ПлощаПлоща

ПаралелограмаПаралелограма РомбаРомба

ПаралелограмПаралелограм--цеце чотирикутник, у чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно якого протилежні сторони попарно паралельні.паралельні.

Властивості:Властивості:Протилежні сторони паралелограма рівніПротилежні сторони паралелограма рівні

|AB|=|CD|, |AD|=|BC|.|AB|=|CD|, |AD|=|BC|.

Протилежні кути паралелограма рівні Протилежні кути паралелограма рівні

куткутA=A=куткутCC, кут, кутBB= = куткутDD

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпілперетину діляться навпіл

|AO|=|OC|, |BO|=|OD|.|AO|=|OC|, |BO|=|OD|.

Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°180°

Теорема (про площу палалелограма)Теорема (про площу палалелограма)Площа паралелограма дорівнює добутку його Площа паралелограма дорівнює добутку його ccторони на висоту, проведену до цієї сторониторони на висоту, проведену до цієї сторони..

SSABCDABCD=ah=ahaa

A

D C

MBH

Проведемо з вершинПроведемо з вершинии СС висоту висоту CMCM==DHDH==hh..Отримали трапецію Отримали трапецію AMCDAMCD.Розглянемо дві пари фігур, які її .Розглянемо дві пари фігур, які її

складають: даний паралелограм складають: даний паралелограм ABCD ABCD і трикутникі трикутник BMC BMC тата прямокутник прямокутник HMCD HMCD іі трикутниктрикутник AHDAHD..За третьою За третьою властивістю площі, властивістю площі, SSAMCDAMCD==SSABCDABCD++SSBMCBMC, а також , а також SSAMCDAMCD==SSHMCDHMCD++SSAHDAHD. . SSABCDABCD++SSBMCBMC==SSHMCDHMCD++SSAHDAHD..

ТрикутникиТрикутники BMCBMC==AHDAHD з за катетом і гіпотенузоюа катетом і гіпотенузою:: CMCM== DH DH як як висоти, проведенівисоти, проведені до однієї сторони до однієї сторони ABAB паралелограма, паралелограма,

ADAD==BC BC як протилежні сторони паралелограма. Тому, за як протилежні сторони паралелограма. Тому, за другою властивістю площі,другою властивістю площі, SSBMCBMC==SSAHDAHD

Отже, Отже, SSABCDABCD==SSHMCDHMCD

Для прямокутника Для прямокутника HMCDHMCD маємо:маємо:SSHMCDHMCD = =CDCD**DH=ADH=ABB**hhаа=ah=ahаа..Оскільки, за доведеним, площа даного паралелограма Оскільки, за доведеним, площа даного паралелограма

дорівнює площі прямокутника дорівнює площі прямокутника HMCDHMCD, то , то SSABCDABCD==ahah..

Дано: ABCD – паралелограм, DH – висота, AB=a, DH=ha.

Довести: SABCD= aha.

Доведення:

За даними на малюнку За даними на малюнку доведіть,що площа доведіть,що площа паралелограма паралелограма ABCDABCD дорівнює дорівнює 0,2 площі чотирикутника 0,2 площі чотирикутника KLMNKLMN

ДаноДано: : KLMN – KLMN – чотирикутник, чотирикутник, ABCD – ABCD – паралелограм.паралелограм.ДовестиДовести: : SSABCDABCD= = 0.20.2S S KLMNKLMN

ДоведенняДоведення::1) 1) KMKM11=NM=NM11=LK=LK11=MK=MK11, , тому тому KN=LMKN=LM; ; NLNL11=ML=ML11=KN=KN11=LN=LN11,, тому тому KL=NMKL=NM, отримали, , отримали, що що KLMNKLMN – паралелограм. – паралелограм. S S KLMNKLMN==NH*KL, NH*KL, з іншого бокуз іншого боку SSKLMNKLMN==SSM1NMM1NM+S+SK1LKK1LK+S+SKK1MM1KK1MM1. . Трикутники Трикутники MM11MN MN та та KK11LK LK рівні (за двома сторонами та кутом між ними), тому рівні (за двома сторонами та кутом між ними), тому SSM1NMM1NM==SSK1LKK1LK. . SSKLMNKLMN=2=2SSM1NMM1NM+S+SKK1MM1KK1MM1..2) Висоти 2) Висоти NS NS тата DP DP рівні, бо трикутники рівні, бо трикутники NSD NSD тата DPA DPA рівні за стороною та двома рівні за стороною та двома прилеглими кутами (прилеглими кутами (ND=DA ND=DA за теоремою Фалеса, кути за теоремою Фалеса, кути PADPAD та та SDNSDN, , SND SND тата PDA PDA рівні).рівні).3) 3) SSM1NMM1NM=0,5=0,5NS*MNS*M11M, M, також можна записати, що також можна записати, що SSM1NMM1NM=0,5 =0,5 DPDP**KKKK11. . SSKK1MM1KK1MM1=M=M11G*KKG*KK11, , також можна записати, що також можна записати, що SSKK1MM1KK1MM1=DP*KK=DP*KK11, бо , бо MM11GG==DPDP відстань між паралельними прямими. відстань між паралельними прямими. SSABCDABCD= = DPDP**AB.AB.4) 4) KKKK11=AK+AB+BK=AK+AB+BK11. BK. BK11=0=0,5,5CM, CM, середня лінія трикутника середня лінія трикутника LCMLCM. . AK=AB, AK=AB, за за теоремою Фалеса для кута теоремою Фалеса для кута KK11KLKL. . BKBK11=0=0,5,5ABAB, бо , бо ABAB=СМ. =СМ. KKKK11=A=AВВ+AB+0+AB+0,5,5ABAB=2,5АВ=2,5АВ5) 5) SSKLMNKLMN=2*0,5 =2*0,5 DPDP**KKKK11 + + DPDP**KKKK11=2 =2 DPDP**KKKK11=2* =2* DPDP*2,5АВ=5**2,5АВ=5*DPDP*АВ.*АВ.SSABCDABCD= = DPDP*АВ.*АВ.6) Знайдемо відношення 6) Знайдемо відношення SSABCD ABCD до до SSKLMNKLMN. . SSABCDABCD::SSKLMNKLMN= = DPDP*АВ:5**АВ:5*DPDP*АВ*АВ і отримаємо, і отримаємо, що що SSABCDABCD= = 0.20.2S S KLMNKLMN..

K L

MN

N1

L1

M1 K1

A

B

C

D

H

P

S

G

Ромб-це чотирикутник, у якого всі Ромб-це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.сторони рівні.

Властивості:Властивості:Ромб є паралелограмом. Його протилежні Ромб є паралелограмом. Його протилежні

сторони попарно паралельні, АВ||CD, AD|| сторони попарно паралельні, АВ||CD, AD|| BCBC

Діагоналі ромба перетинаються під прямим Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом кутом (AC (AC перпендекулярнаперпендекулярна BD) і в точці BD) і в точці перетину діляться навпіл.перетину діляться навпіл.

Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів ((куткутDCA=DCA=куткутBCA, BCA, куткутABD=ABD=куткутCBD і т.д.).CBD і т.д.).

Сума квадратів діагоналей рівна квадрату Сума квадратів діагоналей рівна квадрату сторони, помноженому на 4.сторони, помноженому на 4.

Теорема (про площу ромба)Теорема (про площу ромба)Площа ромба дорівнює половині добутку його Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналейдіагоналей

SSABCDABCD==0,50,5dd11dd22

ДаноДано:ABCD – :ABCD – ромбромб, AC , AC іі BC – BC – діагоналі, діагоналі, ACAC==dd11,BC,BC==dd22..

ДовестиДовести:: SSABCDABCD==ahahaa

ДоведенняДоведення: : У ромбаУ ромба ABCDABCD всвсі і сторони рсторони ріівнівні.. Його діагоналіЙого діагоналі

AC AC іі BDBD взаємно перпендикулярні і в точці взаємно перпендикулярні і в точці перетину діляться навпіл.Тому вони перетину діляться навпіл.Тому вони розбивають ромб на чотири рівнихрозбивають ромб на чотири рівних

прямокутних трикутники прямокутних трикутники ABOABO,,CBOCBO,,CDOCDO,,ADOADO з з катетамикатетами d d11/2/2 і і dd22/2/2 ..

SSABOABO==SSCBOCBO==SSCDOCDO==SSADOADO==0,5((0,5((dd11dd22)/2))/2)Оскільки Оскільки площа ромба дорівнює сумі площ цих площа ромба дорівнює сумі площ цих стрикутників,то стрикутників,то SSABCDABCD==4S4SABOABO=4=4((((dd11dd22)/8))/8)==0,50,5dd11dd22

ДаноДано: : ABCD – ABCD – ромб, ромб, AH=1,8, HD=3,2, AH=1,8, HD=3,2, коло вписане у ромб.коло вписане у ромб.ЗнайтиЗнайти: : SSABCDABCD

Розв'язанняРозв'язання::1) Трикутник 1) Трикутник AOD – AOD – прямокутний, прямокутний, OH OH перпендикулярне перпендикулярне AD (AD (як радіус як радіус

до дотичноїдо дотичної)). Значить . Значить OHOH висота у трикутнику висота у трикутнику AODAOD, тому , тому OHOH22= = ААHH* * HDHD..

OHOH22=1,8*3,2=1,8*3,2OHOH22 =5,76, =5,76, OHOH=2,4.=2,4.2) 2) ADAD= = ААHH++HDHD ADAD==1,8+3,2=51,8+3,2=5SSAОDAОD=0,5 =0,5 OHOH**AODAOD..Трикутники Трикутники AODAOD, , DOC,COB,BOA DOC,COB,BOA рівні між собою, тому що діагоналі рівні між собою, тому що діагоналі

АС і АС і BDBD розбивають ромб на 4 рівні трикутники. Відповідно, їх розбивають ромб на 4 рівні трикутники. Відповідно, їх площі також будуть рівними. площі також будуть рівними.

3) 3) SSABCDABCD=4*=4*SSAОDAОD=4*0,5 =4*0,5 OHOH**AODAOD=4*0,5*2,4*5=24.=4*0,5*2,4*5=24.

A

B

C

D

H

O

Знайдіть Знайдіть S S ромба,якщоромба,якщо n=1,8n=1,8см,см,mm==3,2см3,2см

Made byMade byПаліводою БогданомПаліводою Богданом

Гирилою АндріємГирилою Андрієм

Крушельницьким ВіталіємКрушельницьким Віталієм

Вівчаром ВіталіємВівчаром Віталієм

Васелькевичем ІгоромВаселькевичем Ігором