H1 – Kennismaken
Transcript of H1 – Kennismaken
7
8
1 Vooreenvoetbalwedstrijdmoetenallelijnenop nieuwgetrokkenworden.Datgebeurtmeteen krijtkar.Zoalsjezietmoetenerrechtelijnenen cirkelsophetveldgetrokkenworden.
aVoorderechte lijnenmoetdekrijtkarkaarsrecht vooruitgeduwdworden. Hebjeenigideehoejeervoorzoukunnenzorgen datjenietafwijktmetdekar? bHebjeookeenideeoverhoejedecirkelsmooi rondzoukunnenkrijgen? cDelijnenvanhetdoelgebiedmoetenloodrecht (=haaks)opdeachterlijngetrokkenworden. Hoezoujedatkunnendoen?
Vaneenofficieelvoetbalveldzijndeafme- tingenvandelijnenencirkelsvoorgeschreven: .lengteenbreedte:105meterbij69meter, ·demiddencirkelheefteendiametervan18,32 meter, ·hetdoelis7,32meterbreed, ·depenaltystipbevindtzichop11metervoorde doellijn, ·hetstrafschopgebiedis40,32bij16,50meter, ·decirkelboogvoorhetstrafschopgebiedheeftde penaltystipalsmiddelpunteneendiametervan 18,32meter, ·hetdoelgebiedis18,32bij5,50meter, ·dekwartcirkelsbijdecornershebbeneen diametervan1,80meter. (Voetbalveldenzijnnietallemaalevengroot;de grootsttoegestanelengteis105meter,degrootst toegestanebreedteis69meter.)
dIshetvoetbalveldhiernaastnetjesopschaalgete- kend,ofklopthetniethelemaal?Hoegajedat eigenlijkna? eHebjeenigideewaaromdekwartcirkelsbijde cornersnietgetekendzijninhetplaatje?
Indithoofdstukleerjeonderanderehoejenauw- keurigwiskundigefigurenkunttekenen.
Eentimmermangebruiktallerleigereedschap: hamer,zaag,waterpas,....Eenwiskundeleerling heeftookgereedschapnodig:eenpasseren eengeodriehoek.Hoejedezetweeinstrumenten kuntgebruiken,gajenuleren. Eenpassergebruikjeomcirkelstetekenen,een geodriehoekomrechtelijnentetekenen.
1.0 INTRO
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
9
2 Hieronderziejeeencirkel,metdaarineenvier kant,metdaarineencirkel,metdaarineen vierkant,allemaalpreciespassend.Jekuntzo eindeloosdoorgaan.
Tekenmetpasserengeodriehoekzo’nfiguurmet driecirkelsendrievierkanteninelkaar.
2 Hieronderstaateenrechthoekvan2bij4cmmet tweecirkelsdiedaarpreciesinpassen.
Tekennetzo’nplaatje,maardanineenrechthoek van3bij6cm.
3 Opjewerkbladstaateenkorteneenlanglijnstuk.
aGametjepassernahoevaakhetkortelijnstukop hetlangepast.Letop:jemagalleenjepasser gebruiken;jemagnietopmetenhoelangdelijn- stukkenzijn. bSnapjenuhoeeen“passer”aanzijnnaamkomt? cTekeneencirkelmetstraal3cm.Neemeenlijn- stukvan2cmtussendepasser.Ganahoevaakdat lijnstukbinnendecirkelomtrekafgepastkanwor- den. 4 TekeneenstipenschrijfdaardeletterMbij. aTekentienpuntendie3cmvanstipMafliggen. Erzijnoneindigveelpuntendie3cmvanMaflig- gen.Hetisondoenlijkomdieallemaaleenvoor eentetekenen.Gelukkigisereenmanieromaldie punteninéénklaptetekenen. bHoedoejedat?
5 Probeermetjegeodriehoeknauwkeurigeendrie- hoektetekenenwaarvandezijden2,3en4cm langzijn.
Datvaltnietmee!Alsjetweezijdenopdegoede lengtehebtgebracht,moetjediezijdennogdraaien omdederdezijdepassendtekrijgen. Hetkanhandigermetjepasser.Hoedatgaat,wordt opdevolgendebladzijdeuitgelegd.
1.1 PASSER EN GEODRIEHOEK
Allepuntenopafstand3cmvanhetpuntMvormeneencirkel.Mheethetmiddelpuntendestraalvandecirkelis3cm.
10
Jekunthetookfraaizienin applet1.1-Metgegevenlijnen.
6 aTekenopdezemanier(dusmetbehulpvantwee passerboogjes)eendriehoekwaarvandezijden3,4 en5cmlangzijn. bTekenookeendriehoekmetdriezijdenvan3cm.
7 Hieronderstaandrietwijfelachtigeplaatjes.
Isdecirkelechteencirkel?(plaatjelinks) Ishetvierkantechteenvierkant?(plaatjemidden) Zijnde(dikke)lijnenevenwijdig(datwil zeggen:overalevenvervanelkaaraf )?(plaatje rechts) Verzineenmanieromdattecontroleren.Schrijf ophoejijdatgedaanhebt. 8 aTekeneencirkelmetstraal3cm.Tekendaarineen “bloem”.Hoejedatdoet,staatstapvoorstaphier- naast. bTekenmetbehulpvanzo’nbloemeenDavidster. Jemagernatuurlijkookjegeodriehoekbijgebrui- ken.
1.1 PASSER EN GEODRIEHOEK
6 aWaarombestaatergeendriehoekmetzijden2,5 en8cm? bVaneendriehoekzijntweezijden2en5cm. Hoelangkandederdezijdezijn? cVaneenvierhoekhebbendriezijdenlengte1,2en 5cm.Hoelangkandevierdezijdezijn?
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
11
Metdegeodriehoekkunjeookgoedeenrechte hoektekenen.Hieronderstaateenmanier waaropjedatkuntdoen.
Jekuntdatookinapplet1.2-Loodlijngedemon-streerdzien.
Wezeggendatdetweelijnenloodrechtopelkaar staan. 9 TekeneeneerstelijnmetdaaropeenpuntA.Teken ookeenpunt B,datnietopdelijnligt. aTekenmetjegeodriehoekeentweedelijndiede eerstelijnloodrechtsnijdtinA. bTekenookeenlijndiedoorBgaatendieloodrecht staatopdeeerstelijn. cWatweetjevandeonderlingeliggingvande tweedeendederdelijndiejegetekendhebt?
10 Devierzijdenvaneenvierkantzijnevenlangende vierhoekenzijnrecht. aTekeneenlijnstukzoalshiernaast. Teken-zondertemeten-eenvierkantwaarvandit lijnstukeenzijdeis.Tip:gebruikjepasser. bTekeneencirkelzoalshiernaastengeefdaarinhet middelpuntaan. Tekeneenvierkantwaarvandehoekpuntenopde cirkelrandliggen.Schrijfookophoejetewerk bentgegaan.
Omeenserieevenwijdigelijnentetekenen,kunje jegeodriehoekgoedgebruiken.Daarstaanname- lijkalevenwijdigelijnenop!Metbehulpvandie lijnenkunjejegeodriehoekindegoederichting leggen.
Alseenstelevenwijdigelijnenonderlingopgelijke afstandliggen,sprekenwevaneenliniëring.
11 Tekentweelijnenzoalshiernaast.Pasopdeenelijn vanafhetsnijpuntvijfkeerhetzelfdestukaf. Zodoendekrijgjevijfpuntenopdielijn. Trekdoordezepuntenlijnenevenwijdigaande anderelijn.Zodoendemaakjeeenliniëring.
Inapplet1.3-Liniëringkunjedezemaken.
12
12 Zoekbijzonderevierhoekeninhetrooster(de hoekpuntenmoetenroosterpuntenzijn). Kleuropjewerkbladdebijzonderevierhoekendie jijhebtgevonden,vanelktypetenminstetwee verschillende.
13aErzijneenheleboelruitenmetzijdenvan2cm. Tekenertwee. bErzijneenheleboelvliegersmetzijdenvan2en3 cm.Tekenertwee. cErzijneenheleboelparallellogrammenmetzijden van2en3cm.Tekenertwee. dErzijneenheleboeltrapeziawaarvandeevenwij- digezijden2en3cmzijn.Tekenertwee.
1.2 VIERHOEKEN
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
Vaneenplankzijndeboven-enonderkantevenwijdig.Wezagenmettweerechtezaagsnedeneenvierhoekuitdeplank.Datkanopallerleimanieren,zoalsjehier-naastziet.1.Omdatboven-enonderkantevenwijdigzijn,krijg jeeentrapezium.2.Alsjedezaagsnedesindezelfderichtingmaakt, krijgjeeenparallellogram.3.Alsjedeplankbeidekerenhaaksdoorzaagt,krijgje eenrechthoek.4.Alsjedezaagsnedenindezelfderichtingmaakten ervoorzorgtdatdevierzijdenevenlangworden, krijgjeeenruit.5.Alsjedeplankbeidekerenhaaksdoorzaagtener voorzorgtdatdevierzijdenevenlangworden,krijg jeeenvierkant.
Inhetzesdeplaatjeisnogeenbijzonderevierhoek getekend:eenvlieger.Maardiezaagjenietzo gemakkelijkuiteenplank.Bijeenvliegerzijntwee aanelkaargrenzendezijdenevenlangendeandere tweeaanelkaargrenzendezijdenzijnookevenlang.
13
14a
Hierbovenstaanviertrapezia(datishetmeervoud vantrapezium). Hetderdetrapeziumisbijzonder(datwilzeggen: metextraevenwijdigezijden,ofextrarechtehoeken, ofextraevenlangezijden). Watisdebijzondereeigenschap? Hoeheetzo’nbijzondertrapezium? b
Hierbovenstaanvierparallellogrammen. Hettweedeparallellogramisbijzonder. Watisdebijzondereeigenschap? Hoeheetzo’nbijzonderparallellogram? c
Hierbovenstaanvierparallellogrammen. Hetderdeparallellogramisbijzonder. Watisdebijzondereeigenschap? Hoeheetzo’nbijzonderparallellogram? d
Hierbovenstaanvierruiten. Deeersteruitisbijzonder. Watisdebijzondereeigenschap? Hoeheetzo’nbijzondereruit? e
Hierbovenstaanviervliegers. Devierdevliegerisbijzonder. Watisdebijzondereeigenschap? Hoeheetzo’nbijzonderevlieger? f Eenvierhoekhoeftnietperseietsbijzonderste hebben;hijkanduszonderevenwijdigezijdenzijn enookzondergelijkezijden.Zo’nvierhoekisdus geentrapeziumenookgeenvlieger.
14 Hieronderstaateenwillekeurigevierhoek(die heeftnietsbijzonders)eneenvierkant(datheeft allebijzonderheden:allezijdenzijnevenlangen allehoekenzijnrecht).Daartusseninpassenwat bijzonderheidbetreftdeanderevijftypenvierhoe- ken.
Geefdevijfbijzonderevierhoekeneenplaats. Jemoetditduszodoen:elkevierhoekvaneen typemoetooktothettypebehorendatdaarboven staat.
15aKunjijeentrapeziumintweestukkenknippen waarmeejeeenparallellogramkuntleggen? bKunjijeenparallellogramintweestukkenknip- penwaarmeejeeenrechthoekkuntleggen? cKunjijeenvliegerindriestukkenknippenwaar- meejeeenrechthoekkuntleggen? dKunjijeenparallellogramintweestukkenknip- penwaarmeejeeenruitkuntleggen? eErzijntweemanierenomeenrechthoekindrie stukkenteknippen,waarmeejeeenvierkantkunt leggen.Hieronderstaanzeallebei.
Ganahoehetwerkt.
16 AlsjeAnnekevraagtomeenvliegertetekenen, ofeenparallellogram,ofeentrapezium,ofeen ruit,ofeenrechthoek,dantekentzealtijddezelfde figuur,namelijkhetvolgendeplaatje:
DoetAnnekehetfout?
14
Eenvierhoekheeftvierhoekpunten.Vaakgevenwedieopvolgendehoekpuntennamen,bijvoorbeeldA, B, CenD.DankunnenwesprekenvanvierhoekABCD.Eenvierhoekheeftookvierzijden(devierlijnstukkentussendeopvolgendehoekpunten).InhetvoorbeeldzijndezijdenAB, BC, CDenDA.InvierhoekABCDkunjeookdeoverstaandehoek-puntenverbindendooreenlijnstuk.Deverbindings-lijnstukkenACenBDhetendediagonalenvandevierhoek.
15 Tekeneenvlieger,eenrechthoek,eenparallello- grameneenwillekeurigevierhoek,ongeveerzoals hieronder.
Geefdemiddensvandezijdenaanmeteen stip(zoalshierbovenbijdevliegeralisgebeurd). Dezestippenzijndehoekpuntenvaneenvierhoek. aVerbindbijdevliegerdeopvolgendestippenen kleurdevierhoekdiejezodoendekrijgt.Watvoor bijzonderevierhoekisdat? bDezelfdeopdrachtbijderechthoek,hetparallello- gramendewillekeurigevierhoek.
Inapplet1.4-Middensverbindenkunjeditvoorallerleianderevierhoekenzien.
16 Dedriehoekhiernaastheefteenrechte(haakse) hoek.Ophetknipbladstaantwaalfkopieënvan dezedriehoek.Knipdietwaalfdriehoekenuit. Passteedstweedriehoekentegenelkaar,zodatze ofeendriehoekofeenvierhoekvormen.Jekuntzo zesfigurenmaken.Plakzeinjeschriftenschrijfbij devierhoekenwatvoorbijzonderevierhoekhijis.
17 Hieronderstaaneenzeshoekentweedriehoeken. Voorhetgemakzijndemiddelpuntenaangegeven.
aVerdeelophetwerkbladdezeshoekindrieruiten. bVerdeeldeenedriehoekindrievliegers. cVerdeeldeanderedriehoekindrietrapezia.
17aBijwelkebijzonderevierhoekenstaandediagona- lenloodrechtopelkaar? bBijwelkebijzonderevierhoekendelendediagona- lenelkaarmiddendoor? cBijwelkebijzonderevierhoekenzijndediagonalen evenlang?
1.2 VIERHOEKEN
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
15
EenvierkantvouwenHiernaastziejehoeje,zondertemeten,vaneenrecht-hoekigstukpapiernauwkeurigeenvierkantkuntmaken.
Neemeenkladblaadjeenmaakopdezemaniereenvierkant.
Neemeenanderblaadjeenscheurerderandenaf.Vouwernu,zondertemeten,precieseenvierkantvan.
Peper-en-zoutstelletjeNeemeenvouwblaadje.Vouwdepuntennaarbinnen,zodatjeeenkleinervierkantkrijgt.Keerhetkleinerevierkantomenvouwweerdepuntennaarbinnen,zodatjeeennogkleinervierkantkrijgt.Keerhetnogkleinerevierkantomenknijpdepuntennaarbeneden,zodatjevanboveneen+ziet.Nukunjedehoekenvanhetoorspronkelijkevierkantnaarbuitentrekken:jekrijgtdaneen“peper-en-zoutstelletje”.Alsjenietgoedsnapthoeditinzijnwerkgaat,moetjehetaaniemandvragen;erisbeslistweliemanddieweethoehetmoet.
InJapanishetpapiervouwentoteenkunstverheven:origami.Ziebijvoorbeeld:http://www.origami.com/
WiskundeiseentypischNederlandswoord;(wis=zeker).InandereEuropesetalenheetwiskundema-thematicaofietswatdaaroplijkt.DatNederlandeenafwijkendwoordheeft,komtdoordeVlamingSimon Stevin(1548-1620);dievonddatjeaanNederlandsewoordenbeterdebetekeniskonziendanaanwoordendieaanhetLatijnwarenontleend.Doorhemsprekenwevanevenwijdig(inplaatsvanparallel),vandriehoek (inplaatsvantriangel),vanmeetkunde(inplaatsvangeometrie),enzovoort.Stevinnoemdeeenellipseenscheefrondt,maardatisnietovergenomen.
16
Een omrekentabel
18 VroegerhadNederlandeeneigenmunt:degulden. Op1januari2002isdievervangendoordeeuro. Inhetbeginmoestendemensennogalwennenaan dewaardevandeeuro.Sommigemensengebruik- tenweleenlijstje,eenspiekbriefje,waaropzij directkondenzienwatdewaarde(inguldens)was van1,2,3,5,10,15,20en25euro.1eurois 2,2gulden. aMaakeentabelzoalshiernaast. bHoeveelguldenis8eurowaard? Metwelkgetalmoetjehetaantaleuro’svermenig- vuldigenomdewaardeinguldenstekrijgen? c Injanuari2002konjenogmetguldensbetalen. Alsjegeldterugkreeg,warendatweleuro’s. Annekemoest€17,50betalenengeefteenbriefje van50gulden. HoeveeleurozalAnneketerugkrijgen?
Hetprincipeissteedshetzelfde:bijelkbedragin euro’smoetjehetzelfdedoenomerguldensvan temaken.Alsjehetbedragineuro’senoemt(enin hetmiddenlaathoegrooteis),ishetbijbehorende bedraginguldens2,2×e. Deletterestelthierduseenwillekeuriggetalvoor. Omdatdewaardevan ekanvariëren,noemenwe zo’nletterweleenvariabele. dWatmoetjedoenalsjewiltberekenenhoeveel euroeenbriefjevan25guldenwaardis? Hoeveeleuroisdat? eNoemeenaantalguldensg(datiseenvariabele). Watishetbijbehorendeaantaleuro’s?
Blokschema’s
19 Hiernaaststaateenblokschema.Datgaanwetoe- passen.Jemoetgewoondepijltjesinhetblok- schemavolgenendoenwaterstaat.Neemeerst alsstartgetal10. aDoordestappeninhetblokschemadaarmeeuitte voeren,komjeophetgetal40.Ganadatdat klopt. bDoorloophetblokschemaookmetdevolgende startgetallen:11,12,15,20,37en100. cWelkstartgetalmoetjenemenom10alsresultaat tekrijgen? dWelkstartgetalmoetjenemenom343alsresultaat tekrijgen?
1.3 REGELMAAT
euro’s 1 2 3 5 10 15 20 25guldens 2,2
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
17
20 Hiernaaststaatnogeenblokschema.Daarmeegaan weeenrijvantiengetallenmaken.
Webeginnenmetdegetallen1en2.Diestaanal inderij.Doorhetblokschemaeenkeertedoor- lopen,wordthetgetal3aanderijtoegevoegd.Ga datna. Delaatstetweegetallenvanderijzijnnu2en3. Werkhetblokschemadoor.
21 Nogeenblokschema.Wekiezenalsbegingetal3; datmoetenjedusopschrijven.Hetblokschema berekentdaarbijhetgetal10.Datmoetjeachter hetstartgetal3schrijven. aWerkhetblokschemaaf.
bBijhetblokschemakiezenwenu11alsbegingetal. Werkhetblokschemadaarmeedoor. cWekiezennueenzodaniggetaldatwenadriekeer hetblokschemadoorlopentehebbenklaarzijn. Welkbegingetalisdat?Werkdaarmeehetblok- schemadoor. dJekunthetblokschemanatuurlijkookmetandere begingetallendoorwerken.Alsjezinhebt,probeer erdannogmaareenpaar. Somsduurthetlangvoordatjeop“1”uitkomt (endanpasbenjeklaarmethetblokschema). Alsjebijvoorbeeld27alsbegingetalneemt,duurt het111stappenvoordatjeop“1”bent.Vooralle getallenonder1miljardisnagegaanhoelanghet duurtvoordatjeop“1”uitkomt.Hetbleekdatje bijaldiegetallentenslotteop“1”uitkwam.Maar niemandweetofermisschienboven1miljardeen begingetalbestaat,waarbijjehelemaalnooitop“1” uitzultkomen.
1 2 3
18
Desomvangetallenishetgetaldatjekrijgtalsjediegetallenoptelt.
Tovervierkanten 22 Hieronderstaandegetallen1totenmet16ineen vierkant.Elkgetalkomtéénkeervoor.Zezijnop eenbepaaldemanieroverdezestienveldenver- deeld.
aWatisdesomvandeviergetallenindeeerste (horizontale)rij?
bWatisdesomvandegetallenindetweederij,van degetallenindederderijenvandegetalleninde vierderij? cWatisdesomvandegetalleninde(verticale) kolommen? dWatisdesomvandeviergetallen,dieopdeene diagonaalstaan?Endieopdeanderediagonaal staan?
Kennelijkzijndegetallenopeenheelbijzondere manieroverdezestienveldenverdeeld.Wespreken welvaneentovervierkantofmagisch vierkant.
23 Wegaaneentovervierkantmakenvan3bij3vel- den.Inelkveldkomteenvandegetallen1toten met9testaan.Datmoetzógebeurendatdesom voorelkerij,voorelkekolomenvoorelke diagonaalhetzelfdeis.Volgenseenlegendezagde ChinesekeizerYuvierduizendjaargeledendit tovervierkantopderugvaneenschildpad. aAlsjeallenegengetallenvan1totenmet9optelt, welkesomkrijgjedan? bDesomvandedriegetallenindeeersterijmoet gelijkzijnaandesomvandedriegetalleninde tweederijenmoetookgelijkzijnaandesomvan dedriegetallenindederderij. Watmoetdezesomduszijn? cDekolommenendediagonalenmoetendezelfde somgeven. Probeerdegetallen1totenmet9opderugvande schildpadteplaatsenzodateentovervierkant ontstaat.Weverradendatde5inhetmidden komt.Alshetnietmeteenlukt,probeerhetdan nogeens.
1.3 REGELMAAT
22aOntdekderegelmaatindeviertabellenhieronderen vulzeverderin.
bAlswehetgetalindeeersteregelvaneentabeln noemen,watisdanhetgetalindetweederegel?
23 Wegaandegetallen1t/m15plaatsenbijhetvier vlak.Opelkvandehoekpuntenkomteengetal, opelkeribbe,opelkgrensvlakenbinneninhet viervlak.Datmoetzógebeurendat -hetgetalopeenribbedesomisvandegetallen opdeeindpuntenvandieribbe, -hetgetalopeengrensvlakdesomisvande getallenopdehoekpuntenvandatgrensvlak, -hetgetalbinneninhetheleviervlakdesomis vandegetallenopdehoekpuntenvanhet viervlak.
Gajegang.
1 2 3 4 5 6 7 ... ... 20 3 6 9 12 15
1 2 3 4 5 6 7 ... ... 20 1 3 5 7 9
1 2 3 4 5 6 7 ... ... 2024 23 22 21 20
1 2 3 4 5 6 7 ... ... 20 1 4 9 16 25
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
19
Namenvanruimtelijkefiguren
Sommigeplattefigurenhebbeneeneigennaam; bijvoorbeeldruit,cirkelenzeshoek. Ookruimtelijkefigurenkunnenhuneigennaam hebben.
24 Hiernaaststaantwaalfruimtelijkefiguren.Bijvijf figurenisdenaamalgeschreven. aWatzijndenamenvandeanderezevenfiguren? bZoekindetekeninghieronderzoveelmogelijk voorbeeldenvanbekenderuimtelijkevormen.
c Jekentnatuurlijkwelvoorbeeldenvaneenbolin hetdagelijksleven:een(voet)balofeenknikker. Geefzoookeenvoorbeelduithetdagelijksleven vaneenkubus,eencilinder,eenpiramide,een kegeleneendriezijdigprisma. dEenbalkheeftalleenmaarplattegrensvlakken.Een cilinderheeftééngebogenentweeplattegrens- vlakken. Hoezitdatmeteenpiramide,eenkegel,eenbolen eenprisma?
Tekenen van ruimtelijke vormen
25 Vanrechte,ijzerenstaafjeskunjeeenkubus maken.Jemoetdaneenaantalstaafjesaanelkaar solderen.Zodoendekrijgjeeendraadmodelvan dekubus.Hiernaastiszo’ndraadmodelgetekend. aSteldatjeeenkubusvan20bij20bij20cmwilt solderen. Hoeveelstaafjesvan20cmhebjedannodig? Ophoeveelplaatsenmoetjedestaafjesaanelkaar solderen? Steldatjeeenbalkwiltsolderendiehalfzohoogis alsdekubusendriekeerzobreedisalsdekubus. bHoeveelstaafjesvanwelkelengtehebjedannodig? cMaakeentekeningopschaalvanhetdraadmodel vandebalk. dEenbalkheeftzesgrensvlakkendietweeaantwee evenwijdigzijn.Tweegrensvlakkendienieteven- wijdigzijn,staanhaaksopelkaar(makeneen rechtehoek).Vooreenkubusgeldtdatook.Een kubusisduseenspecialebalk. Welkespecialeeigenschapheeftdekubus?
1.4 RUIMTELIJKE VORMEN
20
26 Opjewerkbladzijnvaneendraadmodeldevier staafjesvanhetgrondvlakgetekendennogeenof tweestaafjes.Dedraadmodellenzijnnognietaf. aMaakerinhetlinkerplaatjeeenvierzijdigepira- midevan. bMaakerinhetrechterplaatjeeenvierzijdigprisma van.
27aWatweetjevanhetgrondvlakenhetbovenvlak vaneenprisma?Hoezitdatbijeenpiramide? bLeguitdateenbalkeenspeciaalsoortprismais. Eenhoeveel-zijdigprisma? cHoeveelstaafjeshebjevooreenvierzijdigepira- midenodig?Ophoeveelplaatsenmoetjedie staafjesaanelkaarsolderen?Hoeveelgrensvlakken heefteenvierzijdigepiramide?(Hetlaatsteant- woordisniet4.) dDezelfdevragenvooreenvierzijdigprisma.
Hiernaastiseenbalkgetekend.Andersdanbijeen draadmodel,moetjedegrensvlakkennudicht denken,bijvoorbeeldalsofzevankartonzijn.De ribbendieaandeachterkantzittenkunjedusniet zien.Daaromzijnzegestippeld.Opdezemanier geefje“diepte”aandetekening.Alsjegewend bentaandezemaniervantekenen,ziejebeterhoe devormerinwerkelijkheiduitziet.
28 Erstaanhierondervierfiguren:eenvijfzijdig prisma,eenafgeknottekegel,eenafgeknotte vierzijdigepiramideeneencilinder.
aStippelophetwerkbladinelkvandeplaatjesde lijnenaandeachterkant.Bijopgave24vindje voorbeelden. bKunjijhetwoordafgeknotin“afgeknottekegel”en “afgeknottepiramide”verklaren?
28 Hieronderstaaneenafgeknotzeszijdigepiramide eneenkegel.
aTekeninhetwerkschriftdeontbrekenderibben aandeachterkantvandeafgeknottezeszijdige piramide(stippelen). bTekendeachterkantvanderandvandekegel. Tekenookhoedekegelergaatuitzienalsjehem ophalvehoogteafknot.
1.4 RUIMTELIJKE VORMEN
Destaafjesvaneendraadmodelhetenwelderibbenvanderuimtelijkevorm;deplaatsenwaargesoldeerdmoetwordenhetendehoekpunten.
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
21
Hoeveel vlakken, ribben, hoekpunten?
29aTekeneenvijfzijdigprismametderibbendieje nietzietgestippeld. bEenvijfzijdigprismaheeftzevengrensvlakkenin tweesoorten:rechthoekenenvijfhoeken. Hoeveelvanelkesoort? cWatvoorsoortgrensvlakkenheefteendriezijdig prisma?Hoeveelvanelkesoort? dMaakeentabelzoalshiernaast. Indelaatsteregelvandetabelstaat“n-zijdig prisma”.Hierkannelkgeheelgetalvoorstellendat 3ofgroteris.niseenvariabele.Injeantwoorden voordeaantallengrensvlakken,ribbenenhoek- puntenmoetjedeletterngebruiken. eBestaatereenprismametprecies50ribben?Zoja, hoeveel-zijdig?Zonee,waaromniet? f Bestaatereenprismametprecies50hoekpunten?
30aTekeneenvijfzijdigepiramidemetderibbendie jenietzietgestippeld. bEenvijfzijdigepiramideheeftzesgrensvlakkenin tweesoorten. Welkesoortenenhoeveelvanelkesoort? cWatvoorsoortgrensvlakkenheefteendriezijdige piramide?Hoeveel? dMaaknetzo’ntabelalsbijopgave29,maarnu voorpiramides. Delaatsteregelvandetabelgaatovereen “n-zijdigepiramide”.Hierkannelkgeheelgetal voorstellendat3ofgroteris. eBestaatereenpiramidemetprecies25ribben? f Bestaatereenpiramidemetprecies25hoekpun- ten?
prisma aantalvlakken
aantalribben
aantalhoekpunten
driezijdigvierzijdigvijfzijdigzeszijdigtienzijdig100-zijdig123-zijdign-zijdig 3× n
22
Gebruik van haakjes
31 Annekerekent5+4×3uit;zevindt27als antwoord. Vinjarekentook5+4×3uit;zijvindt17als antwoord. aHoekandatnou?HoehebbenAnnekeenVinja hunantwoordengevonden.
bWatisdusdejuisteuitkomstvandesom5+4×3?
32aMaakdevolgendeberekeningen.Schrijfookeen tussenstapop.Deeersteentweedeberekeningzijn alsvoorbeeldalgemaakt. 11+5×2=11+10=21 11–5×2=11–10=1 10+2×3+4 10–2×3+4 6×7+5×6 6×7–5×6 bBereken: 100+10:2 100+10+2 100×10:2 100×10+2 100–10:2 100–10+2 100:10:2 100:10+2
33a Plaatshaakjeszodatdesomklopt. 6+6:2+1=4 6+6:2+1=7 6+6:2+1=8 6+6:2+1=10 bMaakdoorhetplaatsenvanhaakjeszoveelmoge- lijkuitkomstenmet9+6:3–1.
1.5 VOLGORDE
De“spelregels”vanhetrekenen1 Eerstbinnende(binnenste)haakjes.2 Vermenigvuldigenendelengaanvooroptellenen aftrekken.3 Bijvermenigvuldigenendelenvanlinksnaarrechts rekenen:heteerstdoenwatjeheteersttegenkomt.4 Bijoptellenenaftrekkenvanlinksnaarrechtsreke- nen:heteerstdoenwatjeheteersttegenkomt.
Voorbeelden12×(6+2)=12×8=9612+6×2=12+12=2412+6:2=12+3=1512–6+2=6+2=812:6×2=2×2=4
Wievandetweehetgoedgedaanheeft,iseenkwestievanafspraak.Watmoetjeheteerstdoen,5+4uitreke-nenof4×3uitrekenen?
Wesprekenhetvolgendeaf.Alsjeineenberekeningmoetoptellen(ofaftrekken)enookmoetvermenigvuldigen(ofdelen),danzullenweeerstvermenigvuldigen(ofdelen)endaarnapasoptellen(ofaftrekken).
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
23
34 Nugaanweeengrotereberekeningmaken;eentje waarinjenegenstappenmoetdoen.Daarvoor moetjeheelzorgvuldigwerken. aBerekendeuitkomstvan 1+6:3+(7–4)+2×2+5+2×3
Alsjeuitjeberekening21hebtgekregen,hoefje vraagbnietmeertebeantwoorden.Indezevraag wordjenamelijkgeholpenhetgoedeantwoordte vinden. bBerekeneerstdesomtussendehaakjesenvoerdan allevermenigvuldigingenendelingenuit.Dan krijgjezoiets:1+__+__+__+__+__. Maakvervolgensdeberekeningaf.
35aNogeenpaarvanzulkesommen.Schrijfenkele tussenstappenop. (10–2+5×8:2):(4+3) 10–(2+5)×8:2:4+3 10–2+5×8:2:4+3 10–((2+5)×8):2:4+3 bBereken: 2:2×2:2×2:2 2×2:2×2:2×2 2+2–2+2–2+2 2–2+2–2+2–2
Wanneer haakjes er niet toe doen
36aBereken;schrijfookeentussenstapop. 12+4+2 en 12+(4+2) 12–4–2 en 12–(4–2) 12×4×2 en 12×(4×2) 12:4:2 en 12:(4:2) bBijwelkesommenmaakthetnietsuitoferhaakjes staan?
Iemandheefteengetalingedachtengenomen.Dat getalnoemenwea.Jeweetnietwelkgetala is;ais eenvariabele. c Jemoetbijadegetallen4en2optellen.Datkan ·methaakjes: a +(4+2) .enzonderhaakjes: a +4+2. Maakthetietsuitoferhaakjesstaan? dJemoetvan a degetallen4en2aftrekken.Datkan .methaakjes: a – (4–2) .enzonderhaakjes: a –4–2. Maakthetietsuitoferhaakjesstaan? e Jemoet ametdegetallen4en2vermenigvuldigen. Datkan ·methaakjes: a ×(4×2) ·enzonderhaakjes: a ×4×2. Maakthetietsuitoferhaakjesstaan? f Jemoetadoordegetallen4en2delen.Datkan .methaakjes: a:(4:2) ·enzonderhaakjes: a:4:2. Maakthetietsuitoferhaakjesstaan?
34 Naar een idee van de wiskundeolympiade 2005, 1e ronde Jebegintmethetgetal8enkuntdevolgende operatiesuitvoeren: A.vermenigvuldigmet10 B.deeldoor10 C.teler10bijop D.treker10vanaf DereeksADBClevertalsuitkomst17op. aWelkereekslevertdegrootsteuitkomstop? bBeginmethetgetaln(inplaatsvan8). SchrijfbijdereeksADBCdeuitkomstop, uitgedruktindevariabelen. cDoedatookvoordereeksenDBCAen DCBA.
35aIndevolgendesomkunjehaakjesschrijven zoalsjewilt:16:8:4:2:1 Welkemogelijkeuitkomstenkunjekrijgen? bDezelfdevraagvoor16×8×4×2×1 cEnvoor16–8–4–2–1 dEnvoor16+8+4+2+1
24
37 In1996zatenerrekenflippo’sindezakken “Buggles”vanSmithChips.Hiernaaststaateen voorbeeldvanzo’nrekenflippo.Erstaanviercijfers op.Hetisdebedoelingdatjedooroptellen,aftrek- ken,vermenigvuldigenendelenmetdieviercijfers hetgetal24maakt.Elkvandecijfersmoetprecies éénkeergebruiktworden.Destippeninhetmid- dengevendemoeilijkheidsgraadaan:éénstipis eenvoudig,driestippenismoeilijk. aLosjijbovenstaanderekenflippoevenop. bLoszoookderekenflippo’shiernaastop.Schrijfje antwoordalséénberekening,zoalshierboven.Als erhaakjesnodigzijn,moetjedienietvergeten! Maaralsjegeenhaakjesnodighebt,magjedieook nietgebruiken.
cVerzinzelfeen24-rekenflippowaarbijjetweepaar haakjesnodighebtomdeoplossinginéénkeerop teschrijven. dWiljemeerrekenflippo’smaken,kijkdanopde
internetpaginavandeWageningseMethode. Maarjekuntookzoekennaaranderesitesmet
“flippo”.
Hoeveel24-rekenflippo’sbestaanereigenlijk?Die vraagismoeilijktebeantwoorden.Volgenshet tijdschriftNatuur en Techniek(juni1996)zijner 404rekenflippo’s.Maarhelemaalzekerisdatniet.
1.5 VOLGORDE
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
53
1
3
6
2
8 33
3
5 5
1
4
8
2 21
7 4
3
6 3
1
3
4
4
1
4
77
2
7
8
27
25
1.6 EINDPUNT
passerengeodriehoek
Eenpassergebruikjeomcirkelstetekenen.Eencirkelheefteenmiddelpunteneenstraal.Meteenpasserkunjeooklengtesafpassen.Eenpasserkunjegoedgebruikenomeendriehoektetekenenwaarvandezijdengegevenlengteshebben.
Meteengeodriehoekkunjerechtelijnentekenen,inhetbijzonder:-evenwijdigelijnentekenen,-lijnenloodrechtopelkaartekenen.
regelmaat
Alsjeweetdateenbroodje€1,60kost,kunjeeentabelmakenwaarinstaathoeveelverschillendeaantallenbroodjeskosten.Jekuntdetabelmakendoorhetonderstaandeblokschematedoorlopen
aantal 1 2 5 11 20 25prijs (€) 1,6 3,2 8 17,6 32 40
nbroodjeskostendan1,6×neuro.Hierinisneenvariabele.
soortenvierhoeken
Eentrapeziumheefteenpaarevenwijdigezijden.Eenparallellogramheefttweepaarevenwijdigezijden.Eenvliegerheefttweepaarevenlangezijdendieaanelkaargrenzen.Eenruitheeftvierevenlangezijden.Eenrechthoekheeftvierrechtehoeken.Eenvierkantheeftvierrechtehoekenenvierevenlangezijden.
ruimtelijkevormen
Voorbeeldenvanruimtelijkevormenzijn:balk,kubus,prisma,piramide,kegel,cilinder,bol.
Eenbalk,kubus,prisma,piramidehebbenhoekpun-ten,ribbenengrensvlakken.
VoorbeeldenEenvijfzijdigepiramideheeft6grensvlakken,6hoekpuntenen10ribben.5grensvlakkenzijndriehoekig,1grensvakiseenvijfhoek.
Eenvijfzijdigprismaheeft7grensvlakken,10hoek-puntenen15ribben.5grensvlakkenzijnrechthoekig,2grensvlakkenzijn(gelijke)vijfhoeken.
Vooreengoedetekeningvaneenruimtelijkevormmoetjederibbenaandeachterzijdestippelen(alsdegrensvlakkentenminstedichtzijn).
de“spelregels”vanhetrekenen
-eerstbinnende(binnenste)haakjes-vermenigvuldigenendelengaanvooroptellenenaftrekken-bijvermenigvuldigenendelenvanlinksnaarrechtsrekenen:heteerstdoenwatjeheteersttegenkomt-bijoptellenenaftrekkenvanlinksnaarrechtsreke-nen:heteerstdoenwatjeheteersttegenkomt
Voorbeelden6:2:3=1 6−2−3=16+2×3=12 6−2×3=06+3:2=71__2 6−3:2=41__2
somskunjehaakjesweglaten,somsnieta+(4+2)=a+4+2a–(4–2)≠a –4–2(≠betekent:niet-gelijk)a×(4×2)=a×4×2a:(4:2)≠a:4:2
26
1 aTekenheelprecieseendriehoekmetzijdenvan3,5 en6cm. bOnderzoekmetjegeodriehoekofeenvandehoe- kenhaaksis.
2 Hiernaastiseen2-euro-muntstukafgebeeld.We gaandaarzoveelmogelijkmuntenvan2euro omheenleggen.Zemoetenallemaalhetafgebeelde 2-euro-muntstukraken. aTekeninjewerkschriftmetbehulpvanjepasser waardemuntenkomenteliggen.Tekeneersteen “bloem”zoalsinopgave7. bHoeveel2-euro-muntenpasseneropdiemanier omhetafgebeelde2-euro-muntstuk?
3 5dm³(droog)zandweegt71__2kilogram. aHoeveelweegt18dm³zand? bWatmoetjedoenmeteenaantaldm³zandom zijngewichtinkilogramteberekenen? cNoemhetaantaldm³zandz.Hoeveelkilogram weegtzdm³zand? dHoeveeldm³zandweegt45kilogram? eWatmoetjedoenombijeengegevengewichtte berekenenhoeveeldm³zandzoveelweegt? f Noemhetaantalkilogramk.Hoeveeldm³zand weegt kkilogram?
4 Hiernaastiseenerepodiumgetekend. aStippelinjewerkschriftderibbenaandeachter- kant. bHoeveelribbenheeftheterepodium? Hoeveelhoekpunten? Hoeveelgrensvlakken? cZo’nerepodiumiswiskundigmaareenrarevorm. Oftochniet.Iemandtwijfeltofhijhetnoueen prismaofeenpiramidemoetnoemen. Watvindjij?Hoeveel-zijdig? 5 aHoezoujijiemandinwoordenuitleggenwathet verschilistusseneencilindereneenkegel? bHoezoujijiemandinwoordenuitleggenwathet verschilistusseneenbalkeneenrechthoek? cHoezoujijiemandinwoordenuitleggenwathet verschilistusseneenpiramideeneenkegel?
6 Bereken: 10+10:2+3 10+10:(2+3) (10+10):2+3 10+(10:(2+3)) 10×10–6+2 10×(10–6)+2 10×(10–6+2) 10×(10–(6+2)) 7 Alsjeineenregelmatigezeshoektweediagonalen trekt,wordtdezeshoekverdeeldindrieofvier stukken.Diestukkenkunnendriehoekigenvier- hoekigzijn. Tekeninjewerkschriftallemogelijkechtverschil- lendesituaties.Zegvanelkevierhoekvanwelk bijzondersoorthijis.
1.7 EXTRA OPGAVEN
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN
27
8 Hiernaastiseendriezijdigprismagetekend.Hetis intweestukkenverdeelddoorhetblauwevlak. Geefdevolledigenaamvanbeidestukken.
9 Hiernaaststaateenvierkantvan5bij5hokjes. Doorhetblokschemahierondertevolgenkrijgje eentovervierkant.Hetzelfdeblokschemaisook geschiktomtovervierkantentemakenvan7bij7 hokjes,van9bij9hokjes,enzovoort. Maakhet5bij5tovervierkant.
28
VeelvlakMarathonRotterdam
Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN