Kunst Wiskunde - NVvW · 2016. 8. 9. · NVvW-voorzitter Marian Kollenveld op de voorstellen d.d. 4...

januari2004/nr.4

jaargang 79

Kunst&Wiskunde

Euclides is het orgaan van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren. Het bladverschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

ISSN 0165-0394

janu

ari 20

04

JAA

RG

AN

G 7

9

Redactie

Bram van AschKlaske BlomMarja Bos, hoofdredacteurRob BoschHans DaaleGert de Kleuver, voorzitterDick Klingens, eindredacteurWim Laaper, secretarisElzeline de LangeJos Tolboom

Inzending bijdragen

Artikelen/mededelingen naar de hoofdredacteur:Marja BosMussenveld 137, 7827 AK Emmene-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelen

Tekst liefst digitaal in Word aanleveren, oppapier in drievoud. Illustraties, foto´s en formules separaat oppapier aanleveren: genummerd, scherp contrast.Zie voor nadere aanwijzingen: www.nvvw.nl/euclricht.html

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

www.nvvw.nl

Voorzitter: Marian Kollenveld,Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: [email protected]

Secretaris:Wim Kuipers,Waalstraat 8, 8052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail: [email protected]

Ledenadministratie:Elly van Bemmel-Hendriks,De Schalm 19, 8251 LB Drontentel. 0321-312543e-mail: [email protected]

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpersfoto omslag Rinus Roelofs, Hengeloproductie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie per verenigingsjaar

Het lidmaatschap is inclusief Euclides.Leden: €42,50Studentleden: € 22,50Gepensioneerden: € 27,50Leden van de VVWL: € 27,50Lidmaatschap zonder Euclides: € 27,50Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden gevenzich op bij de ledenadministratie. Opzeggingenvóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende nummer.Niet-leden: € 47,50Instituten en scholen: € 127,50Losse nummers, op aanvraag leverbaar: € 17,50Betaling per acceptgiro.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:Willem MaasMolenveld 104, 2490 Balen, Belgiëe-mail: [email protected]. vanuit Nederland: 003214814527fax: 003214813753

Indien afwezig:Freek MahieuDommeldal 12, 5282 WC Boxtele-mail: [email protected] tel. 0411-673468

4

Va n d e r e d a c t i e t a f e l[ Marja Bos ]

KunstspecialVoor u ligt een dubbeldik nummer van Euclides, een special gewijd aan het themaKunst & Wiskunde. We hopen dat we met dit onderwerp velen van u kunnenboeien, plezieren en inspireren!Ook alle deelnemers aan de Nationale Wiskunde Dagen (NWD) ontvangen dezespecial. Aangezien het nu de tiende keer is dat het Freudenthal Instituut ditbijzondere evenement organiseert en ‘wiskunde en kunst’ dit jaar één van dethema’s is, leek het de NVvW een aardig idee om dit speciale kunstnummer vanEuclides als cadeautje mee te geven aan de NWD-deelnemers.NVvW-leden die begin februari de NWD bezoeken, zullen dit dubbelnummer dusdubbel ontvangen. Geen probleem natuurlijk: in dat geval doet u gewoon eencollega een plezier met uw tweede exemplaar… Wie weet gaat er een wervendkarakter van uit, en meldt hij of zij zich vervolgens aan als lid van de Vereniging!

InhoudUiteraard zijn bijna alle artikelen in dit nummer gewijd aan het thema Kunst &Wiskunde; zie de ‘Leeswijzer’ op pagina 130 voor een inleiding en een overzicht.Daarnaast zijn er ook een paar andere bijdragen. Zo stelde Metha Kamminga eenfoto-impressie samen van de NVvW-studiedag van 15 november jl. Rob Bosch laatu meedenken over een aftelversje, een leuk wiskundig probleem in het kader vanzijn rubriek ‘RE:Cursief ’. Verder vindt u op de Verenigingspagina’s de reactie vanNVvW-voorzitter Marian Kollenveld op de voorstellen d.d. 4 december 2003 vanminister Van der Hoeven voor de invulling van de profielen havo/vwo.

Tweede faseDeze jongste voorstellen voor de Tweede fase (complete tekst: zie www.nvvw.nl)worden op 5 februari 2004 in de Tweede Kamer besproken. Voor het wiskunde-onderwijs had de minister nog steeds geen goed nieuws. Het nieuwe geïntegreerdebètavak is nu weliswaar gepromoveerd tot één van de mogelijk te kiezen profiel-keuzevakken voor NT en NG, maar dat betekent niet automatisch dat scholen ditvak hoeven aan te bieden, en dàt betekent weer dat veel N-leerlingen dit vak dusniet eens zullen kunnen kiezen. Het houdt ook in, dat de aansluiting van ‘harde’exacte vervolgopleidingen gebaseerd zal moeten worden op het nieuwe vakwiskunde-B, dat ten opzichte van het huidige wiskunde-B12 fors teruggaat instudielast: van 760 naar 520 slu in het vwo, van 440 naar 320 slu in het havo.Voor ‘zachte’ bètastudies (met NG als toelatingsprofiel) zou wiskunde-AB voldoendebasis moeten gaan vormen. Qua inhoudelijke invulling wordt dit een lastig punt,temeer daar het de bedoeling is dat de wiskundevakken AB en B elkaar nauwelijksgaan overlappen. (Wiskunde-AB wordt namelijk ook vermeld als eventueel tekiezen profielkeuzevak voor NT-leerlingen, en zij hebben immers al wiskunde-B inhun profieldeel.) Haast onvermijdelijk lijkt dit te gaan betekenen dat statistiekverdwijnt uit wiskunde-B vwo, maar wat te doen met de analyse? Zal die groten-deels geschrapt moeten worden uit het AB-programma, om aldus de overlap zoklein mogelijk te maken? Het hoger onderwijs in richtingen die aansluiten op deEM- en NG-profielen, zal zich in dat geval tevreden moeten stellen metaankomende studenten die niet of nauwelijks kennis gemaakt hebben metbelangrijke concepten en vaardigheden uit de analyse, waaronder de differentiaal-rekening.Invoering van het vak ‘basiswiskunde’ in het gemeenschappelijk deel zou dezeknelpunten kunnen wegnemen. Eenvoudiger is het overigens om de bestaandedeelvakkenconstructie te handhaven, maar dat idee lijkt taboe op het ministerie.… en dan heb ik het hier nog niet eens gehad over bijvoorbeeld het nieuwe enqua studielast sterk uitgebreide vak wiskunde A voor de vwo-CM-leerling…Goed wiskundeonderwijs? Een KUNST op zich, met liefde bedreven door tal vanenthousiaste en deskundige collega’s!Als wiskundeonderwijs straks maar geen raar en onwerkbaar kunstJE wordt…

129 Van de redactietafel [Marja Bos]

130Leeswijzer [Marja Bos]

131Muziek en wiskunde [Jan van de Craats]

135Wiskunde en Islamitische kunst: werk in uitvoering [Jan Hogendijk]

138Computer veroorzaakt revolutie in debeeldhouwkunst / interview met RinusRoelofs [Klaske Blom]

142Wiskundige poëzie [Marjolein Kool]

144Wereldwijd netwerk van wiskundigekunstenaars en kunstige wiskundigen[Klaske Blom]

149Profielwerkstuk wiskunde [Ab van der Roest]

152Wiskunstige torens [Ton Konings e.a.]

156De gulden snede in de kunst [Wim Kleijne]

162Aankondiging

164De Lakenhal in perspectief [Agnes Verweij]

170Het Romantisch ongenoegen met de rede[Aad Goddijn]

176Meten aan een kunstwerk [Bart Heukelom]

180Abstractie in kunst en wiskunde [F. van der Blij]

184Wiskundegedichtjes van eersteklassers[Irene Dalm e.a.]

186De kromme lijnen van Albrecht Dürer[Martin Kindt]

192Ars (dis)symmetrica [Albert van der Schoot]

19740 jaar geleden [Martinus van Hoorn]

198Re:cursief – Aftelversje [Rob Bosch]

200Geactualiseerd overzicht van niet-ce-stofhavo en vwo [Marja Bos]

201Aankondiging

202Van de bestuurstafel [Marian Kollenveld]

204Jaarrede 2003 [Marian Kollenveld]

208Beeldverslag studiedag/jaarvergadering 2003[Metha Kamminga]

210Recreatie [Frits Göbel]

212Servicepagina

Aan deze special werkten verder mee PeterBoelens en Chris van der Heijden.

1 3 0euclides nr.4 / 2004

Wat valt er dan uiteindelijk zoal te vinden in ditspeciale nummer van Euclides? Uiteenlopende kunstuitingen hebben er een plekje ingekregen: muziek, literatuur, beeldende kunst, …Zo worden afbeeldingen in het platte vlak door zowelMartin Kindt als Agnes Verweij in een wiskundigperspectief geplaatst. Dat gebeurt aan de hand vanwerk van respectievelijk Albrecht Dürer en Susannavan Steenwijck-Gaspoel.Jan van de Craats laat u nader kennismaken metdiverse raakvlakken tussen muziek en wiskunde.Aad Goddijn bespreekt denkbeelden en opvattingen vanWordsworth en zijn geestverwanten uit de Romantiek, tenaanzien van ‘de rede’ en de wiskunde in het bijzonder.Marjolein Kool schreef speciaal voor Euclides een paarnieuwe wiskundegedichten; Irene Dalm liet zich doorhaar inspireren bij een activiteit voor haar brugklas-leerlingen.Ab van der Roest, Bart Heukelom en Ton Koningslaten, via uiteenlopende activiteiten, leerlingen enstudenten kennismaken met wiskunstige zaken in deruimtelijke beeldende kunst.Jan Hogendijk informeert ons over wiskundigeaspecten in Islamitische kunstuitingen.Frederik van der Blij verkent de opkomst van deabstractie, zowel in de kunst als in de wiskunde.Wim Kleijne bewijst weer eens dat de gulden snede eenrijke bron is.Het thema Kunst en Wiskunde stond de afgelopen tijdook tijdens diverse symposia in de belangstelling.Albert van der Schoot en Klaske Blom doen verslagvan twee van zulke congressen.Twee van onze vaste rubrieken werden aangepast aanhet thema: Martinus van Hoorn laat zien hoe hetjongerentijdschrift Pythagoras 40 jaar geleden aandachtbesteedde aan ster-twaalfvlakken, Frits Göbel ontwierpvoor de special een puzzel rond Borromeaanse ringen.Die bijzondere ringen kwam u ook al tegen op devoorkant van het oktobernummer van Euclides. Nietvoor niets kregen en krijgen de omslagen van dezejaargang een bijzonder gezicht. Elk nummer is getooidmet een prachtig ontwerp van Rinus Roelofs,‘wiskunstenaar’ in hart en nieren. In deze special vindtu een interview met hem. Op de omslag van ditjanuarinummer ziet u zijn ‘Crossed Antiprism’, degestripte ribbefiguur van zo’n antiprisma, metregelmatige ster-elfhoeken als onder- en bovenvlak.Doordat de ribben van onder- en bovenvlak vervolgenszijn weggelaten, ontstaat één doorlopende lijn.

De redactie dankt de genoemde auteurs voor hunbijdragen aan dit speciale kunstnummer.U als lezer wensen we veel inspiratie en leesplezier toe!

Kunst en Wiskunde, dat thema lijkt op dit momentineens weer overal op te duiken…Toen de redactie begin april besloten had ditonderwerp te kiezen als thema voor onze jaarlijksespecial, kwamen we het prompt op allerlei plekkentegen: - het bleek één van de thema’s te worden van deNationale Wiskunde Dagen 2004; - het op 10 januari jl. gehouden Wintersymposium vanhet Koninklijk Wiskundig Genootschap werdgeorganiseerd rond ‘Wiskunde en Muziek’; - en bovendien (maar dàt was ons toen al wél bekend)vierde de Stichting Ars et Mathesis(www.arsetmathesis.nl) afgelopen najaar haar twintig-jarig bestaan met onder meer de tentoonstelling‘Bomen van Pythagoras II’.Natuurlijk, het thema ‘kunst en wiskunde’ staat welvaker in de schijnwerpers. Maar zo ineens, kort achterelkaar, op meerdere plaatsen tegelijk? Zou het temaken kunnen hebben met een behoefte om even deeigen aandacht af te leiden van ‘barre tijden’ inwiskundeonderwijsland en daaromtrent? Ach welnee,laten we het maar gewoon op toeval houden…

Bij het zoeken naar mogelijke bijdragen voor dezespecial hield de redactie het thema ‘kunst en wiskunde’bewust heel open en breed:- Niet elk artikel heeft rechtstreeks betrekking opwiskunde-onderwijs. U zult dus in de meeste bijdragengeen direct-bruikbare toepassingen vinden voor dewiskundeles.- Er zijn vooraf géén specifieke, scherp afgebakendeinvalshoeken gekozen. We hadden deze specialbijvoorbeeld kunnen beperken tot een meer samen-hangend thema als ‘kunst als wiskundige toepassing’,of ‘wiskunde naar aanleiding van een kunstwerk’, of‘kunst en wiskunde: tegenstellingen en overeen-komsten’. Dat hebben we niet gedaan. Deze special pretendeert dan ook beslist niet eenafgewogen analyse of een ‘volledig’ beeld te biedenvan het thema of van de diverse raakvlakken tussenkunst en wiskunde. Doel is simpelweg u als wiskundedocent enigeinspiratie te bieden - vanuit de invalshoek ‘kunst’. Of, om redacteur Klaske Blom te citeren (zie haarverslag van het ISAMA-BRIDGES-congres): ‘Met welkdoel haal ik kunst binnen? Bij welke onderwerpen?Verbetert het onderwijs als het leuker wordt? Is leukermaken een doel op zich omdat het leerlingen motiveert?En welke leerlingen raken gemotiveerd? En wie stoothet af? […] Wat mij betreft is de winst […] dat er weereen nieuwe invalshoek binnen handbereik gekomen iswaarmee ik mijn didactiek zou kunnen uitbreiden.’

LEESWIJZERTer inleiding op het thema ‘Kunst en wiskunde’[ Marja Bos ]


in de tweede helft van de twintigste eeuw veelaandacht heeft gekregen. Bij de in die tijd ookontwikkelde seriële muziek worden niet alleen detoonhoogte, maar ook allerlei andere muzikaleparameters zoals maat, ritme en tijdsduur viaingenieuze combinatorische constructies in structurengevangen. Of die structuren ook los van de geschrevenpartituur hoorbaar en invoelbaar zijn, is nog steeds eenstrijdpunt. In elk geval schijnt de mode tegenwoordigeen beetje overgewaaid te zijn. De tijd zal leren wat ervan de revolutionaire pretenties van de serialistenoverblijft. Ik zal er in dit stuk geen aandacht aanbesteden.

Zijn er verder nog serieuze, exacte verbanden tussenwiskunde en muziek? Wel degelijk. Ze liggen met nameop het terrein van tonen en boventonen, harmonie,consonanten en dissonanten en de bouw vantoonsystemen. Grote namen van wis- en natuur-kundigen zijn ermee geassocieerd: Pythagoras,Ptolemaeus, Mersenne, Leibniz, Huygens, Euler, om ermaar een paar te noemen. En in de negentiende eeuwHermann Helmholtz, die het standaardwerk Die Lehrevon den Tonempfindungen schreef dat vele malenherdrukt en aangevuld werd, en dat in Engelsevertaling nog steeds bij uitgeverij Dover verkrijgbaaris. Uit het brede scala van onderwerpen die daarin aande orde komen, heb ik in mijn Zebra-boekje De juistetoon een keuze gemaakt. In dit artikel wil ik nog watnader ingaan op een onderwerp dat ook interessant isvoor wie geen diepgaande kennis van muziek heeft,namelijk het verschijnsel zwevingen. Daarmee wordtdit dus toch een ‘zweverig verhaal’, maar in een anderebetekenis dan je op het eerste gehoor misschien zoudenken.

ToonhoogteZwevingen ontstaan wanneer twee tonen van ongeveergelijke sterkte en bijna dezelfde toonhoogte klinken.Het gaat daarbij haast altijd om een onaangenaam,jankend geluid. Wanneer de toonhoogtes dichter bijelkaar komen, wordt het minder, en het verdwijnthelemaal als de toonhoogtes gelijk zijn. Ook kunnenzwevingen ontstaan als in de twee tonen boventonenmeeklinken van voldoende sterkte met bijna dezelfde

InleidingOver de band tussen muziek en wiskunde is veel tevertellen. Je zou het kunnen hebben over het zoekennaar schoonheid, het esthetische element, dat zowel inde muziek als in de wiskunde een drijvende kracht is.Of je zou de vaak gehoorde, maar nooit echt hardgemaakte bewering kunnen onderzoeken datwiskundigen gemiddeld meer aanleg voor muziekhebben dan niet-wiskundigen. Ik geloof daarpersoonlijk trouwens helemaal niets van, en bovendienzou ik niet weten hoe je dit soort uitsprakenverantwoord zou moeten toetsen.Een ander raakvlak tussen wiskunde en muziek zouliggen op het terrein van de getallenmystiek. Zo was ereen tijd geleden veel publiciteit rond een boek waarinmet behulp van telprocedures en berekeningenverbijsterende verbanden in Bachs muziek werdengevonden. Bach zou er allerlei geheime boodschappenin verstopt hebben, en onder andere ook zijn eigensterfdatum hebben meegecomponeerd. Het is duidelijkdat je zulke verhalen niet serieus hoeft te nemen. Als jemaar genoeg getallenmateriaal voorhanden hebt, in ditgeval maten en muzieknoten om te tellen en tecoderen, kun je er met selectieve methoden allesuithalen wat je maar wilt. Het zou me trouwens nietsverbazen als je met zulke middelen uit Bachskoffiecantate de boodschap ‘Douwe Egberts’ zoukunnen destilleren.Een andere zaak is dat Bach door de strengemuziekvormen die hij in veel gevallen koos,toehoorders en uitvoerders die daarvoor gevoelig zijnen die over de nodige muzikale basiskennisbeschikken, niet alleen muzikaal-emotionele, maarzeker ook muzikaal-intellectuele ervaringen bezorgt.Het analyseren van de structuren die bijvoorbeeld aande fuga’s ten grondslag liggen, heeft wel iets van hetzoeken naar structuren dat ook aan de wiskunde eigenis, maar ik heb toch eigenlijk in zulke analyses nognergens iets kunnen vinden waar echte, niettrivialewiskundige technieken en methodes tot nieuweontdekkingen hebben geleid. Ook hier dus vooral veelvaagheid en zweverigheid over de band tussenwiskunde en muziek.Totaal niet vaag en zweverig is de twaalftoonsmuziekvan Arnold Schoenberg en zijn leerlingen, die vooral

MUZIEK EN WISKUNDE(G)een zweverig verhaal[ Jan van de Craats ]


toonhoogte. Je kunt van zwevingen gebruik maken alsje een muziekinstrument stemt.Hoe ontstaan zwevingen precies en wat zijn eigenlijkmuzikale tonen? Dat zijn de eerste vragen waar we onsmee bezighouden.Geluid bereikt ons oor via luchttrillingen, kleinefluctuaties in de luchtdruk die het trommelvlies intrilling brengen. Die trillingen worden omgezet inelektrische signalen die langs de gehoorzenuwen aande hersenen worden doorgegeven. Zo horen we geluid.Het meest karakteristieke van een muzikale toon is datwe er een toonhoogte aan kunnen toekennen. Analysevan zo’n signaal leert dat het dan gaat om een lucht-trilling die periodiek is, althans in eerste benadering.De frequentie ervan correspondeert met de toonhoogte:hoe hoger de toon, des te hoger ook de frequentie.Bij hoorbare tonen gaat het om trillingen met eenfrequentie die tussen de twintig en twintigduizendHertz (trillingen per seconde) ligt. Die hoge frequentiesworden overigens alleen door jonge kinderenwaargenomen; naarmate we ouder worden, schuift degrens waarboven we geen geluid meer horen, steedsverder naar beneden. Bij volwassenen ligt de drempelvaak al bij zestienduizend Hertz of lager.Naast de toonhoogte, die dus met de frequentiecorrespondeert, heeft een muzikale toon nog tweeandere karakteristieke eigenschappen: zijn sterkte(luidheid), die correspondeert met de amplitude van detrilling, en zijn klankkleur (ook wel timbre genoemd),die correspondeert met de specifieke vorm van het zichtelkens herhalende golfje. Tonen met dezelfdetoonhoogte die gespeeld worden op een piano, eenorgel, een viool of een trompet klinken toch heelverschillend. Je ziet dat aan de vorm van het golf-patroon, dat je met behulp van een microfoon kuntregistreren en op een computerscherm zichtbaar kuntmaken.De fourieranalyse leert hoe we elk periodiek geluids-signaal kunnen opbouwen als een reeks van zuiveresinusoïden dat wil zeggen signalen die beschrevenkunnen worden door sinusfuncties, elk met hun eigenamplitude en fasehoek, en met een frequentie die eengeheel veelvoud is van de frequentie van het gegevensignaal. Die tonen die horen bij die hogere frequentiesheten de boventonen.Een stemvork heeft als toon een zuivere sinusoïde, enin principe kun je elke toon dus krijgen door een grootaantal stemvorken, voor elke boventoon één, op hetjuiste moment en met de juiste sterkte aan te slaan. Defouriercoëfficiënten bepalen de amplitude en de fasevan de boventonen waaruit zo’n toon is samengesteld.Overigens, het periodieke karakter van zo’n toon kannatuurlijk alleen maar bij benadering gelden, in deeerste plaats omdat elke toon slechts een beperktetijdsduur heeft, en vervolgens ook omdat tonen tijdenshet spelen vaak in sterkte variëren: een pianotoonneemt na de aanslag snel in geluidssterkte af. Ook het‘aanzetverschijnsel’, de manier waarop een toonbegint, is vaak karakteristiek voor de aard ervan. Tochis ons gehoor zeer goed in staat om toonhoogtes, datwil zeggen frequenties, in zeer korte tijd te detecteren,

FIGUUR 1

FIGUUR 2

Het principe van zwevingen: de bovenste strook bevat88 streepjes, de middelste 85. In de onderste strook zijnbeide patronen over elkaar heen getekend. Er ontstaat een‘zwevingenpatroon’ van 88�85�3 zwarte banden.

Het signaal f1(t)�3cos(880πt) voor 0 � t �0,2


zelfs in zeer snelle loopjes op de piano. Een kritischgeval doet zich voor in het derde deel van Beethovensvijfde symfonie, waar de contrabassen een zeer snelle,zeer lage passage moeten spelen: de noten daarvanklinken zo kort dat elke noot maar een paar trillingenkan hebben geduurd. Toch herkennen we de melodie.

Een moiré-patroonOm grip te krijgen op het verschijnsel zwevingen,hebben we eigenlijk helemaal geen sinusoïden enfourieranalyse nodig. De kern van de zaak zit in deperiodiciteit en in de interferentie-eigenschappen vangesuperponeerde signalen: zijn de signalen in fase, danversterken ze elkaar, en zijn ze in tegenfase, dan dovenze elkaar uit. We illustreren dat aan de hand vanfiguur 1. Je ziet daar in de bovenste strook 88 gelijk-matig verdeelde zwarte streepjes. In de middelstestrook zijn het er 85, en in de onderste strook zijn debeide patronen over elkaar heen getekend. Er ontstaatdan een soort moiré-patroon waarin drie zwartebanden te zien zijn. Die zwarte banden treden op alsde beide samenstellende stroken in tegenfase zijn, wantdan vallen de streepjes van de middelste strook vrijweltussen die van de bovenste strook. Zijn ze in fase, danzien we ook in de onderste strook een duidelijkeafwisseling van zwart en wit.Waarom zijn er precies drie (dat wil zeggen 88 - 85)zwarte banden te zien? Met andere woorden, waaromzijn de twee signalen precies drie maal in tegenfase (enook drie maal in fase, als je begin- en eindpunt metelkaar identificeert)? Om dat te begrijpen is het handigom een andere metafoor te gebruiken: een klok mettwee wijzers. De ene wijzer draai precies 88 maal rondin een uur, en de andere wijzer iets langzamer: precies85 maal. Ze beginnen tegelijk in de twaalfuurstand.Hoe vaak passeert de snelle wijzer daarna de langzameper uur? Natuurlijk drie maal. Op die momenten zijnde twee wijzers ‘in fase’. Ze zijn in tegenfase als zeprecies tegenover elkaar staan, en ook dat gebeurt driemaal per uur.

Zwevingen bij gelijke amplitudesTerug naar de geluidstrillingen. Een toon met eenfrequentie van 440 Hertz (de standaardtoon A die zichop een piano iets rechts van het midden van hetklavier bevindt) geeft 440 maal per seconde een pieken een dal in de luchtdruk. Als je tegelijkertijd een ietslagere toon met een frequentie van 425 Hertz laatklinken, zullen de pieken van de beide tonen elkaarprecies 15 keer per seconde versterken (als ze in fasezijn) en even zo vaak uitdoven (als ze in tegenfasezijn). Die uitdoving is volledig wanneer ze preciesdezelfde golfvorm en amplitude hebben, anders is eronvolledige uitdoving, maar toch zul je dan nog steedsfluctuaties in de geluidssterkte waarnemen: 15 maalper seconde een piek en een dal. Dat zijn dezwevingen; ze treden dus precies in de verschil-frequentie op.Overigens, die frequentie van 15 Hertz is natuurlijkniet de frequentie van het samengestelde signaal vande beide tonen. Als ze een irrationale frequentie-

FIGUUR 3

FIGUUR 4

Het signaal f1(t)� f2(t)�3cos(880πt)�3cos(850πt�0,7)

Het signaal f1(t)� f2(t)�3cos(880πt)�2cos(850πt�0,7)


verhouding hebben, zal het samengestelde signaal zelfsniet periodiek zijn!Wanneer de beide tonen zuivere sinusoïden zijn, kun jehet verschijnsel zwevingen ook goed analytischbeschrijven. Daartoe merken we eerst op dat je elkesinustoon kunt schrijven in de ‘standaardvorm’Acos(2��t�� ), waarin A de amplitude, � defrequentie en � de fasehoek is. Als t in secondengemeten wordt, is de frequentie � gegeven in Hertz.Een sinustoon van 440 Hertz met amplitude 1 enfasehoek 0 wordt dus gegeven door cos (880�t).In figuur 2 is het signaal f1(t )�3cos (880�t), dat eenfrequentie van 440 Hertz en een amplitude van 3 heeft,getekend op het interval 0� t �0,2. Er zijn dus 88volledige periodes te zien.We voegen daar een signaal f2(t ) met een iets lagerefrequentie, namelijk 425 Hertz, aan toe. Voor deeenvoud nemen we dezelfde amplitude, maar wepassen wel een faseverschuiving toe: f2(t )�3cos(850�t�0,7 ). Het samengestelde signaal wordt dus

f1(t )� f2(t )�3cos (880�t)�3cos (850�t�0,7)

In de grafiek ervan, zie figuur 3, is het verschijnselzwevingen duidelijk zichtbaar. We zien een laag-frequente sinusoïde en het spiegelbeeld ervan in de t-as als ‘omhullenden’ van een hoogfrequent signaalwaarvan de amplitude sterk varieert. De omhullendenhebben op het tijdsinterval 0� t �0,2 drie pieken, dusvijftien pieken per seconde, precies deverschilfrequentie van de beide signalen: 440�425�

15. Wat je hoort, is een toon met de frequentie van hethoogfrequente signaal, die vijftien maal per secondeaanzwelt en weer uitdooft: een onaangenaam, jankendgeluid.Ook analytisch kan dit verklaard worden. Met behulpvan de gonioformule

cos � �cos � 2cos � � cos � �is het signaal f1(t ) � f2(t ) te schrijven als

f1(t )� f2(t )�6cos (15�t�0,35)cos (865�t�0,35)

De factor cos (865�t�0,35) representeert het hoog-frequente signaal, dat blijkbaar een frequentie heeftvan 432,5 Hertz, het gemiddelde van 440 Hertz en425 Hertz. De laagfrequente factor 6cos (15�t� 0,35) isop te vatten als een langzaam (dat wil zeggenlangzaam ten opzichte van het hoogfrequente signaal!)fluctuerende ‘amplitude’ die vijftien keer per secondede maximale waarde �6 of �6 aanneemt. Inderdaad:vijftien keer, en niet zeveneneenhalve keer, want ookals cos (15�t�0,35)� �1 hebben de slingeringen vanhet hoogfrequente signaal een maximale amplitude.

Zwevingen bij ongelijke amplitudesWanneer de amplitude van f2(t ) niet gelijk is aan dievan f1(t ), krijgen we ook zwevingen, maar defluctuaties zijn dan minder sterk. Figuur 4 laat er een

� �

2� �

2

voorbeeld van zien. Hierbij is f2(t )�2 cos (850�t�0,7)genomen. De amplitude van f2(t ) is dus van 3 naar 2gedaald. Als gevolg hiervan wordt het ‘nulniveau’ nietmeer gehaald: de signalen kunnen elkaar niet meervolledig uitdoven.Voor een analytische beschrijving is het ’t handigste om f1(t ) te splitsen als f1(t )�cos (880�t)�2cos (880�t).Dan is

f1(t)�f2(t)�cos(880�t)�4cos(15�t�0,35)cos(865�t�0,35)

De eerste term heeft een relatief kleine amplitude en isdus van ondergeschikt belang; de tweede term isverantwoordelijk voor de zwevingen. Weer zijn heter vijftien per seconde.

Projecten en werkstukkenWat voor hoorbare, storend klinkende zwevingenbepalend is, is hiermee duidelijk geworden: tweetegelijkertijd klinkende tonen (of boventonen) metfrequenties die dicht bij elkaar liggen en die beide eenvoldoende grote amplitude hebben. Er is natuurlijk nogveel meer over te vertellen, maar het is leuker om erzelf ook mee te experimenteren. Zo kun je hethierboven besprokene met twee stemvorken van440 Hertz controleren als je de benen van een van debeide stemvorken met gewichtjes verzwaart, waardoorde toon ervan verlaagd wordt.Ook met muziekinstrumenten zijn er op dit gebied talvan experimenten mogelijk. In De juiste toon staanresonantieproeven beschreven die je met een piano ofmet andere instrumenten kunt uitvoeren waarbijzwevingen duidelijk hoorbaar worden. Leuk voor eengezamenlijk project met natuurkunde, vooral als jedaarbij beschikt over toongeneratoren en apparatuurwaarmee je ook daadwerkelijk fourieranalyse kuntuitvoeren. De bekende experimenteeromgeving Coach,die ontwikkeld is door het Amstel-instituut van deUniversiteit van Amsterdam en die op veel scholenaanwezig is, is daar een voorbeeld van.

Literatuur

Jan van de Craats: De juiste toon, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2003,

Zebra-reeks nr. 15, isbn 90-5041-079-0.

Hermann L.F. Helmholtz: On the Sensations of Tone (Engelse vertaling

en bewerking (1885) door Alexander J. Ellis van ‘Die Lehre von den

Tonempfindungen’, Heidelberg, 1862, 1877), heruitgave Dover, New

York, 1954, isbn 04-8660-753-4.

Over de auteur

Prof.dr. J. van de Craats (e-mailadres: [email protected]) is

hoogleraar wiskunde aan de Koninklijke Militaire Academie in Breda,

de Universiteit van Amsterdam en de Open Universiteit.


InleidingDe Islamitische traditie verbiedt het afbeelden vanlevende wezens.[1] Om moskeeën en andere gebouwente versieren werden in de Islamitische wereld Arabischekalligrafie en abstracte wiskundige kunst gebruikt.Overal in de middeleeuws Islamitische wereld zijnprachtige bouwwerken neergezet met schitterendemozaïeken. Iedereen kent het Alhambra in Granada,waar M.C. Escher inspiratie heeft opgedaan. Deversieringen in het Alhambra berusten op achthoekenen twaalfhoeken, en zijn ‘slechts’ kinderspel vergelekenmet wat bewaard is in het paradijs voor mozaïek-liefhebbers, Iran. Daar vinden we ook patronengebaseerd op de vijfhoek (gulden snede), en min ofmeer regelmatige vlakvullingen op koepels (gekromdeoppervlakken). De belangrijkste mozaïeksteden in Iranzijn in de eerste plaats Isfahan, daarnaast ook Natanz,Kashan, Shiraz, Qom en Mahan (zie figuur 1). Demeeste van deze steden zijn tegenwoordig gemakkelijkbereikbaar: een duizelingwekkend reisdoel voor deechte mozaïekliefhebber.

Hoe en waarom?Wie deze middeleeuwse schoonheid heeft gezien, zalzich wellicht afvragen hoe de mozaïeken zijngeconstrueerd, en of er een symbolische betekenisachter zit. Deze vragen zijn niet eenvoudig tebeantwoorden. In bibliotheken in Iran en daarbuitenzijn veel middeleeuwse Arabische en Perzische hand-schriften over wiskunde bewaard. In deze hand-schriften staat (voor zover bekend) praktisch nooit ietsover toepassingen in de architectuur en kunst. Er zijnslechts twee handschriften bekend die wel overwiskunde en architectuur gaan: een 16e-eeuwse rol

met werktekeningen in het Topkapi-paleis te Istanbul[2]

en één middeleeuws Perzisch manuscript met40 bladzijden werktekeningen met instructies.[3]

Constructie van mozaïekenIn Shiraz heb ik een atelier bezocht waar nogmozaïeken volgens oude patronen werden gemaakt. Dekennis over de precieze wiskundige constructie vanmozaïeken schijnt vooral mondeling te zijn over-gedragen, van vader op zoon, of binnen soefi-ordes[4],die enigszins te vergelijken zijn met de gilden inmiddeleeuws Europa. In Iran zijn enkele auteurs bezigmet het vastleggen van kennis over mozaïeken,bijvoorbeeld Prof. Sharafuddin uit Bandar Abbas, dieaan een boek werkt met de titel ‘De Meetkunde van hetHart’. Ook is er een prachtig plaatwerk in (minstens)vijf delen, met uitleg over patronen, meetkundigeconstructies, en alle gereedschappen: Mohammad Ma-heru’l-naqsh, Ka-shı--Ka-rı--ye I-ra-nı-, Tehran (1361).[5]

Deze boeken zijn in het Westen moeilijk of niet te krijgenen natuurlijk alleen toegankelijk voor wie Perzisch kanlezen. In elk geval zijn veel van de wiskundige achter-gronden van de Islamitische mozaïekkunst waarschijnlijkwel te achterhalen voor iemand die goed Perzisch kenten enige tijd in Iran rondreist.

Symbolische betekenisDe symbolische achtergrond van de mozaïekkunst iseen groter raadsel. In het Westen zijn theorieëngepubliceerd, bijvoorbeeld door Seyyed Hossein Nasren zijn leerlingen, over het verband tussen Islamitischemozaïeken en archetypen, planeten, en magischevierkanten.[6] Nasr en zijn leerlingen onderbouwen hun

WISKUNDE EN ISLAMITISCHEKUNST:WERK IN UITVOERING[ Jan Hogendijk ]



MuqarnasOm de ronde koepels op rechte muren te latenaansluiten is vanaf de tiende eeuw een speciaal soortversiering ontwikkeld, de muqarnas. Het bestaat uiteen drie-dimensionaal samenstel van allerleibeschilderde oppervlakjes dat een beetje doet denkenaan stalactieten in een grot. Dit wordt tegen koepel enmuur aan gemetseld om de overgang geleidelijk temaken. De muqarnas werd opgebouwd aan de handvan een horizontale werktekening, waarin de projectiesvan de vlakjes werden aangegeven. Al-Ka-shı- schrijftover verschillende soorten muqarnas en hij geeftbenaderingsformules voor de oppervlakte van devlakjes, nodig om de schilder te kunnen betalen. (Alsde benadering te hoog was, was dit voor de schildervoordelig!) Zie de figuren 3 en 4.Op dit moment werkt Silvia Harmsen (in Utrechtafgestudeerd als wiskundige) in Heidelberg aan eenproject om uit de horizontale projectietekening demuqarnas te reconstrueren. Dit is belangrijk om zo’nconstructie te kunnen repareren of restaureren als hij isingestort, en om de werktekeningen in de rol in hetTopkapipaleis te kunnen begrijpen. Binnenkortverschijnt ook een video hierover: ‘Magic ofMuqarnas’.

LeerlingenIn principe is Islamitische wiskunst een leukonderwerp voor leerlingen om een profielwerkstukover te schrijven. Echter, het is wel handig als deleerling en de begeleider allebei Perzisch kunnen lezenen goede contacten met Iran hebben!

theorieën niet met authentieke bronnen (zoalsbijvoorbeeld interviews met mozaïekmakers), en zegebruiken soms denkbeelden die aan de middeleeuwsemozaïekmakers niet bekend waren. Ik heb daarom hetsterke vermoeden dat de theorieën onjuist zijn.Misschien was er helemaal geen symbolische offilosofische achtergrond, en construeerden de mozaïek-makers gewoon wat zij mooi vonden zonder diepereboodschap. Misschien was deze achtergrond er wel, enmoeten we die weer in het soefisme zoeken. Ook op ditgebied is er een gigantische literatuur in Perzische enArabische handschriften die in het Westen nog nooitzijn onderzocht.

Al-Ka-shı- over koepelsVan enkele andere gebieden in de Islamitischewiskundige kunst wordt de sluier een beetje opgelicht,door wat de Perzische wiskundige Al-Ka-shı- (ca. 1420)geschreven heeft in zijn boek ‘Sleutel tot de Reken-kunde’. Deze gegevens worden nu uitgewerkt door eenteam onder leiding van Dr. Yvonne Dold-Samploniuste Heidelberg.Al-Ka-shı- beschrijft hoe koepels op Islamitische bouw-werken en graftombes moeten worden geconstrueerd,en hoe je de oppervlakte daarvan kunt uitrekenen.Yvonne Dold heeft in een (Engelstalige) video dezeconstructies met bestaande bouwwerken vergeleken.Het graf van Al-Ka-shı- is verloren gegaan en er zijnheel weinig gegevens over bekend. In de video wordteen virtuele graftombe voor Al-Ka-shı- geconstrueerd opgrond van de aanwijzingen over de bouw van koepelsin zijn werk. Het stadsbestuur van zijn geboortestadAl-Ka-sha-n was zo ontroerd door de video dat mevrouwDold tot ereburgeres van de stad is uitgeroepen.

FIGUUR 1 Een mozaïek uit Isfahan FIGUUR 2 Koepel van het graf van Shah NematollahVali, Mahan


Noten

[1] De Profeet Mohammad zou volgens de traditie gezegd hebben:

‘Degene die een afbeelding maakt in deze wereld, zal gevraagd worden

om er leven in te blazen op de Dag des Oordeels.’

[2] Een leerlingenpakketje hierover is gemaakt door Mattias Visser

(e-mailadres: [email protected]).

[3] Voor een kleine greep daaruit zie J.P. Hogendijk:

Een workshop over Iraanse mozaieken. In: Nieuwe Wiskrant 16 no. 2

(1996), pp. 38-42.

[4] Het soefisme is een mystieke stroming in de Islam, met veel nadruk

op dichtkunst en op de ontwikkeling van het gevoel.

[5] Het jaar wordt in de Perzische jaartelling aangegeven. Het jaar 1

hiervan begint in het voorjaar van 622 volgens onze jaartelling, het

jaar van de verhuizing van de profeet Mohammad van Mekka naar

Medina. Het Perzische jaar is een zonnejaar dat begint met het

astronomische begin van de lente in maart.

[6] Zie bijvoorbeeld Keith Critchlow: Islamic Patterns, An Analytical

and Cosmological Approach (London, 1999).

[7] De figuren 3 en 4 zijn gereproduceerd met dank aan het

Interdisciplinary Center for Scientific Computing van de Universiteit

van Heidelberg.

Figuur 3 is afkomstig uit het boek van Harb.

Literatuur, e.d.

Mozaïeken

G. Necipogu: The Topkapi Scroll / Geometry and Ornament in Islamic

Architecture, Getty Center for the History of Art and the Humanities

(Santa Monica, Ca., 1995).

Koepels

Yvonne Dold-Samplonius: Video Qubba for Al-Ka-shı-; te bestellen via

www.ams.org/bookstore/videos

Zie ook Yvonne Dold-Samplonius: Calculating Surface Areas and

Volumes in Islamic Architecture. In J.P. Hogendijk, A.I. Sabra (ed.):

The Enterprise of Science in Islam, New Perspectives (Cambridge

Mass., 2003), pp. 235-265.

Muqarnas

Yvonne Dold-Samplonius: ‘Practical Arabic Mathematics / Measuring

the Muqarnas by Al-Ka-shı-’. In: Centaurus 35 (1993), pp. 193-242.

Ulrich Harb: Ilkhandische Stalaktitengewölbe (Berlin 1978).

Website

www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/ngg/Muqarnas/

Over de auteur

Jan Hogendijk (e-mailadres: [email protected]) heeft wiskunde en

Arabisch gestudeerd in Utrecht. Hij werkt aan het Mathematisch

Instituut van de Universiteit Utrecht, en doet onderzoek in de

geschiedenis van de wiskunde en sterrenkunde. Hij heeft diverse

middeleeuws Arabische handschriften uitgegeven en vertaald, en reist

regelmatig naar het Midden-Oosten.

FIGUUR 3 Horizontale projectie van een muqarnas[7] FIGUUR 4 Reconstructie van de muqarnas die bij dehorizontale projectie hoort[7]

COMPUTER VEROORZAAKTREVOLUTIE IN DEBEELDHOUWKUNSTDe objecten op de omslagen van deze jaargang van Euclides werdenontworpen door beeldend kunstenaar en wiskundige Rinus Roelofs.Redacteur Klaske Blom sprak met hem.[ Klaske Blom ]

Revoluties in de kunst‘Er is op dit moment een revolutie gaande in debeeldhouwkunst en ik ben ontzettend blij dat ik ditspannende tijdperk in de kunstgeschiedenis mee maak.Het is immers niet elke generatie gegeven om zichmidden in een periode van grote veranderingen tebevinden.In de schilderkunst was er bijvoorbeeld sprake van eenrevolutie toen het perspectieftekenen zijn intrede deed.Leonardo da Vinci was een van de eersten die dezetechniek in zijn werk toepaste; hij was ook in staat tetekenen in vogelperspectief terwijl hij nog nooitgevlogen had… Het aanbrengen van perspectief inschilderijen ontketende een revolutie in de schilder-kunst zoals de komst van de fotografie jaren later ookzou doen. Het dwong kunstenaars na te denken overhun vak: een goed lijkend portret schilderen is nietmeer interessant op het moment dat foto’s hun intrededoen in de kunst. Het dwong schilders iets anders tegaan doen en nieuwe stappen te zetten. Hiermee kwamde abstracte kunst tot ontwikkeling en bloei.De huidige revolutie in de beeldhouwkunst is op ganggekomen door het gebruik van de computer bij hetontwerpen van beeldhouwwerken: er is software, zoalshet programma Rhinoceros, waarmee je 3D-ontwerpenkunt maken die door een speciale printer drie-dimensionaal ‘uitgeprint’ worden (zie figuur 1). Jestuurt je file met je ontwerptekening op naar een goedgeoutilleerd printbedrijf en je krijgt per omgaande eenecht driedimensionaal model van je kunstwerk inkunststof retour. Aan jou als kunstenaar de taak omtenslotte je eindproduct vorm te geven in het materiaalvan je keuze.’

Als je het zo beschrijft lijkt het alsof de computernieuw gereedschap aanreikt: het schetsen wordtprogrammeren, en het beitelen wordt printen. Wat isdaar zo revolutionair aan?‘De winst van de computer is gelegen in de ruimte dieontstaat voor denkkracht, voor al je denk-mogelijkheden: als beeldhouwer voel ik mij beperktdoor mijn eigen onhandigheid; het materiaal waar jemee kunt werken is zo divers dat je je nooit in allebewerkingstechnieken goed kunt bekwamen. Datbetekent dat je in de uitvoeringsfase altijd heel veelinlevert op je idee, je bedenksels zijn altijd rijker danwat je kunt maken. Met de computer wordt al hetdenkbare maakbaar. De grens van onze mogelijkhedenwordt opgerekt; ik hoef mezelf niet meer in te houdenmaar kan de vrijheid nemen om alle kanten op tedenken. En sommige beeldhouwers zijn denkers: eenbeeld ontstaat in mijn hoofd en dus kunnen m’nbeelden zo veel rijker worden doordat ik me niet laatinperken door de uitvoeringsfase.’

Vind je het geen enge, afhankelijk makendeontwikkeling?‘Eng? Nee, ik ben juist heel blij dit allemaal mee temaken. Het is een enorm spannende tijd.Ik ken de, bij een revolutie behorende, behoudendereacties: er zijn mensen die vinden dat je het materiaal

moet kunnen ruiken en voelen; ik ben juist opgeluchtdat ik niet meer dagenlang in stofluchten hoef door tebrengen. Er zijn ook mensen die vinden dat je zelf jeeigen ontwerp en maquettes moet kunnen makenomdat anders iedereen ‘het’ zou kunnen. Dezeontwikkeling noodzaakt mij juist om mijnkunstenaarschap te bewijzen, te ontwikkelen en weergoed te worden met nieuwe middelen. Helaas wordtdeze ontwikkeling op de kunstacademies genegeerd,een vorm van conservatisme in mijn ogen. De huidigegeneratie kunstenaars die afstudeert is daardoorbijzonder slecht op de hoogte van de nieuwstetechnieken en mist de boot als het gaat omontwikkelingen in de beeldhouwkunst op dit terrein.Het is niet eenvoudig je midden in een revolutie tebevinden; mensen zijn op zoek naar nieuwe vormen enweten niet waar het uitkomt. Het oude wordt nog nietlosgelaten en het nieuwe is er nog niet. Dit bleekbijvoorbeeld tijdens een symposium in Parijs waarkunstenaars zich presenteerden in een virtueelbeeldenpark; het meeste werk was verrassendbehoudend, gemaakt van ogenschijnlijk ‘echt’materiaal en in ‘oude’ vormen. Maar de vragen zijn:Waar gaat het naar toe? Wat zijn de nieuwe ijkpunten?Hoe weet je wat je wilt? Niet eng, maar geweldig ommee te maken!’

BiografieRinus Roelofs (geboren 13 juni 1954 in Sleen) groeideop in een tijd waarin de gangbare opvatting was dat jemoest gaan studeren als je daarvoor de mogelijkhedenhad; het zou ‘onverstandig’ zijn om dat niet te doen.Roelofs beschikte over de mogelijkheden, hij was bij-voorbeeld drie jaar lang winnaar van de schoolschaak-competitie, en koos voor een studie toegepaste wiskundeaan de Technische Universiteit Twente in plaats van eenopleiding aan een kunstacademie. Na 5 jaar studerenverliet hij echter zonder diploma de TU en ging alsnognaar de kunstacademie; het kan verkeren…Tijdens zijn studie wiskunde was hij zich steeds meergaan bezig houden met filosofie en ontwikkelde hij, totzijn eigen verrassing, een voorkeur voor zuiverewiskunde vakken als mathematische logica enalgebraïsche structuren. Toen hij startte met zijn studieervoer hij juist een groot gevoel van vrijheid door ineen toepassingsgerichte richting te werken omdat hijhet gevoel had, het heft in eigen handen te kunnenhouden in onze technisch georiënteerde maatschappij.Maar tegen het einde van zijn studie realiseerde hijzich dat hij geen toekomst voor zichzelf zag binnen dewiskunde: een onderzoeksplaats was slechts voorenkelingen weggelegd, voor het onderwijs en hetbedrijfsleven had hij geen ambitie (meer). Noch in detechnische, noch in de zuivere wiskunde zag hijzichzelf verder groeien. Vandaar dat Rinus alsnogbesloot naar de kunstacademie te gaan.Daar begon hij met modeltekenen, werkte met verf enkrijt en deed veel aan fotografie. Hij interesseerde zichvooral voor conceptuele kunst en liet zich inspirerendoor kunstenaars als Struijken, Jan Dibbets en SiurdurGudmunssen, van wie hij ook les kreeg. Deze


een voorbeeld te noemen: als je een torus plat op eentafel hebt liggen en je snijdt deze horizontaal door,ontstaan er in het snijvlak twee cirkels, de ene binnende andere. Als je de torus verticaal doorsnijdt (doorzijn ‘middelpunt’) bestaat het snijvlak uit twee naastelkaar liggende cirkels. Als je van de ene toestand(snijvlak) naar de andere wilt, is er dus ergens een‘spannend’ moment, daar waar de cirkels van binnenelkaar liggend overgaan naar naast elkaar liggend.Waar vindt dat moment plaats? Als je in bewegingdenkt: welke snijvlakvormen kom je onderweg tegen?Dit soort vragen inspireren me weer tot nieuwe werken.Het opwerpen van dergelijke vragen en problemenvind ik typisch voor wiskundigen, en het is ook typischvoor kunstenaars; hierin zijn ze verbonden: altijd weerop zoek naar een nieuw idee of een nieuw probleem,louter vanwege het plezier van het oplossen. Ditzoeken van problemen heeft meestal nauwelijks enigedirect zichtbare maatschappelijke relevantie, in iedergeval niet noodzakelijke relevantie. Het gaat om hetnieuwe, het verrassende en het leuke wat het je brengt.’

IdeeënZo zijn we weer terug bij Rinus’ fascinatie met concep-tuele kunst: het gaat om het idee. Over de ontwikkelingvan die ideeën vertelde hij nog het volgende.

‘Ideeën ontwikkel je door te spelen, bijvoorbeeld doorte spelen met de mogelijkheden van de computer, doorsensatiebelust te zijn en door te kijken naar wat ergebeurt als je je gedachten de vrije loop laat enprobeert deze vorm te geven. Het computerwerk is hetschetsstadium; het moment waarop je besluit over tegaan op echt materiaal en uit de virtuele wereld testappen hangt af van een gevoel van fascinatie overdat het ‘goed’ is, dat er sprake is van spanning.Kunstenaars laten hun schetsboeken na als een tast-baar bewijs van hun emotionele momenten; daarinvind je de basale ideeën en gedachten. Wil je echt eenkunstenaar doorgronden dan moet je je laten binnen-voeren in het verhaal dat hij optekent in zijn schets-boek. En dat schetsboek kan bestaan uit geprintecomputerschermen, dat doet aan de essentie niets af.Dit tastbare bewijs van de weg waarlangs de idee totstand komt, ontberen we ten enenmale bijwiskundigen: bij de bestudering van een wiskundigetheorie heb je slechts het wiskundig materiaal dat voorje ligt. Over het proces waarlangs de wiskundigegewerkt heeft om tot die theorie te komen is vrijwelnooit iets bekend. Wat heeft iemand bewogen,waardoor heeft hij voor een bepaald spoor gekozen,waar zat de begeestering, wanneer kwamen deteleurstelling en de doodlopende wegen? Waarontstond de fascinatie met het probleem? Kunstenaarsen wiskundigen onderscheiden zich in het achterlatenvan bruikbaar materiaal voor nieuwsgierige lateregeneraties.’

MeetkundeRinus’ eigen werk bestaat uit geometrische objecten.Het kan ook anders met de computer, maar dit

conceptuele kunstperiode zou invloedrijk blijken te zijnop zijn latere werk: al zijn kunstwerken zijn begonnenmet een idee, niet met een gevoel of emotie; dit ideemoet optimaal ten uitvoer gebracht zodat het daad-werkelijk overkomt bij de beschouwer.Na de kunstacademie zocht hij toch weer, bijnaondanks zichzelf, de wiskunde op: hij accepteerde metmoeite dat hij de drang voelde om de structuurmatige,de Escherachtige kant op te gaan. In die tijd, beginjaren ‘80, was Escher niet geliefd in de kunstwereld, enRoelofs vermoedde dat hij door zijn vakbroeders nietmeer serieus genomen zou worden als hij dit spoor zouvolgen. Dit voorgevoel bleek intuïtief sterk. Hij kreegwel erkenning en goedbetaalde opdrachten vanuit hetbedrijfsleven, waardoor hij in zijn keus om wiskundigwerk te maken gesterkt werd. De zoektocht naar zijneigen weg was begonnen.

Structuur en dualiteitKun je beschrijven hoe je wiskundige scholing enachtergrond je van pas komen in je beeldhouwwerk?‘Ik hecht een groot belang aan de begrippen structuuren dualiteit. Deze twee begrippen spelen een belangrijkerol in mijn beeldend denken, en dat denken, daar gaathet om. Vaak wordt er gediscussieerd over de vraag ofbijvoorbeeld Escher en Da Vinci wiskundigen waren.Escher vond zichzelf geen wiskundige; van Da Vincidaarentegen is de uitspraak: “Alleen zij die wiskundigenzijn, mogen mijn werk bekijken.” Maar deze discussieover het al dan niet wiskundige zijn, is irrelevant. Hetgaat erom, of iemand wiskundig denkt. De kern vanwiskundig denken is dat je in staat bent om vanuitverschillende perspectieven naar een probleem te kijkenen het te onderzoeken. Vaak biedt een nieuw gezichts-punt nieuwe openingen en daarmee nieuwe kansen totvernieuwing. Dualiteit speelt dan een belangrijke rol:overgaan vanuit het ene perspectief naar het andere:spiegelen, tegenstellingen zoeken, wisselen van voor-achtergrond. Dit overstappen van de ene toestand naarde andere maakt dat je nieuwe ontdekkingen doet endat je je ontwikkelt in je werk.’

Is dat niet een veel algemener kijkprincipe?‘Dat zou goed kunnen, maar wiskundigen zijn getraindin het denken vanuit structuren. En ze zijn in staat omeen probleem ook eens van een andere kant tebenaderen. Denk maar aan het algebraïsch bewijzenvan meetkundige problemen. Dualiteit komt naar vorenals ik grafentheorie gebruik bij het werken met veel-vlakken: via punten en lijnen kom ik iets te weten overde mogelijkheden van de vlakken; in het werken metkoepels concentreer ik me op de voegen in plaats vanop de tegels om de constructies te verbeteren. Als jehet dualiteitsprincipe integreert in je denken kun jeinteressante denkstappen maken.’

En kun je een voorbeeld noemen van een typischwiskundig moment in het creatieve proces dat leidt toteen nieuw kunstwerk?‘Soms is een topologische studie noodzakelijk omvragen die ik mezelf stel, te kunnen beantwoorden. Om


meetkundige werk past bij hem. Het biedt de structuurwaarnaar hij op zoek is en waarop hij gesteld is. Hij iservan overtuigd dat elk mens voortdurend pogingendoet om zichzelf te snappen en dingen met elkaar inverband te brengen. Die verbanden kom jebijvoorbeeld op het spoor door over te schakelen vanstatische beelden op bewegingen en bewegendebeelden. Eén van zijn laatste werken, ‘Spiraliserendekubussen’ (zie figuur 2), is hiervan een mooieillustratie.

Ik leg Rinus tot slot het volgende voor:Ik vind geometrische kunst soms zo saai dat het mehelemaal niet raakt.Zijn reactie is even onthutsend als nuchter:‘Het is van alle tijden dat er slechte kunst gemaaktwordt, dus gebeurt dat ook op dit gebied. Vraag je bijkunst niet af of het mooi is, maar of het boeit, of het jeiets doet, of het een sensatie teweeg brengt. Daar gaathet om.’

Aan het eind van het interview blijkt dat we meer overzijn ideeën dan over zijn werk gesproken hebben.Hoewel Roelofs zijn werk maakt om een idee voor hetvoetlicht te brengen, ben ik blij dat we ook nogwoorden hebben om ons uit te drukken. Onder deindruk van zijn werk was ik al; zijn gedachten blijkenme handvatten te bieden om weer vanuit nieuweperspectieven te kijken, zowel naar kunst als naar dekunstgeschiedenis.Zijn werk kunt u overigens zelf bekijken: niet alleen opde voorkanten van deze lopende jaargang vanEuclides, maar ook via een selectie uit zijn collectie opzijn website (www.rinusroelofs.nl).

Over de auteur

Klaske Blom (e-mailadres: [email protected]) werkt als

wiskundedocente op het Hooghe Landt in Amersfoort.


FIGUUR 1a en 1b

FIGUUR 2

WISKUNDIGE POËZIE[ Marjolein Kool ]

Marjolein Kool publiceerde enkele bundels metpleziergedichten, waaronder (samen met Drs. P) ‘Wis- en natuurlyriek’, met gedichten over de exactevakken[1].Speciaal voor dit themanummer schreef zij drie nieuwewiskundegedichten: ‘Schaakprobleem’, ‘Vakantiedieet’en ‘Regelmaat’.

Schaakprobleem

Nadat hij zijn leven en alles wat telde

al jaren in dienst van de wiskunde stelde,

trof Cupido’s pijl in een loodrechte lijn

zijn hart bij de aanblik van Rozemarijn.

Haar schoonheid, haar gratie, haar pracht ongemeten,

ze deden hem spoedig zijn hoeken vergeten.

Hij staarde nu slechts naar de curven van haar.

Haar vader verstopte haar in haar boudoir

en dacht op die wijze haar minnaar te stuiten.

Die gooide een kiezeltje tegen haar ruiten.

Zij schoof haar gordijn, kreeg haar lief in het oog.

Hij klom langs een ladder verlangend omhoog,

forceerde haar raam, droeg haar snel naar beneden,

waar zij in de bosjes een spelletje deden.

De volgende avond, hoe mooi kan het zijn,

wierp hij weer zijn steentje, schoof zij haar gordijn,

nam hij haar weer mee als een kostbaar juweeltje

en zo werd dit spoedig een vast ritueeltje.

Tot pa hen betrapte. Hun noodlot was groot

toen hij haar vertoornd in de wijnkelder sloot.

Een heel nieuw probleem op het pad van hun levens

met veel onbekenden en weinig gegevens.

De held liet er al zijn technieken op los.

Hoe kreeg hij haar ooit weer terug in het bos?

Na uren vergeefs in- en extrapoleren

besloot hij de wijnkelderdeur te forceren.

Toen bracht hij zijn lief naar de ladder alwaar

hij haar snel omhoog droeg tot in haar boudoir.

Daarna klom hij zonder zijn schat naar beneden.

En onder haar raam riep hij zichtbaar tevreden:

‘Ik heb nu dit vraagstuk geheel in mijn macht.

Daar ’t tot een bekend probleem t’rug is gebracht!

Vakantiedieet

Daar ijs en wijntjes tot mijn spijt

mijn taille niet versmallen,

ben ik in de vakantietijd

ruim min drie kilo afgevallen.

Regelmaat

Een levenslustig elfvlak

stond vrolijk en gedreven

in een, zoals hij zelf sprak,

onregelmatig leven.

Zijn leven was een blijspel

vol slempen, brassen, spillen,

totdat men vond dat hij wel

meer regelmaat moest willen.

Een twaalfde vlak, zo riep men,

zou zijn genotzucht stelpen.

Men wachtte tot hij sliep en

een hoefsmid hem ging helpen

Een schreeuw die door ’t gewelf brak.

Een moker daalde neder.

Ons levenslustig elfvlak

is nu dodecaëder.

Noot

[1] ‘Wis- en natuurlyriek / Met chemisch supplement’ door Drs. P &

Marjolein Kool verscheen in 2000 bij uitgeverij Nijgh & Van Ditmar

(Amsterdam); isbn 90 388 14011.

Over de auteur

Marjolein Kool (e-mailadres: [email protected]) promoveerde op

een proefschrift over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en

zestiende eeuw. Ze doceerde een aantal jaren wiskunde in het

middelbaar onderwijs, maar is nu al weer geruime tijd docent

Rekenen-Wiskundedidactiek aan de Pabo Hogeschool Domstad in

Utrecht. Daarnaast is ze hoofdredacteur van het tijdschrift Willem

Bartjens voor reken-wiskundeonderwijs op de basisschool.


en/of hun werk. Ondanks de parallelsessies was er eenstrak georganiseerde, volle planning (overigens Spaanssoepel in de uitvoering) van ‘s ochtends half tien tot ‘smiddags half zeven. Na drie dagen liep ik over vanindrukken.De deelnemers waren grofweg in te delen zijn in viercategorieën:- de kunstenaars (vaak ook wiskundig geschoold) diewiskundige modellen gebruiken om hun kunst vorm tegeven;- de wiskundigen die bestaande kunst van anderenanalyseren;- de architecten die vooral geïnteresseerd zijn inarchitectuur als kunstuiting, minder dan alsfunctionaliteit, en vanuit hun eigen vakgebied kunstanalyseren, en tenslotte- de kunstenaars (niet-wiskundig geschoold) die‘wiskundige’ kunst maken vanwege hun fascinatie metmathematische objecten.Ik kom terug op deze indeling bij het beschrijven van(een fractie van) het programma, waarbij ik deelnemersvan de tweede en derde categorie onder één noemerbreng.

ISAMA/BRIDGES in GranadaOp woensdagochtend werden we zeer hartelijk welkomgeheten door Nat Friedman, brein achter en oprichtervan ISAMA. De sfeer was ontspannen en vrolijk,mensen verheugden zich in het weerzien en op alleinspirerende activiteiten. Vanuit de organisatie werd

InleidingWat deed u in de zomer van 2003? Herinnert u zichnog de hittegolf? In dit winters themanummer doe ik uverslag van een warme ervaring: ik combineerde mijnvakantie in de zomer van 2003 met deelname aan eencongres over Wiskunde en Kunst. Het was verrassenden de moeite waard! Als u uw vakantiebestemminggraag van het toeval laat afhangen en u geïnteresseerdbent in kunst, kan ik u aanraden om dit jaarlijksecongres[1] (in 2004 in Argentinië) uw doel te latenbepalen. En passant doet u er nog lesideeën op ook.

De deelnemersVan over de hele wereld (o.a. uit de USA, Zuid-Afrika,Italië, Engeland, Duitsland, Nederland, Japan,Argentinië) reisden ongeveer honderd congresgangersnaar Granada. Het belangrijkste doel was elkaar tespreken, te ontmoeten en elkaar deelgenoot te makenvan de laatste ontwikkelingen op het gebied waarwiskunde, kunst en architectuur elkaar overlappen.Voor die deelnemers die elkaar tot nu toe alleenkenden via ieders website, was het een bijzondereervaring elkaar in levenden lijve tegen te komen.Drie dagen lang was er een vol programma vanlezingen en presentaties. Regelmatig kreeg ik een vraagover de inhoud van mijn voordracht. Dat ik alleenmaar kwam om te luisteren en te kijken en dat er eengeheel nieuwe wereld voor me openging waaraan ikgeen bijdrage kon leveren, was eerder uitzondering danregel. De meeste deelnemers presenteerden zichzelf

WERELDWIJD NETWERK VANWISKUNSTIGE KUNSTENAARSEN KUNSTIGE WISKUNDIGENVerslag van een congres over Wiskunde en Kunst in Granada van23 t/m 25 juli 2003, georganiseerd door ISAMA – BRIDGES 2003[ Klaske Blom ]


het belang van ontmoetingen onderstreept, zodat erruime aandacht in tijd en planning was voor delunches en het avondprogramma. Aan het begin vanhet congres spraken we af dat het congres geslaagdzou zijn als iedereen met minstens één goed idee naarhuis zou gaan.Omdat het congres dit jaar in Granada gehouden werd,was het Alhambra (een schitterend paleis in Arabischebouwstijl, gebouwd tussen 1250 en 1350) een thema inveel lezingen. Misschien was het ook andersom: omdathet Alhambra en andere Islamitische kunst onderwerpvan veel onderzoek is, werd het congres in Granadageorganiseerd.Eerlijk gezegd had ik nog nooit van dezeinternationale Wiskunde en Kunst congressen gehoord,ondanks het feit dat ze al jarenlang wordengeorganiseerd. In 1992 werd het eerste Wiskunde enKunst congres (AM) gehouden, op initiatief van NatFriedman in Albany (USA). Tot aan 1997 vonden daarjaarlijks dergelijke bijeenkomsten plaats. Vanaf 1998werd de architectuur als aparte tak vertegenwoordigd,veranderde de naam in ISAMA en werd het met rechteen wereldcongres dat wisselend in de USA en inEuropa plaatsvond met deelnemers vanuit vrijwel allecontinenten. Dit jaar werd het congres georganiseerdin samenwerking met BRIDGES[1], dat ook jaarlijkseigen congressen organiseert.

Het programmaEigenlijk zou het voldoende zijn om u alle interessantewebsites door te geven, zodat u zelf uw kunst-congres-route kunt samenstellen. Kunst moet je vooral zelfbekijken en een congres zelf meemaken. Daarombeperk ik me tot een paar voorbeelden en wijs ik ugraag op het grote aantal internetadressen (met dedaarbij behorende doorklikmogelijkheden) aan het eindvan dit artikel. Verder is er een prachtig dik boekverschenen met (samenvattingen van) de voordrachtendie gehouden zijn tijdens het congres, een aanrader(zie [L1]).

I. Kunst ontworpen met wiskundige(computer)modellenIn de voordracht Volution’s Evolution gaf Carlo Séquin(Berkeley)[10] een kijkje in zijn ‘ontwerpkeuken’.Waarvandaan komt de inspiratie? Hoe krijgt een ideeconcreet vorm en hoe bepaal je wat ‘de mooiste’uitwerking van het idee is? Als je op elk vlak van eenkubus twee kwart cirkels tekent, de twee middelpuntenin overstaande hoekpunten van het kubusvlak en destraal gelijk aan een halve ribbe, dan kun je achtverschillende patronen laten ontstaan. Als jevervolgens minimale oppervlaktes creëert tussen dezecirkelranden (gekromde oppervlakten, zadels, tunnels),dan heb je de basis voor prachtige beeldhouwwerken.Séquin liet ons enthousiast de ontstaansgeschiedeniszien van zijn werk, dat hij ontwerpt met het computer-programma Surface Evolver. Vele topologischebeschouwingen leidden tot even zovele variaties in zijnwerk. Voorbeelden hiervan kunt u vinden op dewebsite van K. Brakke[2].


En passant vertelde Séquin nog dat hij groepenstudenten had laten werken aan de volgende opdracht:maak van het tweedimensionale yin-yang-teken eendriedimensionaal ontwerp. Misschien eens iets om zelfte proberen en vervolgens om te toveren tot eenpraktische opdracht?Ook mooi was zijn ontwerp van een tot bolopgeblazen icosaëder met in elke punt waar driedriehoeken elkaar ontmoeten, drie vlinders die de‘bolheid’ vergroten.

Eén van onze eigen kunstenaars, Rinus Roelofs,wiskundige en kunstenaar, was ook in Granada. Zijnvoordracht ging over koepels die hij ontwerpt metlouter rechte houtjes (boomstammen soms). Alsverbindingen geen spijkers, geen lijm of touwtjes,alleen maar uitsparingen op de juiste plaatsen. Met diteenvoudige systeem kun je koepels bouwen vandiverse afmetingen, diverse krommingen en inverschillende patronen; zie figuur 1. Omdat het ideezo ingenieus en zo simpel is tegelijkertijd, vermoeddeRoelofs dat hij niet de eerste en enige in degeschiedenis was met deze ontwerpwijze. Na eenzoektocht vond hij inderdaad een ‘oudere’ kunstenaar:ook Leonardo da Vinci was bekend met dergelijkeconstructies; zie [L2]. Roelofs heeft deze constructielater gebruikt voor prachtige bolontwerpen. Met 24 of90 ronde houtjes en uitsparingen op de juiste plaatsenzet hij ‘bollen’ in elkaar die uitermate stabiel blijken tezijn. Ik raad u dringend aan een bezoekje te brengenaan zijn website[3] en ook zijn overige werk tebewonderen. Zijn recentere werk ontwerpt Roelofs metbehulp van het 3D-computerontwerpprogrammaRhinoceros. Ook hierover kunt u informatie vinden viazijn website.

II. Wiskundigen en architecten analyseren kunstDe mozaïeken en de plafondsculpturen (zie [L3]) vanhet Alhambra zijn in veel lezingen besproken. Eenvoordracht die grote indruk op mij maakte, was dievan Jay Bonner, een Amerikaans architect die zichgespecialiseerd heeft in Islamitische bouwkunst. Hijonderscheidde in de mozaïeken drie verschillendetypen gelijkvormige meetkundige patronen en lietonder meer zien met welke historische technieken dezegemaakt zijn. Ook hiervoor verwijs ik u weer graagnaar zijn website[4] en een verwante site[5].Een lesidee voor het werken met tegelmozaïeken in deklas, waarbij u de details nog zelf moet uitwerken,vindt u op pagina 148.

De wiskundige Paul Rosin uit Engeland raaktegefascineerd door een vloersculptuur in de BibliotecaLaurenziana in Florence. In zijn voordracht vertelde hijover zijn onderzoek naar de vergelijkingen waarmee deellipsvormige schijven van deze vloersculptuurbeschreven kunnen worden. Deze ellipsen zijn ingebedin een door cirkels gevormde rozet. De meetkundebleek verrassend complex te zijn; voor de complexepatronen vond hij alleen numerieke oplossingen, voorsimpeler vormen ook analytische.

geometrische vormen. Mikloweit, een Duitsscheikundige, raakte ooit geboeid door het verschijnselveelvlakken doordat een hoogleraar wiskunde tijdenseen college vertelde dat de diagonalen van dezijvlakken van een kubus twee elkaar snijdendetetraëders vormen. Omdat Mikloweits voorstellings-vermogen hiervoor tekort schoot, maakte hij eenmodel. Dit was het begin van een langlopende carrièreveelvlakken bouwen en inmiddels draait hij zijn handniet meer om voor het bouwen van vijf elkaardoorsnijdende tetraëders, die hij dan ook nog zeerkunstig versierd heeft (zie figuur 2). Hij typeert zijnwerk als ‘polyart style’; kenmerkend hiervoor is dat hijin zijn constructies de snijvlakken zichtbaar laat zijn.Verbijsterd was ik door het geduld en de precisie vande man; ik word al bijna driftig van voelbare frustratieals ik me indenk ooit zoiets te moeten maken.Mikloweit las in het boek van Magnus Wenninger,Polyhedron Models, dat er 75 uniforme veelvlakken teconstrueren zijn, de meeste niet-convex. Hij besloot zeallemaal te gaan maken en heeft er inmiddels 54voltooid. Hij verwacht nog tien jaar nodig te hebbenvoor de overige vormen. Om een indruk te krijgen vandeze papieren, fraai versierde, handgemaakte modellen,kunt u zijn website bekijken.[6] Tegenwoordig zijn erook computerprogramma’s die het maken van deuitslagen, het zoeken van de vouw- en plaklijnenvergemakkelijken, zoals Hedron[7], Stellation Applet[8]

en Great Stella[9].

Persoonlijke slotbeschouwingIk heb geen speciale affiniteit met het raakvlak vanwiskunde en kunst, maar ben wel geboeid geraakt dooral het moois wat ik gezien en fascinerende wat ikgehoord heb.Ik heb wel een speciale affiniteit met wiskunde enonderwijs; dat moet als juf. Veel deelnemers aan het

Jay Kappraff (New Jersey Institute of Technology)vindt in oude Hindu en Islamitische kunst onverwachteverbanden in verhoudingen tussen de diagonaal enzijde van regelmatige veelhoeken. De diagonalenblijken de zijden te zijn van verschillende soorten van‘n-puntige-sterren’ die gerelateerd zijn aan debijbehorende n-hoek. Het duizelde me na dezevoordracht en ik weet ook niet of ik bovenstaande zinal dan niet met onzin geformuleerd heb. Kennersraadden me zijn boek aan; ik geef het u maar weerdoor (zie [L4]). De man zelf was in ieder gevalfenomenaal in het wekken van de nieuwsgierigheid!Wat bijvoorbeeld te denken van deze Fibonacci-achtigerij die hij (voor mij onnavolgbaar) afleidde uit eenregelmatige zevenhoek: 1, 1, 1, 2, 3, 5, 6, 11, 14, 25,31, …. Als u de volgende termen niet kunt vinden,moet u toch zijn boek eens doorbladeren.

En dan was er nog een eerste aanzet om wiskundigebeeldhouwkunst te classificeren, door Zalaya enBarrallo uit Spanje. Een dergelijke classificatie, innegen categorieën, is niet eerder gemaakt en volgensde initiatiefnemers wel nodig met het oog op verderonderwijs in wiskunde en kunst. De categorieën zijn:veelvlakken en klassieke meetkunde, niet-georiënteerdeoppervlakken, topologische knopen, oppervlakkengegeven door kwadratische vergelijkingen ofvoortgebracht door rechte lijnen, symmetrische enmodulaire structuren, Boole’se bewerkingen, minimaal-oppervlakken, transformaties en overige.

III Kunstenaars gefascineerd door meetkundigeobjectenIrene Rousseau, Mary Williams, Benigna Chilla enUlrich Mikloweit delen een passie voor meetkundigeobjecten. Niet professioneel wiskundig onderlegdmaken zij hun kunstwerken door gebruik te maken van


FIGUUR 1 FIGUUR 2

congres reageerden enthousiast en nodigden mespeciaal bij hun voordracht uit, als ze vernamen dat ikwiskundedocente ben: ‘Het zou zo goed zijn voorleerlingen en het onderwijs als er veel meer aan kunstgedaan zou worden binnen de wiskundelessen, hetspreekt leerlingen erg aan en verbetert het onderwijs.’Ja, maar hoe dan? Met welk doel haal ik kunst binnen?Bij welke onderwerpen? Verbetert het onderwijs als hetleuker wordt? Is leuker maken een doel op zich omdathet leerlingen motiveert? En welke leerlingen rakengemotiveerd? En wie stoot het af? En wat helpt hetleerlingen als ze mooie fractal-achtige plaatjes kunnenmaken van hogeregraads polynomen zonder dat zedoorgronden hoe de plaatjes ontstaan?Helaas is het me niet gelukt om over al mijn vragenecht in gesprek te raken met de congresdeelnemers.Begrijpelijk, het was geen onderwijscongres, maar weljammer. Hun enthousiasme riep bij mij zoveel vragenop waarover ik graag in gesprek wilde.Sommige onderdelen van de wiskunde zijn niet leuk,ook niet leuk te maken - en is dat zo erg? Niets zovreselijk als ‘opleuken’ als doel; soms bestaat leren uitdoorbijten, knarsetanden, de moed niet verliezen engewoon doorgaan. Maar, hiernaast kan het eenverademing zijn als je een invalshoek vindt waarmee jeleerlingen op een andere manier betrekt bij dewiskunde. Kunst spreekt vast een deel van deleerlingen aan, net zoals andere leerlingen extramotivatie halen uit bijvoorbeeld de geschiedenis vande wiskunde, realistisch probleemgestuurd onderwijs,wedstrijden en spelen of ‘e�i-gekke’ docenten. Wat mijbetreft is de winst van dit congres dat er weer eennieuwe invalshoek binnen handbereik gekomen iswaarmee ik mijn didactiek zou kunnen uitbreiden. Ik hoop dat de internet-route u ook nieuweinspirerende ideeën voor uw onderwijspraktijk laatopdoen.

Noten

De organisatoren van dit congres waren ISAMA (International Society

of Art, Mathematics and Architecture) en BRIDGES (Mathematical

connections in art, music and science).

Verwijzingen naar internetadressen van genoemde personen en/of

werken:

[1] www.isama.org/conf/isama03/ en www.sckans.edu/~bridges/

[2] www.susqu.edu/brakke/evolver

[3] www.rinusroelofs.nl

[4] www.bonner-design.com

[5] www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/phd/

[6] www.polyedergarten.de

[7] www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/

[8] http://web.ukonline.co.uk/polyhedra/

[9] http://home.connexus.net.au/~robandfi/Stella.html

[10] www.cs.berkeley.edu/~sequin/

Overige interessante ‘wiskunde en kunst’–internetadressen,

overgenomen uit de Conference Proceedings:

www.arsetmathesis.nl

www.cs.uu.nl/~marc/composable-art/

mathartfun.com

www.mmahan.us

www.polynomiography.com

www.georgehart.com/

www.polydron.com

www.geomview.org

www.fadu.uba.ar/maydi

www.shadowfolds.com/polypouches

Literatuurverwijzingen

[L1] R. Sarhangi, eds.: Meeting Alhambra, Isama-Bridges 2003,

Conference proceedings, Mathartfun.com, isbn 84-930669-1-5.

[L2] Carlo Pedretti: Leonardo Architect, pp. 154-155 (1981).

[L3] J.M. Castera: Arabesques, ACR, Parijs (1996, Frans en 1999,

Engels).

[L4a] J. Kappraff: Beyond Measure, A Guided Tour through Nature,

Myth and Number, Singapore, World Scientific Publ. (2002).

[L4b] J. Kappraff, Connections, The Geometric Bridge between Art and

Science, 2nd ed., Singapore, World Scientific Publ. (2001).

Over de auteur

Klaske Blom (e-mailadres: [email protected]) werkt als

wiskundedocente op het Hooghe Landt in Amersfoort. Zij is tevens

redacteur van Euclides.

euclides nr.4 / 2004

1 4 7

Tegelmozaïeken

Aan de tegelmozaïeken zoals we die tegenkomen in hetAlhambra en in andere Islamitische bouwkunst, liggenroosters met regelmatige veelhoeken ten grondslag.Deze veelhoeken kunnen mijns inziens in verschillendelessen opduiken: heel basaal als onderdeel bij hetherkennen van diverse meetkundige vormen, maar ookin een complexer verband zoals tijdens een besprekingvan de (on)mogelijkheid van constructies met passer enliniaal.Zelf wil ik met deze mozaïeken mijn lessen over hetwerk van Escher trachten te verbeteren. Ik vertelleerlingen altijd over één van Eschers scheepsreizenwaarop hij terecht kwam in Granada en daar onder deindruk raakte van de tegelpatronen in het Alhambra;weer thuis gekomen dienden ze als inspiratiebron voorzijn verdere werk. Aan dit verhaal kan ik nu een activiteit koppelenwaardoor leerlingen in één les zelf kunnen ervaren hoeeen mozaïek te ontwerpen is. De constructiemethodegaat uit van een onderliggend rooster van al dan nietregelmatige veelhoeken. Op dit veelhoekroosterontstaan de mozaïeken door het trekken van snijdendelijnen door het midden van de zijden van de veel-hoeken. De hoek waaronder deze snijdende lijnengetrokken worden bepaalt het mozaïekpatroon.Bonner onderscheidt vier verschillende families vanpatronen:- scherpe (acute) patronen (snijdende lijnen onder eenhoek van 36°),- midden (middle) patronen (snijdende lijnen onder eenhoek van 72°),- stompe (obtuse) patronen (snijdende lijnen onder eenhoek van 108°),- twee-punts (two-poins) patronen (de zijden van deveelhoek worden op twee plaatsen gesneden door eenpaar lijnen).Als het meetkundige patroon van snijdende lijnengelegd is, kan het oorspronkelijke veelhoekrooster weerverwijderd worden en houd je het mozaïek over.Een eenvoudig en veelvoorkomend mozaïek is dat watontstaat uit een pentagonrooster (zie figuur 3). Eencomplexere structuur ziet u in figuur 4; links hetonderliggende rooster samengesteld met regelmatige11- en 13-hoeken en rechts het ‘scherpe’ mozaïek-patroon dat ontstaat. Door leerlingen bijvoorbeeld hetonderliggende vijfhoek-rooster als mal te geven,kunnen ze in relatief korte tijd hun ‘eigen Alhambra-mozaïek’ ontwerpen; zelf moeten ze de hoek kiezenwaaronder de lijnen elkaar snijden, en het vraagtuiteraard een grote precisie in tekenwerk. Uw creativiteit kunt u uitleven in de vele variaties diemogelijk zijn door het grondpatroon te variëren. MetCabri tekent u in een handomdraai zelf uw eigenveelhoekrooster (zie als voorbeeld figuur 5).

FIGUUR 3, 4, 5

LESIDEE [ Klaske Blom ]

AchtergrondEen van de mooiste gevolgen van het invoeren van deTweede fase is volgens mij dat leerlingen eenpraktische opdracht en een profielwerkstuk moetenmaken. In de eerste opzet zou het profielwerkstuk eensoort meesterproef moeten zijn. De leerling zou hieropvoorbereid worden door middel van de praktischeopdrachten, en hij zou al zijn onderzoeksvaardighedenmoeten laten zien bij het profielwerkstuk.Op het Ichthus College te Veenendaal kan de leerlinggeheel vrij kiezen voor welk profielvak hij eenprofielwerkstuk gaat maken. In 4-havo en in 5-vwowordt door de klassenmentoren een algemenevoorlichting over het profielwerkstuk verzorgd. Deleerling vult daarna in overleg met de vakdocent eenkeuzeformulier in. Dan begint het proces vanonderwerp kiezen. Vanaf het eerste moment wordt ereen logboek bijgehouden waarin genoteerd worden deactiviteit en de tijd die daarvoor nodig was, dewerkafspraken met de begeleider en de problemen diede leerling tegengekomen is. Zo houd je het overzichtwat er allemaal gebeurd is gedurende het project enkun je bij de eindbeoordeling niet alleen heteindproduct beoordelen, maar je ook nog eens hetproces voor de geest halen. Uiteindelijk is het bij eenpraktische opdracht en bij het profielwerkstuk debedoeling dat vaardigheden worden beoordeeld.

Wiskunde?!Naast mijn lesgevende taak ben ik ookafdelingscoördinator havo-4/5 en secretaris van hetexamen, en ik registreer de keuzes van de leerlingen.Wat opvalt is dat veel leerlingen veelal traditioneelkiezen: C&M- en E&M-leerlingen kiezen veelgeschiedenis, N&G-leerlingen biologie en N&T-

leerlingen natuurkunde. De keuze van de leerlingwordt op een of andere manier beïnvloed door het feitdat deze vakken een rijkere traditie hebben aanscripties en/of practica. De profielwerkstukken zijnbijna altijd scripties.

Wiskunde is geen vanzelfsprekende keuze; uiteindelijkvinden velen het een moeilijk vak. Daarnaast is hetidee dat je een profielwerkstuk voor wiskunde kuntmaken iets wat veel leerlingen zich niet goed kunnenvoorstellen. Dat heeft waarschijnlijk te maken met hetfeit dat er bij de wiskundelessen bijna nooit iets tekiezen valt. Je volgt het boek en adviseert deleerlingen bepaalde sommen te maken; de praktischeopdracht is vaak maar één onderwerp waar deleerlingen verplicht aan moeten werken. Voor demeeste leerlingen wordt wiskunde op die maniergereduceerd tot iets wat in een leerboek staat ennauwelijks werkelijkheidswaarde heeft. Het is dusnodig dat we als docent leerlingen een beetje weten testrikken voor ons vak.

In het cursusjaar 2002-2003 lukte me het gelukkigweer, enkele leerlingen over de streep te trekken omhet profielwerkstuk bij wiskunde te doen. De volgendestap is dan het kiezen van een onderwerp. Ik probeerde onderwerpen voor het profielwerkstuk te latenaansluiten bij het profiel van de leerling en bij zijneigen interesse. Daarnaast probeer ik de leerlingmeteen gerust te stellen dat het niet per se heelmoeilijk hoeft. Ik vind het belangrijk dat ze plezierigmet wiskunde bezig zijn en de diepgang van hetwerkstuk laat ik mede bepalen door de wiskundigecapaciteiten. Soms is zo’n werkstuk dan alleen maareen literatuurstudie waar verslag van gedaan wordt; de

PROFIELWERKSTUK WISKUNSTBeeldende vormgeving en Platonische lichamen als inspiratiebron[ Ab van der Roest ]


overgeschreven waren, maar niet begrepen werden;zoals:

Als van een drievlakshoek de zijden �, en � zijn, danis de hoek (standhoek) tussen de vlakken met zijden �en gegeven door:

cos��

Hierover zou je van tevoren met een leerling moetenpraten, maar het staat opeens in het eindproduct. Alsik dat eerder gelezen had, zou ik geadviseerd hebbenhet weg te laten. Een leerling denkt waarschijnlijk dateen werkstuk over wiskunde moet imponeren doormoeilijke formules. Weglaten is een belangrijkevaardigheid. Uiteraard kwam de formule van Euler ookaan de orde (en dat is wel terecht):

Voor een lichaam met H hoekpunten, Z zijvlakken enR ribben geldt de formule van Euler: H + Z = R + 2

Het minste dat een wiskunde-A1 leerling kan doen, endat deed Wianda dan ook, is controleren of de formuleklopt voor de Platonische lichamen.In de theorie behandelde Wianda ook nog iets van degeschiedenis van de Platonische en Archimedischelichamen. Ze vermeldde tevens dat Plato zijnwereldbeeld koppelde aan de vijf Platonische lichamen:vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie.

PraktijkverslagIn het praktijkverslag behandelde Wianda eerst debegrippen ‘verstek’ en ‘dubbelverstek’. Zij baseerde ditop het AO-boekje.Het balkje van figuur 2 is in enkel verstek gezaagd enkan als bouwsteen dienen voor een fotolijstje. Vanzulke balkjes kun je verder niet zoveel bijzondersmaken; er ontstaat een rechthoekige vorm of een langebalk.Interessanter wordt het als je aan één kant gewoonverstek zaagt, vervolgens het balkje kantelt en danweer gewoon verstek zaagt (zie figuur 3).Leggen we enkele van deze balkjes tegen elkaar, dangaan we de ruimte in en kunnen we bijvoorbeeld eenknoop maken. Ik heb zelf een keer zoiets gemaakt vanwat restmateriaal (zie de foto in figuur 4).

cos��cos��cos b

sin�� sin�

eis is echter wel dat de leerling moet begrijpen wat hijschrijft. Een leerling die wiskunde B12 heeft zal ookbewijzen moeten leveren in zijn profielwerkstuk.

Wianda’s voorbereidingWianda zat in 5-vwo en volgde het C&M-profiel metbeeldende vormgeving. Ze had wiskunde-A1 en wildehet profielwerkstuk bij wiskunde doen. Beiden vondenwe het vanzelfsprekend dat we iets ‘wiskunstigs’moesten doen. Nadat we enkele onderwerpen zoals hetwerk van Escher en van andere kunstenaars de revuehadden laten passeren, kwamen we te praten over dePlatonische lichamen. ‘Kun je daar een profielwerkstukover maken?’, vroeg Wianda zich hardop af. ‘Dat kan’,was mijn reactie. Misschien is het dan aardig eenruimtelijk object te maken, was mijn voorstel.Wianda vond dat een goed plan en we zijn op zoekgegaan naar literatuur. In deze fase help ik de leerlinggericht zoeken, omdat er anders teveel tijd verlorengaat. Ik heb Wianda de volgende lectuur gegeven:- ‘De Veelzijdigheid van Bollen’ van Martin Kindt enPeter Boon (Zebra-reeks, nr. 9);- ‘Wiskunstige schoonheid’ van Bruno Ernst (AO 2438);- ‘Geheimen van de vijfhoek’ door Jan van de Craats(een artikel uit Pythagoras, oktober 2001).Hiermee kon Wianda de zomervakantie in.Terug in 6-vwo kwamen er enthousiaste verhalen. Nade boekjes globaal doorgelezen te hebben was de keuzegemaakt om een kleine scriptie te schrijven overPlatonische lichamen en een werkstuk na te maken vanPopke Bakker. Van dit werkstuk zou een praktijkverslagtoegevoegd worden. Het werkstuk draagt de naamQuintessens en het stelt een Hamiltonpad op eendodecaëder voor. Dit laatste leek haar het mooistegedeelte van het profielwerkstuk.

TheorieverslagHet eerste deel van het profielwerkstuk was dus eenbeschrijving van de Platonische lichamen. Wiandamaakte dankbaar gebruik van het internet en van deboekjes die ze in de zomervakantie doorgewerkt had.Het is de bedoeling dat we in de fase van het schrijvenvan dit werkstuk regelmatig voortgangsgesprekkenhebben, maar hiervan is in de praktijk weinigterechtgekomen. Dat was best jammer, want in hetwerkstuk kwamen passages voor die welwillend


FIGUUR 1 FIGUUR 2, 3

Bij dubbelverstek zagen we onder een bepaalde hoek,maar kantelen we de zaag ook nog een keer.Er ontstaan balkjes als figuur 5. De zaagsnede is eenparallellogram en je kunt er een gelijksoortig balkjetegenaan lijmen. Ook dit levert een ruimtelijke figuurop, maar nu niet met hoeken van 90º, maar anderehoeken. Deze balkjes zijn de bouwstenen van dedodecaëder.Vervolgens legde Wianda uit wat een Hamiltonpad is:een weg op een ruimtelijke figuur zodat allehoekpunten van de figuur eenmaal aangedaan worden.Ze gaf als voorbeeld een Hamiltonpad op een kubus;zie figuur 6.

In het AO-boekje is een uitslag afgedrukt waarmee jede ruimtelijke figuur Quintessens kunt nabouwen. Aande lezer wordt voorgesteld de figuur op stevig papier afte drukken, uit te knippen en in elkaar lijmen. Ditbevredigde Wianda echter niet. Het moest een mooierwerkstuk worden, van duurzamer materiaal. Ze maaktede keuze voor hout, maar hoe kun je dubbelverstekzagen? Ik leende haar een zaag en Wianda is daarmeeaan de gang gegaan. Het eindproduct was de moeitewaard en staat, sinds de inleverdatum, op mijncomputer in mijn werkkamer. Quintessens isopgebouwd uit houten balkjes van 27 mm bij 27 mm.De totale hoogte is 18 cm (zie pag. 149).

Uit het verslag bleek dat de ingeleverde Quintessensniet de eerste was. De eerste die ze maakte voldeed nietaan haar eisen, en ze maakte een nettere. Ze wasbehoorlijk wat problemen tegengekomen, zoals hoegroot de hoek moet zijn waaronder gezaagd wordt enhoe je stevigheid krijgt in het kunstwerk.De hoekbepalingen heeft ze gedaan aan de hand vanhet voorbeeld van de bouwplaat, en bij de tweedeversie heeft ze die iets aangepast. Ze heeft hieraan nietgerekend. Dit is voor een A1-leerling te ingewikkeld,en het was ook het doel niet.

BeoordelingOp grond van het ‘kunstwerk’ heb ik het profiel-werkstuk de beoordeling ‘goed’ gegeven. Het theorie-verslag had beter gekund. Vooral de toepassingen vande Platonische lichamen in de kunst miste ik, terwijldaar toch voldoende voorbeelden van te vinden zijn:

Escher die de Platonische lichamen in zijn tekeningenen etsen gebruikte, de lampen (dodecaëders!) in deoude Tweede Kamer, afbeeldingen in de treinenzovoort.In het eindgesprek met Wianda vroeg ik haar waaromze Quintessens had nagemaakt. Haar laconiekeantwoord was: ‘Hier had ik een bouwplaat van!’ Maarhet resultaat was van dien aard dat ze erg trots was datze het gemaakt had.

Ik stel me na afloop van zo’n project altijd weer devraag of het voldeed. Is het wiskundig gezienvoldoende? Volmondig durf ik hier ja op te zeggen.Wianda heeft de wiskunde vanuit een totaal anderehoek bekeken dan ze ooit voor mogelijk had gehouden.Ze heeft een zoektocht over het internet gemaakt entelefonisch contact gezocht met Dr. Koos Verhoeff. Zeschreef dat het telefoongesprek verhelderend wasgeweest; en ze was ook door de heer Verhoeffuitgenodigd om eens langs te komen in zijn expositie-ruimte (dit laatste ging helaas vanwege een te groteafstand niet door).Mijns inziens hoeft het wiskundig niet altijd even diepte gaan. We mogen dat best afstemmen op decapaciteiten van de leerling, maar dat betekentnatuurlijk niet dat we te snel tevreden moeten zijn.

Nieuwe opdrachtenOok dit jaar begeleid ik weer een paar leerlingen. Nuzijn het havo-leerlingen vanuit het C&M-profiel.Moeilijkheid is toch ook nu weer welke opdracht je zemoet geven. Het vinden van onderwerpen is eenvoortdurende zoektocht. Het internet kan hier bijhelpen, maar ik kom de leukste onderwerpen tegen alsik de krant of een tijdschrift lees en als ik deboekenkast doorsnuffel.

Foto’s

Dick Bouwman Fotografie / Ichthus College, Veenendaal

Over de auteur

A.B. van der Roest (e-mailadres: [email protected]) is docent en

afdelingscoördinator havo-4/5 aan het Ichthus College te Veenendaal.



WISKUNSTIGE TORENSEen veelvlakkenproject voor leerlingen in het voortgezet onderwijs[ Cynthia Pattinaja, Hanneke Winterwerp, Kristie Ambrosius,Ton Konings ]

FIGUUR 2FIGUUR 1

Dubbel ingeknepen

toren Fantasietoren

Enkel ingeknepen

toren

AanleidingEerstejaars studenten wiskunde van de tweedegraadslerarenopleiding van het ILS (Instituut voor Leraar enSchool) te Nijmegen deden mee aan de PythagorasVeelvlakken Wedstrijd 2003, en werden beloond met detweede prijs in de categorie ‘Klasseninzending’. Huninzending had de titel ‘Een veelzijdig veelvlakken-project’.Dit artikel presenteert een deel van dit project: eenopdracht die studenten zelf uitvoerden, en bewerktentot werkbladen voor leerlingen in het voortgezetonderwijs.

Eerstejaars cursus op de lerarenopleidingHet leerplan van onze lerarenopleiding bevat devolgende passage: ‘Naast deze praktische kant van dewiskunde zijn er ook belangrijke culturele enesthetische aspecten. De wiskunde behoort tot degrootste en indrukwekkendste scheppingen die demensheid heeft voortgebracht. Ook in het wiskunde-onderwijs moet iets van de schoonheid en deonvergankelijkheid van bepaalde wiskundige resultatendoorklinken. Het is dan ook zeker de taak van dewiskundeleraar om de leerlingen in contact te brengenmet dit erfgoed. Vooral de meetkunde en de getaltheoriebieden hiertoe een keur aan mogelijkheden.’Hierin past al jarenlang onze cursus ‘Veelvlakken’,waarin de schoonheid van de wiskunde ook wordtverbonden met kunstzinnige schoonheid. In die cursusbestuderen de studenten uitvoerig het onderwerpveelvlakken. Ook maken ze elk diverse objecten vankarton, waarbij het een sport is - met als enigegegeven een plaatje van een vaak complex veelvlak -een bouwplaat uit één stuk te ontwerpen.

VervolgprojectNa de cursus met alle eerstejaars wiskundestudentenzijn het afgelopen studiejaar vijf studenten in degelegenheid gesteld als keuzemodule een vervolg-activiteit te doen: het bouwen van gecompliceerdeveelvlakken en het ontwerpen en uitvoeren vanlesbrieven tijdens de stage. Een presentatie van hettotale project is te vinden op de site van deopleiding[1].

Een kluif voor studentenÉén van de opdrachten voor de studenten was om methet plaatje van figuur 1 één van de torens te maken.Hoewel dit onderwerp prima past in de leerstofRuimtemeetkunde van havo-B12, doet dit bij de ex-havo-leerlingen zonder verdere structurering eenbehoorlijk beroep op hun ruimtelijk inzicht. Een aantalkarakteristieke fouten:- Bij de beide ingeknepen torens komt het nog vaakvoor dat in de bouwplaat de hoogtes van de schuinnaar binnenvallende trapezia 5 cm gekozen wordt. Destelling van Pythagoras wordt niet twee maar slechtséén keer gebruikt. Gevolg is dat de etages niet evenhoog zijn, maar in hoogte afnemen.- Vaak ontbreekt bij de fantasietoren het inzicht, dathet deel tussen de slinger en de ruiten uit rechthoekige

driehoeken bestaat. Er worden dan vervolgens foutieveberekeningen gemaakt.- Het tekenen van plakrandjes loopt niet altijd goed af.Verdere karakteristieke problemen hebben een relatiemet het feit dat de objecten niet convex zijn (‘deukenhebben’):- Bij de tweede toren wordt veelal een bouwplaatgemaakt met het grondvlak als centrum en dezijkanten als wieken van de molen eromheen. Dat in debouwplaat de zijkanten precies aan elkaar passen endus zonder snijden en plakken uit één stuk kunnen,wordt ook door studenten als veel charmantergevonden. Bovendien bespaart dit karton.- Bij de fantasietoren (zie figuur 2) is het ontwerpenvan een bouwplaat uit één stuk een hele kunst, omdater nogal wat punten zijn waarbij de som van dehoeken die er samenkomen meer is dan 360 graden.Door het uitvoeren van hun foutieve ontwerpenkrijgen ze dan harde feedback. Veel hulp van debegeleider hebben ze daarom meestal niet nodig.

Bewerking naar leerlingenniveauDeze opdrachten leken geschikt om te bewerken totwerkbladen voor leerlingen van het voortgezetonderwijs. Het aardige van de opdracht is dat deleerlingen een aantal keren ‘Pythagoras in de ruimte’moeten toepassen, en met name bij de eerste tweetorens krijgen ze door herhaalde berekening voor elkelaag behoorlijk wat oefening. De opdracht zou eenbehoorlijk aantal opgaven uit het boek kunnenvervangen. Nadere structurering is dan wel nodig. Voorelke toren is daartoe een werkblad geschreven.De opdrachten werden uitgeprobeerd tijdens deeerstejaars stage in klas 3-vwo van het BlariacumCollege te Venlo.

Ervaringen in 3 vwoDe leerlingen konden kiezen voor één van de drieopdrachten.Tijdens de eerste les kwamen ze wat langzaam opgang. Dit kwam waarschijnlijk doordat de lesbrief teveel tekst bevatte; de meeste leerlingen gingen lieverzelf wat uitproberen. Ze begonnen met onderzoekenhoe de gekozen figuur in elkaar zat. Vervolgensmoesten ze zich een beeld proberen te vormen van debijbehorende bouwplaat, met juiste afmetingen. Daarhad het merendeel best veel moeite mee, ze blekenhierbij toch nog wat hulp nodig te hebben. Ze moestenbijvoorbeeld inzien dat, als de hoogte van iederekubuslaag 10 cm is, de hoogte van de ingeknepentrapeziumvormige vlakken niet twee keer 5 cm is, maardat ze die juist moesten berekenen. Eenmaal tot ditsoort inzichten gekomen schoot het erg op, doordatsoortgelijke berekeningen zich herhaalden in deverschillende lagen. Aan het eind van de les haddenbijna alle leerlingen een juiste uitslag met bijbehorendeafmetingen getekend. Ze werkten enthousiast enijverig. Ze hielpen elkaar goed; het in groepjes aandezelfde soort toren werken bleek met name in deze lesvan belang te zijn. De enkel ingeknepen toren bleekhet moeilijkst te zijn.


De tweede les konden de meeste leerlingen de uitslagdie ze de vorige les getekend hadden, op karton gaanoverzetten. Hier zijn ze de hele les mee bezig geweest.Het was voor sommige leerlingen moeilijk om in teschatten hoe ver ze van de rand moesten beginnen mettekenen. Verder moesten leerlingen er goed aanherinnerd worden, de plakrandjes niet te vergeten.Voor de derde les (figuren 3 en 4) moest de bouwplaatop karton getekend zijn. In de les werd er drukgeknipt, gesneden, geritst, gevouwen en geplakt.Uiteindelijk hebben niet alle leerlingen hun torenafgekregen, zij zouden hem thuis afmaken. Toch warener ook een aantal mooie torens als eindresultaat tezien. De leerlingen hebben met veel plezier aan deopdracht gewerkt en een aantal stevige ruimtelijkeervaringen opgedaan.

AanpassingErvaring met de leerlingen wees uit dat de driebegeleidende studenten in de eerste les nog hunhanden vol hadden. De ontworpen werkbladen zoudendus nader gestructureerd moeten worden, om te zorgenvoor een werkbare situatie voor één docent. Na afloopzijn de werkbladen dan ook aangepast. De eersteopdracht is hierbij opgenomen. De andere opdrachtenzijn te vinden op de ‘Good Practice’-afdeling van APS-wiskunde[2].

Verdere bruikbaarheidDeze opdracht is door de docent op het BlariacumCollege beoordeeld als een handelingsdeel. Voor havowiskunde-B12 lijkt deze opdracht geschikt alspraktische opdracht. Afhankelijk van de klas kunt uschrappen in de structurering van de opdrachten.Het maken van een beoordelingsprocedure met eenpaar stappen valt buiten het bestek van dit artikel.Het is heel goed denkbaar de opdracht op één dag teplannen. Sommige scholen organiseren zo hunpraktische opdrachten.

Noten

[1] http://145.74.103.12/ils/wiskunde/pythagoras/

veelvlakken/index.htm

[2] Materiaal bij Verwondering en Verbeelding; zie

www.aps.nl/wiskunde/lesvoorbeelden.htm

Over de auteurs

Cynthia Pattinaja, Hanneke Winterwerp en Kristie Ambrosius zijn

inmiddels tweedejaars wiskundestudenten aan de tweedegraads

lerarenopleiding van het Instituut voor Leraar en School te Nijmegen.

Hun e-mailadressen: [email protected],

[email protected], [email protected].

Ton Konings (e-mailadres: [email protected]) is werkzaam aan

de tweedegraads lerarenopleiding van het Instituut voor Leraar en

School te Nijmegen als vakdocent en vakdidacticus wiskunde. Ook is

hij medewerker van APS-wiskunde te Utrecht.


FIGUUR 3, 4

WERKBLAD, deel 1

WERKBLAD, deel 2

aan ϕ. De rij van die verhoudingen is11

, 21

, 32

, 53

, 85

, 183,

1231, …

ofwel 1; 2; 1,5; 1,6…; 1,6; 1,625; 1,615…; …Het lijkt er op dat deze laatste rij naar ϕ convergeert;dat is inderdaad het geval.Het bewijs van de convergentie laten we hier achter-wege. Maar als we ervan uitgaan dàt de rij conver-geert, dan volgt eenvoudig uit tn�1 � tn � tn�1 dat

�1� , en dus (als L de limiet van de rij is)

L�1� ofwel L2 – L – 1�0 , dus L�ϕ.

De verdeling van een lijnstuk in uiterste en middelstereden leidt dus tot een heel opmerkelijke proportie(= verhouding), waarin multiplicatieve en additieveaspecten gecombineerd zijn. Dit komt duidelijk totuiting in het feit dat de genoemde meetkundige rijtevens aan het criterium van de rij van Fibonaccivoldoet.In de wiskunde wordt een dergelijke combinatie vanoudsher om rekentechnische redenen nagestreefd. Denkbijvoorbeeld aan de ontwikkeling van de logaritme,met de formule log ab� log a� log b en aan dezogenoemde p,q-formules, met formules zoals sin p� sin q�2sin

12

(p�q) cos 12

(p�q)Het hoeft dan ook geen verbazing te wekken dat de rijvan Fibonacci en de gulden snede al geruime tijd deaandacht hebben getrokken. De verdeling van eenlijnstuk in uiterste en middelste reden was al bijEuclides bekend, terwijl Leonardo van Pisa, bekendonder de naam Fibonacci (= zoon van Bonacci;zie figuur 1), zijn rij al in 1202 publiceerde in zijnLiber abaci.

Verschijningsvormen in de kunstDe genoemde verhouding staat bekend onderverschillende namen: goddelijke verhouding (divina

1L

tn�1tn

tn�1tn

InleidingIn dit artikel zal ik ingaan op de aanwezigheid van degulden snede in diverse vormen van kunst. Speciaalzal ook de vraag aan de orde komen of kunstenaars degulden snede bewust dan wel onbewust hebbentoegepast in hun kunstwerken. Vooraf zal ik invogelvlucht enige fundamentele wiskundigeeigenschappen van de gulden snede de revue latenpasseren.

De Gulden SnedeDe gulden snede, ook wel de ‘goddelijke verhouding’, ofbij Euclides de ‘verdeling van een lijnstuk in uiterste enmiddelste reden’, is de verhouding van de twee delenwaarin een lijnstuk wordt verdeeld zó, dat k : g�g : (k�g) , met k < g. Eenvoudig volgt:

g2 �k2 �kg en � �2� �1�0

wat als oplossing geeft:

� 12

� 12

�5� �1,61803

Het is gebruik om dit getal met ϕ aan te duiden. Dus:ϕ �

12

� 12

�5�Uit het voorgaande volgt direct dat ϕ2 �ϕ�1.Maar dan volgt ook:ϕ3 �ϕ2 �ϕ�ϕ�1�ϕ�2ϕ�1ϕ4 �2ϕ2 �ϕ�2ϕ�2�ϕ�3ϕ�2Dus de meetkundige rij 1, ϕ, ϕ2, ϕ3, ϕ4, …ofwel 1, ϕ, ϕ�1, 2ϕ�1, 3ϕ�2, …is een rij waarvan iedere term gelijk is aan de som vande twee termen die eraan vooraf gaan. Hierinherkennen we het criterium dat ten grondslag ligt aande bekende rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …Omgekeerd echter is de verhouding van tweeopvolgende termen van de rij van Fibonacci niet gelijk

gk

gk

gk

DE GULDEN SNEDE IN DEKUNST[ Wim Kleijne ]


proportione, als naam in 1509 geïntroduceerd doorLuca Pacioli), gulden verhouding, gulden snede, e.d.Ondanks het feit dat deze fraaie naam al aan het eindevan de Middeleeuwen in gebruik kwam, begint menzich pas in de 19de eeuw in brede kringen voor dezeverhouding te interesseren. Met name vanaf die tijdging men op zoek naar verschijningsvormen van dezeproportie en van de getallen uit de rij van Fibonacci inde natuur en in de kunst - vooral vanwege de meningdie opgeld deed dat deze verhouding tot de meestfundamentele zou behoren en op een natuurlijke wijzeaan ons schoonheidsgevoel zou appelleren. In hoeverrehier de wens de vader is van de gedachte, laat ik nueven in het midden; ik zal er later op terugkomen. Met het genoemde schoonheidsgevoel zijn weautomatisch bij de kunst uitgekomen (zonder hier tewillen beweren dat ‘kunst’ geïdentificeerd zou kunnenworden met ‘esthetiek’). In het volgende zal ik voor-beelden tonen waarin de gulden snede en getallen uitde rij van Fibonacci in de kunst voorkomen (of lijkenvoor te komen).

Op het eerste gezicht zou het wellicht verbazingkunnen wekken dat mathematische zaken een plaats inde kunst kunnen hebben. Zou kunst zich laten vangenbinnen een opgelegd keurslijf? Wie zó redeneert,vergeet dat kunstbeleving alleen maar kan plaats-vinden binnen een zekere structuur. Een symfonie, eensonate, een sonnet, een kwatrijn, een gothisch bouw-werk, een schilderij van Mondriaan of van Rembrandt,een ballet, al deze kunstuitingen zijn gevormd binnende structuur die voor die kunstuiting is gekozen. ZoalsTheo Willemze in zijn Algemene Muziekleerformuleert:‘Structuur is het levenwekkende, dynamische beginseldat overal – in de kosmos, in het leven, in hetgoddelijke en het menselijke scheppen – terug tevinden is. Tegenover de structuur staat de chaos.’[1]

En áls er dan al een mening bestaat omtrent het‘goddelijke’ van de gulden snede, ligt het dan niet voorde hand te veronderstellen dat deze proportie eenstructurerend principe van bepaalde kunstwerken kanzijn? Dan zouden we deze verhouding in kunstwerkenmoeten kunnen terugvinden.Maar dan doet zich ogenblikkelijk de vraag voor of dedesbetreffende kunstenaar zich van de toepassing vande gulden snede bewust was.

MuziekEr zijn voorbeelden bekend van kunstenaars diebewust en expliciet de gulden snede of ‘Fibonacci’ inkunstwerken hebben toegepast.In zijn ‘Pièce pour violoncelle et piano’ uit 1975 heeftClaude Vivier (1948–1983) twee delen van de rij vanFibonacci in elkaar geschoven om de duur teverkrijgen van tonen en motieven, gemeten in kwart-noten (zie figuur 2).Een dergelijke expliciete, want door de kunstenaar zelfvermelde, toepassing komt niet zo vaak voor. Wél zijner voorbeelden waar het vrijwel zeker geacht moetworden dat de kunstenaar de toepassing van de guldensnede bewust ingebouwd heeft.Als voorbeeld hiervan blijf ik nog even in de muziek.De sonate voor twee piano’s en slagwerk van BélaBartók (1881–1945) bestaat uit de vier delen: assailento – allegro molto – lento ma non troppo – allegronon troppo. Het gehele stuk bestaat uit 6432 achtstenoten. Het tweede deel (lento ma non troppo) begint na3975 achtste noten:

6432——————— —————

3975 2457

en dit is vrijwel gelijk aan de gulden snede:

63493725

≈ 1,6181 en 23495775

≈ 1,6178


FIGUUR 1 Standbeeld van Fibonacci in Pisa FIGUUR 2

is aan 51,85°. En daarmee komen we bij de guldensnede uit, want:cos51,85°≈0,6177 en cos � �

dus ≈0,6177 ≈ , of �ϕ

Zie figuur 4. Dit resultaat zou overeenkomen met eenpassage bij Herodotus waar deze schrijft dat Egyptischepriesters over de vorm van deze piramide haddenbepaald dat het kwadraat van de hoogte van depiramide gelijk moest zijn aan de oppervlakte van eenzijvlak.In figuur 4 betekent dit dat h2 �ab. Gecombineerd met h2 �a2 – b2 geeft dit

� �2� �1�0, dus �ϕ

Overigens bestaat er geen overeenstemming onderdeskundigen of de interpretatie van de desbetreffendetekst van Herodotus eenduidig op deze situatiebetrekking heeft. We laten deze discussie maar rustenen houden ons aan de metingen die inderdaad eenaardige benadering van ϕ hebben opgeleverd. Wél ishet waar dat de Egyptische wiskunde in die tijd noglang niet zo ver ontwikkeld was dat het redelijk zouzijn om te veronderstellen dat de gulden snede bekendgeweest zou zijn bij de bouwmeester(s) van dezepiramide. Ook in deze situatie schuiven we het evennaar een later stadium in dit artikel in hoeverre degevonden benadering van ϕ bewust ingebouwd, toeval,of het gevolg is van een natuurlijk gevoel voorharmonische verhoudingen.

In het oude Griekenland was de situatie enigszinsanders. Er bestaan vele aanwijzingen dat de guldensnede bewust is toegepast in een groot aantal Grieksebouwwerken, zelfs al ver vóór de tijd dat Euclideshierover in zijn Elementen schreef (± 300 v.C.). Een

ab

ab

ab

ab

1ϕ

ba

ba

terwijl ϕ ≈ 1,6180. Een zo geringe afwijking van ϕ kanbijna geen toeval zijn.Iets soortgelijks treffen we veel eerder in de muziek-geschiedenis aan. Bijvoorbeeld bij Guillaume Dufay(1400–1474). In zijn feestmotet ‘Nuper rosarum flores’,gecomponeerd ter gelegenheid van de inwijding van deDom van Florence (op 25 maart 1436), heeft hij eenduidelijke relatie gelegd tussen het aantal tonen vanelke stem en de getallen van Fibonacci. Dufay had zichnamelijk voor zijn motet sterk georiënteerd op hetbouwwerk waarvoor het geschreven was, de Dom vanFlorence (figuur 3). In de bouwopdracht uit 1367waren de maten voor de te bouwen dom preciesvastgelegd. De bouwmeester Brunelleschi (1377–1446)heeft zich grotendeels aan deze maten gehouden. In demaatverhoudingen is de gulden snede behoorlijk vaakterug te vinden. Bijvoorbeeld. De hoogte van de koepel moest144 florentijnse Bracci bedragen (1 Braccio ≈ 58,4cm),terwijl de aanzet van de koepel 89 Bracci hoog moestzijn. Er geldt:

5859 �1,618181… ≈ ϕ

ArchitectuurMet de maatverhoudingen van de Dom van Florencezijn we als vanzelf bij de architectuur aangeland. Hetligt voor de hand dat met name in de architectuurstructurele overwegingen van oudsher een grote rolhebben gespeeld. Immers, bouwwerken zijn alleen alvanwege de mechanica voor hun constructies veelmeer onderworpen aan structuurprincipes dan díekunstvormen waarin de kunstenaar met dergelijkebeperkingen geen rekening behoeft te houden en dusveel vrijer met structuren kan omgaan. Al in de oude tijd van de Egyptische piramiden kunnenwe met betrekking tot de piramide van Cheops, degrote piramide van Giseh, het volgende opmerken.Metingen aan deze piramide wijzen uit dat de stand-hoek van grondvlak en zijvlakken bij benadering gelijk


FIGUUR 3 FIGUUR 4

voorbeeld hiervan is de Griekse tempel Parthenon(gebouwd rond 450 v.C.), waarin veel lengte-verhoudingen gebaseerd zijn op de gulden snede (ziefiguur 5). Overigens is de Griekse letter ϕ diedoorgaans gebruikt wordt om de gulden verhoudingaan te duiden afkomstig van de eerste letter van denaam Phidias, de beeldhouwer van de sculpturen in enaan het Parthenon.

Overwegingen van verhoudingen van met namegehele getallen hebben vooral in de Renaissance,vanaf ± 1500, ook in de bouwkunst een zeer grote rolgespeeld. Dit behoeft geen verbazing te wekkenwanneer bedacht wordt dat het teruggrijpen op deklassieke oudheid in het centrum van debelangstelling stond. En juist de Griekse wiskunde enwereldbeschouwing waren gebaseerd op verhoudingenvan gehele getallen. Harmonische proporties,gebaseerd op verhoudingen en rijen van gehelegetallen, werden dan ook zeer veel toegepast. Het gaatdan om een grote veelheid van soorten getallenrijenen bijbehorende verhoudingen. Vrijwel al deze rijenlijden aan het euvel dat daarbinnen doorgaans geensprake is van additiviteit. Zo kon een kamer of eenzaal, gebaseerd op bepaalde getallenverhoudingen,zeer harmonisch van proporties zijn, maar wanneerverschillende van dergelijke kamers of zalen samenhet gebouw vormden was dit gebouw als geheel vaakallerminst harmonisch van opbouw. De getallenrij vanFibonacci daarentegen vertoont wel een additieveopbouw, terwijl het multiplicatieve aspect eveneensaan de orde is wanneer we in relatie met Fibonaccinaar de gulden snede kijken. In het begin van ditartikel heb ik daarop al gewezen. Ook vanwege detoepassing in de oude Griekse bouwwerken ligt hetdaarom voor de hand te veronderstellen dat de guldensnede wel toegepast zou gaan worden. En inderdaad isdat het geval. Ik heb de Dom van Florence al

genoemd, maar ook in zeer veel andere bouwwerkenuit die periode is de gulden snede te ontdekken. Ziebijvoorbeeld de maatvoering in het vooraanzicht vande Sint Pieter in Rome; figuur 6.

In de 19de eeuw met de opkomst van de romantiekwerd de roep om de natuur en natuurlijkeverhoudingen erg groot. Terwijl de gulden snede al bijde Grieken (Euclides!) bekend was, en er in deRenaissance een tractaat aan de gulden snede gewijdwas (De Divina Proportia geschreven in 1509 doorLuca Pacioli), ging men de gulden snede niet eerderdan in de 19de eeuw zien als esthetisch ideaal. En hetis juist in deze periode dat men de gulden snede overal(in de natuur, in de kunst, in lichaamsvormen enz.)meent terug te vinden. En omgekeerd trachtten velende gulden snede te pas (en misschien ook wel te onpas)toe te passen, in de veronderstelling dat daarmeevoldaan zou zijn aan natuurlijke en ‘dus’ mooie enharmonische verhoudingen. Dit denken heeft ooklatere kunstenaars beïnvloed. In dit verband moetnatuurlijk de vermaarde architect Charles EdouardJeanneret (1887–1965) genoemd worden, die bekendgeworden is onder de naam ‘Le Corbusier’. Zijnsysteem, gebaseerd op de Fibonacci-eigenschap, staatinternationaal bekend onder de naam Le Modulor.Corbusier neemt zijn uitgangspunt in de maten van hetmenselijk lichaam, waarbij hij uitgaat van een lengtevan 1830 mm, volgens hem de lengte van eenmannelijke Britse politie-officier (!!). Uitgaandehiervan construeert hij nu een meetkundige rij metreden ϕ :…, 270, 430, 700, 1130, 1830, 2960, …Duidelijk is hierin voldaan aan de Fibonacci-eigenschap: 270 + 430 = 700; 430 + 700 = 1130; … Deze rij heet in de Modulor de rode rij. Naast deze roderij maakt Corbusier nog gebruik van de zg. blauwe rij,waarvan de termen het dubbele zijn van die van de


FIGUUR 5 FIGUUR 6

Wanneer de deelpunten op de lange zijde geprojecteerdworden, dan spelen de projecterende lijnen een rol inde compositie, namelijk enerzijds de tegenstelling vanlicht en donker (de personages Ruytenberg en Cocq ophet schilderij) en anderzijds het meisje.[2]

(Ik laat nu de geschiedenis van het doek maar in hetmidden: waarschijnlijk is het huidige schilderij kleinerdan het oorspronkelijke doek doordat van de randenstukken zijn weggesneden.)

Het loont de moeite, ook zelf eens een aantal guldensnede verdelingen in horizontale en verticalerichtingen te maken bij bijvoorbeeld het doek ‘Lesbergers d’Arcadie’ van Nicolas Poussin (figuur 11) ente zien op welke plaatsen deze verdelingen uitkomen inhet schilderij.

Gedurende de afgelopen eeuw zijn er zeer veel vandergelijke onderzoeken verricht. Zo heeft CharlesBouleau talloos veel schilderijen vanaf deMiddeleeuwen op dit soort kenmerken onderzocht. Inzijn boek ‘Charpentes, la géométrie secrète despeintres’ doet hij daarvan verslag.Vanwege de lijnenstructuur in veel van zijn werkenligt het voor de hand dat hij ook de werken van onzelandgenoot Piet Mondriaan heeft bestudeerd. Doorscherpzinnige redeneringen probeert hij aan te tonendat er vaststaande structuren aan de abstracte werkenvan Mondriaan ten grondslag liggen. Mondriaan echterheeft zelf altijd en uitdrukkelijk verklaard dat hij nooitvan vaststaande structuren is uitgegaan, maar dat hijdoor intuïtie en uitproberen tot verhoudingen in zijnwerk kwam die hij zelf bevredigend vond. Toch is hetopvallend dat ook in het werk van Mondriaan op veelplaatsen punten zijn aan te wijzen waar lijnstukkenongeveer volgens de gulden snede verdeeld worden;zie bijvoorbeeld zijn ‘Compositie’ uit 1921 (figuur 12).

rode rij. Dus:…, 540, 860, 1400, 2260, 3660, 5920, …Zie figuur 7.Meetkundige rijen hebben, voor architecten, dehinderlijke eigenschap dat zij (te) snel groeien. DeModulor kon hier wat aan doen door de additieveeigenschap van Fibonacci toe te passen: tussen iedertweetal lengtes die door de rij wordt aangegeven pasteen rijtje van kleinere lengtes uit de rij (zie figuur 8).Corbusier heeft zijn rijen en de genoemde opvul-eigenschap toegepast in de gebouwen die hijontworpen heeft (zie figuur 9).

SchilderkunstNa de muziek en de architectuur kijken we nu naar eenkunstvorm die op het eerste gezicht veel minder aanstructuurprincipes onderworpen is, de schilderkunst.Veelal hebben we het idee dat de schilder in min ofmeer grote vrijheid zijn doeken maakt. Uitingen vanschilders zoals ‘Ik rotzooi maar wat aan’ geven hieraanook wel enige voeding. Maar ook meer serieus gedaneuitlatingen laten dit zien. Zo hebben diversekunstenaars verklaard dat zij net zo langexperimenteren tot er een resultaat bereikt is waarmeezij tevreden zijn. Voor hen is er geen sprake vanvooropgestelde bedoelingen, noch van een ingebouwdestructuur zoals de gulden snede verhouding. Met namevanuit de overwegingen die in de 19de eeuw opgelddeden, is men dan ook naarstig op zoek gegaan of degulden snede misschien een bij de mens ‘ingebakken’verhouding zou zijn, die door de kunstenaar (al of niet)‘automatisch’ toegepast zou worden.Een paar voorbeelden ter illustratie.

Een compositieanalyse van de Nachtwacht vanRembrandt (figuur 10) leert dat wanneer de kortezijkant afgemeten wordt op de diagonalen, dezediagonalen volgens de gulden snede verdeeld worden.



ConclusieAls titel van dit artikel is gekozen voor ‘De guldensnede in de kunst’. We stellen ons nu de vraag of degulden snede inderdaad in de kunst voorkomt. We zagen dat slechts in enkele gevallen dedesbetreffende kunstenaar expliciet vermeld heeft dathij de gulden snede daadwerkelijk toegepast heeft. Inde meeste situaties was dit niet het geval. Soms zijn we zaken tegengekomen waarin het hoogstwaarschijnlijk is dat de gulden verhouding ingebouwdis. Maar heel vaak ook komen we de gulden snede pasna uitvoerige analyses op het spoor. Critici zullen wellicht opmerken dat met wat goede wiler overal wel een verhouding van maten te vinden isdie aan de gulden snede voldoet. Bovendien, als je bijvoorbaat uitgaat van het principe dat de gulden snedebepalend zou moeten zijn voor aangetroffen harmonie,dan vind je altijd wel een punt waar de verdelingvolgens de gulden snede uitkomt. Het is vervolgenseen kleine stap om dat gevonden punt dan als hétverdelingspunt aan te wijzen (zie Albert van derSchoot, blz. 250). Daar komt dan nog bij dat studies aangetoond hebbendat een mens op het oog geen onderscheid kan makentussen rechthoeken die minder dan 6% verschillen inde verhoudingen van hun afmetingen. Dus in hetalgemeen kan men op het oog geen onderscheid makentussen 1 : ϕ rechthoeken en 1 : 1,52 tot 1 : 1,72rechthoeken. Critici zullen stellen dat het een kwestievan wishful thinking is dat men de gulden snede vindt.Ongetwijfeld zullen er situaties zijn waar dat het gevalis. Maar ik hoop in het voorgaande voldoendevoorbeelden getoond te hebben om te kunnenconcluderen dat er meer aan de hand is. En dezevoorbeelden zijn met vele uit te breiden. Ook wanneerwe de ‘ronkende’ geluiden en standpunten uit de 19deeeuw terzijde schuiven, blijven er meer dan genoegkunstwerken over waar het overduidelijk is dat de

gulden snede en/of de getallen van Fibonacci bewustof onbewust door de kunstenaar zijn verwerkt.Mijn conclusie is in ieder geval dat de guldenverhouding voor de kunst (maar ook in anderesituaties buiten de kunst) fundamenteler is daneenvoudige ‘spielerei’, of een hobbyisme van enkelewat mythisch ingestelde onderzoekers. In ieder geval isen blijft dit onderwerp wereldwijd voor velen,waaronder de schrijver van dit artikel, een uiterstfascinerend gebied, dat nogal eens verrassendevergezichten geeft. Of, in de (vertaalde) woorden vanLuca Pacioli in zijn voorwoord van zijn tractaat DeDivina Proportione uit 1509:‘Een voor alle heldere en weetgierige geestenonontbeerlijk werk; waarin elkeen die filosofie,perspectief, schilderkunst, beeldhouwkunst,architectuur, muziek en andere mathematische vakkenbestudeert, een aangename, subtiele enbewonderenswaardige geleerdheid zal aantreffen enmet genoegen kennis zal nemen van verschillendeproblemen van de edelste wetenschap.’[3]

Noten

[1] Theo Willemze: Algemene muziekleer, Aula 644, 7de druk, Utrecht

(1979), § 727.

[2] F. van der Blij: De meetkunde van de Nachtwacht. In: Wiskunst,

publicatie bij de Nationale Wiskundedagen, Freudenthal Instituut,

Utrecht (1995), blz. 26.

[3] Prof. dr. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene

Schnitt, Wissenschaftsverlag, Mannheim (1988), titelpagina

(Nederlandse vertaling door drs. G.M.A. Weerts).


FIGUUR 10

Over de auteur

Drs. Wim Kleijne (e-mailadres: [email protected]) is wiskundige,

oud-docent wiskunde en coördinerend inspecteur van het onderwijs b.d.

Literatuur

- Prof.dr. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene

Schnitt. Wissenschaftsverlag, Mannheim (1988).

- C. Bouleau: The painter’s secret geometry. New York (1980).

- Wim Kleijne, Ton Konings: De gulden snede. Zebra-reeks deel 4,

Epsilon Uitgaven, Utrecht (2000).

- J. Poortenaar: De gulden snede en Goddelijke verhouding. Naarden

(1941).

- Albert van der Schoot: De ontstelling van Pythagoras, Over de

geschiedenis van de goddelijke proportie. Kok Agora, Kampen (1998).

- C.J. Snijders: De gulden snede. Amsterdam (1969).


FIGUUR 11 FIGUUR 12

Groei’ aan belangstellende scholen aan te bieden.De catalogus bevat onder meer 40 in kleur uitgevoerdeafbeeldingen van de 40 exposanten op detentoonstelling, onder wie Joost Baljeu, Ad Dekkers,Popke Bakker, Monika Buch, Gerard Caris, Jos de Mey,Piet van Mook, Rinus Roelofs en Piet van Zon.

De prijs van het lespakket bedraagt €100,00 (exclusiefverzendkosten).

Voor verder informatie en bestelling:[email protected]: www.arsetmathesis.nl

Mede ter gelegenheid van het vierde lustrum van deStichting Ars et Mathesis verscheen bij detentoonstelling ‘Bomen van Pythagoras’, in het najaarvan 2003 gehouden in het Mondriaanhuis teAmsersfoort, een lesbrief bij die tentoonstelling.Deze lesbrief – en ook de tentoonstelling – bleek bijleerlingen van scholen die de tentoonstellingbezochten, een groot succes.De lesbrief is geschreven door Aad Goddijn, diewerkzaam is aan het Freudenthal Instituut.

De Stichting Ars et Mathesis is bereid deze lesbriefsamen met 20 exemplaren van de 71 pagina’s tellendecatalogus ‘De bomen van Pythagoras, Geconstrueerde

Aankondiging / Lesbrief en catalogi bij Bomen vanPythagoras

Advertentie

Advertentie

Perspectief, hoe moet je dat zien?

ISBN 90 5041 052 9

[ Agnes Verweij / Martin Kindt ] Zebra 2Wiskunde en Kunst?Prijs voor leden van de NVvW:

€8,00 (incl. verzendkosten);

bestellingen via

girorekening 5660167 t.n.v.

Epsilon Uitgaven, Utrecht.

Prijs voor leden van de NVvW op

bijeenkomsten: €6,00.

Prijs voor niet-leden: €8,00

(in de betere boekhandel).

Zie ook: www.epsilon-uitgaven.nl

Epsilon Uitgavenin samenwerking met de

Nederlandse Vereniging van

Wiskundeleraren

De Gulden Snede

ISBN 90 5041 058 8

[ Wim Kleijne / Ton Konings ] Zebra 4

De Juiste Toon

ISBN 90 5041 079 0

[ Jan van de Craats ] Zebra 15

DE LAKENHAL IN PERSPECTIEFEen historische en meetkundige reconstructie van het ontstaan vaneen schilderij[ Agnes Verweij ]

FIGUUR 1 Susanna van Steenwijck-Gaspoel, Gezicht op de Lakenhal. Niet gesigneerd, gedateerd 1642 op eengevelsteen rechts. Olieverf op doek. 97�119 cm. Stedelijk Museum De Lakenhal, Leiden.Foto: Stedelijk Museum De Lakenhal, Leiden

InleidingIn het Stedelijk Museum De Lakenhal in Leiden hangteen schilderij (zie figuur 1) dat dit gebouw laat zienzoals het er kort na de ingebruikneming als ‘laeken-halle’ in 1641 uitzag en zoals het oudste deel van hetmuseum er ook nu nog uitziet.[1] Op de voorgrond vande voornamelijk in lichtbruine en gele tintenuitgevoerde afbeelding[2] is te zien hoe destijds hetlaken per schuit werd aangevoerd en op kruiwagensnaar binnen werd gebracht. Opvallend is de nadruk opde symmetrie van het gebouw door toepassing van deeenpunts-perspectief met het centrale vluchtpunt inhet midden. Een mooie vondst is het opzij schuivenvan de muur die in werkelijkheid de voorplaats afsluit,om zo de gevels van de hal en de zijgalerijen met hunversieringen die met de lakennijverheid te makenhebben volledig zichtbaar te maken. Eén versieringontbreekt nog: het beeldje van de volmolen boven deingang in de voormuur (zie figuur 2).Dit Gezicht op de Lakenhal is in 1642 door Susannavan Steenwijck-Gaspoel geschilderd en aan hetstadsbestuur van Leiden verkocht voor 600 gulden, watvoor die tijd een astronomisch bedrag was.Wie was Susanna van Steenwijck? Hoe kwam dezevrouw in de kleine, door mannen gedomineerdeberoepsgroep van architectuurschilders terecht?Waarom wilde het stadsbestuur zo’n kostbaar schilderijvan de Lakenhal hebben? En was deze schilderes deaangewezen persoon om dat te maken?We kunnen de geschiedenis wat dit betreft slechtsgedeeltelijk reconstrueren. Wat we wél precies kunnennagaan, is hoe Susanna van Steenwijck haar kennisvan de perspectief heeft gebruikt om de Lakenhal zoaantrekkelijk mogelijk te presenteren.

Susanna van Steenwijck-GaspoelOver het leven van Susanna van Steenwijck geborenGaspoel is weinig met zekerheid te zeggen. Haargeboortejaar en haar geboorteplaats zijn onbekend.Haar familienaam kwam in elk geval in de 16e eeuw inBrugge en in de 17e eeuw in Londen en in Schotlandvoor.[3] Zeker is dat Susanna trouwde met de bekendeVlaamse architectuurschilder Hendrick van Steenwijckde Jonge, die omstreeks 1580 in Frankfurt ofAntwerpen geboren was. Het huwelijk werdwaarschijnlijk gesloten in de periode waarin Hendrickin Londen werkte, dat was van 1617 tot circa 1637.Mogelijk heeft het echtpaar zich vanaf 1638 in deomgeving van Den Haag gevestigd. Susanna werkte na1642, toen ze haar Gezicht op de Lakenhal maakte, ooknog in Amsterdam. Ze werd in 1649 als in Leidenwoonachtige weduwe geregistreerd; Hendrick waswaarschijnlijk niet lang daarvoor overleden. Daarna isSusanna nog enkele jaren als, goed verdienende,schilderes werkzaam gebleven.Ze is wellicht tot haar dood in Leiden blijven wonen.Daar was in 1656 een Susanna Gaspoel getuige bij dedoop van een kind[4] en de heer Rammelman Elsevier,archivaris te Leiden, schreef in 1871 in het tijdschriftDe Navorscher (zie [L1]): ‘Op den 4 mei 1680 is in dePieterskerk [te Leiden] begraven Juffr. Steenwijck, uit

het Begijnhof. Misschien wordt hiermede de schilderesbedoeld.’

Susanna van Steenwijck, architectuurschilderesAls Susanna al kon schilderen toen ze met Hendricktrouwde, zijn er twee voor de hand liggendemogelijkheden voor de manier waarop ze dit geleerdhad (zie [L2]).De eerste is dat haar vader of een andere naasteverwant een -ons onbekende- meesterschilder was inwiens atelier zij werd opgeleid. Dit was in het 17e-eeuwse Europa dé manier waarop meisjes in hetschildersberoep terecht kwamen. Kinderen uitkunstenaarsfamilies waren namelijk niet onderworpenaan de strenge regels van het gilde ten aanzien vanleercontracten, opleidingsduur en opleidingskosten. Dehoge kosten die een opleiding bij een vreemde schilderanders met zich meebracht, had men voor een meisjemeestal niet over.De tweede mogelijkheid is dat Susanna’s familie tot degegoede burgerij behoorde die, overeenkomstig hetopvoedingsideaal in de Renaissance, voor hun dochterseen veelzijdige ontwikkeling van belang vonden. In datverband volgden de meisjes dan ook lessen van eenmeesterschilder, meestal in zijn atelier. Misschien heeftSusanna dergelijke lessen wel (in Londen?) gevolgd bijHendrick van Steenwijck de Jonge en hebben ze elkaarzo leren kennen.Hoe dan ook, na hun huwelijk heeft Susanna zich inhet atelier van haar man (verder) bekwaamd in hetschilderen, met name in zijn specialiteit: hetarchitectuurschilderen.[5] Deze specialiteit, waarbijkennis van de perspectief een essentiële rol speelde,was in de 17e eeuw vrij zeldzaam onder mannelijkeschilders, bij vrouwen kwam deze bijna nooit voor.

Waarom zo’n kostbaar schilderij van deLakenhal?Na een periode van verval was de textielnijverheid inLeiden in de dertiger jaren van de 17e eeuw weeropgebloeid. Uit het Burgemeesteren- en Gerechts-dagboek van publycque zaken uit maart 1639 (zie [L4],p. 461-463) blijkt dat de oude lakenhal toen ‘nietsuffisant ende groot genoech’ meer was om het keurenvan het Leidse laken nog vlot te laten verlopen. Om delakenproductie en -handel niet aan concurrerendetextielsteden te verliezen, besloot het stadsbestuur eennieuwe lakenhal te gaan inrichten. Hiertoe werden een‘erff ende huysinge’ aan de oude Singel aangekocht, diedoor de stadsbouwmeester Arent van ’s-Gravensandegeschikt bevonden waren voor realisering van dit plan.Onduidelijk is of de ‘huysinge’ daarna door Van’s-Gravensande alleen werd verbouwd en verfraaidzoals in het Bouwkundig Tijdschrift van 1885 wordtbeweerd, of dat deze vervangen werd door nieuwbouwzoals de meeste andere bronnen suggereren. Duidelijkis wél dat al in juli 1639 een begin is gemaakt met hetsteenhouwerswerk voor de buitenzijde van deLakenhal. Daarbij werd gewerkt volgens een bestekwaarin ook alle versieringen van de galerijen zoals wedie nu kennen, vastgelegd zijn (zie [L5], p. 10-12). Het


een huiselijk tafereel en twee maal een Gezicht op DeLakenhal, waarvan het tweede waarschijnlijk eenvariant van het eerste was. Slechts één van dezewerken dateert uit de tijd voordat Susanna vanSteenwijck aan de eerste versie van het Gezicht op deLakenhal werkte. Het is een schilderij met het interieurvan een gotische kerk, gesigneerd en gedateerd 1639,nu aanwezig in Dessau, in de Anhaltische Gemälde-galerie. Het gaat hier om een gefantaseerde kerk, watdus geen speciale aanbeveling geweest kan zijn voorhet verkrijgen van een opdracht om de inmiddelsgereed gekomen nieuwe Lakenhal van Leiden ‘naar hetleven’ te schilderen.Het ligt daarom voor de hand te veronderstellen dateen eventuele opdracht niet aan Susanna persoonlijk,maar aan het atelier van haar man gegeven werd.Hendrick van Steenwijck de Jonge had al een goedestaat van dienst opgebouwd op het gebied vanperspectief-afbeeldingen van interieurs van bestaandegebouwen. Hij had het vak geleerd van zijn vader,Hendrick van Steenwijck de Oude (1550-1603), dievooral bekend werd doordat hij de eerste was die nietalleen gefantaseerde bouwwerken, maar ook werkelijkbestaande kerkinterieurs in perspectief afbeeldde. Dezoon mengde in zijn werk echter, anders dan de vader,de werkelijkheid vaak met fictie.Het meest waarschijnlijk is dan ook dat het Gezicht opde Lakenhal op initiatief van Susanna van Steenwijckof haar man zelf gemaakt is, zoals ook voor hetmeeste van hun overige werk het geval is geweest.Misschien zijn zij op dit idee gebracht door Arent van’s-Gravensande, die zij mogelijk hebben leren kennentoen hij stadsbouwmeester van Den Haag was, voordathij in 1638 in dezelfde functie in Leiden benoemd werd(zie [L6]). Wellicht hebben Susanna en Hendrick samengewerkt aan de opzet van het Gezicht op de Lakenhal,maar heeft Susanna uiteindelijk het overgrote deel vanhet werk gedaan. Zeker is dat Hendrick van Steenwijck

is dus niet zo dat het schilderij dat Susanna vanSteenwijck enkele jaren later maakte ‘een soortontwerp was voor de galerijen en voorplein, die in1642 werden aangelegd’, zoals de Catalogus van deschilderijen en tekeningen van Stedelijk Museum DeLakenhal uit 1983 vermeldt.Waarschijnlijk wilden de stadsbestuurders gewoonwegin het stadhuis pronken met een mooi portret van hetgebouw waar zij trots op waren. Een schilderij inperspectief was in die tijd het mooiste kunststuk datmen zich kon voorstellen. Enkele jaren later werdenook in andere steden perspectiefschilderijen vanmonumentale gebouwen voor het stadhuis aangekocht.Bekende voorbeelden zijn het Gezicht op de NieuweKerk in Den Haag van Bartholomeus van Bassen uit1650 en het Gezicht op het Oude Stadhuis vanAmsterdam van Pieter Saenredam uit 1657. De groepkunstenaars die dit soort architectuurstukken konmaken, was betrekkelijk klein en het was bekend datmen voor hun werk diep in de buidel moest tasten,maar in Leiden bleek dat wel érg diep te zijn. Deburgemeesters van Amsterdam betaalden voor hetschilderij van Saenredam heel wat minder: geen 600,maar 400 gulden (zie [L6]).

De aangewezen persoon?Als Susanna van Steenwijck haar Gezicht op deLakenhal werkelijk in opdracht schilderde, zoals weleens wordt beweerd (bijvoorbeeld in [L2]), dan is devraag waarom deze opdracht juist aan haar gegevenwerd. Susanna zal tot die tijd voornamelijk onder denaam van haar man in zijn atelier (mee)gewerkthebben, zoals dat destijds gebruikelijk was voor eenvrouw die (nog) geen erg grote bekendheid had. Intotaal zijn (de gegevens van) niet meer dan elf doorSusanna gesigneerde of aan haar toegeschrevenwerken bekend. Het zijn vier kerkinterieurs, tweebijbelse voorstellingen, twee heiligengeschiedenissen,


FIGUUR 2 Schets van de Lakenhal te Leiden, 1670.Eerste deel van Plaat II uit het BouwkundigTijdschrift, jg. 5, 1885.

al een jaar later zelf ook een variant van het schilderijmaakte, en signeerde. Zeker is ook dat Susanna heteerste, niet gesigneerde, Gezicht op de Lakenhal alshaar werk aan het stadsbestuur van Leiden heeftgepresenteerd. Aan haar is volgens het verslag van diepresentatie in de Gerechtsdagboeken vanBurgemeesteren van 7 augustus 1642 (in [L1]) dan ook,nadat men gedelibereerd had ‘of men tselve tenbehoeve deser Stede sal aennemen of niet’, de600 gulden die ze ervoor vroeg, uitbetaald.

Een schets als basis?Van de werkwijze van de Van Steenwijcks bij hetschilderen van bestaande gebouwen is niets bekend.Waarschijnlijk hebben zij eerst ter plaatse een schetsgemaakt, waarvan de perspectief later in het atelieraan de hand van zelf bepaalde of uit bouwtekeningenafgelezen meetgegevens van het gebouw doorconstructie verbeterd werd. Van Pieter Saenredam, diezich vanaf 1628 op de architectuurschilderkunsttoelegde en die Hendrick van Steenwijck de Jongegekend zou kunnen hebben, is bekend dat hij zo tewerk ging (zie [L7]).De schets die als basis voor het schilderij van Susannavan Steenwijck gediend zou hebben, kan er zoongeveer uitgezien hebben als de schets uit 1670 die infiguur 2 is weergegeven. Een verschil is dat de makervan deze schets een lager en verder weg gelegenstandpunt ingenomen heeft dan Susanna. Naverbetering van de perspectief van deze schets zou hetniet moeilijk zijn om hierin, net als in het schilderij, demuur naar rechts te schuiven en de voorplaats metbetegeling te construeren. Hiermee wordt dan ook deplaats van de kolommen van de galerijen in detekening vastgelegd, die echter in de schetsongemakkelijk dicht bij elkaar zouden komen te staan.Bij de constructie wordt gebruik gemaakt van hetcentrale vluchtpunt en van de vluchtpunten van de

diagonalen van de voorplaats, die ook de vluchtpuntenzijn van de diagonalen van de 5 maal 5 vakken waarinde voorplaats door de betegeling verdeeld was (en nogsteeds is). We kunnen er zeker van zijn dat Susannavan Steenwijck deze methode toepaste, een methodedie bijvoorbeeld af te leiden is uit het in 1604/1605uitgegeven boek ‘Perspective’ van Hans Vredeman deVries, de leermeester van haar schoonvader; ziebijvoorbeeld figuur 3.

Het schilderij goed bekekenVoor het Gezicht op de Lakenhal geldt, zoals vooriedere afbeelding in lineair perspectief, dat deze intheorie verkregen wordt door vanuit een vast punt metéén oog door een doorzichtig vlak scherm, het tafereel,naar het af te beelden driedimensionale object te kijkenen wat men ziet punt voor punt op het scherm ‘over tetrekken’. In feite worden zo de snijpunten met hettafereel bepaald van kijklijnen vanuit dat ene oog naarde punten van het object. Daarom kan de afbeeldinghet beste zo bekeken worden dat de eigen kijklijnensamenvallen met die van de maker ervan, dus ook metéén oog kijkend vanuit hetzelfde vaste punt.Om dat punt bij het schilderij van Susanna vanSteenwijck terug te vinden, doen we nu even alsof zijinderdaad met een tafereel gewerkt heeft. Dat tafereelwas dan, om ‘eenpunts’-perspectief te verkrijgen,evenwijdig met de voorgevel van de Lakenhalopgesteld, zodat alleen die hoofdlijnen van het gebouwdie loodrecht op de voorgevel staan in de afbeeldingop het tafereel een vluchtpunt, het ‘centrale’vluchtpunt, hebben. In figuur 4 is een bovenaanzichtgeschetst van de voorplaats KLMN met de galerijenvan de Lakenhal, het tafereel en het oog O van deschilderes (niet met de juiste onderlinge verhoudingen).In de figuur zijn ook enkele belangrijke kijklijnengetekend, waaronder die naar het centrale vluchtpuntP en het punt Q, dat het vluchtpunt is van diagonaal


FIGUUR 3 Plaat 2 uit Hans Vredeman de Vries,Perspective, deel I, 1604.

vermeldt dat de voorplaats 44 voeten breed en36 voeten diep is (zie [L3]), wat een distantie vanongeveer 53 cm zou opleveren. Nu het gebouw er nogstaat, kunnen we de voorplaats ook gewoonweg zelfnameten. Een (Rijnlandse) voet is 0,314 meter lang, dusals de gegevens van Orlers juist zijn, zouden we eenbreedte van bijna 14 meter en een diepte van ruim11 meter moeten vinden. De voorplaats blijkt echteriets breder en wat minder diep te zijn: ongeveer14,8 meter bij 10,7 meter. Op basis hiervan vinden wed ≈47 cm, wat een prettige afstand is voor iemand diebezig is op een tafereel aan te geven wat hij ziet.Voor ons betekent deze uitkomst dat we het schilderijhet beste vanaf een afstand van bijna een halve meter,vanuit een punt recht tegenover het centralevluchtpunt, met één oog, kunnen bekijken. Helaashangt het schilderij in het huidige Museum DeLakenhal zo hoog dat dit niet gemakkelijk uitvoerbaaris. Bekijken we in plaats daarvan een niet te kleinekopie van het schilderij (bijvoorbeeld een vergrotingvan figuur 1) vanuit het daarbij passende ‘juiste’gezichtspunt, dan is het verrassend hoe mooi we‘diepte’ in de voorstelling zien. We merken dan ook dathet lijkt alsof we naar het gebouw van de Lakenhalkijken vanuit een punt ter hoogte van het raam van deeerste verdieping, niet zittend of staand boven in eenhuis aan de overkant zoals voor de hand zou liggen,maar boven het water van de Oude Singel!

Verschillende gezichtspuntenVan welke afstand de Lakenhal in werkelijkheidbekeken zou moeten worden om het gebouw te zienzoals dit door het schilderij getoond wordt, kunnen weook berekenen. Daarbij hebben we nu geen vluchtpuntvan diagonalen nodig.We kijken nogmaals naar figuur 4 en letten vooral opde afstand D tussen het oog O en de voorzijde van devoorplaats in bovenaanzicht en op de breedte a’ van de

KM van de voorplaats en de met KM evenwijdigediagonalen van de tegels waarmee de voorplaatsbelegd is. Omdat het vluchtpunt van een lijn hetperspectiefbeeld is van een ‘oneindig ver’ achter hettafereel gelegen punt van die lijn, heeft kijklijn OPdezelfde richting als de lijnen waarvan P hetvluchtpunt is en staat OP dus loodrecht op het tafereel.Op dezelfde manier kan uitgelegd worden dat OQevenwijdig is met KM. (Zie voor een uitgebreideretoelichting [L8] of [L9]). De driehoeken OPQ en KNMzijn dus gelijkvormig. Noemen we de ‘distantie’, dat isde afstand van het oog tot het tafereel, d en is a debreedte en b de diepte van de voorplaats, dan volgt:

d� ab

PQ.

In een kopie van het schilderij, bijvoorbeeld infiguur 1, kunnen de vluchtpunten P en Q gemakkelijkbepaald worden. Met behulp van de werkelijkeafmetingen van het schilderij, 119 cm breed en 97 cmhoog, vinden we dan PQ ≈ 60 cm.Om de distantie te kunnen berekenen hebben we nualleen nog de verhouding van de diepte en de breedtevan de voorplaats of zijn tegels nodig. Zouden we vanhet gebouw niets méér weten dan wat op het schilderijte zien is, dan ligt het voor de hand uit te gaan vanvierkante tegels, zodat a�b. In het nummer van hetBouwkundig Tijdschrift uit 1885 waarbij de schets vanfiguur 2 als illustratie is opgenomen, heeft men datook gedaan. Daarin lezen we: ‘de vloer was als parketverdeeld in vierkante vakken van geelen steen, in hetmidden der vakken lag een vierkante blauwe tegel’ (zie[L5], p. 12). Dan zou de distantie d dus evenals PQongeveer 65 cm zijn.De vakken en de tegels van de voorplaats waren echterniet vierkant. Dit blijkt om te beginnen uit debeschrijving van de Lakenhal uit 1641 door de Leidseoud-burgemeester en geschiedschrijver Orlers, die


FIGUUR 4 Schets van het bovenaanzicht van devoorplaats en galerijen van de Lakenhal met tafereel,oog en kijklijnen.

voorzijde en de breedte a” van de achterzijde van deafbeelding van de voorplaats op het tafereel. Uit degelijkvormigheid van de driehoeken OK’L’ en OKLvolgt dat d : a’�D : a en uit de gelijkvormigheid vanOM’N’ en OMN volgt dat d : a”� (D�b) : a.Eliminatie van d uit deze twee betrekkingen geeft

D� b

Nu meten we a’ en a” in willekeurig welke kopie vanhet schilderij (bijvoorbeeld in figuur 1), vullen in deformule de gevonden meetwaarden en de werkelijkediepte b van de voorplaats, 10.7 meter, in en vindenzo: D ≈19 meter. De straat voor de Lakenhal ismomenteel ongeveer 10 meter breed, het water van deOude Singel is circa 20 meter breed en de straat aan deoverzijde van de Oude Singel is 7 meter breed, dat issamen 37 meter. De voorplaats is dus inderdaadafgebeeld zoals deze, niet van achter het raam van hethuis aan de overzijde, maar vanuit een punt hoogboven het water te zien zou zijn, áls de voormuurinderdaad weggeschoven zou kunnen worden.We kunnen in de laatste formule a’ en a” ookvervangen door respectievelijk de breedte c’ van devoorzijde van de voorplaats en de galerijen samen ende breedte c” van de hele voorgevel van hethoofdgebouw van de Lakenhal in een kopie van hetschilderij. In werkelijkheid zijn deze afmetingen gelijk;zie c in figuur 4. Zo krijgen we, vreemd genoeg, eenandere uitkomst: D ≈30 meter. Deze afstandcorrespondeert met een tweede gezichtspunt, verderweg dan het eerste, aan de kade aan de overzijde vanhet water, maar toch altijd nog een straatbreedtedichterbij dan de voorgevel van het huis tegenover deLakenhal.[6]

Seer curieus en konstichWat heeft Susanna van Steenwijck dus gedaan? Zij isin haar schilderij bewust afgeweken van wat zij zag, enwaarschijnlijk ook schetste, vanuit een bovenraam vanhet recht tegenover de Lakenhal gelegen huis. Ze heeftde voorplaats en de galerijen afgebeeld vanuit eenfictief, hoog en dichtbij gelegen gezichtspunt bovenhet water om de betegeling, de kolommen en deversiering van de aan de voorplaats grenzende zijdenvan de galerijen goed uit te laten komen. Verder heeftze de voorgevel van het hoofdgebouw naar verhoudingte breed gemaakt, breder dan de achterzijden van devoorplaats en galerijen samen. Dat is ook duidelijk tezien als we in figuur 1 naar de achterzijde van devloeren van de galerijen kijken. Susanna heeft hethoofdgebouw zoveel verbreed dat de verhoudingen inde voorgevel ervan niet al te veel afwijken van dewerkelijke verhoudingen, terwijl toch een gezichtspuntgesuggereerd wordt dat niet erg veel dichterbij is danhet bovenraam van het huis aan de overkant. Samenmet het brutaalweg opzij schuiven van de voormuur isdit alles een knap staaltje manipulatie van dewerkelijkheid om die werkelijkheid mooier tepresenteren. Het is dan ook niet verwonderlijk dat deburgemeesters van Leiden volgens hun Gerechts-

a’’a’�a’’

dagboeken in 1642 van mening waren dat Susannavan Steenwijck de Lakenhal ‘seer curieus en konstich’had afgebeeld en dat zij niet hebben geprobeerd ookmaar iets op haar vraagprijs af te dingen.

Noten

[1] Het gebouw is sinds 1870 in gebruik als stedelijk museum. Het

werd in 1888 aan de achterkant en in 1921 aan de kant van de opzij

geschoven muur in het schilderij uitgebreid. In 1991 werd de

voorplaats overkapt.

[2] Het schilderij werd in 1990 met zwarte acrylverf beklad; daarvan

is nu gelukkig niets meer te zien.

[3] I am very grateful to Jeremy Howarth, Buckingham, UK, who

kindly supplied me with these and a lot of other details related to the

life and works of Susanna van Steenwijck and her husband.

[4] De dopeling was Isaac de Vogel. Zie

http://members.lycos.nl/jouvries/vogel.html.

[5] Volgens Bénézit, schrijver van een bekend kunstenaarslexicon uit

het begin van de 20e eeuw, bereikte zij ‘natuurlijk’ niet het niveau dat

de werken van haar man kenmerkt.

[6] Dezelfde metingen en berekening geven voor de schets van figuur 2:

D ≈ 45 meter, waarbij het in dat geval niet uitmaakt of we daarvoor a’

en a” of c’ en c” gebruiken. Dit betekent dat de schets overeenkomt met

een standpunt dat circa 8 meter verder van de voormuur van de

Lakenhal verwijderd is dan de huizenrij aan de overzijde van het

water. Ook dat is geen erg voor de hand liggend standpunt.

Literatuur

[L1] W.J.C. Rammelman Elsevier: ‘Susanna van Steenwijck, schilderes

te Leiden ao 1642’. In: De Navorscher, jg. 21, nieuwe serie jg. 4, 1871,

p. 188.

[L2] Els Kloek, Catherine Peters Sengers, Esther Tobé, red.: Vrouwen

en kunst in de Republiek: een overzicht. Reeks: Utrechtse Historische

Cahiers, jg. 19 nr. 1-2, Hilversum: Verloren, 1998.

[L3] Jan Jansz. Orlers: Beschryving der stad Leyden: behelzende het

begin, den voortgang en aanwas van die stad, (…). 3e druk, naar de

editie van 1641. Leyden: bij Cornelis Heyligert, 1781.

[L4] Frans van Mieris: Beschryving der stad Leyden (…). Tweede deel,

bevattende de wereldlyke gebouwen en de ambachtsheerlykheden. Te

Leyden: by de weduwe Abraham Honkoop, 1762-1784.

[L5] W. Pleyte: ‘De Lakenhal te Leiden’. In: Bouwkundig Tijdschrift,

jg. 5, 1885, p. 9-15 en plaat II.

[L6] Jeroen Giltaij, Guido M.C. Jansen (samenstellers): Perspectiven:

Saenredam en de architectuurschilders van de 17e eeuw, 15/9-

24/11/1991. Tentoonstellingscatalogus. Rotterdam: Museum Boymans-

van Beuningen, 1991.

[L7] A. Verweij: ‘Perspectiven’. In: Euclides, jg. 67 nr. 1, september

1991, p. 8-14.

[L8] Agnes Verweij, Martin Kindt: Perspectief, hoe moet je dat zien?

Utrecht, Epsilon Uitgaven, 1999.

[L9] A. Verweij: ‘Perspectief in een kastje’. In: Nieuwe Wiskrant,

jg. 21 nr. 2, december 2001, p. 6-16.

Over de auteur

Agnes Verweij (e-mailadres: [email protected]) is als docent

wiskunde en didactiek van de wiskunde verbonden aan de Technische

Universiteit Delft.


HET ROMANTISCHONGENOEGEN MET DE REDE[ Aad Goddijn ]


De steen en de schelp: WilliamWordsworthWilliam Wordsworth (1770-1850) isdé romantische dichter van hetEngelse Lake District. Wordsworthmoet een groot deel van zijnomvangrijk oeuvre wandelendhebben geschapen. Veel titelsverwijzen naar locaties in het LakeDistrict. Volgens vrienden liep hij inzijn leven zo’n 300 000 km; gedichten werden naafloop van lange wandelingen genoteerd door zijnzuster Dorothy, zijn vrouw Mary, eventueel doorWordsworth zelf. Zijn band met Nature – hoofdletter,als werd er een Goddelijk Wezen aangesproken – wasintens en kende momenten van mystieke diepte. Dezebekentenis is een van de vele:

❦To me the meanest flower that blows can giveThoughts that do lie too deep for tears.[1]

The Prelude (1805, revisie 1835, uitgegeven 1850) isWordsworths autobiografie in verzen, over deontwikkeling van een kleine jongen tot een grotedichter met een uitgesproken filosofie over de natuur.In Boek V vertelt Wordsworth dat hij in een grot aanzee ligt, mijmerend over:

Ter inleidingWij willen het maar al te graag geloven: wiskundestaat heel dicht bij de kunsten, is er misschien wel debron van. Begon de beeldende kunst niet met eenpatroon op een aardewerk beker, met wiskunde dus?Leidde de belangstelling voor de meetkunde in de15e eeuw niet tot het ontdekken van het perspectiefdoor Brunelleschi, Alberti en anderen? Hadden wíj nietvan meet af aan abstractie en elementaire vorm in onshart gesloten vóór Mondriaan en Malewich zeschilderend herontdekten?Het lijstje is gemakkelijk langer te maken, maar watblijft opvallen is het evident ontbreken van de19e eeuw. Het lijkt erop dat in de 19e eeuw niet veelkunst tot stand kwam waaraan wiskunde eenwezenlijke bijdrage leverde. Sterker nog: het isbetrekkelijk makkelijk, in de literatuur van de vroeg-Romantiek – een korte periode rond het jaar 1800 –uitingen van openlijk verzet aan te wijzen tegen alleswat exact is. Verzet tegen de regels van de rechte lijn,tegen berekening en analyse, verzet tegen de Rede zelf.De dichters die zo dadelijk hierover aan het woordkomen, horen tot de literaire canon in de betreffendetaalgebieden. Hun bedenkingen zijn nog steeds tehoren, zij het wat misvormd tot vooroordelen overwiskunde en wetenschap.Is dat erg? Kom mee, lezer van wiskundetijdschriftEuclides, stap eerst eens in de Romantiek!

❦

Wordsworth

❦poetry and geometric truth,And their high privilege of lasting life

Het thema is aangekondigd, het verschijnt vervolgensin een droom, waarin een Arabier nadert op eenkameel. Onder de ene arm houdt deze een steen, onderde andere een schelp. De dromer hoopt een gids in dewoestijn te hebben gevonden, maar het is anders:

❦the Arab told me that the stone(To give it in the language of the dream)Was “Euclid’s Elements,” and “This,” said he,“Is something of more worth”; and at the wordStretched forth the shell, so beautiful in shape,In colour so resplendent, with commandThat I should hold it to my ear.

Steen en schelp zijn de twee boeken die bij denaderende ondergang van de wereld gered zullenworden, aldus de Arabier. Het immense belang van deElementen van Euclides:

❦The one that held acquaintancewith the stars,And wedded soul to soul inpurest bondOf reason, undisturbed by spaceor time;

Daartegenover de stemmen van depoëzie, die uit de schelp stromen:

❦The other that was a god, yeamany gods,Had voices more than all thewinds, with powerTo exhilarate the spirit, and tosoothe,Through every clime, the heartof human kind.

Harde steen of kwetsbare schelp, inzicht of troost, redeof hart, meetkunde of poëzie.De schelp is ‘more worth’, aldus de door Wordsworthgeconstrueerde droom.Wordsworth wist heel wel wat hij de tweede plaats gaf.In het museum in Wordsworths huis in Grasmere (inhet Lake District uiteraard) ligt de lijst van boeken diezijn vader bezat; de lijst is in Williams handschrift. DeDon Quichot van Cervantes was er, die Wordsworthherhaaldelijk in The Prelude vermeldt. De Elementenvan Euclides waren er ook, vermoedelijk in devertaling van Simson, die met 26 drukken tussen 1756en 1844 vast een fors marktaandeel bezat.William werd naar Hawkshead Grammar Schoolgestuurd, een ‘boarding school’ die beroemd was om de

kwaliteit van het wiskundeonderwijs. Van nu uit huldevoor headmaster James Peake van Wordsworth inHawkshead, die in een lokaal van 7 bij 12 meter100 jongens van zes leeftijdsklassen voor zich had enze opleidde van de eenvoudigste Latijnse declinatiesnaar Horatius en van het ondeelbare punt indefinitie 1 naar propositie 33 van Elementen VI.

Weg met getallen en figuren: NovalisDe levensloop van de dichter Novalis (1772-1801) is deRomantiek zelf. Een eenheid van oneindig liefdes-verdriet, diepe vriendschap en extase binnen de dooreen longziekte krap gehouden jaren. In 1794 ontmoethij de twaalfjarige Sophie Kühn. In een brief aan zijnbroer schrijft Novalis dat toen in een kwartier over zijnleven beslist werd. Sophie overlijdt in 1797. Novalishad haar graag willen ‘nachsterben’, maar overleeft deschok en schrijft zijn Bildungsroman Heinrich vonOfterdingen. Daarin trekt een middeleeuwse jongelingdoor de wereld, op zoek naar het paradijs van zijndromen. Novalis geeft zijn belangrijkste ideeën over deverhouding natuur-mens-poëzie erin vorm, eigenlijknet als Wordsworth in The Prelude doet. De ‘Heinrich’bevat ook autobiografische elementen, maar is tegelijkevident utopisch; utopisch in de zin dat de mens zijnware zelf in de spiegel van de Natuur moet terugvinden, waarbij dit diepe kennen alleen via de poëziebereikbaar is.In het eerste deel van de roman laat Novalis de wijzeKlingsohr een sprookje vertellen. Dat zit volsymboliek, mythe, magie, astrologie. Fabel en Eros - let op de namen - zijn er hoofdfiguren, dieaanvankelijk in kindergedaante spelend aanwezig zijn.Wat zij in hun kinderlijke wijsheid op papier tekenenof schrijven, kan de toets van ‘Sophie’ doorstaan, eenfee-achtige vrouw die al wat geschreven is in eenschaal klaar water dompelt om de waarde ervan vastte stellen. De ‘Schreiber’, een vreemde bijfiguur, komter slechter van af. Hij krijgt al zijn schrijfwerk gewistterug, het water in de schaal is onverbiddelijk. Hetwater laat met schitterende magie ook zien wat deSchreiber bezielt:

❦Die Frau wandte sich zuzeiten gegen Ginnistanund die Kinder, tauchte den Finger in dieSchale, und sprützte einige Tropfen auf sie hin,die, sobald sie die Amme, das Kind, oder dieWiege berührten, in einen blauen Dunstzerronnen, der tausend seltsame Bilder zeigte,und beständig um sie herzog und sichveränderte. Traf einer davon zufällig auf denSchreiber, so fielen eine Menge Zahlen undgeometrische Figuren nieder, die er mit vielerEmsigkeit auf einen Faden zog, und sich zumZierat um den magern Hals hing.

De vastgeregen Zahlen und Figuren staan diametraaltegenover de blauen Dunst, en de tausend seltsameBilder die steeds vrij veranderen. De afkeur voor destarre overijverige Schreiber is evident.


Novalis

rechten, literatuur, filosofie en wiskunde. Schiller heeftdaar vooral grote indruk op hem gemaakt. Laterverdiept hij zich nog in scheikunde, natuurkunde,geologie, mineralogie en mijnbouw. Hij moet goedgeweten hebben wat de doorsnee wetenschapper aanhet eind van de 18e eeuw voornamelijk bezig hield:ontleden, classificeren. In enkele zinnen maakt Novaliser zijn karikaturale ‘Schreiber’ van.

Red de regenboog: Keats en GoetheJohn Keats (1795-1821) is alom bekend om de eersteregel van dit fragment uit Endymion:

❦A thing of beauty is a joy for ever:Its loveliness increases; it will neverPass into nothingness; but still will keepA bower quiet for us, and a sleepFull of sweet dreams, and health, and quietbreathing.

Keats bewonderde Wordsworth en schatte hem hogerdan de illustere John Milton (1608 - 1674) vanParadise Lost: ‘[Milton] did not think into the humanheart, as Wordsworth has done’.Keats en Wordsworth zien elkaar(met anderen) op 28 december 1817,tijdens een diner bij de schilderBenjamin Haydon (1786-1846) inLonden. De dichter Charles Lamb(1775-1834) is er ook. In dememoires van de gastheer wordtdeze beschreven als na enige tijd‘delightfully merry’. Lamb haalt forsuit tegen Newton:

❦‘who believed nothing unless itwas as clear as the three sides ofa triangle’.[4]

Keats beschuldigde daarop Newtonervan, de poëzie van de regenboog te hebben vernield,door deze te reduceren tot de kleuren waarin eenprisma licht splitst. Er wordt getoast op

❦‘Newton’s health, and confusion tomathematics’.[4]

Wordsworth lacht ogenschijnlijk gretig mee; hij hadwél bewondering voor Newton, al in zijn schooljarenin Hawkshead. Zijn beschrijving van het standbeeldvan Newton in Cambridge in The Prelude, boek V, maghier dan ook niet ontbreken:

❦And from my pillow, looking forth by lightOf moon or favouring stars, I could beholdThe antechapel where the statue stoodOf Newton with his prism and silent face,

De roman is onvoltooid; voor deel II zijn alleenaantekeningen bekend en een beschrijving doorNovalis’ vriend Ludwig Tieck. Daar vinden we onderandere dit in Duitsland alom bekende gedicht:

❦Wenn nicht mehr Zahlen und Figuren Sind Schlüssel aller KreaturenWenn die so singen, oder küssen,Mehr als die Tiefgelehrten wissen.Wenn sich die Welt ins freie LebenUnd in die Welt wird zurückbegeben,Wenn dann sich wieder Licht und SchattenZu echter Klarheit werden gatten.Und man in Märchen und GedichtenErkennt die wahren Weltgeschichten,Dann fliegt vor Einem geheimen WortDas ganze verkehrte Wesen fort.

Meeslepend voor wie het geloven wil: het paradijsstaat voor ons open, als we getallen en figuren maarachter ons laten. De Tiefgelehrten weten niet watsingen oder küssen is; echte Klarheit en Freiheit komenvan elders: uit sprookjes en gedichten.In Novalis’ aantekeningen voor het sprookje staan dezewoorden:

❦Der Liebe in der Wiege - die Träume. (IhreWohnung - das mensliche Gemüt.) Vernunft –Phantasie. Verstand. Gedächtnis. Herz. (DerVerstand ist feind-selig – er wird verwandelt.)[2]

Novalis was bevriend met Friedrich Schlegel, die inzekere zin de ‘theoreticus’ van de vroege DuitseRomantiek is. Volgens Schlegel moet poëzie‘Universalpoesie’ zijn, tegelijk filosofisch,mythologisch, ironisch en religieus. Aan Schlegel legtNovalis de bedoeling van zijn sprookje in een brief uit:

❦Die Antipathie gegen Licht und Schatten, dieSehnsucht nach klaren, heißen, durch-dringenden Äther, das Unbekanntheilige, dieVesta in Sophien, die Vermischung desRomantischen aller Zeiten, der petrifizierendeund petrifizierte Verstand, Arctur, der Zufall,der Geist des Lebens, einzelne Züge bloss, alsArabesken – so betrachte nun mein Märchen.[3]

Nee, we misinterpreteren niet, als we onder deverleidelijke oppervlakte ook een aanval oprationaliteit (der petrifizierende und petrifizierteVerstand) in de gedaante van wiskunde (Zahlen undFiguren) zien. Die aanval was vast niet Novalis’hoofdbedoeling; dat is uit de hier gegeven fragmentenwel duidelijk, het gaat Novalis om de rol van depoëzie. Maar het afwijzen van ‘Zahlen und Figuren’ isblijkbaar nuttig binnen het poëtisch-mythologisch-allegorisch-filosofisch betoog.Novalis studeerde in Jena in 1790 een jaar lang


Keats

The marble index of a mind for everVoyaging through strange seas of Thought,alone.

In Keats’ verhalende gedicht Lamia (1818) verschijnt debedreigde regenboog in een ‘terzijde’.Lamia, afkomstig uit een tamelijk obscure Grieksemythe, is zowel slang als vrouw, ze kan naar eigenkeuze beide vormen aannemen. Als ze liefde opvatvoor Lycius, legt ze haar prachtige veelkleurigeslangengestalte af. Snel komt het tot een huwelijk,maar Lamia wil niet dat Lycius zijn leraar, de filosoofApollonius, daarbij uitnodigt omdat ze die nietvertrouwt wegens zijn doordringende blik. Deze komtechter wél, en ontmaskert dan Lamia, die naar haarreptielvorm terugschrompelt. Over Apollonius’ gedragdit fragment:

❦Do not all charms flyAt the mere touch of cold philosophy?There was an awful rainbow once in heaven:We know her woof, her texture; she is givenIn the dull catalogue of common things.

Philosophy will clip an Angel’swings,Conquer all mysteries by ruleand line,Empty the haunted air, andgnomèd mine -Unweave a rainbow, as iterewhile madeThe tender-personed Lamia meltinto a shade.

Keats neemt het op voor betoveringen mysterie, die door rule and lineen koude wetenschap wordenvernietigd. Zelfs terwijl die weten-schap van Apollonius overduidelijkgelijk heeft: Lamia wás een monsteren een gevaar voor Lycius, dit wordtzo ook door Keats beschreven.

Newtons ontrafeling van de regenboog werd al doorGoethe (1749-1832) in 1790 aangepakt. Goethe schreefuiteindelijk zijn Zur Farbenlehre, die nadrukkelijkingaat gericht tegen Newtons geometrische Optica.Goethe probeert met eigen experimenten Newton teweerleggen. Twee heel verschillende fragmenten, hetene polemisch met de kern van de kritiek op Newtonen een spoor van Goethes eigen theorie erin, hetandere ontegenzeggelijk poëtischer en kleurrijker daneen ‘modern’ natuurkundeboek durft te zijn:

❦Ich sah die Erscheinungen der Natur in offnerWelt, und brauchte nicht erst einenzwirnsfädigen Sonnenstrahl in die finstersteKammer zu lassen, um zu erfahren, dass hellund dunkel Farben erzeuge.

Als aber die Sonne sich endlich ihremNiedergang näherte und ihr durch die stärkerenDünste höchst gemässigter Strahl die ganzemich umgebende Welt mit der schönstenPurpurfarbe überzog, da verwandelte sich dieSchattenfarbe in ein Grün, das nach seinerKlarheit einem Meergrün, nach seiner Schönheiteinem Smaragdgrün verglichen werden konnte.

Het verzet tegen de VerlichtingDe milde Wordsworth, de overbegeesterde Novalis ende kritische Keats geven typische voorbeelden van hetRomantisch verzet tegen de Verlichting, de 17e en 18eeeuwse beweging die de rede als enig leidsnoer kiestom de wereld te begrijpen en de menselijke conditie teverbeteren. De Verlichte wetenschapper omarmde dewiskunde als onderzoeksmiddel bij uitstek enmodelleerde zijn exposé nog graag naar het voorbeeldvan Euclides: uitgaan van grondwaarheden, de atomenvan de kennis als het ware, om van daaruit ware enzekere proposities stuk voor stuk af te leiden. Zo leiddeNewton de ellipsbaan van de planeetbeweging af uitslechts enkele bewegingsprincipes, en kon hij debewegingen van zon, maan en planeten daarmeenauwkeurig in detail voorspellen.De Romantici zetten forse vraagtekens bij deze werk-wijze als geheel.

De Romanticus weigert in ieder geval de wereld als eengrote klok te zien, waarvan de werking mathematischvoorspelbaar was. Voor de Romanticus is de natuur eenbezield wezen. De idealistische Novalis zegt dat heelexpliciet, bij Wordsworth blijkt het vaak indirect uit demanier van weergeven van de eigen individuele reactieop ‘Nature’.De Romanticus is antimechanistisch en wil zeker ookniet de processen in de natuur en in de mens afzonder-lijk als onafhankelijk machinale werkingen beschouwen.

Nauw hiermee hangt de Unbekanntheiligung samen,die we in de aantekeningen van Novalis aantroffen.Het onvoorspelbare, het eeuwig onbereikbare, de verte:daar ligt wat het waard maakt te leven en te sterven.Wat eenvoudig te verklaren is, dat kan niet de diepstewerkelijkheid zijn. Mysterie moest er zijn en werd inalles gezocht. ‘Conquer all mysteries by rule and line’,het was Keats een gruwel. Juist de wiskunde met zijnhang naar berekenbaarheid en begrijpbaarheid lag hieronder vuur.

Wetenschappelijke analyse, ook van de wiskunde,ervaart de ware Romanticus vooral als destructieveuiteenrafeling, als bedreiging van de harmonischewerking en beleefbaarheid van het geheel der dingen.De Romanticus is anti-reductionist. De ontleding vande regenboog was een modelvoorbeeld hiervan.

Een ander verwijt treft de vermeende arrogantie van dewiskundige georiënteerde wetenschapper. Keats zei het al:ze komen overal aan met hun regels en lijnen. Goethe,over het gilde van de wiskundigen in het bijzonder:


Goethe

vooral verzocht de twee werelden gescheiden tehouden.Het publieke beeld van wiskunde klopt genadeloosgoed met de romantische bezwaren. Het wordt ookdoor de media in (hopelijk onbewuste) samenwerkingmet de beroepsgroep mede in stand gehouden.Een voorbeeld uit Het Parool van 15 maart 2003, eenkopje boven een verdrietige klacht:

❦Eens stond de Nederlandse wiskunde aan deinternationale top. Maar die tijd is voorbij.Haakjes wegwerken, breuken onder één noemerbrengen: vwo-scholieren kunnen het niet meer,klagen deskundigen.En het aantal wiskundestudenten daalde vanvijfhonderd naar honderd.

Het beeld is weer bevestigd: wiskundigen reducerenalles tot formules en blijven tot hun pensioen haakjeswegwerken. Geen gezond mens met nog een laatstespoortje ‘Verbeelding’ wil zo’n ‘Schreiber’ wezen.

Het wil op het moment niet zo best lukken met deaantrekkelijkheid van het vak wiskunde en de zusjesnatuurwetenschap en techniek. Dat is bekend en er zijnvele redenen voor aangevoerd.Maar zou het misschien (ook een beetje) komen omdater weinig echt geluisterd is naar de bezwaren vanWordsworth, Keats, Novalis en Goethe en veleanderen?

Nogmaals de regenboogWordsworth krijgt het laatste woord:

❦The RainbowMy heart leaps up when I beholdA Rainbow in the sky:So was it when my life began;So be it when I shall grow old,Or let me die!The Child is father of the man;And I wish my days to beBound each to each by natural piety.[7]

The Child is father of the man, dat is de regel die inhet klaslokaal van William Wordsworth in Hawksheadop de muur is gezet. Misschien is het wel Wordsworthsberoemdste regel.Mag iemand duizend keer de regenboog zien, zonderdie met prisma’s, bolvomige druppels en gediffe-rentieerde arcsinussen te willen begrijpen? Ik vind vanwel, zeker als het zonder nodeloos verzet tegen de redegaat, zoals bij Wordsworth.Anders gezegd: waardering exacterzijds voor deRomantische Beleving, zonder meegaan in de excessenervan (er zijn er vele, helaas!) schept misschien meerruimte voor anderzijdse erkenning van de waarden vande Verlichte Rede dan afgedwongen reisjes over‘strange seas of Thought, alone’.

❦Die Mathematiker sind wunderliche Leute:durch das Großes, was sie leisteten, haben siesich zur Universalgilde aufgeworben undwollen nichts anerkennen, als was in ihrenKreis paßt, was ihr Organ behandeln kann.[5]

Kortom: wat niet wiskundig kan worden behandeldbestaat gewoon niet voor ze.

Het belangrijkste bezwaar tegen wiskunde enwetenschap van de Romanticus is echter wel: deVerbeelding verhongert. In tamelijk naïeve vorm treffenwe het idee al aan in een brief uit 1791 van SamuelColeridge (1772-1834) aan zijn broer. Coleridge schreefoverigens later (in 1798) samen met Wordsworth debundel gedichten die in Engeland de start van deRomantische beweging werd, de Lyrical Ballads.

❦Dear Brother,I have often been surprized, that Mathematics,the quintessence of Truth, should have foundadmirers so few and so languid.—Frequentconsideration and minute scrutiny have atlength unravelled the cause—viz.—that thoughReason is feasted, Imagination is starved; whilstReason is luxuriating in its proper Paradise,Imagination is wearily travelling on a drearydesart. To assist Reason by the stimulus ofImagination is the design of the followingproduction.[6]

De ‘following production’ is een berijmde versie vanhet bewijs van propositie I van De Elementen vanEuclides.Het contrast Wiskundige Rede / Verbeelding is eengrondtoon in bijna alle citaten in dit artikel. Het uitzich ook in de keuze der adjectieven en beelden: stenigen koud voor de Rede, warmte en kleurrijk voor deVerbeelding.

De trivialisering van de RomantiekNiet iedereen die in de vroege 19e eeuw leefde deeldedeze bezwaren. Uiteraard niet. Maar laten we ook nietdenken dat het bezwaren en vooroordelen zijn van eenvoorbije periode. Romantici met een Schlegeliaansidealistische filosofie als die van Novalis zijnmomenteel vrij zeldzaam, meer veel van deRomantische ideeën kunnen we nog dagelijks ingetrivialiseerde vorm aanhoren.Wie zegt: ‘O, dus jij denkt dat je alles kunt berekenen’,toont dezelfde ergernis als Keats, zij het wat schamelergeformuleerd.Standaard uitdrukkingen zijn het: harde objectievefeiten en koel redeneren. Daar zijn ze: Wordsworthssteen en Keats’ koele filosoof.Iemand vroeg me, staande bij een overduidelijkwiskundig geïnspireerd kunstwerk: ‘Raakt dit nu uwwiskundige ratio of uw artistieke emoties?’ Ik werd


Noten

[1] William Wordsworth; Slotregels van Ode, Intimations of

Immortality (1802-1804).

[2] Novalis: Paralipomena zum ‘Heinrich von Ofterdingen’.

[3] Novalis, brief aan Friedrich Schlegel in Jena, 18 juni 1800.

[4] Beide geciteerd in The masks of Keats: the endeavour of a poet,

Thomas MacFarland, Oxford University Press 2000.

[5] J. W. Goethe: Ueber die Naturwissenschaft, einzelne betrachtungen

und Aphorismen. Gesamtausgabe Stuttgart, 1885, I.

[6] De tekst en de bijhorende brief staan op internet:

http://etext.lib.virginia.edu/stc/Coleridge/ascii_files/geometry_poem_let

ter.html

[7] William Wordsworth (1802). Eerste publicatie in ‘Moods of my

own mind’ (1807).

Bronnen

De poëtische werken van William Wordsworth staan geheel op

internet:

- http://www.bartleby.com/145/

Maar twee Penguinpockets zijn handiger, en veruit de beste gids voor

wandelen in het Lake District. Alle geciteerde teksten van Wordsworth

staan in de volgende twee bronnen:

- William Wordsworth: Selected Poems. Penguin Classics (1994).

- William Wordsworth: The Prelude, The four texts (1798, 1799,

1805, 1850). Penguin Classics (1995).

Een recente, zeer goede biografie over William Wordsworth is:

- Juliet Baker: Wordsworth, A Life. Viking Press (2000).

Keats staat ook op internet en in de Penguinkast; er is een

Nederlandse vertaling van diverse gedichten van Keats. Lamia staat

daar gedeeltelijk in, maar het fragment met ‘Unweaving the rainbow’

net niet.

- www.bartleby.com/people/Keats-Jo.html

- John Keats: Selected Poems. Penguin Books (1988).

- John Keats: Gedichten. Ambo tweetalige editie, samengesteld door

Léon Stapper. Ambo (1991).

Vertaalde teksten van William en Dorothy Wordsworth, Keats en

anderen zijn ook te vinden in:

- I. Cialona (red.): De tweede ronde, Tijdschrift voor literatuur. Herfst

2003: Lake District-nummer.

Novalis’ Heinrich von Ofterdingen staat ook op internet én op papier:

- http://gutenberg.spiegel.de/novalis/ofterdng/ofterdng.htm: Novalis,

Heinrich von Ofterdingen.

- Novalis: Heinrich von Ofterdingen. Reclam, Stuttgart (1978,

goedkope schooluitgave).

Er zijn diverse volledige Goethe-uitgaven. De Goethe-citaten van

hierboven komen uit

- Goethe: Sammtliche Werke, Vollständige Ausgabe in Zehn Bänden.

Stuttgart (1885).

De Farbenlehre beslaat daarvan een vol deel. Ze staat nog steeds in de

belangstelling, vooral in antroposofische kringen. Er is een

Nederlandse vertaling, maar die is niet volledig; het origineel omvat

zo’n 600 bladzijden:

- J.W. Goethe: Kleurenleer. Samengesteld door Bob Siepman van den

Berg; vertaling Pim Lukkenaer. Zeist, Vrij Geestesleven (1991).

Over de vroege Romantiek in het algemeen:

- H. G. Schenk: The Mind of the European Romantics. Oxford

University Press (1966).

- Hugh Honnour: Romanticism. Harper and Row (1979.

- Marilyn Butler: Romantics, Rebels and Reactionaries. English

Literature and its Background, 1760-1830. Oxford University Press

(1981).

Over de tweedeling literatuur/wetenschap is de beruchte Rede Lecture

van C.P. Snow uit 1959 nog steeds interessant. Hier een bron met een

uitvoerige weergave van het debat dat de lezing indertijd opriep:

- C.P. Snow: The Two Cultures. Cambridge University Press (1998).

Over de auteur

Aad Goddijn is werkzaam bij het Freudenthal Instituut en is

bestuurslid van de stichting Ars et Mathesis (www.arsetmathesis.nl).

Hij heeft meegewerkt aan de ontwikkeling van wiskunde B2 in de

nieuwe profielen en is momenteel actief betrokken bij het Welp-project.

Hij is vooral geïnteresseerd in het raakvlak kunst en wiskunde omdat

kunstenaars wiskundigen beperktheden en mogelijkheden van de

discipline laten zien, die ze zelf niet altijd lijken te kennen.

Voor meer informatie en eventueel extra literatuur bij dit artikel schrijf

naar [email protected] of zie zijn website (www.fi.uu.nl/~aad).


METEN AAN EEN KUNSTWERKEen inspirerende leerling-activiteit naar aanleiding van eenkunstwerk van Henk van Bennekum[ Bart Heukelom ]

FIGUUR 1

OriëntatieOp de Hugo de Vrieslaan hoek Pasteurweg in deAmsterdamse Watergraafsmeer staat een kunstwerk datopgebouwd is uit een aantal piramides (zie figuur 1).Nadat ik er toch vele malen langs was gereden, bleefdit kunstwerk mijn aandacht trekken. Op een bepaaldmoment realiseerde ik me dat dit komt door het feit datbij alle piramides de top recht boven het snijpunt vande diagonalen van het grondvlak staat, behalve bij depiramide met de hoogste top: deze top heeft duidelijkeen andere positie. Het lijkt wel alsof de kunstenaareerst de grootste vanzelfsprekendheid wil opbouwenom die dan aan het einde plotseling te vermorzelen.Het bleek zeer lastig te zijn, een goede en duidelijkefoto van het gehele kunstwerk te nemen. Deafmetingen van het gehele kunstwerk en de achter-grond tegen het gras zijn moeilijke omstandigheden ende laagste piramide lijkt in hoog gras gewoon te‘verdwijnen’, terwijl ook moeilijk een indruk van degrondvlakken te geven is.Ik besloot dus om het geheel op te meten om er eentekening van te maken.Het resultaat van de metingen staat in figuur 2: hetgrondvlak en zij-aanzicht van het gehele kunstwerk.Als schaal is 1:200 genomen.

ObserverenDeze piramides zijn gemaakt van een soort plaatstaal.Ze variëren in hoogte: de hoogste is ruim anderhalvemeter hoog (piramide G in de tekening) en de laagsteongeveer 30 centimeter (piramide A), waarbij deafmetingen van het grondvlak respectievelijk ongeveer2 meter bij 1,50 meter en 13 meter bij 40 cm zijn.De zeven piramides zijn in een rechte lijn achter elkaargeplaatst in volgorde van hoogte van de top tot hetgrondvlak (respectievelijk piramide A tot en met G),zodanig dat de grondvlakken van de piramides samenhet grondvlak van de het gehele kunstwerk zijn. In detekening is te zien dat het grondvlak van het gehele

kunstwerk een gelijkbenige driehoek is, met P als top.De reden waarom het kunstwerk mijn aandacht blijfttrekken is, dat de top van de hoogste piramide nietrecht boven het midden van het grondvlak staat. Detop van piramide G staat wel boven de hoogtelijn(vanuit punt P) van het grondvlak van het gehelekunstwerk maar niet boven de verbindingslijn van detwee middens van de schuine zijden van het grondvlakvan piramide G.

Leerling-opdrachtenAl doende met het meten en tekenen van het kunst-werk realiseerde ik me dat het opmeten ook eenaardige oefening voor leerlingen zou zijn, want ikmerkte het volgende:- Het is allemaal wat lastig op te meten, want hoe meetje nu precies de hoogte van de piramides? Ik schatte dehoogte door met twee stokken te werken. Eén stokplaatste ik horizontaal vanaf de top tegen een stok dieloodrecht op de grond stond.Het grasveld en de grond sluiten niet precies aan ophet grondvlak van de piramides. In enkele gevallen‘zweefde’ het grondvlak van de piramide iets boven hetgrasveld doordat het regenwater wat grond hadweggespoeld.Als je deze metingen alleen uitvoert maak je meet-fouten. Een groepje van drie leerlingen zou bij eenonderlinge goede samenwerking een heel eind kunnenkomen. Ze ontwikkelen dan de vaardigheden om goedmet elkaar samen te werken en goed te leren metenmet behulp van geïmproviseerde hulpstukken.- Voor de leerlingen komen er op een heel concretemanier diverse wiskundige begrippen aan de orde,zoals: Welke schaal moet je nu nemen om hetkunstwerk met de juiste verhoudingen op één A4 tetekenen? Wat is een piramide, gelijkbenige driehoek,trapezium, hoogtelijn, wat zijn verhoudingen?- Naast de wiskundige intellectuele activiteiten is ervanwege de aard van het kunstwerk ook de vraag te


Tweedimensionale structuurtekening van zowel het grondvlak als het zijaanzicht van een staalplastiek van Henk van Bennekum uit 1987, getiteld ‘Horizontaal beeld’.Het beeld bestaat uit zeven piramides en ligt aan de Hugo de Vrieslaan op de hoek met de Pasteurstraat inAmsterdam.De getallen geven de werkelijke lengtes en hoogtes in centimeters van de afzonderlijke piramides weer.De schaal van de tekening is 1:200.

FIGUUR 2

te toetsen. Een volgende stap voor bovenbouw-leerlingen is om informatie over de kunstenaar op tezoeken op internet en de eigen informatie tevergelijken met datgene wat de kunstenaar over hetkunstwerk heeft gezegd. Dat kan de aanleiding zijn ommeer kunstwerken te bestuderen en zo te proberen een‘verband te zien’ tussen wiskunde en kunst.

Leerlingen, kunst en wiskundeDe onmogelijkheid een goede foto van het kunstwerkte nemen dwong me om dit wiskundige kunstwerk tegaan opmeten en tijdens het opmeten constateerde ikdat het een goede inspiratie voor leerlingen zoukunnen zijn.Over de getallen in tabel 1 kun je met leerlingen vangedachten wisselen; onderwerpen als verhouding ineen driehoek, schaal, nauwkeurig meten en schattenzouden dan zeker op een concrete manier aan de ordekunnen komen.Nu de tekening is gemaakt, is het duidelijk dat dekunstenaar mathematische vormen als basis heeftgenomen en dat hij de piramides op een rijtje heeftgezet zodanig dat het een geheel wordt. Er moet dusvan tevoren wel een ontwerp zijn gemaakt.Hier gaan wiskunde en kunst duidelijk samen. Voor mijkomen er twee afwijkingen voor die devanzelfsprekendheid doorbreken die in het geheel ligt:de positie van de top van de hoogste piramide en hetgrondvlak van de kleinste piramide. Het blijft echtergissen wat het doel van de kunstenaar is geweest, maardat doet er ook eigenlijk niet zo toe.Ik weet niet hoe andere toeschouwers met ditkunstwerk omgaan. Het lijkt mij leuk om met eengroep leerlingen dit kunstwerk eens op te meten enwiskundig te analyseren. Maar ik ben ook ergbenieuwd naar hun reacties op deze wiskundigeobjecten als kunstwerk in Amsterdam; je weet bijleerlingen maar nooit wat er uit rolt.

NaschriftAls burger van Amsterdam fietste ik vaak langs ditkunstwerk, en het begon me te intrigeren. Ik ben hetgaan bestuderen zonder dat ik de kunstenaar kende. Ikwist dus niets van bedoelingen. Het was een bewustekeuze om er zonder informatie-vooraf op eenonbevangen manier naar te kijken.Ik meen dat leerlingen ook eerst maar eens op eenonbevangen manier met dit wiskundige kunstwerkmoeten omgaan. Nadat zij zelf de nodige observatieshebben gedaan en hun eigen conclusies hebbengetrokken, kunnen ze die naast de opgezochteinformatie leggen.In een later stadium begreep ik dat de kunstenaar Henkvan Bennekum is.Nadere informatie over zijn werk kunt u vinden opwww.vanbennekum.com/

stellen: welke indruk maakt dit kunstwerk nu op je?Deze vraag wordt misschien vóór het opmeten andersbeantwoord dan na afloop van het opmeten. Zokunnen leerlingen emotionele indrukken koppelen aanwiskundige activiteiten.

Ik heb een lijstje met vragen gemaakt dat in eersteinstantie bedoeld is voor de onderbouw, maar ik sluitniet uit dat dit kunstwerk ook een goede aanleidingzou kunnen vormen voor bijvoorbeeld een praktischeopdracht in de bovenbouw. Voor leerlingen van debovenbouw kan men namelijk een stapje verder gaandoor onder andere de vraag te stellen in hoeverre demetingen nu nauwkeurig zijn geweest.Kijkt men met een zekere afstand naar het kunstwerkdan krijgt men toch sterk de indruk dat de toppen vande piramides op een rechte lijn liggen. Dat is in dewerkelijkheid weer wat makkelijker te zien dan op detekening. Ervan uitgaande dat de toppen op een rechtelijn liggen kunnen we ons bijvoorbeeld de vraagstellen of mijn metingen nauwkeurig zijn geweest. Metde leerlingen kun je in die situatie het volgendeoverwegen:Het grondvlak van het gehele kunstwerk is een gelijk-benige driehoek met top P. Vanuit P tekenen we dehoogtelijn op de basis van de gelijkbenige driehoek diehet grondvlak van het gehele kunstwerk voorstelt. Weprojecteren de toppen van de piramides loodrecht opdeze hoogtelijn. Gezien de verhouding tussen de lengtevan de basis en de lengtes van de twee andere zijdenvan de gelijkbenige driehoek doe ik maar alsof dehoogtelijn vanuit P even lang is als de twee zijden vande gelijkbenige driehoek van het grondvlak. De tweezijden zijn opgemeten, waardoor ik de afstand van deprojectie van elke top van de piramide op de hoogtelijntot punt P kan vaststellen.Na wat berekeningen kreeg ik een tabelletje, waarinv = afstand van projectie van de top van een piramideop de hoogtelijn tot punt P gedeeld door de hoogtevan dezelfde top. (De opgemeten waarden staan in detekening.)

tabel 1

bij piramide v

A 26,7B 27,6C 25,1D 25,3E 23,7F 25,7G 26,6

Het is nu te zien dat ik in mijn eentje de metingen nietzo nauwkeurig kon uitvoeren, want ik had natuurlijkoveral dezelfde waarde moeten krijgen.Je kunt met de leerlingen nog een stapje verder gaandoor de rechte lijn door de toppen van de piramides tenader te bestuderen en dan de meetresultaten nog eens


Over de auteur

Bart Heukelom (e-mailadres: [email protected]) is ongeveer tien jaar

uitgever wiskunde geweest bij Wolters-Noordhoff en was daarna voor

vijf jaar als directielid verbonden aan een landelijke stichting die de

studie- en beroepskeuzevoorlichting in Nederland moet

professionaliseren. Tegenwoordig is hij interim-uitgever en heeft in dat

kader voor meerdere uitgeverijen, scholen en andere instanties

opdrachten uitgevoerd. Tevens geeft hij enkele wiskundelessen in de

bovenbouw van vwo en havo. Daarnaast is hij onder andere lid van

het bestuur van de stichting Ars et Mathesis.


bij een vluchtig bezoek aan een museum van zaal totzaal loopt, en soms bij een werk wat langer blijft staanen andere zalen met een vluchtige blik afdoet, zo wilik u bij mijn denkbeeldige wandeling door eenmuseum van gedachten meenemen. Niet altijd is hetverband tussen opvolgende zalen duidelijk, vaak is debestudering van het object te oppervlakkig.

De wiskundeWanneer we in Euclides’ Elementen lezen: ‘Een lijn isbreedteloze lengte, een vlak is, wat alleen lengte enbreedte heeft’, weten we dat de schrijver zaken alslichtstralen, gespannen koorden waargenomen heeft.Maar hij heeft geabstraheerd, de dikte van het koord isweggenomen.Natuurlijk is al veel eerder de abstractie in dewiskunde ingevoerd. Het feit dat een verzamelingappels, een verzameling mensen, een verzamelingdagen met het zelfde woord geteld wordt is een vroegeabstractie. We spreken vandaag aan de dag nog welover een dozijn eieren, een gros spelden, maar nooitover een dozijn bomen of een gros bezoekers van eentoneelvoorstelling.Na het eerste tellen, de één, de ander, dat we nogherkennen in ‘anderhalf’, komt het inzicht dat de andereen tweede van het eerste is, al is de tweede natuurlijknog altijd een ander als de eerste.Maar is er een extra nieuwe aandacht voor abstractiein het begin van de twintigste eeuw?In 1904 verscheen van de hand van J.-A. de Séguier inde serie ‘Théorie des groupes finis’ het leerboek Théoriedes groupes abstraits. In de inleiding schrijft de auteur

WaarschuwingDe onderstaande gedachten zijn niet alswetenschappelijke verhandeling bedoeld. Zittendachter het toetsenbord laat de auteur zijn gedachten devrije loop, zo nu en dan onderbroken door eenwandeling naar de boekenkast. Uitspraken, vlotneergeschreven, kunnen wellicht met wat meeronderzoek weerlegd worden. Vermoedens kunnen alshersenspinsels verworpen worden. Juist in dat gevalheeft de auteur zijn doel bereikt, de lezer zelf over dezezaken te laten denken.

AanleidingDe redactie van Euclides vroeg mij om een bijdrageover wiskunde en kunst. Nu heb ik wel eens lezingenmet vele dia’s over dit onderwerp gehouden, en dan bijeen aantal vertoonde reproducties de betrokkenwiskunde besproken. Maar in Euclides passen niet veelkleurreproducties, het moest dus anders.Na enige hoofdbrekens groeide een gedachte: niet eenhele collectie kunstwerken bespreken, niet het werkvan slechts één kunstenaar bespreken, maar een ideeaan de orde stellen.Welk idee komt daarvoor in aanmerking? Bij wiskundedenk je al snel aan ‘abstractie’. En de kunst die mijbijzonder boeit is de kunst van de eerste helft van de20ste eeuw, waarin de ‘abstracte kunst’ een belangrijkerol speelt. Het moet dus een verhaal over abstractie in kunst enwiskunde worden.Hoe het in te kleden? Een systematisch opgebouwdessay? Nee, ik kies een andere benadering. Zoals men

ABSTRACTIE IN KUNST ENWISKUNDEEen denkbeeldige wandeling door een museum van gedachten[ F. van der Blij ]


dat in verschillende gebieden van de algebra en demeetkunde groepen voorkomen en gebruikt worden.Dat maakt het noodzakelijk het idee van een abstractegroep te ontwikkelen, dus een groep te bestuderenonafhankelijk van de natuur van zijn elementen - dusnet als we telwoorden gebruiken, onafhankelijk van denatuur van de getelde objecten.

De beeldende kunstDe afbeeldingen in de grotten, de prehistorische beeldjes;het zijn beelden van de levende dieren, van de aanwezigevrouwen. Maar het zijn abstracties; veel is weggelaten, jekunt de dieren van de rotstekeningen niet consumeren enhet vrouwenbeeld mist een weelderige haardracht.Natuurlijk zijn ornamenten een heel vroege vorm vangeometrisch-abstracte kunst.Later gaat men in de kunst proberen de werkelijkheidzo goed mogelijk na te bootsen, dat wil zeggen zulkebeelden te maken dat de beschouwer zegt: ‘Het is netecht!’ Maar er komt weer een andere vorm vanabstractie, bijvoorbeeld in middeleeuwse schilderijenwaarop zowel de vlucht naar Egypte van hetChristuskind is afgebeeld als de kruisiging van Jezus.Een abstract beeld van Picasso bestaat uit een fietsstuuren een fietszadel, op zo’n manier samengevoegd dat weer direct de kop van een stier in herkennen.In een studie over de Stijl lezen we dat Mondriaan zichachtereenvolgens verdiept had in verschillendekunstvormen en daaruit een persoonlijke stijlontwikkelde die hij zelf omstreeks 1913, in navolgingvan de dichter-criticus Apollinaire, ‘abstract’ was gaannoemen.

Even muziekWe merken even op dat in de muziek het nabootsenaltijd ondergeschikt lijkt: wanneer we de koekkoekmenen te herkennen glimlachen we, maar spreken nietvol bewondering: ‘Net echt.’ Muziek lijkt een meerabstracte kunst dan de beeldende kunst. Is het met het lied begonnen, zinnen die uitgesprokenworden krijgen een melodie? Geeft het lopen eenritme? Instrumentale muziek zonder woorden is daneen stap naar abstractie. Kunnen de twaalftoons-composities gezien worden als een verdere stap in derichting van abstractie? Wist ik maar meer vanmuziek, nu moet ik maar raden!Musici kunnen een partituur lezen; is de partituur weereen abstractie van het muziekstuk?Zeker is dat in de partituur niet alles te vinden is watin de uitvoering een rol speelt, dus is de partituur eenabstractie van de uitvoering, maar de partituur is ervaak eerder dan de uitvoering.

De meetkundeNa Euclides ontwikkelt de meetkunde zich verder, maarde abstracte meetkunde wil een abstractie van dewaargenomen meetkunde in de ons omringende ruimtezijn. De discussie bij de constructie (of ontdekking) vande niet-euclidische meetkunde gaat deels ook over devraag welke meetkunde nu de echte (abstractie) vanonze wereld is. De som van de hoeken van driehoekenin de astronomische ruimte moet gemeten worden enzo uitsluitsel geven.

Begin van de 20ste eeuw; kunstWanneer je kunsthistorici vraagt wanneer de abstracteschilderkunst begonnen is zal men veelal zeggen: inhet begin van de twintigste eeuw. Men zal misschienverwijzen naar Kandinski, wiens aandacht op eenochtend (rond 1910) op een bijzonder mooi schilderijin zijn atelier valt. Het is één van zijn eigenschilderijen, die echter volgens de ene traditie op zijnkop, volgens een andere op zijn kant staat. Deschoonheid werd beleefd onafhankelijk van deafbeelding, het waren vorm en kleur die de aandachtvroegen.Maar wanneer we de geschriften van en overKandinski lezen, ontdekken we dat een hele zoektochtaan de geboorte van de abstractie vooraf ging. De titelvan een van zijn leerboeken, uitgegeven als Bauhaus-boek, luidt: Punkt und Linie zu Fläche. We vindendaarin ook verwijzingen van de muziek naar de lijn,de vorm van de partituur, de structuur van demelodische lijn wordt naast de lijn in het schilderijgesteld. Binnen de Nederlandse traditie zien we een andere wegvan figuratief naar abstract. Ik noem slechts reeksenvan schilderijen van Mondriaan, waarin een boomsteeds een stapje verder geabstraheerd wordt totdathorizontaal en verticaal niet alleen gaan domineren,maar essentieel worden voor het beeld.Ook de werken van Van Doesburg en vooral ook vanBart van der Leck tonen een geleidelijke overgang naarsteeds verder gaande abstractie. In 1918 maakt Van der


FIGUUR 1

een romance (De Bezige Bij, 2002), vond ik een aantaluitspraken over abstractie in de kunst. Ik citeer zehieronder en vraag de lezer voor zich zelf na te gaanof de uitspraken zinvol blijven wanneer we ‘kunst’ e.d.vervangen door ‘wiskunde’.

(pag. 158) Voor kunstenaars als Malewitsj enMondriaan was het vinden van de geometrischeabstractie een dramatisch moment van nieuwe ervaringgeweest…(pag. 163) Met het ontstaan van de abstracte kunstveranderde de manier waarop over kunst gedacht engeschreven werd.(pag. 247) Voor [Ad] Dekkers is de noodzaak van zo’ngrammatica evident: het is de enige manier om hetkunst-maken niet vrijblijvend te laten zijn. Bovendien,omdat de grammaticale regels niet zijn ontleend aan‘de natuur’, maar aan een aantal concrete gegevensbinnen het medium (het vlak zijn van een schilderij,het hoeken hebben van een rechthoek) kan men ookspreken van een absolute abstractheid.(pag. 414) Het was duidelijk dat de ‘uitvinding’ van deabstracte kunst, en met name de radicale geometrischeversie ervan, de grote ontdekking van de twintigsteeeuw is en dat zij het karakter en de praktijk van demoderne kunst onomkeerbaar heeft beinvloed.(pag. 532) Het probleem met abstracte kunst is –meteen korreltje zout– dat zij abstract is. Hoe moet derelatie inzake de compositie tussen twee rechthoeken,waarvan de een geel en de ander blauw, in eenvolstrekt abstract schilderij worden gelieerd aan eenwereld vol leven, lijden, dromen, concepten, …,verhalen en sprookjes, aan een wereld waarin nietsvergeten wordt of mag vergeten worden?

TheorieOnder het bijvoeglijk naamwoord abstract blijkenverschillende betekenislagen te liggen.Een eerste is: het maken van een model, een afbeeldingvan een element uit de waargenomen werkelijkheid,ontdaan van een aantal facetten. Simpel gezegd: ‘menziet af van’.

Leck tenminste tien composities, die hij‘mathematische beelden’ noemt. In dezelfde periodezien we op veel plaatsen in de wereld de abstractekunst ontstaan en opbloeien.

Tweede helft van de 19de eeuw; wiskundeDe meetkunde wordt abstracter, beter gezegd: verlaatde opdracht een mathematisch model van dewaargenomen werkelijkheid te geven. Eerstvoorzichtig, met projectieve meetkunde over decomplexe getallen. Maar dan ook met projectieve enaffiene meetkundes over willekeurige lichamen zoalseindige lichamen en p-adische lichamen. (Even een tussenopmerking. Mijn spellingscontroleaanvaardt het meervoud “meetkundes” niet, volgenshem/haar is er dus maar één meetkunde. Zou“algebra’s” aanvaard worden? Tot mijn verbazing wel.Dan eens proberen “meetkunden”, dat mag weer niet.)De meetkunde is op de muziek gaan lijken; er wordtniet meer gezocht naar het adagium: ‘Het is net echt.’Met de algebra is het anders, het baanbrekendeleerboek van Van der Waerden heet Moderne Algebraen niet Abstracte Algebra. En het meervoud ‘algebra’s’heeft een heel andere betekenis dan het meervoud‘meetkundes’. Is er maar één algebra? Of moeten weonderscheid maken in commutatieve en niet-commutatieve algebra enzovoorts? Hoewel dus deovergang naar grotere abstractie in de algebra niet zoduidelijk is als in de meetkunde, is zeker dat dewiskunde als totaliteit wel veel abstracter geworden is.

Multi-interpretabiliteitVergelijking van de optel-structuur met devermenigvuldig-structuur van de rationale of van dereële getallen laat overeenkomsten zien: tegengesteldeen inverse, het getal 0 en het getal 1. Het abstractebegrip groep vat deze zaken samen. En dit verschijnselvinden we ook in andere onderwerpen uit dehedendaagse wiskunde terug. Een viertal getallen kaneen punt in de projectieve ruimte voorstellen, maarevengoed een vlak.In Finnegan’s Wake van James Joyce staat in een zin:‘the wedding of neid and mourning’. De tweelettercombinaties ‘neid’ en ‘mourning’ krijgen in decontext twee verschillende betekenissen. Bij Joyce is‘neid’ het Duitse woord voor afgunst, en ‘mourning’het Engelse woord voor rouw. Enerzijds nacht enochtend, anderzijds afgunst en rouw.Van een hedendaags schilder loopt het verhaal datiemand staande voor een abstract schilderij van hemtegen hem zei: ‘Dit is toch een dravend paard?’,waarop de schilder het bevestigde. Maar een ogenbliklater zei een andere beschouwer: ‘Dit stelt toch eenboom in de orkaan voor?’, hetgeen de schilderopnieuw bevestigde - want hij was een beleefd man. Multi-interpretabiliteit vinden we vaak hand in handgaan met abstractie.

OpgavenIn een recent boek van Rudi Fuchs (directeur van hetStedelijk Museum Amsterdam), Tussen kunstenaars,


FIGUUR 2

Een tweede is: men bouwt iets op vanuit een bepaaldegedachte of structuur. Voorbeelden zijn muzikalecomposities, ornamenten (bij voorbeeld de islamitischeornamenten), geometrische beeldhouwwerken,abstracte groepen, meerdimensionale meetkundes,enzovoorts.En de resultaten van deze abstractie blijken in eenaantal gevallen dezelfde eigenschappen te hebben,onafhankelijk van de ontstaanswijze als ‘weglaten’ ofdoor ‘constructie’.

Vragen en vermoedensWe zagen in een periode van enkele tientallen jaren deabstracte schilderkunst en de abstracte wiskundeopkomen. Is het de tijdgeest of is het een toevalligecoïncidentie? Wat weten wiskundigen van eigentijdsekunst, wat weten kunstenaars van eigentijdsewiskunde?Over de kennis van wiskundigen van eigentijdse kunstweet ik niet veel te melden. Ik krijg de indruk dat deverdere abstractie in de wiskunde meer geleidelijkgekomen is vergeleken met de abstracte stromingen inde kunst. Ook was in de wiskunde de nieuwe abstractieeerder dan in de kunst aanwezig.Over het tweede is wel wat meer te zeggen.Van de hand van Linda Dalrymple Hendersonverscheen het 450 pagina’s tellend boek The FourthDimension and Non-Euclidean Geometry in ModernArt (Princeton University Press, 1983). Zij behandelt derol van de abstracte meetkunde, in het bijzonder devier-dimensionale meetkunde in onder andere deAmerikaanse schilderkunst aan het einde van de 19deeeuw. Populaire boeken, men denke bij voorbeeld aanFlatland, inspireerden de kunstenaars. In kringen vanEuropese kunstenaars speelden ook populairegeschriften van H. Poincaré over de theorie van deruimte en meerdimensionale meetkunde eenbelangrijke rol. In het tijdschrift De Stijl is discussie tevinden over het verschil van de vierde dimensie alsmeetkundige dimensie (denk aan Flatland) en de vierdedimensie als de tijd in de relativiteitstheorie. Dekunstenaar Severini maakt zijn medekunstbroeders dan

attent op het feit dat daar een imaginaire grootheidmede optreedt; hebben zij de wiskunde en natuurkundewel goed begrepen? Schetsen van Van Doesburg gevenklassieke projecties van vier-dimensionale kubussenweer.Ook de Russische kunst wordt door Linda DalrympleHenderson uitvoerig behandeld. Zo lezen we dat indecember 1915 bij een expositie van de schilderMalevich van 39 van zijn schilderijen er vijfvoorkomen met titels die verwijzen naar de vierdedimensie. De vraag doet zich echter voor of de vierde dimensiedoor de kunstenaars gezien wordt in het licht van deabstractie van een bovennatuurlijke werkelijkheid ofals wiskundig spel op zoek naar structuren.

Het laatste woordSamenvattend wilde ik spreken over een tweedeabstractie in de wiskunde. De eerste zie ik bij Euclides,de tweede in de tweede helft van de 19de eeuw. En in debeeldende kunst zie ik omstreeks die zelfde tijd de termen de discussie over abstracte schilderkunst opkomen. Is er een oorzakelijk gevolg, is het wat C.G. JungSynchroniteit noemt of is het gewoon toeval?Was het in de beeldende kunst een revolutie of eentijdelijke mode?In de wiskunde maakte het een tweedeling duidelijk.Enerzijds gaat het om wiskunde om de wiskunde. HugoBrandt Corstius verdedigde onlangs overheidssubsidiesvoor de wiskunde, analoog aan subsidies voorbijvoorbeeld musea en orkesten. Aan de andere kant isde wiskunde een wezenlijk hulpmiddel bij natuurkundeen vele andere disciplines.Als bon mot is wel eens het volgende geponeerd: eennatuurwetenschapper, een econoom, een socioloog kannet zoveel wiskunde gebruiken als zij of hij kent. Doorde abstractie zijn bepaalde delen van de wiskundesoms voor vele problemen te gebruiken. Het abstractekarakter van een model maakt dit mogelijk. Dit is somseen argument in de discussie hoe veel wiskunde enwelke wiskunde als hulpvak voor andere disciplinesaan geboden wordt. Dit speelt een rol bij wiskunde-programma’s voor de verschillende profielen in hetvoortgezet onderwijs en zeker ook bij bijvak-programma’s in tertiaire opleidingen.En nu zijn we bij het wiskundeonderwijs aan gekomen.Ziet het wiskundeonderwijs voor iedere leerling kanseen evenwichtig programma aan te bieden dat beidefacetten van de wiskunde omvat?De discussie is in volle gang!

Over de auteur

F. van der Blij (e-mailadres: [email protected]) was vanaf 1946

enige jaren leraar wiskunde in het voortgezet onderwijs. Daarna was

hij als hoogleraar verbonden aan de Rijksuniversiteit Utrecht in welke

functie hij ook betrokken was bij verschillende voorlopers van het

huidige Freudenthal Instituut.

Hij was lid van de gemeentelijke adviescommissie van het Centraal

Museum in Utrecht en voorzitter van de stichting Ars et Mathesis, en

schreef een enkel artikel over de relatie tussen kunst en wiskunde.


FIGUUR 3 K.S. Malevich, Suprematism. Painter-likeRealism of a Football-Player, Color Masses of theFourth Dimension. 1915.


Op de Nationale Wiskunde Dagen 2003 hoorde ikMarjolein Kool vertellen over haar gedichten. Ik dachtdirect: ‘Dat is leuk, daar kan ik misschien in de klasiets mee doen.’ Na aankoop van haar boekje kreeg ikdaar steeds meer zin in. Als bij mij zo’n idee bovenkomt, wil ik er graag meteen iets mee doen, met alsdoel de wiskundelessen leuk en afwisselend te houden.Ik heb toen een opdracht in elkaar gezet voor eenwiskundeles in de eerste klas vmbo. Die opdracht hebik de leerlingen gegeven na het voordragen van enkelegedichten uit het boekje van Marjolein Kool. (Ik had erwèl een paar gedichten uitgehaald die voor deeersteklassers te begrijpen zijn.)De opdracht was om nu zelf een gedicht te maken metbetrekking tot wiskunde. Dit zo breed mogelijk; hetmocht zelfs gaan over het wiskundelokaal of dewiskundedocent. Het moment in het jaar, februari, wasnatuurlijk wel handig, want er waren in de klas toen alverschillende onderwerpen van de wiskundebehandeld. Er mocht ook in groepjes gewerkt wordenen ik had gevraagd om ook aan de presentatie tedenken.Na drie weken kreeg ik de gedichtjes van de leerlingen.Sommige leerlingen wilden de gedichtjes zelfvoordragen in de les, anderen vroegen mij dit te doen.Zo zijn de gedichten allemaal voorgedragen. Deleerlingen vonden het leuk om te doen en maakten erware plaatjes van, posters, met wiskundige tekens enmodellen.Nu hangen er diverse posters in mijn lokaal, en degedichten worden daardoor ook door andere leerlingengelezen. Die vinden dat vaak erg leuk.Misschien leverde deze opdracht niet zozeer quawiskunde direct wat op, maar wel aan enthousiasmeom ‘iets’ met wiskunde te doen. En een indirect gevolg:als het plezier erin zit om dit te doen, is de sfeer ookgoed om lastige wiskundeproblemen aan te pakken.

WISKUNDEGEDICHTJES VANEERSTEKLASSERS[ Irene Dalm en leerlingen uit klas 1-vmbo ]

Figuren [ Sarina Hagenstein ]

’t Leven is voor mij niet fijnom driehoekig te zijn.Ik ben de beste van de klas,maar ik wou dat ik een vierkant was.

Och, vierkant is ook niet goed,ik vind dat ik nog groeien moet.Wat langer en niet zo breed,dat is een rechthoek zoals je weet.

Ik ben een rechthoek en heel braaf, maar vind het toch niet gaaf.Een ruit als een drop of als een spekdat klinkt voor mij maar al te gek.

’t Lijkt wel allemaal heel fijn,maar ik wil een vlieger zijn.Lekker vliegeren en dan op reis,maakt me helemaal van de wijs.

Ik val meestal met een zucht,uit de grote wijde lucht.Met al die hoeken, ’t is niet fijn.Laat me nu maar een cirkel zijn.

Ik ben een cirkel,ik ben de maan, de zon.Ik ben zoals een ton.Ik ben best tevreeen ben er reuzeblij mee.

De kegels [ Martine Schenk en Sanne van der Graaf ]

De balk die tot de kubus zei:ik ben hetzelfde als jij.Toen kwamen zij in strijden raakte de kubus al zijn ribben kwijt.

Toen werd de kubus een bolen pompte zich vol.Toen knalde de bolen werd een kegel.

De balk werd jaloersen koos een andere koers.Toen kwamen zij weer in strijd.en raakte de balk elf ribben kwijt.

De kegel die tot de kegel zei:Nu ben ik weer hetzelfde als jij.En toen waren ze allebei blij.

Wiskunde [ Josha Wagenmakers ]

Er is een vak wat ik eigenlijk liever mis,dat is het kunnen en de kennis over het ‘Wis’.Hier een kubus, daar een kwadraat,snap soms niet waar het over gaat.Vermenigvuldigen, inhoudsmaten en ga zo maar door,ik vind het allemaal erg ingewikkeld hoor!

Toch wil ik het begrijpen en er tegenaan,je zou er wat aan kunnen hebben, later voor je baan.Je moet weten hoe het zit; de formules kan je leren,maar er zijn andere vakken die mij meer interesseren:Biologie, gym, muziek en Nederlandse taal,daar ben ik ook veel beter in allemaal.

Geef mij maar wereldnatuurfonds, korfbal, gitaar ofeen mooi gedicht.Dan doe ik meer mijn best en dan doe ik meer mijnplicht.Laat de leraar dit maar niet horen,maar ik ben nu eenmaal niet met die‘wiskundeknobbel’ geboren.

Wiskundegedicht [ Iris van der Wal ]

Ik zie zoals ik het zie,een kubus, een cilinder en een bol.Je komt het overal tegenbij huizen en bij stratenbij bruggen en bij wegen.Hoe je het wendt of keert,je hebt het allemaal bij wiskunde geleerd.

Over de wiskundedocent van deze leerlingen

Irene Dalm (e-mailadres: [email protected]) is lerares wiskunde

aan het Wellantcollege vmbo Stek te Dordrecht.


DE KROMME LIJNEN VANALBRECHT DÜRERBehalve een begenadigd kunstenaar was de schilder Albrecht Dürereen gedreven leermeester. Dat blijkt in het bijzonder uit driestudieboeken die hij aan het eind van zijn leven liet verschijnen.Eén daarvan, ‘Underweysung der Messung’, bevat interessantemeetkunde…[ Martin Kindt ]

Dürer en Euclides‘Er bestaat een boek van Albrecht Dürer, weliswaar inhet Duits geschreven, maar van een bewonderens-waardige eruditie.’ Deze uitspraak, afkomstig vanErasmus, werd gedaan in het jaar 1528. Het boek waarhij op doelde - Underweysung der Messung … - waseen meetkundig handboek in de eerste plaats bestemdvoor beeldende kunstenaars (figuur 1) toont devolledige titel). Dürer was een taalpurist en zocht naarspecifiek Duitse termen, vandaar het woord ‘Messung’(er had misschien beter ‘Messkunst’ kunnen staan) inplaats van ‘Geometrie’.Dürers boek is een beetje te vergelijken met eenkunstexpositie verspreid over vier zalen van eenmuseum, elk met een eigen thema, waarbij de samen-steller niet alleen heeft verzameld en geordend, maarop sommige plaatsen ook origineel werk heeftgeleverd. De compilator stierf in het jaar waarinErasmus zijn lovende woorden schreef op 57-jarigeleeftijd. Hij was de zoon van een Hongaarse goudsmiddie zich in Neurenberg gevestigd had, de stad waar debefaamde wiskundige Regiomontanus in 1476overleed. In deze stad van wetenschap en cultuurontplooide de veelbelovende jongeling niet alleen zijntalent als etser en schilder, maar verzamelde hij ookkennis over wiskunde, in het bijzonder over demeetkunde. Zeer stimulerend voor zijn ontwikkelingwaren zijn reizen naar Italië, waar hij werd ingewijd inde geheimen van het perspectief. Volgens sommigehistorici zou hij in Bologna de wiskundige Luca Paciolihebben ontmoet, zeker is dat niet. Wel moet hijtoegang hebben gehad tot diens werk Somma diArimetica, Geometria, Proportioni e Proportionalita.Op een van zijn Italiaanse reizen (1507) wist hij voorhet bedrag van één dukaat een exemplaar van deElementen van Euclides te bemachtigen. Het betrof de

Latijnse vertaling van Zamberti. Behalve dit werk ennatuurlijk dat van Pacioli, heeft een boekje van eenanoniem schrijver met als titel Geometria deutschgediend als belangrijke bron voor Dürers meetkundigewerk.De grote bewondering die Dürer voor Euclides’ oeuvrekoesterde blijkt uit de aanhef op de eerste bladzijdevan het boek, die vrij vertaald luidt:De allerscherpzinnigste Euclides heeft de fundamentenvan de meetkunde bijeengebracht. Zij die hem goedbegrijpen, kunnen wat hier volgt laten voor wat het is,want dit is geschreven voor jongeren en voor hen diegeen goed onderwijs hebben genoten.Het lijkt er dan even op of Dürer als een ware adept deElementen wil vertolken in het Duits, zij het dat hij eenmeer bloemrijke taal hanteert dan Euclides. Zo zegt hijover het begrip ‘punt’ onder meer: een punt is iets datgeen grootte, lengte, breedte of dikte heeft, en toch hetbegin is en het eind van alle lichamelijke objecten diemen kan maken of die men zich kan indenken.Vervolgens definieert hij de dimensies 1, 2 en 3 inEuclidische stijl:a. een lijn is dat wat wel lengte, maar geen breedte ofdikte heeft;b. een oppervlak is dat wat lengte en breedte, maargeen dikte heeft;c. een lichaam is dat wat zowel lengte, breedte alsdikte heeft.De bijbehorende illustraties 2a, 2b en 2c lateneigenlijk al zien dat hij een geheel andere koers inslaatdan Euclides.Op figuur 2a kom ik nog terug. Figuur 2b laat eenvierkant, cirkel, bolvlak, cilindervlak en een gebobbeldvlak zien. Opmerkelijk zijn Dürers dynamischebeschrijvingen van kubus en bol (figuur 2c). De kubusontstaat door het vierkant abba omhoog te schuiven


FIGUUR 1 FIGUUR 2a, 2b, 2c

een figuur van het derde type (in eerste instantievoorgesteld door een S) zegt Dürer:[…] die met de hand kan worden getrokken, of puntvoor punt, waarbij de vorm kan variëren. Voor deze lijnweet ik geen beter woord dan slangenlijn omdat zijgetrokken kan worden in de richting die men wil.De eerste voorbeelden van kromme lijnen zijn danvlakke spiralen, zoals die gebruikt worden bij deversiering van zuilen. De allereenvoudigste spiraal issamengesteld uit halve cirkels, waarbij het middelpuntheen en weer schuift; zie figuur 3a. Hoewel dezecirkelspiraal er glad uitziet, wringt er toch iets: dekromtestraal verandert discontinu bij elke overgang opeen nieuwe halve cirkel. Of Dürer zich daarvan bewustwas, is zeer de vraag. Wél haast hij zich om anderespiralen te exposeren, die niet lijden aan dit euvel.De meest bekende is de spiraal van Archimedes. Omdie te tekenen, verdeelt Dürer de cirkel in twaalf gelijkebogen en laat hij een 24-delig lijnstuk draaien om hetmiddelpunt van de cirkel (figuur 3b). Het isaannemelijk dat Dürer de kinematische definitie vanArchimedes kende, waarin sprake is van de baan vaneen punt dat zich eenparig beweegt langs een halverechte (straal), terwijl diezelfde straal simultaan meteen constante hoeksnelheid om zijn beginpunt draait.Hoewel de tekening bijna voor zichzelf spreekt,beschrijft Dürer omstandig hoe de puntsgewijzeconstructie dient te worden uitgevoerd.Zo gaat hij in op de correspondentie tussen 13 en 1, 14en 2, enzovoorts, en merkt als een echte schoolmeesterop: als men zich houdt aan de nummering kan menzich niet vergissen. Ik merk hier op dat spiralen naarmijn smaak ten onrechte verwaarloosd worden in hetmeetkundeonderwijs. Het is een aardige oefening voorjonge leerlingen om een cirkelspiraal of eenArchimedische spiraal op de wijze van Dürer te

over een afstand gelijk aan de breedte van hetvierkant; de bol wordt voortgebracht door een cirkeldie om een middellijn draait.Boek 1 richt zich dan verder op één-dimensionalezaken, kromme lijnen zeg maar. De afstand tussenDürer en Euclides neemt daarbij per bladzijde toe. Veelvan de figuren die in Dürers belangstelling staankomen bij Euclides niet voor en de stijl vanbehandelen is geheel anders. Er wordt geconstrueerdmet een veel vrijer gebruik van passer en liniaal dan inde Elementen is toegestaan. De constructies worden alsrecepten beschreven, bewijzen van de juistheid ervanontbreken.Boek 2 handelt over vlakke figuren, voornamelijkregelmatige veelhoeken en tegelpatronen.Boek 3 is meer op architectuur dan op meetkundegericht (hier lijkt Vitruvius de inspirator) en bevatontwerptekeningen van zuilen en monumenten.Boek 4 ten slotte bevat onderwerpen uit de ruimte-meetkunde, onder andere de uitslagen van de vijfregelmatige en van een aantal halfregelmatigeveelvlakken. Het eindigt met uitvoerige beschouwingenover het tekenen in perspectief en het construeren vanschaduwen.De opmaak van de bladzijden, met fraaie houtgesnedentekeningen en in Gothisch schrift, is van de meesterzelf.

Spiralen en wat dies meer zijDürer onderscheidt (zie figuur 2a) drie typen vanééndimensionale figuren:- de rechte lijn,- de cirkel,- de slangenlijn.Voor de eerste twee typen bestaan tekeninstrumenten(liniaal en passer), maar over de totstandkoming van


FIGUUR 3a, 3b FIGUUR 3c, 3d

tekenen. Als ze wat ouder zijn en over een grafischerekenmachine beschikken, is het een uitdagende op-gave om de Archimedische spiraal op het scherm tetoveren. Dat lukt bijvoorbeeld via de formulesX�T cos (T ) en Y�T sin (T )Een andere uitdaging is het om die spiraal alsmeetkundige plaats met Cabri te maken (dit lukt omdatde lengte van een lijnstuk op een cirkel kan wordenafgepast).Door de draaiende liniaal een niet-lineaireschaalverdeling te geven, construeert Dürer anderespiraalvormen. In Archimedische stijl gezegd, komt heterop neer dat de hoeksnelheid van de draaiende lijnconstant blijft, maar dat de snelheid van hetbewegende punt (wetmatig) variabel is. Een analytischmodel van zo’n beweging is:

� x� r (t) � sin ty� r (t ) �cos t

Dürer dacht aanschouwelijk meetkundig en verkreegalternatieve schaalverdelingen via projectie (centraalof parallel) van een regelmatige schaalverdeling op eencirkel (gradenboog) op een rechte lijn, zoalsbijvoorbeeld op een geo-driehoek.Een mooi voorbeeld daarvan geeft figuur 3c. De daargetekende kromme blijkt te passen bij r (t)� sin

12

t.Wij kunnen nu zeggen dat Dürer zich in zijn figuurbeperkt heeft tot het interval 0� t��. Een fraaierresultaat ontstaat als we t van 0 tot 4� had laten lopen(zie figuur 3d). Die laatste kromme wordt nu wel eenshet folium van Dürer genoemd.Een meer bekende kromme (figuur 4), waarvan Dürerals de eerste ontwerper moet worden beschouwd, is dekromme die thans bekend staat onder de naam limaçonvan Pascal (genoemd naar de vader van).Dürer noemt het ‘spinlijn’ omdat de gebrokenlijnstukken in de figuur doen denken aan de poten van

een spin. Ook hier is de figuur helder. Het punt bmaakt kennelijk een cirkelbeweging om het punt a enhet punt c cirkelt om b met dezelfde hoeksnelheid,waardoor in elke stand de draaihoek van bc tenopzichte van de verticale as het dubbele is van dedraaihoek die ab met die as maakt.In Dürers tekening lijkt het erop of de lengten van aben bc zich verhouden als 3 en 2 zodat een passendeanalytische voorstelling zou kunnen zijn:

� x�3sin t�2sin2ty�3cos t�2cos2t

Deze figuur van Dürer zou, bij voorkeur zondernoemenswaardige toelichting, startpunt kunnen zijnvan een onderzoeksopdracht in het studiehuis. Devraag zou dan bijvoorbeeld zijn om de krommegetrouw na te maken met grafische rekenmachine ofCabri en vervolgens te onderzoeken hoe de vorm vande kromme verandert bij een gewijzigde verhoudingvan de lengten van ab en bc.

De eerste sinusoïdeDürer beperkt zich niet tot vlakke krommen. Eenelementaire ruimtekromme is de helix, onder anderebekend van het Crick-Watsonmodel voor DNA. Dürergebruikt de term schroeflijn en heeft daarbij aan deconstructie van een wenteltrap gedacht (figuur 5a).Zijn manier van voorstellen (figuur 5b) dwingt in alzijn eenvoud bewondering af. Dürer blijkt, zoals ookbekend uit ander werk, zeer bedreven in hetcombineren van projectiefiguren, een vaardigheid diehij vermoedelijk leerde van de Italiaanse meesters inhet perspectief en die pas zo’n 275 jaar later doortoedoen van Gaspard Monge uitmondde in de‘beschrijvende meetkunde’. De procedure is hier simpel.De stralen van de cirkel (traptreden) worden stuk voorstuk op de juiste hoogte gebracht en geprojecteerd op


FIGUUR 4 FIGUUR 5a, 5b

een zuiver stereometrisch bewijs voor de tweevoudigesymmetrie voorhanden was. Toch blijft de vergissingvreemd, want op een andere plaats in het boek tekentDürer een perfecte ellips, maar dan als opgerekte cirkel(figuur 7). Met zijn schildersoog zal hij toch opgemerkthebben dat een cirkel in perspectief, dus de doorsnedevan een scheve kegel met een vlak, als twee druppelswater op zo’n opgerekte cirkel lijkt en geen eivormheeft. Het blijft een raadsel.Dürer past de constructie via boven- en vooraanzichtook toe om de parabool en (één tak van) de hyperboolte laten ontstaan. Bij de parabool vermeldt hij debekende terugkaatsings-eigenschap. Figuur 8 verklaartwaarom bij spiegeling in een vlak de hoeken van in-en uitval gelijk zijn. Met behulp van de raaklijn-eigenschap van de parabool kan dan worden aange-toond dat invallende stralen die parallel zijn met desymmetrie-as na terugkaatsing convergeren in hetbrandpunt. Daarover zegt Dürer slechts: […] en wat deoorzaak daarvan is, dat hebben de wiskundigenaangetoond en wie dit wil, kan het nalezen.

Nuttig voor architectenAls laatste Dürerse kromme in dit artikel eentjewaarvan hij zegt dat die nuttig is voor architecten.De (recursieve) constructie is niet direct uit figuur 9 afte lezen. Er is uitgegaan van twee onderling loodrechtelijnstukken cd en ab, respectievelijk van 10 en20 eenheden. Vanuit de deelpunten 1 tot en met 19 opde verticale lijn zijn, ten opzichte van elkaar een kleinbeetje gedraaid, lijnstukken van 5 eenheden getekend.Dürer begint met deelpunt 1 en laat het eerste lijnstukop de afstand

43

van punt d eindigen (hij zegt dat ditpunt op de cirkel met middelpunt d en straal

43

moetliggen). Dit eindpunt wordt punt 1 van de kromme. Hetlijnstuk vanuit punt 2 van ab eindigt dan op afstand

43

een verticaal vlak. Daarbij maakt Dürer als steeds ge-bruik van een handige nummering. Zo ontstaat eenechte sinusoïde, die volgens vele historici in eerdereliteratuur nimmer was aangetroffen.Is het geen aardige gedachte om de introductie van desinuslijn op school via de wenteltrap te laten verlopen?Als in plaats van linksom- een rechtsomdraaiende trapgenomen wordt, hoeft alleen de bladzij nog negentiggraden gedraaid te worden om de tekening te zienzoals die meestal in de schoolboekjes figureert. Hetverband met de sinus van de hoek (de verkortings-verhouding bij projectie van een traptrede) isgemakkelijk gelegd.

KegelsnedenAndere fraaie voorbeelden van Dürers beschrijvendemeetkunde avant la lettre geven zijn tekeningen vande drie typen kegelsneden.Hij schrijft over deze krommen dat de ‘Ouden’ (bedoeldzijn de Griekse wiskundigen) ons hebben getoond dater drie vormen van doorsneden zijn in een kegel (alsmen de vlakken door de top buiten beschouwing laat).Natuurlijk bedenkt hij Duitse namen voor elk van dezedrie krommen: ellips wordt Eierlinie, parabool wordtBrennlinie en hyperbool wordt Gabellinie. Wat deellips betreft, Dürers wens om zijn naamgeving vantoepassing te laten zijn was blijkbaar zo sterk dat hijdoor onnauwkeurige uitvoering van een in principecorrecte constructie werkelijk een soort ei krijgt(figuur 6). Zou Dürer gedacht hebben dat het spitstoelopen van de kegel verantwoordelijk is voor de ei-vorm? Toegegeven, het is intuïtief allerminst duidelijkdat de kegelsnede hier twee symmetrie-assen moethebben. Apollonius wist dat al wel, maar daar kwameen soort pre-algebraïsche redenering aan te pas. Wehebben tot 1822 (Dandelin) moeten wachten voordat er


FIGUUR 6, 7 FIGUUR 8

van punt 1 van de kromme; dit eindpunt is punt 2 vande kromme. Enzovoort.In een plaatje (figuur 10) uit zijn Dresdense Schetsboekblijkt wat hij als toepassing voor ogen had: de vormvan koepel op een toren.Analytisch gezien is deze kromme een stuk mindergemakkelijk te beschrijven dan de eerder behandeldevoorbeelden. De typisch discrete aanpak die Dürersteeds hanteert zou hier vertaald kunnen worden naareen continu proces. Laat het punt T de verticale lijn badoorlopen en stel de hoogte op zeker moment gelijkaan t. Laat TS het bewegende lijnstuk met lengte 5zijn. Een kleine verandering t van de hoogte van Tcorrespondeert met een beweging van S over dekromme en wel over een boogje s gelijk aan

43

� t.Voor de booglengte s van de kromme, gemeten vanuithet startpunt d, geldt dan: s�

43

t.Geven we T en S respectievelijk de coördinaten (0, t)en (x, y) dan geldt enerzijds: x2 � (y� t)2 �25

en anderzijds: �t

0��2��2d� �

43

t

en wie daar een parametervoorstelling of x,y-vergelijking uit distilleert mag zijn vinger opsteken.

MeetkunstHet is hier al een paar keer opgemerkt: de meetkundevan Dürer ademt een totaal andere sfeer dan de klassiekemeetkunde. Dat geldt zowel voor de keuze van deonderwerpen als voor de behandelingswijze. Men zoukunnen zeggen dat Dürer geen wiskundige pur sang was.Aan verificatie door rekenen, redeneren of bewijzen deedhij niet. Dat blijkt vooral in het deel over regelmatigeveelhoeken, waarin eenvoudige hoekbeschouwingenc.q. berekeningen hem onmiddellijk voor een aantalopzichtige fouten zouden hebben behoed.

dyd�

dxd�

Dürers meetkunde is duidelijk een ‘artistiekemeetkunde’, gericht op het vervaardigen van mooiegeometrische vormen en niet op het uitpluizen vanintrigerende eigenschappen; ambachtelijk, maar nietwetenschappelijk.Ondanks (of misschien wel juist dankzij) dezekenmerken, durf ik te beweren dat de Underweysungder Messung een vruchtbare bron zou kunnen zijn bijhet ontwerpen van een interessante meetkundecursus.De rijkdom aan onderwerpen (in dit artikel is slechtseen klein deel getoond) is zo groot dat er geen vreesvoor eenzijdigheid hoeft te bestaan. Ongetwijfeld zalhet esthetisch element veel leerlingen aanspreken. Deconstructies met passer en liniaal op papier kunnenuitstekend worden aangevuld met het gebruik vanCabri. En als die leerlingen naar aanleiding van Dürersvoorbeelden en figuren zouden worden uitgedaagd totexploreren en redeneren, dan zou die cursus in mijnogen zelfs ideaal kunnen worden. Daar droom ik weleens van.

Over de auteur

Martin Kindt (e-mailadres: [email protected]) werd na 15 jaar

leraarschap medewerker van het IOWO (de voorloper van het

Freudenthal Instituut). Als leerplanontwikkelaar was hij nauw

betrokken bij de experimenten ter invoering van wiskunde A en B op

vwo en havo in de jaren ‘80 en bij het meer recente Profi-project.

Daarnaast doceerde hij projectieve meetkunde voor de eerstegraads

lerarenopleiding van de Hogeschool van Utrecht.


FIGUUR 9 FIGUUR 10

(1917-2003) en Donald Coxeter (1907-2003). Vooralvan Prigogine speet me dat zeer, omdat ik hem graageens had horen spreken over de asymmetrie van de tijdin natuurwetenschappelijk opzicht en de relevantiedaarvan voor de geesteswetenschappen. Coxeter was inde geest zeer nadrukkelijk aanwezig. Aan hem werdeen herdenkingsbijeenkomst gewijd, waarop ook zijnbiografe Siobhan Roberts aan het woord kwam. Ik wasverbijsterd door haar mededeling dat Coxeters hersensmomenteel op de Universiteit van Hamilton onderzochtworden, op voorstel van zijn dochter nog wel. Volgensde eerste berichten zou zijn parietal lobe groter zijndan het gemiddelde, en bovendien – de congresgangerswierpen elkaar veelbetekenende blikken toe – eengrotere mate van symmetrie vertonen. En passantvertelde ze dat Coxeter al vóór z’n vijftiende enkelecomposities, waaronder zelfs opera’s, zou hebbenvoltooid; we hebben afgesproken dat ze me diebinnenkort toestuurt, want ik ben wel benieuwd hoehoog we die mededeling nu precies in moeten schatten.

Via Coxeter kwamen verschillende sprekers op Escherterecht, en op de contacten tussen beiden, die tot decreatie van Eschers Cirkellimieten leidden; huninteractie fungeerde op deze bijeenkomst als ‘rolmodel’voor de vruchtbare samenwerking tussen kunst enwetenschap. De vaderlandse trots werd wel gestreelddoor de rol die de Nederlandse graficus dertig jaar nazijn dood nog steeds op zo’n symposium speelt. Hier

InleidingWat voor deelnemers kun je verwachten op eenwetenschappelijk symposium over symmetrie, waarbijook nog een serie tentoonstellingen georganiseerd wordt?Dat het Symmetry Festival 2003 (Boedapest, 16 tot22 augustus) een interdisciplinair geheel zou wordensprak wel voor zich, en dat interdisciplinariteit meerbetekent dan de optelsom van verschillende disciplineseveneens. Het waren vooral degenen die zich alhadden aangewend in de tussenruimten tussen dedisciplines te zoeken, die hier aan het woord kwamen –of dat nu mathematici waren, atoomonderzoekers,biochemici, ruimtevaartdeskundigen, filosofen ofkunstenaars. In verschillende gradaties van speelsheiden gedegen onderzoek werd hier een symmetrischewoonplaats ontworpen (SymmetriCity), een digitalemodelijn gelanceerd (Softwear) en werden ruitendertig-vlakken ruimtevullend gemaakt door er op de juisteplaatsen een deuk in te slaan, terwijl ze elders weervan pas kwamen als ideale basis voor een ruimte-station.Geen betere plaats om dat te doen dan in de stad vanVon Neumann, Wigner en Rubik – al werd die laatstenaam alleen nog in de wandelgangen genoemd.

In het spoor van EscherTwee beoogde sprekers konden niet meer verschijnen,omdat hun aards bestaan in de maanden voor hetsymposium tot een einde was gekomen: Ilya Prigogine


ARS (DIS)SYMMETRICAVerslag van een congres[ Albert van der Schoot ]

moet in de eerste plaats de Escher-specialist DorisSchattschneider worden genoemd, die een boeiendbetoog hield over de relaties tussen globale en localesymmetrie: als elke tegel in een tegelpatroon op dezelfdemanier door andere tegels omringd is, is daarmee danook de symmetrie van dat patroon als geheel gegeven?Schattschneider liet zien dat het voorkomen van de enevorm van symmetrie op zich weinig zegt over de anderevorm. De kunst is natuurlijk erachter te komen onderwelke voorwaarden die andere vorm dan wel door deene geïmpliceerd wordt, en dat bleek nog een goeddeelsbraakliggend onderzoeksterrein te zijn.[1] In dezelfdegeest vergeleek Ivar Olovsson de symmetrie die inmoleculen kan bestaan, maar die niet meer aan tewijzen is in de kristallen die door die moleculengevormd worden. Ook hij illustreerde zijn lezing, over a-periodieke vlakvullingen en quasikristallen, rijkelijkmet werk van Escher.

De verhouding tussen globale en locale eigenschappenkeerde ook terug bij andere presentaties waarin dekunst tegelijkertijd een zelfstandige esthetische functievervulde alsook een dienende functie om weten-schappelijk onderzoek inzichtelijk te maken. CherylAkner-Koler, beeldhouwster en docente industrieelontwerpen uit Stockholm, vertelde over haar samen-werking met de fysicus Lars Bergström, die onderzoekdoet naar de snaartheorie. Om de onvoorstelbarewereld van tien dimensies toch perceptueel tepresenteren gebruikte zij als opstapje de paradox vande Möbiusband. (Is de buitenkant een andere kant dande binnenkant? Locaal wel, globaal niet.) Van haarhand waren er prachtige transparanten (op doek) tezien, zoals de hierbij afgebeelde, die zij aanduidt alsVirtual point cloud of organic Möbius strip (figuur 1).Ook toonde ze haar artistieke verwerkingen vanCalabi-Yau-veelvlakken, die net als de transparanteneerder op de tentoonstelling Oneindigheid inStockholm waren geëxposeerd.[2] Als voortzetting vande slag in de Möbiusband zien we in figuur 2 deverstrengeling van de hypervlakken uit hettheoretische model van Calabi en Yau gevisualiseerd.Natuurlijk, het is een driedimensionaal ‘ding’, en deafbeelding ervan is tweedimensionaal, maar tochhelpen zulke fascinerende vormen om iets wezenlijksduidelijk te maken: ruimte en tijd, die ouderwetse vierdimensies, zijn geen beperkingen van de natuur, maarvan onze voorstelling van de natuur. In die rol hadImmanuel Kant ze, na zijn bestudering van het werkvan Newton, al in zijn kentheorie ingebouwd: als apriori Anschauungsformen namelijk, die nogvoorafgaande aan onze feitelijke waarnemingen hetkader bepalen waarbinnen die waarnemingen pasplaats kunnen vinden. Dat zo’n kader zich, dankzijreflectie op de opgedane ervaringen en inzichten, zelfook weer verder zou kunnen ontwikkelen, is eenmogelijkheid die Kant nog niet had voorzien.

Creativiteit in kunst en filosofieEn juist op zo’n interdisciplinair symposium als ditvind je dan de mensen die op de transformatie van


FIGUUR 1

FIGUUR 2

bewegen zich (soms letterlijk: er waren diverse mobilesopgesteld) op de grens van twee- en drie-dimensionaliteit. MADI-kunst ‘zwemt in haaromgeving zoals een vis in het water’, aldus de huidigevoorman van de beweging, de uit Uruguay afkomstigeCarmelo Arden Quin. Fragmenten van elementaireveelvlakken zijn vaak nadrukkelijk aanwezig in dezeabstracte kunst die zichzelf aanduidt als ‘concretekunst’.

De filosofische bijdragen aan het symposium warengering in aantal en divers van aard. De Zuid-AfrikaanJohn Collier probeerde onder de noemer Tetralecticsgreep te krijgen op traditionele wereldbeelden, waarinvaak een ‘symmetrische’ indeling in twee maal tweecategorieën te bespeuren valt, en die indelingen ook opde filosofie en de belangrijkste vertegenwoordigersdaarvan toe te passen. Het fundament van zijnsystematiek was ontleend aan een soort van integratievan jungiaanse psychologie en postmoderne logica.Klonk dat al niet zo veelbelovend, kwalijker was dathet Collier ontging dat de schijnbare inzichten die zijnmodel opleverde op niets anders neerkwamen dan eenherhaling van de zelfgekozen parameters, terwijl deproblemen die hij in zijn betoog signaleerde eveneensdirect op die parameters terug te voeren waren. Hetwas, kortom, typisch zo’n model waar precies uitkomtwat je er zelf hebt ingestopt, en verder niets.Veel meer to the point was de bijdrage van Giora Hon,die was nagegaan wat de eerdergenoemde Kant zelfprecies over symmetrie te berde had gebracht in zijnVon dem ersten Grunde des Unterschiedes derGegenden im Raume van 1768. Hon liet zien dat hetsymmetriebegrip dat Kant inzet in zijn argumentatietegen de analysis situs, de nieuwe wiskundigebenadering van de ruimte die Leibniz had bepleit, in detwintigste eeuwse Kantreceptie ten onrechte met hetmoderne symmetriebegrip is gelijkgesteld. Het gaat bijKant echter niet om de (wiskundig begrepen)mogelijkheid van superpositie door transformatie, maarom een (vanuit de ervaring begrepen) gevoel vanevenwicht in onze lichamelijke oriëntatie.Ruth Lorand tenslotte betoogde dat symmetrie in dekunst niet alleen de traditionele rol van het verwervenvan esthetische meerwaarde door het scheppen vanorde vervult, maar ook een tegengestelde rol: de lageinformatiewaarde van een volledig symmetrischpatroon maakt dat patroon te homogeen om esthetischinteressant te zijn.

De symmetrie doorbrokenDat brengt me op het punt waar vrijwel allewiskundigen, natuurwetenschappers én kunstenaarsmee bleken in te stemmen: symmetrie is fascinerend enook nog heel belangrijk, maar er is één ding wat nógfascinerender is en bovendien letterlijk en figuurlijkvan levensbelang, en dat is het (bij voorkeur subtiele)doorbreken van symmetrie. In veel lezingen weerklonkeen echo van Richard Feynmans vraag uit 1962: Whyis nature so nearly symmetrical? Robert Schiller legdeuit dat er überhaupt geen leven op onze planeet

zulke kaders een voorschot weten te nemen. Zo was erJulie Tolmie, die wees op de relatie tussen wat zich inmenselijke talen laat uitdrukken en ons onvermogenom ons een voorstelling te maken van de non-localiteitdie door fenomenen in de quantumfysica wordtopgeroepen. Daarbij is de ene taal de andere niet, enzal dus ook de wijze waarop ‘tijd’ en ‘ruimte’ in de taalzijn verweven op verschillende manier mogelijkhedenbieden om die beperkingen te doorbreken.Ook bood het symposium een platform voor mensendie het belachelijk vinden dat er alleen wordtgespeculeerd over 3-, 4-, en in het algemeen n-dimensionale universa. Hoe zou een pi-dimensionaaluniversum er uitzien? Zo’n vraag is ook in historischezin nuttig omdat het je helpt in te zien hoe absurd inde Oudheid de suggestie moet zijn geweest dat erandere dan natuurlijke getallen (en hun verhoudingen)zouden kunnen bestaan. De suggestie kwam vanTatiana Bonch-Osmolovskaya, een van de meestveelzijdige deelnemers, die ook verraste met haarschaakborden waarin een stelling deels vanuit eennormale gezichtshoek en deels vanuit een gezichtshoekvan onder of achter het bord wordt weergegeven.Dezelfde Tatiana Bonch-Osmolovskaya hield ook nogeen lezing over combinatorische literatuur (teksten diemet behulp van formele regels uit andere tekstengedistilleerd worden), vanaf de Ars magna vanRaymundus Lullus tot heden, en zij bleek vorig jaar dehonderdduizend miljard gedichten van Queneau (Centmille milliard de poèmes, 1961) in het Russisch tehebben vertaald. Dat lijkt een levenswerk, maar hetvalt mee als je bedenkt dat er slechts tien sonnettenhoeven te worden vertaald, waarna de overige 1014 – 10 sonnetten zich laten construeren door perregel een keuze te maken voor de betreffende regel uiteen van de eerste tien.

De publiekstentoonstellingen in het nieuweMillenniumpark van Boedapest bleken minderverrassend dan de artistieke bijdragen die sommigesprekers in de gang naast de symposiumzalen haddenuitgestald. Aan een catalogus waren de organisatorenniet toegekomen, en wie een beetje vertrouwd was methet Hongaars constructivisme van de vorige eeuw, zaghier toch eerder een voortzetting van die traditie daneen verwerking van de uitdaging die het thema(dis)symmetrie wilde zijn. Dat gold eigenlijk ook voorde bijdragen van kunstenaars uit andere landen,waaronder met name de kunstenaars die verbondenzijn met de groep MADI (Movement/Abstraction/Dimension/Invention). Met deze wat hybride naamwordt een groep kunstenaars aangeduid die zich al inde jaren ‘40 van de vorige eeuw manifesteerde, enwaarvoor het doorbreken van de traditionele kadersvan de schilderkunst hoog op het verlanglijstje stond:in figuurlijke, maar vooral ook in letterlijke zin. Geenrechthoekige lijsten meer waarbinnen het kunstwerkzijn plaats heeft, maar vormen waarbij het verschiltussen binnen en buiten verdwenen is. Lege ruimtes engedeconstrueerde vormen moeten de grens met deomgeving van het werk doen vervagen; veel werken


mogelijk zou zijn, als alles in de natuur symmetrischgeordend was en de natuur die symmetrische patronenniet aanvulde met uitgesproken voorkeuren voor linkseof rechtse varianten in de interactie van groteremoleculen, bijvoorbeeld van aminozuren en suikers.Schillers lezing maakte indruk doordat hij zijn cuttingedge kennis van de biochemie vergezeld deed gaan vaneen diepgaande interesse in metaforische enmythologische voorstellingen van symmetrie.Moeiteloos sprong hij van Paulus’ Eerste brief aan deCorinthiërs naar Umberto Eco, en stelde hij vast datNarcissus toch echt gedwongen wordt tot een keuze: deruimtelijke spiegelsymmetrie van zijn reflectie in hetwater (die hij aanbidt) kan nimmer samengaan met detemporele translatiesymmetrie (herhaling natijdsverloop) van de nimf Echo (die hem aanbidt). Datook de bedreiging van het leven door kennis vanbiochemische symmetrie een halt kan wordentoegeroepen bleek uit de bijdrage van David Avnir:dankzij kennis van het symmetrieprofiel van het HIV-virus is een aidsremmer ontwikkeld op basis van deverstoring van die symmetrie.Dat pure symmetrie (en verder niks) in figuratievevormen net zo snel verveelt als pure consonantie in demuziek bepaalde ook het lot van de Amerikaansesenior citizen Magnus Wenninger, de auteur vanPolyhedron Models, die zich zes dagen lang niets vande lezingen aantrok, maar in de gang naast desymposiumzalen van gekleurd papier steeds dezelfdestellaties van regelmatige en halfregelmatige lichamenzat te knippen en te plakken, waarbij hij eenbenijdenswaardig soort van levensgeluk uitstraalde.Trokken zijn volkomen symmetrische figuren de eerstedag nog wel bekijks, na twee dagen was hijgereduceerd tot meubelstuk dat door iedereenvriendelijk werd toegeknikt.

Etno-mathematicaEen heel aparte en waardevolle bijdrage werd geleverddoor de lezingen over symmetrie in de etno-mathematica, de wiskunde waar ook de culturelecontext in doorklinkt; abstracte Arabische, Afrikaanseen Aziatische patronen verraden al vrij snel uit welkecontext ze stammen, en vertonen vaak symmetrie-patronen die binnen die context karakteristiek zijn.Raymond Tennant herinnerde eraan dat de overdrachtvan wiskunde als ‘cultureel erfgoed’ tot de explicietedoelstellingen behoort van de Amerikaanse NationalCouncil of Teachers of Mathematics, een opdracht waarhij zelf gestalte aan geeft door zijn studentenvertrouwd te maken met de wiskunde die achtertraditionele Arabische tegelpatronen schuilgaat (hijwerkt in Aboe Dhabi), en ze deze patronen verder telaten ontwikkelen met behulp van minder traditionelewiskunde, zoals de groepentheorie.Annegret Haake, auteur van Javanische Batik –Methode, Symbolik, Geschichte, legde uit hoe denoodzaak tot rationalisering van de productie vangebatikte doeken leidde tot het gebruik van stempel-blokken om de patronen op de stof aan te geven. Datvraagt als het ware om symmetrie, door die blokken


FIGUUR 3

FIGUUR 4

gespleten. Hoezeer dat ook bij dit interessegebied lijktte passen, het is toch diep te betreuren dat naast desymmetrie zelf nu ook de samenwerking is doorbroken,zodat de beide redacteuren van het tijdschriftSymmetry: Culture and Science, György Darvas enDénes Nagy, in een juridisch proces tegenover elkaarzijn komen te staan.[4] Voordeel is wel weer dat beidenzich nu voor de internationale gemeenschap proberenwaar te maken: na het door Darvas (de leider van denieuw gevormde International Symmetry Association[5]

georganiseerde Ars (dis)symmetrica 2003 is volgendjaar augustus in Brussel een manifestatie teverwachten die georganiseerd wordt door Dénes Nagy,die nu de ISIS beheert[6].

Noten

[1] Zie http://mathforum.org/dynamic/one-corona

[2] Deze hypervlakken of ‘manifolds’, die gelden als de mathematische

representatie van de zes dimensies die de snaartheorie nog aan de

gebruikelijke vier heeft toegevoegd, hebben tegenwoordig zelfs hun

eigen website: www.math.okstate.edu/~katz/CY/. Hun wiskundige

eigenschappen worden uitgelegd op http://mathworld.wolfram.com/

Calabi-YauSpace.html

[3] Informatieve websites over deze denkwijze zijn

www.sciencenews.org/sn_arc99/11_27_99/mathland.htm en

www.uni-muenster.de/EthnologieHeute/eh2/gerdes.htm

[4] Voor documentatie van het conflict, zie www.sirius-beta.com/

Miscellany/internationalsoc.html

[5] Zie http://us.geocities.com/symmetrion/

[6] Zie www.asa-art.com/isis/isis2.htm

Over de auteur

Albert van der Schoot (e-mailadres: [email protected])

studeerde muziekwetenschap en filosofie aan de Universiteit van

Amsterdam, en muziekpedagogiek aan de Ferenc Liszt Academie in

Boedapest. Hij doceert esthetica en cultuurfilosofie aan de Faculteit

der Geesteswetenschappen van de Universiteit van Amsterdam.

een kwartslag of halve slag te draaien òf doorhetzelfde blok ook op de andere kant van de stof tegebruiken. Soms komen de patronen pas door diesymmetrie tot hun recht, en Haake liet een verrassendvoorbeeld zien waarbij de ‘pointe’ van het patroongemist werd doordat het blok niet tweezijdig werdgebruikt (figuur 3; vergelijk figuur 4 om te zien watde bedoeling was).Ramila Patel uit Swaziland bestudeerde de symmetrie-patronen in de matten die daar gevlochten worden; inhaar analyse volgt ze de theorie van Paulus Gerdes(Mozambique), die vanuit de gevlochten patronengreep probeert te krijgen op de manier van denken envoorstellen die door zo’n vormgegeven structuur wordtblootgelegd. Archetypische patronen als gelijkheid,variatie, verbinding en reflectie worden in devolkskunst van verschillende regio’s op specifiekewijze ingevuld. Gerdes meent dat het geometrischdenken in Afrika begonnen is, zoals paleontologen

hetzelfde beweren over de species humana in haargeheel.[3] Net als bij Tennant spelen ook bij Patelpolitiek-educatieve motieven een rol: vernieuwing vande samenleving vanuit een bestaande en authentieketraditie van vormgeving.Maar de meest opvallende etnomathematische bijdragekwam van Kirti Trivedi uit India. Ook de Indiase kunstis volgens hem meer op abstracte dan op concretefiguratie gebaseerd, en Trivedi liet in een indruk-wekkende Powerpoint-presentatie zien dat ook waarwél van representerende kunst sprake is, er toch eenrooster achter de voorstelling wordt gedacht waar-binnen alle maten als het ware tot de orde wordengeroepen; de terminologie waarin hij de Talamana (‘demaat van het ritme’) presenteerde, de wijze waarop hetonzichtbare alleen maar door de juiste ritmisering totzichtbare schoonheid aanleiding kan geven, vertoondeverrassende overeenkomsten met het neoplatonisme uitde westerse traditie (zie figuur 5).

SplijtingPais en vree dus in symmetrieland? Helaas niet. DeISIS (International Society for the InterdisciplinaryStudy of Symmetry) blijkt inmiddels in tweeën te zijn


FIGUUR 5


40 j

aar

gele

den

Uit: Pythagoras, jaargang 3 (1963-1964)

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mail: [email protected]),

voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

(zie figuur 1). Merk op dat de kring na de eerste ronde5 personen telt waarbij iedere persoon een nummerheeft dat verkregen wordt door de nummers 1 t/m 5 teverdubbelen en er daarna 1 van af te trekken. Wetenwe welk nummer overblijft in een kring van 5, dankunnen we eenvoudig uitrekenen welk nummer in eenkring van 10 overblijft.

In een kring van 6 blijft nummer 5 over en dus zal inde kring met 12 personen nummer 2 �5�1�9overblijven. In het algemeen geldt dat, als in een kringvan n personen nummer O(n) overblijft, dan in dekring met het dubbel aantal deelnemers nummer2O(n)�1 overblijft. We vinden zo de volgenderecursie:

O(2n)�2O(n) – 1, n�1

Dit is een zeer efficiënte recursie aangezien het aantalbij iedere stap gehalveerd wordt. Voor een kring met56 deelnemers vinden we snel:O(56)�2O(28)�1�2(2O (14)�1)�1�4(2O (7)�1)�3)�8O(7)�7Aangezien O (7)�7 vinden we O(56)�56�7�49.

Voor een oneven aantal personen 2n + 1 vinden opeen soortgelijke wijze een efficiënte recursie. Nadat inde eerste ronde weer alle even nummers zijn weg-gestreept (zie figuur 2), wordt nummer 1 geëlimineerdwaarna een kring van n deelnemers genummerd 3, 5,… , 2n�1 overblijft. We krijgen weer een kring van npersonen met dien verstande dat alle nummers

In het prachtige boekje De Nederlandse WiskundeOlympiade dat ongeveer een jaar geleden verschenenis, vinden we de volgende opgave [1]:In een kring staan n personen P1, P2, … , Pn, waarbij ngroter is dan 20. Nu begint een aftelspelletje met dewoorden ‘ga weg’, te beginnen met P1. Wie met ‘weg’wordt aangeduid is af en verdwijnt uit de kring. Zoverdwijnen achtereenvolgens P2, P4, … enzovoort.Tenslotte blijkt alleen Pn overgebleven te zijn. Bepaal dekleinste waarde van n waarvoor dit het geval is.Het bovenstaande probleem is uiteraard eenvoudig opte lossen als we voor iedere n snel kunnen zien welkepersoon overblijft. Voor kleine n kunnen we diepersoon door aftellen bepalen. Dat levert de volgendetabel op waarin O(n) het nummer is van de persoon dieoverblijft.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

O(n) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5

Voor grote waarden van n kunnen we de overblijvendepersoon met behulp van een recursie bepalen.

Bij 10 deelnemers verdwijnen in de eerste ronde deeven nummers. Na de eerste ronde ontstaat er dus eenkring met nog 5 deelnemers genummerd 1, 3, 5, 7 en9. In de kring met vijf mensen met nummers 1 t/m 5blijft volgens de bovenstaande tabel nummer 3 over.Bij 10 deelnemers blijft dus de persoon over die na deeerste ronde dezelfde positie inneemt als dezenummer 3. Dat is bij 10 deelnemers dus nummer 5


Aftelversje[ Rob Bosch ]

RE:CURSIEF

verdubbeld zijn en er vervolgens 1 bij opgeteld is. Vooreen oneven aantal vinden we dus

O(2n�1)�2O(n)�1, n�1

Samengevat gelden voor ons probleem de volgenderelaties:

O(1)�1O(2n)�2O (n)�1

O(2n�1)�2O (n)�1

Met behulp van deze recursies kunnen we voor grote nsnel de overblijvende persoon vinden.Uit O(1)�1 volgt dat O(2)�2O (1)�1�1 waaruit weafleiden datO(4)�2O(2)�1�2�1�1waarna we voortzetten metO(8)�2O(4)�1�2�1�1Herhalen we deze verdubbelingen dan volgt1�O(1)�O(2)�O(4)�O (8)�O(16)�…�…In het algemeen geldt dus

O(2n )�1

Hieruit leiden we nu gemakkelijk af datO(2n �1)�2O(2n �1)�1�2�1�3enO(2n�2)�O(2(2n �1�1))�2O(2n �1�1)�1�2�3�1�5waarna volgtO(2n �3)�2O(2n �1)�1�2 �3�1�7Zo verdergaand ontdekken we een patroon dat

zichtbaar wordt in de volgende tabel

Uit de tabel komt de volgende relatie naar voren

O(2n � l)�2l�1 met 0 � l �2n

Een relatie die de lezer eenvoudig met inductie kanbewijzen. Met deze relatie kunnen we nu direct deoverblijvende persoon in een kring van 56 vinden:O(56)�O (25 �24)�2 �24�1�49Met de bovenstaande relatie zal de Olympiade-opgavegeen probleem meer zijn.

Welke persoon overblijft als we het rijmpje veranderenin ‘ga nu weg’ laat ik graag aan de lezer over.

Literatuur

[1] Jan van de Craats (red.): De Nederlandse Wiskunde Olympiade,

Stichting NWO (2002), p. 40, opgave 57 (Olympiade 1992-B3).

[2] Saber N. Elaydi: An Introduction to Difference Equations, Springer

Verlag (1995).

Over de auteur

Rob Bosch (e-mailadres: [email protected]) is als docent verbonden

aan de Koninklijke Militaire Academie te Breda. Hij is tevens

redacteur van Euclides.


n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

O(n) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1

FIGUUR 1 O(2 �5)�2O(5) – 1 FIGUUR 2 O(2 �5�1)�2O(5)�1

Volledigheidshalve volgt hier het geactualiseerdeoverzicht.Voor nadere informatie zie onder meerhttp://examenblad.kennisnet.nl, de ‘Regelingaanwijzing niet c.e.-stof profielen 2006 en 2007’(kenmerk: CEVO-03-595, dd 2 oktober 2003), enuiteraard www.nvvw.nl (via ‘Examens’ doorklikkennaar ‘Regelingen e.d.’).

Begin oktober 2003 heeft de CEVO de (sub)domeinenaangewezen waarover bij de Centrale Examens havoen vwo 2006 en 2007 geen vragen gesteld zullenworden. Het blijkt hierbij om dezelfde CEVO-aanwijzingen te gaan als die voor de Centrale Examens2004 en 2005. De school bepaalt voor dit soortonderdelen zelf, of (en zo ja, op welke wijze) ze in hetSchoolExamen aan de orde komen.Daarnaast was eerder ook al diverse malen sprake vanallerlei andere tijdelijke verlichtingsmaatregelen,permanente aanpassingen en dergelijke.

GEACTUALISEERD OVERZICHTNIET-CE-STOF HAVO EN VWO[ Marja Bos ]


Onderdeel CE SE Geldigheid

havo A1 Alle domeinen nee ja tot nader order

havo A12 Subdomein: Bundels van grafieken nee eigen keuze examens 2004 t/m 2007 en 3-dimensionale grafieken (71-72)Subdomein: De binomiale verdeling (87-90) nee eigen keuze examens 2004 t/m 2007

havo B1 Domein: Ruimtemeetkunde 1 nee ja tot nader order Subdomein: Periodieke functies (64-73) nee (*) eigen keuze examens 2004 t/m 2007

havo B12 Domein: Tellen en kansen nee ja tot nader order Subdomein: Periodieke functies 2 (99-103) (*) nee eigen keuze examens 2004 t/m 2007

vwo A1 Eindtermen 3, 10 (w.b. rekenregels logaritmen), nee nee tot nader order 13, 23 en 24Domein: Grafen en matrices nee eigen keuze examens 2004 t/m 2007 Subdomein: Het toetsen van hypothesen (147-150) nee eigen keuze tot nader order

vwo A12 Eindtermen 3, 10 (w.b. rekenregels logaritmen), 13 nee nee tot nader orderDomein: Grafen en matrices nee eigen keuze examens 2004 t/m 2007 Subdomein: Ruimtelijke objecten nee nee tot nader order Domein: Keuzeonderwerp nee ja tot nader order

vwo B1 Domein: Continue Dynamische Modellen nee ja tot nader order Domein: Keuzeonderwerp nee ja tot nader order

vwo B12 Domein: Continue Dynamische Modellen nee ja tot nader order Domein: Keuzeonderwerp nee ja tot nader order Eindtermen 140-144, 151-153, 167-175 nee nee tot nader order

(*) N.B. Het subdomein ‘Periodieke functies’, eindtermen 64 t/m 73, behoort wèl tot de examenstof van havo wiskunde B12.

CE = centraal examen; SE = schoolexamen. De getallen tussen haakjes verwijzen naar eindtermen.

Tijd en plaats15 mei 2004, 10.15 - 16.00 uur Hogeschool Domstad te Utrecht (Koningsbergerstraat 9)

DeelnameMaak € 22,00 over op postgirorekening 4657326 t.n.v.HKRWO te Amsterdam (koffie, thee en lunchinbegrepen).

ThemaVan Oude Maten en het Nieuwe Meten; elementen uitde geschiedenis van het meetonderwijs in Nederland enEngeland.

ProgrammaDanny Beckers (Katholieke Universiteit Nijmegen): Van oude maten, de dingen die voorbijgaanDe introductie van het metrieke stelsel in hetNederlandse onderwijs, 1820-1850.

Edu Wijdeveld (oud-directeur IOWO): Heb de natuur liefOver leven en werk van Marcel Minnaert (1893-1970)naar aanleiding van diens biografie van Leo Molenaar.

Iris Gulikers (Rijksuniversiteit Groningen): De 17de-eeuwse Nederlandse landmeter: vroeger en nuLeerlingen van nu worden landmeter van toen.

Ed de Moor (Freudenthal Instituut Utrecht):Freudenthals opvattingen over meetonderwijsMeten in het basisonderwijs sinds 1970, leerlijnen endoelen anno 2004.

Peter Ransom (The Mountbatten School and LanguageCollege, Romsey, Hampshire): A Metre of Mars – howdoes the Metric System Measure up?Measuring in old English text books and recentclassroom activities.

En verderTentoonstelling van oude boeken en materialen overhet meetonderwijs. Eenieder is uitgenodigd om eenposter op te hangen en/of iets te exposeren.

HKRWOFreudenthal Instituut, Postbus 9432, 3505 GK Utrecht,telefoon 030-2635555. Inlichtingen: [email protected], [email protected],[email protected] of Ed de Moor: 020-6121382.


Advertentie Advertentie

Aankondiging / HKRWO-Symposium 2004 Symposium X van de

Historische Kring Reken- en Wiskunde Onderwijs

naar 420, en grote vakken wordenverkleind, bijvoorbeeld wiskunde-NT-vwo van 760 naar 520, in havo-NT van 440 naar 320. Procrustes inde Hoftoren …Een inhoudelijke onderbouwing ont-breekt, maar de gevolgen zijn zeeringrijpend. Egalitair Nederland op z’nergst. Wiskunde wordt voor alle leer-lingen (behalve havo-CM) een vakmet ongeveer 2 wekelijkse lessen.Nederland is daarmee uniek in dewereld. In de landen om ons heenworden 5, 6 of zelfs 8 wekelijkse les-sen aan wiskunde besteed in de B-stroom. Wat dat betekent voor detoekomstige concurrentiepositie vanons land en onze leerlingen in inter-nationaal verband is niet zo lastig tebedenken. Door deze plannen te aan-vaarden bent u medeverantwoorde-lijk; wilt u dat ook zijn?

Na die reductie is het resultaat ondermeer:- Een havo-leerling (CM) die naar depabo gaat, heeft geen wiskunde meerin het pakket; toch lastig als je laterkinderen rekenles moet geven.- Een vwo-leerling die kunstgeschie-denis gaat studeren, krijgt meer wis-kunde dan een havo-leerling dienaar het technisch vervolgonderwijswil.- Elke leerling krijgt 2 hooguit 3 les-jes wiskunde in de week. Dat is vol-doende als je geen ambities in dierichting hebt, maar volstrekt onvol-doende voor elke vervolgopleidingwaarvoor wiskunde een relevant vakis. Het gaat daarbij niet alleen puurom de wiskundekennis, een gebrekaan vaardigheden in het hanterenvan abstracties, maar het werkt doorin alle beroepsvakken waarbij diewiskundekennis bekend en noodza-kelijk wordt verondersteld.

Met deze plannen gooit de ministerdus het hele hoger onderwijs in bètaen techniek over de schutting. Hetschrappen van natuurkunde als ver-plicht vak in het NG-profiel geeftnog een extra zetje. Het is onbegrij-pelijk dat deze plannen komen vanhetzelfde departement waar menwerkt aan het deltaplan voor bèta entechniek.

In de brief naar de Kamer toont deminister een schrijnend gebrek aankennis van het huidige wiskunde-onderwijs. Wiskunde wordt weggezetals iets ouderwets wat nodig gemo-derniseerd moet worden. De waarheidis een andere: de laatste 20 jaar isgeen vak zo grondig vernieuwd alsde wiskunde, in onder- en boven-bouw. Inhoud, didactiek, ict, keuze-onderwerpen, praktische opdrachten:het is de minister allemaal ontgaan.

Tweede fase havo/vwo, de soapgaat doorDe Amerikanen hebben er een woordvoor: ‘math phobia’, de aandoeningdie sommigen overvalt als ze in debuurt van wiskunde dreigen te gera-ken, een totale psychische blokkade,waarbij elk logisch nadenken onmo-gelijk wordt.Onze minister en haar departementlijken hiervan ernstig last te hebben.Niet alleen ontstak de minister tij-dens een overleg waar wij bij waren,spontaan in woede bij het noemenvan het wiskundewoord, de plannenvoor de Tweede fase lijken nog louterbedoeld om de exacte vakken af testraffen, met wiskunde voorop. Deherziene plannen zijn onverminderdslecht voor wiskunde.

Brief van het NVvW-bestuurOmdat de minister in haar brief ooknog blijk gaf volstrekt niet op dehoogte te zijn van het hedendaagsewiskundeonderwijs en zij niet meervan zins is met het veld te praten,heeft het bestuur wederom een briefnaar de leden van de vaste Kamer-commissie voor Onderwijs gestuurd,met de volgende inhoud:

Geachte heer/mevrouw,

Op 4 december jl. presenteerde deminister haar nieuwe voorstellenvoor de Tweede fase. Het bijgeleverderekenmodel zag er netjes en over-zichtelijk uit, de getallen kloppen.Maar daarmee is het dan ook gezegd.Het rekenmodel regeert, de gekozenstructuur leidt ertoe dat alle vakkenin omvang ongeveer gelijk worden.Dat betekent dat kleine vakken wor-den vergroot, bijvoorbeeld LO2(nieuw bètavak in NG) gaat van 280naar 440, informatica gaat van 280

VerenigingsnieuwsVan de bestuurstafel

[ Marian Kollenveld ]


Citaat uit de brief van de Minister vanOCenW aan de voorzitter van de TweedeKamer (VO/OK/2003/53723, 4 december2003)

[…] Die nieuwe profielen zijn echter nietmeer dan een begin. In het onderwijs inde bètavakken zelf is ook een vernieu-wing nodig: in de inhoud, deaanpak/didactiek, waarschijnlijk ook inde cultuur in en rond de vakken. Ik vindhet belangrijk, daarmee zo snel mogelijkte beginnen en dus daarmee niet tewachten tot de invoering van de nieuweprofielen per 1 augustus 2007. Er moetwel een duidelijk onderscheid wordengemaakt in wat haalbaar is op de korte,de middellange en de lange termijn. […]

Ter herinnering: De herziening wasvooral ingegeven door de wens omhet probleem met de deeltalen op telossen. Overladenheid is geen pro-bleem meer, de versnippering wordtniet minder, integendeel, als alle vak-ken voor 2 uur op het rooster staankrijg je een heel versnipperd onder-wijsaanbod.De minister heeft het probleem metde deeltalen inmiddels opgelost doorscholen in het huidige systeem nietmeer te verplichten alleen leesvaar-digheid te onderwijzen. Toch komt zemet een ingrijpende, ons inziensoverbodige, structuurwijziging, waar-bij bijna elk vak in omvang wordtveranderd en als gevolg waarvan deexacte vakken worden geofferd.Dat alles vraagt weer veel tijd voororganisatie en plannen, tijd dieafgaat van het verbeteren van deinhoudelijke kwaliteit van het onder-wijs. Daar is het zo langzamerhandook wel tijd voor.

Waar is de balans tussen doel enmiddelen, tussen vorm en inhoud?

We hopen dat u als Kamerlid dezebalans wat beter in het oog zulthouden en de minister dwingen ophaar heilloze schreden terug te keren.Onze hoop is op u gevestigd.

Einde brief.

ActieDaarnaast is de actielijn weer opge-pakt, de Boze Bèta’s zijn terug. Insamenwerking met o.a. het platformvoor natuurkunde hebben we eenbètamotie opgesteld met daarin voor-noemde actiepunten. Deze motie is tevinden op de bekende sites, waaron-der www.nvvw.nl.Voor deze motie is inmiddels veel

steun gevonden: Philips, het KIVI(ingenieursvereniging), TU’s vanDelft en Eindhoven, medische oplei-dingsdirecteuren van alle geneeskun-de-, diergeneeskunde- en tandheel-kundefaculteiten, het discipline-orgaan Natuur en Techniek van deVSNU, de Kamers voor de scheikun-de, de natuurkunde, de sterrenkundevan de VSNU, hbo technischenatuurkunde, natuurlijk uw eigenNVvW en het Koninklijk WiskundigGenootschap, enz. enz. De AOb (vak-bond), de Besturenraad (schoollei-ders) en VNO-NCW (ondernemers)hebben inmiddels negatief op devoorstellen gereageerd.

Soms zie je pas dat je in een opti-mum bent, als er geen verbeteringmogelijk is. Er is inmiddels meer dantwee jaar vergeefs geprobeerd eenbetere structuur te bedenken. Mis-schien is wat we nu hebben dus welhet optimum. Stel je voor dat deKamer dit ook vindt. Wat een rust!Geen nieuwe weten regelgeving,geen nieuwe programma’s voor bijnaalle vakken, geen nieuwe doorstroom-eisen, geen tijdverspillen, maargewoon aan het werk.

Ik wens u en ons dus in dit opzichteen ‘rustig nieuwjaar’ toe.

Verenigingsnieuws


Voor de Tweede fase werden 8 nieu-we programma’s ontworpen, sommi-ge daarvan (wiskunde-NT-vwo)waren zo nieuw dat er enige jarenexperiment (betaald door de minister)aan vooraf moesten gaan. De minis-ter stelt nu weer 5 nieuwe program-ma’s voor.

Wiskunde is nuttig en nodig vooriedereen in de huidige maatschappij.Als algemene ontwikkeling vooriedereen om je staande te houden inde wereld van alledag met een over-vloed aan cijfermatige informatie, endaarnaast als noodzakelijke voorken-nis voor een studie, afhankelijk vande gekozen richting.Deze analyse geeft ook meteen eenoplossing, zoals we al eerder hebbenbepleit, in onze oktoberbrief enrecent nog in de bètamotie (de ande-re punten daarin zijn: natuurkundeverplicht in het NG-profiel, het nieu-we bètavak verplicht in NT, ANWook in het gemeenschappelijk deelvan de havo):

Zorg voor een goede algemenebasiskennis van de wiskundevoor iedereen doorbasiswiskunde in hetgemeenschappelijk deel teplaatsen.

Dat neemt de overlap weg die nunoodzakelijkerwijs in de profielwis-kundes zit, en geeft ruimte om dewiskunde in de profielen toe te snij-den op het profiel.Een eenvoudige ingreep waarmee deproblemen voor wiskunde zijn opge-lost. In combinatie met de anderepunten ontstaat er dan een helder enaangenaam bèta-klimaat waarin ver-nieuwing, verdieping en afstemmingmogelijk zijn.

en artikelen naar de krantengestuurd, die overigens in het beginniet of nauwelijks geplaatst werden,zeer uitgesproken interviews gege-ven, zodat door die emotie duidelijkwerd dat er echt iets aan de handwas. We hebben in het begin denuance geschuwd en vooral wild omons heen geslagen. Er was vrijwelmeteen een goede samenwerking metde collega’s van de andere bètavak-ken: de NVON, Nederlandse vereni-ging voor onderwijs in de natuurwe-tenschappen, en het NPN, hetNederlands platform voor natuurkun-de. Toevallig had mijn colleganatuurkunde Arjan van der Meij eenwebsite gekregen, en hij was ookheel boos, zodat de BozeBèta-sitesnel geboren was. Een machtigwapen, waar we heel veel profijt vanhebben gehad. Door de prima samen-werking tussen onze eigen website,de WiskundEbrief, de BozeBèta- ende NVON-site konden we snel enadequaat reageren op de ontwikke-lingen, en iedereen voortdurend opde hoogte houden.

Tegelijkertijd hebben we al onzekanalen gebruikt om anderen teattenderen op de dreigende afbraakvan de bètavakken in het voortgezetonderwijs en de maatschappelijkegevolgen daarvan. Want dat lerarenboos zijn als hun vak wordt afgebro-ken, is namelijk volstrekt voorspel-baar en niet per se relevant voor derest van de wereld. Maar er was nuiets heel anders aan de hand, degevolgen van met name slecht ofonvoldoende wiskundeonderwijs rei-ken verder dan de school, het raaktde toekomstige ontwikkeling van onsland, onze maatschappij en onze zodierbare economie, die maar geenkenniseconomie wil worden. Sja, dat

gaat niet op bevel, daar moet je ietsvoor doen, investeren in onderwijsbijvoorbeeld.

Die boodschap is goed overgekomen.Er is een ware lawine ontstaan vanartikelen in de krant, tot en methoofdredactionele commentaren aantoe, er zijn legio brieven naar deminister en de kamerleden gestuurd,het dossier is inmiddels enige deci-meters dik. Ook de radio heeft er eenaantal malen aandacht aan besteed,een discussie in een tv-programmaging niet door omdat er - naar ver-luid - niemand te vinden was om deplannen te verdedigen. Misschien isdit pure roddel, maar het is te leukom niet te vermelden.Velen mengden zich in het debat: erkwam een ongevraagd advies van deOnderwijsraad, een spoedadvies vande Koninklijke Academie van Weten-schappen, bèta-organisaties van bui-ten het onderwijs lieten van zichhoren, en heel belangrijk: ook hetbedrijfsleven liet weten belang tehechten aan goed opgeleide bèta’s endeze plannen dus af te keuren.

Het vreselijke w-woordEr is zelden zo’n continuïteit geweestals tussen vorig jaar en nu. Vorigjaar begon ik de jaarrede met de lief-de voor ons vak en hoe hard je dienodig hebt als het vak bedreigdwordt, we eindigden in de rondvraagmet een oproep aan het bestuur omactie te ondernemen en een oproepaan beleidsmakers om naar onzeargumenten te luisteren.Je zou kunnen zeggen dat we hethele jaar bezig geweest zijn dieoproepen uit te voeren. In het voor-jaar hebben we een aantal malen ophet ministerie overlegd en half okto-ber mochten we zelfs met de ministerpraten. Er is dus naar ons geluisterd,maar een minister die allergisch isvoor het vreselijke w-woord, overtuigje niet zo makkelijk. Het argumentdat zij hanteert, dat wiskunde leukeren aantrekkelijker wordt als je hetvak kleiner en makkelijker maakt,kan alleen maar worden gebruiktdoor iemand met laat ik zeggen eenbeeld van het vak dat niet direct hetonze is. Dat verander je niet door tezeggen dat het niet zo is, dat wiskun-de vaak juist leuker wordt als je hetmeer doet, en er meer van kunt; datkomt niet over.Maar laat ik niet aan het eind begin-nen.

PubliciteitOp 9 januari kwam de minister methaar plannen voor de herziening vande Tweede fase. We vonden dat ommeerdere redenen slechte plannen,maar we waren vooral verbijsterddoor de grote reducties voor de exactevakken, met wiskunde voorop. Inhou-delijk was het niet anders onder-bouwd dan ik hierboven al aangaf.We hebben toen in eerste instantievooral veel lawaai gemaakt, brieven

VerenigingsnieuwsJaarrede uitgesproken doorMarian Kollenveld op de jaarvergaderingvan 15 november 2003

…ook hetbedrijfslevenwil goedopgeleidebèta’s


hartig steunde: volgens de heer Zalmstonden er 28 kamerzetels achter ons,meer had hij niet. Die steun is helaasna de formatie aanmerkelijk minderuitgesproken. Ach, zo gaat dat ken-nelijk.

In ons slotoffensief de laatste wekenvoor het besluitvormend overleg inde Kamercommissie op 29 oktoberhebben we nog druk uitgeoefend viamails en zo breed mogelijke geza-menlijke brieven, er was een hoorzit-ting van de Kamercommissie, eentweede hoorzitting van de PvdA, eengesprek met de minister, en na eenoproep in de WiskundEbrief en op desites zijn er meer dan 500 mailtjesnaar Kamerleden gestuurd, waarvoorwe zeer erkentelijk zijn. Het is heelfijn te merken dat je niet alleen staatin de strijd.Het resultaat kent u: we hebben nietverloren, de minister zag in dat zehaar plannen er zo niet door zoukrijgen, maar gewonnen hebben weook nog niet. Ze heeft nieuwe plan-nen beloofd, maar we zijn bang datde nieuwe voorstellen erg op diedoor ons afgewezen voorstellen zul-len lijken, en dat bèta onverminderdhet kind van de rekening blijft.

Komende tijdWe hebben daarom de strijdbijl nogniet begraven. De komende tijd rich-ten we ons wat wiskunde betreft ophet invoeren van basiswiskunde inhet gemeenschappelijk deel. Daar-naast handhaven we de punten: her-kenbare profielen met natuurkundein NG en voortgezette wis/natuurwe-tenschappen in NT, ANW voor ieder-een en profielcommissies voor deinhoudelijke afstemming. We hebbenons ook brutaalweg alvast aangemeldvoor de profielcommissies, als ze erkomen.Natuurlijk hadden we het afgelopenjaar het liefst al aan inhoudelijkevernieuwing gewerkt. Nu het gedoe

rond de invoering van de Tweedefase achter de rug is, waren we daaraan toe. Maar het mocht niet zo zijn,jammer, dat gaan we het komendjaar dus maar doen.Terugkijkend kunnen we concluderendat veel van de ellende ons allen (endat is inclusief minister en kamerle-den die bedolven zijn onder de pro-testen) bespaard had kunnen blijvenals we in een eerder stadium bij debesluitvorming waren betrokken enonze argumenten toen hadden kun-nen geven.

De docent als gesprekspartnerDe inzet van het bestuur de komendejaren zal dus blijven: proberen dedocent op het juiste niveau alsgesprekspartner geaccepteerd te krij-gen. Te vaak nog wordt de discussieover onderwijs als vanzelfsprekendgevoerd door mensen buiten hetonderwijs. Het praat vast makkelijker,maar wat heb je eraan? Er zijninmiddels veel bewijzen dat het zoniet werkt; wij noemen slechts Basis-vorming, vmbo en Tweede fase.Dat moet anders, maar het betekentwel dat wij, docenten, moeten aflerenom uitsluitend over ons eigen vak tepraten, we moeten leren durven ver-der te kijken en het over onze visieop onderwijs en leren in bredere zinte hebben. Want, geloof me, ook opdat terrein hebben we meer dangemiddelde expertise.In de lustrumrede zei ik: ‘Geef dedocent zijn vak terug.’ In het lichtvan heden formuleer ik het watassertiever: ‘Docent, pak je vak terug;de tijd is er rijp voor, de retoriek is eral!’In diverse publicaties, zoals in hetvoorstel van de profielcommissiesvan de KNAW, in het deltaplan voorhet onderwijs, in het actieplan vanAxis, is te lezen dat de docent eencruciale factor is voor goed onder-wijs, voor vernieuwing die werkt.Laten we dus de kans grijpen om zelf

Verenigingsnieuws


WinstDat was de eerste lijn, het mobilise-ren van de publieke opinie. Hieroverkunnen we tevreden zijn. De winstvan het geheel is denk ik bewustwor-ding, velen die daar nooit eerder overhadden nagedacht zijn zich bewustgeworden van het maatschappelijkbelang van goed onderwijs in debètavakken en hebben hopelijk ookhet daarbij behorende inzicht opge-daan dat je daarvoor goed opgeleide,gemotiveerde docenten nodig hebt,die je de ruimte moet geven hun vakuit te oefenen. We gaan proberen ditvast te houden. In elk geval zijn decontacten met het vervolgonderwijsverstevigd, zijn er plannen tot hetoprichten van een aansluitingsplat-form ho/vo, hebben we onze zuster-organisaties beter leren kennen, enzijn we zichtbaar geworden in bredekring.

SteunDe andere lijn was de lastigste. Gelijkhebben is een ding, dat hadden wewel, gelijk krijgen is de kunst. Daar-voor hebben we een bètakwartetgevormd, bestaande uit Boze Bèta’s,NVON, NPN en NVvW. En een eigenelegant alternatief plan opgesteld,waarmee we de boer op zijn gegaan.Met wisselend succes.Gesprekken op het ministerie leiddenniet tot enig resultaat, de nieuwevoorstellen die we te zien kregenwaren dusdanig dat we het gesprekhebben afgebroken - u hebt ook datop de site kunnen lezen. Bij de vak-bond hadden we meer succes: hetAOb-standpunt is een heel eind inonze richting opgeschoven, overigensmede dankzij de stevige inbreng vansommigen van u op de ledenraadple-gingen. Daar waren ze wel vangeschrokken. De schoolleiders staandeels aan onze kant, deels niet; voorde politieke partijen geldt hetzelfde.Pikant hierbij is de positie van deVVD, die ons vóór de formatie ruim-

gewenste toekomst. Het bestuur ishierbij direct betrokken.

Havo/vwoDe SLO voert momenteel op verzoekvan de vereniging op twee scholenvoor havo/vwo een project uit op hetgebied van algebraïsche vaardighe-den en het mogelijke nuttig gebruikvan computeralgebra daarbij. Hetproject zal waarschijnlijk wordenafgesloten met een conferentie om deresultaten te presenteren.De SLO zal naar alle waarschijnlijk-heid ook meewerken aan de pro-grammatische uitwerking van deplannen van de minister met deTweede fase. Het spreekt vanzelf dathierbij dan ook de vereniging betrok-ken zal worden.

HboIn het hbo is de beleidsvrijheid vanbesturen al zo groot dat de wiskundeuit veel opleidingen dreigt te verdwij-nen. Hier kunnen we ons vak terug-pakken door middels een vakinhou-delijke vernieuwing de noodzaak vanwiskunde voor de opleiding aan tetonen. Het project Wisnet, een initia-tief van onze hbo-werkgroep, beoogtdit te bereiken door de wiskunde telaten integreren in de beroepsgerichtevakken. Nadat subsidieaanvragenkeer op keer werden afgewezen is hetinitiatief nu opgepakt door de Noor-delijke Hogeschool, waar het dit cur-susjaar op beperkte schaal van start isgegaan. Zodra hierover iets te meldenis hoort u het natuurlijk ook.

WisKidsDoor de grote aandacht voor alleswat er mis gaat, zou je bijna uit hetoog verliezen wat er allemaal goedgaat. En dat is niet gering. Deze stu-diedag is daar een goed voorbeeldvan. Het mede door de vereniginggesteunde WisKids-project heeft veelinteressants opgeleverd, waarvan uvandaag kennis kunt nemen.

EuclidesU heeft allen dit jaar acht keer kun-nen zien met hoeveel enthousiasmede redactie ons blad Euclides meerdan vol weet te krijgen. Elke jaar-gang een nieuw kleurtje en eennieuw thema voor de omslag. Hetdubbelnummer is inmiddels van inci-dent gewoon geworden. We prijzenons gelukkig met een dergelijkenthousiasme en willen graag deredactieleden van harte danken voorhun inzet. Een mooi blad is een fraaivisitekaartje. Daardoor kan het bladEuclides een goede rol vervullen inhet promoten van onze vereniging.En dat is ook nodig, zoals u weet.

Nieuwe ledenOp verzoek van het bestuur heeft eenaantal studenten een onderzoekjegedaan naar het beeld en de bekend-heid van onze vereniging bij wiskun-dedocenten en studenten. De PR-commissie is daarna aan het werkgegaan om onder het motto ‘je grijzecellen kleurrijk’ plannen te bedenkenom de vereniging wat nadrukkelijkeronder de aandacht te brengen vanjongere mensen, laten we zeggenmensen die hun haar alleen maarverven omdat ze het leuk vinden.

aan de slag te gaan en niet wachtentot anderen iets bedenken wat wijdan moeten doen.

Allereerst het vmboHier lijkt in de toekomst meer ruimtete komen voor een eigen invullingvan het onderwijs. De kerndoelenvan de Basisvorming worden sterkgereduceerd en vragen om een ande-re invulling, hoe is nog niet preciesduidelijk.Maar er zijn nu al scholen bezig omhier vorm aan te geven. We vragenspeciale aandacht voor de zwaksteleerlingen die de school binnenko-men met een leerachterstand. Zij zijngebaat met een eigen programma,inclusief examinering. De schoolmoet capabel worden geacht om dezeleerlingen een portfolio mee te gevenop grond waarvan hun mogelijkhe-den zijn omschreven. Voor de wis-kunde betekent dat volgens ons eenprogramma dat in eerste aanleg isgericht op sociale redzaamheid in eensetting van gecijferdheid. Daarna kande wiskunde voor alle leerlingenmeer worden afgestemd op de doorde leerling gekozen sector. Stages,eigen onderzoek en praktischeopdrachten geven veel mogelijkhe-den om de wiskunde zichtbaar temaken in de praktijk. Aanpassingvan het lesmateriaal is onontbeerlijk,maar gezien de huidige taakbelastingkan de docent daar niet zelf voorzorgen.In de uitlijning van het curriculumzal rekening gehouden moeten wor-den met de aansluiting op het ver-volgonderwijs en de kwalificatie-structuur.

In opdracht van het ministerie zal deSLO de komende maanden werkenaan een vakdossier voor het derde envierde leerjaar vmbo. De huidigesituatie wordt in kaart gebracht,waarna met inschakeling van hetveld nagedacht zal worden over de

Verenigingsnieuws


… applaus voor de vrijwilligers

een vervangster voor Sjoerd Schaafs-ma gevonden. Annemarie Santifort isnu de vaste standhoudster. Mededoor het tijdrovende gedoe rond deTweede fase kunnen we u helaasgeen nieuwe Zebra’s aanbieden, maarer zitten een vijftiental titels in depijplijn, dus dat komt binnenkort, zijhet niet allemaal tegelijk.

Hans Wisbrun, WwFHet Wereldwiskunde Fonds (WwF)biedt zelfs een wereldwijde service:dankzij uw bijdragen boven op decontributie en de woekerprijzen die uvoor de tweedehands boeken betaalt,kunnen we elk jaar iets betekenenvoor het wiskundeonderwijs op eenwat minder bevoorrechte plek op deaardbol. De voorzitter van het WwF,Hans Wisbrun, heeft te kennen gege-ven met het voorzitterschap te willenstoppen. Misschien herinnert u zichnog hoe Hans enige jaren geleden opeen hectische jaarvergadering hetWwF bijna voor de poorten van dehel heeft weggesleept. En met succes.Hij is al die jaren initiatiefnemer endrijvende kracht geweest, en we dan-ken aan hem ook de internetveilingvoor tweedehands boeken. We willenhem graag hartelijk danken voor zijninzet de afgelopen jaren; er is veel engoed werk verricht. Hans, dank je wel.

Leen Bozuwa, advertentiesEuclidesDe trouwe lezers van het colofon vanEuclides zal het opgevallen zijn datLeen Bozuwa na 10 jaar is gestoptmet de advertentie-acquisitie. Hij isopgevolgd door ons bestuurslid Wil-lem Maas. Ook Leen willen we harte-lijk bedanken voor de bewezen dien-sten, wat hij zelf overigens volstrektoverbodig vindt, maar wij niet, dusdoe ik het toch.

… en al die anderenWant het is onze overtuiging datmensen zoals Leen en Hans en Anne-

marie en Gerard en Dick en Grada enConny en Ruud en Wim, Peter enRob en Fred en Pim en Elly en Marjaen Gert en Chris en Janne en Heleenen Frans en Metha…, ach, nog zoveelanderen, mensen zoals u dus, diemaken de vereniging. We zijn alsbestuur trots op onze vereniging endankbaar voor de belangeloze inzetvan zovelen voor de goede zaak vanhet wiskundeonderwijs. We hebbenelkaar nodig, dat is het afgelopenjaar wel gebleken, en samen sta jesterker dan alleen. We willen dus allevrijwilligers hartelijk danken voorhun inzet, en ik vraag u dit te onder-strepen met een applaus.Dank u wel.

Verenigingsnieuws


De ervaring leert dat leden heeltrouw zijn: wie eenmaal lid is blijftdat wel zolang hij of zij in het onder-wijs werkzaam is.De eerste acties zullen daaromgericht zijn op de lerarenopleidingenen mensen die net van de opleidingaf zijn.Het bestuur kan zoiets niet zelf, wezoeken daarom enthousiaste ledendie hieraan willen meewerken.Ambassadeurs op de opleiding, ofeen groepje jonge docenten, we staanopen voor goede suggesties. Onsbestuurslid Metha Kamminga is hier-voor het aanspreekpunt.

WebsiteOnze website, die toonaangevendevraagbaak voor het wiskundeonder-wijs, is inmiddels zo groot gewordendat het nodig is de organisatie aan tepassen. Daardoor kan de enormehoeveelheid informatie die beschik-baar is nog toegankelijker gemaaktworden. In de loop van dit jaar krijgtdit zijn beslag; regelmatige bezoekerszullen het zeker merken.De website wordt door het jaar heengoed bezocht, met een piek in deexamenperiode. De service om deresultaten van de centrale normenbe-sprekingen na enige tijd op de site tezetten wordt door u zeer gewaar-deerd, zelfs zozeer dat de opkomstvan de regionale besprekingen eron-der te lijden heeft.Met alle begrip voor de tijdsdrukwaaronder men kan staan, vinden wedat toch jammer omdat hiermee eenwaardevol ‘interpersoonlijk collegiaaloverlegmoment’ verloren gaat.Zolang de opkomstcijfers het recht-vaardigen zetten we deze servicevoort.

Te koopDat doen we ook met de lokaalver-sierservice. Er is weer een aardigassortiment posters en hebbedinge-tjes in de stand. We hebben gelukkig

Foto’s 1 t/m 4De bezoekers van de jaarvergadering/studiedag zijn met moeite naar de plenairezitting te bewegen. Er is volop drukte bij de standjes van demarkt met puzzels, wiskundige hebbe-dingetjes en leesvoer. De Zebraboekjes vanuitgeverij Epsilon (foto 1) vinden gretigaftrek.Op foto 2 zien we, rechts van het midden,bestuurslid Henk Rozenhart.

Foto 5Penningmeester Swier Garst geeft tijdensde jaarvergadering een overzicht van definanciële stand van zaken. Daarbij wordtook het punt aangeroerd van een noodza-kelijke verjonging van het ledenbestandom onze toekomst zeker te stellen.

Foto 6Coördinerend inspecteur van het onderwijsbuiten dienst Wim Kleijne wordt met alge-mene instemming benoemd tot erelid vande NVvW. Let u op het NVvW-speldje dathij gekregen heeft bij zijn afscheid alsinspecteur en nu met trots draagt.

Foto’s 7 t/m 12De plenaire lezing over veelvlakken wordtverzorgd door Marco Swaen (foto 7) dieons de vele aspecten en structuren vanveelvlakken laat zien. Thijs Notenboom (foto 8) laat daarbij zienhoe de bol die uit vlakken is opgebouwd,kan uitdijen en inkrimpen.Onder de toehoorders bevinden zich talvan bekenden, zoals van links naar rechtsChris Zaal (voorzitter WisKids-project-team), professor Van der Blij en professorDirk Siersma, voorzitter van de Nederland-se Onderwijscommissie Wiskunde (foto 9).De prijswinnaars van de Pythagoras Veel-vlakkenprijsvraag worden in het zonnetjegezet door professor Van der Blij (foto 10en 11), die dat weer met zichtbaar veelplezier en enthousiasme doet. Ook hetkadootjes geven aan de jonge veelvlak-kunstenaars gaat hem goed af.Op foto 12 zien we enkele prijswinnaarsop de voorste rij.

Foto 13Tijdens de wandelende lunch met brood,soep en koffie is Agnes Verweij in eengeanimeerd gesprek verwikkeld met eenpaar van haar (oud-)studenten.

Foto’s 14 t/m 18De bezoekers van de jaarvergadering kon-den kiezen uit een twintigtal workshops,die gehouden werden in de klaslokalenvan het Cals College te Nieuwegein. Erwerd aandachtig geluisterd (op foto 14helemaal rechts Euclides-redactielid WimLaaper), druk gediscussieerd (op foto 15redactielid Klaske Blom) en uitermate seri-eus gewerkt aan ‘leren en spelen’. Strategi-sche spelletjes bieden rijk onderwijs - vooralle leeftijden (foto 16).Van spel-element naar rekenen en redene-ren geven workshopleider Harrie Broekmanen docente Frédérique Siegenbeek getui-genis op foto 17.Ingrid Berwald (foto 18) van het APS legtuit hoe je met een korte opdracht de leer-lingen bij de les krijgt. De foto laat zienhoe Ingrid met de handen een boomstruc-tuur uitduidt, met op de achtergrond degele herfsttinten van de bomen die hetCals College omringen.

Foto’s 19, 20, 21Tot slot verzorgde drs. Leo Prick, bekendvan zijn column in het NRC Handelsblad,de lezing rondom het hedendaagse wis-kundeonderwijs (foto 19), waarbij hij nuen dan een lach aan het publiek kon ont-lokken (foto 20).Op foto 21 zien we tot slot Leo Prick ingesprek met de voorzitter van de NVvWMarian Kollenveld (rechts) en bestuurslidMarianne Lambriex (midden).

Tekst en foto’s

Metha Kamminga (e-mailadres:

[email protected]).

Voor de NVvW is zij bestuurslid, voorzitter van

de hbo-werkgroep en aanspreekpunt voor de PR.

VerenigingsnieuwsBeeldverslag studiedag/jaarvergadering 2003 Op 15 november j.l.

werd de jaarlijkse NVvW-jaarvergadering/studiedag gehouden, met dit keer

als thema: ‘Wiskids geeft wiskunde kleur’. Een impressie.

[ Metha Kamminga ]


1

2

3

4

5


6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Puzzel 794 - Borromeaanse variaties

De redactie heeft mij verzocht een poging tedoen om het thema ‘kunst’ van dit Euclides-nummer ook in de rubriek Recreatie teverwerken.

In figuur 1 ziet u de Borromeaanse ringen. Zezijn genoemd naar een Italiaanse familieBorromeo voor wie deze ringen de onderlingeverbondenheid symboliseerden: als één van deringen breekt, zijn de twee andere niet langergeschakeld.De middelpunten zijn de hoekpunten van eengelijkzijdige driehoek; in het vervolg nemen weaan dat de lengte van de zijden 1 is. De stralenvan de cirkels noemen we p en q, met p < q. Infiguur 1 zijn de stralen zó gekozen dat er geenbeweging zit in het ringenstelsel. Dat komtneer op p�

13

�3� en q�23

�3�.Een Amerikaans biermerk gebruikt hetBorromeaanse symbool overigens metaanzienlijk slankere ringen.

De Borromeaanse ringen zijn ook drie-dimensionaal te tekenen. Een mooi voorbeeld isde prent van Rinus Roelofs op de voorkant vanhet oktobernummer van Euclides. Daar zien wezes ringen om een bol; als je twee ‘evenwijdige’ringen wegdenkt, blijven er vier losse over.

Heel andere variaties krijgen we bij deuitbreiding naar een triangulair rooster (metroosterafstand 1). Om ieder punt slaan we tweecirkels, weer met stralen p en q; p < q.Als p�

12

en q� 13

�3�, ontstaat figuur 2. Dezezeshoek is een vlakvuller. Misschien leuk vooreen terrastegel; ik stel het ontwerpje gratis terbeschikking. Als het terras af is, kom ik graageven kijken. De ringen zijn hier duidelijk nietBorromeaans geschakeld.

In de figuren 3 en 4 zien we triangulaireroosters met grotere ringen. Ook hier zijn deafmetingen weer zó gekozen dat er geenbeweging in zit.

Opgave 1Bepaal het paar p,q voor figuur 3.

Opgave 2Bepaal het paar p,q voor figuur 4.

Oplossingen kunt u mailen [email protected] of per gewone post sturen naarF. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede.Er zijn weer maximaal 20 punten te verdienenmet uw oplossing. De deadline is 23 februari 2004.Veel plezier!

Puzzel 794 Recreatie[ Frits Göbel ]


FIGUUR 1 FIGUUR 2

FIGUUR 3 FIGUUR 4

Oplossing ‘Fibonacci’

Er kwamen tien oplossingen binnen waarvannegen foutloos. Eén inzender probeerde alleenopgave 2, maar heeft deze helaas verkeerdbegrepen.

In de inleidende tekst van de Fibonacci-opgaveheb ik drie ‘fraaie eigenschappen’ genoemd. Inde eerste stond een drukfout: f (n + j) moestnatuurlijk f (n + 1) zijn.

Opgave 1De kleinste modulus die een periode van 13oplevert is 521. Er zijn diverse startparenmogelijk; het paar (1, 422) werd door deoplossers het vaakst genoemd. Er zijn overigensslechts 40 perioden van de lengte 13, tegenover10420 van de lengte 26.

Eén inzender loste de opgave met alleen decomputer op.Wobien Doyer onderzocht alle periodenwaarvan de lengte een priemgetal n is. Eenbijbehorende modulus isf(n - 1) + f(n + 1) = L(n),een startpaar is (f(n + 1) + 1, f(n - 2) + 1).De getallen L(n) staan bekend onder de naamLucas-getallen en ze voldoen aan dezelfderecursie als de Fibonacci-getallen: 1, 3, 4, 7, 11,18, 29, …

Opgave 2De nieuwe coëfficiënten zijn p2 + 2q en –q2.Slechts één oplosser, Dick Buijs, deed hetongeveer op de manier die mij voor ogenstond, namelijk met behulp van dekarakteristieke vergelijking van de c-rij. Dewortels bij de d-rij zijn de kwadraten van dewortels bij de c-rij. Het aardige is dat het nieteens nodig is om die wortels expliciet tebepalen (alhoewel dat natuurlijk niet moeilijkis).

De overige inzenders schreven de recursie voorde c-rij op voor n, n + 1 en n + 2, en bepaaldenhieruit op eenvoudige wijze de gevraagdecoëfficiënten. Ik heb deze methode niet eensoverwogen, omdat ik er vroeger meestal meevastliep.Twee inzenders ‘klaagden’ over de eenvoud vande tweede opgave. Mijn excuses; het zal nietweer gebeuren!

De top van de ladder ziet er nu als volgt uit:T. Afman en W. Doyer: 160,D. Buijs: 119,T. Kool: 86,L. de Rooij: 80,A. Verheul: 79.De volledige ladderstand is weer te vinden opde website van de NVvW(www.nvvw.nl/euclladder.html).

Recreatie


Oplossing 792


KalenderIn deze kalender kunnen alle voor wiskunde-docenten toegankelijke en interessantebijeenkomsten worden opgenomen.Wil eenieder die relevante data heeft, deze zospoedig mogelijk doorgeven aan de hoofd-redacteur. Hieronder treft u de verschijnings-data aan van Euclides in de lopende jaargang.Achter de verschijningsdata is de deadline voorhet inzenden van mededelingen vermeld.Doorgeven kan ook via e-mail: [email protected]

nr verschijnt deadline

5 26 februari 2004 13 januari 2004

6 15 april 2004 2 maart 2004

7 26 mei 2004 30 maart 2004

8 24 juni 2004 11 mei 2004

6 en 7 februariNationale Wiskunde DagenOrganisatie Freudenthal InstituutZie pagina 124 in Euclides 79-3.

vrijdag 13 februariBWI-middag (voor docenten en leerlingen)Organisatie VU, Amsterdam

vrijdag 19 maartKangoeroe 2004Organisatie KUN

19 en 20 maartFinale Wiskunde A-lympiade 2004Organisatie Freudenthal Instituut

25 en 26 maartNationale RekendagenOrganisatie Freudenthal Instituut

16 en 17 aprilNederlands-Belgisch Mathematisch CongresOrganisatie KWG en BWG

donderdag 22 april4e Conferentie ICT in het onderwijsZie pagina 125 in Euclides 79-3.

vrijdag 14 meiLeve de wiskunde! Open dag voor docentenOrganisatie Korteweg de Vries Instituut

zaterdag 15 mei10e HKRWO-SymposiumOrganisatie Historische Kring Reken- enWiskundeonderwijsZie pagina 201 in dit nummer.

Voor nascholing zie ookwww.nvvw.nl/nascholing.html

Voor overige internet-adressen ziewww.nvvw.nl/Agenda2.html

Publicaties van deNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

* Zebra-boekjes1. Kattenaids en Statistiek2. Perspectief, hoe moet je dat zien?3. Schatten, hoe doe je dat?4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto6. Pi7. De laatste stelling van Fermat8. Verkiezingen, een web van paradoxen9. De Veelzijdigheid van Bollen

10. Fractals11. Schuiven met auto’s, munten en bollen12. Spelen met gehelen13. Wiskunde in de Islam14. Grafen in de praktijk15. De juiste toon16. Chaos en orde

* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwoDit rapport en oude nummers van Euclides(voor zover voorradig) kunnen besteld wordenbij de ledenadministratie (zie Colofon).

* Wisforta - wiskunde, formules en tabellenFormule- en tabellenboekje met formulekaartenhavo en vwo, de tabellen van de binomiale ende normale verdeling, en toevalsgetallen.

* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboekvan de NVvW.Het boek is met een bestelformulier te bestellenop de website van de NVvW(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).

Voor overige NVvW-publicaties zie de website:www.nvvw.nl/Publicaties2.html

Servicepagina

Nieuw

Netwerk en de Grafischerekenmachine

Bij de bovenbouweditie van Netwerk zijn nu twee

boekjes over het gebruik van de grafische reken-

machine (GRM) verschenen. Deze boekjes, één

bestemd voor het havo en een voor het vwo, zijn

zowel geschikt voor Casio CFX-9850+ als TI-83+

gebruikers.

Wat bieden de boekjes?

• 17 uitgebreid omschreven onderwerpen in het havo boek.

• 28 uitgebreid omschreven onderwerpen in het vwo boek.

• duidelijke aanwijzingen waar en wanneer de GRM kan worden ingezet.

• in de meeste gevallen naadloze aansluiting bij de opgaven van het hoofdboek.

• mogelijkheid om uw leerlingen zelfstandig de leerstof door te laten werken.

• de boekjes kunnen bij zowel wiskunde A als wiskunde B gebruikt worden.

Neem ook eens een kijkje op www.netwerk.wolters.nl.Hier vindt u een aantal voorbeeldonderwerpen.

De boekjes zijn alleen voor rekening leverbaar. Stuur de bon in een ongefrankeerde envelop naar Wolters-Noordhoff, t.a.v. Sandra Kooijstra, Antwoordnummer 13, 9700 VB Groningen

Ja, ik bestel

ex. Netwerk havo bovenbouw grafische rekenmachine Aanwijzingen en Onderwerpen ad. € 7,50 per deel 90 01 83376 4

ex. Netwerk vwo bovenbouw grafische rekenmachine Aanwijzingen en Onderwerpen ad. € 8,50 per deel 90 01 83371 3

Naam school

T.a.v.

Adres

Postcode

Plaats

Be

ste

lbo

n

✂

419/3103 – 105

Ook verkrijgbaar via de boekhandel

Kunst Wiskunde - NVvW · 2016. 8. 9. · NVvW-voorzitter Marian Kollenveld op de voorstellen d.d. 4...

Documents

Transcript of Kunst Wiskunde - NVvW · 2016. 8. 9. · NVvW-voorzitter Marian Kollenveld op de voorstellen d.d. 4...