Webexperiment: Fresnel Diffractie

Theodoor Pielage

Natuurkunde Prakticum

Vrije Universiteit

Amsterdam

March 28, 2003

Inleiding

Voor je ligt de handleiding behorende bij het webexperiment ‘Fresnel Diffractie’.Dit experiment bevindt zich op het natuurkundepracticum aan de Vrije Uni-versiteit te Amsterdam en wordt al jaren, in iets andere vorm, door tweedejaarsnatuurkundestudenten gebruikt. De reden dat dit experiment een webexperi-ment wordt genoemd, is dat het via het world wide web kan worden aangestuurden uitgelezen. In principe kan iedereen die beschikt over een computer die isaangesloten op het internet gebruik maken van de opstelling via de websitehttp://www.nat.vu.nl/webexperiments. In deze handleiding wordt de the-orie van diffractie behandeld (hoofdstuk 1), wordt de experimentele opstellingen de wijze van besturing ervan via de website beschreven (hoofdstuk 2), wordtuitgelegd hoe de gemeten data kunnen worden geanalyseerd (hoofdstuk 3) enwordt een aantal opdrachten voorgelegd die als aanzetten kunnen dienen totexperimenten (hoofdstuk 4). In appendix A staat beschreven hoe je vanaf jecomputer kunt inloggen op het experiment. Het niveau van de theorie en de op-drachten is zodanig dat een eerste- of tweedejaars student er mee uit de voetenzou moeten kunnen. Voor het uitvoeren van een experiment is een volledigbegrip van de theorie echter niet vereist, zodat ook leerlingen uit de hoogsteklassen van het VWO in staat moeten worden geacht de opstelling te gebruiken.

Januari 2003

Inhoudsopgave

1 Theorie 1

1.1 Interferentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Fraunhofer-diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Fraunhofer-diffractie aan een spleet . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Fresnel diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Fresnel-diffractie aan een spleet . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2 Berekening van het Fresnel-buigingspatroon van een spleet 9

1.4.3 De Cornu-spiraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.4 Fresnel-diffractie aan andere objecten . . . . . . . . . . . 14

1.5 Applets op de website . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Applet 1: Interferentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 Applet 2: Diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.3 Applet 3: De Cornu-spiraal . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Experiment 23

2.1 Experimentele opstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Besturing van de experimentele opstelling . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 ‘Meet’-tabblad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 ‘Experimentele parameters’-tabblad . . . . . . . . . . . . 26

3 Analyse 27

3.1 Vergelijken gemeten data met theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Toelichting op de werking van de software . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Numerieke berekening van een diffractiepatroon . . . . . . 29

3.2.2 Numerieke berekening van de afwijkingsmaat Chi-kwadraat 31

4 Opdrachten en suggesties voor experimenten 33

vi INHOUDSOPGAVE

A Aanmeld- en inlogprocedure 37A.1 Aanmelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.2 Inloggen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Referenties 39

Hoofdstuk 1

Theorie

In dit hoofdstuk wordt wat theorie omtrent het experiment “Fresnel Diffractie”uit de doeken gedaan. Daar gepoogd is deze handleiding beknopt te houden,zal niet overal even diep op ingegaan worden. Voor een uitgebreidere uiteen-zetting over de theorie van Fresnel-diffractie wordt verwezen naar de boekendie genoemd staan bij de referenties.

1.1 Interferentie

Fig. 1.1: Interferentie van gol-ven in een vloeistof (bron: [1]).

Het golfkarakter van licht veroorzaakt ef-fecten die niet verklaard kunnen wordenmet behulp van de geometrische optica.Interferentie is een voorbeeld van zo’n ef-fect en treedt niet alleen bij licht op, maarbij allerlei golfverschijnselen. Voor geluidbijvoorbeeld kun je de effecten van in-terferentie duidelijk horen wanneer tweegeluidsbronnen met dezelfde frequentiezich in dezelfde ruimte bevinden. Opsommige plaatsen in de ruimte klinkthet geluid dan harder dan op andereplekken. Een ander voorbeeld is hetkleurenspectrum dat je waarneemt als jekijkt naar het zonlicht dat weerkaatstaan een dunne laag olie op het asfalt,een gevolg van interferentie van lichtgol-ven. In figuur 1.1 is een opname tezien van twee interfererende golven in een

2 Theorie

vloeistof. In deze opname kun je zien dat wanneer de golven bij elkaar komen,er een patroon van buiken (maxima) en knopen (minima) ontstaat. In z’nalgemeenheid kun je zeggen dat interferentie optreedt wanneer twee of meerbronnen golven produceren met dezelfde frequentie.

Het ontstaan van interferentie kan worden begrepen door het toepassen vanhet principe van superpositie. Volgens dit principe kun je het resultaat van tweeinterferende golven bepalen door simpelweg beide golven bij elkaar op te tellen.Wanneer twee golven in fase zijn waardoor de toppen en dalen van de golvenperfect overlappen, ontstaat er een golf met een maximale amplitude. Zijn degolven uit fase dan ontstaat er een golf met minimale amplitude die, wanneerbeiden golven exact dezelfde amplitude hebben, zelfs helemaal uitdooft. Van diteffect wordt gebruikt gemaakt in de koptelefoons van straaljagerpiloten waar eenzelfgegenereerd antigeluid zorgt voor de vermindering van de geluidsoverlast.

(a) (b)

Fig. 1.2: Interferentie van twee golven. (a) De gestippelde lijnen zijn de minima,de gestreepte lijnen zijn de maxima. (b) De twee golven zijn in fase als er eenverschil is in optische weglengte vanaf de twee bronnen van λ (of een veelvoudvan λ).

Als rekenvoorbeeld staat in figuur 1.2a een schematische weergave van tweeinterfererende golven. Vlakke golven met golflengte λ vallen op twee spletendie zich op afstand D van elkaar bevinden. Deze spleten gedragen zich als se-cundaire, coherente bronnen en produceren cilindrische golven die met elkaarinterfereren. Op de gestippelde lijnen (knooplijnen) zijn de golven afkomstigvan beide bronnen precies in tegen-fase en doven ze elkaar uit, terwijl op degestreepte lijnen (buiklijnen) de golven precies in fase zijn waardoor ze elkaarjuist versterken. Op het midden van het scherm, dat zich op afstand R van despleten bevindt, is de afstand tot beide spleten uiteraard gelijk en ontstaat eenmaximum of buik. Om de afstand tot het eerstvolgende maximum te bereke-

1.2 Diffractie 3

nen definieren we de hoek θ als de hoek tussen de middelste en de eerstvolgendebuiklijn (zie figuur 1.2a). Als de afstand tussen de spleten klein is (D � R),geldt dat de lichtstralen van beide spleten naar het hetzelfde maximum vrijwelevenwijdig lopen (zie figuur 1.2b). Voor het eerste maximum boven het mid-delste maximum geldt dat het faseverschil tussen beide lichtstralen exact eenperiode ofwel de golflengte is. Voor het n-de maximum is dit verschil n keer degolflengte. We krijgen de volgende uitdrukking voor θ:

θ(n) = arcsin(nλ

D

). (1.1)

De afstand d van het n-de maximum tot het midden van het scherm is:

d(n) = R tan (θ(n)) = R tan(

arcsin(nλ

D

))≈ nRλ

D. (1.2)

Voor nadere uitleg over interferentie wordt verwezen naar paragraaf 1.5.1 waarineen Java-applet, die op de website is te vinden en aan dit onderwerp gewijd is,wordt besproken.

1.2 Diffractie

Diffractie is een ander bekend verschijnsel dat eveneens veroorzaakt wordt doorde superpositie van meerdere golven. Hoewel er in principe geen verschil istussen interferentie en diffractie, wordt de term diffractie meestal gebruikt wan-neer het een superpositie van een groot aantal golven betreft. Voor lichtgolvenis het, vanwege de korte golflengte, relatief moeilijk om effecten van diffractiewaar te nemen. Wanneer echter een laserbundel op een smalle spleet valt ishet gevolg van diffractie duidelijk waarneembaar. Op een scherm dat achter despleet is geplaatst ontstaat een zogenaamd diffractiepatroon of buigingspatroon.In figuur 1.3 is het diffractiepatroon van een spleet afgebeeld.

Fig. 1.3: Diffractiepatroon van een spleet (bron: [1]).

Diffractiepatronen kunnen beschreven worden met behulp van het principe vanHuygens. Volgens dit principe moeten alle punten van het golffront gezien wor-den als een puntbron van een nieuwe (secundaire) golf. Door superpositie van de

4 Theorie

bijdragen van alle afzonderlijke bronnen kan op deze manier de amplitude vanhet secundaire golffront worden bepaald. Dit verschijnsel wordt gedemonstreerdin de diffractie-applet die eveneens op de website staat (zie paragraaf 1.5.2).

Het type diffractie dat optreedt wanneer de afstanden bron-object en object-scherm groot zijn wordt Fraunhofer-diffractie genoemd. Bij Fraunhofer-diffrac-tie zijn deze afstanden zo groot dat de golffronten benaderd kunnen wordenmet vlakke golven, wat de analyse van dit probleem een stuk eenvoudigermaakt. Zijn de afstanden kleiner dan spreken we over Fresnel-diffractie. Deanalyse van een Fresnel-diffractie patroon is algemeen geldig, maar is een stukingewikkelder aangezien er rekening moet worden gehouden met de krommingvan het golffront. Een wiskundige analyse van dit probleem wordt gegevenin paragraaf 1.4.2 over Fresnel-diffractie aan een spleet. Een meer kwalitatievebeschrijving van dit probleem kun je vinden in paragraaf 1.4.1 waarin de Cornu-spiraal wordt geıntroduceerd.

1.3 Fraunhofer-diffractie

Fig. 1.4: Een coherente lijn-bron.

Van Fraunhofer-diffractie is sprake wan-neer de lichtbundel die gebroken wordtbeschreven kan worden door vlakke gol-ven. Om het diffractie-patroon van eenbuigingsobject als gevolg van Fraunhofer-diffractie te berekenen, moet men eerst desituatie beschouwen zoals die geschetst isin figuur 1.4. Op een spleet met lengte D,waarvan de breedte veel kleiner is dan degolflengte λ, valt een lichtbundel. Door-dat we de maken hebben met vlakke gol-ven, is de lijnbron coherent. Als we devariabele EL definieren als de bronsterkteper eenheidslengte, kunnen we de bijdrage van het differentiaal-segment dy aanhet elektrische veld in het punt P als volgt opschrijven:

dE =ELR

sin (ωt− kr) dy. (1.3)

Om de variabele r uit deze vergelijking te elimineren wordt de volgende expansietoegepast:

r = R− y sin θ +(y2/2R

)cos2 θ + . . . . (1.4)

Voor voldoende grote waarde van R kan alles vanaf de derde term wordenverwaarloosd. Na substitutie van de eerste twee termen van vergelijking 1.4 in

1.3 Fraunhofer-diffractie 5

vergelijking 1.3 en het nemen van de integraal over de gehele lijnbron wordt devolgende uitdrukking gevonden:

EP =ELR

∫ +D/2

−D/2sin [ωt− k (R− y sin θ)] dy , (1.5)

en tenslotte:

EP =ELDR

sin [(kD/2) sin θ](kD/2) sin θ

sin (ωt− kR) . (1.6)

Door de variabele β = (kD/2) cos θ in te voeren kan deze uitdrukking wordenvereenvoudigd tot:

EP =ELDR

(sinββ

)sin (ωt− kR) . (1.7)

Gekwadrateerd en geıntegreerd over de tijd levert dit een uitdrukking voor hetintensiteitsprofiel:

I(θ) = I(0)(

sinββ

)2

= I(0) sinc2 β . (1.8)

Fig. 1.5: De sinc-functie.

De vorm van de sinc-functiestaat afgebeeld in figuur 1.5.Merk op dat omdat β =(πD/λ) sin θ, de intensiteitzeer snel afneemt als θ af-wijkt van nul in het gevaldat D � λ. Als despleetlengte D bijvoorbeeldin het centimeter-regime ge-kozen wordt, kunnen de gol-ven die door de spleet wordenuitgezonden dus worden beschreven als circulaire golven in het xz-vlak. Omnu het Fraunhofer-diffractie-patroon van een buigingsobject dat zich in het yz-vlak bevindt, zoals een spleet, te kunnen beschrijven, kunnen we dat objectbeschouwen als zijnde opgebouwd uit een oneindig grote reeks infinitesemalespleten. Deze spleten kunnen op hun beurt worden beschouwd als coherentepuntbronnen die zich op een rechte lijn bevinden en licht uitzenden in het xz-vlak. Het oorspronkelijke 3-dimensionale probleem is dus gereduceerd tot een2-dimensionaal probleem.

6 Theorie

1.3.1 Fraunhofer-diffractie aan een spleet

Om het Fraunhofer-diffractie-patroon van een smalle spleet te berekenen ge-bruiken we de bevindingen uit de vorige paragraaf. Het probleem is gere-duceerd tot een 2-dimensionaal probleem, waarin een spleet van dikte B kanworden beschouwd als een coherente lijnbron van lengte B (zie figuur 1.6).

Fig. 1.6: Fraunhofer-diffractieaan een spleet. De spleet kanworden voorgesteld als een co-herente lijnbron in een twee-dimensionale ruimte.

Als we figuur 1.4 vergelijken met fi-guur 1.6 zien we opvallend veel overeen-komsten. Het belangrijkste verschil is datde afmeting van de lijnbron in de eerstesituatie (orde-grootte: centimeter) veelgroter is dan in de tweede situatie (orde-grootte: een tiende millimeter). De aflei-ding voor een uitdrukking voor de inten-siteit I in het punt P als functie vande hoek θ is exact zoals gegeven in devorige paragraaf, behalve dat de waardevan β′ = (πB/λ) sin θ een stuk mindergroot is voor θ 6= 0 en de intensiteit daardoor een stuk minder snel afvalt alsfunctie van de hoek θ. De intensiteit als functie van θ voldoet dus aan defunctie:

I(θ) = I(0) sinc2 β′ (1.9)

Fig. 1.7: Fraunhofer diffractiepatroonvan een spleet (bron: [1]).

en levert in de z-richting een bui-gingspatroon op dat staat afge-beeld in figuur 1.7. Vanwege hetfeit dat in de Fraunhofer-analysealle golffronten worden beschrevenals vlakke golven, moet er, omhet buigingspatroon zichtbaar temaken, op enige afstand achter hetbuigingsobject een positieve lens geplaatst worden met in het brandvlak eenprojectiescherm of detector.

1.4 Fresnel diffractie

Licht gegenereerd door een monochromatische bron in punt S valt op het bui-gingsobject A geplaatst op afstand r′. Om nu het diffractiepatroon in punt Pop afstand r van het buigingsobject te berekenen maken we gebruik van het

1.4 Fresnel diffractie 7

Fig. 1.8: Fresnel-diffractie aaneen rechthoekige opening (bron:[2]).

principe van Huygens. Volgens hetprincipe van Huygens kan iedere openingin dat object gezien worden als een brondie een secundair golffront genereert. Heteffect van al deze secundaire golffron-ten kunnen worden meegenomen door devolgende oppervlakte-integraal te bereke-nen:

Ep = Es

∫∫A

1rr′

eik(r+r′)da . (1.10)

Deze formule is niet helemaal correct. Ten eerste wordt hier geen rekeninggehouden met de fase-verschuiving van de secundaire golffronten ten opzichtevan de primaire golffronten van π/2. Ten tweede is voor het berekenen vanhet diffractie patroon volgens het principe van Huygens van groot belang hoede golf zich vanuit de nieuwe puntbron voortplant. In eerste instantie zou jemisschien verwachten dat de amplitude van de secundaire golf even groot is inalle richtingen. Dit zou echter betekenen dat er een golf in tegengestelde richt-ing wordt gecreeerd, een verschijnsel dat nooit experimenteel is waargenomen.Om de richtingsafhankelijkheid van de secundaire bron in rekening te brengen,introduceren we de “obliquity factor” F (θ). Fresnel definieerde deze functie als

F (θ) =12

(1 + cos θ) . (1.11)

Nemen we de faseverschuiving en deze obliquity factor mee dan vinden we deFresnel-Kirchhoff buigingsformule

Ep =−ikEs

2π

∫∫AF (θ)

1rr′

eik(r+r′)da . (1.12)

Aangezien de afmetingen van het object waaraan diffractie plaatsvindt meestalklein zijn ten opzichte van de afstanden tussen bron, object en detector, kande factor 1

rr′ vaak als constante worden beschouwd en de de obliquity factorweggelaten worden. Als alle constanten bovendien samen worden gevoegd toteen constante C houden we een vereenvoudigde vorm van de Fresnel-Kirchoffformule over:

Ep = C

∫∫Aeik(r+r′)da . (1.13)

1.4.1 Fresnel-diffractie aan een spleet

Voordat we in de volgende paragraaf de vereenvoudigde vorm van de Fresnel-Kirchoff buigingsformule (vergelijking 1.13) zullen gebruiken om het diffrac-

8 Theorie

Fig. 1.9: Fresnel-diffractie aan een spleet. Zowel de monochromatische lijnbronS als de spleet zijn verticaal georienteerd en van boven getekend.

tiepatroon van een spleet te berekenen, geven we eerst een kwalitatieve beschrij-ving van het probleem. Daartoe introduceren we eerst een wat eenvoudigeregeometrie dan gekozen in figuur 1.8. In figuur 1.9 is de verticale spleet (breedte:B) van boven getekend. Verder is de puntbron uit figuur 1.8 vervangen dooreen lijnbron, wat ervoor zorgt dat de golffronten cilindervormig in plaats vanbolvormig zijn. Vanaf bladzijde 453 van Hecht [1] wordt aangetoond dat eenpuntbron i.p.v. een lijnbron tot vrijwel hetzelfde resultaat leidt.

Volgens het principe van Huygens kunnen alle punten op het cilindrischegolffront in de spleet worden beschouwd als coherente secundaire puntbronnen.Zoals in figuur 1.9 te zien is, is de afgelegde weg van het licht dat via het puntO, aan de zijkant van de spleet, het scherm bereikt groter dan het licht datrechtdoorgaat. De faseverschuiving die dat met zich meebrengt zorgt uitein-delijk voor een diffractiepatroon op het scherm. Om dit verschijnsel kwalitatiefte beschrijven, kunnen we het cilindrische golffront verdelen in zogenaamde‘Fresnel halve-periode zones’. Deze smalle strips zijn zodanig opgebouwd, datde fase van het licht dat afkomstig is van de ene kant van de strip exact eenhalve periode (π) verschilt van het licht dat afkomstig is van andere kant vande strip. Dit is geıllustreerd in figuur 1.10.

Deze halve-periode zones kunnen natuurlijk ook weer worden verdeeld in N

sub-zones, waarbij het licht van elke opeenvolgende sub-zone een faseverschilheeft van π/N ten opzichte van de zone ernaast. Het optellen van het lichtuit de verschillende sub-zones die samen bijdragen tot het licht dat in punt Pop het scherm wordt gemeten, kan worden gezien als een vector-optelling. Debijdrage van elke subzone kan dan worden weergegeven in een fase-vlak als eenfasor: een vector waarvan de richting en de grootte respectievelijk de fase ende amplitude representeren van het licht afkomstig van de betreffende sub-zone(zie figuur 1.11). De fasoren in het eerste quadrant corresponderen met zones

1.4 Fresnel diffractie 9

Fig. 1.10: Fresnel halve-periode strip zones op een cilindrisch golffront gezienvan opzij (a) en van voren (b).

boven de as in figuur 1.10, die uit het derde quadrant met zones beneden deas. De fasoren die corresponderen met naast elkaar liggende sub-zones liggenin het fasediagram kop-staart aan elkaar. Hierdoor is de fasor van een grootaantal naast elkaar liggende zones in het fasediagram eenvoudig af te lezen.In de figuur staat bijvoorbeeld de fasor behorende bij de eerste halve-periodezone (A1) en de eerste hele-periode zone (A2) afgebeeld. De intensiteit wordtberekend door de amplitude te kwadrateren. Wanneer van het aantal sub-zones waarin de halve-periode zones worden verdeeld (N) de limiet naar ∞wordt genomen, ontstaat een mooie, gladde spiraal die de Cornu-spiraal wordtgenoemd. Hierop wordt later teruggekomen.

1.4.2 Berekening van het Fresnel-buigingspatroon van een spleet

We zullen nu de vereenvoudigde vorm van de Fresnel-Kirchoff buigingsformule(vergelijking 1.13) gebruiken om het buigingspatroon van een spleet te bereke-nen. We gaan hiervoor uit van de geometrie die werd geıntroduceerd in fi-guur 1.9.

Een monochromatische lichtbron (lijnbron) S is geplaatst op afstand p vande spleet. Op een afstand q achter de spleet staat een scherm waarop hetbuigingspatroon wordt geprojecteerd. Voor z � p en z � q geldt dat deoptische weglengte r + r′ kan worden benaderd door:

r + r′ ≈ p+ q +(

1p

+1q

)z2

2= D +

z2

2L, (1.14)

waarin D ≡ p+ q en 1L ≡

1p + 1

q . Als de spleet nu wordt opgedeeld in infinitesi-male strips met breedte dz en lengte W , kan vergelijking 1.13 als volgt worden

10 Theorie

Fig. 1.11: Fasor-diagram waarin elke halve-periode Fresnel zone strips, elk on-derverdeeld in acht kleinere sub-zones met onderling gelijke faseverschillen. Dezogenaamde “fasoren” worden bij toenemende fase steeds kleiner omdat de cor-responderende zones op het golffront een steeds kleiner oppervlak krijgen endus een kleinere bijdrage leveren. De fasor A1 geeft de bijdrage van de eerstehalve-periode Fresnel zone aan, A2 die van de eerste twee. Als de bijdrage vanalle Fresnel-zones boven de as zouden worden meegenomen (halfvlak), zou decurve uiteindelijk convergeren naar het punt E. In de diffractie-applet (zie para-graaf 1.5.2 en de website) staat een demonstratie van het optellen van fasoren,waarbij het golffront, in tegenstelling tot de figuur, verdeeld is in gelijke parten.

omgeschreven:

EP = CWeikD∫ +B

2

−B2

eikz2/2Ldz . (1.15)

In de literatuur definieert men een nieuwe variabele ν = z√

2Lλ . Uitgedrukt in

deze nieuwe variabele is de magnitude van Ep te schrijven als:

|EP | = CW

∣∣∣∣∫ ν2

ν1

Lλ

2eiπν

2/2dz∣∣∣∣ . (1.16)

Hierin zijn de integratiegrenzen ν1 = −∆ν2 en ν2 = +∆ν

2 met ∆ν = B√

2Lλ .

Met behulp van het theorema van Euler en het samenvoegen van een aantal

1.4 Fresnel diffractie 11

constanten kunnen we dit schrijven als

|EP | = Eu

∣∣∣∣∫ ν2

ν1

cos(πν2

2

)dν + i

∫ ν2

ν1

sin(πν2

2

)dν∣∣∣∣ , (1.17)

waarin Eu = CWLλ/2. Aangezien de intensiteit evenredig is met |Ep|2 kunnenwe deze schrijven als:

IP ∼[∫ ν2

ν1

cos(πν2

2

)dν]2

+[∫ ν2

ν1

sin(πν2

2

)dν]2

(1.18)

Fig. 1.12: Fresnel-diffractie aan een spleet. Bepaling van de intensiteit op hetpunt R.

Om nu de intensiteit te berekenen in R, een punt dat niet op het midden van hetscherm ligt (zie figuur 1.12), kiezen we in plaats van SP de lijn SR als centralestraal. De variable z loopt in de spleet nu van

(−B

2 −pδp+q

)naar

(+B

2 −pδp+q

),

waarbij δ de afstand van R tot het midden van het scherm is. Omgeschreven inde dimensieloze variable ν worden de integratiegrenzen nu ν1 =

(−∆ν

2 − ρ)

en

ν2 =(+∆ν

2 − ρ)

met ρ = δ√

2pqλ(p+q) . Op de grenzen na blijft vergelijking 1.18

ongewijzigd:

I(ρ) ∼[∫ ν2

ν1

cos(πν2

2

)dν]2

+[∫ ν2

ν1

sin(πν2

2

)dν]2

. (1.19)

De integralen die in deze vergelijking voorkomen noemen we de Fresnel-integra-len:

C (ν) =∫ ν

0cos(πν ′2

2

)dν ′ (1.20a)

S (ν) =∫ ν

0sin(πν ′2

2

)dν ′ . (1.20b)

Deze integralen kunnen niet analytisch worden opgelost, maar omdat ze alleenvan de variabele ν afhankelijk zijn, kunnen de numerieke oplossingen eenvoudigworden getabelleerd. Daar de integrands van de Fresnel-integralen even functies

12 Theorie

zijn (ν ′ komt immers alleen als kwadraat voor), geldt dat C(−ν) = −C(ν) enS(−ν) = −S(ν). Zodoende hoeven alleen de positieve waarden van ν te wordengetabelleerd (zie Tabel 1.1). De oplossingen van de Fresnel-integralen kunnenook grafisch worden weergegeven; dit wordt behandeld in de volgende paragraafover de Cornu-spiraal. Met behulp van de Fresnel-integralen kan het buigings-patroon van een spleet (vergelijking 1.19) als volgt worden omgeschreven:

I(ρ) ∼ [C(ν2)− C(ν1)]2 + [S(ν2)− S(ν1)]2 . (1.21)

1.4.3 De Cornu-spiraal

Aan het einde van de 19e eeuw ontwikkelde Marie Alfred Cornu een elegantemethode om een buigingspatroon te bepalen. Centraal in deze analyse staatde Cornu-spiraal, een grafische representatie van de in paragraaf 1.4.2 afgeleideFresnel-integralen.

Wanneer een parameterplot wordt gemaakt van de Fresnel-integralen, waar-bij C(ν) op de x-as wordt uitgezet en S(ν) op de y-as, ontstaat de Cornu-spiraal.De Cornu-spiraal staat afgebeeld in Figuur 1.13.

Fig. 1.13: De Cornu-spiraal. Op de x- en de y-as staan respectievelijk de func-ties C(ν) en S(ν) uitgezet. De parameter ν is langs de curve afgezet. (bron:[2])

Zoals ook al eerder is opgemerkt, is de Cornu-spiraal het limietgeval van het fa-sordiagram van figuur 1.11 voor infinitesimale fasoren. Laten we even teruggaannaar paragraaf 1.4.2, waarin een uitdrukking werd afgeleid voor de intensiteit

1.4 Fresnel diffractie 13

Table 1.1: Numerieke oplossingen van Fresnel-integralen.

ν C(ν) S(ν) ν C(ν) S(ν) ν C(ν) S(ν)

0.00 0.0000 0.0000 3.00 0.6058 0.4963 5.50 0.4784 0.55370.10 0.1000 0.0005 3.10 0.5616 0.5818 5.55 0.4456 0.51810.20 0.1999 0.0042 3.20 0.4664 0.5933 5.60 0.4517 0.47000.30 0.2994 0.0141 3.30 0.4058 0.5192 5.65 0.4926 0.44410.40 0.3975 0.0334 3.40 0.4385 0.4296 5.70 0.5385 0.45950.50 0.4923 0.0647 3.50 0.5326 0.4152 5.75 0.5551 0.50490.60 0.5811 0.1105 3.60 0.5880 0.4923 5.80 0.5298 0.54610.70 0.6597 0.1721 3.70 0.5420 0.5750 5.85 0.4819 0.55130.80 0.7230 0.2493 3.80 0.4481 0.5656 5.90 0.4486 0.51630.90 0.7648 0.3398 3.90 0.4223 0.4752 5.95 0.4566 0.46881.00 0.7799 0.4383 4.00 0.4984 0.4204 6.00 0.4995 0.44701.10 0.7638 0.5365 4.10 0.5738 0.4758 6.05 0.5424 0.46891.20 0.7154 0.6234 4.20 0.5418 0.5633 6.10 0.5495 0.51651.30 0.6386 0.6863 4.30 0.4494 0.5540 6.15 0.5146 0.54961.40 0.5431 0.7135 4.40 0.4383 0.4622 6.20 0.4676 0.53981.50 0.4453 0.6975 4.50 0.5261 0.4342 6.25 0.4493 0.49541.60 0.3655 0.6389 4.60 0.5673 0.5162 6.30 0.4760 0.45551.70 0.3238 0.5492 4.70 0.4914 0.5672 6.35 0.5240 0.45601.80 0.3336 0.4508 4.80 0.4338 0.4968 6.40 0.5496 0.49651.90 0.3944 0.3734 4.90 0.5002 0.4350 6.45 0.5292 0.53982.00 0.4882 0.3434 5.00 0.5637 0.4992 6.50 0.4816 0.54542.10 0.5815 0.3743 5.05 0.5450 0.5442 6.55 0.4520 0.50782.20 0.6363 0.4557 5.10 0.4998 0.5624 6.60 0.4690 0.46312.30 0.6266 0.5531 5.15 0.4553 0.5427 6.65 0.5161 0.45492.40 0.5550 0.6197 5.20 0.4389 0.4969 6.70 0.5467 0.49152.50 0.4574 0.6192 5.25 0.4610 0.4536 6.75 0.5302 0.53622.60 0.3890 0.5500 5.30 0.5078 0.4405 6.80 0.4831 0.54362.70 0.3925 0.4529 5.35 0.5490 0.4662 6.85 0.4539 0.50602.80 0.4675 0.3915 5.40 0.5573 0.5140 6.90 0.4732 0.46242.90 0.5624 0.4101 5.45 0.5269 0.5519 ∞ 0.5000 0.5000

14 Theorie

als functie van de plaats in het buigingspatroon van een spleet. Wanneer je goedkijkt naar het rechterlid van deze uitdrukking (vergelijking 1.21), valt op dat ditexact overeenkomt met het kwadraat van de lengte van het lijnstuk tussen depunten (C(ν1), S(ν1)) en (C(ν2), S(ν2)), met ν1 en ν2 de onder- en bovengrensvan de integralen uit vergelijking 1.19. In figuur 1.14 staat gedemonstreerdhoe op deze manier het buigingspatroon van een spleet kan worden bepaald.Een uitgebreidere demonstratie van het toepassen van de Cornu-spiraal om eendiffractiepatroon te berekenen staat in de Java-applet die beschreven staat inparagraaf 1.5.3 en op de website te vinden is.

Fig. 1.14: Toepassing van de Cornu-spiraal. De Cornu-spiraal is gebruikt omhet buigingspatroon van een spleet te bepalen. Van vier punten op het buigings-patroon (links) is in de Cornu-spiraal (rechts) het corresponderende lijnstukgetekend. De intensiteit wordt verkregen door de lengtes van deze lijnstukkente kwadrateren.

1.4.4 Fresnel-diffractie aan andere objecten

In de voorgaande paragrafen werd steeds het buigingspatroon van een spleetbeschouwd. Dezelfde methoden die zijn gebruikt om buiging aan een spleet tebeschrijven, kunnen ook worden gebruikt om buiging aan andere voorwerpen,zoals een draad of een halfvlak, te beschrijven. Door een andere vorm vanhet buigingsobject, geven andere punten op het golffront een bijdrage tot hetintensiteitspatroon op het scherm. Mathematisch komt dit neer op aangepasteintegratie-intervallen of, in de grafische representatie, lijnstukken tussen anderepunten op de Cornu-spiraal die in beschouwing genomen moeten worden.

1.4 Fresnel diffractie 15

Fresnel-diffractie aan een draad

De afleiding van het intensiteitspatroon van een draad met dikte B is vrijwelhetzelfde als die van een spleet (paragraaf 1.4.2) behalve dat niet alle punten ophet interval−B/2 < z < +B/2 (punten in de spleet) in rekening moeten wordengebracht, maar alle punten daarbuiten. Hierdoor verandert vergelijking 1.19voor geval van een draad in:

I(ρ) ∼[∫ +∞

−∞cos(πν2

2

)dν −

∫ ν2

ν1

cos(πν2

2

)dν]2

+[∫ +∞

−∞sin(πν2

2

)dν −

∫ ν2

ν1

sin(πν2

2

)dν]2

,

(1.22)

waarbij de grenzen ν1 en ν2 op dezelfde manier gedefinieerd zijn als in vergelij-king 1.19. Aangezien de integralen met de integratieintervallen −∞ < ν < +∞exact 1 opleveren, vormen de integralen uit vergelijking 1.19 (spleet) en die uitvergelijking 1.22 (draad) precies elkaars complement. Dit geldt uiteraard nietvoor de intensiteit, die wordt verkregen door de integralen te kwadrateren envervolgens bij elkaar op te tellen. Uitgedrukt in de Fresnel-integralen wordtvergelijking 1.22:

I(ρ) ∼ [1− (C(ν2)− C(ν1))]2 + [1− (S(ν2)− S(ν1))]2 . (1.23)

Om met behulp van de Cornu-spiraal de intensiteit op een punt op het schermte bepalen, moet de lengte gekwadrateerd worden van het lijnstuk, dat de vec-toriele som is van de lijnstukken (−1/2, −1/2) - (C(ν1), S(ν1)) en (C(ν2), S(ν2))- (1/2, 1/2).

Fresnel-diffractie aan een halfvlak

In figuur 1.15 is het buigingsobject een halfvlak, een scherm dat loopt van−∞ < z < 0. Op dezelfde wijze als in paragraaf 1.4.2 kan een uitdrukkinggevonden worden voor de intensiteit als functie van de plaats op het scherm. Hetenige verschil met de uitdrukking voor de spleet 1.19 zijn de integratiegrenzen:ν1 = −ρ en ν2 = ∞ met opnieuw ρ = δ

√2p

qλ(p+q) . Verder is de uitdrukkinghetzelfde als voor het geval van de spleet:

I(ρ) ∼[∫ ν2

ν1

cos(πν2

2

)dν]2

+[∫ ν2

ν1

sin(πν2

2

)dν]2

. (1.19)

Uitgedrukt in de Fresnel-integralen wordt het buigingspatroon van een halfvlak:

I(ρ) ∼[

12− C(−ρ)

]2

+[

12− S(−ρ)

]2

. (1.24)

16 Theorie

Fig. 1.15: Fresnel-diffractie aan een halfvlak.

Het buigingspatroon van een halfvlak bepalen met behulp van de Cornu-spiraalis relatief eenvoudig. Het lijnstuk, waarvan de lengte gekwadrateerd moet wor-den om de intensiteit te bepalen, loopt nu altijd tot het punt (C(∞), S(∞)),ofwel (1/2, 1/2).

Fresnel-diffractie aan overige objecten

Natuurlijk zijn er ook nog diverse variaties op de besproken objecten mogelijk.Een tralie, bijvoorbeeld, kan gezien worden als een grote reeks spleten (ofdraden) die zich op gelijke afstand van elkaar bevinden. Om hiervan het bui-gingspatroon te berekenen moet per punt op de intensiteitskromme een grotereeks lijnstukjes tussen punten uit de Cornu-spiraal vectorieel bij elkaar opgeteldworden om de lengte van de resulterende som vervolgens te kwadrateren. Hetmoge duidelijk zijn dat dit een ondoenlijk karwei is om met de hand uit te vo-eren. In hoofdstuk 2 over het experiment staat beschreven hoe het diffractiepa-troon met behulp van het analyse-progrogramma op de website automatischkan worden berekend voor diverse buigingsobjecten.

1.5 Applets op de website

In de laatste paragraaf van het theorie-hoofdstuk wordt een beschrijving gegevenvan de drie applets die te vinden zijn op het theorie-gedeelte van de website. Indeze drie applets is getracht om alle relevante fysische begrippen die bij Fresnel-diffractie om de hoek komen kijken op een inzichtelijke manier te presenteren.

1.5.1 Applet 1: Interferentie

In de eerste applet wordt afgebeeld hoe twee coherente bronnen golven produc-eren die met elkaar interfereren en staat afgebeeld in figuur 1.16. De lokatie

1.5 Applets op de website 17

Fig. 1.16: Interferentie-applet.

waarop een denkbeeldige waarnemer zich bevindt, is aangegeven met een dikkezwarte stip en kan met behulp van de muis over het scherm worden versleept.Met behulp van een drietal schuifregelaars kunnen de frequentie, golflengte enonderlinge afstand van de twee bronnen worden ingesteld.

De grafiek rechtsboven geeft het tijdsverloop weer van de golven ter plaatsevan de waarnemer, waarbij de rechteruiteinden van de curves corresponderenmet het huidige tijdstip. Rechtsonder staan, alleen voor het huidige tijdstip, degolven ter plaatse van de waarnemer weergegeven in de vorm van fasoren, vec-toren waarvan de lengte de amplitude vertegenwoordigt en waarvan de richtingde fase vertegenwoordigt. Merk op dat op het moment dat het screenshot werdgemaakt er net een golffront afkomstig van bron 1 bij de waarnemer arriveerde.In de grafiek rechtsboven is dit te zien doordat golf op dit moment op zijn max-imum zit en op het punt staat weer een volgende cosinus af te leggen. In hetfasordiagram, rechtsonder, is dit ook te zien doordat de fasor, die met de golfafkomstig van bron 1 correspondeert, naar rechst wijst hetgeen betekent dat defase 0 is. De weglengte van bron 1 tot de waarnemer is iets korter dan de we-glengte van bron 2 tot de waarnemer waardoor de golf afkomstig van bron 2 infase ongeveer 3

4π achterloopt op bron 1. Dit is goed te zien in het fasordiagram,wanneer je bedenkt dat de fasoren tegen de klok in roteren.

18 Theorie

1.5.2 Applet 2: Diffractie

Fig. 1.17: Diffractie-applet.

De tweede applet (zie figuur 1.17) laat zien hoe een spleet op zekere afstandvan een puntbron kan worden beschouwd als een reeks secundaire bronnetjeswaarvan de frequentie gelijk is aan die van de (primaire) bron en waarvan de faseafhankelijk is van de afstand tot de (primaire) bron. Rechtsboven is getekendhoe het interferentiepatroon als gevolg van de reeks denkbeeldige secundairebronnetjes eruit zou zien. Een denkbeeldige waarnemer bevindt zich op hetscherm op de plaats die op het geplotte patroon is aangegeven met een groenehorizontale lijn. De waarnemer kan worden verplaatst door die groene lijn metde muis te verslepen. Verder kunnen de intensiteitsgevoeligheid van het scherm,de frequentie en golflengte van de bron, de breedte van de spleet en het aantalsecundaire bronnen dat in de spleet wordt geplaatst met behulp van de vijfschuifregelaars worden ingesteld.

In de figuur is goed te zien dat van de vijf secundaire bronnen de middelste(sec. bron 3) in fase het meest voorop loopt. De fasoren lopen immers tegen deklok in (hetgeen overeenkomt met in de tijd toenemende fase) en de middelstefasor is het meeste linksom gedraaid. Dit is logisch, aangezien de afstand van de(primaire) bron tot de middelste secundaire bron het kleinst is en een golffrontafkomstig van de bron het eerste arriveert in het midden van de spleet. Hoe

1.5 Applets op de website 19

korter de afstand tot de bron, hoe kleiner de fase, of in formulevorm:

φ(r) = φ(0)− 2πr

λ, (1.25)

waarin r de afstand tot de (primaire) bron, φ(r) de fase op afstand r van debron en λ de golflengte is.

Van de fasoren ter plaatse van de waarnemer (zie de twee fasor-diagrammenlinksonder in de figuur) heeft niet degene afkomstig van secundaire bron 3,maar die afkomstig van secundaire bron 2 de grootste fase. Ook dit is logisch,omdat de kortste route van de bron naar de waarnemer via secundaire bron 2is. In het linkerfasordiagram worden de fasoren ter plaatse van de waarne-mer vectorieel bij elkaar opgeteld vanuit de oorsprong te beginnen bij de fasorafkomstig van secundaire bron 1. Net als de fasoren die de primaire bron en desecundaire bronnen representeren, draaien de fasoren in het linkerfasordiagramtegen de klok in. De faseverschillen tussen de vijf fasoren in het diagram zijnechter onafhankelijk van de absolute fase, met andere woorden: de orientatievan de fasoren ten opzichte van elkaar verandert niet. Aangezien de intensiteitevenredig is met het kwadraat van de amplitude en de amlitude gelijk is aan desom der fasoren, maakt het voor het intensiteitspatroon niet uit wat de absolutefase is. Het kwadraat van een vector is immers het kwadraat van zijn lengte. Inhet rechterfasordiagram zijn de fasoren uit het linkerfasordiagram zodanig gero-teerd en getransleerd, dat de fasor die overeenkomt met de rechtdoor-gaandestraal (in dit geval dus fasor 2) fase=0 heeft en bovendien rond de oorsprongligt. Wanneer het aantal fasoren en de afmeting van de spleet zeer groot wordengenomen (omdat de spleet in de applet slechts een beperkte breedte kan wordentoegewezen, kan dit laatste bereikt worden door de golflengte klein te kiezen:ook dan is de spleet - relatief ten opzichte van de golflengte - zeer groot) ontstaateen mooie gladde dubbele spiraal die in de volgende paragraaf geıntroduceerdwordt als de Cornu-spiraal. Merk op dat de lengte van de som van de fasorenin het rechterdiagram inderdaad even groot is als in het linkerdiagram.

1.5.3 Applet 3: De Cornu-spiraal

In de tweede applet (zie vorige paragraaf) ontstond in het fasor-diagram onderbepaalde voorwaarden een dubbele spiraal waarvan al even kort werd gezegddat het de Cornu-spiraal betrof. In de applet die in deze paragraaf wordt be-sproken (zie figuur 1.18) is de benadering precies omgekeerd: de Cornu-spiraal,waarvan de gegevens in de vorm van een grote tabel in de computer staanopgeslagen (een uitgebreidere versie van tabel 1.1), wordt gebruikt om diffrac-tiepatronen van spleten, draden en halfvlakken te berekenen. Net als in devorige applet kan een denkbeeldige waarnemer, die zich op het scherm bevindt,

20 Theorie

Fig. 1.18: Cornu-spiraal-applet.

worden verplaatst door de groene lijn, die zijn positie aangeeft, in verticalerichting over het patroon te verslepen. Parameters die de vorm van het bui-gingsobject definieren (type object, afmeting object, aantal objecten, onderlingeafstand tussen objecten) en die de geometrie van de opstelling definieren (af-stand bron-buigingsobject, afstand buigingsobject-scherm) kunnen met behulpvan een aantal schuifregelaars (linksonder) worden ingesteld.

Vanuit een wiskundig perspectief moet de Cornu-spiraal worden gezien alseen parametervoorstelling van de Fresnel-integralen (zie paragraaf 1.4.2). Fy-sisch kan de Cornu-spiraal worden beschouwd als de fasoroptelling, zoals wedie in de vorige paragraaf zagen, voor een oneindig brede spleet en infinitese-male fasoren. Er wordt een optische as gedefinieerd die loopt door zowel debron als de waarnemer. Het punt waarin deze optische as het buigingsobject(draad/spleet/halfvlak) snijdt, correspondeert met de oorsprong in de Cornu-spiraal. Punten die in het buigingsobject boven de optische as liggen corre-sponderen met punten op de Cornu-spiraal die in het eerste kwadrant liggen(x = C(ν) > 0, y = S(ν) > 0) en punten die in het buigingsobject benedende optische as liggen, corresponderen met punten op de Cornu-spiraal in hetderde kwadrant (x = C(ν) < 0, y = S(ν) < 0). Voor elke set parameters(positie op buigingsobject, positie op scherm, afstand bron-buigingsobject, af-stand buigingsobject-scherm) kan een eenduidige waarde worden berekend voorde gegeneraliseerde coordinaat ν die in figuur 1.13 langs de Cornu-spiraal staatuitgezet (zie paragraaf 1.4.2. Merk op dat in deze applet op het moment van

1.5 Applets op de website 21

de screenshot het buigingspatroon van een draad werd berekend en niet, zoalsin de vorige applet, dat van een spleet. Dit heeft als consequentie dat voor hetberekenen van de amplitude twee fasoren bij elkaar moeten worden opgeteld:een voor het licht dat de draad aan de bovenkant passeert en een voor het lichtdat de draad onderlangs passeert. Ook wanneer de amplitude van een reeksvan spleten (of draden) wordt berekend, moeten meerdere fasoren afkomstiguit de Cornu-spiraal bij elkaar worden opgeteld. Dit gebeurt in het diagramrechtsonder.

Hoofdstuk 2

Experiment

In dit hoofdstuk wordt uitgelegd hoe de experimentele opstelling in elkaar zit(paragraaf 2.1) en hoe die aangestuurd kan worden met behulp van de soft-ware die op de website beschikbaar is (paragraaf 2.2). De informatie die in dithoofdstuk staat, is in iets beknoptere vorm ook op de website te lezen.

2.1 Experimentele opstelling

Fig. 2.1: Experimentele opstelling. De dikke pijlen geven aan welke onderdelenvan afstand kunnen worden bewogen.

De opstelling die voor het diffractie-experiment beschikbaar is, staat afgebeeldin figuur 2.1. In de berekeningen aan Fresnel-diffractie die zijn gepresenteerdin hoofdstuk 1, werd steeds uitgegaan van een puntvormige, monochromatischelichtbron. Een puntvormige lichtbron is moeilijk te realiseren, maar kan wordennagebootst met behulp van een laser en een ruimtelijk filter. Een ruimtelijk filterbestaat uit een sterk convergerende lens met in het brandpunt een pinhole (indit geval ∅ = 30 µm). Alleen wanneer een perfecte parallelle bundel op een

24 Experiment

Fig. 2.2: De optische weglengte van de lichtstraal die aan de zijkant van eenlens invalt en wordt gebroken richting het brandpunt is gelijk aan die van delichtstraal die rechtdoor gaat. Weliswaar is de absolute lengte groter, maardoordat een kleinere afstand door het glas (grotere brekingsindex dan lucht)wordt afgelegd is de optische weglengte gelijk.

ideale lens valt, zullen alle lichtstralen vervolgens precies door een punt, hetbrandpunt van de lens, gaan zodat het lijkt alsof dat punt een puntbron is.Door een pinhole in het brandpunt te plaatsen worden alle lichtstralen die nietdoor het brandpunt gaan (als gevolg van het niet ideaal zijn van de lichtbron ofde lens) tegengehouden, zodat ook in niet ideale omstandigheden een puntbronhet resultaat is. De puntbron is coherent omdat de optische weglengte voor allestralen door de lens naar het brandpunt gelijk is (zie figuur 2.2).

Door een carrousel met 8 verschillende buigingsobjecten (enkele spleet, dub-bele spleet, draad, halfvlak, etc.) te draaien kan het object, waaraan diffractiemoet plaatsvinden, worden geselecteerd. Het object kan tussen het ruimtelijkfilter en de detector verplaatst worden langs de laserbundel. Op deze manierkunnen p (afstand tussen ruimtelijk filter en voorwerp) en q (afstand tussenobject en detector) ingesteld worden, maar blijft q + p onveranderd (voor deexacte afstand wordt verwezen naar de website). De plaats van het voorwerpkan worden afgelezen met een webcam die langs een een liniaal beweegt. Hoede carrousel met objecten kan worden geroteerd en verplaatst en hoe de beeldenvan de webcams kunnen worden bekeken staat uitgelegd in paragraaf 2.2.

De detectie van het interferentiepatroon vindt plaats met een fotodiode.Een smalle spleet (breedte ongeveer 0,2 mm) is voor de fotodiode geplaatstom slechts een smalle lichtbundel te selecteren ten behoeve van een zo hoogmogelijke resolutie. De fotodiode en de spleet kunnen worden verplaatst in derichting loodrecht op de laserbundel. Hoe de detector verplaatst en uitgelezenwordt staat wederom uitgelegd in de volgende paragraaf.

Met behulp van een aantal webcams kan de opstelling worden bekeken. Eenwebcam is gericht op de carrousel met objecten, een is er gericht op de detectoren een (niet in de tekening opgenomen) is gemonteerd op de verplaatsbarecarrouselhouder en is gericht op een stilstaande liniaal waarvan de afstand p

2.2 Besturing van de experimentele opstelling 25

afgelezen kan worden. Meer hierover is te lezen in paragraaf 2.2.2.

2.2 Besturing van de experimentele opstelling

Om te beschikken over de opstelling moet de procedure worden uitgevoerd diestaat uitgelegd in de appendix. Wanneer succesvol is ingelogd op het experimentverschijnt het Meet-controlescherm dat staat afgebeeld in figuur 2.3. Bovenaanhet scherm zie je dat het programma is opgebouwd uit drie tab-bladen: Meet,Bereken, Exp. parameters. Het Meet-, en het Exp. parameters-tabblad zullenin dit hoofdstuk aan de orde komen. Met het Bereken-tabblad kunnen de geme-ten data (al tijdens het meten) worden geanalyseerd. Dit wordt in hoofdstuk 3besproken.

2.2.1 ‘Meet’-tabblad

Fig. 2.3: Meet-tabblad.

Op de balk met de schaalverdeling bovenaan het scherm kan de positie van dedetector worden ingesteld en afgelezen. De rode pijl geeft de huidige positieweer van de detector; de gele pijl, die met de muis kan worden verschoven, geeftzijn bestemming weer. Door op de ’VERPLAATS NAAR’-knop te drukken,beweegt de detector naar zijn bestemming toe.

De door de detector waargenomen lichtintensiteit staat links afgebeeld.Door op de ’MEET’-knop te drukken, wordt de lichtintensiteit gemeten ter-wijl de detector (rode pijl) in stapjes ter grootte van ’Stapgrootte’ naar zijnbestemming (gele pijl) beweegt. Het resterende aantal meetpunten dat de scannog duurt wordt ook afgebeeld. De gemeten data worden grafisch weergegevenin het grote zwarte vlak rechtsonder en kunnen als spreadsheet-bestand naar je

26 Experiment

toe gemaild worden door op de ’EXP. DATA OPSTUREN’-knop te drukken.Bedenk dat een kleine stapgrootte het buigingspatroon fraai weergeeft, maarten koste gaat van de scansnelheid. Probeer daarom altijd vantevoren in teschatten wat een verstandige keuze is voor de stapgrootte.

De gemeten data kunnen worden geanalyseerd door naar het ‘Bereken’-tabblad te gaan. Dit wordt in hoofdstuk 3 besproken.

2.2.2 ‘Experimentele parameters’-tabblad

Fig. 2.4: Exp. parameters-tabblad.

Op dit tabblad kan een van de acht buigingsobjecten, die zich in de carrouselbevinden, in de bundel worden geplaatst. Een object wordt gekozen door op deafbeelding van het object te klikken (linksboven) en uit het menu dat verschijntde afbeelding van het gewenste object te selecteren. Ook de lokatie van hetobject kan op dit tabblad worden ingesteld. Hiertoe moet het zwarte balkjelangs de horizontale schuifbalk onderaan het scherm worden verschoven. Doorvervolgens op de ‘verplaats naar’-knop te drukken, beweegt het object naar zijnnieuwe lokatie. Het object kan slechts binnen een beperkt bereik worden ver-plaatst (van ongeveer 5 tot 30 centimeter tot het ruimtelijk filter). De opstellingkan tijdens het experimenteren met behulp van drie webcams worden bekeken.Rechtsboven kan een van de drie webcams worden geselecteerd en worden dedoor de geselecteerde webcam geregistreerde beelden vervolgens weergegeven.Camera 1 staat gericht op de liniaal waarlangs de carrousel beweegt, camera 2op de laser, het ruimtelijk filter en de carrousel met de objecten en camera 3,tenslotte, op de detector. De beelden kunnen in twee verschillende afmetingenworden weergegeven. De gekozen afmeting heeft gevolgen voor de frequentiewaarmee de beelden worden ververst.

Hoofdstuk 3

Analyse

Het in het vorige hoofdstuk besproken software-pakket waarmee de opstellingkan worden bestuurd en waarmee data kunnen worden verkregen, geeft ook demogelijkheid om de verkregen data te analyseren. In dit hoofdstuk wordt dezemogelijkheid besproken. Hoewel ook op de website uitleg wordt gegeven overhet gebruik van de analyse-mogelijkheden van de website, verdient het tochaanbeveling dit hoofdstuk goed te bestuderen. Behalve uitleg over hoe dezesoftware gebruikt kan worden, wordt er namelijk ook achtergrondinformatiegegeven over welke methoden in de software gebruikt worden, bijvoorbeeld omdiffractiepatronen uit te rekenen.

3.1 Vergelijken gemeten data met theorie

Fig. 3.1: Bereken-tabblad.

Wanneer een buigingspatroon is gemeten (zie paragraaf 2.2.1) kan het worden

28 Analyse

geanalyseerd door naar het ‘Bereken’-tabblad, dat is weergegeven in figuur 3.1,te gaan.

In het gele gedeelte aan de rechterzijde van het scherm kunnen allerlei pa-rameters worden ingesteld die nodig zijn om het buigingspatroon te bereke-nen. Het bovenste blok heeft betrekking op parameters die het buigingsobjectdefinieren. Het type object kan worden ingesteld (draad/spleet/halfvlak) envoor de draad en de spleet de afmeting ervan. Bovendien kan ook het buigings-patroon berekend worden van een reeks identieke spleten of draden die zich opgelijke afstand van elkaar bevinden. In het blok daaronder kunnen de afstandlichtbron-object (p in figuur 1.9 op pagina 8) en de afstand lichtbron-detector(p+q in figuur 1.9) worden ingesteld. Bedenk dat in de experimentele opstellingde afstand lichtbron-detector vastligt en alleen het object verplaatst kan wor-den. In het derde gele blok kan de breedte van het te berekenen buigingspatroonworden ingesteld. Ook kan hier de ‘verticale schaalfactor’ worden ingesteld, defactor waarmee het totale berekende buigingspatroon wordt vermenigvuldigdvoordat het wordt geplot. Onderaan kan tenslotte ook de golflengte van debron, een He-Ne-laser, worden ingesteld.

Zowel het gemeten diffractiepatroon (blauw, indien er een patroon is geme-ten) als het berekende diffractiepatroon (rood) worden geplot in het wittegedeelte links. Links van en onder het witte vlak waar de buigingspatronenworden geplot bevinden zich schuifbalken, waarmee het berekende buigingspa-troon in beide richtingen kan worden verschoven, teneinde de beide patronenmet elkaar te doen overlappen. Zoals eerder vermeld kan het patroon in ver-ticale richting ook nog geschaald worden (‘verticale schaalfactor’). Deze off-sets en de schaalfactor worden geıntroduceerd omdat er geen rekening wordtgehouden met de exacte intensiteit van de lichtbron, de ijking van de detectoren de precieze lokatie van het centrum van zowel het buigingsobject als hetbuigingspatroon.

Door het indrukken van de ‘Chi squared’-knop (linksonder) wordt in hetnaastgelegen vakje de χ2-waarde afgebeeld voor het verschil tussen de gemetencurve en de berekende curve. Bovendien wordt, wanneer de knop is ingedrukt,in het berekende patroon in het zwart aangegeven op welke plaatsen een in-tensiteit is gemeten. Tussen de knop en de berekende waarde in, kan de on-nauwkeurigheid worden ingesteld die wordt gebruikt voor het berekenen van deχ2-waarde. Voor nadere informatie over de betekenis van de χ2-waarde en dewijze waarop deze waarde in het programma wordt berekend, wordt verwezennaar paragraaf 3.2.2, alwaar een toelichting wordt gegeven.

Rechtsboven, tenslotte, kunnen nog wat plotinstellingen worden ingevoerd,zoals de kleuren van de verschillende curves en het assenbereik.

3.2 Toelichting op de werking van de software 29

3.2 Toelichting op de werking van de software

In dit gedeelte wordt in het kort uitgelegd welke methoden door de analyse-software gebruikt worden om de diffractiepatronen van de verschillende typenvoorwerpen te berekenen (paragraaf 3.2.1) en om de afwijkingsmaat χ2 teberekenen (paragraaf 3.2.2).

3.2.1 Numerieke berekening van een diffractiepatroon

De wijze waarop het diffractiepatroon door het analyse-programma wordt bere-kend is volledig analoog aan de manier waarop dit probleem in de theorie (para-graaf 1.4.2 e.v.) werd behandeld. Centraal hierin staan de Fresnel-integralenC(ν) en S(ν), waarvan de oplossingen in hoofdstuk 1 werden gepresenteerd inde vorm van de Cornu-spiraal en in de vorm van een tabel. In het analyse-programma staan de oplossingen van beide Fresnel-integralen voor 0 < ν < 128opgeslagen in een tabel van 128.000 elementen met elk een precisie van tien cij-fers achter de komma. Alsof 1000 punten per eenheidsinterval nog niet genoegis, worden C(ν) en S(ν) voor elke ν die tussen twee punten in de tabel in zitlineair geınterpoleerd tussen die twee punten.

Om uitgaande van deze numerieke oplossingen van de Fresnel-integralendiffractiepatronen uit te rekenen worden allereerst alle parameters die op het‘Bereken’-tabblad in millimeters zijn ingevoerd omgerekend naar de gegene-raliseerde coordinaten ν (coordinaat op buigingsobject) en ρ (coordinaat opscherm). Op deze coordinaten wordt overgegaan door te vermenigvuldigen metde volgende constanten:

cz→ν =

√2 (p+ q)pqλ

(3.1a)

cδ→ρ =

√2p

qλ (p+ q), (3.1b)

waarin de variabelen dezelfde betekenis hebben als in figuur 1.9 op pagina 8.Uit de waarde die op het ‘Bereken’-tabblad is ingevoerd voor ‘Patroonbreedte’wordt berekend binnen welk domein van ρ de intensiteit moet worden berekend.De intensiteit wordt berekend op 1000 punten die evenredig worden verdeeldover dit domein. Bij het berekenen van een diffractiepatroon wordt onderscheidgemaakt tussen enerzijds een halfvlak en anderzijds spleten en draden.

Halfvlak

Voor het geval van een halfvlak worden de ingevoerde variabelen ‘Afmetingobject’, ‘Aantal objecten’ en ‘Ruimte tussen objecten’ genegeerd. Vervolgens

30 Analyse

wordt voor alle 1000 punten op het gekozen domein op het scherm berekendwat de intensiteit is. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van vergelijking 1.21:

I(ρ) ∼ [C(ν2)− C(ν1)]2 + [S(ν2)− S(ν1)]2 , (1.21)

met de integratiegrenzen ν1 = −ρ en ν2 = +∞. Merk op dat C(+∞) =S(+∞) = 1

2 , S(−ν) = −S(ν) en C(−ν) = −C(ν) waardoor

I(ρ) ∼[C(ρ) +

12

]2

+[S(ρ) +

12

]2

. (3.2)

Spleet(reeks)

In paragraaf 1.4.2 werden de integratiegrenzen van vergelijking 1.21 voor hetgeval van een spleet afgeleid: ν1 =

(−∆ν

2 − ρ)

en ν2 =(+∆ν

2 − ρ)

met ∆ν =cz→νB waarbij B de breedte van de spleet is. In het geval van N spletendie een afstand D van elkaar verwijderd zijn, moeten eerst de bijdragen vanalle afzonderlijke spleten tot de Fresnel-integralen bij elkaar worden opgeteldalvorens ze te kwadrateren. Omdat elke afzonderlijke spleet op een andereplaats zit, zijn de integratiegrenzen van elke spleetbijdrage verschoven. Als weν1,i en ν2,i introduceren als respectievelijk de onder-, en bovengrens van de i-despleetbijdrage, dan kan de intensiteit van een reeks spleten als volgt wordenopgeschreven:

I(ρ) ∼

[N∑i=1

C(ν2,i)− C(ν1,i)

]2

+

[N∑i=1

S(ν2,i)− S(ν1,i)

]2

, (3.3)

waarin de integratiegrenzen van de i-de spleetbijdrage nu zijn:

ν1,i = cz→νD2i−N − 1

2− ∆ν

2− ρ (3.4a)

ν2,i = cz→νD2i−N − 1

2︸ ︷︷ ︸verschuiving i-de spleet

+∆ν2− ρ (3.4b)

Ga na dat de term D 2i−N−12 de plaats in het buigingsobject weergeeft van

de i-de spleet. Door met cz→ν te vermenigvuldigen wordt overgegaan op degegeneraliseerde coordinaat ν.

Draad(reeks)

De punten die een bijdrage leveren aan het diffractiepatroon in een reeks vandraden vormen precies het complement van de punten in een reeks van spleten.

3.2 Toelichting op de werking van de software 31

Een uitdrukking voor de interferentie van een dradenreeks is daardoor makkelijkaf te leiden uit die van een spletenreeks (vergelijking 3.3):

I(ρ) ∼

[1−

(N∑i=1

C(ν2,i)− C(ν1,i)

)]2

+

[1−

(N∑i=1

S(ν2,i)− S(ν1,i)

)]2

(3.5)

waarin ν1,i en ν2,i op dezelfde manier zijn gedefinieerd als is vergelijking 3.3.Omdat de intensiteiten zoals ze worden berekend in de vergelijkingen 3.2,

3.3 en 3.5 niet genormeerd zijn, moeten ze eerst door 2 worden gedeeld. Ver-volgens worden ze vermenigvuldigd met de op het ‘Bereken’-tabblad ingevoerdeverticale schaalfactor. Tenslotte wordt het gehele berekende patroon zowel inhorizontale richting als in verticale richting verschoven volgens de getallen diezijn ingevoerd bij horizontale en verticale verschuiving.

3.2.2 Numerieke berekening van de afwijkingsmaat Chi-kwadraat

Op het ‘Bereken’-tabblad kun je het gemeten diffractiepatroon vergelijken methet berekende diffractiepatroon. Door de ingestelde parameters te varieren kunje op het oog een goede inschatting maken van hoe goed het gemeten patroondoor de theorie beschreven wordt. Het programma geeft ook de mogelijkheidom een meer objectieve maat voor de afwijking met de theorie te tonen, dezogenaamde χ2 (Chi-kwadraat). In veel data-analysesoftware wordt gebruikgemaakt van χ2 om gemeten data te fitten aan een functie. De functieparame-ter(s) worden dan zodanig gevarieerd dat χ2 wordt geminimaliseerd.

De definitie van χ2 is als volgt:

χ2 =n∑i=1

(yi − f(xi)

σi

)2

. (3.6)

Hierin zijn yi en xi de y- en x-coordinaat van het i-de punt uit de gemetendataset, σi de onnauwkeurigheid van de y-coordinaat van het betreffende punten f(x) een functie die het theoretische verband beschrijft. De gereduceerde χ2,of kortweg χ2, wordt gekregen door χ2 te delen door het aantal vrijheidsgraden(het aantal gemeten datapunten verminderd met het aantal onbekende parame-ters waarvan f(x) afhankelijk is). Aangezien in de meeste gevallen het aantalmeetpunten groot is en het aantal onbekende parameters klein, volstaat hetgebruiken van het aantal datapunten in plaats van het aantal vrijheidsgraden:

χ2 =1n

n∑i=1

(yi − f(xi)

σi

)2

. (3.7)

Er kan worden aangetoond dat de verwachtingswaarde van χ2 gelijk is aan hetaantal vrijheidsgraden. Voor χ2 kan dus een waarde van 1 worden verwacht,

32 Analyse

wanneer het gekozen model de experimentele data goed beschrijft. Wanneerdit niet het geval is zal χ2 � 1. Als χ2 � 1, dan is de onnauwkeurigheid σ

waarschijnlijk te pessimistisch gekozen.Aangezien het domein waarop experimentele data beschikbaar zijn niet

noodzakelijkerwijs gelijk is aan het domein waarop het diffractiepatroon is be-rekend, worden eerst alle experimentele data die buiten het domein van deberekende waarden vallen buiten beschouwing gelaten. Zodoende weet je zekerdat over het hele domein waar experimentele data zijn, ook berekende datavoorhanden zijn. Omdat de experimentele en berekende data niet op exactdezelfde punten liggen, wordt op elke lokatie waar de intensiteit gemeten is,een waarde uit de berekende dataset gecontrueerd met behulp van kwadrati-sche interpolatie (cubic spline interpolation). Nu zijn twee even grote datasetsverkregen waaruit met behulp van vergelijking 3.7 rechtstreeks de gereduceerdeχ2 kan worden berekend. Wanneer de ‘Chi squared’-knop, linksonder, is inge-drukt, wordt de waarde van χ2 weergegeven in het vakje ernaast en wordt boven-dien de dataset met de geconstrueerde gemeten punten grafisch weergegeven inhet grote witte veld.

Hoofdstuk 4

Opdrachten en suggesties voor ex-

perimenten

In dit laatste hoofdstuk worden naar aanleiding van de besproken theorie enkeleopdrachten voorgelegd. Deze opdrachten kunnen als leidraad of als inspiratiedienen bij het experimenteren.

1. Als je de dikte van een draad of spleet zo nauwkeurig mogelijk wiltbepalen, kun je het buigingsobject dan het beste zo dicht mogelijk bijde bron zetten of juist niet? Probeer een inschatting te maken van denauwkeurigheid waarmee je de afstanden kunt aflezen, waarmee je hetbuigingspatroon registreert en hoe deze onnauwkeurigheden uiteindelijkdoorwerken in de onnauwkeurigheid van de afmeting van het buigingsob-ject.

2. In paragraaf 1.4.3 staat uitgelegd hoe de Cornu-spiraal kan worden ge-bruikt om de intensiteit op een zeker punt op het scherm achter een spleetaf te lezen. Als in plaats van een spleet helemaal niets (een leeg diaraam-pje) in de bundel wordt geplaatst, kan dat worden beschouwd als eenoneindig brede spleet. Toon met behulp van de Cornu-spiraal aan dat deintensiteit op het midden van het scherm niet noodzakelijk groter is vooreen leeg diaraam dan voor een verticale spleet. Welke breedte (uitgedruktin de gegeneraliseerde coordinaat ν) moet de spleet hebben om een maxi-male intensiteit op het centrum van het scherm tot gevolg te hebben?Wat voor verhouding verwacht je tussen de intensiteit gemeten met eenopen dia in de bundel en de intensiteit gemeten met de spleet met deberekende breedte in de bundel? Ga dit experimenteel na door eerst zonauwkeurig mogelijk de breedte van een spleet vast te stellen en vervol-gens deze spleet op de juiste afstand van de bron te plaatsen. Kloppen

34 Opdrachten en suggesties voor experimenten

je verwachtingen? Wordt de intensiteit op het midden van het schermlager als je het object iets verplaatst? Ontwerp tenslotte een buigingsob-ject bestaande uit meerdere, niet noodzakelijkerwijs even brede, spletendie een nog hogere intensiteit op het midden van de spleet tot gevolg zalhebben. Welke intensiteit verwacht je voor dit buigingsobject op het mid-den van het scherm? Maak eventueel gebruik van de Java-applet over deCornu-spiraal op de theoriepagina van de website (zie paragraaf 1.5.3).

3. Om de gereduceerde χ2 te berekenen (zie paragraaf 3.2.2) moet voorelk meetpunt (xi, yi) de statistische onzekerheid σi bekend zijn. Dezeonzekerheid kan op het ‘Bereken’-tabblad worden ingevuld. De statisti-sche onzekerheid kan worden bepaald door een bepaalde meting meerderemalen uit te voeren onder precies dezelfde omstandigheden en vervolgensde standaarddeviatie van de reeks gemeten waarden te berekenen. Destandaarddeviatie is als volgt gedefinieerd:

σx =

√√√√ 1N − 1

N∑i=i

(xi − x)2 , (4.1)

waarin x het gemiddelde is van de reeks gemeten waarden. Bepaal opdeze manier de onzekerheid van de gemeten intensiteit voor verschillendeintensiteiten. Verschilt de standaarddeviatie voor grote en kleine inten-siteiten? Maak een plot van de standaarddeviatie als functie van de in-tensiteit. Om een reeks intensiteitsmetingen uit te voeren onder dezelfdeomstandigheden, zou je het liefst een scan uitvoeren zonder dat de de-tector daadwerkelijk wordt verplaatst, hetgeen met deze opstelling helaasniet mogelijk is. Hoe zou je dit kunnen oplossen? Maakt het voor de re-produceerbaarheid van de metingen uit hoe het intensiteitspatroon eruitziet? Welke dia kun je het beste in de bundel zetten?

4. In de afleiding van de theoretische uitdrukking voor de intensiteit voorde verschillende buigingsobjecten wordt uitgegaan van een bron met eenuniforme intensiteitsverdeling. Ga na of dit een correcte veronderstellingis door het intensiteitsprofiel van de bron te meten (zonder buigingsobjecttussen de bron en de detector). Zal een afwijking ten opzichte van een bronmet een niet-uniforme intensiteitsverdeling vooral problemen opleveren bijhet berekenen van het buigingspatroon van een spleet of van een draad?Wat voor rol speelt de afmeting van het buigingsobject hierin? Zou jeafwijkingen van het gemeten profiel ten opzichte van het berekende profielhieraan kunnen toeschrijven?

35

5. Een soortgelijke opdracht als opdracht 4, maar nu met betrekking totde ‘obliquity factor ’ (zie paragraaf 1.4). Op welk punt in de theoreti-sche afleiding loopt het spaak als de obliquity factor niet verwaarloosdmag worden? Is dit precies op hetzelfde punt in de afleiding als de inopdracht 4 genoemde niet-uniforme intensiteitsverdeling? Kun je een in-schatting geven van de grootte van de fout die wordt gemaakt door hetniet in rekening brengen van de obliquity factor? Hoe hangt dit af vanhet gekozen type buigingsobject en de afmeting ervan?

6. Zijn er tenslotte nog meer dingen waarmee in de theorie geen rekening isgehouden waardoor een afwijking van de gemeten data ten opzichte vande berekende data zou kunnen ontstaan?

Appendix A

Aanmeld- en inlogprocedure

Om te kunnen experimenteren met de opstelling, moet je eerst twee stappenzetten. Allereerst moet je je aanmelden, zodat je bekend bent bij de server en ertijd wordt gereserveerd waarop jij over de opstelling kan beschikken. Vervolgensmoet je, op het moment dat de opstelling voor jou is gereserveerd, inloggen ophet experiment. Deze twee stappen worden kort besproken in respectievelijkparagraaf A.1 en A.2.

A.1 Aanmelden

Fig. A.1: Aanmelden voor het experiment.

Door op de website op de ‘Aanmelden’-knop te drukken, krijg je een tijdroosterop je beeldscherm waarin staat aangegeven wanneer de opstelling al is gere-serveerd (rood) en wanneer hij nog vrij is (groen). Door op een vrij tijdvakte klikken of door een datum en een tijdstip te kiezen in de vervolgkeuzeli-jsten selecteer je een uur waarop je kunt experimenteren. Om de opstelling

38 Aanmeld- en inlogprocedure

daadwerkelijk voor dit uur te reserveren moet je vervolgens ook je naam en jee-mail-adres invullen. Nadat je op de ‘Stuur op’-knop hebt gedrukt, krijg je eene-mail opgestuurd waarin een gebruikersnaam en een wachtwoord staan. Dezegegevens heb je nodig om op het gekozen tijdstip in te loggen op het exper-iment. De reservering kun je ongedaan maken door de e-mail (met volledigeinhoud) terug te sturen naar webexperiments@nat.vu.nl. Wanneer blijkt dateen niet bestaand e-mail-adres werd ingevuld, wordt de reservering automatischgeannuleerd.

A.2 Inloggen

Om in te loggen op het experiment, moet links op de website op de knop ‘Exper-iment’ worden ingedrukt. Nadat je op het pop-up-venster hebt bevestigd dat jede opstelling hebt gereserveerd voor dit moment, krijg je een dialoogvenster inbeeld waarop je de aan jou toegewezen gebruikersnaam en wachtwoord in moetvullen. Als de gebruikersnaam, wachtwoord en tijdstip juist zijn bevonden, ver-schijnt in het pop-up-venster het besturingspaneel zoals dat is weergegeven infiguur 2.3 op bladzijde 25. Dit besturingspaneel verschijnt alleen wanneer de‘Run-Time Engine’ van LabVIEW1 is geınstalleerd. Om controle te verkrijgenover de besturings-software, moet in het rechtermuisknop-menu gekozen wordenvoor ‘Request Control of VI’ (zie figuur A.2).

Fig. A.2: Controle over de besturings-software wordt verkregen door op eenwillekeurige plek in het popup-venster op de rechtermuisknop te drukken en inhet menu ‘Request Control of VI’ te kiezen.

Boven in het scherm staat hoeveel tijd je de opstelling nog tot je beschikkinghebt. Als de experimenteertijd is afgelopen, wordt je automatisch uitgelogd.

1gratis te downloaden op de homepage van National Instruments: http://www.ni.com

Referenties

[1] E.H. Hecht, Optics, Addison-Wesley.

[2] F.A. Jenkins and H.E. White, Fundamentals of optics, McGraw-Hill.

[3] J.R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, University Science Books.

[4] H.D. Young and R. Freedman, University Physics, Addison-Wesley.