Algebra Vectorial

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Módulo de Aprendizaje FACULTAD DE INGENIERIA -Sistema de Unidades yDEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA Algebra Vectorial-

PRESENTACION

El módulo de aprendizaje Sistema de Unidades y Álgebra Vectorial desarrollado a continuación, está constituido por un compendio de temas, problemas resueltos y problemas planteados por distinguidos autores de textos de física de nivel universitario, así mismo de los que devienen de la experiencia desde las propias aulas universitarias.

La estructura del módulo inicia con los objetivos que se pretenden alcanzar en el educando luego se continúa con el desarrollo del módulo que abarca principios y teorías pertinentes, desarrollo de diversos ejemplos de aplicación y planteamiento de ejercicios y problemas acompañados de su respectiva respuesta a fin de que el alumno los desarrolle y compruebe su desarrollo. Finalmente se adjuntan las prácticas de laboratorio que se desarrollan sobre los principales temas tratados.

El contenido temático del módulo obedece a los requerimientos de lo sílabos de las diferentes carreras en las que se imparte la enseñanza de la física en esta universidad sirviendo como guía al docente en el desarrollo de las clases así como de texto de consulta al alumno a quien se le invita a profundizar el estudio de los temas de ser necesario.

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CONTENIDO DEL MODULO

TEMA PAG

ObjetivosIntroducción

Sistema de unidades de cantidades físicasAnálisis dimensionalAlgebra vectorialOperaciones con vectores

Adición de vectores Diferencia de vectores Multiplicación de un escalar por un vector

Vector unitarioComponentes de un vectorProducto escalar de vectoresProducto vectorial de vectoresEjercicios de aplicaciónPráctica dirigida

Anexos Tabla de conversiones Prácticas de laboratorio

Bibliografía

0303

04050506060708090910101114

161618

25

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MODULO: Sistema de Unidades y Algebra Vectorial

I. Objetivos del módulo.

1. Conocer la evolución de la Física a lo largo de la historia 2. Comprender la importancia de las ecuaciones dimensionales y sistema de unidades

en la Física y aplicarlos a problemas concretos.3. Aplicar el álgebra vectorial a la solución de problemas de Física.

II. Desarrollo del módulo.

INTRODUCCION

Physis es un término griego que significa naturaleza. Para los griegos, cultura en donde se desarrolló esta ciencia en sus inicios, significaba filosofía natural.A partir del siglo XIX, la física restringió su campo limitándose a estudiar más a fondo un menor número de fenómenos denominados fenómenos físicos, definidos como proceso en los cuales la naturaleza de las sustancias participantes no cambia, separándose los demás fenómenos para formar parte de otras ciencias naturales.

La física es una ciencia cuyo objetivo es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas. En función de estas interacciones el científico explica las propiedades de la materia en conjunto, así como los otros fenómenos que estudiamos en la naturaleza. (Alonso y Finn. 1980).

La física constituye una ciencia fundamental o básica como lo es la matemática, la biología, la química, el lenguaje, etc. y tiene profunda influencia en el estudio de otras ciencias como la ingeniería, la astronomía, la medicina, etc. Estudia las leyes que rigen el comportamiento de la materia frente a interacciones externas basándose en tres pilares fundamentales: la observación, la experimentación y la interpretación de los fenómenos físicos que se presentan en la naturaleza. Su principal objetivo es encontrar las leyes que gobiernan los fenómenos naturales para desarrollar teorías que puedan predecir resultados de otros fenómenos.

Según Serway y Beichner (1999), la física puede dividirse en cinco áreas principales:

1. Mecánica Clásica, (Isaac Newton. Siglo XVII) la cual concierne al movimiento de los objetos que son grandes en comparación con los átomos y se mueven con rapidez mucho menor que la de la luz, como por ejemplo, equilibrio, caída libre, cantidad de movimiento, etc.

2. Relatividad, (Albert Einsten. Siglo XX) que es una teoría que describe a los objetos que se mueve a cualquier rapidez, incluso la que se acerca a la rapidez de la luz. Es más general que la clásica.

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3. Termodinámica, (antes de 1900) la cual trata del calor, trabajo y comportamiento estadístico de un gran número de partículas.

4. Electromagnetismo, (antes de 1900) relacionado con la electricidad, magnetismo y campos electromagnéticos.

5. Mecánica Cuántica, una colección de teorías relacionadas con el comportamiento de la materia a niveles tanto micro como macroscópicos.

La física clásica está constituida por la mecánica clásica, la termodinámica y electromagnetismo, antes del año 1900. La física moderna que constituye una nueva era de la física, se inicia a fines del siglo XIX con la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, los dos desarrollos más importantes de la física de la nueva era. En el presente curso, estudiaremos la mecánica clásica, referida también como mecánica newtoniana o simplemente mecánica.

2.1 SISTEMA DE UNIDADES DE CANTIDADES FISICAS

Al ser la Física una ciencia experimental, requiere de mediciones, es decir de cantidades cuantitativas para describir un determinado fenómeno físico. A estas cantidades se denominan cantidades físicas. Ejemplo: el peso, la longitud, el tiempo, la velocidad, etc.

PREFIJOS DE UNIDADES

Los prefijos del SI sirven para nombrar a los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional, ya sean unidades básicas o derivadas. Estos prefijos se anteponen al nombre de la unidad para indicar el múltiplo o submúltiplo decimal de la misma; del mismo modo, los símbolos de los prefijos se anteponen a los símbolos de las unidades.

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CANTIDAD FISICA

ESCALAR: masa, tiempo, trabajo, carga eléctrica, potencia, etc.

VECTORIAL: velocidad, aceleración, momento,fuerza, etc.

BASICA O FUNDAMENTAL- SISTEMA ABSOLUTO:

longitud, masa, tiempo S.I. metro,kilogramo,segundo Ingles. pie, slug, segundo MKS metro, kilogramo, seg. CGS centímetro, gramo, seg.

- SISTEMA GRAVITATORIO: longitud, fuerza, tiempo S.I. metro, newton, segundo Ingles. pie, libra, segundo MKS metro,kilogrametro,seg. CGS centímetro, dina, seg.

DERIVADAVelocidad: LT-1

Aceleración: LT-2 Trabajo: FLEnergía: FLPotencia: FLT-1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Módulo de Aprendizaje FACULTAD DE INGENIERIA -Sistema de Unidades yDEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA Algebra Vectorial-Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures), de acuerdo con el cuadro siguiente:

PREFIJO Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto DecaPotencia 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 10Abreviatura Y Z E P T G M K H DPREFIJO deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yoctoPotencia 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Abreviatura d c m µ n p f a z y

2.2 ANALISIS DIMENSIONAL

Es una parte de la Física que estudia cómo se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Mediante el análisis dimensional se comprueba además la veracidad de las fórmulas físicas (principio de homogeneidad dimensional) y se pueden expresar fórmulas a partir de datos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALES. Expresiones matemáticas que operan magnitudes físicas y presentan las magnitudes derivadas en función de magnitudes fundamentales; se apoya en las reglas del álgebra sin utilizar la adición y la sustracción.

Ejemplos.

1. Velocidad. V = d/t; [V]= [d]/ [t]= LT-1; entonces [V]= LT-1

2. Fuerza. F = ma; [F]= [m][a]= MLT-2….sistema absoluto.[F]= F….sistema gravitatorio

3. Peso específico. [γ]= [W]/ [V]= MLT-2/ L3; ML-2 T-2 …..sistema absoluto [γ]= [W]/ [V]= F/ L3; FL-3 ..…..sistema gravitatorio

2.3 ALGEBRA VECTORIAL

Es una rama de la matemática muy útil para la física ya que las cantidades físicas en su mayoría, poseen cantidades numéricas y direccionales, representadas por vectores, es decir que interesa cuantificar el fenómeno así como determinar en qué dirección y en qué sentido se producen, tal es el caso de la fuerza, el momento, la aceleración, etc.

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Representación Gráfica de un Vector

En el plano En el espacio


A⃗ : “Vector A”Magnitud: | A⃗ |, A; constante.Dirección: α con respecto a XSentido: +X, +Y.Ecuación Cartesiana de A⃗:A⃗ = O⃗N = N-O = (x,y) – (x0, y0)

= (x – x0, y - y0)

A⃗ : “Vector A”Magnitud: | A⃗ |, A; constante.Dirección: α con respecto a X

β con respecto a Yθ con respecto a Zφ del plano con respecto a Y.

Sentido: +X, +Y, + ZEcuación Cartesiana de A⃗:A⃗ =O⃗N=N-O= (x,y,z)–(x0,y0,z0)

= (x – x0, y - y0, z – z0)

OPERACIONES CON VECTORES

a. ADICION DE VECTORES.

Gráficamente:o Colocar uno a continuación del otro conservando su magnitud, dirección y

sentido. La resultante o suma es el vector que une el inicio del primero con el extremo del último.

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o Ley del Paralelogramo: Hacer coincidir el origen de dos vectores y construir un paralelogramo de lados iguales a los vectores. La resultante será el vector diagonal del paralelogramo cuyo origen es el origen común de los dos vectores.

o Para encontrar la resultante de varios vectores, trazamos los vectores uno a continuación de otro. La resultante será el vector que une el origen del primero con el extremo del último vector.

Analíticamente

o Ley de cosenos.| R⃗ | = | A⃗ + B⃗ | = √A2+B2+2 ABcosθ θ: ángulo que forman los dos

vectores con el mismo origen.

o Ley de senos.R

sen∝ = B

sen β = Asen∅

PROPIEDADESo Conmutativa: A⃗ + B⃗ = B⃗ + A⃗o Asociativa: A⃗ + B⃗+ C⃗ = ( A⃗ + B⃗ )+ C⃗ = A⃗ +( B⃗+ C⃗)= ( A⃗ + C⃗)+ B⃗

o Si θ = π/2, | R⃗ | = | A⃗ + B⃗ | =√ A2+B2. tan α = BA

b. DIFERENCIA DE VECTORES.

Gráficamente:o Colocar uno a continuación del opuesto del otro conservando su magnitud, y

dirección (sentido opuesto). La resultante o suma es el vector que une el inicio del primero con el extremo del opuesto del segundo.

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o Ley del Paralelogramo: Hacer coincidir el origen de dos vectores y construir un paralelogramo de lados iguales a los vectores. La diferencia será el vector diagonal del paralelogramo cuyo origen es el extremo del segundo con el extremo del primer vector.

o Para encontrar la diferencia de varios vectores, restamos dos de ellos y luego esta diferencia con el tercer vector y así sucesivamente hasta el último vector.

Analíticamente

o Ley de cosenos. | D⃗ | = | A⃗ - B⃗ | = √A2+B2−2 ABcosθ θ: ángulo que forman los dos

vectores con el mismo origen.o Ley de senos.

Rsenθ =

Bsen α =

Asen∅

PROPIEDADES

o Anticonmutativa: A⃗ - B⃗ ≠ B⃗ - A⃗o Asociativa: A⃗ - B⃗ - C⃗ = ( A⃗ - B⃗) - C⃗ o A⃗ + B⃗ = O⃗, A⃗ = - B⃗ , es decir son inversos

c. MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Sea λ, β un escalar Є R . y A⃗, B⃗, C⃗ vectores.

λ > 0,entonces, λ A⃗ conserva su dirección y sentido.λ A⃗

λ < 0,entonces, λ A⃗ conserva su dirección y tiene sentido opuesto a A⃗.

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B⃗

y

x

Y

X

X

Y


PROPIEDADESo – λ A⃗ = - (λ A⃗) = λ(- A⃗)o – λ(- A⃗) = λ A⃗o λ A⃗ = A⃗λo (λ β) A⃗ = λ( β A⃗) = (λ A⃗) βo (λ + β) A⃗ = λ A⃗ + β A⃗o λ ( A⃗+B⃗ ) = λ A⃗ + λ B⃗

2.2 VECTOR UNITARIO µ⃗Aµ⃗A : vector unitario del vector Aµ⃗A = A⃗A / | A⃗A |; es el vector dividido entre su módulo.|µ⃗A | = 1

2.3 COMPONENTES DE UN VECTORSi A⃗ y B⃗ son dos vectores cualesquiera, y A⃗ + B⃗ = V⃗ , los vectores A⃗ y B son componentes del vector V⃗ .

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTORSon vectores perpendiculares entre sí cuya suma es el vector V⃗ .

V⃗ = V⃗ x + V⃗ y, donde:V⃗ x = Vcosα i: componente de V⃗

en la dirección X

V⃗ y = Vsenα j: componente de V⃗ en la dirección Y

V⃗ = V⃗ x i + V⃗ y, jVx = Vcosα: proyección de V⃗ en

la dirección X

Vy = Vsenα: proyección de V⃗ en la dirección Y

V⃗ = V⃗ x + V⃗ y + V⃗ z, donde:

V⃗ x = Vsenθcosφ i: componente de V⃗ en la dirección X

V⃗ y = Vsenθsenφ j: componente de V⃗ en la dirección Y

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Z

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Módulo de Aprendizaje FACULTAD DE INGENIERIA -Sistema de Unidades yDEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA Algebra Vectorial-V⃗ z = Vcosθ z: componente de V⃗ en

la dirección Z

V⃗ = V⃗ x i + V⃗ y, j + V⃗ z, k

Vx = Vsenθcosφ: proyección de V⃗ en la dirección X

Vy = Vsenθsenφ: proyección de V⃗ en la dirección Y

Vz = Vcosθ: proyección de V⃗ en la dirección Z

Además:cos2 α + cos2 β + cos2θ = 1

cos α = Vx / Vcos β = Vy / V….cosenos

directorescos θ = Vz / V

α, β, θ: ángulos de V⃗ con los ejes X,Y,Z.φ: ángulo del plano de V⃗ con el eje Y.

2.4 PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERNO:

A⃗ . B⃗

Dados los vectores A⃗ y B⃗:

A⃗ . B⃗ = AB cos θ El resultado del producto escalar es un escalar y θ es el ángulo entre los dos vectores con el mismo origen.

PROPIEDADES

o Si θ = π/2, A⃗ ┴ B⃗, entonces, A⃗ . B⃗ = 0o A⃗ . B⃗ = B⃗ . A⃗o A⃗ . (B⃗ + C⃗) = A⃗ . B⃗ + A⃗ . C⃗o m ( A⃗ . B⃗) = (m A⃗) . B⃗ = A⃗ . (mB⃗) =

( A⃗ . B⃗) mo Dados:

A⃗ = Ax i + Ay j + Az kB⃗ = Bx i + By j + Bz kA⃗ . B⃗ = Ax Bx + Ay By + Az Bz

o A⃗ . A⃗ = Ax2 + Ay2 + Az2 = | A⃗ |2

10

B⃗

A⃗


o Con respecto a los vectores unitariosi . i = j . j = k . k = 1i . j = j . k = i . k = 0

o Si A⃗ . B⃗ = 0 y ninguno de los vectores es nulo, entonces, A⃗ ┴ B⃗

2.5 PRODUCTO VECTORIAL, PRODUCTO ASPA PRODUCTO EXTERNO:

A⃗ x B⃗ = C⃗Dados los vectores A⃗ y B⃗:

| A⃗ x B⃗ |= AB sen θ

El resultado del producto vectorial es un vector y θ es el ángulo entre los dos vectores con el mismo origen.

PROPIEDADES

o Si θ = 0º ó θ = π, A⃗ // B⃗, entonces, A⃗ X B⃗ = O⃗o A⃗ X B⃗ = - B⃗ X A⃗o A⃗ X (B⃗ + C⃗) = A⃗ X B⃗ + A⃗ X C⃗o m ( A⃗ X B⃗) = (m A⃗) X B⃗ = A⃗ X (mB⃗) =

( A⃗ X B⃗) mo Dados:

A⃗ = Ax i + Ay j + Az kB⃗ = Bx i + By j + Bz kA⃗ X B⃗ = det(3x3)

o | A⃗ X B⃗| = Area del paralelogramo que forman A⃗ y B⃗o A⃗ X A⃗ = 0o Con respecto a los vectores unitarios, en un sistema derecho:

i . i = j . j = k . k = 0i x j = k, j x k = I, k x i = j

o Si A⃗ X B⃗ = 0 y ninguno de los vectores es nulo, entonces, A⃗ // B⃗

2.6 EJERCICIOS DE APLICACION

I. Convertir:1. 3.04 x 1016 ngr. a mgr.

3.04 x 1016 ngr = 3.04 x 1016 (10-9 gr) = 3.04 x 1016 (10-9 )(103 mgr)

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B⃗

A⃗


3.04 x 1016 ngr = 3.04 x 1010 mgr.

2. 253 nlit a mlit.253 nlit = 253(10-9) lit = 253(10-9) (103mlit) = 2.53x10-4mlit.

3. 563 µlit a cm3

563 µlit = 563(10-6) lit = 563(10-6) dm3 = 563(10-6) (103) cm3 = 5.63x10-1 cm3

563 µlit = 5.63(10-1) cm3

4. 26.36 Mhertz a Ehertz26.36 Mhertz = 26.36 (106) hertz = 26.36 (106) (10-18)Ehertz = 26.36 x10-12 Ehertz

5. 1.04 x 105 GPa. a nPa.1.04 x 105 GPa = 1.04 x 105 (109)Pa = 1.04 x (105)(109)(109)nPa=1.04 x 1023nPa

II. Resolver:

1. El consumo de gasolina en Europa se mide en litros cada 100 Km. ¿Cuál sería el consumo en estas unidades de un auto VW que rinde 45 millas por galón y el de un Rolls Roy que necesita 1 galón cada 7 millas?.

VW: 45mill/gal=45(1.61)Km/3.79lit =19.12Km/lit =0.0523lit/Km =5.23lit/100 KmRR: 1gal/7mill = 1(3.79)lit/7(1.61)Km = 0.34lit/Km = 34lit/100 Km.

2. Se sabe que la cantidad ke2/ hc es adimensional. Donde: k: constante numérica. [h]= ML2T -1; c: velocidad de la luz. ¿Cuáles son las dimensiones de e y cuáles las de e2/R si R es una longitud?.

a) [ke2/ hc] = 1[k] [e2]/ [h] [c] = 1[e2] = [h] [c]/ [k][e2] = ML2T -1LT-1/ 1[e2] = ML3T -2

[e] = M1/2 L3/2T -1

b). [e2/R] = ML3T -2/ L[e2/R] = ML2T -2

3. Una estrella de neutrones tiene 10 Km. de radio y 4 x 1030 Kg. de masa. Hallar su densidad en picogramos / decilitros y Hectogramos/ mm3.a). ρ = m/v

v = 4 π R3

3 = 4 π (10 x103 m )3

3 = 4 π (10)3 x 109

3v = 4. 19x1012m3

ρ = m/v = 4 x 1030 Kg/ 4.19x1012m3 = 4 x 1030 x 103 gr/ 4.19x1012m3

ρ = 9.55 x 1020 gr/m3 = 9.55 x 1020x 1012/ 103 pgr/dm3 = 9.55 x 1029pgr/litρ = 9.55 x 1029/10 pgr/dlit = 9.55 x 1028 pgr/dlit

12


b). ρ = 9.55 x 1020 gr/m3= 9.55 x 1023(10-2)Hgr/(103)3mm3

ρ = 9.55 x 1012 Hgr/mm3

4. Hallar las dimensiones de E = m v3

2 πrA

[E] = [m ][v3 ][r ][ A]

= M (¿−1)3

L L2 = MT-3

5. Hallar las dimensiones de P, si P2 =P3Qsen 35W sen30

ZV, siendo Q:fuerza, W:trabajo,

Z:aceleración, V:volumen.

P = ZV

Qsen35 W sen30

[P] = [Z ][V ][Q ][W ]

= ¿−2 L3

F (FL)1 /2 = F-3/2L7/2T-2

6. Los vectores A⃗ = 3i +5j – k y B⃗ = -j +3k tienen el mismo origen. Hallar la altura del triángulo y el área que determinan estos vectores con otro que une los extremos de A⃗ y B⃗.

7. La velocidad de un aeroplano en aire tranquilo es de 200 mill/hora. Se desea ir de O a O’ siendo OO’N20ºW. El viento tiene una velocidad de 30 mill/hora en dirección N40ºE. Encontrar la dirección del movimiento del avión y su velocidad resultante.

8. Un buque se desplaza a velocidad 20m/seg. y divisa un blanco en una dirección que hace 37º con la velocidad del buque para el cual dispara un proyectil a velocidad 24

13

4020

Vv

VaO’

OW

S

E

N

X Y

θ

h B⃗

A⃗

O

Y

Z

Si: | A⃗ x B⃗ |= AB sen θ, entonces: Asenθ = | A⃗ X B⃗| / B En la figura: h = Asenθ, luego, h = | A⃗ X B⃗| / B

Donde: A⃗ X B⃗ = 14i - 9j –3k y | A⃗ X B⃗| = √256 = 16.91

B=√12+32 =√10h = | A⃗ X B⃗| / B = 16.91/√10 = 5.35 unid.

Area = ½ ¿⃗ A X B⃗∨¿=¿¿8.46 unid2

Vvsen∝ =

Vasen60 =

VRsenβ ;

30sen∝ =

200sen60 =

VRsenβDe aquí: α = 7.46º, luego θ= 67.46º

VR 2= Va2+ Vv

2+2VaVvcosθVR 2= 2002+ 302+2(200)(30)cos67.46


m/seg. respecto al buque. Calcule el ángulo que debe hacer la dirección del disparo con la velocidad del buque.

9. La resultante máxima de dos vectores es 10 unidades y su resultante cuando forman 120º es 5 unidades. Hallar el producto de las magnitudes de las vectores.

¿ A⃗+ B⃗∨¿¿max = A2+ B2+2ABcos0 = 10¿ A⃗+ B⃗∨¿¿ = A2+ B2+2ABcos120 = 5

A2+ B2+2AB = 10A2+ B2-AB = 5

10. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P(1,2,3); Q(-1,3,5); R(2,5,8).

11. Encontrar la distancia perpendicular de un punto A(3,1,-1) a la recta que pasa por los puntos B(2,3,0) y C(-1,2,4).

III. Sean los vectores: S⃗ = 3i-6j+8k; T⃗= -i+4j-2k; U⃗ = 2i+4j-k, hallar:1. El ángulo entre los vectores S⃗ y T⃗ .

S⃗ . T⃗ = STcosθ; cosθ=¿ . T⃗ ¿/ST = -43/(√109)(√21)= -0.8987; θ=154º; θ=2062. El ángulo entre los vectores U⃗ y S⃗.

U⃗ . S⃗ = UScosθ; cosθ=¿ . S⃗¿/US = -26/(√109)(√21)= -0.5434; θ=123º; θ=2373. El ángulo entre los vectores T⃗ y U⃗ .

T⃗ . U⃗ = TUcosθ; cosθ=¿ . U⃗ ¿/TU = 16/(√21)(√21)= 0.7619; θ=40.37º; θ=319.634. (S⃗.T⃗ ) (U⃗XT⃗ ) 5. S⃗ . T⃗ = -43 ; U⃗XT⃗ = (-4,5,12) entonces: (S⃗.T⃗ ) (U⃗XT⃗ )= (172, 215, 516)6. -3 T⃗ + 2S⃗ + 5U⃗

-3T⃗ = -3(-1,4,-2) = (3,-12,6)2S⃗ = 2(3,-6,8) = (6,-12,16)

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d

A

R

Q

P

Vb

VdVm

α=?37

Vmsenθ =

Vdsen37 =

Vbsenβ ;

Vmsenθ =

24sen37 =

20senβ

24sen37 =

20senβ ; β= 30º; θ= 113º; α=67º

Restando estas ecuaciones:3AB=5AB = 3/5

PQ= Q-P = (-1,3,5) - (1,2,3) = (-2,1,2)PR= R-P = (2,5,8) - (1,2,3) = (1,3,5)Area = ½ ¿⃗ A X B⃗∨¿¿= Area = ½ ¿−i+12 j−7k∨¿ = 6.96 unid2

B

C

CA = A-C= (3,1,-1)- (-1,2,4) = (4,-1,-5)CB = B-C= (2,3,0)- (-1,2,4) = (3,1,-4)d = |C⃗A X C⃗B| / CBC⃗A X C⃗B = (9,1,7)|C⃗A X C⃗B| = 11.45 y |C⃗B| = 5.10; h=2.25 unid.


5U⃗ = 5(2,4,-1) =(10,20,-5)-3 T⃗ + 2S⃗ + 5U⃗ = (19,-4, 17)

2.7 PRACTICA DOMICILIARIA

1. Hallar las ecuaciones dimensionales de cada una de las siguientes cantidades físicas.a. Fuerza centrípeta: F = mv2/R; m: masa, v: velocidad, R radio de curvatura.

(R:MLT-2)b. Peso específico: γ = W/V; W: peso, V: volumen.(R:FL-3)

2. Si: x = at/v, halle x, sabiendo que a: aceleración, t: tiempo, v: volumen.(R: L-2T-1)3. En la siguiente ecuación ¿qué magnitud puede representar Y?. Se sabe que P:

presión, A: área, m: masa. Y = (π P A) / (m senα). (R: LT-2)4. Se tiene la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea: V = (a/t3) + (h + b)/c,

donde V : volumen, h: altura, t: tiempo, hallar [b/ ac]. (R: T-3)5. Si W = xyv / (dy + senA), donde W: trabajo, d: desplazamiento, v: velocidad, hallar

la ecuación dimensional de x. .(R:FLT)6. Determine las dimensiones que deben tener A y B en la siguiente ecuación

homogénea 10VP = mA + aB, donde V: volumen, P: peso, m: masa, a: aceleración. (R:A=L4T-2; B=FL2T2)

7. Comprobar que: v = W ¿¿ , donde: v: velocidad, W: peso, k: factor del resorte (FTL -

1), m: masa, t: tiempo.8. El tiempo que demora un péndulo simple en efectuar una oscilación (periodo: P)

depende de la longitud L y de la aceleración de la gravedad g. Encuentre la relación entre el periodo P, L y g mediante el análisis dimensional.

9. La rapidez v de una onda en una cuerda depende de la tensión F de la cuerda y de la masa por unidad de longitud m/l de la cuerda. Si se sabe que [F] = MLT -2 encuentre las constantes a y b en la ecuación siguiente que representa la velocidad de la onda en la cuerda. v = k Fa(m/l)b.

10. La frecuencia de vibración f de una masa m fija al extremo de un resorte de constante k esta relacionando a m y k como f = cte makb. Hallar a y b.

11. Exprese cada una de las siguientes cantidades en notación científica:a) 627,4b) 0,000365c) 20 001d) 1,0067e) 0,0067

12. Evalúe cada una de las siguientes cantidades:a) (6,2x10-3 ) (5x105)b) (8,7x104 ) / (9,3x106)c) (931x10-3 ) / (8x10-4)d) (2x10-3 )4

e) (3,017x10-3 )1/2

f) (6,6x10-34 ) (3x108) / (438x10-9)

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ANEXOSTabla 1. Unidades métricas y anglosajonas: factores de conversión

Longitudpulgadas a milímetros 25,4 milímetros a pulgadas 0,0393701pies a metros 0,3048 metros a pies 3,28084yardas a metros 0,9144 metros a yardas 1,09361estadios a kilómetros 0,201168 kilómetros a estadios 4,97097millas a kilómetros 1,609344 kilómetros a millas 0,621371

Superficiepulgadas cuadradas a centímetros cuadrados

6,4516 centímetros cuadrados a pulgadas cuadradas

0,155

pies cuadrados a metros cuadrados 0,092903 metros cuadrados a pies cuadrados 10,7639yardas cuadradas a metros cuadrados 0,836127 metros cuadrados a yardas cuadradas 1,19599millas cuadradas a kilómetros cuadrados 2,589988 kilómetros cuadrados a millas

cuadradas0,386102

acres a metros cuadrados 4.046,856422 metros cuadrados a acres 0,000247acres a hectáreas 0,404866 hectáreas a acres 2,469955

Volumen/Capacidadpulgadas cúbicas a centímetros cúbicos 16,387064 centímetros cúbicos a pulgadas cúbicas 0,061024pies cúbicos a metros cúbicos 0,028317 metros cúbicos a pies cúbicos 35,3147yardas cúbicas a metros cúbicos 0,764555 metros cúbicos a yardas cúbicas 1,30795millas cúbicas a kilómetros cúbicos 4,1682 kilómetros cúbicos a millas cúbicas 0,239912onzas líquidas (UK) a mililitros 28,413063 mililitros a onzas líquidas (UK) 0,035195onzas líquidas (US) a mililitros 29,5735 mililitros a onzas líquidas (US) 0,033814galones (UK) a litros 4,54609 litros a galones (UK) 0,219969galones (US) a litros 3,785412 litros a galones (US) 0,264172pintas (UK) a litros 0,568261 litros a pintas (UK) 1,759754pintas (US) a litros 0,473176 litros a pintas (US) 2,113377cuartos de galón (UK) a litros 1,136523 litros a cuartos de galón (UK) 0,879877cuartos de galón (US) a litros 0,946353 litros a cuartos de galón (US) 1,056688

Masa

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Módulo de Aprendizaje FACULTAD DE INGENIERIA -Sistema de Unidades yDEPARTAMENTO ACADEMICO DE FISICA Algebra Vectorial-onzas a gramos 28,349523 gramos a onzas 0,035274libras a kilogramos 0,453592 kilogramos a libras 2,20462toneladas (UK) a kilogramos 1.016,046909 kilogramos a toneladas (UK) 0,000984toneladas (US) a kilogramos 907,18474 kilogramos a toneladas (US) 0,001102toneladas (UK) a toneladas (métricas) 1,016047 toneladas (métricas) a toneladas (UK) 0,984207toneladas (US) a toneladas (métricas) 0,907185 toneladas (métricas) a toneladas (US) 1,10231

Velocidadmillas por hora a kilómetros por hora 1,609344 kilómetros por hora a millas por hora 0,621371pies por segundo a metros por segundo 0,3048 metros por segundo a pies por segundo 3,28084

Fuerzalibras-fuerza a newtons 4,44822 newtons a libras-fuerza 0,224809kilogramos-fuerza a newtons 9,80665 newtons a kilogramos-fuerza 0,101972

Presiónlibras-fuerza por pulgada cuadrada a kilopascales

6,89476 kilopascales a libras-fuerza por pulgada cuadrada

0,145038

toneladas-fuerza por pulgada cuadrada (UK) a megapascales

15,4443 megapascales a toneladas-fuerza por pulgada cuadrada (UK)

0,064779

atmósferas a newtons por centímetro cuadrado

10,1325 newtons por centímetro cuadrado a atmósferas

0,098692

atmósferas a libras-fuerza por pulgada cuadrada

14,695942 libras-fuerza por pulgada cuadrada a atmósferas

0,068948

Energíacalorías a julios 4,1868 julios a calorías 0,238846vatios-hora a julios 3,600 julios a vatios-hora 0,000278

Potenciacaballos de vapor a kilovatios 0,7457 kilovatios a caballos de vapor 1,34102

17


PRACTICAS DE LABORATORIO

MEDICION Y CÁLCULO DE ERRORESI. OBJETIVOS.

1. Efectuar mediciones directas de longitud tiempo y masa.2. Calcular los diferentes tipos de error en las mediciones directas realizadas.3. Determinar las diferentes tipos de incertidumbre de las mediciones directas

realizadas.

II. FUNDAMENTO TEORICO

1. MEDICION. Medir es obtener un número que exprese la relación entre la magnitud a determinar y la unidad de medida correspondiente a esa magnitud. Así, al medir establecemos cuantas veces la magnitud A medida contiene a la unidad u.

A = X uMedir es una acción aparentemente sencilla que todos de alguna manera la practicamos. Las mediciones son sencillas en cuanto el manejo de los instrumentos de medición también lo son (peso, masa tiempo, longitud), sin embargo existen mediciones que requieren del ingenio y destreza en el manejo de dispositivos e instrumentos más complicados (ángulos, caudal, viscosidad, etc.)

Los tipos de medición son los siguientes:

Medición Directa.- es la que se obtiene por observación al hacer uso de instrumentos de medida.

Medición Indirecta.- se obtiene como resultado de la aplicación de fórmulas o ecuaciones matemáticas sobre una serie de observaciones o medidas directas.

El objetivo es determinar el valor real o verdadero x, que como su nombre lo indica, posee la magnitud en forma exacta o real, perfectamente definida y que no tiene ninguna clase de errores, aunque en la práctica esto no es posible, por muy buenos y precisos que sean los instrumentos de medida.

2. PROCESO DE MEDICION Para realizar una medición, pueden identificarse los siguientes componentes durante el proceso.

a. Objeto de medición. La magnitud u objeto que se va a medir.b. Sujeto de medición. Persona quien realiza la medición.c. Instrumento de medición. Patrón con el cual se comparará el suceso el cual

posee un grado de precisión.d. Factores externos. Influyentes en el instrumento y objeto de medición.

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e. Operaciones. Realizadas por el sujeto para interactuar con el objeto de medición y el instrumento de medición.

f. Resultado de medición. Reporte del sujeto respecto a la medición.

3. ERRORES DE MEDICION. El error experimental es inherente al proceso de medición, su valor solamente se puede estimar ya que los resultados de la medición se ven afectados debido a la acción e interacción de gran cantidad de factores que influyen en uno u otro grado sobre ésta. Sin embargo, es posible establecer los límites dentro de los cuales se encuentra el valor de la magnitud medida.

a. Error absoluto (e). Está definido como la diferencia entre el valor verdadero (Xv) de una magnitud y el valor medido por el sujeto (X).

e =| Xv-X|b. Error relativo (er). Se define como el cociente entre el error absoluto y el

valor verdadero de la magnitud. er = |e/Xv |

c. Error porcentual (e%). Es el error relativo expresado en porcentaje. e% =er x 100

4. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL Siempre que realicemos una medición de alguna magnitud física estamos expuestos a cometer errores, por tanto, nunca sabremos el valor verdadero de lo medido. Esto se debe a que los instrumentos de medida empleados no alcanzan una precisión perfecta y además la agudeza sensorial de quien efectúa la medición es limitada.La incertidumbre viene a ser la determinación del valor posible que puede tener el error experimental y permite calcular el intervalo dentro del cual se está seguro de capturar el valor verdadero de la medición.

a. Incertidumbre Absoluta (I) Representa los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro se encuentra el valor verdadero.

I = |Xmax – X min|b. Incertidumbre Relativa (Ir) Se define como el cociente entre la

incertidumbre absoluta y el valor verdadero de la magnitud.Ir = I / Xv

c. Incertidumbre Porcentual (I%) Es la incertidumbre relativa expresada en porcentaje.

I% =Ir x 100

III. METODOLOGIA Y PROCEDIMIENTO

3.1 MATERIAL Y EQUIPO

Wincha (precisión 0.001m) Balanza (precisión 0.05 gr.) 05 objetos de base circular. 05 masas conocidas.

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Un cronómetro (precisión 0.01 seg) 02 tubos de vidrio. 01 canica de cristal. Una cuña Un plumón

3.2. PROCEDIMIENTO

1. Con la wincha, determinar la longitud del diámetro y la longitud de circunferencia de los objetos de base circular. Repetir las mediciones por 10 veces para cada objeto. Expresar los resultados en la tabla nº 1.

2. En la balanza, determinar las diferentes masas, repitiendo el proceso por 10 veces para cada una. Anotar los resultados en la tabla nº 2.

3. Unir los extremos de los dos tubos de cristal en forma paralela con cinta adhesiva y colocarlos sobre la cuña de manera que se encuentren inclinados.

4. Señalar un punto de origen en los tubos y un punto a 50 cm del mismo.5. A partir del punto de origen hacer recorrer a la canica los 50 cm determinando el

tiempo que le toma este recorrido. Repetir el procedimiento por 10 veces. Anotar los resultados en la tabla nº 3.

IV. PRESENTACION Y ANALISIS DE RESULTADOS

Tabla nº 1: Diámetro y longitud de circunferencia de objetos de base circular

Nº Diámetro (cm) Longitud de circunferencia (cm)

12345...

Tabla nº 2: Masa de objetos Nº Masa registrada(gr) Masa medida (gr)12345…

Tabla nº 3: Tiempo de recorrido Nº Tiempo medido

(seg)Tiempo promedio

(seg)1234

20


5…

Tabla nº 4: Cálculo de error de medida del diámetro de circunferencia de objetos de base circular

Nº Diámetro medido (cm)

Valor verdadero diámetro (cm)

Error absoluto (cm)

Error relativo

Error porcentual

12345…

Tabla nº 5: Cálculo de error de medida de masaNº Masa medida

(gr)Valor verdadero masa (gr)

Error absoluto (gr)

Error relativo

Error porcentual

12345…

Tabla nº 6: Cálculo de error de medida de tiempoNº Tiempo

medido (seg)Valor verdadero tiempo (seg)

Error absoluto (seg)

Error relativo

Error porcentual

12345…

Tabla nº 7: Cálculo de incertidumbre de medida del diámetro de circunferencia de objetos de base circular

Nº Diámetro medido (cm)

Valor verdadero diámetro (cm)

Incertidumbre absoluta (cm)

Incertidumbre relativa

Incertidumbre porcentual

12345

Tabla nº 8: Cálculo de incertidumbre de medida de masaNº Masa medida

(gr)Valor verdadero

masa (gr)Incertidumbre absoluta (gr)



1

21


2345

Tabla nº 9: Cálculo de incertidumbre de medida de tiempoNº Tiempo

medido (seg)Valor verdadero

tiempo (seg)Incertidumbre absoluta (seg)



12345

CONCLUSIONESRECOMENDACIONESBIBLIOGRAFIA

ECUACIONES EMPIRICAS

I. OBJETIVOEncontrar una ecuación empírica para el péndulo bifilar que relacione los valores experimentales de tres magnitudes variables: periodo T, y las longitudes l y s

II. FUNDAMENTO TEORICO.

En el estudio matemático de una experiencia, se encuentra con frecuencia, juegos de valores correspondientes a dos cantidades variables: la causa y el efecto. Estas cantidades pueden o no seguir una ley.En el primer caso, es posible expresar esta relación mediante una ley matemática o ecuación empírica obtenida en base a datos experimentales. En el segundo caso, el azar y la casualidad será su ley.Una Ecuación Empírica será entonces una expresión matemática obtenida a partir de un conjunto de pares de valores experimentales y que nos permiten calcular, aproximadamente, el valor de una de las variables que no se conocía dando un valor determinado a la otra variable.Para determinar una fórmula que sea la expresión de la ley física que gobierna el experimento, se parte de los datos obtenidos al efectuar dicha experiencia y se procede siguiendo en orden, las cuatro etapas que se proponen a continuación.

Gráfica de los Pares de Valores Numéricos. En un papel milimetrado se toman un par de ejes coordenados correspondientes al eje de abscisas y eje de ordenadas.El eje de las abscisas se designa para las variables independientes, es decir, el valor de aquel fenómeno que variamos a voluntad durante la experiencia. El eje de las ordenadas para las variables dependientes, es decir los valores que obtenemos como consecuencia de los cambios en el parámetro anterior.

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oo

Y=mX+b

X

Y Y

X


En algunos casos en necesario utilizar escalas diferentes para cada eje, a fin de observar mejor la gráfica que se genere.Una vez elegida la o las escalas, se procede a graficar los puntos correspondientes para cada par de valores y luego se traza una curva continua que comprenda o afecte al mayor número de puntos o pase muy cerca de ellos. Si existieran puntos demasiado alejados de la curva es muy posible que ello se deba a una equivocación por parte del experimentador.

Comparación con las Curvas Tipo. La siguiente etapa consiste en comparar con la curva tipo que tiene mayor semejanza para elegir la ley que debe probarse.Existen muchas leyes con dos variables y dos constantes por determinar. Las de uso común en ingeniería son:

Ley de la Línea Recta: Si los puntos graficados se encuentran sobre una línea recta, entonces la ecuación empírica buscada tiene por ecuación:

Y = mX + b …….(1)Donde:

b: Término independiente (intersección con el eje Y)m: Pendiente de la recta……. (Fig. 1)

o Ley de la Curva de Potencias: Si los puntos graficados muestran una curva semejante a una de las de la fig. 2, la ecuación de la curva buscada es de la forma:

Y = a Xm ……….(2)Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecución (2) y haciendo luego las sustituciones X’ = log X, a’ = log a , Y’ = log Y, obtenemos:

Y’ = mX’ + a’ que es la ecuación de una línea recta.

Prueba de la Ley Escogida.

Una de las aplicaciones del péndulo simple, es el cálculo de la aceleración de la gravedad en los diferentes puntos de la tierra, para lo cual es necesario conocer el periodo de oscilación de éste, y si:

23


P = 2π √ lg

donde:

P: Periodo de oscilación del péndulo. ( T)l : Longitud del péndulo. ( L )g: Aceleración de la gravedad (LT-2).

Determinando el periodo, podremos conocer experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad.

III. METODOLOGIA Y PROCEDIMIENTO

3.1 MATERIAL Y EQUIPO1. Soporte universal.2. Hilo de masa despreciable de 150 cm.3. Esfera.4. Cronómetro.

3.2. PROCEDIMIENTO.1. Construir un péndulo simple y ajustarlo a una longitud de 50 cm. hasta 120 cm.2. Para oscilaciones de pequeña amplitud, mida el periodo de oscilación tomando el

tiempo de cinco oscilaciones completas. Repita cinco veces.3. Repita el paso anterior para cinco valores de longitud del péndulo.

IV. PRESENTACION Y ANALISIS DE RESULTADOS

N Lcm.

P (seg / n oscilaciones)P1 P2 P3 P4 P5

12345

507090

110120

Puede tenerse en cuenta: En un papel milimetrado, a una escala apropiada, grafique P vs. LGrafique P2 vs. L y calcule g a partir de ella.Determinar la longitud del péndulo que bate el segundo usando la gráfica P2 vs. L.Determine el periodo del péndulo que bate el segundo con L anterior en P vs L.Compare los resultados de (3) y (4).

CONCLUSIONES RECOMENDACIONES. BIBLIOGRAFIA.ANEXOS.

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Bibliografía del módulo Sears Zemansky, Young Freedman. FISICA UNIVERSITARIA Vol. 1 y 2 Novena

Edición, México. 1999. Renisck, Holliday, Krame. FISICA. . Edit. CECSA 1987. Leyva Humberto. FISICA I –. Edit. PUBLICACIONES MOSHERA. 1995 Raymond Serway y Jonh Jewett Jr FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA,

Vol. I y II..; Sexta Edición. Editorial Thomson S.A. México. 2005. Alonso M.,Finn E. FISICA. Vol I y II, Edit. FONDO EDUCATIVO

INTERAMERICANO – 1980. Bueche Frederick. FISICA PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS DE

INGENIERIA –– Edit. Mc. Graw Hill (Cuarta Edición) México 1990. Guías de Prácticas de Laboratorio de Física UNC.2011.

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