Algebra vectorial
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Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL
Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.
Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector.Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
A
'Aa
dirección
sentido
módulo
Álgebra vectorial1.1.
A
'Aa
dirección
sentido
módulo
Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado caracterizado por:• Un origen o punto de aplicación. Punto A.• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El
módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.
a ó a
aa ó
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Álgebra vectorial1.1.
Suma de vectores.
a
b cd
cbad
a
b
c
Regla del polígono
Regla del paralelogramo
bac
a
b
a
b
c
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos. a
a
Diferencia de vectores.
bacbac
b
a
a
b
c
b
Producto de un vector por un escalar.
aa
0
1
a0
1
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
000 :nulo elemento vii) : vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi) :escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)
:producto el para asociativa v) es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)
0 :suma la para neutro elemento iii) :suma la para aconmutativ ii)
:suma la para asociativa i)
ababaaaa
aaababbaba
aaabba
cbacba
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
aaua
Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección de será:a
Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un vector unitario en dicho sentido.
Proyección de un vector sobre un eje.
eu
a
aPe
coscos aaaPe
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Álgebra vectorial1.1.
Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen del triedro.
X
Y
Z
pulgar
índice
corazón
Levógiro (mano izquierda)
Y
X
Z
pulgar
corazón
índice
Dextrógiro (mano derecha)
i
jk
dextrógiroTriedro cartesiano
kji
, ,vectores unitarios:
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Coordenadas cartesianas
Y
X
Z
yx
z
zyxP ,, zrP ,,
Y
X
Z
r
z
Coordenadas cilíndricas
,,P
Y
X
Z
Coordenadas esféricas
Álgebra vectorial1.1.
Sistemas de coordenadas.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
xa Y
X
Z
a
ya
za a
Y
X
Z
xk
j yz
i
zyx aaaa
kaa
jaaiaa
zz
yy
xx
zZz
yYy
xXx
aaPa
aaPaaaPa
cos
coscos
Componentes cartesianas Cosenos directores
aa
aaaa
zz
yy
xx
/cos
/cos/cos
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Componentes cartesianas.
zzyyxx aaaaaa cos cos cos
kaajaaiaa zzyyxx
zyx aaaa kajaia zyx
kjia zyx
coscoscos
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kjiaau zyxa
coscoscos
),,( zyxzyx aaaaaaa
Álgebra vectorial1.1.
Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
kbajbaibaba zzyyxx
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kbajbaibababa zzyyxx
)(
Producto escalar de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
cosb
ab
cosabba
Propiedades.
kaajaaiaauaaP
aaaa
ikkjjikkjjii
bababa
baba
bcacbac
abba
zyxee
, , ia,consecuencEn . vii)
vi)
0 ,1 v)
0y 0, si iv)
:escalares a respecto asociativa iii)
:vadistributi ii)
:aconmutativ i)
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto escalar de dos vectores.
a
cosb
b
cosabba
Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.
zzyyxx babababa
Ángulo que forman dos vectores.
abbababa
abba zzyyxx
cos
Álgebra vectorial1.1.Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
ab
bac
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer
girar
• Módulo dado por
ba y
ba sobre
senabbac
Propiedades.
bababa
bcacbacbababa
cbacbaabba
|| 0y 0, Si v) :suma la a respecto vodistributi iv)
:escalarun por producto el para asociativo iii) :asociativo-no ii)
:ativoanticonmut i)
c
Producto vectorial de dos vectores.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto vectorial de dos vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.
kbabajbabaibababbbaaakji
ba zyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
Y
X
Z
ab
bac
• Vector perpendicular al plano determinado por .
• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer
girar
• Módulo dado por
ba y
ba sobre
senabbac
c
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Producto mixto de tres vectores.
Álgebra vectorial1.1.
Y
X
Z
a
b
c
ba
cosabcsenbac
Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores
Propiedades.
acbbaccba
:cíclica i)
Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.
zzyyxyzxxzxyzzy
zyx
zyx
zyx
cbabacbabacbababbbaaaccc
bac
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Momento de un vector con respecto a un punto.
r a
d
OM
OP
araMO
adarMO sen
El momento de un vector con respecto a un punto no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte.
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Álgebra vectorial1.1.
ja
límialím yx
00
Cálculo vectorial1.2.
Función vectorial con respecto a un escalar.
1a
2a
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kajaiaaa zyx
12 aaa a
aaa
2
1
12
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
a
a
a
a
dad
dad
dad
dad
aalímalímdad
00
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
aaa
aaa
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.
j
dda
iddaj
alímialím
jaa
límiaalím
aalímalímdad
yxyx
yyxx
00
00
00
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.
dtad
dtad
dtad
kdttdaj
dttda
idttda
talím
dttad zyx
t
0
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
kdttdaj
dttda
idttda
talím
dttad zyx
t
0
Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Propiedades.
dbdab
dadba
dd
dbdab
dadba
dd
ddfa
dadfaf
dd
dλbd
dλadλbλa
dλd
:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)
:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)
:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)
: vectoresde suma la de Derivada i)
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Cálculo vectorial1.2.
Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Algunas consecuencias.
auaa
Si iii)
|| Si ii)
general,En i)
aa
aaa
aa
udad
duda
dadctea
udadu
dda
dadcteu
dudau
dda
dad
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Cálculo vectorial1.2.
Integral de una función vectorial.
2
112
/ , Dadas
dbaa
cdbab
dadba
Propiedades.
1
2
2
1
2
1
2
1
v)
:y Si iv)
:, Si iii)
: Si ii)
:y Si i)
21
dada
dd
dada
dadacte
dadada
dakdakctek
dbdadbabbaa
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
Cálculo vectorial1.2.
Integral en función de las componentes cartesianas.
kajaiaa zyx
kdajdaidada zyx
Integral de una función vectorial.
2
112
/ , Dadas
dbaa
cdbab
dadba
Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.