OLIMPIADA NAT,IONALA DE MATEMATICA

ETAPA NAT,IONALA, 1988

Clasa a IX-a

1. Se considera un triunghi echilateral ABC de latura 1 s, i punctele A1 ∈ (BC), B1 ∈ (AC),C1 ∈ (AB). Sa se arate ca:

A1B2

1 +B1C2

1 + C1A2

1 ≥3

4.

2. Fie un triunghi ABC s, i punctele M ∈ (AB), N ∈ (AC) astfel ıncat lungimile tangentelorduse din B s, i C la cercul circumscris triunghiului AMN sa fie egale. Sa se arate camijloacele segmentelor [AB], [AC], [BN ], [CM ] sunt puncte conciclice.

3. Fie m s, i n numere naturale, n ≥ 1. Sa se determine numerele reale x pentru care

⌊x+ 1⌋+⌊

x+1

2

⌋

+

⌊

x+1

3

⌋

+ · · ·+⌊

x+1

n

⌋

= m.

4. a) Sa se arate ca nu exista funct, ii f : Z → Z astfel ıncat

(f ◦ f)(x) = x+ 1, (∀) x ∈ Z.

b) Sa se arate ca exista o infinitate de funct, ii g : Z → Z astfel ıncat

(g ◦ g)(x) = −x, (∀) x ∈ Z.

1

Clasa a X-a

1. Sa se demonstreze ca daca a s, i b sunt doua numere complexe astfel ıncat tb+(1− t)a 6= 0,

(∀) t ∈ [0, 1] s, i Rea

b≥ 0, atunci Re

ab

[tb+ (1− t)a]2> 0, (∀) t ∈ (0, 1).

2. Sa se arate ca un s, ir neconstant de numere naturale nenule (xn)n≥0 este o progresiearitmetica daca s, i numai daca exista a > 0 astfel ıncat

xn+1 = xn +

⌊

xn

n+ a

⌋

.

3. Pentru n ∈ N∗ se considera numerele Ck

2n , k = 1, 2, . . . , 2n − 1. Sa se arate ca:

a) toate aceste numere sunt pare;

b) unul singur dintre numerele considerate nu este multiplu de 4.

4. Fie o piramida regulata de varf V s, i baza ABCD. Se considera punctele A′ ∈ (V A),B′ ∈ (V B), C ′ ∈ (V C), D′ ∈ (V D) s, i se noteaza cu M s, i N mijloacele segmentelor(A′C ′), respectiv (B′D′). Sa se arate ca punctele V , A′, B′, C ′, D′ se afla pe o sfera dacas, i numai daca dreapta MN este paralela cu planul bazei.

2

Clasa a XI-a

1. Fie A =

(

a b

c d

)

∈ M2(R) cu a+ d > 2. Sa se arate ca oricare ar fi n ∈ N∗, An 6= I2.

2. Fie un triunghi ABC s, i un punct M ın planul sau. Notam cu s(M) suma patratelordistant,elor punctului M la laturile triunghiului s, i cu S(M) suma patratelor distant,elorpunctului M la varfurile triunghiului. Sa se demonstreze ca urmatoarele afirmat, ii suntechivalente:

a) 4 · s(M) ≥ S(M), pentru orice punct M din plan;

b) triunghiul ABC este echilateral.

3. Fie s, irul (an)n≥2 definit prin an = maxk∈{1,2,...,n}

(k − 1)n−k.

a) Sa se arate ca ecuat, ia x+ (x− 1) ln(x− 1) = n, unde n ∈ N, n ≥ 2, admite o unica

solut, ie xn s, i limn→∞

xn

n

lnn

= 1.

b) Sa se arate ca limn→∞

n

√an

n

lnn

=1

e.

4. Se considera s, irurile (xn)n≥1 s, i (yn)n≥1 cu proprietatea ca limn→∞

xn = limn→∞

yn = 1. Notand

zn =x1yn + x2yn−1 + · · ·+ xny1

n, pentru orice n ≥ 1, sa se demonstreze ca lim

n→∞zn = 1.

3

Clasa a XII-a

1. Fie n ≥ 2 un numar natural. Sa se calculeze partea ıntreaga a numarului

2n∑

k=1

k1n−1.

2. Fie f : [0, 1] → R o funct, ie continua cu proprietatea ca

∫

1

0

f(t) dt = 0. Sa se arate ca

exista x0 ∈ [0, 1], astfel ıncat

∫ x0

0

f(t) dt = (f(x0))3.

3. Fie G un grup finit de ordin n s, i f : G → G un morfism cu proprietat, ile f ◦ f = 1G s, if(x) = x ⇒ x = e. Sa se arate ca:

a) {f(x)x−1 | x ∈ G} = G;

b) G este abelian;

c) n este impar.

4. Sa se demonstreze ca daca polinomul p ∈ R[X ], de grad n, are n radacini reale, atuncioricare ar fi a ∈ R, polinomul qa = p(X + ia) + p(X − ia) are, de asemenea, n radacinireale.

4