8/17/2019 BAB 1 LIMIT

1/17

Fungsi dan Operasi pada Fungsi

Dalam matematika yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang

memetakan setiap objek x  di suatu himpunan D (daerah asal ) ke sebuah objek 

tunggal y di himpunan E (daerah hasil ). Funsi biasanya dilambangkan dengan

huruf keci seperti f atau g. Lambangf  : D → E

Berarti f  adalah fungsi dari D ke E. Fungsi yang akan dibahas disini adalah

fungsi dengan daerah asal D ∈   R dan daerah hasil E   ∈   R yang sering

dinyatakan dalan bentuk persamaan seperti   y= x2  atau f  ( x )= x2 , x ∈ RContoh 1. Fungsi f  ( x )= x2   memetakan setiap bilangan real ! ke

kuadratnya yakni  x2 . Daerah asalnya adalah R dan daerah hasilnya adalah

[0,∞ ).

Contoh 2. Fungsi g ( x )=1

 x memetakan setiap bilangan real  x≠0  ke

kebalikannya yakni

1

 x . Daerah asalnya sama dengan daerah hasilnya yaitu

{ x∈ R| x ≠0}.  "rafik fungsi f  adalah grafik persamaan  y=f  ( x)  pada sistem koordinat

#artesius atau bidan $!y. %ebagai contoh grafik fungsi f  ( x )= x2  adalah

 parabola. %ementara itu grafik fungsi g ( x )=1

 x berbentuk hiperbola dengan

sumbu simetris garis  y= x  dan  y=− x .

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

2/17

%eperti halnya pada bilangan kita definisikan operasi penjumlahan,

 pengurangan, perkalian dan pembagian pada fungsi. %ebagai berikut &

( f  +g ) ( x )=f  ( x )+g ( x )

( f  −g )= f  ( x )−g ( x )

( f . g)=f  ( x ) . g ( x )

( f g )= f  ( x )g ( x )

'salkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. %ebagai contoh jika f  ( x )= x2  

dan g ( x )=1

 x maka f  +g  adalah fungsi yang memetakan  x  ke  x

2+1

 x 

yakni &

( f  +g ) ( x )= x2+ 1 x

Daerah asal f  +g  adalah irisan dari daerah asal f   dan daerah asal   g yakni

{ x∈ R| x ≠0¿

%elain keempat operasi tadi kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi   f  yakni

f  ( x )¿ p

f   p ( x )=¿ 

'salkab bentuk di ruas kanan terdefinisi. Diberikan dua fungsi f dan g, kita dapat pula

melakukan operasi komposisi yang dilambangkan dengan g∘ f  . Disisni &

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

3/17

( g∘ f  ) ( x )=g( f  ( x ))

ntuk memahami fungsi komposisi g∘ f   bayangkan x pertama kali ke   f  ( x)  oleh f   

kemudian petakan lahi ke g( x)  oleh g .  x→f  ( x )→g( f  ( x ))

Daerah asal g∘ f   adalah { x∈ D ( f  )|f  ( x )∈ D(g)}  dengan  D( f )  dan  D(g)  

menyatakan daerah asal f   dan g  berturut turut.

Contoh 1

Diketahui& f  ( x )=√ x  dan g ( x )= x2  maka

√ x ¿2= x

( g∘ f  ) ( x )=g ( f  ( x ) )=g (√  x )=¿

Daerah asalnya sama dengan daerah asal f   yakni ¿ .

Contoh 2

Diketahui f  ( x )=√ x  dan g ( x )=1

 x maka

( g∘ f  ) ( x )=g ( f  ( x ) )=g (√  x )=  1

√  x

Daerah asalnya adalah

{ x∈ D ( f  )|f ( x )≠0 }=(0,∞ )

Catatan. Operasi komposisi tidak bersifat komutatif, yakni secara umum g∘ f ≠ f  ∘ g

Latihan untuk kedua contoh diatas tentukan f  ∘g  (dengan cermat) dan simpulkan apakah

f  ∘g=g∘ f 

Catatan. Dua fungsi sama jika dan hanya jika keduanya mempunyai aturan atau rumus sama

D' daerah asalnya sama.

Beberapa Fungsi Khusus

Fungsi konstan & f  ( x)=k , k  konstanta

Fungsi Identitas & f  ( x )= x

Fungsi Linear  & f  ( x )=ax+b ,a danb konstanta

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

4/17

Fungsi Kuadrat  &   f  ( x )=a x2+bx+c,a,b,ckonstan

Fungsi Polinom &   f  ( x )=anxn+…+a1 x+a0 ,  dengan n bilangan bulat positif.

Fungsi Rasional  & f  ( x )= p ( x )q ( x )  dengan p dan * fungsi polinom

Fungsi Nilai mutlak  & f  ( x )=¿ x∨¿

Fungsi aljabar seperti& g ( x )=√  x

g ( x )= x1

3+1

"rafik fungsi f(!) + !

"rafik fungsi f(!) + ,!,

FUNGSI TRIGONOMTRI

Ru!us "u!#ah $an se#isih $ua su$ut

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

5/17

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

6/17

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

7/17

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

8/17

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

9/17

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

10/17

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

11/17

L--/ dan 0E0O/-' F"%-

Limit fungsi disuatu titik dan tak hingga merupakan konsep dasar materi kalkulus. /urunan

dan integralyang merupakan materi inti kalkulus dibangun dengan konsep limit. ntuk

memahami konsep limit dibutuhkan pengertian tentang harga mutlak sebagai jarak antara

titik dan pertidaksaan sebagai ukuran kedekatan

a. 0onsep limit fungsi

Bila kita mempunyai suatu fungsi yang peubah bebasnya menuju titik tertentu di sumbu

!(artinya jarak antara peubah bebas dan titik tertentu tersebut semakin lama semakin

mengecil tapi tidak harus sama dengan nol ) apakah peubah tak bebasnya juga menuju suatu

nilai tertentu disumbu y. 'tau bagaimana perilaku peubah tak bebas jika peubah bebasnya

membesar sampai tak hingga1

ntuk memahami konsep limit perhatikan contoh berikut

Masa#ah garis singgung

isalnya diketahui grafik  y=f  ( x)  dan akan ditentukan gradien garis singgung dititik 

 p(c , f  ( c ))

2ermasalahannya adalah untuk menentukan kemiringan suatu garus diperlukan palinga

sedikit dua titik. 0arena yang diketahui hanya titik  p ( c , f  ( c ) ) maka untuk pertolongan

ditetapkan satu titik misalnya Q ( x , f  ( x ) ) , x ≠0 . 0emiringan garis 23 (   m pq¿ ditentukan

dengan rumus m pq=f  ( x )− f  (c )

 x−c

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

12/17

2erhatikanlah grafik y+f(!) bah4a jika ! semakin dekat ke c maka tali busur 23 berubah

menjadi garis yang menyinggung kur5a y+f(!) dititik 2 yang disebut garis singgung dititik 2

Bila m pq  adalah gradien garis 23 maka gradien garis singgung dititik 2 denotasikan

dengan m p

I$e Li!it

lim x→ c

f  ( x )= L

Berarti jika x mendekati c, maka f  ( x )  mendekati L tapi  x≠c

Perhatikan grafk berikut

dari gambar 6.7a. f terdefinisi di c. ntuk nilai ! yang semakin dekat dengan c. ilai f(!)

 juga semakin dekat dengan L. Bagaimana jika f tidaj terdefinisi di c nilai f(!) tetap saja

semakin dekat dengan L

a. 2endekakatan Limit %ecara umerik 

Contoh

isalkan f  ( x )= x2  dan c+7 perhitungan secara numerik untuk lim x→ 3

 x2  menghasilkan

tabel seperti berikut

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

13/17

Dari tabel nampak bah4a bila ! dibuat sedekat mungkin dengan 7 baik sebelum maupun

sesudah 7 nilai f(!) semakin dekat dengan 8 berarti lim x→ 3

 x2=9

#ontoh

2erhitungan numerik untuk 

 x2−4¿/( x−2)lim x →2

¿

 Terlihat dari tabel untuk x mendekati 2 tapi x tidak sama dengan 2 sehingga

mudah untuk dipahami bahwa untuk x yang semakin dekat dengan 2, (x) akan

dekat 22!"

b# Pendekatan $imit %ecara &rafk

'nth

&ambarkan grafk ungsi f  ( x )={3 x+1, x ≠23, x=2  dan gunakan grafk itu untuk

mencari lim x→ 2

f  ( x )

Penyelesaian

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

14/17

ari grafk untuk x mendekati 2 nilai (x) mendekati *# Pada kenyataannya

secara numerik dengan memilih x sedekat mungkin dengan 2 nilai (x) juga akan

mungkin dengan *# Terlihat bahwa (2)!+ tetapi lim x→ 2

f  ( x )=7

ari cnth dan pemahaman tentang limit diatas maka dapat disimpulkan

prinsip penting tentang limit yaitu

Limit L dari suatu fungsi y=f(x) ketika x mendekati suatu titik c tidak

bergantung pada nilai f di c

 Tiga buah cnth grafk ungsi berikut, mungkin dapat lebih membantu dalam

pemahaman tentang limit#

Sifat Sifat Limit Fungsi

ndaikan k suatu knstanta serta limit lim x→ a

f  ( x) dan lim x→ a

g ( x ) , maka

-# $imit .umlah

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

15/17

f  ( x )+g ( x )=lim x → a

f  ( x )+ lim x →a

g ( x )

¿lim x →2

¿

2# $imit selisih

f  ( x )−g ( x )=lim x→ a f  ( x )−lim x→ a g ( x )¿

lim x→2

¿

+# /ntuk setiap bilangan real k

lim x→ 2

(fk  ( x ))=k lim x →a

f  ( x )

"# $imit pembagian

n

lim x→ a

f  ( x )lim x→ a

g ( x )

f  ( x )g ( x )=¿lim x→2

¿

0# $imit ari [ f  ( x )]n

 .ika n adalah bilangan bulat psiti, maka lim x→ a

[ f  ( x )]n

1# $imit darin√ f  ( x )  

 .ika n≥2  dan n bialngan bulat lim x→ a

n√ f  ( x )= n√ lim

 x →af  ( x )

*# /ntuk setiap ungsi plinmial  P ( x )=anxn+an−1 xn−1+…+a1 x+a0

lim x→ a

 p ( x )= p(a)

# Teri pit

f  ( x)≤g( x )≤( x )/ntuk setiap x dalam internal buka yang memuat c (kecuali mungkin di c

sendiri) dan

f  ( x )=¿ lim x→a

( x )= L

lim x→a

¿ 

maka lim x→ a

g ( x )= L

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

16/17

Li!it Sepiha% 

9ika ! mendekati c dari kiri mengakibatkan f(!) mendekati L maka kita tuliskan

8/17/2019 BAB 1 LIMIT

17/17