PORTFOLIO 15

DEEL II HOOFDSTUK 2 FORMULES VAN DE GONIOMETRIE (2)

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klas: . . . . . . . . . . . . . . . Nr.: . . . . .

2 Formules van de goniometrie Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.3 Verdubbelingsformules2.4 Formules van Carnot en halveringsformules2.5 t-formules

2627

262728

2629

262830

2631

2632

3334

35

2.7 Som-naar-product formules (Simpson)2.8 Som-naar-product formules(omgekeerdeSimpson)

363738

36383940

364142

364344

454647

37484950

Oefeningen bij §2.3, §2.4 en §2.5Oefening 26. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

B (a) 8 cos(4α) cos(2α) cosα sinα = sin(8α)

B (b) cos4 α− sin4 α = cos(2α)

B (c) cotα− 2 cot(2α) = tanα

B? (d)cosα+ sinα

cosα− sinα=

cos(2α)

1− sin(2α)

B? (e) sinα =2 cot

(α2

)

1 + cot2(α2

)

B? (f) cosα =cot2

(α2

)− 1

cot2(α2

)+ 1

B?? (g) tan4 α =sin2(2α)− 4 sin2 α

sin2(2α) + 4 sin2 α− 4

V (h)cos3 α+ sin3 α

cosα+ sinα= 1− 1

2sin(2α)

V? (i) tan(3α)− tan(2α)− tanα = tan(3α) tan(2α) tanα

V?? (j) tan(π

6+ α

)tan

(π6− α

)=

2 cos(2α)− 1

2 cos(2α) + 1

Oefening 27. Schrijf de volgende uitdrukkingen als een rationale vorm en vereenvoudig.

B (a)1

2 + sinα

B (b)cosα

1 + cosα

B? (c)1

3 sinα− 2 cosα+ 2

Po-67

Oefening 28. Zij x een hoekwaarde van de hoek in het vierde kwadrant waarvoor cosx = 2/3. Bereken zondergrafische rekenmachine

B? (a) sin(x

2

)

B? (b) cos(x

2

)

V (c) tan(x

2

)

B?? Oefening 29. Zij α de hoek in het vierde kwadrant waarvoor tanα = −3/4. Bereken zonder grafische rekenmachinede exacte waarde van de volgende goniometrische getallen.

(a) sin(2α)

(b) cos(2α)

(c) tan(2α)

(d) sin(4α)

V Oefening 30. Bepaal tan(π

8

)zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

V? Oefening 31. In een driehoek ABC geldt 3a = 7c en 3b = 8c. Bepaal tan2(α

2

)zonder (de helften van) de hoek α

te berekenen.

V?? Oefening 32. Bereken algebraısch

(sin 1◦)(sin 3◦)(sin 5◦) . . . (sin 177◦)(sin 179◦).

U Oefening 33 (verdubbelingsformule voor cotangens). Bewijs de volgende verdubbelingsformule voor cotangens:

cot(2α) =cot2 α− 1

2 cotα.

Abraham de Moivre(1667-1754)

U Oefening 34 (formules voor drievoudige hoek).Toon de volgende formules voor de drievoudige hoek aan:1

sin(3α) = 3 sinα− 4 sin3 α

cos(3α) = 4 cos3 α− 3 cosα

tan(3α) =3 tanα− tan3 α

1− 3 tan2 α

U? Oefening 35 (halveringsformule voor tangens). Bewijs de volgende halverings-formule voor tangens:

tan(a

2

)=

sin a

1 + cos a=

1− cos a

sin a.

Oefeningen bij §2.7 en §2.8Oefening 36. Ontbind telkens de gegeven uitdrukking in factoren.

B (a) sin(7a) + sin(3a) B? (d) sin a+ sin(2a) + sin(3a)

B (b) cos(5a)− cos a B?? (e) cos(4a) + cos(5a) + cos(6a)

B? (c) cos a+ sin a V (f) tan a+ sin a

1Algemene formules voor sin(nα) en cos(nα) met n ∈ N werden gevonden door De Moivre 1730. Deze formules komen ook aan bod inDeel Complexe getallen.

Po-68

Oefening 37. Bereken telkens zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven enexacte waarde noteren).

B (a) cos 75◦ cos 15◦

B (b) sin 15◦ sin 105◦

V?? (c) sin 20◦ sin 40◦ sin 60◦ sin 80◦

Oefening 38. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

B (a)cos(2a) + cos(2b)

sin(2a) + sin(2b)= cot(a+ b)

B? (b) sin a+ sin

(a+

2π

3

)+ sin

(a+

4π

3

)= 0 B?? (c) sin a+ sin b− sin(a+ b) = 4 sin

(a2

)sin

(b

2

)sin

(a+ b

2

)

B? Oefening 39. Bereken algebraıschsin 13◦ + sin 47◦ + sin 73◦ + sin 107◦

cos 17◦.

B? Oefening 40. Vereenvoudig de uitdrukkingsin(5a)− sin(3a) + sin(7a)− sin a

cos(5a)− cos(3a) + cos(7a)− cos a.

B?? Oefening 41. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon de volgende identiteiten aan.

(a) cosα+ cosβ + cos γ − 1 = 4 sin(α

2

)sin

(β

2

)sin(γ

2

)

(b) sin(2α) + sin(2β) + sin(2γ) = 4 sinα sinβ sin γ

(c) cos(2α) + cos(2β) + cos(2γ) = −1− 4 cosα cosβ cos γ

(d) sin2 α+ sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cosα cosβ cos γ

B?? Oefening 42 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985).

Bewijs de volgende identiteit:

sin θ cos4 θ =1

16(sin(5θ) + 3 sin(3θ) + 2 sin θ) .

V Oefening 43. Bereken zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine:

cos3 15◦ + sin3 15◦

cos 15◦ + sin 15◦.

V Oefening 44. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

(a) sin2(2a)− sin2 a = sin(3a) sin a

(b)sin(a+ b)

sin a+ sin b=

cos(a+b2

)

cos(a−b2

)

V? Oefening 45. Vereenvoudig zoveel als mogelijk de uitdrukkingcos(4a)− 1

sin a− sin(3a).

V? Oefening 46. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan dat

cosα

sinβ sin γ+

cosβ

sin γ sinα+

cos γ

sinα sinβ= 2.

Po-69

V? Oefening 47. Zij α, β en γ de hoeken van een driehoek. Toon aan:

∆ABC is een rechthoekige driehoek ⇔ sin(4α) + sin(4β) + sin(4γ) = 0.

V?? Oefening 48. Bereken algebraısch

cos 1◦ + cos 2◦ + cos 3◦ + . . .+ cos 43◦ + cos 44◦

sin 1◦ + sin 2◦ + sin 3◦ + . . .+ sin 43◦ + sin 44◦.

V?? Oefening 49. Zij x ∈ R. Bepaal a, b ∈ R zodat

(cos(x

2

)+ cos(2x) + cos

(7x

2

)+ cos(5x)

)sin

(3x

4

)= sin(ax) cos(bx).

V?? Oefening 50. Zij a, b en c hoekenwaarden van de (binnen)hoeken van een driehoek. Er is gegeven dat een van dehoekwaarden het gemiddelde van de twee andere hoekwaarden is. Toon aan dat

sin a+ sin b+ sin c

cos a+ cos b+ cos c

onafhankelijk van a, b en c is.

Reflectie

vb.

datum

oefeningafgew

erkt

oefeningnummer

oefeningverbeterd?(kruisje)

Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?

• voldoende tijd besteed?

• opgave goed gelezen?

• nauwkeurig gewerkt?

• modelvoorbeelden bekeken?

• opgave begrepen?

• leerstof voldoende begrepen?

Welke fouten heb ik gemaakt?

• notatiefout (NF)

• eenheden (EF)

• grafisch rekenmachine (GF)

• rekenfout (RF)

• interpretatie van de opgave (IF)

• denkfout (DF)

verder

oefenen

nodig?(kruisje)

31/12 99a X gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden EF, NF

Po-70