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Autora:RaquelCaro
Revisor:PedroLuisSuberviolaySergioHernndez
Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
1ESO CAPTULO11:LGEBRA
Matemticas1deESO.Captulo11:lgebra Autora:RaquelCaro Revisores:PedroLuisSuberviolaySergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
240 lgebra.1deESOndice
1.LENGUAJEALGEBRAICO1.1.LETRASYNMEROS
1.2.COEFICIENTEYPARTELITERAL
1.3.VALORNUMRICODEUNAEXPRESINALGEBRAICA
1.4.EQUIVALENCIAYSIMPLIFICACINDEEXPRESIONESALGEBRAICAS
2.ECUACIONESDEPRIMERGRADOCONUNAINCGNITA2.1.ELLENGUAJEDELASECUACIONES
2.2.ECUACIONESEQUIVALENTES.RESOLUCINDEECUACIONES
3.RESOLUCINDEPROBLEMASMEDIANTEECUACIONES3.1.PROCEDIMIENTO
3.2.PROBLEMASNUMRICOS
3.3.PROBLEMASDEGEOMETRA
3.4.OTROSPROBLEMAS
ResumenEn lapocadeElQuijote,en lapuertade lasbarberas,se leaelsiguientecartel:
ALGEBRISTAYSANGRADOR
Yeso,porqu? Lapalabra lgebraesunapalabrarabequeutiliz el matemtico AlKhwarizmi. Si logras leer ese nombreversquetesuenaaotrapalabra:algoritmo.Haciaelao825escribiunlibrotitulado:
Aljabrwalmuqabalah
Lapalabrarabejabrsignificarestaurar.Ellibrotratabadelgebra,desumasyotrasoperaciones,perocomolosbarberostambinrestaurabanhuesos,poresosellamabanalgebristas.
Ellgebraesunamaterianuevaqueahoravamosaempezaraestudiar.Hayautoresqueopinanqueellgebra comienza cuando se utilizan letras en lugar de nmeros, pero, recuerda, los romanos yautilizaban letras,yesonoeralgebra.Enrealidadelorigendellgebraestenhaceroperacionesconnmerossimbolizadosconletras,loquesuponeunahorrodeesfuerzo,puespermitehacerdeunasolavezloquedeotramanerahabraquerepetirmuchasveces.
Aprenderemos a utilizar el lenguaje algebraico, resolveremos ecuaciones y un buen nmero deproblemas.
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241 lgebra.1deESO1.LENGUAJEALGEBRAICO
1.1.LetrasynmerosAnuestroalrededornosencontramosconmultituddesmboloscuyosignificadoconocemos,comolassealesdetrficooalgunoslogotipos.
El lenguaje algebraico consigue que podamos expresarmensajes en los que las letras representanvariablesdevalordesconocido.Utilizaletras,nmerosyoperacionespararepresentarunainformacin.
Ejemplo1:
Yahasutilizadoellenguajealgebraicoparaindicarelreadeuncuadradodeladoa:A=a2;elreadeuncrculoderadior:A=r2.
Para cada situacin podemos utilizar la letra que queramos, aunque, cuando hablamos de algodesconocido,laletramsutilizadaeslax.
Ejemplo2:
Eldobledelaedaddeunapersona 2x
Eltripledeunnmeromenos43x4
Las expresiones que nos permiten reflejar mediante letras y nmeros una situacin se llamanexpresionesalgebraicas.
Actividadesresueltas1. Expresalassiguientesfrasesenlenguajealgebraico:
Eltripledeunnmero 3x
Lasumadedosnmerosconsecutivos x+(x+1)
Laedaddeunaniahace2aos x2
Lasumadedosnmeros a+b
Actividadespropuestas2. Expresalassiguientesfrasesenlenguajealgebraico:
a)Eldobledeunnmeromssutriple
b)Laedaddeunapersonadentrode7aos
c)Laquintapartedeunnmero
d)Ladiferenciaentredosnmeros
El triple de un nmero
ElpropioAljabrusoriginariamente lapalabra cosa, (por ejemplo, en lugar de 2xdeca"eldobledeunacosa"),queenrabesuenacomoay"yquese tradujoalespaolcomo"xei".Deaquprocedelaxactual.
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242 lgebra.1deESO1.2.CoeficienteyparteliteralUnaexpresinalgebraicapuedeestarformadaporunoovariossumandosquesedenominantrminosomonomios.Unasumademonomiosesunpolinomio.
En un monomio la parte literal son las letras y se llama coeficiente al nmero por el que vanmultiplicadas.
Ejemplo3:
Enlaexpresin4x,elcoeficientees4ylaparteliteralx.En7abelcoeficientees7ylaparteliteralab.
Cuandolaexpresinespositivanosueleirprecedidadelsigno+,aunquesiempreaparecerelsignoenlasexpresionesnegativas.
Ejemplo4:
Sealaelcoeficienteylaparteliteralenlaexpresin6a.Elcoeficientees6ylaparteliterala.
Actividadesresueltas3. Sealaloscoeficientes,laspartesliteralesyelnmerodemonomiosdelaexpresinalgebraica:
3a5b+c+6
Estaexpresinalgebraicatiene4trminoso4monomios:3a,5b,cy6.Loscoeficientesson+3,5,+1y+6respectivamente.Laspartesliteralessona,byc.Elltimotrminonotieneparteliteral.
4. Sealaenelpolinomio8x+5x2xculessonloscoeficientes.Loscoeficientesson8,5y2.
1.3.ValornumricodeunaexpresinalgebraicaSi a las letras de una expresin algebraica se les da un valor concreto, se puede calcular el valornumricodedichaexpresin.
Actividadesresueltas5. Calculaelvalornumricodelaexpresin3x+2cuandoxvale5.Hayquesustituirenlaexpresin,xporsuvalor,5.Portanto:35+2=15+2=17,queeselvalornumricocuandoxvale5.
1.4.EquivalenciaysimplificacindeexpresionesalgebraicasLaexpresinalgebraica4x+4xesequivalentealaexpresin8x,queessuexpresinmssimplificada.
Actividadespropuestas6. Seala el coeficiente, la parte literal y el nmero de trminos omonomios de los polinomios
siguientes:a)27xb)a+3b8c c)4x+5d)7x+95y
7. Calculaelvalornumricodelossiguientespolinomios:a)2x+3yparax=3,y=2.b)6aparaa=5.c)3a+4bcparab=1,a=1yc=+2.
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243 lgebra.1deESO
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244 lgebra.1deESO2.ECUACIONESDEPRIMERGRADO
2.1.EllenguajedelasecuacionesUnaecuacinesunaigualdadentredosexpresionesalgebraicas.Ejemplo5:Si tenemosdosexpresionesalgebraicas:3xy2x+1,y lasunimosconel signo igualobtenemosunaecuacin:3x=2x+1.Lasexpresionesquehayacadaladodeligualsellamanmiembrosdelaecuacin.Todaslasecuacionestienendosmiembros:laexpresinqueestalaizquierdadelsignoigualsellamaprimermiembroylaqueestaladerecha,segundomiembro.Las letrasque contienen lasecuaciones algebraicas (las "partes literales"de susdosexpresiones) sellamanincgnitas,quesignificaliteralmente"desconocidas".Sitodaslasletrassoniguales,sedicequelaecuacintieneunasolaincgnita.Ejemplo6:
3x2=2x+1esunaecuacinconunasolaincgnita,mientrasque:2x+y=5ox2=3ysonecuacionescondosincgnitas:xey.
Elgradodeunaecuacineselmayorexponentequeapareceenalgunade susincgnitas.Ejemplo7:
7x5=x+7esunaecuacindeprimergrado,mientrasquex+3y2=9esunaecuacindesegundogrado.
Solucindeunaecuacin:Unasolucindeunaecuacinesunnmeroque,cuandolaincgnitatomaese valor, se verifica la igualdad, es decir, los dos trminos de la ecuacin valen lomismo.Algunasecuacionessolotienenunasolucin,perootraspuedentenervarias.Resolverunaecuacinesencontrartodassusposiblessolucionesnumricas.
Actividadesresueltas8. Site fijasen laecuacin:3x2=2x+1,versquealdarlevaloresax la igualdadnosiemprese
cumple.
Porejemplo,parax=1,elprimermiembrovale312=+1,mientrasqueelvalordelsegundomiembroes:21+1=2+1=3.Parax=3,elprimermiembrotomaelvalor:332=92=7;yelsegundomiembro:23+1=6+1=7.Portanto3esunasolucindelaecuacin.
Actividadespropuestas9. Copiaentucuadernolasiguientetablaycompltala:Ecuacin Primermiembro Segundomiembro Incgnitas
7x3=4x5
6x+2 x 8
4a+9=23
xy 5+y
10. Averiguaculdelosnmeroseslasolucindelaecuacinyescrbeloentucuaderno:
Ecuacin Posiblessoluciones Ecuacin Posiblessoluciones
3x+7=x3 2,1,5 a2 5 =1 2,10,2
x+2=4x1 1,2,3 b 3=7 b 2,4,6
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245 lgebra.1deESO2.2.Ecuacionesequivalentes.ResolucindeecuacionesSisedesconoce lasolucindeunaecuacin,resultamuypesadoresolverlaprobandounnmerotrasotro. Por eso lo que se hace habitualmente es transformarla en otras ecuaciones equivalentesmssencillas.
Ecuacionesequivalentessonlasquetienenlasmismassoluciones.
Ejemplo8:
2x5=11esequivalentea2x=16,puestoquelasolucindeambasecuacionesesx=8.
Paraobtenerecuacionesequivalentessetienenencuentalassiguientespropiedades:
Sisesumaoserestaalosdosmiembrosdeunaecuacin unamisma cantidad, se obtiene unaecuacinequivalente.
Sisemultiplicanodividenlosdosmiembrosdeunaecuacinporunamismacantidad (distintadecero),seobtieneunaecuacinequivalente.
Actividadesresueltas11. Resuelvelaecuacin3x+7=x3transformndolaenotramssencillaequivalente.Transformarunaecuacinhastaquesussolucionessehaganevidentessellama"resolverlaecuacin".Siguiendoestospasosintentaremosresolverlaecuacin:1)Sumamosalosdosmiembrosxyrestamosalosdosmiembros7:3xx+77=xx37.2)Hacemosoperacionesyconseguimosotraecuacinquetieneenelprimermiembrolostrminosconxyenelsegundo,lostrminossinx:3xx=37.3)Efectuamoslassumasenelprimermiembroyenelsegundo:2x=10.
4)Despejamosxdividiendolosdosmiembrospor2: dedondex=5.
5)Compruebaquetodaslasecuacionesquehemosobtenidoenesteprocesosonequivalentesyquesusolucinesx=5.
12. Resuelvelaecuacin8x=2x4.1)Sumamosxy4parapasaraunmiembrolostrminosconxyalotromiembrolostrminossinx:
8x+x+4=2x+x4+4,2)Hacemosoperaciones:8+4=2x+x3)Efectuamoslassumas:12=3x.4)Despejamosxdividiendolosdosmiembrospor3:4=x.Lasolucindelaecuacinesx=4.
Actividadespropuestas13. Resuelvelassiguientesecuaciones:a)3x5=2x7 b)6x+8=3x4 c)5x+2=12 d)4x7=3x7
14. Eligeentrelassiguientesecuacionestodaslasqueseanequivalentesalaecuacin3x6=2x+9.a)x+10=5 c)10x=3x5x e)4x=30 e)2x=10+20 g)15=x
15. Escribedosecuacionesequivalentesacadaunadelasecuacionessiguientes:a)2x4=11 b)3x=12 c)5x+11=6 d)x=3
Sabas que todas las soluciones de todas las expresiones algebraicas posibles, de cualquier grado, forman lo que se denomina los "nmeros algebraicos"? Por ejemplo, son
algebraicos todos estos nmeros: 1, 2, 1/3, 7/5, , , etc. Aunque la inmensa mayora de los nmeros que utilizamos en nuestra vida cotidiana son algebraicos, debes saber que re-almente hay muchos, muchsimos ms nmeros "no algebrai-cos" que ya irs conociendo, aunque alguno ya conoces co-mo al nmero .
Elprocedimientoutilizadoenlasactividades10y11esunmtodouniversalpara resolvercualquierecuacindegrado1,esdecir,dondexaparecesinelevaraotroexponentecomoenx2.Lasecuacionesdeprimergradotienensiempreunanicasolucin,peroengeneral,lassolucionesno tienenporqu sernmerosenteros comoenlosejemplos.
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246 lgebra.1deESO
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247 lgebra.1deESO3.RESOLUCINDEPROBLEMASMEDIANTEECUACIONES
3.1.ProcedimientoMuchosproblemaspuedenresolversemedianteunaecuacin.
Actividadesresueltas16. Buscaunnmeroquesumadoconsusiguientedcomoresultado7.Pararesolverlo,siguelossiguientespasos:
Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema
Leeconmuchocuidadoelenunciado,ypregntate:
Qutepiden? Qudatostienes?
Nospidenunnmero.Laincgnitaesesenmero.Llamaaesenmerox.Susiguiente,serx+1.Nosdicenquelasumadeamboses7.
Paso2:Buscaunabuenaestrategia.
Esunproblemaquequeremosresolvermedianteunaecuacin.Escribeenlenguajealgebraicoelenunciadodelproblemayplanteaunaecuacin:
x+(x+1)=7.
Pregntatesiefectivamenteresuelveelproblemareleyendoelenunciado.
Paso3:Llevaadelantetuestrategia
Ahorasi,ahoraresuelvelaecuacin.Pararesolverunaecuacinconvieneseguirunordendeactuacinquenosayudeanocometererrores,paraelloseguimoselprocedimientoqueacabamosdeaprender.
Quita,siloshay,parntesisydenominadores:x+x+1=7
Paraponerenelprimermiembro lostrminosconx,yenelsegundo losqueno lotienen,haz lomismoa losdos lados,resta1alosdosmiembros:x+x+11=71,luegox+x=71.Opera:2x=6.Despeja:
Paradespejarlax,sehacelomismoalosdoslados,sedividenpor2ambosmiembros:2x/2=6/2,portanto,x=3.
Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.
Enefecto,compruebaque:3+4=7.
Actividadespropuestas17. Lasumadetresnmerosconsecutivosesigualaldobledelmayorms1.Calcula
dichosnmeros.18. Lamadredelvaro tieneel triplede laedadde suhijo, yste tiene30aos
menosquesumadre.Cuntosaostienencadauno?19. El permetro de un tringulo isscelesmide 30 centmetros. El lado desigual
midelamitaddeunodesusladosiguales.Cuntomidecadalado?20. UnmagoleproponeunjuegoaAdela:Piensaunnmero,smale7,multiplicael
resultadopor2,rstale10yrstaleelnmero.Dimequtesale.Adeladijo9.Yelmagolecontestdeinmediato:Elnmeroquepensastees5.Adivinacmolosupoelmago.
21. Quieressertuahoraelmago?Inventaunjuegoyescrbelo,parapoderadivinarelnmeropensado.
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248 lgebra.1deESO3.2.Problemasnumricos
Actividadesresueltas22. Enunpequeohotelhay50habitaciones simplesydobles.Sien total tiene87 camas,cuntas
habitacionessonsimplesycuntassondobles?
Siguelospasosparalaresolucindeproblemas.
Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema
Llamaxalnmerodehabitacionessimples.Elnmerodehabitacionesdobleses34x.Elnmerodecamases54.
Paso2:Buscaunabuenaestrategia.
Escribeenformadeecuacinlainformacindelenunciado:
x+2(34x)=54.
Paso3:Llevaadelantetuestrategia
Resuelvelaecuacin.Quitaparntesis:
x+682x=54.
Paraponerenelprimermiembrolostrminosconxyenelsegundolostrminossinx,resta68alosdosmiembros:
x+682x68=5468.
Opera:
x=14
Paradespejarlaxdividelosdosmiembrospor1:
x=14/1=14.
Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.
Hay14habitacionessimples.Luegohay3414=20habitacionesdobles.Portantoelnmerodecamases54pues:
14+220=54.
23. En una granja hay 50 animales entre gallinas yconejos, y entre todos los animales suman 120patas.Cuntasgallinashayenlagranja?
Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema
Llamaxalnmerodegallinas,ycomohay50animalesentotal,conejostendremos50x.
Comounagallina tiene2patasyun conejo4, tendremosentotal2x+4(50x)patas.
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249 lgebra.1deESOPaso2:Buscaunabuenaestrategia.
Comosabemosqueelnmerototaldepatases120,podemosescribirestaecuacin:
2x+4(50x)=120
Paso3:Llevaadelantetuestrategia
Resuelvelaecuacin.Quitaparntesis:
2x+2004x=120
Sirestamos200enambosladosobtenemos:
2x+2004x200=120200
Operandoobtenemos:
2x=80
Dividiendopor2enambosladosresolvemoslaecuacin:
2x/2=80/2luegox=40.
Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.
Hay40gallinasy10conejospues50x=5040=10.
Laspatasde40gallinasy10conejossuman402+104=80+40=120
Actividadespropuestas24. Unmagoledijo:Piensaunnmero,smale12,multiplicapor2elresultado,resta20ydividepor2.
Dime que te sale.Dijo 35. Y elmago le contest de inmediato: El nmero que pensaste es 33.Adivinacomolosupoelmago.(Sugerencia:escribepreviamentelacadenadeoperaciones).
25. Piensaunnmero,multiplcalepor 10, rstale elnmeroquehaspensado ydivide el resultadoentre9.Hasobtenidoelnmeroquepensaste!Buscaeltruco:escribealgebraicamente,llamandoxal nmero, la expresin algebraica de las operacionesrealizadas,yadivinacomolosupoelmago.
26. Si lasumadetresnmerosconsecutivoses63,dequnmeros se trata? (Sugerencia: ilustra la situacin conuna balanza equilibrada. Mantenla equilibrada hastaconseguir la ecuacin equivalente que nos d elresultado).
27. Hemoscomprado8librosigualesyhemospagadoconunbilletede50.Sinoshandevuelto10,cuntocostabacadalibro?
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250 lgebra.1deESO3.3.ProblemasdegeometraMuchosproblemasdegeometrasepuedenresolverpormtodosalgebraicos,utilizandoecuaciones.
Actividadesresueltas28. Sequieredibujaruntringulode55cmdepermetro,deformaqueunladoseaeldobledeotro,y
elterceroseaeltripledelmenormenos5cm.Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblemaDibujauntringulo,pensandoenlosdatosdelenunciado.Llamamosxalladomenor,deestaformapuedesdefinirlosotrosdoslados.Elladomedianoes2x.Elladomayores3x5Paso2:Buscaunabuenaestrategia.Comoelpermetroes55,sepuedeplantearlaecuacin:x+2x+(3x5)=55Paso3:LlevaadelantetuestrategiaSeresuelvelaecuacin:x+2x+3x5+5=55+5;x+2x+3x=60;6x=60.Luegox=60/6=10eslalongituddelladomenor.Losotrosdosladosmiden2x=20y3x5=25.Solucin:Losladosdeltringulomiden10cm,20cmy25cm.Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Sumandolostreslados,10+20+25=55,obtenemoselpermetrodeltringulo,55.
Actividadesresueltas29. Tienesunrectngulodealturaxcmydebase2x+3.Sialabasedeesterectngulolequitan2cmy
alaalturaleaaden5cm,seconvierteenuncuadrado.Qudimensionestiene?
Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema
Dibujaunrectnguloconlascondicionesdelproblema.Laexpresin2x+32expresalos2cmquelequitaalabaseyx+5expresalos5cmqueleaadenalaaltura.Paso2:Buscaunabuenaestrategia.
Sisehaformadouncuadradocomolosladossonigualesambasexpresionesdebenserequivalentes:2x+32=x+5Paso3:Llevaadelantetuestrategia
Resuelvelaecuacin:2x+32x3+2=xx3+2+5;2xx=4;x=4Solucin:x=4cmeslalongituddelaalturadelrectngulo.Portanto,24+3=11cmmidelabasedelrectngulo.
Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Enefecto,alaalturalesumamos5,4+5=9,yalabaselerestamos2,112=9,seobtieneuncuadrado.
Actividadespropuestas30. Cadaunode los lados igualesdeun tringulo issceleses igualaldobledel
tercerladomenos3cm.Calculasumedidasielpermetrodeltringuloes84cm.
31. Calculaelreadeuntringulorectngulo,sabiendoquesuscatetossuman20cmyelcatetomayormide4cmmsqueelmenor.
32. Calculalamedidadelosngulosagudosdeuntringulorectngulo,sabiendoqueelngulomayoresigualaltripledelmenormenos6.
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251 lgebra.1deESO3.4.Otrosproblemas
Actividadesresueltas33. Sitenemos21billetesde5yde10quesumanentotal170,cuntosbilletestenemosdecada
clase?Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblemaLlamaxalnmerodebilletesde5yelresto,21x,serelnmerodebilletesde10.Paso2:Buscaunabuenaestrategia.Plantealaecuacinqueexpresalasumaeneurosdelosdostiposdebilletes:5x+10(21x)=170Paso3:LlevaadelantetuestrategiaPararesolverlaecuacin,loprimero,quitaparntesis:5x+21010x=170Dejaenelprimermiembrotodoslostrminosconx,yenelsegundolosquenotienenx:5x10x+210210=210+170Hazoperaciones: 5x=40Despejalaincgnita:x=(40):(5)=+8Portanto,tenemos8billetesde5,y218=13eselnmerodebilletesde10.Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Comprobamosque85=40y1310=130.Yque,enefecto,40+130=70.Solucin:Tenemos8billetesde5y13billetesde10.
Actividadespropuestas34. Dosmotocicletassalenalmismotiempodedospuntosquedistan420
km,en lamismadireccinperoen sentido contrario. Laprimera llevaunavelocidadde60km/hy la segunda,de80km/h.Cunto tiempotardarnencruzarse?
Ayuda:HazundiagramaparacomprenderelenunciadoSolucin:Tardan3horasencruzarse.
35. Doscochessalendedospuntossituadosa560kmdedistancia,unoalencuentrodeotro.Elprimerollevaunavelocidadde70km/hyelsegundode90km/h.Cuntashorastardanencruzarse?
36. Sienelmonederotenemos16monedasde10centyde20cntimosdeeuro,yentotalreunimos2,cuntasmonedasdecadaclasetenemos?37. Siunbolgrafovaleeltripledelpreciodeunlpiz,hecompradountotalde7lpices y bolgrafos, y he pagado en total 5,50 , cuntos bolgrafos y cuntoslpiceshecomprado?38. Nieves tiene una pareja de hmsteres con una camada de varias cras. Le
regalaaunamiga lamitadde lascras.Aunsegundoamigo leregala lamitadde lascrasque lequedanmsmediacra.Lanicacraque lequedase la regalaaun terceramigo.Cuntascrasformabanlacamada?
39. Dosamigas,MaiteyAna,fueronavisitarunagranjaenlaquehabagallinasyconejos.AlsalirAnalepreguntaMaite:Sabescuntasgallinasycuntosconejoshaba. No,dijoMaite,perohabaentotal72ojosy122patas.Averiguaelnmerodegallinasydeconejosdelagranja.
40. Deundepsitollenodelquidosesacalamitaddelcontenido,despuslatercerapartedelrestoyquedanan1600litros.Calculalacapacidaddeldepsito.
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252 lgebra.1deESOCURIOSIDADES.REVISTA
A)CuadradosmgicosEn el cuadroMelancola del famoso pintor alemn Alberto Durero(14711528) apareceeste cuadradomgicoenelque todas las filas,columnasydiagonalessumanlomismo,yademsesemismoresultadoseobtienesumandolascuatrocasillascentrales.Adems,lasdoscasillasdelcentrodelalneainferiorindicanelaoenelqueestecuadradomgicofueresuelto,1514.40.Confeccionaun cuadradomgicode3 x3 casillas, colocando losdgitosdel1al9de formaque todas las filas, todas las columnas, ytodaslasdiagonalessumenlomismo.
B)EMMYNOETHER(18821935)EmmyNoetherfueunafamosaalgebrista.NacienAlemania,hijadepadresjudos. Su padre era catedrtico dematemticas en laUniversidad y Emmyhereddellapasinporlasmatemticas.Sinembargo,poraquellapocalaUniversidadnoadmitaque lasmujeresdesarrollasenestudioscientficos,asque tuvoqueconseguirunpermisoespecialparaque ladejaranasistira lasclases, aunque no tena derecho a examinarse. Aosms tarde, las leyescambiaron y pudo doctorarse. Trabaj con losmatemticos alemanesmsbrillantesydesarrollunteoremaesencialpara laTeorade laRelatividadenla que estaba trabajando Albert Einstein. Ante la situacin poltica deAlemania,conlasubidaalpoderdeHltler,tuvoqueexiliarseaEstadosUnidos.AllcoincidiconEinsteinquienlededicestaspalabras:Ajuiciodelosmatemticosmscompetentesque todavaviven,desdeque lasmujeresempezarona recibirenseanza superior,EmmyNoetherhatenido el genio creativoms destacado que haya surgido hasta la fecha de hoy en el campo de lamatemtica.
C)DIOFANTODiofantofueunfamosomatemticogriegodelsigloIIId.C.Enelepitafiodesutumbaescribi:Caminante!AquyacenlosrestosdeDiofanto.Losnmerospuedenmostrarohmaravilla!Laduracindesuvida,cuyasextaparteconstituylahermosainfancia.Habatranscurridoademsunaduodcimapartedesuvidacuandosecubridevellosubarba.Apartirdeah,lasptimapartedesuexistenciatranscurrienunmatrimonioestril.Pas,ademsunquinquenioyentonceslehizodichosoelnacimientodeprimognito.Esteentregsucuerpoysuhermosaexistenciaalatierrahabiendovividolamitaddeloquesupadrellegavivir.Porsuparte,Diofantodescendialasepulturaconprofundapenahabiendosobrevividocuatroaosasuhijo.Dime,caminante,cuntosaosviviDiofanto.41. a)EscribeenlenguajealgebraicoelepitafiodelatumbadeDiofanto
b)Resuelvelaecuacin.CompruebaqueDiofantovivi84aos.
Emmy Noether
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Matemticas1deESO.Captulo11:lgebra Autora:RaquelCaro Revisores:PedroLuisSuberviolaySergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF
253 lgebra.1deESORESUMEN
Ejemplos
Lenguajealgebraico Utilizaletrasynmerospararepresentarunainformacin readeunrectngulo=baseporaltura:A=ba
Expresinalgebraica
Expresionesquereflejanunasituacinmedianteletrasynmeros
x+3x
Monomiootrminoalgebraico
Constadecoeficienteyparteliteral.Vanseparadosporlossignos+,,=.
5x2
Coeficiente Nmeroquemultiplicaenunmonomio Elcoeficientede5x2es5.
Valornumricodeunaexpresinalgebraica
Nmeroqueseobtienealsustituirlasletraspornmerosyhacerlasoperaciones.
Elvalornumricodex+3x+5parax=2es:2+3(2)+5=26+5=3
Ecuacin Igualdadentredosexpresionesalgebraicas. 3x1=2x+5
Miembrosdeunaecuacin
Cadaunadelasdosexpresionesalgebraicasqueformanlaecuacin.Vanseparadosporelsigno=.
Enlaecuacinanterior3x 1eselprimermiembro,y2x+5eselsegundomiembro
Incgnitas Letrasdevalordesconocidoquecontienenunaecuacin En3x1=2x+5laincgnitaesx.
Gradodeunaecuacin
Elmayorexponentedelaincgnita. Laecuacin3x1=2x +5 esdeprimergrado.Laecuacin3x2=27esdesegundogrado.
Solucindeunaecuacin
Nmeroporelquesepuedesustituirlaincgnitaparaquelaigualdadseacierta.
Lasolucinde3x 1=2x +5esx=6.
Resolverunaecuacin
Eshallarsusolucin. 3x1=2x+53x2x1+1=2x2x+5+1x=6
Ecuacionesequivalentes
Tienenlasmismassoluciones 2x5=x+2esequivalentea:
2xx=2+5
Pasospararesolverunaecuacin:
QuitarparntesisQuitardenominadoresAgruparlostrminosconxenunmiembroylostrminossinxenelotro.OperarDespejarlax.
(3x1)=7/21. 6x2=7/22. 12x4=73. 12x=7+44. 12x=115. x=11/12
Pasospararesolverunproblemamedianteecuaciones
Leerelenunciado.Escribirlaecuacin.Resolverlaecuacin.Comprobarlasolucin.
Hallarunnmeroquesumadoa7dalomismoquesudoblemenos3.1)Comprenderelenunciado2)x+7=2x33)x2x=37;x=10;x=104)10+7=2103
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254 lgebra.1deESOEJERCICIOSYPROBLEMAS.Matemticas1deESO
Lenguajealgebraico1. Expresaentucuadernoenlenguajealgebraico
a) Eltripledeunnmeroesiguala21.
b) Aunciertonmeroselesuma2,semultiplicaelresultadopor3,ysedivideentre4.
c) Eldobledeunnmeroms6.
d) Unnmeromssuanterior.
2. Copiaentucuadernoyrelaciona:
a)Eldobledeunnmero 1)x17
b)Ladiferenciaentreunnmeroy17 2)
c)Elproductodeunnmeropor3 3)2(x+5)
d)Laquintapartedeunnmero 4)2x2
e)Eldobledelcuadradodeunnmero 5)x+y
f)Elnmerosiguienteax 6)2x
g)Lasumadedosnmeros 7)x+1
h)Eldobledelasumadeunnmeroy5 8)x/5
i)Latercerapartedelcuadradodeunnmero 9)3x
3. SillamamosxalosahorrosquetieneLaura,expresaalgebraicamente:a)AMaralefaltan7paratenerlosmismosahorrosqueLaura.
b)Alfonsotiene14msqueLaura.
c)Martntiene3menosqueeldobledeLaura.
d)FtimatieneigualqueLaurayRosa.
4. Heaquloquesabemosdelasedadesdeungrupodeamigos:a)Juantiene3aosmsqueAntonio;
b)ElenatieneeldoblequeJuan;
c)Flixtiene5aosmenosqueElenayLauratienelamitadqueAntonio.
d)Si laedaddeAntonioesx, indica,medianteexpresionesalgebraicas, lasedadesde losotrosamigos.
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255 lgebra.1deESO5. Escribeenlenguajealgebraicolassiguientesinformacionesrelativasalabasexylaalturaydeun
rectngulo:
a) Labaseesdoblequelaaltura
b) Labaseexcedeen5unidadesalaaltura
c) Laalturaes3/7delabase
d) Elreadelrectngulovale20cm2.
e) Ladiferenciaentrelaalturaylabaseesde10unidades.
6. Escribelassiguientesoperacionesenlenguajeordinarioa) x+5 b) a4 c) 2x d) y2
7. Completaentucuadernolasfrasessiguientes:a) Enunaexpresin...puedehabernmeros,letrasysignosdeoperacin.
b) Unnmerocualquieraseindicaenlgebramedianteuna...,porejemplo,lax.
c) Enlaexpresin3xelnmero3esel....
d) Laecuacinx2=25esde...grado.
e) Elprimermiembrodelaecuacin3x+1=2x7es...
f) Dosecuacionesquetienenlasmismassolucionessellaman...
g) Una...esunaigualdadentredosexpresionesalgebraicas.
h) Elnmeroporelquesesustituye la incgnitadeunaecuacindemaneraque la igualdadseaciertasellama...delaecuacin.
i) ...unaecuacineshallarelvalordelaincgnita.
j) Sielmayorexponentedelaincgnitadeunaecuacines1,entonceslaecuacinesde...grado.
8. Elkilodemelocotonescuestaxeuros.Indicaenlenguajealgebraicoelpreciode:a) Elcuartodekilodemelocotones
b) Treskilosdemelocotones
c) El kilo de mandarinas sabiendo que es 75 cntimos ms barato que el kilo demelocotones.
9. Llamamosxaunacantidad.Escribeenlenguajealgebraico:a) Eldobledeesacantidadms9.
b) Esacantidadms5.
c) 20menosesacantidad.
d) Cuatrovecesesacantidadmenos7.
e) Lamitaddeesacantidadms8.
f) Sietevecesesacantidadmenoslatercerapartedelacantidad.
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256 lgebra.1deESO10. Calculaelvalornumricodelasexpresionessiguientesparax=2.
a) 5x3 b) 2(x+5) c) (x4)/2 d)7(2x2)
11. Simplificalassiguientesexpresiones:a) x+x+xx b) 2x+3x+5xx c) x/2+x/2 d) 2(x+3x2x)
12. Escribeen tucuadernoelvalornumricodecadaexpresinparaelvalordexquese indicaencadacaso:
Expresin Valordex Valornumrico
a) 5x4+x 1
b) x3+7x 2
c) x+3+2x 3
d) 3xx 4
e) 2x3 2
13. Realizalasoperacionessiguientesa) 3x+5x2y+9y4x3y b) (2x5x2)(3x2+5x)
c) 3(7x3)2(2x+5) d) 2a5a+7a8a+b
Ecuaciones14. Copiaentucuadernolasiguientetablaycompltala:
Ecuacin Primermiembro Segundomiembro Incgnitas
8x5=2x1
7x+3 2x8
4x+3=6x+9
4a+11=23
xy 5+y
15. Calculamentalmenteelvalorquesedebeasignaracadacrculo:a) 2O=30 b) 10=O:5 c) 3O=27 d) 5=O:3
16. Escribedosecuacionesequivalentesacadaunadelasecuacionessiguientes:a)3x4=11 b)2x=9 c)x+11=6 d)x=3
17. Resuelvelasecuacionessiguientes:a)2x+4=7 b)4x+3=15 c)5x2=37 d)2x3x=55
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257 lgebra.1deESO18. Relacionacadaecuacinconsusolucin:
a)x+5=7x1 b)3x2=4x c)x9=32x d)5=x+9 e)82x=53x
f)9x2=5x g)3+2x=1 h)6x=5+9x i)x=62x j) 2x + 4=x+7
Soluciones:
1)x=4 2)x=4 3)x=3 4)x=1,5 5)x=0,5
6)x=1 7)x=0,1 8)x=1 9)x=3 10)x=2.
19. Disilassiguientesfrasessonverdaderasofalsas.Razonalarespuesta.a) Laecuacinx+3=5esequivalenteax+5=3.
b) Laecuacin2x+3=7x1tienedosincgnitas.
c) Laecuacinx3+5=2x2esdetercergrado.
d) Elvalornumricode5x2parax=1es7.
e) Lasolucindelaecuacin6x=3es2.
20. Encuentralosnmerosquefaltan:a) 15=252O b) 100=25O c) 200=O(25) d) 40 =O
(20)
21. Resuelveentucuadernolassiguientesecuaciones:a) x+3=9 b) x+5=4 c) x+1=78 d) x+7=46
22. Eneltrensepuedetransportarunperritosiemprequesupesonoexcedade6kg.AveriguaaculdemisperritospodrallevarmedeviajeeneltrensabiendoqueEderpesa8kilosyqueelvalordexeselmismoentodosloscasos:
Nombre Pesoenkg
Eder 2x
Peque 3(x7)
Gosca 3x5+6x
Atila 4x+65x
Clea 12x+9x
23. Encuentralosnmerosquefaltan:a) O+3=8 b) O+7=3 c) O6=10 d) O8=2
24. Resuelve las siguientes ecuaciones: (Sugerencia: ilustra las ecuaciones mediante balanzasequilibradas. Mantenlas equilibradas hasta conseguir la ecuacin equivalente que nos d elresultado).
a) x+5=10 b) x+7=4 c) x+3=8 d) x+7=12
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258 lgebra.1deESO25. Resuelveentucuadernolassiguientesecuaciones:
a) x4=7 b) x34=12 c) x21=84 d) x28=7
Problemas26. Sieldobledeunnmeromenos3esiguala7,culeselnmero?27. Unrectngulotiene7cmdebaseysureaesde21cm2,qualturatiene?28. Lasumadetresnmerosconsecutivoses48.Cuntovalecadanmero?29. Sienunafamilia lasumade laedadesde lostreshijosesde37aos,Anaes2aosmenorque
Antonio,yestees3aosmenorqueMaite,quedadtienecadahijo?
30. Siunaparcelarectangulartiene4mmenosdeanchoquedelargo,ylavallaquelorodeamide88m,qudimensionestienelaparcela?
31. Para cada uno de los siguientes enunciados, dibuja la figura que corresponda, escribe unaecuacinyresulvela:
a) Halla las dimensiones de un rectngulo si la basemide 3 cmms que la altura y elpermetroes22cm.
b) Elpermetrodeuncuadradoes28mm.Cuntomidesulado?
c) Elladodesigualdeuntringuloisscelesmide7cmysupermetromide35cm.Cuntomidecadaunodelosladosiguales?
d) Elpermetrodeunoctgonoregulares28cmmayorqueeldeuncuadradode36cm2derea.Averiguaelladodeloctgono.
e) Cadaunodelosngulosdeuncuadrilteroirregularmide30msqueelnguloanterior.Cuntomidecadaunode loscuatrongulosdelcuadriltero?(Ayuda:recuerdaque lasumadelosngulosinterioresdeuncuadrilteroes360).
f) Las medidas de los lados de un tringulo escaleno son nmeros consecutivos y elpermetroes33cm.Cuntomidecadalado?
g) Dosngulossoncomplementariosysediferencianen18.Cuntomiden?
h) Dosngulossuplementariossediferencianen25.Cuntomidecadauno?
32. Escribeenlenguajealgebraico:Lasumadelosngulosinterioresdeunpolgonoestantasveces180,como lados tengamenos2.Cuntos lados tieneunpolgono si la sumade susngulosinterioreses720?
33. Siuntringuloisscelestieneunpermetrode36cm,ysuladodesigualmide5cmmenosquesusladosiguales,cuntomidensuslados?
34. Hallalasedadesdetreshermanossabiendoquesuman52aos,quelosdospequeossellevandosaos,yqueelmayortienetantosaoscomolosotrosdosjuntos.
35. Unmontaerohaceunarutade48kmentresetapas.Elsegundodarecorre10kmmsqueelprimeroyeltercerdarecorre7kmmsqueelsegundo.Cuntorecorrecadada?
36. Tengo26monedasde1yde2,quevalenentotal37.Cuntasmonedastengodecadaclase?
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259 lgebra.1deESO37. Alfonsoquieresabercuntopesalacompotademorasquehahecho,perosolotienepesasde1
kgyde200gr.Compruebaquesiponelosdosbotesigualesdecompota,juntoconlapesade200grenunplatode labalanza, yenelotroplato lapesade1 kg, labalanzaquedaequilibrada.Cuntopesacadabote?
38. Simultiplicasaunnmeropor5yluegolesumas12,obtienes62,dequnmerosetrata?39. Elpatiodeuncolegioesrectangular,eldobledelargoquedeancho,ysupermetroesde600m.
Sisequiereponerunavallaquecuestaa3elmetroenel ladoms largo.Cuntohabrquepagar?
40. Albertohasacadoun8enunexamende10preguntas.En laprimerapreguntasacunpunto,yen laltima,quedejenblancopor faltade tiempo,uncero.Laprofesora lehadichoqueentodaslaspreguntascentraleshaobtenidolamismapuntuacin.Culhasidoesanota?
41. Marioestudia loquems le gusta las2/5partesdel tiempodiarioquededica alestudio, y lesobran72minutosparaelrestodematerias.Cuntoestudiacadada?
42. SiCristinatiene12aosysumadre,36,cuntosaosdebenpasarparaquelaedaddelamadreseaeldobledeladesuhija?
43. Miriamledicealmago,piensaunnmero,multiplcalopor2,ahorasmale10,divideelresultadoentre2yrestaelnmeroquehaspensado.Tienesun5?
a)EscribeenformaalgebraicaeljuegodemagiadeMiriam,ydescubresutruco.
b)Inventaunnuevojuegodemagia.
44. Carloshacomprado25cuadernos, loshapagadoconunbilletede20,y lehandevuelto12.Escribeunaecuacinquepermitacalcularelpreciodecadacuaderno.
45. Untringuloequilterotieneunpermetrode36cm,cuntomidesulado?46. Braulio,RosayGuillermohanganado1200enlalotera.SiBrauliohabapagadolaterceraparte
deldcimo,Rosa,lamitad,yGuillermo,elresto,cmodebenrepartirloquehanganado.
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260 lgebra.1deESOAUTOEVALUACINDE1DEESO
1. Loscoeficientesdelaexpresinalgebraica5x7+y,son:
a)5,7y1 b)+5,7y+1c)+5y7
2. Elvalornumricodelaexpresinalgebraica2a+6b,cuandoa=2yb=1,es:
a)2 b)2 c)4
3. Lasolucindelaecuacin3+x4x=8+2xes:
a)+5 b)+1 c)1
4. Eldobledeunnmeroms2,equivaleasutriplemenos10.Elnmeroes:
a)5 b)11 c)12
5. La sumade lasedadesdedospersonasesde48 aos y sudiferencia,14 aos. Culde lassiguientesecuacionesnospermitecalcularsusedades?
a)x+x+14=48 b)x14=48c)48+x=14x
6. Elpermetrodeun rectngulo es 72 cm. Si labase es eldoblede la alturamenos 9 cm, lasdimensionesdelrectnguloson:
a)21y15 b)20y16 c)30y6
7. Tresnmerossuman77.Elmedianoeseldobledelmenor,yelmayorestripledelmenormenos7.Culdeestasecuacionesnospermitehallarlosnmeros?
a)2x+x+3x=77 b)x+3x+2x=77+7 c)x+2x+3x=777
8. Tenemos12monedasde2y1.Sientotaltenemos19,decadaclasedemonedas,tenemos:
a)6y6 b)7y5 c)8y4
9. LamadredeJuantieneeldoblede laedaddeestems5aos.Lasumadesusedadeses38aos.Laecuacinqueplanteamosparasabersusedadeses:
a)x+2x+5=38 b)x+5=2x c)x+2x=38
10. Con24hemoscomprado5objetos igualesynoshansobrado6 .Elpreciodecadaobjetopodemosconocerloalresolverlaecuacin:
a)5x=24+6 b)x+5=24 c)5x+6=24