Uitwerkingen opgaven Algebra en Bewijzen 1.

hoofdstuk 1opgave 1.1.1

Nee, bijvoorbeeld 4∈Z ,7∈Z

, maar

Opgave 1.1.2

a)12−1

13

2=

−512

b)−12

en 12

c) Neem ab

en cd

, dan ab+ c

d2

=ad+bc2 bd

∈Q

Opgave 1.2.1a) De verzameling van alle kwadraten van alle natuurlijke getallenb) De verzameling van alle positieve veelvouden van 11.c) De alle verzamelingen van alle gehele getallen vanaf 100 tot en met 999.d) {1,9,25,49 , …, …}e) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }f) {−1,0,1 }

opgave (1.2.2)a) 2, 4, 6, 8; Jab) Nee, 4 ϵE, maar niet in deze verzamelingc) -1,1,3,5 het zijn de oneven getallen

Opgave 1.2.3a) {2,4,6,8 }b) {0,1,8,27 }c) {−1,1 }d) {−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4 }

e) {1 ,12

,13

,14 }

Opgave 1.2.4a) {10 n+6|n∈N }b) {10−n|n ≥1 }c) {n2−1|n∈N }

opgave (1.3.1)a) b1) Onwaar:

Er geldt dat -1 O, maar -1 N ;

b2) Waar

opgave (1.3.2)a) De getallen 123 en 456 zijn de elementen van de linkerverzameling. Geen van beide

getallen zijn element van de rechterverzameling. Dus: {123, 456} {1, 2, 3, 4, 5, 6};b) De elementen -2 en -1 zijn elementen van de linkerverzameling, maar niet van de

rechterverzameling. Dus: {-2, -1, 0, 1, 2} N;c) Alle elementen van de linkerverzameling zijn gehele getallen, en dus ook elementen van

de rechterverzameling. Dus: {-2, -1, 0, 1, 2} Z;d) De verzameling van alle drievouden is {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...};

De verzameling van alle zesvouden is {..., -12, -6, 0, 6, 12, ...};Het getal 3 is een drievoud, maar het is géén zesvoud. Dus:de verzameling van alle drievouden de verzameling van alle zesvouden;

e) De verzameling van alle zesvouden is {..., -12, -6, 0, 6, 12, ...};De verzameling van alle drievouden is {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...};Een willekeurig zesvoud is te noteren als 6 n voor een of andere n Z. Een andere notatie voor dat getal is dan 3 2 n, en dat is een drievoud. Elk zesvoud is dus een drievoud. Dus:de verzameling van alle zesvouden de verzameling van alle drievouden;

f) De linkerverzameling is de verzameling van alle veelvouden van 35.De rechterverzameling is de verzameling van alle veelvouden van 5.Net als in onderdeel e) is te beredeneren:{35 n | n Z} {5 n | n Z};

g) Voor elk natuurlijk getal n geldt: (-1)n = 1 of (-1)n = -1. De linkerverzameling is dus te noteren als {-1, 1}. Elk element van de linkerverzameling is element van de rechterverzameling, dus: {(-1)n | n N} {-2, -1, 0, 1, 2};

h)De linkerverzameling, enumeratief genoteerd: {...,

14 ,

12 , 1, 2, 4, 8, ...}. Elk element van

deze verzameling is een rationaal getal. Dus: {(2)z | z Z} Q.

opgave (1.3.3)a) ,

{1}, {2},{1, 2};

b) , {5}, {8}, {9},{5, 8}, {5, 9}, {8, 9},{5, 8, 9};

c) , {1}, {2}, {3}, {4},{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4},{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}.

opgave (1.3.4)a) P({1, 2}) = { , {1}, {2}, {1, 2}}; b) P({5, 8, 9}) = {, {5}, {8}, {9}, {5, 8}, {5, 9}, {8, 9}, {5, 8, 9}}.

opgave (1.4.1)a) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}; d) {1, 3, 5, 7, 9};b) {5, 7}; e) {1, 3, 5, 7, 9};c) {1, 3, 9}; f) .

opgave (1.4.2)a) Z; b) ;

opgave (1.4.3)a) Deze bewering is waar, bewijs:

Kies (bijvoorbeeld) A = {1, 2} en B = {2, 3}, dan geldt: A \ B = {1} en B \ A = {3}: twee verschillende verzamelingen dus;

b) Deze bewering is onwaar, bewijs {met een tegenvoorbeeld}:Kies (bijvoorbeeld) A = {1, 2} en B = {1, 2}, dan geldt: geldt: A \ B = B \ A = ;

c) Deze bewering is waar, bewijs:Kies A = {1, 2} en B = {1} dan geldt: A B = {1, 2} en A = {1, 2};

d) Deze bewering is waar, bewijs:Kies A = {1} en B = {1, 2} dan geldt: A B {1} en = A = {1}.

opgave (1.4.4) en opgave (1.4.5)\ {1} {2} {1, 2} {1} {2} {1, 2} {1} {2} {1, 2}

{1} {1} {1} {1} {1} {1} {1, 2} {1, 2}{2} {2} {2} {2} {2} {1, 2} {2} {1, 2}

{1, 2} {1, 2} {2} {1} {1, 2} {1, 2} {1, 2} {1, 2} {1, 2}

hoofdstuk 2opgave 2.2.1

want er is een k zodanig dat 6 ∙ k=120, namelijk k=20

want er is geen geheeltallige k zodanig dat 8∙ k=4

Opgave 2.2.27=2∙ 3+1, dus ja.−13=2∙−7+1, dus ja.−5=2∙−3+1, dus ja.

Opgave 2.2.3Stel m=2 ∙ k+1 en n=2∙ l+1 dan m ∙n=(2k+1 ) (2l+1 )=4 kl+2 k+2l+1=2 (2 kl+k+l )+1=2 p+1, dus oneven. (p=2kl+k+l)

Opgave 2.2.4Zie reader.

Opgave 2.2.5Zelf aantal getallen kiezen en invullen!

Opgave 2.2.6a) 5|m dusm=5k en 5|n dus n=5 lDan m+n=5k+5 l=5(k+l), dus 5|m+nb) m=3n+1−6n+270=3 (3n−2 n+90 ) , dus3|m.c) n=2 k+1 , dusn2−1=4 k2+4 k=4 k (k+1). Of k of k+1 is even, dus een van beide heeft

factor 2. Dan heeft 4 k (k+1) een factor 4 ∙2=8 , dus8|n2−1.d) Neem n=4, 4 heeft 3 delers, 1,2 en 4. 2 n=8 heeft 4 delers, 1,2,4 en 8. Dus onwaar.e) Onwaar, neem k=2 ,m=5enn=3 bijvoorbeeld.

Opgave 2.3.1 180=22 ∙ 32 ∙ 51

Opgave 2.3.2 210=2∙3 ∙5 ∙ 7 268¿22 ∙67 429¿3 ∙11 ∙ 13 1024¿210

Opgave 2.3.3 172=22 ∙ 43 364¿22 ∙7 ∙ 13

970=2 ∙5 ∙ 97 2069=2069 (2069 is priem)

Opgave 2.3.4Zie reader.

Opgave 2.3.51024¿210, dus heeft (10+1)=11 delers729=36, dus heeft (6+1)=7 delers

Opgave 2.3.6a) 1012=22 ∙11 ∙23, dus heeft (2+1)(1+1)(1+1)=12 delersb) 2430=2∙ 35 ∙5, dus heeft (1+1)(5+1)(1+1)=24 delersc) 1001=7 ∙ 11 ∙13, dus heeft (1+1)(1+1)(1+1)=8 delersd) 383=383, dus heeft (1+1)=2 delerse) 8 ∙1080=283 ∙ 580, dus heeft (83+1)(80+1)=6804 delersf) 441=32 ∙ 72, dus heeft (2+1)(2+1)=9 delers

Opgave 2.3.7 xy=2302 ∙ 32 ∙5200 ∙73

Opgave 2.3.8a) (300+1)(2+1)(1+1)(1+1)=3612 delersb) (1+1)(200+1)(2+1)=1206 delersc) 45 ∙ 1099=299 ∙32 ∙ 5100, dus heeft (99+1)(2+1)(100+1)=30300 delers

Opgave 2.3.96860=22 ∙5 ∙73, dus heeft (2+1)(1+1)(3+1)=24 delers

Opgave 2.3.10Doe zelf een vooronderzoek!Stel m=p1

α 1∙ p2α 2∙ p3

α3 ∙ …∙ pnα n, dan is n=m2=p1

2α1 ∙ p22 α 2∙ p3

2α 3 ∙ …∙ pn2 α n, dus dan zijn er

(2α 1+1 ) (2 α 2+1 ) (2α3+1 ) …∙(2α n+1). Elke factor is dus oneven en het product van oneven getallen is weer oneven (zie opgave 2.2.3)

Opgave 2.3.11Niet waar, tegenvoorbeeld bij n=3.

Opgave 2.3.12Stel n=p1

α1 ∙ p2α2 ∙ p3

α 3∙ …∙ pnαn, dit heeft (α 1+1 ) (α 2+1 ) ( α3+1 ) …∙(α n+1) delers.

Dan kan een getal alleen 3 delers hebben als een van de factoren α 2 is en de rest 0. Dus een getal heeft 3 delers als het van de vorm n=p2 is (want dan (2+1)=3 delers). n2=p4 heeft dan (4+1)=5 delers.

Opgave 2.3.13Niet waar, tegenvoorbeeld bij n=2, geeft n2+17 n+19=57=3 ∙19, dus geen priem.

Opgave 2.4.1

Opgave 2.4.2

Opgave 2.4.3Ieder even getal groter dan 2 is te schrijven als 2k, met k ≥ 2.Kies k nu gelijk aan n+1 (zie opgave 2.4.2) en dan heb je alle even getallen.

Opgave 2.4.4

a) en dat is oneven

b) , elk willekeurig natuurlijk getal k groter dan 1, is nu uit te drukken, kies dan k=n+1

c)

Opgave 2.4.5

a)

b)

Opgave 2.4.6

a)b) –

Opgave 2.4.7

hoofdstuk 3opgave 3.2.1Zelf tekenen

opgave 3.3.1q r2 60 7-3 10 7-2 6-1 133 11 13

opgave 3.3.2

a) b) c)

d)

opgave 3.4.1a) x=1 ; y=7 b) x=−1 ; y=6 c) x=−1 ; y=2

opgave 3.4.2a) x=−5 ; y=7 b) x=41; y=−49 c) x=−67 ; y=81

opgave 3.4.3

a) Ja, want

b) Nee, want

c) Ja, want

d) Ja, want

e) Nee want

f) Ja want

g) Nee,

h) Ja want

opgave 3.4.4 (meerdere antwoorden mogelijk)a) x=70 ; y=−120 b) x=−164 ; y=196 c) x=−134 ; y=162

opgave 3.4.5a) x=−1 ; y=−1 b) 4 naar rechts, 3 omhoogc) x=−1+4 t , y=−1+3t

opgave 3.4.6 x=2+4 t , y=−3−7 t

opgave 3.4.7 x=3+8t , y=−4−11 t

opgave 3.4.8𝑎 en fopgave 3.4.9

x5+ y

7=99

35 geeft 7 x+5 y=99. Met Euclides: x=−198+5 t ; y=297−7 t.

opgave 3.4.1016 x+24 y=216 geeft 2 x+3 y=27Mogelijke oplossingen: (0,9 ) , (3,7 ) , (6,5 ) , (9,3 ) ,(12,1)

opgave 3.4.11Invullen van k=100−m−v geeft 5 m+3 v=100Alle oplossingen: m=20−3 t ; v=5 t ;k=80−2tMogelijke oplossingen voor t=0,1,2,3,4,5,6 (zelf invullen)

hoofdstuk 4Opgave 4.2.1

a)

b)

c)

d)

e)

Opgave 4.2.2a) De vergelijking heeft een reële oplossing.b) Voor elk oneven getal geldt dat de vierdemacht van dat getal groter is dan nul.c) Er is een natuurlijk getal dat zowel deelbaar is door 123 als door 456.d) Het product van drie opeenvolgende gehele getallen is altijd deelbaar door zes.

Opgave 4.3.1a) Er zijn drie opeenvolgende gehele getallen die alle drie deler zijn van 120.

Bewijs: neem n=2, dan n+1=3 en n+2=4, dus n|120 en (n+1)|120 en (n+2)|120.b) Er is een natuurlijk getal dat 100 positieve delers heeft.

Bewijs: Neem n=299, dan heeft n 100 positieve delers (zie hoofdstuk 2).c) Voor elk priemgetal geldt dat de derdemacht van dit priemgetal groter dan 7 is.

Bewijs: Als p een priemgetal is, dan is , dus d) De som van drie opeenvolgende gehele getallen is altijd deelbaar door 3.

Bewijs: Voor elk geheel getal a geldt: Dit is deelbaar door 3.

e) Er is een natuurlijk getal n waarvoor geldt dat is groter dan 2.

Bewijs: Neem n=4, dan is

f) Voor elk natuurlijk getal n dat groter of gelijk aan 8 is, geldt dat groter is

dan .Bewijs: Voor elke natuurlijk getal n dat groter of gelijk is aan 8 geldt:

Opgave 4.4.1

a)

Deze bewering is onwaar: neem bijvoorbeeld n=4, dan is en 20 is niet deelbaar door 3. Dus de bewering is niet waar.

b)

Deze bewering is waar: neem bijvoorbeeld n=3, dan is en 12 is deelbaar door 3.

c)

Dit is waar: waarbij

.

d)Dit is niet waar. Als er oplossingen zijn, dan kunnen we die met de abc-formule berekenen.

Echter de discriminant is negatief: , dus zijn er geen reële oplossingen.

e)Deze bewering is waar: neem x=1, dan is 2x+3=5.

Opgave 4.4.2a) Dit is niet waar: als , dan want . De

priemdelers van 840 zijn 2, 3, 5 en 7. Neem dus n=10, dan is n+1=11 en n+841=851. 851 is niet deelbaar door 11.

b) Dit is waar, want voor elk geheel

getal n.

c) Dit is waar. Neem bijvoorbeeld p=2, dan is en 47 is een priemgetal.d) Dit is niet waar. Neem bijvoorbeeld p=41: dat is een priemgetal. Dan is

, dus dit is geen priemgetal.

e) Dit is niet waar. Neem bijvoorbeeld a=1. Dan is , terwijl

f) Dit is waar: .Nu is

Opgave 4.5.1

a)

Dit is waar: neem bijvoorbeeld x=2 en y=-2, dan is zodat

b)

Dit is ook waar: Neem voor y = -x, dan is zodat

c)Dit is niet waar. We hebben in hoofdstuk 3 gezien dat deze vergelijking alleen een geheeltallige oplossing kan hebben als 18 een veelvoud is van ggd(15,30). Nu is ggd(15,30)=15 en 18 is geen veelvoud van 15, dus deze vergelijking heeft geen geheeltallige oplossing.

d)

Dit is waar: neem n=1, dan is n deler van elk geheel getal m, want , dus 1 is deler van m.

e)

Dit is waar. Het bewijs: Stel en : en , waarbij t en s gehele getallen zijn en n en m natuurlijke positieve getallen zijn. Dan is

. Nu is 2nm een positief geheel getal en

tm+sn is een geheel getal, dus is . Dus is het gemiddelde van x en y een een rationaal getal.

f)

Dit is waar: neem x=0, dan is voor elke

g)

Dit is niet waar: neem y=1, dan is voor alle x: , dus NIET:

h)

Dit is waar: Stel en neem en , dan is

.

hoofdstuk 5

Opgave 5.2.10,1,2,3,4,5 of 6.

Opgave 5.2.2Waar, Waar, Onwaar.

Opgave 5.2.3Nee, want 45-26=19 en 7 is geen deler van 19.Nee, want 37- 23=14 en 4 is geen deler van 14.4526 (mod n)Omdat 45-26=19 volgt: n=19: 19 is een deler van (45-19).

Opgave 5.2.4Bijvoorbeeld: 10 en 22 hebben dezelfde rest bij deling door 4, namelijk 2. Nu is 1022 (mod 4) want 22-10=12 en 4 is een deler van 12.

Opgave 5.2.5Bijvoorbeeld: (zie 5.2.3): 45-26=19, dus 457 (mod 19) en 267 (mod 19).

Opgave 5.2.6a) q=15 en r=1b) q=13 en r=0c) q=-4 en r=7

Opgave 5.2.7a) 12345 ≡ 1 (mod 4): waar, want 12345-1=12344 is deelbaar door 4, want 12300 en 44 zijn

beide deelbaar door 4.b) Is 12345 ≡ 1 (mod 16)? Dan zou 12345-1=12344 deelbaar moeten zijn door 16.Nu is

12344=12000 + 344=12000 + 320 +24, en 12000 is deelbaar door 16 en 320 ook, maar 24 niet, dus het geheel is niet deelbaar door 16. Dus onwaar.

c) 12345 ≡ 54321 (mod 2): dit is waar, want 123451 (mod2) en 54321 1 (mod2).d) 12345 ≡ 1234 (mod 2): onwaar: want 123451 (mod2) en 1234 0 (mod2).e) 171 ≡ 1 (mod 17): waar want 171-1=170 is deelbaar door 17.f) 12 ≡ 573 (mod 17): 573 (573-510)= 63 (mod 17) en 63(63-51)=12 (mod 17), dus waar.g) –12 ≡ –573 (mod 17): Omdat 12 ≡ 573 (mod 17) geldt dat 17 een deler is van (573-12).

Dan is 17 ook een deler van (-573-(-12)) = (-573+12) = - (573-12). Dus waar.h) –12 ≡ 573 (mod 17): onwaar.Uit f) volgt dat 17 een deler is van 573-12=561. Nu is 573-(-

12)= 573+12=585=561+24. 17 is deler van 561 maar niet van 24, dus niet van 585. Dus onwaar.

i) 57 ≡ 0 (mod 3): waar want (57-0)=57=319.j) 57 ≡ 0 (mod 19): waar want (57-0)=57=319.k) 19 ≡ 0 (mod 57): onwaar want (19-0)=19 en 57 is geen deler van 19.l) 19 ≡ 19 (mod 57): waar want (19-19)=0 en 57 is een deler van 0: 0=057.

Opgave 5.2.8a) r=0.

b) r=1.c) r=10.d) r=0.e) r=6.f) r=1.g) r=13.

Opgave 5.2.9Als m bij deling door n rest r oplevert, dan geldt: m r (mod n).Bewijs: Stel m levert bij deling door n rest r op: dan is m te schrijven als

Dan is

Als m ≡ r (mod n), dan levert m bij deling door n rest r op.

Bewijs: Stel dat Dan geldt

dat

Opgave 5.3.123 ≡ 3 (mod 5) en 39 ≡ 4 (mod 5) .Dus 62 = 23 + 39 ≡ 7 2 (mod 5).

Opgave 5.3.2Is 5754 + 570060 deelbaar door 57, ja want:5754 54 (mod 57) en 570060 ≡ 603 (mod 57) dus5754 + 570060 ≡54+3=570 (mod 57). En dus is 5754+570060 deelbaar door 57.

Opgave 5.3.3100014 (mod 986), dus 1000+1000+1000+100014+14+14+14=56 (mod 986), dus 4000 – 9874000 (mod 986)+ (-987) (mod 986)56+(-1) = 55 (mod986) .Dus 4000-987 geeft een rest van 55 bij deling door 986.

Opgave 5.3.4Gevraagd: (4002 – 997) (mod 497).5003 (mod497), dus 10006 (mod497) en 400024 (mod497) en 400226 (mod497).Verder is -997-500-3 (mod 497).Dus 4002-99726-3=23 (mod 497).

Opgave 5.3.4 (tweede)a) 1198 + 1202 + 1204-2+2+4=4 (mod 1200).b) 1211211213111211213121121311121312131133 (mod 11)c) 2100 + 2101 + 2102 = 2100+22100+22 2100=7 21000 (mod 7).d) 24=16 5 (mod11), dus 2510-1 (mod 11), dus 210=25 25(-1)(-1)=1 (mod11), dus

280=(210)818=1 (mod 11). Verder is 72=49dus 74253 (mod 11), dus 7521-1 (mod 11), dus 710=75 75(-1) (-1)=1 (mod 11), dus 750=(710)515mod 11).Dus: 280 750 1 1 =1 (mod 11)

e) 46 115 33 29 31 45 9714 19 1 (-3) mod 32).

f) 81 (mod 7), dus 8001002 (mod 7). Dus 8006002600 (mod 7). Nu is 26=641 (mod 7), dus 2600=(26)100=(64)1001100=1 (mod 7). Dus 8006002600 1(mod 7).Verder is 6-1 (mod 7), dus 600-100-25 (mod 7). 52=254 (mod 7), 535 4=20-1 (mod 7), dus 56mod 7)Nu is 798 = 6133 dus 5798=(56)1331133=1 (mod 7).

Dus 6008005800=5798 (mod 7).Conclusie: 800600 – 600800mod 7).

Opgave 5.3.5Toon aan dat 31000 – 1 deelbaar is door 38 – 1.

Net zo:

We zien dus dat we telkens 8 van de exponent af kunnen halen. Dus kunnen we er ook 124x8 =992 van

af halen: dus dus 31000 – 1 deelbaar is door 38 – 1.

Een korter bewijs:

Opgave 5.3.6Toon aan dat voor ieder geheel getal m niet deelbaar door 4 geldt dat m3 + 2m2 – m + 2 deelbaaris door 4.Als m niet deelbaar is door 4, dan is m1,2, of 3 (mod 4).Bekijk deze drie gevallen:Als m1 (mod 4), dan is m3 + 2m2 – m + 213+212-1+21+2-1+240 (mod 4), dus deelbaar door 4.Als m2 (mod 4), dan is m3 + 2m2 – m + 223+222-2+28+8-2+2160 (mod 4), dus deelbaar door 4.Als m3 (mod 4), dan is m3 + 2m2 – m + 233+22-3+227+18-3+240 (mod 4), dus deelbaar door 4. Hiermee is het bewezen.

Opgave 5.3.7Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal n geldt dat 25n – 1 deelbaar is door 31.

Bewijs: , dus 25n – 11-1=0 (mod 31). Dus is 25n – 1 deelbaar door 31.

Opgave 5.3.8Toon aan dat voor ieder even natuurlijk getal n geldt dat 3n – 1 deelbaar is door 8.

Bewijs: Stel n is even: n=2m, dan is Nu is 91 (mod 8), dus 9m1m=1 (mod 8), dus 9m-11-1=0 (mod 8), dus is 3n – 1 deelbaar door 8.

Opgave 5.3.9Toon aan dat het product van vijf opeenvolgende gehele getallen m, m + 1, m + 2, m + 3 enm + 4 altijd deelbaar is door 5.Bewijs: Eén van deze getallen is gelijk aan 0 (mod 5): dat getal is deelbaar door 5 en dus is het product van deze getallen ook deelbaar door 5. Waarom is één van deze getallen gelijk aan 0 (mod 5)? Als m0 (mod 5) dan is dit m zelf; als m1 (mod 5) dan is m+40 (mod 5); als m2 ( mod 5), dan is m+30 (mod 5); als m3 (mod 5) dan is mmod 5), als m4 (mod 5) dan is mmod 5).

Opgave 5.3.10Toon aan dat voor alle gehele getallen m en voor alle natuurlijke getallen n geldt dat(3m + 1)n –1 deelbaar is door m.

Bewijs: Dus is (3m + 1)n –1 deelbaar is door m.

Opgave 5.3.11Toon aan dat er geen geheel getal m bestaat waarvoor geldt dat m2 – 3 deelbaar is door 7.Bewijs: als m0 (mod 7) dan is m2 – 302-3-34 (mod 7); als m1 (mod 7) dan is m2 – 312-3-25 (mod 7); als m2 (mod 7) dan is m2 – 322-3 (mod 7); als m (mod 7) dan is m2 – 32-3 (mod 7); als m (mod 7) dan is m2 – 32-3 (mod 7);als m (mod 7) dan is m2 – 32-3 (mod 7),als m (mod 7) dan is m2 – 32-33 (mod 7).Dus geen enkele keer 0 (mod 7): dus m2 – 3 is niet deelbaar door 7, welk geheel getal m ook is.

Opgave 5.3.12Toon aan dat voor alle gehele getallen m geldt dat m(m + 1)(m + 5) deelbaar is door 6.Bewijs: Er kan gekozen worden voor dezelfde opzet als in 5.3.11, maar het kan ook anders:Bewezen wordt dat m(m + 1)(m + 5) deelbaar is door 2 en door 3: dan is zowel 2 als 3 een priemdeler, dus is het dan ook deelbaar door 6.Als m is even dan is m(m + 1)(m + 5) deelbaar is door 2 en als m oneven is dan is m+1 even dus dan is m(m + 1)(m + 5) ook deelbaar is door 2. Hiermee is de deelbaarheid door 2 aangetoond.Nog te bewijzen: m(m + 1)(m + 5) deelbaar is door 3: Als m=0 (mod 3), dan is m deelbaar door 3, dus is m(m + 1)(m + 5) deelbaar is door 3.Als m=1 (mod 3), dan is m+560 (mod 3), dus dan is m+5 deelbaar door 3, dus is m(m + 1)(m + 5) deelbaar is door 3.Als m=2 (mod 3), dan is m+130 (mod 3), dus dan is m+1 deelbaar door 3, dus is m(m + 1)(m + 5) deelbaar is door 3.Conclusie: voor elke m is m(m + 1)(m + 5) deelbaar is door 2 en door 3 dus deelbaar door 6.