteris dan het aantal knopen van G
O en G
CS (n = 52), kun je de totale e↵ectieveweerstanden van deze netwerken niet goed vergelijken. Dit is opgelost door inplaats van de totale e↵ectieve weerstand van G
NZ en G
CS,NZ de som over dee↵ectieve weerstanden Rij van de oorspronkelijke knooppunten te nemen. Dezekan wel vergeleken worden met de totale e↵ectieve weerstand van G
O en G
CS .Dit kan gedaan worden met behulp van de tweede code.
Met de laatste code berekenen we Rtot van de vier netwerken. Deze code maaktgebruik van Gevolg 6.3. De code is lager in complexiteit, waardoor deze codesignificant sneller is voor hele grote netwerken. Als we alleen geınteresseerd zijnin de totale e↵ectieve weerstand van een netwerk is het beter om deze code tegebruiken.
25
7.2 De Resultaten
Hieronder is een weergave van de vier netwerken. In Appendix B is een gra-fische weergave van het netwerk opgenomen met genummerde knooppunten engewichten op takken in het geval deze groter zijn dan 1.
Figuur 2: netwerk G
O (links) en netwerk G
NZ(rechts)
Figuur 3: netwerk G
CS (links) en netwerk G
NZ,CS(rechts)
In de onderstaande tabel staan de resultaten weergegeven die met behulp van
26
de matlabcodes zijn gegenereerd. Voor alle vier de netwerken is de totale ef-fectieve weerstand R
tot en de e↵ectieve weerstand tussen Centraal Station (C)en Station Sloterdijk (S) berekend. Voor de netwerken G
NZ en G
NZ,CS heb-ben we ook de totale e↵ectieve weerstand van de knopen uit het oorspronkelijke
netwerk, Rtot52 =
51X
i=1
52X
j=i+1
Rij , berekend.
Tabel 1: Resultaten E↵ectieve Weerstand
Netwerk R
totR
tot52 E↵ectieve Weerstand
tussen C en SG
O 12551 n.v.t. 10,6G
NZ 14167 12213 7,8947G
CS 11120 n.v.t. 1,6825G
NZ,CS 12622 10879 1,6329
27
7.3 Conclusie
7.3.1 Vraag 1: Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een positieveinvloed op de e↵ectieve weerstand van het Amsterdamse me-tronetwerk?
We vergelijken eerst netwerk G
O en netwerk G
NZ . Uit de resultaten volgt datR
NZ,tot 12, 9% hoger is dan R
O,tot. Dit is in tegenstelling met wat we ver-wachten, want volgens Stelling 4.2 zou R
tot moeten afnemen met het toevoegentakken . De reden voor deze hogere e↵ectieve weerstand in netwerk G
NZ isdat niet alleen takken worden toegevoegd, maar ook knopen. Deze nieuwe kno-pen zorgen ervoor dat het totale netwerk gevoeliger wordt voor beschadigingen,omdat er bij beschadiging mogelijk geen alternatieve route voor deze nieuweknopen bestaat.
Doordat hieruit niet gelijk duidelijk is wat de invloed van de Noord-Zuidlijnis op de knopen uit het oorspronkelijke netwerk, bekijken we de veranderingvan R
tot van de oorspronkelijke knopen. We zien in de resultaten dat deze2, 7% lager is dan R
O,tot in netwerk G
O.
Ook hebben we de onderlinge e↵ectieve weerstand tussen deze 52 knopen bere-kend. In Appendix C zijn tabellen opgenomen waarin we de procentuele veran-dering kunnen zien van de e↵ectieve weerstand tussen tweetallen oorspronkelijkeknopen in netwerk G
O en in netwerk G
NZ . We zien dat voor elk tweetal kno-pen de e↵ectieve weerstand Rij met 1 i < j 52 gelijk is gebleven of isgedaald. Er is een grote afname van e↵ectieve weerstand tussen de tweetallenknopen 1 tot en met 20 en 23 tot en met 27. De grootste procentuele afnameis de e↵ectieve weerstand tussen knoop 1 en knoop 2, namelijk 47, 4%. Dit isprecies zoals we zouden verwachten, omdat kortere routes hierbij van groteretoegevoegde waarde zijn. Dit bevestigt dat de e↵ectieve weerstand een goedemaat voor robuustheid is.
De totale e↵ectieve weerstandR
NZ,tot is hoger dan R
O,tot, dus de Noord-Zuidlijnmaakt het totale netwerk minder robuust. Uit het bovenstaande blijkt echterwel dat de Noord-Zuidlijn zorgt voor een robuuster oorspronkelijk netwerk. Hettoevoegen van de Noord-Zuidlijn aan het metronetwerk heeft dus een positieveinvloed op het oorspronkelijke netwerk.
7.3.2 Vraag 2: Zou het aanleggen van een lijn tussen Centraal Sta-tion en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op dee↵ectieve weerstand tussen de twee knopen en op de totalee↵ectieve weerstand van het netwerk?
Op basis van de resultaten kan een vergelijking worden gemaakt tussen de ver-schillende netwerken met betrekking tot de invloed die een lijn tussen CentraalStation en Station Sloterdijk heeft op de robuustheid van het netwerk. Erwordt hierbij gekeken naar de procentuele verschillen van de totale e↵ectieve
28
weerstand, de totale e↵ectieve weerstand van het oorspronkelijke netwerk enhet verschil van de e↵ectieve weerstand tussen Centraal Station (C) en StationSloterdijk (S). De uitkomsten worden weergegeven in de onderstaande tabel.
Tabel 2: Procentuele verschillen E↵ectieve Weerstand met lijn tussen CentraalStation en Station Sloterdijk
VergelijkingNetwerken
ProcentueelVerschilR
tot
Procentueel VerschilR
tot52
Procentueel VerschilE↵ectieve Weerstandtussen C en S
G
CS t.o.v.G
O11, 4% lager n.v.t. 84, 1% lager
G
NZ,CS
t.o.v. GNZ10, 9% lager 10, 9% lager 79, 3% lager
G
NZ,CS
t.o.v. GOn.v.t 13, 3% lager 79, 3% lager
Uit de tabel kunnen we concluderen dat een lijn tussen Centraal Station enStation Sloterdijk het netwerk robuuster maakt, want de e↵ectieve weerstanddaalt in alle netwerken. Een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijkheeft zelfs een grotere invloed op de daling van de totale e↵ectieve weerstandvan het oorspronkelijke netwerk dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn aanhet netwerk.
7.3.3 Slotconclusies en mogelijk vervolgonderzoek
De totale e↵ectieve weerstand van het oorspronkelijke netwerk daalt zowel methet toevoegen van de Noord-Zuidlijn als met het toevoegen van een lijn tussenCentraal Station en Station Sloterdijk. Dus de robuustheid van het oorspron-kelijke netwerk neemt toe. Deze toename van robuustheid is intuıtief logisch,omdat er meerdere alternatieve routes zijn. Dit bevestigt dat de e↵ectieve weer-stand een goede maat voor de robuustheid is.
Het is vrij opmerkelijk dat het toevoegen van een lijn tussen Centraal Station enStation Sloterdijk een grotere invloed heeft of de afname van R
tot dan het toe-voegen van de Noord-Zuidlijn. Dit hadden we in eerste instantie niet verwacht,omdat het slechts een lijn is die toegevoegd wordt tussen Centraal Station eneen niet centraal in het netwerk gelegen knooppunt. De Noord-Zuidlijn daaren-tegen verbindt twee knooppunten die meer centraal in het netwerk liggen (zieAppendix B). Een verklaring kan zijn dat het toevoegen van de Noord-Zuidlijnvoornamelijk van invloed is op de knooppunten 1, 3, 4, 14, 15, en 23 tot enmet 27, omdat deze het dichtst in de buurt van de Noord-Zuidlijn liggen. Dezeknooppunten hebben allen al een hogere graad in vergelijking tot de meesteknooppunten in het netwerk en daardoor meerdere alternatieve routes. Het
29
toevoegen van nog een alternatieve route heeft dan minder invloed op de ro-buustheid.
Het toevoegen van en lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk lijktdus een goedkopere oplossing dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn, terwijlhet wel een hogere robuustheid oplevert. Dit is een eerste stap in het ontwerpvoor een beter netwerk. In toekomstig onderzoek kan overwogen worden omzaken mee te modelleren zoals de fysieke afstand tussen knooppunten, de tijddie het kost om van het ene knooppunt naar het volgende knooppunt te gaanen de kosten van het aanleggen van nieuwe lijnen.
30
Appendices
A Codes
Code 1
1 % Ik ve rw i jde r de n�de kolom en r i j van matrix A2 A(n , : ) = [ ] ;3 A( : , n ) = [ ] ;4
5 % S i s de i nv e r s e van A6 S = inv (A) ;7
8 % Creeer een l e g e nxn matrix voor de e f f e c t i e v e weerstand9 R = ze ro s (n) ;
10
11 % Creeer een (n�1)x (n�1) i d e n t i t e i t sma t r i x12 E = eye (n�1) ;13
14 % Voor e l k paar knopen vul R met de e f f e c t i e v e weerstand15 f o r i= 1 : n�216 f o r j = i +1:n�117 R( i , j ) = (E( : , i )�E( : , j ) ) ’⇤S⇤(E( : , i )�E( : , j ) ) ;18 end19 end20
21 % Vul l a a t s t e kolom van R22 f o r i= 1 : n�123 R( i , n )=S( i , i ) ;24 end25
26 % Som van a l l e e f f e c t i e v e weerstanden27 Rtot=sum(sum(R) )
Code 2
1 % Ik ve rw i jde r de n�de kolom en r i j van matrix A2 A(n , : ) = [ ] ;3 A( : , n ) = [ ] ;4
5 % S i s de i nv e r s e van A6 S = inv (A) ;7
8 % Creeer een l e g e nxn matrix voor de e f f e c t i e v e weerstand9 R = ze ro s (n) ;
31
10
11 % Creeer een (n�1)x (n�1) i d e n t i t e i t sma t r i x12 E = eye (n�1) ;13
14 % Voor e l k paar knopen vul R met de e f f e c t i e v e weerstand15 % Al leen voor de knopen 1�52 om zo de e f f . w. van knopen
53�57 te negeren16 f o r i= 1 : n�617 f o r j = i +1:n�518 R( i , j ) = (E( : , i )�E( : , j ) ) ’⇤S⇤(E( : , i )�E( : , j ) ) ;19 end20 end21
22 % Som van a l l e e f f e c t i e v e weerstanden23 Rtot=sum(sum(R) )
Code 3
1 %leg e vec to r2 z=ze ro s (n�1 ,1) ;3 % Ver i jde r en n�de r i j en kolom4 A( : , n ) = [ ] ;5 A(n , : ) = [ ] ;6 %S i s de i nv e r s e van A7 S=inv (A) ;8 % Vullen van vec to r z met d iagonaa le lementen van S9 f o r i =1:n�1
10 z ( i , 1 )=S( i , i ) ;11 end12 %kolomsommen van S + 113 s=sum(S)+ones (1 , n�1) ;14 %kolomsommen a f t r ekken van diagonaa le lementen15 c=z ’�(1/n) ⇤ s ;16 % to t a l e e f f e c t i e v e weerstand (met c o r r e c t i e voor
v e r i j d e r d e r i j /kolom )17 Rtot=n⇤(sum( c )+1�(1/n) )
32
B Graaf Amsterdams Metronetwerk
6(Station Sloterdijk(S)) 7
8
9
10
11
12
1314
2 15 3
5
16
17
18
19
2021 22
4
27
26
25
24
23
1 (Amsterdam Centraal (C))
28 2930
31
32
33
52
51
504948
47
46
4544 43 42
41
40
3938373635
34
54 53
55
56
57
(2) (2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2) (2)
(2)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
Metrohalte
a b(x)
Gewicht x op tak tussen knoop a en b
Extra lijn tussen C en S
Noord-Zuidlijn
33
C Tabellen met procentuele verschillen e↵ectieveweerstand per knoop
De volgende tabellen geven het procentuele verschil weer tussen tweetallen kno-pen in Netwerk G
O en G
NZ . Hierbij is alleen gekeken naar de knopen 1 tot enmet 52. Voor de tabellen gelden de volgende opmerkingen:
• In de tabellen staan alleen Rij met 1 i < j 52 weergegeven. Dezekeuze is gemaakt vanwege het overzicht. Aangezien geldt dat Rij = Rji
(uit Gevolg 4.1), kan de onderste helft van de tabel, die nu gelijk is aan 0,afgeleid worden uit de bovenste helft.
• Voor de plekken waar “�0” staat is het procentuele verschil verwaarloos-baar klein.
34
Tabel 3: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 1 t/m 5 en 1 t/m 52
Knopen 1 2 3 4 5
1 0 -47.5 -34.23 -26.5 -26.67
2 0 0 -13 -21.25 -16.25
3 0 0 0 -8.33 -3.33
4 0 0 0 0 -2.5
5 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0
13 0 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0
16 0 0 0 0 0
17 0 0 0 0 0
18 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0 0
23 0 0 0 0 0
24 0 0 0 0 0
25 0 0 0 0 0
26 0 0 0 0 0
27 0 0 0 0 0
28 0 0 0 0 0
29 0 0 0 0 0
30 0 0 0 0 0
31 0 0 0 0 0
32 0 0 0 0 0
33 0 0 0 0 0
34 0 0 0 0 0
35 0 0 0 0 0
36 0 0 0 0 0
37 0 0 0 0 0
38 0 0 0 0 0
39 0 0 0 0 0
40 0 0 0 0 0
41 0 0 0 0 0
42 0 0 0 0 0
43 0 0 0 0 0
44 0 0 0 0 0
45 0 0 0 0 0
46 0 0 0 0 0
47 0 0 0 0 0
48 0 0 0 0 0
49 0 0 0 0 0
50 0 0 0 0 0
51 0 0 0 0 0
52 0 0 0 0 0
35
Tabel 4: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 6 t/m 14 en 1 t/m 52
Knopen 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 -13.57 -14.74 -16.13 -17.81 -19.88 -22.5 -25.91 -30.54 -37.17
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 -1.3 -1.44 -1.62 -1.86 -2.17 -2.6 -3.25 -4.33 -6.5
4 -3.21 -3.54 -3.95 -4.47 -5.15 -6.07 -7.39 -9.44 -13.08
5 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.94 -4.64 -5.65 -7.22 -10
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0
18 0 0 0 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23 0 0 0 0 0 0 0 0 0
24 0 0 0 0 0 0 0 0 0
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0
26 0 0 0 0 0 0 0 0 0
27 0 0 0 0 0 0 0 0 0
28 0 0 0 0 0 0 0 0 0
29 0 0 0 0 0 0 0 0 0
30 0 0 0 0 0 0 0 0 0
31 0 0 0 0 0 0 0 0 0
32 0 0 0 0 0 0 0 0 0
33 0 0 0 0 0 0 0 0 0
34 0 0 0 0 0 0 0 0 0
35 0 0 0 0 0 0 0 0 0
36 0 0 0 0 0 0 0 0 0
37 0 0 0 0 0 0 0 0 0
38 0 0 0 0 0 0 0 0 0
39 0 0 0 0 0 0 0 0 0
40 0 0 0 0 0 0 0 0 0
41 0 0 0 0 0 0 0 0 0
42 0 0 0 0 0 0 0 0 0
43 0 0 0 0 0 0 0 0 0
44 0 0 0 0 0 0 0 0 0
45 0 0 0 0 0 0 0 0 0
46 0 0 0 0 0 0 0 0 0
47 0 0 0 0 0 0 0 0 0
48 0 0 0 0 0 0 0 0 0
49 0 0 0 0 0 0 0 0 0
50 0 0 0 0 0 0 0 0 0
51 0 0 0 0 0 0 0 0 0
52 0 0 0 0 0 0 0 0 0
36
Tabel 5: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 15 t/m 22 en 1 t/m52
Knopen 15 16 17 18 19 20 21 22
1 -40.65 -22.07 -18.82 -16.41 -14.55 -13.06 -11.85 -10.85
2 -6 -12.38 -10 -8.39 -7.22 -6.34 -5.65 -5.1
3 -6 -1.82 -1.25 -0.95 -0.77 -0.65 -0.56 -0.49
4 -14.55 -1.11 -0.71 -0.53 -0.42 -0.34 -0.29 -0.26
5 -10 0 -0 -0 -0 -0 0 0
6 -0.32 -2.34 -2.24 -2.15 -2.06 -1.98 -1.91 -1.84
7 -0.35 -2.57 -2.45 -2.34 -2.24 -2.15 -2.06 -1.98
8 -0.4 -2.86 -2.71 -2.57 -2.45 -2.34 -2.24 -2.15
9 -0.46 -3.21 -3.02 -2.86 -2.71 -2.57 -2.45 -2.34
10 -0.55 -3.66 -3.42 -3.21 -3.02 -2.86 -2.71 -2.57
11 -0.67 -4.26 -3.94 -3.66 -3.42 -3.21 -3.02 -2.86
12 -0.86 -5.1 -4.64 -4.26 -3.94 -3.66 -3.42 -3.21
13 -1.2 -6.34 -5.65 -5.1 -4.64 -4.26 -3.94 -3.66
14 -2 -8.39 -7.22 -6.34 -5.65 -5.1 -4.64 -4.26
15 0 -6.88 -5.24 -4.23 -3.55 -3.06 -2.68 -2.39
16 0 0 0 -0 -0 -0 0 0
17 0 0 0 -0 -0 -0 0 0
18 0 0 0 0 0 -0 0 0
19 0 0 0 0 0 -0 0 0
20 0 0 0 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0 0 0 0 0
23 0 0 0 0 0 0 0 0
24 0 0 0 0 0 0 0 0
25 0 0 0 0 0 0 0 0
26 0 0 0 0 0 0 0 0
27 0 0 0 0 0 0 0 0
28 0 0 0 0 0 0 0 0
29 0 0 0 0 0 0 0 0
30 0 0 0 0 0 0 0 0
31 0 0 0 0 0 0 0 0
32 0 0 0 0 0 0 0 0
33 0 0 0 0 0 0 0 0
34 0 0 0 0 0 0 0 0
35 0 0 0 0 0 0 0 0
36 0 0 0 0 0 0 0 0
37 0 0 0 0 0 0 0 0
38 0 0 0 0 0 0 0 0
39 0 0 0 0 0 0 0 0
40 0 0 0 0 0 0 0 0
41 0 0 0 0 0 0 0 0
42 0 0 0 0 0 0 0 0
43 0 0 0 0 0 0 0 0
44 0 0 0 0 0 0 0 0
45 0 0 0 0 0 0 0 0
46 0 0 0 0 0 0 0 0
47 0 0 0 0 0 0 0 0
48 0 0 0 0 0 0 0 0
49 0 0 0 0 0 0 0 0
50 0 0 0 0 0 0 0 0
51 0 0 0 0 0 0 0 0
52 0 0 0 0 0 0 0 0
37
Tabel 6: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 23 t/m 27 en 1 t/m52
Knopen 23 24 25 26 27
1 -4 -8.5 -13 -17.5 -22
2 -43.06 -38.64 -34.23 -29.85 -25.52
3 -29.85 -25.52 -21.25 -16.32 -12.14
4 -22 -17.5 -13 -8.5 -4
5 -22.1 -18.08 -13.57 -9.06 -4.55
6 -11.47 -9.5 -7.67 -6.01 -4.51
7 -12.49 -10.37 -8.4 -6.59 -4.97
8 -13.7 -11.41 -9.27 -7.3 -5.52
9 -15.18 -12.69 -10.35 -8.19 -6.22
10 -17.02 -14.29 -11.71 -9.31 -7.12
11 -19.36 -16.35 -13.48 -10.8 -8.31
12 -22.45 -19.1 -15.89 -12.85 -10
13 -26.71 -22.97 -19.35 -15.86 -12.54
14 -32.97 -28.81 -24.72 -20.71 -16.82
15 -36.39 -32.19 -27.62 -23.02 -19.07
16 -17.79 -14.03 -10 -6.17 -2.7
17 -14.89 -11.46 -7.92 -4.68 -1.92
18 -12.8 -9.69 -6.55 -3.77 -1.49
19 -11.23 -8.39 -5.59 -3.15 -1.22
20 -10 -7.4 -4.87 -2.71 -1.03
21 -9.01 -6.62 -4.32 -2.38 -0.89
22 -8.2 -5.99 -3.88 -2.12 -0.79
23 0 -4 -8.5 -13 -17.5
24 0 0 -4 -8.5 -13
25 0 0 0 -4 -8.5
26 0 0 0 0 -4
27 0 0 0 0 0
28 0 0 0 0 0
29 0 0 0 0 0
30 0 0 0 0 0
31 0 0 0 0 0
32 0 0 0 0 0
33 0 0 0 0 0
34 0 0 0 0 0
35 0 0 0 0 0
36 0 0 0 0 0
37 0 0 0 0 0
38 0 0 0 0 0
39 0 0 0 0 0
40 0 0 0 0 0
41 0 0 0 0 0
42 0 0 0 0 0
43 0 0 0 0 0
44 0 0 0 0 0
45 0 0 0 0 0
46 0 0 0 0 0
47 0 0 0 0 0
48 0 0 0 0 0
49 0 0 0 0 0
50 0 0 0 0 0
51 0 0 0 0 0
52 0 0 0 0 0
38
Tabel 7: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 28 t/m 33 en 1 t/m52
Knopen 28 29 30 31 32 33
1 -18.82 -14.55 -11.85 -10 -8.65 -7.62
2 -10 -7.22 -5.65 -4.64 -3.94 -3.42
3 -1.25 -0.77 -0.56 -0.43 -0.36 -0.3
4 -0.71 -0.42 -0.29 -0.23 -0.19 -0.16
5 -0 -0 -0 -0 -0 -0
6 -2.24 -2.06 -1.91 -1.78 -1.67 -1.57
7 -2.45 -2.24 -2.06 -1.91 -1.78 -1.67
8 -2.71 -2.45 -2.24 -2.06 -1.91 -1.78
9 -3.02 -2.71 -2.45 -2.24 -2.06 -1.91
10 -3.42 -3.02 -2.71 -2.45 -2.24 -2.06
11 -3.94 -3.42 -3.02 -2.71 -2.45 -2.24
12 -4.64 -3.94 -3.42 -3.02 -2.71 -2.45
13 -5.65 -4.64 -3.94 -3.42 -3.02 -2.71
14 -7.22 -5.65 -4.64 -3.94 -3.42 -3.02
15 -5.24 -3.55 -2.68 -2.16 -1.8 -1.55
16 -0 -0 -0 -0 -0 -0
17 -0 -0 -0 -0 -0 -0
18 -0 -0 -0 -0 -0 -0
19 -0 -0 -0 -0 -0 -0
20 -0 -0 -0 -0 -0 -0
21 -0 -0 -0 -0 -0 -0
22 -0 -0 -0 -0 -0 -0
23 -14.89 -11.23 -9.01 -7.53 -6.46 -5.66
24 -11.46 -8.39 -6.62 -5.47 -4.65 -4.05
25 -7.92 -5.59 -4.32 -3.52 -2.97 -2.57
26 -4.68 -3.15 -2.38 -1.91 -1.59 -1.37
27 -1.92 -1.22 -0.89 -0.7 -0.58 -0.5
28 0 -0 -0 -0 -0 -0
29 0 0 0 -0 -0 -0
30 0 0 0 0 -0 -0
31 0 0 0 0 0 0
32 0 0 0 0 0 0
33 0 0 0 0 0 0
34 0 0 0 0 0 0
35 0 0 0 0 0 0
36 0 0 0 0 0 0
37 0 0 0 0 0 0
38 0 0 0 0 0 0
39 0 0 0 0 0 0
40 0 0 0 0 0 0
41 0 0 0 0 0 0
42 0 0 0 0 0 0
43 0 0 0 0 0 0
44 0 0 0 0 0 0
45 0 0 0 0 0 0
46 0 0 0 0 0 0
47 0 0 0 0 0 0
48 0 0 0 0 0 0
49 0 0 0 0 0 0
50 0 0 0 0 0 0
51 0 0 0 0 0 0
52 0 0 0 0 0 0
39
Tabel 8: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 34 t/m 52 en 1 t/m52
Knopen 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 521 -7.57 -7.92 -8.3 -8.72 -9.19 -9.72 -10.3 -10.96 -11.71 -12.57 -13.57 -14.74 -16.13 -17.81 -19.8 8 -22.5 -25.91 -30.54 -37.172 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 -0.65 -0.68 -0.72 -0.76 -0.81 -0.87 -0.93 -1 -1.08 -1.18 -1.3 -1.44 -1.62 -1.86 -2.17 -2.6 -3.25 -4.33 -6.54 -1.65 -1.73 -1.83 -1.93 -2.05 -2.18 -2.33 -2.5 -2.7 -2.93 -3.21 -3.54 -3.95 -4.47 -5.15 -6.07 -7.39 -9.44 -13.085 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.94 -4.64 -5.65 -7.22 -106 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 013 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 014 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 -0.15 -0.16 -0.17 -0.18 -0.19 -0.21 -0.22 -0.24 -0.26 -0.29 -0.32 -0.35 -0.4 -0.46 -0.55 -0.67 -0.86 -1.2 -216 -1.23 -1.29 -1.36 -1.44 -1.52 -1.61 -1.72 -1.84 -1.98 -2.15 -2.34 -2.57 -2.86 -3.21 -3.66 -4.26 -5.1 -6.34 -8.3917 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.94 -4.64 -5.65 -7.2218 -1.18 -1.23 -1.29 -1.36 -1.44 -1.52 -1.61 -1.72 -1.84 -1.98 -2.15 -2.34 -2.57 -2.86 -3.21 -3.66 -4.26 -5.1 -6.3419 -1.15 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.94 -4.64 -5.6520 -1.13 -1.18 -1.23 -1.29 -1.36 -1.44 -1.52 -1.61 -1.72 -1.84 -1.98 -2.15 -2.34 -2.57 -2.86 -3.21 -3.66 -4.26 -5.121 -1.1 -1.15 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.94 -4.6422 -1.08 -1.13 -1.18 -1.23 -1.29 -1.36 -1.44 -1.52 -1.61 -1.72 -1.84 -1.98 -2.15 -2.34 -2.57 -2.86 -3.21 -3.66 -4.2623 -6.32 -6.61 -6.94 -7.3 -7.7 -8.15 -8.65 -9.21 -9.86 -10.6 -11.47 -12.49 -13.7 -15.18 -17.02 -19.36 -22.45 -26.71 -32.9724 -5.17 -5.41 -5.69 -5.99 -6.32 -6.69 -7.11 -7.59 -8.13 -8.76 -9.5 -10.37 -11.41 -12.69 -14.29 -16.35 -19.1 -22.97 -28.8125 -4.12 -4.32 -4.54 -4.78 -5.06 -5.36 -5.71 -6.1 -6.54 -7.06 -7.67 -8.4 -9.27 -10.35 -11.71 -13.48 -15.89 -19.35 -24.7226 -3.18 -3.34 -3.51 -3.7 -3.92 -4.16 -4.43 -4.74 -5.1 -5.52 -6.01 -6.59 -7.3 -8.19 -9.31 -10.8 -12.85 -15.86 -20.7127 -2.36 -2.47 -2.61 -2.75 -2.91 -3.1 -3.3 -3.54 -3.81 -4.13 -4.51 -4.97 -5.52 -6.22 -7.12 -8.31 -10 -12.54 -16.8228 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.94 -4.64 -5.65 -7.2229 -1.15 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.94 -4.64 -5.6530 -1.1 -1.15 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.94 -4.6431 -1.06 -1.1 -1.15 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.42 -3.9432 -1.02 -1.06 -1.1 -1.15 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.02 -3.4233 -0.98 -1.02 -1.06 -1.1 -1.15 -1.2 -1.26 -1.33 -1.4 -1.48 -1.57 -1.67 -1.78 -1.91 -2.06 -2.24 -2.45 -2.71 -3.0234 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 035 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 036 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 037 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 038 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 039 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 040 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 041 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 042 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 043 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 044 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 045 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 046 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 047 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 048 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 049 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 051 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 052 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
40
Referenties
[1] R.B. Bapat, I. Gutman, and W. Xiao. A simple method for computingresistance distance. Z. Naturforsch, 2003.
[2] S. Boyd, A. Ghosh, and A. Saberi. Minimizing e↵ective resistance of a graph.SIAM Review, 50(1):37–66, 2008.
[3] R. Bulirsch and J. Stoer. Introduction to numerical analysis. Springer, fourthedition, 1993.
[4] W. Ellens. E↵ective resistance. Masterscriptie, Universiteit Leiden, 2011.
[5] D. Ertiningsih, M.N. Katehakis, L.C. Smit, and F.M. Spieksma. Level pro-duct form QSF processes and an analysis of queues with Coxian interarrivaldistribution. Accepted at Naval Research Logistics, 2015.
[6] D.J. Klein and M. Randic. Resistance distance. Journal of Mathematical
Chemistry, 12:81–95, 1993.
[7] D.C. Lay. Linear Algebra and its applications. Pearson, 2012.
41
