11 1 in groep 5–8hoadd.noordhoff.nl/sites/7416/_assets/7416d02.pdf · beelden laten zien dat je...

1 1

1 Hoofdrekenen in groep 5–8

1.3.2 De drie grondvormen van hoofdrekenen bij het vermenigvuldigingen met grotere getallen

• Rijgaanpak • Splitsaanpak • Varia-aanpak1.3.3 De drie grondvormen van

hoofdrekenen bij het delen • Rijgaanpak • Splitsaanpak • Varia-aanpak1.3.4 Handig rekenen met nullen

1.4 Dehoofdrekenles

1.4.1 Belangrijke kenmerken van de hoofdrekenles

1.4.2 Het kladblad voor het noteren van tussenantwoorden

1.5 Literatuurtips

1.1 Eenpracticumalsstart:Hoofdrekenen

1.1.1 Zelf aan de slag1.1.2 Reflectie

1.2 Watishoofdrekenen?

1.2.1 Hoofdrekenen: uit het hoofd en met het hoofd

1.2.2 Kenmerken van een goede hoofdrekenaar

1.2.3 De kenmerken in de praktijk1.2.4 De zin en de plaats van het

hoofdrekenen

1.3 Drievormenvanhoofdrekenen

1.3.1 Volgorde van aanbieding van de drie grondvormen van hoofdrekenen bij het optellen en aftrekken

• Rijgaanpak • Splitsaanpak • Varia-aanpak

1

3© Noordhoff Uitgevers bv.© Noordhoff Uitgevers bv2

1

© Noordhoff Uitgevers bv4

1 1

§ 1.1 Eenpracticumalsstart:hoofdrekenen

Rekenendoejeopverschillendemanieren,dieonderandereafhangenvandesituatie,vanjekennis,vaardigheidenzelfvertrouwen.Jekuntopdevolgendemanierenrekenen:• doorgebruiktemakenvangetalkennisenweetjes,zoalsdiezijnopge-

slageninjehoofd.Bijvoorbeeld:3+4=...;5×6=...;50isdehelftvan100;50%isdehelftvan...;10cmiseendecimeter.

• doorgebruiktemakenvangetalkennisenweetjes,gecombineerdmeteenbasiskennisvanrekenregels.Bijvoorbeeld:30%kortinguitrekenenals0,3×...=...;101–99zienalshetverschiltussen101en99endusookalshetverschiltussen102en100;12×14uiteenkunnenrafelenals10×14en2×14.

• doorgebruiktemakenvanhulpmiddelen.Jegebruiktbijvoorbeeldeenrekenmachinealsdegetallentegrootofdebewerkingentecomplexworden,ofalsjeietsheelprecieswiltuitrekenen.

Omgriptekrijgenophetvakgebieddatinrekenwiskundemethodenenookinliteratuuroverrekenonderwijsaangeduidwordtmet‘hoofdrekenen’,volgthiereenpracticumopjeeigenniveau.Ditheefttweebelangrijkeredenen:• hetgeeftjemeerinzichtinhoejijrekent,alsonderdeelvanjouwvor-

mingtotgecijferdeleraar;• hetgeeftjevoorbereidingomhetonderdeelhoofdrekenenindereken-

lesbetertekunnendoordenken.

1.1.1 Zelfaandeslag

Maakhetpracticumhiernaast.

Practicum 1 Getallenuithetnieuwsvandedag a DeweerdienstvanShanghaiverwachtdaterplaatselijk200millimeter

regenzalvallen.Hoeveelliterwaterkomterongeveerindebadkuipdiebuitenstaat?

b Hetwielrenpelotonkomtzevenminutennadewinnaarbinnen.Hoeverzijndewielrennersinhetpelotonongeveervandefinishverwijderdalsdewinnaardefinishlijnpasseert?

c Nedcargaat30000auto’sperjaarfabriceren.Hoeveelauto’szijndatbijbenaderingperdag?

2 Opgavenmetkleinegetallen.Welkeaanpakkenkenjij? 47+59= 14×14= 168:12= 82–68= 7×68= 320:5=

3 Wieissneller:jijofderekenmachine? 2400:8= 801–789= 6×251= 1250 + 1250 + 1250 = 6literwijninflessenvan75cl.Hoeveelflessenzijndat? Om7.45uurzetjeeendvdop.Dezeduurt135minuten. Omhoelaatishijafgelopen?

4 Jegaatmet€25,–desupermarktbinnen.Hebjegenoeggeldbijjeomhetvolgendetekopen?

a Zesflessenwijnvan€4,25perstuk. b Eenpakwaspoedervan€6,99;tweepakkenmelkvan€1,15perstuk;

eenijstaartvan€5,98;eenpaknootjesvan€2,45;eenpotjamvan€1,85;eenpakdiepvriesvisvan€4,99.

5 Zelfsommenmaken Maakzelfzoveelmogelijkverschillendekeersommenmet240alsuit-

komst.

6 Handigtellen Hoeveelblikkenbevateenstapeldieopgebouwd

isalsdehiernaastafgebeeldestapel?Hierbijwordtuitgegaanvaneenondersterijmet10blikken.

7 Deelbaarheid Onderzoekofhetgetal165deelbaarisdoortwee,doordrie,doorvijf,

doorvijftien.

8 Hoeveelsprongenvanafnul? Jespringtoverdegetallenlijnmetsprongenvan100,10en1.Jestreeft

naarzoweinigmogelijksprongen.Hoeveelsprongenhebjenodigombij296enombij464uittekomen?

© Noordhoff Uitgevers bv. HOOfDREkENENiNgROEp5–8 5

© Noordhoff Uitgevers bv�

1

© Noordhoff Uitgevers bv. HOOfDREkENENiNgROEp5–8 �

1

1.1.2 Reflectie

indezereflectiewordtteruggekekenophetrekenwerkuithetpracticum.Deverschillendeopgaveninhetpracticumweerspiegelenhetterreinvanhoofdrekenenzoalsdatopdebasisschoolingroep5totenmet8inhoudkrijgt.Voordaterperopgaveeenbesprekingvolgt,zijneraleenpaarnotitiestemaken.• indeeersteplaatshebjekunnenervarendathetnietalleengaat

omkaleoefensommen,maardaterookgerekendwordtinpraktischesituaties.getallen,bewerkingenenuitkomstkrijgenbetekenisdooreenspecifiekecontext.Decontextbepaalttevens,oferpreciesofgeschatgerekendmoetworden.

• indetweedeplaatskunjeziendatereengrotevariatieaanvragenis.Veelvragenzijngerichtopbewustwordingenverantwoordingvandeeigenaanpak.

• indederdeplaatszijnerveelopgavenmet‘mooie’getallen.

Deopgavennaderbekeken

1 Getallen uit het nieuws van de dagVeelinformatiediejedagelijksontvangtviademediabevatgetallen.Menlijktervanuittegaandatjealslezerofkijkerwelraadweetmetdezein-formatie.Dezegetalsinformatiekunjeomzetteninconcretesommendiejekuntcontroleren.Hetgaatdanvaaknietom‘precies’rekenen,maarom‘ongeveer’rekenen.Jegaathierbijuitvanjeeigenreferentie,zoals:watzijndeafmetingenvaneenbadkuip?hoehardrijdenwielrennerson-geveer?hoeveeldagenbevateenjaar?Ditwordtookwel‘rekenenopderandvandekrant’genoemd.Devoor-beeldenlatenziendatjekuntgaanrekenenwanneerjehetprobleemhebtomgezetnaar‘rekentaal’,bijvoorbeeldnaar 30000:300 bijvraagc.Bijhettoepassenvanditsoortopgavenindeklasmoetdeleraardeda-gelijksenieuwsstroomomzetteninvoorkinderenvoorstelbareproblemen.Hetisvanbelangterekenenmethandiggekozengetallen.Dekeuzevandegetallenisinteressant,omdatdeleraarhierdoorweetwatdereferen-tiesvandekinderenzijnendekinderenernieuwereferentiesbijleren.Alsinformatiebronkunjeinternet(bijvoorbeeldmetgoogle)raadplegen.Desnelheidvaneenpelotonwielrennersmagje–afhankelijkvanallerleiroutefactoren–binneneenrijkwijdtevan30tot60km/uurinschatten.keuzevoor60km/uurgeeft1km/minuut.Dusdegeschatteafstandbijzevenminutenachterstandis7km.keuzevoor30km/uurgeeftdehelft,is3,5kmachterstand.Eenrealistischeinschattingvandeafstandligttussendezetweeuitersten.Hetrekenwerkbijgetallenuithetnieuwsisdusgebaseerdopenigeken-nisvanhetonderwerp,eenvoorstellingvanhetprobleem,eenomzettingnaareenrekenkundigmodelwaarineenberekeningindeplaatskomtvandevraag,hetkiezenvan(een)geschikt(e)begingetal(len)enopmaatken-nis(invraagbkmperuuromgezetnaarkmperminuut).

2 Opgaven met kleine getallenDezevormeneenbelangrijkekernvanhethoofdrekenen.Metbekende(voorstelbare)getallenenbewerkingenrekenenopeenmanierdieeropgerichtiszogoedmogelijkgebruiktemakenvandeeigenschappenvandebewerkingenenvanderelatiestussengetallen.

Bijvoorbeeld: 47 + 59 = 59 + 47 = (59 + 1) + (47 – 1) = 60 + 46 = 106

Maar ook: 47 + 59 = 40 + 50 + 7 + 9 = 90 + 16 = 106Of: 47 + 59 = 59 + 47 = 59 + 40 + 7 = 99 + 7 = 106

Jekunthierziendatjedesomopverschillendemanierenkuntoplossen.Elkeaanpakmaaktgebruikvandeeigenschappenvangetallenenvanbewerkingen,zoalsdewetenschapdathetgetal59dichtbij60ligt,datjeineenoptellinghetenegetalmagverhogenalsjehetanderegetalindezelfdemateverlaagt,datjegetallenkuntsplitsenenzovoort.

Zokunjeookdeopgave 82–68= analyserennaarverschillendeaan-pakken.Eenpaarvoorbeelden:

82 – 68 = 82 – 60 – 8 = 22 – 8 = 22 – 2 – 6 = 20 – 6 = 1482 – 68 = ...; 80 – 60 = 20; 2 – 8 = -6; 20 – 6 = 1482 – 68 = 83 – 69 = 84 – 70 = 1482 – 68 = 80 – 68 + 2 = 12 + 2 = 1482 – 68 = 81 – 67 = 80 – 66 = 1482 – 68 = ...; 68 + 2 = 70; 70 + 12 = 82; 2 + 12 = 14

Ookhierweerkunjegebruikmakenvankennisvangetallen,vangetalrela-tiesenvandebewerkingvangetallen.getalkennisishierbijvoorbeeld:82isoptevattenals80(achttiental-len)en2(tweeeenheden);getalrelatieis 82+2=84 of 82–2=80;kennisvandebewerkingkanzijnvanuitdebetekenis‘eraf’(instuk-ken)ofvanuitdebetekenis‘verschil’.indelaatstebetekenisisdestap82–68=84–70 tebegrijpen.Beidegetallenevenveelophogengeefthetzelfdeverschilbinnendesom.Hetbesprekenvandezemanierenvanaanpakiseencentraalthemaindehoofdrekenles.kinderenlerenzovanelkaarenvergrotenhierbijhuneigenrepertoire.

14×14= kunjeherschrijvenin 10×14+4×14=140+56=196.Heteerstegetalwordtgesplistin10en4omervervolgensmeetereke-nen.Jekuntookdestrategievanhalverenenverdubbelentoepassen.14×14 wordtdan 7×28.Datkunjeuitrekenenvia 7×20+7×8=196.Ofrekenvanaf 5×28 (datisdehelftvan10×28)=140 envoeg 2×28=56 toe.Misschienweetjekwadratenweluitjehoofdenhoefjehelemaalnietre-kenen,omdatjediekennisparaathebt.Denkaan 11×11 en 12×12.Hoezoujedeinformatiediejeopgedaanhebtbijdetoelichtingophetuitrekenenvan 14×14 kunnengebruikenbijhetoplossenvan 7×68?

Nietallekinderenkiezenvoordezelfdeaanpak.Hoemeerverschillendeaanpakkenjekentenhoebeterjeweethoejekinderenopeenhogerni-veaukuntlatenfunctioneren,destegemakkelijkerwordthetomkinderengoedtebegeleidentijdensderekenles.

© Noordhoff Uitgevers bv�

1

© Noordhoff Uitgevers bv. HOOfDREkENENiNgROEp5–8 �

1

Dedeling 168:12=... kanwordenopgelostdoor168tesplitsenin120en48.Jezietdat12zekertienkeerpastin168,dusjehaaltalshetwareeerst120eraf.Jehebtnog48overendaarpast12vierkeerin.Jemaaktvandedelinginfeiteeenvermenigvuldiging.Doorditvraagstukineengeldcontextteplaatsenkanhetgemakkelijkerwordenomdeopgaveoptelossen.Twaalfpersonenverdelen168euro.Hoeveelkrijgtieder?iederkrijgt10euro;daniser120euroalverdeeldenisernog48euroteverdelen.Jekunteerstiedereenééneurogeven,danhebjenog36euroover;vervolgensgeefjeweeriederééneuroenzoverder.Uiteindelijkkrijgtiedereen14euro.

Deopgave 320:5=... kunjeoplossendoor320tesplitsenin300en20.Desplitsaanpakisaltijdbruikbaarbijhetoplossenvandelingen.Jekuntdenkenaan 30:5=6 ennaaranalogiehiervanaan 300:5=60.Hetantwoordiseenfactortiengrotergeworden.Datvraagtvanjedatjeinzichthebtinhettoepassenvandenulregel.Hetgaaterhierbijomtebegrijpenwaaromdenulerbijkomtennietalleenomhettrucje.Van 320:5 kunjeookeenandereopgavemakenmetdezelfdeverhou-ding,diemakkelijkeruitterekenenis,namelijk 640:10.inzichtindenulregelisooknuweervanbelang.Misschienzijnerookkinderendiebehoeftehebbenaaneenspecifiekecontextomditbetertekunnenbe-grijpen.kunjedanbijdezeopgaveeencontextbedenken?

3 Wie is sneller: jij of de rekenmachine?Wieerwintwordtbepaalddoorjekennisvandegetallen,jebewerkingenenjesnelheidvanhoofdrekenen.Zoujederekenmachineookpakken,alsjevan 2400:8= even24:8=3 maakt,waardoor 2400:8=300 alsantwoordheeft?

Rekenje 6×251 via 6×250+6 uit?Ofsplitsjedeopgaveopin6×200+6×50+6×1?

Degetallen801en789liggendichtbijelkaar.Van789naar800is11endannog1erbij.Deaftreksomiseenoptelsomgeworden.Jekuntookdenkenaaneencontext,bijvoorbeeld:ikheb801euroopmijnrekeningstaanenikkoopeencomputervoor789euro.Hoeveelgeldhebikover?Bijdekassakrijgje–alsjecontactbetaalt–eerst1eurote-rugtot‘790’,dan10eurotot‘800’entotslotnog1eurotot‘801’terug.Jehaddeaftreksomookonderelkaarkunnenzettenenhemzokunnenuitrekenen,maardanbenjewaarschijnlijknetzosnelalsderekenma-chine.

Bijdewijnflessendiegevuldwordenmetzesliterwijn,kunjedirectziendatjesowiesozesflessenkuntvullen,wantjehebtperflesmaar75clnodig.Danhebjenogzeskeer25clover.Metdriekeer25cliseenflesvol,dusdankunjenogtweeflessenvullenenhebtintotaalachtflessengevuld.Jekuntookvanzesliter600clmakenendatdelendoor75.Omzeslitertekunnenherschrijvenincentilitersmoetjekennishebbenvanhetme-triekestelsel.Ofzagje75clals¾enkijkjedanhoevaak¾in6past?

1250+1250+1250=... Datantwoordzoujedirectkunnenzien.Ofziejehetsnelleralsdeopgavenietzo,maarjuistonderelkaarzoustaanopgeschreven?Jekuntooksplitsendrekenen:eerst 1000+1000+1000, dan200+200+200 endan 50+50+50. Ofmisschienlaatje250alsgetalwelheel.

Bijhetrekenenmettijdenmoetjeoppassen:jerekentnietmet100,maarmet60(60minutenineenuur).Dusalsjederekenmachinebijdezeopgavezougebruiken,danmoetjejeeerstrealiserenwatjepreciesgaatuitrekenen.Jekuntnietzomaargaanoptellen.135minuten,datistweeuureneenkwartier.Dedvdgaataanbij7.45uur,dusom10.00uurisdedvdafgelopen.

4 Heb je genoeg geld bij je om het volgende te kopen?Misschienkomtdezesituatiejebekendvoor:jehebtmaar25euroenjevraagtjeafofhetgenoegisvoordeboodschappendiejewiltdoen.Jekuntdatheelpreciesuitrekenen,bijvoorbeeld:zesflessenvanelk4,25is4×6eurois24euroennogzeskeer0,25,datis1,50,dustotaal25,50euro.Dus0,50eurocentteveel.Datpreciesrekenenkan,om-datje‘mooie’getallenhebt.Ditisminderhetgevalbijdeanderebood-schappen,alkunjevansommigegetallenwelmakkelijk‘mooie’getallenmaken.

Eenpakwaspoedervan€6,99pasjeaanin: 7,00euroTweepakkenmelkvan€1,15perstuk,dussamen: 2,30euroiJstaartvan€5,98pasjeaanin: 6,00euroNootjesvan€2,45eneenpotjamvan€1.85teljeop,is 4,30euroDiepvriesvisvan€4.99pasjeaan,is: 5,00euro.

Teldenieuwebedragenbijelkaaropomtezienof25eurogenoegis.Bijhetoptellenhebje2,30euroevenveranderdin3euro,omdatjezagdat7euroen3eurosamen10eurois.6euroen4,00euroisooksamen10euro.(Jehebtnuevendie0,30eurocentweggelaten;datkanookwel,wantbij2,30eurohadje0,70teveelgerekend.)Tenslottevoegje5eurotoe,endanishetsamen25euro.Jekrijgtnogietsterug,omdatjemetteveelgerekendhad.Hierkomtdushetschattenincombinatiemethoofdrekenenaandeorde:hoepreciesmoetdeschattingzijn?Hoeveelhebjeteveelofteweiniggenomen?Enwatishetgevolgvanhetrekenenmetanderegetallen?Doormetelkaaringesprektegaanoverdegemaaktekeuzesendecon-sequentiesdaarvankrijgenleerlingensteedsmeergripopdemogelijkhe-dendiehetschattenbijhethoofdrekenentebiedenheeft.Zekeralshetpreciezerekenennietnoodzakelijkis,kaneendergelijkeaanpakvoorveeltijdwinstzorgen.

5 Zelf sommen makenZelfzoveelmogelijkverschillendekeersommenbedenkenmet240alsuitkomstisvoordemeesteleerlingenopdebasisschooleenuitdagendeopdracht.Wenoemendatproductief oefenen.productiefoefeneniseenopenmaniervanvraagstukkenaanbieden,waarbijeigeninitiatiefvandeleerlinggevraagdwordt.Jekuntdenkenaankeersommenmet24alsuitkomst.Degetallenparen4en6,3en8,2en12,1en24horendaarbij.


1


1

8 Hoeveel sprongen vanaf nul?Jemaaktgebruikvandesprongenvan100,10en1enprobeertinzoweinigmogelijksprongenbij296enbij464uittekomen.Ominzominmogelijksprongenbij296uittekomen,maakjedriespron-genvan100enhaaltdaarviersprongenvan1af.Jehebtgeziendat296dichtbij300ligt.Bijdezemaniervanspringenmaakjezominmogelijksprongen.Maakjeechtertweesprongenvan100,negensprongenvan10enviersprongenvan1,danmaakjemeersprongendanwanneerjeeerstover296naar300springt.Opgrondvandeliggingvanhetgetalindetelrijkwamjekeuzetotstand.464ligtdichterbij500danbij400.Dusjemaakteerstvijfsprongenvan100envervolgensviersprongenvan10(jebentnubij460)ennogviersprongenvan1.Metdertiensprongenkomjeuitbij464.Alsjeviersprongenvan100enzessprongenvan10enviersprongenvan1maakt,hebjeveertiensprongennodigombij464uittekomen.Eerstnaar470springenendanzessprongenvan1terugspringenisnietkorter.Deplaatsvangetallenindetelrijendepositiewaardevanelkgetalhebjenodigominzominmogelijksprongenbijhetdoelgetaluittekomen.ineeninteractiefmomentkunnenkinderenaanelkaaruitleggenwelkeover-wegingenzegemaakthebbenominzoweinigmogelijksprongenbijhetdoelgetaluittekomen.kinderendiealleenvooruitspringen,ontdekkendatterugspringenookmogelijkis.Terugspringeniseenvaardigheiddiejebijhethoofdrekenenkuntgebrui-kenalsjebijvoorbeeld 735–298 uitrekent.Jehaaltvan735300af(datwordtdan435).Jehebtdantweeteveelerafgehaaldendievoegjeweertoetotjekomtop437.

§ 1.2 Watishoofdrekenen?

‘Wathoofdrekenenis,weetiedereen’,aldusluiddedetitelvaneeninvloedrijkartikeloverhoofdrekeneneindjarenzeventig1.Eninder-daad:iedereenheeftinhetdagelijkslevenofindewerksituatieweleensmethoofdrekenentemaken,eniedereenheeftdusweleenideewatdaarmeebedoeldwordt.Tochligthetminderduidelijkdanmenopheteerstegezichtwellichtzoudenken.ishoofdrekenenbijvoorbeeldvooraluìthethoofdrekenen,ofmagerookpenenpapieraantepaskomen?Encijferenuithethoofd,valtdaterookonder?Ofmoetvooralgedachtworden,zoalsinsommigelandenhetgevalis,aanhetuithethoofdlerenvanbasalerekenfeitenals 6+7=13of 6×7=42?

inNederlandheeftzichdelaatstedecenniamedeonderinvloedvanvoornoemdartikeleensteedsduidelijkeropvattingoverhoofdrekenengevormd.Eenopvattingdiehaarwortelsvindtindewijzewaaropdeafgelopen100à150jaartegenditleerstofgebiedisaangekekenendiemedeonderinvloedvandegrootschaligeinvoeringvandereken-machinesteedsmeergestaltekrijgtindereken-wiskundemethoden.Dezeopvattingkomterkortgezegdopneerdathoofdrekenenhandigenflexibelrekenenisopbasisvanbekendegetalrelatiesenrekenei-genschappen.Dezeopvattingwordtinmiddelsdooreenbredegroeppraktijkmensenenvakdeskundigengedragen.Zijvindtookinterna-

Hetgaatinditgevalnietom24,maarom240,dusdandenkenweaan4×60, 40×6, 3×80, 30×8, 2×120, 20×12,1×240 en10×24. Jekuntooknogalleomkeringenopschrijven,omdatdeverwis-seleigenschapvantoepassingisopvermenigvuldigingen.Bijvoorbeeldin 60×4,6×40 enzovoort.Jekuntdebasisschoolleerlingenvragenomintweetalleneenbepaaldaantalsommentebedenken.Zijnallekeersommenbij240gevonden?

6 Handig tellenDehoeveelheidblikkenkanwordenbepaalddoor1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 uitterekenen.Deopdrachtishandigtellen;datkandoordebovensteendeonderstestapeloptetel-len,datis 1+10=11. Detweederijendeéénnaondersterijzijnooksamen 11(2+9), datisookzobij 3+8, 4+7 en 5+6. Jehebtdus5×11 blikken.Jekuntookderijensamenvoegendiesamen10zijn: 1+9, 2+8, 3+7, 4+6. Jehebtdanvierkeereenrijvan10ennog10en5,dussamen55.Hetzoekenvangetallendiemooibijelkaarpassenkanhethoofdrekeneneenstukeenvoudigermaken.Bijvoorbeeldindeopgave46+23+54+77=...Alsjezietdat46+54samen100zijn,netzoals23+77,danhebjedeuitkomstzogevonden.Doorkinderenditsoortvragenvoorteleggenendaaraandeopdrachttekoppelen:‘Rekenhandig!’stimuleerjezeomopzoektegaannaarmooiecombinaties.Zokunnenzelaterzelfookmooiecombinatiesontdekkenengebruikenbijhethoofdrekenen.

7 DeelbaarheidBijhetonderzoeknaardedeelbaarheidvanhetgetal165zoekjeuitof165deelbaarisdoortwee,drie,vijfenvijftien.Jekuntuitrekenenofje165metzijntweeëneerlijkkuntdelen.Jemaaktdaneendeling.Jehebtalvakergetallengedeelddoortweeenmisschienishetjetoenopgevallendathetdelendoortweeluktalsheteindgetaleenevengetalis.Vijfisgeenevengetal,dus165isnietdeelbaardoor2.Deoverigedelingenzijntemakendoor165tesplitsenentekijkenofdegesplitstegetallendandeelbaarzijndoor3,5en15.Bijvoorbeeld 165:3=150:3+15:3.ˆDatkan,dus165isdeelbaardoordrie.Eenkenmerkvandeelbaarheiddoordrieisdatdesomvandecijferswaaruithetgetalisopgebouwd(1+6+5=12)deelbaarisdoordrie.Jemaaktdannietdedeling,maarjemaaktgebruikvanhetkenmerkvandeelbaarheid.Hetkenmerkvandeelbaarheiddoorvijfisdathetgetaleindigtopeennulofeenvijf;datishierhetgeval.15iseensamenstellingvan5en3,dus165isookdeelbaardoor15.Weetjeookdekenmerkenvandeelbaarheiddoor4en9?Jekuntkinderenopdebasisschoolvragenomallegetallentot100opteschrijvendiedeelbaarzijndoor5of10ofdoor2.Welkegetallenhebbenzegevonden?Watvaltopalsjenaardezegetallenkijkt?Laterkunnenzeookgetallendiedeelbaarzijndoor3,4,8,9,6en12onderzoekenomdekenmerkenvandeelbaarheidtebepalen.Dekenmer-kenvandeelbaarheiddoor7,11en13komennietaandeorde,omdatdaarvangeenvereenvoudigingistegevenisvoorhetdelenduitrekenen.kinderenkrijgendooreendergelijkonderzoekmeergripopdegetallenenhungecijferdheidneemttoe.

© Noordhoff Uitgevers bv12 © Noordhoff Uitgevers bv. HOOfDREkENENiNgROEp5–8 13

Hetisookmogelijkomdeopgaveuitterekenendoor68–30tebereke-nen,eningedachtentehoudendatjenuéénteveelaftrekt.Datgetalmoetjelaterweerbijhetantwoordoptellen.Dezeaanpakontstaatbijnavanzelfdoorbijdezeopgavetedenkenaandevolgendesituatie:inmijnspaarpotzit68euro(zesbriefjesvantien,eenbriefjevanvijfendrielossemuntenvanééneuro).ikwileendvdkopenvan29euro.Hoeveelhebikdannogover?indewinkelbetaalikmet30euro;ikkrijgnogééneuroterug.inmijnspaarpotzitnog38euroenalsikstraksdieeneeuroerweerinstop,danhebikdusnog39euro.

tionaalsteedsmeeringang.Hierondereenaantalvoorbeeldenvanopgavendieindezeopvattingtothetdomeinvanhethoofdrekenengerekendworden:

> 56+28=368+57=1980+370=

> pieterkoopteenwalkman.Hijbetaaltmeteenbriefjevan200.Deprijsvandewalkmanis€189,–.Hoeveelhoudthijover?

> 142–76= 702–635= 2980–370=

> Anskooptachtmueslibollen.Eenmueslibolkost95cent.Hoeveelmoetzijbetalen?

> 8×28= 6×249= 12×15=

> Sanderkijktopz’nhorloge.Hetis16.51uur.Hijmoetomhalfzesthuiszijn.Hoeveeltijdheefthijnog?

> 84:4= 150:6= 750:15=

1 H. Jansen(1973).Wathoofdrekenenis,weetiedereen.Wiskobasbulletin, 2, 3, 784–786.

(TALHG-BB,p.37)

1.2.1 Hoofdrekenen:uithethoofdenmethethoofd

Bijhoofdrekenenwordtnietalleenuithethoofdgerekend,maarookhetrekenenmethethoofd,hethandigerekenen,hoorttothethoofdrekenen.Wathandigis,isafhankelijkvandegetallenindeopgaven.kinderenlerenbijhoofdrekenenomnaargetallentekijkenendaarnatebeslissenhoezeeenvoudigdeopgavekunnenuitekenen.Zoisdeopgave 68–29 eenvoudigoptelossenalsjebeidegetallenmeteengetalverhoogt,waardoor 69–30 denieuweopgavewordt.Hetverschilblijftimmersevengroot.Ditligtmeervoordehandalsjebijdeopgavedenktaandesituatiewaaringevraagdwordt:‘Hoeoudwasopatoenzijnkleinzoongeborenwerd?’Opaisnu68jaarenzijnkleinzoonis29jaar.infeitegaathetbijdezeopgaveomhetverschilinleeftijd.Steljedezelfdevraageenjaarlater,danishetverschilnogevengroot.Hetuitrekenenisgemakkelijker,doordatje69–30kuntuitrekenen.

11

68 6939

29

30

68 6939

30

209

€10

€10

€10

€10

€5

€10Ik geef 30 euro

€10

€1

€1

€1

€1Ik krijg 1 euro terug

Ik heb nu nog 39 euro

Eenverhaalbijeenopgavekansturinggevenaandewijzewaaropdeoplossingtotstandkomt.Aanvankelijkmakendekinderenkennismetverschillendemanierenvanoplossen,doordatweverhalenoftewelcon-textengebruikendieeenbepaaldewerkwijzeondersteunen.Opeenlatertijdstipkunnenkinderenookzondercontextlerenomverschillendeoplos-singswijzentehanteren.Zekunnengestimuleerdwordenomzelfaaneencontexttedenken,maarookkanzegevraagdwordenomnetzoteden-kenalseenanderkinddateenbepaaldemaniervanoplossengebruikt.Hoofdrekenenisgeenindividueleactiviteit;hetmetelkaarbesprekenvanmanierenvanoplossendraagtertoebijdatkinderenkennismakenmetensteedsvaardigerwordeninhetgebruikvandiversemanierenvanoplos-sen.Ditbetekentdatkinderengestimuleerdwordenomflexibeltewerkenbijhetuitrekenenvaneenopgave.Erzijnimmersverschillendemanierenomeenopgaveuitterekenen.Tijdenshethoofdrekenenmogenkinderengebruikmakenvanpenenpapieromkorteuitwerkingentenoteren.Hetis


1 1

nietdebedoelingdatalleberekeningenwordenopgeschreven.Hetgaatslechtsomhetnoterenvanenkelebelangrijketussenantwoorden,zodatkinderenhetoverzichthouden.insubparagraaf1.4.2istelezenwatdefunctievanhetkladbladisvoorhetnoterenvantussenantwoorden.

Dehandigehoofdrekenstrategieëndieinhethuidigebasisonderwijswor-dengebruikt,zijnterugtevindeninGrondslagen van de rekendidactiek.

Uit:L.vangelder,Grondslagen van de rekendidactiek,p.25/26,Wolters,groningen1959

Hethoofdrekenenkomtinhetbasisonderwijsvanafgroep5totenmetgroep8aandeordebijhetoptellenenaftrekkentot100/1000,hetver-menigvuldigenmetgroteenrondegetallenenbijhetdelenmetgroteenrondegetallen.

Vanelkdeelgebiedgevenweeenvoorbeelduiteenrealistischerekenme-thode.


Voorbeeld:Optellentot100

Uit:Rekenrijk,deel4a,p.107

Voorbeeld:Optellentot1000

Uit:WIG,deel5a,p.30(ditvoorbeeldstaatookinRekenvaardigp.70).

Voorbeeld:Aftrekkentot1000

Uit: WIG,deel5b,p.63(ditvoorbeeldstaatookinRekenvaardigp.96).

© Noordhoff Uitgevers bv1�

1

© Noordhoff Uitgevers bv. HOOfDREkENENiNgROEp5–8 1�

1

Voorbeeld:Vermenigvuldigenmetgrotegetallenenrondegetallen

Uit:Rekenrijk,deel5b,p.54.

Voorbeeld:delenmetgroteenrondegetallen

Uit:Alles telt,deel6a,p.51.

Hoofdrekenenishandigenflexibelrekenenopbasisvanbekendegetalrelatiesenrekeneigenschappen.(TALHG-BB,p.37)

Vlotenflexibeldoordegetallenwereldkunnenbewegen,zozoumenhoofdrekenenookkunnenomschrijven.

Ofhetdaarbijomoptellen,aftrekken,vermenigvuldigenofdelengaat,ofeencombinatievandezebewerkingen,isnietwezenlijk.Evenminishierbijvanbelanguitwelkgetalgebieddegetallenafkomstigzijn.(TALHG-BB,p.38)

Hetisindeeersteplaatseenbenaderingswijzevangetallenenge-talsmatigegegevenswaarbijhandigenflexibelmetdegetallenwordtgerekend.(TALHG-BB,p.38)

1.2.2 Kenmerkenvaneengoedehoofdrekenaar

Watkomterallemaalbijkijkenomjeeengoedehoofdrekenaartevoelen?Omtekunnenhoofdrekenenishetvanbelangomdebasisvaardighedenzoalsoptellen,aftrekken,vermenigvuldigenendelengoedtebeheersen,zodatjedezevlotkuntgebruiken.Jemoetkennisoverrekenfeitenkunneninzetten.Zokunjebijhetmakenvaneenaftrekopgaveooktoteenoplos-singkomendooreenoptellingtemaken,bijvoorbeeld: 68–29 uitreke-nendoor 29+?=68 uitterekenen.Hoeveelmoetjebij29doenombij68uittekomen?

Naastvaardighedenenkennisspeeltookhethebbenvaneengoedge-voeloverhoofdrekeneneenrol.Naeenaantalsucceservaringenophetgebiedvanhoofdrekenendurvenkinderenmeeroponderzoektegaanindewereldvandegetallen.Eengoedgevoelmaakthoofdrekenentoteenuitdagingeneenaangenamewijzevanrekenen.Omkinderenhierintebegeleidenkaneenleerkrachtvoorafgaandaaneenhoofdrekenlesdekindereneerstineenkortemondelingegezamenlijkelesactiviteitlatenoe-fenenmetdebasisvaardigheden.Deleerkrachtgeeftdekinderenruimteomopeigenwijzetoteenoplossingtekomenendezesystematischtebespreken.Ookzorgtdeleerkrachtervoordatkinderenzichveiligvoelenomhunaanpakkenteverwoordenentedelenmetanderekinderen.

Nuwatpreciezer.Wegeveneenaantalkenmerkenvandievaardigheid:• jewerktmetgetalwaardenennietmetcijfers;degetallenwordenbij

hethoofdrekenen‘inhunwaardegelaten’.Voorbeeld:1012–898=1012–900+2.

Hetrekenenmetgetallenennietmetcijferskomtookaandeordebijde‘bijna-verdwijnsommen’dieingroep4en5aandeordekomen.Voorbeeld:62–59.

• jemaaktgebruikvanrekeneigenschappenengetalrelaties.Wenoemenhierdebelangrijkste:– deverwisseleigenschap(16+47=47+16;28×3=3×28),– deverdeeleigenschap(13×6=(10×6)+(3×6)),– deinverserelatiesoptellen/aftrekkenenvermenigvuldigen/delen

(bijvoorbeeld:62–59=3,want59+3=62;420:7=60,want7×60=420)encombinatiesdaarvan.

• jesteuntopeengoedontwikkeldgetalgevoeleneenhechtekennisba-sisvanelementairerekenfeitentottwintigentothonderd;

• jeweetdaterverschillendemanierenzijnomtoteenoplossingteko-men.Nietiedereenhoeftopdezelfdewijzetoteenoplossingtekomen.

• jehebtgevoelvoordegroottevangetallen;• jehebtinzichtindepositievaneengetalopdegetallenlijn;• jehebtinzichtindeverschillendestructureringsmogelijkhedenvaneen

getalalshoeveelheid;• jehebtzichtopdeverschillendepraktischebetekenissenvangetallen;• jekuntschakelenvaneenheid,bijvoorbeeldbijhetrekenenmethele

getallenzoalsmiljoenenmiljard;• jekuntgebruikmakenvanpassendetussennotatiesalnaargelangde

situatie,maarjerekentvooreenbelangrijkdeeluithethoofd.


1


1

1.2.3 Dekenmerkenindepraktijk

indemethodenvoordebasisschoolkomenrekenopgavenvoorwaarbijdeleerlingengevraagdwordtomeenkritischehoudingteontwikkelentenaanzienvanhoofdrekeneninrelatietotcijfermatigrekenenentenaanzienvanheteventuelegebruikvaneenrekenmachine.indevoorbeeldopgavekrijgendeleerlingentweegeheugensteuntjesaangereiktindedenkwol-ken;deeerstebetrefthethoofdrekenen(HR!)enhettweedebetrefthetverstandigegebruikvanderekenmachine.Deleerlingmagzelfdekeuzemaken.

Welkeopgavenzoujehoofdrekenenduitrekenen?


inhetvolgendevoorbeeldmagderekenmachinemaaréénkeerineenrijgebruiktworden.Deleerlingenwordenhierdoornogmeeruitgedaagdomeenafwegingtemaken.Welkeopgavenzoujijmetderekenmachineuitrekenen?


Dekeuzevoorhoofdrekenenisafhankelijkvandemogelijkhedendiejezietendegetalkennisdiejehebt.Bespreekintweetallendegekozenaanpakennoteerverschilleninaanpak.Misschienbenjetotdeconclusiegekomendateigenlijkalleopgavenmethoofdrekenenzijnoptelossen.Bekijkdaarnadevolgendevoorbeeldopga-ve.Ligthetgebruikvanderekenmachinevoordehandofishethandigerensnellerommethethoofdterekenen?

Uit:Wis en Reken,deel7Wisboek1,p.24(dezeopgavestaatookinRekenvaardig,p.121)

1.2.4 Dezinendeplaatsvanhethoofdrekenen

iedereenheeftinhetdagelijkselevenofindewerksituatieweleensmethoofdrekenentemaken.(TALHG-BB,p.37)

Voorhetlevenvanalledagishoofdrekenen(samenmetschattendre-kenen)vaneminentbelang.Ofhetnuomhetrekenenmetgeldgaat,mettijd,metgewichtenofafstanden;eengoedehoofdrekenvaardig-


1


1

heidisonontbeerlijkomgreepopdegetalsmatigeomstandighedentehouden,omdegetallenkritischtekunnenbekijkenenopeenpassen-demaniertekunneninterpreteren.indiezinvormthoofdrekeneneencruciaalelementvangecijferdheidwaaropeenkindzichzondermeermoetkunnenverlaten.Maarookvoorhetvervolgonderwijsishoofdre-kenenvangrotewaarde.Nietalleenvormthetdebasiswaaropmenaltijdmoetkunnenterugvallenbijhetvelerekenwerkbinnendever-schillendevakgebieden,juistineensituatiewaarinderekenmachinealshulpmiddelgemeengoedaanhetwordenis.(TALHG-BB,p.39)

Welkeplaatsheefthethoofdrekenenbinnenhetrekeneninhetbasison-derwijsinNederland?inNederlandwerkenwevanuiteenrealistischevisieoprekenen.Datbetekentdathetrekeneninconcretevoorstelbaresituatiesaankinderenwordtaangeboden.Destartvanuitdecontextvindtplaatsvanuitdeinfor-melewerkwijzediedekinderendaarbijhanteren.kinderenhebbeninbrenginhetonderwijsleerproces.Zekrijgendegelegenheidomeigenconstruc-tiesenaanpakkentebedenkenendezegedachtenineengesprekmetanderekinderenendeleerkrachtbetekenistegeven.Tijdensdeuitwis-selingvanoplossingenkrijgenkinderenmogelijkhedenomopeensteedshogerniveauvandenkenenhandelentegaanfunctionerenwaardoorhetformelerekenensteedsmeerbinnenhunbereikkomt.Webestedenveelonderwijstijdaanhoofdrekenen,hetrekenenmetverschillendeaanpakkenenhetgebruikvandelegegetallenlijn.Nadatereenstevigebasisisgelegdmethethoofdrekenen,komthetcijferenaanbod.Hethoofdrekenen–datvoorafgaataanhetcijferen–heefthetreke-nentotenmet20en100alsbasis.ingroep3lerendekinderenbeteke-nisgevenaandegetallen.Zeplaatsengetallenopdegetallenlijn,orde-nennaargrootteensplitsengetallen,zodatereennetwerkvanrelatiesontstaatbinnenhetgetalsysteemtot20(enhoger).Ooklerenzeoptellenals‘erbij’en‘samen’,enaftrekkenals‘eraf’en‘verschil’uitvoeren,toe-passenennoteren.Aanheteindvangroep3enbeginvangroep4komtdebredeoriëntatieophetgetallengebiedtot100aandeorde.Vanuitdiebasiskanhethoofdrekenenvoorkinderenverderverkendworden.Naasthethoofdrekenenkomthetkolomsgewijzerekenenalsvoorlopervanhetcijferenenhetschattendrekenenaandeorde.Bijkolomsgewijsrekenenwordengetallengesplitstenwordtergewerktvangrootnaarklein.Bijkolomsgewijsrekenenwordterrijgendmetgetallengerekendvanrechtsnaarlinksenwordendeeluitkomstenhoofdrekenendsamenge-voegd.Cijfereniseenreceptmatigeaanpakvanhetwerkenmetcijfers.

Hetvoordeelvancijferendrekenenisdatjesommenmetgrotegetallenprecieskuntuitrekenen.Eenvermenigvuldigingals 26×87 ishoofdre-kenendlastigoptelossen,maarcijferendlukthetwel.kinderenmoetencijferendlerenvermenigvuldigenvoorhetvervolgvanhetrekenproces.Maartegelijkertijdontstaatdevraagbijgroterevermenigvuldigingenwatdezinisvaneendergelijkebewerking,alsjeookeenrekenmachinekuntgebruiken.Zijnereigenlijknogveelmensendieditzonderrekenmachineuitrekenen?Hetisbelangrijkdatleerlingenkunnenschattenwateronge-veerophetschermvanderekenmachinekomttestaan,zodathetpre-ciezeantwoordkanwordengecontroleerdmetbehulpvanhetgeschatteantwoord.Hoofdrekenenismeeromvattenddanhetcijferen,waarbijdenadrukligtopeenpreciezeuitkomst.Hoofdrekenenvraagtomgetalin-zicht,flexibelrekenenmetgetallen,schattendrekenenenproblemenkun-nenoplossen.Bijhoofdrekenengaathetnietalleenomhetuitvoerenvaneenbepaaldeaanpak,zoalsbijhetcijferenhetgevalis.kinderenwetenwatzedoen,zehandelenzelfbewustopbasisvaninzichtindegetallenenkomenmeteigenoplossingen.

geleidelijkedifferentiatieinrekenvormenmethoofdrekenenalskern.Derekenmachinewordtgebruiktalsopgavennietadequaatopgelostkunnenwordenmethoofdrekenen,schattendrekenenenkolomsgewijs/cijferendrekenen.

Kolomsgewijs optellen

300 + 200 =40 + 70 =5 + 8 =500 + 110 + 13 =

34527850011013

623

Cijferend optellen

345278623

+ je denkt:500610623

je denkt:1007067

+

Kolomsgewijs aftrekken

300 – 200 =40 – 70 =5 – 8 =100 – 30 – 3 =

34527810030

367

Cijferend aftrekken

345278

67

231

45

–

tekorttekort

–

Kolomsgewijs optellen

300 + 200 =40 + 70 =5 + 8 =500 + 110 + 13 =

34527850011013

623

Cijferend optellen

345278623

+ je denkt:500610623

je denkt:1007067

+

Kolomsgewijs aftrekken

300 – 200 =40 – 70 =5 – 8 =100 – 30 – 3 =

34527810030

367

Cijferend aftrekken

345278

67

231

45

–

tekorttekort

–

TAL-leerlijn hele getallen

GROEP 1–4 GROEP 5–8

Getallenen getal-relaties

Schattendrekenen

Hoofdrekenen

Kolomsgewijsrekenen Cijferen

(reken-machine)

(reken-machine)

(reken-machine)

Rekenentot 10

Rekenentot 20

Rekenentot 100 en verderElementair

getalbegrip


1


1

§ 1.3 Drievormenvanhoofdrekenen

Bijhetmakenvanhetpracticumwerdhetduidelijkdaterverschillendeop-lossingsstrategieënperopgavekunnenwordengebruikt.Somshanteertiemandvoornamelijkééntypestrategie,maarhetkomtookvoordatermeerderestrategieënnaastelkaarwordengebruikt.

Hoofdrekenendoetzichinhetalgemeenvoorindrieelementairevormendie,bezienvanuithetoogpuntvanleerprocessen,logischinelkaarsverlengdeliggenenwaarvandeverwervinggepaardgaatmeteensteedsverdertoenemendbegripvangetallenenoperaties.(TALHG-BB,p.39)

globaalgeziengebruikenwevoorhoofdrekenendrievormen:• rijgendhoofdrekenen• splitsendhoofdrekenen• gevarieerdhoofdrekenen.

Hetrijgendehoofdrekenenwaarbijdegetallenprimairwordenopgevatalsobjectenindetelrijenwaarbijhetopererenplaatsvindtvia‘bewe-genoverdegetallenlijn’:verder(+)ofterug(–),herhaaldverder(×)ofherhaaldterug(:).(TALHG-BB,p.39)

kenmerkendvoorderijgaanpakisdatheteerstegetalineenopgavealsgeheelwordtopgevatendathettweedegetalingedeelteswordttoege-voegd,danwelerafgehaaldwordt.

Hetsplitsendehoofdrekenenwaarbijdegetallenprimairwordenopge-vatalsobjectenmeteendecimaal-positionelestructuurenwaarbijhetopererenplaatsvindtdoordegetallenopgrondvandiestructuurtesplitsenentebewerken.(TALHG-BB,p.39)

kenmerkendvoordesplitsaanpakisdatdegetallenuitelkaarwordengehaaldeningedeeltesbijelkaargevoegdofvanelkaarwordengehaald.

Hetgevarieerdehoofdrekenenopgrondvanrekeneigenschappenwaarbijdegetallenopgevatwordenalsobjectendieopallerleimanie-rengestructureerdkunnenworden;enwaarbijhetopererenplaats-vindtdooreenpassendestructureringtekiezeneneendaarmeeovereenstemmenderekeneigenschaptegebruiken.(TALHG-BB,p.39)

kenmerkendvoordevaria-aanpakisdatergebruikgemaaktwordtvanallerleihandigegetalrelatiesenrekeneigenschappendiepassenbijdebetreffendeopgave.

1.3.1 Volgordevanaanbiedingvandedriegrondvormenvanhoofdrekenenbijhetoptellenenaftrekken

Dedriegrondvormendieverwevenzijnmetverschillendeniveausvandenkenenhandelenkomeninhetrekenonderwijstijdenshetleerprocesinvolgordeaanbod.Erwordtbegonnenmeteenbredeverkenningvandegetallen,bijvoor-beeldvooruit-enterugtellenvanafwillekeurigegetallen,tellenmetspron-genvantien,welkgetalishetgrootst/kleinst,zetdegetalleninvolgordevankleinnaargroot,waarligthetgetalopdegetallenlijn,tussenwelketienvoudenligteengetal;inaansluitinghieropwordenrijgstrategieënverkend.Dekinderenmakeneerstkennismeteenkralenkettingmethonderdkralen.Dekralenzijngegroepeerdingroepjesvantienkralenineenkleur.Doordestructuurvandekralenkettingkunnenzevlotdeplaatsvangetal-lenopdekralenketting/getallenlijnbepalen.Dekralenkettingisalshetwareeendenkmodelgewordenomopeengetallenlijngetallentekunnenplaatsen.Zodradekralenkettingvoldoendeverkendis,kunnendekinde-rendeoverstapmakennaareenlegegetallenlijn.Aanvankelijkstaanopdegetallenlijnnogtientallen,diekinderenkunnengebruikenomeengetalalsbijvoorbeeld49of52tekunnenplaatsen.ineenlaterstadiumbe-palendekinderenzelfwelkegetallenzeopdezelfgemaaktegetallenlijnnodighebbenomhundenkenteondersteunenenzohetantwoordopeensomtekunnengeven.

38 39 40

41 51 61

10 2 10 9

70 2 20 9

14

98

RijgaanpakBrede verkenning getalgebied tot 100

72 – 29 = …

Splitsaanpak

70 – 20 = 50 50 + 2 = 5252 – 9 = 43

Varia-aanpak

72 – 29 =72 – 30 = 4242 + 1 = 43

of of of72 – 29 =73 – 30 = 43

72 – 29 =29 + … = 7229 + 40 = 6929 + 43 = 72

72625250

43

–10–10–7 –2

72 — 29

726929

–40

?

3

26, 27, 28,29, 30 …

82, 81, 80,79, 78 …

20 30 40

Schematische weergave van de drie vormen van hoofdrekenen

49 53


1


1

RijgaanpakVanuithetpositionerenvangetallenopdegetallenlijnstappenweovernaarhetmakenvanoptel-enaftrekopgaven.Hetsterkepuntvanderijgaanpakisdatdezegoedaansluitbijhettellendrekenenenbijhet‘be-wegenopdegetallenlijn’datkinderenbijhetrijgenvandekralenopdekralenkettingendegetallenlijnlatenzien.Bijhetbewegenopdegetallen-lijndoenkinderenkennisopoverhethandig‘springen’naargetallen,overdeopbouwvangetallenintientalleneneenhedenenlaterookinhonderd-tallenenduizendtallen.Bovendienishetrijgenoverzichtelijkdoordatheteerstegetalalsgeheelwordtopgevat.kinderenhebbenhierdoorminderteonthoudendanbijhetsplitsenwaarbijbeidegetallenuitelkaargehaaldworden.Hettellenwordtbijhetrijgenverkorttothetmakenvansprongenvantienenéénenineenlaterstadiumzelfstothetspringenmeteentienvoudenhetmakenvaneen‘hup’(getallengroterdanéénenkleinerdantien).

Voorbeeldenvanderijgaanpakbijhetoptellen.

56 + 38 =

Eerstnaar56springenendandevolgendesprongen:+ 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1

Eerstnaar56springenendandevolgendesprongen:+ 4 + 4 + 10 + 10 + 10

Eerstnaar56springenendandevolgendesprongen:+ 10 + 10 + 10 + 4 +4

Naar56springenendandevolgendesprongen:Eerst 8 erbij en dan de + 10 + 10 +10

Eerstnaar56springenendandevolgendesprongen:+ 4 +10 + 10 + 10 + 4

Eerstnaar56springenendandevolgendesprongen:+ 30 + 8

Deopéénnalaatstemanierwordtgoeduitgevoerdalsleerlingenexactwetenwatzedoen.Vaakblijktechterdatkinderenweleerstviererbijdoen,dandetienentoevoegenendanalsnogachtinplaatsvanviertoevoegenofzelfsvergetenomderesterendeviertoetevoegen.Dezeaanpakblijktlastig,omdatkinderenteveelverschillendedeelhandelingenmoetenverrichtenendegripopdebewerkingverliezen.geeftdezeaan-pakinderdaadproblemen,adviseerdekinderendanomeerstdetiental-lenenlaterpasalleeenhedentoetevoegenofomgekeerd.

Voorbeeldenvanderijgaanpakmetbetrekkingtothetafhalenvandetweedehoeveelheidbijhetaftrekken.

65 – 28=

Eerstnaar65springenendandevolgendesprongen:naar links -10 -10 -5 -3

Eerstnaar65springenendandevolgendesprongen:naar links -5 – 3 -10 -10 -10

Eerstnaar65springenendandevolgendesprongen:naar links -20 -5 -3

Eerstnaar65springenendandevolgendesprongen:naar links -5 -20 -3

Voorbeeldenvanderijgaanpakmetbetrekkingtothetaanrijgentotenmetdeuiteindelijkehoeveelheidbijhetaftrekken.

65 – 28 =

Eerstnaar28springenendandevolgendesprongen:naar rechts +10 +10 +10 +2 +5 om te eindigen bij het doelgetal 65

Eerstnaar28springenendandevolgendesprongen:naar rechts +2 +5 +10 +10 +10 om te eindigen bij het doelgetal 65

Eerstnaar28springenendandevolgendesprongen:naar rechts + 30 +2 +5 om te eindigen bij het doelgetal 65

Eerstnaar28springenendandevolgendesprongen:naar rechts + 2 + 5 + 30 om te eindigen bij het doelgetal 65

Bijhetwerkenopdegetallenlijngaathetomhetaanrijgenofafhalenvandetweedehoeveelheid.Deeerstehoeveelheidblijftheelenindeelhan-delingenwordthettweedegetaleraantoegevoegdofervanafgehaald.Opdegetallenlijnmaaktdeleerlingzichtbaaropwelkewijzehettweededeeltoegevoegdofafgehaaldwordt.Hetkindkanzohetantwoordbepalenopdebetreffendeopgave.Delegegetallenlijniseendenkmodeldatderijgaanpakondersteuntensteungeeftaandementalehandeling.Doordekinderennaverloopvantijdtestimulerenomdesprongenmentaaltemakenwordtdegetallenlijneendenkmodel.Ditkanzonodigwordenondersteunddoormeteenvingerdesprongindeluchttetekenenenhetbetreffendetussenantwoordtenoemen.


1


1

Erkanookeenoverstapwordengemaaktdoorderekenstappennietmeeropdegetallenlijninbeeldtebrengen,maardoorzeinrekentaaltenote-ren.

57 + 28 =57 + 20 = 7777 + 3 = 8080 + 5 = 85

Zowordenkinderenzichbewustvanhetfeitdatzenietaltijddehelebe-werkinghoevenopteschrijven,maardatzeookalleentussentijdsedenk-stappenkunnennoteren.Opdezemanierblijvenzegriphoudenophetoplossingsprocesenkunnenzototeenoplossingkomen.Hiervindtalshetwaredeintroductieplaatsvanhet‘functionelekladblad’datgebruiktkanwordenbijhethoofdrekenen.

77 80 85

SplitsaanpakOphetmomentdatdekinderenvertrouwdzijngewordenmetderijgaan-pakopde(mentale)getallenlijnenhiermeeinsamenhanghetbegripvandegetallenisontstaan,wordtdesplitsaanpakaangeboden.Doorsom-migekinderenkandezealineeneerderstadiumzijnontdekt,maarhetsplitsenwordtnubehandeld.Vooralbijhetoptellenmakenkinderenspontaangebruikvanhetsplitsen.Beidegetallenwordengesplitstintientalleneneenheden.Detientallenwordensamengevoegdendeeenhedenwordenbijelkaaropgeteld;totslotwordentientalleneneenhedenbijelkaargedaanomhetantwoordtebepalen.

Voorbeeldvanhetsplitsenbijoptellen

ikkoopeenbroekvoor54euroeneentruivoor27euro.Hoeveelmoetikbetalen?

54+27=

54euro:Hoeveelbriefjesvan10euroenhoeveelmuntenvan1euroisdat?27euro:Hoeveelbriefjesvan10euroenhoeveelmuntenvan1euroisdat?

Voorbeeldvanhetsplitsenbijaftrekken

54 – 27 =54 gesplitst is 50 en 427 gesplitst is 20 en 750 eraf 20 is 304 eraf 7 is ?

‘Eigenlijkmoetikernunog3afdoen,dus30–3=27.’Bijdezeoplossingredeneerthetkindvanuiteen‘tekorthandeling’.

Deoplossingkanooktotstandkomendooreen‘optelhandeling’tussentevoegen:

57 77 80 85

20 3 5

€27

€54

€10

€10

€10

€10

€10€1

€1

€1

€1

€50 €4

€10

€10€1

€1

€1

€1

€1

€1

€1

€20 €7

50 en 20 is samen 704 erbij 7, 7 erbij 4 vind ik makkelijker, dat is samen 1170 en 11 is samen 81


1


1

54 – 27 =54 gesplitst is 50 en 427 gesplitst is 20 en 750 eraf 20 is 3030 + 4 = 3434 – 7 = 27

Veelkinderenmakenvan‘4eraf7’deopgave‘7eraf4is3’,tellendieopbij30enkrijgenzo33alsantwoord.Zevindenhetsomsvreemddatjeingevalvandetweedeaanpakgaatoptellen,terwijljeaanhetaftrekkenbent.Doordecomplexiteitvandeverschillendehandelingenisdesplits-aanpaklastigerdanderijgaanpak.Hetkunnentoepassenvandesplits-aanpakvraagtvandekindereninzichtindedecimalestructuur(detienenendeenen)vandegetallen,maarookindesoortbewerking(optellenen/ofaftrekken).Alsdezeaanpakproblemengeeft,wordtaanbevolenomhetaccentteleggenopdeaanpakvanuitde‘tekorthandeling’.

Varia-aanpakZodradekinderenvoldoendevertrouwdzijnmetdesplitsaanpakenhetbegripvandeoperatie(s)isontstaan,vindteenverdereuitbreidingnaardevaria-aanpakplaats.

Devaria-aanpakisvoorsommigekinderenvaakmoeilijkertedoorgron-dendandeanderemanieren.Voordeeneopgavekaneenheelandereaanpaknodigzijndanvoordeandere.Eenbepaaldestrategieisnietvooralleopgavenevenhandig.Bijelkeopgavewordtopbasisvandegetal-lenendebewerkingdiemoetwordengedaaneenkeuzegemaaktvooreenbepaaldeaanpak.Dekinderenbaserenhunkeuzeophunkennisvanrekeneigenschappenenvandegetallenwaarmeezemoetenrekenen.Zoligthetvoordehandombijeenaftrekopgaveals 104–87=...,87aantevullendoorvanaf87naar104tespringen.Hetverschiltussendegetallenwordtbepaalddoordeafstandvan87naar104teoverbruggen;eerst3erbij,dan10,dannog4.Devaria-aanpakkendiekunnenwordengebruikt,zijn:compenseren,trans-formeren,aanvullen(bijaftrekken)endeinverserelatie.

Voorbeeldvancompenseren

75 – 48 =75 – 50 = (bij het antwoord tel ik nog twee op, want ik heb er bij de

hulpsom twee te veel van afgehaald.)

€10

€10

€10 €10

€10 €5

€10

€10

€48

€10

€10 €5

€10

€10

€10

€10

€10

€1

€1

Hetkindmoetkunnendoorzienwaaromerbijdezeopgavetweeopgeteldmoetenworden.

ineengeldcontextisdezeaanpakvoordehandliggendindesituatiewaarbijjezevenbriefjesvantieneuroeneenbriefjevanvijfeuroindeportemonneehebt,jeietskooptvoor48euroenbetaaltmetvijfbriefjesvantien.

Voorbeeldvantransformerenbijaftrekkenofwelgelijkblijvendverschil

68 – 29 = is evenveel als 69 – 30.

Hetkindmoetkunnendoorziendathetverschilbijeenaftrekkinggelijkblijftalsjebijbeidegetallenhetzelfdeoptelt.Alsjehetverschilberekentindecontextvanleeftijdenisdatvoorkinderentebegrijpen.Bijhetuitrekenenvanhetverschilinleeftijdkunjebijbeidegetallenhetzelfde(aantaljaren)toevoegenomeenvoudigtekunnenrekenen.pais68jaarenzijnzoonis49jaar.Hoeveeljaarispaouderdanzijnzoon?Datismakkelijkerteberekenenalsjehetverschilinleeftijdovereenjaaruitrekent.

Uit:Rekenrijk4b,p.98


1


1

Voorbeeldvantransformerenbijoptelleninhetcircuszijntweetribunestezien.Opdelinkertribunezijn59vande60stoelenbezetenopderechtertribunezijn38stoelenbezet.Hoeveelkinderenziejeinhetcircus?Dooréénpersoonvanderechtertri-buneteverplaatsennaardelinkertribuneontstaatdenieuweopgave:60 + 37. Deze opgave is gemakkelijker uit te rekenen dan 59 + 37.

Uit:Rekenrijk4b,p.74

Detribunesomwordtindetweedeopgaveineenschemageplaatstendoormiddelvandecirkelendepijlwordtdeveranderingvanplaatsweergeven.Denieuweopgavewordtzozichtbaargemaakt: 59+38 via 60+37(rekenenmeteenrondgetal).59+38isevenveelals60+37.Hetkindmoetkunneninziendathetresultaatvandeoptellinggelijkblijft,

59 62

?

alsjebijhetenegetalééntoevoegtenbijhetanderegetaleréénafhaalt.Hetligtvoordehandomdezeaanpaktekiezenalséénvandegetallenvandeoptellingdichtbijeenmooirondgetalligt.Hetenegetalvuljeaantothetrondegetalenvanhetanderegetalhaaljeevenveelafalsjebijeerstegetalhebttoegevoegd.

Voorbeeldvanhetaanvullenbijaftrekken

62 – 59 =

Hetaanvullenligthiervoordehand.Hoeveelmoetikernogbijdoenomop62tekomen?

Uit:WIG,werkboek5ap.82

Bijhetmakenvandeopgave 54–51 kandezelfdeaanpakgekozenwor-denalsbij 81–78 doordrietoetevoegen.Hetwerkenaandezebijna-verdwijnsommenheeftvoorkinderenalleenzin,alszewetenwaargetallenliggenenalszesnelkunnenbewegenoverdegetallenlijn.kinderendiewetendatdegetallendichtbijelkaarliggen,makenvaakgebruikvandezeaanpak.Ookaftrekopgavenwaarbijdegetallennietdichtbijelkaarliggenkunnenzoopgelostworden.Bijvoorbeeld:91–24=...Jedoeter60bijdanbenjebij84endannog7.Dusjehebter67bijgedaan.Dezemaniervanwerkenziejevaakteruginhetwerkvanleerlingendieeenvoorkeurhebbenvooroptellenbovenaftrekken.

Voorbeeldvandeinverserelatie

50 – 35 =50 – 35 = 15 want35 + 15 = 50


1


1

Elkvandezegrondvormenkanopverschillendeniveausvandenkenenhandelenwordenuitgevoerd.Opeenlagerniveaudoorgebruiktemakenvanmodellenalsdelegegetallenlijnofgeld,opeenhogerniveaumetondersteuningviahetnoterenvantussenstappeninrekentaalofhele-maalalleenmentaal.Metdeintroductievaneenhogerevormverdwijnendelagerevormenechterniet;zijwordendaarinopgenomen,zodatzichgaandewegsteedsmeerhoofdrekenstrategieënontwikkelenwaaruitdekinderenafhankelijkvandeopgaveendeeigenvoorkeurkunnenkiezen.

Eindgroep5kunnendeleerlingenalleoptellingenenaftrekkingentothonderdvlotenmetinzichtuithethoofduitrekenen,zowelkaalalsintoepassingssituaties.Desgewenstmakenzedaarbijnoggebruikvantussennotaties.Eindgroep6kunnendeleerlingendezebewerkingengeheeluithethoofduitvoeren.(TALHG-BB,p.43)

Bijhetoptellenenaftrekkentot1000zijndezelfdegrondvormenvoorhethoofdrekenenteonderscheiden.Erisechterookeenverschilmethetrekenentot100.Doordatdegetal-lengroterwordenenminderoverzichtelijkzijn,ontstaaterbijleerlingenbehoefteaaneengestandaardiseerdevormvanrekenen,zodatdegetal-lenopeenvastemanierbenaderdkunnenworden.Daaromwordternaastdesplitsaanpakdekolomsgewijzerekenaanpakgeïntroduceerd.

Voorbeeldvankolomswijsrekenen

425 368 – —–––400 – 300 = 10020 – 60 = 40 tekort5 – 8 = 3 tekort —–––100 – 40 – 3 = 57

Bijhetoptellenenaftrekkentot1000staathethoofdrekenencentraal.Zijndekinderenvoldoendevaardiginhethoofdrekenen,dankandeko-lomsgewijzerekenaanpakwordenaangeboden.infeiteisdeoverstapvanhoofdrekenennaardekolomsgewijzerekenaanpakeenvoudigtemaken,omdathethoofdrekenenhierinbeslotenligt.Nadekolomsgewijzerekenaanpakkanhetcijferendrekenenaandeordekomen.

Eenvoorbeeldvancijferendrekenen

475 368 – —––– 107

5eraf8gaatniet,dusmoetikeenlenen; 15–8=7. 6eraf6is0,4eraf3is1.

Uit:Allestelt,5a,p.21

Hetkindmoetkunneninziendatjeinplaatsvandehoeveelheidervanheteindaftehalen,ookdehoeveelheidvanhetbeginkuntafhalenendatjekuntbepalenwathetverschilisdoortekijkennaarwaternogmoetwordenaangevuld.

inhetrekenonderwijsmakendekinderenkennismetdeverschillendema-nierenvanrekenenenoefenenzedieaanpak.Maaruiteindelijkgaathetomdekeuzevoordemeesthandigeoplossingswijzevooreenbepaaldeopgave.Ditbetekentnatuurlijknietdatdekindereneenvaria-aanpaknietalveeleerderkunnengebruiken.Hetbetekentweldatinhetonderwijsineersteinstantieeenduidelijkenadrukophetgebruikvanrijgstrategieënligtenopdevraaghoejedezerijgstrategiesteedsefficiënterenverkorterkuntgebruiken.pasalsdekinderendaarvoldoendegripophebbengekregen,wordtnadrukkelijkmeeraandachtbesteedaandesplitsaanpak.Hetzelfdegeldtineenlaterstadiumvoordevaria-aanpak.gebeurtditnietinvol-doendemateindezevolgorde,daniserhetgevaardatzwakkereleer-lingenhetspoorbijsterrakenenverschillendesoortenaanpakkendoorelkaargaanhalen.


1


1

Hetantwoordis107.Hetisookmogelijkomeerst 75–68 uitterekenen;deuitkomstisdanzogevonden.

Eindgroep5kunnendeleerlingenoptellingenenaftrekkingentotduizendrijgendoplossen,aldannietondersteundmetdelegege-tallenlijn.Eindgroep6zijnzeinstaatoptellingenenaftrekkingentotduizend(enbeperktdaarboven)optelossenmetrijg-,splits-envaria-aanpakken.Ookkunnenzedaarbijverstandigkiezentusseneenhoofdrekenaanpakofeenkolomsgewijze/cijferaanpak.(TALHG-BB,p.46)

1.3.2 Dedriegrondvormenvanhoofdrekenenbijhetvermenigvuldigingenmetgroteregetallen

indeloopvandetweedehelftvangroep5oriënterendekinderenzichophandigeaanpakkenvoorgroterevermenigvuldigingenals 12×6,5×24, 7×80 en 6×48 Opdatmomentzijnzebijhetoptellenenaftrekkentotduizendaleeneindgevorderd,zodatzeiniedergevalgrondigvertrouwdzijnmetderijgaanpakbinnenditgebied,terwijlookhetsplitsenalisverkend.Verderisindezeperiodehetauto-matiseringsprocesronddetafelsvanvermenigvuldigingaleeneindgevorderd.Dekennisdiehierbijisontwikkeld(feitenkennis,maarookinzichtinbelangrijkevermenigvuldigstrategieëngebaseerdop‘verwis-selen’en‘verdelen’)vormtsamenmetdekennisvanhetoptellenenaftrekkentotduizenddebasisvoordeverkenningvangrotereverme-nigvuldigingen.(TALHG-BB,p.46)

Bijdeleerlijnvanhetvermenigvuldigenmetgroteregetallenwordtge-bruikgemaaktvandekennisendevaardigheiddiedekinderenhebbenopgedaanbijhetaanlerenvandetafelsvanvermenigvuldigingtottien.Namelijk:• hetinzichtinwateenvermenigvuldigingis;• degeautomatiseerdekennisvandeproductenvandetafelsvanverme-

nigvuldiging(tegebruikenomdeelberekeningentemakenbijdegrotetafelsvanvermenigvuldiging);

• deontwikkeldevermenigvuldigstrategieën(bijvoorbeeld9×ietsuitre-kenendooreerst10×uitterekenenendaarvan1×hetaantaldatteveelisgedaaneraftehalen).

Eindgroep5hebbendeleerlingenallevermenigvuldigingenuitdeta-felsvan2totenmet10geautomatiseerd.Mediogroep6zijnaldezeopgavengememoriseerd.(TALHG-BB,p.44)

Binnenhetdomeinvandegrotevermenigvuldigingenzijn–netalsbijhetoptellenenaftrekkentot100/1000–dedriegrondvormenrijgaanpak,splitsaanpakenvaria-aanpakteherkennen.Bijgrotevermenigvuldigingengaathetomopgavenzoals: 8×24, 6×49, 4×98, 6×150 en 57×24.

Rijgaanpak

58 + 58 = 116116 + 116 = 232

Splitsaanpak

4 × 50 = 200 en 4 × 8 = 32200 + 32 = 232

Varia-aanpak

4 × 60 – 4 × 2 = 240 – 8 = 232 of 2 × 116 = 232

De kennis van de tafels van vermenigvuldiging tot en met 10(De centrale opgave is 4 × 58)

Uit:pluspunt,lesboekgroep7,p.3


1


1

Ookhetrekenennaaranalogiekomtaandeorde.Deleerlingendenkenaantafelsommendiezeuithethoofdkennen.Bij 7×60=... kunnenzedenkenaan 7×6=42. Jekuntderelatieleggentussendezetweeopgavendoorbijzevenkeerzesbriefjesvantieneurotevragenhoeveelbriefjesvantieneurojehebt.Daarnakangevraagdwordenhoeveeleuro42briefjesvantieneurois.

SplitsaanpakDesplitsaanpakvoorhetvermenigvuldigenisvaneenhogerniveauvandenkenenhandelendanderijgaanpak.Hetvermenigvuldigtalwordtnietmeeralsgeheelopgevat,maarindelenopgesplitst,dielosvanelkaarwordenberekend.Vooreenaantalleerlingengaatdezeaanpaktesnel.Meestalhangtdatsamenmethetfeitdatzenogonvoldoendevaardigzijninhethanterenvandenulregel.Zehebbennognietontdektdatdeopgave 4×6 gebruiktkanwordenvoor 4×60 endathetantwoordeenfactortiengroterwordt.

4 × 65 = 2404 × 5 = 20 + ——240 + 20 = 260

Uit:Rekenrijk,5a,p.102

Eerstlerendekinderendenulregeltoepasseneneenééncijferiggetalvermenigvuldigenmeteenmeercijferiggetal.Daarnazijnzetoeaanhetvermenigvuldigingenvanmeercijferigegetallenkeermeercijferigegetallen.Bijvoorbeeld 34×85=...Hetgetal34wordtgesplitstin30en4.85blijfteenheelgetalommeeterekenen.

RijgaanpakNetalsbijhetoptellenkanookdevermenigvuldigingindevormvanrijgenwordenbeschreven.

Uit:Allestelt,5b,p.54

Doortelkens60optetellenkunnendeleerlingenuitrekenenhoezwaardevrachtvaneenstapelis.Bijstapel4kunnenzeuitrekenenhoezwaarelfkistenzijn.Zekunneneersthetgewichtvantienkistenbepalenennog60kilotoevoegenomhettotalegewichttebepalen.

Stapel 17 × 60 =60 + 60 + 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 420

7 × 60 =60 + 60 + 60 = 18060 + 60 + 60 = 180180 + 180 + 60 = 420

Ookvoorgroterevermenigvuldigingenzoalsbijstapel4: 11×60 kanderijgaanpakgehanteerdworden.

11 × 60 = 60 + 60 + ... ... + 60 =10 × 60 + 1 × 60 = 600 + 60 = 660


1


1

Varia-aanpakVoorhetmakenvandegrotevermenigvuldigingkanookeenvaria-aanpakwordengebruikt.

Voorbeeldvandevaria-aanpakcompenseren

12 × 98 =12 × 100 = 1200, maar nu heb ik 12 × 2 te veel gedaan; die moet ik er nog afhalen1200 – 24 = 1176

Voorbeeldvanhetvermenigvuldigenmetrondegetallenendestrategieéénkeermeerenéénkeerminder

Uit:Rekenrijk,deel5b,p.55.

Voorbeeldvandevaria-aanpaktransformeren:halveren-verdubbelen

16 × 15 = 8 × 30 = 240

85 34 × —––— 340 2550 ––—— 2890

inBoeiend Rekenenishetvermenigvuldigenvaneenmeercijferiggetalkeereenmeercijferiggetaluitgewerkt.Opgrondvanhetoptellenkrijgtdevermenigvuldigingopverkortewijzegestalte.Dekolomsgewijzeaanpakwerdtoenookalgebruiktvoorhetvermenigvuldigenenhetdelen.

Uit:Onderwijsboekdeel9.W.E.WandersenS.Bohncke,1959.p.04.Malmberg,’s-Hertogenbosch.

Bijhetsplitsenvan34in30en4envan85in80en5voerenkinde-renvaakslechtstweedeelhandelingenuit,bijvoorbeelddoor 30×80 en 4×5uitterekenen.Zevergetendan 30×5 en 4×80 tebereke-nenomtothetuiteindelijkeantwoordtekomen,omdatzehetjuistein-zichtnogmissen.Doorterekenenmetslechtsééngetaldatgesplitstis,isdeberekeninggoeduittevoeren.Hetligtvoordehandomhetcijferendrekenenvanafdatmomentintezetten.

12 × 100 – 12 × 2

1000

2 eraf

1012


1


1

Uit:Rekenrijk,5b,p.102

Uit:Pluspunt,lesboekgroep6,p.89

Netzoalsbijhetoptellenenaftrekkentot1000komtookhierdekoloms-gewijzeaanpakvanhetrekenenvoortuitdesplitsaanpak.Vanuithethoofdrekenenontstaatdebehoefteaaneenstandaardmatigeaanpak:dekolomsgewijzerekenaanpak.

Voorbeeldvankolomsgewijsvermenigvuldigen

145 7 × —–––7 × 100 = 7007 × 40 = 2807 × 5 = 35 + —–––700 + 280 + 35 = 915

Eindgroep6zijndeleerlingeninstaatgroterevermenigvuldigingenvaneenééncijferigmeteenmeercijferiggetal(6×48,7×80,4×251,25×7)kaalenintoepassingssituatiesoptelossenmetbehulpvandesplitsaanpakendevaria-aanpakdieinsamenhangdaarmeeaandeordezijngesteld.Alnaargelangdeopgavemakenzedaarbijgebruikvanpassendetussennotaties.(TALHG-BB,p.49)

1.3.3 Dedriegrondvormenvanhoofdrekenenbijhetdelen

Alshetvermenigvuldigenmetgroteregetallenindeloopvangroep5denodigeaandachtheeftgekregenendeleerlingenvertrouwdzijngeraaktmetdemogelijkheidvanhetsplitsendaarbij,wordenookgroteredelingenverkend.Dekinderenzittendanindeeerstehelftvangroep6.(TALHG-BB,p.51)

Hetaandeordestellenvandehoofdbewerkingdeleniszinvolalsdekinderenvoldoendegeautomatiseerdekennishebbenvandetafelsvanvermenigvuldiging.Dezeeerderopgedanekenniskaningezetwordenomdelingenoptelossen,bijvoorbeeld 7×8=56, dus 56:8=7 en56:7=8. Voorhetoplossenvaneendeelvraagstukkunnenkinderenge-bruikmakenvandevermenigvuldigingen.Nogvoordatzekennismakenmethetdeelteken,oriënterenzezichviacontextsituatiesopdeelsituaties.

introductievanhetdelen,Rekenrijk5a,p.10.

Voorbeeldvaneencontextopgavewaarbijhetdelenwordtuitgelokt

faridaheeftditjaar133dagenschooldagengehad.Hoeveelschoolwekenzijndat?

Rijgaanpak

10 × 5 = 5020 × 5 = 10030 × 5 = 150

9 × 5 = 4539 × 5 = 195

Splitsaanpak

150 : 5 = 3045 : 5 = 9

195 : 5 = 39

compenseren:200 : 5 = 40dat is vijf te veel verdeeld over vijf, dus één te veel: 40 – 1 = 39

transformeren: 195 : 5 = 390 : 10 = 39

De kennis van de tafels van vermenigvuldiging tot en met 10

geautomatiseerd(De centrale opgave is 195 : 5)

Varia-aanpak


1


1

Deaanpakvandezeopgavekanopverschillendemanierenvandenkenenhandelentotstandkomen.

Rijgaanpak

84 : 7 = 84 : 7 =84 – 7 = 77 (1 week) 10 × 7 = 7077 – 7 = 70 (2 weken) 11 × 7 = 7770 – 7 = 63 (3 weken) 12 × 7 = 84... ...7 – 7 = 0 (19 weken) 19 × 7 = 133

indeeerstesituatiehalenkinderensteedszevenvandehoeveelheidaf,zetrekkenherhaaldaf.indetweedesituatiewordtgebruikgemaaktvandetafelvanvermenig-vuldigingtotdeuiteindelijkehoeveelheidbereiktis.Dekinderenmakengebruikvanhet‘opvermenigvuldigen’.Ditiseenverkortevormvanhetrijgenentevensdebasisstrategie.

SplitsaanpakErzijnookkinderendiedehoeveelheidopsplitsenindelen,zodateraparteeenvoudigedelingenkunnenwordenuitgevoerd.Zehanterendesplitsaanpak.Dezeaanpakissterkverwantaanhetopvermenigvuldigen.kinderenmakendanookafwisselendvanbeideaanpakkengebruik;hetverschiltussenbeideaanpakkenisnietgroot.Dekinderengebruikenhunkennisvandetafelsvanvermenigvuldigingenmakengebruikvandesteunpuntenuitdetafelopgaven.

133 : 7 =70 : 7 = 10 (want 7 × 10 = 70)63 : 7 = 9 (want 7 × 9 = 63)

Varia-aanpakVoorbeeldvandevaria-aanpakcompenseren

133 : 7 =140 : 7 = 207 : 7 = 120 – 1 = 19

Hetplaatsenvandeopgave 133:7 ineencontextkankindereninzichtgevenindevaria-aanpakcompenseren.Jehebt133eurodiejemetzevenpersonenverdeelt.Voorhetgemakneemjeeven140euro,datkunjeeenvoudigdelen.Dankrijgtieder20euro.Eigenlijkhebbenwe7euroteveelgedeeldoverzevenpersonen.Dusheeftiederééneuroteveelgekregen.Diehaaljevan20af.iederkrijgtuiteindelijk19euro.Voordezeaanpakisinzichtnodig.Regelmatigkomthetvoordatkinde-renzeggendatieder13eurokrijgt,omdateraanvankelijk7euroteveelwasdieerlatermoestwordenafgehaald.Zeverliezeninhunredeneringdecontextuitoogenvergetendatdie7eurodoorzevenmoestwordengedeeld.

Voorbeeldvancompenseren;rekenenmeteenrondgetaluitRekenrijk6a,p.59

Eenanderevaria-aanpakistransformeren.Bijdeopgave 133:7 ligtdieaanpaknietvoordehand,maarbij 128:4= ishetwelmogelijkomdeopgavetetransformeren.

128 : 4 = kun je herschrijven in 64 : 2 = dit levert immers het zelfde antwoord op. Van 64 : 2 kan ik ook32 : 1 = 32 maken, dus 32 is het antwoord.


1


1

Devaria-aanpaktransformerenkunjeineencontextplaatsenomhethalverentebegrijpen.Bijvoorbeeld:vierkinderenverdelen128euro.Jekuntookzeggen:dehelftvandekinderenkrijgtdehelftvanhetgeld,dustweekinderenverdelen64euro.Eenkindkrijgtdehelftvan64euro,datis32euro.Bijdezedelingwordenbeidegetallengehalveerd.

Bijdeopgave 175:5 ishetookmogelijkomdeopgavetetransforme-ren.Beidegetallenwordennunietgedeeld,maarverdubbeld.Alsje175eurodeeltmetvijfkinderen,krijgjeevenveelalswanneerje350eurodeeltmettienkinderen.

175 : 5 = kun je herschrijven in350 : 10 = dit levert hetzelfde antwoord op.350 : 10 = 35 door het gebruik van de schrapregel van de nullen is

het antwoord snel bepaald.

Bijhetdelenkunjebijdevaria-aanpaktransformerenkiezenvoorverdub-belenofhalveren.Ditintegenstellingtotdevaria-aanpaktransformerenbijhetvermenigvuldigen,waarbijjeverdubbelténhalveert.Devaria-aanpakkencompenserenentransformerenvragenveelinzichtindemaniervandenkenenhandelenvandekinderen.

Hetonderscheidindedriegrondvormenvanhoofdrekenenvoordelenishiernietzoduidelijktemakenalsbijdevoorgaandeleerlijnenvooroptel-len,aftrekkenenvermenigvuldigen.Devolgordevanaanbiedingishiermindervoorschrijvend,omdatnietallefasenhelemaaldoorlopenhoeventeworden.Opvermenigvuldigeniseenaanpakdieeenvoudigistehanterenentoteengoedeoplossingleidt.Ditisdanookdebasisstrategie.Desplitsaanpakisnauwelijksafwijkendvandezeaanpak.Devaria-aanpakisgeschiktvoorkinderendiezichthebbenopdewijzewaaropeenoplossingooktotstandkankomenendieinziendaterookanderemogelijkhedenzijnomtoteenoplossingtekomen.Devaria-aanpakmoetwelindeklasaandeordekomen,maarhoeftnietvoorallekinderenhetaccenttekrijgen.Welgeldtvooralleaanpakkendatdeuitkomstenvandedelinggecontroleerdwordendoorhetmakenvandebijbehorendevermenigvuldiging.

Devolgordevanaanbiedingvandeelsituatieswordteerdergetypeerddoordeovergangvancontextsituatiesnaargebruikvanhetdeelteken.Hetisvanbelangdatdekinderenervarendatdekaledeelsomeenverkortesymbolischeweergaveisvaneencontextopgave.Tijdensdeoverstapvandedeelcontextnaareenkalesomishetvoorkinderenhetduidelijkstalstelkensderelatiemetdecontextgelegdenbenoemdwordt.Uiteindelijkmakenzezelfstandigkalesommen,gekoppeldaaninzichtenaandevraag:‘hoeveelkeergaatietsindetotalehoeveelheid?’.Daarnakomtzowelineencontextsituatiealsineenkalesomhetbegrip‘rest’aandeordeenkrijgthetvoorkinderenbetekenis.Debetekenisvande‘rest’inrelatietothetantwoordopeendeelvraag-stukisafhankelijkvandecontext.Bijdeopgave:‘ergaanvierkinderenineenauto.Hoeveelauto’szijnernodigvoor30kinderendieopschoolreis

gaan?’krijgt‘rest’eenanderebetekenis,omdatereigenlijkgeenrestkanzijn.Allekinderenwillenimmersmeeopschoolreisenvoortweekinderenmoeterookeenautobeschikbaarzijn.Hetantwoordisdusniet:‘zevenauto’sentweekinderenzonderauto’,maar‘achtauto’s’.Bijdeopgave:‘ikheb30koeken.Hoeveelzakjeskunjevullenmetelkvierkoeken?’ligthetanders.Jekuntzevenzakjesvullenenhebtdantweekoekenover.Maaralshetomgeldgaatineensituatiewaarbijvierkinderen30euroverdelen,krijgtelkkindniet7of8euro,maar7euroen50cent.

Netalsbijdeanderebewerkingenwordthethoofdrekenenomgezetnaareenstandaardmaniervanwerken.Datisbijhetdelendeaanpakvanhetherhaaldaftrekken.Hierbijwordttelkenseendeelvandehoeveelheidafgetrokken.Dehoeveelheiddieherhaaldwordtafgetrokkenisafhankelijkvandematevanverkortingdiekinderenhanteren.

675 : 15 = 675 : 15 = 675 : 15 = 675 675 675 150 10 × 300 20 × 600 40 × —— —— —— 525 375 75 150 10 × 300 20 × 75 5 × —— —— —— —— 375 75 0 45 × 150 10 × 45 3 × —— —— 225 30 150 10 × 30 2 × —— —— —— 75 0 45 × 30 2 × —— 45 30 2 × —— 15 15 1 × —— —— 0 45 ×

Dematevanverkortingdiedekinderenhanterenmogenzeaanvankelijkzelfbepalen,maarnaenigetijdwordenzegestimuleerdomgroterehoe-veelhedentegebruikenbijhetaftrekken.Omkinderenteondersteunenbijhetmakenvaneensteedskorteredeling,kunnenzeeersteentabelmakenmetverschillendevermenigvuldigingenvan15.Dezehulptabelkunnenzedangebruikenbijdeuitvoeringvandedeling.inhetonderwijswordtvaakgeadviseerdomnietalleantwoordenopdetafelvan15tenoteren.Anderetafelskunnenhierimmersookuitafgeleidwordenendeoverzichtelijkheidisvanbelangvoordebruikbaarheid.Eenhulptabelkanerzouitzien:


1


1

1510 × 1505 × 752 × 304 × 608 × 120

Metdezehulptabelkunnensnelalleantwoordenvandeverschillendevermenigvuldigingenafgelezenworden. 40×15 issneltebepalendoor150+150+150+150 teberekenen.Jekuntookdenulregeltoepas-senbij 4×15=60 doorditomtezettennaar 40×15=600.

Eenverdereverkortingvandezekolomsgewijzeaanpakvandedelingkanbereiktwordendooreenoverstaptemakennaardeklassiekestaartde-ling.Hierbijgebeurthetrekenennietmethoeveelheden,maarmetcijfersdiejeaangehaalt.Ooknoteerjenullen,alsjenietmethetcijferkuntrekenen.

15 / 675\ 45 60 —— 75 75 —— 0

Deklassiekestaartdelingisoverzichtelijk,maarblijktindeonderwijsprak-tijknietzoeenvoudigtehanteren.kinderenbegrijpendewerkwijzenietgoedenerontstaanvelefouten.indehuidigerekenwiskundemethodenwordenstaartdelingennietaltijdmeeraandeordegesteld.Hetisookdevraaginwelkesituatiesinderealiteitkinderengeconfron-teerdwordenmetdergelijkedeelopgaven,enofdekolomsgewijzereken-aanpakdannietkanvolstaan.Bovendienkunnendelingenmetgrotegetallenookmetderekenmachineopgelostwordenenblijfthetbelangrijkomalhoofdrekenendtekunnenbepalenofhetantwoordopderekenma-chinejuistzalzijn.

Eindgroep6kunnendeleerlingengroteredelingen (60:4, 75:3,250:5, 600:15, ...)zowelkaalalsintoepassingssituatiesvlotenhandiguitrekenen.Op-vermenigvuldigenfungeertdaarbijalsbasisstra-tegie.Mediogroep7zijndekinderenookvertrouwdmetdemogelijk-heidombijdergelijkeopgavendesplitsstrategieintezetten,alsmedeenkelevaria-aanpakkenalscompenserenenherhaaldhalveren.Deleerlingenkunnenderestalnaargelangdecontextcorrectinterprete-ren.(TALHG-BB,p.53)

1.3.4 Handigrekenenmetnullen

Denulregelkangebruiktwordenbijhetvermenigvuldigenenbijhetdelen.1200×60=Dedrienullenkunnenevenwordenweggehaalden 12×6=72 wordtuitgerekend.Dedrienullenrijgjeaan72enjekrijgt72000alsantwoord.gaatdittesnel,dankunnendekinderenbeterstapvoorstapdenulleneraanrijgen:

1200 × 60 =12 × 6 = 7212 × 60 = 720120 × 60 = 72001200 × 60 = 72000

Erisechtereenbelangrijkverschiltussenhetrekenenmetnullenbijvermenigvuldigenofbijdelen.Bijhetvermenigvuldigenwordendenullenevenweggehaaldenlaterweerteruggeplaatst.Bijhetdelenwordendenullengeschraptenlaternietmeergebruikt.Hetgaatbijhetdelennietomdetrucvanhetwegstrepenvannullen,maaromeengoedbegrepenrekeneigenschapdiemetinzichttoegepastwordt.Dooraanvankelijkgebruiktemakenvancontextsituatieskandenulregelbetekeniskrijgen.Bijvoorbeeld:‘ikheb350euro.Hoeveelbriefjesvantieneurozijndat?’infeitekanhierbijaanvankelijkherhaald10eurowordenafgehaaldomuiteindelijkhetantwoordtekunnenbepalen.Doorhetantwoordtebe-sprekenmetdekinderenkunnenzijtotdeconclusiekomendatditookopeenkorteremanierkan,namelijkdoorbijhetdelendoortieneennulwegtestrepen.Totslotcontrolerenzehetantwoordmetbehulpvaneenvermenigvuldiging.Bijeenvoudigedelingenzoals600:5endergelijkeisdenulregelgoedtebegrijpen,maarbijhetrekenenmetgroteregetallenishetveellastiger.Hetschrappenvaneenzelfdeaantalnullenbijgroteredelingenvraagtominzichtinderekenregel.

2.000.000 : 40.000 = is dit hetzelfde als2.000 : 40 = in beide situatie is eerst door 1000 gedeeld200 : 4 = 50 in beide situaties is door 10 gedeeld.

Eenstapsgewijzebenaderingisookmogelijk:2.000.000 : 40. 000 =20 : 4 = 5200 : 4 = 502000 : 4 = 50020.000 : 4 = 5000200.000 : 4 = 50.0002.000.000 : 4 = 500.0002.000.000 : 40 = 50.0002.000.000 : 400 = 50002.000.000 : 4000 = 5002.000.000 : 40.000 = 50


1


1

nen.Zemakendaarbijondermeergebruikvandenulregeldieinhetvoorafgaandeuitgebreidaandeordeisgesteld.(TALHG-BB,p.56)

Eindgroep8kunnendeleerlingenvlotenflexibelhoofdrekenenmetgepastegetallencombinatiestotduizendenmetrondegetallendaar-boven,zowelkaalalsintoepassingenmetbetrekkingtotgeld,tijd,gewichten,afstanden,endergelijke.Alseenextramogelijkheidomdergelijkeopgavenoptelossen,hebbenzeookkennisgemaaktmetstrategieënalstransformeren,halveren-verdubbelenenhetvergrotenofverkleinenvanbeidetermenvaneendelingmetdezelfdefactor.(TALHG-BB,p.60)

Opdracht1.1 RekenenmetnulleninderekenmethodeZoekuithoehetrekenenmetnullenvoorvermenigvuldigenenvoordelenuitgewerktisinderekenmethodevanjestageschool.Maakeenoverzichtvandeverschillendeopeenvolgendeopgaven.Schrijfeenreflectieopdewijzewaaropditwordtaangeboden.geefduidelijkaanwelkeverbeterpun-tenjevoorstelt.geefeengroepjeleerlingeneenleswaarinjejenieuweaanpakvanhetrekenenmetnullenuitprobeert.Beschrijfdeuitkomsthiervan.Bespreekmetjemedestudentenjebevindingenenformuleereeneind-conclusie.

Opdracht1.2 Hoofdrekenentot1000geefenkelehoofdrekenvragenmetbetrekkingtotvermenigvuldigingenenhetrekenentot1000aanleerlingenvangroep6/7.Jekuntzelfsommenmakenofgebruikmakenvanonderstaandeopgaven.

137 + 98 = 315 – 249 = 10 × 38 = 195 : 5 =252 + 252 = 621 – 370 = 50 × 12 = 630 : 15 =680 + 270 = 360 – 198 = 60 × 15 = 450 : 45 =235 + 235 + 235 = 268 – 59 = 8 × 25 = 450 : 9 =

• Vraagdekinderenomhunoplossingteverwoordenen/oftenoterenopeenkladpapier,zodatjedeuitwerkingen(metjuisteenonjuisteoplos-singen)kuntplaatsenonderdeverschillendegrondvormenvanhoofdre-kenen.

• Welkeniveausvandenkenenhandelenhebbendeleerlingengebruiktenwatvaltjeopaandejuisteenonjuisteoplossingeninrelatietotdegebruiktegrondvorm?

• Bijwelkeopgavenheeftdeleerlinggebruikgemaaktvantussennotatiesomdeelhandelingenteondersteunen?

• Watisjemeningalsleerkrachtoverhetgebruikvantussennotaties?• inwelkematemakendeleerlingengebruikvanderijgaanpak,desplits-

aanpakendevaria-aanpak?• Hoezoujeditalsleerkrachtwillenuitbreidenvoordeleerlingen?• Hoekunjenadrukkelijkaansturenophetgebruikvaneenhogerniveau

vandenkenenhandelen?

Eenvoorbeeldvanhetrekenenmetnullenineencontextisdevolgende.Erwordtgevraagdomuitterekenenvoorhoeveeldagenerhooiisvoordepaarden.

Uit:Rekenrijk,deel6b,p.58

Voorbeeldvanhetrekenenmetnullenwaarbijderelatiegelegdwordtmethetvermenigvuldigenenhetuitrekenenmetmindernullen.

Uit:Rekenrijk,deel6b,p.60

gerichteoefeningenmethetschrappenvandenulzijnnoodzakelijk,zodatkinderenervaringenopdoenmetdezerekenregelenzodatzegripkrijgenopdeschrapregel.Hetvoordeelvaneenmetinzichttoegepasteschrapregeliseentijdsbe-sparingophetrekenwerk.Doordatnietherhaaldhoefttewordenafgetrok-ken,zijnerminderbewerkingennodig.Bovendieniserminderkansophetmakenvanrekenfouten.

Eindgroep7kunnendeleerlingenvermenigvuldigingenendelingenmetrondegetallen(50×20,60×250,600:4,1200:80,enderge-lijke)zowelkaalalsintoepassingssituatieshandigenflexibeluitreke-


1


1

Opdracht1.3 Hoofdrekenopgavenopsporenindemethodegaopzoeknaaropgavenindemethodevanjestageschooldiegeschiktzijnvoorhoofdrekenen.Zijneropgavenwaarindegrondvormenaandeordekomen?Wordendezeopgavenopeenaantrekkelijkeenuitdagendemanieraangeboden?Zoja,waarom?Zonee,hebjeeenvoorstelvoorverbetering?Maakkopieënvoorjemedestudentenenbespreekenkeleopgaven.Legindebesprekingdenadrukopwaardevolleoefenvormenomhethoofdreken-repertoireuittebreiden.

Opdracht1.4 Eenkindhelpenmethoofdrekenena Eenkinduitgroep4geeftalsantwoordop: 85–47=42.

Watdoejealsleerkracht?b Eenkinduitgroep6geeftalsantwoordop: 12×13=106.

Watdoejealsleerkracht?

§ 1.4 Dehoofdrekenles

Hoofdrekenenlerendekinderennietalleendoorzelfstandigsommentemaken.kinderenmoetennadrukkelijklerenhoezemetenuithethoofdkunnenrekenen.Dehoofdrekenlesisduseenbelangrijkonderdeelvanhetreken-enwiskundeonderwijs.

1.4.1 Belangrijkekenmerkenvandehoofdrekenles

Dehoofdrekenlesiskortenheefteenduidelijkdoel:hetzichvlotkunnenbewegenindewereldvandegetallen.Dekeuzevanhetaanbodvoordehoofdrekenlesisweloverwogengenomen.Hetgaatomleerstofdievoordegroepspecialeaandachtnodigheeft.Eenrekenregelofeenbepaaldeaanpakkanwordengeoefend.Dehoofdrekenleskanafwisselendzowelmondelingalsschriftelijkwordenuitgevoerd.Eenschriftelijkeactiviteitbestaatuitongeveervijftienopgavendieineenkortetijdgemaaktkunnenwordenenwaarbijzowelvoorafalsachterafeenbesprekingisgekoppeldwaarindehandigeaanpakkengeac-centueerdworden.Centraalindehoofdrekenlesstaathetonderhoudenvanbasisvaardig-hedenenhetoefenenvanbepaaldeaanpakken,zodathetrepertoireenhettoepassingsbereikvanelkkindvergrootwordtenhetzelfvertrouwentoeneemt.Nietallekinderenkomenopdezelfdewijzetoteenoplossing.Deleerkrachtheeftalstaakomdeverschillendeaanpakkenvankinde-rentebenutten.Hij/zijmaaktnotiesophetbord,zodatkinderenkunnenmeedenkenindewijzewaaropdeoplossingtotstandisgekomen.Ophetbordstaaninrekentaaldedoorlopenrekenhandelingen.Ookoplos-singenvaneenminderhoogoplossingsniveauwordenbesproken,omervoortezorgendatdeleerlingenzichprettigblijvenvoelentijdensdehoofdrekenlesennietalleenmaargespannenzijn,maarvooralookomzetestimulerenommeeteblijvendenken.Voordeleerkrachtbetekentditdattijdensdegroepsbesprekingvandeoplossingenhetglobaalschatteneneenaanzettothethanterenvaneenbepaaldeaanpakdoordebetref-fendeleerlingen,alswaardevolvoordebesprekingwordtgezien.Dezeantwoordenkunnenhetbestebijdestartvanderekenlesbenutworden,

zezijnalshetwareeenopstapnaarhetvervolg.Ookhetplaatsenvanhethoofdrekenenineenherkenbare,betekenisvolletoepassingssituatiekandekinderenhelpenbijhetoplossen.Opdiemanierhebbenzedemogelijkheidomopinformelewijzetoteenoplossingtekomen.Zodracontextopgavenmeeroplossingsmanierenmogelijkmaken,isergroteregroepleerlingeninstaatomtoteenaanpaktekomen–mededoordatzezichietsvoorkunnenstellenbijeencontext.Zokunnenzehetuitrekenenvan 75–48 heelerglastigvinden,maaralsdeopgaveineenwinkel-contextwordtgeplaatst,waarbijwordtgestelddatereencomputerspelgekochtwordtvoor48euro,terwijler75euroindespaarpotzitendevraagwordtgesteldhoeveelgeldernadeaankoopnogindespaarpotzit,kunnenzedezeopgaveopeensheelgemakkelijkvinden.Zoveelmogelijkkinderenkrijgendegelegenheidomhunoplossingswijzeteverwoorden.Uitwisselingvanverschillendeoplossingenenhandigheid-jesgevendeleseeninteractiefkarakter.Deleerkrachtheeftalstaakomdebesprekingvanoplossingencompacttelatenverlopenenvoorstruc-tuurindelestezorgen,bijvoorbeelddoorverschillendemanierenvanoplosseninvolgordestapsgewijsophetbordtenoteren.Hijkandege-bruikteaanpakbenoemen,herhalenenrelatiesleggentussenaanpakken.Deleerkrachtstimuleertelkkindomopinzichtelijkewijzetekomentoteenniveauverhogingenmeervaardigheid.Ditkangerealiseerdwordendooraangedragenaanpakkenteherhalenenkinderenuittedagenommeetedenkenindegevolgdeaanpak,zodaterleermomentenvoordegroepgecreëerdworden.geschikteenminderegeschiktemanierenvanoplossenbespreektdeleerkrachtmetdegroep,zodatkinderensteedsmeergripkrijgenophan-digeaanpakken.Deleerkrachtkanaansturenopeenbepaaldeaanpakendezebenadrukkenzodatkinderenregels,relatiesenaanpakkengaaninzienendoorzien.Deleerkrachtzorgterookvoordatdelesineenvlottempoverloopt.Totslotgeefthij/zijeensamenvattingvandegezamen-lijkeleerpuntendietijdensdelesaandeordezijngeweestenwordenoplossingendirectgecontroleerdopjuistheid.

Opdracht1.5 Geefeenhoofdrekenleskieseenhoofdrekenlesuitdemethode.geefdezelesenreflecteererop.Maakinjereflectiegebruikvandevolgendeaandachtspuntenvoorjoualsleerkrachtenvoordekinderen.• Aandachtspuntenvoordeleerkrachtzijn:zichtopdegehanteerde

aanpakvandekinderen,deplaatsvandeaanpakindeleerlijn,hetuit-nodigentotmeedenkenmetkinderen,aanzettentotanderemanierenvanoplossen,noterenophetbord,deonderwijsvormmetdaarinhetherhalen,toelichtenensamenvattenvanaanpakkenvankinderen.

• Aandachtspuntenvoordekinderenzijn:eenduidelijketoelichtinggeven(mondelingen/ofschriftelijk)ophunaanpak,nadenkenenmeeden-kenoverdeaanpakvananderekinderenendietoepassen.Vanwelkegrondvormenmakenzegebruik?


1


1

VoorbeeldenvanhoofdrekenopgavenuitdemethodeEengreepuithetaanbodvanhoofdrekenopgaventerinspiratievoorhoofdrekenlessen.

Uit:WisenReken,deel4,wisboek2,p.96(ookinrekenvaardigp.48(84),rekenwielen)

Uit:WIG,deel4a,p.141(ookinrekenvaardigp.42(69),vlekkensommen)

Uit:Allestelt,deel4b,p.83(ookinrekenvaardigp.44(74),kettingsommen)

Uit:Rekenrijk,deel5a,p.121(ookinrekenvaardigp.93(7),doolhof/route)

Uit:pluspunt,plusboekgroep8,p.59

Uit:pluspunt,Opdrachtenboekgroep8,p.3

Uit:Wig,deel5b,p.63


1


1

Uit:Allestelt,deel5b,p.12

Opdracht1.� ZelfhoofdrekenenSpeelhetspel:‘maakhetdoelgetal’.kiestweegetallenuittussennulenvijfentweegetallentussenzesentien,bijvoorbeeldtwee,drie,zesenacht.kieseendoelgetalonderdehonderd,bijvoorbeeld:32.probeermetdeviergetallen32temaken.Jemagoptellen,aftrekken,vermenigvuldigenendelenendedeeluitkomstengebruiken.Elkgekozengetalmoetéénkeergebruiktworden.

Eenmogelijkeoplossing:

6 + 2 = 8, 8 × 3 = 24, 24 + 8 = 32

Opdracht1.� OntwerpeenhoofdrekenlesMaakeenhoofdrekenles.Welkerekenregelofaanpakwiljecentraalstel-len?kijkindemethodevanjestageschoolominformatietekrijgenoverdemanierwaaropditleerstofonderdeelisuitgewerkt.Maakeventueelge-bruikvaneencontext.Dooreencontexttekiezendiedebeoogdeaanpakuitlokt,kunjedekinderenextrasteunbieden.Jekuntookgebruikmakenvandevoorbeeldenhierboven[kaninopmaakanderepaginazijn].Rekendevoorbeeldsommeneerstuitenbedenkdaneenvariatievoorjestagegroepdieisafgestemdophunleerstofaanbod.Bespreeknaafloopjehoofdrekenlesmetjemedestudenten.

1.4.2 Hetkladbladvoorhetnoterenvantussenantwoorden

Hetgebruikvaneenkladbladisfunctioneel.Bijrekenopgavenmetveelgegevensofopgavenwaarbijjedooreensystematischeaanpaktoteenoplossingkuntkomen,ishetprettigomenkeletussentijdseberekeningentekunnenmaken.

Voorbeeldvanhetgebruikvaneenkladbladinderekenmethode

Uit:Wis en Reken,Wisboek2groep7,p.11

Hetspel:‘getallenmaken’

Uit:Wis en Reken,Wisboek1,p.51(ookinRekenvaardigp.138)


1


1

hetkladpapierernetjesuitmoetzien.Doorstrepenmagnietengegevensdiezeaanheteindnietnodighebben,gummenzeuit.Ookzijnzevanmeningdathetgebruikenvanpapiereenlagerniveauvanrekenenis.kin-derenmoetenervarendathetmakenvannotitieseenondersteuningisbijhetdenkeneneenhulpbijhetkomentoteenoplossing.Deleerkrachtkaneenjuistgebruikvaneenkladbladstimulerendoorkinderenregelmatigophetbordtelatenzienwelkedenkstappenzeheb-bengemaaktenhoejedetussenstappennoteert.Zekunnendanzienhoehunoplossingsprocesisverlopenenanderekinderenkrijgenzodemogelijkheidommeetedenken.Deuitwisselingvandenkstappenheeftdusbetekenisvoorhetkindzelf,maarookvoordecommunicatieoverenweermetdeanderekinderen.Zewetenenziendanoverwelkeaanpakzehethebben.

§ 1.5 Literatuurtips

k.Buys(2001).Hoofdrekenen.in:Heuvel-panhuizen,M. vanden,k. BuysenA. Treffers(2001),Tussen-doelenAnnexleerlijnen.kinderenlerenrekenen.Helegetallenbovenbouwbasisschool,groningen:Wolters-Noordhoff

Treffers,A.enE. deMoor(1990),proevevaneennationaalprogrammavoorhetreken-enwiskundeonderwijsopdebasisschool.Deel 2: Basis-vaardigheden en cijferen,Tilburg:Zwijsen(nietmeerverkrijgbaarmaarwelbeschikbaaroppabo’s)

Buys,k. (2008),Leren vermenigvuldigen met meercijferige getallen.proef-schrift.Utrecht,freudenthalinstituut.

Buys,k. (2000).,Hoofdrekenenanno2000:aandachtspuntenvooreenleerlijn.in:Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken- wiskundeonder-wijs,18(3),p.28-36

Buys,k. (2005/2006),Eenwereldzondercijferen.in:Volgens Bartjens,25(5),p.22–27.

Buys,k. (2002/2003),Hoofdrekenenindehoogsteleerjaren.in:Volgens Bartjens,22(2),p.28–32.

Heuvel-panhuizen,M. vanden,Bodin-Baarends,C. (2004/2005),Allesofniets.in:Volgens Bartjens,24(2),p.12–14.

Huitema,S. (1991),Meerhoofdrekenen,mindercijferen.in:Volgens Bart-jens,11(1),p.4–7

kassel,D van(2001/2002),interactieenhoofdrekenen.in:Volgens Bart-jens,21(4),p.33–35.

Stralen,J. van(2001/2002),Eenreferentiekadervoorhetrekenonderwijs.in:Volgens Bartjens,21(3),p.5–9.

‘getallenmaken’iseenspelwaarbijhetgetalindecirkelgemaaktmoetwordenmetdevijfgetalleninderechthoek:• Jemagoptellen,aftrekken,vermenigvuldigenendelen.• Elkgetalmagmaaréénkeerwordengebruikt.• Nietallegetalleninderechthoekhoeventewordengebruikt.• Wiekandemeesteoplossingenvinden?

Bijhetspel‘getallenmaken’ishetgebruikvaneenkladbladfunctioneel.

UitWisenReken,Wisboek1,p.51(ookinRekenvaardigp.138)Hetgaatomdeeerstevraagbija.]

Bijopgaveamaakjehetgetal10.Ophetkladbladiseenuitwerkingtevindenvandezoektochtnaarhetgetal10.

Opdracht1.� Reflectieopjeeigenhoofdrekenengazelfopzoeknaardebewerkingendienodigzijnomdeanderegetallenvanhetspel‘getallenmaken’tevinden.Noteerjeuitwerkingenopeenkladblad.Bespreekjeoplossingenmeteenmedestudent.

Vaakishetonthoudenvanmeerderegegevensnietaltijdeenvoudig,wathetkomentoteenuiteindelijkantwoordlastigmaakt.Opeenkladbladkunnentussenantwoordenwordenopgeschrevendiemoetenwordenont-houdenengedachtenwordengeordend.Zohoudendeleerlingengripophetrekenwerk.kinderenmoetenlerenomeenkladbladtegebruiken,wantzonderdiege-richteaandachtmakendemeestekinderenpasnotiesophetkladpapier,alszehetantwoordal(bijna)weten.Ookzijnerkinderendievindendat

11 1 in groep 5–8hoadd.noordhoff.nl/sites/7416/_assets/7416d02.pdf · beelden laten zien dat je...

Documents

Transcript of 11 1 in groep 5–8hoadd.noordhoff.nl/sites/7416/_assets/7416d02.pdf · beelden laten zien dat je...