1. Inhoud 1. Versnelling: Tangentiële en normale..............................................................................................4

2. Tweede Wet Newton in functie van impuls....................................................................................5

3. Kracht op een stroomvoerende geleider........................................................................................6

4. Moment op stroomvoerend kader.................................................................................................7

5. Elektron in homogeen elektrisch veld............................................................................................8

6. Kathodestraalbuis.........................................................................................................................10

7. Beweging geladen deeltje in magnetisch veld..............................................................................11

8. Deeltjesversneller cyclotron.........................................................................................................13

9. Exponentiële relaxatie..................................................................................................................14

10. Halveringstijd............................................................................................................................16

11. Impuls van een stelsel van deeltjes..........................................................................................17

12. Behoud van impuls...................................................................................................................18

13. Tijdsafgelijde van impulsmoment.............................................................................................19

14. Traagheidsmoment..................................................................................................................20

15. Behoud van impulsmoment.....................................................................................................21

16. Statica.......................................................................................................................................22

17. Kinetische energie van een puntmassa....................................................................................23

18. Wet van arbeid en energie.......................................................................................................24

19. Kinetische energie systeem van punten...................................................................................25

20. Kracht afleiden uit potentiele energie......................................................................................27

21. Elektrische potentiaal in puntlading.........................................................................................28

22. Energie van een puntmassa......................................................................................................29

23. Energie van een systeem..........................................................................................................30

24. Macroscopische beschrijving van ideale gaswet......................................................................31

25. Temperatuur............................................................................................................................32

26. Niet-elastische centrale botsing...............................................................................................33

27. Eendimensionale elastische botsing.........................................................................................34

28. Wetten van Ohm......................................................................................................................36

29. Temperatuursafhankelijkheid van soortelijke weerstanden....................................................38

30. Vermogen van een kring...........................................................................................................39

31. Verband bron en kringsspanning..............................................................................................40

32. Opladen en ontladen van condensator....................................................................................41

2© Thomas

33. Brug van Wheatstone...............................................................................................................43

34. Kring met enkel weerstand.......................................................................................................44

35. Kring met enkel condensator....................................................................................................45

36. Hoog en laagfrequentie filters..................................................................................................46

37. Diffusie.....................................................................................................................................47

38. Diffusiespanning.......................................................................................................................48

39. dipool.......................................................................................................................................50

40. Elektrocardiogram....................................................................................................................52

41. Prikkel langs zenuw..................................................................................................................53

42. Kabelvergelijking......................................................................................................................54

43. Warmteuitwisseling zonder verandering..................................................................................56

44. Warmteuitwisseling met verandering van toestand.................................................................57

45. Warmtetransport.....................................................................................................................58

46. Eerste wet van thermodynamica..............................................................................................59

47. Tweede wet van thermodynamica...........................................................................................60

3© Thomas

1. Versnelling: Tangentiële en normale

(1) vv⃗=Rωsnelheid vaneen punt dat eencirkelbeweging beschrijft

(2) a⃗=d (Rω )dt

(3) ∆ e⃗ t=|∆θ|richtingsverandering vaneenheidsvector

(4) limt2−t 1

|∆θ|∆ t

=ω

(5) 2 β+∆θ=π somhoeken vaneendriehoek

β= π2−∆θ2

(6) limt en θ→0

β= π2

(7) ∆ e⃗ t⊥ e⃗ t ∆ e⃗ t blijft altijd naar hetmiddelpunt gericht

(8) a⃗=dvdt

e⃗ t+Rω2 e⃗ n

Tangentiële versnelling : at=dvdt

grooteverandering

v↓ : tegengestelde richtingv↑ : zelfderichting

Normale versnalling an=Rω ²= v2

Rrichtingsverandering>0

4© Thomas

5© Thomas

2. Tweede Wet Newton in functie van impuls

(1) F=dpdt

Verandering van impulshoeveelheid beweging is gelijk aandekracht

Fdt=dp

∫t1

t2

Fdt=p (t2 )−P ( t1 )

Fg= 1t 2−t1

∫t1

t2

Fdt

Fg=mv (t 2 )−mv (t1 )

t2−t 1verandering impuls per tijdseenheid

(2) p=mvdefinitie impuls

(1) + (2) = f=dpdt

6© Thomas

3. Kracht op een stroomvoerende geleider

I=Stroom

dFm=magnetische kracht

dr=verplaatsing langs geleider∈richting

B=magnetische inductieveld

dt: tijdsinterval waarin alle ladingen doorheen A gaan

dQ: lading

v: snelheid ladingen in dr

(1) dQ=Idt

(2) d r⃗= v⃗ dtd F⃗m=dQ v⃗ x B⃗¿ Idt v⃗ x B⃗¿ I v⃗ dt x B⃗d F⃗m=I d r⃗ x B⃗ op een stukje

(3) F⃗m=I∫ d r⃗ x B⃗ op totale geleider

(4) F⃗m=I∫ d r⃗ x B⃗

¿ I∫d r⃗ x ( e⃗ t x B⃗ )¿ I ( e⃗ t x B⃗ )∫d r⃗

¿ I ( e⃗ t x B⃗ ) l

(5) F⃗m=B Il op rechte geleider

7© Thomas

8© Thomas

4. Moment op stroomvoerend kader

F⃗ ab=F⃗ cd=I B sin (90 °−θ )

F⃗ bc=F⃗ da=I l B sin (90° )

(1) M=r⃗ da∗F⃗ da+ r⃗ bc∗F⃗ bc moment van krachtenFdaen Fbc ¿ ( r⃗ da+r⃗ bc )∗F⃗ da

(2) F⃗ da=I l1 ( l⃗ I∗B⃗ )kracht inductieveld opgeleider

(1) + (2) M=l2Fda sin θ

M=l2 l1 I B sinθ

M=A I B sin θ

9© Thomas

5. Elektron in homogeen elektrisch veld

E⃗⊥ v⃗0

E⃗⊥Platen

I Binnen(1) F⃗ e=−e E⃗ kracht∈elektrisch veld ope−¿ is tegengesteld ¿

(2)ay=−e E⃗me

versnelling enkel volgens de y−as

(3) v y1=a y td y−component vansnelheid bij verlatenvan platen

¿ −ed E⃗me v0

vz=v0 z−component van snelheid

(4) y1=a y t ² d2

¿ −ed ²2me v0²

E⃗y

II Buiten e−¿¿ondervindt geen kracht meer en v=cst(5) tan α=

v y

v0hoek waaronder straalwordt afgebogen

10© Thomas

¿ −e dme v0 ²

E⃗ y

¿y2D

(6) y2=−e dDme v0²

E⃗ y

(4) + (6)

y= y1+ y2

y= −e d ²2me v0 ²

E⃗ y+−edDmev0 ²

E⃗ y

y= −e dme v0

2 E⃗ y (D+ d2 ) => hoe groter E, hoe groter y: ze zijn rechtevenredig

11© Thomas

6.

Kathodestraalbuis

Onderdeel van oscilloscoop: meet fluctuaties van elektrische stroom en spanning

Buis is luchtledig

(1) Elektronenkanon: e−¿¿worden gevormd en versneld tot e−¿¿-straal met dezelfde snelheid(2) Horizontaal elektrisch veld: e−¿¿-straal wordt horizontaal afgebogen(3) Verticaal elektrisch veld: e−¿¿-straal wordt verticaal afgebogen

E⃗=elektrisch veld

F⃗=−e E⃗=kracht van E⃗ ope−¿¿

a⃗= F⃗m

=−e E⃗m

=versnelling enmogelijkeafbuiging

12© Thomas

7. Beweging geladen deeltje in magnetisch veld (1) F⃗m=ma⃗ tweedewet van Newton

F⃗m=e v⃗∗B⃗

(2) an=ev∗Bm

= v ²rprojectie opn−en t−assen

a t=0

(1)+(2)

Fm=man=evB=mv2

r Snelheidsfilter

13© Thomas

E⃗⊥ B⃗E⃗⊥ v⃗0v⃗0∥ B⃗F⃗m en F⃗ e werkenelkaar

tegen

(1) F⃗=q ( E⃗+ v⃗+ B⃗ ) totalekrachtF⃗=F⃗m+ F⃗ e

(2) a⃗=qm

( E⃗+ v⃗∗B⃗ )versnelling vandeeltjemet lading

q enmassam

(3) a⃗=0als deeltje rechtdoor gaatals E=−(v∗B )=B∗v

als v0=EB

→Verhouding EBregelen :deeltjesmet bepaalde snelheid selecteren

⇒ v0<EB:Fe>Fm⇒wijkt af naar beneden

⇒ v0>EB:Fe<Fm⇒wijkt af naar beneden

Massaspectrometer

14© Thomas

(1) Ionisatiekamer: mengsel ioniseren door valentie-elektronen weg te slagen door beschieting met elektronen

(2) Analysator : scheidt verschillende componenten door magnetisch en elektrisch veld

B⃗=homogeenv⃗⊥ B⃗

(1) r= mv¿q∨B

ladingenbeschrijven eencirkelbeweging

(2) Alle grootheden = contanten=>ladingen scheiden

mbv≠m :m↑=r ↓m↓=r ↑ massaonderscheid de ladingen

(3) F⃗m=q v⃗∗B⃗F⃗m⊥ B⃗B⃗∨¿ v⃗

⇒ F⃗m⊥ v⃗

(4) F⃗m=¿q∨vB¿manVersnellingheeft enkelnormaal component∈een

F⃗m=mv2

rhomogeenmagnetisch veld

r= mv¿q∨B

15© Thomas

8. Deeltjesversneller cyclotron

Onderzoeken van samenstelling van materie

Hoe kleiner de deeltjes, hoe energierijker de botsingen

Ladingen die kromme baan beschrijven zenden magnetische straling uit

Bron SDoelwit TA :alternatorE⃗ :versnelt de ladingenB⃗: buigt de ladingenaf

(1) Ladingen vertrekken in S, worden versneld door E⃗ en beschrijven een kromme met

r= mv¿q∨B

(2) Alternator keert E⃗ om zodat ladingen blijven versnellen met een grotere cirkelboog

(3) Bij verlaten gemikt op T

⇒bij lage snelheid :w= vr=qB

m=cst

frequentie A=cst⇒bij hoge snelheid : frequentie snelheidafhankelijk

16© Thomas

9. Exponentiële relaxatie a. Geen aandrijving

f (t )=dxdt

+αx=0

(1)dxdt

=−αx

∫ dxdt

=∫−αt

ln x=¿−αt+C ¿e ln x=e−αt+¿ eC

x (t )=A e−αt

(2) Voor alle waarden van t geldt:

1ex (t )= A e−αt

e¿ Ae−αt−1

¿ Ae−α(t−1α )

¿ x (t+ 1α )T : tijdsconstante : intervalwaarmee t moet toenemenomx

met 1ete reduceren

b. Trapfunctie

f ( t )=dxdt

+αx=αXd=cst

(1)dxdt

=−α (−Xd+x)

dxdt

=dXddt

=0want Xd=cst

dxdt

=dydt

(2)dydt

=−αy

17© Thomas

y ( t )=A e−αt

x (t )−Xd=A e−αt

x (t )=A e−αt+Xd

18© Thomas

(3) Beginvoorwaarden: x (0 )=A+XdA=x (0 )−Xd

x (t )=( x (0 )−Xd )e−αt+Xdovergangsrespons : geleidelijke aanpassing aan plotse verandering

19© Thomas

10. Halveringstijd

dxdt

=−αx

dN ( t )dt

=−α N ( t )uitdrukkingradioactief vervalmet deevenredigheidsfactor

(1) Scheiden van variabelendN (t )N (t)

=−α dt

(2) Integreer

∫ dN ( t )N (t )

=∫−α dt

∫ dN ( t )N (t )

=−α∫dt

ln N (t )=−α t+Ce lnN (t )=e−α t eC

N ( t )=Ce−α t beginwaarde N (t )=N (0 )=0N ( t )=N0 e

−αt

⇒halveringstijd

(1) N ( t )=N0 e−αt

(2)12N ( t )=N (t+ t 1

2)

(1)+(2)

12N0 e

−αt=N 0 e−α( t+t 12 )

12e−αt=e−αt e

−αt 12

12=e

−αt 12

ln 2=αt 12

t 12= ln 2

α=T ln 2

20© Thomas

11. Impuls van een stelsel van deeltjes

p=mv

(1) p=∑i=1

n

p i

¿∑i=1

n

mi vi

¿∑i=1

n

mi

d ridt

¿d (∑i=1

n

mi ri)dt

(2) m'=∑i=1

n

mi totalemassa

(3) m' ri=∑i=1

n

mir idefinitie massacentrum

(4) dmr idt

=d (∑i=1

n

mi r i)dt

¿ pp=mvmc

21© Thomas

12. Behoud van impuls

(1) dpdt

=∑i=1

n

F1

dpdt

=Ruitwendig

(2) ∫t1

t2

Ruitw=p ( t2 )−p (t 1)

(3) Ruitw=0

p=∑i=1

n

p i=cst

⇒ alle componentengelijk aannulimpuls=cst

∑i=1

n

mi v i (t 1)=∑i=1

n

mi v i ( t2 )

⇒ als1vande componentengelijk is aannul

∑i=1

n

mi v i (t 1)=∑i=1

n

mi v i ( t2 )

22© Thomas

13. Tijdsafgelijde van impulsmoment

(1) d L⃗dt

=d ( r⃗∗mv⃗ )

dt

¿ d r⃗dt

∗m v⃗+ r⃗∗d (m v⃗ )dt

(2) F⃗=d (m v⃗ )dt

vectoren∥ d r⃗dt

∗m v⃗=0

(1)+(2)

d L⃗dt

=r⃗∗F⃗=M⃗

⇒ voor eensysteem : d L⃗dt

=∑i=1

n

( r⃗i∗F⃗ i)

d L⃗dt

=M⃗ uitw

23© Thomas

14. Traagheidsmoment

(1) Lz=(∑i=1n

mi (r i) ²)wz niet vervormbaar systeemdraait om vasteas

(2) Lz=∑i=1

n

( r⃗ i∗mi∗v⃗ i) z

¿∑i=1

n

( (a⃗ i+ r⃗ ' i )∗mi∗v⃗ i ) z

¿∑i=1

n

( (a⃗i∗mi∗v⃗ i ) z∗(r⃗ 'imi v⃗ i)z )⊥op z−as :valt weg

¿∑i=1

n

( r⃗ ' imi v⃗i )

¿∑i=1

n

(r ' imi r ' 1w z )

¿∑i=1

n

¿¿

Lz=¿

(3) I=∑i=1

n

mi(r '¿¿1) ² traagheidsmoment ¿

24© Thomas

15. Behoud van impulsmoment

(1) Fuitw=0enM uitw=0

(2) d L⃗dt

=∑i=1

n

( r⃗ i∗F⃗ i )dLdt

=0

L=cstmet Lz=cst

25© Thomas

16. Statica Als Fuitw=0, kunnen we het referentiepunt om moment te berekenen kiezen omdat rond geen enkel punt een rotatie-as mag ontstaan

∑i=1

n

M⃗ i , 01=∑i=1

n

r⃗i ,01∗F⃗ i

¿∑i=1

n

(r⃗i ,02+r⃗02,01)∗F⃗i

¿∑i=1

n

r⃗i , 02∗F⃗i+∑i=1

n

r⃗ 02,01∗F⃗i

¿∑i=1

n

r⃗i , 02∗F⃗i+r⃗ 02,01∗∑i=1

n

F⃗imaar∑i=1

n

F⃗ i=0

¿∑i=1

n

r⃗i , 02∗F⃗i

∑i=1

n

M⃗ i , 01=∑i=1

n

M⃗ i ,02

26© Thomas

17. Kinetische energie van een puntmassa

(1) Tweede wet van Newton

∑i=1

n

F⃗ i=m a⃗

(2) Vermenigvuldigen met infinitesimale verplaatsing d r⃗

(∑i=1n

F⃗ i=m a⃗)d r⃗=(m a⃗ )d r⃗

δW=m d v⃗dt

d r⃗

δW=md v⃗ d r⃗dt

δW=md v⃗ v⃗

(3) Willekeurige verctorenv⃗ v⃗=v⃗ 2cosθ¿ v ²d ( v⃗ v⃗)=dv ²d ( v⃗ ) v⃗+d ( v⃗ ) v⃗=dv ²2d ( v⃗ ) v⃗=dv ²

d ( v⃗ ) v⃗=d v2

2

(2)+(3)

δW=d (mv2

2 )Ekin=

mv2

2

27© Thomas

18. Wet van arbeid en energie

(1) Verplaatsing tussen punten 1 en 2

W 12=∫⃗r1

r⃗2

(∑i=1

n

F i)d r⃗W 12=∫⃗

r1

r⃗2

d (mv2

2 )W 12=

mv22

2−mv1

2

2

(2) Ekin=mv2

2= p2

2m

(1)+(2)W 12=E kin ,2−E kin ,1

28© Thomas

19. Kinetische energie systeem van punten

a. Translatie

Ekin=∑i=1

n mi v i2

2

Ekin=∑i=1

n mi v ²2

Ekin=mv2

2

b. Algemene beweging (1) r⃗ i, 0=r⃗ c, 0+r⃗i ,c plaatsvector massacentrumen plaatsvector punt

(2) v⃗i , 0= v⃗c ,0+v⃗ i , c

(3) v⃗i , 0 ²= v⃗ i ,0 v⃗ i , 0¿ ( v⃗c, 0+v⃗ i , c) ( v⃗c ,0+ v⃗i , c )¿ v⃗c, 0 v⃗c ,0+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c v⃗ i ,c

¿ v⃗c, 0 ²+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c ²

(4) Ekin=∑i=1

n mi v i , 0²2

¿∑i=1

n mi ( v⃗c ,0 ²+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c ² )2

¿∑i=1

n mi v⃗c, 0 ²2

+∑i=1

n 2mi v⃗c, 0 v⃗ i ,c

2+∑

i=1

n mi v⃗ i , c ²2

¿mvr ,0

2

2+v⃗c , 0∑

i=1

n

mi v⃗ i , c+∑i=1

n mi v⃗ i ,c2

2=0

Ekin=mvr ,0 ²2

+∑i=1

n mi v i , r ²2

29© Thomas

c. Rotatie van een onvervormbaar voorwerp

Rotatie van een onvervormbaar voorwerp met symmetrische rotatie-as

(1) Massacentrum op symmetrie-as

vi , rot=r ' iω r 'i=afω=hoeksnelheid

(2) Ekin , rot=∑i=1

n mi v i , rot ²2

¿∑i=1

n mi (r 'iω ) ²2

¿(∑i=1

n

mi r 'i ²)ω ²2

traagheidsmoment I=∑i=1

n

mir 'i ²

(3) Ekin , rot=I ω2

2(4) Ek=Ekin ,tran+E kin ,rot

Ek=mvr ,0 ²2

+ I ω2

2

30© Thomas

20. Kracht afleiden uit potentiele energie (1) Kracht in elk punt van de ruimte

Ep(x , y , z )

(2) Definitie potentiële energie−d Epot=F⃗ d r⃗−d Epot=F xd x+F y d y+F zdz

(3) {F x=−∂ Ep

∂ x

F y=−∂E p

∂ y

F z=−∂ Ep

∂z

partiël afgeleiden

(4) F⃗=−∇⃗ Ep −∇⃗= ∂ f∂ x

, ∂ f∂ y

, ∂ f∂ z

31© Thomas

21. Elektrische potentiaal in puntlading

∆ E p=1

4 π ε0 (qq0r2

−qq0r1 )

V (r2 )−V (r 1)=q04 π ε0

1r2

− 1r1

V (r )=q04 π ε0

1r

32© Thomas

22. Energie van een puntmassa

(1) Conservatieve krachten: ∑i=1

k

F⃗ inw , c

Niet conservatieve krachten:∑i=1

m

F⃗ inw, nc

(2) W 12=∑i=1

k

∫⃗r1

r⃗2

F⃗ inw , cd r⃗+∑i=1

m

∫⃗r1

r⃗2

F⃗ inw ,nc d r⃗

¿>∑i=1

k

∫⃗r 1

r⃗ 2

F inw, cd r⃗=−∑i=1

k

(E p2 ( F⃗ inw , c)−Ep1 ( F⃗ inw, c))

¿>W 12nc=∆ Ekin=Ekin ,2−E kin ,1

(1)+(2) Ekin , 2−Ekin , 1=−∑i=1

k

(Ep2 ( F⃗inw ,c )−E p1 ( F⃗ inw, c ))+W 12nc

(3) W 12nc=(Ekin , 2+∑

i=1

k

(Ep2 ))−(Ekin ,1+∑i=1

k

(E p1))(4) E=Ekin+∑

i=1

k

(E p )mechanischeenergie

(3)+(4)E2−E1=W 12

ncWet vanarbeid enmechanischeenergieW 12

nc=0→E2=E1Wet vanbehoud vanmechanischeenergie

33© Thomas

23. Energie van een systeem

(1) Ekin=mvc , 0

2

2+∑

i=1

n mi v i ,c2

2translatie rotatie

Ekin , trE kin ,rot=I w2

2

(2) Ekin=Ekin ,tr+E kin ,rot+E kin ,inw

(3) Ekin=Ekin ,uitw+Ekin ,inw

(4) Ekin , 2−Ekin , 1=W 12uitw , c+W 12

nc+W 12inw ,c

(5) {W 12uitw ,c=−(Epot , 2

uitw −Epot , 1uitw )

W 12uitw ,c=−(Epot , 2

inw −Epot , 1inw )

W 12nc=E kin ,2

uitw +Ekin ,2inw +E pot ,2

uitw +Epot ,2inw −(Ekin , 1

uitw +Ekin ,1inw +Epot , 1

uitw +E pot ,1inw )

W 12nc=(E2uitw+U 2 )−(E1uitw+U1 )

E=Euitw+U

34© Thomas

24. Macroscopische beschrijving van ideale gaswet

(1) Gay-Lussac: V=cst p T

(2) Boyle en mariotte: T=cst pV=cst

(3) Charles: p=cst V T

⇒ pV=cst TpV=n RT molaire gasconstante

35© Thomas

25. Temperatuur

(1) pV=23Nu

(2) pV=nRT

(1)+(2)

nRT=23Nu

u=32nN

RT N=n N A

u=32

RN A

T constante van Boltzman :kb

u=32kbT

u≈Tm0 vg ²2

=32kbT

36© Thomas

26. Niet-elastische centrale botsing

(1) Wet van behoud van impulsm1 v1i+m2 v2i=(m1+m2 )v finaal

(2) Wet van behoud van energieEkin , i+Enm,i=Ekin ,f +Enm, f Enm ,i=0 12m1 v1, i ²+

12m2 v2 , i²=

12 (m1+m2) v f ²+Enm,f

(3) Snelheid beide deeltjes na de botsing

v f=m1 v1 ,i+m2 v2 ,i

m1+m2

(4) Verlies van Ekin: tweede deeltje in rust: v2, i=0

Ekin , i=m1 v ²1 , i2

Ekin , f=¿¿Ekin , f−Ekin ,i=¿¿

¿(m1+m2 )2

m12v1 , i2

(m1+m2 ) ²−

(m1 v21 ,i)

2

Ekin , f−Ekin ,i=−m1m2

m1+m2

v1 ,i2

2∆ E k<0⇒Ekin , f<E kin ,i⇒ verlies

37© Thomas

27. Eendimensionale elastische botsing

(1) Behoud van impulsm1 v1 x+m2 v2x=m1 v1 ' x+m2 v2 ' x

m1 (v1 x−v1' x)=m2 (v2' x−v2 x)

v1 x+v1' x=v2

' x+v2x

(2) Behoud van kinetische energiem1 v ²1 x2

+m2 v ²2 x2

=m1 v ' ²1 x2

+m2v ' ²2 x2

m1 v ²1 x−m1 v ' ²1 x=m2 v ' ²2 x−m2 v ²2 xm1 (v1 x−v '1 x ) (v1 x+v '1 x)=m2 (v ' 2 x−v2 x ) (v ' 2 x+v2 x )

(3) v1' =

(m1−m2 ) v1 x+2m2v2 xm1+m2

v2' =

−(m1−m2) v2 x+2m1 v1 xm1+m2

¿>m1=m2=m

v ' 1 x=v2 x→de deeltjesnemennadebotsing elkaars snelheid¿v ' 2 x=v1 x

¿>m2=∞⇒m1

m2≪1⇒m2≫m1

v ' 1 x=(m1

m2−1)v1 x+2 v2 x

m1

m2+1

v ' 2 x=−(m1

m2−1)v2 x+2(m1m2 ) v1 x

m1m2

+1

v '1 x=−v1 x+2v2 xv ' 2 x=v2 x }de snelheid vande zwaremassa verandert niet

(4) Energieoverdracht: stel v2 x=0

v ' 1 x=(m1−m2 )v1 x

m1+m2

38© Thomas

v ' 2 x=2m1 v1 xm1+m2

39© Thomas

(5) Verandering Ekin1

Ekin , 1 ,finaal−Ekin ,1 ,initiëel=m1

2v ' ²1 x−

m1

2v ²1x

¿m12 (v ' ²1 x−v ²1 x )

¿m12 (( (m1−m2 ) v1 x

m1+m2 )2

−v ²1 x)¿m1 v ²12

x (( (m1−m2 )m1+m2 )

2

−1)¿m1 v ²12

x (−4m1m2

(m1+m2 )2 )Ekin , 1 ,finaal−Ekin ,1 ,initiëel=

m1 v ²12

x (−4m1m2(m1+m2 )2 )

40© Thomas

28. Wetten van Ohm

(1)Gemiddelde stroomI g=

∆Q∆ t

(2)Ogenblikkelijke stroomI (t )=dQ

dt

(3)Stroom van positieve ladingen∆Q=n (Avd ∆ t )q A : doorsnede n :aantal ladingen per volumeI=nqvdA q : lading per deeltje

a. Microscopische vorm

(1) Wet van Ohmv⃗d=± μ E⃗ d vd=driftnelheidμ=mobiliteit+: positieve lading−:negatieve lading

(2) Stroomdichtheid per oppervlakte

J= IA

(3) Stroomdichtheid per punt

41© Thomas

J= dIdA

J⃗=nq v⃗d

(4) Geleider met Ohm’s gedragJ⃗=±nqμ E⃗J⃗=¿ n|q|μ E⃗ σ=conductiviteit J⃗=σ E⃗

⇒ ρ=1σ= 1n|q|μ ρ=resiciteit :soortelijke weerstand

J⃗= E⃗ρ

E⃗=ρ J⃗

b. Macroscopische vorm

(1) I=nq vd AI=n|q|μAE

(2) Spanning van een geleiderU=El

I=n∨q∨μAl

U

R= ln∨q∨μA

weerstand van eengeleider

I=UR

Opmerking: Voor elektrolytenI=q+n+vd+A=Q−vd−n−A

I=( q+n+μ+q−nl )AE

R= l(q+n+μ+q−n )

weerstand

G= 1Rgeleidbaarheid :conductantie

Pas stroom als spanning U ≥U dpotentiaalverschilI=G(U−Ud)

42© Thomas

29. Temperatuursafhankelijkheid van soortelijke weerstanden

(4) R=ρ lAΩ

ρ= 1n|q|μ

Temperatuursafhankelijkheid

(5) R−R0=αR0(T−T 0)

α=temeratuurscoefficiënt ¿0R↑¿0R↓

T−T 0=R−R0α R0

43© Thomas

30. Vermogen van een kring

(1) Wet van Ohm

{|V 2−V 1|=R12 I=0Weerstand verbindingsdraden=OΩ|V 4−V 3|=R34 I=0

(2) Verandering van potentiële energiedEp=dq (V 3−V 2 )=dq (V 4−V 1 )¿−dqU¿−IUdt

(3) Energie omgezet in warmteδQ+δEp=0δQ=IUdt

(4) Ontwikkeld vermogen

P= δQδt

=U I U=RI

P=RI I=RI ²

P=U2

R

44© Thomas

31. Verband bron en kringsspanning (1) Tweede wet van Kirchhoff

U−I Ri −IR=0Uk=U−I Ri :spanning tussen polen aenboftewelde klemspanning

(2) Belastingsweerstand

I= UR+Ri

45© Thomas

32. Opladen en ontladen van condensator

a. Opladen

Opmerking: Meer positieve ladingen op de linkerplaat: daling potentiaalverschil

(1) Tweede wet van Kirchhoff∆Vbron+∆Vweerstand+∆Vcondensator=0

U−I R−QC

=0 I=dqdt

>0

U=R dqdt

+ 1Cq

1RC

CU=dqdt

+ 1RC

qlineare differentiaalvergelijking1eorde

dxdt

+αx=αXd

(2) Oplossen met behulp van interpolatie x=Ae−αt+Xddqdt

+ qRC

=UR

dqdt

=−(q−UC )RC

∫0

q dqq−UC

=−∫0

t 1RC

dt

ln UC−qUC

= −tRC

UC−q=uC e−tRC

q=UC (1−e−tRC )

(3) Stroom

I=URe

−tRC

46© Thomas

47© Thomas

b. ontladen

(1) Tweede wet van KirchhoffqC

−I R=0 lineare differentiaalvergelijking1eorde

dqdt

+ 1RC

q=0 dxdt

+αx=0

(2) Oplossenx=Ae−αt

q=Qe−tRC

I= QRC

e−tRC

(3)

48© Thomas

33. Brug van Wheatstone

Twee vaste gekende weerstanden R1 en R2

Veranderlijke weerstand Rv

Onbekende weerstand Rx

Galvanometer: gevoelige stroommeter

(1)∆Vac=∆Vad∆Vcb=∆Vdb}geen stroomdoor G

R1 I 1=R2 I 2Rx I 1=Rv I 2 }Rx=Rv R 1

R 2

Doel: Rv regelen zodat I(G)=0

49© Thomas

34. Kring met enkel weerstand

Harmonisch variërende spanning

(1) Tweede wet KirchhoffU−IR=0

i (t )=URsinωt

I=UR

Stroom en spanning zijn in fase op hetzelfde moment hebben ze hun maximum

50© Thomas

35. Kring met enkel condensator

(1) Tweede wet van Kirchhoff

U−qc=0

q=Cu ( t )=Cusinωt

i (t )=dqdt

i (t )=CwU cosωt

i (t )=CwU sin(ωt+ π2 )

(2) Capacitieve reactantie

X c=1

WC

I= UXc

stroomloopt 90 ° voor opspanning

51© Thomas

36. Hoog en laagfrequentie filters

(1) i (t )=I sin (ωt+Φ)

(2) Tweede wet van KirchhoffU=U c+U r

(3) Pythagoras

U ²=U r2+U c

2

U ²=R ² I ²+ I2

(WC ) ²

I= u

√R ²+ 1(WC ) ²

(4)U r=IR= u

√R ²+ 1(WC ) ²

=> U r=u hoogdoorlaatfilter: werkt lage frequenties weg

U c=I

WC= u

√1+(WRC ) ² => U c=u laagdoorlaatfilter: werkt hoge frequenties weg

52© Thomas

37. Diffusie (1) Eerste wet van Fick: stationaire diffusie bij lage concentratiegradiënt

∆ N ∝ A dCdx

∆ t

dNdt

=−D A dCdx diffusiecoëfficiënt

(2) Deeltjesflux: deeltjesstroom per opp

J=−D dCdx

(3) Diffusiecoëfficient Viscositeitcoëfficiënt

D=k 0Tμ

(4) Eerste wet van FickdNdt

=D Ad (C1−C2 ) Dichte wand

J=Dd (C1−C2 ) Permeabiliteitcoëfficiënt

53© Thomas

38. Diffusiespanning

1: Na+¿¿ diffundeert

2: E werkt diffusie tegen

3: Evenwicht: diffusie en E compenseren elkaar

Potentiaalverschil = diffusiespanning

(1) Ideaal gas

P ( x )= nV

RT

¿C ( x )RT

x-compensatie van drukkracht{ P ( x )∆ A links−P (x+∆x )∆ Arechts

(2) Drukkracht ten gevolge van concentratieverschilF px=−(P ( x+∆ x )−p ( x ))∆ A

¿−dpdx

∆x ∆ A

¿−dCdx

RT ∆ x∆ A

(3) Elektrische krachtFex=eNaC (x)∆ A ∆ xEx

¿eNaC ∆ A ∆ x−( dvdx )54

© Thomas

(4) EvenwichtFex+Fpx=0

eNaC ∆ A ∆ x−( dvdx )−dCdx

RT ∆ x∆ A=0

−eNaC ( x ) dU−RTdC ( x )

dU=−RTNae

dC ( x )C ( x )

RNa

=kB

(5) Integratie

∫1

2

dUdt=−kBTe ∫

1

2 dC ( x )C ( x )

dt

V 2−V 1=−kBT

eln(C2C1 )nernstvergelijking

55© Thomas

39. dipool &

(1) Potentiaal in PV ( r⃗ )=V−Q ( r⃗ )+V +Q ( r⃗ )

¿− kQr 1

+ kQr 2

¿kQ(−1r 1 + 1r2 )

(2) r 1≅ r+ l2cosθ

r 2≅ r+ l2cosθ

(1) + (2)

V (r )=kQ(−1r 1 + 1r 2 )

56© Thomas

≅ kQ( −1

r+ l2cosθ

+ 1

r+ l2cosθ )

≅ kQ(−(r+ l2cos θ)+(r+ l

2cosθ)

r2+( l2 cosθ)2 )

≅kQr2 ( lcosθ

1−( l2 cosθ)2 )

→r≫ l→ lr≪≪1

v (r )= kQl cosθr ²

= p⃗ cosθ4 π ε0r ²

57© Thomas

40. Elektrocardiogram Meet potentiaalverschillen in functie van de tijd

Driehoeksmethode van Einthoven

58© Thomas

41. Prikkel langs zenuw

Geleiding langs stukje axon

(1) Spanning u over condensator

U=Uinv Rmℜ+Ri+Rm

(2) Lekstroom: ontlading: negatief

I=−dQdt

¿−c dUdt

→U=RmI

U=−RmC dUdt

U=U 0 e−tRmC exponentiële afname met tijdsconstante RmC

59© Thomas

42. Kabelvergelijking

Doel: bepalen hoe de spanning afneemt in functie van de tijd

(1) Wet van Ohmi (r )∆R i=v ( x )−v (x+∆ x)

i (r )∆R i=δvδx

∆ x

i (r )∆ Ri

∆ x=−δv

δx

(2) Weerstand per lengte-eenheid

ri=∆R i

∆ x(1) + (2) = Verband tussen stroom en gradiënt van potentiaal

ri=−δ vδx

(3) Eerste wet kirchhoff

i (x )−i ( x+∆ x )−ℑ− δvδx

=0

δvδx

=−(i ( x+∆ x )−i (x ) )−ℑ

(4) Stel Q=CvDelen door (2πa ∆x )

Lekstroomdichtheid: jm= ℑ(2πa∆ x )

Cappaciteit per opp: Cm= C(2 πa∆ x )

Cm ∂v∂ t =

−i ( x+∆ x )−i(x)(2 πa∆ x )

− jm

(5) Partiële afgeleide𝐶𝑚∂v∂ t

= −1(2πa )

δiδx

− jm

↓ ri ( x )=−δvδx

Cm ∂v∂ t

= 1(2πari )

δ ² iδx ²

− jm

60© Thomas

(6) Veronderstel

jm=Gd

(v−vr )

¿ gm ( v−vr )geleidbaarheid per opp: gm= G2πa∆ x

Cm ∂v∂ t

= 12πari

δ ² iδx ²

−gm(v−vr )

(7) Veronderstel: Delen door gm

λ ²= 12πari gm

τ=Cmgm

μ=v−vr

τ δ uδt

=λ ² δ ²μδ x2

−μ

1.⇒ δuδt

=0

λ ² δ ² μδ x2

−μ=0

v−vr=μ0 e−xλ

μ0exλ

x>0x<0}⇒exponentiële uitdoving

2.⇒ δ ²uδt ²

=0

v=vr+μ0 e−tτ

61© Thomas

43. Warmteuitwisseling zonder verandering

(1) Verhoging inwendige kinetische energie

δQ=C dt warmtecapaciteit c=ML ²T2θ2

(2) Q12=C ∆T¿C (T2−T1)

C=mc soortelijke warmteC=nCmmolaire warmtecapaciteit

(3) Warmte

{ δQ=mc dtδQ=nCmdt

(4) Integratie

{ Q12=∫1

2

mcdt

Q12=∫1

2

mCmdt

⇒{ Q12=mc (T2−T1)Q12=mCm (T 2−T1)

62© Thomas

44. Warmteuitwisseling met verandering van toestand

(1) Verdampen

Q12=mlv soortelijke verdampingswarmte lv= Lvm

→condensatie is omgekeerde

(2) Smelten

Q12=mls soortelijke smeltwarmtels=Lsm

→stollenis omgekeerde

(3) Sublimeren

Q12=mlsubl soortelijke sublimatiewarmte lsubl= Lsublm

→depositieis omgekeerde

63© Thomas

45. Warmtetransport

(1) Gemiddelde warmtestroom

Iwg=ΔQdt

(2) Ogenblikkelijke warmtestroom

Iw=dQdt

(3) Temperatuursgradiënt

Iwgα AT2−T1x2−x1

Iwgα A dTdx

Iw=−λ A dTdx

warmtegeleidingscoëfficient constant

Iw=λ AT1−T 2x1−x2

64© Thomas

46. Eerste wet van thermodynamica

(1) Wet van Arbeid en Energie

E sys2−Esys1=−W 12uitw .+Q12

(2) Verandering van inwendige energieE sys2−Esys1=U 2−U1

(3) Arbeid van systeem op omgeving

W 12=−W 12uitw .

(4) U2−U 1=Q12−W 12

65© Thomas

47. Tweede wet van thermodynamica

(1) Geïsoleerd systeemδW=0δQ=0

(2) Isotherm

δQ=δW ≅ p∆V=NkT ∆VV

(3) Verhoudingen microtoestanden

(V+∆V )N

V N =(1+∆VV )

N

¿(1+ δQNkT )

N

maar NkT=heel klein

¿ (e )δQKT

ln (V +∆VV N )

N

= δQT

k ln (V +∆V )−k lnV=δQT

(4) EntropieS=k ln (microtoestand bijmacrotoestand )

(5) Quasistische isotherme expentie

S (V +∆V )−S (V )= δQT

66© Thomas