Guia Algebra

Complemento didáctico para álgebraApoyo didáctico de la Profra.

1

Este material está elaborado con la finalidad de ayudar al estudiante de Álgebra a pasar sus exámenes, ya que no se profundiza en conceptos que se aprendieron en niveles anteriores de estudio, sino que se ha estructurado para reafirmar el manejo correcto de los temas de Álgebra Elemental.

Se ha tenido especial cuidado en poner al alcance de todos el lenguaje, que es a veces, donde hayamos dificultad para la comprensión. También se hace este repaso en base al razonamiento, que es la limitante que nos detiene al plantear problemas y por lo tanto nos resulta muy difícil la resolución de éstos.

Otra observación que siempre se debe hacer a los alumnos, es que si se practican los ejercicios con constancia, los procesos se irán comprendiendo cada vez mejor y el conocimiento se vuelve permanente.

Para ampliar tus posibilidades de aprendizaje, es recomendable que busques más ejercicios de los que aquí se te dan y además es importante leer a diferentes autores, ya que es posible que a unos se les entienda más que a otros y así podremos completar nuestra propia comprensión de los temas.

Bibliografía:

Baldor, A. Álgebra. Cultural Centroamericana. Madrid.

Anfonssi. Álgebra.

Casarrubias García, A. Complemento Matemático 3. Ediciones Euterpe. México.

Schaumm. Álgebra Elemental. Mc. Graw Hill. México.

Caballero. Matemáticas 3º.

Álgebra

Existen diferentes métodos para la solución de un problema.

Método Aritmético

Problema:

Las edades de María y Elisa suman 48 años, si la edad de Elisa es 5 veces la edad de María ¡qué edad tiene cada una?

Por medio de una razón aritmética:

María tiene 1/5 de la edad de Elisa

Profra. Alejandra Gutiérrez Juárez.CCATT’2003’

1


2

Entonces sumamos: 1 + 5 = 6

Y se divide la cantidad total entre el resultado de la suma:

48 : 6 = 8Entonces: María tiene 1 x 8 = 8 años Elisa tiene 5 x 8 = 40 “ 48 que es la cifra total

Método algebraico:

Como la referencia es la edad de María y no sabemos cuál es ésta, utilizamos x

Entonces: María = x Elisa = 5x

Planteamos una ecuación: x + 5x = 48 (recuerda que una ecuación es una igualdad)

Despejando: 6x = 48 X = 48 6 x = 8Entonces: María tiene 8 años y Elisa 8 x 5 = 40 y sumados dan 48

La diferencia entre aritmética y álgebra es que en álgebra, tenemos más posibilidad para manejar las cantidades, al asignarles letras y signo positivo o negativo.Valor absoluto de un número, es la cantidad que representa.

Valor relativo.- toma en cuenta el signo positivo (+) o negativo (-)

+15 y -15 tienen el mismo valor absoluto -15 y -18 tienen el mismo valor relativo

- En Aritmética solo se maneja el valor absoluto y en Álgebra se introduce el concepto de valor relativo)

- En Álgebra las cantidades se representan por medio de números y letras, donde los números representan cantidades conocidas y determinadas y las letras representan cantidades indeterminadas o desconocidas.


2


3Fórmula algebraica.- es la representación por medio de letras de un principio o regla general. Ejemplo: A = b x h (área del rectángulo)

SIGNOS ALGEBRAICOSDE OPERACIÓN:

+ Suma o adición- Resta o sustracción

x Multiplicación (suma abreviada) : División a Potencia (número de veces que se multiplica por sí mismo. Una literal sin exponente supone que está elevada a la 1) RaízCoeficiente: indica el número de veces que el otro término se toma como sumando Ejemplo: 3a = a + a + a ab = b + b +....... a veces b

DE RELACION:

= igual que = diferente que mayor que > menor que <

DE AGRUPACIÓN:

( ) { } __________

Los paréntesis indican que la operación dentro de ellos se efectúa primero y así cada operación, pero hacia fuera. (a + b) c se suman primero a y b y luego se multiplican por c

Los signos + y - tienen dos aplicaciones indican suma o resta o el sentido de las cantidades en la recta numérica Cualquier cantidad hacia es menor que cero cualquier cantidad es mayor de cero.


3


4TERMINO ALGEBRAICO.- un símbolo algebraico o más que no están separados entre sí por un signo de operación como + ó - : a, 2b, 4xy, 6a/2x

Sus elementos son:

SIGNO: + ó - (si no lleva signo se considera positivo)

COEFICIENTE: 4a, -7b

LITERAL: 2xb/3a

GRADO: lo determinan los exponentes (si no tiene exponente se supone que está elevado a la 1 y si tienen exponente cero, equivale a 1: x0= 1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

MONOMIO.- expresión algebraica que consta de un solo término. a, -b, x2y/a3

POLINOMIO.- Constan de más de un término. a + b, x – y

BINOMIO.- polinomio de dos términos: a + b, x – y

TRINOMIO.- polinomio de 3 términos: a + b + c, x – y – z

REGLAS DE LOS SIGNOS

SUMA: Los del mismo signo se suman y queda el signo que tienen:

+8 + 3 = + (8 + 3) = + 11 se suman los números y queda el signo +

-8 - 3 = - (8 + 3) = - 11 se suman los números y queda el signo –


4


5

Los de diferente signo se restan y queda el signo del mayor:

+ 8 - 3 = + 5 8 – 3 = 5 y el signo del mayor es +

- 8 + 3 = - 5 8 – 3 = 5 y el signo del mayor es -MULTIPLICACIÓN: Los de signos iguales quedan positivos:

(+8) (+3) = + 24

(-8) (-3) = + 24

Los de signo diferente quedan negativos:

(+8) (-3) = - 24

(-8) (+3) = - 24

DIVISIÓN: Si son del mismo signo el numerador y el denominador quedan positivos

+ 8 = + 4 - 8 = + 4+ 2 -2

Si son de signo contrario, quedan negativos:+ 8 = - 4 -8 = - 4 -2 +2


5


6

EJERCICIOS:

-(+8) –(-3) =

+(5) + (-7) =

-9 + 8 – 3 + 7 – 5 =

-6 + 11 – 4 + 3 – 9 – 2 =

-33 + 45 + 17 – 5 – 22 + 19 + 15 – 6 =

199 – 367 + 47 – 936 – 5 + 865 +120

(18) (-45) =

(-36) (25) (-15) =

+27 = -525 = -644= 121 = -3 -5 7 11

FRACCIONES

PROPIAS: 6 27 el numerador es menor que el denominador12 50

IMPROPIAS: 12 36 el numerador es mayor. 4 6 (para convertir éstas a mixtas, se divide el numerador entre el denominador y el residuo, si lo hay, queda como fracción: 9/2 = 9 : 2 = 4 y queda 1 y se expresa: 9/2 = 4 1/2

MIXTAS: 4 1/2 tienen número entero y fracción. Para convertir a fracción mixta, multiplicamos El entero por el denominador y se le suma el Numerador: 4 1/2 = 4 x 2 = 8 + 1 = 9 4 1/2 = 9/2

Para obtener el mínimo común múltiplo, vamos a repasar la divisibilidad entre:

2 Un número es divisible entre 2 si termina en par ó cero: 644 : 2 = 322, 1550 : 2 = 775


6


7

3 Un número es divisible entre 3 si la cifra de sus cifras es múltiplo de 3: 64701 : 3 = 21567 sumamos las cifras y nos dio 18 que es múltiplo de 3 y efectuamos la división.

5 Un número es divisible entre 5 si termina en 5 ó cero: 75 220

EJERCICIO:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100En la tabla anterior:

Encierra en un cuadro los números divisibles entre 2.Encierra en un triángulo los divisibles entre 3.Encierra en un círculo los divisibles entre 5.

Ahora anota los números restantes y ésos son los números primos del 1 al cien, menos el 77 y el 49 que no son primos.

Así podrás determinar que los números primos son aquellos que solamente son divisibles entre sí o entre la unidad.

Para encontrar el M.C.M. de 20 y 52 apliquemos lo que vimos anteriormente


7


8

Primero colocamos los números de los cuales vamos a determinar el M.C.M.

20 52 2 buscamos la divisibilidad entre 2 10 26 2 5 13 5 aquí ya no tenemos entre 2, pero hay entre 5 1 13 13 como ya llegamos a la unidad de un número, bajamos el que nos queda y buscamos su divisibilidad. Como el 13 es primo, solamente se puede dividir entre 13.Luego los números que encontramos como factores de divisibilidad, los multiplicamos entre sí: 2 x 2 x 5 x 13 = 260 que es el M.C.M. de 20 y 52

EJERCICIOS:Encontrar el M.C.M. de: 24 y 120

De 42 62 126

SUMA DE FRACCIONES:

CON DENOMINADORES IGUALES: a + c = a + c b b b Se suman los numeradores y queda y mismo denominador

4 + 5 - 3 = 4 + 5 – 3 = 69 9 9 9 9

CON DENOMINADORES PRIMOS: a + c = a x d + b x c b d b x d Se multiplica el primer numerador por el 2o denominador “ “ el segundo numerador por el primer denominador y se suman Para encontrar el denominador se multiplican los denominadores

4 + 9 = 44 + 63 = 1077 11 77 77


8


9

CON DENOMINADORES NO PRIMOS: a + c = ka + mc b d M.C.M.

Se saca el M.C.M. como se hizo anteriormente.

Luego el M.C.M. se divide entre el primer denominador M.C.M. : b = k

Entonces este resultado lo multiplicamos por el numerador: k (a)

Así también procedemos con el siguiente denominador: M.C.M. : d = m Y multiplicamos éste por el numerador: m (c)

3 + 5 - 1 = 45 + 50 – 6 = 89 M.C.M.: 20 30 50 2 20 30 50 300 300 10 15 25 5 2 3 5 2 1 3 5 3 1 5 5 1 M.C.M. = 2 x 5 x 2 x 3 x 5 = 300

EJERCICIOS:

-4 + (-3) = 7 7

-5 - 7 = 4 3 1 + 2 - 1 - 3 =4 3 5 10


9


10PRODUCTO DE FRACCIONES:

a x c = a x c b d b x d

Se multiplican los numeradores entre sí y el producto es el numeradorLuego se multiplican los denominadores y el producto es el denominador

(- 6 ) ( -10 ) = + 60 15 9 135

DIVISIÓN DE FRACCIONES:

a : c = a x d b d b x c

Se multiplica en primer numerador por el segundo denominador y el producto queda como el numerador.

Luego se multiplica el segundo numerador por el primer denominador y el producto queda como denominador.

( 9 ) : (-51) = 36 1 4 -51

EJERCICIOS:

MANEJO DE EXPONENTES

En la suma y en la resta tienen que ser exactamente las mismas literales con las mismas potencias para poder trabajarlas.

MULTIPLICACIÓN:

Se suman los exponentes de las literales iguales

(a2)(a4) = a 2+4 = a6

(3b3) (2b4) =

DIVISIÓN:


10


11

Se restan los exponentes:

a6 = a2 6b4 = 3ba4 2b3

1 = x-a

xa

x2a = x3a

x-a

POTENCIA

Se multiplican los exponentes:

(an)m = anm

( (-2)3 )2 = (-2)6 = 64

RADICAL:

Se dividen los exponentes:

Se divide el exponente de adentro entre el exponente de afuera:

n xm = x m/n 44/2 = 42

REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES

Son semejantes los términos cuando tienen la misma parte literal, afectadas de iguales exponentes:

2b, b; -6x, 8x; 5a3b2, -8a3b2


11


12

Se aplican las reglas de los signos, efectuando la suma de los coeficientes:

3b + 2b = 5b

EJERCICIOS:

-5b – 7b =

-a2 – 9a2 =

1 ab + 2 ab =2 3

-1 xy - 2 xy =

1 x2y + 1 x2y + 1 x2y =2 4 8

2a - 3a =

1 a - 2 a =2 3

- 3 a2b + a2b = 7

- 5ax+1 + 3ax+1 = 6 4

Cuando hay más de 2 términos semejantes se reducen a un solo término los positivos y a otro término los negativos y al final se hace la suma aplicando las reglas de los signos en la suma.

EJERCICIOS:

5a – 8a + a – 6a + 21a =

- 2 bx2 + 1 bx2 + 3 bx2 – 4bx2 + bx2

5 5 4


12


13REDUCCIÓN DE POLINOMIOS CON TERMINOS SEMEJANTES

Se reducen por separado los términos semejantes:

5a – 6b + 8c + 9a – 20c – b + 6b – c =

5a + 9a = 14a -6b – b + 6b = - b +8c – 20c – c = -13c

ordenando términos tenemos: R = 14a – b – 13c

EJERCICIOS:

8 a3b2 + 4 a4b3 + 6 a3b2 – a3b2 - 9 a4b3 – 15 – 5 ab5 + 8 – 6 ab5 =

2x4 - 1x3y + 3x4 – y4 + 5 y4 – 0.3x4 - 3 x3y – 6 + x3y – 14 + 21 y4 = 5 2 6 5 3

SUMA DE POLINOMIOS

Primero se ordenan todos los términos semejantes en cada línea y luego se efectúa la suma, aplicando las reglas de los signos:

a + b – c + d; a – b + c – d; -2 a + 3b – 2c + d; -3 a – 3b + 4c - d

a + b - c + d a - b + c - d -2a + 3b - 2c + d -3a - 3b + 4c - d -3a + 2c

EJERCICIOS:

1) 5ab – 3bc + 4cd; 2bc + 2cd – 3de; 4bc – 2ab + 3de; -3bc – 6cd – ab


13


14

2) a – b; b – c; c + d; a – c; c – d; d – a; a – d

PRODUCTO DE MONOMIOS

Multiplicamos los signos. Luego los coeficientes y por último se suman los exponentes:

(xa) (xb) = (x-8) (x5) =

(x1) (x1) = (x3/5) (x2) =

(x ) (x-1) = (x2/3) (x-7) = (x7/2) (x3/5) = (x-2/6) (x1/3) =

(x5) (x7) = (x-9/4) (x2/5) =

(x-2) (x4) = (xh+1) (x-7h) =

(x-7) (x-9) = (x-8h+4) (x-5h-4) =


14


15DIVISION DE MONOMIOS

Se aplica la regla de los signos en la división. Luego se dividen los coeficientes y los exponentes se restan.

EJERCICIOS: efectuar los ejemplos anteriores, pero en división.

MULTIPLICACIÓN DE MAS DE 2 MONOMIOS

Primero aplicamos la regla de los signos. Luego multiplicamos los coeficientes. Por último, sumamos los exponentes.

(-m2 n) (-3m2) (-5mn3x) =

= (-) (-) (-) = - = (1) (3) (5) = 15

m2+2+1 n1+3 x = m5 n4 x

R = - 15 m5 n4 x

EJERCICIOS:

(1/2 x3) (-2/3 a2x) (-3/5 a4m) =

(2/3 am) (3/4 a2b4) (-3a4 bx+1) =

(ambx) (-a2) (-2ab) (-3a2x) =


15


16MULTIPLICACION DE MONOMIO POR POLINOMIO

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

8x2y – 3y2 por 2ax2

2ax2 (8x2y – 3y2) +2ax2 (8x2y) + 2ax2 (-3y2) =

R = + 16 ax4y - 6 ax2y2

(si quedaran términos semejantes, se reducen, si no, así queda)EJERCICIOS:

ax3y(x3 – 4x2y + 6xy2) =

-4a4m2 (a3 – 5a2b – 8ab2) =

3m (m3 – 2m) =

-2a(am – am-1 + am-2) =

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO

Se puede resolver de forma horizontal multiplicando cada término del primer polinomio por cada término del siguiente polinomio:

(a + 3) (a – 1) = a(a – 1) + 3(a – 1) = a2 – a + 3 a – 3 = a2 + 2a – 3

Sin embargo, cuando son polinomios muy largos, es preferible resolverlos de forma vertical, para evitar confundirnos con tantos términos:En esta forma debemos ir colocando los términos semejantes debajo de los mismos, para poder efectuar la suma al final.

a + 3 a - 1 a2 + 3a - a - 3 a2 + 2a -3EJERCICIOS:


16


17

x2 + xy + y2 a2 + b2 - 2ab x - y a - b

a2 + a + 1 x3 + 2x2 - x a2 - a - 1 x2 - 2x + 5

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

3x2 + 2x - 8 x + 2

Primero hay que ver si están ordenados de mayor a menor en relación a una letra, en este caso la x, si no están así, hay que ordenarlos primero.

Luego dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:

3x2 : x = 3x éste va a ser el primer término del cocienteMultiplicamos este resultado por todo el divisor que es x + 2:

3x ( x + 2 ) = 3x2 + 6xeste resultado lo restamos del dividendo original para ir eliminando términos:

3x2 + 2x - 8 -3x2 - 6x (recuerda que para restar hay que cambiar los - 4x - 8 signos a todo el sustraendo).

Volvemos a dividir el primer término del nuevo dividendo que es –4x – 8:

- 4x : x = -4 éste será el segundo término del cocienteéste se multiplica por el divisor original que es x + 2:

-4 ( x + 2) = -4x - 8

Se resta del segundo dividendo que es –4x – 8:


17


18

-4x - 8 +4x + 8 0 0 cuando eliminamos todos los términos se concluye la división.

TENEMOS: R = 3x – 4

PARA COMPROBAR multiplicamos el resultado por el divisor: 3x - 4 x + 2 3x2 - 4x + 6x - 8 3x2 + 2x - 8

EJERCICIOS: 8a - 20ab entre 2a – 5ab 4x2 +4y2 entre 4x + 4y

x2 + 2x – 3 entre x + 3; x2 - 2x - 3 entre x + 1; 2x4 – x3 – 3 + 7x entre 2x +3 (si queda residuo, se anota todo el cociente entre paréntesis y se le suma el residuo)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

IGUALDAD.- En una igualdad, existen dos miembros, divididos por el signo = , éstos deben dar como resultado la misma cantidad en ambos:

17 + 3 = 20

Principio de igualdad: si se efectúa la misma modificación en los dos miembros, la igualdad no se altera:

17 + 3 + 2 = 20 + 2 17 + 3 - 2 = 20 - 2 2(17 + 3) = 2(20) (17 + 3) / 2 = 20 / 2

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas o cantidades desconocidas. Estas incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto.Esta(s) incógnita(s) solamente pueden tener un valor para una ecuación dada. Si la igualdad no se verifica, no es verdadera.


18


19LAS ECUACIONES, como son igualdades, tienen dos miembros, el primero se encuentra antes del signo = y el segundo después.

SUMA

x + a = b

x – 3 = -5 aplicando el principio de igualdad para despejar la incógnita x – 3 + 3 = -5 + 3 le sumamos + 3 en los dos miembros para que no se altere x = -2

Por eso se dice que para despejar en una suma, pasamos los términos que no contienen la incógnita al otro miembro pero con diferente signo.

EJERCICIOS:

x + 7 = 8 -x + 8 = 4

x – 7 = -9 - x – 5 = 11

x + 4 = -12 3 – 3 a = 5 ax – 6 = 11 x + 8b2 = -6b2

x + 1 = 7 x - 3 = 2 3 4 5

MULTIPLICACIÓN

a x = b

-3x = -6 Aplicando el principio de la igualdad para despejar x, dividimos entre –3 en los dos miembros: -3x = -6 -3 -3 1x = +2 x = 2

Por lo que se dice que en la multiplicación, para despejar x, el coeficiente pasa al otro miembro dividiendo y con el mismo signo.


19


20

EJERCICIOS:

4x = -36 5 x = 7 7 3

-5x = -35 3m3x = 12m3

7 x = 6 5a2 x = 45a2

2

8x = 8 10(x – 9) – 9(5 – 6x) = 2(4x – 1) + 5(1 + 2x) 5 PRODUCTO CON SUMA

ax + b = c

-3x – 5 = 7 - Primero se trabaja el que está sumando, es decir pasamos el –5 al otro miembro cambiándole el signo -3x = 7 + 5 = 12 x = 12 - para despejar x pasamos –3 al otro miembro, dividiendo x = 12 -3 x = -4

EJERCICIOS:

-9x + 7 = -2 7x - 2 = 9 3 7

8x + 5 = -11 2m3x + 5m3 = -3m3

3 x + 7 = -4 2

PRODUCTO Y SUMA EN LOS DOS MIEMBROS


20


21 ax + b = cx + d

3x – 6 = 7x – 4 - Pasamos al primer miembro los términos con la literal cambiándoles el signo. Y los numerales pasan al segundo miembro con los signos contrarios 3x – 7x = -4 + 6 - Se reducen los términos. -4x = 2 - El coeficiente pasa al 2º miembro con el mismo signo. x = 2 = - 1 -4 2

EJERCICIOS:

5x + 6 = 2x – 8 9x – 4 = 4x + 12

6x – 2 = 8x + 2 (5 – 3x) – (-4x + 6) = 8x + 11) – (3x – 6))

4x – (2x + 3) (3x –5) = 49 – (6x – 1) ( x –2) En este ejercicio primero resolvemos los productos 2x + 3 por 3x – 5 y 6x – 1 por x – 2. El signo – antes del paréntesis indica que le cambiaremos el signo y al final vamos a efectuar la suma y despejar como en los ejercicios anteriores.

CON UNA CONSTANTE

ax + b = cx + d f g

Multiplicamos el primer dividendo por el Segundo divisor y el Segundo dividendo por el primer divisor, es decir de forma cruzada.

3x – 6 = 4x + 8 2 3 - y nos queda: 3 (3x –6) = 2 (4x + 8) - una ecuación de producto y suma. 9x – 18 = 8x + 16 - Efectuando las operaciones.

9x – 8x = 16 + 18 - pasamos las literales al primer miembro. x = 34

EJERCICIOS:


21


22 6x + 2 = 7x – 3 5 4

5x + 3 = 8x + 2 -4 3

x + 5 = 1 – x 6 3 En este ejercicio resolvemos cada miembro por separado y nos queda como en los ejercicios anteriores la ecuación. Para trabajar los enteros hay que convertirlos a fracción poniéndoles 1 como denominador.

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. La suma de dos números es 106 y el mayor es 8 más grande que el menor. Hallar los números.

DATOS OPERACIONES R =m =M =Establecemos una ecuación:

2. La suma de 2 números es 540 y su diferencia 32. Halla los números.

DATOS OPERACIONES R =

3. Alberto tiene 14 años menos que Benito y ambas edades suman 56 años, qué edad tiene cada uno.


4. La suma de 3 números es 200. El mayor es 32 más grande que el de en medio y 65 mayor que el menor. Halla los números.



22


235. La suma de las edades de 3 personas es 88 años. La mayor tienen 20 años más que la menor y la de en medio 18 años menos que la mayor. Qué edad tiene cada una.


6. La edad de Ernesto y la de su papá suman 60 años. Dentro de 6 años la edad del papá será tres veces la edad de Ernesto. Cuál es la edad actual de cada uno?

DATOS OPERACIONES R =ACTUALES

DENTRO DE 6 AÑOS

7. Si al cuádruplo de un número se le restan 18, el resultado es 42. Hallar el número.


8. Repartir 310 hectáreas entre tres personas, de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera.


9. Se compró un coche, un caballo y sus arreos en $350.00 El coche costó el triple de los arreos; el caballo el doble de lo que costó el coche. Halla el precio de los arreos, el coche y el caballo.


10. Repartir 180 pesos entre A, B, y C de tal forma que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio de la de C.


11. Gilberto tiene 8 años más que Pedro. Hace 12 años la edad de Pedro era 1/6 de la edad de Gilberto. Encuentra ambas edades.DATOS OPERACIONES R =


23


24

TAREA

Resuelve los siguientes problemas:

1. Enrique tiene 15 pesos más que Luis. Al gastar Luis 50 pesos tendrá $30.00 menos que los 4/5 de lo que tiene Enrique ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

2. Pedro tiene 5 años más que Carlos. Hace 10 años la edad de Carlos era 2/7 de la edad de Pedro. Encuentra las edades.

3. Después de gastar la mitad de dinero que tenía y de prestar la mitad de lo que me había quedado, me quedan $63.00 ¿Cuánto dinero tenía al principio?

4. Roberto y Miguel han ahorrado $131.50. Si Roberto tiene 1/3 más que Miguel ¿Cuánto ha ahorrado cada uno?


24


25ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO

Primero encontramos el M.C.M., considerando también las literales y después las trabajamos como cualquier fracción, esto se hace con la intención de ir convirtiendo todo a enteros y poderlo trabajar de una manera más fácil.

Nos daremos cuenta que al convertir todo a enteros, los términos quedan en la misma proporción, lo cual no altera la igualdad, pero nos facilita el proceso.

1 + 1 - 1 = 1 2x 4 10x 5 M.C.M. = 20x

10 + 5x - 2 = 4x el M.C.M. entre el divisor y por el numerador

5x – 4x = -10 + 2 se despeja

x = -8

EJERCICIOS:

7x – 1 - 5 – 2x = 4x – 3 + 1 + 4x2

3 2x 4 3x

2 - 5 = 7 - 3 3x 2x 10 2x

7 - 5 = 6 - 7 2x 3x 10 3x


25


26

ECUACIONES SIMULTANEAS

ax + by + c = 0 Esta ecuación representa gráficamente una recta

Un sistema de ecuaciones simultáneas nos representa gráficamente la intersección de dos rectas.

En un sistema de ecuaciones simultáneas, el valor de x y de y satisface la igualdad de las dos ecuaciones.

Existen varios métodos para la resolución de un sistema de ecuaciones simultáneas, vamos a repasar los siguientes métodos: IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN, SUMA ó RESTA y DETERMINANTES.

METODO DE IGUALACIÓN

5x + 7y = -1 ............ecuación 1 las denominamos 1 y 2 -3x + 4y = -24 ............ecuación 2

Despejamos x de la ecuación 1

5x + 7y = -1 5x = -1 – 7y x = -1 – 7y 5 ........ecuación 3 a ésta la llamamos ec. 3

Despejamos x de la ecuación 2

-3x + 4y = -24 -3x = -24 – 4y x = -24 – 4y -3 ........ecuación 4 ésta la denominamos 4

Se llama método de igualación, porque vamos a igualar los dos resultados, es decir las ecuaciones 3 y 4:

-1 – 7y = -24 – 4y


26


27 5 -3 llegamos a ecuación con una constante y resolvemos de forma cruzada

3 (-1 – 7y) = 5 (-24 – 4y) 3 + 21y = -120 – 20y 21y + 20y = -120 – 3 41y = -123 y = -123/41 = -3

Sustituimos el valor de y en la ecuación 3 (porque ésta ya está despejada):

X = -1 – 7y = -1 –7(-3) = -1 + 21 = 20 = 4 5 5 5 5

entonces: y = -3 x = 4

EJERCICIOS:

7x + 4y = 135x – 2y = 19

x + 6y = 277x – 3y = 9

3x – 2y = -25x + 8y = -60

3x + 5y = 72x – y = -4

7x – 4y = 59x + 8y = 13


27


28

METODO DE SUSTITUCIÓN

5x + 7y = -1 ...................ecuación 1 -3x + 4y = -24 ..................ecuación 2

Despejamos x en 2

-3x + 4y = -24 -3x = -24 – 4y x = -24 – 4y -3 ...............ecuación 3

Sustituimos este valor en la ecuación 1 ( en la que no se hizo el despeje)

5 -24 – 4y + 7y = -1 -3 -tenemos una ecuación con una incógnita y resolvemos:5 -24 – 4y = - 1 – 7y1 -3 = -1 – 7y -efectuando la multiplicación como en cualquier fracción:

-120 – 20y = -1 – 7y -3 1 - al segundo miembro le ponemos denominador 1

1 (-120 – 20y) = -3(-1) –7y) -tenemos ecuación con una constante y resolvemos -120 – 20y = 3 + 21y -20y – 21y = 3 + 120 -41y = 123 y = 123/-41 = - 3

Sustituimos y en ecuación 3:

x = -24 –4y = -24 –4(-3) = -24 + 12 = -12 = 4 -3 -3 -3 -3

entonces: x = 4, y = -3


28


29EJERCICIOS:

7x + 4y = 135x – 2y = 19

x + 6y = 277x – 3y = 9

3x – 2y = -25x + 8y = -60

3x + 5y = 72x – y = -4

7x – 4y = 59x + 8y = 13


29


30METODO DE SUMA O RESTA

5x + 7y = -1 ...................ecuación 1 -3x + 4y = -24 ...................ecuación 2

Escogemos los coeficientes de x o de y para trabajar ( el mismo de las dos ecuaciones). Después multiplicamos la ecuación 1 por el coeficiente de la ecuación 2. La ecuación 2 se multiplica por el coeficiente de la 1.

En este caso trabajamos con los coeficientes de x. La ecuación 1 se multiplica x 3:

3 (5x + 7y = -1) entonces = 15x + 21y = -3 .......ecuación 3

La ecuación 2 la multiplicamos por 5:

5 (-3x + 4y = -24) entonces = -15x + 20y = -120 .......ecuación 4

SE SUMAN O SE RESTAN las dos ecuaciones ( 3 y 4), el objetivo es eliminar una incógnita. Para restar, cambiamos los signos a toda la ecuación 4.

15x + 21y = -3 -15x + 20y = -120 + 41y = -123 y = -123 41 y = -3

Sustituimos el valor de y en la ecuación 2, para encontrar el valor de x:

-3x + 4(-3) = -24 -3x – 12 = -24 -3x = -24 + 12 -3x = -12 x = -12 -3 x = 4entonces tenemos: x = 4; y = -3


30


31

EJERCICIOS:

7x + 4y = 135x – 2y = 19

x + 6y = 277x – 3y = 9

3x – 2y = -25x + 8y = -60

3x + 5y = 72x – y = -4

7x – 4y = 59x + 8y = 13

METODO DE DETERMINANTES

5x + 7y = -1 -3x + 4y = -24


31


32

Colocamos los coeficientes de x y de y en el mismo orden, para encontrar un valor denominado DELTA. Se anotan con el signo que tienen:

x y

5 7 = - (-21) - Multiplicamos de forma cruzada los coeficiente

-3 4 = + (20) - Al producto que queda arriba se le cambia el signo.

DELTA = + 41 - Sumamos los productos.

Para encontrar el valor de x sustituimos el valor de los resultados de las ecuaciones originales en los coeficientes de x:

-1 7 = -(-168) - Se respetan los signos originales.

-24 4 = - 4

x = + 164 - Sumando productos

x = DELTA de x = 164 = 4

x 41

Podemos buscar el valor de e igual que el de x ó sustituimos en ecuación original:

5(4) + 7y = -1

+ 7y = -1

+7y = -1 – 20

y = -21

7

y = -3

entonces: x = 4; y = -3

EJERCICIOS:

7x + 4y = 135x – 2y = 19


32


33

x + 6y = 277x – 3y = 9

3x – 2y = -25x + 8y = -60

3x + 5y = 72x – y = -4

7x – 4y = 59x + 8y = 13

SISTEMA DE 3 ECUACIONES CON 3 INCOGNITAS

x + 2y + z = 11 ...........ecuación 1 -x + y + 3z = 5 ...........ecuación 2 x + 3y – 4z = 10 ...........ecuación 3

Sumamos las ecuaciones 1 y 2 para eliminar la incógnita x:

x + 2y + z = 11 -x + y + 3z = 5 + 3y + 4z = 16 .............la denominamos ecuación A


33


34Sumamos las ecuaciones 2 y 3 para eliminar la incógnita x:

-x + y + 3z = 5 x + 3y – 4z = 10 + 4y – z = 15 .................la denominamos ecuación B

Con A y B formamos un sistema de 2 ecuaciones. Resolvemos por suma ó resta:

+ 3y + 4z = 16 + 4y - z = 15 elegimos los coeficientes de z y multiplicamos cruzado 1(3y + 4z = 16) 4(4y – z = 15)

3y + 4z = 16 efectuamos la multiplicación 16y – 4z = 60 19y = 76 y = 76 19 y = 4

Sustituimos el valor de y en la ecuación A:

3(4) + 4z = 16 12 + 4z = 16 4z = 16 – 12 4z = 4 z = 4 4 z = 1

Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar x:

x + 2y + z = 11 x + 2(4) + 1 = 11 x + 9 = 11 x = 11 – 9 x = 2


34


35EJERCICIOS:

2x – y – z = 5 x + 3y + z = 92x – 2y – z = 4

x + 2y – z = 2-x + y + 2z = 9 x + 2y + z = 12

2x + y + 2z = -1 x – y + z = -83x + y – 2z = 1

3x + 2y + z = -4 x – 2y – 2z = 112x + 2y + 4z = -14


35


36PROBLEMAS CON ECUACIONES SIMULTANEAS

1. Se tienen $ 1,950.00 en 27 billetes de $50.00 y $100.00 ¿Cuántos billetes son de cada denominación?

2. En una función de teatro escolar se vendieron 205 boletos, unos a $7.00 y otros a $9.00 ¿Cuántos vendieron de cada precio si el total de la venta fue de $ 1,565.00?

3. 5 trajes y 3 sombreros cuestan $4,180.00 y 8 trajes y 9 sombreros cuestan $6,940.00. Encontrar el precio de un traje y de un sombrero.

4. La diferencia entre dos números es 16. El triple del mayor es siete veces el menor. Encuentra esos números.


36


37

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

Estos dos temas los vamos a estudiar simultáneamente, ya que de esta forma se nos facilita encontrar la relación que existe entre ambos conceptos.

Producto notable es, como su nombre lo indica, el resultado de una multiplicación (recuerda que los nombres de los componentes de una multiplicación son: las cifras multiplicadas se denominan factores y el resultado se llama producto.)

Así pues, producto notable es el resultado de operaciones conocidas, y nos sirve para no tener que efectuar en cada caso toda la operación, sino que, simplemente ya sabemos como se “forma el producto”.

Antes vamos a darle un repaso al manejo de las potencias, pues nos será indispensable en estos temas.

a3 = (a) (a) (a)

(ab)n = anbn

( a )n = an

b bn

(an)m = a(n)(m) (xa+2)2 = x2 a + 4

n xm = xm/n x2a +4 = xa+2

BINOMIO AL CUADRADO

Nos indica que vamos a multiplicar un binomio por sí mismo:

(a + b)2 = (a+b) (a+b)

efectuando la multiplicación tenemos: a + b a + b a2 + ab + ab + b2

a2 + 2ab + b2

por lo tanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 este resultado lo consideraremos como fórmula


37


38

Cuando nos dan un binomio elevado al cuadrado, no tenemos que efectuar toda la operación, como ya mencionamos, sino que únicamente vamos a formar el producto que en todos los casos nos resultará: el primer término elevado al cuadrado + el doble producto del primer término por el segundo + el segundo término elevado al cuadrado.

Si el binomio es resta, el segundo término será menos.

El resultado de un binomio al cuadrado es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, porque el primer y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta y el segundo término es el producto de esas raíces multiplicado por 2.

EFECTUEMO ESTE BINOMIO

(m2 + 3)2 = (m2)2 + 2(m2)(3) + (3)2

m4 + 6m2 + 9

Este resultado es Trinomio cuadrado perfecto y para factorizarlo primero le sacamos raíz cuadrada al primer y al tercer término:

m4 + 6m2 + 9 m2 3cotejamos si (m2 + 3) 2 = 6m2 segundo término es el doble del primero por el segundo

como cumple esta regla, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y por fuerza nos tendrá que dar como resultado un binomio al cuadrado, que formaremos con el resultado de las raíces cuadradas elevadas al cuadrado:

(m2 + 3)2

Si es suma o resta, lo determina el signo del segundo término del T.C.P.

EJERCICIOS: realiza el producto y luego factoriza el T.C.P. que te resultó:

(a – b)2 =

Factoriza el Trinomio que te resultó.

(x3 – 5)2 =Factoriza el Trinomio cuadrado perfecto que te resultó.(x + 4)2 =


38


39

Factoriza el resultado, que es un trinomio cuadrado perfecto.

(4 a + 5b2)2 =

Factoriza el T.C.P.

(6 a + b)2 =

Factoriza el T.C.P.

(9 + 4m)2 =

Factoriza el T.C.P.

(7x + 11)2 =

Factoriza el T.C.P.

(7 a2b3 + 5xy3)2 =

Factoriza el T.C.P.


39


40

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO

(a + b) (a – b) =

Efectuando la multiplicación tenemos: a + b a – b a2 + ab - ab - b2

a2 - b2

Entonces: (a +b) (a – b) = a2 – b2

Nos resulta una DIFERENCIA DE CUADRADOS

Por lo tanto para factorizar una diferencia de cuadrados, sacamos la raíz de cada término y formamos la suma por la diferencia de ese binomio:

(2m3 – 3 a5) (2m3 + 3 a5) = (2m3)2 - (3 a5)2

4m6 - 9 a10

Factorizar: 4m6 - 9 a10

Sacamos raíces cuadradas: 2m3 3 a5

Con las raíces formamos la suma y diferencia del binomio: (2m3+3 a5) (2m3–3 a5)

EJERCICIOS: realiza primero el producto y luego factoriza el resultado:

(x+y) (x-y) =

Factoriza la diferencia de cuadrados que te resultó:

(a + 5) (a – 5) =

Factoriza la diferencia de cuadrados:

(ax+1 - 2bx-1) (ax+1 + 2bx-1) =

Factoriza la diferencia de cuadrados:


40


41(10 + xy3) (10 – xy3) =

PRODUCTO DE DOS BINOMIO CON UN TERMINO COMUN

(x + a) (x + b) =

efectuando la multiplicación: x + a x + b x2 + xa + xb + ab x2 + x(a + b) + ab

el producto que nos queda se lee: el término común elevado al cuadrado, más la suma de los términos diferentes por el término común, más el producto de los términos no comunes.

(x + 4) (x + 3) = x2 + x(4 + 3) + (4)(3) x2 + 7x + 12

EJERCICIOS:

(x + 2) (x + 4) =

(x + 12) (x – 6) =

(x – 7) (x + 2) =

(m – 6) (m – 5) =

En todos los casos nos resultó un trinomio cuadrado de la forma

x2 + bx + c

que no es T.C.P., porque el primer término si tiene raíz exacta, pero el tercero no.


41


42

Factorizando este trinomio:

x2 + 7x + 12 sacamos raíz del primer término que será nuestro término común x buscamos dos números, que multiplicados nos den el término independiente y sumados o restados nos den el segundo término. Existe un método muy simple para encontrar éstos:

Se desglosa el término independiente en factores Combinación suma resta

12 2 6 x 2 8 4 6 2 3 x 4 7 3 3 1

Luego sumamos o restamos las diferentes combinaciones de éstos Para encontrar el segundo término:

Como en este caso encontramos que 3 x 4 = 12 y 3 + 4 = 7 esos serán los otros términos de nuestro resultado:

Teniendo: R = (x + 3) (x + 4)

Para formar el binomio, ponemos en los dos el término común. El signo que tiene el segundo término corresponde al número mayor y multiplicamos el signo del segundo por el signo del tercer término y se lo damos al número menor.

EJERCICIOS:

Factorizar todos los trinomios del ejercicio anterior y los siguientes:

x2 + 3x – 10 =

x2 – 5x – 36 =

x2 + 12x –364 =

m2 – 8m – 1008En el caso del trinomio con coeficiente en x procedemos a factorizar con una pequeña variante:

(2x + 8) (2x – 3) = (2x)2 + 2x(8-3) + (8)(-3)


42


43 4x2 + 10x - 24 el binomio se resuelve igualFactorizando este trinomio:

4(4x2 + 10x – 24) - Se multiplica y se divide todo el trinomio por el coeficiente 4 del término cuadrado, y así la igualdad no se altera.16x2 +4(10x) – 96 - Dejamos el segundo término indicado. 4 4x - Sacamos la raíz del término cuadrado que es término común - Se continua buscando dos números que multiplicados nos den el tercer término y sumados o restados el segundo. (4x +16) (4x – 6) - en este caso son 16 x –6 = -96 y 16 – 6 = 10 4 (4x + 16) (4x – 6) - Desglosamos el divisor 4: 2 = 2 y dividimos cada término : 2 2 2 (2x + 8) (2x – 3)

Si ninguno de los binomios es divisible entre el divisor que se tiene, se descompone para que se puedan efectuar las divisiones.

Si solamente es divisible uno de los binomios, se utiliza el divisor para ese binomio y se efectúa la división y el otro binomio queda indicado.

Aunque los dos binomios sean divisibles, no se puede ocupar el divisor para los dos, o se descompone o se utiliza solamente para un binomio, como en el ejemplo.

OBSERVACIÓN:

6 x 4 = 12 2

6 x 4 = 12 2

6 x 4 = 12 2

6 x 4 = 6 2 2


43


44

BINOMIO AL CUBO

Suma (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

Los exponentes de a van disminuyendo y los de b van aumentando(este polinomio es de tercer grado).

Resta (a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3

Es la misma regla anterior de los exponentes. Pero los signos en potencia par son negativos y en potencia non van positivos porque (-)(-) = +, (+(-)= -

EJERCICIOS:

(2 a2 + m4)3 =

(3x3 – 2y5)3=

EJERCICIOS: Para factorizar los productos anteriores, solamente se saca la raíz cúbica del primer y del tercer término y se forma el binomio y se eleva al cubo.

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 efectuando la multiplicación: a2 – ab + b2

a + b

(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

Para factorizar los siguientes ejercicios, se saca la raíz cúbica y se forma como en las fórmulas anteriores:

27 a3 – y6 =


44


45

64m9 + 125m12 =TAREA

Realiza los siguientes productos:

(3 – x)3 =

(5a + 2b)3 =

(4x3 – 5y4)3 =

Factoriza:

8x3 + y3 =

64a3 – 729 =

8x3 – 1 =


45


46

FACTORIZACION

Cuando un polinomio no es un producto notable, no sigue reglas conocidas. Buscando algunas características, encontramos los siguientes casos:

1. POLINOMIOS QUE TIENEN UN FACTOR COMUN

Para Factorizar, buscamos literales comunes, con la condición de que se encuentren en todos los términos, no importa el exponente o el coeficiente.

Después buscamos con los coeficientes, un factor común (mínimo común divisor). Y la(s) literal(es) común(es) con el mínimo exponente.

Por ejemplo en el siguiente polinomio:

15c2d2 + 60c2d3

Tenemos: el 15 y la c2 d2 éste es nuestro factor común. (15 es m.c.d.)

Dividimos cada término del polinomio entre el factor común:

15c2d2 = 1 60c2d3 = 4d 15c2d2 15c2d2

Multiplicamos el factor común por el polinomio que formamos con los resultados parciales:

Quedando así: 15c2d2 + 60c2d3 = 15c2d2 (1 + 4d)

EJERCICIOS:

55m2n3x + 110m2n3x2 - 220m2y2 =

3 a2b + 6 ab - 5 a3b2 + 8 a2bx + 4 ab2n=

10x2 – 5x + 15x3


46


4718mxy2 – 54m2x2y2 + 36my2 =

2. FACTORIZACION POR AGRUPAMIENTO

Encontramos otros polinomios, donde no existen literales comunes a todos los términos, pero algunos términos sí tienen un factor común, entonces agrupamos estos términos.

En este polinomio:

ax + bx + ay + by

(ax + bx) + (ay + by) - agrupamos los términos con factor común

x(a + b) + y(a + b) - factorizamos cada grupo. Dentro de los paréntesis nos quedan dos términos exactamente iguales, si no, no podemos factorizar por este método. (x + y) (a + b) - Así queda la factorización

EJERCICOS:

El ejercicio anterior agrúpalo por los otros factores comunes que encuentres:

3m2 – 6mn + 4m – 8n

2x2 – 3xy – 4x + 6y

3ax – 3x + 4y – 4ay


47


48

ax – ay + az + x – y + z

TAREA

Factoriza:

24a2xy2 – 36x2y4 =

12m2n + 24m3n – 36m4n3 + 48m5n4 =

ax – 2bx – 2ay – 4by =

6m – 9n + 21nx – 14mx =

3x3 + 2axy + 2ay2 – 3xy2 – 2 ax2 – 3x2y =

9b2 – 30 a2b + 25 a4 =

121 + 198x6 + 81x12 =

16x6 – 2x3y2 + y4

16

16 – n2 =

100m2n4 – 169y6 =

1 – 9 a2b4c6d8


48


49x2 – 7x – 30 =

c2 + 24c + 135 =

x2 – 2x – 528 =

2x2 + 3x – 2 =

4a2 + 15 a + 9 =

a3 + 3 a2 + 3 a + 1 =

8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3 =

x3 – 27 =

1 – 8x3 =

2x2 – 6x – 8 =

3x + 3y + hx + hy =

6b2 – 7b – 5 =

2a2 + 7a – 4 =


49


50

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Este tipo de ecuaciones representan una parábola vertical, donde el resultado de x1 y x2 nos dan en la gráfica, los puntos de intersección en el eje de las x.

Algebraicamente se representa así:

ax2 + bx + c = 0

ax2 es el término de segundo gradobx es el término de primer gradoc es el término independiente

La anterior es una ecuación completa de segundo grado.

Pero también existen ecuaciones incompletas de segundo grado, por ejemplo a las que les falta el término de primer grado:

De la siguiente forma: ax2 + c = 0

4x2 – 100 = 0 - Despejamos el término de segundo grado 4x2 = 100

x2 = 100 4

x2 = 25 - Para despejar x2, sacamos la raíz de 25

x1 = +5 - x1 es positivo

x2 = -5 - x2 es negativo


50


51

EJERCICIOS:

x2 – 49 = 0

3x2 = 75

6x2 – 150 = 0

x2 - 1 = 0 4

x2 = 49 64

Ecuaciones incompletas donde falta el término independiente:

ax2 + bx = 0

2x2 – 8x = 0 - Factorizamos el término cuadrado

x(2x – 8) = 0

x = 0 - Igualamos a cero cada uno de los factores 2x – 8 = 0 2x = 8 - Despejamos x = 8 2 x = 4

entonces: x1 = 0 x2 = 4


51


52

EJERCICIOS:

X2 – 4x = 0

5x2 – 2x = 0

4x2 – 6x = 0Ecuaciones completas de segundo grado:

Método de Factorización:

x2 + 5x = -6 - Primero igualamos el trinomio a cero

x2 + 5x + 6 = 0 (x + 3) ( x + 2) = 0 - Factorizamos (buscamos dos números que multiplicados nos den el tercer término y sumados o restados, nos den el segundo)

(x + 3) = 0 (x + 2) = 0 - Despejamos los dos factores

x1 = -3 x2 = -2

EJERCICIOS:

x2 + 2x – 15 = 0

x2 – 9x + 20 = 0

x2 + 3x = 28


52


53

x2 = 42 + x

(x – 3)2 – 2(x2 – 9) = 0

Método de resolución por Fórmula General

x = -b + b2 – 4ac 2a

En este método el coeficiente del término de segundo grado es a; el coeficiente del término de primer grado es b y el término independiente es c.

Los signos + y – antes del radical, no indican que para x1 sumaremos y para x2

restaremos

2x2 + 3x – 2 = 0 - Sustituimos los valores en la fórmula considerando el signo

a = 2b = 3c = -2

x = -(3) + 32 – 4(2)(-2) = -3 + 9 + 16 = -3 + 25 = -3 + (5) 2(2) 4 4 4

x1 = -3 + 5 = 2 = 1 - Para x1 consideramos la suma 4 4 2

x2 = -3 – 5 = -8 = -2 4 4

EJERCICIOS:

24x2 + 26x + 5 = 0


53


54

-15x2 + 7x + 4 = 0

x2 – 5x + 6 = 0

x2 + 3x – 10 = 0

x2 + 10x + 21 = 0

TAREA

Las ecuaciones que se resolvieron por el método de factorización, resolverlas por fórmula general.

Las ecuaciones que se resolvieron por fórmula general, resolverlas por factorización.


54


55


55

Guia Algebra

Documents

Transcript of Guia Algebra