Wiskundevoor 2vwo · 2018. 9. 28. · 4.2 Balansmethode 142 4.3 Haakjesinformules 148 4.4...

Wiskunde voor2 vwoDeel 1

Versie 2013

Samensteller

© 2013

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb-bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aanspra-kelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkeleaansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 NederlandLicentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en isspeciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de websitewww.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor devakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren tebekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via [email protected] houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

Inhoud

Voorwoord 3

1 Machten en wortels 5

1.1 Kwadraten 61.2 Wortels 111.3 Rekenen met wortels 161.4 Machten 221.5 Meneer Van Dalen 281.6 Wetenschappelijke notatie 321.7 Soorten getallen 381.8 Totaalbeeld 43

2 Symmetrie 49

2.1 Lijnsymmetrie 502.2 Puntsymmetrie 572.3 Draaisymmetrie 632.4 Driehoeken 702.5 Vierhoeken 752.6 Totaalbeeld 83

3 Formules voor omtrek en oppervlakte 89

3.1 Oppervlakteformules 903.2 Oppervlakte van driehoeken 963.3 Oppervlakte van vierhoeken 1023.4 Omtrek cirkel 1103.5 Oppervlakte cirkel 1163.6 Eenheden 1223.7 Totaalbeeld 129

4 Vergelijkingen 135

4.1 Rekenschema's 1364.2 Balansmethode 1424.3 Haakjes in formules 1484.4 Machten in formules 1544.5 Breuken in formules 1604.6 Totaalbeeld 165

Register 169

PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013


Voorwoord

Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de websitewww.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je preciesmoet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeldin de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen

Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als jeinderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To-taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vasterubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen> Uitleg> Theorie en Voorbeelden> Verwerken> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op dewebsite.

1Machten en wortels

Kwadraten 6Wortels 11Rekenen met wortels 16Machten 22Meneer Van Dalen 28Wetenschappelijke notatie 32Soorten getallen 38Totaalbeeld 43


1.1 Kwadraten

Verkennen

Opgave 1

De oppervlakte van een vierkant bereken je door de lengte van zijdemet zichzelf te vermenigvuldigen.

a Hoe groot is de oppervlakte van dit vierkant?

b Hoeveel bedragen de afmetingen van een vierkant met een oppervlaktevan 441 eenheden?

c Waaromwordt de oppervlakte-eenheid ‘vierkante’ meter geschreven alsm2?

Opgave 2Bekijk alleen vierkanten met gehele getallen als lengtes van de zijden.

Welke afmetingen heeft het grootste vierkant dat een oppervlakte heeft van minder dan 100000? Enhet kleinste vierkant dat een oppervlakte heeft van meer dan 100000?

Uitleg

Dit vierkant heeft vier zijden van 4 cm.De oppervlakte van het vierkant is 4 × 4 = 16 cm2.In plaats van 4 × 4 schrijf je ook wel 42.Je spreekt dit uit als ‘vier tot de tweede’ of ‘vier kwadraat’.‘Kwadraat’ (vroeger ‘quadraat’) komt van het latijnse ‘quadra’dat ‘vier’ betekent; een kwadraat is eigenlijk gewoon een an-dere naam voor (oppervlakte van een) vierkant. Het bereke-nen van een kwadraat heet kwadrateren.Voor een vierkant geldt: u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� = u�u�u�u�u�2.Met de rekenmachine bereken je 42 zo:

of zo:

Opgave 3De lengte van een van de zijden van een vierkant is 7 cm.

a Hoe bereken je de oppervlakte van het vierkant? Bereken ook de gevraagde oppervlakte.

b In plaats van 7 × 7 schrijf je ook wel 72.Hoe spreek je dat uit?

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > REKENEN > MACHTEN EN WORTELS


Opgave 4Bereken de volgende kwadraten zonder rekenmachine:

a 62

b 252

c 3,52

d (13)

2

e 2,22

f (223)

2

Opgave 5Maak een lijst met kwadraten van de eerste 20 gehele getallen en leer die uit je hoofd.

Theorie en voorbeelden

Voorbeeld 1

Meestal worden alleen de kwadraten van gehele positieve getallen ook echt ‘kwadraten’ genoemd. Datkomt omdat men in de Oudheid geen andere getallen kende dan 1, 2, 3, enzovoorts...

Hier zie je dus een heleboel kwadraten:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

100 121 144 169 196 225 256 289 324 361

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

400 441 484 529 576 625 676 729 784 841

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401



Opgave 6Bekijk de lijst met kwadraten in Voorbeeld 1 op pagina 7.

a Hoe kun je hieruit het kwadraat van 3,8 halen?

b Hoe kun je hieruit het kwadraat van 517 halen?

c Welke positieve waarde heeft u� als u�2 = 5,29?

d Laat zien, dat 202 + 32∅232.Laat dit ook zien in een tekening met vierkanten.

Opgave 7Hoe zit het met de kwadraten van negatieve getallen?

a Bereken (−3)2.

b En waarom zijn de haakjes nodig? Met andere woorden: wat is het verschil tussen (−3)2 en −32?

c Welke twee waarden kan u� aannemen als u�2 = 9?

Voorbeeld 2

De oppervlakte van dit vierkant is 2 cm2.

Maar van welk getal is 2 het kwadraat?Dit was al in de Oudheid een boeiende vraag.Niemand wist er het antwoord op...Alleen door proberen kun je het vinden. Speel een ‘hoger/la-ger’-spelletje:

getal kwadraat omhoog/omlaag

1 1 omhoog

2 4 omlaag

1,1 1,21 omhoog

1,2 1,44 omhoog

1,3 1,69 omhoog

1,4 1,96 omhoog

1,5 2,25 omlaag

1,41 1,9881 omhoog

1,42 2,0164 omlaag

Na lang proberen vind je ongeveer 1,414213562, maar zelfs dat is niet het exacte antwoord...



Opgave 8

Bekijk de roosterfiguur hiernaast.

a Waarom weet je zeker dat het een vierkant betreft?

b Hoe groot is de oppervlakte van dit vierkant?

c Bereken nu de lengte van de zijde op dezelfde manier als in Voor-beeld 2 op pagina 8 in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 9




c Bereken nu de lengte van de zijde op dezelfde manier als in Voor-beeld 2 op pagina 8 in twee decimalen nauwkeurig.

Verwerken

Opgave 10Bereken zonder rekenmachine:

a 3,32

b 0,92

c −2,72

d (−0,1)2

e 152 − 132

f (15 − 13)2


a (25)

2

b (−38)

2

c (−114)

2

d −(225)

2

Opgave 12Laat met behulp van vierkanten zien dat 1,52 ≠ 2,25.



Opgave 13




c Bereken nu de lengte van de zijde in twee decimalen nauw-keurig.

Opgave 14Bepaal de twee waarden van u� waarvoor geldt:

a u�2 = 121

b u�2 = 4,41

c u�2 = 179

Toepassen

Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting.

Opgave 15: Kwadraten en vierkanten

Je kunt de kwadraten van sommige getallen uit het hoofd uitrekenen door je er vierkanten bij voorte stellen. Lees hierover

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Kwadraten > Toepassen

a Bereken op deze manier 512.

b Bereken op deze manier 982.

c Bereken op deze manier 10,42.

Opgave 16: Kwadraten van getallen die eindigen op 5

Soms moet je een kwadraat uitrekenen van een getal dat eindigt op een 5. Daarvoor kan je een ‘truc’gebruiken. Hiermee kun je bijvoorbeeld 352 uitrekenen.

> Deel het getal door 10. Tussen welke twee gehele getallen ligt het antwoord?> Vermenigvuldig die twee getallen met elkaar.> Je krijgt nu het antwoord door 25 achter het antwoord te plaatsen.

Ga na of deze ‘truc’ echt werkt. En probeer hem daarna te verklaren.


1.2 Wortels

Verkennen

Opgave 1

Een probleem uit de Oudheid was het verdubbelen van een vier-kant. Hier zie je hoe een vierkant wordt verdubbeld: de oppervlaktevan vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆 is het dubbele van de oppervlakte van vierkant𝐴𝐵𝐶𝐷. De oppervlakte van 𝐴𝐵𝐶𝐷 is 1 cm2.

a Hoe groot is de oppervlakte van vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆?

b Hoe lang is elke zijde van vierkant 𝑃𝑄𝑅𝑆? Geef een benadering intwee decimalen nauwkeurig.

c Leg uit waarom de lengte van de zijde 𝑃𝑄𝑅𝑆 geen geheel getal is.

Uitleg

De oppervlakte van dit vierkant is 16 cm2.De lengte van elke zijde is 4 cm, want 42 = 4× 4 = 16.Je zegt: de wortel van 16 is 4.Je schrijft dit als: √16 = 4.Dat noem jewortel trekken. Je rekenmachine kan ook worteltrekken. Bijvoorbeeld √441 = 21 gaat waarschijnlijk zo:

441Maar misschien heeft je rekenmachine wel een afzonderlijkeworteltoets...

De bewerkingen ‘kwadraat nemen’ en ‘wortel trekken’ heffenelkaar op. Meetkundig gezien gaat het bij kwadrateren om hetbepalen van de oppervlakte van een vierkant vanuit de zijde:42 = 16. En bij wortel trekken gaat het om het bepalen vande zijde vanuit een gegeven oppervlakte √16 = 4.En dus is: √42 = 4 en ook (√4)

2= 4

Opgave 2

De oppervlakte van een vierkant is 64 cm2.

a Hoe bereken je de zijde van het vierkant? Bereken ook die zijde.

b De zijde van een vierkant heeft een lengte van √7. Hoeveel bedraagt de oppervlakte?



Opgave 3Bereken de volgende wortels zonder rekenmachine:

a √49

b √144

c √2,25

d √49

e √0,64

f √49

Opgave 4Tussen welke gehele getallen ligt √140?


Voorbeeld 1

Uit een kwadraat kun je gemakkelijk wortel trekken.Bijvoorbeeld:

> √1024 = √322 = 32

> √179 = √

169 = √(4

3)2= 4

3

> √1,44 = √(1,2)2 = 1,2

Opgave 5Bereken:

a √64

b √100

c √144

d √225

e √2,25

f √6,25

g √0,09

h √0,36

Opgave 6Bereken:

a √19

b √125

c √916

d √2536



e √1916

f √214

g √279

h √2014

Opgave 7Hoe zit het met de wortels van negatieve getallen?

a Welk antwoord zou je √−16 willen geven?

b Hoe reken je √(−4)2 uit?

c Waarom kun je de wortel uit een negatief getal niet trekken?

Opgave 8Je voert nu de bewerkingen "kwadrateren" en "worteltrekken" na elkaar uit.

a Hoe bereken je √42? En wat komt er uit?

b Hoe bereken je √42? En wat komt er uit?

c Vervang in a en b het getal 4 door een willekeurig ander niet-negatief getal. Wat gebeurt er telkens?

Voorbeeld 2

De oppervlakte van dit vierkant is 2 cm2.

De lengte van de zijde is daarom √2.Maar hoe groot is √2 nu precies?Dit was al in de Oudheid een boeiende vraag.Niemand wist er het antwoord op...Na lang proberen (zie Voorbeeld 2 op pagina 8) vind je ongeveer1,414213562, maar zelfs dat is niet het exacte antwoord...√2 is niet exact te berekenen, dit getal kan alleen worden benaderd!√2 ≈ 1,4142 gaat waarschijnlijk zo:

Hetzelfde geldt voor getallen als √3, √5, √20, kortom voor vrijwelalle wortels.Alleen de wortels uit zuivere kwadraten ‘komen uit’: bijvoorbeeld √9 = 3 en √0,04 = 0,2

Opgave 9Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 13.

a Teken zelf zo’n vierkant op een cm-rooster en leg uit waarom de oppervlakte van dit vierkant 2 is.

b De lengte van de zijde van het vierkant is daarom √2. Meet eens op hoe lang de zijde van het vierkantis in mm nauwkeurig en leg uit waarom dit nooit de exacte lengte van de zijde kan zijn.

c Waarom kan ook 1,414213562 niet de exacte waarde van √2 zijn?

d Waarom zal √2 nooit een exact decimaal getal kunnen zijn?



e Wat maakt jouw rekenmachine van √2? En wat gebeurt er als je met die benadering in beeld op dekwadraattoets drukt? Hoe komt dat, denk je?

Opgave 10Schat bij de volgende wortels eerst tussen welke gehele getallen ze liggen. Bereken ze dan met jerekenmachine en rond af op vier decimalen nauwkeurig:

a √3

b √50

c √0,4

d √1000

e √513

f √−21

g −√21

h √50−√5

Verwerken

Opgave 11Bereken de volgende wortels zonder de rekenmachine te gebruiken:

a √121

b √196

c √4,41

d √0,0025

e √73− 8

f √11549

g √625−√361

h −√0,36

Opgave 12

Een vierkant heeft een oppervlakte van 20 cm2.

a Hoe groot is de exacte lengte van elke zijde?

b Tussen welke opeenvolgende gehele getallen ligt de lengte van deze zijde?

c Benader de lengte van de zijden van dit vierkant in drie decimalen nauwkeurig.

d Waarom kan dit nooit meer dan een benadering van de werkelijke lengte zijn?

Opgave 13Schat bij de volgende wortels eerst tussen welke gehele getallen ze liggen. Bereken ze dan met jerekenmachine en rond af op vier decimalen nauwkeurig:

a √5



b √96

c √0,0014

d √1700

e √1515

f 12 ⋅ √5

Opgave 14

De oppervlakte van een vierkant is 𝐴 cm2. De omtrek van dit vierkant is 𝑃 cm.

a Neem 𝐴 = 25 en bereken 𝑃.

b Neem 𝐴 = 24 en bereken 𝑃.

c Stel een formule op voor het verband tussen 𝐴 en 𝑃 van de vorm 𝑃 = ...

d Stel een formule op voor het verband tussen 𝐴 en 𝑃 van de vorm 𝐴 = ...

e Bepaal de waarde(n) waarvoor 𝐴 = 𝑃.


a √132

b √132

c √72 − 2 ⋅ √49

d √256−√152

Toepassen


Opgave 16: Wortels en vierkanten

Hoe je de lengte van een lijnstuk tussen twee roosterpunten bepaalt door er een vierkant op tetekenen zie je via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Wortels > Toepassen

a Ga na dat het vierkant op 𝐴𝐵 inderdaad een oppervlakte van 10 heeft.

b Bereken op deze manier de lengte van 𝐴𝐵 als punt 𝐵 4 eenheden rechts en 2 eenheden boven punt 𝐴ligt.

c Oefen dit met een medeleerling, het zal je later nog van pas komen.

Opgave 17: Rare rechthoek?Een rechthoek heeft een lengte van √5+√3 en een breedte van √5−√3.

Laat zien, dat de oppervlakte van deze rechthoek 2 is.


1.3 Rekenen met wortels

Verkennen

Opgave 1

Je ziet hier hoe je van negen vierkanten met een oppervlakte van 2cm2 één groter vierkant kunt maken.

a Hoe groot is de oppervlakte van het grote vierkant?

b Hoe lang is elke zijde van het grote vierkant?

c Leg uit hoe je vanuit de lengtes van de zijden van het grote vierkantde oppervlakte ervan kunt berekenen.

Uitleg

√2 is de lengte van de zijde van een vierkant met oppervlakte 2. Dit getal is nietals decimaal getal te schrijven, het is alleen te benaderen. Omdat een oppervlaktealtijd positief is, kun je alleen worteltrekken uit positieve getallen en uit 0. Al in detijd van de Oude Grieken (zo’n 600 jaar v.Chr.) was dit bekend. Zij beschouwdenelke wortel als een lijnstuk. Omdat ze van veel wortels geen mooie gehele getallenof nette breuken konden maken, noemden ze wortels ‘onmeetbare getallen’. Zekonden er alleen mee rekenen door ze als lijnstukken voor te stellen.

Maak je het lijnstuk dat √2 voorstelt drie keer zo lang, dan krijg je3 ⋅ √2 of kortweg 3√2.Dit zijn twee lijnstukken met gelijke wortels, je kunt ze daarom op-tellen:√2+ 3√2 = 4√2.Deze optelling bestaat uit twee termen. In beide termen komen de-zelfde wortels voor en daarom spreek je van gelijksoortige termen.Gelijksoortige termen kun je altijd samennemen.Bovendien zie je: 3√2 = √9 ⋅ 2 = √18.Dit is het begin van rekenen met wortels, ook andere wortels dan√2...

Opgave 2

Je ziet hier een vierkant met oppervlakte 5 cm2.

a Hoe lang is de zijde van het vierkant?

b Hoe krijg je een vierkant waarvan de zijden 2√5 zijn?

c Waarom noem je 2√5 en 3√5 wel gelijksoortige wortels?

d Hoeveel is 2√5+ 3√5?

e Hoeveel is 3√5− 2√5?



Opgave 3In de vorige opgave had je een vierkant met oppervlakte 5 en dus zijde √5. Neem nu een vierkantwaarvan de zijden 2√5 zijn.

a Teken dit vierkant. Bepaal de oppervlakte ervan door de figuur te verdelen in een vierkant en vier halverechthoeken.

b Hoe kun je die oppervlakte uitrekenen door de zijden te vermenigvuldigen?


Voorbeeld 1Meestal kun je berekeningen met wortels alleen benaderen met de rekenmachine. Alleen gelijksoortigewortels kun je optellen tot één wortelvorm.Voorbeelden van optellingen en aftrekkingen met wortels zijn:

> √2 + √3 kun je niet als één wortel schrijven want er zijn geen gelijksoortige termen, maar welbenaderen met je rekenmachine: √2+√3 ≈ 3,14626437.

> √2+√2+√2 = 3 ⋅ √2 (drie gelijksoortige termen)> 6√2− 4√2 = 2√2 (twee gelijksoortige termen)> √4+√9 = 2+ 3 = 5> √9+ 4 = √13 ≈ 3,605551275, dit kan ook in één keer op de rekenmachine:

> √7+√25+ 4√7− 3√7 = 2√7+ 5 (alleen gelijksoortige termen kun je samen nemen)

Opgave 4Voer de volgende berekeningen met wortels uit. Benader alleen waar nodig het eindantwoord in tweedecimalen nauwkeurig.

a √2+ 3+ 4

b √2+√3+√4

c √5+√5+√5

d 6√5+ 3√5− 5√5

Opgave 5Bereken en laat in het eindantwoord de wortel staan:

a √6+√6

b 2√3+ 5√3

c 4√7+√7

d 4√7+ 2√9

e 5√3− 3√3

f 4√7− 3√7

g 8√6−√16

h 8√6−√6



Voorbeeld 2

Vermenigvuldigen en delen van wortels is eigenlijk heel eenvoudig.Dat kun je in deze voorbeelden zien:

> √2 ⋅√3 = √2 ⋅ 3 = √6 wat je kunt controleren door kwadrateren.

> √6√2 = √

62 = √3 wat je ook kunt controleren door kwadrateren.

Op dezelfde manier kun je de volgende berekeningen uitvoeren:

> 3 ⋅ √2 ⋅ 5 ⋅ √3 = 3 ⋅ 5 ⋅ √2 ⋅ 3 = 15 ⋅ √6> 2 ⋅ √72 = 2 ⋅√7 ⋅ √7 = 2 ⋅ √49 = 2 ⋅ 7 = 14

> 15⋅√63⋅√2 = 15

3 ⋅ √62 = 5 ⋅√3


a Laat zien dat √2 ⋅√3 = √6 door beide zijden te kwadrateren.

b Laat ook door kwadrateren zien, dat √6√2 = √3.

Opgave 7Geef van de volgende berekeningen aan of ze waar zijn of niet.

a √2 ⋅√5 = √10

b √2+√5 = √7

c √3×√2 = √5

d 2 ⋅ √7 = √14

e 3 ⋅ √3 = √27

f 2√2 ⋅ √8 = 8

Opgave 8Maak de volgende berekeningen. Laat wortels die niet op een geheel getal uitkomen in het antwoordstaan.

a √7 ⋅√5

b √3 ⋅√3

c 4√2 ⋅ 2√7

d √18/√2

e √15/√3

f 8√62√2



Verwerken

Opgave 9Maak de volgende berekeningen zonder de rekenmachine te gebruiken. Laat wortels die niet op eengeheel getal uitkomen in het antwoord staan.

a √7+√7

b 3√5+ 2√5

c 5√7− 2√7

d 3√5−√5

e √2 ⋅√8

f 3√2 ⋅ 2√7

g √125/√5

h 5√10/√2

Opgave 10

Hier zie je in een assenstelsel de punten 𝐴(1, 1), 𝐵(7, 3), 𝐶(6, 6) en𝐷(0, 4) en rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

a Bereken de oppervlakte van rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

b Verdeel de rechthoek in twee vierkanten en leg uit hoe je daarmeede lengtes van de zijden kunt berekenen. Bereken de lengtes van 𝐴𝐵en 𝐴𝐷.

c Laat zien hoe jemet behulp van deze twee zijden ook de oppervlaktevan de rechthoek kunt berekenen.

d Bereken ook de exacte omtrek van de rechthoek.

Opgave 11Geef van de volgende berekeningen aan of ze waar of niet waar zijn.

a √7+√8 = √15

b √9+√49 = √100

c √7+ 6√7 = 7√7

d 3√3+ 2√3 = 5√6

Opgave 12Uit een aantal van de volgende berekeningen komt een geheel getal. Bij de andere laat je de wortel inhet antwoord staan.

a √2 ⋅√12,5

b 3√3 ⋅ √10

c 2√6 ⋅ 3√6



d √50/√5

e 2√72√2

f 6√12,53√2

Opgave 13

Je ziet hier twee vierkanten in elkaar.

a Bereken de lengte van 𝐴𝐵 en diagonaal 𝐴𝐶 als de oppervlakte vanvierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 6 is.

b Bereken de lengte van 𝐴𝐵 en diagonaal 𝐴𝐶 als de oppervlakte vanvierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 10 is.

c Bereken de lengte van de diagonaal van een vierkant met oppervlak-te 8.

d Bereken de lengte van de diagonaal van een vierkant met oppervlak-te 𝐴.

e Bereken de lengte van de diagonaal van een vierkant met zijde u�.

Opgave 14

Een vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷 is verdeeld in twee kleinere vierkanten en tweerechthoeken. De oppervlaktes van beide kleinere vierkanten zijn ge-geven, zie figuur.

Bereken de oppervlakte van 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Toepassen


Opgave 15: Wortels herleiden

Hoe je wortels van getallen die een kwadraat bevatten kunt vereenvoudigen zie je via

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Rekenen met wortels > Toepassen

a Laat zien dat √8 = 2√2.

b Vereenvoudig op dezelfde manier √45.

c Herleid op dezelfde manier: √18, √12, √32, √40 en √75



Opgave 16: Kettingbreuk

Een leuke manier om wortels te benaderen is met behulp van een kettingbreuk. Zo is:√2 = 1+ 1

2+ 12+ 1

2+ 12+...

.

Hiermee kun je √2 in zoveel decimalen als je maar wilt benaderen. Bedenk hoe je dat doet en benaderdeze wortel in vijf decimalen nauwkeurig. Kun je de nauwkeurigheid van je rekenmachine halen?


1.4 Machten

Verkennen

Opgave 1De inhoud van een kubus bereken je door de lengte van een ribbe twee keer met zichzelf te vermenig-vuldigen.

a Hoe groot is de inhoud van een kubus met een ribbe van 3 cm?

b Hoeveel bedragen de afmetingen van een kubus met een inhoud van 125 eenheden?

c Waarom wordt de oppervlakte-eenheid "kubieke" meter geschreven als m3?

Opgave 2Bekijk alleen vierkanten met gehele getallen als lengtes van de zijden.

Welke afmetingen heeft het grootste vierkant dat een oppervlakte heeft van minder dan 100000? Enhet kleinste vierkant dat een oppervlakte heeft van meer dan 100000?

Uitleg

Als je een getal met zichzelf vermenigvuldigt, krijg je een kwadraat: 3 ⋅ 3 = 32.Er is een meer algemene schrijfwijze voor het vermenigvuldigen met steeds hetzelfde getal. Bijvoor-beeld:3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 35.Reken je zo’n getal uit, dan wordt de uitkomsten machtig groot: 35 = 243.Je spreekt van machtsverheffen en je zegt ‘3 tot de macht 5’, of kortweg‘3 tot de vijfde’.En 35 heet een macht met grondtal 3 en exponent 5.Een kwadraat is een macht met exponent 2.Zo is 27 = 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2× 2 = 128.Op de rekenmachine:

Opgave 3Bekijk in de Uitleg op pagina 22 wat een macht is en hoe je een macht uitrekent. Bereken nu:

a 25

b 33

c 112

d 3,53

e (13)

4

f (25)

4



Opgave 4Je kunt ook van negatieve getallen machten nemen. Daarbij zijn haakjes nodig.

a Wat betekent (−4)5? En hoeveel komt daar uit?

b Wat betekent −45? Wat komt er uit?

Opgave 5Eerder heb je een lijst met kwadraten uit het hoofd geleerd, erg handig bij het berekenen van wortels.Om een vergelijkbare reden is het handig om de eerste tien derde machten uit het hoofd te leren.

Schrijf de derde machten van 1, 2, 3, ..., 10 op en leer ze uit je hoofd.


Voorbeeld 1Het rekenen met machten is eenvoudig als je de betekenis kent:

> 174 = 17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = 83521> (−17)4 = −17 ⋅ −17 ⋅ −17 ⋅ −17 = 83521> −174 = −17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = −83521> 100000 − 174 = 100000 − 17 ⋅ 17 ⋅ 17 ⋅ 17 = 100000 − 83521 = 16479

Je ziet dat machten voorrang hebben op optellen en aftrekken. En verder:

> 23 ⋅ 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 27

Bij vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op.> 27

24 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅22⋅2⋅2⋅2 = 2⋅2⋅2

1 = 23

Bij delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten af.> 23

23 = 2⋅2⋅22⋅2⋅2 = 1 en 23

23 = 20.Een getal tot de macht 0 is altijd 1.

> (23)4= 23 ⋅ 23 ⋅ 23 = 23+3+3 = 212

Bij machten van machten vermenigvuldig je de exponenten.

Opgave 6Bereken:

a 34

b 3 ⋅ 26

c 71

d (12)

4

e (223)

3

f (27)

0

g (−3)5

h −3 ⋅ 24

i −2 ⋅ (−3)2



Opgave 7Schrijf de volgende machten eenvoudiger. Je hoeft ze niet te berekenen!

a 395 ⋅ 3114

b 3114

395

c 380 ⋅ 354

311

d (312)5

e(315)

10

350⋅3100

Voorbeeld 2De inhoud van een kubus met ribben van 4 is: 4⋅4⋅4 = 43. De inhoud van een kubus is altijd een derdemacht.Een beroemd probleem uit de Oudheid is de ‘verdubbeling van de kubus’: Het altaar van de tempel vanDelphi is een kubus van 1 bij 1 bij 1 m, welke afmetingen moet eenzelfde altaar krijgen met een 2 keerzo grote inhoud?Omdat het bestaande altaar een inhoud heeft van 13 = 1 m3, moet de vergrote kubus een inhoudhebben van 2 m3. Dus geldt voor de zijde u� van dit altaar: u�3 = 2.Bij terugrekenen vanuit een kwadraat moet je worteltrekken.Zo heet het terugrekenen vanuit een derde macht wel ‘derdemachts wortel trekken’.De oplossing van het probleem van Delphi is de derdemachts wortel uit 2.

Je schrijft: u� = 3√2.De uitkomst hiervan vind je door inklemmen, net als bij Voorbeeld 2 op pagina 8. Probeer maar eens:3√2 ≈ 1,25992105.


a Hoe bereken je de lengte van de zijde van een kubus als je de inhoud van die kubus weet?

b Ga uit van een kubus met een inhoud van 8 m3. Leg uit waarom 3√8 = 2.

c Bij het probleem van de verdubbeling van de kubus gaat het om een kubus met een inhoud van 2 m3.Leg uit waarom 3√2 geen geheel getal is.

d Benader met behulp van inklemmen 3√2 in drie decimalen nauwkeurig. Controleer je antwoord metbehulp van je rekenmachine.

Opgave 9Bereken (probeer dit zoveel mogelijk uit het hoofd te doen):

a 3√216

b 3√1728

c 3√3,375

d 3√

827



Opgave 10Benader met je rekenmachine op twee decimalen nauwkeurig:

a 3√18

b 3√100

c 3√49

d 3√400

Verwerken

Opgave 11Bereken:

a 45

b 34 ⋅ 23

c (23)

4

d (135)

3

e (−2)6

f −24 ⋅ 33

Opgave 12Je ziet hier een kruisgetallenpuzzel. Vul de puzzel in.

Horizontaal Verticaal

1 114 1 53

4 242 2 262

6 26 3 210

7 922 5 42 ⋅ 72

6 43

Opgave 13Schrijf de volgende machten eenvoudiger. Je hoeft ze niet te berekenen!

a 216 ⋅ (210)3

b 4⋅226

220

c 214⋅226

(220)2



Opgave 14Bereken:

a 3√1000b 3√1000000c 3√106

d 3√0,001e 3√0,000001f 3√0,125

Opgave 15Je hebt een kubus met een inhoud van 20 liter.

a Hoeveel bedraagt de lengte van elke ribbe van deze kubus in mm nauwkeurig?b Bereken de totale oppervlakte van deze kubus in mm2 nauwkeurig.

Opgave 16Je kunt van een getal eerst de derde macht uitrekenen en dan op de uitkomst de derde machtsworteltoepassen. En ook de omgekeerde volgorde is mogelijk.

a Neem het getal 6 en bereken 3√63. Wat doe je eerst, de derde macht of de derde machtswortel?b Bereken ook 3√63.c Doe hetzelfde als bij a en b maar nu met het getal 17.

Kennelijk heffen de bewerkingen derde macht en derde machtswortel elkaar op.d Onderzoek of dit ook voor negatieve getallen geldt.

Toepassen


Opgave 17: Papier vouwen

Als je een blaadje papier steeds opnieuw dubbel vouwt, krijg je steeds meer lagen. Lees hierover in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Machten > Toepassen

a Laat zien dat je na 8 keer vouwen 256 lagen papier hebt.b Hoeveel lagen heb je na 10 keer vouwen?c Hoeveel keer moet je vouwen om een laag papier van 10 cm dik te krijgen?d En na hoeveel keer vouwen heb je een laag papier van 10 m dik?

Opgave 18: Rente op rente

Als je bepaald bedrag tegen een vaste rente op de bank laat staan en er verder niets mee doet, danwordt het door de rente steeds meer. Lees hierover in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Machten > Toepassen



a Reken de bedragen na 1 jaar, na 2 jaar en na 3 jaar zelf na. Hoe reken je?

b Hoeveel heb je na 10 jaar?

c Na hoeveel jaar is het beginbedrag verdubbeld?


1.5 Meneer Van Dalen

Verkennen

Opgave 1

‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ was vroeger een ezelbruggetje om de voorrangsregels voor hetrekenen te onthouden: eerst Machten, dan Vermenigvuldigen, daarna Delen, vervolgens Worteltrekken,dan Optellen en tenslotte Aftrekken.

a Bereken 144/4× 3− 4+ 23 door deze ezelsbrug letterlijk op te volgen.

b Wat maakt je rekenmachine van 144/4× 3− 4+ 23 ? Leg uit hoe je dit tegenwoordig uitrekent.

c Laat zien hoe je dit tegenwoordig uitrekent.

Opgave 2In de Wikipedia: Bewerkingsvolgorde staat deze rekenopgave uit een rekenboekje uit 1958.

Een leuke uitdaging: Wat komt er uit als je de ezelsbrug uit de vorige opgave hanteert?

Uitleg

‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ was vroeger een ezelbruggetje om de voorrangsregels voor hetrekenen te onthouden: eerst Machten, dan Vermenigvuldigen, daarna Delen, vervolgens Worteltrekken,dan Optellen en tenslotte Aftrekken. Tegenwoordig wordt die volgorde niet langer strikt gehanteerd,maar toch zijn er (vanwege de moderne rekenapparatuur) een aantal duidelijke afspraken.Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren:

> H: eerst doe je wat binnen haakjes staat;> MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts;> VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts;> OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.

Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn, dat hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delenen optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe jeeerst.Ezelsbrug nodig? Bijvoorbeeld: ‘Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland’ als je dit gebruikt alsH-MW-VD-OA.

Opgave 3Bekijk de berekening 8 +√9 ⋅ 23.

a In deze berekening komen vier bewerkingen voor. In welke volgorde moet je die uitvoeren?

b Bereken de uitkomst.

c Door haakjes toe te voegen, verander je de rekenvolgorde. Wat komt er bijvoorbeeld uit (8+√9) ⋅ 23?

http://nl.wikipedia.org/wiki/Bewerkingsvolgorde



Opgave 4In de volgende berekeningen zijn de voorrangsregels niet goed toegepast. Verbeter ze.

a 2 ⋅ 33 = 63 = 216

b √36/4 = √9 = 3

c √9+√16 = √25 = 5

d 36/4+ 23 = 36/4+ 8 = 36/12 = 3

e 65 − 63 = 62 = 36

f (2 + 3)4 = 24 + 34 = 16+ 81 = 97


Voorbeeld 1

Bereken: 2 ⋅ √16+ 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (2 + 6)/23 .

2 ⋅ √16+ 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (2 + 6)/23 == 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 8 /8 == 8+ 6− 32/8 == 14− 4 = 10

Opgave 5Let op de voorrangsregels en bereken:

a 4 ⋅ 25 − 400/√16

b (23 + 32)2/17− 3√64

c (2 ⋅ 3√2)3

Opgave 6Door op de goede plaats haakjes te zetten krijg je een correcte berekening.

a 34 /8 − 5 = 27

b 25 −√256/23 = 2

c 3 ⋅ 32/√49− 4 = 27

Voorbeeld 2Je hebt gezien dat je de rekenvolgorde Haakjes-MachtenWortels-VermenigvuldigenDelen-OptellenAf-trekken moet hanteren. Maar soms kun je door een bijzondere schrijfwijze te gebruiken de volgordewijzigen.Drie bekende voorbeelden zijn:

> de lange breukstreep: 6⋅25−3 = 12

2 = 6 (aftrekken gaat hier voor delen)> de lange streep aan het wortelteken: √6+ 2 ⋅ 15 = √6+ 30 = √36 = 6 (vermenigvuldigen en

optellen gaan hier voor worteltrekken)> de notatie voor machten: 24+1 = 25 = 32 (optellen gaat hier voor machtsverheffen)



Op je rekenmachine moet je in deze gevallen de weggelaten haakjes weer toevoegen.

Opgave 7

Bereken zonder rekenmachine: 21+√25

12−2⋅6/3 .Controleer je antwoord achteraf door de gehele berekening in één keer door je rekenmachine te latenuitvoeren.

Opgave 8

Bereken zonder rekenmachine: √2+ 1222+2 .

Controleer je antwoord achteraf door de gehele berekening in één keer door je rekenmachine te latenuitvoeren.

Verwerken

Opgave 9Bereken zonder de rekenmachine te gebruiken:

a 35/32 + 34

b 34 ⋅ 23

c (√196− 32)3

d (2 ⋅ 3√15)3

e 6 ⋅ 23/(43 − 7 ⋅ 23)

f (23)

√9⋅ 1,53

Opgave 10Bereken eerst zonder de rekenmachine te gebruiken en controleer daarna je berekening door hem inzijn geheel in de rekenmachine in te voeren.

a √2 ⋅ 70 + 4 = 12

b 12⋅323−4

c 24+√16

25

d3

√13 − (1

3)3

Opgave 11Onderzoek of de volgende berekeningen correct zijn. Licht steeds je antwoord toe.

a 23 ⋅ 24 = 27

b 26/23 = 26/3 = 22

c (22)3= 25

d 20 = 1



Opgave 12Bij het rekenen met wortels kun je door slim herleiden soms wortels optellen die op de eerste blik nietgelijksoortig zijn.

a Laat zien, dat √18 = 3√2 en dat √8 = 2√2.

b Bereken nu de exacte uitkomst van (√18+√8)2. Geeft je rekenmachine dezelfde uitkomst als je de

berekening in één keer invoert?

c Bereken (√75−√27)2door beide wortels te herleiden. Controleer je antwoord met de rekenmachine.

Toepassen


Opgave 13: Graankorrels op een schaakbord

Lees over de legende van de uitvinding van het schaakspel in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Meneer Van Dalen > Toepassen

Om een idee te krijgen van het aantal graankorrels dat koning Shirham moest uitbetalen kun je eenskijken naar machten van 2.

a Waarom moet je naar machten van 2 kijken?

b Bereken nu:

> 20

> 20 + 21

> 20 + 21 + 22

> 20 + 21 + 22 + 23

> 20 + 21 + 22 + 23 + 24

> 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25

> 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26

c Vergelijk alle uitkomsten bij b. Wat valt je op? (Tel er eventueel telkens 1 bij op.)

d Hoeveel graankorrels wilde Sissa dus van de koning hebben? Schrijf je antwoord met een macht van 2.

e Nu je weet dat Sissa meer dan 18.000.000.000.000.000.000 (18 triljoen) graankorrels zou moeten krij-gen, kun je misschien wel schatten hoeveel m3 graan dat zou moeten zijn. Stel dat je dit graan wiltopslaan in een grote schuur met een vloeroppervlakte van 1000 m2. Hoe hoog moet die schuur danworden?


1.6 Wetenschappelijke notatie

Verkennen

Opgave 1Onze planeet Aarde heeft (ongeveer) de vorm van een bol. De omtrek van die bol is de lengte van deevenaar en bedraagt 40.000 km.

a Hoeveel mm is 1 km? En hoeveel mm is dus de omtrek van de Aarde?b Je had voor de berekening bij a natuurlijk geen rekenmachine nodig. Maar doe hem eens op je reken-

machine. Waarschijnlijk krijg je als antwoord 4 ⋅ 1010. (Of iets wat dit moet voorstellen zoals 4E10.)Leg uit waarom dit hetzelfde is als jouw antwoord bij b.

c Waarom is het beter om 4 ⋅ 1010 te schrijven dan 40000000000?d Voor getallen met veel nullen worden ook wel woorden als miljoen en miljard en dergelijke gebruikt.

1 miljoen hetzelfde als 1 ⋅ 106. Hoeveel is 1 miljard?

Opgave 2Wij werkenmet getallen in het tientallig stelsel. We hebben dus tientallen, honderdtallen, duizendtallen,enzovoorts. Dat zijn allemaal machten van 10. Dus kun je getallen schrijven als machten van 10. Zo is1234 = 1 ⋅ 103 + 2 ⋅ 102 + 3 ⋅ 101 + 4.Op de website van het C.B.S. staat een bevolkingsteller. Nederland telde 16.736.398 inwoners op vrij-dag 6 april 2012 om 11:25.15 uur.Schrijf dit getal in het tientallig stelsel met machten van 10.

Uitleg

Omdat je in het tientallig stelsel werkt, spelen machten van 10 een grote rol bij het opschrijven vangetallen. Met behulp van de rekenregels voor machten kun je bij eenheden, tientallen, honderdtallen,duizendtallen, etc., werken met machten van 10. Dat zelfde geldt voor tienden, honderdsten, duizend-sten, etc.De rekenregels voor machten van 10 (en ook voor andere machten) zijn:> bij vermenigvuldigen van machten tel je de exponenten op: 105 ⋅ 103 = 108

> bij het delen van machten trek je de exponenten van elkaar af: 105/103 = 102

Hieruit volgt:> 1 = 101/101 = 101−1 = 100 dus 100 = 1> 1

10 = 100/101 = 10−1

> 1100 = 100/102 = 10−2

> 11000 = 100/103 = 10−3

enzovoorts.Hele grote getallen zoals 135 miljard = 135.000.000.000 zijn door het grote aantal cijfers moeilijk telezen. Je schrijft zo’n getal daarom als:135.000.000.000 = 1,35 100.000.000.000 = 1,35 ⋅ 1011.Ook hele kleine getallen zoals 31 miljoenste = 0,000032 zijn door het grote aantal cijfers moeilijk telezen. Je schrijft zo’n getal daarom als:0,000032 = 3,2 ⋅ 0,00001 = 3,2 ⋅ 1

100000 = 3,2 ⋅ 10−5.

http://www.cbs.nl/nl-NL/menu/themas/bevolking/cijfers/extra/bevolkingsteller.htm



Deze manier van opschrijven van getallen noem je de wetenschappelijke notatie.Je schrijft een groot getal dan in de vorm u� ⋅ 10u� en een klein getal in de vorm u� ⋅ 10−u�, waarbij1 ≤ u� < 10.

Opgave 3Bekijk de Uitleg op pagina 32.

a Schrijf 100000 als macht van 10.

Het getal 304586 bestaat uit 3 honderdduizendtallen, 0 tienduizendtallen, 4 duizendtallen, 5 honderd-tallen, 8 tientallen en 6 eenheden.

b Laat zien, hoe je dit kunt schrijven met machten van 10.

c Schrijf 0,00001 als macht van 10.

Het getal 30,4586 bestaat uit 3 tientallen, 0 eenheden, 4 tienden, 5 honderdsten, 8 duizendsten en 6tienduizendsten.

d Laat zien, hoe je dit kunt schrijven met machten van 10.

Opgave 4Grote getallen zijn bijvoorbeeld 1 miljoen en 1 miljard.

a Schrijf deze getallen als macht van 10.

Kleine getallen zijn bijvoorbeeld 1 miljoenste en 1 miljardste.

b Schrijf deze getallen als macht van 10.

Opgave 5Enkele uitspraken met grote en kleine getallen.

> Ongeveer 3 miljoen jaar geleden zijn de dinosauriërs uitgestorven.> Sommige eencelligen zijn slechts 2,5 miljoenste mm breed.> Volgens het ministerie komt ons nationaal inkomen uit op 468 miljard.

Schrijf deze getallen in de wetenschappelijke notatie.


Voorbeeld 1De lichtsnelheid is in vacuüm (het luchtledige) gelijk aan 299.792.458 m/s. Deze waarde is exact door-dat ze wordt gebruikt als definitie van de lengte van de standaardmeter: een meter is gedefinieerd alsde afstand die het licht in 1/299792458 seconde aflegt.Het licht legt dus ongeveer 3,0 ⋅ 100000000 m per seconde af.De wetenschappelijke notatie van de lichtsnelheid is 3,0 ⋅ 108 m/s.Hoeveel km/uur is dat.

Om de lichtsnelheid in m/s om te rekenen naar km per uur moet je dit getal vermenigvuldigen met3600 (het aantal seconden in een uur) en vervolgens delen door 1000 (het aantal m in een km).Dus is de lichtsnelheid ongeveer 3,6 ⋅ 3,0 ⋅ 108 = 10,8 ⋅ 108 = 1,08 ⋅ 109 km/uur.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Lichtsnelheid



Opgave 6Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 33. Je ziet hoeveel de lichtsnelheid in m/s bedraagt.

a Waarom is dit getal in de wetenschappelijke notatie 3,0 ⋅ 108 en niet 2,99792458 ⋅ 108?

b Het omrekenen van m/s naar km/uur kan in twee stappen. Bereken eerst de lichtsnelheid in m/uur.

c Reken de lichtsnelheid in m/uur nu om naar km/uur.

Opgave 7De omtrek van de Aarde is 40.000 km. Als mensen hand in hand staan met de armen gespreid zittende middens van hun lichamen ongeveer 1,5 m van elkaar.

a Hoeveel mensen moeten er hand in hand staan met de armen gespreid om de Aarde te omspannen?Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.

Er zijn ongeveer 7 miljard mensen op Aarde.

b Hoeveel keer kunnen die op de beschreven manier de Aarde te omspannen? Geef je antwoord in dewetenschappelijke notatie in één decimaal nauwkeurig.

Voorbeeld 2Een meter is gedefinieerd als de afstand die het licht in 1/299792458 seconde aflegt. Hoe lang doethet licht over het afleggen van 1 seconde? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie in driedecimalen nauwkeurig.

Als je deze deling met de rekenmachine uitvoert, dan krijg je waarschijnlijk 3 ⋅ 10−9 seconden. Dat isniet in twee decimalen nauwkeurig.Maar je kunt de rekenmachine in de wetenschappelijke notatie zetten. Dan wordt de berekening ineensveel nauwkeuriger. Je vindt dan ongeveer 3,336 ⋅10−9. De vraag is natuurlijk wel of je die nauwkeurig-heid nodig hebt...

Opgave 8Neem voor de lichtsnelheid 3,0 ⋅108 m/s. De afstand van de Aarde tot de Zon is ongeveer 1,5 ⋅108 km.

Hoe lang is het licht onderweg vanaf de Zon naar de Aarde?

Opgave 9

Hier zie je een foto van de huisstofmijt. Deze diertjes leven van menselijkehuidschilfers, in een hoofdkussen van je bed kunnen er wel 12000 voor-komen en dan ben je echt niet onhygiënisch. Sommige mensen zijn aller-gisch voor hun uitwerpselen. Zo’n huisstofmijt weegt gemiddeld slechts1,5 ⋅ 10−3 gram en heeft afmetingen van ongeveer 0,3 mm breed tot 0,5lang. Je kunt ze met het blote oog niet zien.

Hoeveel wordt je kussen zwaarder tengevolge van de huisstofmijt er in?



Voorbeeld 3

Voor 1 ⋅ 10100 bestaat de naam googol.Deze naam is omstreeks 1920 bedacht door eennegenjarig neefje van de Amerikaanse wiskun-dige Edward Kasner. De naam Google is een ver-bastering hiervan gemaakt door Larry Page, éénvan de grondleggers van deze zoekmachine.Veel rekenmachines hebben dit getal als grensvan de getallen die erop kunnen worden weer-gegeven.Het is ongeveer zo groot als 70⋅69⋅68⋅...⋅3⋅2⋅1.1 googolplex = 1 ⋅ 10googol, een 1 met googolnullen. Best groot...

Opgave 10

Bekijk Voorbeeld 3 op pagina 35. Je ziet hoeveel ‘googol’ is.

a Hoeveel is 1 googol2?

b En hoeveel is √googol?

Opgave 11

In de strip spreekt Schröder van een kans van ‘googol to one’.

Hoe groot is die kans als je hem in de wetenschappelijke notatie schrijft? En in procenten?

Verwerken

Opgave 12Schrijf als macht van 10:

a 1000

b 100000000

c 10 miljard

d 0,001

e 1100000

f 10 miljardste

Opgave 13Schrijf in de wetenschappelijke notatie:

a 123 miljoen

b 614000000000



c 0,00001496

d 0,00000000000042

Opgave 14Gebruik bij de volgende berekeningen de wetenschappelijke notatie. Geef je antwoord ook in die vorm.

a In Nederland wonen ongeveer 16 miljoen mensen. Het gemiddeld inkomen van een Nederlander isongeveer €18.000,=. Bereken het nationaal inkomen (het inkomen van alle Nederlanders samen).

b In Nederland zijn er jaarlijks ongeveer 1,5 miljoen middelbare scholieren. Zo’n scholier kost de over-heid gemiddeld €4500,=. Hoeveel geeft de overheid jaarlijks ongeveer uit aan middelbaar onderwijs?

Opgave 15Bacteriën zijn micro-organismen. Een bepaald soort bacterie heeft een gewicht van 2,4 ⋅ 10−8 kg.

a Op een plant bevinden zich 3,2 miljoen van deze bacteriën. Hoeveel wegen deze bacteriën samen?

b Hoeveel van deze bacteriën wegen samen 1 kg?

Opgave 16Uit Wikipedia (13-11-2009):

Een amoebe (spreek uit als ‘ameube’) is een eencellig organisme dat bestaat uit protoplasma metéén of meerdere kernen. Het endoplasma (binnenste laagje) is troebel en korrelig terwijl hetectoplasma (buitenste laagje) meestal helder is. Het organisme behoort tot de wortelpotigen envarieert afhankelijk van de soort tussen de 30 en 800 μm.

1 μm is 11000 mm. Hoeveel meter is een amoebe van 800 μm? Geef je antwoord in de wetenschappelijke

notatie.

Toepassen


Opgave 17: LichtjarenEen lichtjaar is de afstand die het licht in een jaar aflegt. De lichtsnelheid is ongeveer 3 ⋅ 108 m/s.Een astronomische eenheid is de gemiddelde afstand van de Aarde tot de Zon: 1 AE = 149,6 miljoenkilometer. Vooral in de sterrenkunde zijn lichtjaar en AE nuttige maten.De dubbelster Alpha Centauri vormt samen met de veel zwakkere Proxima Centauri een drievoudigsysteem, dat zich van alle sterren het dichtst bij ons zonnestelsel bevindt. De afstand tot de Zon be-draagt 4,36 lichtjaar.

a Hoeveel km is 1 lichtjaar? En hoeveel AE?

b Hoeveel km is Alpha Centauri van onze Zon verwijderd? En van de Aarde?

c Stel je voor dat je in een ruimteschip met 20000 km/uur van de Aarde rechtstreeks naar de Zon zoukunnen vliegen. Hoe lang doe je daar dan over? En hoe lang doe je over de reis naar Alpha Centauri?

http://nl.wikipedia.org/wiki/Alpha_Centauri



Opgave 18: Schaalmodel

Ons Zonnestelsel bestaat uit een ster (de Zon) en 8 planeten.Je wilt een schaalmodel maken van het zonnestelsel dat nogin een schoollokaal past. Zoek de afmetingen van deze plane-ten en hun onderlinge afstanden op.

Bereken hoe groot je de afmetingen van de planeten moetmaken en hoe groot je de (bijna) cirkelvormige banen om deZon moet maken. Geef een overzicht van alle afmetingen.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Zonnestelsel


1.7 Soorten getallen

Verkennen

Opgave 1In deze videoclip hoor en zie je verschillende soorten getallen voorbij komen. Schrijf op welke soortengetallen er voor komen en waaraan je ze herkent.

Uitleg

De wiskunde kan niet zonder getallen...Om te beginnen zijn daar de natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, 5, ..., 7420, ... Omdat in onze tientalligeschrijfwijze een nul nodig is wordt het getal 0 meestal ook een natuurlijk getal genoemd:ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}Doe je niks anders dan optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen, dan heb je aan de natuurlijkegetallen genoeg. Maar ja, er worden ook getallen afgetrokken, gedeeld en er wordt wortel getrokken...Om getallen altijd te kunnen aftrekken heb je ook negatieve getallen nodig, want anders kun je bij-voorbeeld 5 − 9 niet uitrekenen. Dus eerst voeg je −1, −2, −3, etc., toe aan de natuurlijke getallen. Jekrijgt dan de gehele getallen:ℤ = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}Om getallen altijd te kunnen delen heb je ook breuken nodig, want anders kun je bijvoorbeeld 2 /3 nietuitrekenen. Voeg je de breuken toe aan de gehele getallen, dan krijg je de rationale getallen ℚ (‘ratio’betekent ‘breuk, verhouding’).Die naam is niet zo gek, want ook gehele getallen kun je als breuk schrijven. Bijvoorbeeld: 3 = 3

1 .En hiermee is het nog niet afgelopen...

Opgave 2Bekijk de Uitleg op pagina 38. De Oude Grieken kenden alleen de natuurlijke getallen. Cijfers enhet tientallig stelsel was ze onbekend, ze gebruikten letters om getallen weer te geven. De Romeinengebruikten ook letters om getallen weer te geven, hoewel ze ‘Romeinse cijfers’ genoemd worden. Totver in de Middeleeuwen waren deze Romeinse cijfers in Europa de enige manier om getallen weer tegeven.De Romeinse cijfers bestaan uit de symbolen I voor 1, V voor 5, X voor 10, L voor 50, C voor 100, Dvoor 500 en M voor 1000.De eerste tien getallen zijn I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX en X.

a Hoe wordt 4 voorgesteld in Romeinse cijfers?

b Hoe zou 24 er in Romeinse cijfers uitzien?

c Welk getal is MDCCXXIX? En hoe ziet 1999 er uit?

De Romeinen hadden geen symbool voor 0 omdat hun systeem voor getallen geen positiestelsel is. Hettientallig stelsel dat we nu gebruiken is wel een positiestelsel.

d Probeer uit te leggen wat het verschil is.

e Wat is het nadeel van de Romeinse cijfers?

f Waarom is bij een positiestelsel een 0 nodig?



Opgave 3Toen in West-Europa na de Middeleeuwen het tientallig stelsel werd ingevoerd, werden de cijfers 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 de basis van onze getallen.

a Kun je bedenken in welke situaties negatieve getallen belangrijk zijn?

Breuken waren altijd verhoudingen van gehele getallen, vandaar al die schrijfwijzen ervoor.

b Hoe schrijf je een breuk als decimaal getal?

c Kun je elk rationaal getal als breuk schrijven? En als decimaal getal?

d Zijn er nog andere getallen dan de rationale getallen?

Uitleg

Inmiddels heb je ook leren worteltrekken. En dat levert tweeproblemen op...Getallen als √2 kun je niet als breuk schrijven, het zijn irra-tionale getallen.(Al in de Griekse Oudheid is dit bewezen.)Daarom kun je dergelijke wortels alleen benaderen, nooitexact berekenen. Je moet dus aan de rationale getallen nogdeze irrationale getallen toevoegen. Je krijgt dan de reële ge-tallen. Dit zijn de getallen waar je eigenlijk altijd mee werkt.Alle reële getallen samen stel je voor door ℝ.Het tweede probleem betreft getallen als √−1. Dit zijn geenreële getallen. Hiervoor zijn de complexe getallen in het leven geroepen, maar voorlopig krijg je daarniet mee te maken...Hier zie je de voor jou belangrijke soorten getallen in één figuur.

Opgave 4Bekijk de Uitleg op pagina 39. Je ziet dat wortels vaak geen rationale getallen zijn.

a Geef een voorbeeld van een wortel die wel een rationaal getal is, maar geen geheel getal.

Het getal√2 is tot in miljoenen decimalen berekend:√2 = 1,4142135623730950488.... Maar er is geenregelmaat in de decimalen te vinden en dus is het getal nooit precies bekend.

b Wat is het kenmerkende verschil tussen irrationale getallen en rationale getallen?

c Hoeveel decimalen van √2 geeft jouw rekenmachine? Schrijf ze op.

d Kun je op met je rekenmachine meer decimalen van √2 vinden? Hoe dan?

Opgave 5Wortels uit een negatief getal, wat moet je daar nou mee?

a Waarom is de wortel uit een negatief getal geen reëel getal?

Stel je nu eens voor dat er een getal i is waarvoor geldt: i2 = −1.

b Wat is √−1 dan?

c Wat is √−4 nu? En √−2?

http://nl.wikipedia.org/wiki/Wortel_2




Voorbeeld 1Geef van elk van de volgende getallen aan tot welke soort ze behoren.

> −2,25> −12

4> −√53> √

1083

Al deze getallen zijn reële getallen.

> −2,25 is een rationaal getal, maar geen geheel getal> −12

4 = −3 en is dus een geheel getal, maar geen natuurlijk getal> −√53 is een irrationaal getal

> √1083 = 6 en dus een natuurlijk getal


a Teken een diagram zoals in de Uitleg op pagina 39 en plaats daarin de getallen uit het voorbeeld.

b Teken een getallenlijn waarop al deze getallen voorkomen en plaats ze er in de juiste volgorde op.

Voorbeeld 2

Van een rationaal getal als 27 kun je alle decimalen exact weten omdat bij

het uitvoeren van de deling de decimalen zich gaan herhalen.Je ziet dat er herhaling optreedt, dus 2

7 = 0,28574.Elk rationaal getal heeft zo ofwel een eindig aantal decimalen, ofwel dedecimalen gaan zich herhalen. Daarom hoef je rationale getallen niet tebenaderen.



Opgave 7Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 40. Elk rationaal getal heeft ofwel een eindig aantal decimalen, ofwelde decimalen gaan zich herhalen.

a Schrijf 316 exact als decimaal getal.

b Schrijf 213 exact als decimaal getal.

c Als de noemer van de breuk een priemgetal is, dan is het niet altijd gemakkelijk om de herhaling vande decimalen te vinden. Probeer maar eens een paar breuken zoals 1

17 ,119 , of

131 als exact decimaal

getal te schrijven.

Opgave 8Nu heb je een getal als 0, 1234. Je wilt nu bepalen welke breuk hier bij hoort. Noem het getal u�

a Er herhalen zich vier decimalen. Hoeveel is dus 10000 ⋅ u�?

b Je weet dat 10000 ⋅ u� − 1 ⋅ u� = 9999 ⋅ u�. Welk gehele getal is 9999 ⋅ u�?

c Schrijf nu u� als breuk.

d Schrijf op dezelfde manier 12, 34 als breuk.

Verwerken

Opgave 9

Gegeven zijn de volgende getallen: −1,5, √16, −√5, 0, 73 ,

√−4, 1, 15 en −124 .

a Maak een overzicht van de verschillende soorten getallen zo-als dat hiernaast en plaats de gegeven getallen er in.

b Zet de gegeven getallen op de juiste plaats op de getallenlijn.

Opgave 10

Schrijf 731 als exact decimaal getal.

Opgave 11Schrijf 5,163 als breuk.

Opgave 12Als je twee natuurlijke getallen optelt, dan krijg je altijd weer een natuurlijk getal. Je zegt daarom weldat de natuurlijke getallen gesloten zijn voor optellen.

a Zijn de natuurlijke getallen ook gesloten voor aftrekken?

b Zijn de gehele getallen gesloten voor aftrekken?

c Zijn de gehele getallen gesloten voor vermenigvuldigen? En voor delen?

d Welke soort getallen is gesloten voor worteltrekken?



Toepassen


Opgave 13: Veelvouden

Er zijn allerlei soorten getallen: de veelvouden 2, 3, ... Lees hierover in

> www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Soorten getallen > Toepassen

a Hoe noem je de veelvouden van 2?

b Zet de natuurlijke getallen vanaf 0 tot en met 99 op een rij en streep alle veelvouden van 2 weg maar2 zelf niet. Welke getallen houd je over?

c Streep nu de veelvouden van 3 ook weg maar 3 zelf niet. Hoeveel getallen houd je nu over?

d Waarom is het weinig werk om nu de veelvouden van 4 weg te strepen?

e Streep nu de veelvouden van 5 (behalve 5) weg. Daarna die van 7 (behalve 7) en zo steeds verder methet eerstvolgende getal dat nog niet is weggestreept. Wat houd je over?

f Elk natuurlijk getal is een priemgetal of een veelvoud van een priemgetal. Klopt die uitspraak?

Opgave 14: Perfecte getallenHet getal 6 heeft behalve zichzelf nog drie andere delers, namelijk 1, 2 en 3. En als je die delers optelt,dan krijg je precies 6. Een getal met de eigenschap dat het gelijk is aan de som van zijn delers (behalvehet getal zelf) heet een ‘perfect getal’. Perfecte getallen zijn behoorlijk zeldzaam, tot nu toe zijn erslechts 44 gevonden.

a Laat zien dat 28 het volgende perfecte getal is.

Perfecte getallen zijn moeilijk te vinden. Lang hebben wiskundigen gedacht dat ze allemaal de vorm2u� ⋅ (2u�+1 − 1) zouden hebben.

b Ga na, dat dit klopt voor u� = 1 en voor u� = 2.

c Voor u� = 3 krijg je geen perfect getal. Ga dat na.

d Maar voor u� = 4 klopt het weer wel. Welk perfecte getal krijg je dan? Kun je er nog meer vinden?


1.8 Totaalbeeld

Samenvatten

Wanneer je een getal herhaaldelijk met zichzelf vermenigvuldigt, krijg je een macht van dit getal. Kwa-draten zijn voorbeelden van machten. Wil je omgekeerd vanuit de macht van een getal het oorspronke-lijke getal weer terugvinden dan moet je worteltrekken. Omdat je de bewerkingen machtsverheffen enworteltrekken in komende onderwerpen regelmatig zult tegenkomen, leer je er in dit onderwerp meewerken. Verder zul je machten van 10 gebruiken bij het weergeven van heel grote en heel kleine (dichtbij 0) getallen.De volgende opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Machten en wortels’ te krijgen. Ditbetreft de onderdelen 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvattingbij te maken.

Je hebt geleerd

> kwadrateren en werken met kwadraten ( Uitleg op pagina 6);> terugrekenen vanuit kwadraten, worteltrekken ( Uitleg op pagina 11);> rekenen met wortels ( Uitleg op pagina 16);> werken met hogere machten dan bij kwadrateren ( Uitleg op pagina 22);> de uitgebreide voorrangsregels voor het rekenen ook met machtsverheffen en worteltrekken

( Uitleg op pagina 28);> de wetenschappelijke notatie van hele grote getallen en getallen dicht bij 0 ( Uitleg op pagi-

na 32);> soorten getallen herkennen ( Uitleg op pagina 38);

Voorkennis

> rekenen met decimale getallen en de voorrangsregels voor het rekenen gebruiken (Rekenen);> rekenen met breuken (Breuken);> rekenen met negatieve getallen (Negatieve getallen);

Opgave 1Kwadrateren en worteltrekken hangen met elkaar samen.

a Maak dat duidelijk in een begrippennet zoals dit. Vul het volledig in.

b De meeste wortels kun je alleen benaderen. Geef een voorbeeld van zo’n wortel met de bijbehorendebenadering in twee decimalen nauwkeurig.



Opgave 2Met wortels kun je in veel gevallen rekenen zonder ze te benaderen.

a Maak met twee voorbeelden duidelijk hoe je gelijksoortige wortels kunt optellen en aftrekken.

b Maak met twee voorbeelden duidelijk hoe je wortel kunt vermenigvuldigen en delen.

c Soms kun je wortels die op het eerste gezicht niet gelijksoortig zijn toch gelijksoortigmaken en optellenof aftrekken. Geef een voorbeeld.

Opgave 3

Hier zie je een macht.

Zet de begrippen ‘grondtal’ en ‘exponent’ in de figuur.

Opgave 4Derde machten en derdemachtswortels hangen met elkaar samen.

a Maak dat duidelijk in een begrippennet zoals dit. Vul het volledig in.

b De meeste derdemachtswortels kun je alleen benaderen. Geef een voorbeeld van zo’n wortel met debijbehorende benadering in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 5Je hebt nu machtsverheffen en worteltrekken aan de mogelijke bewerkingen toegevoegd.

a Machten met hetzelfde grondtal kun je vermenigvuldigen en delen door de exponenten op te tellenrespectievelijk af te trekken. Geef daarvan voorbeelden.

b Wat doe je met de exponenten bij machten van machten? Geef een voorbeeld.

c Geef een voorbeeld van rekenen met wortels en machten waaruit de voorrangsregels duidelijk worden.

Opgave 6Schrijf de getallen 12000000000 en 0,0000000035 in de wetenschappelijke notatie.

Opgave 7Welke soorten getallen zijn er? Maak een beknopt overzicht.



Testen

De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 7 van het onderwerp‘Machten en wortels’ voldoende beheerst.

Opgave 8Bereken (gebruik alleen waar nodig je rekenmachine om het antwoord in twee decimalen nauwkeurigte geven):

a 72

b 1,52

c (25)

2

d √6,25

e √481

f √1916

g √70

h (3√6)2

Opgave 9

Rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷 is opgebouwd uit zes vierkanten die elk een op-pervlakte van 2 hebben.

a Bereken de exacte omtrek van rechthoek 𝐴𝐵𝐶𝐷.

b De oppervlakte van de rechthoek kun je op twee manieren bereke-nen, namelijk door de oppervlaktes van de afzonderlijke vierkantenop te tellen en door twee verschillende zijden te vermenigvuldigen.Laat zien dat je in beide gevallen dezelfde oppervlakte krijgt.

Opgave 10a Je hebt een kubus met ribben van 2,5 cm. Hoe groot is de inhoud van de kubus?

b Je hebt een kubus met een inhoud van 40 cm3. Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen ligtde lengte van een ribbe?

c Je hebt een kubus met een inhoud van 40 cm3. Geef de exacte lengte van elke ribbe van deze kubus enbenader deze lengte in drie decimalen nauwkeurig?



Opgave 11Maak de volgende berekeningen, geef steeds exacte antwoorden.

a 74

b 50

c (23)

4

d 1,63

e √2 ⋅ 22 + 17

f (√75+√3)2

g 6⋅32

6−32

h 51+√25 /25 − 5

Opgave 12Schrijf als macht van 7:

a 7 ⋅ 7140

b 7141/715

c (770)7

d 75 + 42 ⋅ 74

e 3⋅7115

1029

f 8⋅7200

7201+7200

Opgave 13In Australië woonden in 2001 ongeveer 16,6 miljoen mensen. Het nationaal inkomen van Australiëbedroeg in dat jaar ongeveer €270580000000,=.

a Schrijf beide getallen in de wetenschappelijke notatie.

b Bereken het gemiddeld inkomen van een inwoners van Australië.

De landoppervlakte van Australië bedraagt ongeveer 7,7 ⋅ 106 km2.

c Hoeveel grond heeft een Australiër gemiddeld tot zijn beschikking?

Opgave 14

Gegeven zijn de volgende getallen: 8, −0,35, √17, −√4, 137 ,

√0,25, 6,1 3 en 123 .

Maak een overzicht van de verschillende soorten getallen zo-als dat hiernaast en plaats de gegeven getallen er in.

Wiskundevoor 2vwo · 2018. 9. 28. · 4.2 Balansmethode 142 4.3 Haakjesinformules 148 4.4...

Documents

Transcript of Wiskundevoor 2vwo · 2018. 9. 28. · 4.2 Balansmethode 142 4.3 Haakjesinformules 148 4.4...