Wiskundevoor 3vwo - h2o-boeken.nl · STICHTINGMATH4ALL 3OKTOBER2013 PAGINA1 Inhoud Voorwoord 3 1...

Wiskunde voor3 vwodeel 2

Versie 2013

Samensteller

© 2013

Het auteursrecht op dit lesmateriaal berust bij Stichting Math4All. Math4All is derhalve de rechtheb-bende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie.

Het lesmateriaal is met zorg samengesteld en getest. Stichting Math4All aanvaart geen enkele aanspra-kelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaarden ze geen enkeleaansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) dit lesmateriaal

Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel 3.0 NederlandLicentie. (zie http://creativecommons.org/licenses/by/3.0).

Dit lesmateriaal is open, gratis en vrij toegankelijk lesmateriaal afkomstig van www.math4all.nl en isspeciaal ontwikkeld voor het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmateriaal op de websitewww.math4all.nl is afgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor devakken wiskunde A, B en C. Dit lesmateriaal is mediumneutraal ontwikkeld en op diverse manieren tebekijken en te gebruiken. Voor informatie en vragen kunt u contact opnemen via [email protected] houden we ons altijd aanbevolen voor suggesties, verbeteringen en/of aanvullingen.

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

Inhoud

Voorwoord 3

1 Ruimtemeetkunde 5

1.1 Lichamen 61.2 Aanzichten 121.3 Doorsneden 211.4 Inhoud en oppervlakte 281.5 Totaalbeeld 36

2 Exponentiële verbanden 43

2.1 Groeifactoren 442.2 Exponentiële groei 512.3 Exponentiële functies 592.4 Totaalbeeld 66

3 Statistiek 71

3.1 Steekproeven 723.2 Frequenties en klassen 753.3 Centrum en spreiding 823.4 Kansen 893.5 Wegen en bomen 963.6 Totaalbeeld 101

4 Stelsels vergelijkingen 107

4.1 Grafisch oplossen 1084.2 Een variabele elimineren 1134.3 Handig combineren 1194.4 Totaalbeeld 125

5 Functies 131

5.1 Wat is een functie? 1325.2 Domein en bereik 1385.3 Transformatie van standaardfuncties 1465.4 Functies vergelijken 1525.5 Families van functies 1595.6 Totaalbeeld 164

Register 168

PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013


Voorwoord

Het lesmateraal in dit boek is gebaseerd op het materiaal dat je kunt vinden op de websitewww.math4all.nl. In de tekst staan dan ook regelmatig verwijzingen naar die website. Waar je preciesmoet zijn op die website kun je zien in de kopregel van iedere pagina.

Bij bestudering van het lesmateriaal kom je in de tekst ook aanwijzingen tegen. Je ziet dan bijvoorbeeldin de tekst:

Bekijk eerst:

www.math4all.nl > 1/2 HAVO/VWO > Afstanden > Toepassen

Je kunt met de muis elk deel van de wereld bekijken en er op inzoomen.

Als zo’n aanwijzing in een opgave staat, kun je die opgave waarschijnlijk alleen maar maken als jeinderdaad op de website hebt gekeken.

Ieder hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen en wordt steeds afgesloten met een paragraaf To-taalbeeld waar de leerstof wordt samengevat en/of herhaald. Iedere paragraaf is ingedeeld in vasterubrieken die houvast geven bij de bestudering van het lesmateriaal.

> Verkennen> Uitleg> Theorie en Voorbeelden> Verwerken> Toepassen

Indien er in het lesmateriaal wordt verwezen naar werkbladen dan kun je deze terugvinden op dewebsite.

1Ruimtemeetkunde

Lichamen 6Aanzichten 12Doorsneden 21Inhoud en oppervlakte 28Totaalbeeld 36


1.1 Lichamen

Verkennen

Opgave 1

Je ziet hier een balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met 𝐴𝐵 = 10 cm, 𝐵𝐶 = 4 cm en 𝐴𝐸 = 5cm.

Bereken ∠𝐺𝐴𝐶.

Uitleg

Het probleem bij Verkennen 1 op pagina 6 heb je waar-schijnlijk wel meteen kunnen oplossen. Daarbij heb je dangebruik gemaakt van kennis over ruimtelijke figuren. Je moetweten wat een balk is, waar de rechte hoeken in een balk zit-ten, en dergelijke meer.Je noemt een ruimtelijke figuur vaak een lichaam. Zo’n li-chaam heeft één of meer grensvlakken, die vaak plat, maarook gebogen kunnen zijn. Gebogen grensvlakken heb je bijeen bol, een kegel, een cilinder.Lichamen die alleen uit platte grensvlakken bestaan hetenveelvlakken. Deze hebben hoekpunten en ribben. Ook zijner dan vaak diagonalen in twee soorten: zijvlaksdiagonalenen lichaamsdiagonalen.Het veelvlak 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹.𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿 hiernaast bijvoorbeeld heeteen regelmatig zeshoekig prisma. Dat komt omdat van dit lichaam:

> het grondvlak en het bovenvlak congruente regelmatige zeshoeken zijn;> alle opstaande zijvlakken rechthoeken zijn.

In feite is elke doorsnede van dit lichaam die evenwijdig is met het grondvlak een regelmatige zeshoek.Verder zie je diagonaalvlak 𝐵𝐸𝐾𝐻 met daarin lichaamsdiagonaal 𝐵𝐾.In de Theorie op pagina 8 vind je een overzicht van de belangrijkste lichamen en hun eigenschappen.

Opgave 2Bekijk de Uitleg op pagina 6. Je ziet er een voorbeeld van een prisma. Neem aan dat van het grondvlakalle zijden 4 cm zijn en dat de opstaande ribben allemaal 6 cm lang zijn.

a Hoeveel hoekpunten, hoeveel ribben en hoeveel grensvlakken heeft dit prisma?

b Hoeveel zijvlaksdiagonalen heeft dit prisma? En hoeveel lichaamsdiagonalen?

c Teken het grondvlak van dit prisma op ware grootte. Leg uit, waarom diagonaal 𝐵𝐸 = 8 cm en diagonaal𝐵𝐹 = 4√3 cm.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > MEETKUNDE > RUIMTEMEETKUNDE


d Teken het diagonaalvlak 𝐵𝐸𝐾𝐻 op ware grootte. Bereken de grootte van ∠𝐸𝐵𝐾 in graden nauwkeurig.

e Teken het diagonaalvlak 𝐵𝐹𝐿𝐻 op ware grootte en bereken de grootte van∠𝐹𝐵𝐿 in graden nauwkeurig.

Opgave 3

Je ziet hier een ander prisma, de figuur staat ook op het werk-blad. Hier zijn het voorvlak en het achtervlak congruente ge-lijkzijdige driehoekenmet zijden van 6 cm. Alle andere grens-vlakken zijn vierkanten.

a Waarom heeft dit prisma geen lichaamsdiagonalen?

b Hoeveel zijvlaksdiagonalen heeft dit prisma?

c 𝑀 is het midden van ribbe 𝐶𝐹. Teken Δ𝐴𝐵𝑀 zowel in de fi-guur als op ware grootte.

d Bereken de grootte van ∠𝐴𝑀𝐵 in graden nauwkeurig.

Opgave 4

Het lichaam hiernaast is een regelmatige zeszijdige pirami-de 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹.𝑇. Alle zijden van het grondvlak zijn 6 cm. Alleopstaande ribben zijn 24 cm.

a Heeft deze piramide lichaamsdiagonalen? En zijvlaksdiago-nalen? En diagonaalvlakken?

b Bereken de grootte van ∠𝐵𝑇𝐸 in graden nauwkeurig.

c Bereken de grootte van ∠𝐵𝑇𝐹 in graden nauwkeurig.



Theorie en voorbeelden

Een lichaam is een ruimtelijke figuur. Een lichaam heeft één of meer (eventueel gebogen) grensvlakken.Je ziet hier een overzicht van enkele veel voorkomende lichamen.Een lichaam met alleen platte grensvlakken heet een veelvlak. Een veelvlak heeft ribben en hoekpun-ten.Veel veelvlakken hebben ook diagonaalvlakken, die twee overstaande evenwijdige ribben verbinden.En verder zijn en vaak zijvlaksdiagonalen en lichaamsdiagonalen.In lichamen kun je lengtes van lijnstukken en hoeken berekenen met behulp van:

> de stelling van Pythagoras in rechthoekige driehoeken;> gelijkvormige driehoeken;> goniometrie in rechthoekige driehoeken.

Voorbeeld 1

Hier zie je een balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻. In het diagonaalvlak 𝐴𝐶𝐺𝐸is de lichaamsdiagonaal 𝐴𝐺 getekend. Ook zie je daarin lijn-stuk 𝐴𝑀, waarbij 𝑀 het midden van 𝐸𝐺 is. In deze figuur is𝐴𝐵 = 8 cm, 𝐵𝐶 = 6 cm en 𝐶𝐺 = 5 cm.Bereken de lengte van lijnstuk 𝐶𝑁 in twee decimalen nauw-keurig.

Het lijnstuk waarvan je de lengte wilt berekenen ligt in diago-naalvlak 𝐴𝐶𝐺𝐸 en dat is een rechthoek met zijden 𝐴𝐶 = 10cm en 𝐶𝐺 = 5 cm.Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de lengte van zowel 𝐴𝐺 als 𝐶𝑀 berekenen. En dankun je met gelijkvormigheid werken. Zie je al welke driehoeken gelijkvormig zijn?Je vindt 𝐶𝑁 ≈ 4,71 cm.

Opgave 5Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 8.

a Leg uit waarom 𝐴𝐶 = 10 cm.

b Bereken nu zelf de lengtes van 𝐴𝐺 en 𝐶𝑁.

c Welke twee gelijkvormige driehoeken vind je in diagonaalvlak 𝐴𝐶𝐺𝐸? Leg uit waarom ze gelijkvormigzijn.

d Bereken de lengte van 𝐶𝑁.

Opgave 6Van een kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met ribben van 4 cm is M het midden van ribbe 𝐺𝐻.

a Bereken de lengte van elke lichaamsdiagonaal van deze kubus.

b Bereken de lengte van 𝐴𝑀.



Opgave 7Bekijk de verschillende lichamen nog eens, zie de Theorie op pagina 8.

a Bestaat er een veelvlak dat geen enkele diagonaal heeft?

b Hoeveel hoekpunten, ribben en grensvlakken heeft een regelmatig achtzijdig prisma?

Volgens de formule van Euler geldt voor een veelvlak (zonder deuken) dat 𝐺 + 𝐻 = 𝑅 + 2 als 𝐺 hetaantal grensvlakken, 𝐻 het aantal hoekpunten en 𝑅 het aantal ribben is.

c Voldoet een regelmatig achtzijdig prisma aan de formule van Euler?

d Welke lichamen hebben geen ribben?

Voorbeeld 2

Je ziet hier de regelmatige vierzijdige piramide 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝑇. Allezijden van het grondvlak zijn 6 cm. De hoogte is 4 cm. Depunten 𝑀 en 𝑁 zijn de middens van de ribben waar ze opliggen.Bereken de grootte van ∠𝑁𝑇𝑀.

Δ𝑁𝑇𝑀 is gelijkbenig, dus ∠𝑁𝑇𝑆 is de helft van ∠𝑁𝑇𝑀.Nu is 𝑁𝑆 = 3 cm en 𝑇𝑆 = 4 cm, dus u�u�u�(∠𝑁𝑇𝑆) = 3

4 = 0,75.En dus is ∠𝑁𝑇𝑆 ≈ 36,9∘ en ∠𝑁𝑇𝑀 ≈ 74∘.

Opgave 8Bekijk in Voorbeeld 2 op pagina 9 hoe je met behulp van goniometrie een hoek in een ruimtelijkefiguur berekent.

a Waarom is Δ𝑁𝑇𝑀 gelijkbenig?

b Waarom wordt er in het voorbeeld met tangens gewerkt? Is dat noodzakelijk?

c Bereken ∠𝐴𝑇𝐶.

Opgave 9Een kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 heeft ribben van 4. 𝑃 is een punt op ribbe 𝐺𝐻 en 𝑃𝐻 = 1 cm. 𝑆 is het snijpuntvan 𝐴𝑃 en 𝐵𝐻.

a Bereken de lengte van 𝐴𝑆.

b Bereken de grootte van ∠𝐴𝑆𝐵 in graden nauwkeurig.



Voorbeeld 3Hoe ziet een uitslag van een cilinder met een straal van 4 cm en een hoogte van 8 cm er uit?

Als een rechthoek met een lengte die net zo groot is als deomtrek van de grondcirkel en een breedte van 8 cm. Daar zit-ten dan twee cirkels met een straal van 4 cm aan vast, eentjeaan de bovenkant en eentje aan de onderkant.

Opgave 10Teken de uitslag van de cilinder beschreven in Voorbeeld 3 op pagina 10 op schaal 1:2.

Opgave 11Teken een uitslag van een regelmatige vierzijdige piramide met een grondvlak van 4 bij 4 cm en eenhoogte van 8 cm.

Verwerken

Opgave 12Gegeven is een kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met zijden van 4,5 cm.

Bereken de grootte van de hoeken 𝐻𝐵𝐷 en 𝐹𝐶𝐴.

Opgave 13Piramide 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝑇 heeft vier gelijke opstaande ribben van 10 cm. Het grondvlak is een rechthoek met𝐴𝐵 = 8 cm en 𝐵𝐶 = 6 cm.

a Bereken de hoogte van deze piramide.

b Bereken de grootte van de hoeken 𝐴𝑇𝐶 en 𝐵𝐴𝑇.

Opgave 14Balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐷𝐸𝐹𝐺 heeft ribben 𝐴𝐵 = 4, 𝐴𝐷 = 3 en 𝐴𝐸 = 3. Punt 𝑆 is het snijpunt van alle lichaamsdi-agonalen.

a Bereken ∠𝐴𝑆𝐵 in graden nauwkeurig.

b Bereken ∠𝐴𝑆𝐶 in graden nauwkeurig.

De punten 𝑃 en 𝑄 liggen op ribbe 𝐴𝐵. 𝐴𝑃 = 1 en 𝐵𝑄 = 1. 𝑅 is het snijpunt van 𝑃𝐺 en 𝑄𝐻.

c Bereken ∠𝑃𝑅𝑄 in graden nauwkeurig.



Opgave 15

Droste chocolaatjes worden onder andere verpakt in karton-nen doosjes zoals je die hiernaast ziet. De bodem van dezedoosjes is een regelmatige achthoek met zijden van ongeveer7,8 cm. De hoogte van zo’n Drostedoosje is ongeveer 3,3 cm.Nadat je alle chocolaatjes op hebt haal je het plastic waar zein hebben gelegen uit het doosje.

a Welke ruimtelijke figuur stelt het doosje bij benadering voor?

b Hoe groot zijn de hoeken van de achthoekige bodem van zo’ndoosje?

c Hoe groot is het langste rechte staafje dat je nog op de bodem van dit doosje kunt leggen? Geef jeantwoord in één decimaal nauwkeurig.

d Hoe groot is het langste rechte staafje dat in dit doosje past?

Opgave 16

Je ziet hier de uitslag van een vierzijdige piramide 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝑇met een rechthoekig grondvlak.

a Hoe lang zijn de ribben van deze piramide?

b Hoe hoog wordt deze piramide?

Toepassen

Opgave 17: Stolpboerderij

Bekijk het sterk vereenvoudigde dak van een stolpboerderij in

> www.math4all.nl > 3 VWO > Lichamen > Toepassen

Gebruik de gegevens in de figuur.

a Laat zien hoe je de figuur kunt verdelen in een prisma en twee piramides die je kunt samenvoegen totéén vierzijdige piramide. Wordt dit een regelmatige vierzijdige piramide?

b Bereken de lengtes van de vier opstaande ribben van dit stolpdak.

c Bereken de drie hoeken van elk van de twee driehoekige dakdelen.

d Bereken de vier hoeken van elk van de twee trapeziumvormige dakdelen.


1.2 Aanzichten

Verkennen

Opgave 1Dit zijn drie aanzichten van een lichaam.

Om wat voor lichaam gaat het hier? Maak er een uitslag van en beschrijf de daarvoor noodzakelijkeberekeningen.

Uitleg

Dit is het regelmatige zeszijdige prisma 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹.𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿.In zo’n regelmatig lichaam zijn veel ribben en diagonalen ge-lijk aan elkaar. Toch blijkt daar in de figuur niet zoveel van.Als je zou gaan meten zijn 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 en 𝐶𝐷 zeker niet gelijk,dat komt door de tekening in parallelprojectie. In een paral-lelprojectie worden alleen even lange lijnstukken die evenwij-dig lopen ook weer even lang.Soms helpt het om dan aanzichten van een lichaam te gebrui-ken. Een drieaanzicht zoals dat hieronder laat het vooraan-zicht, het zijaanzicht en het bovenaanzicht van het lichaamzien. Daarin zie je allerlei grensvlakken in de juiste vorm enop ware grootte.

Opgave 2Bekijk de Uitleg op pagina 12. Je ziet er een regelmatig zeszijdig prisma. Neem aan dat van hetgrondvlak alle zijden 4 cm zijn en dat de opstaande ribben allemaal 6 cm lang zijn. Op het werkbladbij deze opgave zie je de aanzichten van het prisma met enkele hoekpunten erbij aangegeven.

a Het vooraanzicht is 6 cm hoog. Hoe breed is de totale breedte van het vooraanzicht?



b Het zijaanzicht is ook 6 cm hoog. Hoe breed is de totale breedte van het zijaanzicht?

c In welk aanzicht is een opstaand grensvlak op ware grootte getekend?

d Zet bij de aanzichten op het werkblad de letters op de juiste plek bij de hoekpunten.

e Teken in de aanzichten het diagonaalvlak 𝐵𝐸𝐾𝐻.

Opgave 3

Het lichaam hiernaast is een regelmatige zeszijdige pirami-de 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹.𝑇. Alle zijden van het grondvlak zijn 4 cm. Alleopstaande ribben zijn 12 cm.

a Bereken de hoogte van deze piramide.

b Teken een vooraanzicht, een zijaanzicht en een bovenaan-zicht van deze piramide op schaal 1 : 2.

c Zet de letters van de hoekpunten op de goede plaats in deaanzichten.

d Welke opstaande ribben worden op ware grootte weergege-ven? En in welk aanzicht?

e Geef het getekende diagonaalvlak in de aanzichten weer.

Opgave 4Je ziet hier een drieaanzicht van een lichaam. De figuur staat ook op een werkblad.

a Om wat voor lichaam gaat het hier?

b Bij het zijaanzicht ontbreekt een afmeting. Hoe groot moet de hoogte ervan zijn?

c De figuur krijgt de naam 𝐴𝐵𝐸.𝐷𝐶𝐹. Zet in de aanzichten de letters bij de juiste hoekpunten.




Je ziet hier een regelmatig driezijdig prisma 𝐴𝐵𝐸.𝐷𝐶𝐹. Dit lichaam is getekend als parallelprojectie.Maar er is ook een drieaanzicht van getekend. Dat is een combinatie van een vooraanzicht, een bo-venaanzicht en een zijaanzicht. In aanzichten zie je meestal veel afmetingen op ware grootte, je kunter beter metingen in verrichten dan in een parallelprojectie. Wel is het soms lastig om op basis vanaanzichten te herkennen om wat voor figuur het gaat.



Voorbeeld 1

Deze kartonnen doos heeft de vorm van een vijfzijdig prisma. De voorkanten de achterkant zijn symmetrische vijfhoekenmet twee rechte hoeken. Deafmetingen vind je bij de figuur.Teken een drieaanzicht van deze doos.Van het bovenaanzicht weet je alle afmetingen, dus dat kun je meteen teke-nen. Van het vooraanzicht weet je ook alle afmetingen en als je dan van desymmetrie gebruik maakt en de passer gebruikt voor de twee zijden van 4dm, dan kun je ook dat tekenen. Het zijaanzicht vind je door vooraanzichten bovenaanzicht te combineren.

Opgave 5In Voorbeeld 1 op pagina 15 wordt een drieaanzicht van een doos getekend.

a Teken dit drieaanzicht zelf op schaal 1 : 20.De figuur is een prisma 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸.𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽. Hierin is vijfhoek 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 het voorvlak, met 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 6 dmen 𝐴𝐸 = 4 dm.

b Zet de letters in je drieaanzicht op de juiste plek.c Bereken nu de hoogte van de voorkant van de doos, dus de hoogte van punt 𝐸 boven lijn 𝐵𝐶 in mm

nauwkeurig.d Bereken de grootte van ∠𝐴𝐸𝐷 in graden nauwkeurig.



Opgave 6Van een regelmatige vierzijdige piramide 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝑇 zijn alle ribben 4 cm.

Teken een drieaanzicht van deze piramide.

Voorbeeld 2Van een aantal eenheidskubusjes kun je een balk stapelen. Het vooraanzicht van de balk bestaat uit 12kubusjes. Het rechter zijaanzicht van de balk uit 8 kubusjes.Uit hoeveel kubusjes kan de balk bestaan?

Noem de lengte, breedte en hoogte van de balk u�, u� en ℎ. Uit het gegeven aantal kubusjes in het voor-aanzicht volgt u� ⋅ ℎ = 12. Uit het gegeven aantal kubusjes in het zijaanzicht volgt u� ⋅ ℎ = 8.Het aantal mogelijkheden kun je nu in een tabel weergeven:

u� ℎ u� totale balk

1 8 X X

2 4 3 24

3 X X X

4 2 6 48

8 1 12 96

Mogelijkheden zijn dus 24, 48 en 96 kubusjes.

Opgave 7Bekijk Voorbeeld 2 op pagina 16.

a Waarom volgt uit de gegevens dat u� ⋅ ℎ = 12 en u� ⋅ ℎ = 8?

b Er worden drie oplossingen gegeven die correct zijn. Zijn er nog meer correcte oplossingen?

c Waarom is de combinatie 1, 12, 4 bijvoorbeeld niet correct?

Opgave 8Het vooraanzicht van een balk bestaat uit 30 kubusjes en het linker zijaanzicht uit 21.

Uit hoeveel kubusjes bestaat de balk?

Opgave 9Een balk bestaat in totaal uit 432 kubusjes. Het vooraanzicht bestaat uit 72 kubusjes.

Uit hoeveel kubusjes kan het zijaanzicht dan bestaan?

Opgave 10Het bovenaanzicht van een balk bestaat uit 44 kubusjes en het vooraanzicht uit 66.

Uit hoeveel kubusjes bestaat de balk?



Voorbeeld 3Je ziet hier het bovenaanzicht en het zijaanzicht van een veelvlak. Welk veelvlak betreft het en hoegroot is de totale oppervlakte van dat lichaam?

Dit betreft een vierzijdige piramide 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝑇 met een rechthoekig grondvlak.Voor de totale oppervlakte van dit lichaam moet je de oppervlakte van het grondvlak en van de vieropstaande grensvlakken bij elkaar optellen.De grensvlakken 𝐴𝐵𝑇 en 𝐶𝐷𝑇 zijn twee congruente gelijkbenige driehoeken met een basis van 8 cmen een hoogte die je in het zijaanzicht op ware grootte ziet. Die hoogte is dus √62 − 32 = 3√3 cm. Deoppervlakte van elk van deze twee grensvlakken is 1

2 ⋅ 8 ⋅ 3√3 = 12√3 cm.De grensvlakken 𝐵𝐶𝑇 en 𝐷𝐴𝑇 zijn twee congruente gelijkbenige driehoeken met een basis van 6 cmen een hoogte die je in het vooraanzicht op ware grootte ziet. Die hoogte is dus √62 − 42 = 2√5 cm.De oppervlakte van elk van deze twee grensvlakken is 1

2 ⋅ 6 ⋅ 2√5 = 6√5 cm.Nu kun je de totale oppervlakte wel berekenen...

Opgave 11In Voorbeeld 3 op pagina 17 zie je twee aanzichten van een lichaam.

a Hoe ziet het vooraanzicht van dit lichaam er uit? En waarom weet je dat zeker?

b Waarom is de hoogte van het vooraanzicht niet gelijk aan de hoogte van de driehoek 𝐴𝐵𝑇? Laat zienhoe je daarvan de hoogte berekend.

c Bereken de totale oppervlakte van dit lichaam, zowel exact als in mm2 nauwkeurig.

Opgave 12Van een veelvlak is het bovenaanzicht een gelijkzijdige driehoek met zijden van 4 cm en het vooraan-zicht een vierkant met zijden van 4 cm.

Welk veelvlak is dit? Bereken er de totale oppervlakte van.



Verwerken

Opgave 13

Je ziet hier een piramide 𝐴𝐵𝐶.𝑇 waarvan het grondvlak 𝐴𝐵𝐶 eengelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm is. De top 𝑇 ligt rechtboven het midden 𝑀 van ribbe 𝐴𝐶. De ribben 𝐴𝑇 en 𝐶𝑇 zijn allebei5 cm lang.

a Teken een vooraanzicht, een zijaanzicht en een bovenaanzicht vandeze piramide.

b Bereken de lengte van ribbe 𝐵𝑇.

c Bereken de grootte van ∠𝑀𝑇𝐵 in graden nauwkeurig.

Opgave 14Een veelvlak 𝐴𝐵𝐶.𝐷𝐸𝐹 heeft als vooraanzicht een vierkant met zijden van 4 cm en als zijaanzicht eengelijkbenige driehoek waarvan de basis ook 4 cm is.

Teken het bovenaanzicht van dit veelvlak en bereken er de oppervlakte van.

Opgave 15Het vooraanzicht van een balk bestaat uit 40 kubusjes en het bovenaanzicht uit 24 kubusjes.

Uit hoeveel blokjes kan dit lichaam minimaal bestaan? En maximaal?

Opgave 16In het beeldenpark in Zwijndrecht staan verschillende beelden. Eén van die beelden is het beeld op defoto hieronder. De onderkant van het beeld dat op de sokkel staat, is een vierkant met zijden van 50cm. Het beeld is 100 cm hoog en de lengte van de bovenkant is 100 cm lang. Het vooraanzicht en hetzijaanzicht zijn symmetrisch.

a Teken een bovenaanzicht van dit beeld op schaal 1 : 10.



Het grondvlak van dit beeld is een vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷. De bovenkant is een ribbe 𝐸𝐹. In het vooraanzichtzie je de punten 𝐴, 𝐵 en 𝐸.

b Bereken de lengte van ribbe 𝐵𝐸 in mm nauwkeurig.

c Als het beeld in de verf zou worden gezet, hoeveel cm2 verf is daar dan voor nodig?

Opgave 17Op de foto hieronder zie je kinderen spelen op een speeltoestel. Het speeltoestel is een constructie vanmetalen buizen waarin een net is gespannen. Op de tekening ernaast zie je de metalen constructie diebestaat uit vier even grote ruiten. Elke zijde van zo’n ruit is 3 meter lang. Elk van die ruiten heeft bijhet punt op de grond een hoek van 60∘. Alle verticale stippellijnen staan loodrecht op vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷.

a Teken een bovenaanzicht van de metalen constructie op schaal 1 : 10.

b Bereken hoe hoog punt 𝑇 boven de grond zit, dus de lengte van 𝑇𝑆 in cm nauwkeurig.

Toepassen

Opgave 18: Achtkanter (I)

Bekijk de achtkanter in

> www.math4all.nl > 3 VWO > Aanzichten > Toepassen


a Bereken de zijden van het bovenvlak 𝐸𝐹𝐺𝐻.

b Bereken de hoeken van Δ𝐵𝐺𝐹.

c Teken een drieaanzicht van deze achtkanter. Zet de letters van de hoekpunten op de juiste plaats in jefiguur.

d Stel je voor dat deze achtkantermassief zou zijn. Hoe groot bedraagt dan zijn totale buitenoppervlakte?



Opgave 19: Achtkanter (II)Van een andere achtkanter is het grondvlak 𝐴𝐵𝐶𝐷 een vierkant met zijden van 8 cm en het bovenvlak𝐸𝐹𝐺𝐻 een vierkant met zijden van 4 cm.De zijden van alle opstaande gelijkbenige driehoeken zijn ook nu 6 cm.

a Bereken van deze achtkanter de hoogte 𝑇𝑆.

b Teken een drieaanzicht van deze achtkanter. Zet weer de letters van de hoekpunten op de juiste plaatsin je figuur.

c Stel je voor dat deze achtkantermassief zou zijn. Hoe groot bedraagt dan zijn totale buitenoppervlakte?


1.3 Doorsneden

Verkennen

Opgave 1Je ziet hier en op het werkblad vier kubussen met ribben van 2 cm. Joop heeft geprobeerd om in elkekubus te laten zien hoe een bepaald plat vlak de kubus doorsnijdt.

a Welke tekeningen zijn dan fout? En waarom?

b Verbeter de foute figuren.

c Welke vorm heeft de doorsnede van figuur II in werkelijkheid? En welke afmetingen?

Uitleg

Je ziet hiernaast de doorsnede 𝐴𝑃𝐺𝑄 van een plat vlak met een kubusgetekend. De kubus heeft ribben van 5 cm. 𝑃 en 𝑄 zijn de middens vande ribben waarop ze liggen.Als je de kubus in de richting 𝐵𝐷 bekijkt zie je 𝐴, 𝐵, 𝑃 en 𝑄 op één lijnliggen. En daarom weet je zeker dat ze in één vlak liggen. Je kunt het ookzo zien: de snijlijnen in twee overstaande evenwijdige grensvlakken vande kubus (bijvoorbeeld 𝐴𝑃 en 𝑄𝐶) zijn evenwijdig en dus is 𝐴𝑃𝐺𝑄 eenplat vlak. Bedenk dat lijnen die in één vlak liggen elkaar altijd snijden ofevenwijdig lopen. Lijnen die elkaar niet snijden èn niet evenwijdig lopennoem je kruisende lijnen. In een vlak kunnen nooit kruisende lijnen lig-gen! En daarom kan de ‘vierhoek’ 𝐴𝑃𝐺𝐻 nooit een vierhoek in een platvlak zijn: de lijnstukken 𝐴𝐻 en 𝑃𝐺 zijn niet evenwijdig en liggen dus opkruisende lijnen.Als je 𝐴𝑃𝐺𝑄 op ware grootte wilt zien moet je de kubus zo draaien dat jeloodrecht op dat vlak kijkt. Je ziet dan dat 𝐴𝑃𝐺𝑄 een ruit is met ribbenvan √52 + 2,52 = √31,25 cm en een diagonaal 𝑃𝑄 van √50 cm. Je tekenthem zelf op ware grootte door eerst 𝑃𝑄 te tekenen en dan de zijden vanuit𝑃 en 𝑄 om te cirkelen.



Opgave 2Bekijk de kubussen in de Uitleg op pagina 21. Je ziet dat in de bovenste kubus een vlak 𝐴𝑃𝐺𝑄 isgetekend.

a Teken het aanzicht van de bovenste kubus waarbij je kijkt in de richting van 𝐵𝐷 met het vlak 𝐴𝑃𝐺𝑄er in. Waaraan zie je dat 𝐴𝑃𝐺𝑄 een plat vlak is?

b Kun je van de onderste kubus een aanzicht tekenen waarbij de punten 𝐴, 𝑃, 𝐺 en 𝐻 op één lijn liggen?

c Waarom zijn de zijden van 𝐴𝑃𝐺𝑄 in twee overstaande vlakken van de kubus evenwijdig? En waaromzijn ze dus ook gelijk?

d Teken de doorsnede 𝐴𝑃𝐺𝑄 op ware grootte.

e Bereken de lengte van diagonaal 𝐴𝐺.

Opgave 3In de Uitleg op pagina 21 wordt gesproken over kruisende lijnen.

a Waarom zijn de lijnen 𝐴𝐻 en 𝑃𝐺 kruisend?

b Zijn de lijnen 𝐴𝑃 en 𝐻𝐺 kruisend, of snijdend? (Denk er om dat deze lijnen ook buiten de lijnstukken𝐴𝑃 en 𝐻𝐺 doorlopen.)

c Zijn de lijnen 𝐴𝑃 en 𝐸𝐹 kruisend, of snijdend?

Opgave 4In kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met ribben van 6 cm is vierhoek 𝐾𝐶𝐺𝐿 een doorsnede van een plat vlak met dekubus. Punt 𝐾 is het midden van ribbe 𝐴𝐵.

a Waarom is driehoek 𝐾𝐶𝐺 geen complete doorsnede van een vlak met deze kubus?

b Waarom moet punt 𝐿 het midden van ribbe 𝐴𝐵 zijn?

c Teken de doorsnede 𝐾𝐶𝐺𝐿 op ware grootte.


Een doorsnede van een ruimtelijke figuur met een plat vlak is de figuur diewordt gevormd door alle snijlijnen. Heeft die doorsnede de vorm van eendriehoek, dan kun je ervan verzekerd zijn dat het inderdaad om een platvlak gaat. Bij vierhoeken, vijfhoeken, etc., moet je nauwkeuriger kijken.Om te controleren dat zo’n figuur echt vlak is, kun je gebruiken dat in eenplat vlak alleen evenwijdige of elkaar snijdende lijnen liggen. Lijnen dieniet evenwijdig zijn èn elkaar niet snijden heten kruisende lijnen. Lijnendie elkaar kruisen kunnen nooit in één vlak liggen.Om in een doorsnede berekeningen te kunnen uitvoeren teken je hem opware grootte. Daarmee wordt bedoeld dat alle hoeken hunwerkelijke vormhebben en alle zijden hun werkelijke lengte (eventueel op schaal getekend). Bij het tekenen op waregrootte construeer je vaak driehoeken m.b.v. de passer. Teken hulpfiguren waarvan je de afmetingenal kent om onbekende lengten en hoeken te vinden.



Voorbeeld 1

Je ziet hier een doorsnede 𝐴𝐹𝑃𝑄 van een plat vlak met een balk𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻. Gegeven is 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 3, 𝐶𝐺 = 4 en 𝐴𝑃 = 3.Teken doorsnede 𝐷𝑃𝑄𝐺 op ware grootte.

De lengte van 𝐷𝐺 kun je halen uit rechthoekige Δ𝐷𝐶𝐺: 𝐷𝐺 = √45.De lengte van 𝐷𝑃 kun je halen uit rechthoekige Δ𝐷𝐴𝑃: 𝐷𝑃 = √18.Omdat 𝐴𝐹𝑃𝑄 een plat vlak is, moet 𝐴𝐹 𝑃𝑄. Dus zijn de driehoe-ken 𝑃𝐵𝑄 en 𝐷𝐶𝑄 gelijkvormig. Omdat 𝑃𝐵 = 3

6𝐷𝐶 is ook 𝐵𝑄 =36𝐶𝐺, zodat 𝐵𝑄 = 2.En dan kun je de lengtes van 𝑃𝑄 en𝑄𝐺 ook berekenen: 𝑃𝑄 = 𝑄𝐺 =√13.Om het trapezium 𝐴𝐹𝑃𝑄 te kunnen tekenen, is het handig om eerst nog de lengte van een diagonaal teberekenen, bijvoorbeeld 𝑃𝐺 = √34. Nu kun je de figuur construeren door twee driehoeken te makenmet passer en liniaal.

Opgave 5In Voorbeeld 1 op pagina 23 is een doorsnede van een plat vlak met een balk getekend. Je wilt diedoorsnede op ware grootte tekenen.

a Reken de lengthen van 𝐷𝐺 en 𝐷𝑃 na.

b Verklaar waarom de driehoeken 𝑃𝐵𝑄 en 𝐷𝐶𝑄 gelijkvormig zijn.

c Reken nu de lengtes van 𝑃𝑄 en 𝑄𝐺 na.

d Bereken de lengte van diagonaal 𝑃𝐺.

e Teken trapezium 𝐴𝐹𝑃𝑄 op ware grootte.

Opgave 6Gegeven is balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐵𝐶 = 4 cm en 𝐵𝐹 = 5 cm. 𝑀 is het midden van 𝐴𝐸, 𝑁is het midden van 𝐶𝐺 en 𝐾 ligt op 𝐵𝐹 met 𝐵𝐾 = 1 cm.

a Is 𝐻𝑀𝐾𝑁 een doorsnede van een vlak met deze balk? Licht je antwoord toe.

b Is 𝐾𝐸𝐺 een doorsnede van een vlak met deze balk? Licht je antwoord toe.

c Is 𝐾𝑀𝑁 een doorsnede van een vlak met deze balk? Licht je antwoord toe.

Vierhoek 𝐻𝑀𝐵𝑁 is een doorsnede van een vlak met de gegeven balk.

d Teken deze vierhoek op ware grootte. Schrijf alle noodzakelijke berekeningen op.

Opgave 7Gegeven is balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met 𝐴𝐵 = 6 cm, 𝐵𝐶 = 4 cm en 𝐵𝐹 = 5 cm. 𝑀 is het midden van 𝐴𝐸, 𝑁is het midden van 𝐶𝐺.Er worden nu steeds twee lijnen gegeven. Schrijf op of ze elkaar snijden, evenwijdig zijn of elkaarkruisen.

a 𝑀𝐻 en 𝐵𝑁.

b 𝑀𝐵 en 𝐻𝐶.

c 𝐴𝐸 en 𝐻𝐺.



d 𝑀𝐹 en 𝐴𝐵.

e 𝑀𝑁 en 𝐻𝐵.

f 𝐶𝑀 en 𝐴𝐹.

Opgave 8

Hier zie je een regelmatig driezijdig prisma 𝐴𝐵𝐶.𝐷𝐸𝐹 waarvan allezijden 8 cm lang zijn. De punten 𝑃, 𝐾, 𝐿, 𝑀 en 𝑁 zijn steeds demiddens van de ribben waar ze op liggen.

a Waarom is vierhoek 𝐾𝐿𝑀𝑁 de doorsnede van een vlak met dit pris-ma?

b Teken vierhoek 𝐾𝐿𝑀𝑁 op ware grootte. Schrijf alle daarvoor nood-zakelijke berekeningen op.

c Bereken (als je dat bij b nog niet hebt gedaan) alle hoeken van vier-hoek 𝐾𝐿𝑀𝑁 in graden nauwkeurig.

Voorbeeld 2

Je ziet hier een doorsnede van een plat vlak met een kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻met ribben van 8 cm. Alle hoekpunten van deze doorsnede zijn demiddensvan de ribben waar ze op liggen.Teken doorsnede 𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈 op ware grootte.

De doorsnede is een regelmatige zeshoek𝑃𝑄𝑅𝑆𝑇𝑈 met zijden√42 + 42 =4√2 cm.Hoe je een regelmatige zeshoek tekent heb je al eerder gezien.

Opgave 9In Voorbeeld 2 op pagina 24 zie je dat de doorsnede van een plat vlak met een kubus een zeshoekkan zijn.

a Waarom weet je zeker dat hier sprake is van een doorsnede van een kubus en een plat vlak?

b Hoe teken je deze zeshoek op ware grootte?

c Kan de doorsnede van een vlak en een kubus ook een vijfhoek zijn? Schets of beschrijf daarvan eenvoorbeeld.

d Geef ook voorbeelden waarbij de doorsnede van een vlak en een kubus een vierhoek of een driehoekis.



Opgave 10In een kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met ribben van 8 cm is een doorsnede 𝐾𝐿𝑀𝐻 getekend. Hierin ligt punt 𝐾op ribbe 𝐴𝐸 zo, dat 𝐴𝐾 : 𝐾𝐸 = 3 : 1. Verder ligt punt 𝑀 op ribbe 𝐶𝐺 zo, dat 𝐶𝑀 : 𝑀𝐺 = 3 : 1.

a Waarom moet punt 𝐿 dan het midden zijn van ribbe 𝐵𝐹?

b Teken deze vierhoek op ware grootte. Schrijf de noodzakelijke berekeningen op.

Verwerken

Opgave 11Je ziet hier in balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 twee keer een figuur getekend die vier hoekpunten heeft.

Leg uit bij welke van beide figuren er sprake is van de doorsnede van een plat vlak en de getekendebalk. Licht je antwoord toe.

Opgave 12

Je ziet hier een balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met daarin de punten 𝑃, 𝑄 en 𝑅die alle drie het midden van een ribbe van de balk vormen.Schrijf van de volgende lijnen op of ze elkaar snijden, elkaar kruisen,of evenwijdig zijn. Licht je antwoord toe.

a 𝑃𝑄 en 𝐵𝐹.

b 𝑃𝑄 en 𝑅𝐺.

c 𝑃𝑅 en 𝐺𝐻.

d 𝑅𝐺 en 𝑃𝐶.

e 𝑃𝐶 en 𝐴𝐷.



Opgave 13

Van de regelmatige vierzijdige piramide 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝑇 is punt 𝑃het midden van ribbe 𝐶𝑇 en punt 𝑄 het midden van ribbe𝐷𝑇. Verder is gegeven dat 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 8 cm en 𝐴𝑇 = 12 cm.

a Bereken de lengte van lijnstuk 𝐵𝑃.

Vierhoek 𝐴𝐵𝑃𝑄 is de doorsnede van de piramide met eenvlak.

b Teken deze doorsnede op ware grootte.

c Bereken de hoeken van vierhoek 𝐴𝐵𝑃𝑄 in graden nauwkeu-rig.

Opgave 14Op de foto hieronder zie je kinderen spelen op een speeltoestel. Het speeltoestel is een constructie vanmetalen buizen waarin een net is gespannen. Op de tekening ernaast zie je de metalen constructie diebestaat uit vier even grote ruiten. Elke zijde van zo’n ruit is 3meter lang. Elk van die ruiten heeft bij hetpunt op de grond een hoek van 60∘. Alle verticale stippellijnen staan loodrecht op vierkant 𝐴𝐵𝐶𝐷. Devier ruiten vormen samen met de vier opstaande driehoeken en het vierkante grondvlak een lichaam.

a Bereken de hoeken van dwarsdoorsnede 𝐴𝐶𝑇 van dit lichaam in graden nauwkeurig.

Neem aan dat 𝑀 het midden van 𝐴𝐷 en 𝑁 dat van 𝐵𝐶 is.

b Teken de dwarsdoorsnede 𝑀𝑁𝐺𝑇𝐸 van dit lichaam op ware grootte.



Toepassen

Opgave 15: Kubus op zijn punt

Bekijk het opengewerkte model van een kubuswoning in

> www.math4all.nl > 3 VWO > Doorsneden > Toepassen

Je gaat dit model zelf tekenen met behulp van het werkblad.

a Maak de kubus op zijn punt (die lijkt op het hierboven getekende model) af.

Neem aan dat de middelste vloer de middens van ribben met elkaar verbindt.

b Teken die vloer in jouw kubus.

Neem aan dat de bovenste vloer halverwege de middelste vloer en de top van de kubus zit. Er zijn drieopstaande driehoekige zijwanden op gemaakt.

c Teken deze vloer in je kubus inclusief de opstaande zijwanden.

Opgave 16: Rekenen aan de kubuswoningJe hebt in de voorgaande opgave zelf een eenvoudige kubuswoning getekend. Ga er weer van uit datde middelste verdiepingsvloer de middens van ribben verbindt en dat de bovenste verdiepingsvloerhalverwege de middelste verdiepingsvloer en de top van de kubus zit. Neem aan dat de hoogte tussende bovenste twee verdiepingsvloeren 2,50 m is.

a Hoe hoog zit dan de top van de kubus boven de onderste punt ervan?

b Hoe groot zijn dan alle ribben van de kubus?

c De hoek tussen de lijnstukken 𝐴𝐻 en 𝐴𝐺 is de hoek die alle grensvlakke van de kubus met de verticalelijn 𝐴𝐺 maken. Bereken deze hoek in tienden van graden nauwkeurig.


1.4 Inhoud en oppervlakte

Verkennen

Opgave 1In deze tabel zie je een aantal bekende formules voor het berekenen van een omtrek, een oppervlakte,of een inhoud. Ernaast staan de betekenissen van die formules, maar die staan niet in de juiste volgorde.

formule betekenis

1 0,5 × basis × hoogte a omtrek cirkel

2 lengte × breedte × hoogte b oppervlakte rechthoek

3 grondvlak × hoogte c oppervlakte driehoek

4 2π × straal d oppervlakte parallellogram

5 lengte × breedte e oppervlakte cirkel

6 13 × grondvlak × hoogte f inhoud balk

7 basis × hoogte g inhoud prisma

8 π × straal2 h inhoud piramide

Geef bij elke formule de juiste omschrijving.

Uitleg

Je ziet hier drie lichamen die alle drie dezelfde hoogte 𝐷𝐻 hebben. Het prisma en de piramide hebbenook nog hetzelfde grondvlak 𝐴𝐶𝐷 en dat is precies de helft van het grondvlak van de balk.

De inhoud van de balk is duidelijk het grootst: 𝑉(balk) = 4 ⋅ 3 ⋅ 6 = 12 ⋅ 6 = 72 eenheden (eenheidsku-bussen).Het prisma is de helft van de balk, dus: 𝑉(prisma) = 1

2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 6 = 6 ⋅ 6 = 36.Merk op dat dit precies de oppervlakte van het grondvlak (Δ𝐴𝐶𝐷) maal de hoogte is. En dat wist je ookwel: het volume van een prisma is 𝑉(prisma) = 𝐺 ⋅ ℎ als 𝐺 de oppervlakte van het grondvlak en ℎ dehoogte is.



De piramide heeft hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte als het prisma. Je kunt laten zien, dat er inhet prisma drie piramides passen waarvan het product van grondvlak en hoogte hetzelfde is als datvan de getekende piramide. Elk van deze piramides heeft daarom dezelfde inhoud, namelijk 1

3 deel vandie van het prisma. Voor de getekende piramide geldt 𝑉(piramide) = 1

3 ⋅ 𝐺 ⋅ ℎ.Van alle drie de getekende lichamen is de totale oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van hun uitslag.En wat gebeurt er met de oppervlakte en de inhoud van zo’n lichaam als alle ribben bijvoorbeeld 3 keerzo groot worden?

Opgave 2Bekijk de drie lichamen in de Uitleg op pagina 28. De inhoud, het volume, van een lichaam is het aantaleenheidskubusjes dat er in past. Bij een balk en een prisma bepaal je dan eerst het aantal eenheidsku-bussen op het grondvlak en dan vermenigvuldig je met het aantal lagen, de hoogte, van de balk, hetprisma. Zo krijg je de formule 𝑉 = 𝐺 ⋅ ℎ, waarin 𝑉 het volume, 𝐺 de oppervlakte van het grondvlak enℎ de hoogte is.

a Laat zien, dat de formule 𝑉 = 𝐺 ⋅ ℎ zowel bij de balk als bij het prisma tot de juiste inhoud leidt.

De oppervlakte van een lichaam is de oppervlakte van de uitslag van dat lichaam.

b Bereken de oppervlakte van de balk.

c Bereken de oppervlakte van het prisma.

d Neem nu eens aan dat de afmetingen van deze figuren 3 keer zo groot worden. Hoeveel keer zo grootwordt dan hun inhoud? En hun oppervlakte? Licht je antwoord toe.

Opgave 3Bekijk de drie lichamen in de Uitleg op pagina 28. Vergelijk de getekende piramide met het getekendeprisma.

a Ga na, dat het prisma kan worden verdeeld in de piramides 𝐴𝐶𝐷.𝐻, 𝐶𝐺𝐻.𝐸 en 𝐴𝐻𝐸.𝐶.

b Ga ook na, dat voor elk van deze piramides geldt dat 𝐺 ⋅ ℎ = 36 waarin 𝐺 de oppervlakte van hetgrondvlak en ℎ de hoogte is.

c Leg uit dat de oppervlakte van piramide 𝐴𝐶𝐷.𝐻 daarom 𝑉 = 13 ⋅𝐺 ⋅ ℎ moet zijn. Bereken deze inhoud.

Opgave 4Er zijn ook lichamen met gebogen grensvlakken. Een cilinder en een kegel bijvoorbeeld hebben ookeen grondvlak met oppervlakte 𝐺 en een hoogte ℎ.

a Waarom zal de formule voor de inhoud van een cilinder 𝑉(cilinder) = 𝐺 ⋅ ℎ zijn?

b Bereken de inhoud van een cilinder met een diameter van 4 cm en een hoogte van 5 cm.

c Waarom zal de formule voor de inhoud van een kegel 𝑉(kegel) = 13 ⋅ 𝐺 ⋅ ℎ zijn?

d Bereken de inhoud van een kegel met een diameter van 4 cm en een hoogte van 5 cm.




Onder de inhoud of het volume van een lichaam wordt het totaal aantaleenheidskubussen dat dit lichaam opvult verstaan.Voor verschillende soorten lichamen kun je die inhoud berekenen met be-hulp van een formule.

> De inhoud van een balk, een prisma, of een cilinder met 𝐺 als opper-vlakte van het grondvlak en ℎ als hoogte is: 𝑉 = 𝐺 ⋅ ℎ.

> De inhoud van een piramide, of een kegel met 𝐺 als oppervlakte vanhet grondvlak en ℎ als hoogte is: 𝑉 = 1

3 ⋅ 𝐺 ⋅ ℎ.

Onder de oppervlakte van een lichaamwordt de oppervlakte van de uitslagvan dat lichaam verstaan.Om zowel de inhoud als de oppervlakte van een lichaam te kunnen bere-kenen moet je de oppervlakteformules van allerlei vlakke figuren, zoalsrechthoek, driehoek en cirkel kennen. Ook de formule voor de omtrek vaneen cirkel is van belang. Zorg dat je al deze formules goed kent!Als je de afmetingen van een lichaam u� keer zo groot maakt, dan wordt de oppervlakte u�2 keer zo grooten de inhoud u�3 keer zo groot. u� heet de lengtevergrotingsfactor, u�2 de oppervlaktevergrotingsfactoren u�3 de volumevergrotingsfactor.

Voorbeeld 1

Een cilinder heeft een diameter van 8 cm en een hoogte van 10 cm. Berekende inhoud en de oppervlakte van deze cilinder.

Voor de inhoud𝑉 gebruik je de formule𝑉 = 𝐺⋅ℎ, waarin𝐺 de oppervlaktevan het grondvlak en ℎ de hoogte is.Nu is 𝐺 = 𝜋 ⋅ u�2 = 𝜋 ⋅ 42 = 16𝜋 en ℎ = 10.En dus is 𝑉 = 16𝜋 ⋅ 10 = 160𝜋 cm3.Voor de oppervlakte 𝐴 moet je weten hoe de uitslag van een cilinder eruit ziet. Die bestaat uit twee cirkels en een rechthoek. De rechthoek heeftbreedte 10 cm en als lengte de omtrek van de grondcirkel 𝜋 ⋅ 8 = 8𝜋 cm.Dus krijg je 𝐴 = 8𝜋 ⋅ 10 + 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 42 = 112𝜋.

Opgave 5In Voorbeeld 1 op pagina 30 worden de inhoud en de oppervlakte van een cilinder met gegevendiameter en straal berekend. Neem nu een cilinder met diameter en straal precies 2 keer zo groot.

a Laat zien dat de inhoud van deze cilinder 23 = 8 keer zo groot is als die van de cilinder in het voorbeeld.

b Leg uit hoe de oppervlakte van de cilinder in het voorbeeld wordt berekend.

c Laat zien dat de oppervlakte van de cilinder in deze opgave 22 = 4 keer zo groot is als die van decilinder in het voorbeeld.



Opgave 6Een cilindervormig groentenblik heeft een straal van 6 cm en een hoogte van 16 cm. Het blik is gemaaktvan metaal met een dikte van 1 mm. De sttraal en de hoogte zijn gemeten aan de binnenkant van hetblik. Je wilt de hoeveelheid metaal die voor dit blik nodig is berekenen als er een plastic deksel op zit.Je kunt dit op twee manieren doen: de oppervlakte van het blik berekenen en die met de dikte verme-nigvuldigen, of van de inhoud van een blik met een straal van 6,1 cm en een hoogte van 16,1 cm deinhoud van een blik met straal 6 cm en hoogte 16 cm aftrekken.

Voer beide berekeningen uit en geef je antwoord in mm3 nauwkeurig. Waardoor ontstaat het verschiltussen beide antwoorden?

Opgave 7

Van een cilinder is het vooraanzicht een rechthoek met een oppervlakte van 75 cm2. Het bovenaanzichtis een cirkel met een oppervlakte van 60 cm2.

Bereken de hoogte van de cilinder in mm nauwkeurig.

Opgave 8Van een cilindervormig literblik zijn hoogte en diameter gelijk.

Bereken de hoogte van de cilinder in mm nauwkeurig.

Voorbeeld 2

Deze kartonnen doos heeft de vorm van een vijfzijdig prisma. De voorkanten de achterkant zijn symmetrische vijfhoekenmet twee rechte hoeken. Deafmetingen vind je bij de figuur.Bereken de inhoud en de oppervlakte van deze doos.

Voor de inhoud 𝑉 van deze doos gebruik je de formule 𝑉 = 𝐺⋅ℎ, waarin 𝐺de oppervlakte van het grondvlak en ℎ de hoogte is. Hier is het ‘grondvlak’het voorvlak van het prisma, de hoogte is 9 dm.Ga na, dat 𝐺 = 6 ⋅ 6 + 1

2 ⋅ 6 ⋅ √7 = 36 + 3√7. Nu kun je met de formuleberekenen dat de inhoud van de doos ongeveer 395 dm3 is.De oppervlakte van de doos is de oppervlakte van de uitslag van deze doos.Die uitslag bestaat uit twee gelijke vijfhoeken (waarvan je de oppervlakte al hebt berekend) en vijfrechthoeken. De totale oppervlakte is de som van de oppervlaktes van deze vijfhoeken en de vijf recht-hoeken.

Opgave 9In Voorbeeld 2 op pagina 31 zie je hoe je de inhoud en de oppervlakte van een prisma kunt berekenen.

a Leg uit hoe de oppervlakte van de vijfhoek die als ‘grondvlak’ dient, kan worden berekend.

b Reken nu de gevonden inhoud van de doos zelf na.

c Bereken de totale oppervlakte van de doos.



Opgave 10Van een regelmatige vierzijdige piramide 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝑇 is 𝐴𝐵 = 4 cm en 𝐴𝑇 = 6 cm.

Bereken de inhoud en de oppervlakte van deze piramide.

Opgave 11Van een regelmatige vierzijdige piramide zijn alle ribben even lang. De oppervlakte van deze piramideis 1000 cm2.

Hoe lang zijn de ribben van deze piramide in mm nauwkeurig?

Voorbeeld 3

Bij zandwinning ontstaan grote hopen van verschillende soortenzand. Die hopen zand hebben allemaal dezelfde kegelvorm.Hoeveel m3 zand bevat zo’n kegelvormige hoop met een diametervan 4 m en een hoogte van 1,50 m? En hoeveel m3 zand bevat eenhoop zand waarvan de afmetingen 2 keer zo groot zijn?

Voor de inhoud 𝑉 van een kegel gebruik je de formule 𝑉 = 13 ⋅𝐺 ⋅ℎ,

waarin 𝐺 de oppervlakte van het grondvlak en ℎ de hoogte is. Hieris het grondvlak een cirkel met een straal van 2 m en de hoogte is1,50 m.De inhoud is dus 𝑉 = 1

3 ⋅ 𝜋 ⋅ 22 ⋅ 1.5 = 2𝜋 m3.Van de hoop zand waarvan alle afmetingen twee keer zo groot zijnis de lengtevergrotingsfactor 2 en dus de volumevergrotingsfactor23 = 8. De inhoud van die zandhoop is daarom 2𝜋 ⋅ 8 = 16𝜋 m3.

Opgave 12In Voorbeeld 3 op pagina 32 zie je hoe je de inhoud van een kegel kunt berekenen.

a Bereken de inhoud van een kegel waarvan de straal 5 cm en de hoogte 10 cm is.

b Hoeveel bedraagt de inhoud van een kegel waarvan de afmetingen half zo groot zijn als die bij a?

c In welke kegel kan meer: een kegel waarvan de straal van het grondvlak 5 en de hoogte 10 is, of eenkegel waarvan de straal 10 en de hoogte 5 is? Verklaar je antwoord.

d In welke kegel kan meer: een kegel waarvan de straal van het grondvlak u� en de hoogte u� is, of eenkegel waarvan de straal u� en de hoogte u� is? Verklaar je antwoord.

Opgave 13In een betonblok in de vorm van een kubus met ribben van 50 cm wordt een kegelvormig gat geboord.Dit kegelvormige gat heeft een diameter van 15 cm en een diepte van 40 cm.

Uit hoeveel cm3 beton bestaat dit betonblok met gat?



Verwerken

Opgave 14Verfblikken zijn er in allerlei maten. In deze opgave wordt uitgegaan van een wiskundig model van eenverfblik: een cilinder met een cirkel als bodem en een cirkel als deksel. Houd geen rekening met dedikte van het blik.Een verfblik heeft een hoogte van 14 cm en een straal van 8 cm.

a Bereken hoeveel cm3 de inhoud van het verfblik is. Rond je antwoord af op een geheel getal.

b Teken op schaal 1 : 4 de uitslag van dit verfblik. Schrijf op hoe je de maten van je tekening gevondenhebt.

c Als je de straal van een blik verdubbelt en de hoogte halveert, blijft de inhoud van het blik dan hetzelf-de? Laat zien hoe je het antwoord hebt gevonden.

Er zijn blikken nodig met een inhoud van 2500 cm3. De blikken worden zo gemaakt dat er zo weinigmogelijk metaal voor nodig is. De hoeveelheid metaal die nodig is voor een blik, is zo klein mogelijkals de hoogte van het blik 2 keer zo groot is als de straal.

d Bereken hoeveel cm de straal en de hoogte van dit blik zijn. Geef je antwoorden in één decimaal.

Opgave 15Een spaarpot heeft de vorm van een regelmatige piramidemet een vierkant grondvlak. In de linkerfiguurhieronder zie je een tekening van de spaarpot. Daarnaast staat een wiskundig model met de maten vande spaarpot.

De spaarpot heeft een deksel. Dat is piramide 𝑇.𝐸𝐹𝐺𝐻. Het scharnier, waarom de deksel omgeklaptkan worden, is lijnstuk 𝐻𝐺.

a De bank die deze spaarpot cadeau geeft beweert dat de inhoud van de deksel 4,6% van de inhoud vande hele piramide is. Laat met een berekening zien dat dit niet waar is.

b De spaarpot wordt cadeau gegeven in de vorm van een bouwplaat. Hoeveel oppervlakte aan karton is ernodig voor deze spaarpot? Houd geen rekening met de opening om geld in te doen en geef je antwoordin cm2 nauwkeurig.



Opgave 16

Op de foto hiernaast zie je een houder waarin een sfeerlichtje zit. Dezesfeerlichthouder heeft de vorm van een prisma met een gelijkzijdige drie-hoek als grondvlak. Op de foto hieronder zie je het bovenaanzicht van eenfiguur gemaakt van zes van deze sfeerlichthouders.

a Geef de kleinste hoek in graden waarover dit bovenaanzicht draaisymmetrisch is.

Hieronder zie je een tekening van de sfeerlichthouder. De sfeerlichthouder is massief en gemaakt vankunststof. De zijden van het driehoekige grondvlak zijn 10 cm. De hoogte van de sfeerlichthouder is 2cm. Precies in het midden van de sfeerlichthouder zit een rond gat voor het sfeerlichtje. De diametervan dit gat is 3,8 cm en de diepte is 1,2 cm.

b Bereken in hele cm3 hoeveel kunststof er nodig is om deze sfeerlichthouder te maken.



Opgave 17

Droste chocolaatjes worden onder andere verpakt in karton-nen doosjes zoals je die hiernaast ziet. De bodem van dezedoosjes is een regelmatige achthoek met zijden van ongeveer7,8 cm. De hoogte van zo’n Drostedoosje is ongeveer 3,3 cm.Nadat je alle chocolaatjes op hebt haal je het plastic waar zein hebben gelegen uit het doosje.

a Bereken de inhoud van het doosje in cm3 nauwkeurig.

b Een model van dit Drostedoosje is een regematig achthoekigprisma met opstaande ribben van 3,3 cm en andere ribbenvan 7,8 cm. Bereken de oppervlakte van zo’n prisma in cm2 nauwkeurig.

Opgave 18

Je ziet hier een cilindervormige plastic bak waar een kegel uit is weggesne-den.

a Bereken de hoeveelheid plastic die hiervoor nodig is.

b Bereken de hoeveelheid plastic die nodig is voor eenzelfde bak waarvanalle afmetingen 1,5 keer zo groot zijn.

Toepassen

Opgave 19: Stolpboerderij: volume onder het dak

Bekijk het sterk vereenvoudigde dak van een stolpboerderij in

> www.math4all.nl > 3 VWO > Inhoud en oppervlakte > Toepassen


Bereken het volume onder dit dak en boven de zoldervloer.

Opgave 20: Stolpboerderij: dakoppervlakGebruik de gegevens in de figuur van het dak van de stolpboerderij hierboven.

Bereken de oppervlakte van het dak.


1.5 Totaalbeeld

Samenvatten

In dit onderwerp heb je gezien hoe je alle meetkundige basistechnieken zoals het werken met congru-ente en gelijkvormige figuren, de stelling van Pythagoras en goniometrie kunt toepassen in ruimtelijkesituaties, in 3D-situaties. De belangrijkste termen uit de ruimtemeetkunde worden herhaald. Dit on-derwerp is vooral van belang voor leerlingen die in de bovenbouw met wiskunde B verder gaan.De onderstaande opgaven zijn bedoeld om overzicht over het onderwerp ‘Ruimtemeetkunde’ te krij-gen. Dit betreft de onderdelen 1, 2, 3 en 4 van dit onderwerp. Het is nuttig om er een eigen samenvattingbij te maken. De opgaven hieronder zijn bedoeld om je daarbij te helpen.

Je hebt geleerd

> werken met congruentie, gelijkvormigheid, de stelling van Pythagoras en goniometrie in ruim-telijke situaties ( Theorie op pagina 8);

> aanzichten en uitslagen van lichamenmaken en die toepassen bij berekeningen, onder anderevan de oppervlakte van een lichaam ( Theorie op pagina 14);

> herkennen wanneer er sprake is van een doorsnede van een lichaam en een plat vlak en wan-neer lijnen elkaar snijden of kruisen of evenwijdig zijn ( Theorie op pagina 22);

> inhoud en oppervlakte van diverse lichamen berekenen ( Theorie op pagina 30);

Voorkennis

> werken met gelijkvormigheid, de stelling van Pythagoras en goniometrie;> omtrek en oppervlakte van vlakke figuren berekenen;> de namen van de belangrijkste ruimtelijke figuren en hun eigenschappen, uitslagen maken,

diagonaalvlakken, (lichaams)diagonalen herkennen.

Opgave 1

Je ziet hier een balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met 𝐴𝐵 = 12 cm, 𝐵𝐶 = 6 cm en𝐶𝐺 = 8 cm. Punt 𝑀 is het midden van lijnstuk 𝐵𝐺 en punt 𝑁 is hetsnijpunt van 𝐴𝑀 en 𝐻𝐵.

Bereken de lengte van lijnstuk 𝐴𝑁 en de grootte van ∠𝐴𝑁𝐵 in gra-den nauwkeurig.

Opgave 2Van een regelmatige vierzijdige piramide 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝑇 is het grondvlak een vierkant met zijden van 5 enis de hoogte 10 cm.

Bereken de hoeken van de opstaande zijvlakken.



Opgave 3

Hier zie je een vierzijdig prisma met een rechte hoek bij hoekpunt𝐴. Alle lengtes zijn gegeven in cm.

Teken een drieaanzicht van dit prisma.

Opgave 4In de figuur hieronder zie je het bovenaanzicht en het zijaanzicht van een veelvlak.

Wat voor veelvlak betreft het hier? Maak er een schets van.

Opgave 5Bekijk de balk van opgave 1 nog eens.

Leg uit waarom de lijnen 𝐸𝐺 en 𝐴𝑀 elkaar kruisen.

Opgave 6Gegeven is een balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met 𝐴𝐵 = 12 cm, 𝐵𝐶 = 6 cm en 𝐶𝐺 = 8 cm. Punt 𝑀 is het middenvan ribbe 𝐴𝐵 en punt 𝑁 is het midden van ribbe 𝐺𝐻.

Leg uit waarom 𝐸𝑀𝐶𝑁 een doorsnede van een vlak met deze balk is en teken deze vierhoek op waregrootte.

Opgave 7Van welk lichaam is het volume het grootst: een regelmatige vierzijdige piramide waarvan alle zijden4 cm lang zijn, of een kegel waarvan het grondvlak een diameter van 4 cm heeft en de hoogte ook 4cm is?



Opgave 8

Van een cilinder is de oppervlakte 628 cm2. Verder is de hoogte twee keer zo groot dan de diameter.

Hoe hoog is deze cilinder? Geef je antwoord in mm nauwkeurig.

Testen

De volgende opgaven zijn bedoeld om na te gaan of je de onderdelen 1 tot en met 4 van het onderwerp‘Ruimtemeetkunde’ voldoende beheerst.

Opgave 9Hieronder zie je een boombank die bestaat uit zes gelijke delen waar je op kunt zitten. De regelmatigezeshoek die de buitenrand van deze boombank voorstelt heeft zijden van 120 cm. De regelmatigezeshoek die de binnenrand van deze boombank voorstelt heeft zijden van 80 cm.

Hoeveel bedraagt de oppervlakte van deze boombank? Geef je antwoord in cm2 nauwkeurig.

Opgave 10

Dit is een foto van een bouwwerk van zeven dobbelstenen. Bijdeze dobbelstenen zijn alle ribben twee centimeter lang. Jekunt dit bouwwerk van verschillende kanten bekijken. Naastde foto zijn vier kijkrichtingen A, B, C en D aangegeven. Bijeen dobbelsteen is de som van de ogen van twee tegenoverelkaar liggende vlakken altijd gelijk aan zeven. Bijvoorbeeld:tegenover de twee ligt de vijf.

Bereken het minimale aantal ogen dat je kunt krijgen als jealle ogen optelt van het aanzicht vanuit richting D.



Opgave 11Hieronder zie je twee foto’s van een ijsje. Het model van het ijsje past precies in een balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻,waarvan de vlakken 𝐴𝐵𝐶𝐷 en 𝐸𝐹𝐺𝐻 vierkant zijn. Het model bestaat uit vier even grote, gelijkbenigedriehoeken. In deze driehoeken geldt 𝐴𝐹 = 𝐴𝐻 = 𝐶𝐹 = 𝐶𝐻 = 9,8 cm en 𝐴𝐶 = 𝐹𝐻 = 6 cm. Voor hetmaken van de verpakking wordt eerst een uitslag getekend en daarna de oppervlakte uitgerekend.

a Maak zelf zo’n uitslag en zet de hoekpunten op de juiste plek.

b Bereken de oppervlakte van deze uitslag in cm2 nauwkeurig.

c Bereken de grootte van ∠𝐴𝐹𝐶 in graden nauwkeurig.

Opgave 12Gegeven is een balk 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐸𝐹𝐺𝐻 met 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 10 en 𝐴𝐸 = 12 cm. Punt 𝑃 is het midden van ribbe𝐸𝐻 en punt 𝑄 is het midden van ribbe 𝐻𝐺.

a Waarom zijn 𝐴𝑃 en 𝐶𝑄 snijdende lijnen?

b Waarom zijn 𝐴𝑃 en 𝐶𝐺 kruisende lijnen?

c Bereken de oppervlakte van de doorsnede 𝐴𝐶𝑄𝑃 van een vlak met de gegeven balk.



Opgave 13Met betonnen elementen kunnen zandbakken van verschillende vormen worden gemaakt. In de fotohieronder zijn vier elementen aangegeven.

Van zo’n element is hiernaast een bovenaanzicht getekend, met dematen erbij. De hoogte van elk element is 65 cm.

a Hoeveel cm3 beton is er voor elk element nodig?

Om de elementen tegen graffiti te beschermen wordt het hele ele-ment in de fabriek met een vloeistof behandeld.

b Bereken in gehele cm2 nauwkeurig de oppervlakte die per elementbehandeld moet worden. Schrijf je berekening op.

Opgave 14Op een groot blik verf met een inhoud van 10 liter staat de naam van de fabrikant in grote letters. Elkeletter is wel 8 cm hoog. Dezelfde verf wordt ook verkocht is blikken van 2 liter. Ook daarop staat denaam van de fabrikant, maar de hoogte van de letters is nu in de juiste verhouding verkleind.

Hoe hoog zijn de letters op de kleine blikken?



Opgave 15Op 14 maart 2003 is de Westerscheldetunnel geopend. Dit is een tunnel in Zeeland die onder het watervan de Westerschelde door gaat. De tunnel bestaat uit twee tunnelbuizen. Elke tunnelbuis is geboordmet een enorme boormachine met een diameter van 11,30 meter. Elke tunnelbuis is in totaal 6600meter lang.

a Elke werkdag werd er gemiddeld 12 meter geboord. Bereken hoeveel werkdagen het boren van ééntunnelbuis heeft geduurd. Schrijf je berekening op.

Aan één kant van een tunnelbuis hangt om de 50 meter een brandblusser. Er hangt geen brandblusseraan het begin en aan het eind van de tunnel.

b Bereken hoeveel brandblussers er in één tunnelbuis hangen. Schrijf je berekening op.

Een automobilist rijdt vanuit Zeeuws-Vlaanderen de tunnel in. Het eerste gedeelte van de tunnel is 1300meter lang en daalt 60 meter.

c Bereken hoeveel graden de aangegeven hoek is waaronder het eerste gedeelte geboord is. Schrijf jeberekening op.

De grond die voor het boren van één tunnelbuis werd uitgegraven, is afgevoerd door vrachtwagens.Eén vrachtwagen vervoert ongeveer 20 m3 grond. Hoewel de tunnelbuis geen echte cilinder is, kun jede inhoud van de tunnelbuis benaderen met de formule voor de inhoud van een cilinder.

d Laat met een berekening zien hoeveel vrachtwagens er ongeveer gevuld werden om de grond van ééntunnelbuis af te voeren. Rond je antwoord af op duizendtallen.



Toepassen

Opgave 16: De oppervlakte van een kegelNeem een blaadje papier, je moet er een cirkel met een straal van 5 cm uit kunnen halen. Pak ook eenpasser en een schaar. Je gaat een kegel maken en de oppervlakte ervan berekenen.

a Knip uit het stuk papier een cirkel met een straal van 5 cm. Knip uit die cirkel een sector met eensectorhoek van 90∘. Maak een kegel van het resterende deel van de cirkel.

b Hoe groot is de omtrek van de grondcirkel van je kegel? Hoe groot is dus de straal van de kegel? Enwaar zit nu de straal van de oorspronkelijke cirkel?

Het gebogen grensvlak van de kegel heet de kegelmantel.

c Hoe groot is de oppervlakte van de kegelmantel?

d Als je van een cirkelsector met een straal van 5 cm en een sectorhoek van 120∘ een kegel maakt, hoegroot is dan de oppervlakte van de kegelmantel? En hoe hoog wordt deze kegel? En welke straal heeftdeze kegel?

e Beredeneer dat een kegelmantel met een straal van u� die is gemaakt uit een cirkel met een straal van𝑅 een oppervlakte heeft van 𝜋u�𝑅.

f Bereken de oppervlakte van een kegel met een straal van 4 cm en een hoogte van 5 cm.

Opgave 17: Een bekertje

Een bekertje zoals dat hiernaast kun je opvatten als een kegel waarde punt (die op zichzelf ook een kegel is) is afgesneden. Neem aandat het bekertje een bovendiameter van 10 cm heeft en een onder-diameter van 8 cm. En neem ook aan dat de hoogte van het bekertje12 cm is.

a Hoeveel cm3 bedraagt dan de inhoud van dit bekertje?

b Hoeveel cm2 aan materiaal is er voor dit bekertje nodig?

Wiskundevoor 3vwo - h2o-boeken.nl · STICHTINGMATH4ALL 3OKTOBER2013 PAGINA1 Inhoud Voorwoord 3 1...

Documents

Transcript of Wiskundevoor 3vwo - h2o-boeken.nl · STICHTINGMATH4ALL 3OKTOBER2013 PAGINA1 Inhoud Voorwoord 3 1...