Rekenen: een hele opgave deel 1

Rekenen: een hele op

gave D

eel 1Jo

ep van Vugt en A

nneke Wö

sten

Joep van Vugt enAnneke Wösten

Rekenen: een hele opgave

R

Rekenen

R

Deel 1

Deel 1Rekenen: een hele opgave


Rekenen

Deel 1


Rekenen is een menselijke activiteit die niet los staat van de realiteit. Daarom bieden wij in deze methode Rekenen, een hele opgave reken-activiteiten aan die betrekking hebben op verschijnselen in de wereld om ons heen.

In dit eerste deel krijgt het rekenen van jonge kinderen alleaandacht, samen met het rekenen tot 100, het signaleren endiagnosticeren van rekenproblemen en de behandeling ervan. Actuele ontwikkelingen als het verschenen protocol ERWD en de publicaties van de commissie Meijerink zijn verwerkt in deze herziening. Relevante onderdelen van de kennisbasis zijn gedekt.

In het tweede deel, dat een vervolg is op dit deel, komen moeilijker zaken aan de orde (zoals getallen boven de 100) en is er aandacht voor het begrip dyscalculie, dat een steeds belangrijkere rol in het onderwijs speelt.

Op de website www.rekeneneenheleopgave.nl zijn voor beide delen toetsen en strategiekaartenopgenomen, waar in het boek naar verwezen wordt.

Dit boek is uitermate geschikt voor leerkrachten (in opleiding), remedial teachers en anderen die kinderen in hun rekenontwikkeling willenondersteunen. Maar ook voor de groep reken-specialisten en docenten in het voortgezet onderwijs, die rekenen als vak gaanonderwijzen, is dit boek een verrijking.

136 Omslag Rekenen een hele opgave, deel 1.indd 1 22-05-13 08:57


Deel 1


136 Titelpagina Rekenen een hele opgave, deel 1.indd 1 22-05-13 09:48

COLOFON

redactieBataille Tekst Etc., Utrecht

art directionIneke de Graaff, Amsterdam

opmaak binnenwerkImago Mediabuilders, Amersfoort

ontwerp omslag en binnenwerkStudio Fraaj, Rotterdam

beeld omslagBade creatieve communicatie, Baarn

illustraties hoofdstukopeningenCor den Dulk

overige illustratiesGeorgien OverwaterRichard Flohr

Over ThiemeMeulenhoff

ThiemeMeulenhoff is dé educatieve mediaspecialist enlevert educatieve oplossingen voor het Primair Onderwijs,Voortgezet Onderwijs, Middelbaar Beroepsonderwijs enHoger Onderwijs. Deze oplossingen worden ontwikkeldin nauwe samenwerking met de onderwijsmarkt en dragenbij aan verbeterde leeropbrengsten en individuele talen-tontwikkeling.

ThiemeMeulenhoff haalt het beste uit élke student.

Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzichtvan onze educatieve oplossingen:www.thiememeulenhoff.nl of via de Klantenservice 088800 20 16

ISBN 978 90 06 95530 9Tweede druk, eerste oplage, 2013

© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2013

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag wordenverveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbe-stand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze,hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, ofenig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestem-ming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaanop grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dientmen de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoenaan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie(PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl).Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloem-lezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Au-teurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meerinformatie over het gebruik van muziek, film en het maken vankopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelenvolgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks me-nen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnogtot de uitgever wenden.

Deze uitgave is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouwvoor het gebruikte papier op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

Inhoud

Woord vooraf 9

1 Algemene theorie van het rekenonderwijs 121.1 De rekendidactiek 121.2 Realistisch rekenen 141.2.1 Modellen en schema’s 151.2.2 Reflectie 151.2.3 Discussie 161.2.4 Interactie 161.3 Voorbereidend, aanvankelijk en voortgezet rekenen 161.3.1 Voorbereidend rekenen (ontluikende gecijferdheid) 171.3.2 Aanvankelijk rekenen 171.3.3 Voortgezet rekenen 171.4 Rekentaal 201.4.1 Contexten 201.4.2 Thuistaal versus schooltaal 211.4.3 Symbolen 211.4.4 Redeneren 221.4.5 Woordenschat 221.5 Anderstaligheid 231.5.1 Tweetaligheid 231.5.2 Rekenervaringen 241.6 Rekenproblemen 251.7 Rekenzorg 271.8 Handelingen 351.8.1 Zes eigenschappen van een handeling 361.8.2 Drie niveaus bij het leren van denkhandelingen 391.8.3 Oriëntatie 411.9 Instructie 421.9.1 Instructiemodel van Gelderblom 431.9.2 Directe instructiemodel 44

2 Opsporen van rekenproblemen 512.1 Hoe herken je rekenproblemen (signaleren)? 512.1.1 Signaleren tijdens instructie en verwerking 522.1.2 Afstemmen van instructie 532.1.3 Kwaliteit van instructie 542.2 Toetsen 562.2.1 Methodegebonden toetsen 562.2.2 Niet-methodegebonden toetsen 562.2.3 Niet-genormeerde niet-methodegebonden toetsen 582.2.4 Afname van toetsen 602.2.5 Foutenanalyse 602.3 Kijkwijzers 622.3.1 De teller 622.3.2 De onzekere rekenaar 632.3.3 De niet tot automatiseren komende rekenaar 632.3.4 De slordige, onnauwkeurige rekenaar 642.3.5 De rekenaar die veel denkfouten maakt 642.4 Het probleem nader in kaart gebracht (diagnosticeren) 652.4.1 Leerlijnen 662.4.2 Strategieën 672.5 Het diagnostisch gesprek 722.5.1 Observeren 722.5.2 Observatiemoment 732.5.3 Observeren van handelingen 732.5.4 Verborgen handelingen 742.5.5 Observeren van strategieën 742.5.6 Observeren van aandacht 752.5.7 Vragen stellen 752.5.8 Open en gesloten vragen 762.5.9 Doorvragen 772.5.10 Suggestieve vragen 772.5.11 Variëren van opgaven 782.5.12 Hulp bieden 792.5.13 Vormen van hulp 792.5.14 Beheersen van opgaven en handelingen 862.5.15 Conclusies trekken 872.6 Hoe bied je hulp (handelingsplanning)? 882.6.1 Doelstellingen 892.6.2 Materialen en leerinhouden 902.6.3 Instructie 912.7 Het handelingsplan 922.7.1 Algemeen deel van het handelingsplan 932.7.2 Specifiek deel van het handelingsplan 932.7.3 Betrokkenheid 942.7.4 Evalueren 94

3 Voorbereidend rekenen 953.1 Voorschoolse ontwikkeling 963.1.1 Kleine hoeveelheden herkennen 963.1.2 Akoestisch tellen 973.1.3 Asynchroon en synchroon tellen 973.1.4 Resultatief tellen 973.1.5 Representeren van getallen 973.1.6 Vergelijken 983.1.7 Observatielijst ontluikende gecijferdheid 983.2 Voorbereidend rekenen in de kleutergroepen 993.2.1 Betekenisvolle situaties en uitdagende leermomenten 993.2.2 Spontane en geplande leermomenten 1013.2.3 Getalbegrip 1023.2.4 Vergelijken 1023.2.5 Telwoorden gebruiken 1033.2.6 Classificeren, seriëren en correspondentie leggen 1033.2.7 Samenhang tussen verschillende vaardigheden 1033.2.8 Synchroon tellen, resultatief tellen en verkort tellen 1033.3 Leerdoelen 1043.3.1 Leerlijnen TAL-team 1043.3.2 Belang van tellen 1053.4 Omgaan met verschillende ontwikkelingsniveaus tijdens de

rekenles 1083.4.1 Van concreet naar meer formeel 1083.4.2 Verschillen tussen kinderen 1083.5 Kleuters met rekenproblemen 1103.5.1 Betrokkenheid 1103.5.2 Informatieverwerking 1103.5.3 Uitval op verschillende aspecten 1113.6 Hoe herken je problemen (signaleren)? 1113.6.1 Leerlingvolgsystemen 1113.6.2 Landelijk genormeerde toetsen 1123.6.3 Analyse van een toets 1133.7 Diagnosticeren 1143.7.1 Richtlijnen voor observatie van kleuters 1143.7.2 Toetsen als uitgangspunt voor diagnostisch gesprek 1163.8 Hulp bieden 1173.8.1 Keuze van de leerstof 1183.8.2 Remediërend materiaal 1193.8.3 De computer als hulpmiddel 120

4 Aanvankelijk rekenen 1224.1 Rekenen tot 20 1234.1.1 Handelend rekenen 1234.1.2 Tellen en getallenlijn 1264.1.3 Getalbeelden 1274.1.4 Splitsen 1314.1.5 Automatiseren 1324.1.6 Memoriseren 1324.1.7 De betekenis van de symbolen +, – en = 1344.2 Leerdoelen 1354.3 Omgaan met verschillende rekenniveaus in de groep 1374.3.1 Basisstof, extra stof en herhalingsstof 1384.3.2 Voorinstructie en verlengde instructie 1384.3.3 Differentiatie naar hoeveelheid 1384.3.4 Tempodifferentiatie 1394.3.5 Verschillende eisen aan beheersing leerstof 1394.3.6 Coöperatief leren 1394.3.7 Klassenorganisatie 1394.4 Problemen tijdens aanvankelijk rekenen 1424.4.1 Leren memoriseren 1434.4.2 Leren structureren; het actualiseren van de voorkennis 1444.4.3 Gebruik van de juiste strategie 1444.5 Hoe herken je problemen (signaleren en analyseren)? 1454.5.1 Signaleren en analyseren tijdens de rekenles 1454.5.2 Analyse van gemaakt werk 1454.5.3 Signaleringstoetsen 1464.5.4 Methode- en niet-methodegebonden toetsen 1464.6 Diagnostiek 1484.6.1 Diagnostisch gesprek 1504.6.2 Kwaliteit van handelingen 1514.6.3 Toetsen 1534.6.4 Optellen tot 10 1544.6.5 Aftellen tot 10 1594.6.6 Overbruggen van het tiental (optellen) 1604.6.7 Overbruggen van het tiental (aftellen) 1624.7 Hulp bieden 1644.7.1 Hulp vanuit de methode 1644.7.2 Algemene aanwijzingen voor hulp bij tellen: Met sprongen

vooruit 1654.7.3 Algemene aanwijzingen voor hulp bij rekenen: manipulerend bezig

zijn 1664.7.4 Automatiseringsprogramma’s voor sommen tot 10 1674.7.5 Aandachtspunten bij automatiseren en memoriseren 1684.7.6 Algemene aanwijzingen voor hulp bij rekenen 1704.7.7 De computer als hulpmiddel 171

5 Voortgezet rekenen 1745.1 Rekenen tot 100 1745.2 Leerdoelen en uitbreiding 1755.3 Hoe herken je problemen (signaleren)? 1785.4 Diagnostiek 1815.4.1 Optellen tot 100 1815.4.2 Aftellen tot 100 1845.4.3 Vermenigvuldigen 1865.4.4 Delen 1955.5 Hulp bieden 2005.5.1 Hulp bij rekenen tot 100 2025.5.2 Remediërende materialen 204

Literatuur 205

Over de auteurs 210

Register 211

Binnen het onderwijs zullen er altijd kinderen zijn met rekenproblemen. Hethangt van het gegeven onderwijs en de gegeven hulp af, in hoeverre dezekinderen daar veel hinder van ondervinden. Wie oog heeft voor de verschillentussen kinderen, zal proberen het onderwijs af te stemmen op het ontwikke-lingsniveau en de instructiebehoefte van het individuele kind. Hierdoor krijgtelk kind de kans zich op zijn eigen manier competent te voelen, zich te ont-wikkelen en zijn kennis en vaardigheden te vergroten.

Dit boek is bedoeld als handboek voor leerkrachten (in opleiding), remedialteachers en anderen die kinderen willen ondersteunen bij hun rekenontwik-keling. Daarbij hebben we het individuele kind in beeld en niet de groepwaarin een kind zit. We leggen ook de nadruk op het optimaliseren van hetonderwijs voor het individuele kind.

Deel 1 van Rekenen: een hele opgave is zowel een leidraad bij het voorkomenen signaleren van rekenproblemen als een hulpmiddel bij het diagnosticerenen het geven van hulp aan kinderen met rekenproblemen. Daarom biedt hetboek naast een theoretische basis vooral veel praktische richtlijnen en advie-zen.

In de eerste twee hoofdstukken gaan we uitgebreid in op algemene theorieënover het huidige rekenonderwijs, op problemen die kinderen kunnen onder-vinden bij (leren) rekenen en op mogelijkheden tot diagnostisering van dezeproblemen. De volgende drie hoofdstukken zijn meer gericht op de praktijkvan respectievelijk rekenonderwijs bij kleuters, aanvankelijk rekenen envoortgezet rekenen tot 100. Elk hoofdstuk begint met een beknopte beschrij-ving van de reguliere ontwikkeling, waarna we uitgebreider ingaan op devraag, wat een leerkracht kan doen met kinderen bij wie deze ontwikkelingstagneert.

We hebben ons bewust beperkt tot getallen en bewerkingen; vaardigheden diein de praktijk het grootste deel van het rekenonderwijs innemen en op zichzelfal een breed onderwerp vormen. Tijd, geld en meten hebben we buiten be-

9

schouwing gelaten. Deze onderwerpen komen in deel 2 van Rekenen: een

hele opgave aan bod.In het gepresenteerde onderzoeksmateriaal hebben we informatie uit deKwantiwijzer voor leerkrachten (Van den Berg et al., 1992) soms letterlijk, vaakgeparafraseerd en herhaaldelijk naar de intentie opgenomen. Het grootste deelvan dit materiaal is ook te vinden en downloaden op de website bij dit boek:www.rekeneneenheleopgave.nl. Daar vindt u ook gebruiksmaterialen enachtergrondinformatie.

In deze tweede druk hebben we uiteraard ook recente ontwikkelingen opge-nomen, waarbij het Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscal-

culie BaO/SBO/SO (Van Groenestijn et al., 2011) een leidende rol speelt.Ongetwijfeld geven andere boeken een veel uitvoeriger beschrijving van (de-len van) de rekenontwikkeling bij kinderen. Ook zijn er diverse uitgebreiderematerialen op de markt voor de remediëring van rekenproblemen. In dit boekhebben wij theorie en praktisch materiaal overzichtelijk bij elkaar gebracht.

De afgelopen jaren hebben ons verschillende reacties bereikt naar aanleidingvan de eerste druk van Rekenen: een hele opgave uit 2004. In deze nieuweversie hebben we zoveel mogelijk van deze reacties verwerkt.

Joep van Vugt

Anneke Wösten

’s-Hertogenbosch / Utrecht, voorjaar 2013

10

Voor alle kinderen die rekenen soms erg ingewikkeld vinden, en alleleerkrachten die alles uit de kast halen om deze kinderen te helpen.

De symbolen × en :In plaats van de symbolen × en : prefereren wij de symbolen * en /. Zoals in 8 *7 = 56 en 54 / 9 = 6. Het is eigenlijk vreemd dat we bij rekenen × en : ge-bruiken, terwijl we in de toepassing de symbolen * en / gebruiken, zoals incomputerprogramma’s als Excel, bij rekenmachines en op het (rechtergedeeltevan het) toetsenbord.Het gebruik van / bij delen heeft daarnaast als voordeel dat de relatie tussendelen en breuken meteen vanaf het begin aanwezig is. 6 / 2 = 3, zoals ook 6halven samen 3 delen zijn. En bij 1 / 3 krijgt ieder een derde.Maar omdat het gebruik van de symbolen × en : in de rekenmethoden gang-baar is, sluiten we ons hier in dit boek bij aan. Beide notaties komen dan voorin het boek.

11

Na een korte historische schets zetten we in dit eerste hoofdstuk een aantalbegrippen op een rij. We gaan vervolgens in op de relatie tussen taal en re-kenen, en vooral op de rol die taal speelt in de ontwikkeling van het rekenen.Ook gaan we na hoe je rekenproblemen kunt voorkomen door de inzet vandiagnostisch onderwijs, het directe instructiemodel en handelingsgericht wer-ken.Dit hoofdstuk kan veel herkenning oproepen, vooral bij lezers die recentelijkde lerarenopleiding volgden en daarin kennismaakten met de didactiek van hetrealistisch rekenen. Zij kunnen de in dit hoofdstuk gegeven informatie be-schouwen als een opfrisser.

1.1 De rekendidactiek

Als we de vele onderzoeken mogen geloven, lijkt er door de jaren heen veelveranderd te zijn in de rekendidactiek. Een blik in een groep aan het begin vande negentiende eeuw lijkt echter in sommige opzichten veel op wat we in hetonderwijs van vandaag aantreffen:

12

‘De kinderen deden allen hun eigen werkjes en de meester riep ze om beurten

bij zich om ze te overhoren. Het opzeggen van letters, cijfers, stukjes tekst,

catechismus, alles werd van buiten geleerd. Het schijnt in veel van die scholen

zo’n chaos geweest te zijn dat je aan het geschreeuw al van verre kon horen

waar de school stond. Niet alleen om een betere orde in de scholen te be-

werkstellen, maar ook om het feitelijk onderwijs efficiënter te laten verlopen,

heeft de overheid toen het klassikaal systeem ingevoerd. Tegelijk ook werd een

soort onderwijs gepropageerd dat zich meer op de ontwikkeling van de ver-

standelijke vermogens moest richten.’

Bron: De Moor, 1999, p. 24.

De ontwikkelingen in het hedendaagse rekenonderwijs zijn terug te voerennaar de renaissance en volgen elkaar pas na 1970 snel op. De eerste helft vande jaren zeventig van de vorige eeuw kende twee benaderingen in de reken-didactiek en -methodiek: een wiskundige, gericht op inzicht in wiskundigestructuren, en een meer traditionele, gericht op de vaardigheden die het me-chanistisch rekenen voor ogen heeft. Vanaf 1975 zien we dat een meer rea-listische rekentraditie ontstaat, naast een meer mechanistische rekentraditie,waarin rekenen bestaat uit het niet-inzichtelijk oefenen. Dit gebeurt onderinvloed van het Instituut Onderzoek Wiskunde Onderwijs (IOWO), afdelingWiskobas van de Universiteit Utrecht. Deze traditie lijkt zich inmiddels ver-spreid te hebben over het gehele onderwijs. Hoewel we op het moment vanschrijven van dit boek (begin 2013) ook zien dat het onderwijs weer teruggrijptnaar het traditionele rekenen. Dit is wellicht ingegeven door allerlei onder-wijsstatistieken en artikelen in landelijke dagbladen die laten zien dat ons re-kenonderwijs devalueert.In deze traditionele aanpak kiest men voor systematisch opgebouwde oefe-ningen van standaardrekenregels voor open aftellen, vermenigvuldigen endelen. Al doende gaat een kind begrijpen waarom die rekenregels altijd tot hetgoede antwoord leiden, krijgt het goed inzicht in het decimale getallenstel-sel en ontwikkelt het een groot zelfvertrouwen. Ook besteedt men aandachtaan realistische opgaven en oefenen de kinderen intensief met alle typenvragen uit de Citotoets. Men veronderstelt dat een kind op basis van verworveninzicht in het rekenen met hele getallen, kommagetallen en breuken, snel ziethoe het een som ‘handiger’ kan uitrekenen. Dit biedt dan weer grote voordelenbij de ‘handig rekenen’-vragen uit de Citotoets.Vanuit de traditionele rekenaanpak geeft men aan dat een kind weet dathet élke som kan uitrekenen met de standaardrekenmethoden. Hierdoor ont-staat veel zelfvertrouwen bij het kind en worden de Citovragen eenvoudiger.Deze standaardrekenregels – die je goed moet begrijpen en kunnen toepassen– kun je vervolgens in het vervolgonderwijs gebruiken bij het ‘rekenen metletters’. Je oefent eerst veel eenvoudige en gelijksoortige opgaven om routineop te bouwen. Daarna pas je de verworven kennis toe in eenvoudige con-texten. Hierna volgt herhaling en pas dan ga je aan het werk met complexereopgaven en toepassingen. Deze werkwijze is ook sterk gebaseerd op het me-

1Algem

enetheo

rievan

hetrekeno

nderw

ijs

13

moriseren van rekenfeiten (bijvoorbeeld de tafelproducten). Het automatiserenvan rekenrecepten (bijvoorbeeld optellen onder elkaar) gebeurt geleidelijk(Van de Craats, 1995).

Ons inziens hoeven de traditionele en meer realistische aanpak elkaar niet tebijten. Wij vinden het belangrijk dat (leren) rekenen plaatsvindt in de werke-lijkheid. Dat men vanuit concrete situaties naar een steeds hogere mate vanabstractie komt, tot op formeel niveau. Als kinderen vastlopen, kan de leer-kracht overstappen op een meer sturende instructie. Ongeacht welke didactiekmen kiest, het kunnen toepassen van kennis in reële situaties blijft een aan-dachtspunt. Waarbij een reële situatie meer omvat dan het kunnen maken vanCito-opgaven alleen.Het Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscalculie BaO/SBO/SO

(ERWD) gaat ervan uit dat het ‘begrijpen van rekenwiskundige concepten hetfundament is van een goede rekenwiskundige ontwikkeling’ (Van Groenestijnet al., 2011, p. 32) en dat kinderen leren rekenen binnen betekenisvolle con-texten: ‘Contexten helpen leerlingen om betekenis te verlenen aan het ab-stracte rekenen’ (Van Groenestijn et al., 2011, p. 48). In het dagelijks levenkrijgen rekenfeiten pas betekenis in een functionele situatie: 5 krijgt pas bete-kenis als je de 5 voorziet van een realiteit: 5 euro’s, 5 rode auto’s of 5 bossenrozen (hoe abstract is een 5 op je rapport; wat zegt die over je kwaliteiten?).Het getal zelf is een abstractie die pas in een reële context betekenis krijgt.De rekenontwikkeling doorloopt een proces, van informeel handelen viaperceptueel handelen (door middel van voorstellen en schematiseren) naarformeel handelen. In dit handelen ontwikkelen kinderen eigen oplossings-procedures, door zelf ‘actief, productief en constructief’ te werken (VanGroenestijn et al., 2011, p. 48) met basisbewerkingen en algoritmes (een reeksinstructies om vanaf een beginpunt een bepaald doel te bereiken). Ook hierblijft de toepassing van de basisbewerkingen en algoritmes in het dagelijksleven, maar ook in ‘verhaaltjessommen’, een vaardigheid waar men binnen hetonderwijs specifiek aandacht aan moet besteden.

1.2 Realistisch rekenen

Realistisch rekenen vindt plaats op basis van de zogenoemde reconstructie-didactiek: je zet kinderen aan tot het zelf ontdekken en zich eigen maken vanbestaande rekenkundige kennis. Dit in tegenstelling tot de reproductiedidac-tiek, waarin kinderen leren rekenen door voor- en nadoen. Bij de vorming vanrekenbegrippen en de toepassing ervan maak je gebruik van de betekenisvollerealiteit van kinderen. Je werkt vanuit contexten. Bij rekenen gaat het om hetverwerven van inzicht en een actieve inbreng van kinderen. Ook onderwerpenals grafieken, statistiek en meetkunde krijgen een plaats. Hierdoor ontstaathouvast bij het inoefenen van kale sommen. Bovendien vindt de toepassing

14

uiteindelijk toch in de realiteit plaats. Contextopgaven hebben een wezenlijkebetekenis: de contexten hebben te maken met de ervarings- en belevingswe-reld van kinderen (de alledaagse of fantasiewerkelijkheid). De kinderen con-strueren zelf de rekenwerkelijkheid die nodig is om de problemen die zich ineen situatie voordoen het hoofd te bieden, al dan niet onder (bege)leiding vanhun leerkracht.

1.2.1 Modellen en schema’sEen belangrijk onderdeel van het realistisch rekenen is het gebruik van mo-dellen en schema’s die een brug slaan van het reële contextprobleem naar derekentaal met abstracte symbolen. Modellen zijn instrumenten om de werke-lijkheid te ordenen en te structureren (plattegrond, honderdveld, tabellen, pa-pieren abacus, bus- en roostermodel). Daarnaast maken we gebruik vanstructuurmateriaal met de tien- of de vijfstructuur (rekenrek en getallenlijn).Kinderen bedenken zelf oplossingsprocedures voor een probleem. Inzichtelijkrekenen neemt de plaats in van trucmatig cijferen: het hoe en waarom van dereceptmatige handeling staat voorop. Vanuit de oriëntatie op en de uitvoeringvan een concrete handeling komt een kind via schematisering tot ‘het product’(progressieve schematisering).

1.2.2 ReflectieRealistisch rekenen nodigt uit tot reflectie. Reflectie bevordert het leren; louteren alleen handelen leidt nauwelijks tot leereffecten. Door oplossingsproce-dures en -resultaten met elkaar te vergelijken, krijgen kinderen meer inzicht inhun eigen handelen en vergroten ze hun kennis en vaardigheden. Als kleutersbijvoorbeeld kralen rijgen en ze niet even stilstaan bij het handelen zelf – bijwat ze doen – leren ze niet dat het handig is om goed op de patronen te letten.Reflecteren is nodig om samen te komen tot een aanpakstrategie.Het realistisch rekenonderwijs benadert de gehanteerde begrippen op eenveelzijdige wijze, ervan uitgaande dat een begrip meestal diverse kanten heeft.Zo is een breuk bijvoorbeeld een verdeelopdracht en het resultaat van ver-delen. Maar een breuk is ook een verhouding, een kans, een vergrotingsfactor,een meetresultaat, een punt op de getallenlijn en een rekengetal. Een andervoorbeeld is het getalbegrip dat gebaseerd is op de gedachte dat je aan eengetal een aantal-, volgorde-, meet- en rekenaspect kunt onderscheiden. Tijdensreflectiemomenten vergelijken kinderen hun oplossingswijze met elkaar enbespreken ze de kwaliteit ervan. Ze gaan daarbij vooral na, welke van degebruikte strategieën te verkorten zijn en daarmee het predicaat ‘handig re-kenen’ krijgen. Realistisch rekenen vraagt er ook om dat kinderen zelf opgavenbedenken. Hierdoor gaan kinderen reflecteren op het eigen leerproces. Bo-vendien leidt dit soort opdrachten tot een grotere betrokkenheid.

1Algem

enetheo

rievan

hetrekeno

nderw

ijs

15

1.2.3 DiscussieTijdens realistisch rekenen discussiëren kinderen over oplossingen, oplos-singsaanpakken (processen) en zelfs over betekenissen. Binnen het realistischrekenonderwijs staat interactie centraal: er is sprake van een actieve inbrengvan de kinderen, overleg, samenwerking, discussie en nabespreking. Interactievraagt om overtuigingskracht, waarvoor goede argumenten en heldere rede-neringen de basis vormen. Maar het vraagt ook en vooral om inleving in enbespreking van elkaars oplossingswijzen, zodat beide zich gezamenlijk ont-wikkelen en een hoger niveau bereiken. In de mechanistische traditie was deleerkracht de expert (autoriteit) op het gebied van de leerstof en ging men ervanuit dat kinderen alles nog moesten leren.

1.2.4 InteractieKinderen rekenen op verschillende wijzen. Gebruik van goed structuurmate-riaal laat een flexibele aanpak toe. Leren rekenen gebeurt ook in interactie metanderen. Door interactie leer je je denken en handelen te verwoorden, leer jete praten over rekenhandelingen. Samen met anderen zoek je steeds handigereoplossingen en ontwikkel je denkschema’s. Je denkt mee met elkaars oplos-singen, probeert mee te gaan in elkaars denkspoor om zo een niveauverhogingte realiseren in het denken van alle betrokkenen.Naast samenwerking vormt ook individueel werken een basis voor het di-dactisch handelen van de leerkracht. Gevarieerd oefenen (automatiseren enmemoriseren) staat centraal. Je leert tafels niet door de rijtjes op te zeggen,maar door te werken met steun- of ankerpunten die je in een 100-veld inkleurt,puzzels, tafelspelletjes, tabellen, cijferraadsels, doolhoven, enzovoort. Er isaandacht voor directe toepassingen: gevarieerd oefenen, beoefenen (in de fasevan het automatiseren) of gericht inoefenen. Het gaat erom dat kinderen vloten goed kunnen omgaan met rekenopgaven, op basis van inzicht en begrip.Tot slot van deze paragraaf merken we op dat realistisch rekenen een duide-lijke structuur vertoont en een grote samenhang kent met andere leerstofon-derdelen. Door de structuur kun je dingen gemakkelijker onthouden dan ineen situatie waarin je louter losse feiten leert.

1.3 Voorbereidend, aanvankelijk envoortgezet rekenen

In deze paragraaf bespreken we het onderscheid tussen voorbereidend, aan-vankelijk en voortgezet rekenen.

16

1.3.1 Voorbereidend rekenen (ontluikendegecijferdheid)Voorbereidend rekenen richt zich op het verwerven van getalbegrip, classifi-ceren, heen-en-terugtellen tot 20, verkennen van rekenkundige begrippen(veel, weinig, meer, minder, enzovoort), leren van basisvaardigheden voormeten (vormen, eigenschappen, vergelijken, ordenen), meten en tijd (tijds-verloop, synchroniteit, enzovoort) en operaties (erbij doen, samenvoegen,weghalen, telkens wegnemen). Het is hierbij niet noodzakelijk dat een kinddeze rekenactiviteiten direct met volledig begrip van hoeveelheid kan uit-voeren en kwantificeren. Voorbereidend rekenen speelt zich vooral af in groep1 en 2 van het basisonderwijs en gaat geleidelijk over in het aanvankelijk re-kenonderwijs.Voorbereidend rekenen vormt de basis van alle rekenen. Veel rekenproblemenzijn terug te voeren op onvoldoende ontwikkelde voorbereidende rekenvaar-digheden (Geary, 1990; Van Luit, 1987). ‘Ongeveer een kwart van de kinderenhalverwege groep 2 blijkt voorbereidende rekenvaardigheden, zoals classifi-ceren, seriëren, corresponderen, maar ook telvaardigheden, zoals het syn-chroon en het resultatief tellen, niet of niet juist toe te passen. Halverwege geldtdat nog altijd voor ruim 10% van de kinderen’ (Van de Rijt et al., 1995, p. 219-233).

1.3.2 Aanvankelijk rekenenAanvankelijk rekenen sluit aan op voorbereidend rekenen. Het richt zich op debeheersing van de basisvaardigheden open aftellen, vermenigvuldigen endelen. Aanvankelijk rekenen houdt zich vooral bezig met open aftellen tot20, overbruggen van het tiental, verkennen van het rekenkundig begrip ‘isgelijk aan’ (één-één-relatie), tellen met grotere sprongen op de getallenlijn (2en meer) en ontdekken van regelmatigheden hierin, herhaald open aftellen,verkennen van de getallenrij tot 100, exploreren van eenheden en tientallen enverkennen van eenvoudige meet-, tijd- en geldbegrippen.Vanaf groep 3 leren kinderen eerder opgedane ervaringen beschrijven in eenformele symbolentaal. Tijdens het aanvankelijk rekenen leg je voortdurend eenrelatie tussen eigen ervaringen en de formele rekentaal. Het is dan belangrijkdat de leerkracht kinderen regelmatig in staat stelt een rijk scala aan ervaringenop te doen, ze te laten spelen of experimenteren, hun ervaringen te verrijken.Een overhaaste start met het aanvankelijk en intentioneel – doelgericht, doorde leerkracht gestuurde – rekenonderwijs belemmert de ontwikkeling.

1.3.3 Voortgezet rekenenIn groep 4 gaat aanvankelijk rekenen over in voortgezet rekenen. Voortgezetrekenen richt zich vooral op rekenen boven 20. Doel hiervan is het verwervenvan de benodigde vaardigheden voor cijferen, verhoudingen en procenten,breuken en kommagetallen, meten en meetkunde. Het gaat hierbij om een

1Algem

enetheo

rievan

hetrekeno

nderw

ijs

17

uitbreiding met nieuwe onderwerpen en om een verdieping van de basis-vaardigheden. In deel 2 van Rekenen: een hele opgave (Van Vugt en Wösten,2011) komen deze thema’s uitgebreid aan de orde.In de voorbije jaren is veel nationaal en internationaal onderzoek uitgevoerdnaar de kwaliteit van het Nederlandse rekenen wiskundeonderwijs. Op grondvan deze onderzoeken mag je concluderen dat er (over de gehele breedtegenomen) geen reden is om aan te nemen dat de kwaliteit van het Nederlandsereken- en wiskundeonderwijs beneden de maat is. Iets wat je van een ont-wikkeld land ook niet zou mogen verwachten.Het onderwijs in rekenen en wiskunde wil kennis, inzicht en vaardighedenontwikkelen. Hierin is een drietal componenten te onderscheiden (Meijerink etal., 2008):1 Paraat hebben van feiten en begrippen, routines, technieken, vaardigheden.2 Functioneel gebruiken en toepassen van kennis binnen en buiten school.3 Weten waarom, begrijpen en verklaren van concepten en methoden, for-maliseren, abstraheren en generaliseren, blijk geven van overzicht.

Eenmaal verworven basiskennis en vaardigheden moet je natuurlijk onder-houden, zodat ze beschikbaar blijven voor functioneel gebruik of voor verdereverbreding of verdieping van je begrippenkader. Meijerink et al. (2008) tonenaan dat de leerlijnen rekenen en wiskunde die in het primair onderwijs zijnaangebracht, stoppen als kinderen naar het voortgezet en middelbaar be-roepsonderwijs gaan. Daarom hebben Meijerink et al. (2008) referentieniveausvastgesteld, die zijn gebaseerd op de drie componenten paraat hebben, func-tioneel gebruiken en weten waarom. Deze referentieniveaus zijn beschrevenin vier subdomeinen (samenhangende netwerken van rekenfeiten, begrippenen rekenoperaties): Getallen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde en Ver-banden. De referentieniveaus beschrijven de gewenste opbrengsten van on-derwijs in termen van wat kinderen moeten kennen en kunnen, waarbij menonderscheid maakt tussen typen kennis en vaardigheden met bijpassende be-heersingsniveaus (figuur 1.1).De referentieniveaus zijn beschreven voor de leeftijden twaalf, zestien enomstreeks achttien jaar. Ze bestaan ieder uit vier niveaus waarin we tweekwaliteiten onderscheiden: een fundamentele kwaliteit (1F, 2F en 3F) en eenstreefkwaliteit (1S, 2S en 3S). Tussen de niveaus in het referentiekader is sprakevan overgangen (drempels): cesuren in de ontwikkeling van kinderen dieontstaan door overstappen die kinderen maken binnen het onderwijssysteem.De streefkwaliteit is de eerstvolgende fundamentele kwaliteit in het referen-tiekader. Een fundamentele kwaliteit is het niveau van een vaardigheid zoalsten minste 75% van de kinderen die nu waarschijnlijk beheerst.

18

1.1 Referentieniveaus rekenonderwijs. (Bron: Bron: Meijerink et al., 2008.)

Naast de toetsbare componenten kennis en vaardigheden zijn er ook andereaspecten van belang in goed onderwijs:

■ leren reflecteren op eigen kennis en aanpak;

■ ontwikkelen van zelfvertrouwen en van een positieve houding ten aanzienvan het leren van rekenen en wiskunde.

Op de basisschool houdt het onderwijs zich vooral bezig met de subdomeinenGetallen en Meten en Meetkunde. Het basisonderwijs maakt een begin met deopbouw van het subdomein Verhoudingen en biedt mogelijk een eerste aanzetvoor het subdomein Verbanden (bestuderen van grafieken en diagrammen enontdekken en voortzetten van een regelmaat in patronen van stippen of blokjesof van getalpatronen of het generaliseren naar een woordformule (informelealgebra)).In het subdomein Getallen gaat het om drie soorten getallen (geheel, decimaal,breuken), om de operaties open aftellen, vermenigvuldigen en delen en omhet gebruiken van getallen in praktische situaties. Al vanaf 2006 bestaan voorhet basisonderwijs de volgende kerndoelen voor het domein Getallen:

■ Doorzien van de structuur van en samenhang tussen aantallen, gehele ge-tallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen ener in praktische situaties mee rekenen.

■ Uit het hoofd uitvoeren van basisbewerkingen met gehele getallen tot 100en snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij open aftellen tot 20 en de tafels vanvermenigvuldiging van buiten gekend zijn (gememoriseerd).

■ Schattend kunnen tellen en rekenen.

■ Handig kunnen open aftellen, vermenigvuldigen en delen.

■ Schriftelijk kunnen open aftellen, vermenigvuldigen en delen volgensmeer of minder verkorte standaardprocedures.

■ De rekenmachine met inzicht kunnen gebruiken.

1Algem

enetheo

rievan

hetrekeno

nderw

ijs

19

In deel 2 van Rekenen: een hele opgave (Van Vugt en Wösten, 2011) gaan wehierop verder in, omdat het in dat deel van een grotere relevantie is.

1.4 Rekentaal

Taal speelt een belangrijke rol bij het leren rekenen. Rekenen is een eigenmanier van uitdrukken, een eigen taal. Rekenen kun je dan ook zien als hetleren van een tweede (of derde) taal. Tijdens het rekenen komen kinderen inaanraking met een nieuwe manier van uitdrukken. Ze leren de formele uit-drukkingswijze te gebruiken die bij rekenen hoort. De rekentaal heeft eigentermen en uitdrukkingen, eigen regels en symbolen en is een andere taal dande spreek- en schrijftaal. Rekenen vraagt van kinderen dat ze die rekentaalbeheersen, dat ze er de realiteit om zich heen mee kunnen ordenen en be-schrijven met behulp van verschillende begrippen.De formele taal van het rekenen is voor veel kinderen onbekend. Als kind leerje al jong verschillende algemene hoeveelheidsbegrippen (veel, weinig, alles),relaties tussen hoeveelheidsbegrippen (meer, minder, over, te kort, evenveel)en handelingen met aantallen (wegnemen, nog een pakken, erbij doen). Maarondanks deze kennis hebben kinderen soms geen idee wat de bedoeling is vanin schooltaal geformuleerde rekenopdrachten. Hierbij helpt ons taalgebruiksoms ook niet. Vroeger bracht of haalde je geld van een bank. Maar welkebank heeft nog het woord ‘bank’ in zijn naam? En wat doe je als je vader thuiszegt dat hij € 5.000 op de bank heeft staan als hij net een nieuwe bank heeftgekocht waar je lekker op kunt zitten? Daarnaast leer je als kind ook een aantalspecifieke termen in versjes en liedjes (‘Heb je wel gehoord van de zeven dezeven?’), namen van concrete hoeveelheden (twee ogen, twee handjes, éénkoekje – en wat doe je dan met ‘één paar’?) en kwantificeringen van hande-lingen (ik zeg het maar één keer, ik heb je nu driemaal gewaarschuwd).Het kunnen omzetten van logische relaties in rekentaal en het kunnen afzienvan de concrete werkelijkheid, en omgekeerd, de concrete werkelijkheidkunnen vertalen naar abstracties (formaliseren), vereist veel aandacht in hetproces van leren rekenen (Ruijssenaars et al., 2006).

1.4.1 ContextenTaalgebruik, betekenis en context hebben alles met elkaar te maken. Er issprake van betekenisverlening binnen een context. Een goede context staat aande basis van het leren rekenen en helpt kinderen structuren te ontdekken enrichting te geven aan het rekenproces. Zo nodigt de context van de cam-pingbaas die 74 plaatsen heeft waarvan de eerste 67 al gevuld zijn, uit totverder tellen van 67 naar 74 wanneer je de vraag stelt, hoeveel plekken hij nogvrij heeft. De contexten of verhaaltjessommen waarbij kinderen een opgave uiteen tekst moeten destilleren, zoals de opgaven uit de Citotoets, staan juist meer

20

aan het eind van het leerproces. In dit geval moeten kinderen zelf herkennenwelke geleerde vaardigheden zij moeten toepassen en is er dan ook sprake vantoepassingsopgaven.Tijdens het rekenen proberen we alledaagse situaties te ‘vertalen’ in rekentaal,waarbij we rekening moeten houden met de regels van het rekenen. Zondercontext heeft rekentaal geen inhoud. Kinderen leren de rekentaal vanuitveelbetekenende situaties. De betekenis die kinderen aan woorden geven,vormt de basis voor het leren van de rekentaal. Kinderen brengen hun ge-dachten onder woorden, proberen groepsgenoten en de leerkracht te begrij-pen, maken kritische opmerkingen over elkaar en onthouden wat ze leren. Methulp van de volwassene groeit de omvang van de rekentaal, met name inprecisie en rijkdom. De leerkracht vult deze taal aan en leert de kinderen zo deformele rekentaal.

1.4.2 Thuistaal versus schooltaalDe rekentaal kent woorden die je ook thuis en op straat gebruikt. Hierdoor ishet soms lastig te begrijpen wat iemand precies bedoelt. Als iemand zegt: ‘Jemoet een grote vent zijn,’ dan legt hij een (oneigenlijke) verbinding tussen debegrippen ‘groot’, ‘volwassen’ en ‘stoer’, en niet met de lengte, waar het woord‘groot’ ook betrekking op heeft. Een Marokkaans kind zal een dergelijke zinmogelijk nóg anders interpreteren, omdat ‘moet’ in de eigen taal ‘dood’ of‘sterf’ betekent (in verwijtende zin), en dat kan toch geenszins de bedoelingzijn van de spreker. Ook zijn er woorden, zowel thuis als op school, die pasbetekenis krijgen in een bepaalde context: ‘Je bent groot voor je leeftijd, entoch ben je klein.’Rekenen is voor kinderen een nieuwe manier van werken met aantallen, metinbegrip van een nieuwe manier van uitdrukken, met nieuwe termen ensymbolen. Het probleem voor leerkrachten is hoe zij kinderen kunnen helpenom hun concrete ervaringen met hoeveelheden en aantallen te verbinden metdeze nieuwe taal van het rekenen. Woorden als ‘groot’, ‘klein’, ‘ver’ en ‘laat’hebben op school vaak een speciale en eigen betekenis. Ze zijn verbondenmet afspraken in de klas en met materialen. Als je als leerkracht op schoolalleen in schooltaal denkt en spreekt, dan houd je onvoldoende rekening metde thuistaal.

1.4.3 SymbolenHet komt ook voor dat kinderen op school woordbetekenissen leren die jebijna alleen op school gebruikt: ‘Begin maar voor aan de regel,’ of ‘8 is groterdan 4.’ Op school maak je afspraken over het gebruik van symbolen. Wekunnen kinderen helpen bij het leren van die symbolentaal, door na te gaanhoe kinderen uit zichzelf aantallen symboliseren nog voordat ze kennismakenmet de afspraken die in de rekenles gelden. Een leerkracht gaat echter nietaltijd even zorgvuldig na of kinderen de betekenis van symbolen een plaats

1Algem

enetheo

rievan

hetrekeno

nderw

ijs

21

Rekenen: een hele opgave deel 1

Documents

Transcript of Rekenen: een hele opgave deel 1