AnalyseDeel 1

I.A.M. Goddijn

TUDelft

August 28, 2009

Inleiding

Goniometrie

August 28, 2009 1

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Inleiding

I.A.M. Goddijn

Mekelweg 4, kamer 4.240

tel : (015 27)86408

e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl

homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/∼goddijn ofhttp: //aw.twi.tudelft.nl/∼goddijn

blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl

Spreekuur : volgens afspraak

September 2, 2009 2

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Studiemateriaal

Handout

Boek

James Stewart : Calculus (Early Transcendentals)

6th edition

ISBN-13 : 978-0-495-38273-7

ISBN-10 : 0-495-38273-6

August 28, 2009 3

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Goniometrie

sin � =a

b

cos � =c

b

tan � =a

c

(SOSCASTOA)

August 28, 2009 4

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Bekende driehoeken

sin �4 =1√2

=1

2

√2

cos �4 =1√2

=1

2

√2

tan �4 = 1

August 28, 2009 5

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Volgens Pythagoras is

x2 +

(1

2

)2 = 1 2

en dus x =1

2

√3.

sin �6 =1

2

cos �6 =1

2

√3

tan �6 =12

12

√3

=1

3

√3

sin �3 =1

2

√3

cos �3 =1

2

tan �3 =12

√3

12

=√3

August 28, 2009 6

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Belangrijke formules

cos � =xP1

en

sin � =yP1

dus volgens Pythagoras is

(cos �) 2 + (sin �) 2 =

xP2 + yP

2 = 1.

(cos �) 2 + (sin �) 2 = 1

August 28, 2009 7

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

sin (−x) = − sinxcos (−x) = cosxtan (−x) = − tanx

August 28, 2009 8

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

sin(�2− x

)= cosx

cos(�2− x

)= sinx

tan(�2− x

)=

1

tanx

August 28, 2009 9

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

De cosinusregel

Pas de stelling van Pythagoras toe

op de driehoeken ADC en DBC en

trek de verkregen vergelijkingen van

elkaar af.

c2 − 2cp = a2 − b2

a2 = b2 + c2 − 2cp

August 28, 2009 10

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

De cosinusregelPas de stelling van Pythagoras toe

op de driehoeken ADC en DBC en

trek de verkregen vergelijkingen van

elkaar af.

c2 − 2cp = a2 − b2

a2 = b2 + c2 − 2cp

August 28, 2009 10

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

De cosinusregelPas de stelling van Pythagoras toe

op de driehoeken ADC en DBC en

trek de verkregen vergelijkingen van

elkaar af.

c2 − 2cp = a2 − b2

a2 = b2 + c2 − 2cp

Gebruik vervolgens dat cos� =p

b

Dit geeft ( cosinusregel ): a2 = b2 + c2 − 2bc cos�

August 28, 2009 10

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de

cosinusregel op driehoek OAB.

Maak vervolgens gebruik van (cos�) 2 + (sin�) 2 = 1

en dezelfde formule voor �.

Dit geeft : cos(� − �) = cos� cos� + sin� sin�

August 28, 2009 11

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de

cosinusregel op driehoek OAB.

Maak vervolgens gebruik van (cos�) 2 + (sin�) 2 = 1

en dezelfde formule voor �.

Dit geeft : cos(� − �) = cos� cos� + sin� sin�

August 28, 2009 11

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de

cosinusregel op driehoek OAB. Dit geeft :

(cos� − cos�)2 + (sin� − sin�)2 = 1 + 1 − 2 cos(� − �)

Maak vervolgens gebruik van (cos�) 2 + (sin�) 2 = 1

en dezelfde formule voor �.

Dit geeft : cos(� − �) = cos� cos� + sin� sin�

August 28, 2009 11

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en de

cosinusregel op driehoek OAB. Dit geeft :

(cos� − cos�)2 + (sin� − sin�)2 = 1 + 1 − 2 cos(� − �)

Maak vervolgens gebruik van (cos�) 2 + (sin�) 2 = 1

en dezelfde formule voor �.

Dit geeft : cos(� − �) = cos� cos� + sin� sin�

August 28, 2009 11

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

De somformules, dubbele hoekformules

cos(x − y) = cosx cos y + sinx sin ycos(x + y) = cosx cos y − sinx sin ysin(x − y) = sinx cos y − cosx sin ysin(x + y) = sinx cos y + cosx sin y

cos 2x = (cosx) 2 − (sinx) 2

cos 2x = 2 (cosx) 2 − 1cos 2x = 1 − 2 (sinx) 2

sin 2x = 2 sinx cosx

August 28, 2009 12

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

De somformules, dubbele hoekformules

cos(x − y) = cosx cos y + sinx sin ycos(x + y) = cosx cos y − sinx sin ysin(x − y) = sinx cos y − cosx sin ysin(x + y) = sinx cos y + cosx sin y

cos 2x = (cosx) 2 − (sinx) 2

cos 2x = 2 (cosx) 2 − 1cos 2x = 1 − 2 (sinx) 2

sin 2x = 2 sinx cosx

August 28, 2009 12

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

De cosinusregelPas de stelling van Pythagoras toeop de driehoeken ADC en DBC entrek de verkregen vergelijkingen vanelkaar af.

c2 − 2cp = a2 − b2

a2 = b2 + c2 − 2cp

Gebruik vervolgens dat cosφ =p

b

Dit geeft ( cosinusregel ): a2 = b2 + c2 − 2bc cosφ

September 1, 2008 1

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Pas de stelling van Pythagoras toe op driehoek ABC en decosinusregel op driehoek OAB. Dit geeft :(cosβ − cosα)2 + (sinβ − sinα)2 = 1 + 1 − 2 cos(β − α)

Maak vervolgens gebruik van (cosα) 2 + (sinα) 2 = 1en dezelfde formule voor β.

Dit geeft : cos(β − α) = cosα cosβ + sinα sinβ

September 1, 2008 2

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

De somformules, dubbele hoekformules

cos(x − y) = cosx cos y + sinx sin ycos(x + y) = cosx cos y − sinx sin ysin(x − y) = sinx cos y − cosx sin ysin(x + y) = sinx cos y + cosx sin y

cos 2x = (cosx) 2 − (sinx) 2

cos 2x = 2 (cosx) 2 − 1cos 2x = 1 − 2 (sinx) 2

sin 2x = 2 sinx cosx

September 1, 2008 3

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Complexe getallen

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ · · · ?

De verzameling van de reële getallen kan worden uitgebreid totde verzameling van complexe getallen.

Wat is de aanleiding tot deze uitbreiding ?

September 1, 2008 4

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Definitie

Het imaginaire getal i is oplossing van de vergelijkingx2 + 1 = 0.

i2 = −1

z = a + bi met a, b ∈ R heet een complex getal.

a heet het reële deel van z.b heet het imaginaire deel van z.

Rez = aImz = b

September 1, 2008 5

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

C = { a + bi | a, b ∈ R }

Twee complexe getallen a + bi en c + di, a, b, c, d ∈ R zijnaan elkaar gelijk als a = c en b = d.

Als z = a + bi dan is de tegengestelde van z gelijk aan−a − bi.

−z = − a − bi

September 1, 2008 6

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Grafische weergave

Complexe vlak !

Gauss vlak !

Argand vlak !

September 1, 2008 7

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Bewerkingen

Laat z = a + bi en w = c + di, a, b, c, d ∈ R

Optellenz + w = (a + c) + (b + d)i

Aftrekkenz − w = z + −w = (a − c) + (b − d)i

Vermenigvuldigenz · w = (ac − bd) + (ad + bc)i

September 1, 2008 8

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Bewerkingen

Laat z = a + bi en w = c + di, a, b, c, d ∈ R

Delena + bic + di

?

Waar moeten c en d aan voldoen ?

a + bic + di

=(ac + bd) + (bc − ad)i

c2 + d2

September 7, 2007 2

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Bewerkingen

Laat z = a + bi en w = c + di, a, b, c, d ∈ R

Delena + bic + di

?

Waar moeten c en d aan voldoen ?

a + bic + di

=(ac + bd) + (bc − ad)i

c2 + d2

September 7, 2007 2

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Deze formule gaan we niet onthouden.We kunnen ook delen door de teller en de noemer van debreuk te vermenigvuldigen met de complex geconjugeerde ofcomplex toegevoegde van de noemer.

September 7, 2007 3

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Complex geconjugeerde

Als z = a + bi, a, b ∈ R dan heet a − bi de complexgeconjugeerde of complex toegevoegde van z.

z = a − bi

Eigenschappen

z + z = 2Rez voor alle z ∈ C.z − z = 2i Imz voor alle z ∈ C.

Als z = a + bi, a, b ∈ R danz · z = a2 + b2.

September 7, 2007 4

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Eigenschappen

z = z voor alle z ∈ C.

z ± w = z ± w voor alle z, w ∈ C.

z · w = z · w voor alle z, w ∈ C.( zw

)=

z

wvoor alle z, w ∈ C, w 6= 0.

zn = z n voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

Nogmaals delen !

a + bic + di

=a + bic + di

· c − dic − di

=(ac + bd) + (bc − ad)i

c2 + d2

September 7, 2007 5

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Poolcoördinaten

cosφ =a

r

sinφ =b

r

z = a + bi = r(cosφ + i sinφ)

September 7, 2007 6

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Modulus en argumentDefinities

De modulus van z isgelijk aan

√a2 + b2.

Het argument van z isgelijk aan φ waarbij φ zogekozen is dat−π < φ ≤ π.

Notaties

|z| = r =√a2 + b2 en

arg z = φ.

En dusz = |z|(cos arg z + i sin arg z).

September 7, 2007 7

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Eigenschappen modulus

|z| 2 = z · z voor alle z ∈ C.

|z + w| ≤ |z| + |w| voor alle z, w ∈ C.

|z · w| = |z| · |w| voor alle z, w ∈ C.

| zw| = |z|

|w|voor alle z, w ∈ C, w 6= 0.

|z n| = |z| n voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

September 7, 2007 8

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

Eigenschappen argument

arg(z · w) = arg z + argw ( mod 2π) voor alle z, w ∈ C.

arg( zw

)= arg z − argw ( mod 2π) voor alle z, w ∈ C

w 6= 0.

arg z n = n arg z ( mod 2π) voor alle z ∈ C, n ∈ Z.

September 7, 2007 9

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

De somformules

Bij het bewijs van de eigenschappen van modulus en argument

is het handig om gebruik te maken van de volgende formules:

cos(�+�) = cos� cos � − sin� sin �sin(�+�) = sin� cos � + cos� sin �

September 3, 2009 4

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

GoniometrieBekende driehoekenBelangrijke formules

Sheets2b.pdfGoniometrieBelangrijke formules

Complexe getallenDefinitieGrafische weergaveBewerkingen

Sheets3b.pdfComplexe getallenBewerkingenComplex geconjugeerdeBeschrijving in poolcoördinatenModulus en argument

Sheets4b.pdfComplexe getallenModulus en argumentDe formule van de MoivreDe formule van EulerHet oplossen van vergelijkingenDe binomiaalvergelijkingDe exponentiële vergelijkingPolynomiale vergelijkingen