Post on 15-Oct-2019
LogischredenerenWe vertrekken vanuit grondbegrippen en axioma’s om de logica op te bouwen
Historischefiguren
‐ August De Morgan(19de eeuw, Engeland): grondlegger van de formele logica.
‐ George Boole( 19de eeuw, Ierland): grondlegger formele logica. Toont aan dat de formele
logica aan de mathematische rekenwijze kan worden onderworpen.
‐ Aristoteles(300v.c.): bewijst dat er een systematiek in bewijzen te vinden is.
‐ Kurt Gödel(20ste eeuw): hij beweerde dat een consistent axiomastelsel voor een groot
deelgebied van de wiskunde steeds onvolledig is.
Begrippen
Axioma’sofgrondbegrippen
axioma’s of grondbegrippen zijn stellingen die niet bewezen worden maar aanvaart worden als
waar. Verschillende samen horende axioma’s vormen een axiomastelsel. Binnen zo één
axiomastelsel mogen er geen twee axioma’s strijdend zijn.
Men ging opzoek naar een consistent en volledig stelsel, maar Kurt Gödel beweerde dat dit niet kon
omdat een consistent axiomastelsel steeds voor een groot deelgebied van de wiskunde onvolledig is.
Gödel gaat dan ook een onderscheid maken tussen “de bewering is waar” en “de bewering is
bewijsbaar”.
Grondbegrippen
Een grondbegrip is een begrip dat geen definitie heeft. Deze worden verbonden door uitspraken,
axioma’s. grondbegrippen zijn nodig om andere begrippen te kunnen definiëren.
Propositielogica
Grondbegrippenenaxioma’svandepropositielogica
Een propositie is een zin die aangeeft dat wat beweerd wordt waar of niet waar is.
Degrondbegrippenvandeformelelogica
Uitspraak: een uitspraak noteren we met een kleine letter (p). Van deze uitspraak kan dat gezegd
worden of ze waar (1) of vals (0) is.
uitdrukkingen waarin gebruik wordt gemaakt van een variabele is geen uitspraak.
Negatie: niet(~)
Conjunctie: en (Λ)
Disjunctie: of (v)
Implicatie: als…dan (⇒)
Equivalentie: als en slechts als ()
Deaxioma’svandeformelelogica
1. Axioma van de uitgesloten derde en van niet‐ tegenstrijdigheid
een uitspraak is ofwel waar, ofwel niet waar, maar niet beide tegelijk.
2. Axioma van de negatie
de negatie van een uitspraak p, is een uitspraak (~p)
3. Axioma van conjunctie
De conjunctie van een uitspraak p en q is uitspraak p en q
die waar als p en q waar zijn, in andere gevallen is de uitspraak vals.
4. Axioma van de disjunctie
de disjunctie van een uitspraak p en q is een uitspraak p OF q
die vals is al p en q vals zijn. In alle andere gevallen is de uitspraak waar.
5. Axioma van de implicatie
de implicatie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak als p… dan q...
die vals is al p waar is en q vals. In alles andere gevallen is de uitspraak waar.
6. Axioma van de equivalentie
de equivalentie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak p als en slechts als q
die waar is als p en q beiden waar zijn of beiden vals. De twee andere uitspraken zijn vals.
Dewaarheidstafels
Voor n uitspraken zijn er 2 mogelijkheden.
Volgordevandelogischebewerkingen
~ komt voor Λ en V
Λ en V komen voor ⇒ en
De andere operaties worden uitgevoerd van links naar rechts.
Algemeneinfo (te lezen)
‐ We gebruiken de implicatiepijl niet in onze schrijftaal.
‐ “of” wordt in de wiskunde in haar inclusieve betekenis gebruikt. “of” betekent : p / q/p en q.
‐ p=> q ≠ q => . we noemen de uitspraak voor de implicatie het antecedent en de uitspraak na
de implicatie de consequens.
Dewaarheidswaardevansamengesteldeuitspraken
‐ contradictie : alle samengestelde uitspraken zijn vals
‐ tautologie: alle samengestelde uitspraken zijn waar.
Logischewettenoftautologiën
Te leren pag. 15‐16!!!
Elektronischeschakels
(lezen pag. 17‐19)
Predicatenlogica
Uitspraakvormen
Een uitspraakvorm of predikaat is een uitdrukking met veranderlijke(n) die een uitspraak wordt als
men de verandrlijke(n) vervangt door constante(n).
We schrijven een uitspraakvorm afhankelijk van x en noteren p(x).
Dereferentieverzameling
De veranderlijken worden vervangen door constanten die uit een welbepaalde verzameling gekozen
worden. Deze verzameling noemen we de referentieverzameling.
Waarheidsverzameling
De waarheidsverzameling is de verzameling van all constanten uit de referentieverzameling waarvoor
de waarheidsvorm of het predikaat waar is.
Samengesteldeuitspraken
Met behulp van uitspraakvormen in eenzelfde referentieverzameling kunnen nieuwe
uitspraakvormen gevormd worden door gebruik te maken van logische connectoren.
Vb.: p(x) Λ q(x)
Gekwantificeerdeuitspraken
Gekwantificeerde uitspraken zijn uitspraakvormen van de vorm p(x) in de referentieverzameling R.
Deuniverselekwantor
∀ x ∈R geldt: p(x)
Existentiëlekwantorofbestaanskwantor
Er bestaat ten minste één x van R waarvoor p(x) geldt.
Uniciteitskwantor
Er bestaat juist één element van R waarvoor p(x) geldt.
Meervoudigegekwanteerdeuitspraken
Voor alle elementen x van X bestaat er een y uit element van Y waarvoor geldt: p(x,y).
! 2 ongelijknamige kwantoren zijn niet verwisselbaar!
Negatievaneengekwanteerdeuitspraak
“∀elementen” “∃1 element waarvoor … niet geldt”.
Men bekomt de negatie van een gekwanteerde uitspraak door:
1. De alkwantor te vervangen door de bestaanskwantor of omgekeerd.
2. De uitspraakvorm te vervangen door zijn negatie.
Verklaringen
Lees pag. 28‐29
Conjunctiesendisjunctievangekwanteerdeuitspraken
Zie pag. 29‐30
Wiskundigetheorie
Begrippenenstellingen
Wiskunde is een geheel van theorieën (algebra, meetkunde, analyse,…)
Grondbegrippen zijn primitieve begrippen die niet gedefinieerd worden.
Ware uitspraken die een verband uitdrukken tussen begrippen van een theorie noemen we
eigenschappen of stellingen.
Grondstellingen of axioma’s zijn primitieve stellingen die niet meer bewezen kunnen worden.
Definiëren
Een definitie is een uitspraak over dat begrip equivalent verklaren met een uitspraak of reeds
bekende begrippen van de theorie.
Een definitie is wordt voor een begrip dat voor het eerst in een theorie ondubbelzinnig omschreven
wordt.
Bewijzen
Een eigenschap bewijzen is haar waarheid aantonen door logische wetten toe te passen op de
axioma’s en op de op dat ogenblik gekende definities en bewezen eigenschappen.
Soorteneigenschappen
Een eigenschap is een uitspraak die te schrijven is als een implicatie.
Een kenmerk of criterium is een eigenschap die als equivalent geschreven kan worden.
Soortenbewijzen
‐ Rechtstreeks bewijs
‐ Bewijs door contrapositie
‐ Bewijs door inductie
‐ Bewijs uit het ongerijmde
‐ Bewijs van een existentiestelling
Bewijsuithetongerijmde
Het bewijs uit het ongerijmde steunt op de logische wet van de contrapositie en op het axioma van
de uitgesloten derde.
We vertrekken van de negatie van wat bewezen moet worden.
Eisenwaaraaneenaxiomastelselmoetvoldoen
Een axiomastelsel mag niet contradictorisch zijn. De verschillende axioma’s mogen niet
tegenstrijdig zijn.
De axioma’s moet onafhankelijk zijn van elkaar.
Logicainhetwiskundeonderwijs
Lezen pag. 37‐38
Deverzamelingenleer
Hetbegripverzameling
Een verzameling is een collectie van goed onderscheiden objecten die voldoen aan een bepaalde
eigenschap. Hieruit volgt dat de elementen van een verzameling onderling verschillen en dat de
volgorde van de elementen geen belang heeft.
George Cantor (einde 19de eeuw) is de grondlegger van de verzamelingenleer.
Het begrip verzameling werd door B. Russell is in twijfel getrokken door de paradox van de barbier te
formuleren: R is dan en slechts dan een element van R als R geen element is van R.
Klasse
Een klasse is een primitief begrip dat met het intuïtieve idee “collectie van objecten correspondeert.
Axioma’s bepalen het gedrag van klassen.
Verzameling
Een verzameling wordt per definitie een klasse die zelf element is van een andere klasse en geen
element is van zichzelf. De verzameling is een bijzondere klasse.
In de paradox van Russell is R een klasse en geen verzameling.
Algemeenhedenoververzamelingen
Elementen van een verzameling worden vastgelegd door:
‐ Opsomming van deze elementen
‐ Omschrijving van deze elementen
Voorstellen van een verzameling:
‐ Aan de hand van een Venndiagram . (= een gesloten kromme waarbinnen de elementen met
een punt worden voorgesteld)
(het Venndiagram werd in in 1880 door J. Venn geïntroduceerd).
Notaties
1. T={x І x is een letter van het woord “appel” }
ieder element wordt slechts éénmaal gebruikt in de voorstelling. T = {a, p, e, l}
2. Gehele getallen = {0, ‐1, 1, ‐2, 2, …}
de verzameling van de gehele getallen is een oneindige verzameling.
3. Referentieverzameling R van een uitspraak wordt soms voorgesteld voor een rechthoek.
4. Een singleton is een verzameling met slechts 1 element. A = {4}
5. De ledige verzameling kan op veel manieren worden voorgesteld.
Ø = { } , Ø = {x is een natuurlijk getal l 2 < x < 3 }
6. Een paar is een verzameling met juist 2 elementen. P = {4,9}
Relatiestussenverzameling
Degelijkeverzameling
‐ Twee verzamelingen zijn gelijk als en slechts als ze de zelfde elementen hebben.
‐ (A = B ) (∀ x : x Є A x Є B )
‐ wordt een “equivalentieteken genoemd.
Dedeelverzamelingvaneenverzameling
‐ Een deelverzameling B is een deel van verzameling 4 als en slechts als elk element van B een
element van A is.
‐ (B ⊂ A) ( ∀ x : x Є B => x Є A ) ‐ => wordt een “ implicatieteken” genoemd.
‐ B A⊂ “ B is een echte deelverzameling van A. (B ≠ A)”
Dereferentieverzameling
De referentie verzameling is de verzameling van alle objecten die men bestudeert. Deze verzameling
wordt vaak niet expliciet genoemd.
R
Criteriumvangelijkeverzamelingen
Kenmerk : A B ⇔ A ⊂ BΛB ⊂ A
Bewijs pag. 49
Delenverzamelingvaneenverzameling
Een delenverzameling van een verzameling A is de verzameling van alle delen van A.
D A ( de delenverzameling van A)
in symbolen: D A = {X I X ⊂ A}
voorbeeld: A = {1,2} , D A= { Ø, {1} , {2} , {1,2} }
eigenschap1
B ⊂ A ⇔ DA ⊂ DB
In woorden: het bewijs van een equivalentie kan gebeuren in 2 delen.
Bewijs pag.51‐52
.
Eigenschap2
Een eindige verzameling met n elementen (n behoort tot de verzameling van de natuurlijke getallen)
heeft deelverzamelingen
(bewijs door inductie pag. 53)
Debegrippenpaarenkoppel
*Een paar is een verzameling van 2 elementen.
A = {4,9}={9,4}
*Een koppel heeft een oorsprong en een uiteinde en is een geordend paar.
A = (5,9)≠(9,5)
Een identiek koppel is een koppel met zelfde oorsprong en uiteinde.
Een invers koppel is een koppel waarbij oorsprong en uiteinde zijn verwisseld
a, b b, a
Opeenvolgende koppels zijn koppel waarvan het uiteinde van het ene koppel de oorsprong is van
het volgende koppel.
(a,b) en (b,c) zijn opeenvolgende koppels.
Samen gestelde koppels zijn koppels die de oorsprong van het ene koppel bevatten en het
uiteinde van het opeenvolgend koppel.
(a,c) is een samengesteld koppel van (a,b) en (b,c)
bewerkingenvanverzamelingen
hetcomplementvaneenverzamelingAt.o.v.eenreferentieverzamelingR
het complement van een verzameling A t.o.v. een referentieverzameling R is de verzameling van alle
elementen van R die niet tot A behoren.
R
Co(A)
Voorbeeld: P is de verzameling van alle priemgetallen. Het complement van P zijn alle natuurlijke
getallen die geen priemgetallen zijn.
Dedoorsnedevaneenverzameling
De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren.
A ∩ B
A
Deunievanverzamelingen
De unie van A en B is de verzameling van elementen die tot A of tot B behoren.
A ∪ B
Verbandmetdelogica
De logische connectoren zijn terug te vinden in de 3 bovenstaande bewerkingen. We kunnen alle
uitspraken uit de verzamelingenleer terugvoeren naar logica‐ uitdrukkingen.
DeaftrekkingvanAenB
Het verschil van de verzameling A en B is de verzameling van alle elementen die tot A behoren en
niet tot B behoren.
A \B
HetsymmetrischeverschilvanAenB
Het symmetrische verschil van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B
behoren, maar niet tot beiden.
A∆B A ∪ B \ A ∩ B
HetproductvanAenB
Het product van A en B is de verzameling van alle koppels waarvan het beginelement tot A behoort
en het eindelement tot B behoort.
A X B = {(x,y) І x Є A Λ y Є B}
Als A n elementen heeft en B m elementen heeft, van bevat A X B n∙m elementen.
Eigenschappenvandebewerkingenenderelatiesmetverzamelingen
Leren pag. 62‐63
Partitievaneenverzameling
Een partitie van A is een verzameling van niet‐ledige deelverzamelingen van A met als eigenschap
dat ieder element van A tot juist één van deze deelverzamelingen behoort.
Voorbeeld: de restklassen.
een partitie van = { 5 , 5 +1, 5 +2, 5 +3, 5 +4} = O 1 2 3 4
‐ De unie van al deze delen van de partitie is de verzameling zelf.
‐ Twee elementen van een partitie zijn steeds disjunct. (= 2 delen zijn gescheiden)
AlgemeenhedenoverrelatiesEen relatie r van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling van koppels met
beginelement in A en eindelement in B.
Een relatie is dus een deel van de productverzameling A X B
r ⊂ A B
Relaties kunnen worden voorgesteld in een Venndiagram, een pijlenvoorstelling of een
roostervoorstelling.
Een relatie r in A wordt bepaald door opsomming van de koppels of door omschrijving van de
koppels. Deze omschrijving is een verband tussen begin‐ en eindelement, het relatievoorschrift
genoemd.
Voorbeelden: is een veelvoud van, is gelijk aan, is kleiner dan,…
Het relatievoorschrift van een relatie r in A² is een uitspraakvorm in 2 variabelen p(x,y). x is hierin de
onafhankelijk veranderlijke en y is de afhankelijk veranderlijke.
r x, y ∈ A waarvoorgeldtp x, y
r is de identieke permutatie, dit is de verzameling van alle koppels waarvan oorsprong en uiteinde
gelijk zijn.
Relatiesineenverzameling
SorterenEen equivalentierelatie is een relatie die ervoor zorgt dat de elementen gesorteerd worden.
elementen van eenzelfde soort horen samen in één deelverzameling of equivalentieklasse.
EquivalentierelatieEen equivalentierelatie r in A is een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is in A.
ReflexiviteitR is reflexief in A ∀aϵA: a, a ϵA
Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling
Symmetrier is symmetrisch in A ∀a, bϵA: a, b ϵr ⇒ b, a ϵr
Als een koppel (a,b) tot de relatie behoort dan behoort het omgekeerde koppel ook tot de relatie.
Transitiviteitr is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr
als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot
de relatie.
Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling
van alle elementen die met a in relatie staan.
Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling.
De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.
OrderelatieEen orderelatie r in A is een relatie die reflexief, anti‐ symmetrisch en transitief is.
ReflexiviteitR is reflexief in A ∀aϵA: a, a ϵA
Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling
Anti‐symmetrischr is anti‐ symmetrisch in A ∀a, bϵA: a, b ϵr⋀ b, a ϵr ⇒ a b
identieke koppels mogen wel voorkomen.
Transitiviteitr is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr
als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot
de relatie.
Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling
van alle elementen die met a in relatie staan.
Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling.
De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.
StrikteordeEen strikte orde r in A is een relatie die anti‐ reflexief, anti‐ symmetrisch en transitief is in A.
r is antireflexief in A ∀aϵA: a, a ∉ r
Alle identieke koppels behoren niet tot de relatie.
Anti‐symmetrischr is anti‐ symmetrisch in A ∀a, bϵA: a, b ϵr⋀ b, a ϵr ⇒ a b
identieke koppels mogen wel voorkomen.
Transitiviteitr is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr
als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot
de relatie.
Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling
van alle elementen die met a in relatie staan.
Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling.
De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.
GeordendeverzamelingenEen geordende verzameling A is een verzameling waarin een orderelatie is gedefinieerd.
A is een geordende relatie A,≼
Een geordende verzameling A,≼ is totaal geordend als en slechts als ∀a, bϵA: a ≼ bofb ≼ a.
Een geordende verzameling A,≼ is partieel geordend als en slechts als ze niet totaal geordend is.
Maximum,minimumvaneengeordendeverzamelingAls D een niet‐ ledig deel is van V,≼ , dan definiëren we de begrippen maximum en minimum van D
we noteren maxD en minD.
m = minD mϵD ⋀∀ xϵD:m ≼ x
M = maxD MϵD ⋀∀ xϵD:x ≼ M
Een deel van een geordende verzameling heft hoogstens één minimum (maximum).
Elke niet ledige eindige verzameling van een totaal geordende verzameling heeft een minimum en
een maximum.
WelgeordendeverzamelingEen welgeordende verzameling is een geordende verzameling waarvan elke niet‐ ledige
deelverzameling een minimum heeft.
Bovenenondergrens,begrensdeverzamelingAls D een niet‐ ledig deel is van een geordende verzameling V,≼ , dan definiëren:
g is de ondergrens van D gϵA ∧ ∀xϵD ∶g ≼ x
G is de bovengrens van D GϵA ∧ ∀xϵD ∶x ≼ G
D is begrensd D naar boven en onder begrensd is.
D is naar onder begrensd D een ondergrens bezit.
SupremumeninfimumHet supremum van D (supD) is het minimum van de verzameling van de bovengrenzen van D.
Het infimum van D (infD) is het maximum van de verzameling van de ondergrenzen van D.
Functiestudie
FunctiesEen relatie van A naar B is een functie als en slechts als elk element van A hoogstens éénmaal
voorkomt als eerste element van een koppel.
iseenfunctievanAnaarB ⇔ ∀xϵA, ∀y , y ∈ B ∶ x, y ∈ ⋀ x, y ∈ ⇒ y y
Benaming,voorstelling,notatie‐ x, y ∈ of y = x
‐ Het domein van een functie is de verzameling van alle elementen uit A die voorkomen als eerste
element van een koppel.
‐ iseenfunctievanAnaarB ⇔ ∀xϵA, ∃! y ∈ B ∶ y x ‐ x isdefunctievoorwaardevan inx
Functievoorschrift*Het expliciet voorschrift (voorbeeld: y= X²‐5)
de afhankelijke veranderlijke staat in één lid van de vergelijking en de vergelijking is opgelost naar de
afhankelijke veranderlijke.
*het impliciet voorschrift (voorbeeld: x²+y² = 16)
dit voorschrift kan meestal omgevormd worden naar een expliciet voorschrift.
*meervoudig voorschrift
hierbij worden meerdere vergelijkingen weergegeven over verschillende domeinen.
DeafbeeldingEen functie van A naar B is een afbeelding elk element van A juist eenmaal voorkomt als eerste
element van een koppel.
Een functie is een afbeelding dom = A
Een transformatie is een afbeelding van A in A.
Bij iedere functie hoort een afbeelding die we bekomen door de functie te beperken tot het
domein van de functie.
Eeninjectieofinjectieveafbeelding dom Aen∀x , x ϵA ∶ x x ⇒ x x
Er komt hoogstens 1 pijl uit A aan in elk element van B.
Eensurjectieofsurjectieveafbeelding dom Aen∀yϵB ∶ ∃xϵA ∶ y x
Er komt minstens 1 pijl uit A aan in elk element van B.
Eenbijectieofbijectieveafbeelding dom Aen∀yϵB ∶ ∃! xϵA ∶ y x
Er komt juist 1 pijl uit A in elk element uit B.
de verzameling van de afbeeldingen van A in B noteren we metB .
HetaantalafbeeldingenvanAinB.Het aantal afbeeldingen van A in B van een verzameling met n elementen in een verzameling met m
elementen =
HetaantalpermutatiesvanAHet aantal permutaties van een verzameling A met n elementen = n!
Een permutatie is een afbeelding waarbij elk element van A juist 1 keer op een element uit A
wordt afgebeeld. (= bijectie)
(notatie van permutaties lezen pag.87 en cursusbladen).
BewerkingenmetafbeeldingenDeinverserelatievaneenfunctie
Een inverse relatie van een functie is de verzameling van alle inverse koppels van .
de inverse relatie van
desamenstellingvanfuncties
de samengestelde functie van twee functies f en g is de verzameling van alle samengestelde koppels
die kunnen gevormd worden met de opeenvolgende koppels uit f en g.
we schrijven g ∘ f of lezen g na f
optellingenvermenigvuldigingvanafbeeldingen
lezen pag. 89‐90
RijenIn verzamelingen heeft de volgorde van de elementen geen belang. Willen we echter een bepaalde
volgorde aan de elementen geven, kunnen we dit doen door aan elk element een natuurlijk getal te
koppelen.
Voorbeeld:
A= {z,r,d,} {(1,r) , (2,z) , (3,d)} = een afbeelding van {1,2,3} in A
Een element van een rij heet een term. De algemene term van een rij schrijven we als a
UitbreidingtothetbegripmatrixVoorbeeld
A= {((1,1),r) , ((1,2), a) , ((2,1), q) , ((2,2), p) }
Dit is een afbeelding van {1,2} X{1,2} in A r aq p
DerekenkundigerijEn reële getallenrij is een rekenkundige rij elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door
hetzelfde reël getal op te tellen. Dit reëel getal heet het verschil van de rekenkundige rij.
a a v
a a n 1 v
Som van de eerste n termen:
Sa a
2 . n
EenmeetkundigerijEen reële getallenrij is een meetkundige rij elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door
met hetzelfde reëel getal, verschillend van 0, te vermenigvuldigen. Dit reëel getal heet de reden van
een meetkundige rij.
a a ∙ q
a a ∙ q
Som van de eerste n termen:
S aq 1q 1
. nmetq 1
KardinaalgetallenennatuurlijkegetallenGelijkmachtigeverzamelingen
Om na te gaan of twee verzameling een zelfde aantal elementen hebben kunnen we de elementen
gaan tellen. We kunnen de elementen van de twee verzamelingen ook gaan koppelen. Als we een
bijectie uitkomen hebben we een verzameling met evenveel elementen.
Twee verzamelingen met evenveel elementen zijn gelijkmachtig of equipotent.
Twee verzamelingen zijn equipotent of gelijkmachtig er een bijectie bestaat tussen ene
verzameling en de andere.
Derelatie“gelijkmachtigmet”bijverzamelingen
‐ Iedere verzameling is gelijkmachtig met zichzelf. De bijectie is hier bijvoorbeeld een identieke
permutatie.
‐ De inverse relatie van een bijectie is een bijectie
‐ De samenstelling van 2 bijecties is een bijectie
Kardinaalgetalvaneenverzameling
Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal ze gelijkmachtig zijn.
DeparadoxvanGalilei
Bij het koppelen van de verzameling van de natuurlijke getallen aan de verzameling van de
kwadraten van de natuurlijke getallen is er een bijectie hoewel er bij de verzameling van de
kwadraten elementen ontbreken. Hier spreken we van een paradox.
Deoneindigeverzameling
Een oneindige verzameling is een verzameling die equipotent is met een echt deel van zichzelf.
Denatuurlijkegetallen
Een kardinaalgetal van een verzameling is een natuurlijk getal als en slechts als de verzameling eindig
is.
# ⊄ (# aftelbaarheid)
Aftelbaarheid
# we spreken van een transfiniet kardinaalgetal.
Hetvreemdevanoneindig
Het Hilberthotel
Aftelbareoneindigeverzamelingen
Een verzameling is aftelbaar als en slechts als er een bijectie bestaat van een deel van op die
verzameling.
Orderelatiesenordeindekardinaalgetallen
#A #B ⇔ ∃C ⊂ B ∶ #A #C
RekenenmetnatuurlijkegetallenVoorstellingenvannatuurlijkegetallen
‐ Driehoeksgetallen
‐ Vierkantsgetallen
‐ …
Talstelsels
‐ Tiendelig talstelsel
‐ Binair systeem
‐ 16‐delig talstelsel
‐ …
Bewerkingenenrelatiesmetnatuurlijkegetallen
(we werken met eindige verzamelingen)
Deoptelling
Als a = #A en b = #B en A∩ B = ϕ dan a+b = # A#∪ B
Eigenschappen:
‐ de optelling in is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen.
‐ De optelling is associatief (haakjes zijn verplaatsbaar)
‐ De optelling is commutatief ( de termen mogen van plaats veranderd worden)
‐ 0 is het neutraal element
‐ De vereenvoudigingswet geldt
Deaftrekking
Is kleiner dan of gelijk aan in
Uit #A #B ⇔ ∃C ⊂ B ∶ #A #C volgt: #b a ⇔ ∃! c ∈ ∶ c b a
We definiëren de aftrekking:
a b c ⇔ c b a
De aftrekking is de inverse bewerking van de optelling.
Eigenschappen:
‐ als b > a dan bestaat a – b niet in
‐ de aftrekking is niet associatief in ∃a, b, c ∈ : a b c a b c
‐ de aftrekking is niet commutatief in ∃a, b ∈ : a b b a
‐ er bestaat geen neutraal element voor de aftrekking
devermenigvuldiging
als a #Aenb #B, dandefiniërenwehetproductvanaenbals # #
eigenschappen:
‐ de vermenigvuldiging in is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen.
∀a, bϵ : abϵ
‐ de vermenigvuldiging is commutatief in
∀a, bϵ : ab ba ‐ de vermenigvuldiging is associatief in N
∀a, b, cϵ : abc a bc
‐ 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in . (1 is het eenheidselement)
∀aϵ : 1 ∙ a a a ∙ 1 ‐ 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in
∀aϵ : a ∙ 0 0 0 ∙ a ‐ De vereenvoudigingswet geldt:
ac bcmetc 0 ⇒ a b ‐ De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in
∀a, b, cϵ : a b c ab acen b c a ba ca
Dedeling
Is een deler van in .
We noteren b I a en we lezen b is een deler van a of a is deelbaar door b of a is een veelvoud van b.
biseendelervana ⇔ ∃q ∈ : a bq
eigenschappen:
‐ 1 is een deler van elk natuurlijk getal
‐ Elk natuurlijk getal is een deler van 0
‐ Elk natuurlijk getal is een deler van zichzelf
‐ …
We definiëren: ∶ ⇔
De deling is de inverse bewerking van de vermenigvuldiging.
Opmerkingen:
‐ De deling is niet associatief
‐ de deling is niet commutatief
‐ er bestaat geen neutraal element bij de deling
deelbaarheidskenmerken
‐ een getal is deelbaar door 10 als en slechts als het laatste cijfer een 0 is.
‐ Een getal is deelbaar door 2 als en slechts als het laatste cijfer een 2,4,6,8 of 0 is.
‐ Een getal is deelbaar door 5 als en slechts als het laatste cijfer een 0 of 5 is.
‐ Lezen pag. 15‐ 18
Deelbaarheid door 11
112957 is deelbaar door 11 want:
(112957) (7+9+1) – (1+2+5)=11‐voud
17 – 8 =11
Deelbaregetallen
Een deler van een getal a is een echte deler als en slechts als de deler verschillend is van 1 en a.
Een getal heet deelbaar getal als en slechts al het echte delers heeft.
Priemgetallen
Een getal p is een priemgetal als en slechts als het getal juist 2 verschillende delers heeft.
Stellingen pag. 21
Degrootstgemeenschappelijkedelervan2natuurlijkegetallen.
d is de grootste gemeenschappelijke deler van 2 strikt positieve getallen a en b
als en slecht als
d is een gemeenschappelijke deler van a en b en elke gemeenschappelijke deler van a en b is een
deler van d.
onderlingeondeelbaregetallen
2 strikt positieve getallen a en b zijn onderling ondeelbaar als en slechts als de ggd {a,b}=1
Hetkleinstgemeenschappelijkeveelvoudvan2natuurlijkegetallen
v is het kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 2 strikt positieve natuurlijke getallen a en b
als en slechts als
v is een gemeenschappelijk veelvoud van a en b en elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b is een
veelvoud van v.
hetverbandtussenkgvenggdvantweegetallen
, ∙ ,
TelproblemenTelproblemen pag.24 kunnen oplossen (Dit hoofdstuk leren in cursus!!!)
Een convexe veelhoek is een veelhoek waarbij we een lat langs elke zijde kunnen leggen zodat de
veelhoek volledig langs 1 kant van de lat ligt.
Het aantal diagonalen van een veelhoek
#diagonalenveelhoek n 3 ∙ n
2
De som van alle natuurlijke getallen tot en met n
somvandeeerstennatuurlijkegetallen n 1 ∙ n
2
Het aantal delers van een getal a
Gegeven: a p ∙ q ∙ v
T.B.: #delersvana r 1 s 1 t 1
Bewijs: #delersvana r s t rs rt st rst 1
Eigenschappenvandebinomiaalcoëfficiënt
Eigenschap1:
np
n!p! n p !
Eigenschap 2:
n 1p
np
np 1
Eigenschap 3:
n0 1
nn
Te bewijzen
n0
n1
n2
n3 ⋯
nn 2
De driehoek van Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Hieruit kunnen we de formules afleiden voor
GehelegetallenMichaël Stifel voerde in onze streken de negatieve getallen is (0‐3) of (0‐8)…
Deverzamelingvandegehelegetallen
0 n n ⇔ n n 0metnϵ
n en (‐n) zijn tegengestelde getallen
0,1, 1,2, 2,3, 3, …
Hetkardinaalgetalvan
We construeren een bijectie van op
1 2 3 4 5 6 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓0 1 ‐1 2 ‐2 3 … # #
De gehele getallen zijn aftelbaar. (aftelbaarheid leidt naar een oneindigheid)/
Eigenschappenvandebewerkingenin
Deoptellingin
1. De optelling is overal gedefinieerd in en inwendig in
2. De optelling is associatief in
3. 0 is het neutraal element voor de optelling in
4. Ieder geheel getal heeft een tegengesteld geheel getal
5. De optelling is commutatief in
De eerste 4 eigenschappen maken van de structuur , eengroep De vijfde eigenschap maakt van de structuur , een abelse groep
Devermenigvuldigingin
1. Devermenigvuldigingisoveralgedefinieerdeninwendigin 2. Devermenigvuldigingisassociatiefin 3. 1ishetneutraalelementin 4. Devermenigvuldigingiscommutatief
Deeerste2eigenschappenmakenvandestructuur ,∙eensemigroepDederdeeigenschapmaaktvandestructuureensemigroepmeteenheidselementDevierdeeigenschapmaaktvandestructuureencommutatievesemigroepmeteenheidselement.
Hetneutraalelementvandeoptellingishetopslorpendofabsorberendelementvoordevermenigvuldiging.
Dedistributiviteitswetten
∀a, b, c ∈ : a b c ab bcen b c a bc ca
, ,∙
De eigenschap commutativiteit, de eenheidselementen en de 8 eigenschappen maken van deze
structuur een commutatieve eenheidsring.
Deelbaarheidin
Derelatie“iseendelervan”in
Dedelingisdeinversebewerkingvandevermenigvuldiging.
‐ Alsbgeendelerisvanadanbestaatdebewerkinga:bnietin .‐ Dedelingisnietassociatief‐ Dedelingisnietcommutatief‐ Erbestaatgeenneutraalelementvoordedeling
Eigenschappen
‐ 1iseendelervanelkgeheelgetal‐ ‐1iseendelervanelkgeheelgetal‐ Elkgeheelgetalisdelervanzichzelf‐ Elkgeheelgetalisdelervanzijntegengesteldgeheelgetal‐ Elktegengesteldgeheelgetalisdelervanzijngeheelgetal‐ Derelatieiseendelervanistransitiefin ‐ Eenveelvoudvaneengeheelgetalisookeenveelvoudvanhaartegengestelde‐ Eendelervan2gehelegetalleniseendelervanhunverschil‐ Eendelervaneengeheelgetalisookeendelervaniederestriktpositievegehelemacht
vandatgetal.
HetaxiomavanArchimedes
Het is steeds mogelijk een geheel getal in te sluiten door twee opeenvolgende gehele veelvouden
van een willekeurig gegeven natuurlijk getal verschillend van 0
∀b ∈ , ∀a ∈ , ∃q ∈ : qb a q 1 b
DestellingvandeEuclidischedelingin
Alsaenbgehelegetallenzijnenb>0danbestaanerjuist2gehelegetallenqenrwaarvoorgeldt:a bq ren0 r b
HetalgoritmevanEuclidesomdeggdteberekenen.
Lerenpaf35‐36
Voortweegetallenaenbena>bgeldt:
Degemeenschappelijkedelervanaenbisookgelijkaandedelervana‐veelvoudvanb=restr.Degemeenschappelijkedelervanaenbisgelijkaandegemeenschappelijkedelervanbenr.
RationalegetallenGeschiedenisvanderationalegetallen
Simon Stevin geeft het decimaaltalstelsel in de 16e eeuw bekendheid. Hij schrijft een boek waarbij hij
met zowel eenheden als tienden werkt.
Deverzamelingvanderationalegetallen
‐ Breuken
‐ Procenten
‐ ...
De verzameling van de rationale getallen wordt gedefinieerd als:
ℚ iseendelervana ∈ enb ∈ }
Hetkardinaalgetalvanℚ
Wenoterenonvereenvoudigbarebreuken:
01
0211
031221
04132231…
Desomvantellerennoemeris1,dan2,dan3,dan4,…weschrappendegelijkwaardigebreukenenbekomenvolgendebijectie:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 …↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
ℚ 0 1 ‐1 12
12
2 ‐2 13
13
…
Eigenschappenvandebewerkingeninℚ
Deoptellinginℚ
1. Deoptellingisoveralgedefinieerdeninwendiginℚ2. Deoptellingisassociatiefinℚ3. 0ishetneutraalelementinℚ4. Iederrationaalgetalheefteentegengesteldgetal5. Deoptellingiscommutatiefinℚ
Deeerste4eigenschappenmakenvandestructuurℚ, eengroep.Devijfdeeigenschapmaaktvandestructuureenabelsegroep.
Deaftrekkingb aisgedefinieerddoorb a
Devermenigvuldiginginℚ
1. Devermenigvuldigingisoveralgedefinieerdeninwendiginℚ2. Devermenigvuldigingisassociatiefinℚ3. 1ishetneutraalelementvoordevermenigvuldiginginℚ4. Iederrationaalgetalheefteenomgekeerdeinℚ 5. Devermenigvuldigingiscommutatief
Deeerste3eigenschappenmakenvandestructuurℚ,∙eengroep.delaatste3eigenschappenmakenvandestructuureenabelsegroep.
dedistributiviteitswetten
∀a, b, c ∈ ℚ: a b c ab bcen b c a bc ca
ℚ, ,∙
De structuur wordt bepaald door 11 eigenschappen.
Evenredighedenab
cdmetaenddeuiterstenenbencdemiddensten
Wenoemen en deledenvandeevenredigheid.
Lettervormeninℚ
Veeltermeninℚ
Wenotereneenveeltermals∑ a x
‐ Wekunnenveeltermenrangschikkenwerangschikkenvangrootstenaarkleinstemachtvanx
‐ Wekunnenveeltermenherleidenwetellengelijksoortigetermenop
‐ Wekunnenveeltermenvervolledigen
‐ Wekunnendegraadbepalendegraad=dehoogstemachtvanX
‐ Wekunneneencoëfficiëntenrijnoteren
ditiseenrijvanallecoëfficiënteninvolgordevangrootstenaarkleinstemachtvanx.
Eenveelterminmeerderevariabelen
Om de graad van veeltermen met meerdere variabelen te weten tellen we de machten van
variabelen per term op. De grootste som geeft de graad weer.
Ontbindeninfactoren
1. We zonderen de gemeenschappelijke factor af
2. We onderzoeken of er nog factoren kunnen worden afgesplitst.
3. We onderzoeken op merkwaardige producten
Regelvanhorner
Leren pag. 48