Wiskunde voor wetenschappers - cage.ugent.becage.ugent.be/~bs/VakantiecursusWiskunde2012.pdf · te...

Vakantiecursus

Wiskunde voor wetenschappers

Motivatie

Wiskunde. In het secundair onderwijs worden van geen enkel vak meer lesuren gegeven danvan wiskunde. Sommigen kunnen wiskunde erg apprecieren en anderen gruwen ervan – inhet ergste geval zijn ze er ook nog eens fier op dat ze er geen snars van begrepen.

Nochtans is wiskunde alomtegenwoordig en laten heel wat fysische, chemische en biologischeprocessen zich beschrijven in een wiskundig formalisme. Meer zelfs, wiskunde ontkennenblijkt onmogelijk in elke wetenschap die een niveau van exactheid heeft bereikt.Wikipedia definieert wiskunde als de studie van kwantiteit, structuur, ruimte en verandering,in haar meest abstracte vorm. Als het nu gaat om het modelleren van insectenpopulaties doordifferentiaalvergelijkingen of beschrijven van plaatsen op de aardbol met boldriehoeksmeet-kunde, wetenschappers kunnen zich bedienen van het abstracte framework dat wiskundigenooit gebouwd hebben, soms eeuwen tevoren.Bovendien staat de wiskunde zelf voortdurend in wisselwerking met andere wetenschappen:concrete wetenschappelijke problemen stimuleren het fundamenteel wiskundig onderzoek,maar ook recente wiskundige ontwikkelingen stuwen de wetenschap, denk maar aan nieuwetechnieken in de artificiele intelligentie die voor doorbraken zorgen in het DNA-onderzoek.

Er is echter nog een reden om wiskunde niet uit het curriculum van de wetenschapper teschrappen, misschien zelfs nog belangrijker dan het gebruik van wiskunde in de wetenschap.Een wetenschapper moet namelijk een intu¨tie ontwikkelen over kwantiteit. Zeker als mencijfermateriaal onderzoekt, wat in vrijwel alle empirische wetenschappen het geval is, is eengoed gevoel voor hoeveelheid erg belangrijk. Op het zicht grootteordes kunnen inschatten,tijden of snelheden gokken op basis van gegevens of intu¨tief lineaire, exponentiele of loga-ritmische verbanden vermoeden, het zijn vruchtbare wetenschappelijke competenties die paskunnen verworven worden eens men de wiskundige wortels ervan als automatismen beheerst.

Een laatste motivatie voor wiskunde voor wetenschappers is dat het een algemeen vormendediscipline is die traint in het logisch nadenken en abstract redeneren. Het krijgen van inzichtin nieuwe problemen door er een bekende structuur in te identificeren of het analyserenvan ingewikkelde informatie door de essentie te herkennen en die op een abstracte manierte behandelen, het gaat beter als men met dat logisch nadenken en abstract redenerenvertrouwd is.

Wiskunde zelf is een interessante discipline, waarin wiskundigen patronen zoeken, vermoe-dens formuleren en stellingen bewijzen. Hoewel bijzonder intrigerend soms, gaan we de zuiverwiskundige toer niet op en laten we de precieze onderbouw van de concepten wat in het vage.Veel van het rigoureuze formalisme dat achter elk van de concepten in deze vakantiecursusschuilgaat, hebben we verdoezeld om de vlotte begrijpbaarheid te verbeteren. Bovendienhebben we geprobeerd ons te beperken tot de essentiele basiswiskunde uit het middelbaardie wetenschappers nodig hebben.

Bert SeghersVakgroep Wiskunde

Vakantiecursus Wiskunde, hoofdstuk 0 1

Inhoudsopgave

0 Logica en verzamelingenleer 5

0.1 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.1.1 Propositielogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.1.2 Predikaatlogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.1.3 Vrije en gebonden variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.2 Verzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.3 Respect voor wiskundige objecten: een ode aan begrip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Rekenkunde 11

1.1 Getallenverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Sommen en producten compact noteren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Rekenen met breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Rekenen met machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Volgorde van bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Absolute waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Algebra 20

2.1 Veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Reele veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2 Optellen van veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.3 Vermenigvuldigen van veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.4 Delen van veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Eerstegraadsvergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Eerstegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 Oplossen van eerstegraadsongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 Absolute waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Vierkantsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 Discriminantmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 Som- en productregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Veeltermvergelijkingen van hogere graad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.1 Ontbinden in factoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2 Regel van Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Oplossen van rationale vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Oplossen van lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7.1 Combinatiemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7.2 Substitutiemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

3 Meetkunde 40

3.1 Euclidische meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.1 Hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.2 Driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.3 Cirkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Cartesiaanse meetkunde – rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1 De standaardvergelijking van een rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.2 Interpretatie van q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.3 Richtingscoefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.4 Vergelijking van een rechte met gegeven rico, door een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.5 Vergelijking van een rechte door twee punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.6 Evenwijdige en loodrechte rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.7 De doorsnede van twee rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Vectormeetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Scalaire vermenigvuldiging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2 Optelling van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3 Grootte van een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.4 Inproduct van twee vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Goniometrie 54

4.1 Hoeken op de goniometrische cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Goniometrische getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Sinus, cosinus, tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.2 Grondformule van de goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.3 Veelgebruikte goniometrische waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.4 Hoeken bepalen uit goniometrische waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.5 Goniometrische waarden bepalen uit goniometrische waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Verwante hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.1 Gelijke hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.2 Tegengestelde hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.3 Complementaire hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3.4 Supplementaire hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3.5 Uitdrukkingen vereenvoudigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Goniometrische formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4.1 Som- en verschilformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4.2 Verdubbelings- en halveringsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4.3 Formules van Simpson en omgekeerde formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Goniometrie in driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5.1 Goniometrie in rechthoekige driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5.2 Goniometrie in willekeurige driehoeken: sinus- en cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5.3 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.6 Goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6.1 De cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6.2 De sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6.3 De tangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.7 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.8 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


5 Limieten 75

5.1 Reele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Limiet in een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1 Oneindige limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.2 Rekenregels voor oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Limiet op oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4 Linker- en rechterlimiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5 Rekenregels voor limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.6 Limieten van veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.7 Limieten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.8 Limieten van goniometrische functies: lim sin axx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.9 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.10 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Afgeleiden 89

6.1 Afgeleide in een punt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Afgeleide functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.3 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4 Afgeleide van basisfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.5 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.6 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7 Functieonderzoek 96

7.1 Symmetrieen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.2.1 Verticale asymptoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.2.2 Horizontale asymptoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.2.3 Schuine asymptoot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Stijgen en dalen met de eerste afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4 Convexiteit met de tweede afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.5 Functieonderzoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.6 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.7 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8 Integralen 114

8.1 Primitieven en de onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2 Onbepaalde integralen uitrekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2.1 Basisintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2.2 Lineariteit van de integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2.3 Substitutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2.4 Partiele integratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.3 De bepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.3.1 Additiviteit van de integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.3.2 Bepaalde integralen uitrekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.4 Oppervlaktes met bepaalde integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.4.1 Oppervlakten tussen meerdere krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.5 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.6 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


Hoofdstuk 0

Logica en verzamelingenleer

Voor we wiskunde kunnen beginnen doen, hebben we een kleine notie nodig van de basiswaarop het wiskundige framework gestoeld is. Dit zijn de logica en de verzamelingenleer.Omdat een studie van deze disciplines vooral voor wiskundigen weggelegd is, geven we hiereen overzicht van de belangrijkste begrippen, notaties en symbolen.

0.1 Logica

0.1.1 Propositielogica

In de wiskunde doet men uitspraken. Dat zijn zinnen die op hun waarheidswaarde kunnengecontroleerd worden, zoals Op 16 juli 2012 trad Willem Vermandere op in Gent of Elkeafleidbare functie is continu. Zoals men getallen kan optellen en vermenigvuldigen, kan menook bewerkingen doen op zinnen. Als p en q zinnen zijn, dan is

• “p en q” de zin die waar is als en slechts als p waar is en q waar is• “p of q” de zin die waar is als en slechts p waar is, of q waar is, of beiden• “niet p” de zin die waar is als en slechts als p niet waar is• “als p, dan q” de zin die waar is als en slechts als q waar is of p vals is• “p als en slechts als q” de zin die waar is als p en q tegelijk waar of tegelijk vals zijn.

De voorlaatste is de implicatie, die wordt genoteerd als p → q of p ⇒ q. De laatste is deequivalentie, die wordt genoteerd als p ↔ q of p ⇔ q. Als p ↔ q, dan worden de zinnenp en q equivalent of gelijkwaardig genoemd. Ook voor de andere samengestelde zinnenbestaan logische symbolen, maar voor dagelijks gebruik in de wiskunde is het gebruik vande woorden en, of, niet en als . . . dan ruim voldoende.

De talrijke logische wetten waaraan deze zogenaamde logische connectieven aan voldoenlaten we achterwege, met uitzondering van twee, de wetten van De Morgan. Deze zeggen

5

wat er gebeurt wanneer een “niet” gezet wordt voor een “en” of een “of”:

niet (p en q)↔ niet p of niet q

niet (p of q)↔ niet p en niet q

0.1.2 Predikaatlogica

In de wiskunde is men nog meer dan met het combineren van eenvoudige zinnen, bezig metpredikaten. Dat zijn een soort zinnen waar nog iets moet in ingevuld worden, zoals heefteen paarse muts of is integreerbaar over het interval [0, 1].

In de predikaatlogica mag men variabelen gebruiken (bijvoorbeeld x). Het zijn symbo-len die willekeurige objecten kunnen vertegenwoordigen. Ze dragen zelf geen informatie inzich. Als je een variabele invult in een predikaat, bijvoorbeeld “x is een vrouw”, dan krijgje een uitdrukking die geen zin is. Immers, we weten niet wie x is en kunnen dus geenwaarheidswaarde (waar of vals) toekennen aan deze uitdrukking.

In predikaatlogica zitten ook nog twee extra symbolen, namelijk de kwantoren ∀ en ∃. Zijzijn in staat om betekenis te geven aan uitspraken met predikaten.

• Het symbool ∀ lees je als voor alle. De uitspraak ∀x : x is een vrouw betekent: vooralle x geldt dat x een vrouw is of nog, iedereen is vrouwelijk. Dit is wel een zin (echtereen onware).• Het symbool ∃ lees je als er bestaat. De uitspraak ∃x : x is een vrouw betekent: er

bestaat een x waarvoor geldt dat x een vrouw is of nog, er bestaat een vrouw. Dit isweer een zin (dit keer waar).

We geven nog mee hoe zinnen met kwantoren interageren met de “niet”:

• niet ∀x : Q(x) ↔ ∃x : niet Q(x).• niet ∃x : Q(x) ↔ ∀x : niet Q(x).

0.1.3 Vrije en gebonden variabelen

Zij P , of P (x), een predikaat. Om de gedachten te vestigen betekent P (x) bijvoorbeeld ’xstudeert aan de UGent”.

We hebben gezien dat variabelen soms verhinderen om een waarheidswaarde toe te kennenaan een uitspraak (bijvoorbeeld in P (x)), maar soms ook toelaten om een waarheidswaardetoe te kennen (bijvoorbeeld in ∃x : P (x)). Het onderscheid is dat er bij het tweede voorbeeldiets staat (in dit geval een kwantor) die de variabele x weer vastbindt, nadat ze vrij was inP (x). In de volgende voorbeelden komen de letters i, j, k, x, y, z en c gebonden voor, terwijln, a en b vrij voorkomen.


n∑i=0

2i = 2n−1

∫ √3

0

ax2dx =√

3a

{x ∈ R | x+ 1 = x} = ∅

∀y∃z :∞∏j=0

(1 +

z

j

)> y

∀k,∀c : k > 2→ ak + bk 6= ck

Men moet weten dat de precieze letters van gebonden variabelen geen rol van betekenisspelen in de uitspraak. Het zijn dummyvariabelen, die je even goed door een andere letterkunt vervangen zonder de waarheidswaarde van de uitspraak te veranderen. Bijvoorbeeld:

n∑i=0

2i =n∑k=0

2k

∀y∃z :∞∏j=0

(1 +

z

j

)> y ⇔ ∀z∃x :

∞∏m=0

(1 +

x

m

)> z

Gebonden variabelen lopen meestal over een bereik, een verzameling waarover ze veronder-steld worden te lopen. Bijvoorbeeld, in de eerste lijn hierboven loopt i over de verzameling{0, . . . , n}. Dit fenomeen laat ons toe om substituties te doen in de gebonden variabelen.Stellen we bijvoorbeeld j = i+ 1, dan is i = j − 1. Als i = 0, dan is j = 1. Als i = n, dan isj = n+ 1. Zo kunnen we deze som herschrijven:

n∑i=0

2i =n+1∑j=1

2j−1 =1

2

n+1∑j=1

2j

Substitutie in de integratieveranderlijke is op hetzelfde principe gebaseerd. Hoewel het apriori is toegelaten om elke letter te gebruiken voor een substitutie, is er een wiskundigefolklore waar letters als i, j, k, l,m, nmeestal natuurlijke getallen voorstellen en x, y, z meestalreele getallen.

Het kunnen onderscheiden van vrije en gebonden variabelen is een goed hulpmiddel om onzinte ontdekken. Als er in een uitspraak in het ene lid een variabele vrij voorkomt, die in deandere gebonden of helemaal niet voorkomt, is er een aanzienlijke waarschijnlijkheid dat eriets niet in de haak is.


0.2 Verzamelingenleer

We werken in de wiskunde met verzamelingen, collecties van objecten die aan bepaaldeeigenschappen kunnen voldoen. De verzameling van al jouw jaargenoten, alle reele getallenof alle protonen binnen het observeerbare universum: het zijn allen verzamelingen.

De verzamelingenleer introduceert naast het begrip voor de ledige verzameling ∅ nog eensymbool in de taal van de wiskunde: ∈. Het betekent: “is element van”, zodat men uitspra-ken kan doen als 0 ∈ R en ∀ε ∈ R,∀x ∈ R,∃q ∈ Q : |x− q| < ε.

De manier waarop we verzamelingen doorgaans noteren, is met accolades, waartussen wealle elementen noteren, of een omschrijving geven zoals

{q ∈ Q | −3 6 q 6 2}.

De middenste streep leest men als waarvoor geldt of met de eigenschap dat.

Vanuit de verzamelingenleer en de logica kan men de hele wiskunde opbouwen. Men kanbijvoorbeeld, als verzamelingen A en B gegeven zijn, de koppelverzameling A×B beschou-wen, die bestaat uit koppels (a, b), met a ∈ A en b ∈ B. Dat we het reele vlak coordinatenkunnen geven en aan elk punt in het vlak een koppel (x, y) ∈ R × R associeren, bevestigtdat ook zo’n wiskundige objecten het waard zijn om te bestuderen, als elementen van eenverzameling.

Men kan ook alle functies gaan bekijken van een verzameling A naar een verzameling B. Datzijn objecten die met elk element van A een element van B laten corresponderen; objectendie de elementen van A afbeelden op B. Ze zijn een soort input-outputmachines, die eenargument van het typeA vragen en een object van het typeB teruggeven.1 Geef je een functief een concreet element zoals 3 te eten, dan komt daar onherroepelijk de concrete waardef(3) uit. Geef je een functie f een vrije variabele x te eten, dan komt er een uitdrukking inx uit (namelijk f(x)), waar de x nog steeds als vrije variabele optreedt. Deze uitdrukking inx toont de volledige aard van f , omdat je door de x te vervangen door een concrete waarde,het beeld f(a) voor eender welk element a zou kunnen bepalen. Een functie f , van A naarB, noteren we als

f : A→ B : x 7→ f(x),

waarbij het symbool 7→ betekent “wordt afgebeeld op”. Twee voorbeelden van functies: deharenteller h en de kwadrator 2:

h : verzameling van alle mensen → N : x 7→ aantal haren op het hoofd van x2 : R→ R : x 7→ x2

Die functies, bijvoorbeeld van R naar R, zijn erg interessante objecten om op zichzelf teonderzoeken, wat we ook zullen doen in hoofdstuk 7. Je kan ze bijvoorbeeld met elkaar

1Objectgeorienteerde programmeurs zal dat niet vreemd in de oren klinken.


samenstellen, om een nieuwe functie te krijgen. Als je bijvoorbeeld de bovenstaande functiessamenstelt (pas eerst h toe op een mens en daarna de kwadrator, noteer 2◦h, lees: kwadratorna h), krijgen we een nieuwe functie

2 ◦ h : verzameling van alle mensen → R : x 7→ (aantal hoofdharen van x)2

We hebben dus al kennis gemaakt met de functies, die we kunnen noteren met f . Eenandere klasse van objecten zijn de uitdrukkingen met een vrije variabele, zoals f(x). Jezou ze kunnen verwarren met functies, omdat ze alle informatie over f bevaten, zoals eerderbetoogd. Nochtans zijn het zelf geen input-outputmachines, maar gewoon uitdrukkingen metletters die je kan neerschrijven. x2 − 2x + 1 is bijvoorbeeld zo’n uitdrukking in x, die zelfsontbindt in twee gelijke factoren (in de ring van veeltermen). Omdat x een vrije variabele is,zou je deze kunnen vervangen in de kwadratische uitdrukking, bijvoorbeeld door y2, om dan(y2)2 − 2y2 + 1 te bekomen, zodat we een zogenaamde bikwadratische uitdrukking krijgen.

Nog anders zijn de vergelijkingen, zoals x2 − 2x + 1 = 0. Het zijn een soort raadsels, diede lezer uitdagen om alle mogelijke x’en te vinden die zorgen dat je inderdaad de nul uit hetrechterlid uitkomt als je ze in de vergelijking op de plaats van x invult.

Hoewel je de een uit de ander kan construeren, zijn ze toch niet dezelfde. De x’en die nulgeven als je ze invult in x2 − 2x+ 1, hebben ook voor elk van de soorten een andere naam:

f : R→ R : x 7→ x2 − 2x+ 1 kwadratische functie nulpunten of nulwaardenx2 − 2x+ 1 kwadratische veelterm wortels

x2 − 2x+ 1 = 0 kwadratische vergelijking oplossingen

Als je een object manipuleert, bijvoorbeeld een veelterm ontbindt of een vergelijking oplost,houd dan rekening met de notaties. x2 − 2x + 1 en (x − 1)2 zijn dezelfde veeltermen, dusdaar kun je een =-teken tussen schrijven om aan te duiden dat ze hetzelfde element van deveeltermring voorstellen. Als je de vergelijking x3 − 4x = 0 wil oplossen, kun je schrijven

x3 − 4x = 0

⇔ x · (x2 − 4) = 0

⇔ x = 0 of x2 − 4 = 0

⇔ x = 0 of (x− 2)(x+ 2) = 0

⇔ x = 0 of x = −2 of x = 2,

want x3 − 4x = 0 is een uitspraak en de uitspraken hierboven zijn er gelijkwaardig mee.


0.3 Respect voor wiskundige objecten: een ode aan

begrip

Weten waar je precies mee bezig bent, zich realiseren wat de verzameling is waarin eenbepaald object leeft of over welk bereik een variabele loopt, het zijn heel basale vaardighedendie erg nuttig zijn om abstracte of formele vakgebieden (zoals programmeren en wiskunde)onder de knie te krijgen.

Als je respect toont voor de eigenheid van wiskundige objecten, zul je ze beter kunnenhanteren en er meer mee kunnen doen. Neem nu de vergelijking

x− 6 = 2.

Het is een vergelijking die we moeten oplossen. We zoeken alle elementen die we kunneninvullen voor x, zodanig dat er een gelijkheid van twee reele getallen overblijft. De gestruc-tureerde manier om dat aan te pakken, is om aan beide kanten van de gelijkheid hetzelfdebij op te tellen, namelijk zes. Dan wordt het linkse zes groter, en dus x, en het rechtse wordt2+6=8. We hebben nu een nieuwe vergelijking, die waar is als en slechts als de vorige waarwas, maar die ons dichter bij een oplossing brengt. We kunnen namelijk aflezen dat de heleverzameling van x’en die een oplossing zijn, enkel x = 8 is. Om in een oogopslag te zien dater niet veel oplossingen zijn, zullen we de verzameling van alle oplossingen opschrijven: {8}.

Het klinkt misschien wat hero¨sch of overdreven, maar wie actief begrijpt dat een term vanlid veranderen eigenlijk een operatie is die betekent dat je met beide leden hetzelfde doet,zal het veel foutlozer kunnen toepassen dan iemand die de rekenregel als je een term vanlid verandert, verandert hij ook van teken heeft gememoriseerd. Wanneer die persoon zouvergeten wat een term is en dit zou toepassen met een factor, zou er een foute stap in zijnredenering zitten. En in de wiskunde is een foute stap vaak erg schadelijk voor een eventueeleindresultaat.

Dit hoofdstuk werd bijgevoegd omdat veel wiskundige fouten ontstaan uit een onbegrip vande precieze structuren en vormen van de objecten die men manipuleert. Wie niet ten vollebegrijpt wat pakweg oppervlakte, afleiden of machtsverheffen precies zijn, zal zich moetenbehelpen met gememoriseerde rekenregeltjes en ge¨miteerde methodes. Die zijn uiteraardheel nuttig, maar het is ook belangrijk te begrijpen waarom ze er zijn. Als je eenmaalhelemaal begrepen hebt waarom de rekenregels waar zijn en de methodes werken, zul je zedes te beter kunnen eigen maken!

Daarom dit warm pleidooi voor een streven naar begrip en inzicht, in alle wetenschap, maarzeker in de wiskunde.


Hoofdstuk 1

Rekenkunde

1.1 Getallenverzamelingen

De telling van een eindig aantal dingen levert een natuurlijk getal op. De verzamelingnatuurlijke getallen noteren we met

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.

We kunnen de verzameling N uitrusten met de bewerking +, maar niet elk getal heeft eeninverse t.o.v. de optelling. Breiden we daarvoor N uit met negatieve getallen, dan krijgen wede verzameling gehele getallen, die we noteren als

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }.

We kunnen de verzameling Z uitrusten met een optelling en een vermenigvuldiging, maardan hebben enkel 1 en −1 een inverse voor de vermenigvuldiging. Als we, om dat op telossen, breuken toevoegen, dan verkrijgen we de verzameling rationale getallen, die wenoteren als

Q ={ab| a, b ∈ Z

}.

Hierin zitten bijvoorbeeld 0,−3.24, 47

en 0.33 . . . , kortom alle getallen die als een breuk (ofgelijkwaardig: als een eindigend of repeterend decimaal getal) kunnen geschreven worden. Erzijn echter bijzonder veel getallen die we tegenkomen, maar niet kunnen realiseren als breuk.Als we ook die toevoegen, vinden we de verzameling reele getallen, die we schrijven als

R.

De constructie van R is niet zo eenvoudig. Ze bevat getallen als 0,−π4,√

2 + 3√

7, e√

5. Echter,niet elke veelterm met coefficienten in R heeft wortels in R (bijvoorbeeld x2 + 1). Voegen weook het imaginair getal i, het getal waarvoor i2 = −1, toe aan R en alle combinaties, dan

11

vinden we een structuur die aan veel eigenschappen voldoet, de verzameling complexegetallen, die we noteren als

C = {a+ bi | a, b ∈ R}.

Voor deze verzamelingen geldt N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Werken met complexe getallenkomt uitgebreid aan bod in de vakken Wiskunde, maar valt buiten het bestek van dezevakantiecursus.

1.2 Sommen en producten compact noteren

Om een som van getallen compact te noteren, gebruikt men het sommatiesymbool∑

. Debetekenis hiervan is, met m 6 n gehele getallen:

n∑i=m

xi = xm + xm+1 + · · ·+ xn−1 + xn

Hierbij is i de sommatie-index, die loopt van de ondergrens m tot en met de bovengrens n.De stapgrootte voor de sommatie is altijd 1. Enkele voorbeelden:

7∑i=4

ki = k4 + k5 + k6 + k7

3∑j=1

aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + ai3b3k

4∑i=1

2 · i = 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + 2 · 4 = 20

Op dezelfde manier gebruikt men het productsymbool∏

om een vermenigvuldiging plaats-besparend te noteren:

n∏i=m

xi = xm · xm+1 · · · · · xn−1 · xn

7∏i=4

ki = k4 · k5 · k6 · k7 = k22

4∑i=1

2 · i = (2 · 1) · (2 · 2) · (2 · 3) · (2 · 4) = 384

Deze gelijkheden zijn enkel manieren om hetzelfde te noteren. Er zit geen wiskunde achter(behalve telkens bij de laatste gelijkheden = 20,= 384).


1.3 Rekenen met breuken

Rationale getallen kan men schrijven alsa

b, met a en b gehele getallen. Het geheel getal a

wordt de teller genoemd en b de noemer. Hierbij is altijd b 6= 0, want a0

is geen rationaalgetal; delen door 0 is niet gedefinieerd.

Het tegengestelde van een breuk ab

is −ab. Dit is het unieke getal dat, opgeteld met a

bresultaat

0 geeft (het neutrale element voor de optelling).

Het omgekeerde van een breuk ab

is ba. Dit is het unieke getal dat, vermenigvuldigd met a

b

resultaat 1 geeft (het neutrale element voor de vermenigvuldiging).

a · ba · c

=b

c(a 6= 0, c 6= 0)

a

b+c

b=a+ c

b(b 6= 0)

a

b+c

d=ad+ bc

bd(b 6= 0, d 6= 0)

a

b.c

d=ac

bd(b 6= 0, d 6= 0)

a

b:c

d=a

b.d

c=ad

bc(b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0)

Dit laatste betekent dat twee breuken delen hetzelfde is als de eerste breuk vermenigvuldigenmet het omgekeerde van de tweede breuk.

Let op!1

a+

1

b6= 1

a+ b

1.4 Rekenen met machten

Voor een reeel getal a en een natuurlijk getal m 6= 0 definieren we de m-de macht van a:

am = a · a . . . a︸︷︷︸m factoren

Hierbij noemen we a het grondtal en m de exponent.

We kunnen dit uitbreiden naar rationale exponenten:

amn = n

√am =

(n√a)m

met m ∈ Z, n ∈ N0 en a > 0

De volgende rekenregels gelden voor alle grondtallen a, b ∈ R en alle exponenten n,m ∈ Q,binnen de beperkingen die tussen haakjes aangegeven staan.


1n = 1

0n = 0 (n > 0)

a0 = 1

am · an = am+n

am

an= am−n

(a · b)n = an · bn(ab

)n=an

bn(b 6= 0)

(am)n = amn

a−n =1

an(a 6= 0)

a1n = n√a (a > 0 of n oneven)

a−1n =

1n√a

(a 6= 0, a > 0 of n oneven)

n√an = a (a > 0 of n oneven)

n√a · n√b =

n√ab

n√a

n√b

= n

√a

b(b > 0 en a > 0)

n

√m√a = nm

√a

Let op! Machtverheffing en worteltrekking gedragen zich goed ten opzichte van de verme-nigvuldiging, maar niet ten opzichte van de optelling!

√a+ b 6=

√a+√b (a+ b)2 6= a2 + b2

n√a+ b 6= n

√a+

n√b (a+ b)n 6= an + bn

Bijvoorbeeld:

1 = 5− 4 =√

25−√

16 6=√

25− 16 =√

9 = 3

29 = 4 + 25 = 22 + 52 6= (2 + 5)2 = 72 = 49

1.5 Volgorde van bewerkingen

Bij wiskundige berekeningen is de volgorde waarin de bewerkingen worden uitgevoerd vast-gelegd.

1. Haakjes

2. Machten en worteltrekking

3. Vermenigvuldigen en delen

4. Optellen en aftrekken

Bijvoorbeeld:3 · (5 + 4)2 = 3 · 92 = 3 · 81 = 243

6 + 2 · 7(6− 23) · 2

=6 + 14

(6− 8) · 2=

20

(−2) · 2=

20

−4= −5


1.6 Absolute waarde

Voor een reeel getal x wordt haar absolute waarde gedefinieerd als

|x| =

{x als x > 0

−x als x < 0.

De absolute waarde voldoet aan de volgende eigenschappen:

|a.b| = |a|.|b||a : b| = |a| : |b||a− b| = |b− a||an| = |a|n

|a+ b| 6 |a|+ |b||a− b| > |a| − |b|

Let op!|a+ b| 6= |a|+ |b| |a− b| 6= |a| − |b|

Bijvoorbeeld:

| − 3 + 7| = |4| = 4 |3− 7| = | − 4| = 4

| − 3|+ |7| = 3 + 7 = 10 |3| − |7| = 3− 7 = −4


1.7 Oefeningen

Oefening 1

Schrijf, met behulp van sommatie- of productsymbool, volgende uitdrukkingen zo kort mo-gelijk. Uitrekenen is niet nodig.

A. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =

B. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =

C. x+ x2 + x3 + x4 + x5 + · · ·+ x100 =

D. 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12 =

E. 1 · 4 · 9 · 16 · 25 · 36 =

F. 3 +3

2+ 1 +

3

4+

3

5+

1

2=

Oefening 2

A.4∑i=2

2i =

B.3∑j=1

3.j =

C.7∑

k=3

2.(k + 3) =

D.7∑i=1

i

2=

E.6∑j=3

1

j=

F.5∏i=2

i =

G.4∏i=1

2i =

H.4∏i=1

(i+ 2) =

I.4∏i=1

i

2=

J.70∏i=1

i+ 1

i=

Oefening 3

A. De helft van 4a6

=

B.123

+12

3=

C.1

2+ 4.

2

5=

D.a

b− b =

E.4

3:

9

7

F.3x

7+ 7x =


Oefening 4

A. a4 · a7 =

B.53 · 58

59=

C. −2−2 =

D. 53 : 55 =

E. Een vierde van 88 is gelijk aan

F.a6

a−2=

G.22n

2n=

H. 23 · 43 =

I. 33 + 33 + 33 =

J. 2−1 + 3−1 + 2−1 · 3−1 =

Oefening 5

A. | − 4− 2| =

B. |5 · (−6) + 4| =

C. |5 · 3|+ | − 17| =

D. −| − 3|+ | − 3| =

Oefening 6

A.3√a12b6

B. 81−0,125

C. 2532

D.3√a2b√ab

6√ab2

, met a, b > 0

E.√

16 + 4

F.

√27 +

√75

3√

12

Oefening 7

A.1

x− 2+

1

x+ 2

B.1

x−3

1 + 1x+3

C.1

x+

1

x2+

1

x3

D.1 + 1

x

1− 1x

E.(x−1 − y−1

)−1

F.1− 1

x2

x−1x


1.8 Oplossingen

Oefening 1

A. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =∑6

i=1 i

B. 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =∑5

i=1 (1 + 2 · i)

C. 31

+ 32

+ 33

+ 34

+ 35

+ 36

=∑6

i=13i

D. x+x2+x3+x4+x5+. . .+x100 =∑100

i=1 xi

E. 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12 =∏6

i=1(2 · i)

F. 1 · 4 · 9 · 16 · 25 · 36 =∏6

i=1 i2

Oefening 2

A.∑4

i=2 2i = 28

B.∑3

j=1 3 · j = 18

C.∑7

k=3 2 · (k + 3) = 80

D.∑7

i=1i2

= 14

E.∑6

j=31j

= 1920

F.∏5

i=2 i = 120

G.∏4

i=1 2i = 1024

H.∏4

i=1(i+ 2) = 360

I.∏4

i=1i2

= 32

J.∏70

i=1i+1i

= 71

Oefening 3

A. De helft van 4a6

= a3

B. 123

+12

3= 5

3

C. 12

+ 4 · 25

= 2110

D. ab− b = a−b2

b

E. 43

: 97

= 2827

F. 3x7

+ 7x = 52x7

Oefening 4

A. a4 · a7 = a11

B. 53·5859

= 25

C. −2−2 = −14

D. 53 : 55 = 125

E. Een vierde van 88 is gelijk aan 222

F. a6

a−2 = a8

G. 22n

2n= 2n

H. 23 · 43 = 23 · (22)3 = 29

I. 33 + 33 + 33 = 81

J. 2−1 + 3−1 + 2−1 · 3−1 = 1


Oefening 5

A. | − 4− 2| = 6

B. |5 · (−6) + 4| = 26

C. |5 · 3|+ | − 17| = 32

D. −| − 3|+ | − 3| = 0

Oefening 6

A.3√a12b6 = a4b2

B. 81−0,125 = 1√3

=√

33

C. 2532 = 125

D.3√a2b√ab

6√ab2

= a√b

E.√

16 + 4 = 2√

5

F.√

27+√

753√

12= 4

3

Oefening 7

A. 1x−2

+ 1x+2

= 2xx2−4

B.1

x−3

1+ 1x+3

= x+3(x−3)(x+4)

= x+3x2+x−12

C. 1x

+ 1x2

+ 1x3

= x2+x+1x3

D.1+ 1

x

1− 1x

= x+1x−1

E. (x−1 − y−1)−1

= xyy−x

F.1− 1

x2x−1x

= x+1x

= 1 + 1x


Hoofdstuk 2

Algebra

2.1 Veeltermen

2.1.1 Reele veeltermen

Een reele veelterm van graad n in x is een som van termen, waarbij elke term het productis van een reeel getal en een macht van x. De hoogst voorkomende macht van x is de n-demacht. De algemene vorm van zo’n veelterm is:

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 met an, an−1, . . . , a0 ∈ R, an 6= 0, n ∈ N.

De reele getallen an, an−1, . . . , a0 zijn de coefficienten van de veelterm. Men zegt dat ande coefficient is van xn, an−1 de coefficient is van xn−1, . . ., a1 de coefficient is van x en a0

de constante term.

De graad van een veelterm is de exponent van de hoogste macht van x die voorkomt (datbetekent, waarvan de coefficient verschilt van nul).

De letter x is hier louter een symbool. Je kan x wel vervangen door getallen, en dan dewaarde van de veelterm uitrekenen.

Doorgaans wordt de conventie gehanteerd dat bij het neerschrijven van een veelterm, alletermen gerangschikt staan volgens graad van x, eerst de termen met de hoogste graad.

2.1.2 Optellen van veeltermen

De som of het verschil van twee veeltermen is de veelterm met als coefficienten de som ofhet verschil van de coefficienten van dezelfde machten van x. Men kan dus gewoon termenmet dezelfde macht van x bij elkaar optellen. Bijvoorbeeld(

6x4 + 5x3 − 2x2 − 4)

+(−2x3 + 4x2 − 7x

)= 6x4 + (5− 2)x3 + (−2 + 4)x2 − 7x− 4

= 6x4 + 3x3 + 2x2 − 7x− 4

20

2.1.3 Vermenigvuldigen van veeltermen

Zoals voor het vermenigvuldigen van twee sommen, wordt de eigenschap van de distributivi-teit toegepast. Elke term van de eerste veelterm wordt vermenigvuldigd met elke term vande tweede veelterm, en de bekomen producten worden dan bij elkaar opgeteld. Bijvoorbeeld(

2x3 − 6x+ 7) (

4x2 − 2x+ 1)

= 2x3 · 4x2 + 2x3 · (−2x) + 2x3 · 1− 6x · 4x2 − 6x(−2x)− 6x · 1 + 7 · 4x2 + 7 · (−2x) + 7 · 1= 8x5 − 4x4 + 2x3 − 24x3 + 12x2 − 6x+ 28x2 − 14x+ 7

= 8x5 − 4x4 − 22x3 + 40x2 − 20x+ 7

2.1.4 Delen van veeltermen

Voor de deling van veeltermen geeft de Euclidische deling een goede methode. Bijvoorbeeld

6x3 - 2x + 1 x2 - 2− 6x3 - 12x 6x

10x + 1

Dat geeft een quotient van 6x en een rest van 10x+ 1, zodat

6x3 − 2x+ 1

x2 − 2= 6x+

10x+ 1

x2 − 2

Opmerking: als de deler van de vorm x±a is, met a ∈ R, dan kan je ook de regel van Hornergebruiken om de deling uit te voeren. Meer uitleg staat in paragraaf 2.5.2.

2.2 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

De volgende gelijkheden, en dan in het bijzonder de eerste drie, zijn de belangrijkste merk-waardige producten. Ze zijn geldig voor alle mogelijke reele en zelfs complexe getallen,variabelen en veeltermen (maar niet voor matrices).

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

(a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3


Merk op dat links telkens een product (bijvoorbeeld een kwadraat) staat, en rechts een somvan termen. We spreken van ontbinden in factoren wanneer we een som van termenschrijven als een product. Als we in een bepaalde som het rechterlid van een van voorgaandegelijkheden herkennen, kunnen we het factoriseren volgens die gelijkheid. Dit is in vele geval-len nuttig en het loont om een geoefend oog te hebben in het herkennen van factoriseerbaresommen. Twee voorbeelden:

25− x2 = (5 + x)(5− x)

4− 4y + y2 = (2− y)2

Soms moet je bij het ontbinden in factoren eerst een gemeenschappelijke factor buiten dehaakjes brengen. Dit betekent dat je een som van de vorm ab+ ac herschrijft als a · (b+ c),volgens de distributiviteitswetten.

25x− x3 = x(25− x2) = x(5 + x)(5− x)

5− 5a2 = 5(1− a2) = 5(1 + a)(1− a)

Bij het deel oplossen van vierkantsvergelijkingen (zie paragraaf 2.4.1) wordt uitgelegd hoetweedegraadsveeltermen kunnen ontbonden worden in factoren.

2.3 Eerstegraadsvergelijkingen en ongelijkheden

Alle mogelijke oplossingen van een vergelijking of ongelijkheid vormen de oplossingsverza-meling V , bijvoorbeeld:

• Voor de vergelijking x2 = 1, is de oplossingsverzameling V = {−1, 1}.• Voor de ongelijkheid x2 6 1, is de oplossingsverzameling V = [−1, 1].• Voor de vergelijking x2 6 −1, is de oplossingsverzameling V = ∅.• Voor de ongelijkheid cos x = 1, is de oplossingsverzameling V = {2kπ | k ∈ Z}.

2.3.1 Eerstegraadsvergelijkingen

Een eerstegraadsvergelijking of een lineaire vergelijking is een vergelijking van devorm ax + b = 0, of van de vorm, ax = −b (met a 6= 0). Door beide leden met 1

ate

vermenigvuldigen zien we dat dit soort vergelijking de oplossing x = − ba

heeft en dit is ookde enige oplossing.

Ruw gezegd kan elke vergelijking waar een onbekende voorkomt, enkel in de teller, maarniet zijn machten, wortels, sinus, geexponentieerde of soortgelijke functie, herleid worden totde standaardvorm van een eerstegraadsvergelijking. Dit maakt lineaire vergelijkingen tot demeest voorkomende in elke wetenschap. Het kunnen oplossen ervan met de ogen dicht is eencompetentie die elke wetenschapper moet hebben.


Indien een eerstegraadsvergelijking niet in deze standaardvorm gegeven is, moet ze eerstherleid worden tot de standaardvorm. Zoeken we bijvoorbeeld de oplossingen van de verge-lijking

5 · (3x− 3) = 3 · (9− 2x),

dan zullen we achtereenvolgens

• de haakjes uitwerken met behulp van distributiviteit; de vergelijking wordt

15x− 15 = 27− 6x

• alle termen in x naar hetzelfde (linker- of rechter-)lid brengen, alle constante termennaar het andere lid brengen. Hier moeten we bij beide leden 15 optellen, en ook 6xoptellen. De termen die op die manier van lid veranderen, veranderen daardoor ook vanteken. We krijgen

15x+ 6x = 27 + 15

• vereenvoudigen; nu blijft nog een term in x over en een constante term in het ander lid.

21x = 42

• de factor die voor x staat wegwerken door beide leden te delen door 21.

x =42

21= 2

• controleren of de gevonden oplossing x = 2 juist is, door de gevonden waarde voor x inte vullen in de opgave. Inderdaad: hier geeft dit 5 · 3 = 3 · 5 en dit klopt.

De oplossingsverzameling wordt: V = {2}. De oplossingsverzameling bevat een element.

Als men een vergelijking vereenvoudigt tot de standaardvorm van een eerstegraadsvergelij-king, is het mogelijk dat men a = 0x bekomt, voor een bepaald getal a ∈ R. In dit geval isde waarde van x niet van belang om de waarheid van de vergelijking vast te stellen. Er zijntwee mogelijkheden:

• a = 0. In dit geval is deze vergelijk juist voor elke x die men invult. De oplossingsver-zameling is dus alles, dus V = R (als we over R werken).• a 6= 0. Deze vergelijking is onwaar voor elke x die men invult. De oplossingsverzameling

is in dat geval leeg: V = ∅.

2.3.2 Oplossen van eerstegraadsongelijkheden

We bekomen een eerstegraadsongelijkheid, wanneer we ons afvragen voor welke x-waardeneen eerstegraadsveelterm groter (of groter of gelijk) is dan een andere eerstegraadsveelterm.Om dit soort opgaven op te lossen, kan men dezelfde methode toepassen als bij het oplossen


van vergelijkingen, behalve bij de laatste stap. Vermenigvuldiging met of deling door eennegatief getal doet de ongelijkheid namelijk omkeren.

6(2− x) > 3(x− 1)

⇔ 12− 6x > 3x− 3

⇔ −6x− 3x > −3− 12

⇔ −9x > −15

⇔ x 6−15

−9

⇔ x 65

3

De oplossingsverzameling wordt: V =]−∞, 53].

2.3.3 Absolute waarde

Hoe gelijkheden en ongelijkheden met absolute waarden worden uitgewerkt, kan uit dezevoorbeelden afgelezen worden.

|x− 2| = 3

⇔ x− 2 = 3 of x− 2 = −3

⇔ x = 5 of x = −1

We vinden dus V = {−1, 5}.

|x− 2| < 3

⇔ x− 2 < 3 en x− 2 > −3

⇔ x < 5 en x > −1

We vinden dus V =]− 1, 5[.

|x− 2| > 3

⇔ x− 2 > 3 of x− 2 < −3

⇔ x > 5 of x < −1

We vinden dus V =]−∞,−1[ ∪ ]5,+∞[.


2.4 Vierkantsvergelijkingen

Een tweedegraadsvergelijking, kwadratische vergelijking of een vierkantsvergelijkingis een vergelijking die men kan omvormen tot haar standaardvorm

ax2 + bx+ c = 0 met a 6= 0 en a, b, c ∈ R.

Deze vergelijking oplossen wil zeggen dat je de waarden voor x gaat bepalen, die zorgen datje inderdaad de nul uit het rechterlid uitkomt als je ze in de vergelijking op de plaats van xinvult.

2.4.1 Discriminantmethode

De oplossingen van de vergelijking ax2+bx+c = 0 kan men vinden door formules te gebruikendie meteen de oplossingen geven, zij het na wat rekenwerk. Eerst bepaalt men de grootheid

D = b2 − 4ac.

Dit getal D, dat men kan berekenen aan de hand van de coefficienten van de vergelijking,noemt men de discriminant. Er zijn drie mogelijke gevallen:

• D < 0 : er zijn geen reele oplossingen

• D = 0 : er is 1 (dubbele) reele oplossing

x1 = − b

2a

We kunnen de veelterm als volgt ontbinden:

ax2 + bx+ c = a(x− x1)2

• D > 0 : er zijn 2 reele oplossingen {x1 = −b+

√D

2a

x2 = −b−√D

2a

We kunnen de veelterm als volgt ontbinden:

ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)

We werken een voorbeeld volledig uit.

3x2 − 10x− 8 = 0 → a = 3, b = −10, c = −8


D = b2 − 4ac = (−10)2 − 4 · 3 · (−8)

= 100 + 96 = 196 > 0→ 2 oplossingen

{x1 = −b+

√D

2a= −(−10)+

√196

2·3 = 10+146

= 246

= 4

x2 = −b−√D

2a= −(−10)−

√196

2·3 = 10−146

= −46

= −23

De oplossingsverzameling is V = {4,−23}. De ontbinding in factoren wordt:

3x2 − 10x− 8 = 3(x− 4)

(x−

(−2

3

))= 3(x− 4)

(x+

2

3

)= (x− 4)(3x+ 2)

2.4.2 Som- en productregel

Beschouw een vierkantsvergelijking van de vorm ax2 + bx + c = 0. Men kan aantonen datde som van de wortels van deze vergelijking gelijk is aan − b

aen het product van de wortels

gelijk is aan ca. Dus

x1 + x2 = − ba

x1 · x2 =c

a

Dit kan men zien als een stelsel van twee vergelijkingen in onbekenden x1 en x2. Als mendit oplost, of op het zicht waarden vindt voor x1 en x2, dan zijn dit de gezochte wortels vande kwadratische vergelijking.

2.5 Veeltermvergelijkingen van hogere graad

We willen nu veeltermvergelijkingen van graad groter dan twee oplossen, dat wil zeggen datwe alle x-waarden zoeken die, wanneer we ze invullen in de veelterm, nul opleveren.

De formules voor de oplossingen van een kwadratische vergelijking zijn kort en eenvoudig teonthouden. Er bestaan ook formules voor de derde- en vierdegraadsvergelijking, die echterveel ingewikkelder zijn dan deze voor de tweedegraads. Vanaf de vijfde graad is er geenalgemene formule meer die werkt voor elke veelterm.

Echter, voor bepaalde soorten veeltermen waarmee we te maken hebben, bestaan er trucsom toch hun wortels te bepalen.


2.5.1 Ontbinden in factoren

Als je een de veeltermvergelijking f(x) = 0 moet oplossen, kan je soms de veelterm f(x)ontbinden in factoren: f(x) = g(x) · h(x). Dan moeten we de x-waarden vinden waarvoor

g(x) · h(x) = 0.

Maar we weten dat zo’n product nul is, precies als (minstens) een van de factoren nul is.Dus bovenstaande vergelijking is gelijkwaardig met

g(x) = 0 of h(x) = 0.

Daarna werken we verder met de gekende methodes voor lineaire en kwadratische verge-lijkingen om de oplossingsverzamelingen te bepalen. De oplossingsverzameling van de heleveeltermvergelijking f(x) = 0 is dan de unie van de oplossingsverzamelingen van g(x) = 0en h(x) = 0.

We illustreren dit met een voorbeeld. Stel bijvoorbeeld dat we een gemeenschappelijke factorbuiten de haakjes kunnen brengen.

2x3 + 5x2 − 12x = 0

⇔ x · (2x2 + 5x− 12) = 0

⇔ x = 0 of 2x2 + 5x− 12 = 0 (D = 52 − 4 · 2 · (−12) = 121)

⇔ x = 0 of x =−5 +

√121

2 · 2of x =

−5−√

121

2 · 2⇔ x = 0 of x =

−5 + 11

2 · 2of x =

−5− 11

2 · 2⇔ x = 0 of x =

3

2of x = −4 V = {−4, 0,−3

2}

⇒ 2x3 + 5x2 − 12x = x

(2(x− 3

2)(x+ 4)

)= x(2x− 3)(x+ 4)

We besluiten dat de verzameling wortels van 2x3+5x2−12x gegeven wordt door {−4, 0,−32}.

In het tweede voorbeeld moeten we verschillende malen iets van de vorm a2 − b2 ontbindenin (a− b)(a+ b). We zullen in dit voorbeeld gebruiken dat x2 + 1 en x4 + 1 geen reele wortelshebben, immers, er bestaan geen x’en zodat x2 of x4 negatief is.


x8 − 1 = 0

⇔ (x4 − 1) · (x4 + 1) = 0

⇔ x4 − 1 = 0 of x4 + 1 = 0 (maar dit laatste kan niet)

⇔ (x2 − 1) · (x2 + 1) = 0

⇔ x2 − 1 = 0 of x2 + 1 = 0 (maar dit laatste kan niet)

⇔ (x− 1) · (x+ 1) = 0

⇔ x− 1 = 0 of x+ 1 = 0

⇔ x = 1 of x = −1

V = {1,−1}

2.5.2 Regel van Horner

Met behulp van de regel van Horner kan je een veelterm delen door een veelterm van devorm x− a. Als een getal a een nulpunt is van f(x) = anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0, dan

is (x− a) een deler van f(x).

Als de coefficienten en het nulpunt a gehele getallen zijn, dan is a bovendien een deler van a0,de constante term van de veelterm. Daarom is een goede methode om mogelijke nulpuntente bepalen, het proberen van alle delers van a0 (positieve zowel als negatieve) en deze in tevullen in de veeltermvergelijking. Zodra bij een ervan de uitkomst nul is, hebben we eennulpunt gevonden. Een voorbeeld maakt dit duidelijk.

f(x) = x3 − 6x2 − x+ 30

De delers van 30 = {1,−1, 2,−2, 3,−3, 5,−5, 6,−6, 10,−10, 15,−15, 30,−30}

f(1) = 13 − 6.12 − 1 + 30 = 24 6= 0⇒ (x− 1) is geen deler van f(x).

f(2) = 23 − 6.22 − 2 + 30 = 12 6= 0⇒ (x− 2) is geen deler van f(x).

...

f(3) = 0⇒ (x− 3) is een deler van f(x) = x3 − 6x2 − x+ 30.

f(−2) = 0⇒ (x+ 2) is een deler van f(x) = x3 − 6x2 − x+ 30.

f(5) = 0⇒ (x− 5) is een deler van f(x) = x3 − 6x2 − x+ 30.

We weten nu dat zo’n (x − a) een deler is van de veelterm. Om de andere nulpunten tevinden, volstaat het om nulpunten te zoeken van het quotient f(x)/(x − a). De regel vanHorner geeft ons een snelle methode om die deling van een veelterm f(x) door een factor(x− a) te maken.


Alle coefficienten worden naast elkaar geplaatst, startend met de coefficient horend bij dehoogste exponent en in dalende volgorde van de exponent. Indien een macht van x ontbreekt,moet er een nul worden tussengevoegd. Het nulpunt wordt helemaal links geplaatst, opeen volgende regel. De getallen op de tweede lijn worden bekomen door het nulpunt tevermenigvuldigen met het getal dat er links onder staat. De getallen op de derde lijn wordenbekomen door de twee bovenstaande getallen op te tellen. Omdat we weten dat 3 een nulpuntis, voeren we bijvoorbeeld de deling f(x)/x− a = (x3 − 6x2 − x+ 30)/(x− 3) uit:

1 −6 −1 303 ↓

1

1 −6 −1 303 ↓ 1 · 3 =3

1 −3

1 −6 −1 303 ↓ 3 −3 · 3=-9

1 −3 −10

1 −6 −1 303 ↓ 3 -9 −10 · 3=-30

1 −3 −10 | 0

Het getal rechtsonder in de tabel is eigenlijk de rest na deling door (x − 3). Omdat weweten dat 3 een nulpunt is, moet dit 0 zijn. De andere getallen op de onderste rij zijn decoefficienten van het qoutient, van hoog naar laag. De graad van het quotient is een lager dandie van het deeltal. De ontbinding uit ons voorbeeld wordt dus f(x) = x3 − 6x2 − x+ 30 =(x− 3)(x2 − 3x− 10).

Men kan dit procede herhalen tot je nulpunten van f(x) kent. Bijvoorbeeld:

1 -3 -10-2 ↓ 1.-2 -5.-2

1 -5 | 0

Hieruit vinden we dat f(x) = (x − 3)(x + 2)(x − 5). Dit is geen verrassing, want 5 wasook een nulpunt. We merken nog op dat, zodra je een tweedegraadsveelterm bekomt, je ookde discriminantmethode of som- en productregel kunt gebruiken om de veelterm verder teontbinden.


2.6 Oplossen van rationale vergelijkingen

Een rationale functie (of veeltermbreuk) is het quotient van twee veeltermen. De algemenevorm is dus

f(x)

g(x)=

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0

Hierbij zijn an, an−1, . . . , a0, bm, bm−1, . . . , b0 ∈ R, an, bm 6= 0, n,m ∈ N en g(x) 6= 0, dat wilzeggen: b0 6= 0 als m = 0.

Om rationale vergelijkingen op te lossen, gaan we deze proberen te herleiden tot een gewoneveeltermvergelijking, maar we moeten wel opletten dat we geen extra oplossingen invoeren.We bekijken een voorbeeld.

Bepaal alle x waarvoor geldt:2x

3=

1− xx− 4

We stellen eerst de beginvoorwaarde (BVW) op. We moeten eisen dat we niet delen door0, in dat geval zou het rechterlid geen betekenis hebben. In dit voorbeeld is de BVW:x − 4 6= 0, dus x 6= 4. Achteraf controleren we dat de waarde x = 4 niet voorkomt in deoplossingsverzameling. Indien dit toch het geval is, moet deze waarde verwijderd worden uitde oplossingsverzameling.

We zetten nu beide leden op dezelfde noemer.

2x(x− 4)

3(x− 4)=

(1− x)3

3(x− 4)

Vermenigvuldigen we beide leden met haar noemer, die door onze BVW niet nul kan zijn,dan vinden we een gelijkwaardige vergelijking die we kunnen oplossen.

2x(x− 4) = (1− x)3

2x2 − 8x = 3− 3x

2x2 − 5x− 3 = 0 (D = (−5)2 − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49{x1 = 5+

√49

2·2 = 3

x2 = 5−√

492·2 = −1

2

De oplossingen van de rationale vergelijking zijn dus 3 en −12. Controle met de BVW leert

ons dat beide oplossingen verschillend zijn van 4, dus dat we onze oplossingsverzamelinginderdaad kunnen schrijven als

V = {3,−1

2}.

Controle: je kan de oplossing controleren door beide oplossingen in te vullen in de oor-spronkelijke opgave en controleren of er links en rechts hetzelfde getal komt.


2.7 Oplossen van lineaire stelsels

Een stelsel is een combinatie van meerdere vergelijkingen met meerdere onbekenden. We zoe-ken dan alle waarden van de onbekenden die voldoen aan alle vergelijkingen. Hier beperkenwe ons tot stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden.

2.7.1 Combinatiemethode

Hier is het de bedoeling om (veelvouden) van een vergelijking bij een andere vergelijking opte tellen, zodat een van de onbekenden geelimineerd wordt. Deze methode is zinvol als erbij elke onbekende een coefficient verschillend van 1 staat. Bijvoorbeeld:

Zoek alle koppels (x, y) waarvoor de volgende gelijkheden gelden:{2x− 3y = 5

−3x+ 6y = −3

Als we nu de eerste vergelijking vermenigvuldigen met 2 en de andere vergelijking behouden,dan zal in de ene vergelijking −6y en de andere +6y voorkomen. Dat is goed, want als webeide vergelijkingen dan optellen (lid aan lid), krijgen we een vergelijking waar geen y meerin voorkomt, en die we dus kunnen oplossen naar x.{

4x− 6y = 10

−3x+ 6y = −3

Beide vergelijkingen optellen geeft nux = 7.

Om y te bepalen, kies je een van de vergelijkingen uit de opgave en je vult er de waarde voorx in.

2 · 7− 3y = 5

−3y = 5− 14

y =−9

−3= 3

Er is dus precies een oplossing van dit stelsel, nl. de situatie met x = 7 en y = 3, vandaardat we schrijven

V = {(7, 3)}.Als controle kan je de gevonden waarden voor x en y invullen in de opgave:{

2 · 7− 3 · 3 = 5 OK

−3 · 7 + 6 · 3 = −3 OK


Als je dit grafisch zou bekijken, dan staan in de opgave de vergelijkingen van twee rechten.De x en y die aan beide vergelijkingen voldoen, zijn dus koppels (x, y) met de eigenschapdat ze op beide rechten liggen. Dit betekent dat de oplossing gelijk is aan de coordinatenvan het snijpunt van deze rechten.

2.7.2 Substitutiemethode

Elk van de vergelijkingen drukt de waarde van x uit in y of omgekeerd. Daarop ge¨nspireerdkunnen we een onbekende uitdrukken als functie van de andere en die dan substitueren ofvervangen in de andere vergelijking, zodat daar maar een onbekende meer voorkomt. Dezemethode is handig als een van de onbekenden een coefficient 1 heeft.

• Voorbeeld: {3x+ y = −2

−2x+ 2y = 4

Uit de eerste vergelijking volgt y = −3x− 2. Vullen we deze uitdrukking van y in x inin de tweede vergelijking, dan krijgen we

−2x+ 2(−3x− 2) = 4

⇔ −2x− 6x− 4 = 4

⇔ −8x = 8

⇔ x = −1

Om de overeenkomstige waarde van y te vinden, vullen we x = −1 in in een van de tweeandere vergelijkingen en we vinden bijvoorbeeld y = −3.(−1)− 2 = 1.De oplossing van dit stelsel is x = −1 en y = 1:

V = {(−1, 1)}

• Voorbeeld {3x+ 2y = −1

x− 2y = −11

Uit de tweede vergelijking volgt x = 2y − 11. Invullen in de eerst vergelijking geeft

3(2y − 11) + 2y = −1

⇔ 6y − 33 + 2y = −1

⇔ 8y = 32

⇔ y = 4

Invullen van y = 4 in x = 2y − 11 geeft x = 2.4− 11 = −3. De oplossing van dit stelselis dus x = −3 en y = 4:

V = {(−3, 4)}.


2.8 Oefeningen

Oefening 1

Voer de volgende bewerkingen uit. Voor uitgewerkte voorbeelden zie paragrafen 2.1.2, 2.1.3,2.1.4.

A. (5x2 + 7x− 3) · (6x4 − 6x2 + 3x− 7) =

B. (5x2 + 7x− 3) + (6x4 − 6x2 + 3x− 7) =

C. (12x4 − 17x3 + 18x2 − 14x+ 4) : (3x− 2) =

D. (2x2 − 3)(4x3 − 6x2 + 2x− 1)− (4x5 + 5x3 + 6x− 5) =

E. (12x4 − 25x3 + 40x2 − 17x− 1) : (4x− 3) =

F. (8x2 − 6x+ 3)(4x3 − 2)− (5x+ 6)(4x− 7) =

G. (6x2 − 4x+ 2) : (2x2 + x) =

Oefening 2

Werk uit. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.2.

A. (3x2 − 2)2 =

B. (2x3 − 5)(2x3 + 5) =

C. (a− b)(a2 − b2)(a+ b) =

D. (9− y)(−9− y) =

E. (4x− 2y)3 =

F. (7 + 2a2)3 =

G. (4x2 + 3x)2 =

Oefening 3

Ontbind in factoren met behulp van merkwaardige producten. Voor een uitgewerkt voor-beeld, zie paragraaf 2.2.

A. 4x2 − 9 =

B. a3 + 64b6 =

C. 81− a4 =

D. 4x2 − 12xy + 9y2 =

E. 4ab3 + 9a3b− 12a2b2 =

F. 6− 6a3 =


Oefening 4

Ontbind in factoren. Voor uitgewerkte voorbeelden, zie paragrafen 2.5.1, 2.5.2.

A. x2 + x

B. x2 + 4x+ 4

C. 9x2 − 12x+ 4

D. x2 + xy + 3x+ 3y

E. x2 − 14

F. x3 + 2x2 + 3x+ 6

G. x3 − 4x2 − 4x+ 16

H. x3 − 8

I. x4 + 2x2 + 1

J. x4 − 2x2 + 1

K. x3 + 4x2 + x− 6

Oefening 5

Los de volgende eerstegraadsvergelijkingen op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf2.3.1.

A. 4(x− 2) = 3x− 7(2x− 3)

B. 6(x+ 2) = −2x+ 5

C. 5(x+ 1) = 0

D. 4(x− 2) = 3(2x− 3) + 1

E. 3(x− 2) + 6x+ 1 = 2(4x+ 1) + x

Oefening 6

Los de volgende lineaire ongelijkheden op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.3.2.

A. 4(x− 2) < 3x− 7(2x− 3)

B. 6(x− 2)− 5x > 3(3x− 1) + 5

C. 4x+ 1 6 2(x+ 4)

D. 2(x− 3) + x < 5(x− 1) + 2

Oefening 7

Los op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.3.3.

A. |2x− 3| = 5

B. |2− 3x| < 7

C.

∣∣∣∣2x− 3

5

∣∣∣∣ = 2

D. |2x− 7| = 4x

E.

∣∣∣∣4x− 2

5

∣∣∣∣ > 3

F. |1− 3x| > 2


Oefening 8


A. 4x2 + 2x− 20 = 0

B. −9x2 + 12x− 4 = 0

C. 6x2 − 19x− 7 = 0

D. 3x2 − 2x+ 4 = 0

E. −6x2 + 23x− 20 = 0

F. 3x2 + 3x− 5 = 0

G. x2 − 5x+ 6 = 0

H. x2 − 2x− 3 = 0

I. 2x2 − 7x+ 6 = 0

Oefening 9


A. 2x4 − 7x3 − 5x2 + 28x− 12 = 0

B. x4 − 2x2 − 8 = 0

C. 4x4 − 12x3 + 5x2 + 12x− 9 = 0

D. 2x4 − 5x3 − x2 + 6x = 0

E. x4 − 1 = 0

Oefening 10

Los op. Voor een uitgewerkt voorbeeld zie paragraaf 2.6.

A.3x− 4

5=x− 1

2x

B.8x

2x− 1=

3

x− 1

C.3x− 2

3+x− 1

4=x− 5

5

D.x

x− 1− 6

2x− 1= 0

E.2x− 3

x+

3

x− 5=

6

x

Oefening 11

Los de volgende stelsels op. Voor uitgewerkte voorbeelden zie paragrafen 2.7.1 en 2.7.2.

A. {2x− y = −2

3x− 2y = −1

B. {6x− 2y = −2

3

x− y = −1

C. {4x− 7y = −8

−2x+ 3y = 4

D. {4x− 2y = −3

−2x+ y = 1

E.

{3x+ 4y = 5

−2x− 3y = −2


F. {x+ 3y = −2

2x+ 2y = −1

G. {2x− 5y = 11

3x+ y = 8

H. {−2x+ 3y = 1

−4x+ y = −3

I. {3x+ 4y = −6

5x+ 3y = 1

J. {2x+ y = 4

x+ 2y = 5

K. {2x− y = −5

3x+ 2y = 3

L. {x+ 2y = 2

2x+ 4y = 0

M. {12x+ 3

2y = 2

x− 52y = −7

N. {x+ y = 1

2x+ 2y = 2

O. {2x

+ 3y

= 24x− 9

y= −1

P. {2x2 + 3y2 = 35

x2 + 2y2 = 22

Q. {3x2 − y2 = 5

2x2 + 5y2 = 9

Oefening 12

Voor welke waarde van de parameter a heeft het stelsel{x+ 2y = 1

ax+ y = 12

oneindig veel oplossingen?

Oefening 13

Voor welke waarde van de parameter a heeft de vergelijking

x3 + (a+ 1)x2 + (a− 2)x− 2a = 0

twee samenvallende wortels?


2.9 Oplossingen

Oefening 1

A. 30x6+42x5−48x4−27x3+4x2−58x+21

B. 6x4 − x2 + 10x− 10

C. 4x3 − 3x2 + 4x− 2

D. 4x5 − 12x4 − 13x3 + 16x2 − 12x+ 8

E. 3x3 − 4x2 + 7x+ 1 +2

4x− 3

F. 32x5 − 24x4 + 12x3 − 36x2 + 23x+ 36

G. 3 +−7x+ 2

2x2 + x

Oefening 2

A. (3x2 − 2)2 =(3x2)2 − 2 · 3x2 · 2 + 22 =

9x4 − 12x2 + 4

B. (2x3 − 5)(2x3 + 5) =(2x3)2 − 52 =

4x6 − 25

C. (a− b)(a2− b2)(a+ b) = a4− 2a2b2 + b4

D. (9− y)(−9− y) = y2 − 81

E. (4x−2y)3 = 64x3−96x2y+48xy2−8y3

F. (7 + 2a2)3 = 343 + 294a2 + 84a4 + 8a6

G. (4x2 + 3x)2 = 16x4 + 24x3 + 9x2

Oefening 3

A. (2x+ 3)(2x− 3)

B.(a+ 4b2

) (a2 − 4ab2 + 16b4

)C. (3 + a)(3− a)

(9 + a2

)D. (2x− 3y)2

E. ab(2b− 3a)2

F. 6(1− a)(1 + a+ a2)

Oefening 4

A. x(x+ 1)

B. (x+ 2)2

C. (3x− 2)2

D. (x+ y)(x+ 3)

E.(x− 1

2

) (x+ 1

2

)F. (x+ 2)(x2 + 3)

G. (x− 4)(x− 2)(x+ 2)

H. (x− 2)(x2 + 2x+ 4)

I. (x2 + 1)2

J. (x− 1)2(x+ 1)2

K. (x− 1)(x+ 2)(x+ 3)


Oefening 5

A. V =

{29

15

}B. V =

{−7

8

}C. V = {−1}

D. V = {0}

E. V = ∅

Oefening 6

A. V =

]−∞, 29

15

[

B. V =

]−∞,−7

4

[C. V =

]−∞, 7

2

]

D. V =

]−3

2,∞[

Oefening 7

A. V = {−1, 4}

B. V =

]−5

3, 3

[

C. V =

{−7

2,13

2

}

D. V =

{−7

2,7

6

}

E. V =

]−∞,−13

4

]∪[

17

4,+∞

[

F. V =

]−∞,−1

3

]∪ [1,+∞[

Oefening 8

A. V =

{−5

2, 2

}B. V =

{2

3

}C. V =

{−1

3,7

2

}D. V = ∅

E. V =

{4

3,5

2

}

F. V =

{−1

2−√

69

6,−1

2+

√69

6

}

G. V = {2, 3}

H. V = {−1, 3}

I. V =

{3

2, 2

}


Oefening 9

A. V =

{−2,

1

2, 2, 3

}B. V = {−2, 2}

C. V =

{−1, 1,

3

2

}D. V =

{−1, 0,

3

2, 2

}E. V = {−1, 1}

Oefening 10

A. V =

{1

2,5

3

}

B. V =

{1

4,3

2

}C. V =

{− 5

63

}

D. V =

{3

2, 2

}E. V = ∅

Oefening 11

A. V = {(−3,−4)}

B. V =

{(1

3,4

3)

}C. V = {(−2, 0)}

D. V = ∅

E. V = {(7,−4)}

F. V =

{(1

4,−3

4)

}G. V = {( 3,−1 )}

H. V = {( 1, 1 )}

I. V = {( 2,−3 )}

J. V = {( 1, 2 )}

K. V = {(− 1, 3 )}

L. V = ∅

M. V = {(− 2, 2 )}

N. V = {( 1− t, t ) | t ∈ R}

O. V = {( 2, 3 )}

P. V = {(2, 3), (2,−3), (−2, 3), (−2,−3)}

Q. V ={

(√

2, 1), (√

2,−1), (−√

2, 1), (√

2,−1)}

Oefening 12

a =1

2

Oefening 13

a = 1 of a = −2


Hoofdstuk 3

Meetkunde

3.1 Euclidische meetkunde

Hier vatten we enkele basisbegrippen uit de vlakke meetkunde samen, zoals hoeken, drie-hoeken en cirkels. De naam Euclidische meetkunde komt van Euclides van Alexandrie (265- 200 v.C.) die in zijn twaalfdelig werk De Elementen op een deductieve manier, vanaf en-kele axioma’s, de vlakke meetkunde opbouwde met alle stellingen die in de Griekse Oudheidbekend waren. Omdat herwerkingen en vertalingen van zijn werk van de Middeleeuwen totmidden vorige eeuw het standaardwerk van vlakke meetkunde voor het Europese onderwijsvormden, zijn De Elementen het meest verkochte en gelezen boek na de Bijbel.

3.1.1 Hoeken

Figuur 3.1: Gelijkheid vanhoeken

Als twee evenwijdige rechten a en b gesneden worden door eenandere rechte s, dan geldt:

• Elke twee overeenkomstige hoeken zijn gelijk. In Figuur3.1 geldt dan ook

α1 = β1, α2 = β2, α3 = β3 en α4 = β4.

• Elke twee verwisselende binnenhoeken zijn gelijk. In Fi-guur 3.1 geldt dan ook

α3 = β1 en α4 = β2

• Elke twee verwisselende buitenhoeken zijn gelijk. In Fi-guur 3.1 geldt dan ook

α1 = β3 en α2 = β4

40

3.1.2 Driehoeken

De som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan 180◦.

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze dezelfde overeenkomstige hoeken hebben. Omte bewijzen dat twee driehoeken gelijkvormig zijn, volstaat het om aan te tonen dat tweehoeken van de ene driehoek gelijk zijn aan twee hoeken van de andere driehoek (want deoverblijvende hoek is toch 180◦ min de twee andere). De overeenkomstige zijden van tweegelijkvormige driehoeken 4abc en 4def zijn evenredig, m.a.w.

|ab||de|

=|bc||ef |

=|ac||df |

Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en het midden vande overstaande zijde; zie Figuur 3.2(a). De zwaartelijnen van een driehoek gaan door eenpunt, genaamd het zwaartepunt. De afstand van het zwaartepunt tot een hoekpunt is hetdubbel van de afstand van het zwaartepunt tot het midden van de overstaande zijde: hetzwaartepunt verdeelt een zwaartelijn dus in 1

3en 2

3van haar lengte binnen de driehoek.

Figuur 3.2: (a) zwaartelijnen, (b) hoogtelijnen en (c) bissectrices

Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gaat en die loodrechtstaat op de overstaande zijde; zie Figuur 3.2(b). De hoogtelijnen van een driehoek gaan dooreen punt, namelijk het hoogtepunt.

De bissectrice of deellijn van een hoek is de rechte door het hoekpunt die de hoek in tweegelijke delen verdeelt; zie Figuur 3.2(c). De bissectrices van een driehoek gaan door eenpunt; men kan aantonen dat dit het middelpunt van de ingeschreven cirkel is.

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarbij alle zijden even lang zijn, of gelijkwaar-dig, waarbij alle hoeken even groot zijn (nl. 60◦). In zo’n driehoek vallen de zwaartelijn, dehoogtelijn en de bissectrice door een hoekpunt samen.

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarbij een van de hoeken 90◦ is. In dergelijkedriehoeken geldt de stelling van Pythagoras:

|ac|2 = |ab|2 + |bc|2

waarbij |ac| de schuine zijde is en |ab| en |bc| de rechthoekzijden zijn in de rechthoekigedriehoek 4abc.


De oppervlakte van een willekeurige driehoek kan berekend worden als

basis · hoogte

2.

Een andere formule voor de oppervlakte is

|ab| · |ac| · sinα2

waarbij α de hoek is die ingesloten wordt door de lijnstukken [ab] en [ac].

3.1.3 Cirkels

De omtrek van een cirkel met straal r is 2πr.

De oppervlakte van een cirkel met straal r is πr2.

Een cirkelsector is een deel van een cirkel dat begrensd is door een boog en de benen van decorresponderende middelpuntshoek; zie het gearceerde deel in Figuur 3.3(a). De oppervlaktevan een cirkelsector is, met α in radialen,

α

2· r2

Figuur 3.3: (a) cirkelsector en (b) cirkelsegment

Een lijnstuk dat begrensd wordt door twee punten van een cirkel wordt een koorde genoemd.

Een cirkelsegment is een deel van een cirkel dat begrensd is door een boog en de koordedoor de eindpunten van de boog; zie het gearceerde deel in Figuur 3.3(b). De oppervlaktevan een cirkelsegment is, met α in radialen,

α− sinα

2· r2


3.2 Cartesiaanse meetkunde – rechten

In dit deel herhalen we de analytische meetkunde, ook wel cartesiaanse meetkundegenoemd, naar Rene Descartes (Cartesius, 1596 - 1650). Hij coordinatiseerde het vlak mettwee coordinaten (x, y), stelde vast dat (x, y)-koppels die aan eerstegraadsvergelijkingenvoldeden, precies de rechten van het vlak waren en begreep dat de oplossingen van stelselsovereenkwamen met de snijpunten van de overeenkomstige rechten. Descartes had dus eenmanier om (meetkundige) problemen over rechten en krommen in het vlak te vertalen naarde (algebra¨sche) wereld van vergelijkingen en stelsels.

Het gebruik van deze wisselwerking was een van de mijlpalen in de ontwikkeling van demoderne wiskunde.

Hoewel ook cirkels, parabolen en andere kegels en ook ingewikkelder krommen te beschrijvenzijn met analytische meetkunde, zullen we ons hier beperken tot rechten in het (x, y)-vlak.

3.2.1 De standaardvergelijking van een rechte

Een rechte wordt beschreven door een lineaire vergelijking in x en in y, dus van de vorm

ax+ by = c.

Indien b verschillend is van nul kan de eerste vergelijking herschreven worden in de vorm

y = mx+ q.

Inderdaad, indien b 6= 0 kan in deze vergelijking y afgezonderd worden:

ax+ by = c⇔ by = −ax+ c⇔ y = −abx+

c

b

en dus m = −ab

en q = cb.

Indien b = 0, is de rechte met vergelijking ax = c evenwijdig met de y-as. We besluitendus dat elke rechte die niet evenwijdig is met de y-as in de standaardvorm y = mx + q kangebracht worden. Bij zo’n rechte noemen het reeel getal m de richtingscoefficient of korterrico. Zowel m als q kunnen we meetkundig interpreteren.

3.2.2 Interpretatie van q

Beschouw een rechte met vergelijking y = mx+ q. Stellen we in deze vergelijking x = 0, danvolgt vinden we dat y = q. Het punt (x = 0, y = q) is dus een punt op deze rechte. Merk opdat dit punt op de y-as gelegen is. Het getal |q| geeft dus de afstand tussen de oorsprong enhet snijpunt van de rechte met de y-as. Het getal q is dus een maat voor de grootte van hetstuk dat door de rechte wordt afgesneden op de y-as.


Figuur 3.4: Meetkundige betekenis van q (q > 0)

3.2.3 Richtingscoefficient

Indien twee punten van een rechte, (x1, y1) en (x2, y2), gegeven zijn, dan kan men de rich-tingscoefficient zo berekenen

m =y2 − y1

x2 − x1

De grootte van m is een maat voor de steilheid van de rechte.

Stijgende rechte: m > 0

Zij R een rechte met richtingscoefficient m > 0. We kiezen twee punten (x1, y1) en (x2, y2)op R.

Omdat m = y2−y1x2−x1 positief is, zullen teller en noemer van deze breuk hetzelfde teken moeten

hebben. Als dus x2 > x1 (dit betekent dat de noemer x2 − x1 > 0), zal ook y2 − y1 > 0moeten zijn. Er volgt dus dat y2 > y1. Met andere woorden: het linkse punt ligt lager danhet rechtse punt – de rechte is stijgend (zie figuur 3.5(a)).

Dalende rechte: m < 0

Zij R een rechte met richtingscoefficient m < 0. Kies twee punten (x1, y2) en (x2, y2) op Rzodat x2 > x1.

Omdat m = y2−y1x2−x1 negatief is, zullen teller en noemer van deze breuk verschillend teken

moeten hebben. Als dus x2 > x1 (dit betekent dat de noemer x2 − x1 > 0), zal y2 − y1 < 0moeten zijn. Er volgt dus dat y2 < y1. Met andere woorden: het linkse punt ligt hoger danhet rechtse punt – de rechte is dalend (zie figuur 3.5(b)).


Figuur 3.5: (a) stijgend: m > 0, (b) dalend: m < 0.

Horizontale rechte: m = 0

De vergelijking van de rechte wordt gegeven door y = q. Alle punten (x, y) die hieraanvoldoen, hebben een vaste y-waarde. We verkrijgen een horizontale rechte, dus evenwijdigmet de x-as.

3.2.4 Vergelijking van een rechte met gegeven rico, door een punt

Onderstel dat een punt (x1, y1) en de richtingscoefficient m van een rechte gegeven zijn, engevraagd wordt om de vergelijking van de rechte op te stellen. We weten dat de rechteeen vergelijking heeft van de vorm y = mx + q en vermits m gegeven is rest ons nog q teberekenen. Uitdrukken dat het punt (x1, y1) op de rechte ligt, levert:

y1 = mx1 + q.

In deze vergelijking is q de onbekende, die we door de andere getallen kunnen bepalen:

q = y1 −mx1.

De vergelijking van de rechte wordt dus gegeven door

y = mx+ (y1 −mx1)

ofwely − y1 = m(x− x1).


3.2.5 Vergelijking van een rechte door twee punten

Onderstel dat twee verschillende punten (x1, y1) en (x2, y2) gegeven zijn. Gevraagd wordtom de vergelijking van de rechte door deze twee punten op te stellen. We sluiten eerst tweebijzondere gevallen uit.

• Geval x2 = x1. In dit geval betreft het een rechte evenwijdig met de y-as. De verge-lijking wordt dan gegeven door x = x1.• Geval y2 = y1. Het betreft een rechte evenwijdig met de x-as en de vergelijking wordt

gegeven door y = y1.• Algemeen geval De rechte heeft een vergelijking van de vorm y = mx + q, waarbijm gegeven wordt door de formule

m =y2 − y1

x2 − x1

We kennen nu de richtingscoefficient en een punt en kunnen dus de formule uit de vorigeparagraaf toepassen. De vergelijking wordt dus:

y − y1 =y2 − y1

x2 − x1

(x− x1)

Merk op dat dit geval de twee vorige gevallen als bijzonder geval toelaat. Als x1 = x2

dan is m niet gedefinieerd (de formule kan niet toegepast worden vermits we zoudenmoeten delen door x2 − x1 = 0) en verkrijgen we inderdaad een rechte evenwijdig aande y-as met vergelijking x = x1. Als y1 = y2, dan is m = 0 en we verkrijgen inderdaadeen rechte evenwijdig aan de x-as met vergelijking y = y1.

3.2.6 Evenwijdige en loodrechte rechten

Twee rechten met vergelijkingen y = mx + q en y = m′x + q′ zijn evenwijdig als en slechtsals m = m′. Evenwijdige rechten hebben dus gelijke richtingscoefficienten.

Twee rechten met vergelijkingen y = mx + q en y = m′x + q′ staan loodrecht op elkaarals en slechts als mm′ = −1. Loodrechte rechten hebben dus omgekeerd tegengestelderichtingscoefficienten.

3.2.7 De doorsnede van twee rechten

We willen de doorsnede bepalen van twee rechten R1 en R2. We veronderstellen dat devergelijking van de rechten gegeven wordt door

R1 : a1x+ b1y = c1 en R2 : a2x+ b2y = c2.


De doorsnede van deze twee rechten bestaat dan uit alle punten die zowel op de rechte R1

als op de rechte R2 liggen. Anders gezegd: de doorsnede bestaat uit alle punten (x, y) diezowel voldoen aan de vergelijking van de rechte R1 als aan de vergelijking van de rechte R2.De punten (x, y) van de doorsnede voldoen dus aan:{

a1x+ b1y = c1

a2x+ b2y = c2

Om de doorsnede van de twee rechten te bepalen volstaat het dus om het bovenstaand stelselop te lossen. Om dat te doen verwijzen we naar paragraaf 2.7.

3.3 Vectormeetkunde

Een vector is een grootheid die gekenmerkt wordt door een grootte, richting en zin. Tweevectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte, richting en zin hebben.

Een vector noteert men doorgaans als een letter met een pijl boven, bv. −→a . De grootte wordtgenoteerd met ‖−→a ‖.

Een vector wordt grafisch voorgesteld door een pijl tussen twee punten. Omdat enkel degrootte, richting en zin een vector bepalen, worden verschuivingen van zo’n pijl als dezelfdevector beschouwd.

Vectoren in het vlak kunnen ge¨dentificeerd worden met koppels (x, y) van reele getallen.Optelling van vectoren en vermenigvuldiging met getallen wordt dan ook coordinaatsgewijsgedefinieerd. In de context van vectorruimten worden getallen vaak scalairen genoemd.

Omdat vectoren eigenlijk niets anders zijn dan koppels getallen, wordt een vector meestalvoorgesteld waarbij hij aangrijpt in de oorsprong: het beginpunt van de pijl wordt in (0,0)gelegd. Zo is het eindpunt precies het punt (x, y) dat met deze vector correspondeert.

3.3.1 Scalaire vermenigvuldiging

Voor r ∈ R en een vector (a, b) definieren we de scalaire vermenigvuldiging coordinaatsgewijsals r · (a, b) = (ra, rb).

Grafisch is dit een herschaling van de pijl in dezelfde richting met factor |r|. De zin keertom (d.w.z. de pijl wijst in de andere richting) als r < 0.

3.3.2 Optelling van vectoren

Voor −→v1 = (a1, b1) en −→v2 = (a2, b2) geldt −→v1 +−→v2 = (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2).


Figuur 3.6: (a) Optelling van vectoren, (b) Tegengestelde vector

De som komt overeen met de diagonaal van het parallellogram dat gevormd wordt vanuit devectoren −→v1 en −→v2 .

Voor −→v = (a, b) definieren we de tegengestelde vector als −−→v = (−a,−b). Voor vectoren−→v1 en −→v2 definieren we het verschil als volgt: −→v1 −−→v2 = −→v1 + (−−→v2).

3.3.3 Grootte van een vector

In het reele vlak noemen we −→e1 = (1, 0) en −→e2 = (0, 1) de eenheidsvectoren in respectievelijkde x-richting en de y-richting. Hiermee kunnen we een willekeurige vector, −→v = (a, b), alsvolgt ontbinden:

−→v = a−→e1 + b−→e2 .

De grootte van de vector −→v = (a, b) is dan ‖−→v ‖ =√a2 + b2.

3.3.4 Inproduct van twee vectoren

Voor vectoren −→v1 = (a1, b1) en −→v2 = (a2, b2) definieren we het het inproduct als

−→v1 · −→v2 = a1a2 + b1b2.

De vectoren −→v1 en −→v1 loodrecht op elkaar als hun inproduct 0 is, d.w.z. als −→v1 · −→v2 = 0.


3.4 Oefeningen

Oefening 1

Bewijs dat de som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan 180◦. Hint: teken door eenvan de hoekpunten een rechte evenwijdig aan de overstaande zijde.

Oefening 2

Geef een formule voor de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek in termen van de lengte` van de zijden.

Oefening 3

Bepaal de afstanden x, y en z in de rechthoekige driehoek van figuur 3.7(a).

Figuur 3.7: (a) Oefening 3 (b) Oefening 4

Oefening 4

De vierhoek ABCD is een deel van een gelijkzijdige driehoek (zie figuur 3.7(b)). De lijn-stukken [AB] en [CD] zijn evenwijdig. Bereken de oppervlakte van deze vierhoek. Gebruikde formule uit Oefening 2.


Oefening 5

Figuur 3.8: Oefening 5

Beschouw de gelijkzijdige driehoek ABC waarvan dehoekpunten A en B op een cirkel met straal r gelegenzijn en het hoekpunt C in het middelpunt van dezecirkel gelegen is.

A. Bereken de lengte van de cirkelboog AB

B. Bereken de oppervlakte van de driehoek ABC

C. Bereken de oppervlakte van het cirkelsectorABC

Oefening 6

A. Bepaal de rechte door (−1, 3) met rico−1

2.

B. Bepaal de rechte door (0, 1) met rico 2.

C. Bepaal de rechte door (−3,−1) met rico1.

D. Bepaal de rechte door (2,−1) met rico35.

E. Bepaal de rechte door (−7, 0) met rico0.

F. Bepaal de verticale rechte door (−7, 0).

Oefening 7

A. Bepaal de rechte door (2, 1) en(−1,−5).

B. Bepaal de rechte door (2, 2) en (3, 2).

C. Bepaal de rechte door (1, 1) en(−1,−1).

D. Bepaal de rechte door (2, 1) en (3, 1).

E. Bepaal de rechte door (2, 1) en (0, 3).

F. Bepaal de rechte door (−1,−1) en(−1, 3).

Oefening 8

A. Bepaal de vergelijking van de rechte die op de positieve x-as een stuk met lengte 2afsnijdt en op de positieve y-as een stuk van lengte 6 afsnijdt.

B. Bepaal de vergelijking van de rechte die op de positieve x-as een stuk met lengte 4afsnijdt en op de negatieve y-as een stuk van lengte 3 afsnijdt.


Oefening 9

In elk van de volgende gevallen is telkens de vergelijking van een rechte R en een puntgegeven (x1, y1). Gevraagd wordt om de vergelijking van de rechte R1, evenwijdig met degegeven rechte en door het punt (x1, y1), te bepalen. Bepaal eveneens de vergelijking van derechte R2 die door het punt (x1, y1) gaat en loodrecht op de gegeven rechte staat. Voor dewerkwijze, zie paragraaf 3.2.6.

A. R : 2x+ y = 1 en (x1, y1) = (2, 3)

B. R : −x+ 2y = −1 en (x1, y1) = (1, 1)

C. R : x+ 4 = 0 en (x1, y1) = (1, 3)

D. R : y − 2 = 0 en (x1, y1) = (1,−2)

E. R : 4x− 2y = 2 en (x1, y1) = (1, 1)

F. R : x = 7 en (x1, y1) = (−1, 7)

Oefening 10

A. Gegeven zijn de punten (t2−4t, 5) en (−4, 4). Voor welke waarde(n) van de parametert is hun verbindingsrechte evenwijdig met de x-as? En met de y-as?

B. Gegeven zijn de punten (t, 3) en (6, t2 + 2t). Voor welke waarde(n) van de parametert is hun verbindingsrechte evenwijdig met de x-as? En met de y-as?

Oefening 11

A. Bepaal de vergelijking van de rechte die op de positieve x-as een stuk van lengte 3afsnijdt en die evenwijdig is met de vergelijking x− 2y = 3.

B. Bepaal de vergelijking van de rechte die op de positieve y-as een stuk van lengte 2afsnijdt en die loodrecht staat op de rechte met de vergelijking 2x+ 4y = 1.

Oefening 12

Bepaal in elke van de volgende gevallen de doorsnede van de rechten R1 en R2. Voor dewerkwijze, zie paragraaf 3.2.7.

A. R1 : 2x+ y = 3, R2 : x− 2y = −1

B. R1 : x+ 2y = 2, R2 : 2x+ 4y = 4;

C. R1 : 2y + 3x = −1, R2 : 3x− 2y = 1

D. R1 : 2x+ 5y = 1, R2 : 4x+ 10y = 3

E. R1 : 2x+ 2y = 1, R2 : 3x− 5y = −5

F. R1 : 2x− 12y = 2, R2 : 2y − 1

2x = −1


3.5 Oplossingen

Oefening 2

Oppervlakte =√

34`2

Oefening 3

x = 4, y = 4√

5, z = 2√

5

Oefening 4

Oppervlakte = 7√

3

Oefening 5

A. Lengte cirkelboog = π3r B. Opp. driehoek =

√3

4r2 C. Opp. cirkelsector = π

6r2

Oefening 6

A. 2y + x = 5

B. y − 2x = 1

C. y − x = 2

D. 5y − 3x = −11

E. y = 0

F. x = −7

Oefening 7

A. y − 2x = −3

B. y = 2

C. y − x = 0

D. y = 1

E. y + x = 3

F. x = −1

Oefening 8

A. y + 3x = 6 B. 4y − 3x = −12


Oefening 9

A. R1 : y + 2x = 7, R2 : 2y − x = 4

B. R1 : 2y − x = 1, R2 : y + 2x = 3

C. R1 : x = 1, R2 : y = 3

D. R1 : y = −2, R2 : x = 1

E. R1 : y − 2x = −1, R2 : x+ 2y = 3

F. R1 : x = −1, R2 : y = 7

Oefening 10

A. Voor geen enkele waarde van t is de rechte evenwijdig met de x-as. Voor t = 2 is derechte evenwijdig met de y-as.

B. Voor t = 1 of t = −3 is de rechte evenwijdig met de x-as. Voor t = 6 is de rechteevenwijdig met de y-as.

Oefening 11

A. 2y − x = −3 B. y − 2x = 2

Oefening 12

A. R1 ∩R2 = {(1, 1)}

B. R1 ∩R2 = R1 = R2

C. R1 ∩R2 = {(0,−12)}

D. R1 ∩ R2 = ∅ (m.a.w. de rechten R1 enR2 zijn evenwijdig)

E. R1 ∩R2 = {(− 516, 13

16)}

F. R1 ∩R2 = {(1415,− 4

15)}


Hoofdstuk 4

Goniometrie

4.1 Hoeken op de goniometrische cirkel

De goniometrische cirkel is de eenheidscirkel van het vlak, waarop elke hoek kan voorge-steld worden. Het is een cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal 1. Hoeken wordengemeten vanaf de positieve x-as en vanaf daar in tegenwijzerzin (ook wel goniometrischezin genoemd, dus vanaf de positieve x-as naar boven).

Figuur 4.1: Goniometrische cirkel met hoek

De goniometrische cirkel wordt onderverdeeld in 4 kwadranten, genummerd in stijgendevolgorde van de grootte van de hoeken die erin liggen.

Figuur 4.2: Kwadranten in goniometrische cirkel

54

Er zijn twee eenheden om de grootte van een hoek uit te drukken. De bekendste is hetzestigdelige stelsel van graden. Graden worden onderverdeeld in minuten en seconden:1◦ = 60′ = 60 · 60′′ = 3600′′. Een volledige cirkelomtrek is 360◦, een rechte hoek bedraagt90◦.

De meest wetenschappelijke eenheid voor hoeken, die ook in de universiteitscursussen door-gaans gehandhaafd wordt, is de radiaal. Een radiaal is de hoek die overeenkomt met eenboogomtrek op de goniometrische cirkel van lengte 1. Een volledige cirkelomtrek bedraagt2π, een rechte hoek is π/2. Meestal wordt de eenheid van radialen niet genoteerd.

Een hoek van 0 rad valt samen met een hoek van 2π rad. Telkens je bij een hoek een veelvoudvan 2π bijtelt, krijg je hetzelfde punt op de goniometrische cirkel.

Vermits een hoek van π rad samenvalt met een hoek van 180◦ kunnen volgende formulesgebruikt worden om graden in radialen om te zetten en omgekeerd. Om een hoek van gradennaar radialen om te zetten vermenigvuldig je met π

180en om van radialen naar graden om te

zetten vermenigvuldig je met 180π

. Bijvoorbeeld:

90◦ = 90 · π180

=π

2− π

4= −π

4· 180

π= −45◦

4.2 Goniometrische getallen

4.2.1 Sinus, cosinus, tangens

Elke hoek bepaalt een punt op de goniometrische cirkel. De cosinus van een hoek is dex-coordinaat van dat punt. De sinus van een hoek is de y-coordinaat van dat punt (ziefiguur 4.3). Uit deze definitie volgt dat −1 6 sinα 6 1 en −1 6 cosα 6 1 ∀α ∈ R.


Figuur 4.3: Definitie van sinus en cosinus

De andere goniometrische getallen worden gedefinieerd vanuit sinus en cosinus.

tanα =sinα

cosαals cosα 6= 0

cotα =cosα

sinαals sinα 6= 0

secα =1

cosαals cosα 6= 0

cosecα =1

sinαals sinα 6= 0

Ook de tangens en cotangens van een hoek kunnen afgelezen worden op de goniometrischecirkel. Om de tangens af te lezen, tekent men x = 1: de raaklijn aan de goniometrischecirkel in het punt (1, 0), vervolgens trekt men de rechte die de hoek definieert verder tot hetsnijpunt met de raaklijn. Het lengte van het lijnstuk dat op die manier wordt afgesneden opde raaklijn (met minteken indien onder de x-as) is de tangens van die hoek. Om de cotangensaf te lezen gaat men op dezelfde wijze te werk, alleen gebruikt men dan de raaklijn in hetpunt (0, 1) (zie figuur 4.4).

Het teken van de sinus, cosinus en tangens is constant voor alle hoeken in eenzelfde kwa-drant (zie figuur 4.5). Een hoek in het tweede kwadrant heeft bijvoorbeeld een positievesinuswaarde en een negatieve cosinuswaarde: immers, de y-coordinaat ligt op het positievedeel van de y-as en de x-coordinaat ligt op het negatieve deel van de x-as. Voor zo een hoekis de tangenswaarde ook negatief (als quotient van een positief en een negatief getal).


Figuur 4.4: Tangens en cotangens

Figuur 4.5: Teken van sinus, cosinus en tangens

4.2.2 Grondformule van de goniometrie

Door de definitie van sinus en cosinus geldt voor elke hoek α dat

sin2 α + cos2 α = 1

Bijvoorbeeld:

α =π

6→ sin2 α + cos2 α =

(1

2

)2

+

(√3

2

)2

=1

4+

3

4= 1


4.2.3 Veelgebruikte goniometrische waarden

α 0π

6

π

4

π

3

π

2π

3π

22π

sinα 01

2

√2

2

√3

21 0 -1 0

cosα 1

√3

2

√2

2

1

20 -1 0 1

tanα 01√3

1√

3 / 0 / 0

4.2.4 Hoeken bepalen uit goniometrische waarden

Wanneer je een goniometrisch getal kent van een hoek, en het kwadrant, dan kan je de groottevan die hoek bepalen, door de inverse bewerking uit te voeren. De numerieke waarde werdvroeger met tabellen, maar tegenwoordig met rekentoestellen of computeralgebrapakkettenbepaald. De notatie voor de inverse van de sinus is

sin−1 of Arcsin of Bgsin .

Opgelet: een rekentoestel geeft telkens 1 uitkomst voor de hoek, maar soms is het nodigom met de formules van verwante hoeken de andere hoeken te berekenen die dezelfde sinus,cosinus of tangens hebben.

4.2.5 Goniometrische waarden bepalen uit goniometrische waar-den

Als een bepaald goniometrisch getal van een hoek (en haar kwadrant) gegeven zijn en anderegoniometrische getallen gezocht worden, is het op zich mogelijk om eerst de hoek te bepalenen daarvan de gezochte goniometrische functies te berekenen. Echter, er zijn voldoenderedenen om aan te nemen dat het eenvoudiger kan op een andere manier. Zeker als ernumerieke waarden in het spel zijn, is het een onnodige omweg die voor afrondingsfoutenkan zorgen.

Door gebruik te maken van de grondformule en de verbanden tussen de verschillende go-niometrische getallen, kan je alle goniometrische getallen van een hoek bepalen, indien jeeen van van deze getallen kent en weet tot welk kwadrant de hoek behoort. We geven tweevoorbeelden.


Gegeven: cosα = 45, α ∈ I (eerste kwadrant). Gevraagd: sinα, tanα, cotα. Oplossing:

•sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ sinα = ±

√1− cos2 α

α ∈ I dus sinα is positief

•

sinα =√

1− cos2 α =

√1−

(4

5

)2

=

√1− 16

25=

√9

25=

3

5

•tanα =

sinα

cosα=

3/5

4/5=

3

4

•cotα =

cosα

sinα=

4/5

3/5=

4

3

Gegeven: tanα = −12, α ∈ IV (vierde kwadrant). Gevraagd: sinα, cosα, cotα. Oplossing:

•cotα =

1

tanα= −2

•tanα =

sinα

cosα⇒ tan2 α =

sin2 α

cos2 α=

1− cos2 α

cos2 α

⇒ cos2 α tan2 α = 1− cos2 α

⇒ cos2 α(tan2 α + 1) = 1

⇒ cos2 α =1

1 + tan2 α⇒ cosα = ±

√1

1 + tan2 α•

α ∈ IV dus cosα is positief

cosα = +

√1

1 +(−1

2

)2 =

√1

1 + 14

=

√154

=

√4

5=

2√

5

5

•α ∈ IV dus sinα is negatief

sinα = ±√

1− cos2 α = −

√1−

(2√5

)2

= −√

1− 4

5= −

√1

5= −

√1

5.

√5

5= −√

5

5


4.3 Verwante hoeken

4.3.1 Gelijke hoeken

Twee hoeken bepalen hetzelfde punt op de goniometrische cirkel, indien ze een veelvoud van2π van elkaar verschillen: β = α + 2kπ k ∈ Z. Voor dergelijke hoeken geldt (zie figuur4.6(a)):

cos (α + 2kπ) = cosα sin (α + 2kπ) = sinα tan (α + 2kπ) = tanα

4.3.2 Tegengestelde hoeken

Men noemt twee hoeken tegengesteld indien hun som gelijk is aan nul: β = −α. Voordergelijke hoeken geldt (zie figuur 4.6(b)):

cos (−α) = cosα sin (−α) = − sinα tan (−α) = − tanα

Figuur 4.6: (a) Gelijke hoeken, (b) Tegengestelde hoeken

4.3.3 Complementaire hoeken

Men noemt twee hoeken complementair, indien hun som gelijk is aan π2, of β = π

2− α. Voor

dergelijke hoeken geldt (zie figuur 4.7):

cos (π

2− α) = sinα sin (

π

2− α) = cosα tan (

π

2− α) =

1

tanα= cotα


4.3.4 Supplementaire hoeken

Men noemt twee hoeken supplementair indien hun som gelijk is aan π, of β = π − α. Voordergelijke hoeken geldt (zie figuur 4.7):

cos (π − α) = − cosα sin (π − α) = sinα tan (π − α) = − tanα

Figuur 4.7: (a) Complementaire hoeken, (b) Supplementaire hoeken

4.3.5 Uitdrukkingen vereenvoudigen

De identiteiten tussen verwante hoeken kunnen gebruikt worden om ingewikkelde uitdruk-kingen te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld, om

sin (π + α)

cos (2π + α)· (1− sin2 α)

cos (−α)

te vereenvoudigen, kunnen we de volgende gelijkheden gebruiken.

• cos(−α) = cosα• 1− sin2 α = cos2 α• sin (π + α) = sin (π − (−α)) = sin (−α) = − sinα• cos (2π + α) = cosα

Dan krijgen we

sin (π + α)

cos (2π + α)· (1− sin2 α)

cos (−α)=− sinα

cosα· cos2 α

cosα= − sinα


4.4 Goniometrische formules

4.4.1 Som- en verschilformules

De goniometrische getallen voor een som of verschil van twee hoeken kunnen als volgt bere-kend worden:

cos (α + β) = cosα cos β − sinα sin β

cos (α− β) = cosα cos β + sinα sin β

sin (α + β) = sinα cos β + sin β cosα

sin (α− β) = sinα cos β − sin β cosα

tan (α + β) =tanα + tan β

1− tanα tan β

tan (α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β

4.4.2 Verdubbelings- en halveringsformules

Kiezen we in de somformules beide hoeken gelijk, dan vinden we:

cos 2α = cos2 α− sin2 α = 1− 2 sin2 α = 2 cos2 α− 1

sin 2α = 2 cosα sinα

tan 2α =2 tanα

1− tan2 α

Noemen we t = tanα

2, dan vinden we vanuit de verdubbelingsformules:

cosα =1− t2

1 + t2want cosα = cos2 α

2− sin2 α

2=

cos2 α2− sin2 α

2

cos2 α2

+ sin2 α2

=1− tan2 α

2

1 + tan2 α2

sinα =2t

1 + t2want sinα = 2 cos

α

2sin

α

2=

2 cos α2

sin α2

cos2 α2

+ sin2 α2

=2 tan α

2

1 + tan2 α2

tanα =2t

1− t2want tanα =

2 tan α2

1− tan2 α2

Deze formules zijn vaak handig bij het berekenen van integralen.


4.4.3 Formules van Simpson en omgekeerde formules

Voor de volledigheid nemen we in dit naslagwerk nog de formules van Simpson op. Debovenste drie formules kunnen bekomen worden door gepaste sommen of verschillen te nemenvan de som- en verschilformules, de onderste vier worden uit deze erboven bekomen doorα + β = x, α− β = y te stellen – het zijn die laatste die de formules van Simpson genoemdworden: ze zijn er om sommen van sinussen en cosinussen in producten om te zetten.

cosα · cos β =1

2[cos (α + β) + cos (α− β)]

sinα · sin β = −1

2[cos (α + β)− cos (α− β)]

sinα · cos β =1

2[sin (α + β) + sin (α− β)]

sinx+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y2

sinx− sin y = 2 cosx+ y

2sin

x− y2

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x− y2

cosx− cos y = −2 sinx+ y

2sin

x− y2

Toepassingen van de formules

De formules voor verwante hoeken, samen met de formules uit deze paragraaf, zijn eenkrachtig wapen om nieuwe identiteiten te bewijzen, goniometrische uitdrukkingen uit tewerken en goniometrische getallen van bepaalde hoeken te bepalen. Drie voorbeelden.

• Bewijs de formulesin (α + β)

tanα + tan β=

sin (α− β)

tanα− tan β

Oplossing: we vereenvoudigen beide leden afzonderlijk.

sin (α + β)

tanα + tan β=

sinα cos β + sin β cosαsinαcosα

+ sinβcosβ

=sinα cos β + sin β cosα

sinα cosβ+sinβ cosαcosα cosβ

= cosα cos β

sin (α− β)

tanα− tan β=

sinα cos β − sin β cosαsinαcosα− sinβ

cosβ

=sinα cos β − sin β cosα

sinα cosβ−sinβ cosαcosα cosβ

= cosα cos β

We bekomen twee keer hetzelfde, dus zijn de oorspronkelijke formules ook aan elkaargelijk.


• Bepaal een uitdrukking voor sin (3α), in functie van goniometrische getallen van α.Oplossing: we gebruiken een combinatie van somformules:

sin 3α = sin (α + 2α)

= sinα cos 2α + sin 2α cosα

= sinα(2 cos2 α− 1) + 2 sinα cosα cosα

= 2 sinα cos2 α− sinα + 2 sinα cos2 α

= 4 sinα cos2 α− sinα = 4 sinα(1− sin2 α)− sinα

= 4 sinα− 4 sin3 α− sinα

= 3 sinα− 4 sin3 α

• Bereken sin π12

door gebruik te maken van de goniometrische getallen van π6, π

4en π

3.

Oplossing: er geldt π12

= 3π12− 2π

12= π

4− π

6, zodat

sinπ

12= sin(

π

4− π

6) = sin

π

4cos

π

6− sin

π

6cos

π

4

=

√2

2·√

3

2− 1

2·√

2

2=

√6

4−√

2

4


4.5 Goniometrie in driehoeken

4.5.1 Goniometrie in rechthoekige driehoeken

In vele handboeken worden sinus, cosinus en tangens gedefinieerd als de verhouding vanbepaalde zijden in een rechthoekige driehoek.

Figuur 4.8: algemene rechthoekige driehoek

Sinus hoek =overstaande rechthoekszijde

schuine zijde→ sin β =

b

aen sin γ =

c

a

Cosinus hoek =aanliggende rechthoekszijde

schuine zijde→ cos β =

c

aen cos γ =

b

a

Tangens hoek =overstaande rechthoekszijde

aanliggende rechthoekszijde→ tan β =

b

cen tan γ =

c

b

4.5.2 Goniometrie in willekeurige driehoeken: sinus- en cosinus-regel

In willekeurige driehoeken bestaan er ook verbanden tussen de hoeken en zijdelengtes. Deeerste regel is de sinusregel, de andere gaan door het leven als cosinusregel.

a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ

a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cosα

b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos β

c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ


4.5.3 Voorbeelden

A. Gegeven is een rechthoekige driehoek met als schuine zijde 43 en een aanliggende hoekgelijk aan 0, 543 radialen. Bereken de andere zijden en hoeken van de rechthoekigedriehoek.

Figuur 4.9: Opgave met een rechthoekige driehoek

Oplossing. Noem de zijden en hoeken zoals op figuur 4.9, dan is β = 0, 543 en a = 43.Verder vinden we

γ = π − π

2− β = π − π

2− 0, 543 = 1, 028

sin β =b

a→ b = a · sin β = 43 sin 1, 028 = 36, 8

cos β =c

a→ c = a · cos β = 43 cos 1, 028 = 22, 2

α = π2

a = 43β = 0, 543 b = 36,8γ = 1, 028 c = 22,2

B. Zijn gegeven de twee rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek: 17 en 23. Bere-ken alle zijden en hoeken.


Figuur 4.10: Opgave met een rechthoekige driehoek

Oplossing: Geef de zijden en hoeken namen zoals op figuur 4.10. We vinden dan

a2 = b2 + c2 ⇒ a =√b2 + c2 =

√232 + 172 = 28, 60

tan β =b

c=

17

23⇒ β = Bgtan

(17

23

)= 0, 636

tan γ =c

b=

23

17⇒ γ = Bgtan

(23

17

)= 0, 934

α = π2

a = 28,60β = 0, 636 b = 17γ = 0, 934 c = 23

C. Beschouw een niet-rechthoekige driehoek met zijden a = 23, b = 17 en β = 17◦23′29”.Bereken de andere zijden en hoeken.

a

sinα=

b

sin β⇒ sinα =

a · sin βb

⇒ α = sin−1

(23 · sin(17◦23′29”)

17

)= 23◦51′10, 59”

α + β + γ = 180◦ ⇒ γ = 180◦ − α− β = 180◦ − 23◦51′10, 59− 17◦23′29”

= 138◦45′20, 41”

c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ ⇒ c =√a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ

=√

232 + 172 − 2 · 23 · 17 · cos(138◦45′20, 41′′) = 37, 50


4.6 Goniometrische functies

Hoeken worden uitgedrukt in radialen (en corresponderen dus met reele getallen). De gonio-metrische getallen sinus, cosinus, tangens etc. kunnen we dus zien als input-output-machinesdie als input een reeel getal vragen en als output weer een reeel getal geven. Dit soort objec-ten kennen we: het zijn reele functies, zoals bijvoorbeeld f : R→ R : x 7→ x2. We noteren ze(in plaats van met algemene letters f) gewoon met de namen sin, cos en tan die we gewoonzijn, bijvoorbeeld

cos : R→ R : x 7→ cosx

4.6.1 De cosinusfunctie

Met behulp van de basiswaarden uit de tabel en de formules voor verwante hoeken kanvolgende tabel worden opgesteld:

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

5π

4

3π

2

7π

42π

cosx 1

√3

2

√2

2

1

20 −1

2−√

2

2

√3

2−1 −

√2

20

√2

21

Deze tabel leidt tot een gedeeltelijke grafiek (zie figuur 4.11). Het volstaat nu om deze

Figuur 4.11: Beperkte cosinusfunctie

gedeeltelijke grafiek telkens te herhalen: volgens de eigenschappen van verwante hoeken geldtimmers (cos (α + 2kπ) = cosα) (zie figuur 4.12). De cosinusfunctie is dus een periodiekefunctie met periode 2π. Haar beeld is niet heel R, maar enkel het interval [−1, 1].

4.6.2 De sinusfunctie

Op dezelfde manier als voor de cosinusfunctie kunnen we de grafiek van de sinusfunctie vindendoor te vertrekken vanuit de tabel met basiswaarden. We kunnen echter ook vertrekken van


Figuur 4.12: Cosinusfunctie

de grafiek van cosinusfunctie en gebruik maken van de formules voor complementaire hoekenen tegengestelde hoeken:

sinα = cos(π

2− α

)= cos

(α− π

2

).

Dit betekent immers dat we de grafiek van de sinusfunctie bekomen door de grafiek van

de cosinusfunctie overπ

2eenheden naar rechts te verschuiven. Dit leidt tot de grafiek in

figuur 4.13. Ook de sinusfunctie is periodiek met periode 2π en beeld [−1, 1].

Figuur 4.13: Sinusfunctie

4.6.3 De tangensfunctie

Uit de tabel van basiswaarden volgt:

x −π2

−π3−π

4−π

60

π

6

π

4

π

3

π

2

tanx niet gedefinieerd −√

3 −1 −√

3

30

√3

31√

3 niet gedefinieerd

Hoe dichter een hoek α totπ

2nadert, (waarbij α < π

2), hoe groter tanα wordt. In dit geval zal

sinα immers naar 1 naderen, terwijl cosα naar 0 nadert, en daardoor nadert tanα, de deling


Figuur 4.14: Beperkte tangensfunctie

van sinα door cosα naar oneindig. Deze vaststellingen leiden tot een gedeeltelijke grafiek(figuur 4.14). Het volstaat nu om deze gedeeltelijke grafiek telkens te herhalen, want volgensde eigenschappen van verwante hoeken geldt dat tan(α + kπ) = tanα. De tangensfunctieperiodiek met periode π, en in tegenstelling tot de sinus is haar beeld niet begrensd.

Figuur 4.15: Tangensfunctie


4.7 Oefeningen

Oefening 1

Herleid naar zestigdelige graden. Voor de werkwijze: zie paragraaf 4.1.

A.2π

3B.

5π

6C.

7π

4D.

15π

10

Oefening 2

Herleid naar radialen. Voor de werkwijze: zie paragraaf 4.1.

A. 25◦ B. 210◦ C. 150◦ D. 310◦

Oefening 3

Bepaal het kwadrant waartoe volgende hoeken behoren:

A.5π

4B. −5π

12C.

3π

7D. −2π

3

Oefening 4

Bepaal, zonder gebruik van een rekenmachine, de overige goniometrische getallen (sinus,cosinus, tangens en cotangens). Voor uitgewerkte voorbeelden: zie 4.2.5.

A. cosα =2

3en α ∈ IV

B. sinα = −1

6en α ∈ III

C. sinα = 0.3 en α ∈ I

D. tanα = 5 en α ∈ III

E. cotα = −2.5 en α ∈ II

F. cosα = −0.5 en α ∈ II

Oefening 5

Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen met behulp van de formules voor verwante hoeken.Voor een uitgewerkt voorbeeld: zie 4.3.5.

A. 1 + tan2 αB.

cos (π2− α) sin (3π

2+ α)

tan (3π − α)C.

sin (π − α) sec (π + α)

tan (−α) cot (5π − α)


Oefening 6

Bewijs de volgende identiteiten. Voor een uitgewerkt voorbeeld: zie 4.4.3.

A.cos (α− β) + cos (α + β)

cos (α− β)− cos (α + β)tanα tan β =

1

B.tanα

1 + tan2 α= sinα. cosα

C. tanα− tan β =sin (α + β)

cosα cos β

D. tan (π

4− α) =

1− tanα

1 + tanα

Oefening 7

Toon aan datcos 3α = 4 cos3 α− 3 cosα.

Oefening 8

Gebruik de goniometrische getallen van π6, π

4en π

3om de volgende waarden te berekenen.

A. sin7π

12B. cos

13π

12C. tan

5π

12

Oefening 9

Vul de gegevens van deze rechthoekige driehoeken aan: bereken de andere zijden en hoeken.Voor een uitgewerkt voorbeeld: zie 4.5.3.

A. Een rechthoekige driehoek met als schuine zijde 37 en een rechthoekszijde van 26.

B. Een rechthoekige driehoek met een rechthoekszijde gelijk aan 10,7 en de overstaandehoek gelijk aan 1,169.

C. Een rechthoekige driehoek met een rechthoekszijde gelijk aan 453 en een aanliggende

hoek gelijk aanπ

7.

Oefening 10

Vul de gegevens van deze niet noodzakelijk rechthoekige driehoeken aan: bereken de anderezijden en hoeken. Voor een uitgewerkt voorbeeld: zie 4.5.3.

A. Een driehoek met a = 2, 7, β = 17◦23′ en γ = 74◦13′20”

B. Een driehoek met a = 58, b = 41 en c = 35

C. Een driehoek met c = 43, β = 41◦13′58” en a = 15


Oefening 11

Een schip vaart met een snelheid van 20 km/h in noordelijke richting. Een waarnemer aanland ziet het schip ten westen van zich een boei passeren die 2 km van hem verwijderd is.Vanaf dat ogenblik volgt hij het schip met een kijker. Hoe lang duurt het vooraleer de kijkergedraaid is over een hoek van −60◦? Op welke afstand van de waarnemer is het schip dan?

Oefening 12

Een ballon stevent af op een 20 meter hoge toren. De ballonvaarder ziet de top van de torenonder een hoek van 4◦ met de horizontale. Na 500 m horizontaal vliegen ziet hij de top ondereen hoek van 5◦30′. Hoe hoog boven de voet van de toren bevindt de ballon zich?

Oefening 13

Van een driehoek is gegeven dat ze hoeken heeft van 45◦ en 70◦. Verder is geweten dat deomtrek van de driehoek 15 cm bedraagt. Bereken de lengten van de zijden.

4.8 Oplossingen

Oefening 1

A. 2π3

= 120◦ B. 5π6

= 150◦ C. 7π4

= 315◦ D. 3π2

= 270◦

Oefening 2

A. 25◦ = 5π36

B. 210◦ = 7π6

C. 150◦ = 5π6

D. 310◦ = 31π18

Oefening 3

A. derde kwadrant B. vierde kwa-drant

C. eerste kwadrant D. derde kwadrant

Oefening 4

A. sinα = −√

53, tanα = −

√5

2, cotα =

−2√

55

B. cosα = −√

356, tanα =

√35

35, cotα =√

35


C. cosα = 3√

9191

, tanα = 3√

9191

, cotα =√

913

D. cotα = 15, cosα = −

√26

26, sinα = −5

√26

26

E. tanα = −25, cosα = −5

√29

29, sinα =

2√

2929

F. sinα =√

32, tanα = −

√3, cotα =

− 1√3

= −√

33

Oefening 5

A. 1cos2α

B. cos2 α C. − tanα

Oefening 8

A. sin7π

12=

√6

4+

√2

4B. cos

13π

12= −√

6

4−√

2

4C. tan

5π

12=

1 +√

3√3− 1

Oefening 9

A.α = π

2a = 37

β = 0, 779189 b = 26γ = 0, 791607 c = 26,32

B.α = π

2a = 11,63

β = 0, 401796 b = 4,55γ = 1, 169 c = 10,7

C.α = π

2a = 502,79

β = 5π14

b = 453γ = π

7c = 218,15

Oefening 10

A. α = 88◦23′40”, b = 0, 81, c = 2, 63

B. α = 99◦10′57, 46”. β = 44◦15′13, 53”, γ = 36◦33′49, 01”

C. b = 48, 22, α = 17◦45′54, 36”, γ = 61◦00′18, 75”

Oefening 11

Na 10 min 24 sec. De afstand tot het schip bedraagt dan 4 km.

Oefening 12

De ballon vliegt op een hoogte van 147,7 m.

Oefening 13

De lengten van de zijden zijn ongeveer 5,32 cm, 4,15 cm en 5,52 cm.


Hoofdstuk 5

Limieten

5.1 Reele functies

Een reele functie f : R → R is een formeel object dat aan elk element van R hoogstens 1ander element van R associeert. Indien x ∈ R, dan noteren we het reeel getal dat door faan x geassocieerd wordt als f(x). Men noemt f(x) ook het beeld van x onder f . Merk opdat, afhankelijk van het functievoorschrift, het mogelijk is dat voor een gegeven x ∈ R, hetbeeld van x niet gedefinieerd is.

Het voorschrift f(x) = x2 definieert bijvoorbeeld inderdaad een functie: voor elke x ∈ Rbestaat er hoogstens een beeld. Zo is f(2) = 22 = 4. Merk op dat hier zelfs elk reeel getaleen beeld heeft.

Ook het voorschrift f(x) =√x stelt een functie voor: voor elke x ∈ R bestaat er hoogstens

een beeld. Zo is f(4) = 2, maar f(−4) is niet gedefinieerd (de vierkantswortel van eennegatief getal is geen reel getal). We besluiten dus dat de functie f enkel gedefinieerd is voorpositieve reele getallen.

Het definitiegebied of domein van een reele functie f (notatie dom(f)) is de verzamelingvan alle reele getallen die een beeld hebben onder f . Het is de deelverzameling van R metprecies die x’en waarvoor f(x) gedefinieerd is.

De verzameling van alle reele getallen die het beeld zijn van een reeel getal onder f , noemtmen het bereik of beeld van f (notatie: im(f)). Om te bepalen of een reeel getal y0 totim(f) behoort, volstaat het om na te gaan of de vergelijking f(x) = y0 een oplossing heeftin x.

Formeel zijn deze verzamelingen dus

dom(f) = {x ∈ R | ∃y : f(x) = y} en im(f) = {y ∈ R | ∃x : f(x) = y}

We beschouwen opnieuw de functie f : x 7→ x2. Vermits elke reel getal kan worden gekwadra-teerd, is de functie gedefinieerd voor alle reele getallen. We besluiten dus dat dom(f) = R.

75

Vermits het kwadraat van een reel getal steeds positief is, besluiten we dat het bereik van fgeen negatieve getallen kan bevatten; vermits elk positief getal een vierkantswortel heeft, iselk positief getal wel bevat in het beeld. We besluiten dat im(f) = R+ = {x ∈ R | x > 0}.Beschouw nu de functie f : x 7→ 1

x. Vermits we voor alle reele getallen, uitgezonderd 0, de

inverse kunnen berekenen, besluiten we dat dom(f) = R \ {0}. Om im(f) te bepalen gaanwe na voor welke getallen y de vergelijking f(x) = y kan opgelost worden naar x.

f(x) = y ⇔ 1

x= y

Indien y 6= 0 is deze vergelijking equivalent met x = 1y, en dus vinden we voor y een

oplossing van de vergelijking. Indien y = 0 dan is deze vergelijking equivalent met 1x

= 0.Deze vergelijking heeft geen oplossing. We besluiten dus dat de vergelijking f(x) = y eenoplossing heeft voor x als en slechts als y 6= 0. We besluiten dat im(f) = R \ {0}.

5.2 Limiet in een punt

We beschouwen een reele functie f en a een reeel getal.

Als f gedefinieerd is voor alle punten in de buurt van a, dan kunnen we spreken van de limietvan f(x) voor x gaande naar a of de limiet van f in a. Dit is het getal, waarnaar defunctiewaarden f(x) van de getallen rond a naderen, naarmate de originelen x dichter bij aliggen. Met andere woorden: de limiet van f(x) voor x gaande naar a is gelijk aan L als devolgende uitspraak waar is: als x nadert naar a, dan nadert f(x) naar L. Dit getal L wordtgenoteerd1 als

limx→a

f(x),

of nog, als men de dummyvariabele x niet wil vermelden, als

limaf.

Beschouwen we bijvoorbeeld de functie f gedefinieerd door

f : R→ R : x 7→ f(x) =x2 − xx

Deze functie is overal gedefinieerd behalve in het punt x = 0 (we kunnen niet delen doornul). Berekenen we echter de functiewaarden voor x-waarden die dicht bij nul liggen, danzien we dat de functiewaarden steeds dichter bij −1 komen te liggen (zie Figuur 1):

x −0, 1 −0, 01 −0, 001 0, 001 0, 01 0, 1f(x) −1, 1 −1, 01 −1, 001 −0, 999 −0, 99 −0, 9

1In niet-gecentreerde formules wordt dit dikwijls weergegevens als limx→a f(x), dus met het onderschriftrechtsonder de lim, dit om de lijnhoogte niet te verstoren.


Alhoewel we aan de functie f in x = 0 geen waarde kunnen toekennen, kunnen we wel stellendat de functiewaarde naar 1 nadert als x naar nul nadert. We verkrijgen

limx→0

f(x) = limx→0

x2 − xx

= −1.

5.2.1 Oneindige limieten

Als, wanneer x naar a nadert, de functiewaarden f(x) niet naar een reeel getal convergeren,maar bijvoorbeeld steeds groter worden, zal men ook een waarde toekennen aan de limiet,namelijk +∞.

Zij f een reele functie. Voor een punt a zeggen we dat de limiet van f(x) voor x gaandenaar a gelijk is aan +∞ als geldt dat f gedefinieerd is voor alle punten in de buurt van aen als de functiewaarden, naarmate x dichter bij a komt te liggen, onbeperkt groter worden.We schrijven dan

limx→a

f(x) = +∞.

We zeggen dat de limiet van f(x) voor x gaande naar a gelijk is aan −∞ als geldt dat fgedefinieerd is voor alle punten in de buurt van a en als de functiewaarden, naarmate xdichter bij a komt te liggen, negatief zijn en onbeperkt kleiner worden. Dit wordt genoteerdals

limx→a

f(x) = −∞.

5.2.2 Rekenregels voor oneindig

In de vorige paragraaf hebben we twee nieuwe symbolen, ge¨ntroduceerd, namelijk +∞ en−∞. Samen met alle reele getallen kunnen deze voorkomen als waarde voor een limiet.

We noteren deze uitgebreide verzameling van reele getallen met de twee oneindigsymbolenals R = R ∪ {−∞,+∞}. Net zoals op R kunnen we deze verzameling uitrusten met eenordening <, een optelling + en een vermenigvuldiging ·. Voor de ordening geldt: −∞ < a <+∞, ∀a ∈ R. Bovenop de gebruikelijke rekenregels voor reele getallen komen de rekenregelsvoor ±∞, die hieronder samengevat worden.

Voor de optelling krijgen we (a ∈ R willekeurig):

+ +∞ −∞ a

+∞ +∞ onbepaald +∞−∞ onbepaald −∞ −∞

Voor de vermenigvuldiging (a ∈ R, a > 0):


· +∞ −∞ a −a 0

+∞ +∞ −∞ +∞ −∞ onbepaald−∞ −∞ +∞ −∞ +∞ onbepaald

en tenslotte voor de deling (de tabel dient als volgt gelezen te worden: een element uit deeerste kolom wordt gedeeld door een element uit de eerste rij), a, b ∈ R, a > 0, b > 0:

/ +∞ −∞ b −b 0

+∞ onbepaald onbepaald +∞ −∞ onbepaald−∞ onbepaald onbepaald −∞ +∞ onbepaalda 0 0 a/b −a/b +∞−a 0 0 −a/b a/b −∞0 0 0 0 0 onbepaald

5.3 Limiet op oneindig

Zij f een reele functie en zij b ∈ R. We zeggen dat de limiet voor x gaande naar +∞ gelijkis aan b, als voor steeds grotere x-waarden de bijhorende waarden van f(x) onbeperkt dichtbij b komen te liggen. Dit wordt genoteerd als:

limx→+∞

f(x) = b

We zeggen dat de limiet voor x gaande naar −∞ gelijk is aan b, als voor negatieve, steedskleiner wordende x-waarden de bijbehorende waarden voor f(x) onbepaald dicht bij b komente liggen. Dit wordt genoteerd als:

limx→−∞

f(x) = b

5.4 Linker- en rechterlimiet

Beschouw de functie f(x) gedefinieerd door (zie figuur 5.1)

f(x) =

{3 voor x > 0

−3 voor x 6 0.

We willen nu de limiet van f voor x gaande naar 0 berekenen. Voor waarden van x > 0zien we dat f(x) = 3. Voor x 6 0 zien we dat f(x) = −3. We kunnen dus geen waarde bvinden zodanig dat wanneer x nadert tot 0, dan f(x) nadert tot b: kiezen we b = 3 ,dannadert f(x) tot b als x tot nul nadert langs de positieve zijde, maar niet als x nadert tot 0langs de negatieve zijde; op analoge manier zien we dat de keuze b = −3 ook niet voldoet.


Figuur 5.1: De functie f

Bijgevolg kunnen we niet spreken over de limiet. Indien we ons beperken tot een kant, dankunnen we wel spreken over de linkerlimiet en de rechterlimiet.

Voor een reele functie f en een punt a zeggen we dat de linkerlimiet van f(x) voor x gaandenaar a gelijk is aan b als geldt dat f gedefinieerd is voor alle punten x in de buurt van a,met x < a, en als de functiewaarden van deze punten naar b naderen. Dit wordt genoteerdals:

limx→a<

f(x) = b of ook als limx→a−

f(x) = b

We zeggen dat de rechterlimiet van f(x) voor x gaande naar a gelijk is aan b als geldt datf gedefinieerd is voor alle punten x in de buurt van a, met x > a, en als de functiewaardenvan deze punten naar b naderen. Dit wordt genoteerd als:

limx→a>

f(x) = b of ook als limx→a+

f(x) = b

Het fenomeen van linker- en rechterlimieten lost het bovenstaand voorbeeld op:

limx→a<

f(x) = −3 en limx→a>

f(x) = 3

Voor een reele functie f geldt dat limx→a

f(x) bestaat als en slechts als limx→a<

f(x) en limx→a>

f(x)

bestaan en gelijk zijn:

limx→a

f(x) = b⇔ limx→a>

f(x) = limx→a<

f(x) = b


5.5 Rekenregels voor limieten

Zijn f en g twee functies waarvoor limx→a

f(x) en limx→a g(x) bestaan en zij c een willekeurig

reeel getal, dan gedraagt de limietoperator zich prima ten opzichte van vermenigvuldigingmet een scalair, de optelling, het product en de deling van functies.

limx→a

(c · f(x)) = c.(

limx→a

f(x))

limx→a

(f(x) + g(x)) = limx→a

f(x) + limx→a

g(x)

limx→a

(f(x) · g(x)) =(

limx→a

f(x))·(

limx→a

g(x))

limx→a

(f(x)

g(x)

)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)als lim

x→ag(x) 6= 0

Deze regels zijn steeds geldig, of het punt waarin de limiet genomen wordt nu eindig ofoneindig, en de waarde van de limieten nu eindig of oneindig zijn.

5.6 Limieten van veeltermfuncties

Veeltermen zijn een eenvoudige klasse van reele functies. Ze gedragen zich voorspelbaar metbetrekking tot limieten. In wat volgt beschouwen we een veeltermfunctie f :

f : R→ R : x 7→ anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 (met a0, . . . , an ∈ R)

Voor een willekeurig reeel getal c geldt dat:

limx→c

f(x) = f(c) = ancn + an−1c

n−1 + · · ·+ a1c+ a0

Voor de limiet voor x→ ±∞ verkrijgen we

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

= limx→±∞

xn(an +

an−1

x+an−2

x2+ · · ·+ a0

xn

)=

(lim

x→±∞xn)· limx→±∞

(an +

an−1

x+an−2

x2+ · · ·+ a0

xn

)=

(lim

x→±∞xn)· (an + 0 + 0 + · · ·+ 0)

= an

(lim

x→±∞xn)

Samenvattend: limx→±∞

f(x) = limx→±∞

anxn


Met andere woorden, de limieten van veeltermfuncties in een punt zijn steeds de functie-waarde zelf. Om de limieten van een veeltermfunctie op oneindig te bepalen volstaat het omenkel de limiet van de hoogstegraadsterm te bepalen.

Een voorbeeld:

limx→−1

(x2 + 3x− 1) = (−1)2 + 3(−1)− 1 = −3

limx→−∞

(x2 + 3x− 1) = limx→−∞

x2 = (−∞)2 = +∞

5.7 Limieten van rationale functies

Beschouw een rationale functie f , breuk van twee veeltermen p1 en p2:

f : R→ R : x→ p1(x)

p2(x)=anx

n + · · ·+ a0

bmxm + · · ·+ b0

• Voor een reeel getal a, waarvoor p2(a) 6= 0 geldt:

limx→a

f(x) = f(a) =p1(a)

p2(a)

• Voor een reeel getal a dat een nulpunt is van de noemer (p2(a) = 0), maar geen nulpuntis van de teller, geldt:

limx→a

f(x) = limx→a

p1(x)

p2(x)=

limx→a p1(x)

limx→a p2(x)= ±∞

Om het teken van de limiet (+∞ of −∞) te bepalen, moet een tekenonderzoek van derationale functie uitgevoerd worden.• Indien a een nulpunt is van zowel teller als noemer dan kunnen teller en noemer ge-

schreven worden als:

p1(x) = (x− a)q1(x) p2(x) = (x− a)q2(x)

waarbij q1 en q2 veeltermen zijn. Er geldt dan

limx→a

f(x) = limx→a

p1(x)

p2(x)= lim

x→a

q1(x)

q2(x).

Door gemeenschappelijke factoren in teller en noemer te schrappen, kunnen we dusaltijd veronderstellen dat a niet terzelfdertijd een nulpunt is van p1 en p2.


• Voor de limieten op oneindig verkrijgen we:

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

anxn + · · ·+ a0

bmxm + · · ·+ b0

= limx→±∞

xn(an + an−1

x+ an−2

x2+ · · ·+ a0

xn

)xm(bm + bm−1

x+ bm−2

x2+ · · ·+ b0

xm

)= lim

x→±∞

anxn

bmxm

= limx→±∞

anbmxn−m

Samenvattend kunnen we dus stellen dat we in teller en noemer enkel de hoogstegraads-term behouden om de limiet van een rationale functie op oneindig te bepalen.

Een voorbeeld

Bepaal, voor a = 2,+∞ en −∞, de drie limieten

limx→a

x2 − 2

x3 − x2 + 7x− 1.

Vermits 23− 22 + 7 · 2− 1 6= 0 kunnen we de limiet berekenen door de functiewaarde van defunctie in x = 2 te nemen. We verkrijgen, voor a = 2:

limx→2

x2 − 2

x3 − x2 + 7x− 1=

22 − 2

23 − 22 + 7 · 2− 1=

2

17.

Voor de limieten op oneindig nemen we enkel de hoogstegraadstermen in teller en noemer:

limx→±∞

x2 − 2

x3 − x2 + 7x− 1= lim

x→±∞

x2

x3= lim

x→±∞

1

x= 0.

Nog een voorbeeld

Bepaal, voor a = −1,+∞ en −∞, de drie limieten

limx→a

x2 − 2

x2 − 1.

We zien dat (−1)2 − 2 6= 0 maar (−1)2 − 1 = 0. We kunnen dus besluiten dat, indien dezelimiet bestaat deze gelijk zal zijn aan ±∞. Om na te gaan of deze limiet bestaat, dienen wena te gaan of linker- en rechterlimiet gelijk zijn. Om linker- en rechterlimiet te berekenen,


bepalen we het tekenverloop van f . De veelterm p2(x) = x2− 1 heeft x = ±1 als nulpunten,terwijl de veelterm p1(x) = x2 − 2 als nulpunten x = ±

√2 heeft. Tekenonderzoek levert:

x −√

2 −1 1√

2p1 + 0 − − − − − 0 +p2 + + + 0 − 0 + + +

p1/p2 + 0 − | + | − 0 +

Vermits voor x-waarden in de omgeving van −1 (met x > −1), f(x) positief is, geldt dat

limx→−1+

f(x) = +∞

Voor x-waarden in de omgeving van −1 (met x < −1), is f(x) negatief en dus:

limx→−1−

f(x) = −∞

Vermits linker- en rechterlimiet verschillend zijn, bestaat de limiet in x = −1 niet.

Voor de limieten op oneindig verkrijgen we:

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

x2 − 2

x2 − 1= lim

x→±∞

x2

x2= 1.

En nog een voorbeeld

Bepaal, voor a = 2,+∞ en −∞, de drie limieten

limx→a

2x3 − 10x2 + 16x− 8

x3 − 6x2 + 12x− 8

Noem p1(x) de veelterm in x uit de teller en p2(x) die uit de noemer. We zien dat 2 eennulpunt is van zowel teller als noemer:

p1(2) = 2 · 23 − 10 · 22 + 16 · 2− 8 = 0 p2(2) = 23 − 6 · 22 + 12 · 2− 8 = 0

We kunnen besluiten dat (x− 2) een factor is van zowel teller als noemer:

p1(x) = (x− 2)q1(x) en p2(x) = (x− 2)q2(x)

Gebruikmakend van de regel van Horner (zie paragraaf 2.5.2), kunnen q1 en q2 berekendworden:

p1(x) = 2x3 − 10x2 + 16x− 8 = (x− 2)(2x2 − 6x+ 4) ⇒ q1(x) = 2x2 − 6x+ 4

p2(x) = x3 − 6x2 + 12x− 8 = (x− 2)(x2 − 4x+ 4) ⇒ q2(x) = x2 − 4x+ 4


We kunnen onze limietberekening dus vereenvoudigen tot

limx→2

f(x) = limx→2

p1(x)

p2(x)= lim

x→2

(x− 2)q1(x)

(x− 2)q2(x)= lim

x→2

q1(x)

q2(x)= lim

x→2

2x2 − 6x+ 4

x2 − 4x+ 4

Invullen van x = 2 in de q-veeltermen levert q1(2) = q2(2) = 0. Bijgevolg geldt weer datq1(x) = (x− 2)r1(x) en q2(x) = (x− 2)r2(x). Berekenen we de quotienten van q1 en q2 door(x− 2), dan krijgen we r1(x) = 2x− 2 en r2 = x− 2. We vinden:

limx→2

f(x) = limx→2

q1(x)

q2(x)= lim

x→2

r1(x)

r2(x)= lim

x→2

2x− 2

x− 2.

Vermits r1(2) 6= 0 en r2(2) = 0 concluderen we:

limx→2

f(x) = limx→2

2x− 2

x− 2= ±∞

Om het teken van deze limiet te kennen doen we opnieuw een tekenonderzoek:

x 1 2r1(x) = 2x− 2 − 0 + + +r2(x) = x− 2 − − − 0 +r1(x)/r2(x) + 0 − | +

Daaruit volgt dat:

limx→2+

f(x) = +∞ limx→2−

f(x) = −∞

Vermits linker- en rechterlimiet verschillend zijn, bestaat limx→2 f(x) niet.

Voor de limieten op oneindig verkrijgen we:

limx→±∞

f(x) = limx→±∞

=2x3 − 10x2 + 16x− 8

x3 − 6x2 + 12x− 8= lim

x→±∞

2x3

x3= 2

Samenvatting

Voor de berekening van limieten op oneindig van een rationale functie geldt:

limx→±∞

anxn + · · ·+ a0

bmxm + · · ·+ b0

= limx→±∞

anxn

bmxm

Voor de berekening van limieten in een punt van een rationale functie f(x) = p1(x)/p2(x)kunnen zich dus de volgende gevallen voordoen:

• p2(a) 6= 0:limx→a

f(x) = p1(a)/p2(a)


• p2(a) = 0 en p1(a) 6= 0: als limx→a f(x) bestaat, dan is limx→a f(x) = ±∞; om na tegaan of deze limiet bestaat berekent men linker- en rechterlimiet via een tekenonderzoekvan f in de buurt van x = a.• p2(a) = p1(a) = 0: schrap gemeenschappelijke factoren in teller en noemer tot er geen

gemeenschappelijke factoren meer zijn; bereken dan de limiet zoals onder de vorigepunten aangegeven.

5.8 Limieten van goniometrische functies: lim sin axx

Goniometrische functies gedragen zich meestal ook voorspelbaar met betrekking tot limieten,maar het bepalen van sommige limieten met goniometrische uitdrukkingen erin kan af entoe een bijzondere aanpak vergen: het herkennen van een limiet van het soort sinx

x. Het kan

nodig zijn om goniometrische formules toe te passen (zie daarvoor hoofdstuk 4).

Door x = 0 te stellen in sinxx

krijgen we een onbepaaldheid van het type 0/0. De wiskundigcorrecte bepaling van deze limiet zullen we in deze vakantiecursus niet behandelen. Om dewaarde te kennen zouden we de functiewaarden in de buurt van x = 0 kunnen onderzoekenen vaststellen dat die naar 1 naderen. Deze limiet is een bekende basislimiet:

limx→0

sinx

x= 1

Voor a 6= 0 kunnen we ook de limiet uit de paragraaftitel bepalen. Schrijf daarvoor x = ayen substitueer de nieuwe waarde in bovenstaande limiet. Omdat als ay → 0 nadert, dan ooknoodzakelijk y → 0 moet naderen, kunnen we schrijven

limy→0

sin ay

ay= 1

limy→0

sin ay

y= a

We sluiten dit hoofdstuk af met drie goniometrische voorbeeldlimieten.

• We wensen de limiet limx→0tanxx

te berekenen. In deze functie x = 0 invullen, leverteen onbepaaldheid van het type 0/0 op. Maar

limx→0

tanx

x= lim

x→0

sinx

x · cosx

=

(limx→0

sinx

x

)·(

limx→0

1

cosx

)= 1 · 1= 1


• Gevraagd is om de limiet

limx→0

cosx− 1

sin2 x

te berekenen. Het invullen van x = 0 in de functie levert een onbepaaldheid van hettype 0/0 op. We kunnen niet onmiddellijk de basislimiet toepassen. Echter, de noemerkunnen we door de grondformule van de goniometrie omzetten in 1− cos2 x en dit is opzijn beurt een merkwaardig product a2 − b2 = (a− b)(a+ b). We verkrijgen dus

limx→0

cosx− 1

sin2 x= lim

x→0

(cosx− 1)

1− cos2 x

= limx→0

−(1− cosx)

(1− cosx)(1 + cos x)

= limx→0

−1

1 + cos x

=−1

1 + 1

= −1

2

• Gevraagd is om de waarde van

limx→0

cos(π2− x)

7x

te bepalen. Het invullen van x = 0 in de functie levert een onbepaalheid van het type 0/0op. Op het eerste zicht kunnen we ook de basislimiet niet toepassen. Echter, rekeninghoudend met de gelijkheid voor verwante hoeken

cos(π

2− x)

= sinx

verkrijgen we:

limx→0

cos(π2− x)

7x=

1

7limx→0

sinx

x

=1

7


5.9 Oefeningen

Oefening 1

Bereken voor elk van volgende veeltermfuncties de limiet voor x→ +∞ en → −∞.

A. x4 + 3x2 − 25

B. x27 − x

C. −x3 + 3x2 − 2x+ 7

D. −x4 + x3 + x2 − 5x− 1

E. x− 2x3

F. −x7 − 2x

Oefening 2

Bereken voor elk van volgende rationale functies de limiet voor x→ a. Voor een uitgewerktvoorbeeld zie 5.7.

A.x2 + 3x+ 2

2x2 − 8a = −2,+∞,−∞

B.x2 + 1

x− 2a = 2,+∞,−∞

C.2x2 + 7x+ 5

3x2 + 5x+ 2a = −1,+∞,−∞

D.−x3 + x2 − 1

x4 + 1a = −1,+∞,−∞

E.5x− 1

x− 3a = 3,+∞,−∞

F.x2 + 2x− 3

x2 − 1a = 1,−1

G.x3 + 4x2 + x− 6

x2 − 3x+ 2a = 1,+∞,−∞

H.x2 + 6x− 7

x3 − 3x2 + 3x− 1a = 1,+∞,−∞

I.1

x− 1

x2a = 0,+∞,−∞

J.x3 − 27

x2 − 9a = 3,−3,−∞

K.x4 − 4x3 − x2 + 16x− 12

x3 − 3x2 + 3x− 1a =

1,+∞,−∞

L.2

x− 1+

2

2x2 − 5x+ 3a = 1,+∞,−∞

Oefening 3

Bereken voor elk van volgende functies de limiet voor x→ a.

A.sin2 x

x2 cos2 xa = 0

B.1− cos2 x

x2a = 0

C.tan2(x− π

2)

(x− π2)2

a = π2

D.x tanx

1− cosxa = 0

E. x cot 2x a = 0


5.10 Oplossingen

Oefening 1

A. lim±∞

f = +∞

B. lim+∞

f = +∞, lim−∞

f = −∞

C. lim+∞

f = −∞, lim−∞

f = +∞

D. lim±∞

f = −∞

E. lim+∞

f = −∞, lim−∞

f = +∞

F. lim+∞

f = −∞, lim−∞

f = +∞

Oefening 2

A. lim−2

f =1

8, lim±∞

f =1

2,

B. lim2>

f = +∞, lim2<

f = −∞,

lim+∞

f = +∞, lim−∞

f = −∞

C. lim−1

f = −3, lim±∞

f =2

3

D. lim−1

f =1

2, lim±∞

f = 0

E. lim3>

f = +∞, lim3<

f = −∞, lim±∞

f = 5

F. lim−1>

f = +∞, lim−1<

f = −∞,

lim1f = 2, lim

±∞f = 1

G. lim1f = −12, lim

+∞f = +∞, lim

−∞f = −∞

H. lim1f = +∞, lim

±∞f = 0

I. lim1f = −∞, , lim

±∞f = 0

J. lim1f =

9

2, lim−3>

f = +∞, lim−3<

f = −∞,

lim+∞

f = +∞, lim−∞

f = −∞

K. lim1f = +∞, lim

+∞f = +∞, lim

−∞f = −∞

L. lim1f = 4, lim

±∞f = 0

Oefening 3

A. limx→0sin2 x

x2 cos2 x= 1

B. limx→01−cos2 x

x2= 1

C. limx→π2

tan2(x−π2

)

(x−π2

)2= 1

D. limx→0x tanx1−cosx

= 2

E. limx→0 x cot 2x = 12


Hoofdstuk 6

Afgeleiden

6.1 Afgeleide in een punt

De richtingscoefficient van een rechte geeft een maat voor de helling van die rechte weer.Bij een rechte is die hellingsgraad in elk punt dezelfde, maar wanneer we willen gaan kijkennaar de hellingsgraad van een willekeurige functie y = f(x) in een punt a, dan is het logischom te kijken naar de helling van de raaklijn in dat punt en dan in het bijzonder haarrichtingscoefficient.

We kijken eerst naar de rechte S1 die door het punt (a, f(a)) gaat, maar de grafiek van defunctie ook in een ander punt snijdt, bijvoorbeeld het snijpunt met coordinaten (x1, f(x1)).Dit wordt weergegeven op figuur 6.1.

Figuur 6.1: Constructie van de raaklijn

89

De richtingscoefficient van de rechte S1 is gelijk aanf(x1)− f(a)

x1 − a. Beschouw telkens een punt

xi dat dichter bij a ligt en beschouw de bijhorende rechte Si door (a, f(a)) en (xi, f(xi)).Hoe dichter xi nadert naar a, hoe meer de rechte Si nadert naar de raaklijn aan a. Derichtingscoefficient van de raaklijn moet dus gelijk zijn aan

limx→a

f(x)− f(a)

x− a.

Als deze limiet bestaat noteren we dit getal f ′(a) en we noemen het de afgeleide van defunctie f in het punt a. Een functie heet afleidbaar in een punt a als deze limiet bestaaten eindig is.

Als de afgeleide van een functie in een punt een positief getal oplevert, dan wil dat zeggen datde helling van de raaklijn aan de functie in dat punt positief is en dat de functie zelf stijgendis in de omgeving van dat punt. Als de afgeleide van een functie in een punt een negatiefgetal oplevert, dan is de functie dalend in de omgeving van dat punt. De vergelijking van deraaklijn in a aan de grafiek van de functie f is een rechte door (a, f(a)) met richtingscoefficientf ′(a). Bijgevolg wordt de raaklijn bepaald door

y − f(a) = f ′(a)(x− a).

We berekenen bijvoorbeeld de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functief(x) = 3x2 − 1 in het punt met x-coordinaat 3. Aangezien de richtingscoefficient vandeze raaklijn gelijk is aan f ′(3), wordt deze vergelijking: y − f(3) = f ′(3)(x− 3). Als de x-coordinaat van het punt gelijk is aan 3, dan is de y-coordinaat gelijk aan f(3) = 3·32−1 = 26.De afgeleide van f(x) = 3x2 − 1 in het punt x = 3 is

f ′(3) = limx→3

f(x)− f(3)

x− 3= lim

x→3

(3x2 − 1)− (3 · 32 − 1)

x− 3

= limx→3

3x2 − 27

x− 3= lim

x→3

3(x− 3)(x+ 3)

x− 3= lim

x→33(x+ 3) = 3(3 + 3) = 18

De richtingscoefficient van de raaklijn in het punt (3, 26) is dus gelijk aan f ′(3) = 18. Devergelijking van de raaklijn wordt

y − f(3) = f ′(3)(x− 3)⇔ y − 26 = 18(x− 3)⇔ y = 18x− 54 + 26⇔ y = 18x− 28.


6.2 Afgeleide functie

Indien de afgeleide van een functie f in elk punt bestaat, dan kunnen we de afgeleidefunctie f ′ definieren, die elk reeel getal a afbeeldt op de afgeleide in a:

f ′ : R→ R : a 7→ f ′(a).

Naargelang auteur, gebruik en vakgebied kunnen de notaties voor de afgeleide van een functief verschillen. De meest gebruikte zijn:

f ′,df

dx, df

De afgeleide van een functie is terug een functie. Deze functie kan mogelijks terug afgeleid

worden. In dat geval isd

dx[f ′(x)] = f ′′(x) de tweede afgeleide van f .

We bepalen bij wijze van voorbeeld de afgeleide van de functie f : x 7→ x2. Daarvoor bepalenwe de afgeleide f ′(a) in een punt a, waarbij a een willekeurige waarde zou kunnen aannemen.

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a= lim

x→a

x2 − a2

x− a= lim

x→a

(x− a)(x+ a)

x− a= lim

x→ax+ a = a+ a = 2a

We besluiten dat f ′(a) = 2a, voor elke waarde a. Bijgevolg is de afgeleide f ′(x) = 2x.

6.3 Rekenregels

Alle rekenregels kunnen met behulp van de definitie worden afgeleid, maar dat doen we hierniet. De voornaamste zijn

(af)′(x) = af ′(x)

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x)(f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g(x)2(1

g

)′(x) =

−g′(x)

g(x)2

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

Deze laatste staat bekend als de kettingregel en is fundamenteel bij het bepalen van afge-leide functies. Hierbij is f ◦ g de functie die x afbeeldt op f(g(x)).


6.4 Afgeleide van basisfuncties

Functie Afgeleide Functie Afgeleide

constante 0

x 1 f(x) f ′(x)

xn nxn−1 fn nfn−1f ′

1x = x−1 − 1

x2 = −x−2 1f − f ′

f2√x = x

12

12√x

= 12x− 1

2

√f f ′

2√f

n√x = x

1n

1n

n√xn−1 = 1

nx1n−1 n

√f f ′

n n√

fn−1

lnx 1x ln f f ′

f

loga xloga ex = 1

x ln a loga ff ′

f ln a

ex ex ef f ′ · efax ax

loga e= ax · ln a af f ′ · af · ln a

sinx cosx sin f cos f · f ′cosx − sinx cos f − sin f · f ′

tanx 1cos2 x = 1 + tan2 x tan f f ′

cos2 f

cotx − 1sin2 x

= −(1 + cot2 x) cot f −f ′sin2 f

Bgtanx1

1 + x2Bgtan f f ′

1+f2

Drie voorbeelden:

• (4x3 − 6x+ 2)′ = (4x3)′ − (6x)′ + (2)′ = 4 · 3x2 − 6 · 1 + 0 = 12x2 − 6• (tanx sinx)′ = sinx · (tanx)′+ tanx · (sinx)′ = sinx · 1

cos2 x+ tanx · cosx = sinx

cos2 x+ sinx

•(esinx

)′= esinx · sin′ x = esinx · cosx (kettingregel)

6.5 Oefeningen

Oefening 1

Bereken de afgeleide van de volgende functies

A. f(x) = x4 + 2x3 − 6x+ 2

B. f(x) = 4x3 + 2x2 − 7x+ 4

C. f(x) = ax2 + bx+ c


D. f(x) =4x2 − 6x

3x− 4

E. f(x) =3x4 − 2x

6x3 − x

F. f(x) =√

3x2 − 6x

G. f(x) =√

cosx+ sinx

H. f(x) =

√6x− 3

x2 − 4

I. f(x) = (4x3 − 7x)(6x− 1)

J. f(x) = (5x2 − 3)√

9x− 2

K. f(x) = (4x2 − 3)3

L. f(x) = 5 sin (4x− 2)

M. f(x) = 1 + sin2 x

N. f(x) =3√

4x2 − 6x

O. f(x) = x2ex

P. f(x) = ln(2x+ 3)

Q. f(x) = (2x2 + 3x+ 1)3

R. f(x) =1

(2x+ 3)2

S. f(x) =2x+ 1

3x+ 3

T. f(x) = cos(3x+ 1)

U. f(x) = tan(x+ 1)

V. f(x) = e5x+3

W. f(x) =√

3x+ 1

X. f(x) =√x2 + 1

Y. f(x) = 3√x+ 1

Oefening 2

Bereken de vergelijking van de raaklijn aan f in het punt (a, f(a)).

A. f(x) = x3 − 7x+ 6 in a = 2

B. f(x) =4x2 − 2

6x− 1in a = 1

C. f(x) = x2 + 1 in a = 2

D. f(x) = sin(2x+ π2) in a = π

4

E. f(x) =√x3 + 1 in a = 2

F. f(x) = ln(2x) in a = 12

G. f(x) = (2x2 − 1)2 in a = 1

H. f(x) = eπx2

2 in a = 0

Oefening 3

Bepaal de vijftiende afgeleide van de volgende functies

A. f(x) = e2x B. f(x) = cos x C. f(x) = sin(2x) D. f(x) = 1x


6.6 Oplossingen

Oefening 1

A. f ′(x) = 4x3 + 6x2 − 6

B. f ′(x) = 12x2 + 4x− 7

C. f ′(x) = 2ax+ b

D. f ′(x) =12x2 − 32x+ 24

9x2 − 24x+ 16

E. f ′(x) =18x4 − 9x2 + 24x

36x4 − 12x2 + 1

F. f ′(x) =3x− 3√3x2 − 6x

G. f ′(x) =− sinx+ cosx

2√

cosx+ sinx

H. f ′(x) =−9x2 + 6x− 12

(x2 − 4)2√

6x− 3

I. f ′(x) = 96x3 − 12x2 − 84x+ 7

J. f ′(x) =225x2 − 40x− 27

2√

9x− 2

K. f ′(x) = 384x5 − 576x2 + 216x

L. f ′(x) = 20 cos(4x− 2)

M. f ′(x) = 2 sinx cosx

N. f ′(x) =8x− 6

3 3√

(4x2 − 6x)2

O. f ′(x) = x2ex + 2xex

P. f ′(x) =2

2x+ 3

Q. f ′(x) = 3(2x2 + 3x+ 1)2(4x+ 3)

R. f ′(x) = − 4

(2x+ 3)3

S. f ′(x) =3

(3x+ 3)2

T. f ′(x) = −3 sin(3x+ 1)

U. f ′(x) =1

cos2(x+ 1)

V. f ′(x) = 5e5x+3

W. f ′(x) =3

2√

3x+ 1

X. f ′(x) =x√x2 + 1

Y. f ′(x) =1

3 3√x+ 1

2

Oefening 2

A. y = 5x− 10

B. y =28

25x− 18

25

C. y = 4x− 3

D. y = −2x+π

2

E. y = 2x− 1

F. y = 2x− 1

G. y = 8x− 7

H. y = 1


Oefening 3

A. f (15)(x) = 215e2x

B. f (15)(x) = sin x

C. f (15)(x) = −215 cos 2x

D. f (15)(x) = − 15!x16


Hoofdstuk 7

Functieonderzoek

Functies die processen uit een bepaalde wetenschap beschrijven, zijn soms dermate eenvoudigdat men met de hand het verloop van de functie kan onderzoeken. Het is voor wetenschapperszinvol om intu¨tie te krijgen over hoe grafieken eruitzien als een functievoorschrift gegevenis.

7.1 Symmetrieen

Als we een functie bestuderen is het soms nuttig om na te gaan of de functie al dan niet aanbepaalde symmetrieen voldoet. We vernoemen hier de belangrijkste:

• Een functie heet even als voor elke x ∈ dom(f) geldt:

f(−x) = f(x).

Dit betekent dat f dezelfde waarden aanneemt voor x’en symmetrisch rond 0, dus degrafiek van de functie is symmetrisch t.o.v. de y-as (zoals in Figuur 7.1(a)).• Een functie heet oneven als voor elke x van dom(f) geldt:

f(−x) = −f(x).

Dit betekent dat f tegengestelde waarden aanneemt voor x’en symmetrisch rond 0, dusde grafiek van de functie is puntsymmetrisch t.o.v. de oorsprong (zoals in Figuur 7.1(b)).• Een functie heet periodiek met periode p (voor een reeel getal p) als voor elke x van

dom(f) geldt:f(x+ p) = f(x).

Dit betekent dat f dezelfde waarden aanneemt voor x’en die (een veelvoud van) pverschillen, dus de grafiek van de functie is invariant voor verschuivingen over een afstandp (zoals in Figuur 7.2).

96

Figuur 7.1: (a) Een even functie (b) Een oneven functie

Om na te gaan of een functie f periodiek is, moet de vergelijking f(x + p) = f(x) eenoplossing voor p hebben die verschillend is van nul en onafhankelijk is van x. Dezevergelijking oplossen naar p kan soms moeilijk zijn. In de meeste periodieke functies diemen in de wetenschappelijke praktijk tegenkomt, komen goniometrische functies voor,dus je mag ervan uitgaan dat een functie waarin die niet opduiken, niet periodiek is.

Figuur 7.2: Grafiek van een periodieke functie


7.2 Asymptoten

We noemen een rechte R een asymptoot voor een functie f indien de grafiek van f onbe-perkt dicht naar de rechte R nadert. We onderscheiden drie soorten asymptoten (verticale,horizontale en schuine) en presenteren meteen de methodes om uitgaande van het functie-voorschrift, de asymptoten van een functie te gaan bepalen. Hiervoor moet telkens een limietbepaald worden. Voor functieonderzoeken is bovendien nog belangrijk in welke richting degrafiek de asymptoot nadert: dit bedoelen we met de aanligging van de asymptoot bij degrafiek. Bij verticale asymptoten betekent dit of de functie naar boven of naar onder deasymptoot nadert; bij horizontale en schuine betekent dit aan welke kant van de asymptootde grafiek ligt (erboven of eronder).

7.2.1 Verticale asymptoot

Een verticale asymptoot is een asymptoot die evenwijdig is met de y-as. Ze heeft dussteeds een vergelijking van de vorm x = a. Opdat de rechte met vergelijking x = a eenasymptoot zou zijn van de functie f(x) moet dus gelden dat

limx→a>

f(x) = ±∞ en limx→a<

f(x) = ±∞.

Voor rationale functies geldt dat verticale asymptoten enkel kunnen optreden bij nulpuntenvan de noemer.

Als de functie gedefinieerd is in de omgeving, links en rechts, van a, zijn er vier verschillendemogelijkheden voor de aanligging van de verticale asymptoot, die allen weergegeven wordenin figuur 7.2.1. Figuur 7.2.1(a) stelt de aanligging voor in het geval dat lim

x→a<

f(x) = limx→a>

f(x) =

+∞.Figuur 7.2.1(b) stelt de aanligging voor in het geval dat lim

x→a<

f(x) = −∞ en limx→a>

f(x) = +∞.

Figuur 7.2.1(c) stelt de aanligging voor in het geval dat limx→a<

f(x) = limx→a>

f(x) = −∞.

Figuur 7.2.1(d) stelt de aanligging voor in het geval dat limx→a<

f(x) = −∞ en limx→a>

f(x) = +∞.

7.2.2 Horizontale asymptoot

Een horizontale asymptoot is een asymptoot die evenwijdig is met de x-as. Ze heeftdus steeds een vergelijking van de vorm y = b. Opdat een rechte met zo’n vergelijking eenhorizontale asymptoot zou zijn, moet gelden dat

limx→+∞

f(x) = b of limx→−∞

f(x) = b.


Figuur 7.3: Aanligging verticale asymptoot

Om de vergelijking van de horizontale asymptoten te bepalen volstaat het dus de relevantelimieten te berekenen. Als deze eindig zijn kan men de vergelijking van de horizontaleasymptoten onmiddellijk opschrijven.

Veronderstel dat de rechte met vergelijking y = b een horizontale asymptoot is van de functiemet functievoorschrift f(x). Om de aanligging van de horizontale asymptoot te bepalen dienteen tekenonderzoek gedaan te worden van de hulpfunctie f(x)− b: Het teken daarvan, voorx-waarden die naar ∞ of −∞ naderen, zal de aanligging bepalen. Indien f(x) − b > 0voor grote x-waarden, dan is f(x) > b en bijgevolg ligt, voor grote x-waarden, de grafiekvan f(x) boven de horizontale asymptoot, zoals in figuur ??(a). Is f(x) − b < 0, dan zalf(x) < b voor grote x-waarden en de grafiek van f zal voor grote x-waarden onder de waardeb blijven en dus onder de horizontale asymptoot, zoals in figuur ??(b). Voor de horizontaleasymptoot links in beeld (x → −∞) moet hetzelfde gecontroleerd worden, maar dan vooronbeperkt kleine x-waarden (d.w.z. zeer negatieve x-waarden). De nulpunten van f(x) − bzijn de punten waar de grafiek van f de horizontale asymptoot snijdt.


7.2.3 Schuine asymptoot

Een schuine asymptoot is een asymptoot die noch een verticale noch een horizontaleasymptoot is. In Figuur 7.4 is de rechte y = x een schuine asymptoot. Schuine asymptotenhebben dus steeds een vergelijking van de vorm y = ax + b, met a 6= 0. Opdat een rechte

Figuur 7.4: Schuine asymptoot

met deze vergelijking een schuine asymptoot zou zijn, moet dus gelden dat voor onbeperktgrote of kleine waarden voor x, de functiewaarden ax+ b en f(x) erg dicht bij mekaar liggen.Dit kunnen we uitdrukken door hun quotient te laten naderen naar 1 en hun verschil naarnul, en uit te werken:

limx→±∞

(f(x)

ax+ b

)= 1 6= 0 en lim

x→±∞(f(x)− (ax+ b)) = 0

limx→±∞

(f(x)

x

)= a 6= 0en lim

x→±∞(f(x)− ax) = b,

wat ons meteen een methode geeft om de waarden voor a en b te bepalen (als een schuineasymptoot tenminste bestaat). Daarvoor bepalen we eerst a met de linkse formule en als wedie gevonden hebben, de b met de rechtse formule, waarbij we de gevonden a gebruiken.

Om de aanligging van een schuine asymptoot y = ax+b te bepalen dient het teken onderzochtte worden van de hulpfunctie f(x) − ax − b, onbeperkt grote of kleine waarden voor x. Deinterpretatie van de resultaten is analoog.


Voorbeeld

We eindigen deze paragraaf met een uitgewerkt voorbeeld. Beschouw de rationale functie

f : R→ R : x 7→ f(x) =x− 1

x2 − 4x+ 3+ 1.

Om de verticale asymptoten te berekenen, zoeken we de nulpunten van de noemer. Wezouden de uitdrukking fracx− 1x2 − 4x+ 3 + 1 eerst op gelijke noemer kunnen zetten,maar dan nog blijft deze noemer x2 − 4x+ 3. We lossen de kwadratische vergelijking op:

x2 − 4x+ 3 = 0⇔ (x− 1)(x− 3) = 0⇔ x = 1 of x = 3

De mogelijke verticale asymptoten zijn de rechten met vergelijkingen x = 1 en x = 3. Omna te gaan of deze rechten wel degelijk verticale asymptoten zijn, moeten we lim

x→1f(x) en

limx→3

f(x) berekenen.

limx→1

x− 1

x2 − 4x+ 3+ 1 = lim

x→1

x− 1

(x− 1)(x− 3)+ 1

= limx→1

1

x− 3+ 1

=1

−2+ 1

6= ±∞

We besluiten dus dat de rechte x = 1 geen verticale asymptoot is. Voor x→ 3 vinden we:

limx→3

x− 1

x2 − 4x+ 3+ 1 = lim

x→3

x− 1

(x− 1)(x− 3)+ 1

= limx→3

1

x− 3+ 1

Voor x < 3 is 1x−3

negatief. Als x → ∞ nadert, wordt deze breuk in absolute waarde zo

groot (maar negatief), dat de +1 er niet in slaagt om 1x−3

+ 1 nog positief te krijgen. Voorx > 3 is deze waarde positief is en met de +1 blijft dat zeker zo. Bijgevolg geldt:

limx→3<

1

x− 3= −∞ lim

x→3>

1

x− 3= +∞

We besluiten dus dat de rechte met vergelijking x = 3 wel een verticale asymptoot is.

Om te bepalen of deze functie horizontale asymptoten heeft volstaat het om limx→+∞ f(x)en limx→−∞ f(x) te berekenen. Op zich moeten twee berekeningen gemaakt worden, maar


in dit speciale geval is de berekening voor +∞ precies dezelfde als voor −∞.

limx→±∞

(x− 1

x2 − 4x+ 3+ 1

)= lim

x→±∞

x

x2+ 1

= limx→±∞

1

x+ 1

= 1

We kunnen dus besluiten dat de rechte met vergelijking y = 1 een horizontale asymptoot is.Om de aanligging te kennen moeten we een tekenonderzoek doen van de functie f(x) − 1,maar dit is gewoon x−1

x2−4x+3. Het tekenonderzoek levert

x 1 3x− 1 - 0 + + +

x2 − 4x+ 3 + 0 - 0 +f(x)− 1 = x−1

x2−4x+3- - | +

Hieruit volgt dat voor x→ +∞, f(x) > 1 en dus dat rechts de grafiek van f boven de rechtey = 1 zal liggen. Voor x→ −∞ is f(x) < 1 en dus ligt links de grafiek van f onder de rechtemet vergelijking y = 1.

7.3 Stijgen en dalen met de eerste afgeleide

We zeggen dat een functie f stijgend is in een punt x0 als de functiewaarden stijgen ineen klein intervalletje rond x0. Meer formeel, als er een (klein) reeel getal ε kan gevondenworden, zodat in het interval [x0 − ε, x0 + ε] geldt dat x > y ⇒ f(x) > f(y) voor alle x eny in dit interval.

Een functie f is dalend in een punt x0 als er een ε > 0 bestaat, zodat voor alle x en y in[x0 − ε, x0 + ε] geldt dat x > y ⇒ f(x) 6 f(y).

Deze stelling is fundamenteel: een functie f(x) is stijgend in een punt x0 als en slechts alsf ′(x0) > 0. De functie is dalend in x0 als en slechts als f ′(x0) < 0.

Een punt x0 waar de functie f(x) overgaat van het stijgen naar het dalen, noemen we eenlokaal maximum. Een punt x0 waar de functie overgaat van het dalen naar het stijgen,noemen we een lokaal minimum. De verzamelnaam voor beide is lokaal extremum.Omdat in een lokaal extremum het teken van de afgeleide dus moet veranderen, geldt er: alshet punt x0 een lokaal extremum is van de functie f , dan geldt f ′(x0) = 0.

Let op: niet alle punten waarvoor f ′(x) = 0 zijn lokale maxima of minima. Inderdaad, devoowaarde f ′(x) = 0 impliceert enkel dat de raaklijn in dit punt evenwijdig is aan de x-as.


Figuur 7.5: f is dalend in x1 en stijgend in x2.

7.4 Convexiteit met de tweede afgeleide

We noemen een functie f convex of hol in een interval I als voor elke twee punten x1 enx2 in I geldt dat het lijnsegment dat de punten (x1, f(x1)) en (x2, f(x2)) verbindt boven degrafiek van de functie f ligt. Een functie f is concaaf of bol in I als voor elke twee puntenx1, x2 ∈ I geldt dat het lijnsegment tussen (x1, f(x1)) en (x2, f(x2)) onder de grafiek van defunctie f ligt. Een functie f is convex (of concaaf) in een punt x0 als er een interval rondx0 bestaat zodat f convex (concaaf) is in dat interval.

Figuur 7.6: (a) Een convexe functie (b) Een concave functie

Een buigpunt is een punt waar de functie overgaat van convex naar concaaf, m.a.w. x0 iseen buigpunt als links van x0 de functie convex (of concaaf) is en rechts van het punt defunctie concaaf (of convex) is.

Deze stelling is fundamenteel: een functie f is convex in x0 als en slechts als f ′′(x0) > 0. Defunctie f is concaaf in x = x0 als en slechts als f ′′(x0) < 0. Het punt x0 is een buigpunt vanf als en slechts als f ′′(x0) = 0.


We hebben reeds gezien dat de nulpunten van de eerste afgeleide f ′ van een functie f even-tueel lokale extrema kunnen zijn. Om te bepalen of zo’n punt een lokaal minimum of lokaalmaximum is, kan men een tekenonderzoek doen van f ′. Een andere methode bestaat erinom de tweede afgeleide te gebruiken. Voor een punt x0 met f(′x0) = 0 geldt:

• x0 is een lokaal minimum als en slechts als f ′′(x0) > 0• x0 is een lokaal maximum als en slechts als f ′′(x0) < 0

7.5 Functieonderzoeken

Met functieonderzoek bedoelen we een uitvoerige analyse van een functie, zodat voldoendegegevens ervan bekend zijn om zijn grafiek te kunnen tekenen. Een functieonderzoek zou devolgende elementen moeten bevatten, indien mogelijk.

A. Zoek het domein van de functie

B. Zoek eventuele symmetrieen: oneven, even, periodiek,. . .

C. Bereken de limieten in de grenspunten van het domein

D. Bepaal alle asymptoten

E. Bereken de afgeleide functie, zoek de extrema en bepaal waar de functie stijgend ofdalend is

F. Bereken de tweede afgeleide, zoek de buigpunten en onderzoek waar de functie convexof concaaf is

G. Schets een grafiek van de functie, eventueel door een aantal punten (x, f(x)) van degrafiek uit te rekenen.

Voorbeeld van een functieonderzoek

f : R→ R : x 7→ f(x) =x2 + 3x+ 2

2x2 − 8

A. Domein. De functie is overal gedefinieerd, behalve in de punten waar de noemer nulwordt. We bepalen de nulpunten van de noemer:

2x2 − 8 = 0⇔ x2 − 4 =⇔ x2 = 4⇔ x = 2 of x = −2

We besluiten dat dom(f) = R \ {−2, 2} =]−∞,−2[ ∪ ]− 2, 2[ ∪ ]2,+∞[.

B. Symmetrieen. Vervangen we in het functievoorschrift x door −x, dan verkrijgen wex2−3x+2

2x2−8, hetgeen noch f(x), noch −f(x) is. Ook is de functie niet periodiek.


C. Limieten

limx→±∞

x2 + 3x+ 2

2x2 − 8= lim

x→±∞

x2

2x2

=1

2

limx→−2

x2 + 3x+ 2

2x2 − 8

00= limx→−2

(x+ 2)(x+ 1)

2(x+ 2)(x− 2)

= limx→−2

x+ 1

2(x− 2)

=1

8

limx→2

x2 + 3x+ 2

2x2 − 8

120= ?(∞ of −∞)

Om linker- en rechterlimiet te bereken, voeren we een tekenonderzoek uit van de functie.

x −2 −1 2x2 + 3x+ 2 + 0 − 0 + + +

2x2 − 8 + 0 − − − 0 +f(x) + + 0 − | +

Daaruit volgt

limx→2>

x2 + 3x+ 2

2x2 − 8= +∞

limx→2<

x2 + 3x+ 2

2x2 − 8= −∞

Dat de factor (x + 2) zowel in teller als noemer voorkomt, betekent dat voor x = −2de functie niet gedefinieerd is, maar dat ze voor elke andere x-waarde samenvalt metde functie, gedefinieerd door de vereenvoudigde breuk.

D. Asymptoten. De kandidaat-verticale-asymptoten zijn de rechten x = 2 en x = −2(de punten waar f niet gedefinieerd is). Vermits lim

x→−2f(x) eindig is, is er in x = −2

toch geen verticale asymptoot. Vermits zowel de linker- als rechterlimiet van f voorx→ 2 oneindig zijn is de rechte met vergelijking x = 2 wel een verticale asymptoot.

Vermits limx→±∞

f(x) =1

2, is de rechte met vergelijking y = 1

2een horizontale asymptoot

voor x→ −∞ en x→ +∞.

Om de aanligging van de grafiek van f t.o.v. deze asymptoot te kennen, onderzoekenwe het teken van f(x)− 1

2= 3x+6

2x2−8. Dit levert:


x −2 23x+ 6 − 0 + + +x2 − 4 + 0 − 0 +

f(x)− 12

= 3x+62x2−8

− − | +

Vermits voor x→ −∞ de hulpfunctie negatief is, besluiten we dat voor de grafiek vanf onder de horizontale asymptoot ligt aan de linkerkant. Voor x → +∞ is f(x) − 1

2

positief en dus ligt de grafiek van f boven de horizontale asymptoot aan de rechtse kant.

Vermits het gedrag op −∞ en op ∞ bepaald wordt door een horizontale asymptoot,kunnen we besluiten dat er geen schuine asymptoten zijn. We hebben dus een verticaleasymptoot op x = 2 en een horizontale asymptoot y = 1

2, zowel voor x → −∞ als

x→ +∞.

E. Eerste afgeleide. De eerste afgeleide is

f ′(x) =

(x2 + 3x+ 2

2x2 − 8

)′=

1

2·(x2 + 3x+ 2

x2 − 4

)′=

1

2· (2x+ 3)(x2 − 4)− 2x(x2 + 3x+ 2)

(x2 − 4)2

=1

2· −3x2 − 12x− 12

(x2 − 4)2

= −3

2· x

2 + 4x+ 4

(x2 − 4)2

= −3

2· (x+ 2)2

(x− 2)2(x+ 2)2

Daar deze waarde altijd positief is, stijgt f overal waar hij gedefinieerd is.

F. Tweede afgeleide. We zien dat de factor (x+ 2) die voorkwam in teller en noemervan f , nu twee keer voorkomt in teller en noemer van de afgeleide. Omdat in puntenbuiten x = −2, de eerste afgeleide samenvalt met de vereenvoudigde functie x 7→−3

2· 1

(x−2)2, zullen we voor de berekening van de tweede afgeleide vanaf deze uitdrukking

verderrekenen.

f ′′(x) = −3

2

(1

(x− 2)2

)′= −3

2

−2

(x− 2)3

= 31

(x− 2)3


x 2(x− 2)3 − 0 +f ′′(x) − | +f(x) _ | ^

G. Samenvattende tabel

x −2 −1 2f ′(x) − − − − − | −f ′′(x) − − − − − | +f(x) + | + 0 − | +

↘ ↘ ↘ ↘ ↘ | ↘_ _ _ _ _ | ^

H. Grafiek. Zie figuur 7.5

Figuur 7.7: f(x) =x2 + 3x+ 2

2x2 − 8


7.6 Oefeningen

Oefening 1

Bepaal voor elk van de onderstaande functies de vergelijkingen van de asymptoten. Vooreen voorbeeld dat de volledige werkwijze illustreert, zie 7.2.3.

A. f(x) =x+ 3

x− 4

B. f(x) = x2

C. f(x) =x− 3

x2 − 4

D. f(x) =x2 − 1

x+ 3

E. f(x) =x− 4

x2 − 16

F. f(x) =2x3

x2 + 2

Oefening 2

Ga voor elk van de volgende functies na waar ze stijgend of dalend zijn. Bepaal de extrema.Bereken tevens de functiewaarde in deze extrema. Voor een volledig uitgewerkt voorbeeld,zie oplossingen.

A. f(x) = x2 + 5x− 2

B. f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x+ 3

C. f(x) =x− 1

x+ 3

D. f(x) =x2 + 2

x2 − 4

Oefening 3

Bepaal voor elk van de volgende functies waar ze convex of concaaf zijn. Bepaal tevens debuigpunten. Voor een volledig uitgewerkt voorbeeld, zie oplossingen.

A. f(x) = x2 + 5x− 2

B. f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x+ 3

C. f(x) =x− 1

x+ 3

D. f(x) =x2 + 2

x2 − 4


Oefening 4

Geef een volledig functieonderzoek van de volgende functies. Voor een voorbeeld die devolledige werkwijze illustreert, zie 7.5.

A. f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 3

B. f(x) = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x+ 7

C. f(x) =x− 7

x+ 6

D. f(x) =x− 2

x2 − 4

E. f(x) =x2 − 4

x− 3

Oefening 5

Op onderstaande figuur staat de grafiek van een functie f , samen met de grafiek van haareerste en tweede afgeleiden. Welke grafiek correspondeert met f , f ′ en f ′′?

Figuur 7.8: Oefening 5


7.7 Oplossingen

Oefening 1

A. V.A.: x = 4, H.A.: y = 1

B. Geen asymptoten

C. V.A.: x = −2 en x = 2, H.A.: y = 0

D. V.A. : x = −3, S.A.: y = x− 3

E. V.A.: x = −4, H.A.: y = 0

F. S.A.: y = 2x

Oefening 2

A. Berekening van de eerste afgeleide geeft f ′(x) = 2x+ 5, met als nulpunt van f ′ dus dewaarde −5

2. Tekenonderzoek van f ′ geeft:

x −52

f ′(x) − 0 +

De functie is dus dalend in het interval ]−∞,−52[ en stijgend in het interval ]− 5

2,+∞[.

Bijgevolg is x = −52

een minimum. De functiewaarde in x = −52

is f(−52) = −33

4

B. De functie is stijgend in ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[ en dalend in het interval ]1, 2[. We besluitendat x = 1 een lokaal maximum is en x = 2 een lokaal minimum. De overeenkomstigefunctiewaarden zijn f(1) = 8 en f(2) = 7. Er zijn geen globale minima of maxima,vermits limx→+∞ f(x) = +∞ en limx→−∞ f(x) = −∞.

C. De functie is overal stijgend en heeft geen extrema.

D. De functie f is dalend in ]0, 2[ ∪ ]2,+∞[ en stijgend in ]−∞,−2[ ∪ ]−2, 0[. De functiebereikt een lokaal maximum in x = 0. De functiewaarde in x = 0 is f(0) = −1

2. Het

punt x = 0 is geen globaal maximum, vermits limx→−2>

f(x) = +∞.

Oefening 3

A. De functie is overal convex. Er zijn geen buigpunten.

B. Berekening van de eerste afgeleide geeft f ′(x) = 6x2 − 18x + 12. Berekening van detweede afgeleide geeft f ′′(x) = 12x − 18, met als nulpunt 3

2. Tekenonderzoek van f ′′

geeft:

x 32

f ′′(x) − 0 +


De functie is dus concaaf in ] − ∞, 32[ en convex in ]3

2,+∞[. Het punt x = 3

2is het

unieke buigpunt.

C. De functie is convex in ]−∞,−3[ en concaaf in ]− 3,+∞[. Er zijn geen buigpunten.

D. De functie f is convex in ] − ∞,−2[ ∪ ]2,+∞[ en concaaf in ] − 2, 2[. Er zijn geenbuigpunten.

Oefening 4

A. • domf = R• geen asymptoten• f ′(x) = 3x2 − 12x+ 9, f ′′(x) = 6x− 12

x 1 2 3

f ′(x) + 0 − − − 0 +f ′′(x) − − − 0 + + +f(x) ↗ max ↘ ↘ ↘ min ↗

_ _ _ bgpt ^ ^ ^

Figuur 7.9: (a) 4a: y = x3 − 6x2 + 9x− 3 (b) 4b: y = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x+ 7

B. • domf = R• Geen asymptoten• f ′(x) = 12x3 − 12x2 − 48x+ 48, f ′′(x) = 36x2 − 24x− 48


x −2 1−√

133

1 1+√

133

2

f ′(x) − 0 + + + 0 − − − 0 +f ′′(x) + + + 0 − − − 0 + + +f(x) ↘ min ↗ max ↘ min ↗

^ bgpt _ bgpnt ^

C. • domf =]−∞,−6[∪]− 6,+∞[• V.A.: x = −6, H.A.: y = 1• f ′(x) = 13

(x+6)2, f ′′(x) = −26

(x+6)3

x −6f ′(x) + | +f ′′(x) + | −f(x) ↗ | ↗

^ | _

D. • domf = R \ {−2, 2}• V.A.: x = −2, H.A.: y = 0• f ′(x) = −x2+4x−4

(x2−4)2= − 1

(x+2)2, f ′′(x) = 2

(x+2)3

x −2 2f ′(x) − | − | −f ′′(x) − | + | +f(x) _ | ^ | ^

Figuur 7.10: (a) 4c: y = x−7x+6

(b) 4d: y = x−2x2−4

E. • domf = R \ {3}• V.A.: x = 3, S.A.: y = x+ 3


• f ′(x) = x2−6x+4(x−3)2

, f ′′(x) = 10(x−3)3

x 3−√

5 3 3 +√

5f ′(x) + 0 − | − 0 +f ′′(x) − − − | + + +f(x) ↗ max ↘ | ↘ min ↗

_ _ _ | ^ ^ ^

Figuur 7.11: y = x2−4x−3

Oefening 5

De grafiek van f is B. De grafiek van f ′ is C. De grafiek van f ′′ is A.


Hoofdstuk 8

Integralen

8.1 Primitieven en de onbepaalde integraal

Een primitieve functie F van een functie f is een afleidbare functie, waarvoor geldt datde afgeleide van F precies de functie f is. M.a.w. F (x) is een primitieve van f(x) indien

F ′(x) = f(x).

De functie F1(x) = − cosx is bijvoorbeeld een primitieve van de functie f(x) = sinx. Ergeldt immers dat F ′1(x) = (− cosx)′ = sin x. De functie F2(x) = − cosx + 5 is echter ookeen primitieve van f(x) = sin x, immers

F ′2(x) = (− cosx+ 5)′ = (− cosx)′ + 5′ = sinx+ 0 = f(x)

Uit het vorige voorbeeld blijkt dat een primitieve van een functie f niet uniek is. Inderdaad,als F een primitieve is voor f , dan geldt voor elke constante C ∈ R, dat x 7→ F (x) + Cook een primitieve is van f . De verzameling van alle primitieven van een gegeven functie fnoemen we de onbepaalde integraal van f en wordt genoteerd met

∫f(x)dx.∫

f(x)dx = {F (x) + C | C ∈ R},

waarbij F (x) een willekeurige primitieve is van f(x). Hoewel notationeel niet helemaalcorrect, verkorten we deze schrijfwijze voor ons gemak door te schrijven∫

f(x)dx = F (x) + C.

De te integreren functie f(x), noemt men het integrandum van de integraal.

114

8.2 Onbepaalde integralen uitrekenen

8.2.1 Basisintegralen

De volgende lijst met basisintegralen volgt uit de definitie van de onbepaalde integraal en derekenregels voor afgeleiden. Vooral de tweede moet men vaak gebruiken.∫

adx = ax+ C (a ∈ R)∫xndx =

xn+1

n+ 1+ C (n ∈ Q \ {−1})∫

1

xdx = ln |x|+ C∫

sinxdx = − cosx+ C∫cosxdx = sinx+ C∫exdx = ex + C∫

1

1 + x2dx = Bgtgx+ C

8.2.2 Lineariteit van de integraal

Deze rekenregels volgen uit het feit dat een primitieve zoeken het omgekeerde is van afleiden.De lineariteit van de integraal, zoals deze formules bekend staan, gebruikt men erg vaak: deintegraal van een som is de som van de integralen en constanten die niet afhangen van deintegratieveranderlijke, mogen voor het integraalteken gebracht worden.∫

(f(x) + g(x))dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx∫

af(x)dx = a

∫f(x)dx (a ∈ R)

8.2.3 Substitutie

In het algemeen geldt: ∫f(g(x))g′(x)dx =

∫f(u)du

Deze formule is afkomstig van een subsitutie u = g(x), waardoor de differentiaal du trans-formeert als

du = d(g(x)) = g′(x)dx.


Een vaak nodige vervanging is de lineaire substitutie, waarbij een lineaire uitdrukkingax+ b in x gesubstitueerd wordt: u = ax+ b, dan is du = adx.∫

f(ax+ b)dx =

∫f(u)

du

a.

Bijvoorbeeld:∫ √2x− 1dx =

∫ √udu

2=

1

2

∫u

12du =

1

2· 2

3u

32 + C =

1

3

√(2x− 1)3 + C

Een ander type substitutie is deze waarbij het integrandum van de vorm f(x)nf ′(x) is. Dankan men de subsitutie u = f(x) toepassen. Immers, dan is du = f ′(x)dx en de integraalherleidt zich tot een basisintegraal:∫

f(x)nf ′(x)dx =

∫undu =

un+1

n+ 1=f(x)n+1

n+ 1.

Bijvoorbeeld:∫2x+ 2

x2 + 2xdx =

∫(x2 + 2x)′

x2 + 2xdx =

∫du

u= ln |u|+ C = ln |x2 + 2x|+ C

Nog een voorbeeld. Om de integraal∫

cos2 x sinxdx te berekenen, passen we de substitutieu = cosx toe. We verkrijgen du = − sinxdx. De integraal herleidt zich tot∫

cos2 x sinxdx = −∫u2du = −1

3u3 + C = −1

3cos3 x+ C

8.2.4 Partiele integratie

De productregel voor afgeleiden is

f ′ · g + f · g′ = (f · g)′.

Brengen we de eerste term naar het ander lid en integreren we beide leden, dan vinden wede bruikbare formule ∫

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−∫f ′(x)g(x)dx∫

u dv = uv −∫v du,

waarvan het gebruik bekend staat onder de naam partieel integreren.

Wensen we bijvoorbeeld de integraal∫xexdx te berekenen. Vermits er geen voor de hand

liggende subsititutie is die de integraal makkelijker te berekenen maakt, proberen we deintegraal te berekenen via partiele integratie. Kiezen we f(x) = x en g′(x)dx = exdx en dusg(x)ex, dan verkrijgen we∫

xexdx = xex −∫x′exdx = xex −

∫exdx = xex − ex + C


8.3 De bepaalde integraal

Zij F (x) een primitieve van f(x), dan definieert men de bepaalde integraal van f(x) overhet interval [a, b] als het reeel getal F (b)− F (a) en men noteert dit met∫ b

a

f(x)dx.

Soms wordt ook deze notatie gebruikt:∫ b

a

f(x)dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a).

De getallen a en b noemt men de integratiegrenzen van de integraal en het interval [a, b]het integratiegebied. Merk nog op dat men eender welke primitieve mag gebruiken om∫ b

a

f(x)dx te berekenen. Door het verschil F (b) − F (a) te berekenen vallen de constanten

C toch tegen elkaar weg.

8.3.1 Additiviteit van de integraal

De volgende eigenschappen zeggen dat de integraal zich goed gedraagt ten opzichte vanopsplitsing en omkering van het integratiegebied.

•∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx (met c ∈ [a, b])

•∫ c

c

f(x)dx = 0

•∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx

8.3.2 Bepaalde integralen uitrekenen

Om bepaalde integralen te berekenen, volstaat het dus een primitieve te berekenen van dete integreren functie, en deze te evalueren in de integratiegrenzen en het verschil te maken.

Let op: indien we de primitieve berekenen via substitutie, moeten we vooraleer we deintegratiegrenzen invullen ervoor zorgen dat de primitieve uitgedrukt is in de oorspronkelijkevariable. Een andere optie bestaat erin om de grenzen aan dezelfde variabelentransformatiete onderwerpen: veronderstel namelijk dat we de bepaalde integraal∫ b

a

f(g(x))g′(x)dx


wensen te berekenen. Gebruikmakend van de substitutie u = g(x) vinden we∫ b

a

f(g(x))g′(x)dx =

∫ g(b)

g(a)

f(u)du.

Bij wijze van voorbeeld wensen we de bepaalde integraal∫ 2

1

√2x− 1dx te berekenen. We

doen dit op twee verschillende manieren: de eerste methode bestaat erin om eerst een pri-mitieve van f(x) =

√2x− 1 te berekenen en daarna pas de integratiegrenzen in te vullen;

de tweede methode bestaat erin om rechtstreeks de substitutieregel voor bepaalde integralentoe te passen.

Methode 1. We berekenen eerst een willekeurige primitieve van f(x) =√

2x− 1. Uitparagraaf 8.2.3 weten we dat

∫ √2x− 1dx = 1

3

√(2x− 1)3 + C. We kiezen de primitieve

met C = 0, F (x) = 13

√(2x− 1)3 om de bepaalde integraal te berekenen. Dit levert:∫ 2

1

√2x− 1dx = [F (x)]21 =

1

3

√(2.2− 1)3 − 1

3

√(2.1− 1)3 =

1

3

(√27− 1

)Methode 2. We passen nu rechtstreeks de substitutieregel voor bepaalde integralen toe.We maken opnieuw gebruik van de substitutie u = g(x) = 2x − 1. Transformatie van deintegratiegrenzen geeft g(1) = 1 en g(2) = 3. We verkrijgen:∫ 2

1

√2x− 1dx =

1

2

∫ g(2)

g(1)

u12du =

1

2

∫ 3

1

u12du

=1

2

[2

3u

32

]3

1

=1

3

[√u3]3

1

=1

3

(√33 −

√13)

=1

3

(√27− 1

)

8.4 Oppervlaktes met bepaalde integralen

Veronderstel dat f(x) een functie is, gedefinieerd over minstens het interval [a, b]. Veron-derstel dat we de grafiek van f(x) tekenen in een een assenstelsel waarbij de x- en y-asloodrecht op elkaar staan en de beide assen gelijk geijkt zijn. De grafiek van f(x), samenmet de x-as en de rechten x = a en x = b sluiten een begrensd deel van het vlak in. Als fgeen negatieve waarden aanneemt op [a, b], is de oppervlakte van dit gebied is gelijk aan debepaalde integraal van f tussen a en b. Als de grafiek van f helemaal onder de x-as ligt, isde bepaalde integraal van f tussen a en b precies min die oppervlakte. Algemeen geldt datde totale oppervlakte van het gebied tussen x = a en x = b dat begrensd wordt door de x-asen de grafiek van f , gelijk is aan de integraal van de absolute waarde van f :∫ b

a

|f(x)| dx = Oppervlakte.


In de bovenstaande stelling is het noodzakelijk om niet de functie f te integreren, maar wel|f | te integreren. Het integreren van f zou de oppervlaktes van de stukken onder de x-asmet een minteken optellen bij (dus aftrekken van) de positieve integralen.

Wensen we bijvoorbeeld de oppervlakte te berekenen van het gebied begrensd door de rechtenx = −1, x = 1, de x-as en de grafiek van de functie f(x) = x. Volgens bovenstaande stellingis deze oppervlakte gelijk aan: ∫ 1

−1

|f(x)| dx =

∫ 1

−1

|x| dx

Voor x ∈ [−1, 0], is x < 0 en geldt dat |x| = −x. Voor x ∈ [0, 1] is x > 0 en dus is |x| = x.De integraal wordt dus:∫ 1

−1

|f(x)| dx =

∫ 0

−1

|x| dx+

∫ 1

0

|x| dx =

∫ 0

−1

(−x)dx+

∫ 1

0

xdx

= −[x2

2

]0

−1

+

[x2

2

]1

0

= −(

(0)2

2− (−1)2

2

)+

((1)2

2− (0)2

2

)= 1

Indien we gewoon f(x) = x zouden integreren i.p.v. |f(x)| dan bekomen we:

∫ 1

−1

f(x)dx =

∫ 1

−1

xdx =

[x2

2

]1

−1

=

((1)2

2− (−1)2

2

)= 0,

terwijl het duidelijk is dat de oppervlakte van het begrensde gebied niet gelijk is aan nul.


Opdelen van het integratiegebied

Om de oppervlakte te bepalen van het gebied begrensd door de grafiek van de functie f , derechten x = a en x = b en de x-as, moeten we de integraal∫ b

a

|f(x)| dx

bepalen. Eerst delen we het integratiegebied [a, b] op in deelintervallen [a, a1], [a1, a2], . . . , [an, b](zodat [a, b] = [a, a1]∪ [a1, a2]∪ · · · ∪ [an, b]), zodat op elk van deze deelintervallen de functief ofwel overal positief is ofwel overal negatief is. Bij continue functies zal dat betekenen data1, . . . , an nulpunten of x-waarden van verticale asymptoten zullen zijn. Wegens additiviteitgeldt: ∫ b

a

|f(x)| dx =

∫ a1

a

|f(x)| dx+

∫ a2

a1

|f(x)| dx+ · · ·+∫ b

an

|f(x)| dx.

Indien f positief is in het interval [ai, ai+1], dan is∫ ai+1

ai|f(x)| dx =

∫ ai+1

aif(x)dx. Indien

echter f(x) negatief is op het interval [ai, ai+1], dan is∫ ai+1

ai|f(x)| dx =

∫ ai+1

ai(−f(x)) dx.

Deze integralen kunnen nu op de gebruikelijke wijze uitgerekend worden.

We wensen bijvoorbeeld de oppervlakte te berekenen begrensd door de grafiek van f(x) =sinx, de rechten x = 0 en x = 2π en de x-as. Deze oppervlakte wordt gegeven door∫ 2π

0|sinx| dx. We verdelen het interval [0, 2π] in deelintervallen waarop sinx een constant

teken heeft: in het interval [0, π] is sinx overal positief (in dat geval is | sinx| = sinx). In


het interval [π, 2π] is sinx overal negatief (in dat geval is | sinx| = − sinx). We vinden∫ 2π

0

|sinx| dx =

∫ π

0

|sinx| dx+

∫ 2π

π

|sinx| dx

=

∫ π

0

sinxdx+

∫ 2π

π

(− sinx)dx

= [− cosx]π0 + [cosx]2ππ= (− cosπ)− (− cos 0) + (cos 2π)− (cos π)

= 1 + 1 + 1 + 1 = 4

8.4.1 Oppervlakten tussen meerdere krommen

Gebruikmakend van integralen kunnen ook oppervlaktes berekend worden die door tweekrommen worden begrensd.

Bereken bijvoorbeeld de oppervlakte van het gebied begrensd door de rechten R1 : x =2, R2 : y = −x + 6 en R3 : y = x − 2. We maken eerst een schets van het gebiedwaarvan de oppervlakte dient berekend worden. De oppervlakte begrensd door de rechten

is de oppervlakte die berekend moet worden. Dit gebied vormt een driehoek waarvan dehoekpunten de snijpunten van de drie rechten onderling zijn. De snijpunten van de rechten


worden gevonden door het oplossen van de stelsels, bepaald door de vergelijkingen. Wevinden P1 = (2, 4), alsook P2 = (4, 2) en P3 = (2, 0). De gezochte oppervlakte kan nietonmiddellijk uitgedrukt worden met behulp van een integraal, maar we merken op dat deoppervlakte van het driehoekje onder het te bepalen oppervlak wordt gegeven door∫ 4

2

(x− 2)dx =

[x2

2− 2x

]4

2

= 2.

De oppervlakte van beide stukken samen wordt gegeven door de integraal∫ 4

2

(−x+ 6)dx =

[−x

2

2+ 6x

]4

2

= 6.

De gezochte oppervlakte is niets anders dan het verschil tussen deze twee oppervlakten:

Opp =

∫ 4

2

(−x+ 6)dx−∫ 4

2

(x− 2)dx = 6− 2 = 4


8.5 Oefeningen

Oefening 1

Bereken de volgende onbepaalde integralen. Gebruik de methoden uit paragrafen 8.2.2, 8.2.3en 8.2.4.

A.

∫x4dx

B.

∫3

x4dx

C.

∫ (x3

4+ 1

)dx

D.

∫ (x2 + x+ 1

)dx

E.

∫x−3dx

F.

∫ (1

x+ x+

√x5

)dx

G.

∫x√xdx

H.

∫x2

3√x4dx

I.

∫ 3√x2

4√x3dx

J.

∫ (5√x

x− 1

3√x−1− 2

x4

)dx

K.

∫cos 3xdx

L.

∫ √2xdx

M.

∫x√x2 + 2dx

N.

∫tan

x

2dx

O.

∫3x2 + 2

x3 + 2xdx

P.

∫x2 + x− 2

x+ 2dx

Q.

∫2x+ 1

2x2 + 2xdx

R.

∫e2x+1dx =

S.

∫4x√x2 + 1

dx

T.

∫x2√x+ 1dx

U.

∫x+ 1

(x2 + 2x+ 1)5dx

V.

∫2 lnx

x(1 + ln2 x)dx

W.

∫x2 + x

xdx

X.

∫sinx

cos2 xdx

Y.

∫(x+ 1)

√x+ 3dx

Z.

∫cosx

1 + sin xdx

A.

∫(x− 1)exdx

B.

∫x cosxdx

C.

∫x lnxdx

D.

∫x2exdx

Oefening 2

Bereken de volgende bepaalde integralen.

A.

∫ 1

0

(x2 − 1)dx B.

∫ 1

0

(x− 1)2dx C.

∫ π4

−π4

cos 2xdx


D.

∫ 3

−3

1√9− x2

dx

E.

∫ 3

2

4x+ 2

x2 + xdx

F.

∫ −1

0

x2

√x3 + 2

dx

G.

∫ π4

0

sinx

cos3 xdx

H.

∫ 2

−1

(x+ 1)√x+ 2dx

I.

∫ 1

0

ex2

2 · xdx

Oefening 3

Bereken de oppervlakte begrensd door de x-as, de rechten x = a en x = b en de grafiek vande functie f(x) (voor een uitgewerkt voorbeeld zie 4.5.3):

A. f(x) = −x2 + 4, a = −1, b = 1

B. f(x) = x+ 2, a = −4, b = 0

C. f(x) = cos x, a = π2, b = π

D. f(x) = x2 − 5x+ 6, a = 0, b = 3

E. f(x) = x4 − x2, a = −2, b = 2

F. f(x) = lnxx

, a = 12, b = 2

Oefening 4

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de volgende krommen (voor een uit-gewerkt voorbeeld, zie paragraaf 8.4):

A. x = −2, y = x+ 2 en y = −2x+ 8

B. y = x2 en y = −x2 + 2

C. y = −x2 + 2x− 1 en y = −x− 1

Oefening 5

A. Bereken de oppervlakte van de driehoek met hoekpunten (−1, 0), (2, 0) en (3, 2).

B. Bereken de oppervlakte van de figuur met hoekpunten (1, 1), (1, 2), (3, 2) en (4, 1).


8.6 Oplossingen

Oefening 1

A. x5

5+ C

B. − 1x3

+ C

C. x4

16+ x+ C

D. x3

3+ x2

2+ x+ C

E. − 12x2

+ C

F. ln |x|+ x2

2+ 2

7

√x7 + C

G. 23

√x3 + C

H. 35x

3√x2 + C

I. 1211

12√x11 + C

J. 5 5√x− 3

4

3√x4 + 2

3x3+ C

K. 13

sin 3x+ C

L. 23x√

2x+ C

M. 13(x2+2)

√x2 + 2+C (subst. u = x2+2)

N. −2 ln∣∣cos x

2

∣∣O. ln |x3 + 2x|+ C (subst. u = x3 + 2x)

P. 12x2 − x+ C

Q. 12

ln |2x2 +2x|+C (subst. u = 2x2 +2x)

R. 12e2x+1 + C

S. 4√x2 + 1 + C (subst. u = x2 + 1)

T. 2

(√(x+1)7

7− 2

√(x+1)5

5+

√(x+1)3

3

)+ C

(subst. u2 = x+ 1)

U. −18

1(x2+2x+1)4

+C (subst. u = x2+2x+1)

V. ln(ln2(x) + 1) + C (subst. u = lnx)

W. x2

2+ x+ C

X. 1cosx

+ C (subst. u = cosx)

Y. 2

(√(x+3)5

5− 2√

(x+3)3

3

)+C (subst. u =

x+ 3)

Z. ln(1 + sinx) + C (subst. u = cosx)

A. (x − 1)ex − ex + C (partiele integratiemet f(x) = x− 1 en g′(x) = ex)

B. x sinx + cosx + C (partiele integratiemet f(x) = x en g′(x) = cos x)

C. 12x2 lnx1

4x2 +C (partiele integratie met

f(x) = ln x en g′(x) = x)

D.

∫x2exdx = x2ex2xe

x + 2ex + C (twee-

maal partiele integratie - eerste keermet f(x) = x2 en g′(x) = ex)

Oefening 2

A. −23

B. 13

C. 1

D. π

E. 2 ln 2

F. 23

(1−√

2)

G. 12

H. 11615

I. e


Oefening 3

A. Oppervlakte =22

3

B. Oppervlakte = 4

C. Oppervlakte = 1

D. Oppervlakte =29

6

E. Oppervlakte = 8

F. Oppervlakte = (ln 2)2

Oefening 4

A. Oppervlakte = 24 B. Oppervlakte =8

3C. Oppervlakte =

9

2

Oefening 5

A. Oppervlakte = 2 B. Oppervlakte =5

2


Vakantiecursus Wiskunde voor wetenschappers

Wiskunde voor wetenschappers - cage.ugent.becage.ugent.be/~bs/VakantiecursusWiskunde2012.pdf · te...

Documents

Transcript of Wiskunde voor wetenschappers - cage.ugent.becage.ugent.be/~bs/VakantiecursusWiskunde2012.pdf · te...