Post on 02-Mar-2021
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Transfert des caracteres dans la correspondence de
IHoweviae-inte-grafedecauchy-Harish-chandra.lyThEoriedescaractere#
Ggroupe de lie re
'
duchy reel ( annexe)
g =Lie lol
, ga = g ⑦* a , Algol : alg . envelopparteDIG) : operators differenti els sur 6 .
Do 161 : operators invariants'
a gauche K U lget )
D8 16) : op . diff bi - invariants ( x ECU Ig all ) .D' ( G1 : distributions sur O
.
Deff : T ED'
CG) est di te :
-G - invariant si TIf 8) = Ttf) , LE ET 161 , g EG,
ou'
f8
: G → Q, fat txt = flgxg- 'l .
- propre si F X homomorphisme d'
algebraXp : D8 161 →a Dits . XfDIT .
1,17dg,8 octobre 2020
Nota: Eigen (Gt = fTE D' lol
,Tpropre 4 .
thrish-chandra.GL Pour tout TE Eigen (GI°
,
if existe une Loxton ft E Hoo 161 , analyte'quesur Greg
,
t. q T-
- Tf. .
thmtansh-chandra.SI IT ,
71) une
representationirreducible et quasi - simple .
Pour tout YE
EE 161, Poperaker T 141 -- fo 41g) T lgldg esta
trace.De plus, I
'application :
'
⑨ it : EI CGI → a
4 → Er IT 1411
est une distribution .
De plus , 3-Xi : ZIUlg.ch → Cl l l Fg EZIU Iga 111 ,
y④ it = Xt Ig) ④i .
⇒ F④ it C- Lfa (61 I ④it -- Thor .
HOtconnuedansdenombree.ca#
- ① compact ( Weyl , -19251-
T sErie discrete
-
Harish - Chandra ( Cartan compact)
-Schmidt - Hecht ( holomorphic)
-Rossmann ( gerome'tn'que)
-
Trep
i rred . unitaire de plus naut poids ( Enright)
2) Dualitedettowe( W ,
c. 3) espace symplerch-que l IR .
Sp (WI -- f g E GLIWl , Lg lol ,girl?-- Lu,D , u.VE WfSplw) : mertaplectique groupe ( revetment doubleConnexe de Sp Iw))
( w,71 ) representation mertaplerdique (Weil) : onitaire .
④ : carache're de w .
Def : Une paire dude dans Sp Iw) est une paire
( G,G 't de s . g . de Spbw) IG
'= Cspiw, G, G = Cspiw, G ' .
16,6 ' ) est dite :- rEe si G
,G'nu W reductivement
- irreducible si Tf w -
- we wz
t. qWn et wz Soient G - G
'- invariants .
Howey : classification despairs duales , sir
E 16,67 = ( Ulp, g) , Vir, s ) ) E Sp (EP+9④aartsy
temme: ( G . G'
) paire duale dans SpfW) → (E,
GT )
pairedoak dans SJ Iw) .
Nota: R l E,w) : classes d
'equivalences de rep .
irreducibleadmissible qui parent se real:ser com-
one quotient de 71-
par un sous - espace ferme' w-CEI-invariant .
Thmlt On a une bijection entre RIE, wt etRl GT
,w) dont le
graphe estR CE
.
E,w) .
Plus precisemerit, pour tout TE RCE, w) , F N
WTEl - inv t. g it
- Mt ' IN.
On considere Ft CI)" le quotient maximal
"
,i - e .
ETH ut -- 7M¥!go IT " E
Mt (T ) = IT ④ In',
avec Tn'
un GT - module,non -
irreducibleen general. Ce que dit le th .
de duafterde
Howe : F ! T'
quotient de In'
1 IT④ IT' ERIE . w) .
Nota: O : RCE,w) at → T
' ERIE,w) .
Ques: O : I → IT'
D'CGTEZ ④¥ e-
g ④r . E D'
(EFI - E
L'eat El F ④ it E- - - - 7 ⑨it , E tea (El
3)Integraledecauchy-Harish-chandra.ir/(r1-.e&iTrcaracte're de R .
Sp9W) = f g Esp Iwl , det (g- n) to 4
5pctw) = T - ' l Spiwi) E EplWl .T : Sp (w) → S * (w) = distributions temperre-es sur w .
t. q ( trgespclwl) , Tig) = ⑨ left Xagi Yw ,
our Tw =
mesure de Lebesgue sur Wer Xccg, : W → Q donnee
par Xccg, cut = X ! I, L ccglw, w > ) .
Pour tour 4 E ET Ep (WH ,on definite Tl 41 par
TIN -
- fspyw,YlgttlgldgLemme. I try E EE I Sip Iwill , TIM E Sl Wl .
Soit ( 6,67 Esp Iwl une paire duale .
Ha, -,Hn Cartan de G
,Hi -
- Ti Ai (Ti compact )
Ai'
= Cspcw, IAil , Ai"
= Cspiw,CA i'
)
→ (Ai! Ai" l pair e dude dans Splw) ( nonirreducibleen general )
F Wai" EW owerr et dense qui est Ai"- invariant
te que Ai"l Wai" est une vanierte
'
, Monie d'
une measure
dat t. q ( to C- ETC WH l Supp loll E Wai" ,
Sw lolwt dw -
- Sai",wa
.
.fail law) da DJ .
Def: IVY E EM ATH,
T I 4) lwtdw
°
Chc 141 = fainwn.in→ distribution sur AT
Poor trout hi C- Hi,on considere
Thi : GT → ATGT → hing
prop-lprgebinda.IO Pour tout hi E tire , le
pull - back Thi*
(Chd est bien define' et define' onedistribution sur GT note Chc hi .
Deux Lagoons de regarder Choti ( HtChchi 141
??hcY¥fhf FactionE-ima-
tdistribution sur GT
( Chc riante sur Greg
hmlB¥bida) Supposons rk 161 Erk(G ' ).
Via Chc,on construit Chc
*
Chc * : D'( ElE-s D
'
(El E
tell que pour toute distribution ④ donnee par one for -Chon ④ localement integrate ,
on a HYE EYED,
Chc* I④1141 =. ÷⇒, ftp.HOlhilldetttd-Adlhitlggilchcnikldhi
De plus , Cho* ( Eigen (Evil E Eigen ( E)
E.
idek ( construction de Che*)
On note par I (El l '
espace des integrates orbi -tales sur E , et JE : Efl GT → I LET I'app . correspondante
Chc : 89El → E-
I G- reg,I
4 → Chol 4) Itil Choti 141
On Monte,uh. lisout on resultat de Bovagig ,
Chc : ETI El → ICEIentu JE -
-
IC GTI --
- CK l continue)
I'( GT : dual topology :que de Il GT
Bou aging : I ' CEI a D'
( ElJ
IoT I' comn
n
t t'
D'
(GTE - - -- s D
'
(ETEchit D
conjedrurelprgeb.no On suppose 6,6'
annexe.
Poor
bout rep . irred.admissible Ide E
,Chc * (④
it ) = ④Ii .
La conjecture est Conroe si :Tsi ① non
- G est compact afjoueiofneyjeothe.TT④TIE ,E-
-O,ou'
Gn s -
g Connexe centremanth
.
- I 6,G')rang
stable ( Prizebinda , 2018)
- l G,G 't = LUC p ,g) , Utr ,s)) , ptg = rts, ITdiscrete
series of UT p ,q) ( Merino , 2020) .
4)
sekiesdiscretes.hn#ansh-Chandra)Existence de series discretes⇒ 6 a un Cartan compact .
H E K E G,H compact , f = Lie ( H) .
| series disc .de 64 ⇐ Y JE if
*1 Jtf analytic
integral 4
On note (Ts,7h) la sErie discrete associee a' J ( b :
parametre de Harish- Chandra de Ts ) .
✓ = J t S - 25161 : lowest K - type de Tam .
Proprietress① z ④ is =
X> lzl ④ is ( V-gc-ZCUlgd.lt
Ici,X> est donne
'
comme suit ..
> C- if*
:c, J : Ga → a ↳ d : scf.cl → a
Utilisaut ZIN Igel) = SIG,dW → Xs : ZIUIgall →a
② ⑥it,
(exp exit = C- itdim " 2 Ecw)ew
(X E Greg )
wEWlhlLIoleEW-e-ElxY30gsIPgreglDlglln2l@islgIlLoo.Thm(Harish - Chandra) Soit ⑥, one distribution-
G - invariante ve'
n'fiant ① , ② et ③ ,afore
,②s est
le coracle're d'
one serrie discrete de parame'
tre
de Harish- Chandra d.
5)REsultatdeAnnegretpaul.LUIp ,g) , Uh, stl E Sp Iwl
ftp.ql = der - cover.
IT
Thm.Pour toute serie discrete de Tlp ,g) ,
if ex-she on unique couple ( r ,s) / Or, s (T) ¥0 .
• Or, sITI = IT ' est une sErie discrete
de J tr,s) .
•
Si b est le parametre de Harish-Chandrade T
yo a-%,s8a- b)I = da
,b= (xn , -, La , Pr . - , pp- a
fTat! ( Lr
,- , ya ,
Sn,-
, Sg -b ,K
, -,Vb
, Pr , -, Bp - a )--
r= a t g- b s = b t p - a
6) IderedelapreeepourlG.ci#pqUrs .
I Serie discrete de U (p , q),J H-C parameter .
( r,s) / T
'= Or
,s IT) to .
It = Chc* (④ it donnee par Iii E Lbc (GT .
On Montre :
i - ft NE Yptg) / ( the retreat
D thter I hit = ± ÷. .yeah Iwhip
( modulo on detail technique : on considere un revehement
de H' te
queS soit analyteque integral) .
2-
go.EE reglDlg'll"
I IgM l La .
3 - I try E Z lU lgall -- Z lU lga'll)Chc*
Ig④ it .
. g Cho* I④ it
-
X> (g)④ it
11
Xrc, (g)④ it
car Spec I ZCU Ig'll = f'
1W .
→ II est le earache're d'
one Serie discrete de
GT de parametre de Harish - Chandra Md) .
4- Chit@ it) = ②too,④out
car ther d' sont conjvguesviafrxfs
= ④in, car T 's In' (J- S- Li) D
7) Unederniereremarque
Soit (6,67=1Ulp .gl , Ulr,stl , avec ptg E rts .
I Serie discrete de Jlp ,g) .
TLI Tse plonge dans w ,de ni
pourT 'sout
Notons par ditle degree formed .
ThmIwldr@IIedrbiendefinietestonop.deprojection sur Ft Ci) -- Composante T- isotypiqoe .
- n
En tout que G x G'- module
,on a 71 lit) = it IT !
Soit f le lowest - E - type associi'
a T.
En tant que VT x GT- module,on a :
Mt ht) = To ⑦ IT'④ (
pIe ④ IT
' )
On note par Mt Hlf) la Composaute V- i so try piquedans Ft et)
.
Notons par Ppp : 71 → AHHNI la
projection correspondante .On a :
Rt,p =
TldvnoJIowldr@TtI_wldvnOTlowldimEaI0na.pour tour 4 E ET (El,
④* ,141 = tr (T
' 1411 = at tr ( Idaho ④ IT' 1411
= at tr ( Ppr o w ( 41)
-
- dit trfufgfgHiiTtiI@algY4lgTIwlkgg.T dgtdgdhSi ptg = rts et T
'
=Or,sITI
,on a :
dit tr f, fgfg, ④hT④IgT Ylgttwlhggtdgtdgdh④ = EI ,wf⇒ , ↳④r ihit IDCtill Choti 141 dhicar Chi I④it) =④it .
Que: Comment Monter Fergalite'
⑦ direcrement ?