Hoofdstuk 2: Beweging.1. Onderzoek van bewegingen

2a. Eenparige beweging: formules

6. Vrije val

8. Horizontale worp (vwo 5)

4. Eenparig versnelde beweging

2b. Eenparige beweging: snelheid bepalen met de r.c.

2c. Eenparige beweging: afstand bepalen met de oppervlakte

3a. Willekeurige beweging: snelheid bepalen met de r.c.

3b. Willekeurige beweging: afstand bepalen met de oppervlakte

5. Samenvatting

7. Cirkelbeweging

2020101000 3030 4040 5050

§1 Onderzoek van bewegingen

Afstand en tijd kun je meten met:Afstand en tijd kun je meten met:

1. Meetlint en klok (stopwatch).1. Meetlint en klok (stopwatch).

2. Stroboscopische foto met meetlat.2. Stroboscopische foto met meetlat.

menu

2020101000 3030 4040 5050

§1 Onderzoek van bewegingen

Afstand en tijd kun je meten met:Afstand en tijd kun je meten met:

1. Meetlint en klok (stopwatch).1. Meetlint en klok (stopwatch).

2. Stroboscopische foto met meetlat.2. Stroboscopische foto met meetlat.

3. Tijdtikker3. Tijdtikker

4. Computer: afstandsensor en klok.4. Computer: afstandsensor en klok.

5. Videometen.5. Videometen.menu

§2a Eenparige beweging: afstand = snelheid . tijd, ofwel:

v is onstant

snelheid = afstand/tijd ofwel: v = Ds/Dt

s(t) = v.t

Voorbeeld

:In 15 minuten rijd je met constante

snelheid van hectometerpaal 45,2 km naar

65,4 km.

Bereken de snelheid.

menu

Opl.: v = Ds/Dt

(65,4 – 45,2)km/(0,25)h =

80,8 = 81 km/h

Snelheid v bepaal je met de . .Snelheid v bepaal je met de . .

§2b Eenparige beweging:

1. Afstand – tijd grafiek is een is een rechte lijnrechte lijn..

2. r.c. =2. r.c. =3,03,0

2,02,0

1,01,0s(t)

in m

s(t)

in m

0 0 1 1 22 33 t in st in s

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5m0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5m

v is constant

(3,5 – 0,5)m/(3,0-0,0)s(3,5 – 0,5)m/(3,0-0,0)s= 1,0 m/s = 1,0 m/s

Dy/Dx =Dy/Dx =

DDyyDxDx

de r.c. van de afstand -tijd grafiek.de r.c. van de afstand -tijd grafiek. menu

3. Afstand 3. Afstand bepaalbepaal je met je met

de snelheid - tijd grafiekde snelheid - tijd grafiek..

§2c Eenparige beweging

horizontale

rechte.1. De v – t grafiek is een . .

2. De afstand s(t) = 2. De afstand s(t) =

1515

1100

55

v in

m/s

v in

m/s

0 0 1 1 22 33 t in st in s

Je rijdt 3,5 s lang met 10 m/s

3,5 . 10 =3,5 . 10 = 35 m35 m

de oppervlakte onderde oppervlakte onder

v.t =v.t =

3,5 . 10 is gewoon basis . hoogte,

dat is de oppervlakte onder de grafiek!

menu

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5t in s

s(t) i

n m

§3a Snelheid en de s(t) – t grafiek

Bepaal v op t = 3,0 s:Bepaal v op t = 3,0 s:

Opl.:Opl.:

v bepaal je uit de s(t) – t grafiek met de r.c.v bepaal je uit de s(t) – t grafiek met de r.c.

Is de grafiek krom teken dan ‘n raaklijn!Is de grafiek krom teken dan ‘n raaklijn!

menu

1010

v v in in m/sm/s

t in st in s 5,05,0

§3b De afstand en de v-t grafiekDe afstand De afstand bepaalbepaal je met de oppervlakte je met de oppervlakteonder de v-t grafiek.onder de v-t grafiek.BepaalBepaal de afstand tussen 0 tot 6,0 s: de afstand tussen 0 tot 6,0 s:

11 22

33

menu

1010

v v in in m/sm/s

t in st in s 5,05,0

§3b De afstand en de v-t grafiekAfstand kun je ook bepalen met s(t) = vAfstand kun je ook bepalen met s(t) = vgemgem.t.t

BepaalBepaal de afstand tussen 0 tot 6,0 s: de afstand tussen 0 tot 6,0 s:

Opl.:Opl.:afst. = vafst. = vgemgem.t.t= 8,0 . 3,0= 8,0 . 3,0

= 39 m= 39 m

+5,0 .3,0+5,0 .3,0

= 24= 24 + 15 = + 15 =

menu

05

101520253035

0 1 2 3 4 5 6t in s

v in

m/s

§4a Eenp. versnelde beweging (1)Maak elke sec. een foto

van een snelheidsmeter:

1. 1. De v-t grafiek is eenDe v-t grafiek is een

2. De v2. De versnelling ersnelling aa = =

m/s20 2530

35

1510

50

Elke sec. neemt v toe

3. 3. De versnelling De versnelling a = a = DDv/v/DDtt (BINAS!) (BINAS!)

rechte lijn.rechte lijn.

330m/s 0m/s //

met 5 m/s

5 m/s5 m/s226s6s = =

menu

05

1015202530

0 1 2 3 4 5t in s

v in

m/s

§4b Eenp. versnelde beweging (2)

De v –t grafiek is eenDe v –t grafiek is een rechte.rechte.De snelheid vDe snelheid v verandert.verandert.

menu

§4b Eenp. versnelde beweging (2)

De v –t grafiek is eenDe v –t grafiek is een

De steilheid van de s(t) – t grafiekDe steilheid van de s(t) – t grafiek verandert.verandert.

De s(t) – t grafiek is eenDe s(t) – t grafiek is een

rechte.rechte.De snelheid vDe snelheid v

parabool.parabool.

verandert.verandert.

010203040506070

0 1 2 3 4 5t in s

s(t)

in m

menumenu

§4c Voorbeeld van een eenp. versn. bew.:Je trekt op met 2,0 m/sJe trekt op met 2,0 m/s22 tot je 30 m/s rijdt. tot je 30 m/s rijdt.BerekenBereken de benodigde tijd en de afstand. de benodigde tijd en de afstand.

BINAS:BINAS: a = Dv/Dt en s(t) = ½at a = Dv/Dt en s(t) = ½at22

a = 2,0 m/sa = 2,0 m/s22 en v = 30 m/s en v = 30 m/sGeg.:Geg.:

t en s(t)t en s(t)

Opl.:Opl.:Gevr.:Gevr.:

menumenu

Het vliegtuig

• Een vliegtuig stijgt op

• In 40 sec legt hij de startbaan van 1600m af

• Wat is Vtake_off

Vliegtuig_antw.

• V(t)=a.t v(40)=a.40

• S=1/2 .a.t2 1600 = ½.a.402 = 800a

dus a = 2m/s2

V (40) = 2x40 = 80m/s

747 Take_off

Take_off Boeing 747

Take_off snelheid = 80m/s

Versnelling = 1,6 m/s2

Hoe lang moet de startbaan zijn ?

747 Take_off

a= Δv/Δt Δt = Δv/ /a = 80/1,6 = 50 sec

dus 50 sec heeft hij nodig

S(t) = ½ .a.t2 = ½.1,6.502 = 2.103 m = 2 km.

§4d Samenvatting:

Eenparige beweging:Eenparige beweging:v is v is

v = v =

v v bepaalbepaal je met je met

a = a =

Voor elke beweging geldt:

afstand afstand bepaalbepaal je met je met

de s(t) – t grafiek is eende s(t) – t grafiek is eende v – t grafiek isde v – t grafiek is

Eenparig versnelde beweging:Eenparig versnelde beweging:

vvgemgem = =

de s(t) – t grafiek is eende s(t) – t grafiek is eende v – t grafiek is eende v – t grafiek is een

Ds/DtDs/Dt of of s s vvgemgemttde r.c. van de s(t) – t grafiek.de r.c. van de s(t) – t grafiek.

de opp. onder de v – t grafiekde opp. onder de v – t grafiek

constant.constant.een horizontale lijn.een horizontale lijn.

schuine rechteschuine rechte

schuine rechteschuine rechteparaboolparabool

½at½at22Dv/DtDv/Dt enen s(t) =s(t) =

Ds/Dt Ds/Dt ofof s(t) s(t) v.tv.t

menumenu

§4d Samenvatting:

Eenparige beweging:Eenparige beweging:v is v is

v = v =

v v bepaalbepaal je met je met

a = a =

Voor elke beweging geldt:

afstand afstand bepaalbepaal je met je met

de s(t) – t grafiek is eende s(t) – t grafiek is eende v – t grafiek isde v – t grafiek is

Eenparig versnelde beweging:Eenparig versnelde beweging:

vvgemgem = =

de s(t) – t grafiek is eende s(t) – t grafiek is eende v – t grafiek is eende v – t grafiek is een

Ds/DtDs/Dt of of s s ==

vvgemgemttde r.c. van de s(t) – t grafiek.de r.c. van de s(t) – t grafiek.

de opp. onder de v – t grafiekde opp. onder de v – t grafiek

constant.constant.een horizontale lijn.een horizontale lijn.

schuine rechteschuine rechte

schuine rechteschuine rechteparaboolparabool

½at½at22Dv/DtDv/Dt enen s(t) =s(t) =

Ds/Dt Ds/Dt ofof s(t) s(t) v.tv.t

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5t in s

v in

m/s

020406080

100120

0 1 2 3 4 5t in s

s(t)

in mAfstand van 0 tot 5,0 s =?

v = ?

menumenu

§4d Samenvatting:

Eenparige beweging:Eenparige beweging:v is v is

v = v =

v v bepaalbepaal je met je met

a = a =

Voor elke beweging geldt:

afstand afstand bepaalbepaal je met je met

de s(t) – t grafiek is eende s(t) – t grafiek is eende v – t grafiek isde v – t grafiek is

Eenparig versnelde beweging:Eenparig versnelde beweging:

vvgemgem = =

de s(t) – t grafiek is eende s(t) – t grafiek is eende v – t grafiek is eende v – t grafiek is een

Ds/DtDs/Dt of of s s ==

vvgemgemttde r.c. van de s(t) – t grafiek.de r.c. van de s(t) – t grafiek.

de opp. onder de v – t grafiekde opp. onder de v – t grafiek

constant.constant.een horizontale lijn.een horizontale lijn.

schuine rechteschuine rechte

schuine rechteschuine rechteparaboolparabool

½at½at22Dv/DtDv/Dt enen s(t) =s(t) =

Ds/Dt Ds/Dt ofof s(t) s(t) v.tv.t

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5t in s

v in

m/s

020406080

100120

0 1 2 3 4 5t in s

s(t)

in mAfstand van 0 tot 5,0 s =?

v = ?

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5t in s

v in

m/s

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5t in s

s(t)

in m

Afstand van 0 tot 5,0 s = ?

Snelheid op t = 2,0

s = ?menumenu

Voorbeeld opgave 2 seconden regel

Auto B rijdt met 108 km/h achter auto A die met dezelfde snelheid rijdt.

Auto A remt plotseling

De bestuurder van auto B trapt 0,60 s later op de rem.

Vervolgens duurt het nog 0,20 s voordat de auto echt gaat remmen.

Remvertraging van A is 8,00 m/s2

Remvertraging B is 5,50 m/s2

a. Bereken de afstand van de auto’s op het moment dat A gaat remmen

b. Bereken de remafstand van A

c. Bereken de stopafstand van B

d. Bereken de afstand tussen A en B als beiden stilstaan.

e. Teken voor het tijdsinterval [0 s; 7,0s] het (x,t) diagram van de beweging van A en B. A begint te remmen op T=0s en xB(0)= 0m

a. Afstand is gelijk aan de verplaatsing in 2 s.

Snelheid in meters / seconde : vB= 108/3,6 = 30,0 m/somdat B zich aan de 2 seconderegel houdt : XBA= vB.t = 30,0 x 2,0 = 60 m

b. Remafstand van A : a = Δv/Δt t = Δ v/a = -30,0 / -8,00 = 3,75 s

gemiddelde snelheid tijds remmen is : 15,0 m/s

remafstand : xA= vgem.A.t = 15,0 x 3,75 = 56 m.

c. Stopafstand van B = som van remafstand + reactieafstand.

Reactie tijd B = 0,60 + 0,20 = 0,80 s.

Remtijd B : t = Δv/a = -30,0/-5,50 = 5,45 s

gemiddelde snelheid van B tijdens remmen = 30,0/2 = 15,0 m/s

stopafstand = [0,80 x 30,0] + [15 x 5,45 ] = 24 + 82 = 106 m

d. A rijdt 60 m voor B A heeft 56 meter nodig om te stoppen totaal : 56 + 60 = 116m

B heeft totaal 106 meter nodig om te stoppen.

Verschil in afstand bij stilstand is : 116 – 106 = 10m.

Bij een eenparig versnelde beweging geldt:Bij een eenparig versnelde beweging geldt:

§5a De vrije val

De vrije val is een eenparig versnelde bewegingDe vrije val is een eenparig versnelde beweging

Alle voorwerpen krijgen dezelfde versnelling!Alle voorwerpen krijgen dezelfde versnelling!

Deze valversnelling of gravitatieversnelling is g.Deze valversnelling of gravitatieversnelling is g.

g = 9,81 m/sg = 9,81 m/s22 (op aarde) (op aarde) BINAS tabel 7BINAS tabel 7

a = Dv/Dta = Dv/Dt enen s(t) = ½ats(t) = ½at22

Bij een vrije val geldt ook nog: g = 9,81 m/sBij een vrije val geldt ook nog: g = 9,81 m/s22

Een vrije val is een val zonder wrijving!Een vrije val is een val zonder wrijving!

Vrije val op de maan (Filmpje met geluid)Vrije val op de maan (Filmpje met geluid)

menumenu

§5b Een voorbeeld.Een bal valt vrij vanaf 11 m hoogte.Een bal valt vrij vanaf 11 m hoogte.Bereken de valtijd en zijn eindsnelheid.Bereken de valtijd en zijn eindsnelheid.

BINAS: BINAS: a = Dv/Dt en s(t) = ½ata = Dv/Dt en s(t) = ½at22

a = 9,81 m/sa = 9,81 m/s22 en s(t) = 11 m en s(t) = 11 mGeg.:Geg.:

t en vt en v

Opl.:Opl.:Gevr.:Gevr.:

menumenu

§5b Een voorbeeld.Een bal valt vrij vanaf 11 m hoogte.Een bal valt vrij vanaf 11 m hoogte.Bereken de valtijd en zijn eindsnelheid.Bereken de valtijd en zijn eindsnelheid.

BINAS: BINAS: a = Dv/Dt en s(t) = ½ata = Dv/Dt en s(t) = ½at22

a = 9,81 m/sa = 9,81 m/s22 en s(t) = 11 m en s(t) = 11 m

• a = Dv/Dta = Dv/Dt

Geg.:Geg.:

t en vt en vs(t) = ½ats(t) = ½at22Opl.:Opl.: 11 = ½.9,81.t11 = ½.9,81.t22

11 = 4,905.t11 = 4,905.t22

9,81= 9,81= Dv/1,50Dv/1,50Dv = 9,81 . 1,50Dv = 9,81 . 1,50

Gevr.:Gevr.:

tt22 = 11/4,905 = 2,24 = 11/4,905 = 2,24t = t = 1,50 s1,50 s

v = 14,7 m/sv = 14,7 m/s =15 m/s=15 m/smenumenu

§5c De val met wrijving.

Bij kleine snelheid v is de luchtweerstand . . .Bij kleine snelheid v is de luchtweerstand . . .

Tenslotte is de luchtweerstand even groot als . . .Tenslotte is de luchtweerstand even groot als . . .

klein.klein.

De snelheid neemt dan niet meer toe.De snelheid neemt dan niet meer toe.

de zwaarte kracht.de zwaarte kracht.

grotergroter..Als v toeneemt wordt de luchtweerstandAls v toeneemt wordt de luchtweerstand . . . . . .

menumenu

02468

101214

0 1 2 3 4 5t in s

v in

m/s

§5d Val zonder en met parachute .

menumenu

§6a De cirkelbeweging.

De tijd voor één rondje heet . . .De tijd voor één rondje heet . . .

v = s/t wordt:v = s/t wordt:

omlooptijd Tomlooptijd T

v = 2v = 2ππr/Tr/TOmloopsnelheidOmloopsnelheid

s = 2s = 2ππrrDe afstand van één rondje (cirkelomtrek) isDe afstand van één rondje (cirkelomtrek) is

BINAS Tabel 35BINAS Tabel 35

rr

Middellijn of diameter = 2.rMiddellijn of diameter = 2.r

r is de straal.r is de straal.

menumenu

§6b Vb.: De afstand van de aarde tot de zon is 1,496.1012 m.

De aarde doet 365 dagen over een rondje.Bereken de snelheid van de aarde in zijn baan om

de zon in km/h.

Geg.:Geg.:

Opl.:Opl.:

Gevr.:Gevr.:

T = 365 dag = 365 . 24 h = 8760 h T = 365 dag = 365 . 24 h = 8760 h r = 1,496.10r = 1,496.1099 km km

vv

menumenu

§6b Vb.: De afstand van de aarde tot de zon is 1,496.1012 m.

De aarde doet 365 dagen over een rondje.Bereken de snelheid van de aarde in zijn baan om

de zon in km/h.

Geg.:Geg.:

v = 2v = 2ππr/T =r/T =Opl.:Opl.:

Gevr.:Gevr.:

= 2= 2ππ.1,496.10.1,496.1099 km/8760h = km/8760h = 1,073.101,073.1066 km/h km/h

T = 365 dag = 365 . 24 h = 8760 h T = 365 dag = 365 . 24 h = 8760 h r = 1,496.10r = 1,496.1099 km km

vv

menumenu

§6a De horizontale worp zonder wrijving.

Vertikaal: een vrije valVertikaal: een vrije valHorizontaal: eenparigHorizontaal: eenparigWorpWorpValVal

menumenu

§6b De horizontale worp zonder wrijving.

Naar rechts beweegt de bal . . .Naar rechts beweegt de bal . . .

Omlaag beweegt de bal . . .Omlaag beweegt de bal . . .

x(t) = vx(t) = vxx . t . t

eenparig (in de x-richting)eenparig (in de x-richting)

BINAS:BINAS:

eenparig versneld (in de y- richting)eenparig versneld (in de y- richting)

Hor. Hor. snelheidsnelheid

y(t) = ½gty(t) = ½gt2 2

s(t) = v . ts(t) = v . ts(t) = ½ats(t) = ½at22

Eenparig:Eenparig:

EenpEenp. . versnversn.:.:

Hor. afstandHor. afstand

Vert. Vert. afstandafstand Hor. worpHor. worp

menumenu

§6c Vb.: Je werpt een bal horizontaal weg met 8,0 m/s vanaf 11 m hoogte. (Geen wrijving).

Bereken wanneer en waar hij neerkomt.

BINAS:BINAS: x(t) = v x(t) = vxx.t en y(t) = ½gt.t en y(t) = ½gt22

vvxx = 8,0 m/s, y(t) = 11 m , g = 9,81 m/s = 8,0 m/s, y(t) = 11 m , g = 9,81 m/s22 Geg.:Geg.:

t en x(t)t en x(t)

Opl.:Opl.:

Gevr.:Gevr.:

menumenu

§6c Vb.: Je werpt een bal horizontaal weg met 8,0 m/s vanaf 11 m hoogte. (Geen wrijving).

Bereken wanneer en waar hij neerkomt.

BINAS:BINAS: x(t) = v x(t) = vxx.t en y(t) = ½gt.t en y(t) = ½gt22

vvxx = 8,0 m/s, y(t) = 11 m , g = 9,81 m/s = 8,0 m/s, y(t) = 11 m , g = 9,81 m/s22

x(t) = vx(t) = vxx.t.t

Geg.:Geg.:

t en x(t)t en x(t)

y(t) = ½gty(t) = ½gt22Opl.:Opl.: 11 = ½.9,81.t11 = ½.9,81.t22

11 = 4,905.t11 = 4,905.t22

x(t) = 8,0 . 1,50 =x(t) = 8,0 . 1,50 =

Gevr.:Gevr.:

tt22 = 11/4,905 = 2,24 = 11/4,905 = 2,24

t = t = 1,50 s1,50 s

12,0 m12,0 mmenumenu

Geen wrijving Geen wrijving dus geen dus geen warmtewarmte

§6c Met welke snelheid komt hij neer?

Gebruik de wet van behoud van energie:Gebruik de wet van behoud van energie:

32 + 108 = ½.v32 + 108 = ½.v22

EEbeginbegin = E = Eeind eind →→ (Ek + Ez) (Ek + Ez) beginbegin = (Ek + Ez + Q) = (Ek + Ez + Q)eindeind

((½½mvmv22 + mgh) + mgh) beginbegin = (½mv = (½mv22 + mgh) + mgh)eindeind

((½.½.8822 + 9,81.11) + 9,81.11) beginbegin = (½v = (½v22 + g.0 ) + g.0 )eindeind

→→ v = 16,7 = 17 m/sv = 16,7 = 17 m/s

Nu nog de richting van v:Nu nog de richting van v:

Elke term delen door Elke term delen door m!m!

Vx = 8,0m/s

v = 16,7 m/s

i

isin i = 8,0/16,7 = 0,479 sin i = 8,0/16,7 = 0,479 →→

i = 28,6 = 29°i = 28,6 = 29° menumenu

Stelling van Stelling van PythagorasPythagoras

§6d De snelheid v kun je ook anders berekenen:

Bereken de vertikale snelheid vBereken de vertikale snelheid vyy::

8,08,022 + 14,7 + 14,722 = v = v2 2 →→

a = Dv/Dt a = Dv/Dt →→ 9,81 = Dv/1,50 9,81 = Dv/1,50 →→

vvxx22 + v + vyy

22 = v = v2 2 →→

Vx = 8,0m/s

vvyy = 14,7 m/s = 14,7 m/s

v

v = 16,7 = 17 m/sv = 16,7 = 17 m/s

vvyy = 14,7 m/s = 14,7 m/s

= 17 m/s= 17 m/smenumenu

§6d Resultaat:

y(t) =11 my(t) =11 m

vx =8,0 m/s

x(t) = 12 mx(t) = 12 m

t = 1,5 st = 1,5 s

x = 12 mx = 12 m

y = 0 my = 0 m

t=0,5 st=0,5 s

x = 4,0mx = 4,0m

y=1,2my=1,2m

t=1,0 st=1,0 s

x = x = 8,0m8,0m

y=4,9my=4,9m

x = 8,0.ty = 4,9t2

menumenu