In de hoge-energiefysica werken we met deeltjes die hoge snelheden bezitten, soms zeer dicht bij de lichtsnelheid c (in vacuüm) De fysische wetten die de interacties tussen deze deeltjes beschrijven mogenlichtsnelheid c (in vacuüm). De fysische wetten die de interacties tussen deze deeltjes beschrijven mogen niet afhangen van het referentiestelsel waarin men de observaties uitvoert. Bijgevolg moeten deze wetten covariant, of relativistisch invariant zijn. De speciale relativiteitstheorie van Einstein en haar toepassingen op deeltjesinteracties wordt besproken in deel 1.Interacties tussen elementaire deeltjes geschieden op microscopische afstanden (van de orde fm=10-15m). Op deze schaal geldt de kwantummechanica. We zullen in de cursus voor de eenvoud vaak de spin van deeltjes verwaarlozen. De golfvergelijkingen voor vrije deeltjes zonder spin worden besproken in deel 2.Deeltjes hebben een intrinsiek impulsmoment, spin genaamd, dat gekwantiseerd is. In deel 3 wordt dit kwantumgetal besproken.Dirac heeft als eerste een theorie opgesteld voor relativistische deeltjes met spin ½, zoals het elektron. Deze theorie wordt kort besproken in deel 4. Een van de gevolgen van de Dirac theorie is het bestaan van antideeltjes. De ontdekking van het positron wordt eveneens in deel 4 besproken.De golffunctie van een systeem van deeltjes heeft verschillende eigenschappen naargelang het systeem bestaat uit fermionen (halfgehele spin) of bosonen (gehele spin). Dit wordt besproken in deel 5.Elementaire deeltjes worden niet enkel ingedeeld in fermionen en bosonen maar ook in leptonen en hadronen. Zo zijn hadronen opgebouwd uit quarks, terwijl leptonen ondeelbaar zijn. Hadronen zijn gevoelig aan de sterke wisselwerkingen, terwijl de leptonen enkel de zwakke en elektromagnetische interacties voelen Hadronen worden nog eens onderverdeeld in mesonen en baryonen volgens hun quarkinhoudvoelen. Hadronen worden nog eens onderverdeeld in mesonen en baryonen, volgens hun quarkinhoud. Elke klassering brengt kwantumgetallen met zich mee: leptongetal, 3 generatie leptongetallen, baryongetal. Dit wordt besproken in deel 6.Een van de fundamenten waarop de beschrijving van interacties tussen deeltjes rust is symmetrie. De verschillende soorten interacties zijn onderhevig aan een aantal symmetrie eigenschappen, tengevolge van invariantie onder bepaalde transformaties. In dit hoofdstuk (II) worden een aantal invariantiewetten besproken: behoud van leptongetallen en baryongetal(deel 6), energie en impuls (deel 7), impulsmoment(deel 3) en lading(deel 7).

1

2

Een theorie moet onafhankelijk zijn van het referentiestelsel waarin men de interacties tussen deeltjes bestudeert omdat de gevolgtrekkingen niet mogen verschillen van het ene experiment naar het andere (die enkel verschillen in referentiestelsel).Sommige grootheden zijn relativistisch invariant: de levensduur van een deeltje is gedefineerd in zijn eigen rustsysteem, dwz in een stelsel dat meebeweegt met het deeltje. Men kan verder invariante grootheden vormen door scalaire producten tussen vier-vectoren te maken. Dit staat beschreven op p4.producten tussen vier vectoren te maken. Dit staat beschreven op p4.In sommige tekstboeken gebruikt men een andere metriek (conventie) waarbij de ruimte-tijd vier-vector gedefineerd is als xα=(x1,x2,x3,x4) = (x,y,z,ict).

3

In de praktijk zullen we zien dat het bewegend stelsel overeenkomt met het rustsysteem van een deeltje of van een systeem van deeltjes. Een systeem van deeltjes bestaat bvb uit 2 deeltjes in een opslagring zoals de LHC die tegen elkaar botsen en interageren. Men spreekt dan van het massamiddelpuntsysteem van de 2 deeltjes ipv rustsysteem.Vier-vectoren vormen een Minkowski ruimte. Het scalair product definieert de metriek.Het scalair product van een vier vector met zichzelf A2 kan de volgendeHet scalair product van een vier-vector met zichzelf, A2 , kan de volgende waarden aannemen:A2 >0 noemt men ‘time-like’ – gedraagt zich als de tijdcomponent van het scalair productA2 <0 noemt men ‘space-like’A2 = 0 noemt men ‘light-like’ V d ltj t 0 ( l h t f t ) h ft L t t f tiVoor deeltjes met massa m=0 (zoals het foton) heeft Lorentz transformatie geen zin want er kan geen waarnemer gevonden worden die sneller gaat dan het deeltje, dat zich voortbeweegt met v=c.

4

Aangezien wij werken met relativistische deeltjes met snelheden v<ªc, wordt vaak gewerkt in natuurlijke eenheden waarin c=1 gezet wordt.

5

Interacties tussen deeltjes worden meestal beschreven in vier-impulsruimte. De experimenten geschieden in het laboratoriumsysteem, maar vaak zijn de berekeningen eenvoudiger in een ander stelsel. De Lorentz transformaties laten toe de overgang te maken van het ene stelsel naar het andere.Voorbeelden van stelsels waarmee vaak gewerkt worden zijn:-Het rustsysteem van een onstabiel deeltje (bvb een neutron, muon, ..) : grootheden E* en p*-het rustsysteem van twee deeltjes bestaande uit een bewegend elektron invallend op een stilstaand protondoel (massamiddelpuntsysteem) : grootheden E* en p*

6

Tijdens interacties worden kortstondig virtuele deeltjes uitgewisseld, zoals bv een foton tussen l kt it H t H i b k h id b i l l t t d t tijd tijd Δteen elektron en positron. Het Heisenberg onzekerheidsbeginsel laat toe dat tijdens een tijd Δt

energiebehoud geschonden wordt met een hoeveelheid ΔE = ħ/ Δt. Zie verder hoofdstuk V.

Deeltjes met massa m>0 liggen binnen de lichtkegel. De lichtkegel is bepaald door de relatie E=pc. Enkel fotonen voldoen hieraan en liggen op de lichtkegel. De snelheid van een deeltje kan nooit groter zijn dan de lichtsnelheid c. bijgevolg ligt geen enkel deeltje buiten de lichtkegel.

Er bestaan ook negatieve energietoestanden. Deze worden geassocieerd met anti-deeltjes en worden besproken in deel 4 van dit hoofdstuk.

7

De studie van de elementaire deeltjes en hun interacties is gebaseerd op het onderzoek van deeltjesbotsingen. In dit stuk worden enkele kinematische variabelen besproken die veel gebruikt worden en wordt een vergelijking gemaakt tussen de voor- en nadelen van vast-doel en collider experimenten.De variabelen zijn de Mandelstam veranderlijken s,t,u en de invariante massa van een meer-deeltjes systeem.

8

In het voorbeeld zal bij voldoende hoge energie de productie van de 4 einddeeltjes geschieden via de intermediaire productie van een Δ(1236) of ρ(770) resonantie die dan respectievelijk volgens de sterke wisselwerkingen vervallen in p+π of π+π . Resonanties worden besproken in hoofdstuk VI.

Aangezien we met relativistische deeltjes werken zijn er, naast de getoonde vier-deeltjes eindtoestand, ook andere mogelijke eindtoestanden, die elk met een bepaalde probabiliteit kunnen voorkomen. Bij voldoende hoge energie kunnen er 6 of meer deeltjes in de eindtoestand geproduceerd worden.6 of meer deeltjes in de eindtoestand geproduceerd worden.

Het massamiddelpuntstelsel wordt besproken op p 11 en volgende.

9

Bovenaan staan de schema’s voor de productie van de Δ(1234) resonantie in ‘formatie’, dwz net boven de drempel. In het proces laat men een bundel geladen pionen invallen op een stilstaand proton doel (bvb waterstofkernen). De figuur onderaan links toont de werkzame doorsnede (~waarschijnlijkheid) als functie van de kinetische energie van het invallend pion (schaal onderaan) en als functie van de invariante massa van het (pion-proton) systeem (schaal bovenaan).Bij energieën ver boven de drempel treden andere processen op waarbij ookBij energieën ver boven de drempel treden andere processen op waarbij ook andere resonanties gevormd kunnen worden (verschillende pieken in de fig rechts onderaan). De figuur rechts onderaan toont de werkzame doorsnede voor pion-proton verstrooiing (pi+ en pi-) als functie van de pion impuls, tot impulsen van enkele 100 GeV/c.Het Δ(1234) deeltje heeft een zeer korte levensduur, zodat het een natuurlijke massaspreiding heeft van de orde van de orde van 100 MeV. Dit kan begrepen worden uit de Heisenberg relatie DEDt ≥worden uit de Heisenberg relatie DEDt ≥ .

Dit wordt verder besproken in hoofdstuk VI (resonanties).

10

D mesonen bevatten charm quarks en worden terug besproken in hoofdstuk IX.De horizontale as van de figuur toont de verdeling van de invariante massa M(K+K-). Deze wordt bekomen door eindtoestanden te selecteren waarin kaon paren met tegengestelde lading geproduceerd worden.De vertikale as toont het aantal gebeurtenissen bij een bepaalde invariante massa waarde.Het histogram toont de metingen. De volle lijn toont het resultaat van een fit van achtergrond + resonantievorm aan de gegevens.

11

De Mandelstam variabelen zijn Lorentz invariante variabelen die de kinematica beschrijven van d ltj ti Z d k lijk i d d M d l t i 1958 ddeeltjesreacties. Ze werden oorspronkelijk ingevoerd door Mandelstam in 1958 voor de beschrijving van twee deeltjes productie. Ze worden nu meer algemeen gebruikt voor de beschrijving van de productie van twee deeltjessystemen.De variabelen worden s,t,u genoemd en worden opgebouwd uit de vier-impulsen van de deeltjes, pa,pb,pc,pd.De labels a,b,c,d zijn zodanig gekozen dat a het projectieldeeltje voorstelt, b het doeldeeltje en c het meest natuurlijk geproduceerd deeltje, meestal het verstrooide projectiel. Uit de definitie volgt dat s = kwadraat van de massa middelpunts energie van de reactie en t en u g p gde vier-impulsoverdrachten van a naar resp. deeltjes c en d.Tijdens een interactie tussen twee deeltjes wordt een virtueel ijkboson uitgewisseld. Het kwadraat van de vier-impuls van dit ijkboson is gelijk aan t. In ep verstrooiing (bvb bij HERA) gebruikt men t=q2 als variabele. Hoe hoger de impulsoverdracht, hoe hoger de impuls van het ijkboson, hoe kleiner de structuur die men in het doeldeeltje kan onderzoeken. Zie De Broglie golflengte in hoofdstuk I.

12

Het s,t,u kanaal zijn interacties waarbij een intermediair deeltje wordt gevormd of uitgewisseld met vier-impuls gelijk aan s,t of u. In het s-kanaal versmelten de deeltjes a en b in een boson X (een foton of Z boson in het geval van e+e-verstrooing) dat een invariante massa gelijk aan ÷s heeft. In het t-kanaal zal deeltje a een boson Y uitstralen en veranderen in deeltje b, terwijl deeltje c het boson Y absorbeert en verandert in deeltje d. Analoog voor het u-kanaal.Crossing betekent dat men de verstrooiingsamplitude van een reactie kan berekenen vertrekkend van een gerelateerde reactie door deeltjes in deberekenen vertrekkend van een gerelateerde reactie door deeltjes in de eindtoestand over te brengen naar de begintoestand, op voorwaarde dat men ze vervangt door anti-deeltjes. Zo bvb zijn neutron verval en neutrino-neutron interacties verbonden door crossing. Het verschijnsel van crossing wordt niet verder besproken. Het komt terug in de vervolgcursus in de master.De begrippen werkzame doorsnede en verstrooiingsamplitude worden besproken in de hoofdstukken V(Feynman diagrammen) en VI(werkzame doorsnede).

13

In het laboratorium realiseert men ofwel een vast-doel experiment ofwel een collider experiment. Zowel in het ene als in het andere geval kan men de studie maken in het massa middelpunt systeem waarbij het (bundel+doel) systeem in zijn geheel in rust is. De voor- en nadelen van de ene of andere opstelling worden hier verder besproken. De conclusie staat op p20.

14

1) De AGS proton versneller in BNL (Brookhaven national Laboratory, New York, VSA) f ti d i d j 1960 Hij l d t t i 15 G V I ditfunctioneerde in de jaren 1960. Hij leverde protonen met een energie van 15 GeV. In dit experiment werden de protonen op een Be doel geschoten waar in de sterke pp of pn wisselwerkingen vooral pionen werden geproduceerd. Men spreekt van een secundaire pion bundel. Pionen zijn onstabiel en vervallen in een muon en een muon-neutrino π+ → μ+ + νμ . De neutrino’s worden naar een vast Fe doel gestuurd waar ze interageren. De detector meet de interactieproducten. 2) Interactie van een 24 GeV/c proton (komende van links) in het 32 cm (diameter) CERN waterstof bellenvat. De protonen zijn afkomstig van de PS versneller. Wat we zien is een p+p sterke wisselwerking waarin 16 secundaire deeltjes worden geproduceerd. In het bellenvat ziet men de sporen van de geladen deeltjes.

15

Eerste Z gebeurtenis, ontdekt in UA1 detector op 30 april 1983. Frontale ⎯pp botsing (bundels k li k ht ) i d UA1 d t t bij d SPS llid CERN B id b d lkomen van links en rechts) in de UA1 detector bij de SPS collider van CERN. Beide bundels hebben een energie van 270 GeV. In de eindtoestand wordt o.a. een Z boson gecreëerd dat vervalt in een e+e- paar. Dit zijn de witte sporen (zie pijlen). Men ziet de gereconstrueerde sporen van de geladen deeltjes (volle lijnen) en de energiedeposities in de calorimeters (blokjes) van geladen en neutrale deeltjes.

16

De superscript L staat voor Laboratorium systeem.

17

18

19

De deeltjes in de eindtoestand hebben een energie die minimum gelijk is aan hun massa. Behoud i t i lk t l l ld k i h t MMS O t l d ltj t dvan energie moet in elk stelsel gelden, ook in het MMS. Om een aantal deeltjes te produceren

moet de massamiddelpuntsenergie dus minimum gelijk zijn aan de som van de massa’s van deze deeltjes. In de oefeningen zullen transformaties van LS naar MMS uitgevoerd worden en zullen voorbeelden berekend worden die het verschil tussen vast-doel experimenten en colliders tonen.Momenteel lopen er verschillende R&D programma’s om de mogelijkheid van muon colliders te onderzoeken.

20

Interacties tussen elementaire deeltjes geschieden op afstanden kleiner dan de atoomschaal. Bijgevolg moet men de kwantummechanica gebruiken om de beweging van deeltjes en hun interacties te beschrijven. In deze cursus zullen we voor veel problemen de spin van deeltjes verwaarlozen om de problemen te vereenvoudigen, zodat de Schrödinger en Klein-Gordon vergelijkingen gebruikt kunnen worden. In dit tweede deel van hoofdstuk II wordt een herhaling gegeven van enkele basisbegrippen uit de kwantummechanica en worden de Schrödinger en Klein-basisbegrippen uit de kwantummechanica en worden de Schrödinger en KleinGordon vergelijkingen besproken. Deeltjes met spin 0 zijn scalaire of pseudoscalaire bosonen. Op het eind van deel 5 worden enkele voorbeelden gegeven.Een van de fenomenen bij de interacties tussen relativistische deeltjes is dat in de interactie nieuwe deeltjes geschapen kunnen worden en andere vernietigd. De Klein-Gordon vergelijking beschrijft deze fenomenen niet. Een oplossing wordt geboden door Dirac Dit wordt besproken in deel 4 Om de creatie en vernietiginggeboden door Dirac. Dit wordt besproken in deel 4. Om de creatie en vernietiging van deeltjes correct te beschrijven gebruikt men kwantumvelden theorie. Dit valt buiten het bereik van deze cursus en wordt in de master gedoceerd.

21

In de kwantummechanica kan men de waargenomen fenomenen beschrijven in functie van deeltjes of golven. Er is een dualiteit tussen deze 2 beschrijvingen. Bijgevolg wordt de ‘amplitude’ om een deeltje in een bepaalde toestand te vinden beschreven door een vlakke golf. De ‘intensiteit’ is wat men waarneemt. Het is de probabiliteit om het deeltje in een bepaalde toestand te vinden. Deze intensiteit kan experimenteel gemeten worden door bvb de werkzame doorsnede te meten. Dit wordt besproken in hoofdstuk VI (deel werkzame doorsnede).De golffunctie beschrijft alle mogelijke toestanden waarin het deeltje zich kanDe golffunctie beschrijft alle mogelijke toestanden waarin het deeltje zich kan bevinden. Wanneer men bvb zijn positie meet zal het zich in een eigentoestand van positie bevinden. Men gebruikt operatoren om de eigentoestanden en eigenwaarden te vinden.

22

In het voorbeeld stelt A de operator voor (impuls, positie ..), y is de eigenfunctie overeenkomend met de operator A en de eigenwaarde a.

23

Deze vorm van de Schrödinger vergelijking geeft de tijdsafhankelijke bewegingsvergelijking voor een niet-relativistisch deeltje zonder spin in afwezigheid van een externe potentiaal, dus voor een vrij deeltje. Deze vorm van de Klein Gordon vergelijking geeft de tijdsafhankelijke bewegingsvergelijking van een relativistisch deeltje zonder spin in afwezigheid van een externe potentiaal, dus voor een vrij deeltje.

24

In deel 3 van dit hoofdstuk wordt het spin formalisme herhaald en worden een aantal voorbeelden gegeven van hoe men experimenteel de spin van deeltjes bepaalt.

25

De klassieke impulsmomentvector is gericht loodrecht op het vlak gevormd door de vectoren r en p volgens de kurketrekker regel.Voor de berekening van de impulsmoment operator wordt overgegaan op bolcoördinaten (x,y,z) → (r,q,f), met q de polaire hoek en f de azimutale hoek. Bij de studie van botsingen tussen elementaire deeltjes en bij de studie van gebonden systemen van hadronen (bvb de Δ resonantie opgebouwd uit pion en proton) heeft het orbitaal impulsmoment van het systeem betrekking op de relatieve beweging van het ene deeltje tov het andererelatieve beweging van het ene deeltje tov het andere.

26

Uit de commutatie relaties (1) volgt dat L2 en een van de drie componenten Lieen stel gezamelijke orthonormale eigenfuncties bezitten. De 3 componenten Lx,Ly,Lz commuteren niet met elkaar.De ontaarding tussen de 2 +1 eigentoestanden van het orbitaal impulsmoment kan opgeheven worden door een magnetisch veld aan te leggen. Dit veld defineert een voorkeurrichting volgens dewelke men de z-as kan kiezen. Het systeem zal symmetrisch zijn voor rotaties rond de z-as, maar niet meer voor rotaties rond de x-as of y-as. Lz zal behouden zijn maar L2 niet. Dit heeft o.a.rotaties rond de x as of y as. Lz zal behouden zijn maar L niet. Dit heeft o.a. aanleiding tot het Zeeman effect waarbij de 2 +1 energie niveaus in atomen nu verschillend zullen zijn. Men noemt m het magnetisch kwantumgetal.Toestanden met =0,1,2,.. Noemt men s,p,d,… toestanden.

De functies Plm zijn Legendre polynomen.

27

Voor een systeem van deeltjes met spin=0 herleidt de operator voor totaal impulsmoment zich tot de operator voor orbitaal impulsmoment. Voor een systeem van deeltjes in de grondtoestand (L=0) zullen enkel de spins van de deeltjes meespelen in het totaal impulsmoment.Voorbeeld: het proton heeft spin 1/2 (eenheden ) en kan voorkomen in 2s+1=2 spin toestanden met z componente van de spin parallel of anti-parallel aan de z-as: het proton heeft spin up of spin down. Zolang men geen magneetveld aanlegt zijn deze 2 toestanden niet van elkaar te onderscheiden. Ze zijn ontaard. In eenzijn deze 2 toestanden niet van elkaar te onderscheiden. Ze zijn ontaard. In een systeem met 2 protonen in de grondtoestand met =0 (s toestand) kunnen de protonen hun spin vectoren parallel of anti-parallel aan elkaar plaatsen. Het totaal impulsmoment hangt enkel af van de spins van de 2 protonen. De totale spin J van het p+p systeem is gelijk aan 0 (één toestand) of 1 (2J+1=3 toestanden met Jz=-1,0,1). De golffuncties voor de mogelijke (p+p) systemen kunnen opgesteld worden aan de hand van de regels voor samenstelling van impulsmoment (p28-29).29).

28

De operatoren J2 en Jz hebben dezelfde eigenfuncties.De eigenfunctie van de totale impulsmoment operator wordt hier voorgesteld in Dirac notatie |jm>. Deze notatie heeft het voordeel overzichtelijker te zijn. Het feit dat deeltjes met half-gehele spin in paren moeten voorkomen betekent dat er evenveel zulke deeltjes zijn in de begin- als in de eindtoestand van een reactie.

29

Omgekeerd geldt ook dat de probabiliteit dat de combinatie van de 2 impulsmoment toestanden |j1,m1> en |j2,m2> een systeem produceert met totaal impulsmoment |JM> gegeven wordt door het kwadraat van de CGC.Deze vergelijkingen kunnen ook gebruikt worden voor de samenstelling van isospin, zoals besproken zal worden in hoofdstuk VII.

30

31

In de volgende slides wordt besproken hoe men experimenteel de spin van de deeltjes bepaald heeft.

32

De formules voor werkzame doorsnede worden uitvoerig besproken in hoofdstuk VI. De k d d ft d b bilit it d t b ld t dt Z i di twerkzame doorsnede geeft de probabiliteit dat een bepaald proces optreedt. Ze is evenredig met

het kwadraat van de transitie amplitude Tfi die de dynamica van de interactie beschrijft en een aantal kinematische factoren.De transitieamplitude Tfi heeft een verschillende waarde voor elke transitie van begintoestand i naar eindtoestand f, dwz voor elke mogelijke combinatie van spintoestanden. Daarom moet men sommeren over alle mogelijke spintoestanden in de eindtoestand en het demiddelde nemen over de spins in de begintoestand (Som over i voor de spintoestanden in de begintoestand en som over α voor de spintoestanden in de eindtoestand).De twee reacties (1) en (2) gaan in elkaar over door toepassing van een tijdsinversie: t → -t. Dit geschiedt door de T operator, besproken in hoofdstuk VII (CPT).

33

34

35

36

Dirac heeft zijn theorie voor relativistische deeltjes met spin ½ voorgesteld in 1928. Het bood een lt ti f d Kl i G d lijki d ltj d ialternatief aan de Klein Gordon vergelijking voor deeltjes zonder spin.

Het probleem met de Schrödinger vergelijking is dat ze lineair is in de afgeleide naar de tijd, en kwadratisch in de afgeleide naar de ruimte. Een covariante voorstelling vergt dat de vergelijking van dezelfde orde is in tijd en ruimte. Dirac heeft daarom een vergelijking opgesteld die lineair is in zowel tijd als ruimte. Dat is vergelijking (1). In een verdere ontwikkeling heeft Dirac deze vergelijking omgebouwd naar een covariante vorm, gebaseerd op de zgn γ matrices. Deze ontwikkeling valt buiten het bereik van deze cursus.De Dirac theorie werd opgesteld om de elektronen te beschrijven. Zoals we verder zullen zien volgt uit de oplossing van de Dirac vergelijking dat er ook negatieve-energie toestanden moeten bestaan. Deze werden geassocieerd met het positron, het antideeltje van het elektron. Het positron werd in 1932 door Anderson ontdekt. Dat komt verder ter sprake.In tegenstelling tot de Schrödinger vergelijking bevat de Dirac vergelijking 4 oplossingen en zijn αen β 4x4 matrices. Deze zijn niet uniek. Hier wordt de Dirac-Pauli representatie gekozen. Verder bij de behandeling van neutrino’s zullen we de Weyl representatie gebruiken. De oplossingen noemt men spinoren. Men ziet uit de oplossingen dat in deze beschrijving spin en energie nauw verweven zijn. Met ‘spin up’ en ‘spin down’ bedoelt men de oriëntatie van de spin vector van het d l j i h I d k ijk l d i h i ddeeltje ten opzichte van een z-as. In de praktijk neemt men meestal de richting van de impulsvector van het deeltje als z-as. De oriëntatie van de spinvector tov de impulsvector definieert de heliciteit van het deeltje.In vergelijking (1) stelt p de impulsoperator voor (zie deel 2 van dit hoofdstuk).De s matrices zijn de Pauli spin matrices.

37

Het probleem van de negatieve energie toestanden wordt verder besproken.Ook voor relativistische deeltjes met p>0 geldt dat de oplossingen 1 en 2 positieve energietoestanden voorstellen en de oplossingen 3 en 4 negatieve energietoestanden.Door eenvoudige substitutie van de oplossingen in vergelijking (1) kan men nagaan dat ze inderdaad aan de toestands vergelijking voldoen.

38

Vermits de Dirac vergelijking in dit geval niet afhangt van de matrix β kan men voor de matrix α een andere representatie kiezen dan voor deeltjes met massa. De s matrices zijn hier ook de Pauli matrices.Analoog als voor het uitgewerkte voorbeeld zal de tweede vergelijking voor een deeltje met positieve energie een rechtshandig neutrino voorstellen. De eerste vergelijking stelt eveneens een rechtshandig deeltje met negatieve energie voor, dwz een rechtshandig antideeltje. En de tweede vergelijking stelt eveneens een linkshandig antideeltje voor.linkshandig antideeltje voor.Heliciteit -1 stelt linkshandige deeltjes voor en H=+1 rechtshandige deeltjes. De heliciteitsoperator geeft de orïëntatie van de spin vector tov de impulsvector. Deeltjes met massa hebben een heliciteit die kan veranderen van het ene stelsel naar het andere, omdat ze een snelheid hebben kleiner dan c. Enkel deeltjes met m=0, zoals de neutrino’s komen voor in een zuivere heliciteitstoestand. Extreem relativistische deeltjes hebben verwaarloosbare massa. Voor die deeltjes veronderstelt men meestal dat ze in een zuivere heliciteitstoestand voorkomen.De theorie werd opgesteld voor massaloze neutrino’s. Er zijn nu sterke experimentele aanwijzingen dat neutrino’s een zeer kleine massa verschillend van nul hebben. In de meeste berekeningen echter kan men m=0 stellen voor deze deeltjes.

39

In hoofdstuk VII zullen we de pariteitsoperator bespreken en het bewijs leveren dat pariteit niet behouden is in de zwakke wisselwerkingen. Een gevolg daarvan is dat er enkel linkshandige neutrino’s en rechtshandige antineutrino’s bestaan. Elektronen en positronen komen voor in beide heliciteitstoestanden. In de interacties die we bestuderen (sterke, zwakke en elektromagnetische) is er steeds behoud van heliciteit.

40

Volgens Dirac was het vacuüm de toestand waarin alle negatieve energietoestanden opgevuld waren. Een elektron met negatieve energie kon ontsnappen uit deze ‘zee’ en een ‘gat’ achterlaten. Zo’n gat stelde een antideeltje voor.De associatie van negatieve energietoestanden met antideeltjes die terugreizen in de tijd komt van Feynman (1947-49). Dit wordt verder besproken onder ‘Feynman diagrammen’ in hoofdstuk V. De beschrijving van een deeltje met negatieve energie dat vooruit reist in de tijd komt overeen met een antideeltje metnegatieve energie dat vooruit reist in de tijd komt overeen met een antideeltje met positieve energie dat terugreist in de tijd.

41

De nevelvat foto toont de ontdekking van het eerste anti-deeltje en geeft evidentie voor het bestaan van anti-materie. Het positron is ontstaan in de lawine die een primair kosmisch deeltje (proton, gamma straal, alfa deeltje, ..) vormt door interactie met een atoom in de atmosfeer.Er wordt algemeen aangenomen dat in het prille begin het universum bestond uit materie en anti-materie. Op een bepaald ogenblik is deze symmetrie veranderd en bleef enkel materie over. Dit is de puzzle van de schending van CP symmetrie in het prille heelal. De enkele anti-deeltjes die men in kosmische straling vindt zijnin het prille heelal. De enkele anti deeltjes die men in kosmische straling vindt zijn secundaire deeltjes ontstaan in interacties van meterie deeltjes met interstellair gas of onze atmosfeer.

42

43

De grootheid xi staat voor de eigenschappen van één deeltje: positie, energie-impuls, kwantumgetallen als lading, baryongetal, leptongetal, vreemdheid, …

44

Baryonen zijn hadronen met 3 quarks of 3 anti-quarks. Ze hebben halfgehele spin. Zie verder in dit hoofdstuk.

45

Mesonen zijn hadronen met een quark-antiquark paar. Ze hebben een gehele spin. Zie verder in dit hoofdstuk.In het voorbeeld van de ontbinding van de golffunctie zijn de kwantumgetallen:J=spin; q=lading; B=baryongetal(dit hoofdstuk); S=vreemdheid(hoofdstuk III); C=charm(hoofdstuk VIII), I=isospin(hoofdstuk VII).Wanneer we later de symmetrie eigenschap van een golffunctie zullen bestuderen zal het de symmetrie zijn van het product van de verschillende f ffactoren. Een voorbeeld behandeld in hoofdstuk VIII is de reactie π+d -> n+n waaruit de pariteit van het pion bepaald werd.

46

Men klassificeert mesonen (opgebouwd uit een quark + antiquark) volgens de transformatie i h h lff ti d L t t f ti d l d ijeigenschappen van hun golffunctie onder Lorentz transformaties op de volgende wijze:

- Scalaire deeltjes: spin 0 en pariteit 1 ; golffunctie transformeert als een scalair- Pseudo-scalaire deeltjes: spin 0 en pariteit -1 ; golffunctie transformeert als een scalair- Vector deeltjes: spin 1; golffunctie transformeert als een vier-vector . Ruimte-inversie transformaties worden verder besproken in hoofdstuk VII (behoudswetten) . Bij deze transformaties hoort het kwantumgetal pariteit, dat +1 of -1 kan zijn. De klassificatie van deeltjes als mesonen en baryonen wordt besproken in deel 6 van dit h fd khoofdstuk.De quark samenstelling van mesonen en baryonen wordt grondig besproken in hoofdstuk VIII(statisch quark model).

47

Uit het experiment blijkt dat men deeltjes kwantumgetallen moet toekennen die in bepaalde interacties als dan niet behouden zijn. Zo is lading bvb een kwantumgetal dat behouden is in alle interacties.Uit het experiment bleek ook dat fermionen steeds in fermion-antifermion paren voorkomen. Om dit te beschrijven geeft men fermionen een fermiongetal =+1 en antifermionen het fermiongetal -1. Het aantal bosonen is in een interactie niet noodzakelijk behouden. Fermionen (leptonen en baryonen) dragen een leptongetal of een baryongetalFermionen (leptonen en baryonen) dragen een leptongetal of een baryongetal dat behouden is in alle soorten interacties. Leptonen dragen bovendien een generatie-leptongetal, of lepton flavour, dat ook in alle soorten interacties behouden is. Momenteel lopen er een aantal experimenten die zoeken naar signalen van de schending van behoud van baryongetal of lepton flavour behoud. Zulke signalen wijzen op de werking van nieuwe fysica.

48

De naam ‘lepton’ komt van ‘licht’ (massa < massa proton): tot 1950 kende men enkel het elektron, het muon en het neutrino. Ondertussen heeft men ook het tau lepton ontdekt met een massa van 1,8 mp. Men heeft experimenteel drie neutrino soorten waargenomen. LEP heeft bewezen dat er binnen het Standaard Model slechts 3 soorten neutrino’s zijn.De naam ‘hadron’ komt van ‘zwaar’ : massa = massa van het proton en hoger. De naam ‘meson’ komt van ‘intermediair’: tot de jaren 50 kende men pionen (0 149 GeV/c2) en kaonen (0 494 GeV/c2) deeltjes met massa tussen dat van(0,149 GeV/c2) en kaonen (0,494 GeV/c2), deeltjes met massa tussen dat van leptonen en dat van het proton. De mesonen met charm en beauty kwantumgetallen zijn later ontdekt (na 1970) en hebben massa’s tot 12 GeV/c2.

49

Behoud van baryongetal heeft tot gevolg dat:Er steeds evenveel baryonen zijn in de begintoestand als in de eindtoestand.Er steeds evenveel anti-baryonen zijn in de begintoestand als in de eindtoestand.Wanneer er meerdere baryonen geproduceerd worden in de begin- of eindtoestand, deze steeds in paren (baryon + anti-baryon) moeten voorkomen: vb proton+anti-proton.

50

Behoud van leptongetal heeft tot gevolg dat:Er steeds evenveel leptonen zijn in de begintoestand als in de eindtoestand.Er steeds evenveel anti-leptonen zijn in de begintoestand als in de eindtoestand.Wanneer er meerdere leptonen geproduceerd worden in de begin- of eindtoestand, deze steeds in paren (lepton + anti-lepton) moeten voorkomen: vb elektron+positron, neutrino+anti-neutrino, elektron+anti-neutrino.

51

Het verval van het muon wordt verder besproken in hoofdstuk III bij de ontdekking van het muon-neutrino.De experimentele bovenlimieten gelden binnen een 90% betrouwbaarheidsinterval.

52

De figuur toont de verdeling van de impuls van het positron bij het verval van een positief muon in rust voor een aantal gebeurtenissen. Indien het om een twee-deeltjes verval gaat dan hebben het positron en het neutraal deeltje dezelfde impuls in alle gebeurtenissen. Dit is duidelijk niet het geval, wat bewijst dat het om een verval in meerdere deeltjes gaat. Naast het positron worden er nog 2 niet gedetecteerde neutrino’s geproduceerd. Het meest logische is dat ze van verschillende aard zijn. Er zijn bijgevolg neutrino’s van het muon en elektron type. Het heeft geduurd tot 1956 vooraleer het elektron neutrino werd ontdekt, en tot 1962 vooraleer het muon neutrino werd waargenomen. Dit wordt besproken in hoofdstuk III.

53

Deze opnames zullen terugkomen in hoofdstuk V, bij de discussie van de ontdekking van het pion en het muon in de jaren 1940.

54

Leptonen nemen niet deel aan de sterke wisselwerkingen. Schending van lepton flavour behoud moet bijgevolg gezocht worden in de zwakke of elektromagnetische interacties. Zo heeft men bij LEP de vervalmodes van het W boson in de verschillende lepton flavours gemeten. Het resultaat is dat binnen de onzekerheid er geen aanwijzing is van enige schending, zie PDG tabellen.In de neutrino sector is er een vorm van schending van lepton flavour conservation die te maken heeft met neutrino oscillatiesconservation die te maken heeft met neutrino oscillaties.

55

De ontdekking van het muon wordt besproken in hoofdstuk III, samen met de ontdekking van het pion.De ontdekkingen van de 3 neutrino’s en van het tau-lepton worden besproken in hoofdstuk III.In de tabel staat voor de afgelegde weg in het laboratorium systeem.

Het muon en het tau-lepton vervallen volgens de zwakke wisselwerking.

56

De eigenschappen van de quarks worden verder besproken in hoofdstuk VIII.

57

58

59

Nota: proton kan niet vervallen in (e+ + neutrino) omdat er geen behoud van baryongetal is.

60

De behoudswetten in ‘vetjes’ werden in dit hoofdstuk behandeld. Vreemdheid wordt behandeld in hoofdstuk III.De andere behoudswetten worden behandeld in hoofdstuk VII.

61