Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding

3.1. Centrummaten – Gemiddelden

3.2. Kwantielen

3.3. De spreidingsmaten

Centrummaten

het rekenkundig gemiddelde de mediaan de modus

bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of

frequentieverdelingen

Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen

a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig)b. alle waarnemingen spelen een rol bij de

bepaling van het kengetalc. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk

zijnd. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn

voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteit bezitten

e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn

Het rekenkundig gemiddelde

Wat?Het rekenkundig gemiddelde van een reeks waarnemingsresutaten is gelijk aan de som van alle resultaten gedeeld door het aantal waarnemingen (dit is de steekproef- of popultieomvang)

Symbool:

Formule: n

XX

N

ii

1

X

Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (1)

1. Vermindert men alle waarnemingen met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde verminderd met dat getal men mag op de meetschaal een nieuwe oorsprong invoeren

2. Vermenigvuldigt men alle resultaten met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde met dit getal vermenigvuldigd (idem delen) men mag alle resultaten vereenvoudigen

Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (2)

3. De som van de afwijking van alle waarnemingsresultaten ten opzichte van hun rekenkundig gemiddelde is nul

Opm. : het rekenkundig gemiddelde wordt in de statistiek altijd berekend op één rang meer dan de waarnemingsresultaten.

0 XX

Het gewogen rekenkundig gemiddelde (1)

Wat?Als niet aan alle waarnemingen een zelfde belang mag gehecht worden, vermenigvuldigt men elke waarde met een wegingsfactor en bepaalt men pas dan het rekenkundig gemiddelde

Het gewogen rekenkundig gemiddelde (2)

Voorbeeld: examenuitslagen student D.V.

Rekenkundig gemiddelde:

Gewogen rek.gemiddelde:

Vakken Resultaat op 10 studiepunten

Economie 5 6

Statistiek 7 3

Recht 9 4

0,73

975

X

7,6

436

493765

xxx

Xg

Het rekenkundig gemiddelde van gegroepeerde gegevens

Formule:

De klassemiddens worden representatief voor elke klasse: alle frequenties worden vermenigvuldigd met de overeenkomende klassemiddens

n

mfX ii

Centrummaten

het rekenkundig gemiddelde de mediaan de modus

bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of

frequentieverdelingen

De mediaan (1)

Wat?De mediaan van een reeks waarnemings-resultaten is de middelste van de naar grootte gerangschikte resultaten.De mediaan verdeelt een reeks resultaten in twee gelijke groepen:

aantal waarden < Me = aantal waarden > Me

Symbool: MeSynoniem: midscore

De mediaan (2)

bij oneven aantal waarnemingen:Me = middelste van naar grootte gerangschikte

bij even aantal waarnemingen:Me = rek. gemiddelde van middelste twee

Bij gegroepeerde frequentieverdelingen: Me = tweede kwartiel (Q2) mediaanklasse: zie cumulatief frequentiehistogram

De modus

Wat?De modus van een reeks waarnemingsresultaten is de waarneming die het meest voorkomt (= de uitslag met de hoogste frequentie)

Symbool: Mo

Opmerkingen: hebben alle resultaten in een reeks dezelfde frequentie, dan

is er geen modus de modus is de enige centrummaat ook te gebruiken voor

kwalitatieve kenmerken unimodale, bimodale, multimodale verdelingen

De modus bij gegroepeerde waarnemingen (1)

de modale klasse is de klasse met de hoogste frequentie

nauwkeuriger:

f = frequentie modale klassefl = frequentie (lagere) voorgaande klasse

fh= frequentie (hogere) volgende klasse

b = benedengrens modale klassei = klasse-interval

iffff

ffbMo

hl

l

De modus bij gegroepeerde waarnemingen (2)

Grafische bepaling van de modus bij frequentieverdelingen:

0

5

10

15

20

25

30

frequentie

Mo

modale klasse

Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen

a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig)b. alle waarnemingen spelen een rol bij de

bepaling van het kengetalc. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk

zijnd. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn

voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteit bezitten

e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn

Keuze van de centrummaten (1)

+ -Rekenkundiggemiddelde

voldoet in alle opzichten als centrummaateign: a,b,c,d,e

gevoelig voor uitbijters

Mediaan ongevoelig voor uitbijters

eign: a,b,c

kleine steekproef-stabiliteitalgebraïsch weinig mogelijkheden

Modus snel te bepalen

eign: a,c

nagenoeg geen positieve eigen-schappen

Keuze van de centrummaten (2)

De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid van de verdeling extreme waarden

Keuze centrummaat in functie van het meetniveau

ratio interval ordinaal nominaal

Rek.gemidd. Mediaan Modus

Keuze van de centrummaten (3)

De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid mogelijke extreme waarden

Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1a)

Symmetrische verdelingen normale verdelingenb.v. IQ-scores, de meeste natuurlijke verschijnselen

0

10

20

30

40

50

60

f

MoMeX

Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1b)

Bimodale symmetrische verdelingen

0

5

10

15

20

25

30

f

Mo1 Mo2

MeX

21 MoMeXMo

Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (2)

Scheef naar links (negatief scheef)b.v. lichaamsgewicht mannelijke 40-plussers in België

0

20

40

60

80

100

120

frequentie

Mo

Mo Me X

staart

Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (3)

Scheef naar rechts (positief scheef)b.v. belastbaar inkomen Belgische bevolking in €

MoMeX

0

10

20

30

40

50

60

70

f

Mo

staart

Keuze van de centrummaten (4)

De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid mogelijke extreme waarden

Keuze centrummaat in functie van mogelijke extreme waarden

Extreme waarden (= uitbijters):beïnvloeden het gemiddelde de mediaan is hier beter geschikt dan het rekenkundig gemiddelde

Voorbeeld:

1 2 2 3 4 5 5 7 9 118

= 15,6 Me= 4,5X

Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding

3.1. Centrummaten – Gemiddelden

3.2. Kwantielen

3.3. De spreidingsmaten

Kwantielen

Wat?Kwantielen verdelen een frequentieverdeling in een aantal gelijke stukken (= stukken met gelijke frequentie)

Doel?Kwantielen dienen om een uitkomst te situeren ten opzichte van andere uitkomsten

Kwantielen (2)

Soorten kwantielen: Kwartielen: Q1, Q2 , Q3

verdelen de frequentieverdeling in 4 gelijke intervallen, elk met 25% van de uitkomsten

Decielen: D1, D2 , … , D9

verdelen de frequentieverdeling in 10 gelijke intervallen, elk met 10% van de uitkomsten

Percentielen: P01, P02 , … , P99

verdelen de frequentieverdeling in 100 gelijke intervallen, elk met 1% van de uitkomsten

Kwantielen (3)

5052 PDMeQ

257513 PPQQIKA

De interkwartielafstand (IKA) geeft de range aan van de middelste helft van de resultaten.De IKA is ongevoelig voor uitbijters.

Percentiel percentiele rang

percentiel (P)

b.v. P57 = 173,5 cm57% van de resultaten zijn kleiner of gelijk aan 173,5 cm

percentiele rang (p)

b.v. p168cm = 48,3%een lengte van 168cm komt overeen met de 48,3% kleinste resultaten

resultaatFrel k .

resultaatFrel k .

5-getallen-résumé

Een frequentieverdeling kan omschreven worden met 5 kengetallen:

max31min ,,,, XQMeQX

Boxplot (boxdiagram)

Een boxplot is de grafische voorstelling van het 5-getallen-résumé: de randen van de box: Q1 (bodem)

Q3 (deksel) het tussenschot in de box: Me twee « bakkebaarden »:

van de box tot aan Xmin en Xmax

Doel:een snelle vergelijking van verschillende frequentieverdelingen

Boxplot (5-getallen-résumé)

Xmax

Q3

Me

Q1

Xmin

Vergelijking boxplots

Grafische bepaling van kwantielen

0

20

40

60

80

100

120

meetschaal

rel.F

percentiel:P27 = 133

percentiele rang:P528 = 96%

133 528

27

96

Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding

3.1. Centrummaten – Gemiddelden

3.2. Kwantielen

3.3. De spreidingsmaten

Spreiding, dispersie, variatie

3 invalshoeken: de verschillen tussen de uitkomsten

onderling de range op de meetschaal, waarbinnen

een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt

de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten

De variatiebreedte of de range (1)

Wat?het verschil tussen de uiterste resultaten

Voordelen: zeer snel en eenvoudig te bepalen

Nadeel: maximaal beïnvloed door uitbijters

min maxX X R

De variatiebreedte of de range (2)

Bij gegroepeerde gegevens is de range:

LH bBR 1

LH mmR 2

iRR 21

0

De interkwartielafsand (IKA)

Beter dan de range:

Voordeel:totaal ongevoelig voor uitbijters!

Ook: IDA = interdecielafstand (D9 – D1)

257513 PPQQIKA

Spreiding, dispersie, variatie

3 invalshoeken: de verschillen tussen de uitkomsten

onderling de range op de meetschaal, waarbinnen

een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt

de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten

Spreiding

Algemeen: de afstand tussen een centrummaat C en de waarnemingsresultaten Xi

Spreiding:

waarin

n

CXq

i

MoMeXC ,,nq ,...,2,1

De gemiddelde absolute afwijking

Wat?het gemiddeld verschil tussen elke uitslag en het rekenkundig gemiddelde van alle uitslagen

Symbool:

Formule:

XXfn ii 1

voor gegroepeerde gegevens: Xi mi

im

De variantie en de standaardafwijking

Wat?de variantie van een reeks uitslagen geeft aan in hoeverre deze afwijken van het gemiddelde

Symbool:

Formule: n

XXS i

2

2

2Smi

De standaardafwijking (1)

Variantie: wordt uitgedrukt in de tweede macht van de meeteenheid

de standaardafwijking is de vierkantswortel uit de variantie

de standaardafwijking is de belangrijkste spreidingsmaat in de statistiek

De standaardafwijking (2)

Formule:

of

n

XXSS i

2

2

22

Xn

XS i

voor gegroepeerde gegevens: Xi fi .mi

fi . mi²

De standaardafwijking (3)De standaardafwijking is de meest

gebruikte spreidingsmaat: normale verdelingen worden gekarakteriseerd

door het rekenkundig gemiddelde en de standaardafwijking

in een Gauss-curve is de afstand van de buigpunten tot de symmetrieas steeds gelijk aan de standaardafwijking

in een normale verdeling ligt steeds een zelfde percentage van de waarnemingen tussen het gemiddelde vermeerderd/verminderd met 1, 2 of 3 keer de standaardafwijking

Normale verdelingen (1)

SXN ;

b.v. N(63;12,7)

16%

Normale verdelingen (2)

vlakke normale verdeling

spitse normale verdeling

Normale verdelingen (3)

156 164 172 180 188 196 204 cm NL

150 157 164 171 178 185 192 cm B

De variatiecoëfficiënt

Wat?Een relatieve spreidingsmaat, onafhankelijk van de meeteenheid, om de spreiding van verschillende steekproeven te vergelijken

Symbool:

Formule:

De standaardafwijking wordt uitgedrukt in verhouding tot het rekenkundig gemiddelde

V

X

SV