1. Een blok-schema van een DC motor is gegeven in figuur 1.

Vis) 1 m 1 Ls+R Js+b

(0(5)

K,

Figuur 1: Blok-schema van een DC motor,

a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm K B(s) A ( s y

met K een constante en A(s), B(s) polynomen in aflopende machten van s. (12 p)

G(s) T(s) V(s)

14 (-J£+lo)

Berekening / motivering: Ki

^ - Ces:) w Ls> -t-R ^ - Ces:) w

x + x +

K fas*. 41

b) Stel nu dat de input van de motor kortgesloten is, dwz V(s) = 0. Geef de over­drachtsfuntie H(s) van een extern koppel Te(s) naar de stroom I(s). Het externe koppel Te(s) wordt opgeteld bij T(s). (12 p)

H(s) m Te(s)

Berekening / motivering:

- K

4 -t * 4 '

z.o.z. 1

2. Gegeven is het volgende open-lus systeem:

G W 8 0

(s + 2)(s + 3 ) 2

Ontwerp een PD regelaar D(s) = Kp(l + Tds) zodat het geregelde systeem aan de vol­gende eisen voldoet:

• een cross-over frequentie van uc = 3 rad/s

• een fase marge van P M = 65°

Laat alle stappen uit uw berekening zien. (30 p)

Kp = O. 6 3 ^ 2

Berekening / motivering: p

C ( i ^ A -

PM - -4l\ZrC+ ^ 0 0 « 31 , V°

Z

A

A

| - 0X021 ' I j

— =

Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011

3. Een lasrobot met overdrachtsfunctie G(s) wordt geregeld door een proportionele regelaar Kp in de gesloten-lus configuratie zoals aangegeven in figuur 2.

r + •

u ik G(s) w G(s) y

Figuur 2: Blok-schema van de gesloten lus.

De overdrachtsfunctie G(s) heeft de volgende vorm:

K J s(s + 10)(s + 20)

waarbij de exacte waarde van de parameter K onbekend is. Om K te bepalen, wordt een gesloten-lus experiment uitgevoerd met de proportionele regelaar Kp = 1000 (de gesloten lus is asymptotisch stabiel met deze regelaar). Op de referentie input r(t) wordt een ramp signaal r(t) = O.lt gezet en de bijbehorende output y(t) wordt gemeten. Het foutsignaal e(t) =r{t) - y(t) is weergegeven in figuur 3.

0 1 2 3 4 5 Ti jd [s]

Figuur 3: Gemeten foutsignaal e(t).

a) Bereken de constante K in de overdrachtsfuntie G(s). Tip: maak gebruik van de eindwaardestelling (final value theorem). (18 p)

K =

z.o.z. 3

Berekening / motivering:

e S £ - ^ • •

S (s4*oJ(S+2o)

0-Y

^-^>0 S ( C+fo) (s+2o) f / < /<,o

b) Gebruik dezelfde proportionele regelaar i f p = 1000 en veronderstel dat de con­stante K in G(s) niet bekend is. Geef de gesloten-lus karakteristieke vergelijking in de root-locus vorm en schets de bijbehorende root locus voor K > 0. Geef de richting van stijgende K aan. (12 p)

Karakteristieke vergelijking:

Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011

c) Geef het interval van versterkingen K > O in G(s) voor welke het gesloten-lus sys­teem asymptotisch stabiel is. (20 p)

Berekening / motivering: / f -/ /<(

- > s , J w

co

= • 0 UJ = f200

d) Om de steady-state fout te elimineren, wordt het regelschema uitgebreid met de zgn. velocity feedforward versterking K g , zie figuur 4.

Figuur 4: Blok-schema met velocity feedforward (s is de Laplace operator).

Neem K = 2, Kv = 1000 en bereken de waarde van Kg zodanig dat de steady-state fout ess = 0 voor de ramp referentie input (de steady-state waarde is gedefinieerd als e s s == l im^oo e(t)). (18 p)

z.o.z. 5

Ks= /lOO

Berekening / motivering: 4

2.

/f -4-

($+(o) (s-+2o) 20o -2l<ff

> 4 "7

F-f y

4. Gegeven is de onderstaande asymptotenbenadering van de magnitude van een Bode dia­gram:

20

03 a 0

1-20 I -40

10 10 10 Frequentie [rad/s]

10J

0

10 10 10 Frequentie [rad/s]

10J

Figuur 5: Asymptotenbenadering van een Bode diagram.

Dit Bode diagram is getekend voor een stabiel, minimum-fase systeem met de onder-

Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011

staande overdrachtsfunctie G(s):

G(s) = K{s + a)1

sn(rs + 1)p

a) Bepaal de constanten K, m, n, p,aenT in de overdracht functie G(s): (20 p)

K = 0 /

V = 4

ra

a= 40

n _ f

T =

Berekening /motivering: ^ e l ^ V a vo&\- u j - ^ O = - liOd % l&c^

B i j ' \x>^4o ^Ajs 2x h^Cf^t ~ > /»» * 2 , & •

K- 1°<> ( / o c > '

ï ; ( G. < - - ' (

\/foo

2

b) Bepaal aan de hand van het Bode diagram het systeem type (3p)

Systeem type: 2.

Motivering: i/ooir- Co ->• O \r *0\ j £ \

c) Teken in figuur 5 nauwkeurig de asymptoten van de bijbehorende fase plot. Geef de fase in graden langs de verticale as. (5 p)

5. Gegeven is het volgende model in toestandsvorm:

x(t) = [Z\ _4! )*(*)+( J ) «(*)

y(t) = ( 2 l ) x ( t )

a) Toon aan dat voor de open-lus overdrachtsfunctie G(s) = Y(s)/U(s) geldt

s + 9 G(s) =

s2 + 2s + 9

z.o.z. 7

(10 p)

Berekening / motivering:

<T O \

2 - 2 4 - f /

(g 1

+ 1 \ f O

b) Het systeem wordt geregeld door middel van een toestandsregelaar u(t) = —Kx{t) met K = [ h\ k2 ] de state feedback versterking. Bereken . f f zodanig dat de gesloten-lus karakteristieke polynoom een relatieve demping £ = 0.8 heeft en een natuurlijke frequentie un = 20 rad/s. (20 p)

K = ( $0.7S

Berekening / motivering: Q -j- ^ ^ ^ v , + Co,,

- 32 f LlOO ér- o o k

- 1 L

-7 -

- < r \

S-*f-f& 2 /

Einde tentamen

Schriftelijk tentamen Systeem- en Regeltechniek, 3 november 2011