Spinnenweb

8 | Uitwiskeling winter 2017

De kettinglijn en gelijkvormige grafieken

Michel Roelens

In het zesde jaar (6 uur wiskunde) wou ik mijn

leerlingen, als toepassing op exponentiële func-

ties, kennis laten maken met de kettinglijn. Ons

handboek (Deloddere e.a., 2014) besteedt hier

een paragraafje aan, maar ik startte los van het

boek. Precies dankzij de start los van het boek,

ontdekten wij een fout in het handboek en

daardoor zullen mijn leerlingen niet gauw verge-

ten hoe het zit met gelijkvormige grafieken.

Hieronder vertel ik in de paragrafen 1 en 2 wat in

de les aan bod kwam. In paragraaf 3 ga ik in op de

kettinglijn als oplossing van een differentiaal-

vergelijking. Dit laatste is in de les niet ter sprake

gekomen want op dat moment (in oktober) had-

den de leerlingen nog geen kennis van integralen.

1. De cosinushyperbolicus-grafiek aanpassen aan een echte ketting

De gouden ketting die ik ooit van mijn grootmoe-

der gekregen heb en die nog altijd rond mijn nek

hangt, kan goed dienstdoen als didactisch mate-

riaal. Ik hou die ketting in twee punten vast en

laat die voor het witte projectiescherm hangen. Ik

vraag aan de leerlingen welke vorm ze herken-

nen. Op een enkeling na die vooraf in het

handboek heeft gekeken, zijn ze unaniem: dit is

duidelijk een parabool! We nemen de proef op de

som. Met GeoGebra laat ik de grafiek van een

parabool op het scherm komen. Ik vraag een

Spinnenweb

Uitwiskeling winter 2017 | 9

leerling om mijn ketting in twee punten vast te

houden en ze te laten samenvallen met (een stuk

van) deze parabool. Dit lukt slechts bij benade-

ring: de parabool is ‘iets meer V’ en de ketting is

‘iets meer U’ (figuur 1).

Figuur 1 Parabool en ketting. De foto is nadien gemaakt

met mijn computerscherm in plaats van het projectie-

scherm.

De kettinglijn (Engels: catenary) is een andere

kromme dan de parabool. Ik leg uit wanneer je

een kettinglijn krijgt en wanneer een parabool:

Als je in het zwaartekrachtveld een touw of

ketting laat hangen waarbij even lange stuk-

jes, gemeten langs de ketting zelf, even zwaar

zijn, dan neemt die de vorm aan van een

kettinglijn. Dit is het geval bij mijn gouden

ketting.

Als je in het zwaartekrachtveld een touw of

ketting laat hangen waarbij stukjes met even

lange horizontale projecties, even zwaar zijn,

dan neemt die de vorm aan van een parabool.

Dit is het geval bij een hangbrug (figuur 2).

Het gewicht van de kabel zelf is te verwaar-

lozen ten opzichte van het gewicht van het

wegdek dat eraan hangt. Het wegdek is op ge-

lijke horizontale afstanden opgehangen aan

de kabel en elk even lang horizontaal stuk

van het wegdek is even zwaar.

Terwijl ik het vertel, neem ik mij voor om tegen

een volgende keer twee touwtjes klaar te maken,

één met gelijke gewichtjes (parels) op gelijke

horizontale afstanden en één met gelijke gewicht-

jes op gelijke afstanden langs het touw gemeten

(figuur 3).

Figuur 2 Parabool fysisch bekeken (bron: Ghione

(2009), p. 15)

Figuur 3 Kettinglijn versus parabool

De vorm van een kettinglijn is die van de grafiek

van de cosinushyperbolicusfunctie

= cosh =+

2.

Ik vertel er ook bij dat dit bewezen kan worden

steunend op de zwaartekracht, maar dat dit leidt

tot een differentiaalvergelijking die zij zonder

integralen nog niet kunnen oplossen (zie tweede

deel van dit artikel).

We tekenen deze grafiek met GeoGebra (in een

orthonormaal assenstelsel) en stellen inderdaad

vast dat we er de ketting mooi mee kunnen laten

samenvallen (figuur 4).

Figuur 4 de kettinglijn sluit perfect aan bij de hangende

ketting

Spinnenweb

10 | Uitwiskeling winter 2017

We vragen ons af: hoe kunnen we de functie zo

aanpassen dat de grafiek een gegeven hangende

ketting beschrijft. Een leerling mag beslissen

welke coördinaten de top moet hebben en welk

ander punt ook op de kettinglijn moet liggen.

Deze leerling is vriendelijk: hij kiest de top op de

-as: het punt (0, 2). Als tweede punt kiest hij

(3, 4).

Figuur 5 Twee gegeven punten waardoor een kettinglijn

moet gaan

De basisgrafiek = cosh moeten we nog ver-

groten. Met een schets op het bord stuur ik in de

richting van een homothetie met centrum (0, 0).

De factor kennen we nog niet en noemen we .

Figuur 6 Grafiek vergroten

Een punt ( , ) ligt op de vergrote grafiek als en

slechts als het punt , op de basisgrafiek ligt

(zie figuur 6). Het nieuwe voorschrift is dus

= cosh

of nog = cosh .

Als ik dit voorschrift intyp in GeoGebra, ontstaat

een schuifbalk voor de parameter (de vergro-

tingsfactor). Maar we moeten de grafiek nog

verticaal verschuiven want geen enkele van deze

grafieken gaat door beide punten en . We

voegen dus nog een term toe:

= cosh + .

Er komt een tweede schuifbalk bij. Door te

‘mikken’ met beide schuifbalken krijgen we de

kromme door de gewenste punten (figuur 7).

Figuur 7 Goed gemikt

Dit moet systematischer kunnen. Mijn leerlingen

vinden dit ‘mikken’ geen echte wiskunde. Zij dic-

teren mij de twee voorwaarden:

door het punt (0, 2), dus 2 = + ;

door het punt (3, 4) dus 4 = cosh + .

In de tweede gelijkheid kunnen we = 2

invullen. Blijft op te lossen uit de vergelijking

4 = cosh3

+ 2 .

Dit is een vergelijking waarvan de onbekende

zowel ‘binnen’ als ‘buiten’ de functie cosh voor-

komt. Een dergelijke ‘transcendente vergelijking’

kan alleen numeriek worden opgelost. Met de

grafische rekenmachine of GeoGebra kunnen we

het nulpunt bepalen van de functie

cosh3

2.

Spinnenweb

Uitwiskeling winter 2017 | 11

We vinden 2,527 en dus 0,527. Dit

klopt met de (ruwere) benadering van het

‘mikken’ met de schuifbalken.

Als de leerling de top van de ketting niet op de -

as had geplaatst, was er ook nog een horizontale

verschuiving nodig geweest. De vergelijking van

de kettinglijn zou van de vorm

= cosh +

zijn. Het zou geen extra problemen opleveren:

is de -coördinaat van de top en de rest verloopt

zoals hierboven.

2. In het handboek

We nemen er het handboek bij. De leerlingen

lezen hoe in de architectuur de kettinglijnen ook

ondersteboven worden gebruikt, als stabiele

bogen waarbij de drukkrachten in de richting van

de kromme zelf werken. Eén van de leerlingen

heeft in dit verband in Barcelona de hangende

touwtjes van Gaudì in de spiegel gezien (figuur 8).

Figuur 8 Hangende kettingen bekeken in een spiegel,

Barcelona, Casa Mila

Onder de uitleg over architectuur staat een oefe-

ning, helemaal analoog aan wat we zopas gedaan

hebben. Een dikke ketting opgehangen aan twee

even hoge paaltjes moet worden gemodelleerd.

De paaltjes zijn 0,5 m hoog en staan 2 m van el-

kaar. Het laagste punt hangt 0,2 m boven de

grond. De leerlingen moeten de ketting beschrij-

ven met een functie van de vorm

= cosh .

Het assenstelsel is getekend op de foto: de -as op

de grond en de -as in het midden tussen de

paaltjes. De oplossing achteraan in het boek, =

0,2 en = 0,638, is eenvoudig te vinden. Er is

helemaal geen transcendente vergelijking voor

nodig. Verdacht...

Ik vertel aan de leerlingen dat dit volgens mij fout

is. Wij hebben daarnet een homothetie toegepast,

en dus in de - en in de -richting met eenzelfde

factor vergroot. In het handboek vergroten ze

met factor in de -richting en met factor in de

-richting. Als , bewaart deze transformatie

de vorm niet! Als het waar is dat een kettinglijn

de vorm van de cosinushyperbolicusgrafiek moet

hebben, is dit geen kettinglijn meer!

Die avond heb ik meteen een e-mailbericht ge-

stuurd naar bevriende auteurs van het handboek:

is het mogelijk dat er een foutje in staat? Na het

weekend kon ik aan de leerlingen aankondigen

dat in de volgende druk van het boek de formule

= cosh vervangen zal zijn door ‘onze’ for-

mule = cosh + , een homothetie gevolgd

door een verschuiving, en niet een combinatie

van een horizontale vermenigvuldiging en een

(andere) verticale vermenigvuldiging. In figuur 9

zie je het verschil tussen de oplossing van het

boek en de echte kettinglijn voor hetzelfde

vraagstuk.

Figuur 9 De kettinglijn in volle lijn; de oplossing van het handboek in stippellijn

Spinnenweb

12 | Uitwiskeling winter 2017

Vreemd genoeg: om een parabool gelijkvormig te

vergroten (of te verkleinen), is enkel een verticale

vermenigvuldiging of enkel een horizontale ver-

menigvuldiging wél voldoende. Het beeld van de

parabool = door de homothetie met cen-

trum (0, 0) en factor is, geheel analoog met wat

we met de kettinglijn deden (zie figuur 6):

= =1

= .

Dus: vergroten (of verkleinen) met factor kan

ook door verticaal te vermenigvuldigen met fac-

tor , ofwel door horizontaal te vermenigvuldigen

met factor . Alle parabolen zijn gelijkvormig!

Door de exponent 2 door een ander getal te

vervangen kunnen we overigens hetzelfde

zeggen van elke machtsfunctie. Er geldt:

= = .

Dus: om = te vergroten met factor volstaat

ofwel een verticale vermenigvuldiging met factor ofwel een horizontale vermenigvuldiging

met factor .

Een sinusgrafiek bewaart zijn vorm niet als je overgaat van = sin naar = sin , maar

daar heeft de vorm meestal geen belang. Bij het

modelleren van bv. getijden, komt de tijd op de

horizontale as en de hoogte op de verticale as,

waardoor het geen zin heeft om gelijke eenheden

op de assen te nemen...

3. Parabool versus kettinglijn vanuit een differentiaal-vergelijking.

Er bestaan verschillende versies van de afleiding

van de formule voor de kettinglijn. Ik baseer mij

vooral op Steur (1980), waarbij geen gebruik

wordt gemaakt van infinitesimale stukjes ketting.

Ik vond deze redenering het gemakkelijkst te

volgen, al blijft dit natuurlijk een paragraafje

‘voor gevorderden’.

Bij een ketting in evenwicht kun je vaststellen dat

de vorm ‘stabiel’ is: wanneer je twee punten van

de hangende ketting vasthoudt (op de plaats

waar ze zijn), dan blijft het stuk ketting tussen

deze punten op zijn plaats hangen. Een stuk van

een grotere ketting gedraagt zich dus als een

aparte ketting.

We beschouwen een ketting die vastgemaakt is in

twee punten en in evenwicht hangt in het zwaar-

tekrachtveld. Het assenstelsel kiezen we zo dat de

top de oorsprong is. We zijn op zoek naar de

functie waarvan deze ketting de grafiek is. We

beschouwen een stuk van deze ketting, boven het

interval [0, ], waarbij variabel is (zie figuur

10). De eindpunten van dit stuk zijn de top (0, 0)

en punt ( , ). Ons stuk wordt op zijn plaats ge-

houden door drie krachten: het gewicht ( ), de

trekkracht in en de trekkracht ( ) in A. De

krachten en ( ) trekken rakend aan de

kromme. is horizontaal en onafhankelijk van .

Dit heeft te maken met de evenwichtsvorm die we

zoeken: de horizontale trekkracht verandert niet

als we een groter of kleiner stuk ketting beschou-

wen, anders zou de kromme ‘zich aanpassen’

wanneer verandert. De kracht ( ) hangt

natuurlijk wel af van want een groter stuk

ketting weegt zwaarder en moet harder omhoog-

gehouden worden...

We ontbinden ( ) in een horizontale compo-

nent ( ) en een verticale component ( ).

Omdat de ketting in evenwicht hangt, is de som

van de krachten nul. Dit geeft voor de groottes van

de krachten:

( ) =

( ) = ( )

Nu moeten we een verband leggen met de functie waarvan deze kromme de grafiek is. Omdat

( ) raakt aan de kromme, geldt

( ) =( )

( )=

( ). (1)

Vanaf hier maken we het onderscheid tussen het

geval waarbij het gewicht evenredig is met de

lengte van de horizontale projectie (zoals bij de

hangbrug) en het geval waarbij het gewicht

evenredig is met de lengte gemeten langs de

ketting (zoals bij mijn gouden ketting). Zoals

aangekondigd zullen we in het eerste geval een

parabool uitkomen en in het tweede geval een

cosinushyperbolicus-grafiek.

Spinnenweb

Uitwiskeling winter 2017 | 13

Eerste geval: het gewicht is evenredig met de horizontale lengte

In dit geval is

( ) =

met een constant getal.

We hebben

( ) = .

Merk op dat constant is. Door te integreren

vinden we

( ) =2

+ .

Door (0, 0) in te vullen, vinden we de parabool

=2

.

Tweede geval: het gewicht is evenredig met de lengte langs de kromme

In dit geval is

( ) = 1 + ( )

met een constante. Invullen in (1) geeft

( ) = 1 + ( ) .

We leiden af om de integraal weg te werken:

( ) = 1 + ( ) .

Stel ( ) = ( ). Dan hebben we

( ) = 1 + ( ) .

We lossen deze differentiaalvergelijking op met

de methode ‘scheiding der veranderlijken’:

d ( )

1 + ( )

= d .

Voor het linkerlid gebruiken we de formule

= ln | + 1 + | + die in veel hand-

boeken wordt vermeld (maar die ikzelf niet van

buiten ken):

ln ( ) + 1 + ( ) = + (2)

De constante zullen we later bepalen. Eerst

merken we op dat ln + 1 + gelijk aan

argsinh , waarbij argsinh de inverse functie is

van de sinushyperbolicusfunctie.

Figuur 10

Spinnenweb

14 | Uitwiskeling winter 2017

Immers:

ln + 1 + =

+ 1 + =

1 + =

1 + = 2 +

=1

2

=2

= sinh .

We passen dit toe op (2):

( ) = sinh + .

We mogen niet vergeten dat ( ) = ( ):

( ) = sinh + .

Integreren geeft

( ) = cosh + + .

Omdat een even functie moet zijn, is gelijk aan

0. Door de top (0, 0) in te vullen krijgen we =

. De oplossing is dus

( ) = cosh .

Stel = en je herkent ‘onze’ vergrote of ver-

kleinde cosinushyperbolicus-grafiek met als top

de oorsprong:

( ) = cosh .

Bronnen

Deloddere, N. e.a. (2014). Delta Nova 6 Analyse deel 1 6/8 lesuren. Mechelen: Plantyn.

Ghione, F. (2009). Una non-parabola: la catenaria con qualche cenno al calcolo della sua equazione,

http://crf.uniroma2.it/quaderni/catenaria/Catenaria.pdf

Steur, H. (1980). Levende wiskunde. Toepassingen geordend naar wiskundig onderwerp. Culemborg:

Educaboek.