2V a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r

O r g a a n v a n d e

N e d e r l a n d s e V e r e n i g i n g

v a n W i s k u n d e l e r a r e n

j a a r g a n g 7 2

1 9 9 6 - 1 9 9 7 o k t o b e r

Themanummer Nieuwe vbo/mavo-examens Van docenten voor docenten

Euclides 72 | 2

Euclides is het orgaan van de Neder-landse Vereniging van Wiskunde-leraren. Het blad verschijnt 8 maalper verenigingsjaar.

Redactie

Dr. A.G. van AschDrs. R. BoschDrs. J.H. de GeusDrs. C.P. Hoogland hoofdredacteurJ. KoekkoekIr. W.J.M. Laaper secretarisN.T. LakemanW. SchaafsmaIr. V.E. Schmidt penningmeesterMw. Y. Schuringa-Schogt eindred.Mw. drs. A. VerweijA. van der WalDrs. G. Zwaneveld voorzitter

Artikelen/mededelingen

Artikelen en mededelingen naar:Kees HooglandGen. Cronjéstraat 79 rood2021 JC Haarlem.

Richtlijnen voor aanlevering:• goede afdruk met illustraties/foto’s/

formules op juiste plaats of goed inde tekst aangegeven.

• platte tekst op diskette: WP of ASCII• illustraties/foto’s/formules op aparte

vellen: genummerd, zwart/wit,scherp contrast.Nadere richtlijnen worden op ver-zoek toegezonden.

Adresgegevens auteurs

A.F.S. Aukema-SchepelBuitenplaats 778212 AC Lelystad

G. BakkerCITOPostbus 10346801 MG Arnhem

P.R. BorgMunterkamp 218014 DL Zwolle

E.A.C. BoschROC Deltion CollegePostbus 5658000 AN Zwolle

T. DekkerFreudenthal instituutTiberdreef 43561 GG Utrecht

R. Flokstra-SerierReviuslaan 98024 CC Zwolle

W. KuipersBurg. Bijleveldsingel 388052 AP Hattem

M. MelissenCEVOPostbus 71072701 AC Zoetermeer

W. SchaafsmaKolbleikolk 68017 NY Zwolle

M. v.d. VoorenA. BoschSG De KlopOrinocodreef 5-73563 ST Utrecht

P. Willems‘Elkervoorde’, school voor(I)VBOKruisstraat 285751 BJ Deurne

Nederlandse Vereniging vanWiskundeleraren

Voorzitterdr. J. van LintSpiekerbrink 258034 RA Zwolletel. 038-4539985SecretarisW. KuipersBurg. Bijleveldsingel 388052 AP Hattemtel. 038-4447017LedenadministratieMw. N. van Bemmel-HendriksDe Schalm 198251 LB Drontentel. 0321-312543

Contributie per ver. jaar: ƒ70,00Studentleden: ƒ47,50Leden van de VVWL: ƒ50,00Lidmaatschap zonder Euclides: ƒ50,00Betaling geschiedt per acceptgiro.Nieuwe leden geven zich op bij deledenadministratie.Opzeggingen vóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanafhet eerstvolgende nummer.Abonnementsprijs voor personen:ƒ80,00 per jaar. Voor instituten enscholen: ƒ240,00 per jaar.Betaling geschiedt per acceptgiro.Losse nummers op aanvraag lever-baar voor ƒ20,00.Opzeggingen vóór 1 juli.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:C. Hoogsteder, Prins Mauritshof 47061 WR Terborg, tel. 0315-324337of naar:L. Bozuwa, Merwekade 903311 TH Dordecht, tel. 078-6145522.

38 Kees HooglandVan de redactietafel

39 Wim KuipersOp weg naar een nieuw examen

40 M. MelissenVan de CEVO

4411 Truus Dekker en Gert BakkerDe wiskunde-examens

vbo/mavo-C/D 1996, eerste

tijdvak, nieuw programma

42 Waar zit de fout?

47 Wim SchaafsmaHeb ik ‘t wel behandeld?

4488 Kees Hoogland‘Pak niet alles tegelijk aan’

50 Pieter WillemsToegankelijker

52 Wim SchaafsmaDe duif en de rekenmachine

5555 VBO MAVO-C-examen 1996(experimenteel)

67 VBO MAVO-D-examen 1996(experimenteel)

82 VBO-B-examen 1996 (experimenteel)

95 Agneta Aukema-SchepelVan de bestuurstafel

96 Een persoonlijke vraag

97 Brief aan de Staatssecretaris

98 Rob BloemVerslag van het verenigingsjaar

1 augustus 1995 - 31 juli 1996

101 Rita FlokstraVerzorging en wiskunde

103 Paul Robert BorgVbo B-examen

105 Kees Hoogland‘Mijn persoonlijke mening is

in de loop der jaren behoorlijk

veranderd’

107 40 jaar geleden

108 Werkbladen

110 Recreatie

112 Kalender

interview

nv vw

nv vw

nv vw

nv vw

interview

Inhoud

3772 | 2 Euclides

41

48

55

38 Euclides 72 | 2

re

da

ctie

tafe

l

va

n d

eN

og zeven maanden en dan zullenmeer dan 50000 leerlingen in vboen mavo deelnemen aan de eerste

reguliere examens volgens het leerplanW12-16.Even terug naar het begin. Op 23 septem-ber 1987 is de eerste vergadering van hetteam W12-16. In het najaar van 1990worden regionale bijeenkomsten georga-niseerd waar docenten kennis maken metde nieuwe plannen. In augustus 1993 starthet nieuwe leerplan in de brugklas enstraks in mei 1997 zijn de eerste nieuwelandelijke examens vbo/mavo C en D.Ook een B-examen in de geest van hetnieuwe leerplan is beschikbaar. Een bewo-gen tien jaar voor het wiskundeonderwijsin Nederland.

Mei 1997

Straks in mei wordt de voorlopige balansopgemaakt. De leerlingen hebben jaar najaar als eersten uit nieuwe boeken lesgekregen. Ze kregen jaar na jaar misschienook wat onwennige docenten voor zich.De docenten zijn nog niet ingewerkt in hetnieuwe programma. Een examentraditie,juist zo belangrijk in een examenjaar waarde laatste accenten gelegd moeten worden,ontbreekt nog. Het enige dat de zo belang-rijke examentraditie op dit moment kanvervangen, is informatie. Informatie vianieuwe boeken, artikelen, nascholing enexperimentele examens. Dit thema-nummer is een schakeltje in die informa-tiestroom. In dit themanummer zijn devolledige experimentele examensvbo/mavo B, C en D van 1996 opgenomen.Examens waarvan wordt gezegd dat zerepresentatief zullen zijn voor de examensin 1997. Daarnaast treft u een scala aanartikelen aan die betrekking hebben opdie examens. Het zijn voornamelijk arti-kelen van docenten van proefscholen dieal enige jaren in de praktijk leerlingenopleiden voor zulke examens. Ik raad uaan bij het lezen van de artikelen de exa-mens er echt naast te leggen. Het geefteen mogelijkheid om het gevoel van watbelangrijk is en waar accenten moetenworden gelegd voor de laatste zevenmaanden nog te versterken.

Vbo/mavo in de toekomst

Voor de verdere toekomst van vbo enmavo zijn alweer nieuwe plannen in demaak. Daarover kunt u in het Vereni-gingsnieuws meer lezen. Ook bij dezeplannen zal het zeer van belang zijn datde stem van het vak wiskunde goedgehoord wordt. Een vakontwikkelgroepwiskunde heeft in zeer korte tijd eenprogramma moeten formuleren, terwijlop hoger niveau de plannen voor denieuwe structuur met sectoren en leer-wegen zowat om de twee maanden nogwijzigen. In het algemeen geen procedu-re die leidt tot goed doordachte enonderwijsbare programma’s. Laat uwstem horen waar mogelijk.

En verder

De werkbladen in dit nummer zijn voor-beelden van schoolonderzoekopgavenvbo/mavo. Aan het eind van dit nummerweer de kalender met allerlei voor wis-kunde docenten mogelijk interessantebijeenkomsten. Vanaf het volgendenummer zal er ruimte komen voor inge-zonden brieven. Ik roep u op hiervangebruik te maken om kort en ‘to thepoint’ uw mening te geven over artikelenen ontwikkelingen. Ook kunt u anderenopmerkzaam maken op bijvoorbeeldinteressante leerstof en/of gebeurtenissen.Brieven voor nummer 3 graag inzendenvoor het eind van de herfstvakantie.

Ten slotte

Dit nummer bereikt niet alleen de ledenvan de Vereniging. Het wordt, in samen-werking met de CEVO, ook verstuurdnaar alle scholen die dit jaar vbo/mavo-examens wiskunde afnemen. Dat geeft demogelijkheid om alle docenten die ditjaar leerlingen voorbereiden op de nieuweexamens sterkte, wijsheid en succes tewensen bij die voorbereiding.

Kees Hoogland

Inleiding

Docenten en leerlingen zijn ditschooljaar op weg gegaan naar eennieuw examen wiskundevbo/mavo. De Cevo heeft in hetvoorjaar van 1996 reeds een schotvoor de boeg gegeven door dedirecteuren van onze scholen tewaarschuwen. Men moet voldoende in de gatenhebben dat met ingang van 1997 devbo/mavo-examens voor wiskundesterk veranderd zijn. Toch wel eenbeetje zorg van de Cevo. Daarnaastzijn er vrij veel docenten die zichdoor middel van nascholing door hetAPS op de hoogte hebben gesteld vanhet nieuwe examenprogramma. Ookde Vereniging heeft in de regioverga-deringen gelegenheid geboden omkennis te nemen van de op handenzijnde veranderingen.Niemand valt meer te verontschul-digen. Het veld - om het zomaareens te zeggen - is volop gelegen-heid geboden zich voor te bereidenop de veranderingen. En er komennog meer momenten waaropdocenten met elkaar in gesprekkunnen komen over de gevolgenvan de nieuwe ontwikkelingen enwe ons samen kunnen bezinnen opde wijze waarop we leerlingen kun-nen laten zien dat wiskunde ergensvoor dient.Maar toch… weten en in de prak-tijk uitvoeren zijn twee dingen.Laten we de zorg van indertijd deCevo serieus nemen.Deze special is in elk geval eenhandreiking ván en vóór docenten.

De leerling en de basisvorming

Het zou een ramp zijn als leerlin-gen die in 1997 deelnemen aan hetwiskunde-examen het gevoel krij-gen opeens in een andere wereldaangekomen te zijn. Een knock-down voordat de wedstrijd isbegonnen. Geen opsteker die eengevoel van vertrouwen en veilig-heid geeft. Het zou voor de leerlin-gen een schok kunnen zijn. Zoietskan inderdaad gebeuren als eenschool verzuimd heeft op tijd hetroer om te gooien en een methodete kiezen die afgestemd is op deeisen van het volledig nieuwe exa-men. Het is bijna niet voor te stel-len, na alle publicaties.Experimenteerscholen hebbenreeds een aantal jaren hun ervarin-gen op allerlei manieren terbeschikking gesteld en we mochtenvrijelijk gebruik maken van hunervaringen. De invoering van hetnieuwe programma viel samen metde invoering van de basisvorming.Hoe we in de weer geweest zijn metde invulling van de basisvormingheeft een directe relatie met de uit-werking van het nieuwe program-ma voor wiskunde en de aandachtvoor de eisen van schoolonderzoeken centraal schriftelijk examen. Demate waarin we aandacht hebbenkunnen geven aan de door de basis-vorming genoemde vaardighedenzal van invloed zijn op de realise-ring van de bedoeling van het nieu-we programma. Sommige scholenzijn er in geslaagd om de TVS-ken-merken (toepassingen, vaardighe-

den en samenhang) van de basis-vorming in de praktijk gestalte tegeven. Dat lijkt me winst. Dat bete-kent dat we er niet zijn met de keu-ze van een goede methode, datmoet ook natuurlijk, maar dankomt de klus pas.

De leerling en de methode

Het hebben van een goede metho-de en het goede gebruik ervan zijntwee verschillende zaken. Laat ik inelk geval op één punt wijzen. Deexamens vbo/mavo B/C/D vragenvan de leerling het vermogen omeen probleem te lezen, te ordenen,te analyseren en met een eigenoplossing te komen. Dat vraagt omeen attitude die te maken heeft metmethodisch en didactisch werkenaan de zelfstandig werkende leer-ling. Een leerling die gelegenheidkrijgt zelf antwoorden te formule-ren en zelf te verwoorden wat hij/zijmet het wiskundig gereedschapheeft gedaan en aan te geven welkgereedschap is gekozen bij deze ofgene context.In het examenprogramma gaat hetom twee zaken, namelijk vaardig-heden en eindtermen. De eindter-men zijn ondergebracht in domei-nen en subdomeinen. De vereistevaardigheden sporen met de vaar-digheden die we in de basisvormingook tegenkomen. Ze blijven onver-minderd van belang. Ik hoef ze hierniet allemaal te noemen. Het zijn inelk geval vaardigheden die temaken hebben met het op een ofander manier oplossen van proble-men. Het herkennen van proble-men, wiskundig gereedschap klaarleggen, gegevens met elkaar in ver-band brengen. Kortom: een planvan aanpak kunnen maken als ereen probleem in een context aange-boden wordt. Het gaat dan om zelfoplossingen bedenken, gegevensonderzoeken en uitkomsten kri-tisch beoordelen, systematisch enmethodisch werken, zich bedienen

3972 | 2 Euclides

Op weg naar eennieuw examen

Wim Kuipers

van rekenvaardigheden en vaardig-heden geïntegreerd gebruiken. Hetis voorwaar geen kleinigheid. Decontexten immers zijn niet altijdeven toegankelijk. Leerlingen moe-ten we voorbereiden op het omgaanmet contexten. Maar hoe? En datgaat niet van de ene dag op deandere dag. Dat vraagt om eenactieve rol van de leerling te beginnenin het brugjaar. De leerling zelf ofsamen met anderen de antwoordenlaten formuleren. Onze rol als docentwordt door de rol van de leerlingbepaald. Het bevorderen van zelf-werkzaamheid en zelfstandig lerenis vaak een kwestie van geduld, vantrial en error. In elk geval niet te gauwte hulp schieten. Eerst de opdrachtgoed laten bekijken, wat staat erprecies, de tekst nog eens latenlezen, wat aantekeningen latenmaken of een schetsje. Het vraagtvan de docent geduld om een der-gelijke houding te ontwikkelen.

Ten slotte

In het belang van de leerling, diestraks aan het eind van het jaar exa-men moet doen, wil ik het volgendegraag kwijt: geen paniek in de tent.Rustig aan het werk gaan met dedoor de school gekozen methode.De auteurs hebben zorgvuldiggekeken of alle vereiste leerstof welin de boeken aan de orde komt.Daar hoeven we ons op voorhandniet bezorgd over te maken. Alleszit er in, de kerndoelen en voor dehogere leerjaren de eindtermen vanhet examenprogramma, van kijk-lijn tot boxplot. Anders wordt er na1997 geen boek meer verkocht.Maar belangrijker is de vraag of jeop een goede manier met het boekbent omgegaan. En dan omgaanmet het oog op wat hierboven werdbeschreven.

Laten we aan de slag gaan en er veelmoois uit halen, voor de leerling envoor onszelf.

Zelden zal een vernieuwing in hetonderwijs met zoveel zorg zijnomgeven als de invoering van denieuwe wiskunde in het mavo envbo. Het is dan ook niet niets: erzijn er die van een nieuw vak spre-ken. En het komt niet iedere dagvoor dat een geheel nieuw centraal,groot en verplicht vak wordt inge-voerd. Die zorgvuldigheid is danook niet overdreven, al moeten weaan de andere kant ook zeggen: hetblijft natuurlijk wel wiskunde.Of het allemaal goed geland is zul-len we aan het eind van het cursus-jaar 1996/97 weten. De centraleexamens volgens het nieuwe pro-gramma zijn dan voor het eerst opalle dagscholen afgenomen.

Als laatste landelijke stap voor deinvoering ligt hier een themanum-mer van het blad Euclides dat insamenwerking tussen het Freu-denthal instituut, de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren,het Cito en de CEVO tot stand isgekomen.‘Van leraren voor leraren’ is het

thema. Niet alleen de volledige eerstetijdvakken van 1996, plus de cor-rectievoorschriften, van de centraleexamens C en D, ook de ervaringenvan de leraren met het voorbereidenvan hun leerlingen op deze examensen de ervaring met de examens opde experimenteerscholen staanbeschreven.De examinering van de nieuwewiskunde blijft niet beperkt tot decentrale examens C en D. Ook delandelijke B-examens zijn in dezeeditie opgenomen. En heel belang-rijk is ook het schoolonderzoek,waar dit nummer ook informatieover bevat.De CEVO is de NVvW erkentelijkvoor de bereidheid dit nummervan Euclides deze inhoud te gevenen beveelt het zeer in de aandachtvan alle belangstellenden aan, inhet bijzonder alle leraren die leer-lingen in mavo en vbo voor eenwiskunde-examen opleiden.

drs. M. Melissen, secretaris CEVO.

40 Euclides 72 | 2

Van de CEVO

Inleiding

Dit jaar is op twaalf scholen het wis-kunde-examen C en D afgenomenvolgens het nieuwe examenprogram-ma. Dit is het zesde jaar met nieuweexamens. In 1997 zal op alle scholenvolgens dit nieuwe programmageëxamineerd worden. Uitgangspuntvoor het nieuwe programma is dat demeeste leerlingen na vbo/mavo dewiskunde uitsluitend als hulpmiddeltegenkomen bij het oplossen vanniet-wiskundige problemen. In hetnieuwe programma worden pro-blemen meestal aangeboden doormiddel van contexten buiten dewiskunde, die herkenbare en inleef-bare situaties betreffen. De wiskundewordt vooral toepassingsgericht,terwijl abstracties, vooral voor hetC-programma, sterk worden beperkt.Het nieuwe programma onder-scheidt vier domeinen:A: algebra (tabellen, grafieken, formu-

les opstellen en interpreteren etc.),B: rekenen (het onderhouden, uit-

bouwen en verdiepen van vaar-digheden uit het basisonderwijs),

C: meetkunde (waaronder inzichtin ruimtelijke situaties) en

D: informatieverwerking, statistieken kans (tekenen en interpreterenvan diagrammen, tabellen, grafen,intuïtief kansbegrip).

De leerstof en vaardigheden uit dezedomeinen worden in de opgaven ookgeïntegreerd aangeboden. De nieuweexamens voor 1996 kwamen op degebruikelijke manier tot stand metvoorstellen die door de docenten vande constructiegroep werden gemaakten door de vaksectie van de Cevowerden vastgesteld. Een team vanvijf mensen droeg met een screeningmede zorg voor een goede afstem-ming van het examen op de doelstel-lingen van het nieuwe programma.

De examens

Het D-examen1 telde 25 vragen,verdeeld over de volgende zeven

contexten: zwemmen (stippengra-fieken bij losse kaartjes, 12-baden-kaarten en een abonnement); vanA naar Z (een graaf tekenen bij eensoort afstandstabel en de kortsteroutes bepalen); drie hoge bomen(met kijkhoeken, horizontaal enverticaal, en kijklijnen); buizen(een zeskantstapeling en een bijbe-horende formule voor het aantalbuizen); blikken (het werken metverhoudingen bij de berekeningvan de oppervlakte van de huls envan de onderkant); eetgewoonten(een staafdiagram om het consump-tiepatroon van 1980 te vergelijkenmet dat van 1992); salontafel (bere-kenen van een lengte en een hoeken het maken van een ruimtelijketekening van het onderstel). Het C-examen2 bestond uit 27 vra-gen, verdeeld over zeven contexten.Ook hier waren er de contexten:zwemmen, drie hoge bomen, blik-ken, van A naar Z en salontafel.Bovendien waren er de contexten:koeriersdiensten (verschillendevragen bij een bijzonder diagramover kosten en bezorgtijden) en ste-nen om een bloemperk (met eenvraag naar een formule bij het ver-band tussen het aantal stenen ineen rand om het bloemperk en hetrangnummer van die rand).

Voorbereiding op het volgendeexamen

Inmiddels is een belangrijke periodevoor de ontwikkeling van nieuwewiskunde-examens afgesloten eneen nog belangrijker periode be-gonnen, namelijk de voorbereidingop de landelijke examens van 1997.De nieuwe examens van 1996 endaarvoor en de syllabus met devoorbeeldopgaven kunnen zekereen belangrijke rol spelen bij de voor-bereiding op de examens van 1997.De vorm van de examens 1997 zalvrijwel overeenkomen met degenoemde examens van 1996; decontexten zullen elk jaar variëren.

4172 | 2 Euclides

De wiskunde-examensvbo/mavo-C/D1996, eerstetijdvak, nieuwprogramma

Truus DekkerGert Bakker

De veranderingen in het wiskunde-programma zijn zo groot dat sommi-gen zelfs van een nieuw vak spreken.De grootste verandering is wel datde vragen binnen een context ge-steld worden. Zo’n context ligt vaakbuiten de wiskunde, maar kan ookwiskundig van aard zijn. Het examenbestaat uit open vragen en meestalkan niet volstaan worden met eenkort antwoord. De leerlingen moetenhun werk- en denkwijzen goedkunnen demonstreren. Er is duseen goede voorbereiding vereist omde verdere invoering van het nieuweprogramma goed te laten verlopen.Begin 1996 is de syllabus wiskundedoor Cevo en Cito uitgebracht, tebestellen bij het Cito3. Hierin staanonder andere toelichtingen bij de70 eindtermen van het nieuwe exa-menprogramma. Er is een para-graaf opgenomen over vraagvor-men en vraagformuleringen. Erworden aanwijzingen gegeven overtaal- en notatiegebruik. Ook is ereen index opgenomen van termenen begrippen. De syllabus bevat eenveertigtal contexten met vragen,vrijwel alle komend uit de examensvan 1995 en daarvoor.De NVvW laat over het nieuwe pro-gramma deze special van Euclidesverschijnen. Het nieuwe examenvan 1995 is besproken in nummer 5van de vorige jaargang van Euclides.Ook de Nieuwe Wiskrant van hetFreudenthal instituut presenteertregelmatig artikelen over het nieu-we programma.

In dit artikel wordt op een aantalaspecten van de nieuwe examensingegaan. Omdat dat in een tijd-schriftartikel maar in beperktemate kan, wordt er op verzoek vande CEVO een publicatie voorbereiddie voorjaar 1997 beschikbaar komtvoor de scholen. In zo’n publicatiekan uitgebreider ingegaan wordenop allerlei zaken die nuttig zijn voordocenten en voor de leerlingen diezich voorbereiden op de nieuweexamens.

Scoreresultaten

Aan het D-examen deden 413 kan-didaten mee: de scoreresultatenwaren heel goed. Op de vragen 5, 7,11 t/m 14, 18 en 23 werd 75% vande punten of meer behaald; op devragen 3, 19 en 24 werd minder dan50% van de punten behaald.Gemiddeld haalde men 65,4 punten.De CEVO stelde de cesuur bij ditexamen vast op 54/55. Het gemid-deld cijfer kwam voor het D-examen daarmee op 6,5 en hetpercentage onvoldoendes op 16.Zo’n laag percentage was niet eerdervoorgekomen.Aan het C-examen deden 270 kan-didaten mee: de resultaten blevenachter bij de verwachtingen. Erwaren 8 vragen waar de kandidatenminder dan 50% van de puntenhaalden: de vragen 1, 2, 4, 13, 17,22, 23 en 26. Op 6 vragen haaldemen 75% van de punten of meer:de vragen 7, 15, 16, 18, 20 en 21. De gemiddelde score was 59,5. Decesuur werd vastgesteld op 54/55.Daarmee kwam het gemiddeld cij-fer voor het C-examen op 6,0 enhet percentage onvoldoendes op 31.Diverse vragen bij het C- en D-pro-gramma waren identiek. Zoalsgebruikelijk had het C-examen watmeer opstap- en tussenvragen, ter-wijl het D-examen een aantal ietsabstractere en iets complexere vra-gen bevatte. De examens en deresultaten daarop gaven de indrukdat het verschil in moeilijkheids-graad tussen het C- en D-examen te gering was. Mogelijk was het D-examen wat aan de makkelijkekant. In het C-examen was devraagstelling in een paar gevallenwat aan de moeilijk kant, of de hoe-veelheid werk aan de ruime kant.De kandidaten die deelnamen aande nieuwe examens scoorden ditjaar, zowel bij C als bij D, hoger dande kandidaten van de reguliere exa-mens. Dat was ook het geval in1992 en 1993; in 1994 en 1995 blevende resultaten bij de experimentele

42 Euclides 72 | 2

Waa

r zi

t de

fou

t?

Iets uit niets

Op de onderstaande wijze kun-nen we uit een 8�8 vierkant een5�13 rechthoek maken. Maarwaar komt dat extra vierkantjenu vandaan?

examens achter bij die van de regu-liere examens.

Wat vonden leraren en leerlin-gen?

De docenten die met hun leerlingenaan de nieuwe examens van 1996deelnamen, waren tevreden overdeze examens. Zij vonden de opga-ven goede voorbeelden van wat er inhet nieuwe programma te verwach-ten valt. Wel vonden ze het verschiltussen het C- en D-examen wat teklein, met name het algebra-onder-

deel voor D had wel wat moeilijkermogen zijn. Net als in voorgaandejaren denken veel C-leerlingen dathet examen gemakkelijk is, omdat zebijna altijd wel een antwoord kunnengeven op de vragen. Toch verkijkenze zich erop: een goede redeneringopschrijven is minder gemakkelijkdan het lijkt. D-leerlingen warenbeter in staat de moeilijkheidsgraadin te schatten. Zij vonden over hetalgemeen het examen ‘te maken’,maar ze hadden vooral moeite metde vragen over goniometrie.Leerlingen hoeven een examennatuurlijk niet per sé ‘leuk’ te vin-den. Dat het ‘leuk’ was, is een veelgehoorde opmerking, die zelfs dekop van een artikel in een dagbladsierde. Het is duidelijk dat deze

groep leerlingen, die wiskundevooral in een beroep en in persoon-lijke omstandigheden zal tegenko-men, het waardeert dat in deze exa-mens wiskunde vooral gebruiktwordt als hulpmiddel om niet-wis-kundige problemen op te lossen.Herkenbare problemen, zodat jebegrijpt dat wiskunde ‘ergens voordient’.Er deed ook een groep leerlingenuit het volwassenenonderwijs meeaan dit examen. Onder hen warenbetrekkelijk veel leerlingen die inhet schooljaar 94/95 gezakt warenvoor het reguliere examen en dienu het nieuwe examen probeerden.Zij hadden vooral veel moeite methet opschrijven van redeneringen;de andere leerlingen hadden daarin voorgaande jaren al veel meegeoefend. De docent van deze leer-lingen geeft als advies aan collega’smet leerlingen die de examenklasnu voor de tweede keer doen omvooral aandacht te besteden aan de‘denkhouding’ die bij de nieuweexamens past. Er zijn minderreproductievragen in de nieuweexamens en de contexten zijn nietvoorspelbaar. Natuurlijk moetenleerlingen net als vroeger een aantalwiskundige ‘gereedschappen’ tothun beschikking hebben, maar ver-volgens moeten ze zelf ook kiezenwelke gereedschappen ze voor hetoplossen van een bepaald probleemmoeten gebruiken. Leerlingen dievolgens het oude programma zijnopgeleid weten vaak onvoldoendehoe ze hun wiskundige gereedschap-pen moeten toepassen. Dit is iets omrekening mee te houden bij leerlin-gen die het examenjaar overdoen.

Nakijken

En het nakijken van het werk?Laten we er geen doekjes om win-den, deze examens nakijken kostveel meer tijd dan meerkeuzevra-gen of vragen met een kort ant-woord. Vooral het beoordelen van

de antwoorden op de productievevragen zal in het begin veel tijd kos-ten. Maar de docenten die al langermeedoen aan deze examens zeggenwel dat je er vaardigheid in krijgt endat het antwoordmodel in het alge-meen voldoende houvast geeft.Vaak worden daarin voorbeeldengegeven van mogelijke uitwerkin-gen met de bijbehorende punten-toekenning. En de enkeling die eenheel creatieve eigen oplossing heeftbedacht kwam vroeger ook welvoor. Er waren nauwelijks proble-men met de tweede correctie. Inhet begin heb je de neiging om elkezinvol lijkende redenering goed tekeuren. Docenten van andere exa-menvakken zoals economie ofnatuurkunde kunnen daarovermeepraten: leerlingen geven somsprachtige antwoorden op vragen dieniet gesteld werden. Dat is jammer,het levert geen punten op.

De contexten en de vragen inhet C- en D-examen

Zwemmen (C en D, gedeeltelijk ver-schillend)Het lezen, tekenen en interpreterenvan grafieken (hier zogenaamdestippengrafieken - zie syllabus)speelt een belangrijke rol.De eerste vraag waarom er door destippen geen lijn is getekend, werdmoeilijk gevonden. Een van de ant-woorden was dat je niet halverwegeuit het zwembad kunt. Misschienwas het duidelijker geweest om tevragen waarom er stippen zijngetekend in plaats van een lijn. Ook de vragen om een grafiek vaneen abonnement en de grafiek bij12-badenkaarten te tekenen werdenmoeilijk gevonden. Het was de eerstekeer dat er in een nieuw examennaar stippengrafieken werd gevraagd.De laatste vraag werd wel heel goedgemaakt. Daarin moest men metbehulp van een kalender en eventu-eel met de getekende grafieken

4372 | 2 Euclides

nagaan of Sander in de gegevensituatie het best losse kaartjes, 12-badenkaarten of een abonnementkan kopen. Om houvast te gevenbij de beoordeling zijn de gevraag-de grafieken afgedrukt in het cor-rectievoorschrift.

Koeriersdiensten (C)In het nieuwe programma is veelplaats ingeruimd voor het domein‘Informatieverwerking, statistieken kans’. Van de leerlingen wordtonder andere verwacht dat ze van-uit een kritische houding allerleigrafische presentaties kunnenlezen, interpreteren en gebruiken.Veel informatie in kranten en tijd-schriften, maar ook in allerleiberoepen, wordt grafisch weergege-ven. In de examens zullen daaromvaak voorbeelden uit de praktijkvoorkomen. In die voorbeeldenkomen nogal eens bedoelde ofonbedoelde misleidingen of foutenvoor. De opgave Koeriersdiensten iseen voor het examen aangepastecontext uit een krant. De eerste tweevragen zijn reproductieve vragenover de betekenis van de gebruiktesymbolen. De derde vraag gaat overmisleidende reclame van een koe-riersdienst. Natuurlijk weten deleerlingen dat de gevraagde redene-ring wiskundig van aard moet zijn.Ruim de helft heeft de vraag naartevredenheid beantwoord. Velenhebben toch moeite hun antwoordgoed te formuleren. Het correctie-voorschrift kan in deze moeilijkvolledig zijn. Hieronder staanenkele antwoorden van leerlingen.Hoeveel van de maximumscore van3 punten zou u in deze gevallentoekennen?- Je denkt 31 cent. Maar: ze doen er

heel lang over dus je betaalt danheel veel.

- Er staat in die reclame per uur,maar als je kijkt in de tabel van dekoeriersdiensten, dan zie je datbijv. 1 uur helemaal niet voorkomt,het gaat namelijk per 10 uur.

- Omdat het maar ƒ 0,31 per uur kost.

- Ze kunnen bij deze koeriersdienstde tijd zo lang rekken als ze willen.

- Deze reclame is misleidend omdatde prijs meestal afhangt van hetgewicht.

- 31 cent bestaat niet want wij reke-nen niet meer met centen en er zijngeen centen meer in omloop.

De slotvraag is, zoals meestal, vanproductieve aard: er wordt een vraaggesteld waar voor de beantwoor-ding meer nodig is dan het repro-duceren van oplossingen bij min ofmeer bekende problemen.

Drie hoge bomen (C en D, gedeelte-lijk verschillend)In het domein ‘Meetkunde’ neemtde kijkmeetkunde met kijkhoeken,kijklijnen en aanzichten eenbelangrijke plaats in. Bij de contextworden eerst reproductieve vragengesteld. In de eerste vraag moetende leerlingen een kijkhoek tekenenen meten. Wat onbevredigend is, isdat een leerling voor een volledigfout getekende kijkhoek die hijgoed meet toch 2 van de 4 puntenkrijgt. Het correctievoorschriftgeeft hier en op andere plaatsen aanhoeveel een meting of een tekeningmag afwijken. Van belang is datleerlingen goede, rechte kijklijnentekenen en die laten staan. Zowel inde vraagformuleringen als in het

correctievoorschrift wordt daaropgewezen. Bij de productieve slotvraag werdenvraagtekens geplaatst: is de tekeningwel helemaal in overeenstemmingmet wat je ziet? Een eventueel beteretekening zou de beantwoording ervast niet makkelijker op gemaakt

hebben. De resultaten vielen gelukkigmee. De C-kandidaten behaalden61% en de D-kandidaten 53% vande punten.Interessant met het oog op kijklijnenis de opgave ‘Het stadje Horn’ uithet experimentele D-examen van1992, eerste tijdvak. Uitgaande vanzij-aanzichten moest de plattegrondvan het stadje getekend worden.Leerlingen maakten toen vaak eenprima tekening, maar gumdenhelaas de kijklijnen uit.

Blikken (C en D, verschillend)In deze algebra-opgave gaat het omhet opsporen en gebruiken van eenbepaalde regelmaat in een gegeventabel. Een concreet blik wordt hierniet omgevormd tot het mathema-tische model van een cilinder. Bere-keningen vinden plaats op grondvan een regelmaat die je waarneemtbij een aantal metingen. Dezeopgave illustreert ook verschillen invraagformuleringen voor het C- enhet D-examen. In het correctie-

44 Euclides 72 | 2

voorschrift is helaas niet voorzienin het probleem dat een aantal leer-lingen driemaal met een formuleberekende in plaats van het expli-ciet geformuleerde ‘met behulp vande regelmaat’. Achteraf gezien zoueen vermelding in het correctie-voorschrift dat in zo’n geval bij delaatste vraag twee punten toege-kend mogen worden, op zijn plaatszijn geweest. Het correctievoor-schrift maakt ook duidelijk dat devermelding van de eenheid essen-tieel wordt geacht.

Van A naar Z (C en D, identiek)Een opgave over een graaf uitdomein D. De opstellers van hetexamen hadden in zekere zin de zesplaatsen liever niet voorgetekend.Het is namelijk veel mooier als deleerlingen zelf de volledige graaftekenen. Maar het is een centraalexamen, de beschikbare tijd isbeperkt, leerlingen krijgen mis-schien een ‘ongelukkige’ tekeningmet wegen door elkaar zodat zij hetbij de volgende vraag moeilijkerhebben dan anderen en hoe moet jedat dan beoordelen? Ook was hetde opzet om een gemakkelijkeopgave te maken, die bovendien inkorte tijd was op te lossen. In eengoed examen is er enige spreidingin moeilijkheidsgraad. De toevoe-ging ‘met daarin de afstanden’ is infeite overbodig. Leerlingen moetenaltijd uit zichzelf de relevante infor-matie bij de graaf vermelden.In de tweede vraag wordt gevraagdnaar de kortste route(s). Met dehaakjes is deze keer expliciet aange-geven dat het om een of meer rou-tes gaat, ook afhankelijk van even-tueel gemaakte fouten in de eerstevraag.

Stenen om een bloemperk (C)Dit is een voorzichtige opgave oververbanden voor het C-programma,met twee heel vriendelijke openings-vragen die zeer goed gemaakt zijn.In de laatste twee vragen wordt hetecht algebra en daar vallen de resul-

taten helaas tegen. De in het correc-tievoorschrift geplaatste opmer-king is principieel van aard: uit deuitwerking moet op enige wijzeblijken dat de 26e rand is uitgesloten.Een leerling die alleen opschrijft‘4 � 27 � 20 � 128, dus vanaf de27ste rand’, krijgt geen vier punten.

Buizen (D)Een algebra-opgave over verban-den toegespitst op de D-populatie.Dit is een opgave die alleszinsmodel kan staan voor de nieuwealgebra. Vooral de link tussen destructuur van de formule en deopbouw van het patroon is mooi.Formules krijgen zo echt betekenis.De scores zijn goed. Op de bijlagezijn reserve-figuren geplaatst voorleerlingen die zich een keer vergis-sen. Dat blijkt in het algemeen goedte werken. Natuurlijk moet de leer-ling dan duidelijk aangeven welkefiguur beoordeeld moet worden.

Eetgewoonten (D)Ook dit is een context uit een krant,aangepast voor het examen. Hetgaat om het aflezen uit en het inter-preteren van het diagram. Dit keerspeelt ook rekenen een belangrijkerol. Bij de eerste vraag gaat het omeen absolute en bij de tweede omeen relatieve verandering. Bij deslotvraag moeten de staven vooreieren getekend worden. Daarvoormoeten de leerlingen afleiden welkeschaal ze moeten gebruiken. Ennatuurlijk moeten ze na het teke-nen de relevante informatie in hetdiagram schrijven. In een school-onderzoek of in een werkstuk is hetheel goed mogelijk om een volledigdiagram te laten tekenen. In eenexamen heb je te maken met debeschikbare tijd en een examen datzo goed mogelijk moet spreidenover de diverse subdomeinen.

Salontafel (C en D, gedeeltelijk ver-schillend)Deze context is ontstaan naar aan-leiding van een reclamefolder over

4572 | 2 Euclides

V ersch enen

WP-Opgavenbank vwo voorwiskunde B

In maart 1996 heeft het Cito deOpgavenbank Wiskunde B voorklas 5 en 6 VWO uitgebracht. Deopgavenbank bestaat voortweederde deel uit nieuwe, spe-ciaal voor deze verzameling ont-wikkelde opgaven en voor een-derde deel uit bestaandeexamenopgaven. Totaal bevatde bank 105 opgaven, die gaanover de leerstof zoals omschre-ven in het eindexamenprogram-ma wiskunde B VWO.Met de opgaven uit deze bankkan de docent voor VWO-5 enVWO-6 proefwerken en school-onderzoeken samenstellen. Deopgaven kunnen eveneens voorvoortgangscontrole wordengebruikt. De opgaven staan, metde afbeeldingen geïntegreerd inde tekst, zowel op papier als opdiskette (in WP 5.1), hetgeenoptimale mogelijkheden biedtvoor gebruik. Met een bijgele-verd zoekprogramma (WPmakro) kunnen docenten toet-sen samenstellen die zij het bestin hun specifieke gebruikssituatievinden passen.

Besteladres:Cito, sectie verkoopPostbus 10346801 MG ARNHEMtel. 026-3521590art.nr. 56462prijs: ƒ 195,-

Voor toezending van informatieen nadere inlichtingen overdeze opgavenbank kunt u bij hetCito contact opnemen met:Mevrouw M. SmoldersItemredacteur Wiskundetel. 026-3521227.

diverse soorten salontafels.Soms wordt een wiskundig modelgemaakt bij een realistisch pro-bleem, zoals is gebeurd in dezeopgave met het metalen onderstelvan een salontafel. Meestal hoevende leerlingen dat model niet zelf temaken. Wel moeten ze de resultatenkunnen terugvertalen naar het oor-spronkelijke probleem. De lengtevan de metalen staven is bijvoor-beeld niet precies hetzelfde als delengte van de diagonaal in de balk,je moet immers ook nog rekeninghouden met de dikte van het mate-riaal. Hetzelfde geldt voor de hoekbij P die je nodig hebt om de metalenbuis op de juiste manier te buigen.Die hoek (of bocht) zal wat afwijkenvan de hoek die je via het modelberekent. In de examenvragenwordt daar niet altijd op ingegaan,bij elke context kun je immers veelmeer vragen bedenken dan er vooreen examen nodig zijn. Dat kan welbij een bespreking in de klas. Goedkunnen werken met modellen iseen belangrijke vaardigheid, ookvoor het vervolgonderwijs, maarwel één waar je veel op geoefendmoet hebben. Overigens is van detafel gemakkelijk een schaalmodelte maken: een draadmodel voor hetonderstel en een rond plaatje vanglas of plexiglas voor het blad. Leukbijvoorbeeld om de leerlingen eenste laten kijken naar de verschillendeaanzichten.

Goed of fout

In de syllabus wordt het onder-scheid besproken tussen reproduc-tieve- en productieve vragen. Vraag24 uit het C-examen over het voor-beeld van de salontafel is een repro-ductieve vraag. Weten hoe je deoppervlakte van een cirkel (de ron-de glasplaat) berekent. Toch is ookhier iets nieuws. Zoals uit het ant-woordmodel blijkt worden zowelde antwoorden 6362 cm2, 63,6 dm2

als 64 dm2 goed gerekend. Maar

wanneer de eenheid, cm2 of dm2,niet is vermeld, wordt een puntafgetrokken. Dat waren we bij devroegere examens niet gewend,daar werd vrijwel nooit een een-heid bij de maten vermeld en dusook niet verwacht bij de uitkomsten.Bij binnen een context gesteldeproblemen horen die er juist wel bij.Leerlingen zijn overigens heus nietanders dan vroeger, want ook in ditwerk komt het verwisselen vanomtrek en oppervlakte voor. Hebt uooit een goede methode gevondenom te voorkomen dat leerlingen diefout maken? Een leerling had zelfs alsantwoord genoteerd: opp.cirkel �π � 90 � 90 � 39 � 99 429,12cm2. Twee vergissingen in één keer,de diameter gebruikt in plaats vande straal en de formule voor deinhoud in plaats van die voor deoppervlakte. Maar hij of zij heeftook niet terugvertaald naar hetprobleem, want een glasplaat vanbijna 10 m2 is wel érg groot. Nogafgezien van het feit dat bij een der-gelijk formaat die twee cijfers ach-ter de komma niet relevant zijn. Bijeen bespreking van deze opgave ineen examenklas zijn dat belangrijkeaspecten die aan de orde moetenkomen. Ook nu blijken er weerleerlingen te zijn die moeite hebbenmet het verschil tussen cm en cm2.‘Ach, alleen maar dat tweetje weg-gelaten, dat is toch niet zo belang-rijk?’ zeggen ze dan. Toch eens vra-gen of de natuurkundecollega heeftgemerkt dat bij wiskunde aan ditsoort zaken in de basisvormingmeer aandacht wordt besteed!In vraag 24 van het D-examenwordt gevraagd de hoek bij P (inhet model) te berekenen. Dit lijkteen gemakkelijke vraag: het gaatom de kennis van eigenschappenvan figuren, basisalgoritmes endefinities. Die vraag werd echteropvallend slecht beantwoord. Leer-lingen komen er nauwelijks toe omde (gelijkbenige!) driehoek apart tetekenen en met een hulplijn eenrechthoekige driehoek te vormen.

Gelukkig blijkt dat de leerlingenwel geleerd hebben dat dat nietbetekent dat je de volgende vraagbij de context óók niet zou kunnenmaken: de vraag over het aan elkaarlassen van de onderdelen werdzowel bij C als D goed gemaakt.

Ten slotte

Vraag 26 uit het C-examen is eenproductieve vraag. Eerst moet jein het model nagaan of de hoekenbij S en Q inderdaad gelijk zijn(‘Sonja heeft gelijk’, vinden demeeste leerlingen) en vervolgenszelf een goede redeneringopschrijven om je bewering toe telichten. Leerlingen vinden dit - enniet ten onrechte - heel moeilijkevragen. Er zijn maar weinig leer-lingen die er alle punten voor krij-gen. Hoeveel punten zou u trou-wens geven voor de antwoordendie hieronder genoteerd zijn?- Sonja heeft gelijk, ze zijn allebei 45°.- Peter heeft gelijk, hoek S is kleiner

als hoek Q. (Zo ziet het er in detekening uit!)

- Sonja, als je goed kijkt zie je 2 keer2 gelijkbenige driehoeken. Dekubus heeft 8 gelijke hoeken.

- Sonja heeft gelijk anders zou detafel omvallen.

- cos∠Q � 39/65 � 0,6 � 53°tan∠S � 52/39 � 1,3 � 53°Ze maken dezelfde hoek dus Sonjaheeft gelijk.

- Sonja heeft gelijk. Het is een balkmet vierkant grondvlak dus dehoeken zijn symmetrisch.

Noten

1 Zie bladzijde 672 Zie bladzijde 533 Besteladres:

Cito, sectie verkoopPostbus 10346801 MG Arnhemtel. 026 - 352 1590art.nr. 56482

46 Euclides 72 | 2

De deur van de sectordirecteurstond welwillend open. Als tekenvan: iedereen mag hier binnenval-len, of ik ben een open oor, of…Door die deur zag de 11-schalermijn leerlingen vroegtijdig ’t lokaalverlaten. Geagiteerd stoof ’t sub-management op: DE BEL was nog

niet gegaan. Bij de leraar aangeko-men koelde zijn woede enigszins.Hij herinnerde zich de Gordon-cursus voor leidinggevenden.Dacht dat een klein grapje somsgoed kan zijn om ’t probleemge-drag van leraren te reguleren enzei:’ ’t Is pas maandag hoor, de con-tainers hoeven pas morgen buiten-gezet te worden…’ Met een niet-begrijpende mistroostige blik zeiik: ‘Over tien minuten ben ik zaal-voorzitter bij mijn wiskundeleer-lingen.’ En toen kwam al het therapie-gedoevan de conrector helemaal boven:‘Hoe voel je je? Wil je erover praten?’

Met verbaasde ogen keek ik ’m aan.Wat wist hij nou van quasi-beroemdzijn, raar interview in de Volks-krant, deze luie rotklas, perspectief.Oh, perspectief, had ik dat wel goedbehandeld ? Verdwijnpunten, hadik dat woord wel genoemd in de les?Gelukkig was deel 3 van Moderne

Wiskunde verschenen. Toen had ikeen beetje doorgekregen hoe datzat met evenwijdige lijnen aan dehorizon. Als ze maar niet begonnenover einder, of kim. Of over omre-kenen van koersen. Nee, ze zullentoch wel niet over koersen gaanbeginnen, en dan ook nog commis-sieberekeningen daarbij… Of inge-klede vergelijkingen dan. Of of3�(x���1)�. Als ze maar geenspin laten wandelen door eenkubus met rare coördinaten, wantdaar zijn ze slecht in.’t Enige wat ik wist uit te brengenwas: ‘Wil jij zaalvoorzitter voor mijzijn?’ De prefect woog. Door zijn

hoofd speelden roostervoorspellin-gen, lastige ouders, groepsgrootte,doorstromingstabellen, zijn nieuwecomputer, cijferverwerking en eengestresste leraar. Zijn hoofd zat nietvol met vraagtekens over aanzichten,schippers met wisselende vaarrich-tingen, valse statistieken of zonne-standen met schaduwberekeningen.Het examengebeuren behoordehelemaal niet tot zijn takenpakket,dat was iets voor ’t middenkader.‘Natuurlijk’, zei hij vooroverbui-gend en lei zijn hand zachtjes opmijn arm, ‘maar daarna moet ikweer aan ’t werk hoor. Denk je datje er over een half uurtje weer tegenkan?’‘Als ze maar een passer of schaar bijzich hebben’, zei ik.‘Heb je ze dan niet verteld dat ze

die bij zich moeten hebben?’ vroegde onderdirecteur al wandelendnaar het gymnastieklokaal.‘Natuurlijk weten ze dat. En zeweten ook van exponentiële func-ties, periodieke functies, en ik hebze…’ Een leerling onderbrak degeruststellings-sessie van de subdi-recteur: ‘Meneer, de batterijen vanmijn rekenmachine zijn op en noudoet-ie ’t niet meer.’

Geeneen gezakt, maar wie heeft dierare som over die bomen bedacht?’t Nieuwe programma: nooit meerzekerheid, gelukkig.

6x

4772 | 2 Euclides

Heb ik ’t welbehandeld?

Wim Schaafsma

Marian van der Vooren en AliceBosch werken respectievelijk 9 en12 jaar op scholengemeenschap DeKlop in Utrecht. De Klop is eenexperimenteerschool met het nieu-

we programma en heeft in meiinmiddels voor de derde keer mee-gedaan aan het experimentelemavo C/D-examen. Marian en Alicehadden beiden afgelopen jaar eenmavo 4-klas.

Wat vinden leerlingen moeilijk enwat vinden leerlingen leuk aan hetnieuwe programma?Alice: Leuk vinden ze dat ze zich bijveel onderwerpen iets voor kunnenstellen en vaak ontstaan er dan ookdiscussies in de klas die beginnen

met vragen in de trant van: Hoekan dat? Is dat echt zo? Hoe werktdat dan, en als nou …? Moeilijkvinden ze soms het nauwkeuriglezen en het halen van de juiste

gegevens uit de tekst. Het overzichtkrijgen over de stof en de verschil-lende deelgebieden is voor veelleerlingen lastiger dan voorheen.Marian: Wat leerlingen moeilijkvinden is dat elk probleem er voorhun weer anders uitziet met nameals je eenmaal examens gaat trainen.Niet direct die herkenning van: ‘Ohdat is een kwadratische formule endaar doe je altijd dit of dat mee.’Alice: Dan moet ik ze laten zien dathet om een eender probleem gaat,alleen weer anders verpakt. Marian: Leuk is toch wel het aan-pakken van bestaande problemen.Ze vinden het moeilijk, maar hetgeeft vaak toch wat meer kijk opzaken. Zoals bijvoorbeeld eenonderwerp als hoogtelijnen, waar-bij je een echte wandelkaart kuntgebruiken waar je met je leerlingenoverheen ‘wandelt’.

Hoe ben je aan goede schoolonder-zoeken gekomen?Marian: Als je voor elk schoolonder-zoek één prachtige contextrijkeopgave echt zelf kan bedenken, danis dat al heel mooi. Ideeën kun jevooral uit de krant halen of je ver-bouwt een opgave uit het boek.Inmiddels hebben we een aardigevoorraad opgebouwd.Alice: We deden het steeds met zijn

48 Euclides 72 | 2

‘Pak niet allestegelijk aan’

Kees Hoogland

I N T E R V I E W

tweeën. Eén maakte de opgave ende ander bekeek deze opgave zeerkritisch, met name op heldere for-muleringen. Je moest er steeds bij-tijds aan beginnen, zowel om eengoed idee uit te werken, als ook omer een mooie heldere som van temaken.

Hoe hebben jullie voldaan aan deverplichting van computergebruik?Alice en Marian: Ons derde school-onderzoek is een mondelingschoolonderzoek met de computer.Eerst oefenen leerlingen 5 á 6 lessenmet VU-grafiek op de computer.Het gaat dan om het herkennenvan grafieken en het erbij kunnenmaken van de formule. Daarnamoeten ze in 30 minuten laten zienen horen wat ze kunnen en wetenmet betrekking tot formules engrafieken.1

Kun je aangeven wat het grootsteverschil is tussen nu en vroeger bijhet voorbereiden van de leerlingenop het examen?Alice: je moet leerlingen nog beterleren lezen en ze vertrouwd makenmet meerdere oplossingsmetho-den. Je moet je best doen leerlingenzich veilig te laten voelen, zodat zeveel kunnen vragen en veel over destof kunnen praten. Bovendienmoet je ze helpen niet meer zo teschrikken van ieder vraagstuk dater onbekend en moeilijk uitziet. Je

moet leerlingen vaak hun antwoor-den laten uitleggen en motiveren.Marian: Je moet veel meer de eigencreativiteit in het oplossen van pro-blemen stimuleren bij leerlingen.Ze krijgen het heel moeilijk als zehet lef niet hebben om problemenzelfstandig aan te pakken. Je moetdaarmee eigenlijk in de brugklas albeginnen.

Wat vonden jullie van de examens ende examenresultaten?Alice: Het D-examen vond ik aande makkelijke kant. Er zat ook vrijveel rekenen in en met sommigevragen was ik niet zo tevreden. Ikvond het wel een leuk en gevarieerdexamen. De resultaten vielen ergmee. Gemiddeld kwamen de leer-lingen ruim een half punt hoger uitdan bij het schoolonderzoek.Marian: Het C-examen vond ik temoeilijk. Het leek te veel op het D-examen. Toch zijn de resultatenvoor C en voor D dit jaar erg mee-gevallen.

Kun je iets zeggen over het nakijkenvan de examens?Marian: Dat is lastiger gewordendoordat leerlingen meerderemanieren van oplossen leren en dusook toepassen. Wat ook lastigerbeoordeelt, zijn de motivatievragen.Alice: Het kost echt meer tijd dan

voorheen. En soms is het lastig tebepalen hoeveel punten je aan eenantwoord toe moet kennen. Maarik vermoed dat dit een kwestie isvan vaak doen en dat het dan mak-kelijker gaat.

Hebben jullie nog tips voor collega’sdie dit jaar voor het eerst leerlingenvoorbereiden op het nieuwe examen?Marian en Alice: Ga veel examensoefenen. Begin met makkelijke zorond de kerst. Laat zoveel mogelijkverschillende manieren van pro-bleem-aanpakken uit de klaskomen bij de bespreking van opga-ven. Praat veel met leerlingen overde stof in klassegesprekken of ingroepjes. Laat leerlingen veelsamenwerken, wissel eventueel desamenstelling van groepjes.En ten slotte: pak niet alles tegelijkaan, kies elk jaar een nieuw aan-dachtspunt. Bijvoorbeeld in heteerste jaar een goed schoolonder-zoek maken, in het tweede jaarcomputergebruik goed opzetten, inhet derde jaar GWA aanpakken engoed over het verschil tussen C enD nadenken, etc.

Noot

1 Zie ook Nieuwe Wiskrant, oktober 1994:Algebra in 4 mavo, Mondeling schoolon-derzoek op de computer.

4972 | 2 Euclides

Inleiding

Aan het begin van het vierde leer-jaar, of op het einde in het derdeleerjaar, krijgen (aanstaande) exa-menkandidaten in de regel te horenvolgens welk programma het exa-men afgelegd zal kunnen worden.Is het D-programma haalbaar oftoch maar het C-programma? Of,zoals op heel veel scholen gebeurt,de combinatie CD en dan vlak voorhet centraal examen een keuzemaken. Binnen het vbo is ook noghet lagere B-programma van toe-passing en in sommige gevallen hetA-programma. Wat kun je leerlingen

het beste adviseren nu er sprake isvan een heel ander eindexamen?Dat wordt voor veel docenten eenlastige beslissing omdat men geenervaring heeft met de nieuwe exa-mens. In dit artikel wil ik mijnervaring op dat gebied toelichten.

Aantallen leerlingen

Onze school is binnen het experi-ment W12-16 proefschool geweestvoor het nieuwe leerplan wiskunde.

Zodoende hebben we ook ervaringopgedaan met de nieuwe examensvbo/mavo C\D.Terugkijkend op deze experimentelefase maak je natuurlijk ook een ver-gelijking met de fase die daaraanvoorafging, die van de oude examenshorend bij het oude programma. Ondanks het feit dat bij ons opschool nog maar enkele jaren metdie nieuwe examens gewerkt is, hebik toch het gevoel alsof het nooitanders geweest is. Ik moet ook echtver in mijn geheugen terug om dievergelijking te kunnen maken. Aller-eerst maar eens wat cijfers om ouden nieuw met elkaar te vergelijken:

Inmiddels hebben we drie jaarervaring opgedaan met het nieuweexamen. Als je deze cijfers zobekijkt dan is op onze school hetpercentage kandidaten dat meekan doen aan een centraal C- en/ofD-examen gegroeid. Ook het aan-tal kandidaten dat een D-examenkan afleggen is groter geworden.Intelligentere leerlingen? Of houdthet verband met de invoering vanhet nieuwe leerplan en examen ? Ikvermoed het laatste. Het is nietzeker dat dit een landelijke trend

zal worden, maar ik heb het ver-moeden dat dit op den duur welhet geval zal zijn.

Inschalen

In het eerste jaar zijn we heel voor-zichtig begonnen. Hadden we vol-gens het oude programma inciden-teel een kandidaat voor hetD-programma, in 1994 durfden wehet aan om twee leerlingen dit exa-men af te laten leggen. Voor alleduidelijkheid: bij ons op schoolworden de leerlingen aan het beginvan het examenjaar ‘ingeschaald’zoals dat heet. We hebben vier pro-gramma’s of niveaus. De meesteleerlingen leiden we op voor het B-programma. Een dubbel pro-gramma is voorbehouden voorechte twijfelgevallen. Alleen als devakdocent zo’n advies geeft is dekandidaat gerechtigd om dan ookdubbel examen af te leggen.Zodoende zijn er binnen het vboslechts enkele leerlingen die hetadvies AB krijgen. Die doen zoweleen A- als een B-examen. Daarnaastzijn er leerlingen ingeschaald opBC, andere op het enkele program-ma C en een aantal dat het adviesCD krijgt. Deze leerlingen makenvóór de aanvang van het centraalexamen de keuze tussen C en D. Inal die jaren zijn deze kandidaten ophet centraal examen steeds met hethogere programma begonnen.

Schooljaar 95/96

In het jaar 1995 ‘durfden’ we almeer kandidaten het C/D pro-gramma te adviseren. Waarom danwel? Zeker niet omdat de examensgemakkelijker zouden zijn gewor-den. Integendeel, voor veel leerlin-gen is het misschien wel moeilijkergeworden: hoe pak je tijdens hetexamen een ‘context’ aan? De enigezekerheid die een kandidaat heeftis juist onzekerheid. Welk(e) leer-

50 Euclides 72 | 2

ToegankelijkerPieter Willems

aantal examenkandidaten wiskunde

aantal leerlingenC of CD

aantal leerlingen D(uit rij hierboven)

67

92

5(7%)

0(0%)

65

93

13(20%)

0(0%)

57

94

21(37%)

2(4%)

72

95

34(47%)

8(11%)

66

96

25(38%)

7(11%)

stofgebied(en)? In welke context?Bekende context? Wat is ruis?Welk(e) gereedschap(pen) moet jegaan gebruiken bij deze context? In die drie jaren is wel gebleken dat‘gemakkelijker’ geen goede kwalifi-catie is. Wel zijn de examens vol-gens het C- en D-programma toe-gankelijker geworden. Zeker voorvbo-leerlingen.

Verschillen B, C en D

Bij het oude programma zat er eenflink gat tussen het B- programmaenerzijds en het C- en D-program-ma anderzijds. Ook tussen C en Dzat nog wel het nodige verschil.Deze afstanden omvatten bij hetoude programma behoorlijk watleerstof. Dat is nu aanzienlijk minder

geworden. Gelukkig geen (onnodi-ge) blokkades in de vorm van ver-zamelingentaal. Gelukkig geenvragen met nog een achterliggendeopdracht zoals bij het tekenen vanparabolen het geval was. Gelukkig‘wiskunde van alledag’ en vooral inbetekenisvolle situaties. Dat is dekracht van dit nieuwe examen. De examenresultaten volgens hetC- en D-programma hangen uiter-aard af van de capaciteiten van dekandidaten zelf.

Voorbereiding

Maar zeker zo belangrijk is hoe uwleerlingen in de leerjaren daarvoorzijn ‘opgevoed’. Leerlingen willenaltijd zekerheid, maar vanaf hetbegin moet leerlingen aangeleerdworden dat met betrekking totcontexten bijna geen zekerheid tegeven is. Het vereist vaardighedendie geoefend moeten worden. Hetis aan u om uw leerlingen daartoeuit te dagen. Regelmatig positiefbevestigen maar wel eisen stellen.Een mentaliteit van ‘tanden erin’en niet te snel de moed opgeven alsiets niet meteen lukt. Als leerlingenin de aanloopfase naar het examenzich deze vaardigheden eigen kun-nen maken, dan kunt u sprekenvan goed voorbereide leerlingenvoor het nieuwe aanstaande examen.Aan het einde van leerjaar 3 ofbegin leerjaar 4 kunt u dan een vrijbetrouwbaar advies geven aan uwkandidaten. De komende jaren zultook u dat zelf ervaren. Succes met de inschaling en voor-bereiding op het nieuwe examen.

5172 | 2 Euclides

Kijk zei een moedertegen haar dochtertjewijzend op een duifDat is een meeuween vogelnet zoals een duif.

Gert was een klein druk baasje metwitte haren. Stilzitten kon hij niet,en uit zijn mond ratelde de ene nade andere spitse opmerking. Somsdroom ik nog van ’m. Hij was eenvan mijn eerste mavo-3 leerlingen(tegenwoordig noemen ze datmavo-C). Snel, snel in alles was hijsnel. Hij was de zoon van eengroenteboer en ging na schooltijdook direct naar de winkel of markt.Wiskunde was voor hem flauwekul,al dat moeilijke gedoe met x-en eny-en. En daarbij: ‘Ik kan toch snel-ler rekenen dan u.’ En bij alle snel-rekenwedstrijdjes versloeg hij medat jaar. Maar wiskunde heb ik hemtoen niet kunnen leren.

We zitten in een gewoon schoollo-kaal, kaal. Aan de muur hangenalleen wat instructies over ‘kalmblijven bij brand’, enkele tafeltjeszijn in vergaderstand gezet enongelovig kijken we naar eenonderwijsvernieuwer. Niet de eerstede beste, een heel aardige man, diemet een paar woorden zelfs bij degrootste sceptici het voordeel vande twijfel krijgt. Maar wat hij nu beweert dat tart mijnnachtrust. Hier wordt een flexibiliteitvan mij verwacht die mijn zes weken

vakantie alleen al rechtvaardigt.De vergadering, het gesprek, het-je-gedachten-op-de-loop-laten-gaan,gaat over het steeds maar kleinerworden van computers, over degrafische rekenmachines. ’t Is serieus,geen borrelpraat, en zeker niet een‘waar gaat dat heen’-gesprek.Enthousiast vertelt hij over wat er,volgens hem, ons te wachten staat:in elk wiskundelokaal (en vanandere vakken) zal er een ringleidingzijn aangesloten op een centralecomputer. Elke morgen of middagzal een leerling zijn handcomputertjedaarop aansluiten. Antwoordenzullen worden vergeleken, nieuweopgaven geformuleerd, leerplannenopgesteld. Kortom de leerlingwordt geautomatiseerd. En deleraar? Die is beschikbaar om vra-gen te beantwoorden, nieuwe leer-stof in te leiden, te stimuleren, per-soonlijke gesprekken te voeren:begeleiden.

Chiel is de zoon van een schroot-handelaar en hij zit in klas 3C vancollega Boer voor het vak wiskunde.Deze collega zit tijdens de les ant-woorden te bespreken met zijn klasen ziet Chiel wat dromerig voorzich uitstaren. ‘Chiel, wat is jouwantwoord op vraag 9 ?’ Zonder inzijn schrift te kijken zegt Chiel:‘Vier.’ Collega Boer gaat heelenthousiast naar het bord en gaatomstandig de som uitleggen. Aanhet eind van zijn betoog zegt hijvragend tegen Chiel: ‘En wat is dushet juiste antwoord?’ Onverstoord

kijkt Chiel hem aan: ‘Ik heb viergezegd, en dat vind ik zat.’ Somskomt collega Boer Chiel nog wel-eens tegen, hij op zijn fietsje, Chielin een dikke BMW. Ter herkenningknippert Chiel dan 1 keer met zijnlichten, en dat is meer dan genoeg.

We zitten in een gewoon lokaal vaneen MTS, kaal. Alle tafeltjes enstoelen zijn in een U-vorm gezet.Voorin staat een karretje, waaropde conciërge van de ontvangendeschool een kan koffie, plastic beker-tjes, suikerklontjes en melk heeftgezet. Er is een regionaal overlegvan wiskundeleraren met vervolg-opleidingen. Er is discussie, somszelfs wat fel, maar er is niemand diezich echt openlijk ongemakkelijkvoelt. Op één collega na. Ik kenhem niet, maar uit opmerkingenvan een vorige vergadering lijkt ‘tmij een nuchtere vent. Niet zo-een-tje die steeds maar roept: ‘Mijnleerlingen kunnen dat wel.’ Hij kentde beperkingen van zijn leerlingenen hij erkent de beperkingen van demaakbaarheid van zijn klassen-maatschappij. Ongelovig volg ikzijn betoog: ‘We moeten de reken-machines afschaffen. Ze kunnenniet eens meer hoofdrekenen. Datis toch geen wiskunde meer… Hetprogramma moet zo ingesteld wor-den dat de leerlingen de sommenmet tabellen kunnen maken. Wemoeten de leerlingen weer lerenrekenen. Op een stom machientjeeen paar toetsen indrukken kaniedereen.’

Aan het eind van een som overoppervlaktes zeg ik: ‘En dan nemenwe daar nog de helft van, wat komter dan uit Bas?’ Bas ontwaakt uitzijn gepeins en typt in 7 0. enzegt dan:

••

52 Euclides 72 | 2

De duif en derekenmachine

Wim Schaafsma

‘Dat kan niet, je kan nietdoor nul delen, zegt u

altijd…’

5372 | 2 Euclides

54 Euclides 72 | 2

5572 | 2 Euclides

56 Euclides 72 | 2

5772 | 2 Euclides

58 Euclides 72 | 2

5972 | 2 Euclides

60 Euclides 72 | 2

6172 | 2 Euclides

62 Euclides 72 | 2

6372 | 2 Euclides

64 Euclides 72 | 2

6572 | 2 Euclides

66 Euclides 72 | 2

6772 | 2 Euclides

68 Euclides 72 | 2

6972 | 2 Euclides

70 Euclides 72 | 2

7172 | 2 Euclides

72 Euclides 72 | 2

7372 | 2 Euclides

74 Euclides 72 | 2

7572 | 2 Euclides

76 Euclides 72 | 2

7772 | 2 Euclides

78 Euclides 72 | 2

7972 | 2 Euclides

80 Euclides 72 | 2

8172 | 2 Euclides

82 Euclides 72 | 2

8372 | 2 Euclides

84 Euclides 72 | 2

8572 | 2 Euclides

86 Euclides 72 | 2

8772 | 2 Euclides

88 Euclides 72 | 2

8972 | 2 Euclides

90 Euclides 72 | 2

9172 | 2 Euclides

92 Euclides 72 | 2

9372 | 2 Euclides

94 Euclides 72 | 2

Allereerst een welkom alslezer aan de leraren en stu-denten die nog geen lid zijn,maar die via dit, op grotereschaal verspreide, tijdschriftkennis maken met onzevereniging. Dankzij een trouwe kern vanactieve leden die zich methart en ziel inzet is hetmogelijk om de kwaliteit vanons wiskundeonderwijs tebewaken en te verbeteren.U ziet hier al nr 2 van de 72e

jaargang van ons lijfblad.Welke zaken komen er zoalaan de orde binnen het be-stuur? In dit nummer tippenwij speciaal Wiskunde 12-16zaken aan, hopelijk in eenook voor niet direct betrok-kenen begrijpelijk overzicht.

AfsluitingstoetsenBAVOIn Euclides 70-7 is onze briefaan het PMB1 gepubliceerdwaarin wij, met redenenomkleed, voorstelden 1°de BAVO-toetsen af te

schaffen;2°als dat politiek onhaalbaar

blijkt, in elk geval voorwiskunde de toetsen opdrie verschillende niveausaan te bieden;

3°toetsing achterwege te la-ten voor leerlingen die inwiskunde examen gaandoen.

In augustus 1996 schrijftstaatssecretaris Netelenbosaan betrokken instanties dat‘gevarieerde toetsen recht

doen aan de veelsoortigeverschillen tussen leerlingen’en dat de voor alle leerlingengelijke kerndoelen aan heteinde van de basisvormingvoor wiskunde getoetst zullenworden op drie verschillendeniveaus (voor veel andere vak-ken op twee niveaus). Ze steltverder voor om scholierendie in 1998 met de basisvor-ming op mavo/vbo beginnen,niet langer afsluitingstoetsente laten maken voor de vakkenwaarin zij examen zullen doen.‘Dat verlicht de tijdsdruk engeeft leerlingen meer tijdzich de stof eigen te maken’.Na overleg met de belangen-organisaties zal Netelenboshaar voorstellen naar deKamer sturen.Hoera! Onze wensen 2 en 3blijken alvast gehonoreerd.

Begeleiding nieuwB/C/D-examenMet de CEVO2 hebben wij alsbestuur nauwkeurig geke-ken of er nog meer zorgbesteed kon worden aan debegeleiding van leraren diedit cursusjaar voor het eersthet nieuwe vbo/mavo-examen moeten afnemen.De CEVO maakte het medemogelijk dat dit nummer ineen grotere oplage ver-schijnt. Toen ons dit voorjaarter ore kwam dat er werkelijknog scholen in de derde klasmet oude leermethodenwerkten, heeft de CEVO opons verzoek een brief

gestuurd naar alle vbo/mavo-directeuren die zó alarme-rend was (…reken maar datmet oud lesmateriaal opgelei-de leerlingen geen voldoendezullen halen voor het nieuwecentrale examen, …als leer-lingen hierdoor zakken en deschool aansprakelijk stellenzullen zij allesbehalve kans-loos zijn…) dat op flink watscholen een directielid metdeze brief in de hand naar dewiskundesectie snelde: ‘tochniet bij ons op school?’ Zo ja,dan mochten secties direct,midden in de derde klas, nieu-we wiskundeboeken aan-schaffen.

Ben je er met eennieuw boek?Nee! Het programma gaatnadrukkelijk uit van eennieuwe didactiek waarinveel meer zelfwerkzaamheiden overleg in groepjes vanleerlingen gevraagd wordt.Hierdoor komt er bij wiskun-de al een goede voorberei-ding op het zelfstandig lerenin het vervolgonderwijs.Vandaar dat wij al vanaf hetbegin van de COW3-periode(1987), in samenwerking met

bevoegde instanties, hieroverstudiedagen organiseerden.

Syllabus een mustvoor elke vbo/mavo-docentOok hieraan5 werkte eenNVvW4-werkgroep mee die,na veel discussie, aanbeve-lingen deed voor taal- ennotatiegebruik. Deze aanbe-velingen worden inderdaadin de examenopgaventoegepast. Zo zullen bijvoor-beeld in de examens Neder-landse termen i.p.v. Latijnsegebruikt worden, zoals ‘een90°-draaiing met de klok mee’.Als een leerling in het ant-woord ‘een rotatie over –90°‘gebruikt is dit natuurlijk juist,maar deze laatste term hoeftmen niet meer te kennen.

1998: geen havo4meer zonder wiskundeDe tweede fase havo heeftnu al consequenties voormavo3-leerlingen die zomer1998 hopen door te stromennaar havo4. Zonder mavo-Dwiskunde zal dit praktischonmogelijk zijn. Realiseert elke huidige mavo

72 | 2 Euclides 95

Van de bestuurstafel

NederlandseVereniging vanWiskundeleraren

erenigingsnieuws

Er zijn leden die hun oude studieboeken of andere boeken vanwiskundige aard willen opruimen.

Op de dag van de jaarvergadering wordt tijdens de pauzesgelegenheid gegeven uw boeken weg te geven of te verkopen. Bij dit laatste geldt dan wel de afspraak dat van de opbrengstvan een boek minimaal 20% ten goede komt aan het Wereld-wiskundefonds.

OUDE WISKUNDEBOEKEN

leraar en -decaan zich dit?Zegt het voort! Want de minis-ter is wel tegen ‘stapelen’van studies, maar het magwettelijk nog steeds.

Commissie van VeenAl vóór in december 1994 hetCOW-examenprogramma inUITLEG officieel gepubliceerdwerd kwam in augustus 1994alweer deze in feite geheten‘commissie mavo/vbo aan-sluitend onderwijs’ met haarnota ‘Recht doen aan ver-scheidenheid, opzet en ont-wikkelingsperspectief vande afsluiting mavo en vbo’.Een nieuwe uitdaging vooronze vereniging! Zoals heter nu uitziet zal de invoerings-datum van de ‘operatie vanVeen’ betekenen dat in 2002de vbo/mavo-leerlingen vol-gens een weer ‘herschikt’programma examen doen.Dan zal wiskunde verplichtzijn in de sectoren techniek enlandbouw. In alle leerwegenkunnen de leerlingen wis-kunde kiezen als examenvakin het sectordeel; in de theo-retische en gemengde leer-weg ook in het vrije deel.De Ontwikkelgroep Wiskun-de, met daarin ook tweebestuursleden, had dit voor-jaar de opdracht om eennieuw concept examenpro-gramma vbo/mavo te ont-werpen, ‘zich baserend ophet COW-programma en zichdaarbij speciaal afvragendwelke wiskunde, vanuit deleerling bezien, van belang isvoor de aansluiting naar deverschillende vormen vankort en lang MBO’.Het veld heeft in ruime mateinspraak gekregen. Nog vierandere bestuursleden werk-ten mee aan de in maart enjuni gehouden 1e en 2e veld-

raadplegingsronden. Onzehierna bestaande grote zorguitten wij in bijgaande briefaan de staatssecretaris.

Onderwijsverandering:een procesVeranderingen gaan niet vanvandaag op morgen. Omdatwij willen dat veranderingenook verbeteringen zijn, zullenwij als NVvW voortdurendaandacht aan elk verande-ringstraject moeten blijvenbesteden. Deze Special maghiervan een onderstrepingzijn. Om werkelijk invloed tekunnen uitoefenen hebbenwe echter véél meer leden,speciaal ook uit de belangrijketweedegraadssector nodig.Leden stimuleer uw (na defusie nieuwe?) sectiegenotenom lid te worden. Niet-leden,moge deze kennismaking viaEuclides leiden tot een lid-maatschap. U allen bent vanharte welkom op onze studie-dag/jaarvergadering opzaterdag 16 november.

Agneta Aukema-Schepel

Noten

1 PMB = ProcesManagementBasisvorming

2 CEVO = Centrale Examen-commissie VaststellingOpgaven

3 COW = Commissie Ontwik-keling Wiskundeonderwijs

4 NVvW= …de afkorting vooronze vereniging

5 syllabus voor het centraalC/D-examen wiskunde, metde volledige programma’s enuitgebreide toelichting. Zieook Euclides 71-8 p.268 en71-5 p.159; elke school kreegeen bestelbiljet van het Cito.

Dit speciale nummer vanEuclides bewijst weer eensdat de Nederlandse Vereni-ging van Wiskundeleraren• leraren op de hoogte wil

brengen van nieuwe ontwik-kelingen op hun vakgebied;

• er voor zorgt dat problema-tiek rond examens aan deorde wordt gesteld;

• er voor zorgt dat de meningvan de mensen voor de klasdoordringt tot ontwikkelaars,inspectie en ministerie.

De vereniging waakt over dekwaliteit van het wiskunde-onderwijs en komt op voorde belangen van wiskunde-leraren. We doen dit onderandere door• het organiseren van de

jaarlijkse studiedag innovember en de regionalestudiebijeenkomsten in hetvoorjaar, waarbij de wis-kunde en de didactiekervan in lezingen en werk-groepen aandacht krijgen;

• het organiseren van exa-menbesprekingen;

• het uitgeven van Euclides,het vakblad voor de wis-kundeleraar, dat in veelopzichten de toon aangeeftin wiskundig Nederland.

In Euclides vindt u aankondi-gingen van bijeenkomsten,actuele artikelen over de

(school)wiskunde, visies opde didactiek, ervaringen uitde klas van collega’s, werk-bladen voor in de klas, leukewiskundepuzzels, besprekin-gen van nieuwe binnen- enbuitenlandse vakliteratuur,softwarebesprekingen enverenigingsnieuws.

En nu onze persoonlijkevraag aan niet-leden.

Vindt u de hier geschetstedoelstellingen en activiteitenvoldoende om lid te wordenvan de NVvW?

U sluit zich dan aan bij 3300collega’s die werkzaam zijnbij vbo, vso, mavo, havo, vwo,mbo en hbo. Het lidmaatschap kost voorhet jaar 1996-97 slechts ƒ 70,–(voor studenten ƒ 47,50). Als lid ontvangt u Euclides enzijn voor u alle bijeenkomstengratis. Elk nieuw lid krijgt een wel-komstpakket dat o.a. bestaatuit het ‘Vademecum voor deWiskundeleraar’ (dé vraag-baak in wiskundeland) en denummers van Euclides van delopende jaargang.

Het is heel eenvoudig om u alslid aan te melden of om infor-matie te vragen. Bel ons verenigingsbureau0321-312543

96 Euclides 72 | 2

Een persoonlijke vraag

Heeft u zich al opgegeven?Zaterdag 16 november 1996Jaarvergadering/Studiedag in Bilthoven

Voor informatie: zie Euclides jaargang 72 nummer 1, bladzijden 20 t/m 23, oftelefoon 0411-673468

JAARVERGADERING/STUDIEDAG 1996

Brief aan de Staatssecretaris

Aan:Hare Excellentie Mevrouw T. Netelenbosp/a Het Ministerie van OC&WPostbus 25002700 LC ZOETERMEER

Leusden, 8 juli 1996

EXCELLENTIE,

Door middel van deze brief willen wij uw aandacht vragenvoor de ontwikkelingen rondom de examenprogramma’svbo/mavo. Zowel uit de vakontwikkelgroep wiskunde alsuit het onderwijsveld bereiken ons geluiden waarover wijons ernstig zorgen maken.

Door de vakontwikkelgroep wiskunde is onder leidingvan de Stichting Leerplan Ontwikkeling hard gewerkt ombinnen de door de overheid vastgestelde tijd een volwaardigprodukt te leveren. Begin juni is het tweede concept van het examenpro-gramma vbo/mavo verschenen. Daaruit blijkt dat devakontwikkelgroep, mede door tijdgebrek, niet is toege-komen aan een voorstel voor het verrijkingsdeel en deexaminering. Met betrekking tot het basisdeel en het kerndeel-langkan worden vastgesteld dat in dit concept pas een eersteserieuze versie gepresenteerd wordt. De reacties uit hetonderwijsveld op dit tweede concept kunnen door tijdge-brek niet door de vakontwikkelgroep verwerkt worden ineen derde concept. Deze reacties zijn echter bijzonderbelangrijk. Met name het programma-onderdeel kern-deel-lang moet nog worden gewogen ten opzichte vanhet huidige C- en D-programma en ten opzichte van deeisen die het MTO stelt om leerlingen met succes in dezeonderwijsvorm te laten doorstromen.We stellen dan ook vast dat de tijd die de overheid heeftuitgetrokken voor de ontwikkeling van de examenpro-gramma’s vbo/mavo onvoldoende is.

Daarnaast wil de Vereniging haar verbazing erover uit-spreken dat, naar het haar voorkomt, tijdens het ontwik-kelingstraject de positie van de examenonderdelen basis-deel en verrijkingsdeel meermalen zijn veranderd. Dezeonduidelijkheid heeft de vakontwikkelgroep kennelijkparten gespeeld en heeft er mede toe geleid dat er geenvoorstel ligt voor het verrijkingsdeel.

De positie van het verrijkingsdeel is nog steeds onduidelijk.Aanvankelijk was de opzet de extra kennis en vaardighedendie de leerlingen nodig hebben voor doorstroming naarde HAVO en die een betere basis geven in het lang MBO,in het verrijkingsdeel te plaatsen. Door de nieuwe opzetkomt de doorstroming vanuit de theoretische leerwegnaar de HAVO duidelijk in gevaar. Wij onderschrijvendan ook het voorstel, zoals besproken is in de tweederaadplegingsronde (18 juni jongstleden), om binnen hetverrijkingsdeel ook een cursus mogelijk te maken ter ver-hoging van de voor het MTO en de HAVO noodzakelijkealgebraïsche vaardigheden.

Reeds in een vorig schrijven hebben we u verzocht hetvak wiskunde in de sector economie als verplicht examen-vak op te nemen en te onderzoeken of het verplicht stellenvan wiskunde in de sector zorg en welzijn zinvol zou zijn.Deze vraag is nog steeds actueel aangezien wiskunde eenverplicht examenvak is in alle leerwegen van de HAVO.Doorstroming vanuit de theoretische leerweg vbo/mavois dus alleen mogelijk wanneer wiskunde voor deze leer-lingen een examenvak is. Momenteel is dit alleen in deagrarische en technische leerwegen het geval.

Tenslotte willen we onze teleurstelling uitspreken over dekeuze die de overheid gemaakt heeft voor inter-sectoraleprogramma’s. Sectorale inkleuring van de examenvakkenzou veel problemen oplossen. Met name het probleemvan de hoge eisen die het MTO stelt, eisen die daarmeeverplicht worden gesteld voor alle leerlingen met wiskundeals eindexamenvak.

Ons inziens dient het werk van de vakontwikkelgroepengecontinueerd te worden in een vervolgtraject (inclusiefeen raadplegingsronde), zodat aan het einde van de ritverantwoorde, goed afgewogen examenprogramma’s optafel liggen.

Namens de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren,

R.J. BloemSecretaris NVvW

72 | 2 Euclides 97

Het bestuur was dit jaar alsvolgt samengesteld:dr. J. van Lint, voorzitterR.J. Bloem, secretarisdrs. S. Garst, penningmeestermevr. drs. M.P. Kollenveld,vice-voorzitteroverige ledenwijlen J.J. Breeman († 15-3-1996)mevr. A.F.S. Aukema-SchepelR.J. JongelingW. KuipersF.J. MahieuS.H. Schaafsma

Het verenigingsjaar 1995-96was een druk en zeerbewogen jaar voor deNVvW. In dit verenigings-jaar is het bestuur gecon-fronteerd met zeer veel ont-wikkelingen envernieuwingen in hetonderwijs. Het bestuurheeft grote inspanningenmoeten leveren om ade-quaat en binnen gesteldetermijnen schriftelijk enmondeling tijdens veld-raadplegingen te kunnenreageren op alle voorstel-len voor doelen, eindter-men en examenprogram-ma’s en op allevakoverstijgende vernieu-wingsvoorstellen.

Het NVvW bestuur is tevensgeconfronteerd gewordenmet het overlijden van tweevan onze meest gewaar-deerde leden.Op 9 januari 1996 overleedons zeer gewaardeerd erelidPiet Vredenduin. Piet

Vredenduin is in zijn actieveleven van eminent belanggeweest voor de ontwikke-ling van het wiskunde-onderwijs in het algemeenen van de didactiek van dewiskunde in het bijzonder.Ook heeft hij een belangrijkerol gespeeld in de NVvWdoor inhoudelijke enbestuurlijke bijdragen. Op16 maart 1996 was een her-denkingsbijeenkomst in hetLiemers College te Zevenaargeorganiseerd door eencomité van vrienden. In devorige jaargang van Euclides(71-6) is een uitgebreid inmemoriam afgedrukt.Op 15 maart 1996 overleedzeer plotseling, na een kort-stondig ziekbed, ons zeergewaardeerd bestuurslidJan Breeman. Jan Breemanis vele jaren en op veel fron-ten actief geweest in de wis-kunde-wereld en heeft meerdan zeven jaar deel uitge-maakt van het bestuur vanonze vereniging. Velen vanons zullen zich Jan Breemanherinneren als een aimabelmens, een actief vereni-gings- en bestuurslid,iemand die altijd voor ande-ren klaar stond en een mandie zeer betrokken was bijhet wel en wee van het wis-kunde-onderwijs. Het weg-vallen van Jan Breeman iseen klap voor de NVvW enhaar bestuur, die we maarmoeilijk te boven zullenkomen. Wij missen Jan zeer.Op 23 maart j.l. heeft eenherdenkingsbijeenkomst

plaatsgevonden op het Coe-necoop College te Waddinx-veen. In de vorige jaargangvan Euclides (71-8) is eenuitgebreid in memoriamafgedrukt. In hetzelfde num-mer staat ook de rede afge-drukt, die Hans van Lint heeftuitgesproken tijdens de her-denkingsbijeenkomst.

Op zaterdag 11 november 1995werd de jaarvergadering ge-houden te Bilthoven. Tijdensdeze jaarvergadering hebbenwij afscheid genomen vanFelix Gaillard als bureaube-heerder van de NVvW. Felixis 15 jaar bestuurslidgeweest, heeft daarna opvelerlei wijze ondersteuninggeleverd aan het bestuurvan de NVvW, is vele jarenlang verantwoordelijkgeweest voor de organisatievan door de NVvW georga-niseerde bijeenkomsten(jaarvergaderingen, studie-dagen, regionale bijeenkom-sten, examenbesprekingenen wat dies meer zij), ver-zorgde de gehele ledenad-ministratie en fungeerde alsboekhouder van de vereni-ging. Tijdens de jaarvergade-ring werd hij per acclamatieuitgeroepen tot erelid vanonze vereniging.De jaarvergadering werdook dit jaar gecombineerdmet een studiedag, waarvanhet thema was: ‘zelfstandigleren wiskunde te studeren’.In jaargang 71 van Euclidesis reeds een verslag versche-nen van de studiedag, die dit

keer was georganiseerddoor Jan Nawijn. De ope-ningslezing werd verzorgddoor dr. Jan Vermunt; ‘s mid-dags waren twee plenaireparallelsessies georgani-seerd: een forum-discussieover de nieuwe examenpro-gramma’s voor HAVO enVWO, en een discussiebij-eenkomst over de ontwikke-lingen in VBO en MAVO.Naast de plenaire gedeeltenwas er twee keer de gele-genheid deel te nemen aaneen workshop. Speciaalvoor MTO-docenten waseen workshop gewijd aan denieuwste ontwikkelingen inhet MTO. De overige work-shops waren gewijd aanonderwerpen, die op de eenof andere manier betrekkinghebben op zelfstandig stude-ren en de ontwikkelingen inhet VO.

In december 1995 versche-nen de concept-examen-programma’s voor HAVO enVWO (eindrapport van devakontwikkelgroep wiskun-de). In dit rapport zijn veelsuggesties verwerkt uit deraadplegingen, die zoweldoor de stuurgroep tweedefase als door het NVvW-bestuur waren georgani-seerd. Wij zijn verheugd datveel van onze voorstellenzijn gehonoreerd, maarbetreuren het dat de grotehaast, die wordt gemaaktmet de invoering van de ver-nieuwingen in de boven-bouw van HAVO en VWO,onvoldoende ruimte laatvoor serieuze experimenten.In verband daarmee hebbenwij naast een inhoudelijkereactie op de nieuwe exa-menprogramma’s, ook in eenaantal brieven onzebezorgdheid kenbaar

98 Euclides 72 | 2

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

Verslag van het verenigingsjaar1 augustus 1995 - 31 juli 1996

gemaakt aan bewindsliedenen betrokken instanties.

In het voorjaar van 1996 ver-schenen de eerste conceptenvan nieuwe programma’svoor de verschillende leer-wegen in MAVO en VBO. Tijdens de door de SLO geor-ganiseerde raadplegingenhebben wij ons commentaarop deze eerste conceptennadrukkelijk laten horen. Injuni vond een tweede raad-plegingsronde plaats, naaraanleiding van bijgesteldeconcepten. Naar aanleidingvan de tweede versie van deprogramma’s hebben wijgrote zorgen omtrent de feite-lijke ontwikkeling van en detot dusver ontwikkelde in-houden van de programma’s.Wij hebben onze zorgen ineen brief aan de staatsse-cretaris van OC&W kenbaargemaakt.

Het verheugt ons overigensdat de invoering van leerwe-gen in VBO en MAVO inmid-dels 2 jaar is uitgesteld.Tegelijkertijd met het ont-wikkelen van nieuwe pro-gramma’s in VBO en MAVO,werden de kerndoelen vande basisvorming geëvalu-eerd en herzien. Ook in ver-band hiermee werden doorde SLO veldraadplegingengeorganiseerd. Tijdens dezeraadplegingen hebben wijverdedigd dat doelstellingenen inhouden van de doorexperimenten onderbouwdeCOW-leerplannen en -exa-menprogramma’s zoveelmogelijk tot hun recht moetenblijven komen.

Ook voor de BVE (beroeps-en volwassenen- educatie)worden nieuwe wiskunde-programma’s ontwikkeld.

Wij prijzen ons gelukkig methet feit dat inmiddels eenplatform van/voor MTO-docenten is opgericht. Ditplatform functioneert alswerkgroep van de NVvW enis zeer nauw betrokken bijde vernieuwingen in hetwiskunde-onderwijs in hetMTO. Deze vernieuwingenworden vormgegeven in hetTWIN-project.Het bestuur hoopt dat hetwerk van het platform en deondersteuning van de NVvWdaarbij, er op termijn toe zullenleiden dat veel MTO-docentenlid zullen worden van onzevereniging.

In het overleg metCEVO/COB heeft het bestuurhaar zorgen geuit over devorm en de inhoud van deeindtoetsen voor de basis-vorming, over de mate waarinscholen zijn voorbereid opde nieuwe BCD-examens enover de kwaliteit van de exa-mens in het algemeen.Het eerste landelijk examenop basis van de COW-pro-gramma’s (de nieuwe BCD-examens) is in 1997. In okto-ber 1996 wijden we eenspeciaal nummer van Euclidesaan deze nieuwe examens.Deze special komt tot standin samenwerking met deCEVO en is bedoeld omdocenten te ondersteunenbij het voorbereiden van hunleerlingen op de geheel ver-nieuwde VBO/MAVO-exa-mens.

De NVvW is ook in het afge-lopen verenigingsjaar doorbestuursleden vertegen-woordigd geweest in hetplatform VVVO, de NOCW,en de ß-federatie.Door onze vertegenwoordi-ging in deze organisaties

heeft het NVvW-bestuur eenbetere mogelijkheid invloeduit te oefenen op beleidma-kers en overheidsinstanties.Het bestuur en de zittendeleden van onze didactiek-commissie hebben eenpoging gewaagd de ‘Didaco’nieuw leven in te blazen.Met enkele nieuwe leden inde commissie rekent hetbestuur op nieuwe enbelangwekkende impulsenuit onze ‘Didaco’.

Martinus van Hoorn heeftafscheid genomen alshoofdredacteur van onsverenigingsblad Euclides. Martinus heeft zich velejaren ingezet in het belangvan een goed didactiekbladvoor onze vereniging. Mededoor zijn inbreng is de kwa-liteit van Euclides steedsverder verbeterd. Wij heb-ben Kees Hoogland bereidgevonden de taken vanMartinus van Hoorn over tenemen. Voor Euclides istevens een nieuwe drukkergevonden: de firma TenBrink uit Meppel. Dezebelooft het productieprocesvan ons lijfblad sneller telaten verlopen dan voor-heen.

In maart 1996 zijn door devereniging in Rotterdam,Zwolle, Amsterdam en Eindhoven regionale bijeen-komsten georganiseerd.Het aanbod van workshopswas zeer gevarieerd, mededankzij het feit dat enkeleenthousiaste leden bereidwaren in alle 4 plaatsen eenworkshop te leiden. De deelnemers konden(zoals langzamerhandgebruikelijk is) twee van dezes aangeboden workshopsbezoeken.

In mei 1996 werden voor dediverse schoolsoorten(vbo/mavo C/D, havo A/B, envwo A/B) regionale examen-besprekingen georganiseerd.Dit jaar werd door de SLOde ontwikkeling van hetvoorbeeld lesmateriaal‘Achter de schermen van hetZiekenhuis’ afgerond. Dit (i)VBO-lesboek werd ont-wikkeld op verzoek van deNVvW en de NVORWO.De NVvW heeft bij de SLOweer een onderzoeksaan-vraag ingediend voor 1997,omtrent de rol van informa-tie-technologie in het (wis-kunde-) onderwijs. Van deSLO is inmiddels vernomendat de aanvraag voor ditonderzoek is gehonoreerd.

Het NVvW-bestuur zal eennieuw nomenclatuur-rapportlaten samenstellen. Voor hetVBO/MAVO zijn door een in1992 ingestelde NVvW-com-missie reeds allerlei afspra-ken omtrent nomenclatuurvastgelegd. Tot onze vreugdezijn deze afspraken nu gepu-bliceerd in de syllabus, diedoor het Cito is uitgegeven.In verband met de vernieuw-ingen in de tweede fase vanhet V.O. heeft een commissiein de afgelopen zomer eenrapport opgesteld metbetrekking tot nomenclatuurvoor de nieuwe HAVO- enVWO-programma’s.

Het Derde-Wereld-Fondsvan de NVvW is een succesgebleken. Veel leden hebbeneen bijdrage gestort in hetfonds. Een oproep voorleden voor de commissieDerde-Wereld-Fonds heeftveel reacties opgeleverd. Dit jaar kon het projectplan94/95, de aanschaf van wiskunde-schoolboeken

72 | 2 Euclides 99

Het wiskundetijdschriftPythagoras is voor velen eenjeugdherinnering. Reeds inde middelbare schooljarenwerden we erdoor in aanra-king gebracht met echtewiskunde, uitdagende pro-blemen en interessanteresultaten. Geleidelijk is hetblad los geraakt van de

natuurlijke bronnen, univer-sitaire medewerkers, stu-denten en leraren en kwamhet schrijven van de kopijneer op enkele personen.Onvermijdelijk ging dat tenkoste van breedte en varia-tie. Zo werden mogelijkhe-den om jeugd uit te dagengemist en werd het beeld datwiskunde niet met de tijdmeegaat bevestigd.

De Nederlandse Onderwijs-commissie voor de wiskundeNOCW en de uitgever NIAMhebben gezamenlijk het ini-tiatief genomen om eenmeer eigentijds wiskunde-tijdschrift voor jongeren temaken. Dat zal blijken uit het

soort artikelen, de vormge-ving en de informatie die ver-strekt wordt. Er is een jongeen actieve redactie die ookmet moderne hulpmiddelenweet om te gaan. Er is eenbrede schrijversgroepgevormd waardoor veelfacetten van de wiskundegetoond zullen worden.

Anderen hebben zich bereidverklaard om als referentmee te helpen. Er zal eenprijsvragenrubriek komen,een agenda waarin alles tevinden is over wiskunde-competities, -clubs, -kampenen -manifestaties, een com-puterrubriek met ook aan-dacht voor internet, eind-examentips, toepassingen vande wiskunde en historischeachtergronden. We verwach-ten dat het tijdschrift jongemensen zal aanspreken, maarook interessant zal zijn voorleraren en liefhebbers.

De nieuwe opzet zal startenmet ingang van het school-jaar 1996/97. Het eerste

nummer verschijnt in okto-ber 1996.

Voor nadere informatie envoor aanmelding als abonnee: NIAM Neuhuyskade 9, 2596 XM Den Haagtel. 070-3143500 fax 070-3143588.

Samenstelling van de nieuweredactie:Dr. K.P. Hart, J. Hasker, H. Haverkorn, Ir. A.A.J. Lefeber, P.G. Sinia en Drs. C.G. Zaal.

Samenstelling van de nieuweschrijversgroep:Prof.dr. J.M. Aarts, M.E. Akveld BSc., Drs. F.P.J. Akveld-v. Buijtenen,Prof.dr. H.P. Barendregt, Dr. A. Blokhuis, Prof.dr. J. v.d. Craats,Prof.dr. R.J.M.M. Does, Dr. J. Hulshof, Dr. J.A. van Maanen, Drs. J.L.J. Meijer, Dr. H.M. Mulder, Dr. Zs. Ruttkay, Prof.dr. A. Schrijver, Dr. P Stevenhagen, M. Swaen, Prof.dr. R. Tijdeman, Prof.dr. H.C.H. Tijms, Dr. J. Top en B. Wever.

Naast een aantal van boven-genoemde personen werkennog als referent mee: Drs. J.M. Notenboom enProf. Dr. D. Siersma.

voor een school in Zambia,worden afgerond. Aan deuitvoering van het project-plan 95/96 wordt hardgewerkt.

Het voltallige bestuur van deNVvW vergaderde dit jaarveertien keer. Tijdens eenaantal van deze vergaderin-gen werd overleg gepleegdmet de inspectie, deCEVO/COB, de Euclides-redactie, en met vertegen-woordigers van zowel deSLO, als de NOCW.

In verband met het afscheidvan Felix Gaillard heeft devereniging sinds het najaarvan 1995 een nieuw vereni-gingskantoor, ten huize vanElly van Bemmel. Na eenjaar in deze nieuwe situatiekunnen wij tevreden terug-kijken op een zeer prettigesamenwerking. Een deelvan de taken die Felix Gail-lard verrichtte is overgeno-men door diverse bestuurs-leden.

In verband met de vele ont-wikkelingen en in verbandmet de vele adviesvragen,die wij hebben moetenbeantwoorden, zijn wijgeconfronteerd met overvolleagenda’s en hebben wij deduur van onze vergaderingenmoeten verlengen. Het func-tioneren van het bestuur isdoor de hoeveelheid activi-teiten behoorlijk onder drukkomen te staan. Desalniette-min hoopt het bestuur datook het komend jaar eengoed en vruchtbaar jaarwordt voor de vereniging enhaar leden.

Rob Bloem31 juli 1996

100 Euclides 72 | 2

PYTHAGORAS VERNIEUWD

Pythagoras vernieuwd

?

Inleiding

Bovenstaand citaat was mijn eerstekennismaking met één van mijnleerlingen uit klas 4 vbo verzorging.Een klas die voor het merendeel uitmeiden bestond. In deze klas vondeen enkeling wiskunde echt leuk,de rest had het nodig voor een ver-volgopleiding. Op donderdag hadik ze het eerste uur. Uiteraard wasik aanwezig, maar voor hen eigen-lijk niet. Het ging nog weleens zo:‘Jongens we gaan beginnen.’ Geenenkele reactie. Na nog een paarkeer zeggen ‘Jongens we gaanbeginnen’ nog geen enkele reactie.Alle belevenissen van de vorige dagwerden aan elkaar verteld. Iemandmoest de nagels nog lakken (magzeker niet van thuis). Een andermoest zich nog opmaken. Alles wasleuker en had meer hun interessedan wiskunde.

Het huiswerk liet ik ze weleens zelfnakijken met antwoordenbladen.Dat ging bij sommigen als volgt:‘Mag ik je huiswerk even zien ?’‘Heb ik niet gemaakt, ik snap erniets van.’‘Wat snap je niet?’‘Nou alles niet.’

‘Geef nou eens iets aan wat je nietsnapt.’‘Nou dat niet…’‘Heb je gekeken in je stencil naar destukjes met de streep ervoor?’‘Eh,…nee’‘Ga dat nu dan maar doen.’‘Maar dat snap ik toch ook niet ?’‘Probeer het nu maar, zet je gedach-ten op papier, je denkt vaak beterdan je denkt. Fout doen is niet erg,niets doen wel.’Niet erg enthousiast ging de leer-ling dan aan het werk en wanneerhet huiswerk af was, kon die daneen antwoordenblad krijgen. Ove-rigens had die aanpak bij een aan-tal wel succes. De stap om iets oppapier te zetten werd steeds klei-ner.

Een gesprek met een aantal leer-lingen over het schrijven in destandaardvorm verliep zo:‘4000 �4�1000. 1000 kan je ookschrijven als 103. Immers 103 bete-kent 10�10 �10 en dat is 1000.Waarom let je niet op ?’‘Oh, ik snap het allang, 1000 is3 keer 10.’‘Nee, niet 3 �10, maar 10 �10 �10.’‘Nou, dat zeg ik toch, 3 keer 10.’(giechel, giechel)

Wat werken betreft vond ik de klasnogal gemakzuchtig (over het alge-meen dan). Ik heb ze aardig achterde vodden gezeten. Het gemiddeldevan het schoolonderzoek op C-niveau was ook niet zo hoog: 5.8.

Het C-examen

Ik was erg benieuwd hoe het zougaan met het examen. Enkele reac-ties na afloop van het examenwaren:‘Het viel me erg mee.’‘Ik heb vast niet lager dan een 7.’‘Ik wist niets meer.’‘De stof die we behandeld hebben,sloot goed aan bij het examen.’‘Ik heb alles kunnen maken!’Ik voelde me opgelucht. Dezeopluchting verdween een beetjetoen ik de eerste opgave van het C-examen over Zwemmen nagekekenhad. Puntengrafieken had ik nietmet ze behandeld. De eerste viervragen waren dan ook niet zo goedgemaakt. Ook de vragen 13, 14, 16,

23, 24 en 26 vonden ze moeilijk. Ikgeef een aantal oplossingen van deleerlingen op vraag 1 van Zwemmen:‘De stippen geven de lijn al duide-lijk aan.’

10172 | 2 Euclides

‘O juffrouw, ik snap niets van wiskunde, maar ik

heb het nodig, snapt u? Want ik wil de mode in,

maar ik heb alleen nog maar onvoldoendes

gehaald. Maar ik ga nu heel goed m’n best doen.’

Verzorging enwiskunde

Rita Flokstra

‘Dan kun je minder goed de coör-dinaten aflezen en je zwemt niet dehele tijd door.’‘Omdat het geen abonnement is, jezwemt niet elke keer.’‘Omdat de lijn recht is en er geenbocht in zit.’‘Omdat de lijn kaarsrecht loopt enop ieder punt van een vierkantwaar ze elkaar snijden een puntstaat aangegeven.’Bij vraag 2 bestaat de grafiek vaneen aantal leerlingen uit één punt(1,85). Andere grafieken beginnenbij (1,5), (2,10), … tot (17,85).Enkele oplossingen bij vraag 3:‘Vanaf 10 keer zwemmen is hetabonnement geldig.’‘13 keer voordeliger zwemmen.’‘Vanaf de eerste keer al, want eenlos kaartje kost ƒ 5,– en met eenabonnement kost het per keerongeveer ƒ 2,83.’‘Vanaf 2 keer zwemmen is eenabonnement goedkoper.’Enkele oplossingen bij vraag 4:-Grafieken bestaan uit de punten(1,3.5) (2,7) … tot (12,42).-Een enkeling heeft de punten(1,42) (2,42) … (12,42)-Eén leerling heeft de grafiek hele-maal goed.

Blikken

Bij vraag 13 vergaten ze bijna alle-maal de bovenkant van het blikmee te rekenen. Bij vraag 14 kwamik het volgende tegen:‘Twee blikken met diameter 6 heb-ben de grootste totale oppervlaktewant de huls komt er ook nog eenstwee keer bij.’‘Maakt niet uit. Als je de 2 blikkenbij elkaar doet, heb je 12 cm en ééngroot blik is 12 cm.’‘226 � 28 � 254 cm2 � 2 � 508 cm2.’‘van 12 cm. Omdat de diameter algroter is en als je dan ‘keer’ doetkom je al hoger uit.’‘één blik van 12 cm omdat je daar-mee met grotere getallen werkt.’Bij vraag 17 zijn er twee leerlingen

die een prima oplossing hadden,alleen niet met behulp van de regel-maat in de tabel. Mijns inziens ishet niet goed om als er meerderegoede oplossingen mogelijk zijn desom zo te maken dat je er maar éénmag gebruiken. Ik dacht juist dateen doel van het nieuwe leerplan isdat de leerlingen een eigen oplos-singsmethode mogen kiezen.

De laatste twee opgaven

Het oplossen van ongelijkheden eninklemmen had ik niet met ze behan-deld. Bij vraag 23 was de oplossings-methode die ze konden toepassen,het voortzetten van de tabel. Ik kwamde volgende oplossingen tegen:‘Rangnummer � 6 � 4 � 125, 125 : 4 � 6 � 25, vanaf rangnum-mer 25’‘Vanaf rangnummer 8. Bij rang-nummer 4 heb je 64 nodig, doe jedit � 2 dan heb je 128.’-‘Vanaf rangnummer 15 want:rangnummer: 5, 10, 15, (steeds �5)aantal stenen: 40, 80,120 (steeds �40)’-‘Vanaf rangnummer 15 want danheb je 126 stenen nodig. Je doet b.v.6�1�7 7�2 en 3, 4 enz.’-‘125�20:4�26,25 dus vanafrangnummer 27.’‘Om de 5 rangnummers komen er 20stenen bij. Bij rangnummer 26 zijn er125 stenen, eigenlijk 124 stenen.’ Bij vraag 24 werden omtrek enoppervlakte van een cirkel doorelkaar gehaald. Vraag 26 is door deleerlingen niet goed gemaaktomdat gelijkvormige driehoekenniet behandeld waren.

Ten slotte

Ik was blij dat het gemiddelde exa-mencijfer maar 0.1 punt verschildemet het gemiddelde schoolonder-zoekcijfer.Deze 4e klas bestond uit leerlingendie vrijwel allemaal meededen aanhet B- en het C-examen.

Het niveau van de klas lag daar danook tussenin. Ik heb veel uit hetmavo-3 CD boek van de serie‘Moderne Wiskunde’ met zebehandeld. Hier konden ze veelbeter mee uit de voeten dan met deexperimentele leerstof. Bijna ieder-een vond dat het C-examen beteraansloot bij de behandelde leerstofdan het B- examen.

102 Euclides 72 | 2

Bij de bespreking van het experi-menteel examen vbo-B van 1996wil ik graag beginnen met de ope-ningszet van de opstellers van ditexamen. Een fraaie ouverture, maarmet een zwakke voortzetting:

UitkeringUit de krant:Mensen die teveel uitkering hebbengekregen, moeten dat geld terugbetalen.‘Als je dertig duizend gulden moetterugbetalen in termijnen van hon-derd gulden per maand, moet je wel250 jaar oud worden,’ zei de minister.Een prachtige context voor eenrekenopgave voor examenkandida-ten van het vbo die op het B-niveau

worden afgetoetst. Maar dan: welkevraag zou u er bij bedenken? Bijvoor-beeld: ‘Vergist de minister zich niet

een beetje ?’ of ‘Heeft de journalistwel goed geluisterd naar de minis-ter ?’ of ‘Welke fout is er op dedrukkerij in de tekst geslopen ?’ of: …… Vult u zelf eens in…Verklap in ieder geval niet dat hetgetal 250 fout is. Laat de leerlingendaar zelf achter komen.Je vertelt toch ook niet eerst de clouvan een grap om vervolgens demop nog eens uitgebreid te vertel-len? Helaas is het vervolg op deflitsende openingszet een misser:de vraag luidt namelijk als volgt:Dat aantal van 250 jaar klopt niet.Leg uit waarom niet.Een gemiste kans voor open doel!Een tweede voorbeeld van zo’n fou-

tieve opgave is de slotopdracht van deopgave rond de context Wielrennen. De leerlingen weten dan al dat op

het WK wielrennen in Colombia in1995 het parcours 17.7 km lang is.De tekst gaat dan als volgt verder: De wielrenners moeten 15 rondesrijden. Gemiddeld doet een wielrenner29 minuten over één ronde.De gemiddelde snelheid van eenwielrenner over één ronde is ongeveer37 km/uur. Laat dat met een bereke-ning zien.Zo’n opdracht kan echt niet… !Op deze manier neem je je examen-kandidaten niet serieus. Wat voorlol is nu nog aan om uit te rekenenhoe hard die wielrenners fietsen?Op deze wijze eindigt een prachtigeopgave in een anti-climax. Jammer.

De winst tot nu toe

Denk nu niet dat ik niet blij benmet het experimentele examenvbo-B van 1996. Integendeel. In deeerste plaats ben ik al blij dat ik zelfgeen compleet examen meer inelkaar hoef te zetten. Als pas begin-nend wiskundedocent conformeerdeje je aan de schoolgewoontes endeed je als wiskundesectie gehoor-zaam mee aan de ‘niet-bij-je-onderwijs-passende’ Apeldoornse

vbo-A/B examens. Maar al gauwvoelden wij ons ongelukkig met dieproducten en zijn wij overgestapt

10372 | 2 Euclides

Men moet de gebreken van zijn vrienden

kennen, maar hen er niet om haten. Horatius

Vbo B-examen Paul Robert Borg

op eigen maaksels, die wel aanslo-ten bij ons onderwijs. In die tijdwas onze school al betrokken bij devernieuwing van het wiskunde-onderwijs, zodat deze Apeldoorn-cultuur steeds verder van onsonderwijs af kwam te staan. Nadat de vernieuwing zich in eersteinstantie op het C/D-programmahad gericht - en daar de eersteexperimentele examens een feitwaren - werd de aandacht verbreeden gericht op het vbo-A/B program-ma en het bijbehorende examen.In de tweede plaats ben ik erg blijmet de inhoud en de stijl van deexperimentele vbo-B examens. Zo vind ik de Watertoren-opgavebijzonder goed geslaagd. In dezeopgave zit spanning, verrassing.Opgave 14 is prachtig: in deze vraagmoeten de leerlingen het verbandzoeken tussen drie foto’s en eendwarsdoorsnede. Veel leerlingen vanmij kwamen er gelukkig goed uit.Opgave 15 is prima (kort en krach-tig), en dan de opdracht van opgave16: op deze wijze kan m.i. wel eencontrole-rekenopdracht wordengegeven. Kritisch luisteren naar wathet waterleidingbedrijf beweert,anderen controleren/narekenenmag wel in een opgave. Opgave 17,waarin de inhoud van waterbak Imet waterbak II moet worden ver-geleken is ontdekkend/verrassendvoor de kandidaten. Prima.Zo vind ik ook de Wielrennen-opgave uitstekend, met uitzonde-ring dan van de afzwaaier aan heteind. Grafieken nauwkeurig lezen(opgave 9 en 10) zijn zinvolle vra-gen. Heel mooi is ook de link diegelegd moet worden tussen de gra-fiek en het kaartje van het parcours(opgave 11 en 12).

Kritisch…

Blij zijn met de inhoud en de stijlbetekent niet dat alles nu al zo goedis. Het kan (gelukkig) nog stukkenbeter. Nog een paar voorbeelden

van missers zijn gauw gevonden.De spaghetti-opgave vraagt te weinigwiskundige vaardigheden. Neemt u de opgave er eens bij enbekijk opgave 4 en 5. Een tweetalopmerkingen hierover. Ten eerste:Hoe realistisch zijn deze opdrachten?Zijn deze opdrachten reële proble-men, of zoeken we spijkers op laagwater? In de tweede plaats dit: mijn zoonvan 10, net begonnen in groep 7van de basisschool, struikelde ineerste instantie over de taligheidvan deze opgave, maar toen ik hemover die drempel heen had geholpenwaren de opdrachten 4 en 5 geenprobleem meer voor hem. Mijnvraag bij deze opgave is dan ook:welke wiskundige vaardighedenmoet ik mijn leerlingen aanbrengenom deze opgave te kunnen maken?Nog twee voorbeelden uit de laatsteopgave over de Bevolkingspiramidevan China. Bij opgave 22 heb ik devolgende vraag: Waarom moetalleen het deel voor mannen ófvoor vrouwen gekleurd moet wor-den (leeftijdgenoten heeft tochniets met sekse te maken?), en: alseen meisje alleen het deel voormannen kleurt, is dat dan niet goed ? En wat er bij opgave 24 bij de uitlegopgeschreven moet worden is mijniet duidelijk. Kunt u me uitleggenwaarom 1 203 100 000 niet onge-veer 12 miljard maar ongeveer 1.2miljard is. Ik weet: de beste stuurluistaan aan wal…

Hoe verder?

Een groot manco aan dit experi-mentele vbo-B examen is de kleur-loosheid. Dit zal ik uitleggen.Maar eerst voor alle duidelijkheid:Er bestaat geen officieel landelijkvbo-examen in de zin zoals we diekennen voor het C/D-programmavoor vbo/mavo. De verpakking vanhet vbo experimentele-examen(lay-out vergelijkbaar met de C/D-examens) suggereert een officieel

karakter van dit examen. Maar: hetvbo-B-examen bestaat alleen maaruit schoolonderzoek. Alle toetsen(repetities, mondelinge en/ofschriftelijke tentamens, GWA-pro-jectjes en het afsluitende ‘examen’)vallen onder het schoolonderzoek.Elke school mag zijn eigen school-onderzoek (inclusief een eigen’schoolexamen’) samenstellen ende weging van de verschillendeonderdelen ten opzichte van elkaarbepalen.Daar liggen grote kansen voor wis-kundesecties om een schoolonder-zoek samen te stellen toegesnedenop de opleiding die leerlingen vol-gen: opgaven voor de afdelingenelektrotechniek, administratie, ver-koop, verzorging, bouwtechniekenz. Deze inkleuring van het expe-rimentele vbo-B-examen mis ik

helaas. Dit kan ook niet, want het isgeschreven voor een breed publiek,uit allerlei vbo-afdelingen.Mijn wens voor de toekomst is eenbank met toetsvragen, waarin voorelke vbo-afdeling een serie realisti-sche wiskunde opgaven zijn opge-slagen met daarnaast een serie alge-mene wiskunde toetsvragen (zoalsdie in de experimentele vbo-B exa-mens van de laatste jaren zijn ver-schenen). Als school kan je dan eengreep uit deze voorraad doen omdie in een afsluitende toets (hetzogenaamde ’examen’) te verwerken.De eigen verantwoordelijkheid vande school (sectie) blijft dan maxi-maal en de afstemming op hetonderwijs en de opleiding van jeleerlingen kan dan zo optimaalmogelijk worden gerealiseerd.Wie helpt ons (= vbo-wiskunde-docenten) aan deze opgaven?

104 Euclides 72 | 2

Erik Bosch is coördinator exactevakken aan het College voorBeroepsonderwijs Zwolle (CBZ),vanaf 1 augustus 1996 is de forme-le naam ROC Deltion Collegegeworden. Hij werkt daar binnende sector techniek (het voormaligeMTO). In Zwolle staat ook het GreijdanusCollege, de experimenteerschooldie al zes jaar lang leerlingen vol-gens het nieuwe leerplan wiskundeopleidt. Al jarenlang krijgt het CBZdus naast reguliere leerlingen ookleerlingen binnen die op een anderemanier wiskunde hebben gehad.

Wanneer werd je voor het eerstgeconfronteerd met het feit datsommige leerlingen een ander wis-kunde-programma hadden gehad?Uit eigen ervaring en door opmer-kingen van collega’s werd ik mebewust van het feit dat er leerlingeningestroomd waren, die een anderwiskundeprogramma haddengevolgd. Dit gebeurde aan het beginvan het schooljaar ’90-’91. Hetbetrof toen 6 leerlingen, verdeeldover de verschillende afdelingen.Drie leerlingen bij Elektrotechniek,

twee binnen Bouwkunde en één bin-nen de afdeling Werktuigbouwkunde.

Wat waren in het begin de gevolgenen wat was je mening over dezeleerlingen?Bij het begin van deze ontdekkingzijn er duidelijke gevolgen aan tegeven. Eén duidelijk gevolg was datvooral de technische collega’s, demensen die in de beroepsvakken les-geven, de docenten wiskundebestookten met allerhande vragenover wat er nu weer voor leerlingenwaren toegelaten. Hun mening overde nieuwe leerlingen was dus welduidelijk. De reactie van ons alsdocenten wiskunde was eigenlijk nietveel anders. Ook wij vroegen ons afhoe het mogelijk was dat er leerlin-gen binnenstroomden met een zeerbedenkelijk niveau van beheersingvan voor ons standaardvaardighe-den. Wij hebben bij deze constate-ring zowel informatie ingewonnenvia de informatiebijeenkomst overhet project W 12-16 op het Greijda-nus College, als bij het GreijdanusCollege zelf.Op de informatiebijeenkomst heb ikook gevraagd hoe de VMTS, toen

nog het landelijk platform voor deverschillende middelbare technischescholen, tegenover deze ontwikkelingstond. De reactie hierop was, dat ermet de VMTS een ‘goed’ contactwas, maar dat er voorlopig nog geenmaatregelen te verwachten waren uithun hoek omdat de nieuwe leerlingenpas in het schooljaar ’97-’98 in hetMBO terecht zou komen. Verder stel-de ik de vraag of er überhaupt nage-dacht was over de problemen diezouden ontstaan bij het instromen inhet MTO. Hierop was het antwoordvan Dhr. Meyer, als voorzitter van decommissie van O&W, dat er nog eenaansluitprobleem in deze richting lag.Hiernaast hebben we een aantalgesprekken gevoerd met betrokkenenvan het project over de inhoudelijkezaken rondom de aansluitproblema-tiek. Een gevolg hiervan was de uit-nodiging van deze mensen voor derayondag Noord-Oost (bijeenkomstvan vakdocenten in het MTO). Opdeze dag werd een groot aantaldocenten uit dit deel van het landvoor het eerst geconfronteerd met hetfeit dat er andere leerlingen aan zou-den komen en vooral wat er nu zoanders was aan deze leerlingen.

Hebben jullie nog speciale maatrege-len genomen voor deze leerlingen?In overleg met docenten van hetGreijdanus College is een aantalmaatregelen bedacht om deze leer-lingen te kunnen ondersteunen.In de voor-opleiding zou er voor dezeleerlingen extra lesstof behandeldgaan worden, vooral op het gebiedvan de goniometrie en de vector-meetkunde, onderwerpen die zoalsbekend voor het MTO van grootbelang zijn en tegelijkertijd onder-werpen die in de leerstof van het pro-ject niet of nauwelijks meer aan bodkwamen.Aan onze kant zou geprobeerd wor-den middels huiswerkbegeleiding ennevenschakeling toch leerlingen tevormen die met de gangbare maniervan leerstofbehandeling in ons MTOuit de voeten zouden kunnen.

10572 | 2 Euclides

‘Mijn persoonlijke

mening is in de loop

der jaren behoorlijk

veranderd’

Kees Hoogland

I N T E R V I E W

Naast onze initiatieven is er ook doorde commissie en de projectgroep ge-poogd een oplossing te bieden, watresulteerde in de wellicht bekendeschakelmodules voor het MTO.Over de onderwerpen die hierinvoorkomen is met ons contact ge-weest, maar vanwege de vorm (nietgenoeg zelfinstruerend) en het tijd-gebrek (wanneer moet de docent ditmateriaal bespreken, als bij aanvang

van het cursusjaar eigenlijk dezekennis reeds aanwezig moet zijn) ishier door ons nagenoeg nooit meegewerkt. Verder heb ik ook een aantalgesprekken met oud-leerlingen vanhet Greijdanus College gevoerd om devinger op de zere plek te kunnenleggen en om precies vast te kunnenstellen wat er aangevuld moet wordenom bij ons de boot niet te missen.

Kun je iets zeggen over de resultatenvan deze leerlingen? Ook in deloop der jaren?Over de resultaten van de leerlingenvalt zeker iets te zeggen.Bij het onderzoeken van de rapport-resultaten van deze leerlingen is hetvolgende opgevallen. Leerlingen dievolgens het nieuwe curriculum zijnopgeleid hebben in het MTO proble-men met de vakken: Wiskunde,Natuurkunde en de technische vak-ken waarbij (veel) gerekend moetworden (zoals constructieleer bijbouwkunde en werktuigbouwkundeen elektriciteitsleer). Verder is

opvallend dat leerlingen die (somsmet veel moeite) toch het eerstesemester (waarin bij ons de deter-minatie naar niveau, lange-, korte-of tussenopleiding plaatsvindt) metgoed gevolg afsluiten, in het vervolgvan hun opleiding niet meer zulkegrote moeilijkheden ondervinden.Wanneer we een en ander cijferma-tig uitzetten zijn de resultaten uit deperiode ’90-’94 als volgt:

Hierbij dient te worden opgemerktdat de leerlingen respectievelijk 4, 3,2 of slechts één jaar zijn gevolgd!

Is je mening over het nieuwe pro-gramma veranderd in de loop derjaren? Zo ja, hoe?Mijn persoonlijke mening is de loopder jaren behoorlijk veranderd.In eerste instantie behoorde ik zeerzeker bij de groep van mensen die deontwikkeling van het wiskunde-onderwijs als zeer slecht, zeg maargerust dramatisch beschouwde.Nu kijk ik er behoorlijk wat genuan-ceerder tegenaan. Naar mijnmening is de ontwikkeling van leer-lingen van de (kale-)sommenmaker,naar de probleemoplosser een helegoede. Bij het materiaal, dat nu inontwikkeling is voor het MTO, bin-nen de projectgroep TWIN, waar ikzelf ook medewerker in ben, wordter zelfs op voortgeborduurd. Tochzou ik nog een aantal opmerkingenover het geheel willen maken.Wanneer ik nu leerlingen spreek die

106 Euclides 72 | 2

Instroom 1990, totaal 6 leerlingen:

• geen tijdverlies lange opleiding 3

• minimaal een jaar tijdverlies langeopleiding 0

• andere leerweg 0

• van school (zonder diploma) 3

instroom ’91 totaal 17 leerlingen:

• geen tijdverlies lange opleiding 7

• minimaal een jaar tijdverlies langeopleiding 7

• andere leerweg 1

• van school (zonder diploma) 2

instroom ’92 totaal 16 leerlingen:

• geen tijdverlies lange opleiding 7

• minimaal een jaar tijdverlies langeopleiding 5

• andere leerweg 1

• van school (zonder diploma) 3

instroom ’93 totaal 8 leerlingen:

• geen tijdverlies lange opleiding 4

• minimaal een jaar tijdverlies langeopleiding 1

• andere leerweg 0

• van school (zonder diploma) 3

(L a)TeX

(La)TeX is een zeer geavanceerdtekstverwerkingsprogramma voorhet opmaken van documenten.Met (La)TeX kunnen kwalitatiefzeer hoogwaardige documentenvervaardigd worden van proef-werkopgaven tot boekwerkenvan 1000 of meer pagina’s. Desoftware is uitermate geschiktvoor het presenteren van zoweleenvoudige als zeer complexemathematische formules.(La)TeX wordt wereldwijd veelgebruikt bij wetenschappelijkeinstituten en universiteiten. Veeluitgeverijen kunnen directgebruik maken van wiskunde-artikelen en boeken gemaakt inLaTeX. De software is publicdomain (geheel gratis) voor vrij-wel alle typen computersystemen.Een plug-and-play versie op CD-ROM voor PC- en UNIX- syste-men wordt door gebruikersver-enigingen beschikbaar gesteld.

De Nederlandstalige TeXGebruikersgroep (NTG) heeft totdoel het bevorderen van de ken-nis en het gebruik van (La)TeX.De vereniging bestaat vanaf 1988,geeft tweejaarlijks een uitge-breid tijdschrift uit (ook elektro-nisch) en houdt twee keer perjaar een bijeenkomst en lezingen-dag. De NTG zal op 16 novembera.s. tijdens de jaarvergaderingvan de Vereniging present zijnen daar (La)TeX demonstreren.

Nadere informatie over vereni-ging of over de software is teverkrijgen bij het secretariaat van de NTGPostbus 3941740 AJ Schagene-mail: ntg@nic.surfnet.nl.secretaris NTG: Gerard J.H. van Nes

volgens de nieuwe manier opgeleidzijn, blijkt nog steeds, dat de overgangvan de formele (sterk algebra-gerichte)manier van het aanleren van wis-kunde-regels naar de realistischewiskunde, er toch een bepaald gevoelvan angst ontstaat wanneer er op hetMTO gewerkt moet worden met deformele(re) aanpak. Ik bedoel hiermeedat het aspect van de-contextualiserenblijkbaar voor een groot deel van deleerlingen niet voldoende aandachtkrijgt. Leerlingen kunnen vrijbehoorlijk met opgaven uit de voeten,die dichter bij de praktijk staan,maar zo gauw er gerekend moet wor-den is er een gevoel van vrees. Hier-voor zou in het vbo/mavo-onderwijstoch enige aandacht moeten zijn.Probeer, zonder terug te vallen in hetoude stramien, duidelijker aan tegeven dat het werken met uit alle-daagse en praktische toepassingenafgeleide regels niet ‘vies’ is maarsoms noodzaak!Verder is het voor mij heel duidelijkdat er zeker bij de docenten van detechnische vakken nog erg veel on-duidelijkheid heerst over de ‘nieuwe’leerling. Overigens zijn zij ook nogabsoluut niet voorzien van geschiktlesmateriaal voor de komende tijd,zodat er voor leerlingen die het MTOinstromen minder problemen zullenzijn in de toekomst bij de vakkenwiskunde en natuurkunde, maar bijtechnische (reken)vakken zal er naarmijn inschatting voorlopig nog eenbehoorlijk aansluitingsprobleem blij-ven bestaan. Aan ons als MTO-instituten is dus nog de schone taakook de techniekdocenten, dan wel delandelijke organen er van te door-dringen dat ook in hun vakgebiedniet een devaluatie van niveau (denog steeds veel gehoorde klacht)maar een evolutie naar de nieuweinzichten toe noodzakelijk is.

10772 | 2 Euclides

40 jaar geleden

Stereometrie

1027. Van viervlak ABCD is elke ribbe even lang alszijn overstaande ribbe; P, Q, R en S zijn opvolgend demiddens van de ribben AB, BC, CD en DA.a Bewijs, dat PQRS een ruit is.b Bewijs, dat PR de gemeenschappelijke loodlijn van

AB en CD is.c Bewijs, dat de hoogtelijnen van het viervlak gelijk

zijn.

1028. Van een kubus is K het midden van de

opstaande ribbe CG; M en N zijn de middens van de ribben FG en HG; de ribbe van de kubus is p cm.a Bewijs, dat de lijnen BD en AK elkaar loodrecht

kruisen.b Druk de afstand van BD en AK in p uit.c Bewijs, dat het vlak door C loodrecht op AK aange-

bracht door M en N gaat.d Druk de inhoud van het viervlak ACMN in p uit.

1029. Van driehoek ABC zijn de hoeken A en B opvol-gend 90° en 60°; AB = p cm; CD staat loodrecht op hetvlak ABC; CD = BC.a Druk de straal van de omgeschreven bol van het

viervlak ABCD in p uit. Een rechte cirkelcilinder-mantel snijdt het vlak ACD volgens de omgeschre-ven cirkel van driehoek ACD. Deze cilindermantelsnijdt eveneens een raakvlak aan de bol evenwijdigaan het vlak ACD; dit raakvlak en het punt B liggenaan dezelfde kant van het vlak ACD.

b Druk de oppervlakte van het deel van de cilinder-mantel, dat ligt tussen de beide cirkels, waarin decilindermantel door bol en raakvlak wordt gesneden,in p uit.

Vraagstukken uit: Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde 44 (1956-1957)

EFGHABCD

College De Klop, Utrecht

Tafelkleed

Voor Kerstmis wil Ans een tafelkleed voor een rondetafel maken. De diameter van de tafel is 102 cm. Dehoogte van de tafel is 73 cm. Ans wil dat het tafelkleedtot op de grond komt.Voor de zoom neemt ze 1,5 cm.

Leg uit dat als ze het tafelkleed uit één stuk wilmaken ze een lap stof nodig heeft die 251 cm

breed is.

Ze koopt een lap die maar 150 cm breed is. Ze besluit 4kwartcirkels uit te knippen en aan elkaar te naaien.Voor elke naad heeft ze 1,5 cm extra stof nodig.

Bereken van de kwartcirkels de straal in cm.

Ze wil de kwartcirkels uit de stof knippen zoals je in detekening ziet. (Als je bij som 8 de straal niet had, neemdan 132 cm.)

Reken na of de kwartcirkels niet te breed zijnvoor de lap van 150 cm breed.

Langs de onderkant van het kleed wil Ans band zettenom de zoom mee af te werken.

Bereken hoeveel cm band ze nodig heeft.

108 Euclides 72 | 2

Werkblad

7

8

9

10

Piramidewoning

In Nederland staan piramidewoningen, zie foto. Hetgrondvlak is vierkant en 10 bij 10 meter. De hoogte vande woning is 8,5 meter. Om aan te geven hoe groot eenhuis is, wordt vaak de inhoud in m3 gegeven.

Bereken de inhoud van de woning.

De woning bestaat uit 3 verdiepingen: begane grond, 1everdieping en de zolder. De zolder is 3,3 meter hoog(zie tek.) met natuurlijk ook een vierkante vloer.

Bereken de afmetingen van de zoldervloer (2 dec.).

Wij zijn in onze gewone huizen gewend dat de murenloodrecht op de vloer staan. In de piramidewoning isdat anders.

Bereken ∠PHT die de muur maakt met de vloer.

College De Klop, Utrecht

10972 | 2 Euclides

Werkblad

1

2

3

In het Italiaanse Pontechio Marconi woont de meester-puzzelaar Dario Uri. Hij is mede-auteur van het schit-terende puzzelboek ‘Il libro dei Rompicapo’ (1984,Sansoni Editore). Vorig jaar bedacht hij de FLIP-FLOPPUZZEL.

In een 5 � 5 vierkant staan 25 lampen, die met eendrukknop aan/uit gezet kunnen worden. In het beginstaan alle lampen uit. Een zet is het aan/uit zetten van 5aaneengesloten lampen. Dit is dan precies één van de12 pentomino’s!Als voorbeeld de Y-pentomino:We zetten de volgende tien lampen aan:

Bij de derde zet doen we de volgende 5 lampen uit (u ziet: de pentomino mag ook gespiegeld worden!):

Bij de 4e, 5e en 6e zet doen we de volgende 15 lampen aan:

Bij de 7e zet doen we devolgende 5 lampen weeruit:

Na de 8e en de 9e zet branden alle lampen!

Het minimum aantal zetten om alle lampen branden-de te krijgen m.b.v. de Y-pentomino is dus 9.Samengevat vinden we dus:

De twee opgaven van deze maand: los de flip-flop puzzel op voor de L-pentomino

en daarna voor de N-pentomino.

Maximaal 5 punten voor de optimale oplossingen(minimum aantal zetten), binnen een maand ingezon-den. Ook niet-optimale inzendingen leveren uiteraardpunten op voor de doorlopende ladderwedstrijd.

Oplossingen, nieuwe opgaven en correspondentie overdeze rubriek aanJan de GeusValkenboslaan 262-A, 2563 EB Den Haag.

Opgave 673

RRee

ccrr

eeaa

ttiiee

110 Euclides 72 | 2

– + – +

Zie Euclides 71-7 voor de opgave.Door de vele verschillende oplossingsmethoden wil ikdeze keer enkele referenties voor een oplossing van deeerste opgave geven. Bij de oplossing van de tweedeopgave neem ik dan de eerste ook nog mee. Dank voorde vele opmerkingen en varianten. Ik hoop in de toe-komst hiervan nog eens gebruik te kunnen maken.Ook [3] blijkt een aardige variant te zijn.Tamme Afman (25 punten), Heerde vertolkt demening van velen: ‘Problemen met een hoog irritatie-gehalte’. Fred Simons, Son lost in [11] dit probleem opmet behulp van het computeralgebra-pakket MATHE-MATICA. Hij ontdekt de relatiesin(50°)sin(60°)sin(70°) � sin(40°)sin(80°)sin(80°).

Dan nu de oplossing van Jacques Haubrich (15 punten),Eindhoven, gebaseerd op [10]: Door de tophoek van20°vermoeden we dat de twee opgaven in een regelma-tige 18-hoek passen. Na onderzoek blijkt alles perfectte kloppen ! In de eerste opgave beschouwen we∆FGM en de lijnstukken FU en GT. We vinden vrijsnel dat ∠GTU = 80° en daarna ∠FUT = 30°.In de tweede opgave nemen we ∆FGM en lijnstuk GV.Dan is ∆BVM � ∆MFG en dus inderdaad VM = FG.Dan is ∠MGV � ∠QGR � 10°.

Referenties:

1 Mathematical Gazette, vol. XI, 1922-1923: Note 644 door E.M. Langley

2 The American Mathematical Monthly, vol. 57, 1950: Problem E913

3 Euclides, 38e jaargang, 1962-1963: Recreatie 874 Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde

51e jaargang, 1963-1964: Sprokkel LV5 Mathematics Magazine, vol. 39, 1966: Problem 6136 Mathematical Quickies, 1967: Problem 227 door

Charles W. Trigg7 Geometry Revisited, 1967: blz. 26,

H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer8 Mathematical Gems II, 1976:chapter 2.3, Ross Honsberger9 Journal of Recreational Mathematics, vol. 14, 1981-82:

Problem 107110 Quantum, may/june 1994: Nine solutions to one problem

door Constantine Knop11 Vakantiecursus 1994, Computeralgebra, CWI Syllabus36

Oplossing 670 RRee

ccrr

eeaa

ttiiee

Met 56 punten is winnares vaneen boekenbon van ƒ 25,–:

Monica Woldinga Branding 281186 DH Amstelveen

Hartelijk gefeliciteerd.

11172 | 2 Euclides

112 Euclides 72 | 2

Lezingenserie Hoge-school van Utrechtwo. 6 november 1996:20.00 uurHvU: 030 - 2547230G.G.M. Hobbelen: Eigentempo/ werkwijze op deRoncalli SG.

ICT, informatie- encommunicatie-techno-logie in de praktijkvr/za. 15/16 november1996CPS: 033 - 2541249Toepassingen van informa-tietechnologie in het voort-gezet onderwijs.

Jaarvergadering/Stu-diedag NVvWza. 16 november 1996NVvW: 0411 - 673468Zie aankondiging Euclides72-1 blz. 20 e.v.

Lezingenserie Hoge-school van Utrechtwo. 27 november 1996:20.00 uurHvU: 030 - 2547230Harrie Broekman & TonHengeveld: Studiehuis enGraphic Calculator?

Euclides verschijnt dit

schooljaar nog op 1 decem-

ber, 15 januari, 15 februari,

15 maart, 30 april en 15 juni.

In deze kalender kunnen alle

voor wiskundedocenten

toegankelijke en interessan-

te bijeenkomsten worden

opgenomen. Data melden

bij de hoofdredacteur uiter-

lijk twee maanden voor de

verschijningsdatum. Dit kan

ook via e-mail:

hoogland@rulwinw.leidenuniv.nl

APS-conferentieWiskunde in dehavo/vwo profielenwo. 27 november 1996APS: 030 - 2856722Zie advertentie hiernaast

VierkantJaarlijkse bijeen-komstvr. 29 november 1996VU: 020 - 4447776Zie aankondiging Euclides72-1 blz. 19

Voorronde WiskundeAlympiadevr. 29 november 1996Freudenthal instituut:030 - 2611611Zie aankondiging Euclides72-1 blz. 22

Wintersymposiumza 4 januari 1997Wiskundig Genootschap Aankondiging volgt later

Nationale WiskundeDagenvr. 31 januari/za. 1 februari 1997Freudenthal instituut: 030 - 2611611Zie aankondiging Euclides72-1 blz. 19

Regionale bijeen-komstenfebruari/maart 1997NVvW: 0411 - 673468Aankondiging volgt later

Kangoeroe-wedstrijdvr. 21 maart 1997TUE: 040 - 2472738Aankondiging volgt later

Eerste ronde WiskundeOlympiadevr. 11 april 1997Secret.: 026 - 3521294Aankondiging volgt later

APS-conferentieSchoolonderzoekvbo/mavowo. 23 april 1997APS: 030 - 2856722Zie advertentie hiernaast

KALENDER

APS-wiskunde

Ook in het schooljaar 1996-1997 organiseert APS-wiskunde weer diverse cursussen en conferenties.

Geïnteresseerd en heeft u onze brochure met volledigoverzicht nog niet ontvangen?

Bel of schrijf dan voor meer informatie:

APS - Informatiepunt wiskundePostbus 85475

3508 AL Utrechttelefoon: 030-2856722

Instituut voor Onderwijsverbetering

420/6420-96

Te bestellen bij:Wolters-Noordhoff

Antwoordnummer 139700 vb Groningen

VU-GrafiekOok ideaal voor het examen vbo/mavo

VU-Grafiek Basisvorming is methode-onafhankelijke

software waarmee de leerling formules, tabellen en grafieken

gelijktijdig op het scherm weer kan geven. Een ideaal pakket

om vbo-mavo-leerlingen voor te bereiden op vaardigheid

5 van het examenprogramma, het functioneel gebruik van de

computer. In het schoolonderzoek vbo/mavo moet minstens

één opgave of opdracht daarop betrekking hebben.

Wo

lte

rs

No

ord

ho

ff

Het complete pakket:VU-Grafiek Basisvorming

(handleiding, leerlingen-boek en programmaschijf )isbn 90 01 09014 1 ƒ 500,00

Alleen verkrijgbaar incombinatie met VU-Grafiek:VU-Grafiek Leerlingen-

licentie

isbn 90 01 09020 6 ƒ 252,50

Los leverbaar:VU-Grafiek Basisvorming

Leerlingenboek

isbn 90 01 09016 8 gen 48 p ƒ 18,70

Ook verkrijgbaar via de boekhandel