LogischredenerenWe vertrekken vanuit grondbegrippen en axioma’s om de logica op te bouwen 

Historischefiguren

‐ August De Morgan(19de eeuw, Engeland): grondlegger van de formele logica. 

‐ George Boole( 19de eeuw, Ierland): grondlegger formele logica. Toont aan dat de formele 

logica aan de mathematische rekenwijze kan worden onderworpen. 

‐ Aristoteles(300v.c.): bewijst dat er een systematiek in bewijzen te vinden is. 

‐ Kurt Gödel(20ste eeuw): hij beweerde dat een consistent axiomastelsel voor een groot 

deelgebied van de wiskunde steeds onvolledig is. 

Begrippen

Axioma’sofgrondbegrippen 

axioma’s of grondbegrippen zijn stellingen die niet bewezen worden maar aanvaart worden als 

waar. Verschillende samen horende axioma’s vormen een axiomastelsel. Binnen zo één 

axiomastelsel mogen er geen twee axioma’s strijdend zijn. 

Men ging opzoek naar een consistent en volledig stelsel, maar Kurt Gödel beweerde dat dit niet kon 

omdat een consistent axiomastelsel steeds voor een groot deelgebied van de wiskunde onvolledig is. 

Gödel gaat dan ook een onderscheid maken tussen “de bewering is waar” en “de bewering is 

bewijsbaar”. 

Grondbegrippen

Een grondbegrip is een begrip dat geen definitie heeft. Deze worden verbonden door uitspraken, 

axioma’s. grondbegrippen zijn nodig om andere begrippen te kunnen definiëren. 

   

Propositielogica

Grondbegrippenenaxioma’svandepropositielogica

Een propositie is een zin die aangeeft dat wat beweerd wordt waar of niet waar is. 

Degrondbegrippenvandeformelelogica

Uitspraak: een uitspraak noteren we met een kleine letter (p). Van deze uitspraak kan dat gezegd 

worden of ze waar (1) of vals (0) is. 

uitdrukkingen waarin gebruik wordt gemaakt van een variabele is geen uitspraak. 

Negatie: niet(~) 

Conjunctie:  en (Λ) 

Disjunctie: of (v) 

Implicatie: als…dan (⇒) 

Equivalentie: als en slechts als () 

Deaxioma’svandeformelelogica

1. Axioma van de uitgesloten derde en van niet‐ tegenstrijdigheid 

een uitspraak is ofwel waar, ofwel niet waar, maar niet beide tegelijk. 

2. Axioma van de negatie 

de negatie van een uitspraak p, is een uitspraak (~p) 

3. Axioma van conjunctie 

De conjunctie van een uitspraak p en q is uitspraak p en q  

   die waar als p en q waar zijn, in andere gevallen is de uitspraak vals. 

4. Axioma van de disjunctie 

de disjunctie van een uitspraak p en q is een uitspraak p OF q 

   die vals is al p en q vals zijn. In alle andere gevallen is de uitspraak waar. 

5. Axioma van de implicatie 

de implicatie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak als p… dan q...  

   die vals is al p waar is en q vals. In alles andere gevallen is de uitspraak waar. 

6. Axioma van de equivalentie 

 de equivalentie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak p als en slechts als q 

   die waar is als p en q beiden waar zijn of beiden vals. De twee andere uitspraken zijn vals. 

Dewaarheidstafels

Voor n uitspraken zijn er 2  mogelijkheden. 

Volgordevandelogischebewerkingen

~ komt voor Λ en V 

Λ en V komen voor  ⇒  en  

De andere operaties worden uitgevoerd van links naar rechts. 

Algemeneinfo (te lezen) 

‐ We gebruiken de implicatiepijl niet in onze schrijftaal. 

‐ “of” wordt in de wiskunde in haar inclusieve betekenis gebruikt. “of” betekent : p / q/p en q. 

‐ p=> q ≠ q => . we noemen de uitspraak voor de implicatie het antecedent en de uitspraak na 

de implicatie de consequens. 

Dewaarheidswaardevansamengesteldeuitspraken

‐ contradictie : alle samengestelde uitspraken zijn vals 

‐ tautologie: alle samengestelde uitspraken zijn waar. 

Logischewettenoftautologiën

Te leren pag. 15‐16!!! 

Elektronischeschakels 

(lezen pag. 17‐19) 

   

Predicatenlogica

Uitspraakvormen

Een uitspraakvorm of predikaat is een uitdrukking met veranderlijke(n) die een uitspraak wordt als 

men de verandrlijke(n) vervangt door constante(n). 

We schrijven een uitspraakvorm afhankelijk van x en noteren p(x). 

Dereferentieverzameling

De veranderlijken worden vervangen door constanten die uit een welbepaalde verzameling gekozen 

worden. Deze verzameling noemen we de referentieverzameling. 

Waarheidsverzameling

De waarheidsverzameling is de verzameling van all constanten uit de referentieverzameling waarvoor 

de waarheidsvorm of het predikaat waar is. 

Samengesteldeuitspraken

Met behulp van uitspraakvormen in eenzelfde referentieverzameling kunnen nieuwe 

uitspraakvormen gevormd worden door gebruik te maken van logische connectoren. 

Vb.: p(x) Λ q(x) 

Gekwantificeerdeuitspraken

Gekwantificeerde uitspraken zijn uitspraakvormen van de vorm p(x) in de referentieverzameling R. 

Deuniverselekwantor

∀ x ∈R geldt: p(x) 

Existentiëlekwantorofbestaanskwantor

Er bestaat ten minste één x van R waarvoor p(x) geldt. 

Uniciteitskwantor

Er bestaat juist één element van R waarvoor p(x) geldt. 

Meervoudigegekwanteerdeuitspraken

Voor alle elementen x  van X bestaat er een y uit element van Y waarvoor geldt: p(x,y). 

! 2 ongelijknamige kwantoren zijn niet verwisselbaar! 

 

Negatievaneengekwanteerdeuitspraak

“∀elementen”  “∃1 element waarvoor … niet geldt”. 

Men bekomt de negatie van een gekwanteerde uitspraak door: 

1. De alkwantor te vervangen door de bestaanskwantor of omgekeerd. 

2. De uitspraakvorm te vervangen door zijn negatie. 

Verklaringen

Lees pag. 28‐29 

Conjunctiesendisjunctievangekwanteerdeuitspraken

Zie pag. 29‐30 

   

Wiskundigetheorie

Begrippenenstellingen

Wiskunde is een geheel van theorieën (algebra, meetkunde, analyse,…) 

Grondbegrippen zijn primitieve begrippen die niet gedefinieerd worden.  

Ware uitspraken die een verband uitdrukken tussen begrippen van een theorie noemen we 

eigenschappen of stellingen. 

Grondstellingen of axioma’s zijn primitieve stellingen die niet meer bewezen kunnen worden. 

Definiëren

Een definitie is een uitspraak over dat begrip equivalent verklaren met een uitspraak of reeds 

bekende begrippen van de theorie. 

Een definitie is wordt voor een begrip dat voor het eerst in een theorie ondubbelzinnig omschreven 

wordt. 

Bewijzen

Een eigenschap bewijzen is haar waarheid aantonen door logische wetten toe te passen op de 

axioma’s en op de op dat ogenblik gekende definities en bewezen eigenschappen. 

Soorteneigenschappen

Een eigenschap is een uitspraak die te schrijven is als een implicatie. 

Een kenmerk of criterium is een eigenschap die als equivalent geschreven kan worden. 

Soortenbewijzen

‐ Rechtstreeks bewijs 

‐ Bewijs door contrapositie 

‐ Bewijs door inductie 

‐ Bewijs uit het ongerijmde 

‐ Bewijs van een existentiestelling 

Bewijsuithetongerijmde

Het bewijs uit het ongerijmde steunt op de logische wet van de contrapositie en op het axioma van 

de uitgesloten derde. 

We vertrekken van de negatie van wat bewezen moet worden. 

Eisenwaaraaneenaxiomastelselmoetvoldoen

Een axiomastelsel mag niet contradictorisch zijn. De verschillende axioma’s mogen niet 

tegenstrijdig zijn. 

De axioma’s moet onafhankelijk zijn van elkaar. 

Logicainhetwiskundeonderwijs

Lezen pag. 37‐38   

Deverzamelingenleer

Hetbegripverzameling

Een verzameling is een collectie van goed onderscheiden objecten die voldoen aan een bepaalde 

eigenschap. Hieruit volgt dat de elementen van een verzameling onderling verschillen en dat de 

volgorde van de elementen geen belang heeft. 

George Cantor (einde 19de eeuw) is de grondlegger van de verzamelingenleer. 

Het begrip verzameling werd door B. Russell is in twijfel getrokken door de paradox van de barbier te 

formuleren: R is dan en slechts dan een element van R als R geen element is van R. 

Klasse

Een klasse is een primitief begrip dat met het intuïtieve idee “collectie van objecten correspondeert. 

Axioma’s bepalen het gedrag van klassen. 

Verzameling

Een verzameling wordt per definitie een klasse die zelf element is van een andere klasse en geen 

element is van zichzelf. De verzameling is een bijzondere klasse. 

In de paradox van Russell is R een klasse en geen verzameling. 

Algemeenhedenoververzamelingen

Elementen van een verzameling worden vastgelegd door: 

‐ Opsomming van deze elementen 

‐ Omschrijving van deze elementen 

Voorstellen van een verzameling: 

‐ Aan de hand van een Venndiagram . (= een gesloten kromme waarbinnen de elementen met 

een punt worden voorgesteld) 

(het Venndiagram werd in in 1880 door J. Venn geïntroduceerd). 

Notaties

1. T={x І x is een letter van het woord “appel” } 

ieder element wordt slechts éénmaal gebruikt in de voorstelling. T = {a, p, e, l} 

2. Gehele getallen = {0, ‐1, 1, ‐2, 2, …} 

de verzameling van de gehele getallen is een oneindige verzameling. 

3. Referentieverzameling R van een uitspraak wordt soms voorgesteld voor een rechthoek. 

4. Een singleton is een verzameling met slechts 1 element. A = {4} 

5. De ledige verzameling kan op veel manieren worden voorgesteld. 

Ø = {  }  , Ø = {x is een natuurlijk getal  l  2 < x < 3 } 

6. Een paar is een verzameling met juist 2 elementen. P = {4,9} 

 

Relatiestussenverzameling

Degelijkeverzameling

‐ Twee verzamelingen zijn gelijk als en slechts als ze de zelfde elementen hebben. 

‐ (A = B )  (∀ x : x Є  A  x Є B ) 

‐  wordt een “equivalentieteken genoemd. 

Dedeelverzamelingvaneenverzameling

‐ Een deelverzameling B is een deel van verzameling 4 als en slechts als elk element van B een 

element van A is. 

‐ (B ⊂ A)  ( ∀ x : x Є B => x Є A ) ‐ => wordt een “ implicatieteken” genoemd. 

‐ B A⊂   “ B is een echte deelverzameling van A. (B ≠ A)” 

Dereferentieverzameling

De referentie verzameling is de verzameling van alle objecten die men bestudeert. Deze verzameling 

wordt vaak niet expliciet genoemd. 

        R 

 

 

 

Criteriumvangelijkeverzamelingen

Kenmerk :  A B ⇔ A ⊂ BΛB ⊂ A  

Bewijs pag. 49 

Delenverzamelingvaneenverzameling

Een delenverzameling van een verzameling A is de verzameling van alle delen van A. 

D A ( de delenverzameling van A) 

in symbolen: D A = {X I X ⊂ A} 

voorbeeld: A = {1,2}  ,  D A= {   Ø, {1} , {2} , {1,2}   } 

eigenschap1

B ⊂ A ⇔ DA ⊂ DB 

In woorden: het bewijs van een equivalentie kan gebeuren in 2 delen. 

Bewijs pag.51‐52 

   

 

. 

Eigenschap2

Een eindige verzameling met n elementen (n behoort tot de verzameling van de natuurlijke getallen) 

heeft   deelverzamelingen 

(bewijs door inductie pag. 53) 

Debegrippenpaarenkoppel

*Een paar is een verzameling van 2 elementen. 

A = {4,9}={9,4} 

*Een koppel heeft een oorsprong en een uiteinde en is een geordend paar. 

A = (5,9)≠(9,5) 

Een identiek koppel is een koppel met zelfde oorsprong en uiteinde. 

Een invers koppel is een koppel waarbij oorsprong en uiteinde zijn verwisseld 

a, b b, a  

Opeenvolgende koppels zijn koppel waarvan het uiteinde van het ene koppel de oorsprong is van 

het volgende koppel. 

(a,b) en (b,c) zijn opeenvolgende koppels. 

Samen gestelde koppels zijn koppels die de oorsprong van het ene koppel bevatten en het 

uiteinde van het opeenvolgend koppel. 

(a,c) is een samengesteld koppel van (a,b) en (b,c) 

bewerkingenvanverzamelingen

hetcomplementvaneenverzamelingAt.o.v.eenreferentieverzamelingR

het complement van een verzameling A t.o.v. een referentieverzameling R is de verzameling van alle 

elementen van R die niet tot A behoren. 

  R 

 

 

  Co(A) 

 

 

 

Voorbeeld: P is de verzameling van alle priemgetallen. Het complement van P zijn alle natuurlijke 

getallen die geen priemgetallen zijn. 

Dedoorsnedevaneenverzameling

De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren. 

A ∩ B 

   

 

A   

Deunievanverzamelingen

De unie van A en B is de verzameling van elementen die tot A of tot B behoren. 

A ∪ B 

Verbandmetdelogica

De logische connectoren zijn terug te vinden in de 3 bovenstaande bewerkingen. We kunnen alle 

uitspraken uit de verzamelingenleer terugvoeren naar logica‐ uitdrukkingen. 

DeaftrekkingvanAenB

Het verschil van de verzameling A en B is de verzameling van alle elementen die tot A behoren en 

niet tot B behoren. 

A \B 

HetsymmetrischeverschilvanAenB

Het symmetrische verschil van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B 

behoren, maar niet tot beiden. 

A∆B A ∪ B \ A ∩ B  

HetproductvanAenB

Het product van A en B is de verzameling van alle koppels waarvan het beginelement tot A behoort 

en het eindelement tot B behoort. 

A X B = {(x,y) І x Є A Λ y Є B} 

Als A  n elementen heeft en B  m elementen heeft, van bevat A X B   n∙m  elementen. 

Eigenschappenvandebewerkingenenderelatiesmetverzamelingen

Leren pag. 62‐63 

Partitievaneenverzameling

Een partitie van A is een verzameling van niet‐ledige deelverzamelingen van A met als eigenschap 

dat ieder element van A tot juist één van deze deelverzamelingen behoort. 

Voorbeeld: de restklassen. 

een partitie van   = { 5 ,  5  +1,  5  +2,  5  +3,  5  +4} =  O 1 2 3 4  

‐ De unie van al deze delen van de partitie is de verzameling zelf. 

‐ Twee elementen van een partitie zijn steeds disjunct. (= 2 delen zijn gescheiden) 

 

AlgemeenhedenoverrelatiesEen relatie r van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling van koppels met 

beginelement in A en eindelement in B. 

Een relatie is dus een deel van de productverzameling A X B 

 r ⊂ A B 

Relaties kunnen worden voorgesteld in een Venndiagram, een pijlenvoorstelling of een 

roostervoorstelling. 

Een relatie r in A wordt bepaald door opsomming van de koppels of door omschrijving van de 

koppels. Deze omschrijving is een verband tussen begin‐ en eindelement, het relatievoorschrift 

genoemd. 

Voorbeelden: is een veelvoud van, is gelijk aan, is kleiner dan,… 

Het relatievoorschrift van een relatie r in A² is een uitspraakvorm in 2 variabelen p(x,y). x is hierin de 

onafhankelijk veranderlijke en y is de afhankelijk veranderlijke. 

 r x, y ∈ A waarvoorgeldtp x, y  

r is de identieke permutatie, dit is de verzameling van alle koppels waarvan oorsprong en uiteinde 

gelijk zijn. 

   

Relatiesineenverzameling

SorterenEen equivalentierelatie is een relatie die ervoor zorgt dat de elementen gesorteerd worden. 

elementen van eenzelfde soort horen samen in één deelverzameling of equivalentieklasse. 

EquivalentierelatieEen equivalentierelatie r in A is een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is in A. 

ReflexiviteitR is reflexief in A  ∀aϵA: a, a ϵA 

Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling 

Symmetrier is symmetrisch in A  ∀a, bϵA: a, b ϵr ⇒ b, a ϵr 

Als een koppel (a,b) tot de relatie behoort dan behoort het omgekeerde koppel ook tot de relatie. 

Transitiviteitr is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr 

als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot 

de relatie. 

Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling 

van alle elementen die met a in relatie staan. 

Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. 

De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A. 

 

OrderelatieEen orderelatie r in A is een relatie die reflexief, anti‐ symmetrisch en transitief is. 

ReflexiviteitR is reflexief in A  ∀aϵA: a, a ϵA 

Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling 

Anti‐symmetrischr is anti‐ symmetrisch in A  ∀a, bϵA: a, b ϵr⋀ b, a ϵr ⇒ a b 

identieke koppels mogen wel voorkomen. 

Transitiviteitr is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr 

als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot 

de relatie. 

Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling 

van alle elementen die met a in relatie staan. 

Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. 

De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A. 

   

StrikteordeEen strikte orde r in A is een relatie die anti‐ reflexief, anti‐ symmetrisch en transitief is in A. 

r is antireflexief in A  ∀aϵA: a, a ∉ r 

Alle identieke koppels behoren niet tot de relatie. 

Anti‐symmetrischr is anti‐ symmetrisch in A  ∀a, bϵA: a, b ϵr⋀ b, a ϵr ⇒ a b 

identieke koppels mogen wel voorkomen. 

Transitiviteitr is transitief in A ∀a, b, cϵA: a, b ϵr⋀ b, c ϵr ⇒ a, c ϵr 

als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot 

de relatie. 

Als aϵA en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling 

van alle elementen die met a in relatie staan. 

Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. 

De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A. 

   

GeordendeverzamelingenEen geordende verzameling A is een verzameling waarin een orderelatie is gedefinieerd. 

A is een geordende relatie  A,≼ 

Een geordende verzameling A,≼ is totaal geordend als en slechts als ∀a, bϵA: a ≼ bofb ≼ a. 

Een geordende verzameling A,≼ is partieel geordend als en slechts als ze niet totaal geordend is. 

Maximum,minimumvaneengeordendeverzamelingAls D een niet‐ ledig deel is van V,≼ , dan definiëren we de begrippen maximum en minimum van D 

we noteren maxD en minD. 

m = minD  mϵD ⋀∀ xϵD:m ≼ x 

M = maxD  MϵD ⋀∀ xϵD:x ≼ M 

Een deel van een geordende verzameling heft hoogstens één minimum (maximum). 

Elke niet ledige eindige verzameling van een totaal geordende verzameling heeft een minimum en 

een maximum. 

WelgeordendeverzamelingEen welgeordende verzameling is een geordende verzameling waarvan elke niet‐ ledige 

deelverzameling een minimum heeft. 

Bovenenondergrens,begrensdeverzamelingAls D een niet‐ ledig deel is van een geordende verzameling  V,≼ , dan definiëren: 

g is de ondergrens van D   gϵA ∧ ∀xϵD ∶g ≼ x 

G is de bovengrens van D GϵA ∧ ∀xϵD ∶x ≼ G 

D is begrensd  D naar boven en onder begrensd is. 

D is naar onder begrensd  D een ondergrens bezit. 

SupremumeninfimumHet supremum van D (supD) is het minimum van de verzameling van de bovengrenzen van D. 

Het infimum van D (infD) is het maximum van de verzameling van de ondergrenzen van D. 

   

Functiestudie

FunctiesEen relatie  van A naar B is een functie als en slechts als elk element van A hoogstens éénmaal 

voorkomt als eerste element van een koppel. 

iseenfunctievanAnaarB ⇔ ∀xϵA, ∀y , y ∈ B ∶ x, y ∈ ⋀ x, y ∈ ⇒ y y  

Benaming,voorstelling,notatie‐ x, y ∈   of y =  x  

‐ Het domein van een functie is de verzameling van alle elementen uit A die voorkomen als eerste 

element van een koppel. 

‐ iseenfunctievanAnaarB ⇔ ∀xϵA, ∃! y ∈ B ∶ y x  ‐ x isdefunctievoorwaardevan inx 

Functievoorschrift*Het expliciet voorschrift  (voorbeeld:  y= X²‐5) 

de afhankelijke veranderlijke staat in één lid van de vergelijking en de vergelijking is opgelost naar de 

afhankelijke veranderlijke. 

*het impliciet voorschrift (voorbeeld: x²+y² = 16) 

dit voorschrift kan meestal omgevormd worden naar een expliciet voorschrift. 

*meervoudig voorschrift 

hierbij worden meerdere vergelijkingen weergegeven over verschillende domeinen. 

   

DeafbeeldingEen functie  van A naar B is een afbeelding  elk element van A juist eenmaal voorkomt als eerste 

element van een koppel. 

Een functie   is een afbeelding  dom = A 

Een transformatie is een afbeelding van A in A. 

Bij iedere functie hoort een afbeelding die we bekomen door de functie te beperken tot het 

domein van de functie. 

Eeninjectieofinjectieveafbeelding   dom  Aen∀x , x ϵA ∶ x x ⇒ x x  

Er komt hoogstens 1 pijl uit A aan in elk element van B. 

Eensurjectieofsurjectieveafbeelding   dom  Aen∀yϵB ∶ ∃xϵA ∶ y x  

Er komt minstens 1 pijl uit A aan in elk element van B. 

Eenbijectieofbijectieveafbeelding   dom  Aen∀yϵB ∶ ∃! xϵA ∶ y x  

Er komt juist 1 pijl uit A in elk element uit B. 

de verzameling van de afbeeldingen van A in B noteren we metB . 

HetaantalafbeeldingenvanAinB.Het aantal afbeeldingen van A in B van een verzameling met n elementen in een verzameling met m 

elementen =   

HetaantalpermutatiesvanAHet aantal permutaties van een verzameling A met n elementen = n! 

Een permutatie is een afbeelding waarbij elk element van A juist 1 keer op een element uit A 

wordt afgebeeld. (= bijectie) 

(notatie van permutaties lezen pag.87 en cursusbladen). 

   

BewerkingenmetafbeeldingenDeinverserelatievaneenfunctie

Een inverse relatie van een functie   is de verzameling van alle inverse koppels van  . 

de inverse relatie van   

desamenstellingvanfuncties

de samengestelde functie van twee functies f en g is de verzameling van alle samengestelde koppels 

die kunnen gevormd worden met de opeenvolgende koppels uit f en g. 

we schrijven  g ∘ f   of lezen g na f 

optellingenvermenigvuldigingvanafbeeldingen

lezen pag. 89‐90 

RijenIn verzamelingen heeft de volgorde van de elementen geen belang. Willen we echter een bepaalde 

volgorde aan de elementen geven, kunnen we dit doen door aan elk element een natuurlijk getal te 

koppelen. 

Voorbeeld: 

A= {z,r,d,}      {(1,r) , (2,z) , (3,d)}    =  een afbeelding van {1,2,3} in A 

Een element van een rij heet een term. De algemene term van een rij schrijven we als a  

UitbreidingtothetbegripmatrixVoorbeeld 

A= {((1,1),r)   , ((1,2), a)  , ((2,1), q)   , ((2,2), p) } 

Dit is een afbeelding van {1,2} X{1,2} in A   r aq p  

DerekenkundigerijEn reële getallenrij is een rekenkundige rij  elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door 

hetzelfde reël getal op te tellen. Dit reëel getal heet het verschil van de rekenkundige rij. 

a a v    

a a n 1 v 

Som van de eerste n termen: 

Sa a

2 . n 

   

EenmeetkundigerijEen reële getallenrij is een meetkundige rij  elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door 

met hetzelfde reëel getal, verschillend van 0, te vermenigvuldigen. Dit reëel getal heet de reden van 

een meetkundige rij. 

a a ∙ q    

a a ∙ q  

Som van de eerste n termen: 

S aq 1q 1

. nmetq 1 

 

 

KardinaalgetallenennatuurlijkegetallenGelijkmachtigeverzamelingen

Om na te gaan of twee verzameling een zelfde aantal elementen hebben kunnen we de elementen 

gaan tellen. We kunnen de elementen van de twee verzamelingen ook gaan koppelen. Als we een 

bijectie uitkomen hebben we een verzameling met evenveel elementen. 

Twee verzamelingen met evenveel elementen zijn gelijkmachtig of equipotent. 

 Twee verzamelingen zijn equipotent of gelijkmachtig  er een bijectie bestaat tussen ene 

verzameling en de andere. 

Derelatie“gelijkmachtigmet”bijverzamelingen

‐ Iedere verzameling is gelijkmachtig met zichzelf. De bijectie is hier bijvoorbeeld een identieke 

permutatie. 

‐ De inverse relatie van een bijectie is een bijectie 

‐ De samenstelling van 2 bijecties is een bijectie 

Kardinaalgetalvaneenverzameling

Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal  ze gelijkmachtig zijn. 

DeparadoxvanGalilei

Bij het koppelen van de verzameling van de natuurlijke getallen aan de verzameling van de 

kwadraten van de natuurlijke getallen is er een bijectie hoewel er bij de verzameling van de 

kwadraten elementen ontbreken. Hier spreken we van een paradox. 

Deoneindigeverzameling

Een oneindige verzameling is een verzameling die equipotent is met een echt deel van zichzelf. 

Denatuurlijkegetallen

Een kardinaalgetal van een verzameling is een natuurlijk getal als en slechts als de verzameling eindig 

is. 

# ⊄     (#  aftelbaarheid) 

Aftelbaarheid

#  we spreken van een transfiniet kardinaalgetal. 

   

Hetvreemdevanoneindig

Het Hilberthotel 

Aftelbareoneindigeverzamelingen

Een verzameling is aftelbaar als en slechts als er een bijectie bestaat van een deel van   op die 

verzameling. 

Orderelatiesenordeindekardinaalgetallen

#A #B ⇔ ∃C ⊂ B ∶ #A #C 

   

RekenenmetnatuurlijkegetallenVoorstellingenvannatuurlijkegetallen

‐ Driehoeksgetallen 

‐ Vierkantsgetallen 

‐ … 

Talstelsels

‐ Tiendelig talstelsel 

‐ Binair systeem 

‐ 16‐delig talstelsel 

‐ … 

Bewerkingenenrelatiesmetnatuurlijkegetallen

(we werken met eindige verzamelingen) 

Deoptelling

Als a = #A en b = #B en A∩ B = ϕ  dan a+b = # A#∪ B 

Eigenschappen: 

‐ de optelling in  is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen. 

‐ De optelling is associatief (haakjes zijn verplaatsbaar) 

‐ De optelling is commutatief ( de termen mogen van plaats veranderd worden) 

‐ 0 is het neutraal element 

‐ De vereenvoudigingswet geldt 

Deaftrekking

Is kleiner dan of gelijk aan in   

Uit  #A #B ⇔ ∃C ⊂ B ∶ #A #C  volgt:  #b a ⇔ ∃! c ∈ ∶ c b a 

We definiëren de aftrekking: 

a b c ⇔ c b a 

De aftrekking is de inverse bewerking van de optelling. 

Eigenschappen: 

‐ als b > a dan bestaat a – b niet in   

‐ de aftrekking is niet associatief in       ∃a, b, c ∈ : a b c a b c  

‐ de aftrekking is niet commutatief in      ∃a, b ∈ : a b b a  

‐ er bestaat geen neutraal element voor de aftrekking   

devermenigvuldiging

als a #Aenb #B, dandefiniërenwehetproductvanaenbals # #  

eigenschappen: 

‐ de vermenigvuldiging in   is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen. 

∀a, bϵ : abϵ  

‐ de vermenigvuldiging is commutatief in   

∀a, bϵ : ab ba ‐ de vermenigvuldiging is associatief in N

∀a, b, cϵ : abc a bc  

‐ 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in  . (1 is het eenheidselement) 

∀aϵ : 1 ∙ a a a ∙ 1 ‐ 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in   

∀aϵ : a ∙ 0 0 0 ∙ a ‐ De vereenvoudigingswet geldt: 

ac bcmetc 0 ⇒ a b ‐ De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in   

∀a, b, cϵ : a b c ab acen b c a ba ca 

Dedeling

Is een deler van in  . 

We noteren b I a en we lezen b is een deler van a of a is deelbaar door b of a is een veelvoud van b. 

biseendelervana ⇔ ∃q ∈ : a bq 

eigenschappen: 

‐ 1 is een deler van elk natuurlijk getal 

‐ Elk natuurlijk getal is een deler van 0 

‐ Elk natuurlijk getal is een deler van zichzelf 

‐ … 

We definiëren: ∶ ⇔  

De deling is de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. 

Opmerkingen: 

‐ De deling is niet associatief 

‐ de deling is niet commutatief 

‐ er bestaat geen neutraal element bij de deling 

deelbaarheidskenmerken

‐ een getal is deelbaar door 10 als en slechts als het laatste cijfer een 0 is. 

‐ Een getal is deelbaar door 2 als en slechts als het laatste cijfer een 2,4,6,8 of 0 is. 

‐ Een getal is deelbaar door 5 als en slechts als het laatste cijfer een 0 of 5 is. 

‐ Lezen pag. 15‐ 18 

Deelbaarheid door 11 

112957 is deelbaar door 11 want: 

(112957)  (7+9+1) – (1+2+5)=11‐voud 

  17  –  8   =11 

Deelbaregetallen

Een deler van een getal a is een echte deler als en slechts als de deler verschillend is van 1 en a. 

Een getal heet deelbaar getal als en slechts al het echte delers heeft. 

Priemgetallen

Een getal p is een priemgetal als en slechts als het getal juist 2 verschillende delers heeft. 

Stellingen pag. 21 

Degrootstgemeenschappelijkedelervan2natuurlijkegetallen.

d is de grootste gemeenschappelijke deler van 2 strikt positieve getallen a en b  

als en slecht als 

d is een gemeenschappelijke deler van a en b en elke gemeenschappelijke deler van a en b is een 

deler van d. 

onderlingeondeelbaregetallen

2 strikt positieve getallen a en b zijn onderling ondeelbaar als en slechts als de ggd {a,b}=1 

Hetkleinstgemeenschappelijkeveelvoudvan2natuurlijkegetallen

v is het kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 2 strikt positieve natuurlijke getallen a en b 

  als en slechts als 

v is een gemeenschappelijk veelvoud van a en b en elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b is een 

veelvoud van v. 

hetverbandtussenkgvenggdvantweegetallen

, ∙ ,  

   

TelproblemenTelproblemen pag.24 kunnen oplossen (Dit hoofdstuk leren in cursus!!!) 

Een convexe veelhoek is een veelhoek waarbij we een lat langs elke zijde kunnen leggen zodat de 

veelhoek volledig langs 1 kant van de lat ligt. 

Het aantal diagonalen van een veelhoek 

#diagonalenveelhoek n 3 ∙ n

2 

De som van alle natuurlijke getallen tot en met n 

somvandeeerstennatuurlijkegetallen n 1 ∙ n

2 

Het aantal delers van een getal a 

Gegeven:   a p ∙ q ∙ v  

T.B.:    #delersvana r 1 s 1 t 1  

Bewijs:    #delersvana r s t rs rt st rst 1 

 

Eigenschappenvandebinomiaalcoëfficiënt

Eigenschap1:

np

n!p! n p !

 

Eigenschap 2: 

n 1p

np

np 1  

Eigenschap 3: 

n0 1

nn  

Te bewijzen 

n0

n1

n2

n3 ⋯

nn 2  

De driehoek van Pascal 

1           

1  1         

1  2  1       

1  3  3  1     1  4  6  4  1   1  5  10  10  5  1             Hieruit kunnen we de formules afleiden voor   

   

GehelegetallenMichaël Stifel voerde in onze streken de negatieve getallen is (0‐3) of (0‐8)… 

Deverzamelingvandegehelegetallen

0 n n ⇔ n n 0metnϵ  

n en (‐n) zijn tegengestelde getallen 

0,1, 1,2, 2,3, 3, …  

Hetkardinaalgetalvan

We construeren een bijectie van  op  

1  2  3  4  5  6  … ↓  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓0  1  ‐1  2  ‐2  3  … # #  

De gehele getallen zijn aftelbaar. (aftelbaarheid leidt naar een oneindigheid)/ 

Eigenschappenvandebewerkingenin

Deoptellingin

1. De optelling is overal gedefinieerd in en inwendig in   

2. De optelling is associatief in   

3. 0 is het neutraal element voor de optelling in   

4. Ieder geheel getal heeft een tegengesteld geheel getal  

5. De optelling is commutatief in   

De eerste 4 eigenschappen maken van de structuur  , eengroep De vijfde eigenschap maakt van de structuur  ,   een abelse groep  

Devermenigvuldigingin

1. Devermenigvuldigingisoveralgedefinieerdeninwendigin 2. Devermenigvuldigingisassociatiefin 3. 1ishetneutraalelementin 4. Devermenigvuldigingiscommutatief

Deeerste2eigenschappenmakenvandestructuur ,∙eensemigroepDederdeeigenschapmaaktvandestructuureensemigroepmeteenheidselementDevierdeeigenschapmaaktvandestructuureencommutatievesemigroepmeteenheidselement.

Hetneutraalelementvandeoptellingishetopslorpendofabsorberendelementvoordevermenigvuldiging.

Dedistributiviteitswetten

∀a, b, c ∈ : a b c ab bcen b c a bc ca 

, ,∙  

De eigenschap commutativiteit, de eenheidselementen en de 8 eigenschappen maken van deze 

structuur een commutatieve eenheidsring. 

Deelbaarheidin

Derelatie“iseendelervan”in

Dedelingisdeinversebewerkingvandevermenigvuldiging.

‐ Alsbgeendelerisvanadanbestaatdebewerkinga:bnietin .‐ Dedelingisnietassociatief‐ Dedelingisnietcommutatief‐ Erbestaatgeenneutraalelementvoordedeling

Eigenschappen

‐ 1iseendelervanelkgeheelgetal‐ ‐1iseendelervanelkgeheelgetal‐ Elkgeheelgetalisdelervanzichzelf‐ Elkgeheelgetalisdelervanzijntegengesteldgeheelgetal‐ Elktegengesteldgeheelgetalisdelervanzijngeheelgetal‐ Derelatieiseendelervanistransitiefin ‐ Eenveelvoudvaneengeheelgetalisookeenveelvoudvanhaartegengestelde‐ Eendelervan2gehelegetalleniseendelervanhunverschil‐ Eendelervaneengeheelgetalisookeendelervaniederestriktpositievegehelemacht

vandatgetal.

HetaxiomavanArchimedes

Het is steeds mogelijk een geheel getal in te sluiten door twee opeenvolgende gehele veelvouden 

van een willekeurig gegeven natuurlijk getal verschillend van 0 

∀b ∈ , ∀a ∈ , ∃q ∈ : qb a q 1 b 

DestellingvandeEuclidischedelingin

Alsaenbgehelegetallenzijnenb>0danbestaanerjuist2gehelegetallenqenrwaarvoorgeldt:a bq ren0 r b

 

HetalgoritmevanEuclidesomdeggdteberekenen.

Lerenpaf35‐36

Voortweegetallenaenbena>bgeldt:

Degemeenschappelijkedelervanaenbisookgelijkaandedelervana‐veelvoudvanb=restr.Degemeenschappelijkedelervanaenbisgelijkaandegemeenschappelijkedelervanbenr.

RationalegetallenGeschiedenisvanderationalegetallen

Simon Stevin geeft het decimaaltalstelsel in de 16e eeuw bekendheid. Hij schrijft een boek waarbij hij 

met zowel eenheden als tienden werkt. 

Deverzamelingvanderationalegetallen

‐ Breuken 

‐ Procenten 

‐ ... 

De verzameling van de rationale getallen wordt gedefinieerd als: 

ℚ iseendelervana ∈ enb ∈ } 

Hetkardinaalgetalvanℚ

Wenoterenonvereenvoudigbarebreuken:

01

0211

031221

04132231…

Desomvantellerennoemeris1,dan2,dan3,dan4,…weschrappendegelijkwaardigebreukenenbekomenvolgendebijectie:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 …↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

ℚ 0 1 ‐1 12

12

2 ‐2 13

13

…

Eigenschappenvandebewerkingeninℚ

Deoptellinginℚ

1. Deoptellingisoveralgedefinieerdeninwendiginℚ2. Deoptellingisassociatiefinℚ3. 0ishetneutraalelementinℚ4. Iederrationaalgetalheefteentegengesteldgetal5. Deoptellingiscommutatiefinℚ

Deeerste4eigenschappenmakenvandestructuurℚ, eengroep.Devijfdeeigenschapmaaktvandestructuureenabelsegroep.

Deaftrekkingb aisgedefinieerddoorb a

Devermenigvuldiginginℚ

1. Devermenigvuldigingisoveralgedefinieerdeninwendiginℚ2. Devermenigvuldigingisassociatiefinℚ3. 1ishetneutraalelementvoordevermenigvuldiginginℚ4. Iederrationaalgetalheefteenomgekeerdeinℚ 5. Devermenigvuldigingiscommutatief

Deeerste3eigenschappenmakenvandestructuurℚ,∙eengroep.delaatste3eigenschappenmakenvandestructuureenabelsegroep.

dedistributiviteitswetten

∀a, b, c ∈ ℚ: a b c ab bcen b c a bc ca 

ℚ, ,∙

De structuur wordt bepaald door 11 eigenschappen. 

Evenredighedenab

cdmetaenddeuiterstenenbencdemiddensten

Wenoemen en deledenvandeevenredigheid.

   

Lettervormeninℚ

Veeltermeninℚ

Wenotereneenveeltermals∑ a x

‐ Wekunnenveeltermenrangschikkenwerangschikkenvangrootstenaarkleinstemachtvanx

‐ Wekunnenveeltermenherleidenwetellengelijksoortigetermenop

‐ Wekunnenveeltermenvervolledigen

‐ Wekunnendegraadbepalendegraad=dehoogstemachtvanX

‐ Wekunneneencoëfficiëntenrijnoteren

ditiseenrijvanallecoëfficiënteninvolgordevangrootstenaarkleinstemachtvanx.

Eenveelterminmeerderevariabelen

Om de graad van veeltermen met meerdere variabelen te weten tellen we de machten van 

variabelen per term op. De grootste som geeft de graad weer. 

Ontbindeninfactoren

1. We zonderen de gemeenschappelijke factor af 

2. We onderzoeken of er nog factoren kunnen worden afgesplitst. 

3. We onderzoeken op merkwaardige producten 

Regelvanhorner

Leren pag. 48