Tentamen Analyse van AlgoritmenVakcode IBC013, 9 april 2013, 15.30 - 17.30 uur

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven die alle even zwaar tellen.Het tentamen is een gesloten-boek-tentamen, dat wil zeggen dat er tijdens het tentamen

geen gebruik mag worden gemaakt van het boek en/of aantekeningen.Voor alle vragen geldt: motiveer uw antwoord.

Opgave 1.

Met het simplex algoritme moet de minimale waarde van 2y−x bepaald worden voor tweevariabelen x, y ≥ 0 die verder voldoen aan

2x + y ≤ 10,2x− y ≥ 0,x + y ≤ 4.

Breng hiertoe het stelsel in slack form, en voer de eerste pivot uit.

Opgave 2.

a. Gegeven zijn gehele getallen k, n met 0 < k < n. Geef een algoritme waarmeek93 mod n berekend kan worden met hoogstens twaalf vermenigvuldigingen mod n.

b. Vind een geheel getal k met 1 < k < 47 waarvoor 17k − 1 deelbaar is door 47.

Opgave 3.

Gegeven is een verzameling P van n punten in het platte vlak.Geef een algoritme met complexiteit O(n log n) dat vaststelt of hiervan voor twee punten

(x, y) en (x′, y′) geldt dat |x− x′| ≤ 1 en |y − y′| ≤ 1.

Opgave 4.

Gegeven zijn twee functies f, g op natuurlijke getallen met de volgende eigenschappen:

• f(0) = f(1) = 1, f(n) = f(n− 1) + f(n− 2) + n voor elke n > 1,

• als n < f(k) dan is g(n) < k, voor elke k, n > 0.

Bewijs dat g(n) = O(log n).