Tangle Breien Rubrics Examenbesprekingen - NVvW...Harm Jan Smid plaatst de hedendaags-aandoende...

april2004/nr.6

jaargang 79

TangleBreienRubricsExamenbesprekingen

Euclides is het orgaan van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren. Het bladverschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

ISSN 0165-0394

april 2

00

4 JA

AR

GA

NG

79

Redactie

Bram van AschKlaske BlomMarja Bos, hoofdredacteurRob BoschHans DaaleGert de Kleuver, voorzitterDick Klingens, eindredacteurWim Laaper, secretarisElzeline de LangeJos Tolboom

Inzending bijdragen

Artikelen/mededelingen naar de hoofdredacteur:Marja BosMussenveld 137, 7827 AK Emmene-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelen

Tekst liefst digitaal in Word aanleveren, oppapier in drievoud. Illustraties, foto´s en formules separaat oppapier aanleveren: genummerd, scherp contrast.Zie voor nadere aanwijzingen: www.nvvw.nl/euclricht.html

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

www.nvvw.nl

Voorzitter: Marian Kollenveld,Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: [email protected]

Secretaris:Wim Kuipers,Waalstraat 8, 8052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail: [email protected]

Ledenadministratie:Elly van Bemmel-Hendriks,De Schalm 19, 8251 LB Drontentel. 0321-312543e-mail: [email protected]

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpersfoto omslag Rinus Roelofs, Hengeloproductie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie per verenigingsjaar

Het lidmaatschap is inclusief Euclides.Leden: €42,50Studentleden: € 22,50Gepensioneerden: € 27,50Leden van de VVWL: € 27,50Lidmaatschap zonder Euclides: € 27,50Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden gevenzich op bij de ledenadministratie. Opzeggingenvóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende nummer.Niet-leden: € 47,50Instituten en scholen: € 127,50Losse nummers, op aanvraag leverbaar: € 17,50Betaling per acceptgiro.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:Willem MaasMolenveld 104, 2490 Balen, Belgiëe-mail: [email protected]. vanuit Nederland: 003214814527fax: 003214813753

Indien afwezig:Freek MahieuDommeldal 12, 5282 WC Boxtele-mail: [email protected] tel. 0411-673468

6

Va n d e r e d a c t i e t a f e l[ Marja Bos ]

In dit nummerVorig jaar leidden de wijzigingen in de correctievoorschriften bij de vmbo-examens wiskunde tot veel discussie. Het weglaten van tussenstappen inberekeningen bleek niet te leiden tot puntenaftrek, en BB-kandidaten werdenniet meer afgestraft voor notatiefouten zoals het ‘breien’. Niet iedere docentwas daar even gelukkig mee. Ameling Algra licht de CEVO-beslissingen toe.Een ander lastig punt is de beoordeling van praktische opdrachten en andereleerlingproducten waarin algemene vaardigheden een rol spelen. PatriciaStraatman en Lambrecht Spijkerboer beschrijven de ‘rubric’, een hulpmiddeldat niet alleen als beoordelingsinstrument bedoeld is, maar ook de leerlingeen duidelijk handvat biedt bij het werken aan de opdracht.Op de Verenigingspagina’s vindt u het jaarlijkse overzicht van tijden enlocaties van de regionale examenbesprekingen.En op de Bestuurstafel op bladzijde 287 ligt een bijdrage van NVvW-voorzitterMarian Kollenveld over onder meer de stand van zaken met betrekking tot deherinrichting van de Tweede Fase.Maar er is nog veel meer te lezen in dit nummer.Wilbert Geijs zag leerlingen spelen met elleboogjes, en doet verslag.Victor Thomasse ontdekte dat de meisjes die, dwars door zijn uitleg heen,brutaalweg doorkletsten over ijs, een stuk slimmer waren dan je zo zoudenken.Harm Jan Smid plaatst de hedendaags-aandoende meetkundeboeken uit de50er en 60er jaren van Bos en Lepoeter in een historische context vanveranderend wiskundeonderwijs. Na een lange periode waarin ‘frontaal’onderwijs domineerde, wilden zij de leerlingen weer de gelegenheid biedentot zelfstandig werken. Om dit mogelijk te maken, kregen probleemaanpak enhet leren bewijzen expliciet aandacht in hun boeken. Bos en Lepoeter zagenoverigens ook nog steeds een belangrijke rol weggelegd voor klassikalemomenten; zij hadden wel in de gaten dat met zelfwerkzaamheid alléén erniet altijd evenveel geleerd kan worden.

Zelfwerkzaamheid?Immers, er zijn niet zoveel leerlingen die uit zichzelf stilstaan bij datgenewat er geleerd kan worden van de gemaakte opgaven. Als het ene na hetandere sommetje snel en oppervlakkig wordt doorgewerkt, zonder iemand diedóórvraagt, zonder ingelaste reflectie, dan wordt er weinig diepgang bereikt.Veel gedaan, weinig geleerd…Die broodnodige bezinning op de leerstof zul je als docent zelf moetenorganiseren – bijvoorbeeld via doelgerichte werkvormen. Natúúrlijk moet deleerling ook regelmatig in z’n eentje aan de slag, natuurlijk is niet voor elkeleerling eenzelfde aanpak even succesvol, maar een goedgeorganiseerdeinteractie met medeleerlingen en/of docent dwingt dóórdenken af, en kanaldus leiden tot meer diepgang en een betere verwerking van de leerstof.

Roelofs: ’Vier lagen’Vier lagen’Het omslagontwerp van Rinus Roelofs bestaat deze keer uit een verwevenrooster van vier identieke lagen. De lagen zelf zijn ontwikkeld vanuit eenregelmatige vlakverdeling. In plaats van de tegels zijn hier echter detussenliggende lijnen (de voegen) gebruikt, waardoor de structuren metgaten zijn ontstaan.

www.wiskundeonderwijs.nlHeeft u de ‘Wiskundeonderwijs Webwijzer’ al bekeken? Via deze nieuwe site,www.wiskundeonderwijs.nl, is informatie en materiaal op de diverse niet-commerciële wiskunde(onderwijs)-websites toegankelijker gemaakt voorzowel leerlingen als docenten. Een uitstekend initiatief!

253Van de redactietafel[Marja Bos]

254Bos en Lepoeter[Harm Jan Smid]

260Wiskunde B-dag 2003[Wilbert Geijs]

266Breien en andere notatiezonden[Ameling Algra]

26940 jaar geleden[Martinus van Hoorn]

270Rubrics[Lambrecht Spijkerboer, PatriciaStraatman]

273Verschenen

274Re:cursief / Chebyshev-polynomen[Rob Bosch]

276Het belang van ijs eten[Victor Thomasse]

278Vakantiecursus 2003[Gert de Kleuver]

280Boekbespreking[Klaske Blom]

282Boekbespreking[Ernst Lambeck]

284Gesprekken met Sjaak (4)[Jan van den Brink]

286Aankondiging

287Van de bestuurstafel[Marian Kollenveld]

288Examenbesprekingen 2004[Conny Gaykema]

289Nieuws van het Wereldwiskunde Fonds[Ger Limpens]

290Recreatie[Frits Göbel]

292Servicepagina

Aan dit nummer werkten verder mee:Peter Boelens, Chris van der Heijden enJan Meerhof.

BOS EN LEPOETEROf: De terugkeer der zelfwerkzaamheid[ Harm Jan Smid ]

Wim Bos

InleidingHet is een gemeenplaats om te zeggen dat hetwiskundeonderwijs van nu totaal verschilt van hetonderwijs van vijftig jaar geleden. Toch is dat niet echtvanzelfsprekend. Het (wiskunde)onderwijs rond 1950verschilde helemaal niet zo sterk van dat van 1900.Waarom is er de afgelopen tientallen jaren dan wel zoveel veranderd?In dit artikel wil ik iets laten zien van de beginfase vandat veranderingsproces. Dan moeten we terug naar dejaren vijftig van de vorige eeuw, toen alles zo op hetoog nog bij het oude was. Toch waren er toen alontwikkelingen gaande die, achteraf gezien, op dieveranderingen vooruit liepen. Een van dieontwikkelingen was het succesverhaal van dewiskundeboeken van Wim Bos en Paul Lepoeter. Dieboeken hebben allerlei interessante kenmerken,waarvan de belangrijkste misschien wel is, datleerlingen er heel goed zelfstandig uit konden werken.Dat is nu vanzelfsprekend, maar toen iets nieuws. Dieboeken pasten bovendien perfect bij het toenbestaande programma en werden op tientallen scholen,door ‘gewone’ leraren gebruikt. Ze vormden daardooreen brug tussen bevlogen onderwijsvernieuwers aan deene kant en de gewone klassepraktijk aan de anderekant. Dit artikel geeft daarom niet alleen een aardigstukje geschiedenis van het wiskundeonderwijs, maarlaat ook iets zien van de opkomst van een werkvormdie nu algemeen aanvaard is, maar dat lang niet altijdwas.

Een stukje geschiedenisEr zijn natuurlijk allerlei redenen aan te geven voor deveranderingen in het wiskundeonderwijs van deafgelopen decennia. De wiskunde is veranderd, vooralook de rol van de wiskunde in de maatschappij, diemaatschappij zelf is veranderd, en daarmee ook deleerlingen èn ook onze opvattingen over wat goed enslecht onderwijs is.Er zijn echter ook motieven binnen het wiskunde-onderwijs zelf aan te geven voor al die groteveranderingen. Het wiskundeonderwijs van de jarenvijftig was het eindproduct van een ontwikkeling vanruim honderd jaar. Allerlei kenmerken van datonderwijs waren daardoor tot het uiterste door-gedreven. Naast de verstarring in de leerstof was éénvan die kenmerken de dominante rol van de leraar, degeringe rol die het leerboek speelde, en daarmeesamenhangend de beperkte mogelijkheden omleerlingen zelfstandig te laten werken.

Dat is zeker niet altijd zo geweest. Vóór de opkomstvan het moderne onderwijs –die opkomst begint in deeerste helft van de negentiende eeuw– was het heelgewoon dat leerlingen zelfstandig werkten. Op velezeventiende en achttiende-eeuwse tekeningen enschilderijen zijn klaslokalen te zien waarop leerlingenvoor zich zelf bezig zijn - zij het soms wel met heelandere dingen dan de meester wenste! Strikt genomenis het woord ‘klaslokaal’ hier niet juist, want er waswel een lokaal, maar eigenlijk geen klas. Leerlingen

van alle leeftijden zaten door elkaar heen in één groteruimte. Ieder werkte voor zich zelf, en meldde zichalleen bij de meester om zijn werk te laten nazien.Klassikale uitleg was tot een minimum beperkt.Onderwijs bestond voor een belangrijk deel uit hetleren nadoen van de voorbeelden uit het leerboek.Begrijpen van het hoe en waarom was niet nodig (ziefiguur 1).

In de eerste helft van de negentiende eeuw veranderdedat. Onderwijs, ook wiskundeonderwijs, werd eeninstrument voor opvoeding en beschaving vankinderen. Leerlingen moesten niet meer alleenonbegrepen vaardigheden inoefenen, maar ookwerkelijk begrijpen wat ze leerden. Het ‘leerstof-jaarklassen’-systeem werd ingevoerd: kinderen vangelijke leeftijd worden bij elkaar geplaatst en werkeneen vooraf vastgesteld programma af. Het is een modeldat al langer op de Latijnse scholen gebruikt werd,maar nu ook op de lagere scholen en de anderescholen voor voortgezet onderwijs werd ingevoerd.De grotere nadruk op het begrijpen van de stof door deleerlingen maakte een meer dominante rol van deonderwijzer bij de uitleg zo al niet noodzakelijk, dantoch wel voor de hand liggend. De invoering van hetleerstof-jaarklassen-systeem maakte dat ook mogelijk.In het begin van de negentiende eeuw zie je nog welpogingen om ook de uitleg via het boek te laten lopen,bijvoorbeeld door het boek in een dialoogvorm tussenleraar en leerling te schrijven. Maar dat soort vormenverdwenen vrij snel. In de loop van de negentiende eneerste helft van de twintigste eeuw werden de boekensteeds dunner en de rol van de leraar steedsbelangrijker, zeker in het voortgezet onderwijs.

Een andere aanpak?Natuurlijk voelde niet iedere docent zich daar evenprettig bij. In Dalton- en Montessori-scholen werd hetzelfstandig werken van leerlingen veel meer benadrukt.Maar wie op een ‘gewone’ school werkte, had met detoen veel gebruikte boeken een probleem als hijleerlingen meer zelfstandig wilde laten werken. Daarwaren die boeken niet meer op geschreven. Achterafkun je zeggen dat de door de leraar gedomineerdeklassikale onderwijsvorm zó overheersend wasgeworden, dat het geen wonder is dat daar een reactieop kwam.Een van die docenten die zich niet gelukkig voelde indat systeem, was Paul Lepoeter, na de oorlog leraarwiskunde aan het Rijnlands Lyceum in Wassenaar. Alsnel kreeg hij daar Wim Bos als collega, en samenontwikkelden zij eigen leerboeken. Met die boeken, dieeen groot commercieel succes werden, was zelfstandigwerken wèl mogelijk. Daarmee liep ‘Bos&Lepoeter’vooruit op één van de ontwikkelingen die later, vanafde jaren zeventig, het wiskundeonderwijs steeds meerzouden gaan bepalen. Op het symposium van deHistorische Kring Reken- en WiskundeOnderwijs[1] van2003 is aandacht besteed aan die Oude Meesters, zoalsBos&Lepoeter, Van Hiele en Troelstra, die in de jarenvijftig voorop liepen met vernieuwingen. Voor dat

2 5 5euclides nr.6 / 2004

Kohnstamm en via deze Bos, maar ook bijvoorbeeldA.D. de Groot en de Van Hieles. Selz bestudeerde demanier waarop mensen problemen – bijvoorbeeldwiskundige problemen – oplosten. Hij probeerde aande hand van dat onderzoek algemene strategieëndaarvoor te vinden. Door die te onderwijzen kon je,naar zijn overtuiging, kinderen leren problemen beteren sneller op te lossen. Selz was dus een van de eerstendie zich bezig hield met wat nu systematischeprobleemaanpak heet.Bos had tijd genoeg om zich hierin te verdiepen. Kortvoor en tijdens de oorlog waren er alleen maar kleinebaantjes te krijgen. Bovendien vond hij alleen maarwiskunde ‘een beetje saai’. Zo vormden de totaalverschillende Bos en Lepoeter toch een goedecombinatie om iets nieuws te proberen: Lepoetervanuit zijn gedrevenheid om het onderwijs anders in terichten, en Bos vanuit zijn ruimepedagogisch/didactische kennis en belangstelling.

Leesbare boekenDe boeken die in de vijftiger jaren nog veel gebruiktwerden, zoals Wijdenes, Alders, Van Dop en VanHaselen, Vredenduin, waren voor de meeste leerlingen,in de woorden van Bos, ‘volslagen onleesbaar’. Vooreen docent was het niet zo heel moeilijk zelf zo’n typeleerboek te schrijven. De leerstof lag al decennia vast.Die moest je correct en compact samenvatten endaarnaast moest je als auteur voor een grote collectieopgaven zorgen. Veel didactische structuur, illustratiesof andere bijzonderheden bevatte een boek uit die tijdniet. De productiekosten waren dan ook niet zo hoog.Vanuit die achtergrond valt te begrijpen dat er zoveelboeken op de markt konden verschijnen, door niet

symposium is Wim Bos door Fred Goffree uitgebreidgeïnterviewd (Paul Lepoeter is jaren geledenoverleden). Veel gegevens uit het vervolg zijn ontleendaan dat interview.Een grappig toeval is dat Paul Lepoeter en Wim Boselkaar als kleine jongetjes al kenden, maar na de lagereschool het contact verloren tot ze elkaar weer alscollega’s op het Rijnlands Lyceum troffen. Lepoeterwas in Indië geweest, had de oorlog in gevangenschapdoorgebracht en was daar niet onbeschadigduitgekomen. Hij wilde over die ervaringen nooitpraten. Naar het oordeel van Bos was hij een zeerbegaafde, maar gesloten en eenzame man. Hij voeldezich onzeker binnen het traditionele klassikaleonderwijs, omdat hij naar zijn gevoel dan onvoldoendegreep had op de resultaten van zijn leerlingen. Hijwilde dat zijn leerlingen voor zichzelf konden werken,zodat hij iedereen individueel kon begeleiden. Eigenlijkkon hij er niet tegen als er leerlingen in zijn klas zatendie de leerstof niet goed onder de knie kregen.Toen Wim Bos op het Rijnlands ging werken,probeerde Lepoeter al materiaal voor zelfwerkzaamheidte ontwikkelen. Op aandrang van de rector ging Bosmet hem samenwerken. Bos was een uitstekend leraar– alle oud-leerlingen van hem die ik gesproken heb,waren zeer lovend over hem – en kon ook alsklassikaal docent prima uit de voeten. Maar Bos had alveel langer een pedagogisch/didactische belangstelling.Zo had hij bij zijn wiskundestudie als bijvakpedagogiek bij Kohnstamm gedaan en daarbij kennisgemaakt met het Montessori-onderwijs en de denk-psychologie van Selz. Otto Selz (1881-1943) was eenDuitse leerpsycholoog die in 1939 – hij was joods –naar Nederland uitweek.[2] Hij beïnvloedde niet alleen


FIGUUR 1 Hoofdelijk onderwijs

meer dan een of twee auteurs geschreven, met maareen heel beperkte afzet. Voor de auteurs en detijdgenoten waren de verschillen tussen de diversemethodes ongetwijfeld duidelijk, maar achteraf valttoch vooral op hoe sterk al die boekjes op elkaar leken.Dat geldt zeker niet voor de boeken van Bos enLepoeter. In de eerste plaats zijn ze wat dikker dangebruikelijk. Dat moest ook wel, want ze bevattennatuurlijk meer uitleg en voorbeelden. Daarnaastbevatten ze meer illustraties, soms al echte foto’s, enmaken ze al gebruik van een steunkleur, rood, ombepaalde zaken een extra accent te geven. Wat deboekjes, en dan vooral de meetkundeboeken, echtervooral interessant maakt is dat er ook duidelijk eendoordachte didactische structuur in zit. Een uitleg overdie structuur is te vinden in de Toelichting die bij demethode verscheen, ook al iets bijzonders in die tijd. Indie toelichting wordt onder andere uitgelegd waaromde auteurs een organisatievorm nodig vinden waarbijzelfwerkzaamheid een grote rol speelt. Ik citeer eenstukje uit die toelichting.

‘Wij hebben de indruk dat in het algemeen de gangvan zaken is: de theorie wordt uitgelegd (en geleerd),een paar vraagstukken worden voorgemaakt enbesproken, en tenslotte worden een aantal variaties opde gemaakte vraagstukken opgegeven. Dit laatste isdan eigenlijk de enige zgn. “zelfwerkzaamheid”. Wijzijn van mening, dat op deze wijze1. bepaalde individuele misverstanden en moeilijk-heden niet op te heffen zijn,2. leerlingen moeten wachten, die het allang begrepenhebben,3. leerlingen iets op gaan schrijven wat zij nog niet

door hebben,4. een verkeerde werkinstelling (nl. overwegendreproductief) in de hand gewerkt wordt.Wij achten het nodig dat het boek zodanig issamengesteld, dat1. individuele hulp in ruime mate mogelijk is,2. de leerlingen verder kunnen,3. de controle, of iets begrepen is, geen zuiverereproducties vereist, maar door middel van opgavengebeurt, waarbij dezelfde denkmoeilijkheden ingewijzigde vorm, overwonnen moeten worden.Deze overwegingen brachten ons er toe als criteriumvoor de mate van didactisch commentaar en ook voorde keuze van de opgaven te nemen: de klas moetverder kunnen.’

Een voorbeeldHoe dat nu in de boeken van Bos en Lepoeter in depraktijk werd gebracht, kan het beste aan eenvoorbeeld geïllustreerd worden. Ik laat een stukje uitWegwijzer in de meetkunde zien, uit het eerste deel (ziefiguur 2).Het eerste wat opvalt is de informele toon en deglasheldere uitleg van wat het probleem is, en hoe jedat op kunt lossen. Je kunt je heel goed voorstellen datleerlingen zo’n tekst zelf kunnen lezen en begrijpen.Maar er is nog veel meer interessants aan dit stukje.Het belangrijkste van die vlakke meetkunde uit delagere klassen was, dat de leerlingen echte problemenleerden oplossen, soms bewijsproblemen, somsconstructieproblemen. Bij die bewijsproblemen moest jevaak van congruente driehoeken gebruik maken. Detraditionele boeken uit die tijd gaven geen enkeleaanwijzing hoe je dat nu moest aanpakken. Het nieuwe


FIGUUR 2 Wegwijzer in de meetkunde, 1, blz. 20

hele meetkundeleergang gebruikt en resulteerden nietalleen in netter en overzichtelijker werk, maar gavende leerlingen ook houvast om de logische structuurvan de oplossingsstrategie beter te doorzien. En ookdat komt terug in Moderne wiskunde. In deSamenvatting van hoofdstuk M1 uit hetzelfde deelstaat ook een stukje onder de kop Hoe schrijf je eenbewijs op? Zie figuur 4. Het is niet moeilijk hierindezelfde structuur te ontdekken als onder punt 5 in hetfragment uit Bos&Lepoeter.In het ‘Docentenboek vwo bovenbouw Wiskunde B2deel 1’ bij Moderne wiskunde wordt het verband metBos&Lepoeter ook expliciet gelegd en wordt de‘beroemde schoolboekenserie’ van deze auteurs alsinspiratiebron genoemd. Treffend is het om daarbij tebedenken dat de voortgezette meetkunde bedoeld isvoor 5-vwo, en dan ook nog alleen voor het N&T-profiel. Het voorbeeld uit Bos&Lepoeter was bedoeldvoor alle eersteklassers die naar het middelbaaronderwijs gingen!

Niet bij zelfwerken alleenAan het zelfstandig laten werken van leerlingen zit eenrisico. Bos heeft dat heel goed beseft. Zoals hij nog inhet interview zei: ‘Een leerling kan natuurlijk heelgoed een boekje helemaal doorgewerkt hebben en ertoch niets van begrepen hebben’. Om dat te voorkomenheeft ook ‘het klassikale’, zoals Bos dat noemt, eenfunctie. In de Toelichting worden als functies van hetklassikale genoemd: de globale controle op het werk,het vastleggen van de verworven kennis, het nagaan ofde tekst begrepen is en het uitlokken van discussies.Een goede afwisseling van zelfwerken met klassikalemomenten is essentieel, maar ook in de klassepraktijk

van Bos&Lepoeter is dat aan de verschillendeoplosmethodes en strategieën die je daarbij kuntgebruiken, expliciet aandacht wordt geschonken. Bosen Lepoeter schreven dan ook in de Toelichting dat aldat oefenmateriaal diende om een ‘denkende probleem-aanpak te verkrijgen, waarbij verschillendeoplosmethoden met inzicht gebruikt worden’. Dieoplosmethodes worden expliciet onderwezen. Ditvoorbeeld, de Hulpcongruentie, is een onderdeel van destrategie Congruentie met een tussenschakel. Dezestrategie duikt ruim veertig jaar later weer op in hetexperimentele Profi-materiaal voor VoortgezetteMeetkunde onder de term Schakels.[3] Nog frappanter ishet verschijnen van hetzelfde voorbeeld in Modernewiskunde. Ook hier wordt dit sommetje gebruikt omeen strategie voor de aanpak van een bewijs tedemonstreren (zie figuur 3).Die aanpak, gebaseerd op de denkpsychologie vanSelz, laat duidelijk de inbreng van Bos zien en isverwant aan wat nu SPA, Systematische ProbleemAanpak, heet. Die uitdrukking, voor het eerst gebruiktdoor Mettes en Pilot in hun proefschrift over hetoplossen van problemen in de natuurkunde, isopgepakt door Anne van Streun en door hem verderontwikkeld voor het wiskundeonderwijs. Door het werkvan Van Streun is die aanpak weer in de schoolboekenvoor de tweede fase terecht gekomen. Tussen Bos enVan Streun is dan ook een sterke didactischeverwantschap te constateren, die door Van Streun inzijn proefschrift Heuristisch wiskunde-onderwijsduidelijk is aangegeven.Een derde kenmerk van dit stukje is het schema waarinde leerlingen hun oplossingen moeten noteren. Zulkeschema’s werden door Bos&Lepoeter systematisch in de


FIGUUR 3 Moderne wiskunde, vwo bovenbouwWiskunde B2, deel 1, blz. 23

van nu een lastig punt. Zoals een hedendaagse leerlingdie schoon genoeg had van al dat zelfstandig werken,eens tegen mij zei: ‘Je zit je het hele uur de takke tewerken en dan heb je nòg niks geleerd!’ Zelfstandigwerken is mooi, maar al evenmin alleen zaligmakendals uitsluitend klassikaal onderwijs. Bos had daar alvroeg oog voor.

Erkenning in de praktijkDe boeken van Bos en Lepoeter waren commercieelgezien een waagstuk, maar werden naar de maatstavenvan die tijd een groot succes. Na de methode Alderswaren het in de jaren vijftig en zestig de meestgebruikte boeken. Door een verschil van inzicht tussenBos en Lepoeter onderling, en de komst van het nieuweleerplan bij de mammoetwet, verdween de methode inde jaren zeventig van het toneel.Het is opvallend dat het werk van Bos en Lepoeter in dedidactische discussie nooit zoveel aandacht heeftgekregen. In het grote overzichtswerk van Wansink,Didactische Oriëntatie, worden Bos en Lepoeter precieséén keer in een bijzinnetje genoemd. Van Hiele,eveneens auteur van een vernieuwende methode in dietijd, Van A tot Z, wordt daarentegen tientallen kerenvermeld. Dat heeft er ongetwijfeld mee te maken dat Bosen Lepoeter wel een vernieuwende methode brachten,maar niet, zoals Van Hiele, nieuwe theoretischeinzichten. Van Streun is een van de weinigen die in dejaren tachtig en negentig belangstelling voor het werkvan Bos en Lepoeter behouden heeft en het belangrijkvernieuwende karakter daarvan doorzien heeft.Maar ik heb niet de indruk dat Wim Bos daar ergonder geleden heeft. Op een vraag tijdens het interviewover de kritiek die hun boeken in die tijd kregen,

antwoordde Bos, dat ze daar niet zoveel belangstellingvoor hadden. Ze verkochten immers toch wel,reageerde hij enigszins triomfantelijk. En over hetwaarom van dat succes had hij ook een duidelijkemening: met hun boeken was tenminste te werken,zowel voor leraar als leerling!In het onderwijs van nu spreekt het vanzelf datleerlingen zelf met hun boek aan de slag moetenkunnen en dat het boek een duidelijke didactischestructuur moet bieden. Doordat Bos en Lepoeter al inde jaren vijftig en zestig lieten zien dat zoietsrealiseerbaar was binnen een ‘gewoon’ programma envoor ‘gewone’ docenten, hebben ze een belangrijke rolgespeeld in de aanloop naar de grote omslag in onswiskundeonderwijs van de jaren zeventig en tachtig.

Noten

[1] De HKRWO, een informele club van geïnteresseerden in de

geschiedenis van het rekenen wiskundeonderwijs, houdt jaarlijks op

een zaterdag in mei een symposium over historische aspecten van dat

onderwijs. Inlichtingen bij Ed de Moor, [email protected]

[2] Selz kwam in 1943 in Auschwitz om.

[3] ‘Denken in cirkels en lijnen’, Voortgezette Meetkunde, deel IIB,

Freudenthal Instituut, 1998.

Over de auteur

Harm Jan Smid (e-mailadres: [email protected]) is werkzaam

aan de TU Delft en is daar vele jaren betrokken geweest bij de

lerarenopleiding. Tegenwoordig ligt het zwaartepunt van zijn werk bij

de organisatie en vormgeving van het wiskundeonderwijs ten behoeve

van de ingenieursopleidingen van de TUD. Daarnaast gaat zijn

interesse vooral uit naar de geschiedenis van het wiskundeonderwijs.


FIGUUR 4 Moderne wiskunde, vwo bovenbouwWiskunde B2, deel 1, blz. 29


WISKUNDE B-DAG 2003Spelen met elleboogjes[ Wilbert Geijs ]

InleidingOp vrijdag 28 november 2003 vond voor de vijfde keerde jaarlijkse Wiskunde B-dag plaats. Deze dag, detegenhanger van de A-lympiade, is bedoeld voorwiskunde B-leerlingen van 5-havo, 5-vwo en 6-vwo.Ik loop deze dag mee op Christelijk College ‘dePopulier’, een school in Den Haag. De Wiskunde B-dagis een landelijke, door het Freudenthal Instituutgeorganiseerde wedstrijd waaraan zo’n 140 scholenmeedoen. Het gaat daarbij om ruim 5000 leerlingen,verdeeld over pakweg 1400 teams van drie of vierleerlingen. De leerlingen dienen de opdrachten inteamverband uit te voeren. Daarnaast moeten ze eenverslag van de opdrachten te maken. Aan het eind vande dag is alles af.Hoewel de Wiskunde B-dag eigenlijk een wedstrijd is,laten veel scholen dit wedstrijdelement varen. Op ‘dePopulier’ wordt het verslag beoordeeld en telt het meeals praktische opdracht (PO). Daarbij speelt in het heleproces de samenwerking tussen de leerlingen een groterol.

Wiskunde door de bochtDe titel van de opdracht van dit jaar was ‘Wiskundedoor de bocht’. Aan de hand van een aantal opdrachtenmoesten de leerlingen de mogelijkheden van een stukjespeelgoed, een zogenaamde Tangle of ‘elleboog’ (ziefiguur 1), wiskundig nader onderzoeken. De tangleskomen uit de Verenigde Staten en zijn 1,5 inch groot.Een tangle heeft de vorm van een kwartcirkel. Met éénklik kunnen ze worden geschakeld. Een geslotenschakeling van zulke elleboogjes (zonder begin- eneindpunt) wordt een circuit genoemd. Circuits kunnengemaakt worden in het platte vlak, maar ook in deruimte.Om de wiskunde eenvoudig te houden wordt eenvertaalslag gemaakt waarbij de dikte van deelleboogjes te verwaarlozen is, en waarbij de straal 1is. Een vlak circuit met acht elleboogjes is te zien infiguur 2.In de verbindingen zitten de kwartcirkels met huneindpunten aan elkaar en hebben daar eengezamenlijke raaklijn.Alle teams krijgen een setje van 18 ellebogen. Dit setjeis bedoeld om daadwerkelijk constructies uit te voerendie het denken en redeneren over circuits in algemenezin (dus ook voor circuits van meer dan 18 elleboogjes)kunnen ondersteunen.

Welke vlakke n-circuits zijn mogelijk?De eerste opdracht is misschien de eenvoudigste, maarook de omvangrijkste. Bij deze opdracht wordt alleengekeken naar n-circuits in het platte vlak. De meesteenvoudige is een 4-circuit: een cirkel. Onderzochtmoet worden welke vlakke circuits mogelijk zijn voorn�8, n�12 en n�16. Voordat dit laatste gevalbekeken wordt, moet een handige beschrijvingswijzevoor de circuits en een systematiek bij het zoeken naaralle mogelijkheden ontwikkeld worden. Daarna moetende leerlingen ontdekken en beredeneren dat een vlakn-circuit alleen mogelijk is als n een viervoud is.


FIGUUR 1 Het speelgoed: de tangle oftewel het elleboogjeFIGUUR 2 Een wiskundige representatie van een vlak circuitmet acht elleboogjes

FIGUUR 3 Een team buigt zich over de opdrachtenFIGUUR 4 Een 12-circuit, inclusief twee verschillendebeschrijvingen (beginnend midden boven, met de wijzers vande klok mee)

Natuurlijk is dit geen plausibele verklaring. Of dezevraag succesvol kan worden opgelost is afhankelijkvan de keuze die is gemaakt bij de beschrijving vancircuits. Omdat ‘bol’ en ‘hol’ elkaar neutraliseren, moetvoor een gesloten circuit gelden dat dit in globale zinbeschreven wordt door bol + bol + �n�

24

� (bol + hol) +bol + bol. Hierbij is n een waarde waarvoor een vlakn-circuit mogelijk is. Als n oneven zou zijn, komt eruit de uitdrukking �n�

24

� te allen tijde een gebrokengetal. Dit is fysisch onmogelijk, dus een vlak n-circuitwaarbij n oneven is, is niet mogelijk.Een iets eenvoudiger redenering verloopt via debeschrijving met behulp van hoeken. Het blijkt dat eencircuit pas gesloten is als de bijdrage van alleellebogen opgeteld 360° is. In het geval van figuur 4geldt dus: + 90° - 90° + 90° + 90° + 90° - 90° - 90° +90°+ 90°+ 90° - 90° + 90° = 360°. Bijkomendevoorwaarde is, dat ‘begin’ en ‘eind’ van het circuit ooknog op elkaar aansluiten. Een oneven aantalelleboogjes kan dus nooit een circuit vormen, immersde uitkomst daarvan is nooit 360°.

Op de vraag of een vlak 6-circuit mogelijk is, moetende leerlingen een redenering opzetten die begint metdrie elleboogjes. Logisch redeneren biedt ook hieruitkomst, maar hiervoor hebben de leerlingen helaasvaak niet het geduld. De klok tikt immers door en dateen 6-circuit niet mogelijk is, is door experimenterenmet de elleboogjes al gebleken.In figuur 7 is een mogelijke aanpak te zien. Eenschakeling van drie elleboogjes wordt op eenassenstelsel gelegd, gebruik makend van het feit dat destraal van de elleboogjes 1 is. Plaatsen we nu vanuitpunt O drie geschakelde elleboogjes die aansluiten opde als eerste geplaatste elleboogjes, dan vinden wevoor de eindcoördinaten van de derde elleboog devolgende mogelijkheden:(�3, 1), (�3, 3), (1, 1), (1,3), (�3,�1), (�3,�3), (1,�1)en (1,�3).De uiteinden sluiten nergens aan, dus een vlak 6-circuit is niet mogelijk. Een zelfde situatie doet zichvoor bij 10-circuits, 14-circuits, enzovoort.

‘Voor welke waarden van n is een vlak n-circuitmogelijk?’, zo luidde de eerste algemene vraag vanopdracht A. De meeste teams zijn er wel achter dat ditgeldt als n een 4-voud is; maar om dit hard te maken,dat valt niet mee.

De oppervlakte van vlakke n-circuitsOgenschijnlijk volgt nu een makkelijke afsluitendevraag. ‘Welke oppervlaktes kunnen bij vlakke 12-, 16-,…, n-circuits voorkomen?’ Hiertoe moet eerst bewezenworden dat de omsloten oppervlakte van een 8-circuitgelijk is aan ��4. Dit levert moeilijkheden op, omdatleerlingen slecht loskomen van ‘horizontale’tekeningen; zie figuur 8.Als de leerlingen eenmaal doorhebben hoe het moet,levert verdere oppervlaktebepaling geen problemen op.Veelal wordt volstaan met het tellen van het aantalgeheel bedekte oppervlakte-eenheden, waarna het

Voor de 33 deelnemende leerlingen van ‘de Populier’levert het maken van een 8-circuit geen problemen op.Er is maar één mogelijkheid. Bij een circuit van12 elleboogjes doen zich de eerste problemen voor. Allemogelijkheden moeten worden gevonden. Veelleerlingen gaan driftig aan het experimenteren, zonderdaarbij logisch te redeneren. Uiteindelijk vinden ze alledrie de mogelijkheden. Een deel van de leerlingenbegint nu al met notities en tekeningen te maken voorhet verslag. Dit is niet onverstandig, want in de praktijkblijkt het maken van het verslag veel tijd te kosten. Dekop is er nu af en het echte werk gaat beginnen. Hoebeschrijf je een circuit op papier? Veel teams komen opde uitdrukkingen ‘bol’ en ‘hol’, overigens zonderdaarbij die begrippen te definiëren. Omdat het circuitgesloten is, is er geen begin- en eindpunt. De keuze vanhet beginpunt en de beschrijvingsrichting worden nietals belangrijk beschouwd. In één team wordt ook demogelijkheid van een beschrijving in hoeken bekeken.Een positieve bijdrage aan het sluiten van het circuitzou dan als +90° kunnen worden aangemerkt, eennegatieve bijdrage als –90°. Deze groep kijkt echternaar de oriëntatie van de aansluitingen en komt er nietgoed uit. Na enige discussie wordt gekozen voor deeenvoudiger ‘bol’- en ‘hol’-beschrijving. Dat is jammer,want naar later zal blijken kan met de hoekbeschrijvingmooi worden geredeneerd.

Ook bij het zoeken naar mogelijke 16-circuits wordt erweer driftig geëxperimenteerd. De systematiek volgtlater wel. De methode van trial and error levert al snel5 of zelfs 6 mogelijke vlakke circuits op. Leerlingendenken nu dat ze alle mogelijkheden gevonden hebben.Bovendien verkeren ze in de veronderstelling dat hetaantal mogelijke circuits een mooie rij is: bij4 ellebogen 1 circuit, bij 8 ellebogen 1 circuit, bij12 ellebogen 3 circuits, dus bij 16 ellebogen zullen heter dan wel 5 zijn (regelmaat: plus 2) of 6 (regelmaat:maal 2, die gezien de reeks 1 – 1 – 3 – 6 eigenlijk geenregelmaat is). Er blijkt echter nog een zevende circuitmogelijk. Veel teams hebben deze niet gevonden,omdat geen systematiek is gevonden of toegepast.

Een goede systematiek vinden is nog niet zoeenvoudig. Alle mogelijke verschijningsvormen vaneen 16-circuit moeten worden gevonden. Het is danhandig om terug te keren naar de 12-circuits. Hoe zijndie ontstaan?Circuit 2 ontstaat uit circuit 1 door de gestippeldeelleboogjes te spiegelen in lijn AB (zie figuur 5).Circuit 3 ontstaat uit circuit 2 door de gestippeldeelleboogjes te spiegelen in lijn CD. Passen we ditspiegelen toe op de 16-circuits, dan vinden we7 mogelijkheden. Hierbij wordt opgemerkt dat spiegel-beelden niet als een ander circuit aangemerkt worden.

Het is geen sinecure om te verklaren dat je bij eenoneven aantal elleboogjes nooit een vlak circuit kuntleggen. Leerlingen zeggen al snel: ‘Het is toch logischdat dat niet kan! Iets wat oneven is kan nooit sluitenin het platte vlak.’


‘bochtenwerk’ daarbij wordt opgeteld. Ook hierproberen de leerlingen weer naar logica te zoeken. Bijeen 12-circuit zal de oppervlakte wel ��8 zijn. Voortwee van de drie gevallen klopt dit inderdaad, maar bijde derde gaat het mis. De oppervlakte van deze figuuris ��16. Een beperkt aantal teams is in de vaart dervolkeren over dit probleem gestapt. Hun (verkeerde)conclusie luidt dan ook dat de oppervlakte van een n-circuit gelijk is aan ��n�4. De meeste teams ziengelukkig wel dat er bij een n-circuit verschillendeoppervlakten mogelijk zijn. In tegenstelling tot deminimale oppervlakte blijkt het voor de leerlingen welmoeilijk te zijn een algemene formule af te leiden diede maximale oppervlakte van een n-circuit geeft. Deleerlingen zoeken het ook hier in concrete voorbeelden.Na n = 16 houdt het, gezien de toenemende tijdsdruk,op. Dat is jammer, want voor de deelnemendeleerlingen moet dit probleem op te lossen zijn.

Voor een n-circuit is dus geen eenduidig antwoord tegeven voor de oppervlakte, met uitzondering van n = 4en n = 8. Onderzoek leert het volgende:

n 4 8 12 16 20 24 minimale � ��4 ��8 ��12 ��16 ��20oppervlaktemaximale � ��4 ��16 ��28 ��48 ��68oppervlakte

De oppervlakte is minimaal bij een zo lang en smalmogelijk circuit. Deze oppervlakte is eenvoudig vast testellen: minimale oppervlakte n-circuit = ��n�4De oppervlakte is maximaal als het circuit zo veelmogelijk op een rechthoek lijkt waarvan de zijden inlengte zo weinig mogelijk van elkaar verschillen. Elkezijde moet bovendien uit een oneven aantalelleboogjes bestaan. Als �

n4

� oneven is, kunnen alle 4 dezijden uit �

n4

� elleboogjes bestaan. De oppervlakte is dangelijk aan die van een vierkant met zijden �

n4

� �2� plusde oppervlakte van vier ‘maantjes’, die samen eencirkeloppervlak met straal 1 minus het ingeschrevenvierkantje kunnen vormen. De oppervlakte is dan:

(�n4

� �2�)2 �� (�2�)2 �� n8

2� �2 met �

n4

� oneven.

Als �n4

� even is, vind je de maximale oppervlakte als jehet ene tweetal tegenover elkaar liggende zijden laatbestaan uit elk �

n4

� �1 elleboogjes en het andere tweetaltegenover elkaar liggende zijden uit elk �

n4

� �1elleboogjes. De oppervlakte is dan:

(�n4

� �1) ��2� � (�n4

� �1) ��2� �� (�2�)2 �� n8

2� �4

met �n4

� even.

Welke tussenliggende waarden voor de oppervlaktevan een n-circuit mogelijk zijn is in dit geval nietbekeken.

Inmiddels begint de tijd te dringen. Er moet met hetverslag begonnen worden. De teams splitsen zich op.


FIGUUR 5 De drie mogelijke 12-circuitsFIGUUR 6 De zeven mogelijke 16-circuits, ontstaan door deverschillende manieren van spiegelen

FIGUUR 7 Mogelijke eindpunten van drie geschakeldeelleboogjesFIGUUR 8 Een tekening 45° roteren maakt het probleem eenstuk eenvoudiger!

Eigen onderzoekAls laatste onderdeel worden de leerlingen uitgedaagd,zelf problemen te formuleren en op te lossen. Erworden een aantal suggesties gedaan. De meeste teamswaren echter opgelucht dat ze de eindstreep haddengehaald en hebben zich daarom niet meer beziggehouden met het formuleren en oplossen van eigenproblemen. Op dit moment van de dag (tegen15.00 uur; het verslag moet dringend af) is de animodaarvoor ook niet meer zo erg groot.

Ten slotteAan het eind van de dag is het tijd voor een terugblik.De meeste leerlingen waren enthousiast over deopdracht, ondanks het feit dat het een vermoeiendedag was. Het werken met concreet materiaal sprak aan.De opdrachten waren uitdagend en de antwoorden nietal te veel voor de hand liggend; je moest echtonderzoek doen en goed nadenken. Bovendien is hetgrote voordeel van deze praktische opdracht dat dezein één dag is afgerond.Ook de docente is tevreden. De leerlingen hebben goedgewerkt. De inzet en samenwerking waren goed, ietswat bij andere praktische opdrachten lang niet altijdhet geval is.

Conclusies en aanbevelingenTot slot wil ik proberen enkele conclusies enaanbevelingen te geven voor de Wiskunde B-dag. Dezeaanbevelingen gelden zowel voor docenten als voor deorganisatoren.

Algemeen kan geconcludeerd worden:- Een praktische opdracht kan sterk motiveren.- Het niveau van de opdracht is voldoende hoog. Deleerling hoeft echter geen kei in wiskunde te zijn omde opdrachten toch tot een goed einde te brengen.- Over een breed terrein worden kennis en begrip bijelkaar gebracht, waardoor geïntegreerdewiskundekennis wordt gestimuleerd.- Het ‘risico’ dat gebruik gemaakt wordt van bestaande(internet)verslagen is tot een minimum beperkt.

Voor de docenten:- Probeer zelf te surveilleren. Als docent ken je jeleerlingen en is het onderdeel ‘samenwerken’ goed tebeoordelen. Dit is vooral belangrijk als dit projectmeetelt als Praktische Opdracht.- Bereid leerlingen voor op de Wiskunde B-dag: wat ishet, moet je goed zijn in wiskunde, lees eerst deopdracht door, verdeel de taken (hoe samenwerken),enz.- Laat leerlingen bewust pauze houden, anders stortenze aan het eind van de middag in.- Zorg voor voldoende PC’s gedurende de gehele dag.- Laat de leerlingen op tijd met het verslag beginnenen houd de tijd goed in de gaten.- Om voortvarend te starten is het verstandig teamsvan te voren in te delen. Streef naar teams van vierpersonen; de leerlingen opereren vaak in groepjes vantwee.

Eén of twee leerlingen beginnen vast met het verslag,de andere leerlingen gaan verder met de overigeopdrachten.

Een circuit met beperkte ruimteMet de elleboogjes kunnen ook ruimtelijke constructiesworden gevormd. In de ruimte heb je eindeloos veelconstructiemogelijkheden. In dit gedeelte van deopdracht wordt een beperking aan de bewegingsruimteopgelegd. De elleboogjes liggen in de vlakken van eenkubisch rooster, met de eindpunten van de elleboogjessteeds op de middens van de ribben van de kubussenvan dat rooster.Het blijkt dat er twee 6-circuits aan de gestelde eisenvoldoen. Eén van deze 6-circuits is vrij beweegbaar, deandere is star. Ook 8- en 10-circuits zijn mogelijkbinnen de gestelde eisen. De leerlingen zoeken hethierbij in de kwantiteit: hoe meer circuits ze vinden dieaan de voorwaarden voldoen, hoe beter. Overigens isdit logisch, want de opdracht luidt: onderzoek welke 8-en 10-circuits voldoen aan de opgelegde beperking. Devreugde als er weer een nieuwe variant gevondenwordt, is dan ook groot. Duidelijk is te merken dat deleerlingen er plezier in hebben; de opdracht is vrijervan aard en in hun ogen ook minder moeilijk. Ook nuweer ontstaan de circuits veelal via trial and error.Voor oneven n blijkt het niet mogelijk een n-circuit opeen kubisch rooster te plaatsen. Uit deze bevindingenwordt door de meeste teams geconcludeerd dat vooreven waarden van n een ruimtelijk circuit op eenkubisch rooster mogelijk is, waarbij aangetekend dientte worden dat n�6.

De vrije ruimteEen apart geval in de vrije ruimte is n = 5; ziefiguur 11. Bij het ‘vasthouden’ van elleboog CDkunnen de ellebogen AB en BC vrij draaien. Punt P(het snijpunt van de raaklijnen in B en C) blijft steedsop dezelfde plek liggen. Dit betekent dat punt B tenopzichte van punt P een cirkel beschrijft. Maar dathoudt dan ook weer in dat punt R (het snijpunt van deraaklijnen in A en B) een cirkel beschrijft ten opzichtevan het punt P. Punt A beschrijft weer een cirkel tenopzichte van punt R. De beweging van punt A tenopzichte van punt P is dus een cirkelbeweging metstraal AR = 1 op een cirkelbeweging met straal PR = 2.Punt A beweegt zich ten opzichte van punt P op hetoppervlak van een bol met middelpunt P en straal AP.Hierbij moet nog de opmerking gemaakt worden datpunt A niet op alle posities kan komen die op eenafstand AP van P afliggen; A beweegt zich op eengedeelte van het boloppervlak. De afstand AP is gelijkaan �5�, want �APR is een rechthoekige driehoek metAR�1 en PR�2. Met een zelfde redenering kanaangetoond worden dat de afstand tussen de punten Fen Q ook steeds gelijk is aan �5�.De meeste leerlingen zijn zelfstandig uit dit probleemgekomen. Sommige groepjes hebben even een duwtjein de rug nodig: zoek eens uit wat er met het punt Pgebeurt, als je aan de ellebogen AB en BC gaatdraaien. Dit duwtje is meestal voldoende.


Voor de organisatoren:- Probeer ook vrijheid in te brengen in de eersteopdrachten. Aan de laatste opdracht komen deleerlingen nauwelijks toe en als ze er al aan toekomen,zijn ze niet meer gemotiveerd. De druk van het verslagis te groot.

Met dank aan mevrouw M. Kollenveld en de heer J. de Geus (beiden van ‘de Populier’) en aan mevrouwA. Verweij (TU Delft) voor het meelezen en hetcommentaar.

Internetbronnen

- www.tangletoys.com is de website van de bedenker en leverancier van

de ‘elleboogjes’.

- www.fi.uu.nl/wisbdag is de website van het Freudenthal Instituut met

daarop opdrachten en verslagen over de Wiskunde B-dag.

Literatuur

- D. Dullens: De Wiskunde B-dag 2001, in: Nieuwe Wiskrant, jg 21

nr. 3 (maart 2002), pp. 4-7.

- A. Goddijn: 1 + 1 = 2 en hoe nu verder?, in: Nieuwe Wiskrant, jg 22

nr. 4 (juni 2003), pp. 11-16.

- D. de Haan: De eerste landelijke Wiskunde B-dag, in: Nieuwe

Wiskrant, jg 20 nr. 4 (juni 2001), pp. 14-15.

- Team Lorentz Casimir Lyceum: De maan, straks een geval apart?, in:

Nieuwe Wiskrant, jg 20 nr. 4 (juni 2001), pp. 16-18.

- C. Zaal: Tangle, in: Pythagoras, jg 43 nr. 4 (februari 2004), pp. 30-32

Over de auteur

Wilbert Geijs (e-mailadres: [email protected]) is afgestudeerd

werktuigbouwkundig ingenieur en volgt momenteel de eerstegraads

lerarenopleiding wiskunde aan de TU Delft.


FIGUUR 9 De oppervlaktebepaling van n-circuitsFIGUUR 10 Een gesloten 6-circuit ‘op’ een rooster en eengesloten 6-circuit ‘in’ een rooster

FIGUUR 11 Een geval apart: n = 5FIGUUR 12 Een goede voorbereiding is het halve werk. Delaptop (van thuis meegenomen) voorkomt heen en weergeloop naar de computerruimte

correctievoorschrift gingen vragenstellers uitgebreid in.Men vroeg zich af of met het gewijzigdecorrectievoorschrift niet een wezenlijk onderdeel vanhet wiskundeonderwijs teloorgaat. Wezenlijk, zobeklemtoonden briefschrijvers, vooral voor deleerlingen in het vmbo.Dat men zich bij het examen 2003 overvallen voelde,dat kan achteraf niet worden hersteld. Wel kunnen weachteraf reflecteren op de opgeworpen vragen. Hoeessentieel is het vermelden van eenheden, hoebelangrijk is een exacte notatie? Kan onderscheidgemaakt worden tussen leerproces en toets of examen,of mag dat per se niet? Een universele vraag, die speeltbij elk vak en elk schooltype. Vandaar het ‘uitstapje’naar een havo-vwo-bovenbouwsituatie aan het beginvan dit artikel. Nog even daarnaar terug.

Een grafiek is (g)een functieFunctie en grafiek, twee woorden voor hetzelfde -volgens mijn leerlingen. Een grafiek heeft een top, eenfunctie heeft een maximum, maar ‘t is allemaalhetzelfde. Dus maximum (4,10).Voor mij is een grafiek niet hetzelfde als een functie.En ik vind het belangrijk dat mijn leerlingen hetonderscheid leren zien. Dus corrigeer ik hen als ze overmax(4,10) spreken. Geef ik een schriftelijke overhoringop met expliciete aandacht voor de notatie vanmaximum en top. En straf daarin foute notatiesrigoureus af. Ik vind het belangrijk dat leerlingen het

Inleiding‘Kom eens mee’, zegt mijn collega op samenzweerderigetoon, en troont mij mee naar het lokaal dat zojuist isverlaten door de éminence grise in onze vaksectie enhaar vwo-examenklas. ‘Kijk eens!’ Ik zie het al, bordniet uitgeveegd. Niet netjes natuurlijk. Maar daar gaathet niet om, het gaat om wat op het bord staat: MAX(4,10). ‘Dat is FOUT, ik reken dat bij mijn leerlingenfout TOT EN MET het centraal examen. We moeten heter echt eens met haar over hebben. Dit KAN niet!’Ik neem mij voor om na mijn lessen het bord steeds uitte vegen, en zeg mijn collega dat ik een driegesprekover de ‘notatiezonde’ onderaan mijn prioriteitenlijstjezal plaatsen.

Het CV bij het examen 2003: een wezenlijkaspect van wiskunde zoek?Het correctievoorschrift bij het examen wiskundevmbo 2003 riep in het veld vragen op, vooral bij KB enGL/TL. Docenten werden overvallen doordat op veelplaatsen eenheden en (delen van) de berekening tussenhaakjes werden geplaatst (zie figuur 1). De kandidaatdie berekening of eenheid weglaat, wordt volgens hetcorrectievoorschrift niet gestraft. Bij het examen BBwordt bovendien expliciet vermeld dat notatiefoutenniet tot aftrek leiden (mits zichtbaar een juisteberekeningswijze is toegepast; zie figuur 2).Vragen en opmerkingen van docenten komen binnenop de CEVO-Examenlijn[1]. Op deze facetten van het

BREIEN EN ANDERENOTATIEZONDENKanttekeningen bij het correctievoorschrift vmbo 2003[ Ameling Algra ]


onderscheid weten te maken. Omdat zo’n structureringhen kan helpen bij het oplossen van wiskundigeproblemen. Maar: de notatie blijft niet méér en nietminder dan een hulpmiddel om problemen op te lossen.Anderhalf jaar later telt alleen de oplossingsstrategie,bij het examen staat er geen rode streep bij ‘maximum(4,10)’.

EenhedenEenheden zijn van belang. Uit mijn jeugd herinner ikme het gewicht dat eenheden bij natuurkunde hadden.En het gemak dat je ervan had: aan het ‘kloppen’ vande eenheden links en rechts zie je dat de formule klopt.Dat geldt niet bij de vuistregels in de huidigewiskunde; een enkele natuurkundig geschoolde docentstruikelde daarover in het BB-examen 2003. Maar datterzijde. Zeker nu bij wiskunde de x en y door echtedingen zijn vervangen, moeten die echte dingenvoortdurend benoemd worden: heb je het over hetaantal schoenen of over de prijs per paar? Dat helptleerlingen om hun werk te structureren, maakt dat zeweten waarmee ze bezig zijn, helpt ze bij het vindenvan een oplossing. Heel goed dat de leraar ervoortdurend naar vraagt. Niets op tegen ook omdaarover feedback te geven die telt en gevoeld wordt.Maar: bij het vinden van een oplossingsstrategie dienthet vragen naar de eenheid een doel, het is geen doelop zichzelf. Wie eenmaal het probleem (inclusief

‘eenheden’) helder heeft, zal de eenheden nietvoortdurend vermelden - als hij tenminste niet gerichtis op het scoren op punten maar op oplossen. Als in deopgave wordt gevraagd naar paren schoenen, dan ishet voor de leerling zonneklaar dat hij met hetantwoordgetal paren schoenen bedoelt. Hij zet er dusniet ‘paren schoenen’ achter. Doen wij ook niet als wijvoor ons zelf iets proberen op te lossen. Moeten we hetdan wel afstraffen op het examen?De leerling vertoont het gewenste oplossingsgerichtegedrag, komt tot het goede resultaat en doet dat ooknog eens in zo min mogelijk woorden. Wat willen wenog meer?

Breien en andere notatiezondenDan het breien.Voorbeeld: schrijf de berekening op bij 3�8�2.De leerling noteert: 3�8�24�2�26.Heel erg. Want 3 maal 8 is geen 26!We maken het de leerlingen in onze notatie wel lastig:het gelijkteken is hier zowel vergelijkings- alsbewerkingsteken. Lees ‘=’ niet als ‘is gelijk aan’ maarals ‘wordt’ en het is ineens goed…Maar los daarvan, 3 maal 8 is geen 26, dus wat hierstaat is niet goed – niet goed opgeschreven bedoel ik.Correct opschrijven helpt enorm bij het zoeken naareen oplossing. Tussenstappen opschrijven bij eenberekening ook. Het is dus verantwoord (om niet te


FIGUUR 1 Uit het Correctievoorschrift examen VMBO-GL en TL 2003FIGUUR 2 Uit het Correctievoorschrift examen VMBO-BB 2003

op elke vermelde tussenstap, op elke eenheid, op elkeafwijking van de officiële notatie, krijg je dan nog eenscore die gelijke tred houdt met het vermogen van deleerling om zijn wiskundige vaardigheid in te zetten bijhet oplossen van problemen?De correctievoorschriften bij het examen vmbo 2003zoeken een evenwicht. De kandidaat moet laten zienhoe hij aan het antwoord komt. Maar niet elketussenstap hoeft zichtbaar te zijn. Met, zoals uit dereacties bleek, voor docenten onvoldoende‘achtergrond’. Over de vraag waar het evenwicht ligt,wat wel en wat niet meer vermeld kan worden,daarover kun je van mening verschillen. In de praktijkzal het evenwicht moeten groeien – bij de makers, enbij de afnemers van het examen.

Noot

[1] De CEVO-Examenlijn is bedoeld voor het melden van fouten of

onvolkomenheden in een examen of het bijbehorende correctie-

voorschrift.

De CEVO-Examenlijn is als volgt te bereiken:

fax: 030-2843056, tel.: 030-2843055,

e-mail: via www.eindexamen.nl

Over de auteur

A. Algra (1952) was van 1974 tot 2000 werkzaam als wiskunde-

docent en schoolleider in het voortgezet onderwijs. Thans is hij werk-

zaam bij de CEVO (Centrale Examencommissie Vaststelling Opgaven

vwo, havo, vmbo), onder meer als projectleider voor de vernieuwing

van de examens in de basisberoepsgerichte leerweg. Zijn e-mailadres is

[email protected].

zeggen noodzakelijk) dat de docent zijn leerlingendaarop wijst. Dat hij het afdwingt. Doordat hij het zelfconsequent doet, doordat hij zijn leerlingen erop wijst,doordat hij leerlingen die zichtbaar structureren,daarvoor beloont.Maar dat hoeft nog niet te betekenen dat die zichtbarestructuur ook in het eindexamen moet wordenbeloond. Goede examenvraagstukken kan de leerlingoplossen door – even kort door de bocht – gebruik temaken van zijn gezond verstand én vangereedschappen en technieken die hij in hetvoorafgaande onderwijs heeft geleerd. Inclusief hetuitvoeren van de berekening, het intoetsen van dejuiste toetsen van de rekenmachine dus. Hetopschrijven van de ingetoetste berekening brengt deoplossing niet dichterbij. Als we willen dat onzeleerlingen worden beoordeeld worden op het vermogeneen vraagstuk goed op te lossen, dan moeten we soepelomgaan met het weglaten van tussenstappen – of vaneenheden. Als we onze leerlingen vooral willenbeoordelen op het vermogen (of de bereidheid) omalles precies zo te doen als wij willen, dan moeten wevooral elke tussenstap, elke eenheid van puntenvoorzien.

CorrectievoorschriftZet het correctievoorschrift 2003 docenten niet op hetverkeerde been? Als bij het examen berekeningentussen haakjes staan, gaan docenten dan niet ditbelangrijke aspect in hun lessen verwaarlozen?Natuurlijk, het centraal examen hééft effect op hetvoorafgaande onderwijs. Het beoordeelt niet alleenleerlingen, het houdt ook de docent een spiegel voor.De mores bij het centraal examen beïnvloeden demores in het voorafgaand onderwijs.Maar nu even toegespitst op eenheden entussenberekeningen. Misschien is er na het zien vanhet correctievoorschrift 2003 een enkele docent diebesluit, ook in de les vanaf klas 1, niet meer optussenberekeningen of eenheden te letten. De meestedocenten echter weten té goed dat je in devoorbereiding tusseneisen kunt en moet stellen, ook alsdie later niet meer expliciet aan de orde zijn. En zijhebben heel goed door dat het letten op regels, heteisen van tussenberekeningen, ook pedagogisch goedwerkt: het geeft leerlingen houvast, motiveert tot leren.Een centraal examen kan tot op zekere hoogtedocenten corrigeren – kan goede docenten wijzen opandere, belangrijke accenten. Maar het kan docentenniet opvoeden, het kan niet van slechte docentengoede maken. Die enkeling is een hopeloos geval, hoehet correctievoorschrift er ook uitziet.

Zoeken naar een evenwichtNatuurlijk, dit is zwartwit gesteld. Het is goed datleerlingen af en toe gevraagd wordt te ‘vertellen’ hoeze aan een antwoord komen. Dat het louter vermeldenvan een antwoord (een getal) niet altijd voldoende is.Dat geldt ook voor het examen - in 2003, of 2004, of2005. En in BB, KB, GL/TL, havo en vwo.Maar aan de andere kant: als je consequent vooral let



40 j

aar

gele

den

Vraagstukken uit het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, jaargang 51 (1963-1964). Deze vraagstukken waren afkomstig

uit het herexamen 1961 voor de akte wiskunde l.o.

N.B. Bezitters van de akte l.o. waren bevoegd les te geven in het (m)ulo. Zie hiervoor het hoofdstuk van Klaske Blom in

Honderd jaar wiskundeonderwijs (2000).

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mail: [email protected]),

voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

VoorafBij de start van de Tweede fase waren de plannen eerstzo dat de praktische opdrachten voor 60% het cijfervoor wiskunde zouden bepalen. Al rap werd ditpercentage naar beneden bijgesteld. De schrik zat er alvroeg in dat de praktische opdrachten hetwiskundecijfer onevenredig zouden beïnvloeden opandere dan wiskundige kennis en vaardigheden. Veelvrees werd ingegeven door het feit dat er nog weinigervaring was met het beoordelen van algemenevaardigheden zoals onderzoek doen, presenteren,samenwerken, formuleren en jezelf beoordelen.Inmiddels is veel meer ervaring opgedaan met praktischeopdrachten als manier om sommige onderdelen van deleerstof mee af te sluiten. In 2002-2003 heeft het APS metverschillende docenten samengewerkt om te komen toteen beter hanteerbaar beoordelingsmodel voor praktischeopdrachten. Dit heeft geleid tot de ontwikkeling engebruik van het beoordelingsinstrument Rubric.

Beoordelen van praktische opdrachtenPraktische opdrachten worden op diverse maniereningezet. Leerlingen krijgen een gesloten of een openopdracht, soms met beperkte vrije onderwerpskeuze.Bijna alle praktische opdrachten eindigen in het makenvan een verslag dat wordt beoordeeld door één docent.De manier van beoordelen is verschillend. Er zijndocenten die ‘stapeltjes’ maken. Zij geven veelal een 6,7 of 8. Een 9 wordt alleen gegeven als het zeeruitmuntend is en een 10 wordt nooit gegeven. Anderedocenten lezen al de leerlingenwerken nauwkeurigdoor en verdelen punten voor de opzet, lay-out,

inhoud, enzovoort. De beoordelingscriteria wordensoms vooraf kenbaar gemaakt aan de leerlingen.Meestal is de beoordeling erg subjectief.Docenten en leerlingen ervaren het werken aan eenpraktische opdracht als leuk, maar over het algemeengeven de docenten toe dat het begeleiden vanleerlingen veel tijd kost en dat de resultaten helaasvaak tegenvallen.

Bij praktische opdrachten wordt naast de wiskundigeinhoud vaak ook een flink beroep gedaan op algemenevaardigheden. Bij het beoordelen van vaardigheden ishet voor de docent van belang dat hij duidelijk kanaangeven wat hij wel en niet van de leerling verwacht.Welk gedrag is onder de maat, wat is beginner-gedrag,wat is voldoende en wat doet een leerling die devaardigheid echt goed onder de knie heeft? Heeft dedocent hier heldere beelden bij en weet hij dit over tebrengen aan de leerlingen, dan zijn de leerlingen beterin staat om het gewenste gedrag ook werkelijk aan teleren. Het aanleren en beoordelen van vaardighedenzijn onlosmakelijk met elkaar verbonden.

Vaardigheden beoordelen gaat anders dan kennisboordelen. Bij vaardigheden is goed of fout minderhelder te definiëren. Het is telkens de vraag wat je alsdocent echt onder de maat vindt, en wat voldoende ofgoed is. Het beoordelen van vaardigheden is wellichtsubjectiever dan het beoordelen van kennis. Dezesubjectiviteit kan verminderd worden door precies teomschrijven wat je als docent verwacht. Dat wordt ineen Rubric omschreven.


RUBRICSEen hulpmiddel bij het beoordelen van praktische opdrachten[ Lambrecht Spijkerboer en Patricia Straatman ]

GebruikEen Rubric kan worden gebruikt bij elk soort opdracht- of het nu gaat om een practicum, een poster, eenpraktische opdracht of een profielwerkstuk. Een Rubricgeeft goede criteria om een werkstuk zo objectiefmogelijk te beoordelen, werkt tijdbesparend en creëertdaardoor ruimte voor eventueel meer van dit soortactiviteiten. Een goede Rubric is meerdere malen, bijverschillende opdrachten, te gebruiken. De tijds-investering voor het ontwerpen van een Rubric wordtdaarmee al snel terugverdiend.

Rubrics benutten bij het aanleren vanvaardighedenHet aanleren van een vaardigheid is meer dan dievaardigheid gewoon een paar keer laten doen. Voordatde leerlingen worden beoordeeld, moeten ze degelegenheid krijgen deze vaardigheid regelmatig teoefenen, met voldoende sturing. Hierbij is een Rubriceen goed hulpmiddel om een dergelijke vaardigheidsteeds beter onder de knie te krijgen. Zo kan deleerling vanuit het beginner-gedrag steeds verderopschuiven naar het expertgedrag, zoals in de Rubricomschreven.

Zelf een Rubric ontwerpenEr zijn diverse (meest Amerikaanse) websites[1] die ukunnen helpen bij het ontwerpen van een Rubric aande hand van zelf gekozen criteria.U kiest dan voor een onderwerp, bijvoorbeeld‘mondelinge presentatie’, waarna u kunt kiezen uit eenaantal bijpassende criteria. De Rubric wordt dan, invier categorieën, automatisch ingevuld. U hebt daarbijde mogelijkheid om de teksten naar eigen inzicht aante passen.U kunt natuurlijk ook zelf een Rubric ontwerpen.Begin dan met het bepalen van de criteria. Let daarbijop het aantal: niet teveel! Het geheel moetoverzichtelijk blijven. Ga uit van minimaal vijf enmaximaal twaalf criteria. In de meeste gevallen werkteen aantal van vier categorieën het prettigst. Per criterium dient u een omschrijving bij decategorieën te maken. Begin bij de categorie‘uitstekend’, vervolgens de categorie ‘kan beter’ (of‘onvoldoende’ o.i.d.) en daarna de tussenliggendecategorieën.Probeer de Rubric zó in te vullen dat het een leesbaargeheel is voor de leerlingen; zij moeten er uiteindelijkook mee werken. Zorg ervoor dat de Rubric op éénpagina past, zodat het een overzichtelijk schema wordt.Een teveel aan tekst schrikt de leerlingen af!Nadat een opdracht voor de eerste keer met een Rubricis uitgevoerd zult u merken dat het nakijken van hetleerlingenwerk u beter in staat stelt het beginner-gedrag te omschrijven. Het is verstandig dit insamenwerking met collega’s te doen. Samen een Rubricontwerpen bij een (bestaande) praktische opdrachtmaakt dat je intensief over de vaardigheid en hetbeoordelen ervan nadenkt, waardoor het mes aan tweekanten snijdt.

Wat is een Rubric?Een Rubric is een beoordelingstabel met criteria in delinkerkolom en waarderingscategorieën ernaast. Met decriteria geeft de docent aan op welke elementenspecifiek gelet wordt bij de beoordeling van eenopdracht. Elke waarderingscategorie omvat percriterium een beschrijving op basis waarvan debeoordeling plaatsvindt.

Een voorbeeld van een Rubric ziet u op pagina 270.[2]

In dit voorbeeld is elk criterium beschreven in viercategorieën: ‘kan beter’, voldoende, goed enuitstekend. Het aantal criteria en het aantal categorieënzijn natuurlijk variabel. Dit is afhankelijk van deopdracht waarbij de Rubric hoort en van de docent diede Rubric maakt.Behalve als model voor de docent om een opdracht tebeoordelen, kan een Rubric ook worden gebruikt alszelfevaluatiemodel voor de leerling.

ZelfevaluatiemodelWanneer de docent, gelijktijdig met de opdracht, debijbehorende Rubric aan de leerling geeft, kan deleerling aan de hand van deze Rubric zelfstandigcontroleren of hij of zij voldoet aan de verwachtingenen eisen van de docent. De Rubric biedt op deze wijzevoor de leerling duidelijkheid en structuur. Dit allesleidt tot verbetering van de kwaliteit van het leerling-werk en tot meer zelfstandigheid!Een extra en bijzonder interessante mogelijkheid is, deRubric door de leerling te laten gebruiken om zijn ofhaar werk daadwerkelijk zelf te beoordelen. Dezebeoordeling wordt dan gelijktijdig met de opdrachtingeleverd. Het geeft de docent inzicht in de motivatievan de leerling en de wijze waarop de leerling met eenRubric om gaat.

BeoordelingsmodelWanneer het leerling-werk is ingeleverd, kan de docentdit nakijken aan de hand van de bijbehorende Rubric.Per criterium kan namelijk precies worden aangeven inwelke kolom het leerling-werk thuishoort. Wanneer eenpuntenverdeling bij de Rubric is gemaakt, kanvervolgens het cijfer worden bepaald. De punten-verdeling kan op verschillende manieren wordenvastgesteld.

Een voorbeeld. Zet de waarderingen 4, 6, 8 en 10 boven de kolommenen bepaal aan de hand daarvan het eindcijfer volgenshet gewogen gemiddelde. Gebruik hierbij de voorafvastgestelde percentages bij de criteria.

Veel docenten kennen het probleem dat eengelijksoortige opdracht door de ene collega hoger oflager wordt beoordeeld dan door de andere. Hetbeoordelen op een gestructureerde manier met Rubrics,zorgt ervoor dat docenten gelijke criteria enwaarderingsnormen gebruiken. Het komt de kwaliteitvan de beoordeling ten goede, en dat is winst voordocenten èn leerlingen.


De docent:- krijgt beter inzicht in de vaardigheid en wat hijdaarbij van de leerling verwacht;- kan de leerlingen de vaardigheid ook beter aanleren;- heeft meer houvast bij het beoordelen van (hetproduct van) de vaardigheid, waardoor hij objectieverbeoordeelt.

De leerling:- weet beter wat er van hem verwacht wordt;- leert de vaardigheid beter;- levert een hogere kwaliteit.

AfstudeeronderzoekIn het kader van het didactisch afstudeeronderzoekvoor de eerstegraads lerarenopleiding wiskunde aan deFontys Lerarenopleiding Tilburg hebben zes studentenonderzoek gedaan naar het gebruik van Rubrics.Het onderzoeksproject is zeer geslaagd. Het gebruikvan Rubrics is inmiddels uitgebreid tot allerleiopdrachten in de onderbouw en de Tweede Fase, zoalsGWA’s, het zelfstandig bestuderen van leerstof en hetpresenteren daarvan.De leerlingen nemen een opdracht waarbij een Rubricwordt aangeboden erg serieus. Dat is aan de resultatente zien. Ze besteden meer aandacht aan de juisteverwerking van de inhoudelijke aspecten, die ookdaadwerkelijk zijn verbeterd. Leerlingen geven aan metbehulp van de Rubric concreter bezig te kunnen zijnaan de opdracht, ze vinden het prettig duidelijkheid tehebben over de beoordeling. Zestig procent van de

leerlingen is ervan overtuigd de opdracht beter tehebben gemaakt dan wanneer ze geen Rubric haddengekregen. Tevens zijn ze het eens met de eind-beoordeling aan de hand van de gebruikte Rubric.

Tot slotIn het kader van het APS-project‘Beoordelingsvaardigheden’ zijn Rubrics ontworpenvoor meerdere vakken bij verschillende opdrachten enook voor een profielwerkstuk. Deze zullen wordengepresenteerd op de Rubrics-conferentie d.d. 20 april2004 (informatie bij APS).

Noten

[1] - http://rubistar.4teachers.org/

- http://teach-nology.com/web_tools/rubrics/

- www.beoform.nt.bvenet.nl/keuzemenu.html

[2] Het uitgewerkte voorbeeld ‘Productfuncties’ komt oorspronkelijk uit

Moderne wiskunde vwo A1B1 deel 1 en werd aangepast en aangevuld

met Rubrics door Ton Konings (APS) in het kader van een project

‘Beoordelen van praktische opdrachten in de 2e fase’.

Over de auteurs

Lambrecht Spijkerboer (e-mail: [email protected]) is werkzaam als

onderwijskundig medewerker van APS-wiskunde.

Patricia Straatman (e-mail: [email protected]) is werkzaam als

wiskundedocente op het Maurick College in Vught. Zij geeft

voornamelijk les in de tweede fase.


Over het boekDit boek is bestemd voor onderwijs en voor zelfstudie,in eerste instantie voor het Vlaamse onderwijs. Maarhet is zeker ook bruikbaar in het Nederlandse.

Uit de inhoudRekenen in het basisscherm - Rekenen met breuken enmet reële variabelen - Getalnotatie en nauwkeurigheid -Driehoeksmeting - Vergelijkingen - Basisvaardighedenin het lijstenscherm – Constante, eerste en tweedegraadsfuncties - Ongelijkheden en stelsels vanongelijkheden van de eerste graad met één of tweeonbekenden - Vergelijking van een rechte -Beschrijvende statistiek - Vectoren - Transformaties vanhet vlak - Simuleren van kansexperimenten -Elementaire functies - Vergelijkingen en ongelijkhedenoplossen - Deelbaarheid - Ontbinden - Rijen -Analytische meetkunde - Meetkundige applicaties -Lijsten groeperen, degroeperen, oproepen en doorgeven.

Verschenen / Wiskunde met TI-83 Plus SE Auteur: Jan Van PoppelUitgever: Garant Uitgevers nv, Antwerpen/ApeldoornISBN 90 441 1531 6 Prijs: € 7,50 / 112 pagina’s

Enige tijd geleden heb ik Renate, een vwo-6 leerlinge,geholpen met de volgende opgave.

Bepaal de maximale verticale afstand tussen degrafieken van f (x)�x en g (x)�x2 waarbij 0x1.

Nadat we de opgave samen hadden opgelost en tevensde maximale horizontale afstand tussen de grafiekenhadden berekend, vroeg Renate mij welke variaties opdeze opgave op een proefwerk gevraagd zoudenkunnen worden. Als mogelijke variatie gaf ik devolgende opgave.

Gegeven de functie f (x)�x2 met 0x1. Voor welkelineaire functie g(x)�ax�b is de maximale verticaleafstand tussen de grafieken van f en g minimaal?

Alhoewel ik aangaf dat deze opgave op het aanstaandeproefwerk niet te verwachten was, wilde Renate, nietgerustgesteld door mijn overtuiging, toch wel even hetantwoord zien.Naar de grafieken kijkend kwamen we er samen achter,dat de maximale verticale afstand in ieder geval ook inde beide eindpunten bereikt moest worden. Zo niet,dan schuiven we de lijn evenwijdig naar boven ofbeneden. Of anders geformuleerd: de verschilfunctie,met als grafiek een parabool, heeft op [0, 1] immerseen inwendig extreem en twee randextremen. Als dezeniet alle drie gelijk zijn, kunnen we de parabool naarbeneden of naar boven schuiven, waardoor de absolutewaarde van het extreem kleiner wordt.Uit deze observatie volgt dat –b�1 – a�b waaruit wea�1 vinden. Met behulp van differentiëren vinden wedat de maximale afstand op 0, 1�optreedt bij x� �

12

�.De maximale afstand is dan �

14

� �b. Gelijkstellen vandeze afstand met de afstanden in de eindpunten geeft–b� �

14

� �b en dus b��18

�. De gevraagde lijn is y�x – �

18

� met een bijbehorende maximale afstand van �18

�.

Nu even iets anders. Kan de lezer de grafieken tekenenvan de ‘goniometrische’ functiesTn(x)�cos(n �arccos x), n � 0, x� [�1, 1]?Voor n�0 en n�1 zal dat wel lukken, wantT0 �cos 0� 0T1 �cos(arccos x) � x

De functie T2(x)�cos(2 arccos x) lijkt al een stuklastiger. Maar met de formule cos(2x)�2 cos2(x)�1voor de dubbele hoek vinden we

T2(x)�cos(2 arccos x)�2 cos2(arccos x)�1�2x2 �1

De lezer kan door gebruik te maken van de gonioformulesvoor cos (3x) en cos (4x) nagaan dat T3(x) en T4(x) ookniet zo moeilijk zijn als ze er uit zien (zie figuur 1).Uit de ‘bekende’ gonioformules

cos(x�y)�cos(x)cos(y)� sin(x)sin(y)cos(x�y)�cos(x)cos(y)� sin(x)sin(y)

volgt datcos(x�y)�cos(x�y)�2 cos(x)cos(y)

Kiezen we in de laatste uitdrukking x�n �arccos x eny�arccos x, dan vinden we

cos((n�1) �arccos x)�cos((n�1) �arccos x)�

2 cos(n�arccos x) �cos(arccos x)

of anders gezegd:Tn+1(x)�Tn–1(x)�2xTn(x)

De functies Tn voldoen dus aan de recursie

Tn+1(x)� 2xTn(x)�Tn–1(x), n�1 (1)T0(x)� 1 (2)T1(x)� x (3)

Met deze recursie vinden we eenvoudig:T2(x)� 2x2 �1T3(x)� 4x3 �3xT4(x)� 8x4 �8x2 �1T5(x)� 16x5 �20x3� 5xWe zien dat Tn een n-degraads polynoom met leidendecoëfficiënt 2n-1 is. De polynomen Tn heten Chebyshev-polynomen, naar de Russische wiskundigeP.L. Chebyshev (1821-1894).De Chebyshev-polynomen hebben een aantal aardigeeigenschappen. Zo gaat men gemakkelijk na dat hetpolynoom Tn op [�1, 1] n + 1 extremen heeft (inclusiefrandextremen), die alternerend +1 en �1 zijn.

Chebyshev-polynomen[ Rob Bosch ]

RE:CURSIEF


Literatuur

C.F. Gerald, P.O. Wheatley: Applied Numerical Analysis, Addison-

Wesley, 1983.

Over de auteur

Rob Bosch (e-mailadres: [email protected]) is als docent verbonden

aan de Koninklijke Militaire Academie te Breda. Hij is tevens

redacteur van Euclides.

Deze eigenschap maakt de polynomen erg nuttig in deapproximatietheorie. Als bijvoorbeeld een polynoombenaderd wordt met een polynoom van lagere graad,dan is de verschilfunctie weer een polynoom opbijvoorbeeld [�1, 1]. De extremen van dat polynoommoeten in absolute waarde gelijk zijn. Is dit niet hetgeval, dan schuiven we de verschilfunctie weer naarboven of beneden, waardoor de absolute waarde vanhet extreem daalt.Zo geldt bijvoorbeeld de volgende stelling.

Als p een polynoom is van graad n + 1 met domein [�1, 1], dan is de beste polynoombenadering van p,van graad n of kleiner, gelijk aan p(x)�cTn�1(x),waarbij c zo gekozen wordt dat er een polynoom vangraad n of kleiner verkregen wordt.

Onder ‘beste benadering’ wordt hier verstaan eenbenadering, waarbij de maximale verticale afstandtussen de grafieken minimaal is.Het derdegraads polynoom p(x)� 8x3 �2x2�4x�1wordt op [-1, 1] het best benaderd door

8x3 �2x2�4x�1�2(4x3�3x)�2x2�2x�1

Door geschikte transformaties kan men bovenstaandestelling uitbreiden tot ieder eindig interval.Als we een polynoombenadering zoeken op hetinterval [0, 1], passen we de transformatie 2x�1 toedie [0, 1] afbeeldt op [�1, 1].De beste lineaire benadering van f (x)�x2 op [0, 1] isnu

x2 �cT2(2x�1)�x2 �c(8x2 �8x�1)

waarbij c weer zo gekozen wordt dat de kwadratischeterm wegvalt. De beste lineaire benadering is dus

x2 � �18

�(8x2 �8x�1)�x� �18

�

Zo had ik het Renate dus ook kunnen vertellen.


FIGUUR 1 P.L. Chebyshev

HET BELANG VAN IJS ETEN[ Victor Thomasse ]


Ruimtelijk inzicht?Toen ik ‘s avonds op de lerarenopleiding achter in hetlokaal aanschoof, gebeurde er vooraan een kleinwonder. De docent vakdidactiek hield een vuistgrotetetraëder omhoog die in zijn geheel strak was verpaktin papier. Nou ja, afgezien dan van een klein spleetjewaar je nog net één ribbe door kon zien (zie figuur 1).Of hij dat viervlak er nu uit kon halen zonder hetpapier te scheuren, was de vraag. Maar dat luktenatuurlijk nooit! Zeker niet gezien die twee scherpepunten die aan de andere kant loodrecht op de nauweopening stonden. Ik stak mijn vinger op om aan tegeven dat ik het niet voor mogelijk hield, en keekintussen om me heen. Met mij dacht ongeveer de helftvan de studenten dat het niet kon. Maar dat betekendedus ook dat de helft dacht dat het wèl mogelijk was,ondanks alle wiskundige scholing. En dat deed weerhet ergste vrezen voor de kwaliteit van de stereo-metrische vakken: waarom zagen ze niet dat dituitgesloten was?!Maar het kon dus wèl. De docent pakte aan de kant tegenover de spleet detetraëder tussen duim en wijsvinger vast, en jawelhoor… langzaam duwde hij de driedimensionale vormdoor de nauwe opening. Als een kameel die alle aardselast afwerpt en door het oog van een naald kruipt (ziefiguur 2 en 3). Wat overbleef was het omhulsel en dekale piramide.

Uitproberen en begrijpenIn de trein naar huis wist ik: dit móest ik de volgendeles aan de brugklassers laten zien. We zouden netbeginnen aan een hoofdstuk over ruimtefiguren, dusdit was de perfecte smaakmaker. Zouden zij ookdenken dat het niet kon? Een probleem was dat ik hetniet alleen moest demonstreren, maar ook nog kunnenuitleggen. Waarom paste die hele tetraëder nou doorzo’n kleine opening? Zelf begreep ik de uitleg van dedocent over hoeken en ribben maar half. Natuurlijk, naeen avondje worstelen met wat trigonometrie zou ik erwel uitkomen, maar ik zocht een eenvoudigerverklaring.

Thuisgekomen direct karton gepakt, er gelijkzijdigedriehoekjes uit gesneden en een A4-tje omgewerkt toteen passend jasje. En ja hoor, het werkte weer. Deopening begon als spleet ter grootte van een ribbe,

maar werd een rechthoek zodra de tetraëder er uitgeschoven werd (zie figuur 4). Halverwege kreeg heteven de vorm van een vierkant en daarna weer vaneen rechthoek. De opening eindigde zoals die begon:als een ribbe, maar nu aan de andere kant. En al dietijd paste het viervlak er precies door. Nu ik het zagbegreep ik het. Ik duwde de tetraëder weer voor eenderde door het gat en trok met potlood een streep overde vier vlakken, op de plaats van de opening. Het is mijn eigen zelfgemaakte tetraëder, dus ik maghem ook weer stuk maken. Ik snij het plakband los,vouw hem open en kijk naar de streep. Hij loopt overde driehoekjes in een rechte lijn die steeds even langblijft (zie figuur 5 en 6). Het is eigenlijk heel logisch:de spleet begint twee ribben lang en dat is steedsprecies de lengte van de ‘streep’ die over de viervlakken beweegt. De ‘buitenste tetraëder’, het jasje,heeft immers (vrijwel) dezelfde grootte en eenconstante omtrek. Dit moest ik kunnen uitleggen aande brugklas waar ik les aan gaf.

In de lesDe klas werd snel luidruchtig. Iemand riep dat hij weldoor de spleet móest kunnen, want hij was er tenslotteook door naar binnen gegaan. Dit pareerde ik door –naar waarheid – te zeggen dat ik het papier er eerstmet plakband omheen gedaan had en vervolgens pasde opening had gemaakt. Ook raadde ik ze aan nietautomatisch te concluderen, dat het wel zou kunnenomdat ik het anders niet zou laten zien. Ik hield eentweede, losse verpakking omhoog: ‘Kijk, nog een jasje,misschien heb ik er niet voor niets meer bij me, voorals ze stukgaan bijvoorbeeld.’ De klas aarzelde en keeknog eens goed. Maar ruim de helft van de leerlingendacht toch dat het mogelijk was en stak de vinger op. Als een goochelaar trok ik aan mijn mouwen: nothingin my sleeves! Ik duwde het viervlak naar buiten entekende daarna de uitslag van de figuur op het bord. Ikhield de losse verpakking er naast en besprak de lijndie schuin omhoog bewoog. De klas luisterde nu – optwee meisjes na die nota bene, al was het nog ochtend,over ijsjes aan het praten waren… Stil, de meester wasaan het woord! Of mijn uitleg goed overkwam weet ik niet. Eén meisjebleef sceptisch: waar bleven die twee punten aan heteinde dan? Maar een ander vulde mijn uitleg aan. ‘Water aan de ene kant afging’, zei ze, ‘komt er natuurlijk

aan de andere kant weer bij.’ Ik biechtte op dat ze het beter deden dan ik en mijnmedestudenten. Het streelde hun ego, maar hetgeweten van één van de meisjes speelde op. Na de leskwam ze bij me. ‘Er zijn ook van die ijsjes, meneer.’Toen kwam de viervlakkige aap uit de mouwgeschoven: er zijn ijsjes in de vorm van een tetraëderdie je zó uit de verpakking duwt. Ze dacht dat ze‘joekels’ heten. ‘Die zijn erg lekker.’

Over de auteur

Victor Thomasse (e-mailadres: [email protected]) haalde zijn

bevoegdheid Nederlands al in 1983, maar is daarna vooral in het

bedrijfsleven actief geweest. Sinds kort werkt hij weer in het onderwijs

en volgt de lerarenopleiding wiskunde.

FIGUUR 1

FIGUUR 3

FIGUUR 5

FIGUUR 2

FIGUUR 4

FIGUUR 6

RozenDeze keer was ik erg onder indruk van de lezing vanmw. dr. Vivi Rottschäfer over wiskunde voor derozenkweker. Zij gaf aan dat dit onderwerp afkomstigwas uit een studieweek van de Studiegroep Wiskundein de Industrie - jaarlijks houdt een groep wiskundigenzich binnen dit kader een week bezig met een aanzettot de oplossing van enkele problemen die door deindustrie zijn opgeworpen.Vanuit deze groep zijn al verschillende malen lezingengehouden tijdens een vakantiecursus; denkbijvoorbeeld aan de lezing van J. Molenaar (TUEindhoven en UT) tijdens de Vakantiecursus 2000,‘Wiskunde werkt’, over het wikkelen van schutbladenvan sigaren. Het aardige is dat het onderwerp‘eurodiffusie’ ook afkomstig was van deze zelfdewerkgroep.

Probleemstelling:Kan het kweken van rozen dusdanig gemodelleerdworden dat de productie geoptimaliseerd wordt bijbeperkte kosten?Het gaat hier onder andere om de instelling van deklimaatcomputer zodat een maximale productie bereiktwordt. Zoals een ieder waarschijnlijk wel weet, groeienrozen door assimilatie van CO2. Dit proces, foto-synthese, vindt plaats in de bladeren. Een constantintern klimaat blijkt niet voldoende om maximalegroei te bewerkstelligen, want plotselingeveranderingen in het weer (buiten de kas) en in deseizoenen hebben invloed op de temperatuur en anderecondities in de kas.Er is een lokaal model opgesteld voor de snelheid vanfotosynthese van één enkel blad met een bepaaldeleeftijd afhankelijk van de temperatuur Ta, de lucht-vochtigheid RH en de concentratie CO2 in de kas Ca envan de hoeveelheid licht die op een blad valt. Nu blijktdat de snelheid van fotosynthese P per eenheidbladoppervlakte geschreven kan worden als eenvergelijking van de vorm P = f(P, a, Ta , RH , Ca, I)waarbij a de leeftijd van het blad is en I dehoeveelheid licht die erop valt. De functie f is niet-lineair, f is niet expliciet bekend. Voor verdereinformatie over deze functie werd verwezen naar een

Thema: dagelijks levenDe jaarlijkse Vakantiecursus is een initiatief van deNVvW, en wordt al sinds 1946 georganiseerd – zowelte Amsterdam op het CWI als te Eindhoven aan deTechnische Universiteit.In 2003 was het thema van deze cursus ‘Wiskunde inhet dagelijks leven’. De organisatie is nog steeds in degoede handen van onder andere Jan van de Craats enmedewerkers van het Centrum voor Wiskunde enInformatica (CWI), Miente Bakker, Wilmy van Ojik enMinnie Middelberg. Verder dient opgemerkt te wordendat het CWI en de TU Eindhoven zaalruimtenbeschikbaar stellen.In 2003 kwam het mij beter uit om naar Eindhoven tegaan. Hier was ik alweer enkele jaren geleden voor hetlaatst geweest. De locatie is prettig en goed bereikbaarmet het openbaar vervoer. Jammer vond ik wel dat ergeen boekwinkel aanwezig was zoals we die kennen inAmsterdam. Hopelijk kan dat wel worden gerealiseerdin 2004.

De volgende sprekers waren uitgenodigd:- R. Bosch, met als onderwerp Politieke macht enonmacht;- G.B. Huitema, Nieuwe generatietelecommunicatietechnieken en –diensten;- H.J. van Zuylen, Routekeuzegedrag enverkeersmanagement;- W.A. Timmer, Mannen in snelle pakken – deweerstand van schaatsers;- E. van Zwet, Statistische analyse van snelwegverkeer;- V. Rottschäfer, Wiskunde voor de rozenkweker;- P.J.G. Teunissen, GPS en wiskunde;- M.F.M. Nuyens en R. Planqué, De wiskunde achter deeurodiffusie.

Zoals in voorgaande jaren gebruikelijk wil ik éénlezing verder uitwerken. In het Nieuw Archief voorWiskunde (het blad van het Koninklijk WiskundigGenootschap) wordt in de lopende jaargang ook iederekeer een lezing van de Vakantiecursus geplaatst. Deteksten van de voordrachten zijn nogmaals door telezen in de syllabus die iedere deelnemer aan het beginvan de tweedaagse uitgereikt krijgt.

VAKANTIECURSUS 2003Vooruitblikken op die van 2004 door een terugblik op die van 2003[ Gert de Kleuver ]


verslag van dit experiment in Proceedings 42nd Eur.Study Group Ind., pp. 59-76, 2002.Met behulp van dit model werd een poging gewaagdom een globaal model van een kas op te stellen.Hiervoor moesten de nodige veronderstellingen wordenaangenomen. Deze veronderstellingen moestenrepresentatief zijn voor de groei van rozen. Dit leverdeeen ideaal model kas op (zie figuur 1) met allereerst devolgende twee aannames:1. De rozenoogst, bovenin, die bestaat uit één of meerrozenstammen die afgesneden worden – de uiteindelijkerozenproductie.2. De rozenstruik, onderop, die de stammenondersteunt en niet geoogst of afgesneden wordt.De struik heeft een constante hoogte h0 en bevatbladeren die CO2 assimileren en dus bijdragen aan detotale hoeveelheid energie die wordt geproduceerd inde planten. De rozenstammen groeien verticaal uit derozenstruik en worden geplukt op het moment dat zijde hoogte hsnij hebben bereikt. Op dat moment wordende rozen afgesneden op hoogte h0 zodat ze allemaaldezelfde hoogte hebben.Om het model verder te verfijnen moesten er nogenkele aannames worden gemaakt. Deze staan allebeschreven in de syllabus. Mevrouw Rottschäferverstond de kunst om de nodige functies dusdanig toete lichten en te gebruiken dat het globale model zeeracceptabel werd. Zo kwamen voorbij destamdichtheidsfunctie d(h,t), de groeisnelheid v = v(t, d), netto fotosynthese-snelheid Pnet, en demassafunctie M(t) met de nodige evenredigheids-constanten. Gelukkig werd een en ander zeer goedverduidelijkt met illustraties - zie figuur 2 en 3.

De duur van het SWI-project was te kort om direct-toepasbare resultaten op te leveren. Een student heeftthans een schatting gegeven van de verschillendeconstanten, zodat het nu in principe met behulp vanhet model mogelijk moet zijn om de rozenproductie temaximaliseren. Na een bezoek aan een rozenkas blekenwel enkele aanpassingen in het model noodzakelijk,maar mevrouw Rottschäfer heeft er nog steedsvertrouwen in dat het model flexibel genoeg is om denodige aanpassingen te kunnen ondergaan.

Vakantiecursus 2004Het thema voor de eerstvolgende Vakantiecursus isStructuur in schoonheid, in Amsterdam op 27 en28 augustus 2004 en in Eindhoven op 3 en4 september 2004.Aanmelden en verdere informatie:http://www.cwi.nl/events/2004/VC2004/

Over de auteur

Gert de Kleuver (e-mailadres: [email protected]) is docent aan

het Ichthus College te Veenendaal en redactielid van Euclides.


FIGUUR 1 Een schets van een geïdealiseerde kasFIGUUR 2 Een schets van de kas op een bepaald tijdstip

FIGUUR 3 Situatie met een constante groeisnelheid tervereenvoudiging van de leeftijdsdichtheidsverdeling

te geven aan dekinderen van de ledenvan het genootschap enaan een aantalbekwame leerlingen vanhet plaatselijk weeshuis.De auteurs kozen ditdeeltje vanwege zijnrepresentativiteit voorhet wiskundeonderwijsin die tijd. Omdat ookop dat moment hetmetrieke stelsel werdingevoerd in Nederland,is dit boekje daarmeeeen bijzondertijdsdocument.

Religie envaderlandsliefdeIn hoofdstuk 2, Hetnieuwe Nederland, lezenwe dat religienadrukkelijk aanwezigwas in het onderwijs endus ook in het wiskundeonderwijs. Om dit teonderstrepen maakten de schoolboekenschrijversbijvoorbeeld wiskundeopgaven waarin bijbelkennisverwerkt was, zoals bijvoorbeeld:Hoe groot was het aantal der Israëlieten in de woestijn,het tweede jaar na hunne uittocht uit Egypte, alsMozes bevond: in de stam van Ruben 46500, in dievan Simeon 59300, in die van Gad 45640, in (…), enin die van Naphtali 53400 zielen?Ook vaderlandsliefde werd in het wiskundeonderwijsaangemoedigd, getuige de volgende opgave:De grondlegger der Nederlandsche vrijheid, Willem deEerste, Prins van Oranje, werd geboren te Dillenburg,in het jaar 1533, en werd door Balthasar Gerard, in

Een rekenboek uit 1828, uitgegeven door het wiskundiggenootschap ‘Mathesis Scientiarum Genitrix’ te Leiden.Uitgebracht in deel 1 van de serie ‘Rekenmeesters’.

Historische reeksIn september 2003 verscheen het eerste deel van de serie‘Rekenmeesters’. Deze historische reeks, onder redactievan Danny Beckers, Marjolein Kool en Harm Jan Smid,zal gaan bestaan uit een aantal facsimile-uitgaven vanNederlands belangrijkste oude lesboeken op het gebiedvan reken/wiskundeonderwijs. Elk deeltje van de seriewordt voorzien van een inleiding die het boek in eencultuur- en onderwijshistorische context plaatst.In het voorwoord lezen we: ‘De inleiding en dereproductie van de authentieke historische bron makenelk boekje uit de serie bijzonder geschikt voor gebruikin het hedendaagse onderwijs.’ Dit maakt nieuwsgierig;helaas doen Beckers en Smid geen didactischesuggesties. Wel verzorgden ze hierover een workshoptijdens de studiedag van de NVvW op 15 november jl.Het zou m.i. een welkome aanvulling op de serie zijnals er van hun hand nog een publicatie verschijntwaarin ze een aanzet geven voor de onderwijs-mogelijkheden met de ‘Rekenmeesters’.

Waarom juist dit boekjeDeel 1 van de serie Rekenmeesters is een facsimile vanhet rekenboek Grondbeginselen der Rekenkunde,voorafgegaan door een zeer uitgebreide inleiding vanzo’n 60 pagina’s waarin het rekenboekje in zijnhistorische, maatschappelijke en wiskundige contextgeplaatst wordt. De reproductie die we in dit eerstedeel vinden, is het tweede deel van het rekenboek datin het begin van de negentiende gebruikt werd aan deschool van het wiskundig genootschap ‘MathesisScientiarum Genitrix’ te Leiden. Het doel van ditgenootschap was om kennis van de wiskunde teverspreiden en dit deed men met name door onderwijs

BOEKBESPREKINGGRONDBEGINSELEN DERREKENKUNDE Inleiding: Danny Beckers en Harm Jan Smid Uitgever: Uitgeverij Verloren, Hilversum (2003) isbn 90 6550 744 2prijs: € 16,00 184 blz. [ Klaske Blom ]


1584, moorddadig te Delft omgebragt; in welk eenenouderdom verloor die vader des vaderlands zijndierbaar leven?

Vrijheid en abstractieIn hoofdstuk 3 vinden we achtergrondinformatie overhet onderwijssysteem in de 18de en 19de eeuw. Leuk ishet om te lezen dat er aan de 18de-eeuwse universiteitgeen examens werden afgenomen, omdat dat nietpaste bij de idee dat studenten zich in alle vrijheidkonden verdiepen in de aanwezige kennis. Door hetVerlichtingsdenken in de 18de eeuw werd er steedsmeer nadruk gelegd op zuivere, abstracte wiskunde inhet onderwijs ten koste van bijvoorbeeld boekhoudenen landmeten. In hoofdstuk 4 wordt uiteengezet welkeweerslag dit had op de leerboeken en didactischestromingen. In hoofdstuk 5 komt de invoering van hetmetrieke stelsel aan de orde.

Grondbeginselen van de rekenkundeVanaf het zesde hoofdstuk wordt de blik meer in detailgericht op de totstandkoming van de Grondbeginselenvan de rekenkunde. De invoering van het metriekestelsel was een van de ontwikkelingen die ertoe leiddendat er een nieuw wiskundeboekje geschreven werdvoor het onderwijs aan de school van het Leidse‘Mathesis’. Daarnaast was men van mening dat het ingebruik zijnde boekje van Van Campen aanvernieuwing toe was, o.a. vanwege een steeds groterbelang dat gehecht werd aan de vormende waarde vanwiskundeonderwijs. In het hoofdstuk Naar een nieuwemethode gaan Beckers en Smid uitvoerig in op dezeontwikkelingen.In het laatste hoofdstuk voorafgaand aan de brontekstbeschrijven de auteurs kenmerkende aspecten vanGrondbeginselen van de rekenkunde: theorie in langevolzinnen, toepassingsgerichte opgaven op tal vangebieden waarmee leerlingen het nut van wiskundekonden zien, geschreven voor gebruik in een klassikalesituatie, een opmerkelijke voorkeur voor extreem grotegetallen, opgaven gericht op inzicht in de stof.Een opvallend aspect vond ik het streven om zoveelmogelijk verschillende beroepen te verwerken in deopgaven vanwege de universele toepasbaarheid; opblz. 88 e.v. van de facsimile vond ik na een snelle blikeen winkelier, een timmermansknecht, een bode, eenstraatmaker, een landman, een leidekker, een landheer,een grossier, een slijter, een wijnkooper, een fabrikeur,een koopman, een zilver- en een goudsmid!Het is prettig om een leidraad aangereikt te krijgen bijde bestudering van het oude rekenboek uit 1828, en indat kader is het laatste hoofdstuk een mooie start vooreen eigen verdieping in deze bron.

NawoordEerlijk is eerlijk, tijdens het bestuderen van hetrekenboekje miste ik de broze papieren, de breekbarekaft die ik voorzichtig op een kussen moet leggentijdens het lezen, het ontzag, opgeroepen door een‘tweehonderd-jaar-oud-ding’, en niet in de laatsteplaats de muffe geur van een oud boek. Er gaat nietsboven een authentiek exemplaar. Maar, gegeven dedreiging van het tot stof vergaan en deontoegankelijkheid van oude boeken is het eenfantastisch alternatief om de inhoud van een oudrekenboek zo te bewaren en beschikbaar te stellen aaneen groot publiek.

Over de recensent

Klaske Blom (e-mailadres: [email protected]) werkt als wiskunde-

docente op het Hooghe Landt in Amersfoort. Zij is tevens redacteur

van Euclides.


Chaos komt overigens ook voor in eenvoudigemodellen. Neem bijvoorbeeld logistische groei. Vwo-leerlingen met wiskunde A1,2 in hun pakket leren datde formule voor dit type groei de volgende vormheeft:

pn�1 �pn � r �pn(1� ).

Hierin is pn de populatiegrootte na n jaar, E deevenwichtstoestand en r de groeifactor. Als we r kleinnemen (bijvoorbeeld r = 0,1), dan krijgen we degebruikelijke S-vormige grafiek die onze leerlingenook voorgeschoteld krijgen. Maar wat onze leerlingenniet zien: als we r flink wat groter nemen, dangebeuren er vreemde dingen (zie figuur 1).

pn�E

Voorspelbaar?Ieder jaar bezoeken duizenden mensen Franeker. Niethet beroemde Elfstedenbruggetje is de grote trekpleistervan dit Friese stadje, het planetarium van Eise Eisingakomt die eer toe. In 1774 begon de wolkammer met hetbouwen van een model van ons zonnestelsel aan hetplafond van zijn woonkamer.De aanleiding is een prachtverhaal. Op 8 mei 1774stonden de maan, Mercurius, Venus, Mars en Jupiter opéén lijn aan de hemel. Dit leidde tot grote paniek onderde bevolking, die meende dat de wereld zou vergaan.Eise wist wel beter – hij was van jongs af geboeid doorde sterrenkunde – en kwam op het idee eenplanetarium te bouwen om zijn tijdgenoten duidelijk temaken wat er nou precies aan de hand was. Het is zeker de moeite waard om het planetarium eenste bezoeken. Ongetwijfeld wordt u dan getroffen doorhet feit dat de stand van de diverse hemellichamen nogsteeds correct wordt weergegeven. Ons zonnestelsellijkt dus wel een uurwerk!Maar is dat wel zo? Kunnen we werkelijk de positievan de diverse hemellichamen voor elk toekomstigtijdstip voorspellen? In de tijd van Eise Eisinga, tweedehelft 18e eeuw, was men die overtuiging toegedaan.Laplace, een tijdgenoot van Eise, was ervan overtuigddat we de beweging van alle objecten, groot of klein,in één formule kunnen vatten als we eenmaal allekrachten in de natuur zouden kennen en de onderlingeposities van alle dingen waaruit de natuur bestaat.

Chaotisch gedragEen onderzoek van Poincaré, ongeveer een eeuw later,maakte duidelijk dat dit deterministisch wereldbeeldniet geheel correct kon zijn.Poincaré bestudeerde de bewegingen van drie lichamendie elkaar onderling aantrekken. Men kan bijvoorbeelddenken aan het stelsel zon, aarde en maan. Hij beweesdat er in deze situatie niet genoeg behoudswetten zijnom de bewegingen volledig te beschrijven. Deoplossingen kunnen zich wild en grillig gedragen:chaos!

BOEKBESPREKINGCHAOSTHEORIE – HET EINDEVAN DE VOORSPELBAARHEIDAuteurs: Henk Broer, Jan van de Craats en Ferdinand VerhulstUitgever: Epsilon Uitgaven, nr. 35, Utrecht (2003, tweede druk)isbn 90 5041 081 2 prijs: € 15,00[ Ernst Lambeck ]


FIGUUR 1

In het bovenste plaatje van figuur 1 ziet u de resultatenbij r = 2,1, er onder bij r = 2,888, uitgaande van E = 1000en p0 = 100. In het eerste geval ontstaat op den duureen periodieke schommeling tussen de twee waarden1128,6 en 823,7. Het tweede geval ontaardt in chaos.

Een boek over chaosHet hier te bespreken boek valt eigenlijk in drie delenuiteen. In de eerste hoofdstukken worden deachtergronden van de chaostheorie in een historischperspectief neergezet en komen voorbeelden vandynamische systemen zonder chaos aan de orde. EiseEisinga en Poincaré komen hierin aan bod, maar ook is eraandacht voor bijvoorbeeld slingeringen en resonanties. Het middengedeelte van het boek beschrijft wat er zoalte beleven valt op het gebied van chaos. In dit gedeelte

kunt u het voorbeeld van logistische groei aantreffen,maar ook een chaotische slinger, deMandelbrotverzameling, Julia-fractals en vreemdeattractoren. Het is moeilijk om precies te formulerenwat men onder een vreemde attractor verstaat: eenstrikte definitie van het begrip is er nog steeds niet.Maar al lezende in het boek krijgt men wel een goedidee wat men er onder zou kunnen verstaan.

De vlinder van LorenzEen mooi voorbeeld van zo´n vreemde attractor is dezogenaamde Lorenz-attractor; zie figuur 2.Weersvoorspellingen voor de langere termijn zijnmeestal onbetrouwbaar: kleine verstoringen in deatmosfeer kunnen grote gevolgen hebben. De

wiskundige en meteoroloog Edward Lorenz wist ditbeeldend te formuleren in de titel van een voordrachtdie hij in 1972 hield, ‘Voorspelbaarheid: kan debeweging van een vlindervleugel in Brazilië eentornado in Texas veroorzaken?’ Lorenz was tot zijninzichten gekomen via computersimulaties met eensterk vereenvoudigd weermodel dat twaalf variabelentelde. Later ontdekte hij dat je een soortgelijk gedragkunt krijgen bij een model met slechts drie variabelen.Als je die variabelen ziet als coördinaten van een puntin de ruimte, dan kun je de ontwikkeling van hetsysteem in beeld brengen door de baan van dat punt tetekenen. Figuur 2 toont het resultaat. De baan lijktnota bene een vlinder! Het bestaat uit twee ‘vleugels’en het punt loopt nu eens over de ene vleugel, danweer over de andere. Regelmaat is er niet, het aantalomlopen vóórdat wordt overgestoken vertoont eengrillig en onvoorspelbaar patroon. Duidelijk is dat tweepunten die vlak bij elkaar vertrekken eerst tamelijkgelijk oplopen, maar al snel verder uit elkaar gaan enna enige tijd volslagen verschillende wegen volgen.

ToepassingenIn het laatste gedeelte van het boek laten de auteurszien dat je chaos in de meest uiteenlopende toepassings-gebieden tegenkomt: in mechanische trillingen (eenschip bij hevige golfslag, trillingen in de wiel-as vaneen treinstel, trillingen bij het boren in de aardkorst), inmengprocessen van verontreinigingsdeeltjes in deWaddenzee, in de biologie en de geneeskunde(insectenpopulaties, verspreiding van kinderziektes,hartslag, hersenactiviteit, dyslexie).

InspirerendAl met al geeft het boek een mooi overzicht van ideeënen toepassingen van de chaostheorie. In ruim 140pagina’s wordt veel van stal gehaald. Dit betekentuiteraard dat men nergens diep op kan ingaan; veelformules kom je ook niet tegen. Ik heb dat echter nietals een nadeel ervaren: voor iemand die meer wilweten staan er achter in het boek veel verwijzingennaar literatuur op dit gebied. Het is eerder eenvoordeel: het boek kan daardoor mijns inziensinspirerend zijn voor docenten en leerlingen.Ik ben er dusdanig van onder de indruk geraakt dat iker dolgraag mijn leerlingen iets van wil laten zien.Kortom: een aanrader!

Noot

De eerste druk van dit boek verscheen in 1995 als gezamenlijke

uitgave van Aramith Uitgevers Bloemendaal en Epsilon Uitgaven

Utrecht onder de titel ‘Het einde van de voorspelbaarheid?’

Over de recensent

Ernst Lambeck (e-mailadres: [email protected]) is als docent

wiskunde werkzaam aan het Newmancollege te Breda. Daarnaast is hij

voorzitter van de opgavencommissie van de Kangoeroe.


FIGUUR 2

GESPREKKEN MET SJAAKDe auteur, onderzoeker aan het Freudenthal Instituut, voertregelmatig gesprekken met schoonmaker Sjaak over wiskundigeonderwerpen. Aflevering 4.[ Jan van den Brink ]

FIGUUR 1

FIGUUR 2

FIGUUR 3

FIGUUR 4

FIGUUR 5

FIGUUR 6

MuzieknotenElke dag reis ik van Amsterdam naar mijn werk, naarUtrecht. Een afstand van circa 30 kilometer. Maar op hetwerk ‘bewijs’ ik Sjaak, onze schoonmaker, dat geen van onsbeiden ooit aanwezig kan zijn op z’n werk. U kent het wel,het probleem van de haas die de schildpad nooit inhaalt,omdat je ‘de afstand van huis (H) tot je werk (W) blijvendkan halveren’. En ik teken dit op papier; zie figuur 1. Sjaak,een man van 43 met alleen een blo-opleiding, begrijptzonder verdere uitleg direct de clou. Sterker nog, hij vindthet maar een flauwe grap. ‘Je hebt ook halve noten, kwartnoten, achtste noten, enzovoort, enzovoort.’ In zijn vrije tijddrumt Sjaak veel. Ik ben verrast: hij heeft mijn limiet-probleem van machten van twee aan zijn muzieknotenopgehangen! Zomaar vanuit zichzelf. Het viel me aleerder op: het lijkt wel een algemene leerhouding van hem.Ik heb hem tenminste nooit gevraagd om nieuwe kenniste koppelen aan dat wat hij al wist. Maar, hoe belangrijkdie houding ook is, soms gaat het ‘koppelen’ mis.

Alles in tweeën?We kijken in de atlas: Amsterdam–Utrecht, ongeveer30 km. Sjaak ziet het dorp Schalkwijk liggen, 10 kmvanaf Utrecht: ‘Daar ben ik geboren.’Ik vraag hoeveel keer de afstand Schalkwijk–Utrecht opdie van Utrecht-Amsterdam gaat. Sjaak kijkt naar dekaart en zegt: ‘Drie keer.’ Mooi.‘Utrecht–Amsterdam is 30 km. Hoeveel is danSchalkwijk–Utrecht?’ Sjaaks antwoord is 15.Halveert Sjaak wéér met zijn muzieknoten mee? Hetlukt hem niet om 30 door 3 te delen! Ik probeer het meteen tekening; zie figuur 2. Sjaak schat nu: 7 km. Alsschatting beschouwd niet zo gek, maar als toepasbarekennis van de tafel van 3?Sjaak halveert in principe alles, vrees ik plotseling. Hijkent de tafel van 2 als een ‘notenzang’ op zijn duimpje,maar past dit bezit blindelings toe als algemeen geldendprincipe. De tafel van 3 kent hij niet.De schrik slaat me om het hart bij de gedachte dat, als jede tafels niet kent, bijvoorbeeld die van 3, je ook niet ophet idee komt dat een verdeling in drieën met anderegetallen gepaard gaat dan een verdeling in tweeën. Jekent die andere tafels immers niet. Maar dat zal tochniet waar zijn, stel ik mezelf gerust. Er bestaan toch ook‘driekwartsmaten’ voor drummer Sjaak?

MuzieklesSjaak vertelt graag over zijn muziekleven: ‘Kan ik ookeens iets terug doen voor alles wat jij mij leerde.’ Hijheeft gevoel voor drama.Elke woensdagavond oefent hij in een band van vijfmusici. ‘Heel professioneel. We treden ook op voor geld.’Hij kan, als het moet, 200 slagen per minuut halen overzijn hi-hat (een standaard met bekken), bass (grote trom)en snare drum (een trommel met snaren eronder). En hijgeeft een felle roffel over mijn bureaublad alsdemonstratie. Dan tekent hij acht achtste noten (ziefiguur 3), telt ze voor me: ‘Ee, né, twee, jé, drie, jé, vier,ré. Het is de helft van de helft van de helft. In principezijn het helftjes. Net als jouw probleem over dat ik nietop mijn werk kan zijn, weet je nog?’

Een conflictIk zie mijn kans schoon en dek de laatste twee noten af.Er blijven 6 achtsten zichtbaar. Een wals (zie figuur 4). Sjaak: ‘Nee, drie vierden bestaan niet.’Ik ben verbijsterd.Sjaak: ‘In principe zijn het helftjes.’‘Maar je kan dit toch tikken?’ Sjaak: ‘Ja, het is eenwalsritme.’ Hij doet het voor. Drie vierden bestaan wel,maar hij bedoelt blijkbaar iets anders. Vier derden,misschien?‘Je kan een maat toch ook in drieën delen?’, stel ik voor.Sjaak beweert luid: ‘Maar dat kan helemaal niet. Danword je voor gek verklaard. In principe is het steeds dehelft van de helft van de helft. Hoe zit het dan metbreuken in de wiskunde?’Ik scheur twee stroken papier af van gelijke lengte.Verdeel de ene in vieren, de andere in drie stukken enteken er noten op.Van figuur 5 zegt Sjaak: ‘Dat zijn 4 kwartsnoten.’Akkoord.Bij de tweede strook (zie figuur 6) verklaar ik: ‘Driederde noten.’‘Maar die bestaan niet’, grinnikt Sjaak en schudtmeewarig het hoofd over zoveel domheid. ‘Het gaat omhalven. Je moet tellen: éé, né, twee, jé, drie, jé, vier, ré.’

3/4, maat of breuk?Het zit Sjaak hoog dat we zo’n conflict hebben, maar hijlaat het er niet bij zitten.De volgende dag neemt hij ‘zijn muziekboek’ mee, leestvoor uit de theorie en dat brengt de oplossing.‘Een 4/4 maatsoort betekent dat er vier tellen in eenmaat zitten. Het onderste cijfer zegt, dat de tel eenkwartnoot is en (daar staat het!) voor de tel kunnen ookandere soorten noten worden genomen: 1/2, 1/4, 1/8,1/16.’ Daarnaast zijn er verschillende soorten maten(tweedelige, driedelige) die het aantal tellen in een maatweergeven. 3/4 bijvoorbeeld, is een verdeling van demaat (lees: strook) in drieën. We ontdekken beiden datniet de soort noot, maar de soort maat nog het meestovereenkomt met breuken uit het rekenboek: 3/4 met debreuk 1/3.

Dagelijks rekenenDe tafel van 2 – okee, die kent hij. Die van 3 niet. Hetlukt hem ook niet om de tafel van 10 toe te passen bij30 km. Blijkbaar is niet alles uit het rekenboek later vannut. Hoe beheerst Sjaak eigenlijk het ‘dagelijkserekenen’? Heeft hij daar middelen en trucs voor? Zitdaar voor ons opnieuw muziek in?

Wordt vervolgd!

Over de auteur

Dr. Jan van den Brink (e-mailadres: [email protected]) was

onderwijzer, studeerde wiskunde, en is werkzaam als ontwerper/

onderzoeker van rekenen wiskundeonderwijs aan 4- tot 18-jarigen

aan het Freudenthal Instituut. Zijn belangstelling gaat vooral uit naar

wiskunde die ontdekt of uitgevonden wordt door lerenden, en naar het

ontwerpen en onderzoeken van daarbij passend onderwijs.


Vlaanderen) een gratis toegangskaartje ontvangen,Website: www.museumboerhaave.nlTelefoon: 071-5214224, [email protected]

Copyrights en bronnen

Van boven naar beneden:

– Uit het boek Margarita philosophica van Georg Reisch en Oronce

Fine (editie Basel, 1535)

– Bruikleen Rijksmuseum van Oudheden, Leiden

– Museum Boerhaave, Leiden

Waar, wanneer, wat?In Museum Boerhaave te Leiden is van 26 maart tot enmet 26 september 2004 de tentoonstelling ‘Goochelenmet getallen’ te zien, een tentoonstelling voor jong enoud met als thema’s: getallen in de natuur, inhouds-en lengtematen, astronomie, landmeetkunde, zeevaart-kunde, architectuur, mechanica, statistiek en kans-berekening.Te zien is dat wiskunde het leven van de mens een stukaangenamer maakt. Wiskunde is immers overal!

Wat is er te zien?De voorwerpen in Goochelen met getallen laten de veletoepassingen van de wiskunde zien, uiteenlopend vanbijvoorbeeld de astronomie en de zeevaart tot aan dearchitectuur. Een greep uit de voorwerpen: devoorloper van onze computer uit ca. 1830 (dedifferentiemachine van Babbage), een schitterendeverzameling 19de-eeuwse rekenmachines, bijzondereland- en zeekaarten, planetaria, de voorloper van onzestaatsloten en een 4000 jaar oud Babylonisch kleitabletmet een wel heel oude rekensom.

Wat is er te doen?Ook zijn er zo’n 20 demonstratieve spellen om dewereld achter de getallen te kunnen beleven. Heeftjouw lichaam de ideale wiskundige verhoudingen? Ooiteen kegel omhóóg zien rollen? Op je vingers tottienduizend geteld? En hoe zit het eigenlijk met dewiskunde van de gokkast?

CatalogusBij de tentoonstelling verschijnt een catalogus die deontwikkelingen in de westerse wiskunde behandelt endan vooral de rekenen meetkunde, de wiskunde vanhet voortgezet onderwijs. De catalogus telt 48 pagina’sen kost € 7,00.

SchoolprogrammaHet niveau van de tentoonstelling is gemaakt op hetniveau van 4 havo/vwo, maar speciaal voor debasisvorming is een werkblad ontwikkeld waarmee detentoonstelling eveneens goed bezocht kan worden. Voor groepen vanaf 10 personen is de prijs inclusiefeen drankje € 2,50 p.p. (vooraf reserveren).

Nadere informatieOpeningstijden: op dinsdag t/m zaterdag van 10.00 tot17.00 uur, op zon- en feestdagen van 12.00 tot17.00 uur; in de meivakantie ook geopend op maandag3 mei. Het museum ligt op 10 minuten loopafstand vanhet NS-station Leiden Centraal.Toegangsprijs: volwassenen € 5, t/m 18 jaar € 2,50.Overigens, in samenwerking met de StichtingKangoeroe heeft iedere deelnemer aan de ‘Kangoeroe’van 19 maart jl. (ca. 65000 deelnemers in Nederland en

Aankondiging / Wiskunde-tentoonstelling in Leiden


enthousiasme in hoofdlijnen akkoordgegaan met de plannen van deminister. In een kamerbreed gedragenmotie (motie Hamer c.s.; ziewww.tweedefase-loket.nl) zijn alsnogeen aantal wezenlijke vragen enbeslispunten over omvang, aantal ensamenhang van de diverse profiel-vakken doorgeschoven naar de nieuwin te stellen profielcommissies. Speci-fiek voor wiskunde zijn dat de vra-gen over de wiskunde in vwo-CM, enof de wiskunde in de voorstellen welvoldoende is voor een bètastudie.Ook de invulling van het nieuwebètavak is naar de commissie verwe-zen.Vlak voor de vergadering van deKamer heeft het ‘VoorzittersoverlegWiskunde’[1] nog een stevige briefnaar de Kamer gestuurd waarin opniet mis te verstane wijze de zorg overwiskunde naar voren is gebracht. Debrief staat op de NVvW-site.

Inmiddels is er voor het eerst (!)overleg geweest met een vertegen-woordiger van de Besturenraad,onder meer naar aanleiding van eenenquête vlak voor het debat waarinde aangesloten schoolleiders ener-zijds vrij massaal vonden dat er nietmeer uren voor wiskunde moestenkomen (er stond (toevallig?) niet bijten opzichte van welke situatie, dusmisschien vonden wij het ook wel),maar tegelijk van mening waren dathet in de Tweede fase niet makkelij-ker hoefde te worden. En al eerderhadden we ons niet bepaald gesteundgevoeld door deze club.In dat gesprek bleek men toch watpositiever over bèta gestemd dan eer-dere reacties uit die kring deden ver-moeden. Het nieuwe bètavak werdinmiddels warm verwelkomd, integenstelling tot een jaar geledentoen het nog als onbespreekbaarwerd afgewezen. Praten, en vooralblijven praten, helpt dus. Helpt iets,want vooralsnog was ook voor hen,

net als voor de minister, keuzevrij-heid belangrijker dan een adequatevooropleiding.

Hoe verder?Voor wiskunde worden de achtbestaande programma’s vervangendoor vijf nieuwe. Het bestuur heeftde havo/vwo-werkgroep om adviesgevraagd over de mogelijke inhoudvan de vijf nieuwe wiskundevakkenin de profielen. Zo kunnen we alsberoepsgroep zelf proberen het initia-tief te nemen voor haalbare en zinni-ge wiskunde voor onze leerlingen.

In het vakdossier wiskunde 2003 vande SLO kunt u onder meer nog eensterug lezen wat er het afgelopen jaarallemaal is gebeurd.

Tot slot- De jaarvergadering zal dit jaar nietsamenvallen met de intocht van Sin-terklaas (een voorbeeld van daad-krachtig besturen).- Een volgende keer schijf ik overenkele nog op tafel liggende zaken,zoals: de pr-commissie, de Zebra’s,de basisvorming, de bekwaamheids-eisen, missiewerk in decanenland,plannen voor een algebraconferentienaar aanleiding van een SLO-veld-aanvraag, plannen voor een didac-tiekconferentie.

Noot

[1] Dit ‘Voorzittersoverleg’ wordt gevormd door

de voorzitters van de Kamer Wiskunde van de

VSNU, het Koninklijk Wiskundig Genootschap,

de Akademie Raad voor de Wiskunde (ARW),

de Nederlandse Onderwijs Commissie voor de

Wiskunde (NOCW), de Advies Commissie

Wiskunde (ACW-GB-E/NWO), het Overleg

Onderzoekscholen Wiskunde (OOW) en de

NVvW.

Verenigingsnieuws


E

Van de bestuurstafel[ Marian Kollenveld ]

ExamenbesprekingenTraditiegetrouw organiseert uwNVvW ook dit jaar weer centrale enregionale examenbesprekingen. Eenoverzicht vindt u elders in dit blad.Deze besprekingen hebben als doeleen eenduidige normering van deexamens te bevorderen, en daarmeehet overleg tussen eerste en tweedecorrector te vereenvoudigen.Op de regionale bijeenkomsten ont-moeten collega’s elkaar om het exa-men te bespreken en van gedachtente wisselen over de wijze van beoor-deling van het werk van de kandida-ten. Door die gesprekken ontstaat erook een zekere ‘mores’, een consen-sus over wat goed normeren is, diemet name voor collega’s met minderexamenervaring heel instructief kanzijn.

Van de regionale examenbijeenkom-sten wordt een verslag gemaakt. Ditverslag wordt gebruikt voor het exa-mennummer van Euclides, maardient ook als informatie voor debepaling van de normeringsterm.Het is dus om meerdere redenen vanbelang dat de regionale examenbe-sprekingen goed bezocht worden. Alsservice aan de leden die de besprekin-gen niet bij konden wonen, wordt naenige tijd een (summier) verslag vande centrale bijeenkomsten in Utrechtop de website gezet. Op de dag na eenexamen is er namelijk een besprekingin Utrecht, waarbij alle regionalegespreksleiders aanwezig zijn. Opdeze vergadering wordt het examenbesproken en worden zo mogelijkcentrale afspraken gemaakt overzaken als de beoordeling van veelge-maakte fouten, verfijningen van denormering en alternatieve oplossings-methoden, dit ter voorbereiding op deregionale bespreking de dag daarna.

Tweede faseAfgelopen februari is de TweedeKamer zonder groot vertoon van

ZWOLLEThorbecke SG, Dr. C.A. van Heesweg 1 (038-4564540)dhr. R. Kronenberg (038-4210044)

HAVO-A12vrijdag 28 mei 200416.00-18.00u

HAVO-B1/B12maandag 7 juni 200415.30-18.00u

AMERSFOORTS.G. Guido de Brès, Paladijnenweg 251 (033-4792900)A: dhr. F. v.d. Heuvel (030-2730898)B: dhr. F.W. Zwagers (033-4752341)

AMSTERDAMCSG Buitenveldert, De Cuserstraat 3 (020-6423902)CS tram 5; CS en Amstel sneltram 51A: dhr. S.T. Min (0229-237756)B: dhr. H.G.J. Rozenhart (072-5716448)

‘s-GRAVENHAGEHofstad Lyceum, Colijnplein 9 (070-3687670)A: dhr. J.P.C. van der MeerB: dhr. C.D. Hendriks (0174-620131)

GRONINGENRöling College, Melisseweg 2 (050-5474141)A: dhr. L. Tolboom (050-3146093)B: mw. H. Lüder (0516-432889)

ROTTERDAMGeref. SG Randstad, Valenciadreef 15 (010-4552511)NS AlexanderpolderA: dhr. R.E. Houweling (0180-315302)B: mw. A.E.L. de Jongh Swemer (010-4138432)

ROZENDAAL (bij Velp)Het Rhedens, Kleiberglaan 1 (026-3646845)A: dhr. L.H. Rietveld (055-5419287)B: dhr. A.W.M. Tromp (026-3254829)

ZWOLLEVan der Capellen SG, Lassuslaan 230 (038-4225202)A: dhr. Ph. Thijsse (0315-342436)B: dhr. J. Alderliesten (0527-201665)

VWO-A1/A12donderdag 3 juni 200415.30-18.00u

VWO-B1/B12donderdag 27 mei 200415.30-18.00u

AMERSFOORTSG Guido de Brès, Paladijnenweg 251 (033-4792900)A: dhr. F. O. van Leeuwe (0341-492843)B: dhr. A.B. v.d. Roest (0318-543167)

AMSTERDAMCSG Buitenveldert, De Cuserstraat 3 (020-6423902)

Zoals gebruikelijk organiseert deNVvW ook dit jaar weer een aantalexamenbesprekingen.Hieronder staan de data, plaatsen envoorzitters van deze regionalebesprekingen. Het telefoonnummervan de school en van de voorzitterstaat tussen haakjes.

VMBO TGKwoensdag 2 juni 200415.00-17.00u

ALKMAAROSG Willem Blaeu, Robonsbosweg 11 (072-5122477)mw. C.E. Gaykema (020-6131802)

BURGUMCSG Liudger, Tj.H. Haismastraat 1 (0511-460260)mw. G. Tack Althof (058-2572388)

GRONINGENNoorderpoort College, Van Schendelstraat 1 (050-5297329)dhr. J. Rijnaard (050-5254709)

ROTTERDAMGeref. SG Randstad, Valenciadreef 15 (010-4552511)NS Alexanderpolderdhr. W. de Jager, (0180-683829)

ZEISTKSG De Breul, Arnhemsebovenweg 98 (030-6915604)dhr. B. Nieuwenhuis (0345-558355)

VerenigingsnieuwsExamenbesprekingen 2004[ Conny Gaykema ]


‘s-HERTOGENBOSCHDs. Pierson College, G. ter Borchstraat 1 (073-6442929)NS Den Bosch-OOSTA: vervalt; geen gespreksleiderB: dhr. H.J. Kruisselbrink (073-5216386)

ROTTERDAMGeref. SG Randstad, Valenciadreef 15 (010-4552511)NS AlexanderpolderA: dhr. D.A.J. Klingens (0180-514485)B: dhr. B.L.G.P. Hillebrand (0180-515210)

ROZENDAAL (bij Velp)Het Rhedens, Kleiberglaan 1 (026-3646845)A: dhr. J.P. Scholten (053-4768791)B: dhr. A.T. Sterk (055-3666466)

ZWOLLEVan der Capellen SG, Lassuslaan 230 (038-422520)A: dhr. A. Ebbers (0341-252202)B: dhr. H. Schutjes (0529-427306)

Verenigingsnieuws


A

Nieuws van het Wereld-wiskunde Fonds [ Ger Limpens ]

CS tram 5; CS en Amstel sneltram 51A: dhr. R. Stolwijk (072-5325551)B: mw. G.W. Fokkens (020-6438447)

‘s-GRAVENHAGEHofstad Lyceum, Colijnplein 9 (070-3687670)A: dhr. J. Remijn (070-3684525)B: dhr. R.J. Klinkenberg (070-3559938)

GRONINGENRöling College, Melisseweg 2 (050-5474141)A: dhr. W.H.V. de Goede (050-5013342)B: mw. O. Eringa (050-5474141)

Afscheid Hans WisbrunZoals op de laatste jaarvergadering algemeld, heeft de werkgroep van hetWwF afscheid genomen van oprich-ter/voorzitter Hans Wisbrun. Na 10jaar enthousiasmerend en adequaatvoorzitterschap (nogmaals dankdaarvoor) vond Hans het tijd devoorzittershamer door te geven aan(nu voormalig) secretaris Gerben vanLent. Het secretariaat van het WwF istegenwoordig in handen van WimKuipers. Verder is de werkgroep ver-rijkt met de medewerking van Chris-tian Bokhove die de taak van vei-lingmeester van het WWW van HansWisbrun overgenomen heeft.

Nieuwe aanvragenDe WwF-projectronde voor 2004 isop dit moment van start gegaan. Opde NVvW-site treft u uitgebreidereinformatie over de criteria die bij hettoekennen van projectgelden gehan-teerd worden. Bent u betrokken bij zo’n project ofkent u iemand die dat is, dan kunt ueen aanvraag indienen bij de secreta-ris van het Wereldwiskunde Fonds: Wim Kuipers, Waalstraat 8, 8052 AEHattem (tel. 038–4447017; e-mail-adres: [email protected]).U kunt de aanvraag het beste eersteven met hem doorspreken. Aanvragen moeten steeds vóór 15mei binnen zijn.

WerkgroeplidmaatschapVerenigingsleden die geïnteresseerdzijn in het werkgroeplidmaatschap,kunnen eveneens met onze secretariscontact opnemen. Zie ook de werkgroeppagina’s op deNVvW-site.

BoekenveilingWat betreft het WWW, het Wereld-WiskundeWeb, kan gemeld wordendat er naar gestreefd wordt nog ditkalenderjaar een volgende ronde teorganiseren, waarbij ook de moge-lijkheid geboden zal worden zelf boe-ken aan te bieden. Nader berichtdaarover volgt nog te zijner tijd.

Puzzel 796 - Afstandelijkekwesties

De regelmatige n-hoek heeft de eigenschap datde �

12

�n(n�1) afstanden tussen hoekpuntenslechts �

12

�n verschillende waarden aannemen alsn even is. Als n oneven is, is dat aantal nogiets kleiner, namelijk �

12

�(n�1).Samengevat: Er zijn [ �

12

�n] verschillendewaarden voor de onderlinge afstanden van dehoekpunten van een regelmatige n-hoek,waarbij [x] het grootste gehele getal is dat nietgroter is dan x.De regelmatige n-hoek is niet de enigeconstellatie met slechts [ �

12

�n] verschillendeafstanden tussen de punten.

Opgave 1Bepaal alle constellaties van vier punten in hetplatte vlak met precies twee verschillendeafstanden tussen de punten.

De vraag rijst natuurlijk of de grens [�12

�n] scherpis. Dat is niet het geval. Zie figuur 1 met37 punten in de vorm van een zeshoek. Hetaantal verschillende afstanden is hier 15. Eengrotere zeshoek van dit type bestaat uitn�3k(k�1)�1 punten (zie figuur 2),waartussen �

13

�n�o(n) verschillende afstandenbestaan.Het zou me niet verbazen als de factor �

13

� noglager kan.

Voor de volgende opgave gaan we de ruimte in.

Opgave 2Bepaal alle constellaties van vijf punten in deruimte met precies twee verschillendeafstanden tussen de punten.

In plaats van te streven naar zo weinigmogelijk verschillende afstanden kun je ookproberen één bepaalde afstand een zo grootmogelijke frequentie te geven, dus zonder teletten op het aantal verschillende afstanden.Om het niet al te moeilijk te maken, keren weterug naar dimensie 2.

Opgave 3Bepaal een constellatie van 15 punten in hetplatte vlak met zo vaak mogelijk de afstand 1tussen de punten.

Oplossingen kunt u mailen [email protected] of per gewone post sturen naarF. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede. Er zijn weer maximaal 20 punten te verdienenmet uw oplossing. De deadline is 5 mei 2004.

Veel plezier!

Puzzel 796 Recreatie[ Frits Göbel ]


FIGUUR 1 FIGUUR 2

Oplossing ‘Borromeaanse variaties’

Er kwamen acht oplossingen binnen, namelijkvan T. Afman, D. Buijs, W. Doyer, E. vanKervel, J. Meerhof, L.H. van den Raadt, L. deRooij en A. Verheul. Al deze oplossingen zijncorrect met dien verstande dat een enkeling�23

��3� schrijft als 2/3�3�. Volgens ‘Meneer VanDale Wacht Op Antwoord’ is dat niet hetzelfde:vermenigvuldigen gaat vóór delen. (In

computers worden soms andere regelstoegepast; bijvoorbeeld in Universal Basichangt de prioriteit er van af of je eenmaalteken wel of niet weglaat. Brrr!) Ommisverstanden uit te sluiten, schrijf ik liever2�3�/3. De redactie, die over een beteretekstverwerker beschikt, verandert dit in �

23

��3�.

Overigens gaat optellen niet voor aftrekken:7–2�3�8 en niet 2. Daarom is er wel eenseen ander ezelsbruggetje voorgesteld: ‘Menvaart de Waal op en af.’ De bedoeling isnatuurlijk om aan te geven dat optellen enaftrekken gelijke prioriteit hebben. Ik leerde ditin 1960 bij een cursus ALGOL 60, maar ik weetniet of het ingang heeft gevonden.

Bij de oplossingen springt die van WobienDoyer er uit. Zij onderzocht ook andereringenstelsels; zie de figuren. Van het stelselmet de dikke ringen constateerde zij demerkwaardige eigenschap dat de uitbreidingnaar buiten toe pas tot stilstand komt als niet-kruisende ringen elkaar overlappen, zij het datde overlap zeer klein is. Zij bewees ook: ieder cirkelstelsel (dat aanenkele redelijke eisen voldoet) is zodanig te‘vlechten’ dat de cirkels om en om steeds bovenen onder de kruisende cirkels lopen!

De ladderDe top van de ladder ziet er nu als volgt uit:T. Afman 180,D. Buijs 159,L. de Rooij 120,A. Verheul 119,T. Kool 96,P. Stuut 81,J. Meerhof 80,L.H. van den Raadt 80.

De complete ladderstand is te vinden op dewebsite van de NVvW:www.nvvw.nl/euclladder.html

Recreatie


FIGUUR 3 FIGUUR 4

Oplossing 794


KalenderIn deze kalender kunnen alle voor wiskunde-docenten toegankelijke en interessantebijeenkomsten worden opgenomen.Wil eenieder die relevante data heeft, deze zospoedig mogelijk doorgeven aan de hoofd-redacteur. Hieronder treft u de verschijnings-data aan van Euclides in de lopende jaargang.Achter de verschijningsdata is de deadline voorhet inzenden van mededelingen vermeld.Doorgeven kan ook via e-mail: [email protected]

nr verschijnt deadline

7 26 mei 2004 30 maart 2004

8 24 juni 2004 11 mei 2004

Examensdinsdag 25 mei – vwo B1/B12woensdag 26 mei – vmbo BB, havo A12vrijdag 28 mei – vmbo TGKdinsdag 1 juni – vwo A1/A12donderdag 3 juni – havo B1/B12

Examenbesprekingenvmbo TGK – woensdag 2 junihavo A12 – vrijdag 28 meihavo B1/B12 – maandag 7 junivwo A1/A12 – donderdag 3 junivwo B1/B12 – donderdag 27 meiZie pagina 288 in dit nummer.

Tot en met 26 september, LeidenTentoonstelling ‘Goochelen met getallen’Organisatie Museum BoerhaaveZie pagina 286 in dit nummer.

16 en 17 aprilNederlands-Belgisch Mathematisch CongresOrganisatie KWG en BWG

donderdag 22 april4e Conferentie ICT in het wiskundeonderwijsZie pagina 125 in Euclides 79-3.

vrijdag 14 meiLeve de wiskunde! Open dag voor docentenOrganisatie Korteweg de Vries Instituut

vrijdag 14 meiNascholingsdag over algebraïsche topologieOrganisatie Universiteit Leiden

zaterdag 15 mei10e HKRWO-SymposiumOrganisatie Historische Kring Reken- enWiskundeonderwijsZie pagina 201 in Euclides 79-4.

vrijdag 28 meiPanama voorjaarsdag / NVORWO-jaarvergaderingOrganisatie FI en NVORWO

9 juni t/m 11 juniOnderwijs Research Dagen 2004Organisatie Universiteit Utrecht

1 en 2 juli, Oostende (België)12e congres van de VVWLOrganisatie VVWL

27 en 28 augustus, Amsterdam3 en 4 september, EindhovenVakantiecursus 2004Organisatie CWIZie ook pagina 278 in dit nummer.

Voor nascholing zie ookwww.nvvw.nl/nascholing.html

Voor overige internet-adressen ziewww.nvvw.nl/Agenda2.html

Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer ziewww.wiskundeonderwijs.nl

Publicaties van deNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

* Zebra-boekjes1. Kattenaids en Statistiek2. Perspectief, hoe moet je dat zien?3. Schatten, hoe doe je dat?4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto6. Pi7. De laatste stelling van Fermat8. Verkiezingen, een web van paradoxen9. De Veelzijdigheid van Bollen

10. Fractals11. Schuiven met auto’s, munten en bollen12. Spelen met gehelen13. Wiskunde in de Islam14. Grafen in de praktijk15. De juiste toon16. Chaos en orde17. Christiaan Huygens

* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwoDit rapport en oude nummers van Euclides(voor zover voorradig) kunnen besteld wordenbij de ledenadministratie (zie Colofon).

* Wisforta - wiskunde, formules en tabellenFormule- en tabellenboekje met formulekaartenhavo en vwo, de tabellen van de binomiale ende normale verdeling, en toevalsgetallen.

* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboekvan de NVvW.Het boek is met een bestelformulier te bestellenop de website van de NVvW(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).

Voor overige NVvW-publicaties zie de website:www.nvvw.nl/Publicaties2.html

Servicepagina

Zo ju i s t ve rschenen …

Christiaan HuygensChristiaan Huygens (1629-1695), zoon van de bekende dichter en staatsman

Constantijn Huygens, werd in het midden van de 17e eeuw beschouwd als Europa’s

grootste wiskundige en natuurwetenschapper. Hij was een geniale onderzoeker

die zich zowel met de theorie als de praktijk bezighield. Zo bedacht hij de

verklaring voor de ringen van Saturnus en formuleerde het golfkarakter van het

licht; ook was hij lenzenslijper en vond hij de slingerklok uit. Doordat hij wiskundig

redeneren en natuurkundig inzicht combineerde, was hij een van de eerste

moderne geleerden.

Deze tekst geeft inzicht in zijn leven en werk, de opdrachten zijn door zijn werk

geïnspireerd.

ISBN 90 5041 082 0

Prijs voor leden van de NVvW: € 8,00 (incl. verzendkosten); bestellingen via

girorekening 5660167 t.n.v. Epsilon Uitgaven, Utrecht.

Prijs voor leden van de NVvW op bijeenkomsten: € 6,00.

Prijs voor niet-leden: € 8,00 (in de betere boekhandel).

Zie ook: www.epsilon-uitgaven.nl

Zebra 17[ Rienk Vermij, Hanne van Dijk en Carolien Reus ]

Epsilon Uitgavenin samenwerking met de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

advertentie

Nieuw

Netwerk en de Grafischerekenmachine

Bij de bovenbouweditie van Netwerk zijn nu twee

boekjes over het gebruik van de grafische reken-

machine (GRM) verschenen. Deze boekjes, één

bestemd voor het havo en een voor het vwo, zijn

zowel geschikt voor Casio CFX-9850+ als TI-83+

gebruikers.

Wat bieden de boekjes?

• 17 uitgebreid omschreven onderwerpen in het havo boek.

• 28 uitgebreid omschreven onderwerpen in het vwo boek.

• duidelijke aanwijzingen waar en wanneer de GRM kan worden ingezet.

• in de meeste gevallen naadloze aansluiting bij de opgaven van het hoofdboek.

• mogelijkheid om uw leerlingen zelfstandig de leerstof door te laten werken.

• de boekjes kunnen bij zowel wiskunde A als wiskunde B gebruikt worden.

Neem ook eens een kijkje op www.netwerk.wolters.nl.Hier vindt u een aantal voorbeeldonderwerpen.

De boekjes zijn alleen voor rekening leverbaar. Stuur de bon in een ongefrankeerde envelop naar Wolters-Noordhoff, t.a.v. Sandra Kooijstra, Antwoordnummer 13, 9700 VB Groningen

Ja, ik bestel

ex. Netwerk havo bovenbouw grafische rekenmachine Aanwijzingen en Onderwerpen ad. € 7,50 per deel 90 01 83376 4

ex. Netwerk vwo bovenbouw grafische rekenmachine Aanwijzingen en Onderwerpen ad. € 8,50 per deel 90 01 83371 3

Naam school

T.a.v.

Adres

Postcode

Plaats

Be

ste

lbo

n

✂

419/3103 – 105

Ook verkrijgbaar via de boekhandel

Tangle Breien Rubrics Examenbesprekingen - NVvW...Harm Jan Smid plaatst de hedendaags-aandoende...

Documents

Transcript of Tangle Breien Rubrics Examenbesprekingen - NVvW...Harm Jan Smid plaatst de hedendaags-aandoende...