REACTIES OP VERWONDERING - NVvW · Voordat de deﬁnitieve voorstellen naar de Kamer gaan, krijgt...

februari2003/nr.5

jaargang 78

REACTIES OP‘RUIMTE EN KEUZES’

OMZIEN IN VERWONDERING

5

febru

ari 20

03

JAA

RG

AN

G 7

8

Redactie

Bram van AschKlaske BlomMarja Bos, hoofdredacteurRob BoschHans DaaleGert de Kleuver, voorzitterDick Klingens, eindredacteurWim Laaper, secretarisElzeline de LangeJos Tolboom

Artikelen/mededelingen

Artikelen en mededelingen naar:Marja BosMussenveld 137, 7827 AK Emmene-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelen:

• goede afdruk met illustraties/foto’s/formules op juiste plaats of goed in de tekstaangegeven.• platte tekst op diskette of per e-mail: WP, Word of ASCII.• illustraties/foto’s/formules op aparte vellen:genummerd, zwart/wit, scherp contrast.

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

www.nvvw.nl

VoorzitterMarian KollenveldLeeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: [email protected] KuipersWaalstraat 8, 8052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail: [email protected] van Bemmel-HendriksDe Schalm 19, 8251 LB Drontentel. 0321-312543 e-mail: [email protected]

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpersfoto omslag Peter Tahl, Groningenproduktie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie verenigingsjaar 2002-2003

Leden: €40,00Gepensioneerden: €25,00Studentleden: €20,00Leden van de VVWL: €25,00Lidmaatschap zonder Euclides: €25,00Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden gevenzich op bij de ledenadministratie.Opzeggingen vóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf heteerstvolgend nummer.Voor personen: €45,00 per jaarVoor instituten en scholen: €120,00 per jaarBetaling geschiedt per acceptgiro.Opzeggingen vóór 1 juli.Losse nummers op aanvraag leverbaar voor €15,00.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:Leen Bozuwa, Merwekade 903311 TH Dordrecht, tel. 078-639 08 90 fax 078-6390891 e-mail: [email protected] Freek Mahieu, Dommeldal 125282 WC Boxtel, tel. 0411-67 34 68

Euclides is het orgaan van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren. Het bladverschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

ISSN 0165-0394

Va n d e r e d a c t i e t a f e l[ Marja Bos ]

Ruimte laten, keuzes bieden?In dit nummer uiteraard aandacht voor de herinrichtingsvoorstellen in hetrapport ‘Ruimte laten en keuzes bieden in de tweede fase havo en vwo’.Onderwijsbonden en organisaties van schoolleiders en besturen lijken heeltevreden - bèta-docenten zijn het voor het merendeel beslist niet.

Vanaf blz. 258 vindt u het commentaar van NVvW-voorzitter MarianKollenveld op deze voorstellen. Nadere informatie over de plannen is telezen op blz. 214 van dit nummer. Natuurlijk kunt u ook het rapport zelfraadplegen, te downloaden vanaf de website van de Vereniging(www.nvvw.nl).

Inmiddels zijn de bèta-krachten zich aan het bundelen om vóór 10 maarteen duidelijk signaal af te geven aan het ministerie: ‘Dit zijn geen goedeplannen!’

U kunt zich uiteraard dagelijks op de hoogte stellen van de actuele standvan zaken en de laatste ontwikkelingen via onder meer www.nvvw.nl; uwactieve inbreng in de discussie is daar eveneens zeer welkom.

Omzien in verwonderingHet hoofdartikel van dit nummer, ‘Omzien in verwondering’, is eenwaardevol historisch overzicht van de hand van Edu Wijdeveld. Hijbeschrijft de onstuimige ontwikkelingen in het Nederlandse wiskunde-onderwijs gedurende de jaren zestig, de tijd van de oprichting van deCMLW (1961, Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde) en het IOWO(1971, Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs, de voorganger van hethuidige Freudenthal instituut). Wijdeveld houdt tevens een pleidooi voornader sociaal-cultureel historisch onderzoek op dit terrein.Maar dit nummer bevat meer historie. Anne van Streun blikt terug op beleid, leerplan en lespraktijk van hetwiskundeonderwijs rond 1964. Hoe werd in die tijd het denken bevorderd?In ‘40 jaar geleden’ leest u over de toenmalige opvattingen van deberoemde Russische wiskundige Kolmogorov over het beroep vanwiskundige. De bijdrage ‘Het mondeling herleeft’ van Frank van den Heuvel en KlaskeBlom laat zien dat een toetsvorm uit vroeger tijden, het mondeling, juistnu weer in het moderne Studiehuis adequaat ingezet kan worden.

Oproep ‘Bijvoegsel Nieuw Tijdschrift’De redactie van Euclides heeft het initiatief genomen tot archivering vanoude jaargangen. Dankzij uitgeverij Wolters-Noordhoff heeft de Vereniginginmiddels de beschikking gekregen over alle door WN uitgegevenjaargangen - met uitzondering van de eerste drie, toen Euclides nog als‘Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde’ door het leven ging. U begrijpt dat wij nog op zoek zijn naar die historische jaargangen. Is erwellicht een lezer die deze in zijn of haar bezit heeft en daar afstand vanzou willen doen ten behoeve van de Vereniging? U zou ons heel gelukkigmaken! Reacties graag naar [email protected]

213Van de redactietafel[Marja Bos]

214Voorstellen herinrichting Tweede fase[Marja Bos, Gerard Koolstra]

21740 jaar geleden[Martinus van Hoorn]

218Omzien in verwondering[Edu Wijdeveld]

226‘t Denken bevorderen[Anne van Streun]

228Het mondeling herleeft[Frank van den Heuvel, Klaske Blom]

231Wiskunde in vazen[Rob Bosch]

232Wiskundeboeken voor een pabo in Zambia[Ger Jongeling]

236Energizers[Ingrid Berwald]

240Vier stompe hoeken om een punt, gaat dat?[Leon van den Broek]

243Boekbespreking

244Een didactische keuze of een blunder?[Ton Lecluse, Sil van den Hoek]

248Een reis naar Polen[Irene Dalm-Hof, e.a.]

254Boekbespreking

256Eerste Reehorstconferentie wiskunde[Elzeline de Lange]

257Aankondigingen

258Verenigingsnieuws: Van de bestuurstafel[Marian Kollenveld]

260Rectificatie

262Recreatie[Frits Göbel]

264Servicepagina

Aan dit nummer werkten verder mee: JanSmit en Sam de Zoete.

Rectificatie nummer 78-4In de inhoudsopgave moet bij pag. 195 alsauteursnaam staan: Adri Treffers.En de kleur van het gehele nummer?Groen!

Voorstellen voor havo-wiskundeHet rapport stelt voor, straks slechts twee in plaats vanvier wiskundevakken aan te bieden: wiskunde EM enwiskunde NT, elk met een studielast van 320 uur.Voor het profiel C&M is wiskunde niet meer verplicht.C&M-leerlingen kunnen, indien gewenst, in het vrijedeel wiskunde EM kiezen.Voor het profiel E&M wordt de studielast wiskunde EM(of wiskunde NT) straks iets groter dan voor wiskundeA12 nu (+14%), terwijl mogelijk enige beperking in hetprogramma gaat plaatsvinden. Anderzijds is het goedmogelijk dat voor het Centraal Examen ‘geschrapte’onderwerpen weer terugkomen.In het profiel N&T verdwijnt het deelvak wiskunde B2en wordt de verplichte studielast wiskunde NTteruggebracht van 440 naar 320 uur (-27%). Daarmeeis het gelijk aan de huidige studielast voor wiskundeB1. Het programma van wiskunde NT zou in hoofd-lijnen dat van het huidige wiskunde B1 kunnenworden, mogelijk met beperkingen, maar ook mogelijkmet onderwerpen die nu voor het Centraal Examen zijngeschrapt.In het profiel N&G kunnen leerlingen in plaats vanwiskunde NT ook wiskunde EM kiezen, en omgekeerd:in het profiel E&M kan wiskunde NT gekozen worden.(Dit kan overigens alleen als de school hiervoor kiest;de nadruk in het rapport wordt steeds gelegd opschool-eigen keuzes.)

Voorstellen voor vwo-wiskundeEr komen drie profielvakken wiskunde, elk met eenstudielast van 480 uur, en er zijn plannen voor eennieuw (keuze)vak ‘voortgezette wiskunde’ (studielast440 uur).Voor de CM-leerlingen wordt wiskunde A1 (360 slu)vervangen door wiskunde CM (480 slu; +33%),

InleidingOp 9 januari 2003 stuurde minister Van der Hoeven(OCenW) het rapport ‘Ruimte laten en keuzes bieden’ terinformatie naar de Tweede Kamer. Het rapport bevatvoorstellen voor de herinrichting van de Tweede Fasehavo/vwo met ingang van 2005 of (waarschijnlijk) later.Voordat de definitieve voorstellen naar de Kamer gaan,krijgt ‘het veld’ tot 10 maart a.s. de gelegenheid om eropte reageren. U kunt het volledige rapport downloadenvan www.minocw.nl of via onze eigen website,www.nvvw.nl. Ook andere informatie over en reacties opde voorstellen zijn te vinden op (of via) www.nvvw.nl.Hieronder vindt u allereerst een beknopte beschrijvingvan een deel van de voorstellen, vervolgens een kortcommentaar, en uiteindelijk nog enkele toelichtendeantwoorden van het ministerie op de eerste vragenvanuit de NVvW.Verderop in dit nummer, op de groene Verenigings-pagina’s, vindt u een bijdrage van NVvW-voorzitterMarian Kollenveld over de voorstellen.

Bijstellingen, algemeenAllereerst een aantal meer algemene bijstellingen diein het rapport voorgesteld worden:- Meer keuzevrijheid, bewerkstelligd door een kleinergemeenschappelijk deel en door een beperking tot drievakken per profieldeel.- Leerlingen kiezen twee vakken in het vrije deel.- De bovenbouw havo/vwo moet beter organiseerbaarworden: minder vakken door opheffing van hetsysteem van deel- en heelvakken, meer vakken vanongeveer gelijke omvang.- Op het havo is een tweede moderne vreemde taal nietlanger verplicht. Op het vwo wordt een tweedemoderne vreemde taal verplicht als heeltaal i.p.v. alsdeeltaal (480 in plaats van 160 slu); de derde deeltaal(160 slu) is niet langer verplicht. Voor sommigegroepen leerlingen (dyslectici, allochtonen,bètagerichten) kan de school de tweede modernevreemde taal vervangen door aardrijkskunde.- ANW wordt binnen het gemeenschappelijk deelalleen gevolgd door M-profielers, maatschappijleeralleen door N-profielers.- Er worden voor het vrije deel van het vwo tweenieuwe keuzevakken ontwikkeld, voortgezettenatuurwetenschappen en voortgezette wiskunde.- In de slaag/zakregeling komt de compensatieregelingweer terug.

VOORSTELLEN HERINRICHTINGTWEEDE FASEOver ‘Ruimte laten en keuzes bieden’[ Marja Bos en Gerard Koolstra ]

2 1 4euclides nr.5 / 2003


gebaseerd op wiskunde A1 maar mogelijk uitgebreidmet meer culturele/maatschappelijke en/of ‘verbale’elementen.Het wiskundeprogramma voor het profiel E&M krimptin van 600 (wiskunde A12) naar 480 slu (wiskunde EMof wiskunde NT, -20%).Het wiskundeprogramma voor het profiel N&G krimptin van 600 (wiskunde B1) naar 480 slu (wiskunde NTof wiskunde EM, -20%).In het profiel N&T verdwijnt het deelvak wiskunde B2en wordt de verplichte studielast wiskundeteruggebracht van 760 (wiskunde B12) naar 480 uur(wiskunde NT, -37%).Ook hier wordt dus éénzelfde wiskundevak voorgesteldvoor de beide N-profielen. In het profiel N&G kunnenleerlingen in plaats van wiskunde NT trouwens ookwiskunde EM kiezen, en omgekeerd: in het profielE&M kan wiskunde NT gekozen worden.Uit het rapport: ‘Voor het vak wiskunde in het vwogeldt, dat daarvoor 480 studielasturenbeschikbaar worden gesteld. Dat geldt voor alle vier deprofielen. Voor de profielen N&T en N&G (en E&M) isdat minder dan in de huidige situatie. In de huidigeprofielen heeft wiskunde namelijk 760 (NT) en 600 (NGen EM) studielasturen. Dat is zeer veel meer dan alleandere vakken. Alles afwegende zijn daarvooronvoldoende redenen. Voor veel leerlingen die voor hetoverige redelijke resultaten hebben (ook in denatuurwetenschappelijke vakken) is wiskunde eenobstakel, terwijl het dat niet zou moeten zijn. Vanuit dewereld van de natuurkunde en de scheikunde wordtopgemerkt, dat de zwaarte van wiskunde leerlingenbelet om een bètaprofiel (en dus natuur-wetenschappelijke vakken) te kiezen. Met480 studielasturen en een daaraan aangepastexamenprogramma krijgt wiskunde de proporties vaneen (ander) ‘groot’ vak. Daardoor kan zowel de kwaliteitals de haalbaarheid van het wiskundeonderwijs (het vakis verplicht voor álle leerlingen in het vwo!) beterworden gediend.Er is echter ook een ander aspect. Terwijl enerzijdswiskunde voor veel leerlingen een onevenredig zwaarvak is, zijn er ook de specifiek voor wiskundegetalenteerde leerlingen. Die vinden volgens velen in hetvoor alle leerlingen ontworpen vak onvoldoendestimulans. Dat probleem kan niet worden opgelostbinnen de bestaande vakken. In de opzet van redelijkgeproportioneerde ‘algemene’ wiskundevakken metdaarnaast twee keuzevakken in het vrije deel kan hetwél worden opgelost. Voor deze leerlingen zal - insamenwerking met de wetenschappelijke wiskunde-wereld en in goed overleg met leraren wiskunde - eennieuw keuzevak worden ontwikkeld (standaardomvang,440 studielasturen), met als werktitel ‘voortgezettewiskunde’. Daarnaast zou wellicht het programmatischeverschil tussen wiskunde B (NT) en wiskunde A (EM)wat kunnen worden aangescherpt, waardoor het zinvolwordt dat een leerling met het profiel NT wiskunde Aals keuzevak in het vrije deel volgt. Het effect van beidemaatregelen zou zijn, dat voor het vak wiskunde zowelverbreding als verdieping mogelijk is. Op de hierboven

voorgestelde wijze kunnen dilemma’s bij het vakwiskunde worden opgelost op het gebied van breedte endiepgang, van vakmatige wensen en van praktischeuitvoerbaarheid.’

Commentaar in het kortIn het rapport zijn keuzes gemaakt en er schijnt ruimtegeboden te worden – maar niet voor de bètavakken.De hardste klappen vallen voor wiskunde in het profielN&T, met name in het vwo maar ook in het havo. Eenvan de uitgangspunten, de insteek dat de deelvakkenworden vervangen door (uitgebreid naar) de volledigevakken, is voor wiskunde B domweg niet nagevolgd –integendeel! De wiskunde in de N-profielen wordt inde voorstellen qua studielast dusdanig ingekrompen,dat een adequate voorbereiding op bètastudies nietmeer mogelijk lijkt. En daarmee lijkt ‘Nederland -kennisland’ voor de toekomst verder weg dan ooit.Wiskunde B12 (760 slu) wordt nu teruggebracht toteen vak wiskunde-NT van 480 slu, daarmee geenruimte meer biedend voor verdiepende elementen rondredeneren en bewijzen waar het WO destijds zonadrukkelijk om vroeg. Ook de vakken natuur- enscheikunde worden in omvang teruggebracht, zij hetwat minder dramatisch.Het keuzevak voortgezette wiskunde lijkt wellicht eeninteressante aanvullende optie, maar we vrezen dat dateen illusie zal blijken te zijn. Ongetwijfeld zal lang nietelke school dit keuzevak aanbieden - als leerlingen uitveel vakken kunnen kiezen, komen er immers meergroepen en worden de klassen kleiner, dus wordt deonderwijsorganisatie inefficiënter en duurder. Geenaantrekkelijke optie voor kleine scholen met weinigfinanciële middelen. Uitdagende (maar voorbètagerichte leerlingen wél haalbare) wiskunde diestimuleert tot de keuze van een exacte of technischevervolgstudie, die wiskunde hoort mijns inziens in hetreguliere programma thuis. En dat daarnaast hier endaar een optioneel vak ter profilering van de schoolwordt aangeboden, dat is heel wat anders. Eenstructureel probleem (gebrek aan verdiependeelementen zoals aandacht voor redeneren en bewijzen;wellicht een ongewenst vroeg afgebroken analyse-leerlijn) kan niet gerepareerd worden in keuzevak datniet standaard wordt aangeboden.De reguliere toerusting van de potentiële bètastudentbestaat dus straks uit 480 slu wiskunde-NT ofwiskunde-EM. Gezien het feit dat het hoger onderwijsnu al vaak aangeeft aan te lopen tegen een gebrek aanwiskundige vaardigheden van instromende studenten,is te verwachten dat de problemen alleen maar groterworden. (N.B. De drie TU’s (Delft, Eindhoven,Enschede) hebben vanwege de afnemende studenten-aantallen het afgelopen jaar besloten tot eendrempelloze toelating van N&G’ers met slechts 600 sluwiskunde B1 en zonder de verdiepende vakkenna/sk/wiB-2. Dat feit heeft de ontwerpers van devoorstellen ongetwijfeld aangemoedigd tot een verdereinperking van de studielast voor de bètavakken.)Op het havo gaat wiskunde voor de N&T-profielersterug van 440 slu naar 320 slu, een mijns inziens

die door Offerein en Robberse naar voren werdengebracht, onder meer als antwoord op vragen vanuitde vakverenigingen (en vanuit de NVvW in hetbijzonder):- Doel van de herinrichting: oplossen van deproblemen in de Tweede Fase.- Zaken als organiseerbaarheid (‘dus’ standaardiseringin het aantal slu’s) en ruimte voor keuzes staan daarbijals uitgangspunten voorop.- Bezwaren die ingebracht worden zonder daarbijoplossingen of alternatieven voor de problemen aan tedragen, zullen door het ministerie terzijde wordengelegd.- Er heeft, ter voorbereiding van de voorstellen, geensystematische raadpleging plaatsgevonden van bèta-organisaties. Wel hebben informele gesprekkenplaatsgevonden.- Voortgezette wiskunde en voortgezette natuur-wetenschappen kunnen niet verplicht gesteld wordenvoor de toegang tot bepaalde studies in het WO. Zekunnen hooguit de status ‘gewenst’ krijgen.- Scholen mogen zelf beslissen of ze de keuzevakkenvoortgezette wiskunde en/of voortgezette natuur-wetenschappen aanbieden.- Voor het havo wordt niet gedacht aan deontwikkeling van een vak als voortgezette wiskunde,maar er wordt wel gedacht aan de mogelijkheid, vwo-wiskundevakken aan te bieden aan sterke bèta-leerlingen in het havo.- NG zonder natuurkunde en zonder wis-NT, maar mètwis-EM, scheikunde en biologie, wordt door hetministerie wel degelijk als bètaprofiel gezien. ‘Voorgeneeskunde en voor studies in Wageningen is welscheikunde, maar geen natuurkunde nodig.’- Een vaste norm voor het gewicht van de PraktischeOpdrachten wordt losgelaten. Vrijheid voor de scholenstaat voorop.- De inhoudelijke invulling van de gewijzigdeprogramma’s staat nog min of meer open. In hetrapport worden daarvoor slechts indicaties gegeven. De procedure voor die invulling ligt nog niet vast; ‘hetveld’ kan meedenken.- Vanwege de voorgestelde zware ingrepen in eenaantal wiskundeprogramma’s zal nog vóór 10 maarteen apart gesprek plaatsvinden tussen vertegen-woordigers van het ministerie en bestuursleden van deNVvW.

De minister luistertMinister Van der Hoeven heeft aangegeven dat ze‘goed wil luisteren naar wat de mensen uit de praktijkvan deze voorstellen vinden’. Oordeelt u zelf.Tot 10 maart a.s. is er nog tijd om de voorstellenkritisch te bestuderen, voor een goede inhoudelijkediscussie (bijvoorbeeld via de website), en vooreventuele reacties, bezwaren en alternatieveoplossingen. Deze kunt u vóór 10 maart sturen naar deMinister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen,mevrouw M.J.A. van der Hoeven, Postbus 25000, 2700 LZ Zoetermeer. Intern kunt u uw reactie kwijt opde website van de NVvW (www.nvvw.nl).

ontoereikende voorbereiding op veel opleidingenbinnen het hbo, temeer daar het de bedoeling is hetprogramma te baseren op het huidige wiskunde B1,waarvan het karakter niet echt uitgesproken exactmeer te noemen was.

Ook het huidige profiel N&G krijgt een volledig andergezicht. Het vak natuurkunde verdwijnt hieruit alsverplicht profielvak. Daarmee zal dit ‘N-profiel’ (?!) z’nbètakarakter verliezen. (Niet duidelijk is immers, hoeveelleerlingen dit vak alsnog in de vrije ruimte zullenkiezen.) Hoe ernstig dat is voor medische vervolg-opleidingen is nog niet geheel duidelijk, maar van eensamenhangend natuurwetenschappelijk karakter zal indit profiel geen sprake meer kunnen zijn.Op blazijde 19 van het rapport staat over het profielN&G: ‘Bovendien wordt het profiel door deze keuze-mogelijkheid (wis-EM in plaats van wis-NT; MB)haalbaar en aantrekkelijk voor een grotere groepleerlingen. Dat is van belang in verband met debehoefte aan bèta-opgeleiden.’ Maar praten we nogover een a.s. bèta-opgeleide bij iemand zondernatuurkunde en zonder bèta-wiskunde?

We zijn enigszins verbaasd over de uitbreiding van hetvwo-vak wiskunde A1 tot een vak wiskunde CM meteen omvang van 480 slu, in vergelijking met degemaakte keuzes voor het havo (geen wiskunde-verplichting voor C&M’ers). Als het gaat om devoorbereiding op een sociale studie in het WO isinderdaad een relatief stevig wiskundevak nodig, metveel aandacht voor statistiek – dat zou een vak als hethuidige wiskunde A12 kunnen zijn (600 slu). Maar alshet uitgangspunt ‘wiskunde verplicht voor allen’ nublijkbaar losgelaten wordt, moet ook erkend wordendat in het vwo leerlingen aan te wijzen zijn met weinigtalent voor wiskunde en desondanks mogelijkheden inhet WO (talen, geschiedenis, culturele studies). Voorhen zou een wiskundevak van beperkte omvang metvooral aandacht voor gecijferdheid (à la havo-A1) enverbale en culturele aspecten voldoende kunnen zijn.

Het bovenstaande pretendeert niet een diepgaande of‘volledige’ analyse van de voorstellen te zijn, maarslechts een kort commentaar. Een kritischeinhoudelijke discussie is inmiddels onder groteaantallen bètadocenten op gang gekomen, niet alleenop de website van de NVvW maar ook op die van deNVON (docenten/TOA’s natuur- en scheikunde, biologieen ANW; www.nvon.nl).

Toelichting OCenWOp 15 januari jl. woonde ik [MB] een bijeenkomst overdeze voorstellen bij van het ministerie van OCenW tenbehoeve van het platform VVVO (overkoepelendevereniging van vakverenigingen in het VO).Vertegenwoordigers van de vakverenigingen kondenvragen stellen aan Roelco Offerein en Jannita Robbersevan het ministerie van OCenW. Namens het bestuurvan de NVvW was Henk Rozenhart aanwezig.Ter informatie schets ik een aantal aandachtspunten



40 j

aar

gele

den

Gedeelten van een artikel in Euclides, jaargang 38 (1962-1963)

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mail: [email protected]),

voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

I vwo/havo/mavo vanaf 1963Heroriënteringscursussen 1e-graads leraren vhmo(Kweekschool; HBO): verzamelingenleer, logica,groepentheorie, lineaire algebra en meetkunde, enz.vanaf 1964Rapport aan de staatssecretaris inzake een in te richtenpermanent Studiecentrumvanaf 1965/1966Schoolexperimenten Algebra en Analyse, Meetkundemet Vectoren (bovenbouw), Algebra en Meetkunde(onderbouw)1966Verzoek van de minister tot opstellen concept-leerplannen t.b.v. gehele Mammoetwet (brugklas,mavo, havo en vwo)vanaf 1966Heroriënteringscursussen leraren mavo/lbo1967Interimrapport annex discussienota’s metleerplanvoorstellen ? Voorstel ‘Leerplan wiskundeRijksscholen’ (ingevoerd per 1-8-’68)vanaf 1968Toelichtingsnota’s CMLW t.b.v. brugklas,mavo/havo/vwo; Invoering nieuwe methodes ‘buitencontrole’ van de CMLW (bijv. Moderne wiskunde; VanA tot Z)vanaf 1968Meer methodisch/didactisch-gerichte

Kort overzichtZoals bekend is over het fenomeen van de New Mathbeweging nationaal en internationaal al heel watgeschreven. In het bijzonder wat de CommissieModernisering Leerplan Wiskunde betreft, de CMLW,verwijs ik u bijvoorbeeld graag naar die mooie uitgavevan de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren‘Honderd jaar wiskundeonderwijs’[1], waar opverschillende plaatsen over de feiten en gevolgen vanhet nieuwe leerplan 1968 is geschreven. Ook in dedissertatie van Ed de Moor, ‘Van vormleer naarrealistisch meetkundeonderwijs’[2], kunt u uitvoerigterecht voor de ontstaanswijze en opvatting van CMLWen IOWO en wat daaraan voorafging. En omdat ik mein mijn bijdrage liever wil richten op het verhaalachter het ontstaan van beide instellingen, geef ik u alsreminder een kort overzicht van het feitenmateriaal.

1958Invoering nieuw leerplan vhmo gymnasium en hbs(met o.m. analytische meetkunde en beginseleninfinitesimaalrekening; vooralsnog geen statistiek)

1959Congres Royaumont (‘A bas Euclide’)

1961Instelling CMLW Activiteiten ten aanzien van:

OMZIEN IN VERWONDERINGVoordracht gehouden tijdens het symposium ‘De roerige jaren zestig’van de Historische Kring Reken-Wiskunde Onderwijs (HKRWO) op 25 mei 2002[ Edu Wijdeveld ]


heroriënteringscursussen 1e-graads leraren; idem:3e graads leraren via zgn. ‘Centrale CommissieBegeleiding Mavo Wiskunde’ (CCBMW)1968Rapport over wenselijkheid/mogelijkheid van invoeringWaarschijnlijkheidsrekening en Statistiek, resp.Computer(wis)kunde in mavo/havo/vwo, gevolgd vanaf 1969/1970door schoolexperimenten

II hoger beroepsonderwijs1969Instelling subcommissie Wiskunde in Hoger BeroepsOnderwijs (WIHBO), met subcommissies voor o.a. hto,heao, enz.

III basisonderwijs/PA1967Rapport werkgroep Basisonderwijs ? CMLW ? minister1968‘10-jarenplan’ BO/PA (open, democratische, integraleleerplanontwikkeling); installatie regionalewerkgroepen PA (leraren wiskunde en pedagogiek)1969Eerste PA-conferentie inzakevernieuwingsmogelijkheden BO; Project ‘Wiskobas’1970‘Wiskobasta’? ? moties CMLW ? audiëntiestaatssecretaris Grosheide1971Instelling IOWO

VraagstellingenDe kern van mijn verhaal, ‘Omzien in verwondering’,laat zich in feite samenvatten in twee vraagstellingen:a. Hoe is het mogelijk geweest dat de New Mathbeweging vrijwel mondiaal het wiskundeonderwijs inz’n greep kreeg, om nadien, zoals prof. Freudenthal datin 1985 uitdrukte, weer een ‘smadelijke nederlaag telijden’?[3]

b. Hoe is het mogelijk geweest, dat uitgerekendNederland, zelfs internationaal bezien, vanuit hetbasisonderwijs het tij wist te keren, tot wat nu intermen van Adri Treffers ‘realistisch reken-wiskunde-onderwijs’ heet?En daarbij veronderstel ik stilzwijgend dat u uit eigenervaring wel een impressie heeft van wat die terminhoudt: een reken-wiskundeonderwijs dat inuitgangspunt aansluiting zoekt bij de concrete ofgedachte realiteit van de leerling.

En op voorhand – en daarmee schaar ik me graagachter de oproep die de HKRWO in dezen heeft gedaan– zou ik een krachtig pleidooi willen houden voornader sociaal-cultureel historisch onderzoek naar beidefenomenen.

Van DantzigIn april 1968 publiceert de CMLW de Toelichting op hetLeerplan Wiskunde[4], in vervolg op de voorstellen diede Commissie eind 1967 aan de minister had

aangeboden ten behoeve van het zogenaamde nieuweleerplan wiskunde voor de Rijksscholen 1968.

In de Inleiding op die Toelichting, die in eersteinstantie bedoeld is voor de brugklas, wordt naar eenbijdrage verwezen van prof. D. van Dantzig in hetrapport ‘The function of Mathematics in modernsociety and its consequence for the teaching ofmathematics’, dat de Nederlandse subcommissie van deInternationale Commissie voor Wiskunde-onderwijs in1954 uitbracht.[5]

In die bijdrage wijst Van Dantzig - en ik citeer deToelichtingsnota - (…) op de sterke groei van het gebiedwaar wiskunde wordt toegepast en de daarmee gepaardgaande grote vraag naar wiskundigen en naar mensendie in staat zijn bepaalde soorten wiskunde toe tepassen in vakken buiten de wiskunde. Als belemmeringbij het voldoen aan deze vraag, noemde hij het nietaangepast zijn van het leerplan aan de ontwikkelingvan de wiskunde in de laatste decennia.Maar meer dan de rechtvaardiging die de CMLW in diepassage zag voor de maatschappelijke relevantie vanhaar leerplanvoorstellen, doelde Van Dantzig in datartikel vooral ook op een geheel andere benaderingvan toegepast wiskundeonderwijs dan de Commissie opdat moment voor ogen stond.

Van Dantzig, overleden in 1959, was tot 1940hoogleraar in Delft. Zijn studiegebied was onder meerde topologie, maar bijvoorbeeld ook de thermo-dynamica en de elektrotechniek. Voorts was hij sterkbeïnvloed door de taal-filosofisch gerichte signifischeschool van Mannoury uit de twintiger jaren. Na 1945werd hij hoogleraar in Amsterdam in de zogenaamde‘leer der collectieve verschijnselen’ (lees: demathematische statistiek).Reeds eerder had hij zich gemengd in de vraag naar demaatschappelijke waarde van wiskundeonderwijs ineen gelijknamig artikel in 1927 in Euclides (jaargang3). Maar in de toen gaande discussie over de mate vangestrengheid van de opbouw van het wiskunde-onderwijs, waarin onder meer de namen vanDijksterhuis ter ene zijde en die van mevr. Ehrenfest-Afanassjewa ter andere zijde vigeerden, bleef datartikel vrijwel onopgemerkt.

Welke waren nu die ‘ontwikkelingen in de wiskundevan de laatste decennia’, waar Van Dantzig in 1954over spreekt? Laten we ze categoraal in tweehoofdstromen benoemen:- enerzijds het fundamentele grondslagenonderzoek, datal vanaf het midden van de 19e eeuw zulke krachtigeimpulsen had ondergaan, onder meer culminerend inde oprichting van de Bourbaki-groepering in dedertiger jaren, die het gehele wiskundebouwwerkopnieuw wilde funderen tot één organisch structureelgeheel op basis van een uniforme taal (verzamelingen,relaties, functies) en logica,- anderzijds de zich, alweer sinds de industriëlerevolutie van de 19e eeuw, razendsnel uitbreidendewereld van de toegepaste wiskunde, niet alleen in


natuurwetenschappen, techniek, economie, e.d., maarmet name na de tweede wereldoorlog ook in eenuiteenlopend scala van wetenschappen (medisch,biologisch, sociaal-pedagogisch, …) alsmede in velesectoren van bedrijfsleven en industrie.En in die vlak na de tweede wereldoorlog heersendeovertuiging van de essentiële bijdrage die dewetenschap aan het cultureel-maatschappelijk herstel-en vernieuwingsbeleid zou leveren, introduceerde VanDantzig een nieuwe vorm van wiskundebeoefening:het wiskundig modelleren als concretisering van hetmathematiseringsproces.

In zijn dissertatie ‘Jaren van berekening’[7], waaraan ikveel heb ontleend, spreekt Gerard Alberts in ditverband over de doorbraak van ‘toegepaste wiskunde’naar ‘toepassingsgerichte wiskunde’.Enigszins karikaturaal gezegd kan men bij toegepastewiskunde denken aan binnen de wiskunde ontwikkelde


producten en technieken -bijvoorbeeld uit de analyse-die in andere disciplines als zodanig gebruikt wordendoor vertegenwoordigers van die disciplines. Bijtoepassingsgerichte wiskunde echter treedt dewiskunde (de wiskundige) buiten zijn eigen wereld, enstelt zich in dienst van die andere discipline met zijngeneraal toepasbare denkvorm van het mathematiserenen wiskundig modelleren. En met die laatste benadering van het mathematiserenen wiskundig modelleren realiseerde Van Dantzig ‘desprong van doel op middel’, de veel geciteerdeuitspraak van L.E.J. Brouwer, doelend op het algemeenvermogen van de mens zijn wereld (het doel)wiskundig (het middel) te bekijken. Concreet: statistiek en kansberekening waren reedslang gebruikte technieken in economie, astronomie,levensverzekering, enzovoorts, maar hypothesetoetsingten behoeve van een industriële of bedrijfskundigeprobleemstelling, met een aan dat probleem verwante

Prof. dr. D. van Dantzig (1900-1959) FIGUUR 1 Het mathematiseringsproces als didactischdenkmodel

graad van nauwkeurigheid – nu gemeengoed – werdeen nieuw fenomeen, naast bijvoorbeeld numeriekebenaderingen met behulp van de (eerste) computers.

Het in 1946 op instigatie van Van Dantzig cum suïsopgerichte Mathematisch Centrum - het huidige CWI -paste deze nieuwe techniek van het mathematischmodelleren toe op een veelheid van probleemstellingenuit industrie en bedrijfsleven. Zo werden bijvoorbeeldop verzoek vàn, en in samenspraak mét Rijkswaterstaatberekeningen gemaakt - onder zekere premissenuiteraard - van de vereiste dijkhoogten voor deDeltawerken.In het bijzonder ook heeft deze nieuwe vorm vanwiskundebeoefening vanaf 1956 geleid tot daaroptoegespitste opleidingen voor wiskundig ingenieur inDelft, Eindhoven, Twente, leidend tot research- enorganisatiewiskundigen, die in de industrie en hetbedrijfsleven emplooi vinden.

Het mathematiseringsproces als didactischdenkmodelMeer dan de CMLW in haar Toelichtingsnota beoogde,doelde Van Dantzig in dat eerder genoemde artikel uit1954 ook op de mogelijke consequenties van dezenieuwe vorm van wiskundebeoefening voormaatschappelijk relevant wiskundeonderwijs. Dat hetdesondanks nog 25 jaar zou duren voor diemogelijkheden ook metterdaad benut werden lag danook minder aan de CMLW dan wel aan het projectWiskobas voor de basisschool, dat eind zestiger jarende weg insloeg naar wat nu realistisch reken-wiskundeonderwijs heet.

Ook daarom ben ik wat langer stil blijven staan bij defiguur van Van Dantzig, omdat mij in die doorbraaknaar maatschappelijk relevant wiskunde-onderwijs deparallel trof met wat toen, in 1946, een doorbraakbleek te zijn naar maatschappelijk relevante wiskunde-beoefening. Immers, ook in die realistische onderwijs-benadering wordt de generaal toepasbarebenaderingswijze van het mathematiseren tengrondslag gelegd aan het onderwijsleerproces, intermen van ‘wiskundige wereldoriëntatie’, ‘rijkecontexten’, ‘wiskunde als menselijke activiteit’, e.d. In hoeverre die parallel stand houdt, vooral ook in z’nsociaal-culturele context, zou wat mij betreft eenbelangrijk onderdeel moeten zijn van het hiervoorgepropageerde historische onderzoek.

Laat ik het voorgaande illustreren aan eenvereenvoudigde weergave van wat ik elders ‘hetmathematiseringsproces als didaktisch denkmodel’ hebgenoemd[8] (zie ook figuur 1).

In de alledaagse werkelijkheid doet zich een probleemvoor, dat door een wiskundige bril bekeken leidt tot eengemathematiseerde structuur (een mathematisch model).Binnen die structuur leiden wiskundige methoden entechnieken tot een conclusie, die vervolgens weer wordtterugvertaald naar die alledaagse werkelijkheid.

Men kan dat proces in vier woorden samenvatten met:‘verschralen om te verrijken’. En we herkennen erineen ‘taalslag’ (het modelleren), een ‘rekenslag’ (hetgebruik van wiskundige methoden en technieken) enuiteindelijk een ‘interpretatieslag’. Waar ons traditionele wiskundeonderwijs zichvoornamelijk afspeelde binnen die wiskundigestructuur (zeg: de rekenslag), gaat het nu in eersteinstantie om het mathematiseringsproces als geheel.Dit vormt dan tevens de genoemde onderwijskundige‘sprong van doel op middel’. Want zeker in hetaanvangsonderwijs zullen we de leerling eerst moetenleren, dat je de werkelijkheid (het doel) überhaupt dooreen mathematische bril (het middel) kunt bekijken,voordat je begint te ‘rekenen’. Voor velen is dat in hetgeheel nog niet zo vanzelfsprekend.

En vandaar, dat in de klas eerst in concreto ‘busje’wordt gespeeld, met een echte buschauffeur en haltes,waar kinderen in- en uitstappen, waarna deze ervaringgeleidelijk wordt omgezet in pijlentaal: In de bus zitten3 passagiers, 2 stappen in; hoeveel passagiers zitten nuin de bus? Notatie: 3

�2→5, om uiteindelijk te eindigenin de notatie 3�2�5.

Met deze integrale benadering van wiskundeonderwijs– met het vorderen van het niveau natuurlijk meer enmeer toewerkend naar reëel wiskundig modelleren en‘rekenen’ – krijgt ook een begrip als doelbepaling vanhet wiskundeonderwijs een meer vanzelfsprekendedimensie, zoals Adri Treffers die heeft beschreven inzijn proefschrift ‘Wiskobas doelgericht’[9] uit 1978 ennadien verder heeft uitgewerkt tot een completeleertheorie van wiskundeonderwijs voor debasisschool.

Samengevat ligt het essentiële verschil tussen deklassieke opvatting van ‘toegepast’ wiskundeonderwijsen het moderne ‘toepassingsgerichte’ ofwel realistischewiskundeonderwijs dus daarin, dat waar de eerste hetachteràf-perspectief biedt van nuttigheid voormaatschappij en studie, de laatste dit reeds opvoorhand incorporeert in het wiskundeonderwijs zèlf,via het proces van mathematisering van door deleerling als realistisch beleefde (en doorleefde)situaties.

Terug naar de CMLWZou Van Dantzig, ware hij lid geweest van de CMLW,de leerplanvoorstellen in de door hem beoogde richtinghebben kunnen doen ombuigen? Ik waag het tebetwijfelen. Niet alleen omdat in de samenstelling vande CMLW wel degelijk een aantal representanten uit deschool Van Dantzig vertegenwoordigd was, maarvooral ook omdat de vloedgolf van de New Math (diena Royaumont ook West-Europa overspoelde) ook inNederland welhaast onontkoombaar leek. En daarbijging het primair om de vermeende kloof tussen hetwiskundeonderwijs op de middelbare school enontwikkelingen in de wiskundewetenschap, met nameook in Bourbakistische zin: uniciteit, taal en logica.


De overige werkzaamheden van de CMLW in die eerstezestiger jaren heb ik u genoemd: al vanaf 1963 werdenheroriënteringscursussen voor eerstegraads lerareningericht. En tot verrassing van de CMLW, dieaanvankelijk op 150 à 200 deelnemers rekende, werddaar massaal aan deelgenomen door 500 tot 700leraren, ofwel ca. 70% van het toenmalig eerstegraadslerarenbestand. Een belangrijk gegeven, omdat daarmeetegelijk het kader gevormd werd voor de heroriënteringen begeleiding van wiskundeleraren mulo en lbo, dievanaf 1966 onder auspiciën van de CMLW een nog veelmassaler karakter zou krijgen, met op het hoogtepuntzelfs een deelnemersaantal van 2400 leraren, verdeeldover 40 cursusplaatsen in den lande.

FreudenthalProf. Freudenthal, die in het buitenland verbleef,reageerde op de notulen van die eerste vergaderingvan de CMLW met een brief (zie figuur 2), waaruit ik

Zeker, op het congres werd ook de maatschappelijkefunctie van de wiskunde benadrukt, maar – als daarlater in de leerplannen al iets van zou blijken – vooraldus opgevat in die klassieke zin van toegepastewiskunde.

Zo ook de CMLW.In haar eerste vergadering richtte zij zich met name opde bovenbouw vhmo met een indeling in β-I en β-II,waarvoor schoolexperimenten zouden wordeningericht. Daarbij werd de ruimtelijke stereometrievervangen door lineaire algebra, zeg vectormeetkunde,de analytische meetkunde door algebra en analyse. Enslechts in die zin was sprake van enige continuïteit methet leerplan ‘58, dat infinitesimaalrekening -overigensin beperkter zin- ook toen al was ingevoerd.Schoolexperimenten waarschijnlijkheidsrekening enstatistiek c.q. computerkunde werden pas in een laterstadium (vanaf 1969) doorgevoerd.


Prof. dr. H. Freudenthal (1905-1990)FIGUUR 2 Eerste blad van een brief van Freudenthalaan Monna

het volgende citeer:(…) Een discussie die hoofdzakelijk draait om eensplitsing in ?-I en ?-II legt mijns inziens de accentenminder juist. Het voornaamste resultaat hiervan kanzijn een prachtig programma van de speciaalwiskundige richting, waaraan er naar mijn overtuigingweinig behoefte is. Ik zie geen noodzaak om wiskundigestof af te wentelen van universiteit en hogeschool naarhet VHMO.En vervolgens:(…) Ik heb diverse malen, naar bekend zal zijn, betoogddat ik de modernisering van het leerplan zoals deze ophet ogenblik door velen wordt gepropageerd, geenurgent probleem acht en wel niet omdat ik aanmoderne wiskunde een hekel zou hebben, maar omdatin diverse voorstellen de introductie van moderne -leerstof als principieel doel wordt gezien. Dientegenoverzie ik als eerste en enige urgentie een verbetering vanhet wiskundeonderwijs.En tenslotte:(…) Uit het voorgaande zal ook duidelijk zijn, dat demodernisering in de onderbouw en wel in de eersteklasse zal moeten beginnen.Wat was het effect van deze vroege kritiek van prof.Freudenthal? Niet veel kennelijk, want in 1985 schrijfthij daar over: (…) Het enig effect van mijn brief was voorlopig dat ereen subcommissie onderbouw als speeltuin voor mijwerd ingericht.Een wat suggestief commentaar, omdat in die eersteCMLW-vergadering wel degelijk sprake was vanonderbouwexperimenten, al werden die voor een watlater tijdstip voorzien.Maar ondanks zijn kritische stellingname werkteFreudenthal – als altijd – loyaal mee aan de uitwerkingvan de plannen van de Commissie, met name ook watbetreft de heroriëntering van leraren in moderneonderwerpen. En al waarschuwde hij in voornoemdebrief al voor een mogelijke verslechtering van hetonderwijs door het nieuwe programma, de indruk diewel gewekt is dat Freudenthal in zijn eentje de geheleNew Math een halt toegeroepen zou hebben is op z’nminst onvolledig te noemen.

Om Freudenthals opvattingen overigens nog wat naderte illustreren, is het aardig om de doelstellingsnota tebekijken die hij eigenhandig aan het onderbouw-experiment meetkunde, dat in 1965 van start ging, tengrondslag heeft gelegd.Voor dit experiment greep de subcommissie van deCMLW terug op een experiment Bewegingsmeetkundeuit 1958, omdat, zo zei de commissie, (…) menunaniem de behoefte gevoelde aan een onderbouw-meetkunde, die naar doel en methode bepaald wordtdoor het begrip afbeelding en omdat dit experiment (…)haar doelstellingen op verheugende wijze benaderde.En die doelstelling van de hand van prof. Freudenthalluidt dan als volgt:a. een intuïtieve inleiding wordt vereist, waarbij hetkind doende moet leren, door tekenen, vouwen,plaveien, modellen maken.

b. het kind moet leren een wetenschapsgebiedmathematisch te ordenen; d.w.z. niet het geven van eenaxiomastelsel staat voor, maar een ‘monotoontoenemen’ van de exactheid met het voortschrijden dercursus.c. niet verzamelingsleer en de logica zelf moetenonderwezen worden, maar de taal die zij spreken in hetwiskunde-onderwijs.d. het meetkunde-onderwijs in de onderbouw wordt inrelatie gebracht met het onderwijs in de bovenbouw, i.c.de lineaire algebra.Anderzijds wordt de Kleinse lijn gevolgd: meetkunde iseen onderzoek van het vlak (de ruimte) naarinvarianties onder afbeeldingen van het vlak (deruimte) op zichzelf.Echter niet het groepsbegrip zij het doel in deonderbouw!

Een beginselverklaring?Ook daarom is deze doelstellingsnota zo interessant,omdat het een van de weinige momenten is binnen deCMLW waarop een meer uitgewerkte visie op dedoelstellingen van het nieuwe wiskundeonderwijsbeschreven wordt.De wens daartoe was overigens in vergaderingen vande CMLW wel regelmatig geuit. Zoals bijvoorbeeld in1963 door prof. C. Visser, naar aanleiding van eenconcept-tekst voor het a.s. schoolexperiment ‘Algebraen Analyse’:1. Wat is de motivering van deze stof?2. Waarom wiskunde op school als het met deze stofmoet?3. De stof past niet op andere vakken dan op dewiskunde zelf?4. Aan welke normen toetsen wij wat moet wordenonderwezen?5. De wiskunde moet niet geïsoleerd worden van anderevakken?En in 1964 stelde prof. J. Seidel:Er dient een principiële uitspraak te komen over devraag of het wiskunde-onderwijs behalve als disciplineom ordelijk te leren denken en inzicht te verkrijgen,nog een eigen maatschappelijke betekenis heeft.

En zo ook op een cruciale vergadering van de CMLWop 1 juli 1966, inmiddels onder leiding vanprof. F. van der Blij. Op die vergadering besloot deCommissie niet alleen in te gaan op het verzoek van deminister, nu reeds leerplanvoorstellen in te dienen vooralle sectoren van de naderende Mammoetwet, maarook om in relatie daarmee de landelijke heroriënteringvan mulo- en later lbo-leraren ter hand te nemen. Enmede in verband met die laatste categorie werdindringend gevraagd om een ‘beginselverklaring’, eendoelstellingsnota.

Uiteindelijk kwam er van zo’n beginselverklaringweinig terecht. Dat had natuurlijk in de eerste plaats temaken met de enorme omvang van de werkzaamhedenvan de Commissie: heroriënteringscursussen vooreerstegraads leraren en nu dus ook – veelvoudig in


omvang – voor mulo- en lbo-leraren. Daarnaast deverzorging en begeleiding van een viertal school-experimenten, alsmede de versnelde voorbereiding vanleerplanvoorstellen voor de totaliteit van deMammoetwet. Geen wonder dat in die genoemdevergadering dan ook verzucht werd: ‘tot hoever gaanwe?’ Maar, zoals gezegd, de Commissie ‘ging’, en erzou nog veel meer volgen.

Een tweede reden dat die beginselverklaring niet vande grond kwam was gelegen in het primaireuitgangspunt van de CMLW: de aansluiting van deschoolwiskunde op die van de universitaire studies,met de daarbij behorende vroegtijdige vastlegging vande leerstof voor heroriëntering en schoolexperimenten.De aanvankelijke samenstelling van de Commissie, inbelangrijke mate bestaande uit hoogleraren, wasdaarop ook afgestemd. Men mag veronderstellen, datdeze hoogleraren, met uitzondering van Freudenthalmisschien, zich niet als eersten geroepen voeldendoelstellingsnota’s voor het middelbaar onderwijs op testellen. Zeker, de Commissie telde naast tweeinspecteurs vhmo ook een drietal gerenommeerdeleraren-auteurs in haar gelederen (Alders, Streefkerk enVredenduin), maar ook die bekenden zich graag tot hetstructurele New Math uitgangspunt. Meer progressievedidactici uit de vijftiger jaren (Van Hiele, Boermeester,e.a.) hadden geen zitting in de Commissie. Bovendienhadden zij het in een later stadium aan de zijlijn veelte druk met de voorbereiding van nieuwe school-methodes voor het komend wiskundeonderwijs. Nee, die fundamentele ‘beginselverklaring’ zou pas laterbinnen het IOWO worden opgesteld.

Nu werd, afgezien van die eerder genoemde verwijzingnaar het artikel van Van Dantzig, in de vanaf ‘67verschenen leerplanvoorstellen annextoelichtingsnota’s slechts opgemerkt, dat het aangevenvan een motivering van het programma geeneenvoudige zaak is, want:(…)Vele meermalen door traditie bepaalde factoren,spelen hier een rol.In elk geval stelt het rapport, dat (…) de leerlingenbruikbare kennis moet worden overgedragen, inverband met (…) de toegenomen maatschappelijkebetekenis van de wiskunde. En daarnaast dient hetwiskundeonderwijs (…) de leerlingen inzicht bij tebrengen in de culturele betekenis van dit vak.Maar hoe en waarom dit programma tegemoet kwamaan die maatschappelijk en culturele betekenis van dewiskunde, werd verder niet uit de doeken gedaan. Denota’s volstonden verder met ‘Algemene richtlijnen’ bijde diverse programma-onderdelen.

Roep om eigen instituutInmiddels was de CMLW in een vrijwel onmogelijkepositie komen te verkeren.Reeds in 1964 had de Commissie geconcludeerd dat deheroriëntering van leraren in verband met devoortgaande ontwikkelingen in de wiskunde een‘permanent verschijnsel’ zou zijn. Er diende derhalve


een professioneel bureau te worden ingericht, metwetenschappelijke staf en bibliotheek. En aldus lietmen de staatssecretaris weten. Het antwoord liet langop zich wachten en was afwijzend in verband met eennog nader op te stellen nota over de landelijkeorganisatie van de leerplanontwikkeling (een nota,waarvoor in 1969 de zogenaamde COLO, CommissieOrganisatie Leerplan Ontwikkeling, werd ingesteld).Maar de CMLW liet zich niet afschrikken en herhaaldemeerdere malen z’n verzoek tot instelling van eeninstituut, met vooralsnog hetzelfde resultaat. Wel kreegde Commissie in 1966 toestemming om in verband metde coördinatie van de heroriëntering van mavo/lbo-leraren een wetenschappelijk medewerker aan testellen, i.c. de auteur van dit artikel.

En daarmee was het hek van de dam.Immers, in de daarop volgende jaren tot 1971 werdenmeerdere medewerkers aangesteld ten behoeve vangaande activiteiten van de CMLW, zoals deexperimenten bovenbouw-vhmo, de experimentenStatistiek en Computerkunde, ter ondersteuning van desubcommissie Hoger Beroepsonderwijs (de zogenaamdeWIHBO) en ten behoeve van het project Basisonderwijs(Wiskobas), dat naar omvang en opzet het totaal vande werkzaamheden van de CMLW leek te zullen gaanevenaren. En bij het ontbreken van een mogelijkerechtspositie binnen de CMLW waren al dezemedewerkers op de meest uiteenlopende wijzenondergebracht: bij de universiteit, bij de PedagogischeCentra, bij Pedagogische Academies, of vrijgesteld vanschoolverband.

De toestand werd onhoudbaar toen het projectWiskobas, dat zich inmiddels een omvangrijk landelijksteunveld van regionale werkgroepen van PA-lerarenhad weten te verwerven, in 1970 dreigde het bijltje erbij neer te leggen. Het Dagelijks Bestuur van de CMLW– inmiddels onder leiding van prof. Freudenthal – deednogmaals een dringend beroep op de staatssecretaris,akkoord te gaan met de instelling van een eigeninstituut.

IOWOUiteindelijk nam staatssecretaris Grosheide in januari1971 het moedige besluit, onder passering van deCOLO, met zo’n instelling akkoord te gaan. En zo konper 1 augustus 1971 het Instituut OntwikkelingWiskunde Onderwijs (IOWO) van start gaan, metFreudenthal als hoogleraar-directeur.

Let wel, het ging hier dus om een instituut vooronderwijs-ontwikkeling, meer dan alleen om leerplan-ontwikkeling. En daarmee werd in de naamgeving vanhet instituut in feite al die meermalen genoemde‘sprong van doel op middel’ vertolkt. Immers in hetbegrip onderwijs-ontwikkeling ligt fundamenteel desociaal-pedagogische doelvraag al besloten, metuiteindelijk de leerplanontwikkeling als afgeleide.En hoewel het Wiskobasteam aanvankelijk wel degelijkenige New Math neiging betoonde, was het toch haar

relatieve onafhankelijkheid -naast een zekere carteblanche situatie- die deze doelvraag geleidelijk kondoen beantwoorden vanuit een realistische didactiek.

Zeker, daar was meer voor nodig dan alleen die openmind binnen een hecht Wiskobasteam. Het vereisteook, zonder maar iemand te kort te doen, dekwaliteiten van een Adri Treffers, die deze doelvraag inde basis al verwoordde in dat eerste IOWO-jaar en dezegeleidelijk verder ontwikkelde tot een completeleertheorie voor wiskundeonderwijs voor de basis-school, van een Fred Goffree, die de onderwijzers-opleiding inhoudelijk en leertheoretisch een totaalander aanzien gaf, en last but not least van een HansFreudenthal met zijn fundamentele bijdragen enpublicaties over de grondslagen van het nieuwewiskundeonderwijs, die hij ook internationaal uitdroeg.

De rest is bekend. Langzamerhand werd binnen hetIOWO (en later OW&OC en FI) naar het voorbeeld vanWiskobas het gehele wiskundebouwwerk van 4-18 jaaromgebogen in de nieuwe richting, te beginnen in 1974met het lager beroepsonderwijs en mavo, waar de noodna invoering van de Mammoetwet het hoogst wasgestegen. De rest sloot zich aan, wat bijvoorbeeld in de90-er jaren leidde tot het radicaal gewijzigdeprogramma 12-16 van de COW, de CommissieOnderbouw (later: Ontwikkeling) Wiskunde.

Tot slotIn de aanvang van mijn verhaal opperde ik de vraaghoe het mogelijk is geworden, dat uitgerekend inNederland de New Math beweging, die in de crisistijdvan het Wiskobasproject ook even ons basisonderwijsdreigde te overspoelen, werd omgebogen in deaangegeven richting. Is daar mutatis mutandis eenparallel te ontdekken met de introductie van dienieuwe vorm van wiskundebeoefening die Van Dantzigvlak na de oorlog introduceerde en waarin ook datmathematiseringsproces centraal stond?In 1945 was het natuurlijk de reactie op de sociaal-economische crisis van de dertiger jaren, die na deschok van de tweede wereldoorlog mede het klimaatbepaalde voor een doorbraak naar maatschappelijkdienstbare wetenschapsbeoefening. Met dat drama endie cultuurschok is natuurlijk niets te vergelijken.

Maar dat indachtig: Heeft de sociale crisis van dezestiger jaren dan wellicht toch iets te maken met dedoorbraak naar het nieuwe wiskundeonderwijs? Wasde maatschappij vernieuwingsgericht? Was er in deonderwijspolitieke context - het naoorlogse strevennaar een open, democratisch en geëmancipeerd stelselvan onderwijsvoorzieningen - ook het geloof in defundamentele bijdrage die wiskundeonderwijs aan devolksverheffing zou kunnen leveren, diestaatssecretaris Grosheide deed besluiten akkoord tegaan met de instelling van het IOWO? De waarderingvan de overheid voor de enorme krachtsinspanningvan de CMLW, met name ook ten behoeve van deMammoetwet, was groot. Een concept-wetsontwerp

basisonderwijs was in de maak; verwachtte mendaaraan eenzelfde bijdrage vanuit het Wiskobasproject,vooral ook op gezag van Freudenthal?Of ligt de zaak meer basaal en was het de eerder-genoemde ongebondenheid en onbevangenheid vanhet Wiskobasteam -in belangrijke mate gerecruteerd uitde wereld van basisonderwijs en PA- dat een geheelandere weg kon inslaan, inhoudelijk en procedureel?

Hoe het ook zij, het IOWO staat aan de basis van eenbelangrijke innovatie in het wiskundeonderwijs die, ikherhaal het, nader beschreven en onderzocht zoudienen te worden.

OproepDegenen die na lezing van het voorgaandegeïnteresseerd zijn in en/of willen bijdragen aan eeneventueel onderzoek in bovenstaande zin, kunnencontact opnemen met de auteur (e-mail:[email protected]) of met Ed de Moor (e-mail: [email protected]).

Literatuur

[1] Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren: Honderd jaar

Wiskunde-onderwijs (2000).

[2] E.W.A. de Moor: Van Vormleer naar Realistische Meetkunde

(1999), isbn 90-73346-40-1.

[3] H.F. Freudenthal: Prehistorie - ‘10 jaar leerplanontwikkeling

1975-1985’ (1985); samen met F. Goffree t.g.v. het 10-jarig bestaan

SLO.

[4] CMLW: Toelichting op het Leerplan Wiskunde (1968).

[5] D. van Dantzig (1954): The function of mathematics in modern

society and its consequence for the teaching of mathematics (1954); in

een rapport van de Nederlandse subcommissie van de Internationale

Commissie van het Wiskunde-onderwijs (in Euclides 31, 1955).

[6] H.J. Smid: David van Dantzig en het onderwijs in de wiskunde, in:

Uitbeelden in Wiskunde (CWI, 2000).

[7] G. Alberts: Jaren van Berekening (1998), isbn 90-5356-317-2.

[8] E. Wijdeveld: Matematiseren - een didaktisch denkmodel, in:

Wiskobas Bulletin, jrg. 9 nr. 6 (IOWO, 1979).

[9] A. Treffers: Wiskobas Doelgericht (IOWO,1978).

Over de auteur

Edu Wijdeveld (e-mailadres: [email protected]) werd in

1966 de eerste medewerker van de CMLW. Samen met Fred Goffree

nam hij het initiatief voor een basisschoolproject, dat later Wiskobas

zou gaan heten. Vanaf 1971 was hij directeur/medewerker van het

IOWO en secretaris van de CMLW. Van 1990 tot 1993 was hij

voorzitter van de Nederlandse Vereniging voor Ontwikkeling van het

Reken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO), waarvan hij tevens erelid is.



Veertig jaaronderwijs-

verandering?Om te beginnen: 1964

[ Anne van Streun ]

- hbs-mulo- mavo-havo-vwo- basisvorming- tweede fase havo-vwo

Het onderwijs in 1964In de volgende tabel staan de schooltypen in 1964 ende verdeling van de leerlingenpopulatie over dieschooltypen. Een 20% volgde na de lagere school geenvervolgonderwijs maar werkte al.

hbs/ mulo nijverheids- arbeidsmarkt gymnasium onderwijs

15% 30% 35% 20%

Ongeveer de helft van de leerlingen van hbs/gymnasiumkoos voor een B-richting (7 à 8%); het nijverheids-onderwijs bestond voornamelijk uit huishoud-onderwijs, technisch onderwijs en landbouwonderwijs.

Het leerplan in 1964De inhoud van het wiskundeonderwijs in de mulo enhbs/gymnasium was sterk gericht op het beheersen vantechnische, algebraïsche, vaardigheden. Aan het eindevan klas 1 hbs - met drie lesuren algebra per week -konden mijn leerlingen op het proefwerk heel redelijkalgebraïsche breuken optellen (zie figuur 1).

In klas 2 kostte daarnaast het herleiden vanwortelvormen veel tijd (zie figuur 2). Die herleidingwas noodzakelijk, omdat je anders niet met de tabel dewaarde kon benaderen. Je zocht dus een herleiding dietot een kwadraat onder het wortelteken leidde.

In klas 3 vormde het leren berekenen van de waardevan ingewikkelde vormen met behulp van delogaritmentafel een hoogtepunt in het rekenwerk (ziefiguur 3). (Voor de jongere lezers: computers waren ertoen nog niet; dus de relevantie van al dat rekenwerkwas evident, net zoals het heel nauwkeurig cijferen inde lagere school.)Het gaat daarbij niet alleen om het inslijpen van

Vernieuwing, verbetering of gewoon verandering?Naar aanleiding van mijn oratie kreeg ik een e-mailvan collega De Boer, een wiskundeleraar met ook zo’nveertig dienstjaren, die bezwaar maakte tegen hetwoord onderwijsvernieuwing. ‘Het gaat om onderwijs-verbetering’, schreef hij, ‘en alles wat voor onderwijs-vernieuwing doorgaat, leidt lang niet altijd totverbetering van het onderwijs.’ Daar zit wat in,vandaar het woord onderwijsverandering in de titelvan dit stukje. Is het onderwijs in de veertig jaar die ikzelf kan overzien, iets vernieuwd, verbeterd ofveranderd? In kringen van onderwijsonderzoek wordtde wereld van het onderwijs wel vergeleken met eenoceaan. Aan de oppervlakte van de oceaan gaat hethevig tekeer, de woeste golven van het onderwijsbeleiden de centraal geplande onderwijsvernieuwing zijnhoog en veroorzaken veel discussie. Op de bodem vande oceaan gaat het gewone leven in het leslokaalongehinderd door, niet beïnvloed door wat er aan deoppervlakte gebeurt. Jan van den Akker (UniversiteitTwente) formuleert het zo:‘Er is veel empirisch bewijsmateriaal voor de stellingdat didactische patronen in concrete lespraktijken inallerlei vakken in verschillende schooltypen en in velelanden opmerkelijk gelijksoortig traditioneel eneenzijdig van aard zijn: dominantie van frontaallesgeven door de docent met weinig tot geen initiatiefbij de leerlingen, alsmede een tamelijk slaafsenavolging van het leerboek.’Klopt dat beeld met de werkelijkheid? Laten we delaatste veertig jaar eens overzien. Ik kies daarbij devolgende drie invalshoeken:- Het centrale onderwijsbeleid met de structuur-veranderingen en gewenste onderwijsvernieuwing, deoppervlakte van de oceaan. - De inhoud van het onderwijs, het leerplan.- De lespraktijk, het leven op de bodem van de oceaan.Mijn terugblik begint in 1964, toen ik mijn eerste baanals wiskundeleraar kreeg. En dan ga ik in volgendeafleveringen zo verder tot de dag van vandaag.Achtereenvolgens passeren de volgende onderwijs-structuren met leerplan en lespraktijk de revue:

technieken (Weten dat), maar zeker om een bepaaldesystematische probleemaanpak om het zicht op jeeigen rekenpartijen niet kwijt te raken. In mijnaantekeningen uit die tijd zie ik een grote nadruk ophet eerst opstellen van een plan (Weten hoe) voordat ergerekend mocht worden. Dat plan beslaat in ditvoorbeeld al snel een hele pagina: de logaritme nemenen alle rekenstappen vooraf bedenken (log teller en lognoemer apart berekenen) en in het rekenschemaopnemen. Voor een goed plan kreeg de leerling van mijal flink wat punten op de repetitie.

In 4 en 5 hbs-B stonden de technieken ook centraal. Inmijn eigen hbs-tijd mochten of konden we nog nietdifferentiëren, zodat we de maxima, minima endergelijke van een ‘functie’ als in figuur 4 op eenandere manier moesten berekenen. Kunt u dat (nog)? In1964 leerde ik het de leerlingen wel met de afgeleide endaar zit natuurlijk heel wat technische vaardigheid(Weten dat) achter. Op dat moment spraken we ook echtvan functies in plaats van vergelijkingen en formules.In Euclides werd heftig gestreden over de vraag of ernog een verticale as moest/mocht worden getekend. Dey-as was in de ban gedaan; die hoorde niet bij hetfunctiebegrip! Het klassieke functieonderzoek staat pasweer ter discussie sinds de invoering van de grafischerekenmachine. Maar daar zijn we in deze en devolgende aflevering nog lang niet aan toe.

Ook in vakken als de Analytische Meetkunde en deGoniometrie moest veel gerekend worden metlettervariabelen. Hierbij was een systematischeprobleemaanpak en het maken van een plan geenoverbodige luxe. Veel leerlingen rekenden bijvoorbeeldbij het zoeken naar een formule voor een meetkundigeplaats maar door, terwijl ze de vergelijking al inhanden hadden. De belangrijkste uitzondering op hettechnische rekenwerk was de meetkundelijn met veelbewijzen en berekenen, waarvoor een probleemaanpaknoodzakelijk was, ook in de mulo. In de klassen 1 toten met 3 ging het over de vlakke meetkunde, in 4 en 5over stereometrie. Leerlingen die indertijd met succeseen B-opleiding en daarna een universitaire studievoltooiden, spreken nog altijd met weemoed over dieEuclidische meetkunde. (Onlangs deed de voorzitter

van de KNAW, de bioloog Pim Levelt, nog eens eenoproep om die Euclidische meetkunde weer in tevoeren wegens het aanleren van waardevolledenkmethoden; Weten hoe en Weten waarom.)

De lespraktijk in 1964Mijn lessen in 1964 leken qua werkvorm sprekend opdie van alle collega’s in het land. De leraar vormde deintermediair tussen de leerstof, het boek en deexamens aan de ene kant en de leerlingen aan deandere kant. De schoolboeken bevatten als regel voorleerlingen niet te verteren theorie, dus de docent legdemet goedgekozen voorbeelden de kern uit, docerend ofin een leergesprek. Daarna gingen de leerlingen hetlaatste kwartier met de huiswerksommen aan de slag.De centrale schriftelijke examens speelden een groterol en een goede leraar liet veel matige leerlingen tocheen voldoende bereiken door een gerichteexamentraining gekoppeld aan een kernachtigeoperationele samenvatting (één A4 per vak), gebaseerdop de examenpraktijk. Het instituut van deuniversitaire deskundigen of gecommitteerden bij demondelinge eindexamens van hbs en gymnasiumgarandeerde een wederzijdse wisselwerking tussen hetvhmo en de universiteiten, wat betreft het niveau en deleerstof. Veel van die universitaire vakdeskundigenwaren zelf ook leraar geweest.

Wat namen zij ervan mee?Op de duur vroeg ik mij, als schooldecaan, af of mijnleerlingen op die manier wel goed beslagen ten ijskwamen in het vervolgonderwijs. Daar hadden ze geendocenten die op mijn manier de leerstof voor hunleerlingen ordenden. Het Weten dat zat voor een tijdjewel goed, maar de rest? En van bovenaf begonnennieuwe winden te waaien, die het gehele onderwijs inde wiskunde voor het eerst sinds eeuwen op haargrondvesten deed schudden. De New Math alsantwoord op de eerste Spoetnik, waarmee de Sovjet-Unie de westerse wereld aftroefde. Weg met Euclides!Vervang het onderwijs in al die verouderde technischevaardigheden door onderwijs in de eenvoudigebasisstructuren van de wiskunde, Weten waarom. Hetwiskundeonderwijs zou een soort moedertaalonderwijsworden, voor iedereen te volgen.De New Math drong op, terwijl er in Nederland eennieuwe onderwijsstructuur aankwam, want deMammoetwet was in de maak met mavo-havo-vwo. Eneen nieuwe opvatting over leren en onderwijzen, actiefleren, samenwerkend leren… Zo werden in 1968 op elkniveau drastische onderwijsvernieuwingen beoogd; deonderwijsstructuur, het leerplan en de lespraktijkstonden voor grote veranderingen. Daarover een volgende keer.

Over de auteur

Anne van Streun (e-mailadres: [email protected]) is sinds

1974 werkzaam aan de Rijksuniversiteit Groningen als wiskunde-

didacticus en sinds 2000 als hoogleraar in de didactiek van de

wiskunde en natuurwetenschappen.


FIGUUR 1, 2, 3, 4

antwoorden: Sommige leerlingen hadden op het eindvan het hoofdstuk 5 van de 60 opgaven gemaakt. Demeeste leerlingen besteedden buiten de contactlessenom maximaal 10 minuten per les aan het vak. Opgavenwerden niet nagekeken. Dat had ook niet veel zin,want er waren toch nauwelijks uitwerkingenopgeschreven, het antwoord alleen werd ruimvoldoende bevonden. Reflectievragen uit het boekwerden steevast overgeslagen, het voorbereiden vaneen les was niet aan de orde, samenvattingen ofandersoortige overzichten werden niet gemaakt. Entoch: de toetsresultaten waren redelijk en voldeden aande verwachtingen van zowel leerlingen als docenten.Misschien herkent u ook het volgende: in havo-5, numet alleen nog de A12-ers, staan de resultaten zeersterk onder druk. In een klap wordt er veel meer vande leerlingen gevraagd op wiskundig gebied. Hetabstractieniveau is veel hoger (differentiëren!) en velenblijken niet in staat om de nu ontstane moeilijkhedenhet hoofd te bieden. Dit feit, samen met boven-genoemde constateringen, waren onverteerbaar voorons. We trokken de volgende conclusie: als veel havo-4 leerlingen met erg weinig investering tot redelijkgoede resultaten komen en ze in havo-5 onderuit gaanomdat ze niet weten hoe ze moeten werken, is er ietsmis met ons wiskundeonderwijs: het is nietmotiverend, niet uitdagend en niet efficiënt als jezonder noemenswaardige inspanning toch voldoendeshaalt en vervolgens het leren verleert.

Het experimentEen dergelijke constatering kon niet zonder gevolgblijven; we voelden ons geroepen om in ieder geval

VoorafHet goed vormgeven van de Tweede fase vergt nieuwedidactische werkwijzen waarmee leerlingengestimuleerd worden meer verantwoordelijkheid tedragen voor hun leerproces. Op ‘t Hooghe Landt inAmersfoort werd met dit doel voor ogen besloten omterug te grijpen op een in vroeger tijden nietongebruikelijke manier van toetsen: een mondeling.Havo-4 leerlingen met wiskunde A1 of A12 kondenvrijwillig meedoen aan een experiment waarbij deonderwerpen ‘exponentiële groei’ en ‘modellen’versneld werden behandeld en vervolgens mondelingwerden getoetst. De auteurs zijn hierover enthousiastgeworden en bespreken in dit artikel de opgedaneervaringen.

InleidingWie van de lezers herkent de volgende situatie? Jegeeft les in een havo-4-groep wiskunde A. Gelukkig ditjaar gescheiden met alleen A1- dan wel A12-leerlingen. De klas is goed aan het werk (denk je), deomgang tussen jou en de leerlingen is prima, deleerlingen lijken na een paar maanden bovenbouwgewend aan het systeem van de Tweede fase, deresultaten zijn naar behoren. Kortom, het gaat zo zijngangetje. Wij hadden zulke groepen en warentevreden. Totdat onze tevredenheid ietwat voorbarigbleek en de uiterlijk goed verlopende lessen schoneschijn. Een schoolbreed aandachtspunt met betrekkingtot de Tweede fase was bij ons dit jaar namelijk‘reflecteren op het leerproces’. In dat kader legden weonze leerlingen een vragenlijst voor over ditonderwerp. En we kregen onthutsend eerlijke

HET MONDELING HERLEEFTEen experiment in havo-4 waarbij twee onderwerpen versneld werdenbehandeld en vervolgens mondeling werden getoetst.[ Frank van den Heuvel en Klaske Blom ]


een poging te doen, verandering te brengen in dezesituatie. Ons idee was als volgt: we willen de leerlingenuitdagen om sneller en beter de stof te verwerken en zedwingen om meer te reflecteren op het geleerde.Daartoe bieden we hen de mogelijkheid om de stof,over exponentiële groei en modellen, uit de derdeperiode van het jaar in kortere tijd te bestuderen en ervervolgens in tweetallen een mondeling over te doenin de weken voorafgaand aan de toetsweek. De‘normale’ schriftelijke toets vervalt daarmee (een jaarop ‘t Hooghe Landt bestaat uit vijf perioden die elkworden afgesloten met een toetsweek). Voor deleerlingen had dit zeker voordelen: in de drukketoetsweek hadden zij minder te doen en van onsmochten ze de ‘gewonnen’ tijd naar eigen inzichtbesteden (bijvoorbeeld aan het voorbereiden vanandere vakken). Maar wij hoopten natuurlijk vooraldat ze door samen voor te bereiden meer gingen pratenover de stof, waardoor ze zich die dus beter eigenzouden maken. Bovendien leek het ons stimulerend enmotiverend om eens een keer ‘iets anders’ aan tebieden dan een gewone toets, en ook wilden weervaren of leerlingen zich anders zouden manifesterenals ze het geleerde ook voor ons onder woorden

zouden moeten brengen. Om het effect van een goedesamenwerking te optimaliseren, hebben we leerlingenzelf de tweetallen laten samenstellen.In eerste instantie reageerden de leerlingen welenthousiast, maar ook wat afwachtend. Deonbekendheid met en de angst voor een mondeling(voor wiskunde!) deed een aantal toch terugschrikken.Uiteindelijk durfde ongeveer een kwart van onzeleerlingen het experiment aan.

ErvaringenReflectie op het leren en het geleerdeLeerlingen voelden haarscherp aan dat een mondelingin tweetallen een andere voorbereiding vraagt dan degebruikelijke toetsvorm. Ze voerden gesprekken overbijvoorbeeld de volgende vragen: Hoe bereid ik menormaal voor op een toets? Wat kan de kracht zijn vanhet voorbereiden in tweetallen? Hoe kunnen we elkaarssterke kanten benutten als we mogen samenwerken?Het was zeer hoopgevend om te zien en horen datreflecteren op het eigen leerproces nu kennelijk demoeite waard was om te doen. De meeste koppels werkten efficiënt en intensiefsamen. Ze werkten in hun eigen tempo de stof enopgaven door, stelden vragen als dat nodig was engingen verder zelfstandig hun eigen gang. Tijdens demondelingen konden we duidelijk horen dat sommigekoppels veel hadden overlegd hadden, veel haddengesproken over de kern van de stof; ze kwamen meteen goed verhaal en vulden elkaar aan waar dat nodigwas. Het was één van de hoogtepunten van hetexperiment om te zien hoe ze in staat waren hun lerenzelf vorm te geven. Er was bijvoorbeeld een A1-groepje dat zich geheel zelfstandig verdiept had in dewerking van logaritmisch papier; dit deel van de stofhoorde niet tot hun programma, maar ze deden heterbij om een ‘goede indruk’ te maken, en dat werkte!Ze bleken heel goed in staat om de essentie van ditstukje stof te doorgronden met behulp van huntheorieboek en de bijbehorende opgaven. Wat verdergoed werkte was dat we in de voorbereiding iederkoppel een opgave over modellen gegeven hadden dieze moesten voorbereiden (zie de voorbeeldopgave infiguur 1). Ze wisten dus zeker dat ze daarover vragenzouden krijgen. Omdat de meesten dit ook goedvoorbereid hadden, lukte het om het gesprek hiermeeop gang te krijgen en de grootste spanning eraf tehalen. Overigens was ook hierbij opvallend hoeverschillend de groepjes met deze opgave haddengestoeid.

Praten over wiskunde leidt tot een betere verwerkingvan die wiskundeVoor het deelnemen aan een mondelinge toets voorwiskunde moeten leerlingen over andere vaardighedenbeschikken dan voor een ‘gewone’ schriftelijke toets.Om er enkele te noemen: communicatief zijn, redelijksnel kunnen reageren op een vraag, hardop kunnennadenken over een wiskundig probleem, niet tezenuwachtig worden van de nabijheid van tweewiskundedocenten. De meeste leerlingen realiseerden


FIGUUR 1 Een voorbeeldopgave

We hebben veel van dit experiment geleerd, het heeftonze inzichten in de leerprocessen van de leerlingenverhoogd. Ons idee dat werken aan een succesvollevormgeving van de Tweede-fasegedachte vereist, dat je(een deel van) je lesmethoden aan een grondige revisiewenst te onderwerpen, is hiermee bevestigd. Hetstimuleert ons in ieder geval om verder te gaan opdeze weg.

Nog wat feiten en gegevens- Wij gebruiken de methode Pascal. Deze leent zich onsinziens goed voor het zelfstandig doorwerken van eenstuk stof.- Het idee om een (pittige) vraag over modellen opvoorhand mee te geven en hierover op het mondelingvragen te stellen bleek heel goed te werken.- 20 à 25 minuten per koppel is genoeg om goed zichtte krijgen op de prestaties.- Het mondeling samen met een collega afnemen isprettig en nuttig.- Er was uiteindelijk één koppel dat ver onder de maatbleef. De andere scoorden voldoendes waarbij er tussende koppels onderling wel grote verschillen optraden. Ineen paar gevallen hebben we de leerlingen afzonderlijkbeoordeeld, omdat de prestaties te veel van elkaarafweken. - We stelden zowel vragen waarop leerlingen samenmochten antwoorden en elkaar konden aanvullen, alsvragen waarop ze individueel moesten antwoorden.Het beeld over ieders afzonderlijke capaciteiten werddaarmee voldoende duidelijk. - Met name relatief zwakkere leerlingen bleken beter tepresteren dan degenen die wij ‘hoger’ ingeschathadden.- Collega’s en schoolleiding reageerden zowel verbaasdals enthousiast. Zo’n experiment kan dus ook bijdragenaan een verbetering van het imago van ons vak.- Als je twijfelt over de haalbaarheid is ons advies:gewoon DOEN!

Over de auteurs

Frank van den Heuvel heeft ruim 19 jaar onderwijservaring als docent

wiskunde; hiervan is hij inmiddels zo’n 10 jaar werkzaam op het

Hooghe Landt in Amersfoort, met name in de bovenbouw havo en vwo.

Klaske Blom is bezig aan haar vijfde jaar als docente wiskunde en

werkt inmiddels 2? jaar op het Hooghe Landt in Amersfoort, ook

vooral in de bovenbouw havo en vwo.

Mocht u nog meer informatie willen, dan kunt u hen bereiken via de e-

mail: [email protected] en [email protected]

zich dit terdege, sommigen schrok dit af. Tijdens demondelingen waren de meeste leerlingen zenuwachtigbij de start, raakten ze meer op hun gemak en praattenen dachten vrijer naarmate het gesprek vorderde. Metname als ze zich gingen realiseren dat het niet persenoodzakelijk was om onmiddellijk het ‘enige goede’antwoord te geven, maar dat je ook samen in eengesprek iets ‘op kunt bouwen’ waarmee je je kenniskunt laten blijken, gaf dat hier en daar nieuwe moeden onverwachte mogelijkheden. Ook het gegeven dat jedoor een lichte bijsturing van onze kant een verkeerdspoor kunt onderkennen en weer verlaten was eenbijzondere ervaring voor ze. Bij een schriftelijke toetsbestaat zo’n terugkoppeling immers niet. De indruk bestaat dat de onderwerpen exponentiëlegroei en modellen beter doorgewerkt en verwerkt zijndan de andere onderwerpen dit jaar. Enerzijds heefthet hardop bezig zijn met de stof als effect datleerlingen veel bewuster met het onderwerp bezigwaren, anderzijds waren ze met zijn tweeën beter instaat om hoofd- en bijzaken van elkaar teonderscheiden waardoor ze tot de kern doorgedrongenzijn.

Stimulans en motivatie door ‘iets anders’Het behoeft nauwelijks betoog dat het uiteraardmotiverend werkt om de sleur van zeven-weken-sommen-maken-met-een-toets-als-afsluiting tedoorbreken. Veel van de leerlingen die niet aan hetexperiment meegedaan hebben, wilden alsnog graageen mondeling doen in een volgende periode.Organisatorisch was dat niet haalbaar, maar voor eenvolgend jaar beraden wij ons op een mogelijkheid vooriedereen.

Tot slot: een aanbevelingOns inziens heeft dit experiment een positieve bijdragegeleverd aan het verbeteren van ons wiskunde-onderwijs: het voorbereiden op en uiteindelijk doenvan een mondelinge toets was motiverend enuitdagend. In de meeste koppels is gewerkt met denodige inspanning, meer of minder efficiënt. Deresultaten waren uiteenlopend, met opvallend veel‘goede’ koppels, misschien veroorzaakt door devrijwilligheid van deelname. Belangrijk is datleerlingen ervaren hebben hoe ze hun leren kunnenintensiveren en verbeteren.

Uiteraard is de tijdsinvestering voor ons docentenbehoorlijk hoog geweest. Elk mondeling duurde 25minuten en werd afgenomen door twee docenten. Hetgezamenlijk afnemen bleek zeer plezierig en maakteook daarom de investering de moeite waard; de ‘eigen’docent nam het voortouw, de ander stelde zonodigaanvullende vragen. Van te voren hadden we een reeksvragen geformuleerd als een soort minimumhoeveelheidvan wat we aan de orde wilden laten komen. Het wasleuk en leerzaam om elkaar aan het werk te zien. Voorde uiteindelijke beoordelingen was het goed om eenredelijk overzicht en dus ook vergelijkingsmateriaal tehebben over de geleverde prestaties.



Twee vazen zijn gevuld met witte en zwarte balletjes.De lezer mag uit een van beide vazen een balletjetrekken. Indien u een wit balletje trekt ontvangt u vande redactie van Euclides een boekenbon ter waarde van50 euro. De kans op een wit balletje uit vaas 1 is gelijk aan �

14

�.Voor vaas 2 is deze kans gelijk aan �

19

�. Welke vaas kiestu voor het trekken van het balletje? Ik denk dat delezer, net als ik, kiest voor vaas 1; vaas 1 geeft immerseen meer dan 2 keer zo grote kans op de prijs. De redactie heeft ook nog een CD-bon van 50 euro tevergeven. Daarvoor heeft de redactie twee nieuwevazen gevuld met witte en zwarte balletjes. Een wittebal is weer prijs. De kans op een witte bal uit vaas 3 isgelijk aan �

45

� en voor vaas 4 is deze kans �12

�. Welke vande twee vazen kiest de lezer om de CD-bon in de wachtte slepen? Wederom ligt de keuze wel erg voor de hand; uiteraardvaas 3.

Vier vazen vinden we achteraf te veel gedoe endaarom maken we een grote vaas met de balletjes uitde vazen 1 en 3 en een grote vaas met de balletjes uitde vazen 2 en 4. De lezer mag weer een balletjetrekken uit een van de twee grote vazen. Een witte ballevert nu zowel de boekenbon als de CD-bon op. Welkevaas kiest u?

De keuze lijkt ook hier niet moeilijk. Vaas 1 gaf eengrotere kans op de boekenbon dan vaas 2 en vaas 3gaf een grotere kans op de CD-bon dan vaas 4. De vaasmet de balletjes uit de vazen 1 en 3 zal dus wel eengrotere kans op beide bonnen geven dan de anderevaas of niet soms…?Inderdaad soms niet!De redactie had de vier vazen namelijk als volgtsamengesteld.

Boekenbon CD-bonVaas 1 Vaas 2 Vaas 3 Vaas 4

Wit 18 1 8 45Zwart 72 9 2 45

De lezer kan uit de tabel nagaan dat dezesamenstellingen leiden tot de eerder genoemde kansen.De samenvoeging van de vazen 1 en 3 en de vazen 2en 4 geeft de volgende verdeling.

Boekenbon en CD-bonVaas (1�3) Vaas (2�4)

Wit 26 46Zwart 74 54

De kans op een wit balletje uit de vaas (1�3) is gelijkaan 26/100�0,26 terwijl de kans op een wit balletjeuit vaas (2�4) gelijk is aan 46/100�0,46. De kans opde bonnen is dus aanzienlijk groter als we kiezen voorde tweede vaas.

Literatuur

G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker: Probability and Random Processes,

Oxford University Press (3rd edition, 2001)

Over de auteur

Rob Bosch (e-mailadres: [email protected]) is na zijn doctoraal

wiskunde 13 jaar werkzaam geweest als wiskundeleraar in het

middelbaar onderwijs. Sinds 1987 is hij als docent verbonden aan de

Koninklijke Militaire Academie te Breda. Zijn belangstelling gaat o.a.

uit naar de sociale keuzetheorie op welk gebied hij aan de Katholieke

Universiteit Brabant onderzoek verricht.

Eenparadoxale keuze[ Rob Bosch ]

WISKUNDEBOEKEN VOOR EENPABO IN ZAMBIA[ Ger Jongeling ]


middelbare school (een internaat voor jongens) zijnbegonnen. Daarna zijn er nog een dagschool voormeisjes, een Teachers’ Training College, een ziekenhuisen een radiostation bij gekomen. Het radiostation dientals plaatselijke krant en dorpsomroeper en verzorgtook uitzendingen met schoolradio. CLTTC is eveneenseen internaat, want Zambia is erg uitgestrekt endunbevolkt. De studenten komen veelal uit afgelegendorpen en gehuchten; de reistijd naar Chikuni is vaakminstens een hele dag. Overigens is er in die dorpendoorgaans geen elektriciteit of stromend water; als ereen pomp is, is dat al heel wat. De woningen zijngebouwd van stokken met leem ertussen gesmeerd enhebben een rieten dak; rijkere mensen hebben kunnen

Wiskundedocent in ZambiaMiriam Vroonhof heeft een kleinetwee jaar als docent wiskundegewerkt aan het Charles LwangaTeachers’ Training College (CLTTC)in Chikuni, Southern Province,Zambia. Zij heeft onbetaald verlofgenomen uit haar reguliere baanaan de HEAO-Arnhem en isuitgezonden door VSO, een vanoorsprong Britse vrijwilligers-organisatie. Wat haar dreef is debehoefte om duidelijker te voelendat haar werk in een behoeftevoorziet en om beter contact tehebben met de studenten. In haarreguliere baan was dit de laatstejaren aardig weggeërodeerd.Voordat Miriam in Zambia gingwerken had ze geen ervaring methet opleiden van leraren. Wel hadze ter voorbereiding bij de Pabovan een zusterfaculteit in Arnhem geïnformeerd naarrekendidactiek. In Zambia bleek ze ook niet meerspecifieke kennis op dit gebied nodig te hebben. Erwaren ginds een paar syllabi voor docentenvoorhanden en wat daar niet in stond wist ze zelf welaan te vullen.

Een Pabo in een missiepostCLTTC is een Pabo die ligt in het gehucht Chikuni, 20km asfalt en 12 km zandweg verwijderd van dedichtstbijzijnde ‘stad’, Monze. In de regentijd is hetnog verder, want dan is een deel van de kortste wegonbegaanbaar. Chikuni is rond 1900 begonnen als eenmissiepost van de paters Jezuïeten, die in 1949 een


bouwen met zelf gemaakte bakstenen en misschien eendak van ijzeren golfplaten. Men verbouwt maïs,suikerriet, of men vist. Koken doet men op houtskoolof sprokkelhout. Overal scharrelen kippen rond en dewat welgesteldere boer heeft enkele koeien om eenploeg te trekken. Valt de maïsoogst tegen, zoals vorigjaar en dit jaar, dan wordt er honger geleden. Dit jaaris er nauwelijks sprake van een oogst in de SouthernProvince. Er is in de regentijd veel te weinig regengevallen. Zambia is een van de allerarmste landen opaarde.

Voorheen kregen Zambiaanse onderwijzers eentweejarige opleiding: twee jaar theorie met tijdensbeide jaren een maand stage. Twee jaar geleden is ereen nieuw landelijk curriculum gekomen, ZATEC,waarin de studenten één jaar theorie hebben en éénjaar stage. Op deze wijze kunnen binnen de bestaandeTTC’s twee keer zoveel onderwijzers worden opgeleidals voorheen. De reden hiervoor is de enorme behoefteaan leerkrachten. Mede vanwege de Aids-problematiekis het sterftecijfer zo hoog, dat er jaarlijks meerleerkrachten overlijden dan er nieuwe afstuderen. InZambia is de dood steeds dichtbij en de levens-verwachting is laag. Je ziet er weinig grijsaards.

Het TTC is in de jaren ‘50 gebouwd en in detussenliggende tijd is er onder andere een bibliotheekmet een ruime studiezaal bijgebouwd. Dat is maar goedook, want die bibliotheek is de enige bron vanschriftelijk onderwijsmateriaal. Wij zijn gewend datleerlingen c.q. studenten er zelf voor zorgen dat zijboeken hebben, maar in Zambia kan geen student datbetalen. Het collegegeld is vaak al een probleem,evenals reisgeld naar CLTTC en terug. Voor ieder vakgeldt dat de studenten als huiswerk wekelijks

onderwerpen en opdrachten opgegeven krijgen die zijmoeten bestuderen aan de hand van studieboeken diegeschreven zijn voor grade 1-7 (basisschool) of grade8-12 (middelbare school). Boeken speciaal voor TTC’szijn er in Zambia niet, althans niet voor wiskunde.

Het WwF-projectHet lesgeven bestond onder andere uit het uitleggenvan het rekenen, maar ook over het waarom, hoe uit teleggen aan de kinderen en wat voor leermiddelen ergebruikt kunnen worden. Natuurlijk ging het er ookover hoe deze leermiddelen gemaakt konden wordenuit lokale materialen, zoals bijvoorbeeld kroonkurken,want er is niets voorhanden op de lagere scholen. Erwordt dan ook van de studenten verwacht dat zecreatief zijn.De studenten wisten vaak nog wel de trucjes en deregels, maar absoluut niet wat er achter stak. Miriamvroeg dan ook vaak: ‘Waarom is het zo?’ Tijdens delessen werd hier vaak in groepjes over gediscussieerd.De studenten hadden nooit geleerd om zelf na tedenken en nu moest daar dan ook aandacht aanbesteed worden. Ook werden de studenten gedwongentot zelfstudie door opdrachten te maken ingroepsverband of alleen. Die opdrachten bevatten danhet maken van leermiddelen en het beantwoorden vandidactische en toegepaste wiskundige vragen.

Tijdens de wiskundelessen worden verschillendeonderwerpen behandeld: verzamelingenleer, de vierbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen endelen), talstelsels (niet alleen het tientallige en hetbinaire stelsel, maar ook het 5-, 8- en 12-tallig stelsel),factoren en veelvouden, twee- en driedimensionalefiguren, metingen (gewicht, capaciteit, temperatuur,lengte en tijd), simpele foutenanalyse (wat voor fouten

FOTO 1 Wiskundeles aan eerstejaars studenten vanCharles Lwanga TTC (CLTTC)

FOTO 2 Studenten van CLTTC


studie voor een of twee jaar onderbreken, zo is deregel, maar wie bij de graduation zwanger verschijnt,krijgt toch haar certificate. Voor mannelijke studentendie een vrouw zwanger maken ligt dit mindereenduidig.De studenten zijn over het algemeen zeer gemotiveerd,meer dan wij hier gewend zijn. Men is leergierig enwerkt hard. Studenten en docenten wonen op decampus en Miriam had regelmatig studenten en ookmiddelbare scholieren over de vloer die om extra uitlegkwamen, soms ook om de telefoon te gebruiken of omeen boterham. Die uitleg hoefde zij niet altijd zelf tegeven: men helpt als het zo uitkomt ook elkaar wel. Zijdeden ook wat terug: Miriam hoefde meestal niet zelfaf te wassen.

Onderwijs voor de allerarmstenAl het onderwijs was vroeger gratis, maar met hetineenzakken van de Zambiaanse economie is datveranderd. Bovendien vereist iedere middelbare enbasisschool dat de leerlingen in een schooluniformverschijnen, wat ook geld kost. Het gevolg is dat dekinderen van de allerarmsten verstoken blijven vanonderwijs. Naast het TTC is in de loop der jaren eendorp ontstaan en hier en ook in de dorpjes in deomgeving wonen nogal wat mensen die het zich nietkunnen veroorloven om hun kinderen naar dereguliere basisschool te sturen. Om hier wat aan tedoen hebben enkele voorgangers van Miriam, ookVSO’ers, een Community School opgericht. Deze schoolleidt op t/m grade 7 en wordt bemenst door CLTTC-studenten, die op vrijwillige basis les geven. Iedereleerling krijgt per week vier dagdelen les. De oudersbetalen hiervoor € 0,85 per jaar. De Community Schoolwoont nu nog in bij het TTC, maar de ouders en dedorpsgemeenschap zijn een project begonnen om een

leerlingen kunnen maken bij het rekenwerk), breukenen economische toepassingen. Naast deze onderwerpenworden ook meer algemene besproken, zoalsverschillen tussen jongens en meisjes wat betreftwiskunde, filosofie van het rekenonderwijs, HIV/aidsen natuurlijk ook het opstellen van jaar-, week- enlesplanningen. Doordat er een groot gebrek is aanboeken, zijn de studenten erg afhankelijk vanaantekeningen die zij maken tijdens de lessen.

Boeken vinden de studenten in de bibliotheek.Vergeleken met de Nederlandse situatie is dit verre vanideaal, maar in de Zambiaanse context is dit voorlopighet enig haalbare. Het werkt ook wel en het stimuleertde zelfredzaamheid van de studenten, maar dan moetde collectie in de bibliotheek wel toereikend zijn. Datwas op het gebied van rekenen/wiskunde bepaald niethet geval. Er waren veel te weinig boeken en ze warenverouderd. Vandaar dat Miriam een aanvraag heeftgedaan bij het Wereldwiskunde Fonds voorfinanciering voor uitbreiding van de collectie. Het doelwas om te zorgen voor meer boeken en omtegelijkertijd de collectie een beeld te laten geven vanwat er in Zambia beschikbaar is. De studenten wetenimmers nog niet met welke methode(n) zij in depraktijk te maken zullen krijgen. De WwF-werkgroepheeft de aanvraag goedgekeurd en er zijn 282 boekengekocht met een gezamenlijke waarde van € 3600.Hiermee kan het TTC voorlopig weer een aantal jarenvooruit.

De studenten zijn ouder dan wij hier gewend zijn:velen hebben zelf reeds kinderen. De studenten zijnsteeds een heel trimester intern op de campus, dusgetrouwde studenten zijn ver van hun gezin. Studentesdie zwanger worden, getrouwd of niet, moeten de

FOTO 3 Groep 3-4 (vertaald naar Nederlandsebegrippen) van de Community School

FOTO 4 Groep 5-6 van de Community School


eigen gebouw neer te zetten, midden in de communityen met eigen handen gebouwd. Het probleem is nogom voldoende geld bij elkaar te krijgen om dematerialen te kopen.De Community School heeft gelukkig wel wat krijtjesen schriften, maar doet het zonder boeken. Een kleindeel van de aanvraag aan het WwF betrof dan ookgeld voor reken-/wiskundeboeken voor de CommunitySchool. Het maakt een wereld van verschil voor dekwaliteit van dit onderwijs. Momenteel heeft deCommunity School gemiddeld zo’n twintig leerlingenper grade.

Weer wennen aan thuisIn augustus zat Miriams termijn in Zambia er op enkwam zij weer terug naar Nederland. Dat is welwennen. Het leven in Zambia is meer relaxed dan inNederland; het gezegde ‘tijd is geld’ kent men niet.Afspraken kun je maken, maar dat is geen garantie datmen die ook nakomt; vaak komt er wat tussen.Doordat niemand telefoon heeft, kan men niet evenbellen om de afspraak te verzetten. In het begin wasdat voor Miriam even wennen, maar al spoedig was zijzelf ook zo. Weken tevoren plannen om iemand tebezoeken was er niet bij. Je kunt gewoon bij mensenbinnen vallen zonder aankondiging en iedereen is evenenthousiast als er bezoek komt. Er is geen sprake van‘vandaag komt het niet gelegen’ of ‘kun je morgen of,beter nog, volgende week terug komen’. Doordatstudenten en docenten op de campus wonen, is eronderling veel meer contact dan in Nederland. Ookwas er tijdens de lessen tijd genoeg om alle stof goeddoor te nemen en soms was er ook tijd om tijdens deles of daarbuiten over andere interessante onderwerpente praten: emancipatie (staat momenteel erg in debelangstelling in Zambia), HIV/aids, ethiek, en in

Miriams geval natuurlijk ook: cultuurverschillen. InNederland zal zij vooral ook dit contact met destudenten erg missen. Het onderwijs in Nederlandvindt zij de laatste jaren, vooral op hbo-niveau, veelonpersoonlijker geworden en tijd om zwakkerestudenten te helpen is er nauwelijks.

Daarnaast zal zij de stagebezoeken missen aanstudenten die vaak in de meest afgelegen gehuchtengeplaatst waren en onder voor onze begrippen uiterstprimitieve omstandigheden moesten wonen en werken.Meestal was het zo ver weg, dat de reis twee dagenduurde. Miriam heeft geslapen in klaslokalen en andereonderkomens waar wij ons hier geen voorstelling vankunnen maken.

Miriam heeft veel vrienden gemaakt in Zambia en veelherinneringen meegenomen. Het vertrek naarNederland was een moeilijk afscheid, zowel voor haarals voor de vele Zambiaanse vrienden. Uiterlijk overtwee jaar gaat ze er heen, op vakantie ditmaal, omiedereen weer te zien.

Over de auteur

De auteur, Ger Jongeling, is Miriams levenspartner. Hij heeft haar in

Zambia vier keer bezocht. Zijn e-mailadres is

[email protected]

Het e-mailadres van Miriam zelf is [email protected]

FOTO 5 Groep 8 van de Community School FOTO 6 Studenten ‘s avonds aan het werk in debibliotheek van CLTTC

plaatje van een M&M-snoepje in een bepaalde kleur (4� rood, 4�geel, enzovoorts). De leerlingen trekkenaan het begin van de les een kaartje en vormen samenmet de leerlingen met dezelfde kleur M&M een groepje.De leerlingen lopen dus even door de klas, weten dat deles met M&M’s en kleuren te maken heeft, en gaanvervolgens samenwerken in heterogene groepjes.

Introductie van een nieuw onderwerpOp een soortgelijke manier als hierboven kun je nu vrijeenvoudig een nieuw onderwerp introduceren. Het hoofdstuk ruimtefiguren is aan de orde. Voordat ermet het hoofdstuk begonnen wordt, is er een energizerom het onderwerp te laten leven. Bij zo’n hoofdstukkun je denken aan kaartjes met allerlei ruimtefigurenerop. Leerlingen zoeken dezelfde figuren bij elkaar. Jehebt nu groepjes leerlingen en elk groepjevertegenwoordigt een andere ruimtelijke figuur. Laat deleerlingen opzoeken hoe de figuur heet die op hetkaartje staat, welke vorm de zijvlakken hebben,enzovoorts. Het hangt natuurlijk af van het niveau vande leerlingen, wat je vooraf al kunt vragen. Het groepjehoudt zich 5 minuten bezig met de eigen ruimtelijkefiguur en de vragen. Daarna vraag je elke groep:‘Welke figuur heeft jullie bij elkaar gebracht en watweet je er al van?’ Waar zal het de komende lessenover gaan?

Informatie geven zonder zelf veel te pratenJe hebt van die lessen waarbij er nu eenmaal veelverteld moet worden. Een voorbeeld daarvan is hetbegin van het schooljaar. Bij elke les krijgen debrugklassers te horen wat het vak inhoudt, wat despeciale regels zijn en welke spullen er meegenomenmoeten worden. Dit wordt ze wel eens teveel, maar deinformatie moet toch gegeven worden. Een energizerbiedt ook hier uitkomst.

Wat zijn energizers?Steeds meer scholen maken in de mentorlessen gebruikvan energizers: korte opdrachtjes waarbij de leerlingenin beweging zijn. Op deze manier kunnen ze even watenergie kwijt, om vervolgens goed mee te kunnen doenin de les. Energizers hebben uiteraard ook een lesdoel.Tijdens mentorlessen is dat doel bijvoorbeeldkennismaken, groepjes vormen of leren samenwerken.Vaak is het advies om niet alleen in de mentorlessenmaar ook tijdens andere lessen van energizers gebruikte maken.

Energizers en wiskundeOok wiskundelessen kunnen heel goed met eenenergizer beginnen. Het niveau van de leerling isdaarbij niet van belang. Er zijn verschillende soorten energizers in dewiskundelessen te gebruiken:- groepjes vormen met een vervolgopdracht,- introductie van een nieuw onderwerp,- informatie geven zonder zelf veel te praten.

Groepjes vormen met een vervolgopdrachtEen heel makkelijke manier om heterogene groepjes tevormen is de energizer met de kaartjes. Je maakt net zoveel kaartjes als er leerlingen in deklas zitten. Het aantal kaartjes dat bij elkaar hoortbepaalt de groepsgrootte. De kaartjes moeten te makenhebben met het onderwerp van de les. Dit soortenergizers is snel en eenvoudig te bedenken. Eenvoorbeeld:Bij het onderdeel statistiek gebruik ik het M&M-practicum nogal eens; zie pagina 238. Bij ditpracticum werken de leerlingen in groepjes van vieraan een opdracht met M&M’s, een soort snoepjes.Voor 23 leerlingen heb je dus 5�4 en 1�3 kaartjesnodig. Je kunt dan kaartjes maken met daarop een


ENERGIZERSVoor LWOO-docenten, maar eigenlijk voor elke docent: opdrachtjeswaarbij leerlingen even hun energie kwijt kunnen![ Ingrid Berwald ]

Je maakt grote kaarten en schrijft daarop wat deleerlingen moeten weten. Zo schrijf je bijvoorbeeld op kaart 1: ‘Spullen: geo,rekenmachine, gum, potlood, …’Op kaart 2: ‘Klassenregels: Je mag elkaar helpen, jekrijgt elke les huiswerk, …’Op kaart 3: ‘Wiskunde is een mengelmoes van rekenen,tekenen, grafieken, …’Eventueel schrijf je alle wiskundeonderdelen los op eenkaart met een korte uitleg wat het inhoudt (zoals:‘Statistiek gaat over …’).Zo krijg je een aantal kaarten. Die kaarten knip je in vierstukken zodat het een puzzel wordt. De leerlingen trekkeneen puzzelstuk, puzzelen een groepje bij elkaar en gaanbedenken hoe ze hun onderdeel kunnen presenteren(kort). De vraag is weer: ‘Wat heeft jullie bij elkaargebracht en wat kun je er al van vertellen?’ Zelf kun jenog wat aanvullende informatie geven als dat nodig is.In elk geval weet aan het eind van de les elke leerlingwat wiskunde is, wat de regels zijn en welke spullen zemee moeten nemen.

En dit alles zonder dat je zelf een tijd aan het pratenbent geweest.

Zonder kaartenEr zijn natuurlijk ook energizers te bedenken zonderdat er kaartjes gemaakt moeten worden. Bij statistiek ishet een manier om informatie te verzamelen. Iedereendie in dezelfde maand geboren is gaat bij elkaar staan.(Welke maand heeft jullie bij elkaar gebracht?)Iedereen met hetzelfde aantal broers en zussen gaat bijelkaar staan. (Welk aantal is de modus?)

Tot slotMet dit artikel hoop ik mensen aan het denken tehebben gezet over het gebruik van leerlingactiviteitenin de wiskundeles. Zelf geef ik les aan LWOO-kinderen,en voor deze groep is dit echt leuk om even te doen. Ikmerk dat de onderwerpen gaan leven en wat langerblijven hangen. Vooral de leerlingen met concentratie-problemen kunnen energie kwijt zonder lastiggevonden te worden. Het druk zijn wordt omgezet in

aan, dat ik er dan nog wel eens eentje tussendoor doe. In het begin is het misschien even wennen dat deleerlingen lopen in de les, maar dat loopgedeelte duurteen paar minuten en is heel gericht. Bovendien heefthet lopen een functie en de opdracht die op deenergizer volgt willen de leerlingen altijd afhebben,dus het kan erg motiverend werken.

Over de auteur

Ingrid Berwald (e-mailadres: [email protected] ) is

wiskundedocent aan het IJsselcollege te Capelle aan den IJssel.

Daarnaast werkt ze een dag in de week voor het APS, waar zij zich

inzet voor LWOO- leerlingen en werken met materialen in de

wiskundeles.

iets positiefs, en daar gaat het bij deze groep tochvoornamelijk om. Zelf ben ik blij dat ik energizersgeprobeerd heb in de wiskundeles. Het voegt echt ietstoe aan mijn lessen. Je bereikt er andere kinderen mee,zoals Valery, die wiskunde maar niets vindt. Met deenergizers doet ze wel enthousiast mee, en dat doet zeook de les die er op volgt. Het samenwerken doet haargoed en ze krijgt steun van groepsgenoten. Of Glenn,mijn stuiterballetje: hij krijgt medicijnen waardoor hijals bijverschijnsel erg druk wordt. Die drukte weet hijgelukkig ook voor zijn werk te benutten, waardoor hijinmiddels drie hoofdstukken voorloopt, maar stilzittenkan hij niet echt. De energizers zorgen er bij hem voordat hij zijn energie aan het begin van de les kwijt raakten bovendien wordt de ‘stilzit-tijd’ die resteertnatuurlijk ook korter (dit geldt ook voor kinderen metADHD). En Jeroen, het buitenbeentje van de groep,moet toch regelmatig samenwerken met klasgenotenen de klasgenoten met hem. Beide partijen lerenhiervan. Per klas doe ik ongeveer eens in de zes wekeneen energizer, al slaan ze bij sommige klassen zo goed

VIER STOMPE HOEKEN OM EENPUNT, GAAT DAT?Als je vier hoeken van 120° om een punt wilt plaatsen, moet je deruimte in. Hoe gaat dat er uitzien?[ Leon van den Broek ]

FIGUUR 1

FIGUUR 2

FIGUUR 3

(Dat kun je met congruenties bewijzen.) ∠AOC noemenwe α (we kiezen voor α de hoek die kleiner is dan180°) en ∠BOD noemen we β. Voor ∠BOD nemen wede hoek waar X in ligt; β kan dus groter dan 180° zijn.

We bekijken eerst het geval dat γ < 90°. ∠BOD iskleiner dan ∠BOA + ∠AOD, dus β < 180°.We nemen OB en OD even lang en wel zo dat X ookhet midden van BD is (zie figuur 2). De hoeken AOB,BOC, COD en DOA zijn allevier γ. Daarom is hetgrondvlak van de piramide OABCD een ruit (weervanwege congruenties). Het midden van de ruit is X.We bekijken een kwart van de piramide: OXAB. Dezeknippen we open langs ribbe OA en gaan de uitslagmet de drie vlakken om O maken; zie figuur 3. Wehouden zijvlak OXB vast en vouwen de andere tweezijvlakken om respectievelijk OX en OB. Tijdens hetneervouwen van driehoek OXA beschrijft A eencirkelboog om middelpunt X; tijdens het neervouwenvan driehoek OBA beschrijft A een cirkelboog ommiddelpunt P: het voetpunt van A op OB.In de uitslag zie je dat OP�OA �cos γ en ook OP�OX �cos �

12

�β�OA �cos �12

�α �cos �12

�β. We hebben dusgevonden: cos γ �cos �

12

�α �cos �12

�β.

Voor de gevallen γ �90° en γ > 90° (zie figuur 4) zijnde plaatjes anders, maar de berekeningen soortgelijk.Deze leiden tot precies dezelfde formule. Dus voor allehoeken g geldt: cos �

12

�α �cos �12

�β �cos γ . Bij gegeven γ zijn er dus oneindig veel mogelijkhedenvoor α. Bij elke hoek α waarvoor �

12

�α < γ hoort eenhoek β. Als α minimaal is, dus α �0, is β maximaal:cos �

12

�β max �cos γ , dus βmax �2γ. Dit klopt met deervaring: als je de viervlakshoek samenknijpt, wordt deene breedte 0 en de andere breedte maximaal: dan isα�0 en β�2γ.


Eenvoudig beginnenEr passen precies drie hoeken van 120° om een punt.Ze liggen dan vanzelf in een plat vlak. Als je vierhoeken van 120° om een punt wilt plaatsen, moet je deruimte in. Hoe gaat dat er uitzien? Eerst maar eens het geval van vier hoeken van 60°. Diepas je gemakkelijk tegen elkaar om een punt: zodoendemaak je een viervlakshoek. Dat is heel bekend; denkmaar aan de situatie rond een hoekpunt van eenregelmatig achtvlak. En dat kan op meerdere manieren,want je kunt de viervlakshoek in één richting smallermaken door twee tegenoverliggende ribben naar elkaartoe te drukken. Hij wordt dan vanzelf breder in derichting daar loodrecht op (de andere twee ribbendraaien uit elkaar; zie figuur 1). Bij het regelmatigachtvlak zijn de breedtes in beide richtingen gelijk.Hoe gaat het eruit zien met vier hoeken van 90°? Enmet vier hoeken van 120° of een andere stompehoek? Wat zijn dan de verschillende manieren? Zoalszo vaak bij ruimtemeetkunde, zijn nieuwe situatiesmaar moeilijk voor te stellen. Experimenteren meteducatief materiaal als polydron maakt het meteenduidelijker.

Een formuleWe willen ook iets kwantitatiefs zeggen. Duidelijk isdat het probleem afhangt van de grootte van de vierhoeken. Noem die γ.De viervlakshoek heeft vier benen, zeg OA, OB, OC enOD, in deze volgorde. OA en OC liggen dus tegenoverelkaar. De hoeken AOC en BOD hangen samen: hoegroter de een, hoe kleiner de ander. We zoeken eenformule voor het verband tussen deze hoeken.

We nemen OA en OC even lang. X is het midden vanAC. B en D liggen in het bissectricevlak van hoek AOC.

FIGUUR 4 FIGUUR 5


vierkanten aan elkaar om één punt. Dat kan in een vlakkefiguur. Je kunt alleen maar óf om de ene as AC draaien ófom de andere as BD (zie figuur 7). Dat is ook als volgtmet eenvoudige stereometrie rechtstreeks in te zien. Als OA en OC niet in elkaars verlengde liggen, staat OBloodrecht op vlak OAC (want OB staat loodrecht opzowel OA als OC) en evenzo staat OD loodrecht op vlakOAC. Dus dan liggen OB en OD in elkaars verlengde(omdat B en D aan weerszijden van O liggen). Dus isaltijd AOC of BOD een rechte lijn.

PythagorasDe fraaie formule cos γ�cos �

12

�α �cos �12

�β is bekend uitde bolmeetkunde als de stelling van Pythagoras. Dat zit zo. Snijd de piramide in figuur 3 met een bolmet middelpunt O en straal OA; zie figuur 8. Danontstaat de boldriehoek AB’C’; die heeft een rechtehoek in C’. De zijden AB’, B’C’ en C’A zijn bogen vanzogenaamde grootcirkels op de bol. Demiddelpuntshoeken van deze zijden - dat zijn dehoeken AOB’, AOC’ en B’OC’ - zijn in ons gevalachtereenvolgens γ, �

12

�β en �12

�α.

Noot

Opmerkingen van Jan Smit hebben het verhaal wezenlijk verfraaid.

Waarvoor dank.

Over de auteur

Leon van den Broek (e-mailadres: [email protected]) is leraar

wiskunde aan RSG Pantarijn te Wageningen, is medewerker van de

subfaculteit wiskunde van de KUN, organiseert de Kangoeroe

wiskundewedstrijd in Nederland en is auteur van de Wageningse

Methode en Ratio.

In het symmetrische geval is β�α (als γ scherp is) ofβ�360°�α (als γ stomp is).

Drie mooie gevallen

1. γ �60° en β �αDan cos2 �

12

�α �1 , zodat α �β�90°.In dit geval hebben we de situatie rond een hoekpuntvan het regelmatig achtvlak.

2. γ �120° en β�360°�αOok dan cos2 �

12

�α � �12

�, zodat α�90° en β�270°.Deze situatie krijg je als volgt. Bekijk een hoekpuntvan een regelmatig achtvlak. Neem daar tweetegenover elkaar liggende ribben en de verlengden vande andere twee ribben. De vier hoeken van 120° omhet hoekpunt zijn in figuur 5 aangegeven.Met dit mooie geval kun je een regelmatigeruimtestructuur maken. Dat gaat als volgt. Metregelmatige zeshoeken maken we een regelmatig reliëf.De foto (zie figuur 6, links) toont dat reliëf, gemaaktvan polydron. Je kunt hiervan verschillende lagenboven elkaar aanbrengen (met de vierkante gaten opelkaar). Zodoende ontstaat een ruimtelijke structuur vanregelmatige zeshoeken: om elk hoekpunt vier zeshoeken.Je kunt het ook anders zeggen. Knot het regelmatigachtvlak af op éénderde van de ribben, zodat er van degrensvlakken regelmatige zeshoeken overblijven (zie figuur 6, rechts). Het afgeknotte achtvlak isruimtevullend, dat wil zeggen dat je met kopieën ervande ruimte kunt vullen zonder spleten en zonderoverlappingen.

3. γ �90°Dan cos �

12

�α �cos �12

�β �0 en dat kan alleen als α�180° ofβ �180°. Ook dit klopt met de ervaring. Bevestig vier

FIGUUR 6

FIGUUR 7 FIGUUR 8


De Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade heefteen boek uitgegeven met een selectie van 100 opgavenuit de Wiskunde Olympiades van de afgelopen jaren[1].Negentig van deze opgaven komen uit de eerste rondevan de Olympiades, de overige zijn opgaven uit detweede ronde.De opgaven zijn naar thema gerangschikt. Zo zijn ermeetkundeopgaven over cirkels, veelhoeken metsymmetrie en opgaven waarbij de stelling vanPythagoras een rol speelt. Buiten de meetkunde vindenwe thema’s als rijen getallen, deelbaarheid,vergelijkingen en redeneren. Van de eerste opgave uiteen thema wordt steeds een voorbeeldoplossinggegeven.De oplossingen van de opgaven uit de eerste rondestaan achter in het boek terwijl van de over hetalgemeen wat moeilijker opgaven uit de tweede rondeeen complete uitwerking wordt gegeven.De collectie aardige en vaak verrassende wiskunde-puzzels is op zich al zeer de moeite waard. Het boek isechter veel meer dan een prachtig puzzelboek. Aanieder thema gaat een stukje theorie vooraf dat altijdzeer duidelijk en helder geschreven is. Voor een aantalthema’s zoals gelijkvormigheid en congruentie, vanbreuk naar decimale ontwikkeling en rationale enirrationale getallen is het stukje theorie het best teomschrijven als een prachtige wiskundeles. Bij dezethema’s zijn ook extra opgaven over de stofopgenomen. Zo zal de lezer bij het doorwerken van hetboek niet alleen zijn puzzelvaardigheid vergroten maarook behoorlijk wat wiskunde opsteken.De uitvoering van het boek is al even origineel als de

inhoud. De opgaven staan op de linker witte bladzijdenterwijl de achtergronden bij de opgaven op lichtblauwebladzijden zijn gedrukt hetgeen de overzichtelijkheidten goede komt. Bij een groot aantal opgaven zijnhints gegeven. Deze hints bevinden zich in de margeen zijn in spiegelbeeld geschreven om de neiging totsnelle raadpleging hiervan te onderdrukken.

Met het Olympiadeboek is er voor een toekomstigegeneratie deelnemers een prima oefenboek terbeschikking gekomen. Verwoede en minder verwoedepuzzelaars zullen aan het boek vele uren plezierbeleven. Voor het gebruik in het onderwijs zou ik devolgende suggestie willen doen. Maak van een themauit het boek een project. Laat de leerling deaangeboden theorie bestuderen en daarna debijbehorende opgaven uitwerken.

Voor dit boek geldt dat iedere wiskundeleraar hetmeteen zou moet aanschaffen. Bovendien doet hij ofzij er verstandig aan de leerlingen te bewegenhetzelfde te doen. Dan zullen zij zien dat wiskunde nogveel leuker kan zijn dan ze in uw lessen al haddenervaren.

Noot

[1] Het boek is verkrijgbaar in de boekhandel, maar het is ook

rechtstreeks te bestellen via de website van de Nederlandse Wiskunde

Olympiade:

http://olympiads.win.tue.nl/nwo/

Zie verder ook Euclides 78-4 (januari 2003), p.167.

Over de auteur van deze bespreking

Rob Bosch (e-mailadres: [email protected]) is als docent verbonden

aan de Koninklijke Militaire Academie te Breda. Hij is tevens

redacteur van Euclides.

Boekbespreking / De Nederlandse Wiskunde Olympiade100 opgaven met hints, oplossingen en achtergronden Uitgever: Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade

ISBN 90 76976 12 0 Prijs: € 12,00 [ Rob Bosch ]

(Er is geen ondergrens, maar je moet wel een waardeinvoeren. Als didactische keuze wordt voor dieondergrens nul genomen. Een negatieve inh oudbestaat immers niet. En 0 ligt erg ver van de waarde507. Dus dat moet goed gaan.)Zie figuur 2 voor de invoer in de GR[2].Calc-Intersect (en drie keer ENTER voor de keuze vanY1, Y2 en Guess) geeft als oplossing σ�7,65 cl.Geen vuiltje aan de lucht. Maar…

De oplossing van een leerlingInvoer in de GR levert figuur 3.Calc-Intersect (en drie keer ENTER voor keuze Y1, Y2en Guess) geeft als oplossing σ�1067 cl.Wat is hier aan de hand?Met de leerling werd afgesproken hier de volgende lesop terug te komen. Zou het een fout van de GR zijn?Juist na deze les hadden Sil en Ton een tussenuur,waarin zij dit verschijnsel bespraken. Sil opperde, dater wel eens twee mogelijkheden voor s zouden kunnenzijn. We gingen op onderzoek uit. Eerst maar eensintypen: normalcdf (0, 500, 507, 1067.3055)Resultaat: 0.1799999969.Die oppervlakte klopt dus.

InleidingDit artikel beschrijft enkele ervaringen met het gebruikvan de grafische rekenmachine bij kansrekening. Wij -twee wiskundedocenten van Het Nieuwe Lyceum teBilthoven - kwamen onverwacht wat bijzonders tegentijdens dat GR-gebruik. Het leek ons leuk een aantalavonturen met u te delen.Allereerst wordt u uitgenodigd de volgende opgave temaken met een TI-83 grafische rekenmachine.

Flessen allesreiniger hebben gemiddeld een inhoud van507 cl, bij een vooralsnog onbekende standaard-afwijking.Uit een grote steekproef blijkt dat 18% van de productieminder bevat dan de ideale inhoud van 500 cl.Neem aan dat de inhoud normaal verdeeld is en bepaalde standaardafwijking.

Deze opgave gaf Ton onlangs als oefening in 6-vwowiskunde A.

Oplossing in de klasEerst een situatieschets maken (zie figuur 1)[1].Vertaling: P(I�500)�normalcdf (0, 500, 507, s)�0,18.

EEN DIDACTISCHE KEUZE OFEEN BLUNDER?Over een probleem met de grafische rekenmachine dat zich voordeedtijdens een les over de normale verdeling[ Ton Lecluse en Sil van den Hoek ]


Sil aan zet: bij een grote standaarddeviatie zou het weleens kunnen zijn, dat de oppervlakte links van 0 nietverwaarloosbaar is.Thuis maar eens nader uitgewerkt. Eerst gekeken naarde kansdichtheidsfunctie

f (x)� e ,

met µ = 507 en σ = 1067. De grafiek op de computerziet eruit zoals in figuur 4.En hier komt de aap uit de mouw. In de oorspronkelijkeuitwerking werd ervan uitgegaan, dat de oppervlaktelinks van 0 verwaarloosbaar klein is. Dat is wel zowanneer 0 ‘erg ver’ van de verwachtingswaardeverwijderd is. Maar ‘erg ver’ kan toch ‘dichtbij’ blijken:in de grafiek van figuur 4 zie je dat de oppervlaktelinks van 0 wel degelijk flink groot is! Oorzaak: degrote waarde van de standaarddeviatie.

MoraalBij het kiezen van de grenzen blijft het belangrijk hetomhullende probleem erbij te betrekken. Net als vroegermoet de leerling in staat worden geacht het antwoordvooraf te schatten.De keuze van de docent was gebaseerd op de van decontext afgeleide aanname dat de standaarddeviatieniet al te groot kan zijn, waardoor de oppervlakte linksvan 0 en rechts van 10 verwaarloosbaar kan wordengeacht.Het gebruik van de normalcdf-functie verplicht degebruiker een ondergrens in te vullen.De kans P (X�g)�p, bij gegeven g, µ en p, moet op deTI-83 vertaald worden in normalcdf (gl, gr, µ, X)�p,

1��2�

waarbij je voor gl een verstandige waarde moet kiezen(X staat voor σ).Maar welke ondergrens je ook kiest, er zijn altijd tweeuitkomsten voor σ. Eén ervan is een erg grote, en diemoet je meestal niet hebben. Deze maak je (vrijwel)onbereikbaar voor leerlingen door voor de ondergrenseen waarde te kiezen, die het oneindige ‘redelijk’benadert: de ‘grens’ van de GR. Bijvoorbeeld –1099.Vertaal dus P (X < g) in normalcdf(-10^99, g, µ, σ) enP (X > g) in normalcdf (g, 10^99, µ, σ).Een ‘didactisch verstandige keuze’ als ‘kies gl �0, wanteen negatieve inhoud kan tòch niet’ kan tot eenongewenste nevenuitkomst leiden.De leerling had hier de zaak kunnen redden door bijIntersect niet klakkeloos drie keer op ENTER tedrukken, maar een verstandige Guess te geven,bijvoorbeeld 10 in het voorbeeld hierboven. Dan krijgje, ook in diens ongelukkige tekening hierboven, wèlde juiste waarde voor de standaarddeviatie.Als docent kun je het advies geven: kies voor Xmin enXmax geen al te grote waarden, en bedenk hierbijwaar de uitkomst redelijkerwijs in de buurt moetliggen.En voor wie nog niet overtuigd is…, is het volgendevoorbeeld bedoeld!

Nog een voorbeeldHet saldo van meneer Janssen op zijn lopendebankrekening schommelt nogal. Dit saldo is bijbenadering normaal verdeeld (misschien niet reëel,maar we nemen dit hier maar even aan) met eengemiddeld bedrag van € 507.Op 18% van de dagen staat hij weliswaar niet rood,


��12

�� 2x�

��

FIGUUR 1 FIGUUR 2, 3

De oorzaak van het probleem is eigenlijk deimplementatie. Didactisch was het beter geweest als erop de TI-83 drie normal-functies zouden zijn, één voorP (X ≤ a), één voor P (a ≤ X ≤ b) en één voor P (X ≥ b).Jammer dat alleen de middelste, als normalcdf, isgeïmplementeerd. Wat dat betreft is de implementatiein de programma’s VU-stat en Geocadabra betergeslaagd: hier kan de gebruiker kiezen uit deze driemogelijkheden afzonderlijk.

Enkele opmerkingen terzijdeDe functies binomcdf en normalcdf zijn op de TI-83knap geïmplementeerd, vooral omdat elk van deparameters als variabele kan worden gebruikt. Wellichteen pittig stukje programmeerwerk.Maar een echte fout is soms niet te vermijden, zoalsvolgend voorbeeld aantoont.

OpgaveEen stochast X is normaal verdeeld met µ�171,4 enσ�7,4.Bepaal g zo, dat P(X�g)�0,02.

Oplossing:Zie eerst figuur 6. Kies nu Calc-Intersect en druk 3keer op ENTER. En een foutmelding is het resultaat(zie figuur 7).Wanneer je Xmin�100 instelt, krijg je wèl hetverwachte resultaat. Intersection: g�156,2. Wellichtmoet je de X-grenzen niet te ver uiteen kiezen.

Uit het veld zijn ook signalen vernomen, dat binomcdfvoor grote steekproefgroottes (tussen 1000 en 1000000)

maar is het saldo minder dan € 500.Bepaal de standaarddeviatie van het saldo.(Of, anders gesteld: Hoeveel procent van de tijd staathij in het rood?)

Denkt u even na voordat u verder leest!

Oplossing:Hier zijn beide bovenstaande situaties van toepassing!Er zijn twee oplossingen. De oplossing met de kleine σ,waarbij het saldo dicht om € 507 blijft schommelen,maar ook (wellicht meer reëel) de oplossing met σ�1067, waarbij het saldo flink toeneemt als hetsalaris binnenkomt, maar ook flink afneemt bijbepaalde terugkomende lasten (hypotheek,belastingen). In dat geval is het niet denkbeeldig, dathij vaak in het rood staat.

Twee oplossingenIn het algemeen zijn er bij onbekende σ tweeoplossingen. In bovenstaand voorbeeld is deonderlinge verhouding tussen de twee oplossingenrelatief groot, waardoor in een plot waarin je beidesnijpunten wilt zien, de linker op de y-as valt, enwellicht vergeten wordt.Een voorbeeld (zie figuur 5) waarin beide oplossingenwel mooi te zien zijn (zonder verhaal):normalcdf (0, 400, 500, X)�0,2met als oplossingen σ�118,8 en σ�724,7.Natuurlijk zijn er ook bij een ondergrens van -1099 welvoorbeelden te bedenken waarbij de oppervlakte linksvan zelfs deze grens niet te verwaarlozen is. Maar datlijkt ons spijkers zoeken op laag water.


FIGUUR 4 FIGUUR 5

onnauwkeurige antwoorden geeft. Oudere versies vande TI-83 kunnen geen steekproeven boven n�1000aan (zie de WiskundEbrief-edities van maart 2002).Wellicht dat in toekomstige versies van de GR een enander verbeterd wordt.

Een creatieve aanpak tot besluitTot slot beschrijven we een aardige, creatieve oplossingvan een leerling bij een pittige opgave.

Flessen Berenburg zijn gevuld met een inhoud dienormaal verdeeld is met µ�751 en σ�4 (uitgedrukt in cl).Hoe groot moet een steekproef zijn opdat de kans datde gemiddelde inhoud van de flessen in de steekproefonder 750 cl komt, kleiner is dan 5%?

De oplossing van Annemeike ziet er als volgt uit.Stel de steekproef omvat X flessen. Stochast T is detotale inhoud van de flessen bij elkaar. T is normaalverdeeld met µ�751X en σ�4√X. We moeten X zobepalen dat P (T�750X)�0,05.Ze voert in:Y1�normalcdf (0, 750X, 751X, 4√X)Y2�0.05Na Intersect vindt ze X ª 43,28. Dus de steekproef moetminstens 44 exemplaren bevatten.Een mooie oplossing met in het functievoorschrift vanY1 één variabele, op drie plaatsen gebruikt.Een compliment trouwens aan de makers van de TI-83,die het mogelijk maakten dat deze machine ditallemaal aankan.

Noten

[1] De grafiek-tekeningen zijn gemaakt met het programma

Geocadabra. Van dit programma is een uitgebreide demo te

downloaden vanaf www.geocadabra.nl.

Vanwege de problematiek die beschreven is in dit artikel, is in

Geocadabra geen normalcdf-functie geïmplementeerd, maar wel de

functies normleft, normbetween en normright. Zo is er een analogon

voor de binompdf- en binomcdf-functies geïmplementeerd voor

trekkingen zonder teruglegging: hyppdf en hypcdf. Aanwezigheid van

deze functies op een GR zou het examengereedschap bij de

kansrekening een stuk completer maken.

[2] De GR-figuren zijn gemaakt met een TI-83 Plus (red.).

Over de auteurs

Ton Lecluse (e-mailadres: [email protected]) en Sil van den Hoek

(e-mailadres: [email protected]) zijn docenten wiskunde aan

Het Nieuwe Lyceum te Bilthoven.


FIGUUR 6 FIGUUR 7

EEN REIS NAAR POLENVan 23 tot en met 29 september 2002 is een groep van 26Nederlandse wiskundeleraren in Poznan geweest met het doel kenniste maken met het Poolse onderwijssysteem[1]. Het wiskunde-onderwijs stond daarbij natuurlijk in het middelpunt. In deze weekhebben we een hoop indrukken opgedaan, informatie gekregen, ingroepjes 24 scholen bezocht, lessen bijgewoond en zelf gegeven, delerarenopleiding op de universiteit bezocht en met opleiders,docenten en leerlingen gesproken.[ Irene Dalm-Hof, Gerrit de Jong, Pieter Peeters, Harrie Renckens enHeiner Wind ]


Het schoolsysteemRecent zijn in het Poolse onderwijssysteemhervormingen doorgevoerd. Het onderwijs in Polenwas aan veranderingen toe om de aansluiting met hetvervolgonderwijs en het bedrijfsleven te verbeteren,want door de politieke hervormingen in Polen zijnbijna alle fabrieksscholen verdwenen.Eerst komt nu de zesjarige basisschool voor leerlingenvan 7 tot en met 13 jaar. De laatste drie jaar hiervankrijgen de leerlingen les van vakdocenten. Aan heteind hiervan wordt er een toets afgenomen (zoals onzeCito-toets) en gaan alle leerlingen door naar eendriejarig gimnazjum. Hierbij moet niet aan onsgymnasium, maar meer aan de bij ons bekendemiddenschool gedacht worden.Er blijken overigens verschillen te bestaan tussen dediverse gymnasia. Er zijn er namelijk die gekoppeldzijn aan een basisschool. De leerlingen van diebasisschool stromen dan meestal door naar datgimnazjum. Dit zijn vaak leerlingen die in de buurtwonen. Het niveau van zo’n gimnazjum is sterkafhankelijk van de buurt waarin deze school staat.Andere gymnasia zijn gekoppeld aan een lyceum. Deleerlingen worden op zo’n gimnazjum toegelaten aande hand van het aantal punten dat ze voor een toetsgehaald hebben of door deelname aan specialeactiviteiten. Hoewel het gimnazjum voor alleleerlingen gelijk zou moeten zijn, blijkt dat op zo’nschool het niveau hoger kan liggen.Aan het eind van het gimnazjum worden twee toetsenvan elk twee uur afgenomen. Eén (geïntegreerde) toetsmet de talen en geschiedenis en één toets met deexacte vakken en aardrijkskunde.Na deze toetsen stromen de leerlingen door naar hetlyceum (liceum ogólnoksz talca5 ce of liceumprofilowane, beide bereiden voor op de universiteit),

technisch middelbaar onderwijs (liceum techniczne) ofberoepsgericht onderwijs (szkola zasadnicza).

Tussen de verschillende lycea is zeker sprake van enigecompetitie: van scholen is bekend hoe goed ze zijn(lees: hoe hoog het percentage toegelaten studenten totde universiteit is). Een gevolg daarvan is dat er vooreen goede school met plaats voor ca. 200 nieuweleerlingen meer dan 1000 leerlingen wordenaangemeld. Verder profileren scholen zich door extrauren in bepaalde vakken, bijvoorbeeld wiskunde, talenof sport.Aan bijzondere prestaties wordt ceremonieel aandachtbesteed: o.a. portrettengalerijen van bekroonde en/ofgeslaagde leerlingen.

Het nieuwe systeem is halverwege met de invoering, erzijn nog ‘oude’ bovenbouwklassen. Voor conclusies ofhet nieuwe systeem goed werkt is het dus veel tevroeg. Gevraagd naar de eerste ervaringen met deniveauverschillen kregen we verschillende reacties.Schoolleiders waren van mening dat het een goedsysteem is, docenten waren wat minder enthousiast: zijlopen in de praktijk tegen de, soms zeer grote,verschillen aan. Differentiatie binnen klassenverband iser in de lessenpraktijk niet door ons waargenomen.Toen wij doorvroegen over dit probleem, gaf eenlerares tenslotte als antwoord: ‘We hebben deverplichting om het zo uit te voeren.’

De scholen zijn tamelijk sober ingericht. In een van descholen werd juist een vrachtwagen vol afgedanktmeubilair uit Nederland gelost: dat kan daar nog jarenmee (voor het bedrag dat hiermee wordt bespaard,kunnen computers worden aangeschaft). Het is erschoon, ook na de pauzes geen rotzooi op de grond,

FIGUUR 1 Examenopgaven (vertaald in figuur 2)

De lessenTijdens het bezoeken van middelbare scholen en hetbijwonen van enkele wiskundelessen aldaar wordt snelduidelijk dat er verschillen en overeenkomsten zijn metscholen en wiskundelessen in Nederland.Het viel ons op dat het er overwegend ordelijk aantoegaat, zonder dat er sprake is van een gespannensfeer. Integendeel, de omgang tussen leerlingen endocenten getuigde vaak van wederzijds respect.

Enkele reisgenoten hebben een didactisch-weloverwogen uitleg en lesopbouw meegemaakt, maarbij veel lessen gaat het er als volgt aan toe.De les begint met een korte terugblik op de vorige les.Daarna wordt er kort verteld wat er die les gaatgebeuren. Dan leest de docent een opgave voor, eenleerling maakt deze op het bord terwijl de andereleerlingen de opgave in hun schrift maken (ofoverschrijven van het bord). Dan wordt de volgendeopgave voorgelezen, opgeschreven en op het bordgemaakt.De schoolborden zijn vaak van een klein formaat, dussnel vol. Een leerling, daartoe voor een weekaangesteld, hanteert de spons en gunt daarmee dedocent en zijn medeleerlingen een korte adempauze.Deze manier van werken wordt vaak het hele lesuurvolgehouden. De sfeer is uiterst vriendelijk en er valtgeen onvertogen woord.Komt er in de les iets nieuws aan de orde, dan zou jeverwachten dat de docent oriënteert, sorteert,voorbeelden en non-voorbeelden aandraagt en dan pastot expliciteren overgaat. Dat hebben we niet gezien.

geen kauwgom onder de tafels te ontdekken, … Hetlijkt zo wel het onderwijswalhalla. Maar dat staat tebezien.Een volledige weektaak bestaat uit 18 lessen aanklassen die gemiddeld even vol zitten als bij ons. Hetsalaris is echter vrij laag. In Polen hebben vrijwel altijdbeide partners uit een gezin een betrekkingbuitenshuis. Maar dan nog zien veel docenten zichgenoodzaakt hun schamele inkomen wat uit te breidendoor het geven van lessen ‘s avonds en zaterdags inhet volwassenenonderwijs. Als die baantjes al vergevenzijn is er nog steeds het bijlescircuit waar Poolseouders gretig gebruik van maken om hun kinderenbetere startposities te bezorgen. De concurrentieimmers is enorm. Niet alleen dient toelating tot eengerenommeerde universiteit door middel van eentoelatingsexamen te worden bedongen, ook voor debetere middelbare scholen is het enorm dringen.

Een directeur wordt benoemd voor een periode van vijfjaar. Hij of zij kiest zelf een adjunct. Bij onvoldoendefunctioneren treedt de directeur eerder af en ‘sleept deadjunct mee’. Sommigen van ons zouden heel blij zijnmet zo’n systeem in Nederland. (Hebben de AOb en deAVS meegelezen?)

De wiskundeHet wiskundeonderwijs op de gymnasia is aan hetvernieuwen. Er worden nieuwe boeken met werk-schriften gebruikt en de onderwerpen die behandeldworden zijn vergelijkbaar met die bij ons, maar zijgaan er wel meteen diep op in. Zo wordt er bij hettekenen van hoeken al uitgebreidgeconstrueerd met passer enliniaal (geen geodriehoek). Hetreken-onderwijs blijft een groterol spelen. De vaardigheden omgoed te kunnen rekenen wordenuitgebreid behandeld. Er wordtniet vanuit gegaan dat leerlingeneen rekenmachine hebben, tochheeft een enkeling er wel een. Ookde TI-83 (die in Polen duurder isdan in Nederland) is een keergesignaleerd, maar de eigenareswist geen gebruik te maken van degrafische mogelijkheden. Hetvaktijdschrift van de Poolsewiskundeleraren bevat de laatstejaren in een kwart van denummers een artikel over hetgebruik van de GR in de klas.Over enkele jaren zal de GR welverplicht worden op de lycea,maar de vrees bestaat dat de GR teduur is voor veel leerlingen enouders.Leerlingen gebruiken soms eenapart aantekenschrift waarin alledefinities worden opgeschreven.


FIGUUR 2 Twee examenopgaven

Integendeel: bij een les over limieten komen eerst dedefinities van linker- en rechterlimiet op het bord endaarna wordt alles met een heel abstract plaatjegeïllustreerd. Dat is het dan. Natuurlijk blijkt voorslimmere leerlingen tijdens het maken van de opgavenwel waar het om gaat, maar het is toch jammer datleerlingen op deze manier de stof toegediend krijgen.De manier lijkt wel wat op de wijze van lesgeven inNederland van vóór 1968. Ook de behandelde stofvertoont wat overeenkomsten. Zie bijvoorbeeld dematury (eindexamens van het lyceum) in figuur 2 [2][3].Grotere opgaven, zoals functieonderzoek, werden instukjes geknipt en door verschillende leerlingen achterelkaar op het bord gemaakt.Fouten werden vanuit de klas of door de docentverbeterd en het grotere rekenwerk werd meestalvoorgezegd door enkele leerlingen met eenrekenmachine.

LesvoorbereidingOp één school kregen we vooraf volledig uitgeschrevenlessen met leerdoelen, benodigde voorkennis en eentijdsplanning in minuten. Beide docentes gebruiktendaarvoor hetzelfde model. Het bleek dat de inspectietot enkele jaren geleden eiste dat elke les zo voorbereidmoest worden. Nu is dat niet meer voor elke lesverplicht, maar wel moet je dat nog enkele malen perjaar doen, wil je in aanmerking komen voor eenhogere docentenfunctie.

Nieuwe didactiekUit verhalen van aangetrouwde familieleden enkennissen hadden sommigen al voor de reis naarPoznan een beeld van het wiskundeonderwijs op demiddelbare school. Dat beeld valt met enkeletrefwoorden samen te vatten: saai, schools en dril. Deeerste indrukken tijdens de lesbezoeken bevestigden ditbeeld in hoge mate. Het beeld werd enigszins bijgesteldtijdens een bezoek aan de afdeling wiskundedidactiekvan de universiteit van Poznan. De hoofddocentedidactiek vertelde dat men in Polen reeds enige tijddoende is het wiskundeonderwijs in de middelbarescholen te hervormen. In Polen blijkt echter weiniggeld beschikbaar te zijn om alle voorstellen terbegeleiding van de hervormingen uit te voeren. Dehoofddocente zou ook graag meer uitwisseling vanervaringen tussen Nederlandse en Poolse docentenwensen om de komende hervormingen in het nieuwecurriculum te begeleiden.De noodzaak van begeleiding werd zichtbaar nadat wemet een docente een door één van ons gegeven lesbespraken. De les ging over kansrekening, had eenopen vraagstelling en de leerlingen zaten in groepenvan vier bij elkaar om het gestelde probleem aan tepakken. De les verliep naar onze mening verre vanideaal maar de eerste reactie van de lerares na de lesluidde: ‘Nu ik dit gezien heb, durf ik het ook wel aan,zo’n les nieuwe stijl.’ Dat was misschien wel de meestkostbare reactie van de hele reis. Immers de meestenvan ons weten uit eigen ervaring dat het veel moeitekost de vertrouwde overgeleverde vormen van

onderwijs los te laten en in het diepe te springen metnieuwe inhouden en methoden.De onvolprezen nestor van onze groep, Hans van Lint,duwde een Pools sprekende Nederlandse collega tijdensde reis een bundeltje wiskundedidactiek-tijdschriften inde hand, met het verzoek de artikelen eens te lezen ener verslag over uit te brengen. De bladen bleken denaam ‘Nauczyciele i Matematyka’ (Leraren enWiskunde) te dragen en zijn het orgaan van devereniging van Poolse wiskundeleraren. Ze bevattenvooral artikelen die met de lespraktijk te makenhebben zoals lesverslagen, experimenten met‘bijzondere’ lichamen, voorbeelden van het gebruikvan de TI-83 in de les, etc. Verrassend is dat onze‘eigen’ didactiekdocent Harrie Broekman vaak werdaangehaald. Hij heeft al enkele jaren contacten met dePoolse vereniging van wiskundeleraren, geeftregelmatig lezingen in Polen en nodigt Poolse lerarenvoor bezoeken in Nederland uit. Een beetje overdrevenmisschien, maar toch leek het erop alsof HarrieBroekman voor de Poolse leraren een soort Mozes-rolvervult: hij wijst wegen aan om uit het diensthuis vanonbruikbare wiskunde te geraken. Maar in Polenontbreekt vooralsnog geld bij de regering enzelfvertrouwen bij docenten om achter HarrieBroekman en anderen aan te trekken.

Het curriculum wordt, net zoals voorheen, door hetministerie vastgesteld. Vanuit de universitairelerarenopleidingen wordt getracht hier invloed op uitte oefenen. Dit verloopt vooralsnog moeizaam, menstaat aan het begin van een cultuuromslag, zo die algemaakt wordt.Maar de wiskunde in toepassingen, die wij tijdens onzelessen lieten zien, werd niet herkend als wiskunde. Datleverde meteen de vraag op: wat wil je met jewiskundeonderwijs op de middelbare school bereiken?Tijdens de bijeenkomst op de universiteit gaf dataanleiding tot een levendige discussie.In Polen fungeert de schoolwiskunde onmiskenbaar alseen van de selectiemiddelen. Die wiskunde is gestoeldop zuivere wiskunde, zonder (al dan niet met de harener bij gesleepte) toepassingen.In Nederland hebben wij met de invoering vanwiskunde A en B, de programma’s voor 12-16, debasisvorming en de Tweede Fase, duidelijk een andereweg ingeslagen.De gedachte kan gemakkelijk postvatten, dat wij in hetdenken over en het ontwikkelen van modernwiskundeonderwijs een grote voorsprong hebbenopgebouwd.Vanuit het oogpunt wiskunde voor allen hebben we inNederland inderdaad aardige resultaten weten teboeken, internationale onderzoeken lijken dat tebevestigen. Het programma voor de onderbouw doetzeker veel meer recht aan de vele leerlingen voor wie‘echte’ wiskunde niet is weggelegd. De conclusie datwe daarmee een eind op de goede weg zijn is daarmeezeker gerechtvaardigd.De keerzijde van deze medaille is ons in Polenvoorgehouden: waar in Nederland de studenten voor


een wiskundestudie aan de universiteit zeermondjesmaat (soms één voor één) wordenbinnengehaald, daar staan ze in Polen in de rij. Alleenal in Poznan waren voor de faculteit Wiskunde enInformatica 1400 aanmeldingen voor 250 plaatsen.Wij hebben in onze kennismaatschappij dringendbehoefte aan exact geschoolde mensen. Is onzeschoolwiskunde dan niet boeiend, uitdagend enuitnodigend genoeg om als vervolgstudie te kiezen? De laatste ontwikkelingen doen vrezen dat het enigeprogramma dat die uitdagingen wel in zich heeft,wiskunde B12 in het profiel N&T, het loodje moetleggen. Op welke weg zijn we dan?Kortom, veel stof tot discussie, nadenken en zeker totinspiratie. Na terugkeer in de dagelijkse lespraktijksprak één der deelnemers: ‘Het is net alsof ik nieuweenergie gekregen heb, ik weet weer waar ik hetallemaal voor doe!’ Een betere doelstelling en eenmooiere afsluiting van zo’n week kun je je nietvoorstellen.


Noten

[1] De reis werd als Plato-project gefinancierd door de Europese Unie

en stond onder inspirerende leiding van Hans van Lint en Jeanne

Breeman. In Polen was de hulp van Barbara Mika-Bialecka, een in

Polen geboren en getogen, maar sinds 15 jaren in Nederland werkende

wiskundelerares, onmisbaar bij het over en weer vertalen van Poolse en

Nederlandse teksten.

Voor nadere informatie: Euroschool, Govert Werther

(tel. 072-5118502; e-mail: [email protected]) of zie het

artikel in Euclides jrg. 77, p.25.

[2] De matury vormen voor de verschillende examenvakken per

onderwijsdistrict een soort centraal examen van het lyceum. De

opgaven zijn voor alle middelbare scholen uit een regio dezelfde en een

commissie van deskundigen van buiten de school beslist met de

schooldocenten over de becijfering. Het behalen van een voldoende

resultaat voor de matury geeft echter geen toelatingsrecht tot verdere

studies. Vaak eisen faculteiten, vooral die in de veel gewilde studies,

nog een voldoende resultaat voor een toelatingsexamen. Bij wiskunde

ligt de lat voor de gevestigde faculteiten in Warschau, Krakau,

Wroclaw en Poznan erg hoog: er wordt een grote dosis inventiviteit

vereist om te worden toegelaten tot academische studies.

[3] Wie wil kennisnemen van dit examen kan terecht op

http://www2.gazeta.pl/edukacja/1,27123,269357.html

De tekst van dit examen is in het Pools; de Nederlandse vertaling is te

vinden op

http://members.home.nl/hrenck/vertexamen.htm

Het is interessant deze opgaven te vergelijken met proefopgaven voor

de matury nieuwe stijl die voor het eerst landelijk in 2003 worden

afgenomen:

http://www2.gazeta.pl/im/817/m817099.pdf

De vertaling van deze opgaven is te vinden onder:

http://members.home.nl/hrenck/vertexnieuw.htm

Over de auteurs

Irene Dalm-Hof (e-mail: [email protected]) is lerares wiskunde

aan het Wellantcollege vmbo/mavo Stek te Dordrecht.

Gerrit de Jong (e-mail: [email protected]) is leraar wiskunde aan

de Christelijke Scholengemeenschap Walcheren te Middelburg en

auteur bij Getal en Ruimte.

Pieter Peeters (e-mail: [email protected]) is leraar wiskunde aan

het Berlage Lyceum (Esprit scholengroep) te Amsterdam.

Harrie Renckens (e-mail: [email protected]) is leraar wiskunde aan het

Grotius College te Heerlen.

Heiner Wind (e-mail: [email protected]) is leraar wiskunde aan het

Wessel Gansfort College te Groningen.


FOTO 1De ontvangst op de scholen was allerhartelijkst, in iedergeval met koffie en veel koekjes, soms met een compleetontbijt

FOTO 2Het bord wordt regelmatig ‘schoongeveegd’ waarna er weereen uitwerking op komt

FOTO 3Op sommige scholen gaan de leerlingen aan het begin vande les staan om de docent te groeten

FOTO 4Poznan heeft een mooi centrum

FOTO 5Er werd enthousiast meegewerkt aan de ‘Nederlandselessen’


Boekbespreking / De vierde dimensie Auteur: Thomas F. Banchoff

Uitgever: Natuur en Techniek Amsterdam ISBN 90 76988 013 Prijs: € 37,50

[ Chris van der Heijden ]

verwijst daarbij naar het beroemde boekje Flatland vanEdwin Abbott uit 1884. Om deze aanpak te illustrerenvolgen hier een paar voorbeelden[1].Een kubus in de 0-dimensionale ruimte is slechts eenpunt. Bewegen we dit punt in ‘lijnland’ over eenafstand van één eenheid, dan krijgen we een lijnstuk.Een verschuiving in ‘platland’ van dit lijnstuk in eenrichting loodrecht op zichzelf van één eenheid leverteen vierkant op. Zo doorgaand krijgen we in‘ruimteland’ een kubus en in de vierdimensionaleruimte een hyperkubus met 8�8�16 hoekpunten, 12 �12 �8�32 ribben, 6�6 �12�24 vierkantevlakken en 1�1�6�8 ‘grenskubussen’.Bekend is dat er slechts vijf platonische lichamen zijn.We kunnen dit aantonen door ervan uit te gaan dat dehoeken van drie of meer regelmatige veelhoeken die ineen hoekpunt bij elkaar komen, samen kleiner dan360o moeten zijn. Van deze vijf regelmatige veel-vlakken zijn kubus en achtvlak elkaars duale, zo ooktwaalfvlak en twintigvlak, terwijl het viervlakzelfduaal is. Vertalen we naar analogie punt in lijn enregelmatige veelhoek in regelmatig veelvlak en kijkenwe hoeveel regelmatige veelvlakken met eengemeenschappelijke ribbe rondom een lijn passenwaarbij nog ruimte overblijft om ze samen te vouwenin de vierde dimensie, dan krijgen we de regelmatige

Wij leven in de driedimensionale ruimte. Kunnen wijons een ruimte voorstellen van een hogere dimensie?Op deze vraag geeft Thomas F. Banchoff een helder enboeiend antwoord in zijn boek met de Nederlandse titel‘De Vierde Dimensie, Wiskunde in hogere sferen’. Dit isde vertaling van ‘Beyond The Third Dimension,Geometry, Computergraphics, and Higher Dimensions’.De Engelse titel dekt de inhoud veel beter omdat deschrijver zich niet uitsluitend beperkt tot de vierdedimensie maar ook hogere dimensies en gebrokendimensies van fractalen bespreekt. Bij de wel erg vrijvertaalde ondertitel ‘Wiskunde in hogere sferen’ zouhet vermoeden kunnen rijzen dat we hier te makenhebben met een gepopulariseerde versie van dewiskunde waarin met bloemrijke taal het gebrek aaninhoud verbloemd wordt. Het boek heeft echter veel tebieden voor de leek met enige voorkennis van figurenen lichamen in de tweede en derde dimensie, en ookvoor wiskundig geschoolden valt er vooral veel teleren uit de benaderingswijze van de schrijver. Of zoalsde schrijver zelf zegt (p.157):‘Feiten over meetkunde worden vertaald in algebraïschefeiten en omgekeerd. De wiskunde die zich met dezetransformaties bezighoudt heet lineaire algebra. Helaasheeft deze praktische manier van omgaan met dewiskunde van dimensies ook ertoe geleid dat veel fraaieresultaten onbereikbaar zijn voor de leek. In dit boekheb ik doelbewust de meetkunde behandeld vanuit hetsynthetische gezichtspunt.’Voor dit principiële standpunt valt ook in didactischopzicht veel te zeggen. Een algebraïsche benaderingvan de meetkunde kan na veel gereken tot goedeantwoorden leiden zonder dat dit bijdraagt totwerkelijk inzicht in de meetkunde. Wie heeft niet dezeervaring bij zichzelf of bij zijn of haar leerlingen?Begin daar dus niet mee, maar stel dit uit tot een laterstadium. De coördinatenmeetkunde wordt in dit boekmisschien daarom pas aan het einde besproken.De schrijver kiest voor de dimensionale analogie en

FIGUUR 1 Een hyperkubus

polytopen in de vierde dimensie, terwijl we voor deverdere ontwikkeling ook weer gebruik kunnen makenvan het begrip dualiteit.

Om ons een beeld te vormen hoe een lichaam in devierde dimensie eruit ziet, bespreekt de schrijver viermethoden: doorsneden, schaduwbeelden (parallel-projectie), perspectief (centrale projectie) en uitslag-patronen. De bespreking hiervan wordt verlevendigdmet aansprekende praktische voorbeelden, zoals MRI-beelden van het menselijk hoofd, de allegorie van degrot van Plato, het schilderij Corpus Hypercubicus vanSalvador Dali, Schlegeldiagrammen en destereografische projectie. Computergrafica biedt demogelijkheid om deze projecties zichtbaar te maken enze vanuit verschillend standpunt te bekijken. Het boekgeeft hiervan fraaie voorbeelden. Vroeger werdenprojecties van vierdimensionale lichamen in dedriedimensionale ruimte voorgesteld door sculpturenen stangenmechanismen. Ook hiervan zijn in het boekfoto’s opgenomen.De schrijver beperkt zich echter niet tot de puremeetkunde, maar laat zien dat de aldus verkregenkennis samen met computertechnologie toepasbaar isbij praktische problemen, bijvoorbeeld bij data-visualisatie. Men krijgt beter inzicht in functionelerelaties met meer dan drie variabelen door voor deinterpretatie van de grafieken de dimensie op slimmewijze te verlagen.

De kracht van dit boek ligt in de eerste 6hoofdstukken. De hoofdstukken erna over configuratie-ruimten en niet–euclidische meetkunde en niet-oriënteerbare oppervlakken zijn interessant maar lijkentoch wat moeilijk voor een leek. Dit neemt niet wegdat dit juist de aanleiding kan zijn om verder te

studeren. Aan het einde van het boek worden daartoe36 literatuurverwijzingen gegeven.

Het boek ziet er aantrekkelijk uit met mooie enduidelijke illustraties. In de tekst komen enkele foutjesvoor die echter niet hinderlijk zijn omdat de lezer uitde context kan begrijpen hoe het werkelijk zit.Storender is echter dat op blz. 79 en blz. 80 hetzelfdeplaatje met verschillend onderschrift voorkomt. Wijstdit op onzorgvuldigheid bij de samenstelling van deNederlandse editie?

Samenvattend kunnen we zeggen dat dit boek veel tebieden heeft, zeker ook voor geïnteresseerde leerlingenin het voortgezet onderwijs met meetkunde in hunpakket. Friedrich Fröbel (1782-1852) vond het albelangrijk om jonge kinderen meetkundige stimuli aante bieden, zoals de auteur vermeldt. Dit boek krijgtdaarom op de achterflap terecht een warmeaanbeveling van de bekende meetkundige H.S.M.Coxeter.

Noot

[1] De illustraties zijn om technische redenen overgenomen uit de

Amerikaanse editie (red.).

Over de auteur van deze bespreking

Chris van der Heijden (e-mailadres: [email protected])

begon in 1960 zijn loopbaan als werktuigbouwkundige in het

bedrijfsleven. Van 1969 tot 2001 was hij wiskundedocent aan de

scholengemeenschap CSG Blaise Pascal in Spijkenisse. De laatste 27

jaar was hij lid van de schoolleiding.

FIGUUR 2 De tabel op pag. 77 van het boek FIGUUR 3 De 5 Schlegeldiagrammen op pag. 117


De keuze van onderwerpen was zo groot enaantrekkelijk dat ik graag meer had willen volgen,bijvoorbeeld:- Wiskunde en IKEA,- Grote Praktische Opdracht voor BB- en KB-leerlingen,- Vliegers als praktische opdracht in 3 vmbo.Deze onderwerpen geven aan dat de organisatoreninderdaad zeer leerlingen praktijkgericht aan hetwerk zijn geweest.

Tijdens de lunch hoorde ik andere zeer enthousiastereacties op workshops en lezingen.Al met al een prettige en goed geslaagde conferentie.Op naar nummer twee!

Over de auteur

Elzeline de Lange (e-mailadres: [email protected]) is wiskundedocent

op Effatha (een school voor dove en slechthorende kinderen), afdeling

vmbo, te Zoetermeer. Zij is tevens vmbo-redacteur van Euclides.

De Eerste Reehorstconferentie Wiskunde van 9 januarijl. was vooral bedoeld voor docenten wiskunde in debasisvorming, het vmbo en de onderbouw havo/vwo.Ruim 230 deelnemers voor deze eerste keer is een mooibegin. De sfeer en de verzorging was prima.Het aanbod uit lezingen en/of workshops was groot enzeer divers : 6 lezingen en wel 17 workshops.

Omdat ik helaas niet de hele dag aanwezig kon zijn,heb ik maar twee workshops gevolgd:1. Powerpoint. Deze workshop werd verzorgd door Bepvan de Heuvel. Hij deed dit zeer inspirerend eninformatief. Met behulp van een duidelijke handleidingkonden we direct aan het werk.Powerpoint kun je als ondersteuning gebruiken in dewiskundeles. In zo’n presentatie kan een onderwerpuitgelegd worden, maar er kan ook verwezen wordennaar internet-wiskundesites waar de leerlingen nogveel meer informatie over zo’n onderwerp kunnenvinden.Dit was een prima manier om genoeg inzicht te krijgenom enthousiast te raken; hier kan ik voor en met mijnleerlingen mee aan het werk.2. De andere workshop ging over Praktisch werken inhet vmbo, van GWA tot eindexamen.Marijke Kok uit Zoetermeer schetste een werk/leerlijnvan praktische opdrachten: van kleine praktischeopdracht en GWA uit het methodeboek in het 1e jaar,via sectororiënterend praktijkonderzoek in het 2e jaar,tot grote schoolopdrachten in het 3e en 4e leerjaar. Zijillustreerde haar verhaal met verschillendepraktijkopdrachten.De workshop was vooral gericht op de lwoo-leerlingen.Een leuk verhaal, voorzien van praktijk-illustraties.

EERSTEREEHORSTCONFERENTIEWISKUNDEEen kort verslag[ Elzeline de Lange ]


Op donderdag 1 en vrijdag2 mei 2003 zal aan deKatholieke UniversiteitNijmegen het jaarlijksNederlands MathematischCongres plaatsvinden.De openingsvoordrachtwordt verzorgd door R. Hartshorne, de slot-voordracht door R. Dijkgraaf.

Daarnaast omvat het wetenschappelijk programmavoordrachten door F. Beukers, B. Jacobs, J. Koenderinken K. Landsman, en is er een dertiental minisymposia.

Het NMC2003 is een bijzonder congres, want hetorganiserende Wiskundig Genootschap bestaat 225 jaar.Op donderdagmiddag vieren we dit met een speciaalprogramma:15.45 - 16.15Lustrumvoordracht door Nobelprijswinnaar M. Veltman,

16.15 - 18.00Symposium ‘Wiskunde, nodig en in nood’, over deslechte situatie van de wiskunde in Nederland, metsprekers H. Brandt Corstius, P. Nijkamp en J. Veldhuis.

Verder stelt het bestuur van het Genootschap een prijsvan 225 euro ter beschikking voor het meest origineleen geïnspireerde antwoord op de vraag:

Formuleer een wiskundig probleem met uitkomst 225.

Inzendingen moeten uiterlijk 1 april 2003 binnen zijnop [email protected] of bij PrijsvraagcommissieNMC2003, t.a.v. dr. B. Souvignier, subfaculteitwiskunde KUN, Postbus 9010, 6500 GL Nijmegen.

Meer informatie over het programma en demogelijkheid tot inschrijven vindt u op de websitewww.math.kun.nl/nmc2003

Aankondiging / Nederlands Mathematisch Congres 2003[ Mascha Honsbeek ]

ICT2003 is de derde landelijke conferentie over ICT-gebruik in het wiskundeonderwijs, waarbijwiskundedocenten zich kunnen verdiepen in recenteontwikkelingen op dit gebied. Op deze conferentie, diewordt georganiseerd door het Freudenthal Instituut enAPS-wiskunde, staat het gebruik van ICT binnen maarook buiten de wiskundeles centraal:- voorbeelden uit de klassenpraktijk van basisvorming,vmbo en tweede fase;- ICT-gebruik van leerlingen thuis;- mogelijkheden voor de wiskundesectie;- overzicht van nieuwe ontwikkelingen.

In parallelpresentaties worden ervaringen met ICT-gebruik in de klas gepresenteerd. In hands-onworkshops kunt u zelf ondervinden welkemogelijkheden software biedt. In de keuzewerkgroepen

komen onder andere de volgende onderwerpen aan bod:- Excel benutten voor de wiskundeles;- wiskundesoftware voor taalzwakke leerlingen;- applets aanpassen en veranderen.

Daarnaast is er een ‘webstrite’, waarin de beste websitevan een wiskundesectie wordt gekozen door eendeskundige jury. Met mooie prijzen!

ICT2003 vindt plaats op donderdag 24 april 2003van 9.30 tot 16.15 uur te Utrecht.

Meer informatie over deze conferentie kunt u vindenop www.fi.uu.nl/ict/2003Voor inlichtingen en inschrijving: Yolanda Velo, APS-wiskunde, telefoon: 030-2856722

Aankondiging / Conferentie ‘ICT bij wiskunde in de lesen erbuiten’

jaar met een schoolexamen. Dat isvoor havo wel, voor vwo niet gere-aliseerd, dit laatste als gevolg vandruk vanuit de universiteiten.

De studielast voor wiskunde was perprofiel anders, hoger naarmate hetvak belangrijker werd geacht voorhet profiel. In de breed samengestel-de vakontwikkelgroep (twee docentennamens de NVvW, een vertegenwoor-diger van het wo, een van het hbo,een ontwikkelaar vanuit het FI, eneen aantal mensen vanwege specifie-ke deelgebieden: voor de emancipa-tie, voor de techniek en voor de ict,de secretaris kwam van het CITO, devoorzitter was rector en wiskundige)is daarna gepoogd de programma’szoveel mogelijk toe te snijden op hetgekozen profiel. Dit ter meerdere glo-rie van de doorstroming naar eenvervolgstudie. Het voortgezet onder-wijs is nog maar voor weinigen eind-onderwijs, dus is aandacht voor diedoorstroomfunctie van eminentbelang.De plannen van de vakontwikkelgroepzijn daarna breed besproken; deNVvW heeft naast de algemene raad-pleging een eigen raadplegingsrondeopgezet met de leden. Op basis daar-van is een reactie opgesteld met alsgevolg nog enige aanpassingen in hetprogramma.Het is dus niet zo vreemd dat uit dediverse ‘monitoringen’ niet blijkt datde wiskundedocenten ontevreden zijnover het programma. Er is wel kritiekop de lawine van soms onbegrijpelijkewijzigingsmaatregelen zoals het latenvallen van de gonio in havo-B.Wel is men vaak zeer ontevredenover het relatief geringe aantal con-tacturen dat men krijgt om de leer-ling te begeleiden bij het onder deknie krijgen van de stof. Directiesnegeren massaal hun jarenlange ken-nis en ervaring over het onderwijs in

de verschillende vakken en bekerenzich tot één formule voor alles. Eensteen der wijzen, die het nieuwe con-cept van studielast per leerling metde zakjapanner weer handzaamomzet in het vertrouwde model vande les per leraar (de eerste vernieu-wing die is mislukt).

Iedereen weet dat het bij wiskundevaak anders ligt dan bij andere vak-ken, misschien nu wel meer danvroeger. Bij een wiskundeprogrammadat zeer algoritmisch is, kun je doorveel zelf oefenen van standaardme-thoden een heel eind komen. Hetoude havo-programma (van vóórHAWEX) was daar een goed voor-beeld van. Veel standaardsommen,met standaardtechnieken op te los-sen. Leerlingen leerden desnoodssommen uit hun hoofd en haddendaar nog wat aan ook.

De ambities bij de nieuwe program-ma’s reiken verder. De nadruk ligtmeer op probleem-oplossen, analyse-ren, abstraheren, modelleren, en min-der op algoritmiek. Belangrijke vaar-digheden (in het dagelijks leven komter immers zelden een kant en klarevergelijking op u af met de vraag ‘losmij op in twee decimalen’), maar nieta priori makkelijker te leren. Datblijkt ook; leerlingen vinden hetmoeilijk. En dan is er ook nog degebrekkige beheersing van algebraï-sche vaardigheden. Maar als men hetvan belang vindt dat alle leerlingeneen goede basis in de wiskunde heb-ben, moet je als reactie daarop eerderhet onderwijs intensiveren bij gelijk-blijvende studielast, dan zoals nuvoorgesteld sterk reduceren.

Aansluiting komt van twee kantenDe vernieuwde procedure - al datoverleg - legde ook een verantwoor-

Met verbijstering heeft het bestuurvan de NVvW kennis genomen van devoorgestelde maatregelen om de twe-de fase meer ruimte te geven doorfors te snijden in de exacte vakken.Dit resultaat is nieuw voor ons, alhadden we wel wat geruchtengehoord, maar in de besluitvormingzijn wij niet betrokken geweest. Deaanbiedingsbrief van de minister su-gereert het tegendeel. Dat is wel tebegrijpen: als je een vak om zeep wiltbrengen, gaat dat makkelijker als jedirect betrokkenen daarbuiten laat. Enhet staat aardiger als je een plan pre-senteert na overleg met betrokkenen.

Hoe was het ook alweer?Na vele jaren praten (de eerste nota,‘Profiel’, is uit 1991) is de Tweedefase ingevoerd. Een van de doelenwas het verbeteren van de aansluitingop de vervolgopleidingen. Daartoe isveel overleg gevoerd met alle betrok-kenen. Een van de uitkomsten wasdat wiskunde verplicht werd in alleprofielen, vanwege het grote belangdat men eraan hechtte, ook voormensen die later niet in een techni-sche of exacte richting verder zoudengaan. Daarnaast gaf die verplichtewiskunde ook zwaarte aan een pro-fiel, want men wilde afrekenen methet pretpakket. Niemand dacht datwiskunde voor alle leerlingen makke-lijk zou zijn. ‘Makkelijk’ was niet eenargument, toen niet.De NVvW heeft steeds op het stand-punt gestaan dat je de zegeningenvan de wiskunde niet iedereen doorde strot moet persen, en derhalvemensen zonder talent of belangstel-ling ook de mogelijkheid moestgeven om wiskunde niet tot en methet examen te volgen. Vandaar datwe zowel voor havo als vwo ervoorhebben gepleit om wiskunde in hetC&M-profiel bescheiden te houdenen af te sluiten in het voor-examen-

Verenigingsnieuws


Van de bestuurstafel [ Marian Kollenveld ]

Verenigingsnieuws


De argumentatie in de nota is verdervrij willekeurig: deelvakken wordenafgeschaft, maar bij wis- en natuur-kunde wordt juist het heelvak afge-schaft en het deelvak gereduceerd entot heelvak verheven. Van Latijn enGrieks wordt geconstateerd dat deleerdoelen niet gehaald worden; hetvak wordt daarom uitgebreid tot 600uur. Een zelfde constatering bij wis-kunde is reden om maar flink tesnoeien.

In tegenstelling tot wat men beweert,wordt de profielstructuur de factolosgelaten en vervangen door eensysteem met veel keuzevakken, meerrichting de oude situatie. Gezien derooosterproblemen en de bekostigingzal het vaak de school zijn die kiest,en niet de leerling.

De drie profielvakken zijn nog maargoed voor een kleine 30% van hettotaal, dus bij 30 lessen per week zijn9 lessen in de drie profielvakken, 21lessen algemeen of keuze. Per pro-fielvak zo’n 3 uur. In welk ander landdenkt men dat 3 uur wiskunde perweek een goede voorbereiding is opeen exacte studie? Die forse reductiein de wiskunde en de profielen leidttot een volstrekt nieuwe situatie. Bin-nen de bèta-profielen van de huidigeomvang met vier vakken zijn ermomenteel ontwikkelingen en moge-lijkheden om te komen tot meersamenhangend onderwijs, met pro-gramma-aanpassingen wellicht. Ineen losse structuur met maar driezekere vakken (zonder natuurkundein N&G) wordt dat moeilijk, zo nietonmogelijk. Is dat vooruitgang? Deopmerking dat de school natuurkun-de in N&G verplicht kan stellen, ismooi maar loos, want wat heeft devervolgopleiding aan het beleid vaneen enkele school?

Als compensatie stelt men een nieuwvak voortgezette wiskunde voor, ove-rigens alleen voor het vwo. Waarom

men bij de havo-leerling geenbelangstelling voor bètavakken ver-onderstelt, is niet duidelijk. En eenverruiming van de mogelijkheid omdubbel te kiezen, dus wiskunde A enB samen. Zo kan een leerling zelfsheel veel wiskunde kiezen, meer dannu. De vraag hierbij is: is dit de jack-pot (de prijs is hoog maar de kansdat je hem krijgt is gering), of is diteen realiseerbare optie? Elke vrijekeuze legt een claim op het rooster;elk vak dat je aanbiedt kost geld. Alsde vervolgopleidingen het niet eisen- en daarover rept de nota niet - wel-ke positieve stimuli zijn er dan omdeze keuzes te realiseren, in het bij-zonder op een kleine school? Er is inhet voorstel geen garantie dat elkeschool deze optie aanbiedt, en metdooie mussen moet je maar niet al teblij zijn.

Rekenen op de basisschoolHet voorstel wiskunde niet langerverplicht te stellen voor de pabo zalleiden tot een verdere verschralingvan het rekenonderwijs op de basis-school. De situatie is nu al zorgelijk,met de grote instroom van mbo’ersdie na de basisvorming geen wiskun-de meer hebben gehad. Ooit was ereen bewindsman die dacht dat hetverstandig was als degene die deleerlingen rekenen moest leren, datzelf ook goed kon. Deze gedachtewordt nu losgelaten. Zo dom, zoondoordacht. De rekendidactiek is delaatste jaren sterk ontwikkeld, maarde rekenkennis van de leerkrachtneemt af. Dit kan gecompenseerdworden door een stevige inzet oprekenonderwijs op de pabo, maardaarover rept de nota ook niet.

Vooralsnog overheerst de kritiek; opdeze wijze zal de met de mond bele-den stimulering van het bèta-onder-wijs niet tot stand komen.Cynici hebben al opgemerkt dat hier-mee in één keer het lerarentekort inde exacte vakken wordt opgelost.

delijkheid bij het vervolgonderwijsom die aansluiting te waarborgen.Inmiddels zijn er op veel plaatsenaansluitingsprojecten aan de gang, alloopt nog niet alles vlekkeloos.In deze situatie, waarbij de eerstelichting vwo’ers nu de universiteitenbevolkt, getuigt het niet van door-dacht beleid om alles maar weer opde schop te nemen zoals de notavoorstelt. Overlading en versnippe-ring worden geconstateerd, maaroorzaken niet benoemd. Het is dusde vraag of de problemen door dezemaatregelen worden opgelost, ofjuist nieuwe worden opgeroepen. Opsommige scholen is de uren-discus-sie weer flink losgebarsten. Metdank aan de minister. Deze energiehad niet beter besteed kunnen wor-den…

Er worden zonder onderbouwingnieuwe geloofsartikelen geformu-leerd: drie vakken per profiel en allevakken even groot. Dat laatste is eenechte vernieuwing, vroeger warenvakken gelijkwaardig maar niet evengroot in uren. Wiskunde wordt dusfors kleiner in de bèta-profielen,waar men het in de oorspronkelijke -aanmerkelijk meer doordachte -plannen juist groot had gemaakt, engroter in de alfa-profielen waar menhet juist niet zo groot had gemaakt(en ook daar was over nagedacht).Dat is precies het verschil tussen eenvoorstel gebaseerd op een onderwijs-visie en een boekhoudkundig reken-model, met overigens wel een onder-scheid van wel 40 uur in drie jaartussen een groot en een standaard-vak.De prijs voor de meest absurde con-sequentie gaat zonder twijfel naarLO2, de theorievariant van lichame-lijke opvoeding op vwo-niveau: nietbelangrijk voor de doorstroming,maar 160 uur erbij. Vooralsnog zon-der programma, maar in de hoop datdat wel op niveau ingevuld kan wor-den. Je zou er cynisch van worden.

Wat nu?Maar na de boosheid en de constate-ring dat dit zo niet moet, komt devraag: ‘Wat dan wèl?’ Daarover moetde komende tijd overlegd worden,liefst met zoveel mogelijk betrokke-nen. Wat we nodig hebben zijn initiatie-ven om het bèta-onderwijs eensteuntje in de rug te geven, nieuwelan.Wat we niet nodig hebben is eennieuw circus met strijd om uren enroosters en programma’s en weet ikwat al niet, al die dingen die we naeen paar jaar inmiddels enigszins oporde hadden. Het leek alsof er tijdkwam voor inhoud en afstemmingmaar helaas, nu even niet.

De verdere procedure:- Tot 10 maart is er gelegenheid omeen standpunt over de voorstellen inte zenden. Tevoren kunnen vak-ver-enigingen nog afzonderlijk met hetdepartement spreken.- De dan zittende bewindspersoonformuleert een definitief voorstel enstuurt dat naar de Tweede Kamer, dieer voor de zomervakantie overspreekt.- De vermoedelijke datum van invoe-ring ligt niet eerder dan 1 augustus2005.- Parallel wordt een procedure gestartom de examenprogramma’s aan tepassen; hierin mogen de vakvereni-gingen meepraten.

Het bestuur heeft de havo/vwo-werk-groep en de hbo-werkgroep gevraagdhaar te adviseren. Uiteraard kan elklid zijn/haar standpunt kenbaarmaken en een bijdrage leveren.Het gaat om de toekomst en hetplezier in ons vak.

RectificatieIn de congresbrochure van deNVvW-studiedag in november j.l.stonden de verkeerde gegevens vanLOTS Consultancy vermeld. Hieronder de juiste gegevens:

LOTS ConsultancyHengelosestraat 705, 7521 PAEnschedePostbus 545, 7500 AM Enschedetelefoon: 053 483 6364 fax: 053 483 6365e-mail: [email protected]: www.lots.nu

Maar iets anders is ook mogelijk: datvolstrekt gedemotiveerde docentenhet voor gezien houden. En dat isdan weer een nieuw probleem.

Brede steunDe boze reacties vanuit de bètahoekop de plannen zijn algemeen (dewebsite van de Vereniging biedt eenactueel overzicht). De NVvW laat opzoveel mogelijk plaatsen haar stemhoren - heeft het bestuur ook weerwat te doen. De strategie is daarbijom zoveel mogelijk steun te vindenbij partijen buiten het onderwijs. Datwiskundeleraren staan te juichen zalnamelijk niemand verwacht hebben,dus die negatieve reactie is ingecal-culeerd. Maar ook buiten het onder-wijs zijn er mensen die zich zorgenmaken over deze ontwikkelingen,Nederland sukkelt steeds verder ach-teruit, internationaal gezien. En datgaat op termijn ten koste van onzewelvaart.

Tot nu toe:- medeondertekening van een briefvan AXIS,- interview met de NRC,- interview met het Technisch Week-blad,- ingezonden brieven naar kranten(die niet altijd geplaatst zijn),- participatie in een brief van hetvoorzittersoverleg-wiskunde,- participatie in een brief van debètafederatie,- participatie in de handtekeningen-actie van het FI,- brieven naar Tweede-Kamerleden,- bezoek van inspraakbijeenkomstenvan vakbonden,- kritische vragen aan vertegenwoor-digers van OCenW op hun ‘voorlich-tingsbijeenkomst’.

Verenigingsnieuws


Met ingang van dinsdag 18 maart om 11.15 uur

(Ned. 3) start ‘Wat en waar is wiskunde V’, een

nieuwe vijfdelige Schooltv-serie wiskunde voor

leerlingen in de onderbouw van het VMBO en

het praktijkonderwijs. In de programma’s gaat

een presentator met een paar jongeren op stap.

Onderweg lossen ze bepaalde problemen op en

ze stellen en beantwoorden enkele kernvragen.

Verder krijgt ook een hele klas een bepaalde

opdracht. De nieuwe serie wiskunde in de praktijk

gaat vergezeld van een docentenhandleiding

à € 12,50 (artnr. 1287) met lessuggesties en

www.schooltv.nl

Voor onderbouw VMBO en het praktijkonderwijs

Nieuw tv-project over wiskunde in de praktijk

kopieerbare werkbladen voor de leerlingen.

Bij de serie hoort ook een website:

www.schooltv.nl/wiskunde

Attentie!

Op donderdag 22 mei worden de vijf programma’s

achter elkaar uitgezonden om 10.25 uur.

Duur: 75 minuten.

Belangstelling? Bestel de handleiding voor € 12,50.

Bel: 0900-1344 (20 ct/min)

of surf naar: www.schooltv.nl

Puzzel 5 - Een vliegerpuzzel

In Amsterdam is er een NSO (naschoolseopvang) genaamd ‘De Vlieger’. Toen daar dewenselijkheid van een relatiegeschenk tersprake kwam, heb ik een puzzeltjegesuggereerd waarbij je van vijf vlieger-vormige stukjes één grotere vlieger moetmaken. Deze puzzel viel niet in de smaakomdat de voorkeur uitging naar een puzzelmet gelijke stukjes. Daarin kon ik toen ookvoorzien (zie figuur). De cirkel staat voor hetbelendende KDV (kinderdagverblijf) genaamd‘De Bal’.

Maar ik ben met mijn eerdere ontwerpje verdergaan puzzelen, en dat leidde tot de opgave vandeze aflevering.

Alle lezers weten natuurlijk welke vierhoeken‘vlieger’ mogen heten, maar voor dezegelegenheid noemen we een vierhoek ABCDeen vlieger als AB�BC, CD�DA, ∠A�∠C �90°, ∠B�120°, en dus ∠D�60°.

OpgaveBepaal zo veel mogelijk waarden van nwaarvoor een vlieger kan worden verdeeld in nkleinere vliegers (die niet noodzakelijk evengroot moeten zijn).

Ik moet bekennen dat mijn oplossing niet vooralle n een antwoord geeft. Ik hoop van hartedat er een of meer lezers zijn van wie hetantwoord vollediger is dan het mijne.

In het verleden is bij ontvangst van eenoplossing menigmaal gebleken dat de bijlageniet op mijn computer kon worden geopend.Daarom verzoek ik de inzenders om uit devolgende mogelijkheden te kiezen:1. gewone post, naar F. Göbel, Schubertlaan 28,7522 JS Enschede;2. als onderdeel (niet als bijlage) van een e-mailtje naar [email protected] beide gevallen geldt: als u het lastig vindtom tekeningen te maken, kunt u volstaan methet noteren van de lengte van de kleinste zijdevan iedere gebruikte vlieger, waarbij deze lengtevoor de kleinste vlieger op 1 wordt gesteld.

Bijvoorbeeld: 6 maal 1 en 8 maal 1,5.Het is misschien goed om nogmaals te vermeldendat er aan het eind van het cursusjaar eenboekenbon is van € 35,00 voor de winnaar vande ladder, en dat er net zo’n boekenbon zalworden verloot onder alle inzenders!De deadline voor inzendingen is deze keer 12 maart 2003.Veel plezier!


Recreatie[ Frits Göbel ]

Puzzel 785

FIGUUR 1

Recreatie

De ladderstand is nu:

L. de Rooy 60, H. Verdonk 59, P. Stuut 49, T. Afman 37, L. v.d.Brom, W. Doyer, D. Buijs, S. van Dijk enH. Linders ieder 20, Th. Buurman 1.

Oplossing van ‘Bananenschillen’

Voor beide opgaven is er een oplossing in 12zetten.Opgave 1: 4A 1R 2V 3LAR 1V 2VLAR 4R.Opgave 2: 7A 6L 2V 1VR 3L 5V 1L 2L 1A 7L 2A.

Wobien Doyer gaf de oplossingen niet alleenals zettenreeksen maar ook als animaties(!), enbepaalde bovendien het aantal essentieelverschillende oplossingen van 12 zetten. Vooropgave 1 zijn het er 16, voor opgave 2 zelfs 81.

Lieke de Rooy heeft, als extra, gekeken naaroplossingen van opgave 1 op borden van n�n,en kwam tot 4n�3 zetten (n > 4 en even).Maar het minimum is nog iets lager:

� ��1,

een resultaat van de al eerder in deze rubriekgenoemde Torsten Sillke. Hierbij is [x] hetgrootste gehele getal dat niet groter is dan x.

Aangezien er naar het minimale aantal zettenwerd gevraagd, heb ik punten afgetrokken bijoplossingen van meer dan 12 zetten (waarbij ikheel coulant ben geweest), en ook bijoplossingen die een of meer eenvoudig tecorrigeren fouten bevatten (idem).

10n�

3

Oplossing 783



KalenderIn deze kalender kunnen alle voor wiskunde-docenten toegankelijke en interessantebijeenkomsten worden opgenomen.Wil eenieder die relevante data heeft, deze zospoedig mogelijk doorgeven aan de hoofd-redacteur. Hieronder treft u de verschijnings-data aan van Euclides in de lopende jaargang.Achter de verschijningsdata is de deadline voorhet inzenden van mededelingen vermeld.Doorgeven kan ook via e-mail: [email protected]

nr verschijnt deadline

6 17 april 2003 4 maart 2003

7 26 mei 2003 1 april 2003

8 26 juni 2003 13 mei 2003

donderdag 13 maartStudiedag Wiskunde in de bb-leerwegAPS-wiskunde, Utrecht

vr. 14 maart en vr. 28 maartNijmeegs Colloqium Didactiek van WiskundeKUN, NijmegenZie ook p.121 in Euclides 78-3

do. 20 maart en vr. 21 maartNationale Rekendagen, NoordwijkerhoutOrganisatie Freudenthal Instituut

vrijdag 21 maartKangoeroe-wedstrijdOrganisatie KUN, NijmegenZie ook p.097 in Euclides 78-3

woensdag 2 aprilStudiedag aansluiting reken- enwiskundeonderwijsAPS-wiskunde, Utrecht

donderdag 3 aprilMastercourse voor docentenKortweg-de Vries Instituut, Amsterdam

vrijdag 4 aprilNascholingsdag: de wiskunde achter Eschers“Prentenkabinet”Mathematisch Instituut, Leiden

vr. 11 april en vr. 25 aprilNijmeegs Colloqium Didactiek van WiskundeKUN, NijmegenZie ook p.121 in Euclides 78-3

woensdag 16 aprilStudiedag Applets naar je hand zettenOrganisatie APS-wiskunde

donderdag 24 april3e Conferentie ICT in de wiskundelesAPS, UtrechtZie ook p.041 in Euclides 78-1

do. 1 mei en vr. 2 meiNederlands Mathematisch Congres 2003Organisatie KUN, NijmegenZie ook p.161 in Euclides 78-4

zaterdag 17 meiSymposium IX, UtrechtOrganisatie HKRWOZie ook p.161 in Euclides 78-4

Examensdi. 20 mei – havo B1/B12do. 22 mei – vmbo K/TG, vwo B1/B12vr. 23 mei – havo A12di. 27 mei – vwo A1/A12

Regionale examenbesprekingendo. 22 mei – havo B1/B12ma. 26 mei – vmbo K (alleen te Utrecht, alleenvoor NVvW-leden)ma. 26 mei – vmbo TG, vwo B1/B12di. 27 mei – havo A12ma. 2 juni – vwo A1/A12

Voor internet-adressen zie de website van deNVvW: www.nvvw.nl/Agenda2.html

Publicaties van deNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

* Zebra-boekjes1. Kattenaids en Statistiek2. Perspectief, hoe moet je dat zien?3. Schatten, hoe doe je dat?4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto6. Pi7. De laatste stelling van Fermat8. Verkiezingen, een web van paradoxen9. De Veelzijdigheid van Bollen

10. Fractals11. Schuiven met auto’s, munten en bollen12. Spelen met gehelen13. Wiskunde in de Islam14. Grafen in de praktijk

* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwoDit rapport en oude nummers van Euclides(voor zover voorradig) kunnen besteld wordenbij de ledenadministratie (zie Colofon).

* Wisforta - wiskunde, formules en tabellenFormule- en tabellenboekje met formulekaartenhavo en vwo, de tabellen van de binomiale ende normale verdeling, en toevalsgetallen.

* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboekvan de NVvW.Het boek is met een bestelformulier te bestellenop de website van de NVvW(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).

Voor overige NVvW-publicaties zie de website:www.nvvw.nl/Publicaties2.html

ServicepaginaServicepagina

OP WEGNAAR

LERENMET

Pascal geeft zelfstandig leren structuur en houvast

Werkschrift maakt eigen schrift leerling overbodig

Werkschrift is leermiddel en naslagwerk tegelijk

Meerdere leerroutes mogelijk

Differentiatie duidelijk zichtbaar in informatieboeken en verschillende werkschriften

Doorlopende leerlijn tweede fase en leerwegen

Meer informatie

T (0575) 59 49 94

I www.pascal-online.nl

E [email protected]

PASCALW I S K U N D E

ZELFSTANDIG

REACTIES OP VERWONDERING - NVvW · Voordat de deﬁnitieve voorstellen naar de Kamer gaan, krijgt...

Documents

Transcript of REACTIES OP VERWONDERING - NVvW · Voordat de deﬁnitieve voorstellen naar de Kamer gaan, krijgt...