VERBANDENsamenvatting

Periodiek verband

De grafiek van eb en vloed herhaaltzich ongeveer elke 12 uur.Die 12 uur is de periode van de grafiek.Er is een periodiek verband tussen detijd en de hoogte.In de grafiek zijn 2,5 perioden getekend.

De waterhoogte na 39 uur bereken je zo:• De periode is 12 uur.• De periode past 3 keer in 39 uur.• Je houdt 39 – 3 × 12 = 3 uur over.• In de grafiek lees je bij 3 uur af hoogte = 1 m.

De waterhoogte na 39 uur is dus ook 1 m.

Wat is de waterhoogte na 45 uur? -1 meter

Periodiek verband

Evenwichtsstand, amplitude en frequentie

De hoogste punten liggen op 5 meter.De laagste punten liggen op 1 meter.De evenwichtsstand ligt daar preciestussenin, dus op 3 meter.De evenwichtsstand is met rood gestippeld.De hoogste en laagste punten liggen 2 meterboven en onder de evenwichtsstand.We zeggen: de amplitude is 2 meter.

De amplitude is de afstand van de hoogstepunten tot de evenwichtsstand.

De periode is 4 seconden.De periode past 60 : 4 = 15 keer in een minuut.De frequentie is dus 15 per minuut.De periode past 60 × 15 = 900 keer in een uur.De frequentie is dus ook 900 per uur.

2

3

4

5

O 3 4 5 6 2

hoogte in meters

1tijd in seconden

1

evenwichtsstandampl

itud

e

ampl

itud

e

Periodiek verband

Bijzondere lineaire formules en grafieken

De blauwe grafiek loopt horizontaal.Alle punten op de grafiek liggen op hoogte 3.Alle punten op de grafiek hebben y-coördinaat 3.De formule is dan y = 3.

De groene grafiek loopt verticaal.Alle punten op de grafiek hebben x-coördinaat 2.De formule is dan x = 2

Op de rode grafiek liggen de punten(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) enz.De x-coördinaat is altijd hetzelfde als de y-coördinaat.De formule is daarom y = x

y = getal horizontale grafiekx = getal verticale grafieky = x grafiek door O en (1, 1), (2, 2), enz.

Lineair verband

Parabool

hoogte in m = ¯20t2 + 400t + 4000t en hoogte zijn de variabelen.In de formule staat een kwadraat, daarom is het een kwadratische formule.Er is een kwadratisch verband tussen de tijden de hoogte.

t = 10hoogte in m = -20 × (10)2 + 400 × (10) + 4000

= 6000 m

De grafiek heeft de vorm van een parabool.De parabool is symmetrisch.De symmetrieas is de verticale lijn door de top.

Wat je invult, zet je altijd tussen haakjes.

kwadratisch verband

Eigenschappen parabool

Staat er in een kwadratisch verband een negatief getal voor de variabelemet het kwadraat, dan is de grafiek een bergparabool.De grafiek heeft een maximum.W = -5a2 + 300a

Bij een positief getal voor de variabele met het kwadraat is de grafiek eendalparabool met een minimum.K = 6a2 – 7a

Het hoogste of laagste punt van een parabool noemen we de top.

kwadratisch verband

Voorbeeld 3

Hiernaast zie je de grafieken vanhoogte = a2 – 6a + 8 en hoogte = 4a: horizontale afstand in metershoogte in metersBereken de coördinaten van het snijpunt P.Rond af op één decimaal.

Aanpaka2 – 6a + 8 = 4Los op met inklemmen.Lees uit de grafiek af dat a ligt tussen0,5 en 1. Bereken a met inklemmen.

Uitwerkinga = 0,7 geeft hoogte = 4,29a = 0,8 geeft hoogte = 3,843,84 ligt dichter bij 4 dan bij 4,29,dus a = 0,8De hoogte is 4, dus P(0,8; 4).

kwadratisch verband

De top van een parabool

In kwadratische formules kun je de coördinaten van de top berekenen.Kwadratische formule: y = ax2 + bx + c

Notatie coördinaten top: (xtop, ytop)

Van de parabool hiernaast is de top (2, 5).Dus xtop = 2 en ytop = 5.

Van de grafiek van een kwadratische formule kun je de top berekenen.

De xtop bereken je met xtop = –

De ytop bereken je door het antwoord van xtop in te vullen in de formule.

b2a

kwadratisch verband

Vergelijkingen oplossen

Bij een vergelijking heb je, net als bij een balans, twee kanten.Daarom kun je een vergelijking oplossen met de balansmethode.Links van het = teken noemen we het linkerlid,rechts van het = teken noemen we het rechterlid.

5a – 4 = 9a + 16

De letter in de vergelijking noemen we de variabele.

Met de volgende stappen los je de vergelijking op.1. Zorg ervoor dat de variabele uit het rechterlid verdwijnt.2. Zorg ervoor dat in het linkerlid de losse getallen verdwijnen.3. Deel door het getal dat voor de variabele staat.4. Controleer je antwoord.

linkerlid rechterlid

Lineair verband

voorbeeldLos op: -3a + 2 = 6 + 5a

Uitwerking-3a + 2 = 6 + 5a– 5a – 5a-8a + 2 = 6 – 2 – 2¯8a = 4: -8 : -8a = -0,5

Controlelinkerlid: -3 × (-0,5) + 2 = 3,5rechterlid: 6 + 5 × (-0,5) = 3,5Het klopt.

Lineair verband

2 formules vergelijken met elkaarbundel A: kosten in € = 3 + 0,07abundel B: kosten in € = 2,50 + 0,08aa: aantal sms’jes

a Maak een vergelijking van de beide formules.b Bij hoeveel sms’jes zijn de kosten gelijk?c Welke van de bundels is voordeliger op lange termijn?

Aanpaka Neem van beide formules het rechtergedeelte en stel die aan elkaar gelijk.

Het maakt niet uit welke formule je eerst opschrijft.b Los de vergelijking op met de balansmethode.c Kies voor a(= aantal sms’jes) een getal dat groter is dan de oplossing,

hier bijvoorbeeld 100.Vul dat getal in beide formules in.Je ziet nu welke bundel op de lange duur voordeliger is.

Lineair verband

Somformule en verschilformule

Formules met dezelfde variabelen kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken.Je krijgt dan een somformule of een verschilformule.

formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250wformule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270wsomformule huurprijs in € = 100 + 520ww: tijd in weken

Je ziet dat de getallen worden opgeteld.De variabelen huurprijs in € en w blijven hetzelfde.Met de somformule bereken je de huurprijs van de twee tenten samen.Bij de formules kun je grafieken tekenen.De grafiek bij de somformule is de somgrafiek.

+

Lineair verband

voorbeeldHans wil een tent huren.Hij vraagt zich af wat het prijsverschil is tussen tent 1 en tent 2..formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250wformule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270ww: tijd in wekena Maak de verschilformule tent 1 – tent 2.b Teken de verschilgrafiek tent 1 – tent 2.c Wat betekent de verschilgrafiek?d Welke tent is goedkoper?

Uitwerkinga formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250w

formule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270wverschilformule huurprijs in € = 60 – 20w

bc Met de verschilformule kun je uitrekenen hoeveel tent 1 duurder is dan tent 2.d Tent 2 is goedkoper als je kort huurt.

Na 3 weken zijn de tenten even duur, daarna is het voordeliger om tent 1 te huren.

−

Lineair verband

Van percentage naar groeifactor

Neemt een hoeveelheid met 12% toe,dan krijg je 100% + 12% = 112%.De groeifactor is dan 112 : 100 = 1,12.

Bij een toename van 5,3% krijg je100% + 5,3% = 105,3%.De groeifactor is dan105,3 : 100 = 1,053.Bij een toename van 0,8% hoort een groeifactor van 1,008.

Exponentieel verband

Exponentiële afname

Neemt een hoeveelheid met 16% af,dan krijg je 100% – 16% = 84%.De groeifactor is dan 84 : 100 = 0,84.Bij een afname van 7,2% krijg je100% – 7,2% = 92,8% .De groeifactor is dan 92,8 : 100 = 0,928.Bij een afname van 0,6% hoort een groeifactor van 0,994.

Exponentieel verband

Tabel exponentiele groei

t 1 2 3 4

A 15 38 94 234

A=6 x 2,5t

38

15

94

38

=2,53333… =2,4736…

234

94=2,4893…

N=b x gt

t 0 1 2 3 4

A 15 38 94 234

g = 2,5

t=0 : A=15 ÷ 2,5 = 6

Exponentieel verband

Gelijkmatige toename en afnameJe kunt onderzoeken of er in een tabel sprake is van eengelijkmatige toename of afname. Dat gaat zo:

1. Je schrijft de toename en/of afname boven en onder de tabel met de boogjes.

2. Dan maak je steeds de deling stapgrootte =

3. Als de stapgrootte steeds hetzelfde is, dan is het een tabel met een gelijkmatige toename of afname.

4. Is de stapgrootte + gelijkmatige toenameIs de stapgrootte - gelijkmatige afnameVoorbeeld

= -3

= -3

= -3

De uitkomst is steeds gelijk, er is sprake van gelijkmatige afname.De stapgrootte is -3.

toename ondertoename boven

t 0 2 5 6

l 60 54 45 42

+ 2 + 3 + 1

– 6 – 9 – 3

- 62

- 93

- 31

Lineair verband

voorbeeld

Bij de tabel hiernaast is de stapgrootte

= 1,5

Het begingetal is de lengte die hoort bij t = 0.Dat is hier 6 – 3 = 3.

De variabele onder in de tabel is ‘lengte’.Daar begint de formule mee.

t 2 4 6 8

lengte 6 9 12 15

+ 2 + 2 + 2

+ 3 + 3 + 3

32

lengte 3 1,5 tDe formule bij de tabel is lengte = 3 + 1,5 × t

Lineair verband

Van lineaire grafiek naar formule

Bij een lineaire grafiek kun je een lineaire formule maken.1. De variabele die bij de verticale as staat komt voor het = teken.2. De variabele die bij de horizontale as staat komt achter het = teken.3. Lees het begingetal af op de verticale as.4. De stapgrootte vind je zo:

a) Zoek een roosterpunt op de grafiek dat je goed kunt aflezen.

b) Tel één naar rechts en kijk hoe je weer op de grafiek komt.

c) De formule die je krijgt ziet er zo uit

Lineair verband

Stapgrootte berekenen II

In sommige grafieken is de stapgrootte niet precies af te lezen als je één stap opzij gaat.Dan bereken je de stapgrootte zo:1 Kies twee punten op de grafiek waarvan

je de coördinaten goed kunt aflezen.2 Teken de horizontale en verticale

lijnstukken die daarbij horen.3 Bereken de stapgrootte met

stapgrootte =

Hiernaast zie je: stapgrootte = = 3,75 154

toename verticaaltoename horizontaal

25

20

15

10

5

O 1 2 3 4t

B

4

15

•

•

Lineair verband

Hetzelfde begingetal of dezelfde stapgrootte• Bij grafieken die evenwijdig lopen horen formules met

dezelfde stapgrootte.• Sommige formules hebben hetzelfde begingetal .

De grafieken van die formules beginnen op dezelfde hoogteop de verticale as.

VoorbeeldBij een rode grafiek hoort formule B = 15 + 2,5ta Een groene grafiek loopt evenwijdig aan de rode grafiek,

maar als beginpunt (0, 7).Wat is de formule van deze grafiek?

b Een blauwe grafiek heeft hetzelfde beginpunt als de rode grafieken heeft als stapgrootte ¯0,75.Wat is de formule van deze grafiek?

Aanpaka Gebruik dat evenwijdige grafieken dezelfde stapgrootte hebben.b Gebruik dat de gegeven grafieken hetzelfde begingetal hebben.

Uitwerkinga B = 7 + 2,5tb B = 15 – 0,75t 2.3

Lineair verband

Omgekeerd evenredig

Het inhuren van een band voor een schoolfeest kost € 600.Hoe meer leerlingen er komen, hoe minder je per leerling betaalt.

a: aantal leerlingenHierbij kun je een tabel maken en een grafiek.

In de tabel en de grafiek zie je:• als het aantal leerlingen tien keer zo groot

wordt, dan wordt het bedrag per leerlingtien keer zo klein.

• als het aantal leerlingen drie keer zo grootwordt, dan wordt het bedrag per leerling drie keer zo klein.

Dit noemen we een omgekeerd evenredig verband.De grafiek bij een omgekeerd evenredig verband is een hyperbool.

hyperbolisch verband

Formules bij een omgekeerd evenredig verband

De formule P = hoort bij een omgekeerd evenredig verband.

Je kunt de formule ook schrijven als P × a = 36.

Bij de twee formules hoort dezelfde tabel en dezelfde grafiek.De grafiek is een hyperbool.

De formule P × a = 36 is van de vorm variabele × variabele = getal.

variabele

variabele

getal

36a

hyperbolisch verband

Wortelverbanden

hoogte in m =a: horizontale afstand in meters.In de formule staat één van de variabelenonder het wortelteken.Daarom is het een wortelformule.Er bestaat een wortelverband tussen de afstand a en de hoogte.

Vul je a = 6 in, dan krijg jehoogte = = 4,9

Bij de formule kun je een grafiek tekenen.Je maakt eerst een tabel.

4 (6)

4a

wortel verband

Machten

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26

26 is een macht.In de macht 26 is 2 het grondtal en 6 de exponent.26 = 64

VoorbeeldenI 23 = 2 × 2 × 2 = 8II 73 spreek je uit als

zeven-tot-de-derde of als zeven-tot-de-derde-macht.

machts verband

Machtsverheffen

Het berekenen van machten heet machtsverheffen.

Volgorde bij berekeningen:1 Berekenen wat binnen de haakjes staat2 Machtsverheffen en worteltrekken van links naar rechts.3 Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts.4 Optellen en aftrekken van links naar rechts.

voorbeeldena 23 + 5 × 3 =

8 + 15 = 23b 5 + 3 × 23 =

5 + 3 × 8 =5 + 24 = 29

machts verband

Machtsverheffen op de rekenmachine

Op je rekenmachine zit een machttoets.

Oudere: 3,58 tik je in alsNieuwere: 3,58 tik je in als

Controleer dat 3,58 = 22 518,753 91.

machts verband

Grafiek bij een machtsformule

In de formule I = × π × r3 staat de derde macht van de variabele r.Deze formule is een voorbeeld van een machtsformule.Er bestaat een machtsverband tussen de straal en de inhoud van de piramide.

Grafiek machtsverband:1. Je maakt dan eerst een tabel.2. Teken de punten uit de tabel in een assenstelsel.3. Teken door die punten een vloeiende kromme.

machts verband

Voorbeeld machtsverband

Teken de grafiek van de formule h = 10 + 0,8t2,5.h: hoogte in mt: tijd in uren

Aanpak• Maak eerst een tabel, bijvoorbeeld van t van 0 tot 5.

Voor t = 2 krijg jeh = 10 + 0,8 × (2)2,5 = 14,5.

• Teken een assenstelsel dat bij de tabel past.• Teken de punten van de tabel in de grafiek.• Verbind de punten door een vloeiende

kromme te tekenen.

Uitwerking

1.1

machts verband