7/25/2019 Werkstuk Diff

1/5

7/25/2019 Werkstuk Diff

2/5

00v1\%rac{s}{t}00

Met 0v0 de snelheid van de veer& 0s0 de a%stand #aarover de veer be#eegt en0t0 de tijdspan,

)ovendien& als de veer een massa hee%t kan het alleen maar een versnelling

krijgen als er ook een 023res0 op het object #erkt, Dan geldt de t#eede #et van4e#ton& de+e #et luidt

00\vec{2}3{res} 1 m \cdot \vec{a}00

Met 0\vec{2}3res0 de resulterende kracht& 0m0 de massa van het object en 0a0de versnelling van de veer, \\

Daarbij moeten #e ook rekening houden met de 0\tetit{#et van 5ooke} 0,De+e #et beschrij%t de evenredigheid tussen de uitrekking en #elke kracht op deveer #ordt uitgeoe%end, /n %ormulevorm gee%t dit

002 1 k \cdot s00

Met 0k0 een krachtconstante,

\subsection{6ngedempte harmonische trilling}

Voor de ongedempte harmonische trilling #illen #e graag een %unctievoorschri%topstellen, 7ls #e de be#eging tegen de tijd uit+etten dan krijgen #e eensinuso\8ide te +ien,

7ls #e een bepaalde uit#ijking hebben& kunnen #e dit punt op de sinuso\8ide ookals een punt op de eenheidscirkel plaatsen, 6mdat de veer periodiek be#eegtmet de+el%de amplitude& kunnen #e dit +ien als een punt op de eenheidscirkel dateen bepaalde hoek maakt,De+e hoek noemen #e 0\theta0, De hoek be#eegt meteen hoeksnelheid 0\omega0, De hoeksnelheid is in een tijdsinterval 0t0 van dedoorlopen hoek over de periode 09\pi0, /n %ormulevorm gee%t dit0\omega1\%rac{9\pi}{t}0,

7ls #e een uit#ijking van de veer

\begin{e"uation}

sin\theta 1 \%rac{$}{7}

\end{e"uation}

Voor 0\theta0 geldt 0\theta1 \omega \cdot t0,

5et %unctievoorschri%t voor de plaatsbepaling is

\begin{e"uation}

7/25/2019 Werkstuk Diff

3/5

$:t;1 7 \cdot sin:\omega t < \phi;

\end{e"uation}

\subsection{2unctievoorschri%t snelheid}

Diferenti\8eren van :9; gee%t met behulp van 0v3$:t; 1 \%rac{d$}{dt}0,

5et %unctievoorschri%t voor de snelheid is

\begin{e"uation}

v3$:t;1 \omega \cdot 7 \cdot cos:\omega t < \phi;

\end{e"uation}

\subsection{2unctievoorschri%t versnelling}

Diferenti\8eren van :=; gee%t met behulp van 0a3$:t; 1 \%rac{dv}{dt} 1\%rac{d>9$}{dt>9}0, 5et %unctievoorschri%t voor de versnelling is

\begin{e"uation}

a3$:t; 1 ? \omega>9 \cdot 7 \cdot sin:\omega t < \phi;

\end{e"uation}

\subsection{Diferentiaalvergelijking oplossen}

De t#eede #et van 4e#ton luidt 023{res}1m\cdot a0 en volgens de #et van5ooke geldt 0?k \cdot $:t; 1 m \cdot a0 met 0k0 een bepaalde krachtconstante,

5erleiden gee%t

\begin{e"uation}

a3$:t; 1 \%rac{k}{m} \cdot ? $:t;

\end{e"uation}

@ebruikmakende van 0a3$:t; 1 \%rac{dv}{dt} 1 \%rac{d>9$}{dt>9}0 gee%t

7/25/2019 Werkstuk Diff

4/5

\begin{e"uation}

\%rac{d>9$}{dt>9} 1 \%rac{k}{m} \cdot ?$:t;

\end{e"uation}

Dit is on+e diferentiaalvergelijking, 6plossen gee%t

\begin{e"uation}

? \omega>9 \cdot 7 \cdot sin:\omega t < \phi; 1 \%rac{k}{m} \cdot ?7 \cdotsin:\omega t < \phi;

\end{e"uation}

6plossen gee%t

\begin{e"uation}

\omega 1 \s"rt{\%rac{k}{m}}

\end{e"uation}

\section{Alingerbe#eging ? \tetit{.iskundige slinger}}

De slinger hee%t een 023+1m \cdot g0 met 0g0 de valversnelling, 7ls #e 023+0gaan ontbinden in t#ee %actoren krijgen #e voor 023{res}1 m \cdot g \cdotsin:\theta;0 en 023$1m \cdot g \cdot cos:\theta;0,

6mdat 023{res}0 de enige kracht is die voor de be#eging +orgt dat de slingerdoor het even#ichtspunt gaat :versimpeld model #ant de #rijvingskracht isver#aarloosd; kunnen #e 023{res}0 gelijk stellen aan 023+0, Dit gee%t

\begin{e"uation}

m \cdot \%rac{d>9$}{dt>9} 1 ?m \cdot g \cdot sin:\theta;

\end{e"uation}

7ls de amplitude erg klein is geldt 0sin:\theta; \appro \theta0, 5erleiden gee%t

\begin{e"uation}

\%rac{d>9$}{dt>9} 1 ?g \cdot \theta

\end{e"uation}

Voor 0\theta0 geldt 0\theta 1 \%rac{s}{B} 1 \%rac{$:t;}{B}0 :booglengte;,

/nvullen gee%t

7/25/2019 Werkstuk Diff

5/5

\begin{e"uation}

? \omega>9 \cdot 7 \cdot sin:\omega t < \phi; 1 ?g \cdot \%rac{ 7 \cdotsin:\omega t < \phi;}{B}

\end{e"uation}

6plossen gee%t

\begin{e"uation}

\omega 1 \s"rt{\%rac{g}{B}}

\end{e"uation}

\end{document}