Opfriscursus Wiskunde september 2011

C. Biront – A. Gheysen – A. Laeremans –R. Stevens

Data• maandag 12/09/2011• dinsdag 13/09/2011• woensdag 14/09/2011• donderdag 15/09/2011• vrijdag 16/09/2011

• Dinsdag 20/09/2011test

Tijd

• telkens van 9u tot 13u (met pauze)

• per les +/- 2u thuis oefeningen maken• ruime herhaling ter voorbereiding test

Cursusmateriaal

• handouts van PPT-presentatie - notities uit de les• samenvatting onderwerp van de dag • elke dag oefeningen + oplossingen• volledige PPT-presentatie op

www.hubrussel.net/opfriscursus• verwijzingen naar handboeken

– Wiskundige Begrippen en Methoden deel 1 en 2 (C. Biront en J. Deprez)

– Supplement bij Wiskundige Begrippen en Methoden deel 1 (C. Biront en J. Deprez)

VRIJBLIJVEND (niet strikt noodzakelijk)

Facultatief: bijkomend materiaal

• Basisboek Wiskunde (Jan van de Craats – Rob Bosch)

• http://www.mathcentre.ac.uk/• http://www.khanacademy.org/• http://wiskunde.starttips.com/• www.purplemath.com/modules/index.htm

Test

• Di 20/09/2011• mondeling met uitgebreide schriftelijke

voorbereiding • uitsluitend oefeningen:

rekenen + interpretatie!• formularium: 1A4-blad (langs beide zijden)• inschrijven vierde les

Eerstegraadsfuncties

Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? (1)

• Vertrekgeld: 5 euro• Kmprijs: 2 euro

kostprijs 5 2 7 19

Kostprijs rit van 7 km?

Kostprijs van een taxirittaxirit bij taxibedrijf A? (2)

• Vertrekgeld: 5 euro• Kmprijs: 2 euro

5 2y x

Kostprijs y van een rit van x km?

Benamingen

• x (lengte rit) en y (prijs rit):VERANDERLIJKEN

• y hangt af van x:y is FUNCTIE van x, notatie: y(x)

y: AFHANKELIJKE VERANDERLIJKEx: ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE

• formule y = 5 + 2x:VERGELIJKING (VOORSCHRIFT) VAN DE

FUNCTIE

Vorm van de vergelijking

y = 5 + 2x

VAST GEDEELTE + VARIABEL GEDEELTE

VAST GEDEELTE + VEELVOUD ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE

VAST GEDEELTE + GEDEELTE EVENREDIG MET ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE

Kostprijs taxirit taxibedrijven B,C,..?• y = 4.50 + 2.10x; y = 5.20 + 1.90x; enz. …• Algemeen:

y = vast vertrekgeld + kmprijs xy = q + m xy = m x + q

EERSTEGRAADSFUNCTIE!(toepassingen: lineaire functie genoemd)

Let op:m en q VAST (per bedrijf): parameters!

x en y: VERANDERLIJKEN!

ANDERE SITUATIES waarbij ook nog eerstegraadsfuncties ontstaan?

• Kostprijs y om auto van 20 000 euro aan te kopen en daarmee x km rijden als de kosten 0.8 euro per km bedragen?

y = 20 000 + 0.8x m.a.w. … y = mx + q!• Totale productiekosten TK om q eenheden te

produceren als FK = 3 en de productiekost per eenheid 0.2 is?

TK = 3 + 0.2q m.a.w. y = mx + q!

Situaties waarbij functie GEEN EERSTEGRAADSFUNCTIE is?

Crashen met de taxi aan 100 km/h is VEEL dodelijker dan bij 50 km/h omdat de energie E evenredig is met het KWADRAAT van de snelheid v.

Voor taxi van 980 kg: E = 490v²

d.i. NIET van de vorm y = mx + q en dus GEEN eerstegraadsfunctie!

Betekenis van de parameter q in de vergelijking

• Taxibedrijf A: y = 2x + 5. Hier is q = 5: de vertrekprijs.

• q kan opgevat worden als DE WAARDE VAN y ALS x = 0.

Grafische betekenis q

Betekenis m in de vergelijking

• Taxibedrijf A: y = 2x + 5, m = 2: de kmprijs.• m is DE VERANDERING VAN y ALS x

TOENEEMT MET 1.• Als x toeneemt met b.v. 3 (rit is 3 km langer) zal y

toenemen met 2 3 = 6 (we moeten 6 euro meer betalen).

• In wiskundige notatie: als x = 3 dan y = 2 3 = m x.

• Altijd geldt: y = mx (TOENAMEFORMULE).

ym

x

Grafische betekenis mGevolg:

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven

(1)

Eerste manier:

Meest geconcentreerde vorm!

Met de VERGELIJKING, b.v. y = 2x + 5.

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven

(2)Tweede manier:

Meest concrete vorm!

Met een TABEL, b.v. voor y = 2x + 5:

x y0 51 72 9… …

Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven

(3)

Derde manier:Meest visuele vorm!

De grafiek is EEN (deel van een) RECHTE!

1 5

2

14

x

y

Met de GRAFIEK,b.v. voor y = 2x + 5:

Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (1)

• Bij de prijsberekening voor taxibedrijf A ontstond een eerstegraadsfunctie, nl. y = 2x + 5. Maar wat is nu PRECIES die eerstegraadsfunctie?

… x? … y? … x en y? de vergelijking? …? • Eén wiskundige opvatting is de volgende:

DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5”

• FUNCTIE = “MACHINE”! http://www.ies.co.jp/math/java/geo/linf/linf.htm

Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (2)

• DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5”

• Die “regel” (de eigenlijke eerstegraadsfunctie!) stellen we voor door nog een andere letter, b.v. f.

• Die “regel” (de eigenlijke eerstegraadsfunctie!) toepassen op x noteren we als f(x).

• In dit geval: f(x) = 2x + 5.• We hadden eerst y = 2x + 5 en nu dus ook y = f(x).

Algemeen

• Eerstegraadsfunctie f:

“regel” die een getal x omzet in het getal f(x) (dikwijls als y genoteerd) zo dat f(x) = mx + q (en dus ook y = mx + q) waarbij m 0 (!!)

• De grafiek is altijd een schuine (!!) rechte.• Betekenis parameter q:

q = f(0)• Betekenis parameter m:

( )f x ym

x x

Grafische betekenis parameter q

q in het voorbeeld van taxibedrijf A

q geeft aan waar de grafiek de Y-as snijdt: Y-INTERCEPT

Algemeen:

Grafische betekenis parameter m (1)

• m in het voorbeeld van taxibedrijf A• als x met 1 eenheid toeneemt, neemt y met m

eenheden toe

m is de HELLING of de RICHTINGSCOËFFICIËNT

Grafische betekenis parameter m (2)

teken van m bepaalt– of rechte naar onder/horizontaal/boven loopt– of eerstegraadsfunctie

dalend/constant(!!)/stijgend is

grootte van m bepaalt hoe steil de rechte is

-2 2

-2

2

x

y

m < 0-2 2

-2

2

x

y

m = 0

-2 2

-2

2

x

y

m > 0

Grafische betekenis parameter m (3)

als x met x eenheden toeneemt, neemt y met mx eenheden toe

xmy Toenameformule:

Grafische betekenis van de parameters m en q

We zien deze betekenis duidelijk hier … http://www.home.zonnet.nl/lauwen37/applets/

Rechtelijn/RechteLijn.html

Of hier…http://www.rfbarrow.btinternet.co.uk/htmks3/

Linear1.htm

Of hier…http://standards.nctm.org/document/eexamples/

chap7/7.5/index.htm

Oefeningen

• oefening 1• oefening 2 (alleen aangeduide punten mogen

gebruikt worden!)

voor E: evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt!

Figuur 2

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (1)

• Kapitaal van 10 000 euro volledig beleggen in bepaald aandelenfonds en bepaald obligatiefonds

aandelenfonds: 80 euro per deelbewijsobligatiefonds: 250 euro per deelbewijs

• Hoeveel van elk zijn mogelijk met het gegeven kapitaal?

Noem het aantal deelbewijzen respectievelijk qA en qO.

Dan moet gelden: 80qA + 250qO = 10 000

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (2)

• Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000• Er zijn oneindig veel mogelijkheden voor qA en qO

b.v.: qA = 0, qO = 40;

qA = 125, qO = 0;

qA = 100, qO = 8 enz. …

• Niet alle combinaties zijn mogelijk! • Er is een verband, EEN RELATIE, tussen qA en

qO.

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (3)

• Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000

• We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen qA en qO duidelijker, EXPLICIETER, uitdrukken:

OA O

10 000 250125 3.125

80q

q q

qA afhankelijke, qO onafhankelijke veranderlijke,verband is van de vorm y = mx + q dus

EERSTEGRAADSFUNCTIE!

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (4)

• Er geldt: 80qA + 250qO = 10 000

• We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen qA en qO duidelijker, EXPLICIETER, ook als volgt uitdrukken:

AO A

10 000 8040 0.32

250q

q q

Nu is qO afhankelijke, qA onafhankelijke veranderlijke,

verband is weer van de vorm y = mx + q dus ook EERSTEGRAADSFUNCTIE!

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (5)

Verband, RELATIE, tussen qA en qO:• 80qA + 250qO = 10 000: IMPLICIETE

vergelijkingbeide veranderlijken in één lid, vorm ax + by + c = 0• qO = 40 0.32qA: EXPLICIETE vergelijkingafhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen

onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q• qA = 125 3.125qO: EXPLICIETE vergelijkingafhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen

onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q

Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (6)

DE RELATIE tussen qA en qO komt in dit geval overeen met een EERSTEGRAADSFUNCTIE (twee keuzen!) en kan dus (op twee manieren!) grafisch voorgesteld worden door EEN DEEL VAN EEN RECHTE (LIJNSTUK):

20 140

10

50

qA

qO

10 50

20

140 qA

qO

Vergelijkingen van rechten (1)

• De grafiek van een eerstegraadsfunctie f met vergelijking y = mx + q is EEN RECHTE.

• Een vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 met b 0 bepaalt een eerstegraadsfunctie en is dus ook de vergelijking van een rechte. (Om y te kunnen isoleren moet GEDEELD worden door b, daarom moet b 0!)

• Elke vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 WAARBIJ a EN b NIET TEZAMEN NUL ZIJN bepaalt een rechte! Zie oefening 5.

Vergelijkingen van rechten (2)

Richtingscoëfficiënt van een rechte met twee gegeven punten:

x

y

xx

yym

12

12

afstandehorizontal

chilhoogtevers

Vergelijkingen van rechten (3)

• rechte door een gegeven punt met een gegeven richtingscoëfficiënt:

rechte door punt (x0, y0) met rico m heeft vergelijking

• evenwijdige rechten: gelijke rico’s

oefeningen 3 en 4

• onderling loodrechte rechten: product van de rico’s is –1

0 0y y m x x

Oefeningen (1)• oefening 7

werkwijze:– snijpunt f en g zoeken via f(x) = g(x)– controleren of dit punt op de grafiek van h ligt

• oefening 8 (a)

werkwijze:– y oplossen uit eerste vergelijking (*) en

invullen in tweede vergelijking; daaruit dan x oplossen; invullen in (*)

Oefeningen (2)

• oefening 9 (a), (b), (c), (i), (e), (d)• oefening 14

Figuur 14 (a) Figuur 14 (b)enz.

WISKUNDE LEREN = ZELF VEEL OEFENINGEN MAKEN, FOUTEN BEGRIJPEN EN DE OEFENINGEN

CORRECT OPNIEUW MAKEN

Oefening 2

(3,9)

x

y

(0,7)

(0,3)

(6,6)

(2,0)

A

B

C

D E

F

Terug

Oefening 14 (a)

0

0,2

0,4

0,6

0 0,5 1 1,5

x

b

Terug

Oefening 14 (b)

0

0,2

0,4

0,6

0 0,5 1 1,5

x

b

Terug