Klimaatregeling Simulatie

1. Inhoudsopgave

1. Inhoudsopgave2. Inleiding &vraagstelling3. Uitwerking opdrachten4. Resultaten5. Conclusie

2. Inleiding en vraagstellingMet behulp van een model kunnen verschillende zaken worden gesimuleerd, en de overeenkomsten tussen verschillende eerste orde systemen maken dit gemakkelijk. Ongeveer hetzelfde model kan worden gebruikt, en met kleine aanpassingen kan een model voor een RC netwerk gebruikt worden om bijvoorbeeld een klimaatregeling te simuleren. In dit verslag zullen we een model maken om het verloop van de temperatuur in een gebouw te kunnen bekijken als functie van de buitentemperatuur, de verwarming of airconditioning. We zullen proberen om met behulp van het model de volgende vragen te beantwoorden:

1. Hoe lang duurt het voordat de temperatuur gaat reageren?2. Hoe varieert de binnentemperatuur als functie van de buitentemperatuur gedurende een

dag of seizoen?3. Hoe varieert de binnentemperatuur als er gebruik wordt gemaakt van airco of verwarming.

3. Uitwerking opdrachtenWe zullen eerst het model doorgronden en opbouwen, inclusief de bijbehorende differentiaalvergelijkingen. Er wordt gekeken naar het gedrag van de temperatuur ten opzichte van de tijd. Er zijn 4 belangrijke invloeden die het gedrag bepalen:

1. De warmte geproduceerd door de mensen, H (t ), in ℃

seconde

2. Het effect, afkoeling op opwarming, van de airconditioning in het gebouw, U (t), in ℃

seconde.

3. De invloed die de buitentemperatuur heeft op de binnentemperatuur, M (t ), in ℃.4. Het gedrag van het gebouw, K, onafhankelijk van de tijd of temperatuur.

We kunnen met deze 4 factoren nu een vergelijking op gaan stellen, met behulp van de afkoelingswet van Newton. Deze stelt dat het warmteverlies evenredig is met het verschil tussen binnen en

buitentemperatuur. Dit geeft de formule: K (M ( t )−T ( t )). Dit kunnen we gebruiken om de

differentiaalvergelijking op te stellen: ∆T∆t

=¿ K (M (t )−T (t ) )+H (t )+U(t ).

Nu we deze formules hebben kunnen we het model gaan opstellen, we zullen dit doen met Matlab/Simulink. Het model zal er dan als volgt uitzien:

De waardes van H (t )∧U(t ) zullen ongeveer hetzelfde blijven, deze zullen niet zoveel veranderen als de

buitentemperatuur, M (t ). Deze is namelijk afhankelijk van de positie van de aarde ten opzichte van de

zon, en de tijd. Deze kan sinusvormig worden weergegeven; M (t )=M omg+B sin(ω¿t+φ)¿. Hierin is M omg de omgevingstemperatuur, en de sinusfunctie is de afwijking hierin. De waardes van de onbekenden kunnen worden opgesteld aan de hand van de situatieschets.

Opdracht 2:Een fles bier warmt in 3 minuten op van 2℃ tot 5℃. De omgevingstemperatuur is 21℃. Wat is de temperatuur van het bier na 20 minuten?

Om deze opdracht te maken, zullen we erachter moeten komen wat de K is in dit model. We kunnen de H (t )∧U(t ) 0 maken, en de omgevingstemperatuur eenvoudig 21℃ kiezen. Als we het model kloppend maken voor de eerste 3 minuten, kunnen we daarna verder simuleren voor de volledige 20 minuten.

Opdracht 5:De temperatuur om 12:00 ‘s middag op een lentedag in Amsterdam was gelijk aan 16 °C. Detective Baantjer kwam aan op de plaats van het delict en zag een inspecteur gebukt over het lichaam staan. De inspecteur zei dat er verschillende verdachten waren. Als het tijdstip van overlijden nauwkeurig kon worden vastgesteld, dan kon men verschillende mensen van de lijst schrappen. Detective Baantjer nam een thermometer en mat de temperatuur van het lichaam op, deze was 34,5 °C. Na de lunch deed hij de

meting om 13:00 opnieuw en vond toen 33,7 °C als resultaat. Bereken zo goed mogelijk het tijdstip van overlijden (normale lichaamstemperatuur is 37 °C)?

Hiervoor geldt hetzelfde als bij opdracht 2, het model kloppend maken voor de situatie die beschreven is, en daarna door simuleren zodat het hele model klopt.

Opdracht 7:Het was een hete zaterdagmorgen, de airco hield de binnentemperatuur constant op 24 °C. Om 12:00 wordt de airco uitgezet en gaan de mensen naar huis. De buitentemperatuur is constant 35 °C gedurende de rest van de middag. Als de tijdconstante van het gebouw gelijk is aan 4 uur, wat is dan de temperatuur om 14:00 uur. Wat is de temperatuur om 18:00 uur? Wanneer is de binnentemperatuur gelijk aan 27 °C.

We hebben de volgende gegevens verkregen: K=1/240, de resultaten zijn te vinden onder paragraaf 4.

Opdracht 11:In de zomer is de temperatuur in een busje opgelopen tot 55 °C terwijl de buitentemperatuur gelijk is aan 35 °C. Bij het instappen zet de chauffeur direct de airco aan en zet de thermostaat op 16 °C, Als de tijdconstante van het busje gelijk is aan 2 uur en die van de airco gelijk aan 1/3 uur, wanneer is de temperatuur in het busje gelijk aan 27 °C?

We hebben als K de tijdsconstante gebruikt, en het model kloppend gemaakt voor de beschreven situatie, en het model hierna verder gesimuleerd over de resterende tijd. Ook de resultaten hiervan zijn in paragraaf 4 beschreven.

4. Resultaten

Opdracht 2:

Hierboven is de opwarming van 3 naar 5 graden te zien, over een tijd van 3 minuten.

Hierboven is het temperatuursverloop van 2 naar 14.941 graden Celcius te zien, de eindwaarde van het bier is dan ook 14.941°C.

Opdracht 5:

Nadat we eerst de situatie van 34.5 naar 33.7°C hadden gesimuleerd, hebben we als K=1/1355 gevonden. Als je de simulatie laat lopen, zul je vinden dat de afkoeling 171.75 tijdseenheden duurt. Omgerekend naar de tijs is dat 2 uur en 38 minuten, wat het tijdstip 9:12 geeft.

Opdracht 7:

Hierboven is het temperatuursverloop naar 27°C te zien. Het bijbehorende tijdstip is 13:27 uur.

Hierboven is de temperatuur om 14:00 uur te zien; 28,3255°C.

Hierboven is de temperatuur om 18:00 uur te zien: 32.555°C

Opdracht 11:

De temperatuur is 27 graden na 25.3 minuten.

5. ConclusieHet model voor deze klimaatregeling kan voor vele toepassingen worden gebruikt. Met slechts kleine aanpassingen kan het een hele andere situatie schetsen. Belangrijk is dat steeds de juiste waardes worden gekozen voor de invloeden, bijvoorbeeld de M (t ). Deze kan zo precies gemaakt worden, dat de zelfs de seizoenen of positie van de aarde ten opzichte van de zon meegenomen kan worden. Dit geeft een preciezer model, ook al is dat niet bij iedere situatie nodig. Het kan zo precies worden gemaakt als men zelf wenst. Het wordt dan ook steeds realistischer. Zo kan met dit model vrijwel iedere situatie met grote nauwkeurigheid worden gesimuleerd.