Periodieke systemen

Hoofdstuk 1 : Cirkelvormige beweging

Algemene definities

Periodiek verschijnsel : We spreken van een periodiek verschijnsel als in bepaalde opeenvolgende gelijke tijdsverlopen identieke toestanden worden doorlopen.

Cyclus : Reeks van toestanden die zichzelf herhaalt binnen gelijk tijdsverloop.

Periode : Duur van één cyclus. Symbool T, eenheid s.

Frequentie : Aantal cycli per tijdseenheid. Symbool f. f = T-1. Eenheid Hz (s-1).

Eenparig cirkelvormige beweging

Baan is een cirkel. In gelijke

tijdsverlopen gelijke cirkelbogen worden afgelegd.

Uit definitie:

Baansnelheid is constant.

.

s t

sv const

t

s

s

ECB = periodiek verschijnsel

Cyclus : 1x doorlopen van volledige cirkel Periode : Tijd nodig om volledige cirkel

éénmaal te doorlopen.

Frequentie :

Hoeksnelheid:

2 RT

v

1

2

vfT R

t

Vectoranalyse ECB

2 2

2

2

cos sin

( )

( ) sin cos

( )

( ) ( ) 0 ( ) ( )

( ) cos sin

( )

( )

x y

x y

x y

r t R t e R t e

r r t R

v t R t e R t e

v v t R

v t r t v t r t

a t R t e R t e

a t R r

a a t R

v

r

a

tX

Y

Kinematica ECB

Kinematica ECB

v

raX

Y

t = 0 s

v

r

a

X

Y

t = 1 s

v

r

a

X

Y

t = 2 s

v

r

a

X

Y

t = 4 s

vr

a

X

Y

t = 4 s

vr

a

X

Y

t = 5 s

v

r

a

X

Y

t = 6 s

v

r a

X

Y

t = 7 s

Centripetale krachtwerking

Newton 1 => om een voorwerp een ECB te laten beschrijven is een kracht nodig, de centripetaalkracht.

Newton 2 :

2

2

2

C

C

C

C

F ma

F m r

F F m R

mvF

R

Centrifugale ‘krachtwerking’

Schijnkracht, alleen merkbaar voor meedraaiende waarnemer.

Buitenstaander ziet eenparig rechtlijnige beweging.

Energie bij ECB

Vermogen geleverd door centripetaalkracht :

Energie van een deeltje dat ECB beschrijft blijft ongewijzigd.

0P F v

Toepassing - satellietbaan

2

2( ) ( )

zF m a

Mm vG mR h R h

Alleen zwaartekracht is verantwoordelijk voor cirkelvormige beweging.

Snelheid op hoogte h.

Periode van satelliet op hoogte h.

GMv

R h

3

22

T R hGM

Fz

R h

Hohmann-orbit

Toepassing – horizontale bocht

2max

,max

2max

max

w

s N s

s

mvF

R

mvf F f m g

R

v f g R

Kracht die auto op de (cirkelvormige) baan houdt is de statische wrijvingskracht.

Auto slipt net niet als

v

a

Fw

FN

FZ

R

Toepassing – schuine bocht

tanideaalv R g

‘ideale’ snelheid door schuine bocht is snelheid waarmee bocht genomen kan worden zonder beroep te doen op wrijving en zonder te slippen.

FZ

FN

Toepassing – conische slinger

R

FT

FZ

Massa m opgehangen aan touw met lengte L. Hoe sneller massa draait, hoe groter de hoek . Relatie tussen v en wordt gegeven door :

Periode van conische slinger:

sin tanv Lg

cos2

LT

g

Toepassing - Looping

2

1N

vF mg

Rg

2

1N

vF mg

Rg

Onderaan looping : kracht uitgeoefend door zetel op piloot wordt gegeven door

Bovenaan looping : kracht uitgeoefend door zetel op piloot wordt gegeven door

Toepassing – geladen deeltje in homogeen magnetisch veld

v

B

FL

Q > 0

Lorentzkracht werkend op deeltje dat beweegt met constante snelheid in homogeen magnetisch veld laat deeltje bewegen in cirkelvormige baan.

2

2 2

L

mvF Q Bv

Rmv

RQ B

R mT

v Q B