Inleiding Optica

dr. ir. F.A. van Goor

dr. H.J.W.M. Hoekstra

Prof dr V. Subramaniam

Opleiding Technische Natuurkunde

Universiteit Twente

Organisatie(zie TeleTop en/of http://edu.tnw.utwente.nl/inlopt)

� 6 Hoorcolleges week 36 tot 43:

wo. 5/6, van Goor, HT500A week 36,37,38,41,42,43

Subramaniam, HT500A, week 39,40

� 6 Werkcolleges even weken + week 43:

vr. 1+2, Hoekstra, HT500A

vr. 1+2, van Goor, HT500A

� Bonuspunten:

6 computer experimenten à 2 punten (max. 12 punten boven op tentamen

resultaat max. 100 punten). (deelname verplicht)

�Practicum middagen ma, di, do, vr week 37 t/m 42.

Deelname verplicht

Practicuminstructie downloaden

Aanmelden verplicht

�Tentamens:

week 45: vrijdag 7 november 2008

week 5: vrijdag 30 januari 2009

“Open boek”, Hecht

Max 2 pagina’s zelfgemaakt formuleblad

Cijfer nadat practicum voldoende

Studiemateriaal

� Optics, E. Hecht, 4e editie. (3de kan ook)

� Website: http://edu.tnw.utwente.nl/inlopt

� TeleTop: Inleiding Optica 2008 (inschrijven!)

� Studiehandleiding (rooster, tentamenstof, vraagstukken, begripsvragen, ...)

� Simulaties optische verschijnselen

� Overheadsheets

� Bonusopdrachten (computer experimenten)

� Practicum

� Links naar interessante optica web-sites

Wat is Licht

Wat is licht?

Een stroom deeltjes?

Isaac Newton, geb 1642:

Deeltjesmodel: Schaduw heeft scherpe randen.

Realiteit: Schaduw heeft vage randen.

Golven?

Christian Huygens, geb. 1629:

Licht transporteert energie m.b.v.

golven zoals bij water.

1. Buigingsverschijnselen

(diffractie).

2. Interferentie.

Maxwell: (19e eeuw)

Theorie van het EM veld beschrijft licht als lopende

golf bijzonder nauwkeurig

Licht heeft zowel een deeltjes- als een golfkarakter

Het interferentiepatroon wordt foton voor foton opgebouwd.

belichtingstijd

Discrete overgangen in materie → fotonen

Soms een golf, soms een deeltje

Eigenschappen en Toepassingen

van LichtTransport van Energie:

Transport van Informatie met tijd modulatie:

S O S

fiberLaser diode Foto diode

Transport van Informatie met ruimtelijke modulatie :

dia

scherm

Nu: c = 299792458 m/s

Meting lichtsnelheid door Fizeau (1849)

2 x 8633 m

c ~ 3.15300 x 108 m/s

Waar moet de theorie aan voldoen?

• Transport van energie met snelheid c

• Transport van impuls

• Transport van informatie (kleur en vorm)

• Mogelijkheid van bundelvorming en

manipulatie van de bundel (buiging)

• Verklaren interferentie en diffractie

verschijselen

Verklaring en beschrijving geven van:

Wat was bekend in 19e eeuw?

• Wiskunde van golven (golfvergelijking,

transversale en longitudinale golven)

• Snelheid van het licht

• Interferentieverschijnselen, buiging,

kleuren, reflectie, enz.

Wat trilt er en hoe?

• 19e eeuw: Introductie van de ‘ether’. Een

alles doordringende stof, in absolute rust en

het ‘trillende medium’. (analoog aan water

golven)

• Transversale- of longitudinale trillingen?

Twee dimensionale golf (water oppervlak)

Mathcad: 2-D golf.mcd

Licht als Electromagnetische golf (1)

• Electrische en magnetische wetten samengevat in één

theorie door Maxwell (1831 - 1879)

• Wetten van Maxwell beschrijven alle electro-magnetische

verschijnselen

• Wetten van Maxwell leiden o.a. tot een golfvergelijking

voor het electrische (E(x,y,z,t)) en het magnetische

(B(x,y,z,t)) veld in de vrije ruimte.

Licht als Electromagnetische golf (2)

• E- en B-veld zijn transversaal; E loodrecht op B.

• Als enige constante in de golfvergelijking: De snelheid

van de golf.

• Deze snelheid kwam precies overeen met de gemeten

lichtsnelheid.

• De theorie beschrijft het transport van energie door de

(lege) ruimte.

Ether overbodig!

• EM golf kan zich in vacuum voortplanten

• Het trillende medium is het electrische en het magnetische

veld

• Lichtsnelheid is absoluut, constant en onafhankelijk van

de snelheid van de bron (Einstein)

v=100.000km/s

lichtbronLicht snelheid is altijd c=300.000 km/s

(niet: 400.000 km/s)

Huidige kennis

• Golf- en deeltjes karakter

• Kan beschreven worden door (klassieke)

Maxwell theorie met zeer goede

nauwkeurigheid

• Quantisatie van de lichttheorie niet nodig

in de meeste gevallen

Hoofdstuk 2

Golven

Golven

• Een zich zelfstandig voortplantende verstoring, Ψ, van een medium.

• Plant zich voort in de ruimte.

• Transporteert energie en impuls.

• Het medium blijft ongeveer op zijn plaats.

t0 t1 > t0 t2 > t1 t3 > t2

v

x

Am

pli

tud

e Ψ

Eén dimensionale golven

• De verstoring wordt beschreven door een functie, f(x):

x

f(x) f(x)

Lopende golven:

� Vervang x door x-vt voor een naar rechts lopende golf:

)(),( vtxftx −=ψ

� Vervang x door x+vt voor een naar links lopende golf:

)(),( vtxftx +=ψ

Eén dimensionale golven

� “Verstoring” ψ=f(x,t) propageert in

positieve x richting.

� Vorm van de verstoring gegeven door:

ψ=f(x’)

(bijvoorbeeld: f(x’)=ax’ voor 0<x’<b)

� We hoeven slechts x’=x-vt in

te vullen om de verstoring te

laten propageren in de

positieve x richting met

snelheid v:

f(x’)=ax’

x’b

Helling: a

Eén dimensionale golven

� en x’=x+vt voor propagatie in de

negatieve x richting:

Afleiding golfvergelijking

Algemene oplossing is de som van een naar

rechts en een naar links lopende golf:

vtxxvtxx

xgxftx

+=−=

+=

''en ' :met

)''()'(),(ψ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

"'

"'

"

"

'

'

"'

"'

"

"

'

'

x

g

x

f

xx

g

x

f

x

x

x

g

x

x

x

f

x

x

g

x

fv

tx

gv

x

fv

t

x

x

g

t

x

x

f

t

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

ψψ

ψψ

2

22

2

2

xv

t ∂

∂=

∂

∂ ψψ

2x differentiëren:

Eén-dimensionale harmonische

golven

)sin()( kxAxf =

� Kies bijvoorbeeld:

( )[ ]vtxkAvtxftx ±=±= sin)(),(ψ

� Vervang x door x±vt:

( )[ ]vtxkAvtxftx −=−= sin)(),(ψ

Naar rechts lopende harmonische golf:

Golf herhaalt zich in plaats en tijd

� In plaats (tijd constant):

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

λκ

λ

ππλ

λλ

λλψψ

1 ":frequentie eruimtelijk"

)constante" propagatie(" 2

:of 2 :alsAlleen

sinsinsin

"golflengte" : ),(),(

=

==

±−=−±=−

±=

kk

kvtxkvtxkvtxk

txtx

Golf herhaalt zich

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

f2 :ntie"hoekfreque" 1

f :"frequentie"

2 :of 2 :alsAlleen

sin)(sinsin

periode"" : ),(),(

πωτ

πτ

ττ

ττψψ

==

===

−=±−=−

±=

v

λ

kv

πτkv

kvvtxktvxkvtxk

txtx

m

� In tijd (x constant):

Notaties lopende golf:

� Belangrijkste:

[ ]εωψ += tkxAtx mcos),(

[ ]εωψ += tkxAtx msin),(

� Complexe notatie:

( )[ ]εωψ += txkiAetx

mRe),(

Fase snelheid

εωφ +−= tkxtx ),(

� Fase, φ, is het argument van de sinus,

cosinus of e-macht:

vk

x

t

x

t

t

xv

t

x

t

x ±=±=

∂

∂

∂

∂

−=

∂

∂

∂

∂

−=

∂

∂=

ω

ψ

ψ

φ

φ

φ

φ

� Fase snelheid:

Superpositie principe (1)

Twee golven kunnen worden opgeteld:

2

21

2

22

21

2

2

2

2

22

2

2

2

1

2

22

1

2

)(1)(

_____________

1

1

tvx

tvx

tvx

∂

+∂=

∂

+∂

+

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

ψψψψ

ψψ

ψψ

De resulterende verstoring in ieder punt is de

algebraïsche som van alle golven in dat punt.

Superpositie principe (2)

• Twee golven in fase versterken elkaar.

|ε1−ε2|=0, 2π, 4π, ...

• Indien twee golven (met gelijke amplitude)

uit fase zijn doven ze elkaar uit. |ε1−ε2|=π,

3π, 5π, ...(d.w.z. er vindt geen energietransport

plaats!!!)

Superpositie principe (3)

0 rad

π/3 rad

Superpositie principe (4)

π rad

2π/3 rad

Complexe representatie

� sinus en cosinus kunnen door elkaar gebruikt worden

� Het is wiskundig handig om over te gaan op complexe

notatie:

� Gewoonlijk wordt het reële deel genomen als het fysische

resultaat moet worden gepresenteerd, dus:

( )εωφψ +== tkxitxiAeAetx

m),(),(

[ ] [ ] ),(cos),(sin),(cosReRe),( ),(txAtxiAtxAAetx

txi φφφψ φ =+==

Phasors (1)

� Bij superpositie van golven zijn we meestal

geïnteresseerd in de amplitude en de fase van het

resultaat.

� Phasors kunnen gebruikt worden als grafisch hulpmiddel

φ

Α

Im

Re

Phasors (2)

Superpositie van twee phasors (zoals bij vectoren):

φ1

φ2

φ

Α Α2

Α1

Im

Re

A φ A1 φ1 A2 φ2= +

[ ] [ ]

),(

22112211

21

21

),(sin),(cos

),(sin),(sin),(cos),(cos

),(),(),(

21

txi

(x,t)iφ(x,t)iφ

Ae

txφiAtxφA

txφAtxφAitxφAtxφA

eAeA

txtxtx

φ

ψψψ

=

+=

+++=

+=

+=

Notatie:

Phasors (3)

� Phasors roteren met een hoeksnelheid ωt

� Als de frequenties gelijk zijn roteren ze als

één pakket en is alleen het faseverschil op

bv. t=0 van belang, d.w.z ε1−ε2

� (Bij verschillende frequenties treedt

‘zweving’ op)

Phasors (4), rechts- en links lopende golven

Phasors (5), twee golven, gelijke

frequenties

Drie dimensionale golven (1)

� Vlakke golf:

k

y

z

x

r

constant=•rk

)(),( tiAet

ωψ −•= rkr

Drie dimensionale golven (2)

Sferische golf: )(),( trkie

r

At

ωψ m=r

� Amplitude neemt met 1/r af

� golffront is bolvormig:y

x

kr=•rk

r

k

Golffront

kk

Vlakke golf,

constante fase.

Verstoorde fase.

(aberratie)

Licht als Electromagnetische Golf

Het duale golf-deeltje karakter

van licht

• Golfkarakter bij voortplanting door (vrije) ruimte.

• Deeltjeskarakter bij de interactie van licht en

materie.

• Licht kan beschreven worden als een

Electromagnetische golf met de golfvergelijking

die volgt uit de wetten van Maxwell.

Ontstaan van straling

• Straling door versnellende ladingen:

� electron overgangen in atomen

� ronddraaiende electronen

(Synchrotron straling)

� ruimtelijke modulatie van

electronen in periodiek

magnetisch veld (vrije

electronen laser)

� dipool antennes

B

v

Maxwell vergelijkingen:

• Electrische velden

• Magnetische velden

• Electrische circuits

• Electromagnetische straling

• Interactie met materie

Wetten van Maxwell

∫∫ ∫∫∫

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

=•

=•

•

∂

∂+=•

•∂

∂−=•

A V

A

AC

AC

dV

dt

d

dt

d

ρε

εµ

1d

0d

SE

SB

SE

JlB

SB

lE

� Voortplanting in willekeurig medium:

Propagatie in vrije ruimte

• Propagatie in vacuum (snelheid c)

• Propagatie in homogene media zonder vrije

ladingen en stromen. Snelheid van de golf

wordt lager t.g.v. de brekingsindex:

00µε

εµ==

v

cn

n is frequentie afhankelijk: dispersie

Wetten van Maxwell (2)

Voortplanting in de vrije ruimte:

∫∫

∫∫

∫∫∫

∫∫∫

=•

=•

•∂

∂=•

•∂

∂−=•

A

A

AC

AC

dt

d

dt

d

0d

0d

00

SE

SB

SE

lB

SB

lE

εµ

Wetten van Maxwell (3)

Alternatieve presentatie, met:

t

t

∂

∂+=×∇

∂

∂−=×∇

=•∇

=•∇

EJB

BE

B

E

µεµ

ε

ρ

0

t

t

∂

∂=×∇

∂

∂−=×∇

=•∇

=•∇

EB

BE

B

E

µε

0

0

in vrije ruimte:in medium:

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ kji

Wetten van Maxwell (4)

De golfvergelijking voor voortplanting in de

vrije ruimte:

2

2

00

2

2

2

00

2

t

t

∂

∂=∇

∂

∂=∇

BB

EE

µε

µε

2

22

2

0

-)()( :with

)()(

t

t

t

t

∂

∂=∇

∂

∂−=×∇

=•∇

∇•∇∇=×∇×∇

×∇∂

∂=×∇×∇

∂

∂=×∇

BB

BE

B

AAA

EB

EB

εµ

εµ

εµ

Afleiding golfvergelijking:

2

22

t∂

∂=∇

EE εµ

Op analoge wijze:

4e wet van Maxwell

Links en rechts de rotatie nemen

Geldig voor iedere vector

2e wet van Maxwell

3e wet van Maxwell

Golfvergelijking (1)

Iedere component van E en B voldoet apart

aan de golfvergelijking:

00

2

2

22

2

2

2

2

2

1

:en

),,,( of ),,,,( ),,,,(

),,,,( ),,,,( ),,,,(),,,(

:met

1

µε

ψ

ψψψψ

=

=

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

v

tzyxBtzyxBtzyxB

tzyxEtzyxEtzyxEtzyx

tvzyx

zyx

zyx

Golfvergelijking (2)

ε0=8.85 x 10-12 C2s2m-3 kan eenvoudig worden

gemeten m.b.v. een condensator

µ0 = 4π x 10-7 kgmC-2 is zo gekozen

snel)( "" m/s 109979.21 8

00

==×= celercµε

is precies gelijk aan de gemeten

lichtsnelheid in vacuüm!!!

Maxwell (19e eeuw):

“This velocity is so nearly that of light, that it

seems we have strong reason to conclude

that light itself (including radial heat, and

other radiation if any) is an electromagnetic

disturbance in the form of waves propagated

through the electromagnetic field according

to electromagnetic laws.”

E en B transversaal en loodrecht

),(

:dat volgt

:Uit

txB

t

zkB

BE

=

∂

∂−=×∇

),(

:dat volgt

0

:Uit

txEYjE

E

=

=•∇

y

z

x

E

B

c

( ) ( )

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

++∂

∂−=++×

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−=×∇

y

E

x

E

x

E

z

E

z

E

y

E

EEE

zyx

BBBt

EEEzyx

t

xyzxyz

zyx

zyxzyx

kji

kji

kjikjikji

BE

0

0

),(

=∂

∂=

∂

∂

==⇒

=

yy

zx

y

Ey

Ez

EE

txEjE

( ) ( )

−

∂

∂+−+−=

∂

∂

∂

∂

∂

∂00000

x

E

EEE

zyx

y

zyx

kji

kji

),(

0

txB

Ex

Bt

BB

z

yz

yx

kB =

∂

∂=

∂

∂−

==

Stel (vlakke golf):

Dus B en E staan loodrecht op elkaar,

transversale golf

Maxwell:

Energie- en impulstransport (1)

Elk electrisch en magnetisch veld heeft

energiedichtheid:

2

021 EuE ε= 2

0

21

1Bu

B µ=

Totaal (met E=cB):

2

0

2

0

1BEuuu

BE µε ==+=

E

IB

V

Energie- en impulstransport (2)

Energie stroomt in dezelfde richting als de

golf propageert:

2-

12-

mWatt

:of

smJoules

⋅

⋅⋅ −

BES ×= 0

2εc

E

B

A

Poyntingvector

Energie- en impulstransport (3)

Harmonische golf:

( )tω−•= rkEE cos0( )tω−•= rkBB cos0

( )tc ωε −•×= rkBES2

000

2 cos

E

B

c

S

k

r

O

Energie- en impulstransport (4)

We kiezen de assen zodanig, dat:

y

z

x

E

B

c

S

iS

jE

kB

)(cos),(

)cos(),(

)cos(),(

2

000

2

0

0

txkBEctx

txkEtx

txkBtx

xzy

xy

xz

ωε

ω

ω

−=

−=

−=

)(cos),(

)cos(),(

)cos(),(

2

000

2

0

0

txkBEctxS

txkEtxE

txkBtxB

ωε

ω

ω

−=

−=

−=

Meestal worden alleen de scalars beschouwd:

Energie- en impulstransport (5)

Tijdsgemiddelde (T>>τ):

( )tcS

dttT

T

Tt

Tt

T

ωε −•×=

= ∫+

−

rkBE

rSS

2

000

2

2

2

cos

),(1

2

0021 EcSI

Tε==Irradiantie (Intensiteit):

Energie- en impulstransport (6)

• Stralingsdruk:

• Tijdsgemiddelde:

c

ttutut

BE

)()()()(

SP =+=

c

I

c

tt T ==

)()(

SP

Energie- en impulstransport (7)

Kracht op reflecterend oppervlak (A):

c

IAF 2=

mg

Laserbundel Fφ

(factor 2 t.g.v. verandering van impuls van +c naar -c)

Zonne zeil

BBC science and nature