Voorbereidende sessietoelatingsexamen

Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde

Dr. Koen De Naeghel1

KU Leuven Kulak, woensdag 20 maart 2019

1Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar op http://www.koendenaeghel.be.

1/37

InhoudLeerstofafbakening

AlgebraRekenen met absolute waardeRekenregels van machtsverheffingRekenregels van logaritmeBewerkingen met veeltermen

MeetkundeSinus, cosinus en tangensEigenschappen van een driehoek en cirkelVergelijking van een rechte, cirkel en paraboolGemeenschappelijke punten

Examenvragen

Actief gedeelte - Maken van oefeningenAlgebraMeetkundeAntwoorden

2/37

Leerstofafbakening

WISKUNDE

1. Algebra(a) bewerkingen van reele getallen en rekenregels(b) rekenen met absolute waarde van reele getallen(c) rekenregels van machtsverheffing en logaritme(e) reele oplossingen van vierkantsvergelijkingen(f) veeltermen met reele coefficienten: bewerkingen, ontbinden in

factoren van veeltermen in eenvoudige gevallen, veeltermvgln.2. Meetkunde

(a) eigenschappen van driehoeken, vierhoeken en cirkels(b) omtrek en oppervlakte van driehoeken, vierhoeken en cirkels(c) snijpunten van rechten en cirkels, snijpunten van rechten en

parabolen(d) meten van hoeken in graden en radialen(e) de goniometrische getallen van hoeken en van verwante hoeken(f) goniometrische getallen in functie van de lengten van de zijden

in een rechthoekige driehoek(g) goniometrische formules: grondformule, verdubbelingsformule

3/37

Algebra - Rekenen met absolute waarde

I Algemeen |x | =

{x als x ≥ 0

−x als x < 0

I Voorbeeld 1 Welke waarden x voldoen aan de ongelijkheid∣∣∣∣x −5

2

∣∣∣∣ < 2

⇔ −2 < x − 5

2< 2

⇔ −2 +5

2< x < 2 +

5

2

⇔ −4

2+

5

2< x <

4

2+

5

2

⇔ 1

2< x <

9

2

⇔ x ∈]

1

2,

9

2

[

Onthoud: |4| < a ⇔ −a < 4 < a4/37

Algebra - Rekenregels van machtsverheffingI Voorbeeld 2 Gegeven is de functie f (x) = 9−x . Vereenvoudig

A =f(x − 1

2

)− f

(x + 1

2

)

f (x + 1)− f (x − 1)

=9−(x−

12) − 9−(x+

12)

9−(x+1) − 9−(x−1)f (�) = 9−�

=9−x+

12 − 9−x−

12

9−x−1 − 9−x+1−(�+4) = −�−4

=9−x · 9 1

2 − 9−x · 9− 12

9−x · 9−1 − 9−x · 91 a�+4 = a� · a4

=9

12 − 9−

12

9−1 − 91a−� =

1

a�

=

√9− 1√

919 − 9

a1n = n√a

=3− 1

319 − 9

· 9

9=

27− 3

1− 81= −24

80=− 3

105/37

Algebra - Rekenregels van logaritmeI Algemeen a log x = ∗ ⇔ x = a∗ en e log x = ln x

Voorbeeld: 2 log 16 =

∗

4 want 16 = 2

∗

4

I Voorbeeld 3 Los de volgende vergelijking op naar x :

3x−1 = 83x

⇔ ln(3x−1

)= ln

(83x)

⇔ (x − 1) ln 3 = 3x ln 8 ln(a�)

= � ln a

⇔ x ln 3− ln 3 = 3x ln 8

⇔ x(ln 3− 3 ln 8) = ln 3

⇔ x =ln 3

ln 3− 3 ln 8

⇔ x =ln 3

ln 3− ln (83)ln (� · 4) = ln�+ ln4

⇔ x =ln 3

ln(

3512

) ln

(�4

)= ln�− ln4

6/37

Algebra - Bewerkingen met veeltermenI Voorbeeld 4 Hoeveel bedraagt de som p + q als

x(2x + 3)

x2 + 3x + 2=

p(x + 1)

x + 2+

q

x + 1

⇒ x(2x + 3)

(x + 2)(x + 1)=

p(x + 1)

x + 2+

q

x + 1

⇒ x(2x + 3)

(x + 2)(x + 1)=

p(x + 1)

x + 2· x + 1

x + 1+

q

x + 1· x + 2

x + 2

⇒ x(2x + 3) = p(x + 1)2 + q(x + 2)

⇒ 2x2 + 3x = p(x2 + 2x + 1) + qx + 2q

⇒ 2x2 + 3x = px2 + (2p + q)x + (p + 2q)

⇒

2 = p

3 = 2p + q

0 = p + 2q

⇒ p = 2 en q = −1

⇒ p + q = 17/37

Algebra - Bewerkingen met veeltermenI Voorbeeld 5 Bepaal p(q + r) als x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r

deelbaar is door x3 + 3x2 + 9x + 3.

Oplossing Dan moet

x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r

=(x3 + 3x2 + 9x + 3

)· (. . . x + . . .)

=(x3 + 3x2 + 9x + 3

)·(

1 · x +r

3

)

= 1 · x4 +( r

3+ 3)· x3 + (r + 9) · x2 + (3r + 3) · x + r

zodat

4 =r

3+ 3

6p = r + 9

4q = 3r + 3

⇒

r = 3

p = 2

q = 3

Antwoord p(q + r) = 2 · (3 + 3) = 12

(ALTERNATIEF: staartdeling)8/37

Algebra - Bewerkingen met veeltermenI Voorbeeld 6 f (x) = x3 + px2− 8x + q is deelbaar door x − 1

en de rest bij deling door x2 − 9 is x − 9. Wat is q?

Oplossing

f (x) deelbaar door x − 1 ⇒ f (x) = (x − 1) · (. . . x2 + . . . x + . . .)

⇒ f (1) = 0

⇒ 1 + p − 8 + q = 0

⇒ p + q = 7

f (x) delen door x2 − 9 geeft als rest x − 9

⇒ f (x) = (x2 − 9) · (. . . x + . . .) + x − 9

⇒{f (−3) = 0 + 3− 9

f (−3) = 0 + (−3)− 9

⇒ 9p + q = −9

Antwoord q = 99/37

Algebra - Bewerkingen met veeltermenI Voorbeeld 7 Door welke veelterm is x4 + 4 deelbaar?

(A) x2 − 2

(B) x2 + 2

(C) x2 + 2x − 2

(D) x2 + 2x + 2

Oplossing

f (x) deelbaar door (A) ⇒ f (x) = (x2 − 2) · (. . . x2 + . . . x + . . .)

⇒ f (√

2) = 0

⇒ 4 + 4 = 0 NEE!

f (x) deelbaar door (B) ⇒ f (x) = (x2 + 2) · (. . . x2 + . . . x + . . .)

= (x2 + 2) · (x2 + bx + 2)

= x4 + bx3 + 4x2 + 2bx + 4 NEE!

f (x) deelbaar door (C) ⇒ . . . NEE!

Antwoord (D)10/37

Algebra - Ontbinden in factoren van veeltermenI Merkwaardige producten

a2 + b2 = niet ontbindbaar in lineaire factoren

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 − 2ab + b2 = (a− b)2

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a− b)3

11/37

Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van scherpe hoeken

sinβ =overstaand

schuin=

b

a

cosβ =aanliggend

schuin=

c

a

tanβ =overstaand

aanliggend=

b

c

Veelvoorkomende scherpe hoeken:

α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sinα 01

2

√2

2

√3

21

cosα 1

√3

2

√2

2

1

20

tanα 01√3

1√

3 |

A B

C

||

c

ab

β

12/37

Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van will. hoeken

sinα : projectie op y -as

cosα : projectie op x-as

tanα : projectie op rechte x = 1

Teken van sinus, cosinus en tangensin de vier kwadranten:

α I II III IV

sinα + + − −

cosα + − − +

tanα + − + −Grondformule: sin2 α + cos2 α = 1Verdubbelingsform.: sin(2α) = 2 sinα cosα en cos(2α) = cos2 α− sin2 α

y

x1

1

α

y

x1

1

αsinα

y

x1

1

α

cosα

y

x1

1

α

tanα

x = 1

y

x1

1

α

cosα

sinαtanα

x = 1

y

x1

1

α

cosα

sinα

tanα

x = 1

y

x1

1

αcosα

sinα

tanα

x = 1

y

x1

1

α cosα

sinαtanα

x = 1

13/37

Meetkunde - Sinus, cosinus en tangens van will. hoekenI Voorbeeld 8

Gegeven zijn de coordinaten van een punt: x = −√

8 sin 200◦

en y = −√

11 cos 140◦. In welk kwadrant is dit punt gelegen?

(A) I

(B) II

(C) III

(D) IV

OplossingLees het teken af:

sin 200◦< 0

cos 140◦< 0

Dus x > 0 en y > 0

Antwoord (A)

y

x1

1

140◦

200◦

y

x1

1

sin 200◦

200◦

y

x1

1

cos 140◦

140◦

y

x1

1

cos 140◦

sin 200◦

14/37

Meetkunde - Eigenschappen van een driehoek

Som van de hoeken: α + β + γ = 180◦

Pythagoras:

4ABC rechthoekig in A ⇔ a2 = b2 + c2

Opp. 4ABC =basis× hoogte

2

=c · h

2

=1

2c · b sinα

Sinusregel:

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ

Cosinusregel:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

A B

C

c

ba

αβ

γ

A B

C

c

ba

α

A B

C

c

ba

α ||

h

A B

C

c

ba

α ||

b sinα

A B

C

c

ba

αβ

γ

15/37

Meetkunde - Eigenschappen van een cirkel

Cirkel met straal r :

omtrek = 2πr

oppervlakte = πr2

Als r = 1: omtrek 2π rad hoort bij 360◦

Cirkelsector met straal r en hoek α (rad):

booglengte = rα

oppervlakte =1

2r2α

Cirkelsegment met straal r en hoek α:

oppervlakte =1

2r2α− 1

2r2 sinα

r

r

rα

α

r

α

16/37

Meetkunde - Eigenschappen van een cirkelI Voorbeeld 9

Bepaal de oppervlakte van dezecirkel met middelpunt A en waarbijB = 15◦, C = 45◦ en |BD| = 2.

OplossingOpp. = πr2 maar wat is r?

Sinusregel:2r

sin 120◦=

2

sin 45◦

⇒ 2r√3/2

=2√2/2

⇒ 4r√3

=4√2

⇒ r =√

3/√

2

Antwoord Opp. = π

(√3√2

)2

=3π

2

C

B

A

D2

C

B

A

D2

15◦ 45◦

C

B

A

D2

15◦ 45◦

120◦

rr

17/37

Meetkunde - Eigenschappen van een cirkelI Voorbeeld 10

Twee cirkels met straal 1 snijden elkaar doorheen elkaars mid-delpunten. Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte?

Oplossing

Opp. =1

2bc sinα

=1

21 · 1 · sin 60◦

=

√3

4

Opp. =1

2r2(α− sin(α)

)

=1

212(π

3− sin

π

3

)Opp. = 2 · Opp. + 4 · Opp.

=π

6−√

3

4=

2π

3−√

3

2

b

α

c

b = 1

60◦

c = 1

r

α

r = 1

π/3

18/37

Meetkunde - Vergelijking van een rechte

De vergelijking van een rechte

I NIET evenwijdig met de y -as is:

a : y = mx + q

rico rechte: m = tanαsnijpunt y -as: S(0, q)

I WEL evenwijdig met de y -as is:

a : x = p

rico rechte: bestaat niethellingshoek α = 90◦

y

xO

q+1

+m

a

α

y

xO p

a

α

19/37

Meetkunde - Vergelijking van een rechteI Voorbeeld 1 (opnieuw)

Welke waarden x voldoen aan de ongelijkheid∣∣x − 5

2

∣∣ < 2

(A) x > 12

(B) x < 12

(C) x ∈]12 ,

92

[

(D) x ∈]− 1

2 ,32

[

Oplossing Een ongelijkheid meetkundig oplossen?

(1) Schets linkerlid

y = x − 52

y =∣∣x − 5

2

∣∣

(2) Schets rechterlid

y = 2

(3) Lees snijpunten af

Antwoord (C)

y

xO

y

xO

−5

2

y = x− 5

2

y

xO

−5

2

y = x− 5

2

5

2

y =

∣∣∣∣x− 5

2

∣∣∣∣ y

xO

−5

2

y = x− 5

2

5

2

y =

∣∣∣∣x− 5

2

∣∣∣∣

y = 2

y

xO

−5

2

y = x− 5

2

5

2

y =

∣∣∣∣x− 5

2

∣∣∣∣

y = 2

? ?

20/37

Meetkunde - Vergelijking van een cirkelmet middelpunt M(a, b) en straal r is

C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2

Waarom?

P(x , y) ∈ C ⇔ |MP| = r

⇔ |MP|2 = r2

⇔ (x − a)2 + (y − b)2 = r2 Pythagoras

y

xO

Mb

a

C

r

y

xO

Mb

a

C

ry

x

P

y

xO

Mb

a

Cy

x

x− a

y − brP

21/37

Meetkunde - Vergelijking van een cirkelI Voorbeeld 11 Wat is de straal van de cirkel met vergelijking

4x2 − 16x + 4y2 + 20y − 283 = 0

⇔ x2 − 4x + y2 + 5y − 283

4= 0

Oplossing De vergelijking is van de vorm

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

⇔ x2 − 2ax + a2+ y2 − 2by + b2 − r2 = 0

zodat

− 4 = −2a

5 = −2b

− 283

4= a2 + b2 − r2

⇒

a = 2

b = −5

2

− 283

4= 22 +

(−5

2

)2

− r2

⇒ r2 = 81

Antwoord De straal van de cirkel is 922/37

Meetkunde - Vergelijking van een paraboolmet symmetrie-as evenwijdig met y -as:

P : y = ax2 + bx + c

a > 0dalparabool

P

of a < 0bergparabool

P

a > 0dalparabool

P

of a < 0bergparabool

P

a > 0dalparabool

P

D > 0

of a < 0bergparabool

P

D > 0

a > 0dalparabool

P

D = 0

of a < 0bergparabool

P

D = 0

a > 0dalparabool

P

D < 0

of a < 0bergparabool

P

D < 0

a > 0dalparabool

P

D > 0

D = 0D < 0

of a < 0bergparabool

P

D > 0

D = 0D < 0

vergelijking symmetrie-as: x = − b

2a, top: T (x , f (x))

snijpunten x-as: dan is

y = 0 ⇔ ax2 + bx + c = 0 D = b2 − 4ac

⇔ x =−b ±

√D

2a

D > 0 : 2 snijpunten met x-as

D = 0 : 1 snijpunt met x-as

D < 0 : geen snijpunten met x-as 23/37

Meetkunde - Vergelijking van een paraboolmet symmetrie-as evenwijdig met x-as:

P : x = ay2 + by + c

a > 0

Pof a < 0

Pa > 0

Pof a < 0

Pa > 0

P

D > 0

of a < 0

P

D > 0

a > 0

P

D = 0

of a < 0

P

D = 0

a > 0

P

D < 0

of a < 0

P

D < 0

a > 0

P

D > 0D = 0D < 0

of a < 0

P

D > 0 D = 0 D < 0

vergelijking symmetrie-as: y = − b

2a, top: T (f (y), y)

snijpunten y -as: dan is

x = 0 ⇔ ay2 + by + c = 0 D = b2 − 4ac

⇔ y =−b ±

√D

2a

D > 0 : 2 snijpunten met y -as

D = 0 : 1 snijpunt met y -as

D < 0 : geen snijpunten met y -as 24/37

Meetkunde - Vergelijking van een paraboolI Voorbeeld 12 Na regressieanalyse van de waarnemingen was

men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te druk-ken in functie van de toegediende dosis (d) van een bepaaldgeneesmiddel:

A(d) = −d2 + 2d + 3 met 0 ≤ d ≤ 2.

Welke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief?

Oplossing

Gedaante y = ax2 + bx + c met a < 0

Gevraagd: dosis bij de top

Symmetrie-as:

d = − b

2a= − 2

2 · (−1)= 1

Antwoord d = 1

d

y y = A(d)

d

y y = A(d)

d

y

?

y = A(d)

d

y

d = − b

2a25/37

Meetkunde - Vergelijking van een paraboolI Voorbeeld 13 We beschouwen de parabool met vergelijking

x = y2 − 3y − 2. Welke uitspraak klopt? De parabool

(A) raakt de y -as

(B) snijdt y -as eens boven enonder de x-as

(C) snijdt y -as niet

(D) snijdt y -as in twee puntenboven de x-as

OplossingSnijpunten y -as: dan is

x = 0 ⇔ y2 − 3y − 2 = 0

D = (−3)2 − 4 · 1 · (−2)D = 17

⇔ y =3 +√

17

2︸ ︷︷ ︸>0

of y =3−√

17

2︸ ︷︷ ︸<0

Antwoord (B)

26/37

Meetkunde - Vergelijking van een paraboolI Voorbeeld 14 We beschouwen de parabool met vergelijking

x = y2 − 3y − 2. Welke uitspraak klopt? De parabool

(A) raakt de y -as

(B) snijdt y -as eens boven enonder de x-as

(C) snijdt y -as niet

(D) snijdt y -as in twee puntenboven de x-as

Oplossing ALTERNATIEF

Gedaante x = ay2 + by + c met a > 0

Symmetrie-as: y = − b

2a=

3

2

Snijpunt x-as: dan is

y = 0 ⇔ x = 02 − 3 · 0− 2

⇔ x = −2

Antwoord (B)

PP

y = 3/2

P

y = 3/2

x

P

y = 3/2

x−2

P

y = 3/2

x−2

y

27/37

Meetkunde - Gemeenschappelijke puntenI Voorbeeld 15 Hoeveel punten hebben de parabolen

y = −3x2 + x + 5 en y = 2x2 − 3x + 2 gemeenschappelijk?

Oplossing Grafieken van y = f (x) en y = g(x) hebben

P(x , y) gemeenschappelijk

⇔ f (x) = g(x)

⇔ −3x2 + x + 5 = 2x2 − 3x + 2

⇔ −5x2 + 4x + 3 = 0

D = 42 − 4 · (−5) · 3D= 76> 0

⇔ x1,2 =−4±

√76

−10

Antwoord 2 gemeenschappelijke punten

P (x, y)

y = f(x)

y = g(x)

y

y

x

P (x, y)

x

y = f(x)

y = g(x)

xx1 x2

y = −3x2 + x+ 5

y = 2x2 − 3x+ 2

28/37

Meetkunde - Gemeenschappelijke puntenI Voorbeeld 16

Een rechte a die de y -as snijdt in (0, 4) heeft een punt gemeen-schappelijk met de parabool y = −2x2 + 2. De rechte is nietverticaal en niet parallel met y = 4x . Wat is de helling van dierechte?

Oplossing(1) rechte niet evenwijdig met y -as dus a : y = mx + q

(2) rechte niet parallel met y = 4x dus m 6= 4

(3) snijpunt y -as is (0, 4) = (0, q) dus q = 4

(4) een punt gemeenschappelijk met parabool

⇔ −2x2 + 2 = mx + 4 heeft een oplossing

⇔ 2x2 + mx + 2 = 0 heeft een oplossing

⇔ D = m2 − 4 · 2 · 2 = 0

⇔ m = 4 of m = −4

Antwoord De helling is −429/37

Examenvragen

I Juli 2016 - Vraag 8 Als cos x = sin x +1√3

, dan is

cos3 x − sin3 x gelijk aan

(A)4

3√

3

(B)3

2√

3

(C)2√3

(D)1√3

Oplossing Ontbinden in factoren:

cos3 x − sin3 x = (cos x − sin x)︸ ︷︷ ︸1/√3

(cos2 x + sin x cos x︸ ︷︷ ︸

?

1/3

+ sin2 x)

(cos x − sin x)2︸ ︷︷ ︸1/3

= cos2 x − 2 sin x cos x + sin2 x

dus 2 sin x cos x = 1− 13 = 2

3

=1√3

(1 +

1

3

)=

4

3√

3dus antwoord (A).

30/37

ExamenvragenI Augustus 2016 - Vraag 8 In een orthonormaal assenstelsel

is een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1 gegeven. Vanuithet punt A(−2, 0) tekenen we de raaklijn r aan de cirkel. Hetpunt B is het snijpunt van de (positieve) x-as met de raaklijns aan de cirkel loodrecht op r . Wat is de coordinaat van B?

(A)

(5√

3

6, 0

)

(B)

(4√

3

5, 0

)

(C)

(3√

3

4, 0

)

(D)

(2√

3

3, 0

)

(2√

3

3, 0

)

(2√

3

3, 0

)

Oplossing Raaklijn ⊥ middellijn

Gelijkvormige driehoeken:

?

2=

1

a⇒ ? =

2

a=

2√

3

3(D)

Pythagoras:

22 = a2 + 12⇒ a =√

3

y

x

rs

| |

A B

y

x

rs

| |

1 | |

A B

y

x

rs

| |

1 | |1

| |

A B

y

x

rs

| |

1 | |1

| |

?2A B

a

y

x

rs

| |

1 | |1

| |

?2A B

√3

31/37