-

Transfert des caracteres dans la correspondence de

IHoweviae-inte-grafedecauchy-Harish-chandra.lyThEoriedescaractere#

Ggroupe de lie re

'

duchy reel ( annexe)

g =Lie lol

, ga = g ⑦* a , Algol : alg . envelopparteDIG) : operators differenti els sur 6 .

Do 161 : operators invariants'

a gauche K U lget )

D8 16) : op . diff bi - invariants ( x ECU Ig all ) .D' ( G1 : distributions sur O

.

Deff : T ED'

CG) est di te :

-G - invariant si TIf 8) = Ttf) , LE ET 161 , g EG,

ou'

f8

: G → Q, fat txt = flgxg- 'l .

- propre si F X homomorphisme d'

algebraXp : D8 161 →a Dits . XfDIT .

1,17dg,8 octobre 2020

Nota: Eigen (Gt = fTE D' lol

,Tpropre 4 .

thrish-chandra.GL Pour tout TE Eigen (GI°

,

if existe une Loxton ft E Hoo 161 , analyte'quesur Greg

,

t. q T-

- Tf. .

thmtansh-chandra.SI IT ,

71) une

representationirreducible et quasi - simple .

Pour tout YE

EE 161, Poperaker T 141 -- fo 41g) T lgldg esta

trace.De plus, I

'application :

'

⑨ it : EI CGI → a

4 → Er IT 1411

est une distribution .

De plus , 3-Xi : ZIUlg.ch → Cl l l Fg EZIU Iga 111 ,

y④ it = Xt Ig) ④i .

⇒ F④ it C- Lfa (61 I ④it -- Thor .

HOtconnuedansdenombree.ca#

- ① compact ( Weyl , -19251-

T sErie discrete

-

Harish - Chandra ( Cartan compact)

-Schmidt - Hecht ( holomorphic)

-Rossmann ( gerome'tn'que)

-

Trep

i rred . unitaire de plus naut poids ( Enright)

2) Dualitedettowe( W ,

c. 3) espace symplerch-que l IR .

Sp (WI -- f g E GLIWl , Lg lol ,girl?-- Lu,D , u.VE WfSplw) : mertaplectique groupe ( revetment doubleConnexe de Sp Iw))

( w,71 ) representation mertaplerdique (Weil) : onitaire .

④ : carache're de w .

Def : Une paire dude dans Sp Iw) est une paire

( G,G 't de s . g . de Spbw) IG

'= Cspiw, G, G = Cspiw, G ' .

16,6 ' ) est dite :- rEe si G

,G'nu W reductivement

- irreducible si Tf w -

- we wz

t. qWn et wz Soient G - G

'- invariants .

Howey : classification despairs duales , sir

E 16,67 = ( Ulp, g) , Vir, s ) ) E Sp (EP+9④aartsy

temme: ( G . G'

) paire duale dans SpfW) → (E,

GT )

pairedoak dans SJ Iw) .

Nota: R l E,w) : classes d

'equivalences de rep .

irreducibleadmissible qui parent se real:ser com-

one quotient de 71-

par un sous - espace ferme' w-CEI-invariant .

Thmlt On a une bijection entre RIE, wt etRl GT

,w) dont le

graphe estR CE

.

E,w) .

Plus precisemerit, pour tout TE RCE, w) , F N

WTEl - inv t. g it

- Mt ' IN.

On considere Ft CI)" le quotient maximal

"

,i - e .

ETH ut -- 7M¥!go IT " E

Mt (T ) = IT ④ In',

avec Tn'

un GT - module,non -

irreducibleen general. Ce que dit le th .

de duafterde

Howe : F ! T'

quotient de In'

1 IT④ IT' ERIE . w) .

Nota: O : RCE,w) at → T

' ERIE,w) .

Ques: O : I → IT'

D'CGTEZ ④¥ e-

g ④r . E D'

(EFI - E

L'eat El F ④ it E- - - - 7 ⑨it , E tea (El

3)Integraledecauchy-Harish-chandra.ir/(r1-.e&iTrcaracte're de R .

Sp9W) = f g Esp Iwl , det (g- n) to 4

5pctw) = T - ' l Spiwi) E EplWl .T : Sp (w) → S * (w) = distributions temperre-es sur w .

t. q ( trgespclwl) , Tig) = ⑨ left Xagi Yw ,

our Tw =

mesure de Lebesgue sur Wer Xccg, : W → Q donnee

par Xccg, cut = X ! I, L ccglw, w > ) .

Pour tour 4 E ET Ep (WH ,on definite Tl 41 par

TIN -

- fspyw,YlgttlgldgLemme. I try E EE I Sip Iwill , TIM E Sl Wl .

Soit ( 6,67 Esp Iwl une paire duale .

Ha, -,Hn Cartan de G

,Hi -

- Ti Ai (Ti compact )

Ai'

= Cspcw, IAil , Ai"

= Cspiw,CA i'

)

→ (Ai! Ai" l pair e dude dans Splw) ( nonirreducibleen general )

F Wai" EW owerr et dense qui est Ai"- invariant

te que Ai"l Wai" est une vanierte

'

, Monie d'

une measure

dat t. q ( to C- ETC WH l Supp loll E Wai" ,

Sw lolwt dw -

- Sai",wa

.

.fail law) da DJ .

Def: IVY E EM ATH,

T I 4) lwtdw

°

Chc 141 = fainwn.in→ distribution sur AT

Poor trout hi C- Hi,on considere

Thi : GT → ATGT → hing

prop-lprgebinda.IO Pour tout hi E tire , le

pull - back Thi*

(Chd est bien define' et define' onedistribution sur GT note Chc hi .

Deux Lagoons de regarder Choti ( HtChchi 141

??hcY¥fhf FactionE-ima-

tdistribution sur GT

( Chc riante sur Greg

hmlB¥bida) Supposons rk 161 Erk(G ' ).

Via Chc,on construit Chc

*

Chc * : D'( ElE-s D

'

(El E

tell que pour toute distribution ④ donnee par one for -Chon ④ localement integrate ,

on a HYE EYED,

Chc* I④1141 =. ÷⇒, ftp.HOlhilldetttd-Adlhitlggilchcnikldhi

De plus , Cho* ( Eigen (Evil E Eigen ( E)

E.

idek ( construction de Che*)

On note par I (El l '

espace des integrates orbi -tales sur E , et JE : Efl GT → I LET I'app . correspondante

Chc : 89El → E-

I G- reg,I

4 → Chol 4) Itil Choti 141

On Monte,uh. lisout on resultat de Bovagig ,

Chc : ETI El → ICEIentu JE -

-

IC GTI --

- CK l continue)

I'( GT : dual topology :que de Il GT

Bou aging : I ' CEI a D'

( ElJ

IoT I' comn

n

t t'

D'

(GTE - - -- s D

'

(ETEchit D

conjedrurelprgeb.no On suppose 6,6'

annexe.

Poor

bout rep . irred.admissible Ide E

,Chc * (④

it ) = ④Ii .

La conjecture est Conroe si :Tsi ① non

- G est compact afjoueiofneyjeothe.TT④TIE ,E-

-O,ou'

Gn s -

g Connexe centremanth

.

- I 6,G')rang

stable ( Prizebinda , 2018)

- l G,G 't = LUC p ,g) , Utr ,s)) , ptg = rts, ITdiscrete

series of UT p ,q) ( Merino , 2020) .

4)

sekiesdiscretes.hn#ansh-Chandra)Existence de series discretes⇒ 6 a un Cartan compact .

H E K E G,H compact , f = Lie ( H) .

| series disc .de 64 ⇐ Y JE if

*1 Jtf analytic

integral 4

On note (Ts,7h) la sErie discrete associee a' J ( b :

parametre de Harish- Chandra de Ts ) .

✓ = J t S - 25161 : lowest K - type de Tam .

Proprietress① z ④ is =

X> lzl ④ is ( V-gc-ZCUlgd.lt

Ici,X> est donne

'

comme suit ..

> C- if*

:c, J : Ga → a ↳ d : scf.cl → a

Utilisaut ZIN Igel) = SIG,dW → Xs : ZIUIgall →a

② ⑥it,

(exp exit = C- itdim " 2 Ecw)ew

(X E Greg )

wEWlhlLIoleEW-e-ElxY30gsIPgreglDlglln2l@islgIlLoo.Thm(Harish - Chandra) Soit ⑥, one distribution-

G - invariante ve'

n'fiant ① , ② et ③ ,afore

,②s est

le coracle're d'

one serrie discrete de parame'

tre

de Harish- Chandra d.

5)REsultatdeAnnegretpaul.LUIp ,g) , Uh, stl E Sp Iwl

ftp.ql = der - cover.

IT

Thm.Pour toute serie discrete de Tlp ,g) ,

if ex-she on unique couple ( r ,s) / Or, s (T) ¥0 .

• Or, sITI = IT ' est une sErie discrete

de J tr,s) .

•

Si b est le parametre de Harish-Chandrade T

yo a-%,s8a- b)I = da

,b= (xn , -, La , Pr . - , pp- a

fTat! ( Lr

,- , ya ,

Sn,-

, Sg -b ,K

, -,Vb

, Pr , -, Bp - a )--

r= a t g- b s = b t p - a

6) IderedelapreeepourlG.ci#pqUrs .

I Serie discrete de U (p , q),J H-C parameter .

( r,s) / T

'= Or

,s IT) to .

It = Chc* (④ it donnee par Iii E Lbc (GT .

On Montre :

i - ft NE Yptg) / ( the retreat

D thter I hit = ± ÷. .yeah Iwhip

( modulo on detail technique : on considere un revehement

de H' te

queS soit analyteque integral) .

2-

go.EE reglDlg'll"

I IgM l La .

3 - I try E Z lU lgall -- Z lU lga'll)Chc*

Ig④ it .

. g Cho* I④ it

-

X> (g)④ it

11

Xrc, (g)④ it

car Spec I ZCU Ig'll = f'

1W .

→ II est le earache're d'

one Serie discrete de

GT de parametre de Harish - Chandra Md) .

4- Chit@ it) = ②too,④out

car ther d' sont conjvguesviafrxfs

= ④in, car T 's In' (J- S- Li) D

7) Unederniereremarque

Soit (6,67=1Ulp .gl , Ulr,stl , avec ptg E rts .

I Serie discrete de Jlp ,g) .

TLI Tse plonge dans w ,de ni

pourT 'sout

Notons par ditle degree formed .

ThmIwldr@IIedrbiendefinietestonop.deprojection sur Ft Ci) -- Composante T- isotypiqoe .

- n

En tout que G x G'- module

,on a 71 lit) = it IT !

Soit f le lowest - E - type associi'

a T.

En tant que VT x GT- module,on a :

Mt ht) = To ⑦ IT'④ (

pIe ④ IT

' )

On note par Mt Hlf) la Composaute V- i so try piquedans Ft et)

.

Notons par Ppp : 71 → AHHNI la

projection correspondante .On a :

Rt,p =

TldvnoJIowldr@TtI_wldvnOTlowldimEaI0na.pour tour 4 E ET (El,

④* ,141 = tr (T

' 1411 = at tr ( Idaho ④ IT' 1411

= at tr ( Ppr o w ( 41)

-

- dit trfufgfgHiiTtiI@algY4lgTIwlkgg.T dgtdgdhSi ptg = rts et T

'

=Or,sITI

,on a :

dit tr f, fgfg, ④hT④IgT Ylgttwlhggtdgtdgdh④ = EI ,wf⇒ , ↳④r ihit IDCtill Choti 141 dhicar Chi I④it) =④it .

Que: Comment Monter Fergalite'

⑦ direcrement ?