Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/

Waarnemingen die de basis vormen van het Oerknalmodel

- Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels - Kosmische Achtergrondstraling - Voorwereldlijke Nucleosynthese Hubble’s wet en de leeftijd van het heelal

Roodverschuiving

0 H0

1 , 14 miljard jaarV H D tH

= ≡

( )obs em1 , (voor niet te grote afstand)z z Dλ λ= + ∝

0

roodverschuiving (1)

Doppler effect: 1 (2)

(1) + (2) (Hubble's wet!)

obs em

em

obs em

z

Vc

H DVzc c

λ λλ

λ λ

−≡

= + ×

⇒ = =

[ ] [ ]0 0

0

vluchtsnelheid 1 =afstand

1 leeftijd heelal (~ 14 miljard jaar)H

H Ht

tH

= ⇒

≡

Leeftijd heelal:

[ ] [ ]0 0

0

vluchtsnelheid 1 =afstand

1 leeftijd heelal (~ 14 miljard jaar)H

H Ht

tH

= ⇒

≡

De lichtsnelheid is eindig: c~300,000 km/s! Je kunt niet verder kijken dan

0

14 miljard lichtjaarH Hcd ct

H=

Leeftijd heelal:

Horizonschaal:

Historische bepalingen Hubble constante H0

H0 ~ 68 km/s per Mpc

• Lichtsnelheid (c) is een universele constante; - snelheden zijn niet simpel op te tellen of af te trekken.

• Ruimte en tijd zijn “dynamisch” en niet vast: - afstandsmeting en gemeten kloksnelheid hangen af van de toestand van de waarnemer; • Zwaartekracht (massa) bepaalt de geometrische eigenschappen van ruimte-tijd.

Klassieke Friedmann modellen: Friedman-Lemaitre model:

M0, 0ΛΩ = Ω ≠

M & 0ΛΩ Ω ≠

Mmaterie-dichtheid

dichtheid vlak heelal

vacuum-dichtheiddichtheid vlak heelalΛ

Ω ≡

Ω ≡

Verschillen Newton/Einstein (Algemene Relativiteit) Newton Einstein (ART)

Ruimte is: Vast, vlak, absoluut en onveranderlijk

Dynamisch, kan worden vervormd: ruimte-kromming!

Tijd is: Universeel: voor iedere waarnemer gelijk

Hangt af van status waarnemer: - zijn/haar snelheid; - sterkte zwaartekracht

Lichtsnelheid (c) is: Oneindig Universeel, gelijk aan c

Universele expansie is:

Beweging door vaste ruimte: expansie heeft altijd een middelpunt

Uitzetten van de ruimte zelf: er is géén middelpunt!

• Hubble’s wet: Ja, met subtiel andere interpretatie;

• Friedmann’s vergelijkingen: idem;

• Kromming heelal: Strikt genomen: nee!

• Horizon begrip: Vereist slechts acceptatie eindige lichtsnelheid+ eindige leeftijd heelal

• Beschrijving materie in Ja, met behulp van een klein beetje een uitdijend heelal : quantummechanica; • Donkere energie: Ja, door introductie vacuümdichtheid;

De vergelijking die ons vertelt hoe het heelal uitdijt!

The ‘rubber ruler’ analogie voor Hubble’s wet:

Iedere (voldoend grote) afstand in een uitdijend heelal is te schrijven als:

( ) ( ) : constante met dimensie [l],

die van object tot object,( ) functie van de tijd.

D t aR ta

verschiltR t universele

==

=

Pas op: R(t) is niet “ de straal van het heelal”: R(t) is dimensieloos!

• Afstandsverhoudingen veranderen niet;

• Expansie is in alle richtingen even snel (isotropie);

• Expansie is overal even snel (uniformiteit);

• Te bewijzen: het leidt tot Hubble’s wet!

Waarnemer

waarneemtijdstip t1

waarneemtijdstip t2 > t1

Sterrenstelsel B

Sterrenstelsel A

Schaalfactorverhouding!

De ballon- analogie (in twee dimensies!)

00

0 0

( )(

( )( ) )

D D tR R

Dt

R tt DR

= × ⇔ =

0

0

huidige waarde afstandhuidige waarde ( )

DH H t

==

00

0 0

( )(

( )( ) )

D D tR R

Dt

R tt DR

= × ⇔ =

0

0

dD dRVdt dt

DR

= =

0

0

0

huidige waarde afstandhuidige waarde ( )

= huidige waarde schaalfactor

DH H tR

==

00

0 0

( )(

( )( ) )

D D tR R

Dt

R tt DR

= × ⇔ =

1 dR dR D H Ddt R t

DR d = = × ≡ ×

0

0

dD dRVdt dt

DR

= =

0

0

0

huidige waarde afstandhuidige waarde ( )

= huidige waarde schaalfactor

DH H tR

==

00

0 0

( )(

( )( ) )

D D tR R

Dt

R tt DR

= × ⇔ =

1 dR dR D H Ddt R t

DR d = = × ≡ ×

1 dRHR dt

≡Conclusie:

0

0

dD dRVdt dt

DR

= =

0

0

0

huidige waarde afstandhuidige waarde ( )

= huidige waarde schaalfactor

DH H tR

==

Aanname D(t)=aR(t) leidt automatisch tot Hubble’s wet V(t) = H(t)D(t) !

0

01 d 1 d( ) ,

d d t t

R RH t HR t R t =

= =

Aanname D(t)=aR(t) leidt automatisch tot Hubble’s wet V(t) = H(t)D(t) !

Consequenties: 1. De Hubble constante is i.h.a. helemaal niet constant!

2. De keuze van de schaalfactor R(t) is nogal arbitrair: een schaaltransformatie R(t) λR(t) , a a/λ verandert niets!

0

01 d 1 d( ) ,

d d t t

R RH t HR t R t =

= =

De vergelijking die ons vertelt waarom en hoe snel het heelal uitdijt!

Friedmann’s wet via Newtons wetten voor beweging en zwaartekracht (!)

• Deze afleiding gebruikt Newtonse Zwaartekracht;

• Friedmann gebruikt Algemene Relativiteitstheorie; • Vergelijking ziet er hetzelfde uit, maar.......

• ...................................................de interpretatie is anders!

Test-sterrenstelsel met massa m, op de rand van een uniform gevulde en expanderende bol met massa M en straal r(t)=aR(t).

Een test-sterrenstelsel met massa m, op de rand van een uniform gevulde, expanderende bol met massa M en straal r(t)=aR(t). Belangrijke grootheid: massa-dichtheid in de bol

33 3

massavolume bol 4 / 3 4 / 3

M M Rr a

ρπ π

− = = =

Twee mogelijke methodes van aanpak: 1. Wet van energiebehoud

2. Bewegingsvergelijking

212

2

( ) constant,4( ) ( )

3

mV m rGM Gr r r

rπ ρ

+ Φ =

Φ = − = −

2

2 2

d r d GMmm mdt dr r

Φ= − = −

Newtoniaanse afleiding m.b.v. energiebehoud:

212

3

constant

Universele expansie: ( )Hubble's wet:

4Massabehoud: constant3

GMmE mVr

r aR tV Hr

M rπ ρ

= − =

==

= =

Test-sterrenstelsel met massa m :

Energie-behoud:

212

kinetische energiegravitationelepotentiele energie

G mE mrMV= −

Hubble’s wet: ( )V t Hr=

Massa in bol: 343

M rπ ρ=

212

kinetische energiegravitationelepotentiele energie

G mE mrMV= −

Hubble’s wet: ( )V t Hr=

Massa in bol: 343

M rπ ρ=

2 2 212

kinetische energiegravitationelepotentiele energie

43GE mH r mrπ ρ

= −

Energie-behoud:

Energiebehoud + Hubble’s wet geeft dus:

2 2 2

22 21

2

22

2

2

42 3

Uitdelen van de gemeenschappelijke factor

:2

1 8( ) ( ) 3

met 2 / constant

m GmH r r E

mamr R

dR G kH t tR dt R

k E ma

π ρ

π ρ

− =

=

= = −

= − =

Alexander Friedmann

Type oplossingen (globale indeling)

dicht (gesloten)

heelal

ijl (open) heelal vlak

heelal

“Leeftijd” t-t0 (in miljarden jaren)

(dit vereist de speciale kritische dichtheid)

Standaardheelal (Friedmann, 1922/24)

0 0( ) 1R R t= =

0t t=

Relativiteitstheorie: het teken van k bepaalt de geometrie van het heelal

k > 0 (E < 0)

k < 0 (E > 0)

k = 0 (E = 0)

Speciale klasse modellen: vlakke modellen met k=0.

Friedmann’s vergelijking wordt:

22 1 d 8 ( )

d 3R GH t

R tπ ρ = =

Speciale klasse modellen: vlakke modellen met k=0.

Friedmann’s vergelijking wordt:

22 1 d 8 ( )

d 3R GH t

R tπ ρ = =

Voor de oplossing heb je een dichtheidswet nodig, b.v.:

3

00

( )( ) R ttR

ρ ρ−

=

Expliciete oplossing voor ρ ~ R-3: 2 3

2 30 0

31/20 0

constante!

2/3

0 00 0

81 d 8 ( )d 3 3

8dd 3

1Oplossing: ( ) met 6

G RR GH t RR t

G RR Rt

tR t R tt G

π ρπ ρ

π ρ

π ρ

−

−

= = =

⇔

=

= =

Kritische Dichtheid: de speciale dichtheid van het vlakke model

22 0 00 0 kr

27 30 017

11 2 2

8 3 3 8

167 km/s per Mpc = 8, 46 10 kg/m4,60 10 s

6,67 10 N m / kg

G HHG

H

G

π ρ ρ ρπ

ρ −

−

= ⇔ = ≡

⇒ = ××

= ×

De Omega-parameter(s)

2

massa-dichtheid 8kritische dichtheid 3

GHπ ρ

Ω = =

1. Meet Ω en je kent de toekomst van het heelal! 2. Een vlak heelal heeft altijd Ω=1

tijd: H0 t

Scha

alfa

ctor

R(t)

Hoge dichtheid

Kritische dichtheid

Lage dichtheid

Ω >1

Ω = 1 Ω < 1

Kosmologische classificatie van Friedmann modellen:

Nogmaals de roodverschuiving

Afstand bij ontvangst van het foton

tijd

0

( ) ( )( )

1

( ) ( )lim

obs em

em

t

t t tzt

dz tdt

d t t tdt t

λ λ λ λλ λ

λλ

λ λ λ∆ →

− + ∆ − ≡ = ⇒ ≈ ∆

+ ∆ − =∆

Uit de definitie van roodverschuiving:

Berekening voor kleine afstand!

Uit de Doppler formule + Hubble wet:

( )1

afstandlichtsnelheid

em em

em

V V HDczc c

z H tDtc

λ λ

λ

+ −= = =⇒ ≈ ∆

∆ = ≈

obs em 1 Vc

λ λ = × +

Twee uitdrukkingen voor roodverschuiving:

1

1 1

dz tdt

d dRHdt R dt

z H t

λλ

λλ

≈ ∆ ⇒ = =

≈ ∆

van tijdsafgeleide:

Doppler formule + Hubble:

Definitie van de Hubble ‘constante’:

1 1 d dR d dRdt R dt Rλ λ

λ λ= ⇔ =

1 1 d dR d dRdt R dt Rλ λ

λ λ= ⇔ =

( ) ( )

( )

( ) ( ) ln ln ( )

( ) ( ) ( )

em em

t R t

em emR t

emem

d dR t R tR tR

R tt R t

λ

λ

λ λλλ

λ λ

= ⇔ =

⇔ = ×

∫ ∫

Newton/Doppler: de snelheid van de bron is een snelheid door de vaste ruimte: λ=(1+z)λem geldt meteen vanaf het emissie-tijdstip in het ruststelsel van de waarnemer!

Einstein/Doppler: de ruimte zelf expandeert, de bron “staat stil”! De roodverschuiving bouwt geleidelijk op tijdens de reis van het foton!

0 0em obs 0 em em

em em em

( )( )( ) , ( ) ( ) ( ) ( )

R t RR tt tR t R t R t

λ λ λ λ λ λ

= = = ≡

stilstaand sterrenstelsel

“bewegend” sterrenstelsel t.g.v.

expansie heelal

Golflengte wordt geleidelijk langer

In een uitdijend heelal met schaalfactor R(t):

em 0em 0

( ) ( )( ) or ( ) , ( ) ( ) or ( )( ) ( )

R t R tR t t D t R t D t DR t R t

λ λ λ

∝ = ∝ =

Samenvatting: