1.11 Algebra

www.apuntesmareaverde.org.es

Autora:RaquelCaro

Revisor:PedroLuisSuberviolaySergioHernndez

Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

1ESO CAPTULO11:LGEBRA

Matemticas1deESO.Captulo11:lgebra Autora:RaquelCaro Revisores:PedroLuisSuberviolaySergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

240 lgebra.1deESOndice

1.LENGUAJEALGEBRAICO1.1.LETRASYNMEROS

1.2.COEFICIENTEYPARTELITERAL

1.3.VALORNUMRICODEUNAEXPRESINALGEBRAICA

1.4.EQUIVALENCIAYSIMPLIFICACINDEEXPRESIONESALGEBRAICAS

2.ECUACIONESDEPRIMERGRADOCONUNAINCGNITA2.1.ELLENGUAJEDELASECUACIONES

2.2.ECUACIONESEQUIVALENTES.RESOLUCINDEECUACIONES

3.RESOLUCINDEPROBLEMASMEDIANTEECUACIONES3.1.PROCEDIMIENTO

3.2.PROBLEMASNUMRICOS

3.3.PROBLEMASDEGEOMETRA

3.4.OTROSPROBLEMAS

ResumenEn lapocadeElQuijote,en lapuertade lasbarberas,se leaelsiguientecartel:

ALGEBRISTAYSANGRADOR

Yeso,porqu? Lapalabra lgebraesunapalabrarabequeutiliz el matemtico AlKhwarizmi. Si logras leer ese nombreversquetesuenaaotrapalabra:algoritmo.Haciaelao825escribiunlibrotitulado:

Aljabrwalmuqabalah

Lapalabrarabejabrsignificarestaurar.Ellibrotratabadelgebra,desumasyotrasoperaciones,perocomolosbarberostambinrestaurabanhuesos,poresosellamabanalgebristas.

Ellgebraesunamaterianuevaqueahoravamosaempezaraestudiar.Hayautoresqueopinanqueellgebra comienza cuando se utilizan letras en lugar de nmeros, pero, recuerda, los romanos yautilizaban letras,yesonoeralgebra.Enrealidadelorigendellgebraestenhaceroperacionesconnmerossimbolizadosconletras,loquesuponeunahorrodeesfuerzo,puespermitehacerdeunasolavezloquedeotramanerahabraquerepetirmuchasveces.

Aprenderemos a utilizar el lenguaje algebraico, resolveremos ecuaciones y un buen nmero deproblemas.


241 lgebra.1deESO1.LENGUAJEALGEBRAICO

1.1.LetrasynmerosAnuestroalrededornosencontramosconmultituddesmboloscuyosignificadoconocemos,comolassealesdetrficooalgunoslogotipos.

El lenguaje algebraico consigue que podamos expresarmensajes en los que las letras representanvariablesdevalordesconocido.Utilizaletras,nmerosyoperacionespararepresentarunainformacin.

Ejemplo1:

Yahasutilizadoellenguajealgebraicoparaindicarelreadeuncuadradodeladoa:A=a2;elreadeuncrculoderadior:A=r2.

Para cada situacin podemos utilizar la letra que queramos, aunque, cuando hablamos de algodesconocido,laletramsutilizadaeslax.

Ejemplo2:

Eldobledelaedaddeunapersona 2x

Eltripledeunnmeromenos43x4

Las expresiones que nos permiten reflejar mediante letras y nmeros una situacin se llamanexpresionesalgebraicas.

Actividadesresueltas1. Expresalassiguientesfrasesenlenguajealgebraico:

Eltripledeunnmero 3x

Lasumadedosnmerosconsecutivos x+(x+1)

Laedaddeunaniahace2aos x2

Lasumadedosnmeros a+b

Actividadespropuestas2. Expresalassiguientesfrasesenlenguajealgebraico:

a)Eldobledeunnmeromssutriple

b)Laedaddeunapersonadentrode7aos

c)Laquintapartedeunnmero

d)Ladiferenciaentredosnmeros

El triple de un nmero

ElpropioAljabrusoriginariamente lapalabra cosa, (por ejemplo, en lugar de 2xdeca"eldobledeunacosa"),queenrabesuenacomoay"yquese tradujoalespaolcomo"xei".Deaquprocedelaxactual.


242 lgebra.1deESO1.2.CoeficienteyparteliteralUnaexpresinalgebraicapuedeestarformadaporunoovariossumandosquesedenominantrminosomonomios.Unasumademonomiosesunpolinomio.

En un monomio la parte literal son las letras y se llama coeficiente al nmero por el que vanmultiplicadas.

Ejemplo3:

Enlaexpresin4x,elcoeficientees4ylaparteliteralx.En7abelcoeficientees7ylaparteliteralab.

Cuandolaexpresinespositivanosueleirprecedidadelsigno+,aunquesiempreaparecerelsignoenlasexpresionesnegativas.

Ejemplo4:

Sealaelcoeficienteylaparteliteralenlaexpresin6a.Elcoeficientees6ylaparteliterala.

Actividadesresueltas3. Sealaloscoeficientes,laspartesliteralesyelnmerodemonomiosdelaexpresinalgebraica:

3a5b+c+6

Estaexpresinalgebraicatiene4trminoso4monomios:3a,5b,cy6.Loscoeficientesson+3,5,+1y+6respectivamente.Laspartesliteralessona,byc.Elltimotrminonotieneparteliteral.

4. Sealaenelpolinomio8x+5x2xculessonloscoeficientes.Loscoeficientesson8,5y2.

1.3.ValornumricodeunaexpresinalgebraicaSi a las letras de una expresin algebraica se les da un valor concreto, se puede calcular el valornumricodedichaexpresin.

Actividadesresueltas5. Calculaelvalornumricodelaexpresin3x+2cuandoxvale5.Hayquesustituirenlaexpresin,xporsuvalor,5.Portanto:35+2=15+2=17,queeselvalornumricocuandoxvale5.

1.4.EquivalenciaysimplificacindeexpresionesalgebraicasLaexpresinalgebraica4x+4xesequivalentealaexpresin8x,queessuexpresinmssimplificada.

Actividadespropuestas6. Seala el coeficiente, la parte literal y el nmero de trminos omonomios de los polinomios

siguientes:a)27xb)a+3b8c c)4x+5d)7x+95y

7. Calculaelvalornumricodelossiguientespolinomios:a)2x+3yparax=3,y=2.b)6aparaa=5.c)3a+4bcparab=1,a=1yc=+2.


243 lgebra.1deESO


244 lgebra.1deESO2.ECUACIONESDEPRIMERGRADO

2.1.EllenguajedelasecuacionesUnaecuacinesunaigualdadentredosexpresionesalgebraicas.Ejemplo5:Si tenemosdosexpresionesalgebraicas:3xy2x+1,y lasunimosconel signo igualobtenemosunaecuacin:3x=2x+1.Lasexpresionesquehayacadaladodeligualsellamanmiembrosdelaecuacin.Todaslasecuacionestienendosmiembros:laexpresinqueestalaizquierdadelsignoigualsellamaprimermiembroylaqueestaladerecha,segundomiembro.Las letrasque contienen lasecuaciones algebraicas (las "partes literales"de susdosexpresiones) sellamanincgnitas,quesignificaliteralmente"desconocidas".Sitodaslasletrassoniguales,sedicequelaecuacintieneunasolaincgnita.Ejemplo6:

3x2=2x+1esunaecuacinconunasolaincgnita,mientrasque:2x+y=5ox2=3ysonecuacionescondosincgnitas:xey.

Elgradodeunaecuacineselmayorexponentequeapareceenalgunade susincgnitas.Ejemplo7:

7x5=x+7esunaecuacindeprimergrado,mientrasquex+3y2=9esunaecuacindesegundogrado.

Solucindeunaecuacin:Unasolucindeunaecuacinesunnmeroque,cuandolaincgnitatomaese valor, se verifica la igualdad, es decir, los dos trminos de la ecuacin valen lomismo.Algunasecuacionessolotienenunasolucin,perootraspuedentenervarias.Resolverunaecuacinesencontrartodassusposiblessolucionesnumricas.

Actividadesresueltas8. Site fijasen laecuacin:3x2=2x+1,versquealdarlevaloresax la igualdadnosiemprese

cumple.

Porejemplo,parax=1,elprimermiembrovale312=+1,mientrasqueelvalordelsegundomiembroes:21+1=2+1=3.Parax=3,elprimermiembrotomaelvalor:332=92=7;yelsegundomiembro:23+1=6+1=7.Portanto3esunasolucindelaecuacin.

Actividadespropuestas9. Copiaentucuadernolasiguientetablaycompltala:Ecuacin Primermiembro Segundomiembro Incgnitas

7x3=4x5

6x+2 x 8

4a+9=23

xy 5+y

10. Averiguaculdelosnmeroseslasolucindelaecuacinyescrbeloentucuaderno:

Ecuacin Posiblessoluciones Ecuacin Posiblessoluciones

3x+7=x3 2,1,5 a2 5 =1 2,10,2

x+2=4x1 1,2,3 b 3=7 b 2,4,6


245 lgebra.1deESO2.2.Ecuacionesequivalentes.ResolucindeecuacionesSisedesconoce lasolucindeunaecuacin,resultamuypesadoresolverlaprobandounnmerotrasotro. Por eso lo que se hace habitualmente es transformarla en otras ecuaciones equivalentesmssencillas.

Ecuacionesequivalentessonlasquetienenlasmismassoluciones.

Ejemplo8:

2x5=11esequivalentea2x=16,puestoquelasolucindeambasecuacionesesx=8.

Paraobtenerecuacionesequivalentessetienenencuentalassiguientespropiedades:

Sisesumaoserestaalosdosmiembrosdeunaecuacin unamisma cantidad, se obtiene unaecuacinequivalente.

Sisemultiplicanodividenlosdosmiembrosdeunaecuacinporunamismacantidad (distintadecero),seobtieneunaecuacinequivalente.

Actividadesresueltas11. Resuelvelaecuacin3x+7=x3transformndolaenotramssencillaequivalente.Transformarunaecuacinhastaquesussolucionessehaganevidentessellama"resolverlaecuacin".Siguiendoestospasosintentaremosresolverlaecuacin:1)Sumamosalosdosmiembrosxyrestamosalosdosmiembros7:3xx+77=xx37.2)Hacemosoperacionesyconseguimosotraecuacinquetieneenelprimermiembrolostrminosconxyenelsegundo,lostrminossinx:3xx=37.3)Efectuamoslassumasenelprimermiembroyenelsegundo:2x=10.

4)Despejamosxdividiendolosdosmiembrospor2: dedondex=5.

5)Compruebaquetodaslasecuacionesquehemosobtenidoenesteprocesosonequivalentesyquesusolucinesx=5.

12. Resuelvelaecuacin8x=2x4.1)Sumamosxy4parapasaraunmiembrolostrminosconxyalotromiembrolostrminossinx:

8x+x+4=2x+x4+4,2)Hacemosoperaciones:8+4=2x+x3)Efectuamoslassumas:12=3x.4)Despejamosxdividiendolosdosmiembrospor3:4=x.Lasolucindelaecuacinesx=4.

Actividadespropuestas13. Resuelvelassiguientesecuaciones:a)3x5=2x7 b)6x+8=3x4 c)5x+2=12 d)4x7=3x7

14. Eligeentrelassiguientesecuacionestodaslasqueseanequivalentesalaecuacin3x6=2x+9.a)x+10=5 c)10x=3x5x e)4x=30 e)2x=10+20 g)15=x

15. Escribedosecuacionesequivalentesacadaunadelasecuacionessiguientes:a)2x4=11 b)3x=12 c)5x+11=6 d)x=3

Sabas que todas las soluciones de todas las expresiones algebraicas posibles, de cualquier grado, forman lo que se denomina los "nmeros algebraicos"? Por ejemplo, son

algebraicos todos estos nmeros: 1, 2, 1/3, 7/5, , , etc. Aunque la inmensa mayora de los nmeros que utilizamos en nuestra vida cotidiana son algebraicos, debes saber que re-almente hay muchos, muchsimos ms nmeros "no algebrai-cos" que ya irs conociendo, aunque alguno ya conoces co-mo al nmero .

Elprocedimientoutilizadoenlasactividades10y11esunmtodouniversalpara resolvercualquierecuacindegrado1,esdecir,dondexaparecesinelevaraotroexponentecomoenx2.Lasecuacionesdeprimergradotienensiempreunanicasolucin,peroengeneral,lassolucionesno tienenporqu sernmerosenteros comoenlosejemplos.


246 lgebra.1deESO


247 lgebra.1deESO3.RESOLUCINDEPROBLEMASMEDIANTEECUACIONES

3.1.ProcedimientoMuchosproblemaspuedenresolversemedianteunaecuacin.

Actividadesresueltas16. Buscaunnmeroquesumadoconsusiguientedcomoresultado7.Pararesolverlo,siguelossiguientespasos:

Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema

Leeconmuchocuidadoelenunciado,ypregntate:

Qutepiden? Qudatostienes?

Nospidenunnmero.Laincgnitaesesenmero.Llamaaesenmerox.Susiguiente,serx+1.Nosdicenquelasumadeamboses7.

Paso2:Buscaunabuenaestrategia.

Esunproblemaquequeremosresolvermedianteunaecuacin.Escribeenlenguajealgebraicoelenunciadodelproblemayplanteaunaecuacin:

x+(x+1)=7.

Pregntatesiefectivamenteresuelveelproblemareleyendoelenunciado.

Paso3:Llevaadelantetuestrategia

Ahorasi,ahoraresuelvelaecuacin.Pararesolverunaecuacinconvieneseguirunordendeactuacinquenosayudeanocometererrores,paraelloseguimoselprocedimientoqueacabamosdeaprender.

Quita,siloshay,parntesisydenominadores:x+x+1=7

Paraponerenelprimermiembro lostrminosconx,yenelsegundo losqueno lotienen,haz lomismoa losdos lados,resta1alosdosmiembros:x+x+11=71,luegox+x=71.Opera:2x=6.Despeja:

Paradespejarlax,sehacelomismoalosdoslados,sedividenpor2ambosmiembros:2x/2=6/2,portanto,x=3.

Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.

Enefecto,compruebaque:3+4=7.

Actividadespropuestas17. Lasumadetresnmerosconsecutivosesigualaldobledelmayorms1.Calcula

dichosnmeros.18. Lamadredelvaro tieneel triplede laedadde suhijo, yste tiene30aos

menosquesumadre.Cuntosaostienencadauno?19. El permetro de un tringulo isscelesmide 30 centmetros. El lado desigual

midelamitaddeunodesusladosiguales.Cuntomidecadalado?20. UnmagoleproponeunjuegoaAdela:Piensaunnmero,smale7,multiplicael

resultadopor2,rstale10yrstaleelnmero.Dimequtesale.Adeladijo9.Yelmagolecontestdeinmediato:Elnmeroquepensastees5.Adivinacmolosupoelmago.

21. Quieressertuahoraelmago?Inventaunjuegoyescrbelo,parapoderadivinarelnmeropensado.


248 lgebra.1deESO3.2.Problemasnumricos

Actividadesresueltas22. Enunpequeohotelhay50habitaciones simplesydobles.Sien total tiene87 camas,cuntas

habitacionessonsimplesycuntassondobles?

Siguelospasosparalaresolucindeproblemas.


Llamaxalnmerodehabitacionessimples.Elnmerodehabitacionesdobleses34x.Elnmerodecamases54.

Paso2:Buscaunabuenaestrategia.

Escribeenformadeecuacinlainformacindelenunciado:

x+2(34x)=54.


Resuelvelaecuacin.Quitaparntesis:

x+682x=54.

Paraponerenelprimermiembrolostrminosconxyenelsegundolostrminossinx,resta68alosdosmiembros:

x+682x68=5468.

Opera:

x=14

Paradespejarlaxdividelosdosmiembrospor1:

x=14/1=14.


Hay14habitacionessimples.Luegohay3414=20habitacionesdobles.Portantoelnmerodecamases54pues:

14+220=54.

23. En una granja hay 50 animales entre gallinas yconejos, y entre todos los animales suman 120patas.Cuntasgallinashayenlagranja?


Llamaxalnmerodegallinas,ycomohay50animalesentotal,conejostendremos50x.

Comounagallina tiene2patasyun conejo4, tendremosentotal2x+4(50x)patas.


249 lgebra.1deESOPaso2:Buscaunabuenaestrategia.

Comosabemosqueelnmerototaldepatases120,podemosescribirestaecuacin:

2x+4(50x)=120


Resuelvelaecuacin.Quitaparntesis:

2x+2004x=120

Sirestamos200enambosladosobtenemos:

2x+2004x200=120200

Operandoobtenemos:

2x=80

Dividiendopor2enambosladosresolvemoslaecuacin:

2x/2=80/2luegox=40.


Hay40gallinasy10conejospues50x=5040=10.

Laspatasde40gallinasy10conejossuman402+104=80+40=120

Actividadespropuestas24. Unmagoledijo:Piensaunnmero,smale12,multiplicapor2elresultado,resta20ydividepor2.

Dime que te sale.Dijo 35. Y elmago le contest de inmediato: El nmero que pensaste es 33.Adivinacomolosupoelmago.(Sugerencia:escribepreviamentelacadenadeoperaciones).

25. Piensaunnmero,multiplcalepor 10, rstale elnmeroquehaspensado ydivide el resultadoentre9.Hasobtenidoelnmeroquepensaste!Buscaeltruco:escribealgebraicamente,llamandoxal nmero, la expresin algebraica de las operacionesrealizadas,yadivinacomolosupoelmago.

26. Si lasumadetresnmerosconsecutivoses63,dequnmeros se trata? (Sugerencia: ilustra la situacin conuna balanza equilibrada. Mantenla equilibrada hastaconseguir la ecuacin equivalente que nos d elresultado).

27. Hemoscomprado8librosigualesyhemospagadoconunbilletede50.Sinoshandevuelto10,cuntocostabacadalibro?


250 lgebra.1deESO3.3.ProblemasdegeometraMuchosproblemasdegeometrasepuedenresolverpormtodosalgebraicos,utilizandoecuaciones.

Actividadesresueltas28. Sequieredibujaruntringulode55cmdepermetro,deformaqueunladoseaeldobledeotro,y

elterceroseaeltripledelmenormenos5cm.Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblemaDibujauntringulo,pensandoenlosdatosdelenunciado.Llamamosxalladomenor,deestaformapuedesdefinirlosotrosdoslados.Elladomedianoes2x.Elladomayores3x5Paso2:Buscaunabuenaestrategia.Comoelpermetroes55,sepuedeplantearlaecuacin:x+2x+(3x5)=55Paso3:LlevaadelantetuestrategiaSeresuelvelaecuacin:x+2x+3x5+5=55+5;x+2x+3x=60;6x=60.Luegox=60/6=10eslalongituddelladomenor.Losotrosdosladosmiden2x=20y3x5=25.Solucin:Losladosdeltringulomiden10cm,20cmy25cm.Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Sumandolostreslados,10+20+25=55,obtenemoselpermetrodeltringulo,55.

Actividadesresueltas29. Tienesunrectngulodealturaxcmydebase2x+3.Sialabasedeesterectngulolequitan2cmy

alaalturaleaaden5cm,seconvierteenuncuadrado.Qudimensionestiene?


Dibujaunrectnguloconlascondicionesdelproblema.Laexpresin2x+32expresalos2cmquelequitaalabaseyx+5expresalos5cmqueleaadenalaaltura.Paso2:Buscaunabuenaestrategia.

Sisehaformadouncuadradocomolosladossonigualesambasexpresionesdebenserequivalentes:2x+32=x+5Paso3:Llevaadelantetuestrategia

Resuelvelaecuacin:2x+32x3+2=xx3+2+5;2xx=4;x=4Solucin:x=4cmeslalongituddelaalturadelrectngulo.Portanto,24+3=11cmmidelabasedelrectngulo.

Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Enefecto,alaalturalesumamos5,4+5=9,yalabaselerestamos2,112=9,seobtieneuncuadrado.

Actividadespropuestas30. Cadaunode los lados igualesdeun tringulo issceleses igualaldobledel

tercerladomenos3cm.Calculasumedidasielpermetrodeltringuloes84cm.

31. Calculaelreadeuntringulorectngulo,sabiendoquesuscatetossuman20cmyelcatetomayormide4cmmsqueelmenor.

32. Calculalamedidadelosngulosagudosdeuntringulorectngulo,sabiendoqueelngulomayoresigualaltripledelmenormenos6.


251 lgebra.1deESO3.4.Otrosproblemas

Actividadesresueltas33. Sitenemos21billetesde5yde10quesumanentotal170,cuntosbilletestenemosdecada

clase?Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblemaLlamaxalnmerodebilletesde5yelresto,21x,serelnmerodebilletesde10.Paso2:Buscaunabuenaestrategia.Plantealaecuacinqueexpresalasumaeneurosdelosdostiposdebilletes:5x+10(21x)=170Paso3:LlevaadelantetuestrategiaPararesolverlaecuacin,loprimero,quitaparntesis:5x+21010x=170Dejaenelprimermiembrotodoslostrminosconx,yenelsegundolosquenotienenx:5x10x+210210=210+170Hazoperaciones: 5x=40Despejalaincgnita:x=(40):(5)=+8Portanto,tenemos8billetesde5,y218=13eselnmerodebilletesde10.Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Comprobamosque85=40y1310=130.Yque,enefecto,40+130=70.Solucin:Tenemos8billetesde5y13billetesde10.

Actividadespropuestas34. Dosmotocicletassalenalmismotiempodedospuntosquedistan420

km,en lamismadireccinperoen sentido contrario. Laprimera llevaunavelocidadde60km/hy la segunda,de80km/h.Cunto tiempotardarnencruzarse?

Ayuda:HazundiagramaparacomprenderelenunciadoSolucin:Tardan3horasencruzarse.

35. Doscochessalendedospuntossituadosa560kmdedistancia,unoalencuentrodeotro.Elprimerollevaunavelocidadde70km/hyelsegundode90km/h.Cuntashorastardanencruzarse?

36. Sienelmonederotenemos16monedasde10centyde20cntimosdeeuro,yentotalreunimos2,cuntasmonedasdecadaclasetenemos?37. Siunbolgrafovaleeltripledelpreciodeunlpiz,hecompradountotalde7lpices y bolgrafos, y he pagado en total 5,50 , cuntos bolgrafos y cuntoslpiceshecomprado?38. Nieves tiene una pareja de hmsteres con una camada de varias cras. Le

regalaaunamiga lamitadde lascras.Aunsegundoamigo leregala lamitadde lascrasque lequedanmsmediacra.Lanicacraque lequedase la regalaaun terceramigo.Cuntascrasformabanlacamada?

39. Dosamigas,MaiteyAna,fueronavisitarunagranjaenlaquehabagallinasyconejos.AlsalirAnalepreguntaMaite:Sabescuntasgallinasycuntosconejoshaba. No,dijoMaite,perohabaentotal72ojosy122patas.Averiguaelnmerodegallinasydeconejosdelagranja.

40. Deundepsitollenodelquidosesacalamitaddelcontenido,despuslatercerapartedelrestoyquedanan1600litros.Calculalacapacidaddeldepsito.


252 lgebra.1deESOCURIOSIDADES.REVISTA

A)CuadradosmgicosEn el cuadroMelancola del famoso pintor alemn Alberto Durero(14711528) apareceeste cuadradomgicoenelque todas las filas,columnasydiagonalessumanlomismo,yademsesemismoresultadoseobtienesumandolascuatrocasillascentrales.Adems,lasdoscasillasdelcentrodelalneainferiorindicanelaoenelqueestecuadradomgicofueresuelto,1514.40.Confeccionaun cuadradomgicode3 x3 casillas, colocando losdgitosdel1al9de formaque todas las filas, todas las columnas, ytodaslasdiagonalessumenlomismo.

B)EMMYNOETHER(18821935)EmmyNoetherfueunafamosaalgebrista.NacienAlemania,hijadepadresjudos. Su padre era catedrtico dematemticas en laUniversidad y Emmyhereddellapasinporlasmatemticas.Sinembargo,poraquellapocalaUniversidadnoadmitaque lasmujeresdesarrollasenestudioscientficos,asque tuvoqueconseguirunpermisoespecialparaque ladejaranasistira lasclases, aunque no tena derecho a examinarse. Aosms tarde, las leyescambiaron y pudo doctorarse. Trabaj con losmatemticos alemanesmsbrillantesydesarrollunteoremaesencialpara laTeorade laRelatividadenla que estaba trabajando Albert Einstein. Ante la situacin poltica deAlemania,conlasubidaalpoderdeHltler,tuvoqueexiliarseaEstadosUnidos.AllcoincidiconEinsteinquienlededicestaspalabras:Ajuiciodelosmatemticosmscompetentesque todavaviven,desdeque lasmujeresempezarona recibirenseanza superior,EmmyNoetherhatenido el genio creativoms destacado que haya surgido hasta la fecha de hoy en el campo de lamatemtica.

C)DIOFANTODiofantofueunfamosomatemticogriegodelsigloIIId.C.Enelepitafiodesutumbaescribi:Caminante!AquyacenlosrestosdeDiofanto.Losnmerospuedenmostrarohmaravilla!Laduracindesuvida,cuyasextaparteconstituylahermosainfancia.Habatranscurridoademsunaduodcimapartedesuvidacuandosecubridevellosubarba.Apartirdeah,lasptimapartedesuexistenciatranscurrienunmatrimonioestril.Pas,ademsunquinquenioyentonceslehizodichosoelnacimientodeprimognito.Esteentregsucuerpoysuhermosaexistenciaalatierrahabiendovividolamitaddeloquesupadrellegavivir.Porsuparte,Diofantodescendialasepulturaconprofundapenahabiendosobrevividocuatroaosasuhijo.Dime,caminante,cuntosaosviviDiofanto.41. a)EscribeenlenguajealgebraicoelepitafiodelatumbadeDiofanto

b)Resuelvelaecuacin.CompruebaqueDiofantovivi84aos.

Emmy Noether

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1


253 lgebra.1deESORESUMEN

Ejemplos

Lenguajealgebraico Utilizaletrasynmerospararepresentarunainformacin readeunrectngulo=baseporaltura:A=ba

Expresinalgebraica

Expresionesquereflejanunasituacinmedianteletrasynmeros

x+3x

Monomiootrminoalgebraico

Constadecoeficienteyparteliteral.Vanseparadosporlossignos+,,=.

5x2

Coeficiente Nmeroquemultiplicaenunmonomio Elcoeficientede5x2es5.

Valornumricodeunaexpresinalgebraica

Nmeroqueseobtienealsustituirlasletraspornmerosyhacerlasoperaciones.

Elvalornumricodex+3x+5parax=2es:2+3(2)+5=26+5=3

Ecuacin Igualdadentredosexpresionesalgebraicas. 3x1=2x+5

Miembrosdeunaecuacin

Cadaunadelasdosexpresionesalgebraicasqueformanlaecuacin.Vanseparadosporelsigno=.

Enlaecuacinanterior3x 1eselprimermiembro,y2x+5eselsegundomiembro

Incgnitas Letrasdevalordesconocidoquecontienenunaecuacin En3x1=2x+5laincgnitaesx.

Gradodeunaecuacin

Elmayorexponentedelaincgnita. Laecuacin3x1=2x +5 esdeprimergrado.Laecuacin3x2=27esdesegundogrado.

Solucindeunaecuacin

Nmeroporelquesepuedesustituirlaincgnitaparaquelaigualdadseacierta.

Lasolucinde3x 1=2x +5esx=6.

Resolverunaecuacin

Eshallarsusolucin. 3x1=2x+53x2x1+1=2x2x+5+1x=6

Ecuacionesequivalentes

Tienenlasmismassoluciones 2x5=x+2esequivalentea:

2xx=2+5

Pasospararesolverunaecuacin:

QuitarparntesisQuitardenominadoresAgruparlostrminosconxenunmiembroylostrminossinxenelotro.OperarDespejarlax.

(3x1)=7/21. 6x2=7/22. 12x4=73. 12x=7+44. 12x=115. x=11/12

Pasospararesolverunproblemamedianteecuaciones

Leerelenunciado.Escribirlaecuacin.Resolverlaecuacin.Comprobarlasolucin.

Hallarunnmeroquesumadoa7dalomismoquesudoblemenos3.1)Comprenderelenunciado2)x+7=2x33)x2x=37;x=10;x=104)10+7=2103


254 lgebra.1deESOEJERCICIOSYPROBLEMAS.Matemticas1deESO

Lenguajealgebraico1. Expresaentucuadernoenlenguajealgebraico

a) Eltripledeunnmeroesiguala21.

b) Aunciertonmeroselesuma2,semultiplicaelresultadopor3,ysedivideentre4.

c) Eldobledeunnmeroms6.

d) Unnmeromssuanterior.

2. Copiaentucuadernoyrelaciona:

a)Eldobledeunnmero 1)x17

b)Ladiferenciaentreunnmeroy17 2)

c)Elproductodeunnmeropor3 3)2(x+5)

d)Laquintapartedeunnmero 4)2x2

e)Eldobledelcuadradodeunnmero 5)x+y

f)Elnmerosiguienteax 6)2x

g)Lasumadedosnmeros 7)x+1

h)Eldobledelasumadeunnmeroy5 8)x/5

i)Latercerapartedelcuadradodeunnmero 9)3x

3. SillamamosxalosahorrosquetieneLaura,expresaalgebraicamente:a)AMaralefaltan7paratenerlosmismosahorrosqueLaura.

b)Alfonsotiene14msqueLaura.

c)Martntiene3menosqueeldobledeLaura.

d)FtimatieneigualqueLaurayRosa.

4. Heaquloquesabemosdelasedadesdeungrupodeamigos:a)Juantiene3aosmsqueAntonio;

b)ElenatieneeldoblequeJuan;

c)Flixtiene5aosmenosqueElenayLauratienelamitadqueAntonio.

d)Si laedaddeAntonioesx, indica,medianteexpresionesalgebraicas, lasedadesde losotrosamigos.


255 lgebra.1deESO5. Escribeenlenguajealgebraicolassiguientesinformacionesrelativasalabasexylaalturaydeun

rectngulo:

a) Labaseesdoblequelaaltura

b) Labaseexcedeen5unidadesalaaltura

c) Laalturaes3/7delabase

d) Elreadelrectngulovale20cm2.

e) Ladiferenciaentrelaalturaylabaseesde10unidades.

6. Escribelassiguientesoperacionesenlenguajeordinarioa) x+5 b) a4 c) 2x d) y2

7. Completaentucuadernolasfrasessiguientes:a) Enunaexpresin...puedehabernmeros,letrasysignosdeoperacin.

b) Unnmerocualquieraseindicaenlgebramedianteuna...,porejemplo,lax.

c) Enlaexpresin3xelnmero3esel....

d) Laecuacinx2=25esde...grado.

e) Elprimermiembrodelaecuacin3x+1=2x7es...

f) Dosecuacionesquetienenlasmismassolucionessellaman...

g) Una...esunaigualdadentredosexpresionesalgebraicas.

h) Elnmeroporelquesesustituye la incgnitadeunaecuacindemaneraque la igualdadseaciertasellama...delaecuacin.

i) ...unaecuacineshallarelvalordelaincgnita.

j) Sielmayorexponentedelaincgnitadeunaecuacines1,entonceslaecuacinesde...grado.

8. Elkilodemelocotonescuestaxeuros.Indicaenlenguajealgebraicoelpreciode:a) Elcuartodekilodemelocotones

b) Treskilosdemelocotones

c) El kilo de mandarinas sabiendo que es 75 cntimos ms barato que el kilo demelocotones.

9. Llamamosxaunacantidad.Escribeenlenguajealgebraico:a) Eldobledeesacantidadms9.

b) Esacantidadms5.

c) 20menosesacantidad.

d) Cuatrovecesesacantidadmenos7.

e) Lamitaddeesacantidadms8.

f) Sietevecesesacantidadmenoslatercerapartedelacantidad.


256 lgebra.1deESO10. Calculaelvalornumricodelasexpresionessiguientesparax=2.

a) 5x3 b) 2(x+5) c) (x4)/2 d)7(2x2)

11. Simplificalassiguientesexpresiones:a) x+x+xx b) 2x+3x+5xx c) x/2+x/2 d) 2(x+3x2x)

12. Escribeen tucuadernoelvalornumricodecadaexpresinparaelvalordexquese indicaencadacaso:

Expresin Valordex Valornumrico

a) 5x4+x 1

b) x3+7x 2

c) x+3+2x 3

d) 3xx 4

e) 2x3 2

13. Realizalasoperacionessiguientesa) 3x+5x2y+9y4x3y b) (2x5x2)(3x2+5x)

c) 3(7x3)2(2x+5) d) 2a5a+7a8a+b

Ecuaciones14. Copiaentucuadernolasiguientetablaycompltala:

Ecuacin Primermiembro Segundomiembro Incgnitas

8x5=2x1

7x+3 2x8

4x+3=6x+9

4a+11=23

xy 5+y

15. Calculamentalmenteelvalorquesedebeasignaracadacrculo:a) 2O=30 b) 10=O:5 c) 3O=27 d) 5=O:3

16. Escribedosecuacionesequivalentesacadaunadelasecuacionessiguientes:a)3x4=11 b)2x=9 c)x+11=6 d)x=3

17. Resuelvelasecuacionessiguientes:a)2x+4=7 b)4x+3=15 c)5x2=37 d)2x3x=55


257 lgebra.1deESO18. Relacionacadaecuacinconsusolucin:

a)x+5=7x1 b)3x2=4x c)x9=32x d)5=x+9 e)82x=53x

f)9x2=5x g)3+2x=1 h)6x=5+9x i)x=62x j) 2x + 4=x+7

Soluciones:

1)x=4 2)x=4 3)x=3 4)x=1,5 5)x=0,5

6)x=1 7)x=0,1 8)x=1 9)x=3 10)x=2.

19. Disilassiguientesfrasessonverdaderasofalsas.Razonalarespuesta.a) Laecuacinx+3=5esequivalenteax+5=3.

b) Laecuacin2x+3=7x1tienedosincgnitas.

c) Laecuacinx3+5=2x2esdetercergrado.

d) Elvalornumricode5x2parax=1es7.

e) Lasolucindelaecuacin6x=3es2.

20. Encuentralosnmerosquefaltan:a) 15=252O b) 100=25O c) 200=O(25) d) 40 =O

(20)

21. Resuelveentucuadernolassiguientesecuaciones:a) x+3=9 b) x+5=4 c) x+1=78 d) x+7=46

22. Eneltrensepuedetransportarunperritosiemprequesupesonoexcedade6kg.AveriguaaculdemisperritospodrallevarmedeviajeeneltrensabiendoqueEderpesa8kilosyqueelvalordexeselmismoentodosloscasos:

Nombre Pesoenkg

Eder 2x

Peque 3(x7)

Gosca 3x5+6x

Atila 4x+65x

Clea 12x+9x

23. Encuentralosnmerosquefaltan:a) O+3=8 b) O+7=3 c) O6=10 d) O8=2

24. Resuelve las siguientes ecuaciones: (Sugerencia: ilustra las ecuaciones mediante balanzasequilibradas. Mantenlas equilibradas hasta conseguir la ecuacin equivalente que nos d elresultado).

a) x+5=10 b) x+7=4 c) x+3=8 d) x+7=12


258 lgebra.1deESO25. Resuelveentucuadernolassiguientesecuaciones:

a) x4=7 b) x34=12 c) x21=84 d) x28=7

Problemas26. Sieldobledeunnmeromenos3esiguala7,culeselnmero?27. Unrectngulotiene7cmdebaseysureaesde21cm2,qualturatiene?28. Lasumadetresnmerosconsecutivoses48.Cuntovalecadanmero?29. Sienunafamilia lasumade laedadesde lostreshijosesde37aos,Anaes2aosmenorque

Antonio,yestees3aosmenorqueMaite,quedadtienecadahijo?

30. Siunaparcelarectangulartiene4mmenosdeanchoquedelargo,ylavallaquelorodeamide88m,qudimensionestienelaparcela?

31. Para cada uno de los siguientes enunciados, dibuja la figura que corresponda, escribe unaecuacinyresulvela:

a) Halla las dimensiones de un rectngulo si la basemide 3 cmms que la altura y elpermetroes22cm.

b) Elpermetrodeuncuadradoes28mm.Cuntomidesulado?

c) Elladodesigualdeuntringuloisscelesmide7cmysupermetromide35cm.Cuntomidecadaunodelosladosiguales?

d) Elpermetrodeunoctgonoregulares28cmmayorqueeldeuncuadradode36cm2derea.Averiguaelladodeloctgono.

e) Cadaunodelosngulosdeuncuadrilteroirregularmide30msqueelnguloanterior.Cuntomidecadaunode loscuatrongulosdelcuadriltero?(Ayuda:recuerdaque lasumadelosngulosinterioresdeuncuadrilteroes360).

f) Las medidas de los lados de un tringulo escaleno son nmeros consecutivos y elpermetroes33cm.Cuntomidecadalado?

g) Dosngulossoncomplementariosysediferencianen18.Cuntomiden?

h) Dosngulossuplementariossediferencianen25.Cuntomidecadauno?

32. Escribeenlenguajealgebraico:Lasumadelosngulosinterioresdeunpolgonoestantasveces180,como lados tengamenos2.Cuntos lados tieneunpolgono si la sumade susngulosinterioreses720?

33. Siuntringuloisscelestieneunpermetrode36cm,ysuladodesigualmide5cmmenosquesusladosiguales,cuntomidensuslados?

34. Hallalasedadesdetreshermanossabiendoquesuman52aos,quelosdospequeossellevandosaos,yqueelmayortienetantosaoscomolosotrosdosjuntos.

35. Unmontaerohaceunarutade48kmentresetapas.Elsegundodarecorre10kmmsqueelprimeroyeltercerdarecorre7kmmsqueelsegundo.Cuntorecorrecadada?

36. Tengo26monedasde1yde2,quevalenentotal37.Cuntasmonedastengodecadaclase?


259 lgebra.1deESO37. Alfonsoquieresabercuntopesalacompotademorasquehahecho,perosolotienepesasde1

kgyde200gr.Compruebaquesiponelosdosbotesigualesdecompota,juntoconlapesade200grenunplatode labalanza, yenelotroplato lapesade1 kg, labalanzaquedaequilibrada.Cuntopesacadabote?

38. Simultiplicasaunnmeropor5yluegolesumas12,obtienes62,dequnmerosetrata?39. Elpatiodeuncolegioesrectangular,eldobledelargoquedeancho,ysupermetroesde600m.

Sisequiereponerunavallaquecuestaa3elmetroenel ladoms largo.Cuntohabrquepagar?

40. Albertohasacadoun8enunexamende10preguntas.En laprimerapreguntasacunpunto,yen laltima,quedejenblancopor faltade tiempo,uncero.Laprofesora lehadichoqueentodaslaspreguntascentraleshaobtenidolamismapuntuacin.Culhasidoesanota?

41. Marioestudia loquems le gusta las2/5partesdel tiempodiarioquededica alestudio, y lesobran72minutosparaelrestodematerias.Cuntoestudiacadada?

42. SiCristinatiene12aosysumadre,36,cuntosaosdebenpasarparaquelaedaddelamadreseaeldobledeladesuhija?

43. Miriamledicealmago,piensaunnmero,multiplcalopor2,ahorasmale10,divideelresultadoentre2yrestaelnmeroquehaspensado.Tienesun5?

a)EscribeenformaalgebraicaeljuegodemagiadeMiriam,ydescubresutruco.

b)Inventaunnuevojuegodemagia.

44. Carloshacomprado25cuadernos, loshapagadoconunbilletede20,y lehandevuelto12.Escribeunaecuacinquepermitacalcularelpreciodecadacuaderno.

45. Untringuloequilterotieneunpermetrode36cm,cuntomidesulado?46. Braulio,RosayGuillermohanganado1200enlalotera.SiBrauliohabapagadolaterceraparte

deldcimo,Rosa,lamitad,yGuillermo,elresto,cmodebenrepartirloquehanganado.


260 lgebra.1deESOAUTOEVALUACINDE1DEESO

1. Loscoeficientesdelaexpresinalgebraica5x7+y,son:

a)5,7y1 b)+5,7y+1c)+5y7

2. Elvalornumricodelaexpresinalgebraica2a+6b,cuandoa=2yb=1,es:

a)2 b)2 c)4

3. Lasolucindelaecuacin3+x4x=8+2xes:

a)+5 b)+1 c)1

4. Eldobledeunnmeroms2,equivaleasutriplemenos10.Elnmeroes:

a)5 b)11 c)12

5. La sumade lasedadesdedospersonasesde48 aos y sudiferencia,14 aos. Culde lassiguientesecuacionesnospermitecalcularsusedades?

a)x+x+14=48 b)x14=48c)48+x=14x

6. Elpermetrodeun rectngulo es 72 cm. Si labase es eldoblede la alturamenos 9 cm, lasdimensionesdelrectnguloson:

a)21y15 b)20y16 c)30y6

7. Tresnmerossuman77.Elmedianoeseldobledelmenor,yelmayorestripledelmenormenos7.Culdeestasecuacionesnospermitehallarlosnmeros?

a)2x+x+3x=77 b)x+3x+2x=77+7 c)x+2x+3x=777

8. Tenemos12monedasde2y1.Sientotaltenemos19,decadaclasedemonedas,tenemos:

a)6y6 b)7y5 c)8y4

9. LamadredeJuantieneeldoblede laedaddeestems5aos.Lasumadesusedadeses38aos.Laecuacinqueplanteamosparasabersusedadeses:

a)x+2x+5=38 b)x+5=2x c)x+2x=38

10. Con24hemoscomprado5objetos igualesynoshansobrado6 .Elpreciodecadaobjetopodemosconocerloalresolverlaecuacin:

a)5x=24+6 b)x+5=24 c)5x+6=24

1.11 Algebra

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