Algebra Linear

Matemtica I - 1a

Parte: lgebraLinear

Ana Rita Martins

lgebra Matricial

Sistemas deEquaes Lineares

Mtodo deEliminao deGauss

Algoritmo deinverso dematrizes

Espaos Lineares

Valores e Vectoresprprios de umamatriz

Matemtica I - 1a Parte: lgebra Linear

Ana Rita Martins

Catlica Lisbon

1o Semestre 2012/2013

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lgebra Matricial




Espaos Lineares


Matrizes: Motivao

comum o recurso a tabelas para organizar informao diversa. Noentanto, estes objectos no so, em geral, manipulveis".

Para ultrapassar esta limitao" usual recorrer s chamadas ma-trizes.

As matrizes no s permitem uma simplificao no tratamento dosdados includos em tabelas, como as regras algbricas para a manipulaode matrizes so semelhantes s regras de manipulao de nmeros reais.

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Matrizes

Definio

Uma matriz uma entidade matemtica representada por umatabela rectangular de nmeros.

Mais precisamente, dados n,m N chama-se matriz de tipo (oudimenso) m n a uma tabela rectangular de nm nmeros reaisdistribudos por m-linhas e n-colunas preenchidas por nmeros reais:

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...am1 am2 amn

(aij R, para todo o i = 1, ,m e j = 1, , n).

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Exemplo

Consideremos uma cadeia de lojas constituda por 3 lojas L1, L2,L3, cada uma vendendo 10 produtos diferentes P1, ...,P10, e denotemospor vij o valor (em euros) das vendas do produto Pi na loja Lj num certoms do ano.

Ento uma maneira simples e adequada de organizar estainformao ser atravs da seguinte matriz do tipo 10 3:

v11 v12 v13v21 v22 v23...

......

v10 1 v10 2 v10 3

Desta forma, por exemplo, se v92 = 575 significa que o valor dasvendas do produto P9 na Loja L2 correspondeu a 575 euros no ms emquesto.

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Representao de Matrizes

usual recorrer a letras maisculas (A,B,C,X, Y, ) para repre-sentar matrizes.

No caso de se pretender explicitar as entradas de uma matriz A dotipo m n, tambm usual representar A da forma:

A = [aij]i=1,...,m,j=1,...,n,

ou simplesmente,A = [aij],

quando est definida partida a dimenso da matriz.Para evidenciar o tipo m n de uma matriz A, tambm costume

escrever Amn.

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Matrizes: Notao

As matrizes m 1 chamam-se matrizes colunaa11...

an1

As matrizes 1 n chamam-se matrizes linha[a11 . . . a1n

]As matrizes n n chamam-se matrizes quadradas

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

As matrizes m n com m 6= n chamam-se matrizes rectangulares.

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Matrizes Quadradas

Definio

Dada uma matriz quadrada A = [aij] do tipo n n* chama-sediagonal principal de A s entradas a11, a22, , ann:

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

e diz-se que:

A triangular superior se aij = 0 para i > j.Por exemplo, para n = 3, so da forma:

a11 a12 a130 a22 a230 0 a33

*Tambm costume dizer apenas que A uma matriz quadrada de ordem n.

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Matrizes Quadradas

Definio

A triangular inferior se aij = 0 para i < j.Por exemplo, para n = 3, so da forma: :

a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33

A diagonal, se for simultaneamente trangular superior e inferior,isto , se aij = 0, para i 6= j.Por exemplo, se n = 3, so da forma:

a11 0 00 a22 00 0 a33

Se, alm disso, todos os elementos da diagonal forem iguais, entoa matriz tambm se diz uma matriz escalar.

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Matrizes: Notao

Chamamos matriz identidade de dimenso n, denotada por In, matriz quadrada n n com diagonal principal constituda por 1s erestantes entradas nulas. Por exemplo,

I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Chamamos matriz nula de dimenso m n, e representamos por0mn, a matriz m n com entradas todas nulas. Por exemplo,

023 =

[0 0 00 0 0

].

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Igualdade de Matrizes

Dadas matrizes A = [aij] do tipo m n e B = [bkl] do tipo m n, temos:

A = B

m = m

n = n

aij = bij, i = 1, ...,m, j = 1, ..., n

Por exemplo, dados x, y, z R temos:

[1 2x

3y + 1 z

]=

[3x 2 25z 0

]

1 = 3x 2

2x = 2

3y + 1 = 5z

z = 0

x = 1

y = 13z = 0,

e acabmos de resolver uma equao matricial...

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Exemplo de motivao para operaes algbricasentre matrizes

Voltemos ao exemplo da rede de lojas constituda por 3 lojas L1,L2, L3, cada uma vendendo 10 produtos diferentes P1, ...,P10, cujosvalores das vendas em cada ms i representado pela matriz:

Ai =

vi11 vi12 v

i13

vi21 vi22 v

i23

......

...vi10 1 v

i10 2 v

i10 3

com i = 1, , 12.

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Exemplo de motivao para a aritmtica matricial

Consideremos ento os primeiros dois meses do ano, cujosresultados das vendas so representados respectivamente por

A1 =

v111 v112 v

113

v121 v122 v

123

......

...v110 1 v

110 2 v

110 3

e A2 =

v211 v212 v

213

v221 v222 v

223

......

...v210 1 v

210 2 v

210 3

Se pretendermos determinar, por exemplo, o valor total das vendasdo produto P1 na loja L1 nos dois primeiros meses do ano basta somar

v111 + v211

e podemos fazer o mesmo para cada loja e cada produto.

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Exemplo de motivao para algebra matricial

Desta forma, podemos considerar uma nova matriz:

v111 + v211 v

112 + v

212 v

113 + v

213

v121 + v221 v

122 + v

222 v

123 + v

223

......

...v110 1 + v

210 1 v

110 2 + v

210 2 v

110 3 + v

210 3

que representa a soma da matriz A1 pela matriz A2 e se denota porA1 + A2.

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Exemplo de motivao para algebra matricial

Imaginemos agora que os valores de venda descritos pelasmatrizes Ai incluem IVA e que o IVA a considerar 23% para todos osprodutos.

Para sabermos o total de IVA a pagar por cada venda no i-simoms do ano, basta multiplicar cada entrada da matriz Ai por 0, 23.Obtemos assim uma nova matriz que se representa por 0, 23Ai e estdefinida por:

0, 23Ai =

0, 23vi11 0, 23v

i12 0, 23v

i13

0, 23vi21 0, 23vi22 0, 23v

i23

......

...0, 23vi10 1 0, 23v

i10 2 0, 23v

i10 3

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Aritmtica Matricial

Soma

Dadas duas matrizes A = [aij] e B = [bij] do mesmo tipo m n,define-se a soma de A e B como sendo a matriz do tipo m nrepresentada por A + B = [cij] e cuja entrada (i, j) dada por

cij = aij + bij.

Produto Escalar

Sejam agora A = [aij] uma matriz do tipo m n e um nmero real.Define-se o produto escalar de por A como sendo a matriz do tipom n representada por A = [cij] e cuja entrada (i, j) dada por

cij = aij.

No caso em que = 1, representamos (1)A simplesmente por A,sendo esta ltima matriz o elemento simtrico de A para a operao desoma de matrizes.

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Aritmtica Matricial

Subtrao

Dadas duas matrizes A = [aij] e B = [bij] do mesmo tipo m n,define-se a subtrao de A e B como sendo a matriz A+ (1)B, isto , amatriz do tipo m n representada por A B = [cij] e cuja entrada (i, j) dada por

cij = aij bij.

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Aritmtica Matricial

Propriedades da soma de matrizes

Comutatividade

A + B = B + A

Associatividade

A + (B + C) = (A + B) + C

Existncia de elemento neutro

A + 0mn = A

Existncia de simtrico

A + (A) = 0mn

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Aritmtica Matricial

Propriedades do produto escalar

Distributividade I

(B + C) = B + C

Distributividade II

(+ )C = C + C

Associatividade

(C) = ()C

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Exemplo de motivao para o produto matricial

Suponhamos que trs empresas A, B e C partilham o mercado de umcerto produto. Actualmente, a empresa A detm 20% do mercado, a Bdetm 60% e a C detm 20%. No decorrer do prximo ano, prev-se queas seguintes alteraes vo ocorrer:

A vai manter 85% dos seus clientes, vai perder 5% para a empresaB e 10% para a empresa C;

B vai manter 55% dos seus clientes, vai perder 10% para a empresaA e 35% para a empresa C;

C vai manter 85% dos seus clientes, vai perder 10% para a empresaA e 5% para a empresa B;

fcil de concluir que, por exemplo, a percentagem de mercado que aempresa A ir deter no prximo ano ento obtida atravs do clculo:

0, 85 0, 2+ 0, 10 0, 6+ 0, 10 0, 2 = 0, 25,

portanto 25%!

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Motivao para a operao de produto entrematrizes

Podemos incluir a informao acima em duas matrizes

T =

0, 85 0, 10 0, 100, 05 0, 55 0, 050, 10 0, 35 0, 85

e s =

0, 20, 60, 2

.

A matriz T chamada a matriz de transio e s o valor de cota de mercado incial.A cota de mercado para a empresa A ento obtida por multiplicao"daprimeira linha de T com a coluna da matriz s. Podemos tambm repetir esteclculo para cada uma das linhas de T e o resultado ser ento uma matriz coluna

0, 250, 350, 40

obtida pelo chamado produto da matriz T pela matriz s e denotado por Ts, quenos d as cotas de mercado aps um ano.Qual ser a interpretao do produto T(Ts)?

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Produto Matricial

Sejam A uma matriz mr e B uma matriz rn (isto , o nmero decolunas de A coincide com o nmero de linhas de B). Nestas condies,pode definir-se o produto de A = [aik] por B = [bkj], dado por uma matrizm n, denotada por AB = [cij], com entrada (i, j) definida por:

cij =[ai1 air

] i-sima linha de A

b1j...

brj

j-sima coluna de B

=

= ai1b1j + ai2b2j + ...+ airbrj =r

k=1

aikbkj.

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Exemplos

Exemplos1 23 45 6

[a b

c d

]=

1a + 2c 1b + 2d3a + 4c 3b + 4d5a + 6c 5b + 6d

[1 0 23 4 5

]1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

=

=

[1 1+ 0 5+ 2 9 1 2+ 0 6+ 2 10 c13 c143 1+ 4 5+ 5 9 3 2+ 4 6+ 5 10 c23 c24

]

=

[c11 c12 1 3+ 0 7+ 2 11 1 4+ 0 8+ 2 12c21 c22 3 3+ 4 7+ 5 11 3 4+ 4 8+ 5 12

]

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Produto Matricial

Ateno:

Dadas matrizes A,B,C pode acontecer que:

o produto AB esteja bem definido mas o produto BA no o esteja;

os produtos AB e BA estejam bem definidos mas tenham dimensesdiferentes;

os produtos AB e BA estejam bem definidos, tenham dimensesiguais, mas ainda assim se verifique AB 6= BA;

AB = 0 no implica necessariamente que alguma das matrizes A ouB seja nula;

AB = AC e A 6= 0 no implica necessariamente B = C.

Definio

Dadas matrizes A e B tais que ambos produtos AB e BA estejam bemdefinidos, dizem-se permutveis se AB = BA.

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Propriedades

Apesar do produto de matrizes no ser, em geral, comutativo, partilhasemelhanas com o produto dos nmeros reais.

Propriedades do Produto Matricial

Dadas matrizes A,B,C, R, m, n N, usando a mesma notao 0para designar qualquer matriz nula, e supondo que todas as operaesesto bem definidas, pode mostrar-se a validade das seguintespropriedades:

Associatividade A(BC) = (AB)C

Existncia de elemento neutro AIn = InA = A

Existncia de elemento absorvente A0 = 0 e 0A = 0

Distributividade do produto em relao soma ( esquerda)

A(B + C) = AB + AC

Distributividade do produto em relao soma ( direita)

(B + C)A = BA + CA

Relao entre o produto de matrizes e o produto escalar

(BC) = (B)C = B(C)

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Potnciao

Dada uma matriz A quadrada n n e p N0, definem-se as potncias deA recursivamente: {

A0 = In

Ap = AAp1,

isto , para p N, Ap = AA A (produto de p-cpias de A).

Propriedades das potncias de uma matriz

AmAn = Am+n

(Am)n = Amn

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Transposio

Seja A = [aij] uma matriz m n. A transposta de A a matriz n m,denotada por AT , que resulta da troca entre as linhas e as colunas de A,ou seja, a entrada (i, j) de AT dada por

[AT ]ij = aji.

Propriedades da transposta de uma matriz

(AT)T = A

(A + B)T = AT + BT

(A)T = AT

(AB)T = BTAT

Definio

Uma matriz quadrada A diz-se:

simtrica se AT = A;

anti-simtrica se AT = A.

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Trao

Seja A uma matriz n n. Chama-se trao de A = [aij] e denota-se portr(A), a soma das entradas da diagonal principal de A, ou seja,

tr(A) =n

i=1

aii = a11 + a22 + ...+ ann.

Propriedades do trao de uma matriz

tr(A + B) = tr(A) + tr(B);

tr(A) = tr(A);

tr(AT) = tr(A);

tr(AB) = tr(BA).

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Invertibilidade

No contexto dos nmeros reais, conhecido que todo o real no nuloadmite inverso, isto :

a R\{0} a1a=

1a

a = 1,

sendo 1a, o inverso de a, tambm denotado por a1.

Definio

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertvel se existir umamatriz do mesmo tipo B tal que

AB = BA = In,

chamando-se a B uma inversa de A.

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Invertibilidade

De facto, existindo inversa de uma matriz, ela nica:{AB = BA = In

AB = BA = In B = BIn = B(AB

) = (BA)B = InB = B,

pelo que se representa a inversa de uma matriz A por A1.

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Invertibilidade

A operao de inverso de uma matriz compatvel com a aritmticamatricial, no seguinte sentido:

Propriedades da inverso matricial

Sejam A e B duas matrizes invertveis e consideremos p N e R\{0}:

a matriz AB tambm invertvel e tem-se (AB)1 = B1A1;

A1 invertvel, com inversa dada por (A1)1 = A;

Ap invertvel e (Ap)1 = (A1)p;

A invertvel e (A)1 = 1A1;

AT invertvel e (AT)1 = (A1)T .

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Potncias de Expoente Inteiro

Dada uma matriz A quadrada n n invertvel e p Z, define-se:

Ap = (A1)p.

Propriedades

Dada uma matriz invertvel A e nmeros inteiros p, q, valem asigualdades:

AmAn = Am+n

(Am)n = Amn

No entanto, no sendo o produto de matrizes comutativo, tem-se emgeral que

ApBp 6= (AB)p

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Sistemas de Equaes Lineares

A maior parte dos modelos matemticos usados por economistasenvolvem sistemas de vrias equaes. No caso das equaes serem line-ares, o estudo de tais sistemas pertence ao domnio da lgebra Linear.

Mesmo que as equaes no sejam lineares, interessa analisar, porexemplo, como se comporta a soluo dos sistemas em resposta a varia-es (lineares) nas variveis exgenas ou parmetros.

Vamos, desta forma, aprender a representar os sistemas de equa-es lineares de forma simples e resolv-los atravs de um algoritmochamado o Mtodo de Eliminao de Gauss.

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Equaes Lineares

Qualquer recta no plano xy pode descrever-se algebricamente atravs deuma equao da forma a1x + a2y = b, onde a1, a2, b so nmeros reaisfixos e a1, a2 no so simultaneamente nulos.

-10 -5 5 10x

-5

5

10

a_1 x+a_2 y=b

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Equaes Lineares

As rectas so tipicamente usadas pelos economistas para descrever rela-es entre duas variveis.

Por exemplo, dada uma recta de equao y = mx + b:

se m > 0 significa que as variveis x e y esto em relao directa;

se m < 0 significa que as variveis x e y esto em relao inversa.

-10 -5 5 10x

-20

-10

10

20y=mx+b Hm>0L

-10 -5 5 10x

-20

-10

10

y=mx+bHm

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Equaes Lineares

Definio

Mais geralmente, chama-se equao linear nas n variveis x1, ..., xna uma equao da forma

a1x1 + ...+ anxn = b, (2.1)

onde a1, ..., an, b so nmeros reais fixos e a1, ..., an no so simultanea-mente nulos.

As variveis x1, ..., xn tambm se designam por incgnitas.

Uma soluo particular de (2.1) uma sequncia de n nmerosreais (s1, ..., sn) tal que a1s1 + ...+ ansn = b.

O conjunto de todas as solues particulares diz-se o conjunto so-luo ou a soluo geral de (2.1).

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Definio

Chama-se sistema de equaes lineares (SEL) a um conjunto finitode equaes lineares nas n variveis x1, ..., xn.

Qualquer SEL com m equaes e n incgnitas (SEL m n) podeescrever-se na forma

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

(2.2)

onde os as e bs so nmeros reais fixos e os as no so simultaneamentenulos.

Uma soluo particular do SEL (2.2) uma sequncia de n nme-ros reais (s1, ..., sn) que soluo particular de cada uma das m equaesdo SEL. O conjunto de todas as solues particulares de (2.2) diz-se oconjunto soluo ou a soluo geral do SEL.

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Notao

Se b1 = b2 = ... = bm = 0, o SEL diz-se homogneo.O SEL diz-se possvel se o conjunto soluo for no vazio; caso

contrrio, dir-se- impossvel.

No caso de um SEL possvel, diz-se ainda que o SEL :

possvel e determinado se o conjunto soluo for constitudo porum nico elemento;

possvel e indeterminado se o conjunto soluo tiver mais que umelemento*.

*De facto, pode provar-se que o conjunto soluo de um SEL possvel e indeter-minado admite sempre uma infinidade de elementos.

Proposio

Os SELs homogneos so sempre possveis!

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Significado geomtrico do conjunto soluo de umSEL: Exemplo

O conjunto soluo de um SEL do tipo{ax + by = c

dx + ey = f

corresponde aos pontos de interseo das rectas de equaes dadas pelas equaesdo SEL.

O SEL ser possvel e determinado sse as rectas se intersectaremnum s ponto:

-10 -5 5 10x

-10

-5

5

10

y

O SEL ser possvel e indeterminado sse as rectas coincidirem:

-10 -5 5 10x

-10

-5

5

10

y

o SEL ser impossvel sse as rectas no se intersectarem (isto , soparalelas sem pontos comuns).

-10 -5 5 10x

-10

-5

5

10

y

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Mtodo de Eliminao de Gauss: Motivao

OMtodo de Eliminao de Gauss (MEG) um algoritmo que simplificaa resoluo de sistemas de equaes lineares (SELs) e tem por base autilizao das chamadas operaes elementares sobre as equaes deum SEL.

Operaes Elementares

(OE1) Multiplicao de uma equao do SEL por um nmero realno nulo;

(OE2) Troca da ordem de duas equaes do SEL;

(OE3) Soma de uma equao do SEL com um mltiplo de outraequao do SEL.

Repare-se que qualquer uma das operaes elementares transforma umSEL num outro equivalente, isto , com o mesmo conjunto soluo.

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Sistemas Lineares na forma matricial

Para implementar"o MEG com vista resoluo de um SEL, conveniente comear por escrever o SEL na forma matricial.

Cada SEL da forma

a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

(3.1)

pode ser escrito matricialmente da seguinte maneira:

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n...

.... . .

...am1 am2 ... amn

matriz dos coeficientes do SEL

x1x2...

xn

coluna das incgintas

=

b1b2...

bm

coluna dos termos independentes

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Chama-se matriz ampliada do SEL matriz:

a11 a12 ... a1n b1a21 a22 ... a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 ... amn bm

(3.2)

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As operaes elementares podem ser aplicadas diretamente sobreas equaes de um SEL, sobre as linhas da respectiva matriz ampliadaou, mais geralmente, sobre as linhas de qualquer matriz.

Mais precisamente, dada uma matriz A com linhas Li, i = 1, ...,m,podemos considerar as seguintes operaes elementares sobre A:

Operaes elementares sobre matrizes

(OE1) Multiplicao da linha Li por um nmero real 6= 0(indica-se escrevendo Li);

(OE2) Troca da ordem da linha Li com a linha Lj (indica-seescrevendo Li Lj);

(OE3) Substituio de uma linha Li por Li + Lj, para qualquer R (indica-se escrevendo Li + Lj).

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MEG

Algoritmo MEG: Consiste em aplicar sucessivamente operaes ele-mentares matriz aumentada do SEL at obter uma matriz em escadade linhas, i.e., uma matriz que satisfaz as seguintes propriedades:

todas as linhas nulas esto agrupadas na base da matriz;

para quaisquer duas linhas consecutivas no nulas, a primeiraentrada no nula da linha inferior est situada numa coluna mais direita que a coluna correspondente primeira entrada no nula dalinha superior.

A este processo de transformar uma matriz dada numa matriz em escadade linhas tambm se chama o processo de condensao da matriz.

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Ana Rita Martins

lgebra Matricial




Espaos Lineares


Matrizes em escada de linhas

Exemplos de matrizes em escada de linhas

In (n N),

1 0 00 1 00 0 0

,0 1 00 0 10 0 0

,1 1 00 0 10 0 0

,1 1 1 00 0 1 20 0 0 0

Exemplos de matrizes que no esto em escada de linhas0 0 00 1 00 0 1

,0 1 00 1 00 0 1

,1 1 00 0 10 1 0

,1 0 1 00 0 0 20 1 0 0

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MEG- Algoritmo:

(1) Escrever a matriz aumentada do SEL;

(2) Localizar a coluna mais esquerda que no tenha todas as entradasnulas;

(3) Se necessrio, trocar linhas de forma a que a entrada da primeiralinha correspondente coluna mencionada na alnea anterior sejadiferente de zero.

(4) Somar mltiplos apropriados da primeira linha s restantes linhas deforma a que todas as entradas debaixo da entrada no nula seanulem.

(5) Fixar a primeira linha e repetir o procedimento para a submatriz queresta.

(6) O MEG termina quando obtivermos uma matriz em escada delinhas.

A matriz em escada de linhas obtida pelo MEG corresponde a um SELequivalente ao inicial e permite calcular de modo simples a soluo pre-tendida.

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Exemplo

Vamos aplicar o MEG ao seguinte SEL:

x + 2y + 3z = 1x + z = 13x + 2y + z = 0

1 2 3 11 0 1 13 2 1 0

L2L1

L33L1

1 2 3 10 2 2 0

0 4 8 3

L32L2

1 2 3 10 2 2 0

0 0 4 3

O SEL inicial , portanto, equivalente ao SEL:

x + 2y + 3z = 1 2y 2z = 0

4z = 3

x = 14y = 34z = 34

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Para optimizar o processo de determinao da soluo geral do SEL conveniente introduzir os conceitos seguintes:

Definio

Chama-se pivot ao primeiro elemento no nulo de cada linha deuma matriz em escada de linhas.

As variveis livres so as incgnitas que correspondem s colunasda matriz em escada de linhas obtida aps aplicao do MEG queno contenham os pivots, chamando-se as restantes variveis devariveis no livres.

O nmero de variveis livres de um SEL tambm se costumadesignar o nmero de graus de liberdade do SEL.

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Discusso de SELs na forma matricial: caso n = m

Neste caso, a matriz dos coeficientes quadrada, isto , existem tantasequaes quanto incgnitas e, aps a condensao da matriz ampliada doSEL, um dos casos pode acontecer:

SEL possvel e determinado;

SEL possvel e indeterminado;

SEL impossvel.

1) Existem tantos pivots quanto o nmero de incgnitas SELpossvel e determinado

x x x x0 x x x0 0 x x

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2) Pelo menos uma das linhas da matriz ampliada nula e todas aslinhas no nulas (da matriz ampliada) correspondem a linhas no

nulas da matriz dos coeficientes.

Pelo menos uma das equaes universal (0 = 0)

SEL possvel e indeterminado, com tantos graus de liberdadequantas as linhas nulas x x x x0 x x x

0 0 0 0

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3) existe pelo menos uma linha cujo pivot se encontra na coluna dostermos independentes

m

pelo menos uma das equaes impossvel (0 = 1)

SEL impossvel x x x x0 x x x

0 0 0 x

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Discusso de SELs na forma matricial: caso n > m

Neste caso, sendo o no de incgnitas superior ao de equaes existir, pelo menos,uma varivel livre. Desta forma, o SEL nunca poder ser possvel e determinado,ocorrendo um dos seguintes casos:

Existe, pelo menos, uma linha nula na matriz dos coeficientes doSEL qual corresponde uma linha no nula na matriz ampliada dosistema, isto , o SEL impossvel

x x x x x0 x x x x0 0 0 0 x

Caso contrrio, o SEL ser possvel e indeterminado, x x x x x0 x x x x

0 0 x x x

ou

x x x x x0 x x x x

0 0 0 0 0

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Discusso de SELs na forma matricial: caso n < m

Neste caso, existem mais equaes que incgnitas e, aps condensao, anova matriz dos coeficientes ter todas as linhas nulas abaixo da m-simalinha. Dois casos podem ento acontecer:

Existe, pelo menos, uma linha nula da nova matriz dos coeficientes(abaixo da m-sima) qual corresponde uma linha no nula nanova matriz ampliada do sistema

SEL impossvel

x x x x

0 x x x0 0 x x0 0 0 x

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Discusso de SELs na forma matricial: caso n < m

Todas as linhas da nova matriz ampliada que esto abaixo dam-sima linha so nulas

o SEL equivalente a um SEL com n linhas e n incgnitas

x x x x

0 x x x0 0 x x0 0 0 0

x x x x0 x x x

0 0 x x

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Mtodo de Eliminao de Gauss-Jordan (MEGJ)

O algoritmo de inverso de matrizes tem por base uma extenso do MEGdenominado:

Mtodo de Eliminao de Gauss-Jordan (MEGJ)

que consiste na aplicao sucessiva de operaes elementares a uma ma-triz de forma a transform-la numa matriz em escada de linhas reduzida,i.e., numa matriz em escada de linhas que satisfaz as seguintes proprie-dades adicionais:

Todos os pivots so iguais a 1;

Todas as colunas com pivots tm as restantes entradas nulas.

Exemplos de matrizes em escada de linha reduzidas

In (n N),

1 0 0 20 1 0 30 0 1 0

,1 0 0 2 00 1 0 3 00 0 1 0 00 0 0 0 1

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Inverso de matrizes

A matriz inversa de uma matriz A de ordem n , por definio, a nicamatriz B = [bij] de ordem n, tal que

AB = I e BA = I.

Por definio de produto matricial, significa, em particular, que o produtode A pela j-sima coluna de B ser igual j-sima coluna de In:

A

b1j...

bjj...

bnj

=

0...1...0

, j = 1, , n

Desta forma, determinar B corresponde a resolver n SELs, todos com amesma matriz dos coeficientes A, o que pode ser feito da seguinte ma-neira:

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Algortimo de inverso de matrizes

Seja A uma matriz n n.

(1) Considere a matriz [A|In]

(2) Aplique o MEGJ at transformar a matriz [A|In] numa matriz daforma [In|B]

Ento ter-se- B = A1. Se no for possvel obter-se uma matriz daforma [In|B], ento A no ser invertvel.

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Aplicao: SEL com matriz dos coeficientesquadrada

Proposio

Um SEL com o mesmo nmero de equaes e incgnitas ser possvel edeterminado se, e somente se, a matriz dos coeficientes for invertvel.

Mais precisamente, dado um SEL escrito matricialmente na forma

AX = B,

onde A uma matriz quadrada nn e B uma matriz coluna n1, o SELser possvel e determinado se, e somente se, a matriz A for invertvel e,nesse caso a soluo dada por

X = A1B.

Desta forma, interessa muitas vezes determinar a invertibilidade ou node uma matriz, sem ter de calcular a sua inversa.

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Determinantes

Para responder ao problema de invertibilidade, temos ento o cha-mado determinante de uma matriz quadrada A que um escalar asso-ciado matriz, denotado por detA, ou por |A|, e que satisfaz a seguintepropriedade:

A invertvel detA 6= 0.

Existem vrias maneiras de definir o conceito de determinante deuma matriz n n. A definio que vamos dar segue o chamado Teoremade Laplace e permite definir o determinante de forma recursiva, ou seja,definimos o determinante de uma matriz n n a partir de determinantesde submatrizes (n 1) (n 1) da matriz inicial.

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Para n = 1, isto , para matrizes com uma nica entrada a11, o determi-nante a prpria entrada a11:

|a11| = a11.

Para n = 2, isto , para matrizes da forma A =

[a11 a12a21 a22

], tem-se

detA =

a11 a12a21 a22 = a11a22 a21a12.

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Para definir o determinante de matrizes de ordem superior necessitamosde introduzir a seguinte notao:

Definio

Seja A uma matriz n n, onde n 2. Chama-se cofactor da entrada(i, j) ao nmero real

Cij = (1)i+jdet(Aij),

onde Aij a matriz (n 1) (n 1) que se obtm da matriz Aremovendo a linha i e a coluna j.

Chama-se matriz dos cofactores de A, e denota-se por Cof (A) matrizn n cuja entrada (i, j) dada pelo cofactor da entrada (i, j).

Chama-se ainda matriz adjunta de A e denota-se por adj(A), a matriztransposta de Cof (A):

adj(A) = Cof (A)T .

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Exemplo

Seja

A =

1 2 34 5 67 8 9

.

Ento, por exemplo:

A12 =

1 2 34 5 67 8 9

12

=

[4 67 9

]

A23 =

1 2 34 5 67 8 9

23

=

[1 27 8

]

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Frmula de Laplace

Seja A = [aij] uma matriz n n, onde n 2. Definimos o determinantede A atravs da seguinte frmula:

det(A) =n

k=1

ajkCjk = aj1Cj1+aj2Cj2+ ...+ajnCjn, j = 1, ..., n, (4.1)

onde Cjk denota o cofactor da entrada (j, k).

A equao (4.1) chama-se frmula de Laplace com expanso na linha j,j = 1, ..., n.

Tambm se pode considerar a frmula correspondente a expanses emcolunas.

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Exemplo

1 2 34 5 67 8 9

= (1)1+115 68 9

+ (1)1+224 67 9

+ (1)1+334 57 8

= 01 2 34 5 67 8 9

= (1)1+242 38 9

+ (1)2+251 37 9

+ (1)2+361 27 8

= 01 2 34 5 67 8 9

= (1)1+224 67 9

+ (1)2+251 37 9

+ (1)2+361 34 6

= 0

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Matrizes 3 3: Regra de Sarrus

No caso especial das matrizes 3 3, podemos usar a seguinte mnem-nica"para calcular o determinante:

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

== (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)(a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33)

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Propriedades dos determinantes

Seja A uma matriz n n e seja B a matriz n n que se obtm a partir deA por aplicao de uma operao elementar e. Ento:

(a) se e = Li, temos que det(B) = det(A);

(b) se e = Li Lj, temos que det(B) = det(A);

(c) se e = Li + Lj, temos que det(A) = det(B).

Propriedades dos determinantes

1 det(A) = det(AT);

2 det(A1) = (det(A))1 = 1det(A) ;

3 det(AB) = det(A) det(B);

4 det(A) = n det(A).

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Ateno!

O determinante no comuta"com a operao de adio, isto , em geral:

det(A + B) 6= det(A) + det(B).

Com efeito, tomando, por exemplo, A = I2 e B = A temos:

det(A + B) = det(A A) = det(022) = 0 6= 2 = det(A) + det(B).

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Proposio

Seja A uma matriz quadrada admitindo alguma linha ou colunaconstituda por zeros, ento det(A) = 0.

Proposio

O determinante de qualquer matriz triangular dado pelo produto doselementos da diagonal principal:

a11 a12 ... a1n0 a22 ... a2n...

.... . .

...0 0 ... ann

= a11a22 ann =

a11 0 ... 0a21 a22 ... 0...

.... . .

...an1 an2 ... ann

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Proposio

Seja A uma matriz quadrada invertvel ento

A1 =1

det(A)adj(A).

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Regra de Cramer

Seja AX = B um SEL n n tal que det(A) 6= 0. Ento o SEL temsoluo nica dada por:

X =1

det(A)

det(A1)det(A2)

...det(An)

,

onde Aj a matriz que se obtm substituindo a coluna j da matriz A pelasentradas da matriz coluna B.

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Espaos lineares

Vimos anteriormente que possvel definir no conjunto das matrizes dotipo m n duas operaes algbricas: a soma e o produto por um esca-lar, operaes estas que verificam as seguintes propriedades:

(a) A + B = B + A;

(b) (A + B) + C = A + (B + C);

(c) A + 0mn = A;

(d) A + (A) = 0mn;

(e) (A + B) = A + B;

(f) (+ )A = A + A;

(g) (A) = ()A;

(h) 1A = A

onde A,B,C denotam matrizes m n e , R.

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Espaos lineares

Propriedades anlogas so verificadas no espao dos nmeros reaisR ou at em qualquer espao da forma Rn, quando consideramos a somae produtos usuais (basta substituir as matrizes A,B,C por elementos dosconjuntos descritos, respectivamente).

De facto, estas propriedades no so intrnsecas aos conjuntos men-cionados, mas conferem uma estrutura que destaca as propriedades dasoperaes definidas e no os objectos em si.

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Espaos lineares

Surge assim a seguinte definio:

Definio

Chama-se espao linear ou vectorial a um conjunto V onde estodefinidas duas operaes algbricas:

1 + : V V V; (u, v) 7 u + v (soma)

2 : R V V; (, u) 7 u (produto escalar)

satisfazendo os seguintes axiomas:

a) (Comutatividade da soma) u, v V : u + v = v + u;

b) (Associatividade da soma)u, v,w V : (u + v) + w = u + (v + w);

c) (Existncia de zero) w V(w := 0V) : u V, 0V + u = u;

d) (Existncia de simtricos)u V, w V(w := v) : u + (u) = 0V ;

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Espaos Lineares


Espaos lineares

e) (Distributividade I) u, v V, (u + v) = u + v;

f) (Distributividade II) , Ru V, (+ )u = u + u;

g) (Associatividade do produto escalar), R, u V(u) = ()u;

h) (Existncia de identidade) u V, 1u = u.

Os elementos de V so designados por vectores.

Teorema

Sejam V um espao linear, u, v,w V e R. Ento:

1 0u = 0;

2 0 = 0;

3 (1)u = u;

4 u = 0 ( = 0 u = 0);

5 w + u = w + v u = v.

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Espaos Lineares


Neste curso vamos sempre considerar espaos lineares de formaV = Rm, para algum m N.

usual identificar os vectores v Rm com as matrizes colunasm 1, [v], cujas entradas so as entradas correspondentes do vector v.

Exemplos

v = (1, 2, 3) [v] =

123

v = (1,1, 3, 0) [v] =

1130

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Produto Interno

conhecida a noo de produto interno euclideano entre dois vectores ue v de Rm, definido por:

u v = (u1, , un) (v1, , vn) = u1v1 + unvn.

De facto, o produto interno entre dois vectores permite-nos determinar aortogonalidade entre vectores. Mais precisamente, dois vectores u e v deR

m dizem-se ortogonais ou perpendiculares se u v = 0.

Vale a seguinte relao entre produto interno e a lgebra matricial: u vcoincide com a nica entrada da matriz

[u]T [v] =[u1 un

]

v1...

vn

= [u1v1 + + unvn] = [u v]

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Combinao linear

Definio

Seja S = {v1, , vn} um conjunto finito de vectores de Rm.Dizemos que v Rm combinao linear dos vectores de S seexistirem n escalares 1, , n R tais que:

v = 1v1 + nvn,

designado-se os escalares 1, , n os coeficientes da combinaolinear.

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Combinao linear

Seja A a matriz cujas colunas so precisamente os vectores [v1], , [vn].Note-se que a condio

v = 1v1 + + nvn

corresponde a afirmar que (1, , n) uma soluo particular do SEL

A

x1...

xn

= [v]!

Desta forma, um vector v ser combinao linear de {v1, , vn}, se oSEL

A

x1...

xn

= [v]

for possvel e, nesse caso, a qualquer soluo particular (1, , n) doSEL correspondem coeficientes 1, , n da combinao linear.

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Dependncia e Independncia linear

Definio

Seja S = {v1, , vn} um conjunto finito de vectores de Rm.Dizemos que os vectores de S so linearmente independentes se paraquaisquer escalares 1, , n R:

1v1 + nvn = 0 1 = = n = 0,

isto , a nica combinao linear nula dos vectores de S a combinaocom coeficientes todos nulos.

Caso contrrio, isto , se existirem escalares no todos nulos1, , n R tais que

1v1 + nvn = 0,

dizemos que os vectores de S so linearmente dependentes.

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Seja A a matriz cujas colunas so precisamente os vectores [v1], , [vn].Note-se que a condio

1v1 + + nvn = 0 1 = = n = 0,

corresponde a afirmar que o SEL homogneo

A

1...n

=

0...0

possvel e determinado!

Em particular, no caso em que m = n, a matriz A ser quadrada e,portanto, {v1, , vn} ser linearmente independente se, e somente, sedetA 6= 0.

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Proposio

Seja S = {v1, , vn} um conjunto de vectores de Rm (n 2). Osvectores de S sero linearmente dependentes se e s se pelo menos umdeles for combinao linear dos restantes.

Corolrio

Seja S = {v1, , vn} um conjunto de vectores de Rm. Se alguma dascondies se verificar:

i = 1, , n : vi = 0;

i, j = 1, , n, i 6= j : vi = vj;

ento os vectores de S sero linearmente dependentes.

Proposio

Qualquer subconjunto no vazio (e de elementos distintos) de umconjunto de vectores linearmente independente continua a serlinearmente independente.

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Teorema

Seja S = {v1, , vn} um conjunto de vectores de Rm . Os vectores doconjunto S sero linearmente independentes se e s se qualquercombinao linear dos vectores de S admitir coeficientes univocamentedeterminados, isto :

1, 1, , n, n,

1v1 + nvn = 1v1 + nvn i = i, i = 1, , n.

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Proposio

Seja S = {v1, , vn} um conjunto de vectores de Rm. Os vectores de Ssero linearmente independentes se, e somente se, para quaisquer i 6= j e, R\{0}, o conjunto de vectores

{v1, , vi1, vi + vj, vi+1, , vn}

for linearmente independente.

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Conjunto de geradores

Definio

Seja S um conjunto de vectores de Rm. Dizemos que S um conjunto degeradores de Rm e escrevemos Rm = S se qualquer vector de Rm sepuder escrever como combinao linear dos vectores do conjunto S.

No caso de S ser um conjunto finito S = {v1, , vn}, podemos escreversimplesmente Rm = v1, , vn.

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Base e dimenso

Definio

Diz-se que um subconjunto {v1, , vn} de vectores de Rm uma basede Rm se:

{v1, , vn} um conjunto de vectores linearmente independente;

Rm = v1, , vn.

Cada espao linear pode admitir infinitas bases distintas, mas prova-seque todas elas tm que admitir exactamente o mesmo nmero devectores e chama-se dimenso do espao linear ao nmero de vectoresde qualquer base.

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Bases de Rm

O espao linearRm tem dimenso m e admite como base o conjunto{e1, , em}, onde ei o vector de Rm com todas as entradas nulas, ex-cepto a da posio i que dada por 1, para cada i = 1, ,m.

Dado um subconjunto S = {v1, ..., vm} de m-vectores de Rm, S serum base de Rm se e s se S for um conjunto de vectores linearmenteindependentes, isto , se cada vector se escrever de maneira nica comocombinao linear de elementos de S.

Desta forma, dado um subconjunto S = {v1, ..., vn} de n-vectoresde Rm, denotando por A a matriz cujas colunas so dadas pelos vectores[v1], , [vn], trs situaes podem ocorrer:

se n < m, S no poder ser base de Rm;

se n = m, S ser base de Rm sse for um conjunto linearmenteindependente, isto , se a matriz A for invertvel;

se n > m, S no ser uma base, mas poder conter uma base.

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Para averiguar se, no ltimo caso apresentado, S contm, de facto,uma base de Rm, condensamos a transposta AT da matriz A pelo MEG,obtendo uma certa matriz R.

A matriz R ter a seguinte propriedade: todos os vectores linha nonulos de R, bem como os vectores linhas correspondentes da matriz AT ,formam um conjunto linearmente independente.

Desta forma, se R admitir n linhas no nulas, ento as n linhas cor-respondentes de AT sero uma base de Rm.

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Exemplo1 2 31 0 12 1 22 2 4

MEG R =

1 2 30 2 20 0 20 0 0

{(1, 2, 3), (1, 0, 1), (2, 1, 2)} e {(1, 2, 3), (0, 2, 2), (0, 0, 2)} so ambasbases de R3

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Valores e Vectores prprios de uma matriz

Vamos agora estudar o seguinte problema:

Dada uma matriz quadrada A de ordem n e um vector v Rn, podemosfazer o produto Av. O resultado uma matriz coluna cujas entradas for-mam um vector w Rn.

Podemos ento dizer que o vector v transformado no vector w pela aoda matriz A e tem sentido colocar a seguinte questo: ser que a direode v mantida por ao da matriz A?

A resposta afirmativa corresponde precisamente a afirmar que w ummltiplo escalar de v:

R : Av = v.

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Valores e vectores prprios de uma matriz quadrada

Pretendemos, assim, analisar o problema de dada uma matriz A determi-nar as direes"de Rn que so mantidas aps a ao de A.

Definio

Seja A uma matriz quadrada n n. Um vector no nulo x Rn diz-seum vector prprio de A se existir R tal que

Ax = x (6.1)

Nesse caso dizemos que um valor prprio de A associado ao vectorprprio x e x diz-se um vector prprio de A associado ao valor prprio .

Questo

Poder um mesmo vector prprio estar associado a dois valores prpriosdistintos de uma matriz?

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Como encontrar todos os valores prprios de A?

Se reescrevermos a equao (6.1) temos que

Ax = x Ax = Inx

(A In)x = 0 (6.2)

Conclumos assim que para ser um valor prprio de A, a equao (6.2)tem de ter solues no triviais, ou seja, a matriz A In tem de ser noinvertvel, i.e.

det(A In) = 0 (6.3)

A equao (6.3) chama-se equao caracterstica de A.

Os escalares que satisfazem a equao caracterstica de A so os valoresprprios de A.

Note-se que p() = det(A In) um polinmio de grau n na varivel denominado o polinmio caracterstico de A.

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Exemplo

A equao caracterstica da matriz

A =

4 0 12 1 02 0 1

dada por:4 0 12 1 02 0 1

= (4 )

1 00 1

+2 1 2 0

=

= (1 )(2 5 + 6 = 0) = (1 )( 2)( 3) = 0.

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Definio

Sejam 1, , r os valores prprios da matriz A. Chama-semultiplicidade algbrica de i, e denotamos por ma(i), i = 1, , r,ao nmero de vezes que o factor ( i) aparece na factorizao dopolinmio caracterstico p() = det(A I).

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Propriedades

Lema

Os valores prprios de uma matriz triangular so as entradas da diagonalprincipal.

Teorema

Sejam 1, , n os valores prprios da matriz A, contando com asmultiplicidades.

O trao da matriz A sempre dado pela soma dos seus valoresprprios:

tr(A) = 1 + . . . + n.

O determinante da matriz A dado pelo produto dos seus valoresprprios:

|A| = 1 . . . n.

Em particular, A ser invertvel se, e somente se, no admitirvalores prprios nulos.

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Exerccio

Sendo x um vector prprio da matriz A associado ao valor prprio ,mostre que:

x continua a ser vector prprio da matriz Ap, qualquer que seja ointeiro p Z e determine o valor prprio associado;

dados ai R e p N0, x continua a ser valor prprio da matrizapA

p + ap1Ap1 . . . + a1A + a0I e determine o valor prprio

associado.

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Teorema de Cayley-Hamilton

Toda a matriz quadrada A (de ordem n) satisfaz a sua equaocaracterstica, isto , se o polinmio caracterstico de A for dado por

p() = ann + + a1 + a0

entoanA

n + + a1A + a0In = 0.

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Como encontrar os vectores prprios de Aassociados a um determinado valor prprio ?

Por definio sabemos que x 6= 0 ser um vector prprio de A associadoao valor prprio sse for soluo do SEL homogneo

(A I)x = 0.

Chama-se espao prprio de A associado ao valor prprio ao conjuntode todos os vectores prprios associados a :

E() = {x Rn : (A I)x = 0}.

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Concluso

Para determinar os valores prprios e vectores prprios de uma matriz Aseguimos o seguinte procedimento:

1 Resolver a equao caracterstica det(A I) = 0;

2 As solues 1, , r (r n) so os valores prprios de A;

3 Para cada i = 1, , r, determinar o espao prprio associado aovalor prprio i.

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Exemplo

A =

0 0 2 01 0 1 00 1 2 00 0 0 1

Polinmio caracterstico de A: (1 )(3 22 + + 2) = 0Valores prprios de A: 2,1 e 1Vectores prprios de A:

E(1) = {(x, y, z, w) R4 : x = 2z, y = 3z} = {

2z3zz

w

: z, w R} =

= {z

2310

+ w

0001

: z, w R}

{(2, 3, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} um conjunto linearmente independente deE(1)

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Exemplo

E(1) = {(x, y, z, w) R4 : x = 2z, y = z, w = 0} =

= {

2z

z

z

0

: z R} = {z

2110

: z R}

{(2, 1, 1, 0)} um conjunto linearmente independente de E(1)

E(2) = {(x, y, z, w) R4 : x = z, y = w = 0} =

{

z0z

0

: z R} = {z

1010

: z R}

{(1, 0, 1, 0)} um conjunto linearmente independente de E(2)

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Exemplos

Ilustrao

Matriz

Equao

Caracterstica

2 (2 = 0 2 k + k2 = (k)2 = 0 k1)(k2) = 0

Valores

Prprios 1,2=1 1,2=k 1 = k1, 2 = k2

Multiplicidades

algbricas e

geomtricas

n1= 2, m1 = 1 n1= 2, m1 = 2 n1a= m1 = 1, n2 = m2 = 1

Vectores

prprios (1,0) (1,0) e (0,1) (1,0) e (0,1)

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Diagonalizao de matrizes: motivao

Admitamos que trs empresas A1, A2 e A3 partilham o mercado de umcerto produto e denotemos por sj o vector coluna 3 1 cuja linha irepresenta a cota de mercado da empresa Ai num certo ano j.Seja T a matriz de transio, isto , a matriz quadrada de ordem 3 quemultiplicada por sj nos d as cotas de mercado no ano j + 1, isto :

Tsj = sj+1.

fcil de ver ento quesj = T

js0,

pelo que se torna til simplificar o clculo da matriz T j, j N.Se a matriz T for diagonal, o clculo de qualquer potncia de T torna-semuito simples:

T j =

t11 0 00 t22 00 0 t33

j

=

tj11 0 00 tj22 00 0 tj33

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Diagonalizao de matrizes

Vemos assim com este exemplo que interessa considerar matrizes diago-nais, mas no sendo obviamente todas as matrizes diagonais, interessatentar diagonaliz-las".

Definio

Um matriz A diz-se diagonalizvel se existir uma matriz invertvel S,chamada matriz diagonalizante, tal que o produto S1AS uma matrizdiagonal.

Note-se que, para matrizes diagonalizveis, tem-se:

A = SS1ASS1 Aj = S(S1AS)jS1, j N

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O problema de diagonalizao de matrizes est intimamente relacionadocom o estudo dos valores e vectores prprios de matrizes. Com efeito,temos o seguinte resultado:

Teorema

Dada uma matriz quadrada A de ordem n, temos:

A diagonalizvel

m

A tem n vectores prprios linearmente independentes

m

Existe uma base em Rn formada por vectores prprios de A

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Teorema

Sejam 1, , r os valores prprios de uma matriz A e consideremosum subconjunto linearmente independente Bi do espao prprio E(i)associado ao valor prprio i.

Ento B1 Br constitui ainda um conjunto linearmenteindependente de Rn.

Corolrio

Qualquer matriz de ordem n que admita n valores prprios distintos diagonalizvel.

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Corolrio

Sejam 1, , r os valores prprios de uma matriz A diagonalizvel econsideremos uma base B de Rn constituda por vectores prprios.

Ento, a matriz quadrada S de ordem n cujas colunas so os vectores dabase B constitui uma matriz diagonalizante de A.

Mais precisamente, S1AS a matriz diagonal com diagonal constitudapelos valores prprios de A distribudos na ordem correspondente ordem dos vectores (prprios) da base B.

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Exemplo

Consideremos a matriz A =

4 0 12 1 02 0 1

.

equao caracterstica de A: (1 )(6 5 + 2) = 0

valores prprios: 1, 2 e 3;

espaos prprios:

E(1) = {k(0, 1, 0) : k R}

E(2) = {k(1, 2, 2) : k R}

E(3) = {k(1, 1, 1) : k R}

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algumas matrizes diagonalizantes e matrizes diagonais associadas:

S1 :=

0 1 11 2 10 2 1

S11 AS1 =

1 0 00 2 00 0 3

S2 :=

1 1 02 1 12 1 0

S12 AS2 =

2 0 00 3 00 0 1

S3 :=

1 1 01 2 11 2 0

S13 AS3 =

3 0 00 2 00 0 1

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