Inhoudsopgave

0.1 Voorwoord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.1 Inhoud van het vak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.2 Onderwijsvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.3 Tijdsbesteding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.4 Tentaminering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.1.5 Assistentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Het formalisme van de quantummechanica 71.1 Hermitisch toegevoegde operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 id

dxals hermitische operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 De bra-ket notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Plaatsrepresentatie en impulsrepresentatie . . . . . . . . . . . . . 121.5 Eigentoestanden van de plaatsoperator en van de impulsoperator 171.6 Operatoren in de plaatsrepresentatie en impulsrepresentatie . . . 181.7 De Schrödingervergelijking in de plaatsrepresentatie en impuls-

representatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Een basis van eigentoestanden van de harmonische oscillator . . . 211.9 Unitaire en isometrische operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.10 Het energiespectrum van een sterk gepiekte potentiaalput . . . . 271.11 De exponent van een lineaire afbeelding . . . . . . . . . . . . . . 281.12 Formele oplossing van de Schrödingervergelijking . . . . . . . . . 291.13 De stelling van Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.14 Een scherp bepaald meetresultaat in een eigentoestand . . . . . . 331.15 Een gaussisch golfpakketje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.16 Het Schrödingerbeeld, het Heisenbergbeeld en het interactiebeeld 341.17 De harmonische oscillator in het Heisenbergbeeld . . . . . . . . . 361.18 Een gestoorde harmonische oscillator in het interactiebeeld . . . 371.19 Translaties en impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.20 Symmetrieën en behoudswetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.21 Commuterende operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.22 Enkele postulaten van de quantummechanica . . . . . . . . . . . 411.23 De viriaalstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.24 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1

2 Impulsmoment 472.1 De baanimpulsmomentoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2 De baanimpulsmomentoperator in de plaatsrepresentatie . . . . . 492.3 Rotaties en baanimpulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4 Algemene theorie van het impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . 532.5 Eindig-dimensionale impulsmomentoperatoren . . . . . . . . . . . 582.6 Bolfuncties en de baanimpulsmomentoperator . . . . . . . . . . . 592.7 Bolfuncties en bolsymmetrische potentialen . . . . . . . . . . . . 612.8 Een waterstofachtig atoom en een bolsymmetrische potentiaalput 642.9 Het Zeemane ect en deeltjes met spin . . . . . . . . . . . . . . . 662.10 Baanruimte en spinruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.11 Rotaties en spinimpulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.12 Spin-12 deeltjes en de postulaten van de quantummechanica . . . 762.13 Een elektron in een tijdsafhankelijk magneetveld . . . . . . . . . 772.14 Twee spin-12 deeltjes in een magneetveld . . . . . . . . . . . . . . 792.15 Spin-baan koppeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.16 Het optellen van twee impulsmomenten . . . . . . . . . . . . . . 822.17 Direct-produkt toestanden en totaal-impulsmoment toestanden . 862.18 Scalaire operatoren en vectoroperatoren . . . . . . . . . . . . . . 902.19 Het Wigner-Eckart theorema voor scalaire operatoren . . . . . . 922.20 Selectieregels voor vectoroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 932.21 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3 Identieke deeltjes 953.1 De verwisselingsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2 Identieke deeltjes zonder onderlinge interactie . . . . . . . . . . . 983.3 Systemen van onderscheidbare deeltjes, en van identieke fermio-

nen dan wel bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.4 Identieke deeltjes met een harmonische wisselwerking . . . . . . . 1003.5 Atomen met meerdere elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6 Samenvatting en uitbreiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4 Geladen deeltjes in een extern elektromagnetisch veld 1054.1 De quantummechanische beschrijving van geladen deeltjes in een

elektromagnetisch veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2 IJkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3 Het eigenwaarde-probleem H = E voor een geladen deeltje

in een magneetveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Benaderingsmethoden 1155.1 De methode van tijdsonafhankelijke storingsrekening . . . . . . . 1165.2 Harmonische oscillator met x4-storingsterm . . . . . . . . . . . . 1255.3 Harmonische oscillator met p-storingsterm . . . . . . . . . . . . . 1255.4 Het waterstofatoom in een uitwendig elektrisch veld . . . . . . . 1275.5 Enkele selectieregels voor de Stark-potentiaal . . . . . . . . . . . 1285.6 Het Stark-e ect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2

5.7 De polariseerbaarheid van een waterstofatoom . . . . . . . . . . . 1315.8 Storingsrekening aan een systeem van twee deeltjes met spin 1

2 . 1325.9 Het Zeemane ect met storingsrekening . . . . . . . . . . . . . . . 1325.10 De bandenstructuur van een roosterkristal in één dimensie . . . . 1355.11 De methode van variatierekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.12 Variatierekening voor een exponentiële potentiaal . . . . . . . . . 1395.13 Variatierekening voor een harmonische oscillator met een sto-

ringsterm x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.14 Variatierekening voor een heliumatoom . . . . . . . . . . . . . . . 1415.15 Het H+

2 -molecule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.16 De WKB-methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.17 Het waterstofatoom met de WKB-methode . . . . . . . . . . . . 1565.18 Harmonische oscillator met x-storingsterm . . . . . . . . . . . . . 1575.19 De methode van tijdsafhankelijke storingsrekening . . . . . . . . 1585.20 De Gulden Regel van storingsrekening . . . . . . . . . . . . . . . 1595.21 Een harmonische oscillator met een tijdsafhankelijke storingsterm 1615.22 Een instantane verandering van een harmonische potentiaal . . . 1615.23 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6 Verstrooiingstheorie 1656.1 Verstrooiing van spin-12 deeltjes in één dimensie . . . . . . . . . . 1666.2 Werkzame lengtes en doorsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.3 Een vrij deeltje in drie dimensies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.4 Verstrooiing in drie dimensies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.5 Verstrooiing aan een harde bol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.6 De Gulden Regel en de Born-benadering . . . . . . . . . . . . . . 1796.7 Verstrooiing aan een Yukawa-potentiaal . . . . . . . . . . . . . . 1816.8 De Born-reeks en de Lippmann-Schwinger vergelijking . . . . . . 1826.9 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3

Deel 1

Het formalisme van dequantummechanica

In dit deel wordt de basis gelegd voor de mathematische beschrijving die inde quantummechanica gebruikt wordt. Onder meer de volgende onderwerpenkomen aan de orde.

�• De postulaten van de quantummechanica.

�• Diverse representaties van de toestandsruimte, zoals de plaats- en impuls-representatie, alsmede de relaties daartussen.

In dit kader wordt bij wijze van voorbeeld ook de één-dimensionale har-monische oscillator behandeld.

�• Enkele alternatieve formuleringen van de quantummechanica: het Schrö-dingerbeeld, het Heisenbergbeeld en het interactiebeeld.

�• Symmetrieën en behoudswetten.

Verder komen allerhande mathematische begrippen en technieken aan de orde,die bij een behandeling van de quantummechanica vaak gebruikt worden, zoalshermiticiteit, unitariteit en exponentiatie. Ook al is dit deel tamelijk mathe-matisch van aard, op de precieze mathematische details zullen we vaak nietingaan.In zekere zin is dit deel een herhaling van zaken die al bij Quantummechanica 1behandeld zijn. Alleen worden ze nu wat formeler behandeld. In Sakurai zijnde betre ende stukken te vinden in de paragrafen 1.1�—1.7, 2.1�—2.3, en 4.1�—4.2.

7

1.1 Hermitisch toegevoegde operatoren

In de quantummechanica spelen hermitische operatoren een belangrijke rol.Meetbare grootheden worden immers gerepresenteerd door zulke operatoren.1

Daarom beginnen we met het ophalen van wat wiskunde over hermitisch toe-gevoegden.Zij H een lineaire ruimte met een complex inprodukt ( , ). Een complex inpro-dukt is een afbeelding H ×H C, waarvoor geldt:

1. voor alle v, w1, w2 H: (v, w1 +w2) = (v, w1) + (v, w2);

2. voor alle v, w H, en voor alle C: (v, w) = (v, w);

3. voor alle v, w H: (v,w) = (w, v) ;

4. voor alle v 6= 0 in H: (v, v) > 0.

Iedere lineaire afbeelding (operator) A op H heeft een (unieke) hermitisch toe-gevoegde operator A�†. A en A�† zijn, per denitie, als volgt gerelateerd:

voor alle v, w H: (v,A�†w) = (Av,w) ( = (w,Av) ).

a) Laat zien dat:

i) (A+B)�† = A�† +B�†;

ii) ( A)�† = A�†;

iii) (AB)�† = B�†A�†;

iv) [A,B]�† =£A�†, B�†

¤

v)¡A�†¢�†= A.

Een operator A heet hermitisch wanneer geldt A = A�†, dus (v,Aw) = (Av,w)voor alle v en w.

b) Laat zien dat de eigenwaarden van een hermitische operator reëel zijn:

als A = A�†, Av = v en v 6= 0, dan R.

Hint: Beschouw (v,Av).

c) Laat zien dat voor een hermitische operator geldt dat eigenvectoren bijverschillende eigenwaarden loodrecht op elkaar staan:

als A = A�†, Av = v, Aw = w en 6= , dan (v, w) = 0.

Hint: Beschouw (v,Aw).

d) Laat zien dat de eigenwaarden van een operator van de vorm F = A�†Areëel en niet-negatief zijn (A is een willekeurige operator).

1Bij een nette mathematische behandeling van de quantummechanica moet meer dan alleenhermiticiteit geëist worden van operatoren die met meetbare grootheden gaan corresponderen,bv. ook begrensdheid. Bij dit vak zullen we zo�’n mathematische precisie niet nastreven.

8

1.2 id

dxals hermitische operator

Bij Quantummechanica 1 heeft u gezien dat deeltjes beschreven worden doorcomplexwaardige functies f (x) (gol uncties).2 Vaak werd van die functiesgeëist dat ze kwadraat-integreerbaar zijn. Beschouw nu de Hilbertruimte3

L2 (R), dwz., de lineaire ruimte van kwadraat-integreerbare functies met daarop

het standaard-inprodukt: (f, g) =Rdx f (x) g (x). Meetbare grootheden cor-

responderen dus met hermitische operatoren op L2 (R) . In deze opgave bespre-ken we ter oefening enkele van die operatoren.

a) Laat zien dat de operator id

dxhermitisch is op L2 (R).

Hint: Partiële integratie.

Opmerking: De operator i~d

dxis dus ook hermitisch. Bij Quantum-

mechanica 1 heeft u geleerd dat deze operator correspondeert met demeetbare grootheid impuls .

Een operator van de vorm id

dxis echter niet altijd hermitisch. Beschouw b.v.

de Hilbertruimte L2 ([a, b]) van kwadraat-integreerbare functies op het eindige

interval [a, b] met standaard-inprodukt: (f, g) =bR

adx f (x) g (x).

b) Laat zien dat de operator id

dxniet hermitisch is op L2 ([a, b]).

Opmerking: De operator i~d

dx: L2 ([a, b]) L2 ([a, b]) kan dus niet

corresponderen met een meetbare grootheid.

Een deeltje dat op een cirkel beweegt wordt quantummechanisch beschrevendoor een gol unctie f ( ), waarbij de positie op de cirkel geparametriseerdwordt door een hoek [0, 2 ].

2 In het algemeen zal een gol unctie ook nog van de tijd afhangen: f (x, t). Voorlopig latenwe die tijdsafhankelijkheid buiten beschouwing.

3Een Hilbertruimte H is een verzameling van elementen waarop een optelling is gede-nieerd en ook vermenigvuldiging met complexe getallen. Verder moet H aan de volgendeeigenschappen voldoen:

i) H is een lineaire ruimte;

ii) Op H is een complex inprodukt gedenieerd;

iii) H is volledig met betrekking tot de door het inprodukt geïnduceerde norm, dus elkeCauchy-rij in H heeft een limiet in H;

iv) H is separabel met betrekking tot de door het inprodukt geïnduceerde norm, dus er iseen aftelbare verzameling van elementen uit H waarmee elk element van H willekeurigdicht benaderd kan worden.

Voor verdere uitleg over deze begrippen, en voor een bewijs dat L2 (R) een Hilbertruimte is,verwijzen we naar de wiskundecolleges.

9

Opdat f een gladde functie op de cirkel is, eisen we dat f voldoet aan:

f (0) = f (2 ) ,dnf

d n (0) =dnf

d n (2 ) , n = 1, 2, . . .

De lineaire ruimte van functies die aan deze eisen voldoen, met daarop hetstandaard-inprodukt, noemen weM ([0, 2 ]).4

c) Laat zien dat de operator id

dhermitisch is opM ([0, 2 ]).

Heeft u een vermoeden met welke meetbare grootheid deze operator (opeen constante na) correspondeert?

d) Laat zien dat ook het kwadraat van id

dhermitisch is opM ([0, 2 ]).

Heeft u een vermoeden met welke meetbare grootheid deze operator (opeen constante na) correspondeert?

1.3 De bra-ket notatie

In deze opgave lichten we de in de quantummechanica vaak gehanteerde bra-ket notatie toe. Ter inleiding beschouwen we hoe bra�’s en kets in de eindigdimensionale ruimte Cn ingevoerd kunnen worden. Voor a Cn verstaan we

onder de ket |ai de �‘staande�’ vectora1...an

, en onder de bra ha| de �‘liggende�’

vector¡a1 · · · an

¢. Om dit idee te kunnen generaliseren naar een wille-

keurige (eventueel -dimensionale) Hilbertruimte, merken we op dat we debra ha| =

¡a1 · · · an

¢ook als een afbeelding Cn C op kunnen vatten,

namelijk door te deniëren:

ha| (|bi) =¡a1 · · · an

¢b1...bn

=nX

i=1

ai bi = (a, b) ,

met ( , ) het standaardinprodukt op Cn.Zij nu een willekeurige Hilbertruimte H gegeven. Voor later gemak noterenwe het inprodukt op H als h | i. Geïnspireerd door het bovenstaande eindig-dimensionale geval, deniëren we bij ieder element v uit H een afbeelding Bv :H C (die we straks op gaan vatten als de bra hv|):

Bvwdef= hv|wi . (1-1)

a) Laat zien dat Bv een lineaire afbeelding is, dus

i) Bv (w1 + w2) = Bv (w1) +Bv (w2);

ii) Bv ( w) = Bv (w)

4De lineaire ruimte met inprodukt M ([0, 2 ]) is geen Hilbertruimte, omdat niet iedereCauchy-rij inM ([0, 2 ]) convergeert naar een element inM ([0, 2 ]).

10

b) Laat zien dat:

i) Bv+w = Bv +Bw;

ii) B v = Bv;

iii) BAv = BvA�†.

De bra-ket notatie is in essentie een handige manier om de elementen v vanH en de daarmee geassocieerde afbeeldingen Bv te noteren. In deze notatiebeschouwen we de ket |vi als een notationele variant van het element v, en debra hv| als een notationele variant van de afbeelding Bv:

v |vi ; Bv hv| .

Deze notatie is om de volgende reden handig. De bra hv| is een afbeelding dievolgens (1-1) een ket |wi afbeeldt op het getal hv|wi:

hv| |wi = Bvw = hv|wi .

In deze notatie wordt de werking van hv| op |wi dus verkregen door de tweestrepen te laten samensmelten. De naamgeving �‘bra�’ en �‘ket�’ is hier ook opgebaseerd: samensmelting van �‘bra�’ en �‘ket�’ geeft (op een klein boogje na)�‘bracket�’.Om te illustreren hoe uit het voorgaande identiteiten met betrekking tot bra�’sen kets afgeleid kunnen worden, beschouwen we de bra: hv + w|. Deze bra iseen alternatieve notatie van de afbeelding Bv+w. Deze afbeelding is volgensonderdeel b i) identiek aan de afbeelding: Bv + Bw. Nu is Bv een alternatievenotatie van de bra hv|, en Bw van de bra hw|. Dus is Bv +Bw een notationelevariant van hv|+ hw|, zodat we tenslotte vinden: hv + w| = hv|+ hw|.

c) Leid zelf analoog af dat geldt:

i) h v| = hv|;ii) hAv| = hv|A�†.

Opmerking: U heeft dit onderdeel goed begrepen, als u inziet dat dezeidentiteiten in feite notationele varianten zijn van de in onderdeel b) aan-getoonde identiteiten.

Net zoals we |vi opvatten als een notationele variant van v, vatten we ook|v +wi en |vi + |wi op als alternatieve notaties voor hetzelfde mathematischeobject; evenals | vi en |vi, en |Avi en A |vi.

d) Laat zien dat de volgende regels gelden voor het in elkaar omzetten vanbra�’s en kets.

i) als |vi =P

ii |vii, dan hv| =

P

ii hvi|;

ii) als |vi = A |wi, dan hv| = hw|A�†.

Moraal: Als u twijfelt over de omzetting van kets in bra�’s en vice versa,kunt u daar dus altijd achter komen via de denitie (1-1) of door gebruikte maken van een eindig-dimensionaal analogon.

11

1.4 Plaatsrepresentatie en impulsrepresentatie

In de quantummechanica wordt vaak gewerkt met een abstracte (in het alge-meen -dimensionale) Hilbertruimte T van toestanden. De toestand waarineen fysisch systeem zich bevindt wordt dan weergegeven door een element vanT , dus door een ket | i.5 In deze opgave gaan we een relatie leggen tussen ditformalisme en de beschrijving in termen van gol uncties die u in Quantumme-chanica 1 heeft leren kennen. Het zal blijken dat deze relatie dezelfde is als dietussen een basisonafhankelijke beschrijving en een beschrijving ten opzichte vaneen bepaalde basis. Teneinde dit te illustreren halen we eerst wat elementairelineaire algebra op. Daarbij hanteren we de bra-ket notatie.Beschouw een N -dimensionale lineaire ruimte V met inprodukt h | i. Wanneereen basis e = {|eii : i = 1, .., N} gegeven is, kan een element |vi van V geschre-ven worden als:

|vi =NX

i=1

vei |eii , (1-2)

waarbij we vei de i-de component van |vi ten opzichte van de basis e noemen.Wanneer ook f = {|fii : i = 1, ..,N} een basis van V is, kan |vi eveneens ge-schreven worden als:

|vi =NX

i=1

vfi |fii , (1-3)

met vfi de i-de component van |vi ten opzichte van de basis f . Merk op dat decomponenten van |vi ten opzichte van de basis e in het algemeen verschillendzijn van die t.o.v. de basis f .Er geldt met behulp van de gebruikelijke eigenschappen van het inproduktof, wat op hetzelfde neerkomt, met behulp van wat u in opgave 1.3.c) heeftaangetoond:

hv|wi =NX

i,j=1

vei wej hei|eji ; (1-4)

=NX

i,j=1

vfi wfj hfi|fji . (1-5)

We nemen nu de basis e orthonormaal, dat wil zeggen:

hei|eji = ij . (1-6)

a) Laat zien dat geldt: vei = hei|vi, zodat (1-2) ook geschreven kan wordenals:

|vi =NX

i=1

hei|vi |eii .

5 In het algemeen zal de toestand waarin een fysisch systeem zich bevindt tijdsafhankelijkzijn: | (t)i. Op die tijdsafhankelijkheid zullen we later ingaan (zie bv. opgave 1.7).

12

b) Laat zien dat (1-4) dan geschreven kan worden als:

hv|wi =NX

i=1

vei wei ; (1-7)

of ook hv|wi =NX

i=1

hv|eii hei|wi . (1-8)

Opmerking: (1-8) wordt een volledigheidsrelatie genoemd, en wordt ookwel genoteerd als:

1 =NX

i=1

|eiihei| . (1-9)

Hierin wordt met �‘1�’ de eenheidsoperator bedoeld.

We gaan nu over naar de quantummechanica, en beschouwen dus de ruimte Tvan toestanden waarin een fysisch systeem zich kan bevinden. Ook deze ruimteheeft meerdere bases. Twee veel gebruikte bases zijn die van eigentoestandenvan de plaatsoperator �ˆx en die van eigentoestanden van de impulsoperator �ˆp.De eigentoestand van de plaatsoperator bij eigenwaarde x noteren we als |xi:

�ˆx |xi = x |xi . (1-10)

|xi is dus de toestand waarin een systeem zich bevindt direct na een plaatsme-ting waarbij de waarde x gemeten is.6 Analoog deniëren we de eigentoestanden|pi door:

�ˆp |pi = p |pi . (1-11)

Het blijkt dat zowel {|xi} als {|pi} een basis vormt voor de toestandsruimte T .6De notatie in (1-10) levert in het begin vaak verwarring op. Eén bron van verwarring is het

grote aantal x-en dat erin voorkomt. Om een en ander te ontwarren is het goed te bedenkendat er maar één plaatsoperator is, en die wordt genoteerd als �ˆx: �‘�ˆx�’ is dus een afkortingvan �‘de plaatsoperator�’. Deze ene plaatsoperator heeft oneindig veel eigenwaarden: elk reëelgetal is een eigenwaarde. Er zijn dus ook oneindig veel eigentoestanden (eigenvectoren) vande plaatsoperator: één bij elk reëel getal. En de eigenvector van de plaatsoperator bij deeigenwaarde (het getal) x noteren we als de ket |xi. Dit is wat (1-10) uitdrukt.Een andere bron van verwarring is dat we reële getallen gebruiken om toestanden aan teduiden, en dat op die reële getallen ook een optelling en een vermenigvuldiging gedenieerdzijn. Beschouw b.v. de toestand | 2i. Het is het meest natuurlijk om het minteken hierinop te vatten als een vermenigvuldiging van het getal 2 met 1. Wanneer we dat doen,dan geldt dat | 2ieen essentieel andere toestand is dan de toestand |2i. Immers, |2i iseen eigentoestand van de plaatsoperator bij eigenwaarde 2. Dus is ieder veelvoud van deket |2i dat ook: �ˆx ( |2i) = 2 ( |2i) (ga dit na). Wanneer het systeem zich in de toestand|2i bevindt, i.h.b. wanneer het zich in de toestand |2i bevindt, wordt bij meting van de

plaats dus de waarde 2 gemeten. De toestand |2i is fysisch equivalent aan de toestand |2i.Wanneer het systeem zich echter in de toestand | 2i bevindt, wordt bij meting van de plaatsde waarde 2 gemeten. De toestand | 2i is dus wel fysisch te onderscheiden van de toestand|2i. (Algemener geldt voor x 6= 0 dat | xi een essentieel andere toestand is dan de toestand|xi, wanneer we het eerste minteken opvatten als vermenigvuldiging van het reële getal x

met 1, en het tweede als vermenigvuldiging van de ket |xi met 1.)Beredeneer zelf analoog dat b.v. |8i een essentieel andere toestand is dan |5i+ |3i. Meer in hetalgemeen is |x+ yi een essentieel andere toestand dan |xi + |yi, als we het eerste plustekenopvatten als optelling van de reële getallen x en y, en het tweede als optelling van de kets |xien |yi.

13

Analoog aan (1-2) en (1-3) kunnen we ieder element | i van T ten opzichtevan deze bases gaan ontwikkelen. Daar we te maken hebben met continue inplaats van discrete bases, is het verschil met (1-2) en (1-3) dat we nu moetenintegreren in plaats van sommeren:

| i =

Zdx plaats

x |xi ; (1-12)

=

Zdp impuls

p |pi . (1-13)

Naar analogie kunnen we plaatsx de x-de component van | i ten opzichte van de

basis van eigentoestanden van de plaatsoperator noemen; impulsp de p-de com-

ponent van | i ten opzichte van de basis van eigentoestanden van de impulso-perator. In de quantummechanica laten we toe dat de �‘coë ciënten�’ plaats

x enimpulsp complexe getallen zijn.

Het ligt nu voor de hand een functie plaats : R C in te voeren waarvande waarde in punt x gegeven wordt door plaats

x , dus: plaats (x) = plaatsx . In

onderdeel h) zullen we plausibel maken dat de functie plaats overeenkomt metwat in Quantummechanica 1 de �‘gol unctie�’ is genoemd, en wat we nu watvollediger de �‘gol unctie in de plaatsrepresentatie�’ zullen noemen.Analoog kunnen we ook de zogenaamde �‘gol unctie in de impulsrepresentatie�’impuls : R C invoeren door: impuls (p) = impuls

p , waarbij de getallen impulsp

uit (1-13) volgen. Merk op dat plaats en impuls verschillende functies zijn,net zoals de coë ciënten vei en v

fi uit (1-2) resp. (1-3) verschillend zijn. In

onderdeel j) zullen we zien dat de gol unctie in de plaatsrepresentatie en degol unctie in de impulsrepresentatie elkaars Fouriergetransformeerde zijn.Vergelijkingen (1-12) en (1-13) kunnen nu dus ook geschreven worden als:

| i =

Zdx plaats (x) |xi ; (1-14)

=

Zdp impuls (p) |pi . (1-15)

Verder kunnen we nu analoog aan (1-4) en (1-5) schrijven:

h | i =

Z Zdx dy plaats (x) plaats (y) hx|yi ;

=

Z Zdpdq impuls (p) impuls (q) hp|qi .

Analoog aan (1-6) zijn ook de bases {|xi} en {|pi} �‘orthonormaal�’. Daar weechter te maken hebben met continue in plaats van discrete bases, is het verschilmet (1-6) dat de basiselementen nu niet genormeerd zijn op de Kronecker-deltamaar op de Dirac-delta:

hx|yi = (x y) ; (1-16)

hp|qi = (p q) . (1-17)

14

c) Laat analoog aan a) zien dat plaats (x) = hx| i en impuls (p) = hp| i,zodat

| i =Zdx hx| i |xi resp. | i =

Zdp hp| i |pi .

Hint: Een belangrijke eigenschap van de Dirac-delta is:

Z d

cdx f (x) (x a) =

f (a) als a ]c, d[ ,

0 als a / [c, d] .

d) Laat analoog aan b) zien dat:

h | i =

Zdx plaats (x) plaats (x) ;

=

Zdp impuls (p) impuls (p) .

Opmerking: Het inprodukt h | i tussen twee toestanden | i en | i komtdus overeen met het standaardinprodukt tussen de daarmee geassocieerdegol uncties plaats (x) en plaats (x). En evenzo met het standaardinpro-dukt tussen de gol uncties impuls (p) en impuls (p).

e) Leid ook de volgende volledigheidsrelaties af:

h | i =

Zdx h |xi hx| i ; (1-18)

=

Zdp h |pi hp| i . (1-19)

Opmerking: Analoog aan (1-9) worden (1-18) en (1-19) ook wel als volgtgenoteerd:

Zdx |xihx| = 1; (1-20)Zdp |pihp| = 1. (1-21)

Een meetbare grootheid A correspondeert in de quantummechanica met eenhermitische operator A. Wanneer een systeem zich in de (genormeerde) toe-stand | i bevindt (h | i = 1), wordt de verwachtingswaarde7 van een metingvan A gegeven door: h |A | i.

7De term �‘verwachtingswaarde van een meting van A�’ kan verwarring opleveren. Het isniet de te verwachten waarde bij een meting van A, en het kan zelfs een niet te meten waardezijn. (De verwachtingswaarde van het aantal ogen bij het gooien van een normale dobbelsteenis 3 1

2, maar het is onzin bij een worp met een dobbelsteen 3 1

2ogen te verwachten.) De

verwachtingswaarde van een meting van A aan een op een bepaalde manier geprepareerdfysisch systeem, is veeleer het te verwachten gemiddelde van de uitkomsten van een grootaantal metingen van A aan op dezelfde manier geprepareerde systemen.

15

f) Laat zien dat h |A | i een reëel getal is. Waarom hoort dit ook?

g) Laat zien dat voor de verwachtingswaarde van de plaats geldt:

h | �ˆx | i =Zdx¯¯ plaats (x)

¯¯2x. (1-22)

Hint: Ontwikkel | i als in (1-14), en maak gebruik van (1-10). (Maakeventueel gebruik van een eindig-dimensionaal analogon.)

h) Beredeneer waarom (1-22) het aannemelijk maakt om dx¯

plaats (x)¯2fy-

sisch te interpreteren als de kans om bij een plaatsmeting een waardetussen x en x+ dx te vinden.

Opmerking: Hiermee is de link tussen �‘ plaats (x)�’ en �‘de gol unctie in deplaatsrepresentatie�’ nader toegelicht.

i) Leid analoog de fysische interpretatie van dp¯

impuls (p)¯2af.

j) Stel dat hx| i gegeven is. Gebruik nu de volledigheidsrelatie (1-20) en

hx|pi = ei~px

2 ~, (1-23)

om te laten zien dat hp| i de Fouriergetransformeerde is van hx| i:

hp| i = 1

2 ~

Zdx hx| i e

i~px.

plaats (x) en impuls (p) zijn dus elkaars Fouriergetransformeerde.

Opmerking: Er is hier geponeerd dat (1-23) geldt. Geïnteresseerden kun-nen bij de assistenten een formeel bewijs vragen van de volgende stel-ling: onder de voorwaarden dat de plaats- en impuls-operator voldoenaan de canonieke commutatierelatie [�ˆx, �ˆp] = i~, beide elk reëel getal alsniet-ontaarde eigenwaarde hebben, en beide een volledig stelsel van op deDirac-delta genormeerde eigentoestanden hebben, geldt dat er toestanden{|xi} en {|pi} te vinden zijn zodanig dat voldaan is aan (1-10), (1-11),(1-16), (1-17), en (1-23).

k) Gegeven is de volgende (genormeerde) gol unctie in de plaatsrepresenta-tie:

hx| i = (x) (x a)

a,

waarbij (x) de Heaviside- of stapfunctie voorstelt:

(x) =

½0 als x < 0,1 als x 0.

Schets de gol unctie hx| i.Bereken hp| i en schets (de absolute waarde van) de uitkomst.

16

l) Beschouw weer het bij onderdeel k) besproken geval. Wanneer de plaats-verdeling heel scherp gepiekt is (a 0), wat geldt dan voor de impulsver-deling? En wat als de plaatsverdeling juist heel vlak is (a )?

m) Wat geldt in het algemeen voor de relatie tussen de gepiektheid van deplaatsverdeling en die van de impulsverdeling?

In het navolgende schema staat de kern van de afgelopen opgave weergegeven.

´´

´´

´´

´´

+

QQQQQQQQQs

6

Fouriertransformatie

t.o.v. basis {|xi} t.o.v. basis {|pi}

toestand | (t)i

gol unctie plaats(x, t) = hx| (t)i gol unctie impuls(p, t) = hp| (t)i

1.5 Eigentoestanden van de plaatsoperator en vande impulsoperator

In deze opgave gaan we na hoe de eigentoestanden |xi van de plaatsoperatoren |pi van de impulsoperator eruitzien in de plaats- en impuls-representatie.Hopelijk draagt dit ook bij tot een inzichtelijk beeld van die toestanden.

a) Beschouw de eigentoestand |x0i van de plaatsoperator bij eigenwaarde x0.Bepaal de met deze toestand corresponderende gol unctie in de plaatsre-presentatie, en schets deze.

Wat is de kans om bij meting van de plaats een waarde te meten in eeninterval dat x0 niet bevat?

b) Bepaal de met |x0i corresponderende gol unctie in de impulsrepresenta-tie.

Wat kunt u voor een deeltje dat zich in deze toestand bevindt zeggen overkansen op uitkomsten bij meting van de impuls?

c) Begrijpt u de relatie tussen de resultaten uit de onderdelen a) en b)?

Hint: De onderdelen l) en m) van opgave 1.4.

d) Beantwoord soortgelijke vragen voor de eigentoestand |p0i van de impuls-operator bij eigenwaarde p0.

17

1.6 Operatoren in de plaatsrepresentatie en impuls-representatie

In opgave 1.4 heeft u gezien dat toestanden enerzijds, en gol uncties in deplaatsrepresentatie en impulsrepresentatie anderzijds, als volgt aan elkaar ge-relateerd zijn:

| i =

Zdx plaats (x) |xi ; (1-24)

=

Zdp impuls (p) |pi .

In deze opgave zullen we de link bestuderen tussen operatoren op de Hil-bertruimte van toestanden en de daarmee corresponderende operatoren in deplaatsrepresentatie en impulsrepresentatie. Verder zullen we dit toelichten aande hand van de meest voorkomende operatoren in de quantummechanica: deplaatsoperator en de impulsoperator.Zij A een operator op de Hilbertruimte, die dus aan een toestand | i een toe-stand A | i toevoegt. Met deze operator willen we nu een operator Aplaats asso-ciëren, die aan een gol unctie in de plaatsrepresentatie plaats een gol unctie inde plaatsrepresentatie Aplaats plaats toevoegt. Het idee is om dit analoog aan(1-24) te doen: net als aan de toestand | i een gol unctie plaats gerelateerdis, is aan de toestand A | i = |A i een gol unctie (A )plaats gerelateerd:

|A i =Zdx (A )plaats (x) |xi .

Het ligt nu voor de hand om de operator Aplaats als volgt te deniëren:

Aplaats plaats = (A )plaats .

Volgens de gemaakte afspraken en de ingevoerde notaties geldt dus:

A | i = |A i =Zdx (A )plaats (x) |xi =

Zdx³Aplaats plaats

´(x) |xi .

(1-25)

Analoog associëren we met A ook een operator Aimpuls die werkt op gol unctiesin de impulsrepresentatie, en waarvoor geldt:

A | i =Zdp³Aimpuls impuls

´(p) |pi . (1-26)

a) Leid af dat voor operatoren A en B op de Hilbertruimte van toestandengeldt:

(AB)plaats = AplaatsBplaats;

(AB)impuls = AimpulsBimpuls.

18

b) Leid de volgende uitdrukkingen af uit (1-25) resp. (1-26):³Aplaats plaats

´(x) = hx|A | i ; (1-27)

³Aimpuls impuls

´(p) = hp|A | i . (1-28)

Hieronder worden de uitdrukkingen (1-27) en (1-28) verder uitgewerkt voor deplaatsoperator �ˆx en de impulsoperator �ˆp.

c) Laat zien dat¡�ˆxplaats plaats

¢(x) = x plaats (x).

Opmerking: Dit resultaat wordt vaak kortweg genoteerd als: �ˆxplaats = x.De �‘x�’ in het rechterlid staat dan voor de operator �‘puntsgewijze verme-nigvuldiging met het argument�’.

d) Laat zien dat¡�ˆp impuls impuls

¢(p) = p impuls (p).

e) Laat zien dat¡�ˆpplaats plaats

¢(x) =

Rdp p hx|pi hp| i.

f) Maak gebruik van hx|pi = ei~ px

2 ~om te bewijzen dat geldt:

i~x

Zdp hx|pi hp| i =

Zdp p hx|pi hp| i . (1-29)

g) Laat zien dat (1-29) ook geschreven kan worden als:

i~x

plaats

(x) =³�ˆpplaats plaats

´(x) .

h) Laat analoog aan e) t/m g) zien dat geldt:

³�ˆximpuls impuls

´(p) = i~

p

impuls

(p) .

Wat u tot nu toe heeft bewezen is het volgende.

�ˆxplaats = x �ˆximpuls = i~p

�ˆpplaats = i~x

�ˆp impuls = p(1-30)

Merk op dat de plaatsoperator in de plaatsrepresentatie een heel andere opera-tor is dan in de impulsrepresentatie: vermenigvuldigen in de plaatsrepresentatieen di erentiëren in de impulsrepresentatie. Idem voor de impulsoperator. Vindtu dit vreemd?

i) Laat zien dat in beide representaties voldaan is aan de canonieke commu-tatierelatie: [�ˆx, �ˆp] = i~.

19

j) De toestand |pi wordt in de plaatsrepresentatie gegeven door de golf-functie x hx|pi = e

i~px

2 ~. Laat zien dat deze gol unctie inderdaad een

eigentoestand is van �ˆpplaats bij eigenwaarde p:

�ˆpplaats

Ãei~px

2 ~

!

= pei~px

2 ~.

Opmerking: Dit resultaat is dus het equivalent in de plaatsrepresentatievan de basisonafhankelijke formulering (1-11) uit opgave 1.4.

1.7 De Schrödingervergelijking in de plaatsrepresen-tatie en impulsrepresentatie

De fysische toestand van een systeem wordt beschreven door een abstracte vec-tor | (t)i in de Hilbertruimte T van toestanden. Om de tijdsevolutie van zo�’nsysteem te beschrijven is een dynamische vergelijking nodig, vergelijkbaar metde tweede wet van Newton in de klassieke mechanica. In de quantummechanicais dat de Schrödingervergelijking :

i~d

dt| (t)i = H (t, �ˆp, �ˆx, . . . ) | (t)i . (1-31)

Merk op dat in deze basisonafhankelijke notatie de plaats en impuls niet voor-komen als parameters maar als operatoren, naast mogelijkerwijs nog andereoperatoren. De tijd daarentegen is wel een parameter, die onder andere detoestand van het systeem op verschillende tijden labelt. Verder kan ook deHamiltoniaan H nog expliciet van de tijd afhangen.Vaak is H van de volgende vorm:

H (�ˆp, �ˆx) =�ˆp2

2m+ V (�ˆx) .

In deze opgave zullen we bij wijze van voorbeeld de harmonische oscillatorbeschouwen, waarbij de potentiaal V gegeven wordt door:

V (�ˆx) = m 2

2 �ˆx2.

De bedoeling van de opgave is dat u voor de harmonische oscillator de Schrö-dingervergelijking in de plaatsrepresentatie en impulsrepresentatie gaat aeidenuit de basisonafhankelijke formulering (1-31).

a) Laat zien dat door de basisonafhankelijke formulering van de harmonischeoscillator links te sluiten met de bra hx|, de �‘gewone�’ Schrödingervergelij-king afgeleid kan worden voor de gol unctie plaats (x, t)

def= hx| (t)i:

i~t

plaats (x, t) =

µ~2

2m

2

x2+m 2

2x2¶

plaats (x, t) . (1-32)

Hint: Opgave 1.6.

20

b) Leid voor de harmonische oscillator ook de Schrödingervergelijking in deimpulsrepresentatie af.

Opmerking: Als het goed is, heeft u gevonden dat de Schrödingerverge-lijking er in de impulsrepresentatie heel anders uitziet dan in de plaatsre-presentatie. Vindt u dit vreemd?

c) Laat zien dat door de gewone Schrödingervergelijking (1-32) te Fourier-transformeren, precies het resultaat van onderdeel b) gevonden wordt.

In het navolgende schema is weergegeven wat u zojuist heeft berekend.

´´

´´

´´

´´

+

QQQQQQQQQs

6

Fouriertransformatie

t.o.v. basis {|xi} t.o.v. basis {|pi}

i~ ddt | (t)i =³12m �ˆp

2 + m 2

2 �ˆx2´| (t)i

i~ tplaats(x, t) =

³~22m

2

x2+ m 2x2

2

´plaats(x, t) i~ t

impuls(p, t) =³p2

2m~2m 2

2

2

p2

´impuls(p, t)

In het vervolg zullen we de labels �‘plaats�’ en �‘impuls�’ in plaats en impuls

weglaten, wanneer uit de context opgemaakt kan worden wat bedoeld wordt.Wanneer b.v. expliciet de variabele �‘x�’ gebruikt wordt, zoals in �‘ (x)�’, kunt uervan uitgaan dat plaats (x) bedoeld wordt.

1.8 Een basis van eigentoestanden van de harmoni-sche oscillator

Behalve de twee continue bases van eigentoestanden van de plaatsoperator enimpulsoperator, zijn er nog veel andere bases van de ruimte T van toestanden,bv. de aftelbare basis bestaande uit eigentoestanden van de harmonische oscil-lator.8 In deze opgave gaat u deze basis nader bestuderen, en uiteindelijk ookten opzichte van deze basis de vorm van de plaatsoperator en impulsoperatorbepalen. De wiskundige aanpak die we daarbij gebruiken is tevens een nuttigevoorbereiding op de behandeling van de algemene theorie van het impulsmo-ment (in opgave 2.4).

8Strikt genomen is de ruimte opgespannen door de continue bases ruimer dan die opge-spannen door de hier te bespreken aftelbare basis. De aftelbare basis spant de functieruimteL2 (R) op, de ruimte die opgespannen wordt door de continue bases opspannen bevat ookniet kwadraat�—integreerbare functies (zoals complexe e-machten) en zelfs niet-functies (zoalsdistributies).

21

Zoals bekend wordt de Hamiltoniaan van de harmonische oscillator gegevendoor:

H = 12m �ˆp

2 + m 2

2 �ˆx2.

Om de eigenwaarden en eigentoestanden van H te bepalen, blijkt het handigde volgende operatoren te introduceren:

a±def=q

m2~

¡�ˆx i

m �ˆp¢. (1-33)

Om redenen die later toegelicht zullen worden, wordt a gangbaar de �‘annihi-latie-operator�’ genoemd en a+ de �‘creatie-operator�’.

a) Toon aan dat a+ en a elkaars hermitisch toegevoegden zijn: a�†+ = a ena�† = a+.

b) Laat met behulp van de canonieke commutatierelatie [�ˆx , �ˆp] = i~ zien datgeldt:

i) [a , a+] = 1;

ii) H = ~¡a+a + 1

2

¢.

c) Leg uit waarom voor alle eigenwaarden E van H geldt: E 12~ .

Hint: Opgave 1.1.d).

d) Laat zien dat geldt: een toestand | i voldoet aan H | i = 12~ | i dan en

slechts dan als | i voldoet aan a | i = 0.Hint: Beschouw h |H 1

2~ | i.

We gaan nu aantonen dat 12~ een eigenwaarde is vanH (en volgens onderdeel c)is dat dan dus de laagste eigenwaarde van H). Volgens onderdeel d) hebben weaangetoond dat 12~ een eigenwaarde is van H, als er een niet-triviale toestand| 0i is zodanig dat a | 0i = 0. De vergelijking a | 0i = 0 kunnen we volgens(1-33) ook als volgt schrijven:

µ�ˆx+

i

m�ˆp

¶| 0i = 0. (1-34)

Om vast te stellen dat (1-34) inderdaad een niet-triviale oplossing heeft, en omeen link te leggen met de gol uncties die u in Quantummechanica 1 heeft lerenkennen, bekijken we het equivalent van (1-34) in de plaatsrepresentatie:

µx+

~m

d

dx

¶

0 (x) = 0. (1-35)

e) Laat zien dat er één onafhankelijke oplossing 0 (x) van (1-35) bestaat.Normeer die oplossing. Hierbij kunt u gebruik maken van:

Zdu e u2+ u =

¡ ¢12 e

2

4 , met , C, en Re ( ) > 0. (1-36)

Vergelijk deze oplossing met wat u in Quantummechanica 1 gevondenheeft (zie voor een korte samenvatting hiervan: Sakurai , appendix A.4).

22

f) Hoe ziet het equivalent van (1-34) in de impulsrepresentatie eruit?

Los deze vergelijking op om zodoende 0 (p) te bepalen.

Volgens opgave 1.4.j) zouden 0 (x) en 0 (p) elkaars Fouriergetransfor-meerde moeten zijn. Ga dit na. (Maak eventueel weer gebruik van (1-36).)

U heeft aangetoond dat er inderdaad een niet-triviale oplossing van (1-34) be-staat, en dat deze oplossing op een constante na uniek is. Deze oplossing | 0iis dus de grondtoestand van de harmonische oscillator.We gaan nu de overige eigenwaarden en bijbehorende eigentoestanden van Hbepalen. Daarvoor is het nuttig eerst de volgende identiteiten aan te tonen.

[H, a±] = ±~ a±; (1-37)£a , an+

¤= nan 1

+ ; (1-38)

an+an =

n 1Y

j=0

(a+a j) . (1-39)

g) Toon (1-37) t/m (1-39) aan.

Hint: Voor commutatoren geldt de volgende identiteit, die u eenvoudig nakunt gaan: [A ,BC] = B [A ,C]+ [A ,B]C. Verder kunt u bij de aeidingvan (1-38) en (1-39) gebruik maken van volledige inductie.

Veronderstel nu dat | i een eigentoestand is van H bij eigenwaarde E 6= 12~ .

Op grond van het voorgaande weten we al dat moet gelden E > 12~ , en

dat | i geen veelvoud van de grondtoestand | 0i kan zijn. Met behulp van deeigenschappen van de harmonische oscillator gaan we aeiden aan welke eisen| i en E nog meer moeten voldoen.

h) Toon achtereenvolgens aan:

i) Als a+ | i 6= 0, is a+ | i ook een eigentoestand van H, en wel bijeigenwaarde E + ~ .Hint: Volgens (1-37) geldt: [H, a+] = ~ a+.

ii) Als a | i 6= 0, is a | i ook een eigentoestand van H, en wel bijeigenwaarde E ~ .Opmerking: Daar a+ en a eigentoestanden van H omzetten in ei-gentoestanden met een hogere resp. lagere energie-eigenwaarde, wor-den ze wel �‘creatie-operator�’ resp. �‘annihilatie-operator�’ genoemd.Wat duidelijker namen zouden wellicht �‘verhogings-operator�’ resp.�‘verlagingsoperator�’ zijn geweest.

iii) Er is een n {1, 2, . . . } zodanig dat voor k = 0, 1, . . . , n geldt:

ak | i 6= 0;

H³ak | i

´= (E k~ )

³ak | i

´,

terwijl bovendien geldt:

an+1 | i = 0.

23

iv) Er is een n {1, 2, . . . } en een complex getal 6= 0 zodanig datgeldt:

an | i = | 0i ;E =

¡n+ 1

2

¢~ .

v) Er is een n {1, 2, . . . } en een complex getal 6= 0 zodanig datgeldt:

| i = an+ | 0i ;E =

¡n+ 1

2

¢~ .

We hebben nu aangetoond dat als er behalve | 0i nog andere eigentoestandenzijn van H, dat die dan te verkrijgen zijn uit | 0i door herhaalde toepassingvan de creatie-operator a+. Wat we nu omgekeerd nog moeten laten zien is datde toestanden an+ | 0i inderdaad eigentoestanden zijn van H.

i) Ga met behulp van h i) na dat we om aan te tonen dat an+ | 0i een eigen-toestand is vanH kunnen volstaan met aan te tonen dat geldt an+ | 0i 6= 0,en dat dan an+ | 0i een eigentoestand is vanH bij eigenwaarde

¡n+ 1

2

¢~ .

j) Toon met behulp van (1-38) aan dat geldt (voor n = 1, 2, . . . ):

an+ 0|an+ 0

®= n an 1

+ 0|an 1+ 0

®, en dus:

°°an+ | 0i°° = n!,

zodat in het bijzonder an+ | 0i 6= 0.

Samengevat hebben we nu dus alle (onafhankelijke) eigentoestanden van Hbepaald. Deze worden voor n = 0, 1, 2, . . . gegeven door:

| nidef= 1

n!an+ | 0i . (1-40)

De toestand | ni is een genormeerde eigentoestand bij eigenwaarde ~¡n+ 1

2

¢.

Hiermee is het eigenwaardeprobleem van de harmonische oscillator volledig op-gelost!In de rest van de opgave gaat u nog wat verder oefenen met de gevondentoestanden. Later zullen we vaak gebruik maken van de volgende identiteiten.

a | ni = n¯n 1

®(1-41)

a+ | ni = n+ 1¯n+1

®(1-42)

k) Leid (1-41) en (1-42) af.

l) Met behulp van het equivalent van (1-40) in de plaatsrepresentatie, kun-nen de met de toestanden | ni geassocieerde gol uncties n (x) explicietbepaald worden.

Bepaal op die manier expliciete uitdrukkingen voor 1 (x) en 2 (x), encontroleer uw antwoorden weer met wat u in Quantummechanica 1 ge-vonden heeft (Sakurai , appendix A.4).

24

De hierboven gevonden toestanden | ni (n = 0, 1, 2, . . . ) blijken een basis tevormen van de Hilbertruimte van toestanden. Ten opzichte van deze basishebben operatoren de vorm van een oneindige matrix.

m) Bepaal de matrixgedaantes van �ˆx en �ˆp ten opzichte van de basis vaneigentoestanden van de harmonische oscillator.

Hint: Bepaal eerst de matrixgedaantes van a+ en a m.b.v. (1-41) en(1-42).

Opmerking: De plaatsoperator en de impulsoperator zien er in deze re-presentatie dus heel anders uit dan in de impulsrepresentatie of plaatsre-presentatie, zoals onmiddellijk blijkt uit een vergelijking van het resultaatdat u hier gevonden heeft met (1-30).

Uit de vorm van �ˆx of �ˆp t.o.v. de basis {|xi} en die t.o.v. de basis {| ni} zijnallerhande identiteiten af te leiden voor de gol uncties n (x). Beschouw bv.:

hx| �ˆx | ni . (1-43)

n) De vorm van �ˆx t.o.v. de basis {|xi} wordt gegeven door: �ˆx |xi = x |xi.Leid hieruit af dat (1-43) identiek is aan: x n (x).

o) Leid uit de in onderdeel m) gevonden vorm van �ˆx t.o.v. de basis {| ni}af dat (1-43) identiek is aan:

q~

2m

¡n n 1 (x) + n+ 1 n+1 (x)

¢.

Er volgt dus:

x n (x) =q

~2m

¡n n 1 (x) + n+ 1 n+1 (x)

¢. (1-44)

p) In de onderdelen e) en l) heeft u 0 (x), 1 (x) en 2 (x) expliciet bepaald.Verieer daarmee dat voor n = 1 aan (1-44) is voldaan.

1.9 Unitaire en isometrische operatoren

In de quantummechanica spelen unitaire en isometrische operatoren een be-langrijke rol. In deze puur mathematische opgave bestuderen we enkele eigen-schappen van zulke operatoren. Een operator A heet unitair als geldt:

A�†A = AA�† = 1.

a) Laat zien dat voor een unitaire operator A geldt: kA |vi k = k |vi k.Wat volgt hieruit voor de eigenwaarden van A?

b) Bewijs dat een unitaire operator een orthonormaal stelsel op een ortho-normaal stelsel afbeeldt.

25

c) Laat zien dat Fouriertransformatie op een functieruimte met standaard-inprodukt unitair is.

Hint: Bepaal eerst de hermitisch toegevoegde F�† van Fouriertransforma-tie. Bij het uitwerken van F�†F en FF�† kunt u gebruik maken van devolgende identiteit:

(x) =1

2

Zdy eixy.

We deniëren een operator van de vorm |vi hw| door aan te geven wat de werkingervan is op een willekeurige ket |ui:

|vi hw| |ui = hw|ui |vi .

Merk op dat deze regel gemakkelijk te onthouden is: samensmelting van de tweeaangrenzende strepen. (Bedenk dat hw|ui een getal is.)

d) Laat zien dat geldt (|vi hw|)�† = |wi hv|.

Zij nu de operator F gedenieerd door F def=P

n|eni hfn|, waarbij {|eni} en

{|fni} twee volledige orthonormale stelsels zijn.

e) Bewijs dat F unitair is.

f) Laat zien dat wanneer B = F �†AF , dat dan hem|A |eni = hfm|B |fni.

Een operator A heet isometrisch als A het inprodukt behoudt:

hAv|Awi = hv|wi .

g) Laat zien dat een unitaire operator isometrisch is.

In een eindig-dimensionale Hilbertruimte geldt omgekeerd ook dat een isome-trische operator unitair is. In een -dimensionale Hilbertruimte echter niet,zoals u in het volgende onderdeel gaat aantonen.

h) Zij H een -dimensionale Hilbertruimte, met als volledig orthonormalebasis: {|eni : n = 1, 2, 3, . . . }. Denieer een operator D op H door:

D |enidef= |en+1i .

i) Bewijs dat D isometrisch is.

ii) Bewijs dat D niet unitair is.

26

1.10 Het energiespectrum van een sterk gepiekte po-tentiaalput

Bij Quantummechanica 1 heeft u niet alleen oplossingen bepaald van de Schrö-dingervergelijking

i~d

dt| (t)i = H | (t)i , (1-45)

maar ook gemerkt dat het oplossen van het eigenwaardeprobleem

H | i = E | i (1-46)

een belangrijk onderdeel van de quantummechanica is.9 Daarmee wordt immershet energiespectrum van een systeem bepaald, en dus ook de niveaus waartus-sen overgangen kunnen plaatsvinden. En dus ook wat de voor dat systeemkarakteristieke spectraallijnen zijn.In opgave 1.12 wordt de relatie tussen de vergelijkingen (1-45) en (1-46) bespro-ken, en met name dat het oplossen van het eigenwaardeprobleem functioneelkan zijn bij het oplossen van de Schrödingervergelijking. Deze opgave heeft totdoel de principes op te halen die ten grondslag liggen aan het oplossen vanhet eigenwaardeprobleem. We doen dat aan de hand van een systeem dat watmoeilijker is dan de systemen die u bij Quantummechanica 1 heeft behandeld.We beschouwen een deeltje dat zich in één dimensie beweegt in een sterk ge-piekte potentiaalput. In de plaatsrepresentatie wordt de Hamiltoniaan van ditdeeltje gegeven door:

H =~2

2m

d2

dx2g (x) , met g > 0.

Merk op dat de eigenwaarde-vergelijkingµ

~2

2m

d2

dx2g (x)

¶(x) = E (x) (1-47)

eenvoudig is op te lossen op de gebieden x > 0 en x < 0, omdat de potentiaalg (x) daar verdwijnt. Om oplossingen van (1-47) te bepalen moeten we dus

alleen nog weten hoe de oplossingen op de gebieden x > 0 en x < 0 op elkaaraan moeten sluiten in x = 0. Het idee is dat deze aansluiting continu moet zijnmaar niet di erentieerbaar, dus van navolgende vorm.

-

6

0 x

(x)

¢¢

PP

9 (1-45) wordt ook wel de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking genoemd en (1-46) detijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking.

27

a) Beredeneer waarom een aansluiting van deze vorm geschikt lijkt als op-lossing van (1-47).

Hint: Van welke vorm zijn de eerste en de tweede afgeleide van danrond x = 0?

b) Als van de geschetste vorm is, is de eerste afgeleided

dxdiscontinu in

x = 0. Leid door integratie van (1-47) over het interval [ , ] af dat de

sprong died

dxin x = 0 moet maken gegeven wordt door:

lim0

µd

dx( )

d

dx( )

¶=

2mg

~2(0) .

c) Welke andere randvoorwaarden moeten nog opgelegd worden aan fysischeoplossingen van het eigenwaarde-probleem?

d) Los het eigenwaarde-probleem op. Onderscheid daarbij de gevallen E > 0,E = 0 en E < 0 (waarom is dit handig?).

Wat is het energiespectrum van H?

Wat is de ontaardingsgraad van elk van de eigenwaarden van H?

Hoeveel gebonden toestanden heeft H?

1.11 De exponent van een lineaire afbeelding

Daar exponentiatie van operatoren in de quantummechanica vaak voorkomt,onder andere bij de formele oplossing van de Schrödingervergelijking (zie 1.12),gaan we daar in deze opgave nader op in. De opgave zelf is puur mathematisch.De exponent van een lineaire afbeelding (operator) A is op dezelfde maniergedenieerd als de exponent van een getal:10

eA =X

n=0

An

n!. (1-48)

Voor getallen x en y geldt: ex+y = exey. Het equivalent hiervan voor operatorengeldt in het algemeen niet , maar wel als de operatoren commuteren:11

als [A,B] = 0, dan eA+B = eAeB ( = eBeA). (1-49)

Om dit af te leiden volgen eerst enkele voorbereidende stappen.

a) Zij A een operator. Beschouw de operator C (x) def= exA. Hierbij hebbenwe een reële variabele x geïntroduceerd waar de operator A zelf niet vanafhangt. Laat met behulp van denitie (1-48) zien dat voor de afgeleidevan C naar x geldt:

C 0 (x) = AC (x) = C (x)A.

10 (1-48) is alleen maar welgedenieerd voor het geval de lineaire afbeelding A begrensd is.We zullen dit aspect negeren en ervan uitgaan dat de reeksen allemaal convergeren.11De reden dat de genoemde regel voor getallen wel in het algemeen geldt, is dan ook dat

getallen met elkaar commuteren.

28

b) Laat zien dat eB een inverse heeft, en dat geldt:¡eB¢ 1

= e B.

Hint: BeschouwD (x) def= exB e xB. Laat zien datD0 (x) = 0, dusD (x) =D (0).

c) Laat met behulp van denitie (1-48) zien dat£A , eB

¤= 0 als [A ,B] = 0.

d) Toon (1-49) aan.

Hint: Bepaal de afgeleide van E (x) def= exA exB e x(A+B), met gebruikma-king van a) t/m c).

e) In de quantummechanica spelen operatoren van de vorm eiA, waarbij Ahermitisch is, vaak een belangrijke rol (zie b.v. (1-51) in opgave 1.12).

Toon aan dat zulke operatoren unitair zijn.

In de rest van de opgave tonen we nog enkele andere resultaten aan waar welater gebruik van zullen maken.

f) Zij A (x) een operator die van een reële variabele x afhangt, en B eenoperator die daar niet van afhangt.

Toon aan dat geldt: A0 (x) = A (x)B dan en slechts dan als A (x) =A (0) exB.

Hint: Bepaal om de stelling van links naar rechts te bewijzen de afgeleidevan A (x) e xB.

g) Zij A (x) een operator die van een reële variabele x afhangt.

Toon aan dat geldt: A (0) = 1 en A (x+ y) = A (x)A (y) dan en slechtsdan als A (x) = exA

0(0).

h) Zij A en B operatoren die niet van de variabele x afhangen.

Toon aan dat geldt: als£exA, B

¤= 0 voor alle x, dan [A ,B] = 0.

1.12 Formele oplossing van de Schrödingervergelij-king

Beginwaarde-problemen zijn typisch fysische problemen: gegeven is de dynami-sche vergelijking van een fysisch systeem, alsmede de toestand van dat systeemop een bepaald tijdstip (zeg t0); gevraagd wordt de toestand van het systeemop een willekeurig ander tijdstip. In de quantummechanica is het beginwaarde-probleem van de volgende vorm:

i~d

dt| (t)i = H (t, �ˆp, �ˆx, . . . ) | (t)i ;

| (t0)i = | 0i .(1-50)

In deze opgave bespreken we enkele procedures voor de oplossing van zo�’nbeginwaarde-probleem.

29

a) Ga door invullen na dat in het geval H niet van de tijd afhangt

| (t)i = ei~ (t t0)H | 0i (1-51)

een oplossing is van (1-50). Leg ook uit waarom dit dan de unieke oplos-sing is.

Hint: Opgave 1.11.a).

Als de toestand van een fysisch systeem op tijdstip t0 gegeven is, volgt uit (1-51)wat de toestand van het systeem op een willekeurig tijdstip t is. De operator

U (t, t0)def= e

i~ (t t0)H heet daarom de evolutie-operator.

b) Laat zien dat de norm van | (t)i behouden is: h (t) | (t)i = h 0| 0i.Hint: Opgave 1.11.e).

c) Toon meer algemeen aan dat ook voor een tijdsafhankelijke Hamiltoniaande norm van | (t)i behouden is, zolang H (t) maar hermitisch is.Hint: Di erentieer de uitdrukking h (t) | (t)i met gebruikmaking vande Schrödingervergelijking.

Merk op dat (1-51) slechts een formele oplossing is van het beginwaarde-pro-bleem. In het algemeen zal het immers heel lastig zijn met behulp van denitie(1-48) uit opgave 1.11 de expliciete vorm van U te bepalen voor een gege-ven Hamiltoniaan H. We kunnen echter wel een meer expliciete oplossing vanhet beginwaarde-probleem geven, wanneer we in staat zijn het eigenwaarde-probleem H | i = E | i op te lossen.

d) Veronderstel dat het eigenwaarde-probleem is opgelost, en dat daarbijeen volledige orthonormale basis {| ni} van eigentoestanden van H isgevonden waarvoor geldt: H | ni = En | ni.Laat zien dat de oplossing (1-51) dan geschreven kan worden als:

| (t)i =X

n

h n| 0i ei~En(t t0) | ni . (1-52)

Hint: Ontwikkel de begintoestand | 0i in eigentoestanden van de Hamil-toniaan.

Als H niet expliciet van de tijd afhangt, wordt de oplossing van het beginwaar-deprobleem (1-50) gegeven door (1-51), of ook (1-52). We gaan nu in op devraag of er ook nog een formele uitdrukking gegeven kan worden voor de oplos-sing van (1-50) in het geval de Hamiltoniaan wel expliciet van de tijd afhangt:H (t, �ˆp, �ˆx, . . . ). Een eerste suggestie zou kunnen zijn:

| (t)i = U (t, t0) | (t0)i , met als evolutieoperator:

U (t, t0) = ei~

R tt0dt0H(t0). (1-53)

30

Een vergelijking van de vorm i~df

dt(t) = A (t) f (t), met A en f reëelwaardige

functies, heeft immers als oplossing (ga na!): f (t) = ei~

R tt0dt0A(t0)

f (t0). DeHamiltoniaan is echter niet reëelwaardig maar operatorwaardig, en net als inopgave 1.11 zorgt dit weer voor de nodige complicaties.

e) Toon aan dat de oplossing van (1-50) wel gegeven wordt door (1-53),indien geldt:

£H (t) ,H

¡t0¢¤= 0, voor alle t en t0. (1-54)

Hint: Werk het rechterlid van (1-53) uit met de denitie van de exponent,en di erentieer de resulterende uitdrukking.

We gaan nu tenslotte in op het geval dat we met een tijdsafhankelijke Hamil-toniaan te maken hebben die niet aan de conditie (1-54) voldoet. Ook voor ditgeval zullen we nog een formele uitdrukking voor de oplossing aeiden.

f) Toon aan dat de het beginwaarde probleem (1-50) equivalent is aan devolgende integraalvergelijking:

| (t)i = | (t0)ii

~

Z t

t0

dt1H (t1) | (t1)i . (1-55)

Deze integraalvergelijking kunnen we itereren. Er geldt namelijk (waarom?):

| (t1)i = | (t0)ii

~

Z t1

t0

dt2H (t2) | (t2)i ,

en wanneer we dit invullen in het rechterlid van (1-55) vinden we in de eersteiteratiestap:

| (t)i = | (t0)ii

~

Z t

t0

dt1H (t1) | (t0)i+

+

µi

~

¶2 Z t

t0

dt1

Z t1

t0

dt2H (t1)H (t2) | (t2)i .

g) Ga na dat we op deze manier doorgaand na n iteratiestappen vinden:

| (t)i = | (t0)ii

~

Z t

t0

dt1H (t1) | (t0)i+

+nX

k=2

µi

~

¶k Z t

t0

dt1

Z t1

t0

dt2 · · ·Z tk 1

t0

dtkH (t1)H (t2) · · ·H (tk) | (t0)i+

+

µi

~

¶n+1 Z t

t0

dt1

Z t1

t0

dt2 · · ·Z tn

t0

dtn+1H (t1)H (t2) · · ·H (tn+1) | (tn+1)i .

(1-56)

31

Merk op dat (1-56) nog steeds een integraalvergelijking voor | i is. De eerstetermen in het rechterlid bevatten weliswaar alleen maar bekende grootheden(H en | (t0)i), maar de laatste term bevat een integratie over onder andere denog onbekende | i. Wel suggereert (1-56) als oplossing van het beginwaarde-probleem (1-50): | (t)i = U (t, t0) | (t0)i, met als evolutieoperator:

U (t, t0) = 1i

~

Z t

t0

dt1H (t1) +

+X

k=2

µi

~

¶k Z t

t0

dt1

Z t1

t0

dt2 · · ·Z tk 1

t0

dtkH (t1)H (t2) · · ·H (tk) . (1-57)

De reeks in het rechterlid van (1-57) wordt wel de Dyson-reeks genoemd.

h) Toon door invullen expliciet aan dat U (t, t0) | (t0)i, met U (t, t0) gegevendoor (1-57), inderdaad voldoet aan het beginwaardeprobleem (1-50).

Opmerking: Vanzelfsprekend is de Dyson-reeks (1-57) slechts een formeleoplossing. Toch kunnen op basis ervan soms algemene conclusies getrok-ken worden, juist omdat (1-57) altijd geldig is. Een voorbeeld hiervanzullen we zien in opgave 3.1.

1.13 De stelling van Ehrenfest

Bij Quantummechanica 1 heeft u de stelling van Ehrenfest reeds leren kennen.Deze stelling geeft een aspect weer van de relatie tussen quantummechanica enklassieke mechanica. De stelling zegt dat wanneer de Hamiltoniaan van een

fysisch systeem gegeven wordt door H =�ˆp2

2m+ V (�ˆx), dat dan geldt.

d h�ˆxidt

=h�ˆpim;

d h�ˆpidt

=

¿dV

d�ˆx

À.

Hierbij is h�ˆxi de verwachtingswaarde van de plaats. Wanneer het systeem zichin de toestand | (t)i bevindt, geldt dus: h�ˆxi (t) = h (t)| �ˆx | (t)i. Idem voor

h�ˆpi (t) en¿dV

d�ˆx

À(t). De stelling van Ehrenfest zegt dus dat voor de verwach-

tingswaarden van de plaats en impuls de klassieke bewegingsvergelijkingen gel-den.In deze opgave gaan we voor een eenvoudig geval de stelling van Ehrenfestcontroleren. We zullen daarbij werken in de impulsrepresentatie. Uit opgave1.6 volgt voor de verwachtingswaarden van plaats en impuls (uitgedrukt intermen van gol uncties in de impulsrepresentatie):

h�ˆxi (t) =

Zdp (p, t) i~

p(p, t) ;

h�ˆpi (t) =

Zdp | (p, t)|2 p.

Het eenvoudige geval dat we bestuderen is dat van een vrij deeltje: V (�ˆx) = 0.

32

a) Leid voor dit geval de Schrödingervergelijking in de impulsrepresentatieaf, dus de Schrödingervergelijking voor (p, t).

b) Los de Schrödingervergelijking op, met als beginvoorwaarde: (p, 0) =(p), waarbij een genormeerde, maar overigens willekeurige functie is.

c) Leid af dat geldt:

h�ˆxi (t) = i~Z

dp (p)d

dp(p) +

t

m

Zdp | (p)|2 p. (1-58)

d) Vanzelfsprekend moet de verwachtingswaarde h�ˆxi (t) reëel zijn. Dit geldtevident voor de tweede term in het rechterlid van (1-58).

Leid af dat het ook voor de eerste term in het rechterlid van (1-58) geldt.

Hint: Partiële integratie.

e) Wat is de interpretatie van de eerste term in het rechterlid van (1-58)?

f) Bepaal de verwachtingswaarde h�ˆpi (t) van de impuls, en ga na dat ookdeze reëel is.

g) Verieer de stelling van Ehrenfest voor dit geval.

1.14 Een scherp bepaald meetresultaat in een eigen-toestand

Wanneer een meetbare grootheid A correspondeert met de operator A, wordtde verwachtingswaarde van een meting van A aan een systeem dat zich in de(genormeerde) toestand | i bevindt gegeven door h |A | i. Een maat voor destatistische onzekerheid in de verwachtingswaarde is de zogenaamde spreiding

| iA, gedenieerd door:

| iAdef=

qh |A2 | i h |A | i2.

Hoe kleiner de spreiding, hoe kleiner de kans om als gemiddelde van een reeksmetingen van A een waarde te vinden die signicant afwijkt van de verwach-tingswaarde. Als de spreiding verdwijnt ( | iA = 0), is bij meting van degrootheid A aan een systeem dat zich in de toestand | i bevindt dus slechtséén uitkomst mogelijk: h |A | i. In deze opgave gaat u uiteindelijk aantonendat de spreiding slechts dan verdwijnt als | i een eigentoestand is van A.

a) Leid allereerst af dat geldt:

kA | i h |A | i | ik = | iA.

Hint: Er geldt per denitie: k k2 = h | i. Bedenk verder dat | i genor-meerd is: h | i = 1.

b) Toon aan dat voor een toestand | i 6= 0 geldt: | iA = 0 dan en slechtsdan als | i een eigentoestand is van A.

33

1.15 Een gaussisch golfpakketje

Zoals bekend uit Quantummechanica 1 , geldt voor de statistische spreidingenin plaats en impuls de volgende ongelijkheid (de onzekerheidsrelatie van Hei-senberg): �ˆx �ˆp 1

2~. In deze opgave zullen we bij wijze van voorbeeld vooreen gaussisch golfpakketje het onzekerheidsprodukt �ˆx �ˆp berekenen als func-tie van de tijd. Daarbij zult u merken dat er gevallen zijn waarvoor dit produktminimaal is, dus 12~.Beschouw een vrij deeltje. Op tijdstip t = 0 wordt de gol unctie in de impuls-representatie gegeven door een gaussische curve:

(p, 0) = Ce p2 , met > 0.

a) Normeer (p, 0). (Hierbij kunt u gebruik maken van de gegevens aan heteind van de opgave.)

b) Bepaal (p, t).

c) Bereken de spreiding van plaats en impuls als functie van de tijd.

d) Bereken het onzekerheidsprodukt �ˆx �ˆp als functie van de tijd.

Wordt de laagst mogelijke waarde 12~ aangenomen? Voor welke t?

Gegevens: Voor > 0 gelden de volgende identiteiten. (Merk op dat de tweedeeenvoudig uit de eerste is af te leiden door di erentiatie naar .)

Zdt e t2 =

q;

Zdt t2 e t2 = 1

2

q.

1.16 Het Schrödingerbeeld, het Heisenbergbeeld enhet interactiebeeld

Tot nu toe hebben we fysische systemen beschreven door tijdsafhankelijke toe-standen | (t)i, die zich ontwikkelen volgens de Schrödingervergelijking. Dezebeschrijvingswijze heet het Schrödingerbeeld . In deze opgave zullen we enkeleandere veel gebruikte, fysisch equivalente, beschrijvingswijzen introduceren.In het Schrödingerbeeld wordt de verwachtingswaarde van een (eventueel expli-ciet tijdsafhankelijke) operator Os op tijdstip t gegeven door:

hOsi (t)def= h s (t)|Os (t) | s (t)i ,

waarbij de index �‘s�’ verwijst naar het Schrödingerbeeld. Verder wordt de Schrö-dingervergelijking gegeven door:

i~d

dt| s (t)i = Hs | s (t)i .

In deze opgave mag u ervan uitgaan dat Hs tijdsonafhankelijk is.

34

a) Leid m.b.v. de Schrödingervergelijking de zogenaamde gegeneraliseerdestelling van Ehrenfest af:

d

dth s (t)|Os (t) | s (t)i =

1

i~h s (t)| [Os (t) ,Hs] | s (t)i +

+ h s (t)|dOsdt

(t) | s (t)i .

Opmerking: De gegeneraliseerde stelling van Ehrenfest wordt vaak kort-weg genoteerd als:

d hOsidt

=1

i~h[Os,Hs]i+

¿dOsdt

À. (1-59)

In het zogenaamde Heisenbergbeeld worden niet de toestanden maar de opera-toren als dynamische variabelen beschouwd. De relatie tussen het Schrödinger-en het Heisenberg-beeld is als volgt.

| hidef= | s (0)i ;

Oh (t)def= e

i~HstOs (t) e

i~Hst.

Merk op dat de Heisenbergtoestand | hi inderdaad tijdsonafhankelijk is, endat de Heisenbergoperator Oh in het algemeen wel van de tijd afhangt (zelfswanneer Os dat niet doet).

b) Toon aan dat de Hamiltoniaan in het Heisenbergbeeld identiek is aan diein het Schrödingerbeeld: Hh = Hs.

Hint: Onderdelen b) en c) van opgave 1.11.

Opmerking: In het vervolg zullen we de indices s en h in H gemakshalveweglaten.

c) Leid af dat geldt: (AsBs)h = AhBh, en dus ook: [Ah, Bh] = ([As, Bs])h.

In het Heisenbergbeeld wordt de verwachtingswaarde van een operator Oh optijdstip t gedenieerd door:

hOhi (t)def= h h|Oh (t) | hi .

d) Laat zien dat hOsi (t) = hOhi (t).Hint: Opgave 1.12.

e) Leid af dat voor de tijdsontwikkeling van een HeisenbergoperatorOh geldt:

dOhdt

=1

i~[Oh,H] +

µdOsdt

¶

h

. (1-60)

Opmerking: Net zoals de Schrödingervergelijking de dynamische vergelij-king is in het Schrödingerbeeld, is de zogenaamde Heisenbergvergelijking(1-60) de dynamische vergelijking in het Heisenbergbeeld.

35

Nog een ander beeld dat vaak gebruikt wordt in de quantummechanica, is hetzogenaamde interactiebeeld . Het is een soort mengeling tussen het Schrödinger-beeld en het Heisenbergbeeld. In dit beeld wordt de Hamiltoniaan gesplitst intwee stukken (en het interactiebeeld is handig wanneer het op fysische grondennuttig is zo�’n opsplitsing te maken):

H = H0 + V .

Hierbij zijnH0 en V beide hermitische operatoren, waarvan we aannemen dat zeniet expliciet van de tijd afhangen (en dus ook H niet). In het interactiebeeldworden zowel de toestanden | i (t)i als de operatoren Oi (t) tijdsafhankelijkgemaakt. De relatie met het Schrödingerbeeld is als volgt:

| i (t)idef= e

i~H0t | s (t)i ;

Oi (t)def= e

i~H0tOs (t) e

i~H0t.

f) Toon aan dat in het interactiebeeld de volgende dynamische vergelijkingengelden:

i~d

dt| i (t)i = Vi (t) | i (t)i ;

dOidt

=1

i~[Oi,H0] +

µdOsdt

¶

i

Opmerking: Hieruit is goed in te zien in welke zin het interactiebeeldeen mengeling is tussen het Schrödingerbeeld en het Heisenbergbeeld. Devergelijking voor | i (t)i is immers als de Schrödingervergelijking maardan met Vi (t) als Hamiltoniaan; de vergelijking voor Oi (t) is als de Hei-senbergvergelijking met H0 als Hamiltoniaan.

Verder deniëren we in het interactiebeeld voor de verwachtingswaarde van eenoperator Oi op tijdstip t:

hOii (t)def= h i (t)|Oi (t) | i (t)i .

g) Toon aan dat geldt: hOii (t) = hOsi (t) (= hOhi (t)).

h) Leg uit waarom het Schrödingerbeeld, het Heisenbergbeeld en het inter-actiebeeld fysisch equivalent zijn.

1.17 De harmonische oscillator in het Heisenberg-beeld

In deze opgave beschouwen we bij wijze van voorbeeld een harmonische oscil-lator, die we in het Heisenbergbeeld gaan behandelen. We beginnen met deHeisenberg-vergelijking (1-60) toe te passen op de annihilatie-operator (die wehier kortweg noteren als �‘a�’ in plaats van �‘a �’). Daaruit leiden we vervolgensde verwachtingswaarden van plaats en impuls af.

36

a) Toon aan dat in het Heisenbergbeeld voor de annihilatie-operator de vol-gende vergelijking geldt:

dahdt

(t) = i ah (t) . (1-61)

b) Laat zien dat de oplossing van (1-61) gegeven wordt door: ah (t) =e i t as.

Hint: ah (0) = as (waarom?).

c) Druk a �†h uit in a�†s .

d) Leid af dat geldt:

�ˆxh (t) = cos ( t) �ˆxs +sin ( t)

m�ˆps;

�ˆph (t) = m sin ( t) �ˆxs + cos ( t) �ˆps.

e) Druk de verwachtingswaarden h�ˆxi (t) en h�ˆpi (t) uit in de verwachtings-waarden h�ˆxi (0) en h�ˆpi (0).Begrijpt u het resultaat? (Wat zegt de gewone stelling van Ehrenfest overde verwachtingswaarden van plaats en impuls?)

1.18 Een gestoorde harmonische oscillator in het in-teractiebeeld

In deze opgave moeten enkele elementen uit het voorgaande gecombineerd toe-gepast worden: eigentoestanden van de harmonische oscillator (opgave 1.8),oplossingsmethoden van de Schrödingervergelijking (opgave 1.12) en relatiestussen diverse beschrijvingswijzen (opgave 1.16).We beschouwen het beginwaardeprobleem:

i~d

dt| (t)i = H | (t)i ;

| (0)i = |0i .

Hierbij is de Hamiltoniaan H een gestoorde harmonische oscillator:

H = H0 + V , met

H0 = 12m �ˆp

2 + m 2

2 �ˆx2;

V = m2 3

~ �ˆx4.

De factor m2 3

~ is toegevoegd opdat dimensieloos is. Verder is een kleinepositieve parameter: 0 < ¿ 1. De toestand |0i, tenslotte, waarin het systeemzich bevindt zich op tijdstip 0, is de grondtoestand van de harmonische oscillator(dus van H0).In deze opgave gaan we het beginwaardeprobleem oplossen via het interactie-beeld.

37

a) Hoe luidt het beginwaardeprobleem voor | i (t)i = ei~H0t | s (t)i?

b) Toon aan dat voor de oplossing van dit beginwaardeprobleem geldt (totop eerste orde in ):

| i (t)i = |0i i m2 3

~2

Z t

0dt0 e

12i t0e

i~H0t

0�ˆx4 |0i + O

¡2¢.

De toestand �ˆx4 |0i is handig nader uit te werken door de operator �ˆx4 te schrijvenin termen van creatie- en annihilatie-operatoren. Als we de eigentoestanden vanH0 noteren als |ki (k = 0, 1, 2, . . . ), dan kan de toestand �ˆx4 |0i nader uitgewerktworden met behulp van de volgende regels (zoals u in opgave 1.8 heeft afgeleid):a |ki = k |k 1i en a�† |ki = k + 1 |k + 1i.

c) Bepaal aldus eerst | i (t)i om vervolgens te vinden:

| s (t)i =¡1 3

4 i t¢e

12i t |0i 3 2

4

³e

12i t e

52i t´|2i

68

³e

12i t e

92i t´|4i + O

¡2¢.

d) Ga na dat voor de spreiding x van de plaats geldt:

( x)2 = ~2m

¡1 6 sin2 t+O

¡2¢¢.

Begrijpt u dat voor het geval > 0 de spreiding kleiner is dan voor hetgeval = 0?

e) Bepaal ook de spreiding p van de impuls, en ga na dat voldaan is aan deonzekerheidsrelatie (tot op de orde in waarop uitspraken gedaan kunnenworden).

1.19 Translaties en impuls

Deze opgave gaat in op de nauwe band tussen translaties en de impulsoperator.We beginnen met 1-dimensionale translaties, en zullen de gevonden resulta-ten vervolgens generaliseren naar 3 dimensies. Deze opgave bereidt enerzijdsvoor op opgave 1.20, waarin de relatie tussen translatie-invariantie en behoudvan impuls besproken wordt; anderzijds op de opgaven 2.3 en 2.11, waarin eenanaloog nauwe band besproken wordt tussen rotaties en baanimpulsmomento-perator resp. spinimpulsmomentoperator.Onder de translatie Ta verstaan we de afbeelding die ieder punt over a ver-plaatst. Ta : R R is dus gedenieerd door: Tax = x+ a.

a) Toon aan dat voor translaties geldt:

i) TaTb = TbTa = Ta+b;

ii) T0 = 1, met 1 de eenheidoperator op R;iii) Ta is inverteerbaar en (Ta)

1 = T a.

38

Een gol unctie (in de plaatsrepresentatie) gaat onder een translatie Ta overin een gol unctie 0 die in een getransleerd punt dezelfde waarde heeft alsin het ongetransleerde punt:

x 7 x0 = Tax;

7 0;

(x) = 0 ¡x0¢.

Met de translatie Ta gaan we nu een afbeelding Ua associëren die een gol unctieovervoert in de �‘getransleerde gol unctie�’ 0: Ua = 0.

b) Toon met behulp van de zojuist ingevoerde denities aan dat geldt:

(Ua ) (x) = (x a) . (1-62)

c) Laat zien dat Ua : L2 (R) 7 L2 (R) een lineaire afbeelding is die bovendienunitair is.

Hint: Laat om de unitariteit aan te tonen eerst zien dat (Ua)�† = U a, dus

( , U a ) = (Ua , ), met ( , ) het standaardinprodukt op L2 (R).

d) Toon aan dat voor deze operatoren geldt:

i) UaUb = UbUa = Ua+b;

ii) U0 = 1, met 1 de eenheidoperator op L2 (R);iii) Ua is inverteerbaar en (Ua)

1 = U a.

De nauwe band tussen translaties en impulsoperator is dat de impulsoperatorde generator van de afbeeldingen Ua blijkt te zijn, dwz.:

Ua = ei~a�ˆp. (1-63)

In het vervolg van de opgave gaan we dit aantonen.

e) Toon aan dat geldt: Ua = eaU0(0), waarbij we onder U 0 (0) de afgeleide

van de afbeelding a Ua in het punt a = 0 verstaan.

Hint: Opgave 1.11 g).

f) Toon aan dat geldt: (U 0 (0) ) (x) = lima 0

(x a) (x)

a.

Hint: Volgens de denitie van de afgeleide geldt: U 0 (0) = lima 0

Ua U0a

.

g) Toon (1-63) aan.

h) Generaliseer de gevonden resultaten naar drie dimensies. Beschouw dus detranslatie T~a : R3 R3, gedenieerd door: T~a~x = ~x+~a. Voer de daarmeegeassocieerde operatoren U~a in. Ga na dat geldt: U~a = Ua1~e1Ua2~e2Ua3~e3 ,met ~e1 de eenheidsvector in de x-richting, etc. Beschouw de afbeeldinga1 Ua1~e1 . Etc. Ga bij elke stap zorgvuldig na waarom u die mag zetten.

39

1.20 Symmetrieën en behoudswetten

In deze opgave gaan we in op de relatie die in de quantummechanica bestaattussen symmetrieën en behoudswetten. We doen dit allereerst aan de hand vantranslatie-symmetrie, om dit later te generaliseren.Beschouw twee identiek geprepareerde systemen (beide bevinden zich op tijdstip0 in de toestand | (0)i), die we op een verschillende manier gaan behandelen:

�• het ene systeem verplaatsen we op tijdstip 0 over een afstand a, en ver-volgens laten we het zich gedurende een tijd t evolueren;

�• het andere systeem laten we zich eerst gedurende een tijd t ontwikkelen,en pas dan verplaatsen we het over een afstand a.

De Hamiltoniaan die deze systemen beschrijft heet translatie-invariant , als on-geacht de begintoestand | (0)i, de afstand a en de tijdsduur t geldt dat ze zichuiteindelijk in dezelfde toestand bevinden:12

(0)evolutie gedurende t - (t)

0(0)

translatie over a

?

evolutie gedurende t- dezelfde toestand

translatie over a

?

In deze opgave kunt u aannemen dat we te maken hebben met een HamiltoniaanH die niet expliciet van de tijd afhangt

a) Toon aan dat H precies dan aan de eis van translatie-invariantie voldoetals voor alle a en t geldt:

he

i~ tH , Ua

i= 0.

b) Toon aan dat H precies dan aan de eis van translatie-invariantie voldoetals geldt: [H, �ˆp] = 0.

Hint: Opgave 1.11 h).

c) Toon aan dat uit translatie-invariantie impulsbehoud volgt: ddt h�ˆpi = 0.

d) Veronderstel dat we te maken hebben met een Hamiltoniaan van de

vorm: H =�ˆp2

2m+ V (�ˆx). Onder welke voorwaarde(n) is dan voldaan

aan translatie-invariantie? Begrijpt u dit resultaat?

e) Toon meer algemeen aan dat als een tijdsonafhankelijke Hamiltoniaaninvariant is onder een bewerking die gegenereerd wordt door een tijdson-afhankelijke operator O, dat dan de met die operator corresponderendegrootheid behouden is.

12Strikt genomen is deze eis te streng, en hoeft alleen maar geëist te worden dat de systemenzich op een fasefactor na in dezelfde toestand bevinden. Het is interessant om na te gaan totwelke verschillen deze lossere eis aanleiding geeft.

40

1.21 Commuterende operatoren

Een wiskundige stelling waar in de quantummechanica regelmatig gebruik vanwordt gemaakt (zie bv. opgave 1.22) is dat commuterende hermitische opera-toren een gemeenschapelijk stelsel van eigenvectoren hebben. We zullen datnu aantonen, en daarbij impliciet uitgaan van een eindig-dimensionaal geval.Als er, behalve hermiticiteit, nog wat additionele eisen gesteld worden, geldt destelling overigens ook voor operatoren die op een oneindig-dimensionale ruimtewerken. Deze opgave is puur mathematisch.Laat A en B commuterende hermitische operatoren zijn: [A,B] = 0. Daar zebeide hermitisch zijn, hebben ze beide een volledig, orthonormaal stelsel vaneigentoestanden. De vraag is nu of deze stelsels gemeenschappelijk (te kiezen)zijn. Zij |ei een eigentoestand van A bij eigenwaarde .

a) Toon aan dat B |ei ook een eigentoestand is van A bij eigenwaarde .

b) Toon aan dat |ei ook een eigentoestand is van B, indien niet-ontaardis.

De stelling is nu dus aangetoond, als alle eigenwaarden van A (of B) niet-ontaard zijn. We gaan nu aantonen dat de stelling onverminderd geldt indien Awel ontaarde eigenwaarden heeft. Stel dat een g-voudig ontaarde eigenwaardeis van A. De eigenruimte V van is dus g-dimensionaal. We gaan nu aantonendat er een basis van V te vinden is, bestaande uit eigentoestanden van B.

c) Beargumenteer dat de stelling aangetoond is, wanneer er zo�’n basis is.

d) Toon aan dat de operator B elementen van V afbeeldt op elementen vanV , zodat dus: B : V V .

e) Beargumenteer waarom de afbeelding B : V V lineair en hermitisch is.

f) Toon nu aan dat er een basis van V te vinden is, bestaande uit eigentoe-standen van B.

Hint: Een hermitsche operator is te diagonaliseren.

1.22 Enkele postulaten van de quantummechanica

In deze opgave gaan we nader in op de fysische interpretatie van het mathema-tisch formalisme dat in de quantummechanica gehanteerd wordt. Daarbij zijnde volgende postulaten van belang.

1. Elke grootheid A die aan een systeem gemeten kan worden, correspon-deert met een hermitische operator A die werkt op de Hilbertruimte vantoestanden waarin het systeem zich kan bevinden. Zo�’n operator heefteen volledig en orthonormaal stelsel van eigentoestanden.13

13Opdat een operator een volledig, orthonormaal stelsel heeft van eigentoestanden bij reëleeigenwaarden, is het in een -dimensionale ruimte niet voldoende dat de operator hermi-tisch is. Zoals al eerder opgemerkt, zullen we echter in dit vak niet ingaan op de strikteremathematische eisen.

41

2. De enig mogelijke uitkomsten van een meting van A zijn de eigenwaardenn van A.

3. Als een systeem beschreven wordt door de (genormeerde) toestand | (t)i,is de waarschijnlijkheid Wn (t) om bij een meting van A op tijdstip t deuitkomst n te vinden:

Wn (t) = |hen| (t)i|2 . (1-64)

Hierin is |eni een genormeerde eigentoestand van A bij eigenwaarde n:A |eni = n |eni, hen|eni = 1.Meer precies: (1-64) geldt alleen als de eigenwaarde n niet ontaard is.In het geval n g-voudig ontaard is, en de bijbehorende eigenruimte dusg-dimensionaal is, geldt:

Wn (t) =

gX

i=1

|heni | (t)i|2 . (1-65)

Hierin is {|enii : i = 1, . . . , g} een orthonormale basis van de eigenruimtevan n: A |enii = n |enii, eni |enj

®= ij .

4. Wanneer bij meting van A de uitkomst n gevonden wordt, wordt de toe-stand waarin het systeem zich onmiddellijk na de meting bevindt (op eennormeringsfactor na) gegeven door de projectie van | (t)i op de eigen-ruimte behorende bij n: gX

i=1

heni | (t)i |enii .

Dus als een fysisch systeem zich niet in een eigentoestand van A bevindt,zal een meting van A de toestand van het systeem veranderen (de zoge-naamde wavefunction collapse). Met name dit postulaat is een belangrijkonderwerp van de grondslagendiscussies over de quantummechanica.

We gaan allereerst aantonen dat de kans Wn (t) ondubbelzinnig gedenieerd isdoor (1-65), dwz., niet afhangt van de mathematische procedure volgens welkedie kans berekend wordt. Voor de duidelijkheid beginnen we met het geval datn niet ontaard is, en waarvoor (1-65) dus reduceert tot (1-64).Wat we nu dus moeten laten zien is dat |hen| (t)i|2 = |hfn| (t)i|2, wanneer|eni en |fni beide genormeerde eigentoestanden zijn van A bij de niet-ontaardeeigenwaarde n.

a) Toon dit aan.

Hint: In welke zin kunnen |eni en |fni nog verschillen als ze beide genor-meerde eigentoestanden zijn bij een niet-ontaarde eigenwaarde?

Vervolgens beschouwen we het meer algemene geval van een eigenwaarde n

met een ontaardingsgraad g. Wat we nu dus moeten aantonen is, dat wanneer{|enii : i = 1, . . . , g} en {|fnii : i = 1, . . . , g} beide orthonormale bases zijn vande eigenruimte van n, dat dan geldt:

gX

i=1

|hfni | (t)i|2 =gX

i=1

|heni | (t)i|2 . (1-66)

42

Om (1-66) aan te tonen, zullen we de coë ciënten hfni | (t)i op een of anderemanier moeten gaan uitdrukken in de coë ciënten enj | (t)

®. Er kan nu de

neiging bestaan dit, op grond van de volledigheidsrelatiegP

j=1

¯enj®enj¯= 1, als

volgt te doen:

hfni | (t)i =gX

j=1

fni |enj®enj | (t)

®. (1-67)

Hoewel (1-67) correct is, is het argument dat er zojuist voor gebruikt is nietgeldig. Op grond van de zojuist genoemde volledigheidsrelatie kan namelijk

alleen maar geconcludeerd worden: hv|wi =gP

j=1v|enj

®enj |w

®voor toestanden

|vi en |wi die een lineaire combinatie zijn van de toestanden |en1i, |en2i, . . . ,¯eng®, dus voor toestanden |vi en |wi die zich bevinden in de eigenruimte van

n. De toestand | (t)i hoeft echter niet in die ruimte te zitten, en daarommogen we (1-67) niet zonder een nader bewijs opschrijven. Door wat extrawerk te verzetten, kan (1-67) toch afgeleid worden, namelijk door gebruik temaken van een volledigheidsrelatie op de gehele Hilbertruimte van toestanden.Zij dus

©¯emj

®ªeen volledige orthonormale basis van eigentoestanden van A,

waarbij de index m de verschillende eigenwaarden labelt, en de index j deeventuele ontaarding: A

¯emj

®= m

¯emj

®, en als m 6= m0 dan m 6= m0 . Er

geldt dan:

hfni | (t)i =X

m

X

j

fni |emj

®emj | (t)

®. (1-68)

b) Leid (1-67) af uit (1-68).

Hint: Opgave 1.1.c).

c) Toon aan dat geldt:

gX

i=1

|hfni | (t)i|2 =gX

i,j,k=1

fni |enj®enj | (t)

®henk |fnii h (t) |enki .

d) Maak gebruik van een volledigheidsrelatie op de eigenruimte van n, om(1-66) aan te tonen.

Waarom mag die volledigheidsrelatie gebruikt worden?

De kans Wn (t) is dus goed gedenieerd. Vervolgens gaan we nader in op derelatie tussen verwachtingswaarde en kansen op meetuitkomsten.

e) Zij | (t)i een genormeerde toestand. Leid af dat geldt:

h (t)|A | (t)i =X

n

Wn (t) n. (1-69)

43

f) Beargumenteer met behulp van de postulaten waarom (1-69) in overeen-stemming is met de fysische interpretatie van h (t)|A | (t)i als verwach-tingswaarde van een meting van A (op tijdstip t).

Tijdsonafhankelijke operatoren die met de Hamiltoniaan commuteren nemeneen speciale positie in. Bij onderdeel h) zullen we namelijk zien dat voor zulkeoperatoren de kansen op meetuitkomsten constant zijn in de tijd. We beginnenechter met een wat zwakker resultaat af te leiden.

g) Laat m.b.v. de gegeneraliseerde stelling van Ehrenfest zien dat de verwach-tingswaarde van een tijdsonafhankelijke operator die commuteert met deHamiltoniaan constant is.

Door combinatie van (1-69) en het resultaat van onderdeel g) volgt: als een tijds-onafhankelijke operator commuteert met de Hamiltoniaan, dan is

P

nWn (t) n

constant. Zoals al aangekondigd blijkt een nog veel sterker resultaat te gelden,namelijk dat ook elk van de kansen Wn (t) afzonderlijk constant is.

h) Toon dit laatste aan. Dus als A tijdsonafhankelijk is en [H ,A] = 0, dandWn

dt= 0.

Hint: Wanneer twee hermitische operatoren commuteren, is er een volle-dig en orthonormaal stelsel van eigentoestanden van zowel de ene als deandere operator. Beschouw verder voor het gemak eerst het geval dat n

niet ontaard is. Schrijf dan Wn (t) = |hen| (t)i|2 = hen| (t)i h (t) |enien laat met gebruikmaking van de Schrödingervergelijking zien dat detijdsafgeleide hiervan 0 is. Beschouw vervolgens het geval dat n ontaardis.

1.23 De viriaalstelling

In de klassieke mechanica geldt voor periodieke bewegingen de viriaalstelling:

T = 12~F · ~x. (1-70)

Hierbij stelt T de kinetische energie voor: T = 12m~v ·~v, en wordt met de streep

middeling over de tijd bedoeld. Voor een periodieke grootheid f met periodegeldt dus:

f =1Z

0dt f (t) .

De viriaalstelling ontleent zijn naam aan het feit dat het rechterlid van (1-70)de viriaal heet. In deze opgave zullen we de klassieke viriaalstelling (1-70)bewijzen, alsmede de quantummechanische versie ervan.

a) Toon de klassieke viriaalstelling (1-70) aan.

Hint: Partiële integratie en de tweede wet van Newton.

44

Voor het geval we te maken hebben met een conservatieve kracht, zodat ~Fgeschreven kan worden als ~F = ~ V , met V de potentiële energie, kunnen wede klassieke viriaalstelling ook formuleren als:

2T =³~ V

´· ~x.

Wanneer we het tijdsgemiddelde vervangen door de verwachtingswaarde, geldtde viriaalstelling in de quantummechanica voor stationaire toestanden. In derest van de opgave gaan we dit aeiden en toepassen.Beschouw dus een deeltje dat zich in de drie-dimensionale ruimte beweegt. DeHamiltoniaan van het deeltje wordt gegeven door:

H = T + V³�ˆ~x´,

met T de operator voor de kinetische energie: T = 12m�ˆ~p · �ˆ~p.

b) Leid met behulp van de gegeneraliseerde stelling van Ehrenfest (1-59) afdat geldt:

d

dt

D�ˆ~x · �ˆ~p

E= 2 hT i+ 1

i~

3X

j=1

h�ˆxj [�ˆpj , V ]i .

Hint: Schrijfh�ˆ~x · �ˆ~p ,H

i=

3P

i,j=1

£�ˆxi�ˆpi ,

12m �ˆpj �ˆpj

¤+

3P

i=1[�ˆxi�ˆpi , V ]; werk dit

verder uit m.b.v. identiteiten als [A ,BC] = B [A ,C] + [A ,B]C; maakook gebruik van de canonieke commutatierelaties [�ˆxk , �ˆpl] = i~ kl.

c) Laat zien dat in de plaatsrepresentatie geldt:

3X

j=1

�ˆxj [�ˆpj , V ] = i~~x ·³~ V

´.

Een stationaire toestand is een toestand van de volgende vorm:

| (t)i = ei~Et | Ei ,

waarbij | Ei een tijdsonafhankelijke eigentoestand is van H bij eigenwaarde E:H | Ei = E | Ei.

d) Laat zien dat een stationaire toestand aan de Schrödingervergelijking vol-doet.

e) Toon aan dat wanneer een deeltje zich in een stationaire toestand bevindt,de verwachtingswaarde van een tijdsonafhankelijke operator A constantis.

f) Leid de quantummechanische versie van de viriaalstelling af: Als een deel-tje zich in een stationaire toestand bevindt, geldt (in de plaatsrepresen-

tatie): 2 hT i =D~x ·³~ V

´E.

45

g) Veronderstel dat de potentiaal V van het deeltje van de volgende vorm is(in de plaatsrepresentatie):

V (~x ) = C |~x|n ,

waarbij C een reële constante is.

Leid een verband af tussen hT i en hV i, voor het geval het deeltje zich ineen stationaire toestand bevindt.

Hint: WerkD~x ·³~ V

´Everder uit.

h) Bepaal het verband tussen hT i en hV i voor een stationaire toestand:

i) van de isotrope drie-dimensionale harmonische oscillator;

ii) van het waterstofatoom.

1.24 Samenvatting

Deel 1 over het formalisme van de quantummechanica is nu afgelopen. Over deonderwerpen die behandeld zijn leert u in het vervolg niks nieuws meer bij. Watu zich nog wel eigen zult moeten maken is de vaardigheid om de behandelde stofmet voldoende exibiliteit, overzicht en beleid toe te passen. In feite bestaat dievaardigheid uit het beheersen van een aantal procedures (manieren van aanpak).Enkele voorbeelden zijn:

�• het in elkaar omzetten van bra�’s en kets;

�• het in elkaar omzetten van toestanden en gol uncties;

�• het in elkaar omzetten van operatoren die werken op toestanden en ope-ratoren die werken op gol uncties;

�• het oplossen van eigenwaarde-problemen;

�• het oplossen van beginwaarde-problemen;

�• het relateren van ruimtelijke afbeeldingen (translaties, rotaties, etc.) aandaarmee corresponderende operatoren op gol uncties;

�• het bepalen van mogelijke meetuitkomsten en het berekenen van kansendaarop;

�• . . .

Voor het tentamen hoeft u niets anders te beheersen dan zulke procedures. Zetze daarom eens kernachtig op een rijtje.

46

Deel 2

Impulsmoment

Net als in de klassieke mechanica, speelt ook in de quantummechanica de groot-heid impulsmoment een belangrijke rol�–in de quantummechanica vanzelfspre-kend als een operator. In dit deel gaan we daar uitgebreid op in. Aan de ordekomen onder andere de volgende onderwerpen.

�• Algemene theorie van het impulsmoment.

�• De relatie tussen rotaties en impulsmomenten.

�• Deeltjes met spin.Hierbij worden spin-12 deeltjes in een extern magneetveld en het Zeeman-e ect als toepassingen behandeld.

�• Optellen van impulsmomenten.Hierbij komen Clebsch-Gordan coë ciënten aan de orde.

�• Scalaire operatoren en vectoroperatoren.Hierbij komt het Wigner-Eckart theorema aan de orde en worden enkeleselectieregels behandeld.

Wat betreft de wiskunde komen nu onder andere de bij een behandeling vande quantummechanica vaak gebruikte begrippen van een groep en een Liegroepaan bod, maar ook de binnen de gehele natuurkunde vaak gebruikte bolfuncties.Ook nu zullen we niet altijd even diep ingaan op de precieze mathematischedetails.In Sakurai zijn de betre ende stukken te vinden in de paragrafen 3.1�—3.2, 3.5�—3.7, 3.10, 5.3 (sterk Zeeman-e ect), en in de appendices A.5�—A.6.

47

2.1 De baanimpulsmomentoperator

Deze opgave is een oefening in de basiseigenschappen van het baanimpulsmo-ment . De baanimpulsmomentoperator wordt, analoog aan de klassieke mecha-

nica, gedenieerd door: ~L def= �ˆ~x× �ˆ~p, dwz.:

Lx = �ˆy�ˆpz �ˆz�ˆpy; Ly = �ˆz�ˆpx �ˆx�ˆpz; Lz = �ˆx�ˆpy �ˆy�ˆpx. (2-1)

Het blijkt dat (2-1) bondig geschreven kan worden als:

Li =3X

j,k=1

²ijk �ˆxj �ˆpk. (2-2)

Hierbij is de zogenaamde Levi-Civita tensor ²ijk als volgt gedenieerd:

1. ²123 = 1;

2. ²ijk is antisymmetrisch in alle indices.

Er geldt dus bv.: ²112 = 0, ²213 = 1, ²231 = 1, ²321 = 1.

a) Laat zien dat (2-1) en (2-2) equivalent zijn.

b) Laat zien dat de Li hermitisch zijn.

c) Laat zien dat de Li aan de volgende commutatierelaties voldoen:

[Li , Lj ] = i~3X

k=1

²ijkLk. (2-3)

Hint: Voor de Levi-Civita tensor geldt de volgende identiteit (die vrijeenvoudig is na te gaan):

3X

k=1

²ijk²klm = il jm im jl. (2-4)

Laat m.b.v. deze identiteit, de canonieke commutatierelaties [�ˆxk , �ˆpl] =i~ kl, etc., zien dat het linkerlid van (2-3) gelijk is aan: i~ (�ˆxi�ˆpj �ˆxj �ˆpi).Laat vervolgens m.b.v. (2-4) zien dat ook het rechterlid van (2-3) hieraangelijk is.

Opmerking: (2-3) kan wat uitgebreider geschreven worden als:

[Lx , Ly] = i~Lz; [Ly , Lz] = i~Lx; [Lz , Lx] = i~Ly. (2-5)

Probeer de rest van de opgave te maken door alleen gebruik te maken van:

�— het feit dat de operatoren Lx, Ly, Lz hermitisch zijn;

�— de commutatierelaties (2-5).

48

d) Een deeltje bevindt zich in een eigentoestand van Lz.

Laat zien dat in die toestand de verwachtingswaarden van zowel Lx alsLy nul zijn.

e) Een deeltje bevindt zich in een toestand | i die zowel een eigentoestandis van Lx als van Ly.

Laat zien dat Lx | i = Ly | i = Lz | i = 0.

2.2 De baanimpulsmomentoperator in de plaatsre-presentatie

Deze opgave is mathematisch van aard, en betreft de expliciete vorm van debaanimpulsmomentoperator in de plaatsrepresentatie. In veel voorkomendeproblemen zal het nuttig zijn de baanimpulsmomentoperator te kennen in bol-coördinaten. We beginnen echter met Cartesische coördinaten.

a) Geef de expliciete vorm van Lx, Ly en Lz in de plaatsrepresentatie inCartesische coördinaten.

b) Toon aan dat in de plaatsrepresentatie in bolcoördinaten geldt:

Lx = i~ sin + i~ cot cos ;

Ly = i~ cos + i~ cot sin ;

Lz = i~ .

Hint: Om x , y , en z uit te drukken in r , en kunt u als volgt tewerk gaan. De relatie tussen een gol unctie c in Cartesische coördinatenen de daarmee corresponderende gol unctie b in bolcoördinaten is alsvolgt: b (r, , ) = c (r sin cos , r sin sin , r cos ), zodat bv.:

b

r(r, , ) = sin cos c

x(r sin cos , r sin sin , r cos ) +

+ sin sin c

y(r sin cos , r sin sin , r cos ) +

+ cos c

z(r sin cos , r sin sin , r cos ) ,

of kortweg:r= sin cos

x+ sin sin

y+ cos

z.

Op analoge manier zijn en uit te drukken in x , y , en z , en dan

tenslotte door invertering x , y , en z in r , en .

c) Toon aan dat wanneer | i een eigentoestand is van zowel Lx als van Ly,dat dan h~x| i een bolsymmetrische gol unctie is.Hint: Opgave 2.1 e).

49

2.3 Rotaties en baanimpulsmoment

Deze opgave betreft de mathematische achtergronden van de relatie tussen ro-taties in drie dimensies en de baanimpulsmomentoperator. Net zoals de impuls-operator de generator van translaties is (zie opgave 1.19), blijkt de baanimpuls-momentoperator de generator van rotaties te zijn. De opzet van deze opgave isvergelijkbaar met die van opgave 1.19. Het is niet de bedoeling van deze opgavedat u alle mathematische details doorgrondt. (Er staat dan aangegeven dat uiets zonder bewijs kunt aannemen.)We beginnen met de denitie van het mathematische begrip groep. Een groepG is een verzameling waarop een vermenigvuldiging gedenieerd is, zodanigdat geldt:

1. G is gesloten onder : als g1, g2 G, dan g1 g2 G

2. is associatief op G: g1 (g2 g3) = (g1 g2) g3

3. G bevat een eenheidselement e van : e g = g e = g

4. ieder element vanG heeft een inverse g 1 onder inG: g g 1 = g 1 g = e

Beschouw nu de verzameling van drie-dimensionale rotaties: reële 3×3-matricesR, zodanig dat R orthogonaal is (RRT = RTR = I, met RT de getransponeerdevan R) en detR = 1.

a) Laat zien dat rotaties een groep vormen onder matrixvermenigvuldiging.

Een gol unctie (in de plaatsrepresentatie) gaat onder een rotatie R over ineen gol unctie 0 die in een geroteerd punt dezelfde waarde heeft als in hetongeroteerde punt:

~x 7 ~x 0 = R~x;

7 0;

(~x ) = 0 ¡~x 0¢.

Met een rotatie R gaan we nu een afbeelding UR associëren die een gol unctieovervoert in de �‘geroteerde gol unctie�’ 0: UR = 0.

b) Toon aan dat uit deze denities volgt voor UR:

(UR ) (~x ) =¡R 1~x

¢.

c) Laat zien dat de verzameling van afbeeldingen UR, waarbij R een rotatieis, een groep vormt. Neem als produkt van UR1 en UR2 de samenstelling

ervan: (UR1 UR2) ( )def= UR1 (UR2 ).

Een groep H heet een voorstelling van een groep G als er een afbeelding A :G 7 H bestaat zodanig dat A (g1 ¦ g2) = Ag1 Ag2. Hierbij zijn g1, g2 G, is¦ de vermenigvuldiging op G en die op H.

d) Laat zien dat de groep van afbeeldingen UR een voorstelling vormt vande rotatiegroep.

50

e) Laat zien dat UR : L2¡R3¢7 L2

¡R3¢unitair is.

Hint: Laat eerst zien dat (UR)�† = UR 1 , dus ( , UR 1 ) = (UR , ),

met ( , ) het standaardinprodukt op L2¡R3¢.

Om de discussie overzichtelijk te houden, beschouwen we nu eerst alleen rotatiesom de x3-as (z-as). Onder R3 ( ) verstaan we de rotatie om de x3-as over dehoek . Onder U3 ( ) verstaan we de hiermee geassocieerde operator die eengol unctie overvoert in de �‘geroteerde�’ gol unctie: U3 ( ) = UR3( ).

f) Bepaal de matrixgedaante van R3 ( ).

Hint: In de ide kolom van een matrix staat het beeld van de eenheidsvector~ei.

g) Ga na dat geldt:

i) R3 ( )R3 ( ) = R3 ( )R3 ( ) = R3 ( + );

ii) R3 (0) = 1, met 1 de eenheidsmatrix;

iii) R3 ( ) is inverteerbaar en (R3 ( ))1 = R3 ( ).

h) Toon aan dat geldt:

(U3 ( ) ) (~x ) = (x1 cos + x2 sin , x1 sin + x2 cos , x3) .

i) Ga na dat geldt:

i) U3 ( )U3 ( ) = U3 ( )U3 ( ) = U3 ( + );

ii) U3 (0) = 1, met 1 de eenheidsoperator op L2¡R3¢;

iii) U3 ( ) is inverteerbaar en (U3 ( ))1 = U3 ( ).

j) Leg uit waarom geldt:

R3 ( ) = e i K3 ;

U3 ( ) = e i 3 ,

waarbij de generatoren gegeven worden door:

K3 = iR 03 (0) , resp.

3 = iU 03 (0) .

k) Toon expliciet aan dat geldt:

K3 =0 i 0i 0 00 0 0

;

( 3 ) (~x ) = id

d(U3 ( ) ) (~x )

¯¯=0

= ix2 ( 1 ) (~x ) ix1 ( 2 ) (~x )

= 1~

³Lplaatsz

´(~x ) , zodat dus

3 = 1~ L

plaatsz

51

U heeft nu aangetoond dat 1~L

plaatsz de generator is van rotaties om de z-as.

Een gol unctie plaats transformeert onder een rotatie R3 ( ) dus naar de golf-

functie ei~ Lplaatsz plaats. Dit resultaat kan uiteraard ook basisonafhankelijk

geformuleerd worden: onder een rotatie R3 ( ) gaat een toestand | i over in detoestand e

i~ Lz | i.

l) i) Beschouw nu rotaties om de x-as en de y-as, en bepaal analoog K1en 1 resp. K2 en 2.

ii) Toon aan dat de resultaten wat betreft de Ki als volgt samengevatkunnen worden: (Ki)jk = i ²ijk.

We gaan de in het voorgaande afgeleide resultaten nu enigszins generaliseren endaarbij vermelden we ook wat mathematische terminologie. Rotaties vormenniet slechts een groep, maar een Liegroep. Dat wil zeggen dat rotaties opeen di erentieerbare manier te parametriseren zijn. Om de rotatiegroep teparametriseren zijn drie parameters nodig. Een rotatie in drie dimensies isimmers altijd een draaiing om een bepaalde as, over een bepaalde hoek, in eenbepaalde zin (linksom of rechtsom). Om de draaias en de draaizin aan te gevenkunnen we volstaan met het geven van een eenheidsvector (twee parameters),en om de draaihoek aan te geven moet nog een derde parameter toegevoegdworden. In het vervolg verstaan we onder R (~ ) de rotatie om de as ~ overde hoek |~ |. Onder U (~ ) verstaan we in het vervolg UR(~ ). Net als rotatiesvormen ook de U (~ ) een Liegroep.Een generalisatie van het in het voorgaande afgeleide is dat de elementen vaneen Liegroep als exponent geschreven kunnen worden. Toegepast op de R (~ )en U (~ ) houdt dit in:

R (~ ) = e i ~ · ~K ; (2-6)

U (~ ) = e i ~ ·~ . (2-7)

Hierbij zijn de generatoren Ki en i als in het voorgaande bepaald.1 In hetbijzonder geldt dus: ~ = 1

~~L.

1Dit resultaat lijkt wellicht triviaal. Met gebruikmaking van het voorgaande geldt immers:U ( 1~e1) = U1 ( 1) = e

i~ 1L1 , en evenzo: U ( 2~e2) = e

i~ 2L2 ; U ( 3~e3) = e

i~ 3L3 . We

hebben hier in feite dezelfde situatie als in opgave 1.19. Daar gold immers: Uai~ei = ei~aipi ,

en konden we als volgt redeneren:

U~a = Ua1~e1Ua2~e2Ua3~e3 = ei~a1p1e

i~a2p2e

i~a3p3 = e

i~~a·~p.

Dit suggereert een analoge redenering in het huidige geval:

U (~ ) = U ( 1~e1)U ( 2~e2)U ( 3~e3) = ei~ 1L1e

i~ 2L2e

i~ 3L3 = e

i~ ~ ·

~L.

Deze redenering gaat echter niet op. Ga na dat in het algemeen noch de eerste gelijkheidgeldt:

U (~ ) 6= U ( 1~e1)U ( 2~e2)U ( 3~e3) ,

noch de laatste gelijkheid:

ei~ 1L1e

i~ 2L2e

i~ 3L3 6= e

i~ ~ ·

~L.

Ga ook na waarom de redenering in het geval van translaties wel opgaat.

52

Daar de rotatiegroep gesloten is onder matrixvermenigvuldiging, volgt dat erbij gegeven ~ en ~ een ~ moet zijn zodanig dat e i ~ · ~K e i~ · ~K = e i~ · ~K . Zonderbewijs vermelden we dat hieruit volgt dat de generatoren Ki gesloten moetenzijn onder commutatie:

[Ki ,Kj ] =3X

k=1

cijkKk. (2-8)

De coë ciënten cijk heten de structuurconstanten van de rotatiegroep.We hebben gezien dat de U (~ ) een voorstelling vormen van de R (~ ). Daaruitvolgt dat als R (~ ) R(~ ) = R (~ ), dat dan moet gelden dat U (~ ) U(~ ) =U (~ ). Zonder bewijs vermelden we dat hieraan alleen maar voldaan is, indiende structuurconstanten van de groep van afbeeldingen U (~ ) dezelfde zijn alsdie van de rotatiegroep:

[ i , j ] =3X

k=1

cijk k. (2-9)

m) Toon aan dat met de gevonden generatoren Ki en i inderdaad voldaanis aan (2-8) en (2-9), en dat de structuurconstanten gegeven worden doorcijk = i ²ijk.

Hint: (2-3) en (2-4).

2.4 Algemene theorie van het impulsmoment

We hebben in opgave 2.3 gezien dat de afbeeldingen U (~ ) = ei~~ ·

~L een groepvormen van unitaire operatoren, en dat die groep een voorstelling vormt van derotatiegroep. Onder een impulsmomentoperator ~J verstaan we nu in het alge-meen een drietal operatoren J1, J2 en J3 zodanig dat de afbeeldingen e

i~~ ·

~J eengroep van unitaire operatoren vormen, en zodanig dat die groep een voorstellingvormt van de rotatiegroep. In deze opgave gaan we enkele eigenschappen aei-den die een willekeurige impulsmomentoperator ~J moet hebben. Deze opgave ispuur mathematisch. Van de eigenschappen die we vinden, alsmede van enkeletechnieken waarmee we die eigenschappen aeiden, zullen we echter ook in fysi-sche problemen veelvuldig gebruik gaan maken. Voor we op die eigenschappenin technieken ingaan, beginnen we echter met een alternatieve karakteriseringvan een impulsmomentoperator ~J .

a) Toon aan dat drie operatoren J1, J2 en J3 een impulsmomentoperator ~Jvormen precies dan als geldt:

J�†i = Ji; (2-10)

[Ji , Jj ] = i~3X

k=1

²ijkJk. (2-11)

53

In deze opgave gaan we nader in op enkele eigenschappen die elke impulsmo-mentoperator ~J moet hebben. We baseren ons dus puur en alleen op (2-10) en(2-11). We deniëren eerst:

~J 2 =3X

i=1

J2i = J2x + J2y + J2z ;

J± = J1 ± iJ2 = Jx ± iJy.

De J± heten ladderoperatoren. Zoals verderop duidelijk zal worden, spelen zebinnen de algemene theorie van het impulsmoment een vergelijkbare rol alsde creatie- en annihilatie-operatoren bij de bepaling van het spectrum van deharmonische operator (zie opgave 1.8).

b) Toon aan dat geldt:³~J 2´�†= ~J 2;

h~J 2, Ji

i= 0;

J�†+ = J ;h~J 2, J±

i= 0;

J�† = J+; [J+, J ] = 2~Jz;

J±J = ~J 2 J2z ± ~Jz; [Jz, J±] = ±~J±.

c) Hieronder staan enkele sets van operatoren gegeven. Voor welke van diesets is een gemeenschappelijk stelsel van eigenvectoren te vinden?

{Jx, Jy}, {Jx, Jz}, {Jy, Jz},nJx, ~J

2o,nJy, ~J

2o,nJz, ~J

2o, {Jx, Jy, Jz},

nJx, Jy, ~J

2o,nJx, Jz, ~J

2o,nJy, Jz, ~J

2o,nJx, Jy, Jz, ~J

2o.

Veronderstel dat | i een eigenstoestand is van zowel Jz als ~J 2. We gaan nu aan-tonen wat dan de mogelijke eigenwaarden zijn van Jz en ~J 2. Dit gaan we doendoor analoog aan opgave 1.8 met behulp van J+ en J andere eigentoestandente construeren.

d) Toon achtereenvolgens aan:

i) Er zijn dimensieloze getallen , R, met bovendien 0, zodanigdat geldt:

~J 2 | i = ~2 | i ;Jz | i = ~ | i .

ii) Tussen en geldt de relatie: 2 .Hint: J2x + J

2y = ~J 2 J2z

iii) Als J+ | i 6= 0, is J+ | i een gemeenschappelijke eigentoestand van~J 2 en Jz bij eigenwaarden ~2 resp. ( + 1) ~.

Hint:h~J 2, J+

i= 0 resp. [Jz, J+] = ~J+.

54

iv) Als J | i 6= 0, is J | i een gemeenschappelijke eigentoestand van~J 2 en Jz bij eigenwaarden ~2 resp. ( 1) ~.Opmerking: Als het goed is, begrijpt u nu waarom de J± ladderope-ratoren heten.

v) Er zijn n+, n {0, 1, 2, . . . } zodanig dat de toestanden Jk++ | i,waarbij k+ {0, . . . , n+}, en de toestanden Jk | i, waarbij k{0, . . . , n }, gemeenschappelijke eigentoestanden zijn van ~J 2 en Jz.Meer precies: Jk++ | i 6= 0; Jk | i 6= 0, en

~J 2³Jk++ | i

´= ~2

³Jk++ | i

´; (2-12)

~J 2³Jk | i

´= ~2

³Jk | i

´; (2-13)

Jz

³Jk++ | i

´= ( + k+) ~

³Jk++ | i

´; (2-14)

Jz

³Jk | i

´= ( k ) ~

³Jk | i

´, (2-15)

terwijl bovendien geldt:

J(n++1)+ | i = 0; (2-16)

J(n +1) | i = 0. (2-17)

vi) Tussen , , en n+ geldt de relatie:

= ( + n+) ( + n+ + 1) . (2-18)

Hint: Uit (2-16) volgt evident: J J+¡Jn++ | i

¢= 0. Maak vervol-

gens gebruik van J J+ = ~J 2 J2z ~Jz en de relaties in (2-12) t/m(2-15).

vii) Tussen , , en n geldt de relatie:

= ( n ) ( n 1) . (2-19)

viii) Er geldt:

= 12 (n n+) ;

= 12 (n+ + n )

©12 (n+ + n ) + 1

ª.

Hint: Maak gebruik van (2-18) en (2-19).

ix) Er is een j©0, 12 , 1,

32 . . .

ªen er is een m { j, j + 1, . . . , j},

zodanig dat:

~J 2 | i = j (j + 1) ~2 | i ;Jz | i = m~ | i .

Verder is er voor elke m0 { j, j + 1, . . . , j} door geschikte her-haalde toepassing van J+ dan wel J op | i een gemeenschappe-lijke eigentoestand te construeren van ~J 2 en Jz bij eigenwaardenj (j + 1) ~2 resp. m0~.

55

Het in onderdeel d ix) behaalde resultaat, is het meest belangrijke van dezeopgave. De rest van deze opgave bestaat uit herformuleringen en uitbreidingenhiervan. Zo hebben we gezien dat er voor een gemeenschappelijke eigentoestandvan ~J 2 en Jz een j

©0, 12 , 1,

32 . . .

ªis, zodanig dat die toestand onderdeel is

van een keten van 2j+1 gemeenschappelijke eigentoestanden van ~J 2 en Jz. Aldeze 2j+1 toestanden hebben bij ~J 2 dezelfde eigenwaarde: j (j + 1) ~2. Bij Jzhebben ze allemaal een verschillende eigenwaarde: één met eigenwaarde j~, éénmet eigenwaarde (j 1) ~, . . . , en tenslotte één met eigenwaarde j~. Verderzijn deze toestanden aan elkaar gerelateerd door herhaalde toepassing van J+dan wel J .Voor welke waarden van j

©0, 12 , 1,

32 . . .

ªzijn er zulke ketens van 2j + 1

toestanden te vinden? Daarover valt niets naders te zeggen voor het algemenegeval dat we hier beschouwen, waarbij we niets meer weten dan dat we temaken hebben met drie operatoren die voldoen aan de eisen (2-10) en (2-11).Er valt wel wat meer over te zeggen wanneer we concreet weten met welkeimpulsmomentoperator we te maken hebben. In opgave 2.6 zullen we bv. ziendat voor de baanimpulsmomentoperator ~L alleen maar ketens te vinden zijnvoor de waarden j = 0, 1, 2, . . . .Veronderstel nu dat het voor een bepaalde impulsmomentoperator zo is datvoor zekere j0

©0, 12 , 1,

32 . . .

ªeen keten te vinden is. Dan is er een afspraak

voor een standaardmanier om zo�’n keten van 2j0+1 toestanden te construerenen noteren:

1. Begin met een genormeerde toestand te bepalen die aan de �‘top�’ van eenketen van 2j0+1 toestanden staat, dwz., die de binnen de keten van 2j0+1toestanden hoogst mogelijke eigenwaarde van Jz heeft: j0~. Noem dietoestand |j0, j0i, waarbij de eerste j0 aangeeft dat de toestand onderdeelis van een keten van 2j0 + 1 toestanden (die allemaal eigentoestand zijnvan ~J 2 bij eigenwaarde j0 (j0 + 1) ~2), en de tweede j0 aangeeft dat detoestand een eigentoestand is van Jz bij eigenwaarde j0~. Zo�’n toestand|j0, j0i moet dus voldoen aan de volgende eisen (waarvan we aangenomenhebben dat eraan voldaan kan worden):

~J 2 |j0, j0i = j0 (j0 + 1) ~2 |j0, j0i ; (2-20)

Jz |j0, j0i = j0~ |j0, j0i ; (2-21)

hj0, j0|j0, j0i = 1 (2-22)

Zoals we navolgend zullen aantonen, zijn deze eisen equivalent aan devolgende:

J+ |j0, j0i = 0; (2-23)

Jz |j0, j0i = j0~ |j0, j0i ; (2-24)

hj0, j0|j0, j0i = 1 (2-25)

2. Construeer 2j0 andere toestanden uit |j0, j0i door herhaalde toepassingvan J . Denieer namelijk voor k {1, . . . 2j0}:

|j0, j0 ki def= 1~k

q(2j0 k)!(2j0)!k!

Jk |j0, j0i . (2-26)

56

In de toestand |j0, j0 ki geeft het eerste quantumgetal (j0) weer aandat de toestand onderdeel is van een keten van 2j0 + 1 toestanden (dieallemaal eigentoestand zijn van ~J 2 bij eigenwaarde j0 (j0 + 1) ~2), ter-wijl het tweede quantumgetal (j0 k) aangeeft dat de toestand een ei-gentoestand is van Jz bij eigenwaarde (j0 k) ~. Zoals we navolgendzullen aantonen, kan de denitie (2-26) ook geschreven worden als (metm { j0, j0 + 1, . . . , j0}):

|j0,midef= 1

~j0 m

q(j0+m)!

(2j0)!(j0 m)! Jj0 m |j0, j0i , (2-27)

en er geldt dan:

~J 2 |j0,mi = j0 (j0 + 1) ~2 |j0,mi . (2-28)

Jz |j0,mi = m~ |j0,mi ; (2-29)

j0,m|j0,m0® = m,m0 . (2-30)

We gaan nu de onder 1 en 2 gedane beweringen na.

e) Toon aan dat de eisen (2-20) t/m (2-22) inderdaad equivalent zijn aan deeisen (2-23) t/m (2-25).

Hint: J J+ = ~J 2 J2z ~Jz.

f) We gaan nu over tot de onder 2 gedane beweringen.

i) Toon aan dat de denities (2-26) en (2-27) equivalent zijn, en datdaaruit onmiddellijk volgt dat aan (2-28) en (2-29) voldaan is.

ii) Toon aan dat de toestanden |j0,mi onderling loodrecht staan.Hint: Opgave 1.1 c).

iii) Er geldt, voor k {0, . . . 2j0}:°°°Jk+1 |j0, j0i

°°° = ~p(k + 1) (2j0 k)

°°°Jk |j0, j0i°°° .

iv) Er geldt, voor k {0, . . . 2j0}:°°°Jk |j0, j0i

°°° = ~kq

(2j0)!k!(2j0 k)! .

v) Leg uit waarom volgt dat de toestanden |j0,mi orthonormaal zijn.

Overigens is uit de denitie (2-27) van de |j0,mi ook de werking van de ope-ratoren Jx en Jy op deze toestanden te bepalen. We beginnen met eerst dewerking van de J± te bepalen.

g) Toon met behulp van de denitie (2-27) aan dat geldt:

J |j0,mi = ~p(j0 +m) (j0 m+ 1) |j0,m 1i ; (2-31)

= ~pj0 (j0 + 1) m (m 1) |j0,m 1i . (2-32)

57

h) Pas vervolgens J+ toe op (2-31) of (2-32) om uiteindelijk af te leiden:

J+ |j0,mi = ~p(j0 m) (j0 +m+ 1) |j0,m+ 1i ;

= ~pj0 (j0 + 1) m (m+ 1) |j0,m+ 1i .

Opmerking: De in de onderdelen g) en h) gevonden resultaten kunnen alsvolgt samengevat worden:

J± |j0,mi = ~p(j0 m) (j0 + 1±m) |j0,m± 1i ;

= ~pj0 (j0 + 1) m (m± 1) |j0,m± 1i .

i) Bepaal nu de werking van Jx en Jy op de toestanden |j0,mi.

2.5 Eindig-dimensionale impulsmomentoperatoren

De baanimpulsmomentoperator ~L is een impulsmomentoperator die (gezien inde plaatsrepresentatie) werkt op de functieruimte L2

¡R3¢. Deze ruimte is -

dimensionaal. We zeggen daarom ook wel dat de afbeeldingen ei~~ ·

~L een -dimensionale voorstelling van de rotatiegroep vormen. Er zijn echter ook eindig-dimensionale voorstellingen van de rotatiegroep. Sterker nog, voor elke dimensied zijn er d× d-matrices J1, J2 en J3 die voldoen aan (2-10) en (2-11), zoals wein deze opgave gaan aantonen. De afbeeldingen e

i~~ ·

~J vormen dan dus eend-dimensionale voorstelling van de rotatiegroep.Uit opgave 2.4 volgt dat als we te maken hebben met een impulsmoment~J , dat er dan toestanden |j,mi zijn, waarbij j

©0, 12 , 1,

32 . . .

ªen m

{ j, j + 1 . . . , j}, zodanig dat:

Jx |j,mi = 12~pj (j + 1) m (m+ 1) |j,m+ 1i+

+ 12~pj (j + 1) m (m 1) |j,m 1i ; (2-33)

Jy |j,mi = 12 i~pj (j + 1) m (m+ 1) |j,m+ 1i+

+ 12 i~pj (j + 1) m (m 1) |j,m 1i ; (2-34)

Jz |j,mi = m~ |j,mi . (2-35)

a) Toon omgekeerd aan dat wanneer we voor zekere j©0, 12 , 1,

32 . . .

ªde

(2j + 1)-dimensionale lineaire ruimte beschouwen die opgespannen wordtdoor de toestanden |j,mi met m { j, j + 1 . . . , j}, waarop drie ope-ratoren Jx, Jy en Jz gedenieerd zijn volgens (2-33) t/m (2-35), dat dandie drie operatoren een impulsmoment vormen.

Met j©0, 12 , 1,

32 . . .

ªneemt 2j+1 elk geheel getal aan. Voor elke dimensie d

zijn er dus d×d-matrices Jx, Jy en Jz die voldoen aan (2-10) en (2-11). Omdatwe daar met enige regelmaat mee zullen werken, gaan we in rest van de opgavede impulsmomentoperatoren in twee en drie dimensies expliciet bepalen.

b) Welke j-waarde hoort bij het twee-dimensionale geval, en welke j-waardebij het drie-dimensionale geval?

58

We beginnen met het twee-dimensionale geval, waarbij we dus te maken hebbenmet de basis:

e1 =¯j = 1

2 ,m = +12

®;

e2 =¯j = 1

2 ,m = 12

®.

(2-36)

c) Bepaal de matrixgedaanten van ~J 2, Jz, J+, J , Jx en Jy t.o.v. de basis(2-36).

Opmerking: Als het goed is, heeft u gevonden: Ji = ~2 i, waarbij de i

de Pauli spin-matrices zijn (zie Sakurai , formule 3.2.32).

d) Bepaal de eigenwaarden van Jx, Jy en Jz, en ook de bijbehorende eigen-vectoren (t.o.v. de basis {e1, e2}).

e) Ga na dat Jx, Jy en Jz ook geschreven kunnen worden als:

Jx = ~2

¡ ¯12 ,

12

®12 ,+

12

¯+¯12 ,+

12

®12 ,

12

¯ ¢;

Jy = i~2

¡ ¯12 ,

12

®12 ,+

12

¯ ¯12 ,+

12

®12 ,

12

¯ ¢;

Jz = ~2

¡ ¯12 ,+

12

®12 ,+

12

¯ ¯12 ,

12

®12 ,

12

¯ ¢.

We gaan nu over naar het drie-dimensionale geval.

f) Wat is nu de relevante basis? Bepaal de matrixgedaantes van Jx, Jy enJz ten opzichte van deze basis. Bepaal de eigenwaarden van Jx, Jy en Jzen ook de bijbehorende eigenvectoren ten opzichte van deze basis. SchrijfJx, Jy en Jz in termen van operatoren geconstrueerd uit de basiskets ende bijbehorende bra�’s.

Antwoord: Ter controle geven we de matrixgedaantes van Jx, Jy en Jzten opzichte van de basis {|1, 1i , |1, 0i , |1, 1i}:

Jx =~2

0 1 01 0 10 1 0

Jy =~2

0 i 0i 0 i0 i 0

Jz = ~1 0 00 0 00 0 1

.

2.6 Bolfuncties en de baanimpulsmomentoperator

In deze opgave gaan we de algemene theorie van opgave 2.4 toepassen op debaanimpulsmomentoperator ~L. Het zal blijken dat de bijbehorende gemeen-schappelijke eigentoestanden van ~L2 en Lz (in de plaatsrepresentatie) gegevenworden door de welbekende bolfuncties Y`m ( , ). Een nevendoel van dezeopgave is derhalve te laten zien dat de gangbaar als ondoorzichtig ervaren the-orie over bolfuncties feitelijk gebaseerd is op een heel eenvoudige procedure, opbasis waarvan de bolfuncties expliciet te bepalen zijn. Deze opgave is mathe-matisch van aard, maar is vanwege het vele gebruik van bolfuncties binnen denatuurkunde ook fysisch relevant.

59

Uit de algemene theorie van opgave 2.4 volgt:

�• Er is een orthonormale basis van gemeenschappelijke eigentoestanden|`,mi van ~L2 en Lz (voor het baanimpulsmoment wordt om het eerstequantumgetal aan te duiden conventioneel de letter �‘`�’ in plaats van �‘j�’gebruikt):

~L2 |`,mi = ` (`+ 1) ~2 |`,mi ;Lz |`,mi = m~ |`,mi .

�• Hierbij zijn geen andere `-waarden mogelijk dan 0, 12 , 1,32 , . . . .

�• Als een bepaalde `-waarde inderdaad aangenomen wordt, doorloopt m dewaarden `, `+ 1, . . . , `.

�• Er geldt dan:

|`, ` ki = 1~k

q(2` k)!(2`)!k! L

k |`, `i , (2-37)

waarbij |`, `i (op een fasefactor na) bepaald is door:

Lz |`, `i = `~ |`, `i ; (2-38)

L+ |`, `i = 0; (2-39)

h`, `|`, `i = 1. (2-40)

Dit is wat uit de algemene theorie volgt. De vraag is nu welke `-waarden voorhet specieke geval van de baanimpulsmomentoperator inderdaad aangenomenworden. Het antwoord is te bepalen door na te gaan voor welke waarden van` een oplossing bestaat van (2-38) en (2-39). Om dit na te gaan, werken wein bolcoördinaten. Hoe het baanimpulsmoment eruit ziet in bolcoördinatenis in opgave 2.2 uitgewerkt. Omdat het baanimpulsmoment alleen werkt opde hoekcoördinaten en , beperken we ons tot hoekafhankelijke functies.Onder Y`,` ( , ) verstaan we de met de toestand |`, `i geassocieerde functie inbolcoördinaten.

a) Toon aan dat uit de eis (2-38) volgt dat moet gelden:

Y`,` ( , ) = ` ( ) ei` , (2-41)

met ` een willekeurige functie van .

b) Beargumenteer waarom ` geen halftallige waarden (12 ,32 ,52 , . . . ) aanneemt.

We gaan nu onderzoeken of ` wel heeltallige waarden (0, 1, 2, . . . ) aanneemt.

c) Toon aan dat een oplossing van de vorm (2-41) ook aan (2-39) voldoet,indien voor ` geldt:

` ( ) = `cos

sin ` ( ) . (2-42)

d) Toon aan dat (2-42) een oplossing heeft (en dus geen verdere restrictiesop ` legt), namelijk: ` ( ) = c` sin

` , met c` een constante.

60

We vinden dus voor ` = 0, 1, 2, . . . dat

Y`,` ( , ) = c` sin` ei` (2-43)

een eigenfunctie is van ~L2 en Lz bij eigenwaarden ` (`+ 1) ~2 resp. `~. Wemoeten nu nog de normeringseis (2-40) opleggen.

e) Ga na dat deze eis oplevert: |c`| = 12``!

q(2`+1)!4 .

Gegeven:Z

0d sin2`+1 = 22`+1(`!)2

(2`+1)! .

Conventioneel wordt gekozen: c` =( 1)`

2``!

q(2`+1)!4 , zodat:

Y`,` ( , ) =( 1)`

2``!

q(2`+1)!4 sin` ei` .

De overige 2` bolfuncties Y`,m met dezelfde `-waarde zijn uit Y`,` op de hierbovenaangegeven manier te bepalen:

Y`,` k =1~k

q(2` k)!(2`)!k! L

k Y`,`.

Uit de algemene theorie over het impulsmoment volgt dat de Y`,m een ortho-normaal stelsel vormen:Zd Y`,mY`0,m0 =

Z 2

0d

Z

0d sin Y`,m ( , ) Y`0,m0 ( , ) = `,`0 m,m0 .

Verder blijkt dat ze ook een volledig stelsel vormen, zodat iedere hoekafhan-kelijke functie in termen van de Y`,m ontwikkeld kan worden. Het is om dezereden dat ze zo�’n belangrijke rol spelen in de hele fysica.

f) Bepaal bij wijze van voorbeeld de bolfuncties Y1,1 ( , ), Y1,0 ( , ) enY1, 1 ( , ) expliciet op de aangegeven manier.

Opmerking: U kunt uw antwoorden controleren in S., appendix A.5.

2.7 Bolfuncties en bolsymmetrische potentialen

Zoals u ook al bij Quantummechanica 1 gemerkt heeft, spelen bolfuncties in dequantummechanica een belangrijke rol bij drie-dimensionale problemen met eenbolsymmetrische potentiaal: V (~r ) = V (r). In deze opgave zullen we allereersthet intuïtieve resultaat aantonen dat bij een bolsymmetrische potentiaal de Ha-miltoniaan rotatie-invariant is (en omgekeerd). Vervolgens zullen we laten ziendat voor het geval van een bolsymmetrische potentiaal, het drie-dimensionaleprobleem reduceert tot een één-dimensionaal probleem. Ook dit resultaat isniet zo merkwaardig, daar iets vergelijkbaars geldt in de klassieke mechanica.We beginnen echter met een algemene drie-dimensionale Hamiltoniaan (in deplaatsrepresentatie):

H =~2

2~ 2 + V (~r ) . (2-44)

61

In deze opgave is het handig om in bolcoördinaten te werken. De Laplaciaan~ 2 wordt dan gegeven door:

~ 2 =1

r2 r

µr2

r

¶+

1

r2 sin

µsin

¶+

1

r2 sin2

2

2.

a) Toon aan dat de Hamiltoniaan ook geschreven kan worden als:

H =~2

2 r2 r

µr2

r

¶+

~L2

2 r2+ V (~r ) .

Hint: Opgave 2.2.

b) Toon aan dat H invariant is onder rotaties, precies dan als geldt dat depotentiaal bolsymmetrisch is: V (~r ) = V (r).

Hint: Combineer de algemene stelling van opgave 1.20 e) met het resultaatvan opgave 2.3.

We gaan nu aantonen dat voor een bolsymmetrische potentiaal het drie-dimensi-onale probleem zowel klassiek als quantummechanisch (en op een vergelijkbaremanier) reduceert tot een één-dimensionaal probleem. We beginnen met hetklassieke geval. De tweede wet van Newton

d2~r

dt2= ~ V (2-45)

leidt voor een bolsymmetrische potentiaal tot:d2~r

dt2=

dV

dr~er, met ~er de een-

heidsvector in radiële richting. Wanneer we nud2~r

dt2in bolcoördinaten uitwerken

ten opzichte van de eenheidsvectoren {~er, ~e ,~e }, krijgen we drie vergelijkingen.Twee daarvan (behorend bij ~e en ~e ) zijn equivalent met behoud van impuls-

moment:d~L

dt= ~0, terwijl de derde (behorend bij ~er) oplevert:

µr

L2

2r3

¶=

dV

dr(r) , (2-46)

waarbij L def=¯¯~L¯¯ (en dus een constante die volgt uit de beginvoorwaarden).

Uit deze vergelijking is de afstand r (t) als functie van de tijd te bepalen, en

vervolgens zijn dan uitd~L

dt= ~0 de hoeken (t) en (t) als functie van de tijd te

bepalen. Het drie-dimensionale probleem (2-45) is hiermee in feite gereduceerdtot het één-dimensionale probleem (2-46).Dit probleem kunnen we ook schrijven als dat van een deeltje met massa datzich in één-dimensie beweegt onder invloed van de potentiaal

V1-dim (r) = V (r) +L2

2 r2. (2-47)

62

Vergelijking (2-46) is immers equivalent aan: r =dV1-dimdr

(r). De tweede

term in de e ectieve één-dimensionale potentiaal (2-47), die in het gereduceerdeéén-dimensionale probleem correspondeert met een sterk afstotend e ect bijr = 0, wordt wel de centrifugaalbarrière genoemd.

c) Kunt u begrijpen dat de overgang van Cartesische naar bolcoördina-ten aanleiding geeft tot een centrifugaalbarrière in het gereduceerde één-dimensionale probleem?

Hint: Beschouw een vrij deeltje (V 0) met ~L 6= ~0, en schets daarvoorde afstand r (t) als functie van de tijd.

In de quantummechanica geldt voor het geval we te maken hebben met eenbolsymmetrische potentiaal een soortgelijke reductie tot een één-dimensionaalprobleem, zoals we in de rest van deze opgave gaan aantonen.

d) Toon aan dat H, ~L2 en Lz een gemeenschappelijk stelsel van eigentoe-standen hebben.

Uit opgave 2.6 volgt dat de eigenfuncties van H te schrijven zijn als:

R` (r)Y`,m ( , ) . (2-48)

e) Toon aan dat (2-48) een eigenfunctie is van H bij eigenwaarde E, preciesdan als de radiële functie R` voldoet aan:

½~2

2 r2d

dr

µr2d

dr

¶+` (`+ 1) ~2

2 r2+ V (r)

¾R` = ER`. (2-49)

Vaak worden de eigenfuncties van H geschreven als:

U` (r)

rY`,m ( , ) , (2-50)

dus met U` (r) = rR` (r). De reden hiervoor is dat de vergelijking voor U` (r)een wat handzamer vorm krijgt.

f) Toon aan dat voor U` de volgende vergelijking geldt:µ

~2

2

d2

dr2+` (`+ 1) ~2

2 r2+ V (r)

¶U` = EU`. (2-51)

Opmerking: De vergelijking voor U` heeft dus de vorm van een 1-dimen-sionaal eigenwaardeprobleem bij een Hamiltoniaan:

H1-dim =~2

2

d2

dr2+ V1-dim (r) , met

V1-dim (r) = V (r) +` (`+ 1) ~2

2 r2.

Ook hier zien we dus een e ectieve één-dimensionale potentiaal die be-halve de oorspronkelijke potentiaal een centrifugaalbarrière bevat.

63

2.8 Een waterstofachtig atoom en een bolsymmetri-sche potentiaalput

In deze opgave zullen we ter illustratie twee voorbeelden van een bolsymmetri-sche potentiaal bespreken, namelijk een waterstofachtig atoom en een bolsym-metrische potentiaalput. Bij Quantummechanica 1 is de radiële vergelijking(2-49) al opgelost voor een waterstofachtig atoom (of ion), dus voor het gevalwaarbij een elektron met lading e zich bevindt in het elektrisch veld van eenkernlading +Ze. De potentiaal wordt dan gegeven door:

V (r) =Ze2

r.

Voor zo�’n waterstofachtig atoom blijkt dat het discrete energiespectrum (cor-responderend met de gebonden toestanden) gegeven wordt door:

En =Z2e4

2~21

n2=

Z2e2

2a

1

n2;

=c2

2

Z2 2

n2.

Hierbij doorloopt n de waarden 1, 2, 3, . . . . Verder is de Bohrstraal a gegevendoor: a = ~2

e2' 5 × 10 11m, en wordt de jnstructuurconstante (een di-

mensieloze grootheid) gegeven door: = e2

~c '1137 . Met c2 de rustenergie van

het elektron (' 0, 5MeV) zien we dus dat het energieverschil tussen de laagstetwee energieniveaus van de orde 10Z2 eV is.We weten al dat bij elk energieniveau En eigenfuncties horen van de vorm:

n,`,m (r, , ) = Rn,` (r)Y`m ( , ) .

In toestandsvorm zullen we ze vaak noteren als |n, `,mi. We weten ook al dat,bij gegeven `, m de waarden `, `+1, . . . , ` doorloopt. De vraag is alleen nogbij welke waarden van ` een fysisch acceptabele oplossing van (2-49) gevondenkan worden. Een gedetailleerde analyse leert dat bij niveau En acceptabeleoplossingen Rn,` gevonden kunnen worden voor ` = 0, 1, . . . , n 1.

a) Bepaal de ontaardingsgraad van:

i) het grondniveau E1;

ii) het eerste aangeslagen niveau E2;

iii) energieniveau En voor willekeurige n.

We gaan nu over tot het tweede geval, namelijk een bolsymmetrische potenti-aalput. Beschouw dus de volgende potentiaal:

V (r) =V0 als r < a,

0 als r > a.

Voor deze potentiaal gaan we de radiële vergelijking (2-51) oplossen voor hetgeval ` = 0.

64

b) Beargumenteer dat we op die manier precies de bolsymmetrische eigen-functies gaan bepalen.

Voor het geval ` = 0 reduceert de radiële vergelijking (2-51) tot een vergelijkingvan een 1-dimensionale potentiaalput, en daarvan heeft u bij Quantummecha-nica 1 uitvoerig de eigenwaarden bepaald. Toch vraagt het 3-dimensionalegeval dat we nu beschouwen om een iets andere mathematische behandeling.De reden daarvoor is dat een oplossing U0 van (2-51) geen eigenfunctie is vande 3-dimensionale Hamiltoniaan (2-44), maar veeleer (zie (2-50)):

0 (r) =U0 (r)

4 r.

c) Welke voorwaarden dient u op te leggen aan fysische oplossingen 0?

Welke voorwaarden volgen hieruit voor U0? Met welke van die voorwaar-den hebben we bij een 1-dimensionale potentiaalput wel te maken en metwelke niet?

d) Waarom is het verstandig om bij de bepaling van de eigenwaarden devijf gevallen E > 0, E = 0, V0 < E < 0, E = V0 en E < V0 teonderscheiden?

e) Welke positieve energie-eigenwaarden bevat het ` = 0 spectrum?

f) Zit E = 0 in het ` = 0 spectrum?

g) Laat zien dat negatieve energie-eigenwaarden uit het ` = 0 spectrum aande volgende voorwaarden moeten voldoen.

V0 < E < 0;

q2~2 |E| =

q2~2 (V0 |E|) cot

µaq

2~2 (V0 |E|)

¶.

(2-52)

h) Kan altijd aan (2-52) voldaan worden?

Hint: Denieer def=q

2~2 (V0 |E|). Vergelijking (2-52) is dan equivalent

aan:

0 < <q

2 V0~2 ;

q2 V0~2

2 = cot a .

Los dit grasch op.

Opmerking: Als het goed is heeft u gevonden dat er�–anders dan bij de1-dimensionale potentiaalput�–bij de 3-dimensionale potentiaalput nietaltijd een gebonden toestand is.

i) Voor welke waarden van V0 zijn er precies n gebonden ` = 0 toestanden?

65

2.9 Het Zeemane ect en deeltjes met spin

In opgave 2.5 hebben we gezien dat er mathematische gezien impulsmoment-operatoren mogelijk zijn waarbij toestanden |j,mi horen met halftallige j (endus ook halftallige m). We hebben echter nog geen fysische toepassingen gezienwaarin zo�’n impulsmoment en zulke toestanden een rol spelen. In feite is hetenige impulsmoment dat we tot nu toe in toepassingen zijn tegengekomen hetbaanimpulsmoment ~L, en in opgave 2.6 hebben we gezien dat we daarbij alleente maken hebben met heeltallige j-waarden.In deze opgave beargumenteren we dat er redenen zijn om bij de beschrijvingvan het gedrag van een elektron behalve van de baanimpulsmomentoperatorook nog gebruik te maken van een andere impulsmomentoperator, namelijkde spinimpulsmomentoperator ~S. Bij deze spinimpulsmomentoperator horentoestanden |s,mi, en het blijkt dat het redelijk is om aan te nemen dat voor eenelektron geldt: s = 1

2 . In deze opgave zullen we deze aannames toelichten, enwel aan de hand van het (sterke) Zeemane ect. (Het Stern-Gerlach experimentzou een andere mogelijkheid zijn.)Zeeman heeft een waterstofachtig atoom in een vrij sterk magneetveld bestu-deerd, en onderzocht hoe de energieniveaus ten gevolge van de interactie metdat magneetveld veranderen. Het valt inderdaad te verwachten dat die veran-deren. Het rond de kern bewegend elektron kan immers opgevat worden als eenstroomkring, en heeft als zodanig een magnetisch dipoolmoment ~M . Geplaatstin een magneetveld ~B geeft dat aanleiding tot een extra energie U (zie Gri ths,Introduction to electrodynamics, p.268):

U = ~M · ~B.

Wanneer we te maken hebben met een stroomkring die een stroom ter grootteI voert en een oppervlak ter grootte A omsluit, wordt de richting van het mag-netisch dipoolmoment bepaald door de kurketrekkerregel en de grootte ervandoor 1c IA. (De extra factor

1c in vergelijking met Gri ths, p.237, heeft ermee

te maken dat we niet in SI-eenheden werken.)

a) Toon met behulp van een klassieke berekening aan dat voor het mag-netisch dipoolmoment van een elektron dat een eenparige cirkelbewegingmaakt geldt:

~M = e2 c~L.

Hint: Bedenk dat de lading van het elektron e is.

Zoals bekend wordt de Hamiltoniaan in afwezigheid van het magneetveld gege-ven door:

~2

2~ 2 Ze2

r, (2-53)

We nemen nu aan dat we quantummechanisch het e ect van het magneetveld~B in rekening kunnen brengen door aan (2-53) de term

~M · ~B = e2 c~L · ~B.

toe te voegen.

66

We nemen bovendien een homogeen en constant magneetveld en kiezen de z-aslangs de richting van het veld: ~B = B~ez, met B een constante. We proberendus als Hamiltoniaan voor een waterstofachtig atoom in het magneetveld:

~2

2~ 2 Ze2

r+eB

2 cLz. (2-54)

b) Toon aan dat de eigentoestanden |n, `,mi van de Hamiltoniaan (2-53) ookeigentoestanden zijn van de Hamiltoniaan (2-54).

Wat zijn de bijbehorende eigenwaarden?

We gaan nu in het bijzonder na wat er met het grondniveau en het eersteaangeslagen niveau gebeurt ten gevolge van het magneetveld, als we aannemendat de Hamiltoniaan (2-54) goed is.

c) Toon aan dat er volgens (2-54) niets gebeurt met het grondniveau.

d) Toon aan dat volgens (2-54) het oorspronkelijk viervoudig ontaarde eersteaangeslagen niveau splitst in drie niveaus met onderling verschil eB~2 c . Hetmiddelste daarvan is tweevoudig ontaard is en heeft dezelfde waarde alshet oorspronkelijke niveau, zoals hier weergegeven:

zonder ~B-veld met ~B-veld

1×4× 6?

eB~2 c 2×

1×

Uit Zeemans spectroscopische metingen, waarbij hij overgangen tussen ener-gieniveaus mat, blijkt echter dat het e ect van een sterk magneetveld op hetgrondniveau en het eerste aangeslagen niveau van de navolgende vorm is.2

zonder ~B-veld met ~B-veld

E1

E2

6

?

eB~c

6?eB~2 c

2De splitsing van de niveaus is sterk overdreven weergegeven. Het energieverschil tussenhet grondniveau en het eerste aangeslagen niveau is volgens opgave 2.8 immers van de orde vantientallen elektronvolts. De splitsing van de niveaus is echter van de orde BB, waarbij hetBohr-magneton B gegeven wordt door

e~2 c

' 6×10 5 eVT1. Zelfs bij een sterk magneetveld

van 0, 1T zijn de opsplitsingen dus slechts van de orde van micro-elektronvolts.

67

We moeten concluderen dat de Hamiltoniaan (2-54) niet correct is. Om tot eenbetere keuze voor een Hamiltoniaan te komen, gaan we eerst weer uit van eenklassieke redenering. Het idee is dat we een elektron niet opvatten als een punt-deeltje maar als een deeltje met eindige afmetingen, waarbij dus een ruimtelijkeladingsverdeling hoort. Als een elektron dan behalve een baanbeweging ook eendraaibeweging om de eigen as heeft, dus behalve een baanimpulsmoment ooknog een intrinsiek impulsmoment (spinimpulsmoment) heeft, geeft dat aanlei-ding tot een extra magnetisch dipoolmoment. En dus tot een extra term in deHamiltoniaan. We gaan dit idee nu wat preciezer uitwerken.Het totaal impulsmoment ~J van een bepaald object wordt gegeven door:

~J =

Zd3x m~r × ~v,

waarbij de integratie gaat over het volume dat het object inneemt en m staatvoor de massadichtheid. Het baanimpulsmoment ~L wordt gegeven door:

~L = ~rzw × ~vzw,

met de totale massa van het object, en ~rzw en ~vzw de positie resp. snelheidvan het zwaartepunt van het object:

=

Zd3x m; ~rzw =

1Zd3x m~r; ~vzw =

1Zd3x m~v.

Verder is het intrinsieke of spinimpulsmoment ~S gedenieerd als het impulsmo-ment ten opzicht van het zwaartepunt:

~S =

Zd3x m (~r ~rzw)× (~v ~vzw) . (2-55)

e) Toon aan dat geldt: ~J = ~L+ ~S.

Hint: Begin met het rechterlid van (2-55) verder uit te werken.

Bij de aeiding van (2-54) hebben we rekening gehouden met het baanimpuls-moment, maar nog niet met het spinimpulsmoment. Voor het door de baanbe-weging gegenereerde magnetisch dipoolmoment ~Mb van een elektron hebben we�‘afgeleid�’: ~Mb =

e2 c~L. We gaan nu iets soortgelijks �‘aeiden�’ voor het door

de spinbeweging van een elektron gegenereerde magnetisch dipoolmoment ~Ms.Bij wijze van voorbeeld vatten we een elektron op als een bolletje met straal Rmet een bolsymmetrische massadichtheid m (r) en een eveneens bolsymmetri-sche ladingsdichtheid l (r). Verder beschouwen we het geval dat het bolletjemet een constante hoeksnelheid draait om een vaste as (die we als z-as kiezen).

f) Toon aan dat dan geldt:

i) ~S = Sz~ez, met Sz =2

3

RR

0

dr r4 m (r)

RR

0

dr r2 m (r)

;

68

ii) ~Ms =Ms,z~ez, met Ms,z =e

3c

RR

0

dr r4 l (r)

RR

0

dr r2 l (r)

;

iii) ~Ms =e2 cg

~S, met g =

RR

0

dr r4 l (r)RR

0

dr r2 m (r)

RR

0

dr r2 l (r)RR

0

dr r4 m (r)

.

De grootheid g wordt de gyromagnetische verhouding genoemd. Welke waardedeze grootheid heeft valt klassiek niet te zeggen, omdat dat afhangt van despecieke massa- en ladingsdichtheid die we het elektron veronderstellen tehebben. Het idee is nu dat we in de quantummechanica met een bepaald soortdeeltje een bepaalde waarde van de gyromagnetische verhouding associëren, ende interactie met een magneetveld in rekening brengen middels de term:

~M · ~B, met als totaal magnetisch dipoolmoment:~M = ~Mb + ~Ms =

e

2 c

³~L+ g~S

´.

Voor een waterstofachtig atoom in een magneetveld ~B = B~ez krijgen we dandus als Hamiltoniaan:

~2

2~ 2 Ze2

r+eB

2 c(Lz + geSz) , (2-56)

met ge de gyromagnetische verhouding van een elektron.Net als ~L vatten we ook ~S quantummechanisch op als een operator. Bovendienvatten we het elektron quantummechanisch op als een deeltje met spin. Dat wilzeggen dat we om een elektron te beschrijven niet alleen zijn baantoestand aanmoeten geven (als een lineaire combinatie van toestanden |~x i, |~p i, |n, `,mi,of wat dan ook), maar ook nog aan moeten geven in welke spintoestand hetzich bevindt.3 Voor een deeltje met spin s is de spintoestand een element uitde spinruimte Ts. Dit is een (2s+ 1)-dimensionale ruimte die opgespannenwordt door de toestanden |s,msi, waarbij ms de waarden s, s+1, . . . , s kanhebben.4 Het idee is verder dat ~S werkt op deze toestanden als aangegeven inopgave 2.5, dus:

Sx |s,msi = 12~ps (s+ 1) ms (ms + 1) |s,ms + 1i+

+ 12~ps (s+ 1) ms (ms 1) |s,ms 1i ;

Sy |s,msi = 12 i~ps (s+ 1) ms (ms + 1) |s,ms + 1i+

+ 12 i~ps (s+ 1) ms (ms 1) |s,ms 1i ;

Sz |s,msi = ms~ |s,msi .3Zie opgave 2.10 voor meer hierover.4Later in deze opgave zullen we aannemelijk maken dat voor een elektron geldt: s = 1

2,

anders gezegd, dat een elektron een spin- 12 deeltje is.

69

Zoals aangetoond in opgave 2.5 is ~S dan inderdaad een impulsmomentoperator.Als een elektron zich in bv. de baantoestand |n, `,m`i bevindt en tegelijkertijdin bv. de spintoestand |s,msi, noteren we zijn totale toestand als de direct-produkt toestand:

|n, `,m`i |s,msi . (2-57)

Hierbij geldt dat de werking op zo�’n toestand van een operator die de baanbewe-ging van het elektron betreft (zoals ~L) alleen bepaald wordt door het baandeelervan (|n, `,m`i), terwijl de werking van ~S alleen bepaald wordt door het spin-deel ervan (|s,msi). Er geldt dus bv.:~L2 |n, `,m`i |s,msi = ` (`+ 1) ~2 |n, `,m`i |s,msi ;Sx |n, `,m`i |s,msi = 1

2~ps (s+ 1) ms (ms + 1) |n, `,m`i |s,ms + 1i+

+ 12~ps (s+ 1) ms (ms 1) |n, `,m`i |s,ms 1i ;

LzSz |n, `,m`i |s,msi = m`ms~2 |n, `,m`i |s,msi .

g) Veronderstel nu dat een elektron een spin-s deeltje is. Toon aan dat dedirect-produkt toestanden (2-57) dan eigentoestanden zijn van de Hamil-toniaan (2-56).

Wat zijn de bijbehorende eigenwaarden?

h) Toon aan dat voor s = 12 (dus indien een elektron een spin-

12 deeltje is)

en voor ge = 2 de Hamiltoniaan (2-56) de correcte voorspelling doet voorde opsplitsing van het grondniveau en het eerste aangeslagen niveau.

Geef daarbij ook de ontaardingsgraden van de diverse niveaus, zoals voor-speld door (2-56).

We hebben nu geschetst hoe experimentele bevindingen tot de aanname kunnenleiden dat er deeltjes met spin zijn, en tevens tot de bepaling van de spinen de gyromagnetische verhouding van een gegeven soort deeltje. Zo is voorprotonen en neutronen gevonden dat het ook spin-12 deeltjes zijn, waarvan degyromagnetische constante gegeven wordt door gp = 5.59 resp. gn = 3.83.

i) Kunt u begrijpen dat verschillende soorten deeltjes een verschillende gy-romagnetische verhouding hebben? Of dat een neutron überhaupt eenmagnetisch dipoolmoment heeft, terwijl het toch elektrisch neutraal is?

Overigens blijkt de Hamiltoniaan (2-56) alleen adequaat te zijn voor het gevalvan een waterstofachtig atoom in een sterk magneetveld ~B = B~ez. Er blijktnamelijk nog een interactieterm te zijn, die in het geval van een sterk externmagneetveld verwaarloosbaar is maar niet meer in het geval van een zwak (ofafwezig) extern magneetveld. We gaan nu een �‘aeiding�’ van deze term geven.Het idee is dat zelfs bij afwezigheid van een extern magneetveld, het elektrontoch nog een magneetveld voelt. Vanuit het elektron bekeken, immers, draaiteen lading +Ze om het elektron heen, en een bewegende lading genereert eenmagneetveld. Dat magneetveld interageert, net als een extern magneetveld, methet door de spinbeweging gegenereerde magnetisch dipoolmoment. We werkendit idee nu wat verder uit.

70

In het ruststelsel van de kern is alleen sprake van een elektrisch veld:

~E =Ze

r2�ˆr.

In een inertiaalstelsel dat met snelheid ~v ten opzichte van het ruststelsel van dekern beweegt, heerst dan een magneetveld (zie Gri ths, p.497, het verschil vaneen factor c wordt weer verklaard door het andere eenhedenstelsel dat we hierhanteren):

~B = 1c~v × ~E. (2-58)

j) Toon aan dat dit magneetveld ook geschreven kan worden als: ~B = Zec r3

~L.

k) Maak op grond van het voorgaande de volgende additionele term in deHamiltoniaan aannemelijk:

Ze2

2c21

r3~S · ~L. (2-59)

Opmerking: Vanwege het voorkomen van ~S · ~L wordt deze term wel eenspin-baan koppeling genoemd.

Bij de aeiding van de spin-baan koppeling is gebruik gemaakt van het feitdat de elektronspin het magneetveld (2-58) voelt. Die uitdrukking voor hetmagneetveld is echter alleen geldig in een inertiaalstelsel, en dus niet in hetruststelsel van het elektron. Een wat preciesere berekening leert dat de spin-baan koppeling een factor 2 kleiner is dan (2-59).Samengevat vinden we nu de zogenaamde Zeeman-Hamiltoniaan voor een wa-terstofachtig atoom in een magneetveld ~B = B~ez

HZeeman =~2

2~ 2 Ze2

r+eB

2 c(Lz + 2Sz) +

Ze2

2 2c21

r3~S · ~L. (2-60)

l) i) Zijn de direct-produkt toestanden |n, `,m`i¯s = 1

2 ,ms = ±12

®eigen-

toestanden van (2-60)?

ii) Zijn er eigentoestanden van (2-60) met |n, `,m`i als baandeel?iii) Zijn er eigentoestanden van (2-60) met

¯12 ,+

12

®of¯12 ,

12

®als spin-

deel?

Opmerking: Op de bepaling van de eigentoestanden en eigenwaarden van(2-60) zullen we nog regelmatig terugkomen.

71

2.10 Baanruimte en spinruimte

De ruimte van toestanden die we in opgave 1.4 beschouwd hebben, werd opge-spannen door de eigentoestanden |~x i van de plaatsoperator (of, wat op hetzelfdeneerkomt, door de eigentoestanden |~p i van de impulsoperator). De toestand| (t)i van een deeltje wordt dan b.v. beschreven door:

| (t)i =Zd3x plaats (~x, t) |~x i . (2-61)

Op deze manier kan een adequate beschrijving gegeven worden van alle meet-bare grootheden die met de baanbeweging van het deeltje te maken hebben: deplaats, de impuls, en grootheden die in termen hiervan gedenieerd zijn zo-als het baanimpulsmoment. We spreken daarom ook wel van de ruimte vanbaantoestanden of, kortweg, de baanruimte: Tb.Zoals in opgave 2.9 aannemelijk is gemaakt, zijn er deeltjes (deeltjes met spin)die alleen met baantoestanden niet adequaat beschreven kunnen worden. Omde toestand van zulke deeltjes volledig te beschrijven is meer nodig dan alleende baanruimte. In deze opgave zetten we op een rijtje wat er meer nodig is, dushoe spintoestanden geïntegreerd moeten worden in de beschrijving van zulkedeeltjes en hoe de resulterende beschrijving geïnterpreteerd moet worden.Ter inleiding beginnen we met enkele interpretatievragen die alleen de baan-ruimte betre en.

a) Wat is de fysische interpretatie van d3x¯

plaats (~x, t)¯2?

b) Wat is de fysische interpretatie van h (t)|Lz | (t)i?

In opgave 2.9 is feitelijk al naar voren gekomen wat nodig is om de toestand vaneen deeltje met spin s volledig te beschrijven (zowel baantoestand als spintoe-stand), namelijk een ruimte die opgespannen wordt door de direct-produkt toe-standen: |~x i |s,msi (of door |~p i |s,msi). De fysische interpretatie van deze toe-standen is als volgt: wanneer het deeltje zich bevindt in de toestand |~x i |s,msiwordt bij meting van de plaats de waarde ~x gevonden, bij meting van ~S 2 dewaarde s (s+ 1) ~2 en bij meting van Sz de waarde ms~; idem (mutatis mutan-dis) voor |~p i |s,msi. Het inprodukt tussen twee van die toestanden wordt alsvolgt gedenieerd:

h~x | hs,ms| |~x 0i|s,m0sidef= ~x |~x 0

®s,ms|s,m0

s

®.

Merk op dat de toestanden |~x i |s,msi onderling �‘orthonormaal�’ zijn:

h~x | hs,ms| |~x 0i|s,m0si =

¡~x ~x 0

¢ms,m0

s. (2-62)

De ruimte T die door deze toestanden wordt opgespannen, noemen we hetdirecte produkt van Tb en Ts: T = Tb Ts. De toestand | (t)i van een deeltjemet spin s wordt naar analogie van (2-61) beschreven door een element van T :

| (t)i =sX

ms= s

Zd3x plaats

ms(~x, t) |~x i |s,msi . (2-63)

72

c) Wat is de fysische interpretatie van d3x¯¯ plaats

ms (~x, t)¯¯2?

d) Wat is de fysische interpretatie van:

d3xsX

ms= s

¯¯ plaats

ms(~x, t)

¯¯2?

e) Wat is de fysische interpretatie vanZd3x

¯¯ plaats

ms (~x, t)¯¯2?

f) Wat is de fysische interpretatie van h (t)|Sz | (t)i?

g) Leid af dat geldt:.

h (t)|Sz | (t)i =sX

ms= s

Zd3x

¯¯ plaats

ms(~x, t)

¯¯2ms~ . (2-64)

Hint: Substitueer voor | (t)i de ontwikkeling (2-63) in basiskets, en voorh (t)| de daarmee corresponderende ontwikkeling in termen van basis-bra�’s (vergeet niet de diverse integratie-variabelen en sommatie-indicesmet onderscheiden symbolen weer te geven). Werk de matrixelementenvan de vorm h~x 0| hs,m0

s| Sz |~x i |s,msi verder uit. Hierbij geldt weer deregel dat de werking van Sz bepaald wordt door alleen het spindeel vaneen toestand. Werk de resterende inprodukten verder uit m.b.v. (2-62).

h) Is (2-64) in overeenstemming met de interpretaties van onderdelen e) enf)? Licht toe.

2.11 Rotaties en spinimpulsmoment

In opgave 2.3 is reeds aangetoond dat een toestand | i uit de baanruimte Tbonder een rotatie R (~ ) overgaat in de toestand e

i~ ~ ·

~L | i. Om deeltjes metspin adequaat te beschrijven, is Tb echter te beperkt. De toestand van eendeeltje met spin s wordt immers beschreven door een element uit het directeprodukt van de baanruimte Tb en de spinruimte Ts. Deze opgave betreft devraag hoe zulke toestanden transformeren onder rotaties.Allereerst zullen we aangeven hoe elementen uit de spinruimte transformeren.Daarbij laten we ons inspireren door de manier waarop elementen uit de baan-ruimte transformeren. Die transformeren middels op de baanruimte werkendeoperatoren (e

i~ ~ ·

~L) die een voorstelling vormen van de rotaties R (~ ). En dieoperatoren vormen een voorstelling van de rotatiegroep, omdat de generatoren1~Lj ervan aan dezelfde commutatierelaties voldoen als de generatoren van de

rotatiegroep:£1~Li ,

1~Lj

¤=

3P

k=1

i²ijk1~Lk.

Hierdoor geïnspireerd proberen we het volgende.

1. Toestanden uit de spinruimte transformeren volgens op de spinruimtewerkende operatoren die een voorstelling vormen van de rotaties.

73

2. Om zo�’n voorstelling te vinden is het voldoende drie op de spinruimte wer-kende operatoren te vinden die aan dezelfde commutatierelaties voldoenals de generatoren van de rotatiegroep. De groep die gegenereerd wordtdoor zulke generatoren vormt immers een voorstelling van de gewenstesoort.

Wanneer het probleem eenmaal zo gesteld is, ligt de keuze van geschikte genera-toren voor de hand: de operatoren 1

~Sj . Die werken immers op de spinruimte en

voldoen aan de gewenste commutatierelaties:£1~Si ,

1~Sj

¤=

3P

k=1

i²ijk1~Sk. Aldus

komen we op het volgende uit: elementen van de spinruimte Ts transformerenonder een rotatie R (~ ) middels de operator e

i~ ~ ·

~S .In de rest van deze opgave gaan we in twee concrete gevallen de transformatievan een spintoestand uitrekenen. Daarna komen we terug op de vraag hoeelementen uit de direct-produkt ruimte T = Tb Ts transformeren. De tweegevallen betre en een spin-12 deeltje en een spin-1 deeltje, dus een deeltje mets = 1

2 en een deeltje met s = 1. In feite heeft u voor deze twee gevallen inopgave 2.5 al een heleboel nuttig voorbereidend werk gedaan.Het eerste geval gaat over een spin-12 deeltje. Gemakshalve nemen we even aandat het deeltje alleen een spintoestand heeft, en dus beschreven wordt dooreen element uit de spinruimte T 1

2. Deze ruimte is twee-dimensionaal en wordt

opgespannen door¯12 ,+

12

®en¯12 ,

12

®. Deze basiselementen noteren we ook

vaak als | i (spin-op) resp. | i (spin-neer). In Sakurai worden ze ook genoteerdals |+i resp. | i. Stel dat het deeltje zich bevindt in een eigentoestand vanSy bij eigenwaarde +1

2~. Zo meteen gaat u berekenen waar deze toestand inovergaat onder een rotatie om de x-as over een hoek 2 . We beginnen echtermet een meer intuïtieve benadering.

a) Het deeltje bevindt zich voor de rotatie in een eigentoestand van Sy bijeigenwaarde +1

2~. In een erg losse manier van spreken zouden we kunnenzeggen dat het spinimpulsmoment van het deeltje dan in de richting vande positieve y-as wijst.

Wat verwacht u, op deze losse manier doorredenerend, dat de toestandvan het deeltje na rotatie om de x-as over een hoek 2 zal zijn?

We gaan nu over tot de meer formele berekening.

b) Geef de toestand waarin het systeem zich voor de rotatie bevindt (t.o.v.de basis {| i , | i}).

Uit opgave 2.5 volgt dat voor een spin-12 deeltje de spinimpulsmomentoperatort.o.v. de basis {| i , | i} gegeven wordt door Si = 1

2~ i, waarbij de i de Pauli-matrices zijn. Onder een rotatie over een hoek om de x-as transformeert eentoestand (beschreven t.o.v. de basis {| i , | i}) dus volgens:

U ( ) = ei~ Sx = e i

2 x .

74

c) Laat zien dat U ( ) =¡cos 2

¢I i

¡sin 2

¢x.

Hint: Gebruik de denitie van de exponent (1-48), en ( x)2 = I.

d) Bepaal de toestand waarin het deeltje zich bevindt na rotatie om de x-asover een hoek 2 .

Klopt dit met uw intuïtieve antwoord uit onderdeel a)?

Het tweede concrete geval betreft een spin-1 deeltje. De spintoestand van zo�’ndeeltje wordt beschreven door een element uit de drie-dimensionale spinruimteT1. Zij nu gegeven dat het deeltje zich bevindt in een eigentoestand van Sy bijeigenwaarde ~.

e) Bepaal waar deze toestand in overgaat onder een rotatie om de z-as overeen hoek 2 . Doe dit eerst weer op een intuïtieve manier en dan met eenformele berekening.

Hint: Bij de formele berekening heeft u nodig hoe de spinimpulsmomento-perator van een spin-1 deeltje eruit ziet. Dit heeft u in feite reeds bepaaldin opgave 2.5.

We hebben nu gezien hoe elementen uit de baanruimte Tb en elementen uitde spinruimte Ts afzonderlijk transformeren onder rotaties. De nog resterendevraag is hoe een toestand | i uit de direct-produkt ruimte T = Tb Ts trans-formeert. Het antwoord is simpelweg: volgens de samenstelling van de afzon-derlijke transformaties:

| i 7 ei~ ~ ·

~L ei~ ~ ·

~S | i . (2-65)

Hierbij geldt weer de regel dat de werking van de operatoren Li op de basise-lementen |~x i |s,msi alleen bepaald wordt door het baandeel |~x i ervan, terwijlde werking van de operatoren Si juist alleen bepaald wordt door het spindeel|s,msi. De Li en de Si werken dus langs elkaar heen, en in het bijzonder volgtdat ze onderling commuteren:

[Li , Sj ] = 0.

Volgens opgave 1.11 kunnen we (2-65) dus ook schrijven als:

| i 7 ei~ ~ ·(~L+~S) | i = e

i~ ~ ·

~J | i ,

waarbij ~J de operator voor het totale impulsmoment van het deeltje is: ~J =~L+ ~S.

75

2.12 Spin-12 deeltjes en de postulaten van de quan-tummechanica

De bedoeling van deze opgave is u verder vertrouwd te maken met spintoe-standen, en de postulaten van de quantummechanica nader te illustreren (zieopgave 1.22). Daartoe beschouwen we een spin-12 deeltje. Zo�’n deeltje wordtbeschreven door een toestand van de vorm:

| (t)i =+ 12X

ms=12

Zd3x plaats

ms(~x, t) |~x i

¯12 ,ms

®.

In deze opgave nemen we aan dat het deeltje geen baanbeweging heeft en zichvast in de oorsprong bevindt. Deze aanname is b.v. gerechtvaardigd wanneerhet deeltje zich bij zeer lage temperatuur in een smalle, diepe potentiaalputbevindt. We stellen dus plaats

ms (~x, t) = Cms (t) (~x) , zodat

| (t)i =¯¯~0E³C+ 1

2(t)¯12 ,+

12

®+ C 1

2(t)¯12 ,

12

®´.

De toestand is dus het directe produkt van een constant baanstuk¯¯~0Een een

variabel spinstuk C+ 12(t)¯12 ,+

12

®+ C 1

2(t)¯12 ,

12

®. In het vervolg zullen we

het constante baandeel gemakshalve weglaten.Ten opzichte van de basis

©¯12 ,+

12

®,¯12 ,

12

®ªvan de spin-ruimte T 1

2, kunnen

we | (t)i dan representeren door een �‘vector�’:

(t) =

C+ 12(t)

C 12(t)

.

Verder kunt u ervan gebruik maken dat voor een spin-12 deeltje de spinimpulsmo-mentoperator t.o.v. de basis

©¯12 ,+

12

®,¯12 ,

12

®ªgegeven wordt door Si = 1

2~ i,met de i de Pauli-matrices.

a) Wat is de fysische interpretatie van¯¯C+ 1

2(t)¯¯2en¯¯C 1

2(t)¯¯2?

b) Wat zijn de mogelijke uitkomsten van een meting van Sx? Licht uwantwoord toe.

c) Een meting van Sx levert de waarde +12~ op.

Wat is de toestand van het deeltje onmiddellijk na deze meting?

Meteen hierna wordt Sz gemeten. Wat zijn de mogelijke uitkomsten ende bijbehorende waarschijnlijkheden?

Licht uw antwoorden toe.

76

Er wordt nu een homogeen en constant magneetveld langs de z-as aangelegd:~B = B~e3. Bij afwezigheid van een baanbeweging, wordt volgens opgave 2.9 deHamiltoniaan gegeven door:

H =ge

2 c~B · ~S = geB

2 cSz,

met g de gyromagnetische verhouding van het betre ende deeltje.

d) Geef de matrixgedaante van H t.o.v. de basis©¯12 ,+

12

®,¯12 ,

12

®ª.

e) Los de Schrödingervergelijking op voor het geval het deeltje zich op t = 0in een eigentoestand van Sx bij eigenwaarde +1

2~ bevindt.

Hint: Opgave 1.12.

f) Op tijdstip t wordt Sx gemeten.

Wat zijn de mogelijke uitkomsten en bijbehorende waarschijnlijkheden?Licht uw antwoord toe.

g) Bepaal de verwachtingswaarde van Sx op tijdstip t.

h) Wat had men als mogelijke meetuitkomsten, kansen daarop en verwach-tingswaarde gevonden wanneer de grootheid Sz gemeten was? Verklaarhet karakteristieke verschil met de antwoorden op de onderdelen f) en g).

Hint: Opgave 1.22.

2.13 Een elektron in een tijdsafhankelijk magneet-veld

Deze opgave is opnieuw een oefening met spintoestanden, en betreft de oplossingvan de Schrödingervergelijking voor een spin-12 deeltje in een betrekkelijk inge-wikkeld geval. We gaan een elektron bestuderen dat zich in een tijdsafhankelijkmagneetveld bevindt:

~B (t) =B1 cos tB1 sin tB0

.

a) Schets hoe de vector ~B (t) verandert in de tijd.

We nemen weer aan dat het elektron geen baanbeweging heeft, en laten hetconstante baanstuk van de toestand waarin het zich bevindt gemakshalve weerbuiten beschouwing. We hebben dan alleen maar te maken met de interactievan het magneetveld met het door het spinimpulsmoment gegenereerde mag-netisch dipoolmoment van het elektron. Wanneer we voor de gyromagnetischeverhouding ge van het elektron de waarde 2 nemen, wordt de Hamiltoniaangegeven door:

H = ec~B (t) · ~S.

77

b) Schrijf weer | (t)i = C+ 12(t)¯12 ,+

12

®+ C 1

2(t)¯12 ,

12

®, en laat zien dat

de Schrödingervergelijking i~ ddt | (t)i = ec~B (t) · ~S | (t)i, met bovenver-

meld magneetveld dan ook geschreven kan worden als:

i~d

dt

C+12(t)

C 12(t)

=e~2 c

B0 B1ei t

B1ei t B0

C+12(t)

C 12(t)

. (2-66)

Merk op dat (2-66) een eerste orde di erentiaalvergelijking is voor een twee-dimensionale vector. Zo�’n vergelijking heeft twee lineair onafhankelijke oplos-singen. Een andere manier om dit te zeggen is dat om de begintoestand | (t0)ite speciceren twee getallen gegeven moeten worden: C+ 1

2(t0) en C 1

2(t0).

In opgave 1.12 hebben we gezien dat een beginwaarde-probleem het gemakke-lijkst is op te lossen in het geval de Hamiltoniaan niet van de tijd afhangt. Inhet onderhavige geval doet de Hamiltoniaan dat echter wel. Met een betrekke-lijk simpele truc blijkt het in dit geval echter mogelijk (2-66) te herleiden toteen probleem met een tijdsonafhankelijke Hamiltoniaan. Beschouw namelijk:

D1 (t)

D2 (t)

def=

ei tC+ 12(t)

C 12(t)

, (2-67)

waarbij een nader te bepalen reële constante is. Voor een geschikte keuze vandeze constante blijkt (2-66) equivalent te zijn aan:

i~d

dt

D1 (t)

D2 (t)= �˜H

D1 (t)

D2 (t), (2-68)

waarbij �˜H een tijdsonafhankelijke hermitische operator is.

c) i) Bepaal de constante waarvoor dit het geval is.

ii) Bepaal ook de bijbehorende operator �˜H en ga na dat deze hermitischis.

Met (2-68) hebben we dus een probleem met een tijdsonafhankelijke Hamilto-niaan, waarvan de algemene oplossing in principe relatief eenvoudig te bepalenis. Met behulp van (2-67) is hiermee dus ook de algemene oplossing van devergelijking (2-66) in principe bekend. De rest van de opgave is voornamelijkgericht op het vinden van die algemene oplossing. Om het rekenwerk daarbijwat te beperken, beschouwen we het geval dat = eB0

c . Ter controle van uw

berekeningen tot nu toe, geven we nu eerst wat en �˜H voor dit geval zijn:

=eB0c;

�˜H =e~2 c

B0 B1

B1 B0

.

78

d) Bepaal voor het geval = eB0c twee lineair onafhankelijke oplossingen van

de Schrödingervergelijking (2-66).

Zij nu gegeven dat het elektron zich op t = 0 in een eigentoestand van Sz bijeigenwaarde +1

2~ bevindt.

e) Bepaal de toestand | (t)i waarin het systeem zich bevindt op willekeurigtijdstip t.

f) Bepaal h (t) | (t)i en hHi (t).

Als het goed is, ziet u dat de norm van | (t)i behouden is in de tijd, maar deverwachtingswaarde van de energie van het systeem niet.

g) Welke eigenschap van de Hamiltoniaan zorgt ervoor dat de norm behoudenis? Licht uw antwoord toe.

h) Welke eigenschap van de Hamiltoniaan zorgt ervoor dat de energie vanhet systeem niet behouden is? Licht uw antwoord toe.

2.14 Twee spin-12 deeltjes in een magneetveld

In deze opgave beschouwen we een systeem van twee spin-12 deeltjes. We laten debaanbeweging van de deeltjes geheel buiten beschouwing, zodat we alleen metde spinruimte van het systeem te maken hebben. Het idee is dat deze spinruimtehet directe produkt is van de spinruimtes van beide deeltjes afzonderlijk: T 1

2

T 12, en dus opgespannen wordt door de volgende vier direct-produkt toestanden:

¯12 ,m1

®1

¯12 ,m2

®2, met m1,m2 = ±1

2 .

De fysische interpretatie van deze toestanden is als volgt. Wanneer het systeemvan de twee deeltjes (die we �‘deeltje 1�’ en �‘deeltje 2�’ noemen) zich in de toe-stand

¯12 ,m1

®1

¯12 ,m2

®2bevindt, bevindt deeltje 1 zich in de toestand

¯12 ,m1

®

en deeltje 2 zich in de toestand¯12 ,m2

®. De direct-produkt toestanden worden

soms ook wel genoteerd als:¯12 ,12 ;m1,m2

®, met m1,m2 = ±1

2 ;

|++i |+ i | +i | i ;

| i | i | i | i .

Verder geldt de regel dat wanneer een operator behorende bij een meetbaregrootheid van deeltje j werkt op een van de direct-produkt toestanden, diewerking alleen bepaald wordt door het deel van de toestand dat deeltje j betreft.Er geldt dus bijvoorbeeld:

S1,x | i = ~2 | i ;

S1,y S2,y | i =¡i~2¢ ¡

i~2¢| i = ~2

4 | i .

79

We beschouwen nu het geval dat de twee spin-12 deeltjes zich in een homogeenmagneetveld langs de z-as bevinden. De Hamiltoniaan voor het systeem van detwee deeltjes wordt dan gegeven door:

H = C ~S1 · ~S2 +D (S1,z + S2,z) .

In deze opgave gaan we uiteindelijk de energie-eigenwaarden van deze Hamil-toniaan op verschillende manieren bepalen.

a) Beschrijf de fysische oorsprong van beiden termen in de Hamiltoniaan.

Geef ook aan van welke fysische grootheden de constanten C en D zoalafhankelijk zijn.

b) Bepaal de matrixgedaante van ~S1 · ~S2 t.o.v. de basis van direct-produkttoestanden.

c) Idem voor S1,z + S2,z.

d) Bepaal nu de eigenwaarden en de bijbehorende eigentoestanden van deHamiltoniaan H.

U heeft gemerkt dat het vrij veel werk is om de eigenwaarden van H te bepalen.De reden daarvoor is dat H niet diagonaal is ten opzichte van de basis vandirect-produkt toestanden. In de rest van de opgave proberen we aannemelijkte maken dat er een gemakkelijker manier is om de eigenwaarden van H tebepalen, namelijk door gebruik te maken van toestanden die geassocieerd zijnmet ~Stot = ~S1 + ~S2.

e) Toon aan dat ~Stot, als een operator werkend op de ruimte T 12

T 12, een

impulsmomentoperator is.

Uit de algemene theorie over impulsmomentoperatoren (zie opgave 2.4) volgtnu:

�— Er is een orthonormale basis van gemeenschappelijke eigentoestan-den |S,Mi van ~S 2tot en Stot,z:

~S 2tot |S,Mi = S (S + 1) ~2 |S,Mi ;Stot,z |S,Mi = M~ |S,Mi .

�— Hierbij zijn geen andere S-waarden mogelijk dan 0, 12 , 1,32 , . . . .

�— Als een bepaalde S-waarde inderdaad aangenomen wordt, doorlooptM de waarden S, S + 1, . . . , S.

De enige vraag is nu nog welke S-waarden voor het specieke geval van het totalespinimpulsmoment van twee spin-12 deeltjes inderdaad aangenomen worden. Opdeze vraag zullen we in opgave 2.16 ingaan.Op dit moment willen we eerst aantonen dat de toestanden |S,Mi, die wetotaal-impulsmoment toestanden noemen, eigentoestanden van H zijn.

80

f) Toon aan dat geldt: ~S1 · ~S2 = 12~S 2tot

12~S 21

12~S 22 .

g) Beredeneer waarom voor iedere toestand | i uit T 12

T 12geldt:

~S 21 | i = 34~2 | i ;

~S 22 | i = 34~2 | i .

h) Toon aan dat |S,Mi een eigentoestand is van H bij eigenwaarde:12C~

2©S (S + 1) 3

2

ª+DM~. (2-69)

Als we ook wisten welke S-waarden inderdaad aangenomen worden, hadden wenu dus zonder al teveel rekenwerk de eigenwaarden van H bepaald. Overigenskunnen we door vergelijking van (2-69) met de resultaten uit onderdeel d) nuachteraf nagaan welke waarden S blijkbaar aanneemt.

i) Welke waarden zijn dat?

2.15 Spin-baan koppeling

Deze opgave heeft hetzelfde doel als opgave 2.14: het belang van totaal-impuls-moment toestanden aannemelijk maken, en laten inzien dat om daar optimaalgebruik van te maken nog wat extra kennis opgedaan moet worden. In dezeopgave beschouwen we de spin-baan koppeling ~L · ~S, die zoals we in opgave 2.9gezien hebben voorkomt in de Zeeman-Hamiltoniaan.In opgave 2.10 hebben we gezien dat we om een elektron te beschrijven gebruikmoeten maken van de direct-produkt ruimte T = Tb Ts=1

2. Om de bespreking

overzichtelijk te houden beschouwen we nu een deelruimte van T , namelijk hetdirecte produkt van de spinruimte Ts= 1

2met dat deel van de baanruimte dat

opgespannen wordt door de baantoestanden met ` = 1 (de bolfuncties met` = 1): T`=1 Ts=1

2. We beschouwen dus de zes-dimensionale ruimte die

opgespannen wordt door de volgende direct-produkt toestanden.

e1 = |` = 1,m` = 1i | i ; e2 = |` = 1,m` = 1i | i ;

e3 = |` = 1,m` = 0i | i ; e4 = |` = 1,m` = 0i | i ;

e5 = |` = 1,m` = 1i | i ; e6 = |` = 1,m` = 1i | i .

a) Bepaal de matrixgedaante van ~L · ~S ten opzichte van de basis {e1, . . . , e6}.

b) Bepaal de eigenwaarden en de bijbehorende eigentoestanden van de Ha-miltoniaan ~L · ~S.

Ook het bepalen van de eigenwaarden van ~L · ~S is dus vrij veel werk als datgedaan wordt ten opzichte van de basis van direct-produkt toestanden. Ooknu gaan we proberen aannemelijk te maken dat er een gemakkelijker manier isom de eigenwaarden van ~L · ~S te bepalen, namelijk door gebruik te maken vantoestanden die geassocieerd zijn met het totale impulsmoment ~J = ~L+ ~S vanhet deeltje.

81

c) Toon aan dat ~J , als een operator werkend op T`=1 Ts= 12, een impulsmo-

mentoperator is.

Uit de algemene theorie over impulsmomentoperatoren (zie opgave 2.4) volgtnu dat er ook een basis van totaal-impulsmoment toestanden |j,mji is, enhieronder gaan we aantonen dat die toestanden eigentoestanden zijn van ~L · ~S.Dus als we vantevoren wisten welke waarden j aanneemt op T`=1 Ts= 1

2, zouden

we op een relatief eenvoudige manier de eigenwaarden van ~L· ~S kunnen bepalen.

d) Toon aan dat |j,mji een eigentoestand is van ~L · ~S, als een operatorwerkend op T`=1 Ts=1

2, bij eigenwaarde:

12~2©j (j + 1) 11

4

ª. (2-70)

e) Achteraf kunnen we nu weer, door vergelijking van (2-70) met de resul-taten uit onderdeel b), nagaan welke waarden j blijkbaar aanneemt opT`=1 Ts= 1

2. Welke waarden zijn dat?

Opmerking: In opgave 2.16 gaan we nader in op de vraag hoe we vante-voren kunnen zeggen welke j-waarden inderdaad aangenomen worden.

2.16 Het optellen van twee impulsmomenten

In deze opgave gaan we het probleem dat in de opgaven 2.14 en 2.15 aan deorde is gekomen in algemene termen formuleren en oplossen. We beschouwendus twee impulsmomentoperatoren ~J1 en ~J2. Zeg dat bij operator ~Ji toestanden|ji,mii horen. In het algemeen zal ji nog verschillende waarden aan kunnennemen. Als bv. ~J1 = ~L, kan j1 de waarden 0, 1, 2, . . . aannemen (zie opgave2.6). Net zoals we ons in opgave 2.15 beperkt hebben tot de deelruimte ` =1, beperken we ons nu tot deelruimtes met één bepaalde j1 en één bepaaldej2 en beschouwen we de direct-produkt ruimte Tj1 Tj2 . Deze ruimte wordtopgespannen door de direct-produkt toestanden:

|j1,m1i |j2,m2i , die we ook wel noteren als:|j1, j2;m1,m2i .

We nemen aan dat we met een niet-triviaal geval te maken hebben waarbijzowel j1 6= 0 als j2 6= 0.

a) Leg uit waarom de dimensie van de direct-produkt ruimte Tj1 Tj2 gelijkis aan (2j1 + 1) (2j2 + 1).

b) Ga na dat de direct-produkt toestanden een gemeenschappelijk stelsel vaneigentoestanden vormen van de operatoren ~J 21 , ~J

22 , J1,z en J2,z.

Wat zijn de bijbehorende eigenwaarden?

82

c) Ga na dat voor iedere toestand | i uit Tj1 Tj2 geldt:

~J 21 | i = j1 (j1 + 1) ~2 | i ;~J 22 | i = j2 (j2 + 1) ~2 | i .

Uit de algemene theorie van impulsmomenten (zie opgave 2.4) en de denitievan direct-produkt toestanden, volgt ook wat de werking is van operatoren alsJi,± en dus ook van Ji,x en Ji,y.

d) Ga bv. na dat geldt:

J1,± |j1, j2;m1,m2i =

= ~pj1 (j1 + 1) m1 (m1 ± 1) |j1, j2;m1 ± 1,m2i ; (2-71)

J2,± |j1, j2;m1,m2i =

= ~pj2 (j2 + 1) m2 (m2 ± 1) |j1, j2;m1,m2 ± 1i . (2-72)

We beschouwen nu het totaal impulsmoment ~J = ~J1 + ~J2.

e) Toon aan dat ~J , als een operator op Tj1 Tj2 , een impulsmomentoperatoris.

Daar ~J een impulsmomentoperator is op Tj1 Tj2 , volgt uit de algemene theo-rie over impulsmomentoperatoren (zie opgave 2.4) dat er ook een orthonormalebasis van Tj1 Tj2 is bestaande uit eigentoestanden van ~J

2 en Jz. Deze zoge-noemde totaal-impulsmoment toestanden worden gangbaar genoteerd als:

|j1, j2; j,mi ,

Hierbij zijn de quantumgetallen j en m op de gebruikelijke manier verbondenmet de operatoren ~J 2 en Jz:

~J 2 |j1, j2; j,mi = j (j + 1) ~2 |j1, j2; j,mi ;Jz |j1, j2; j,mi = m~ |j1, j2; j,mi ,

Verder zijn de totaal-impulsmoment toestanden, gegeven onderdeel c), ook ei-gentoestanden van ~J 21 en ~J

22 :

~J 21 |j1, j2; j,mi = j1 (j1 + 1) ~2 |j1, j2; j,mi ;~J 22 |j1, j2; j,mi = j2 (j2 + 1) ~2 |j1, j2; j,mi .

Uit de algemene theorie volgt ook nog dat er geen andere j-waarden mogelijkzijn dan 0, 12 , 1,

32 , . . . , en dat als een bepaalde j-waarde inderdaad aangenomen

wordt m de waarden j, j+1, . . . , j doorloopt. Tenslotte volgt uit de theoriedat dan geldt:

|j1, j2; j, j ki = 1~k

q(2j k)!(2j)!k! J

k |j1, j2; j, ji . (2-73)

83

Het enige dat we nu nog moeten weten is welke waarden van j daadwerkelijkaangenomen worden. In de opgaven 2.14 en 2.15 is het nut hiervan al aan deorde gekomen, namelijk bij de bepaling van de eigenwaarden van operatoren als~S1 · ~S2 en ~L · ~S.In de rest van de opgave gaan we na welke waarden van j aangenomen worden.We beginnen met na te gaan wat de hoogste waarde van j is die daadwerkelijkaangenomen wordt.

f) i) Toon aan dat de direct-produkt toestanden |j1, j2;m1,m2i ook ei-gentoestanden zijn van Jz.Wat zijn de bijbehorende eigenwaarden?

ii) Toon aan dat de hoogste eigenwaarde van Jz op Tj1 Tj2 gegevenwordt door: (j1 + j2) ~, en dat deze eigenwaarde niet ontaard is.

iii) Beargumenteer dat de waarde j = j1+j2 daadwerkelijk aangenomenwordt, en dat er geen hogere waarden van j aangenomen worden.

iv) Beargumenteer dat (op een vrij te kiezen fasefactor na) geldt:

|j1, j2; j = j1 + j2,m = j1 + j2i = |j1, j2;m1 = j1,m2 = j2i .(2-74)

Nu we de totaal-impulsmoment toestand |j1, j2; j = j1 + j2,m = j1 + j2i ken-nen, kunnen we volgens (2-73) de overige toestanden |j1, j2; j = j1 + j2,mi daar-uit bepalen door J herhaaldelijk te laten werken. In totaal construeren we opdie manier een keten van 2 (j1 + j2)+1 totaal-impulsmoment toestanden, wantm doorloopt de waarden (j1 + j2) , (j1 + j2) + 1, . . . , j1 + j2.Bij wijze van voorbeeld bepalen we nu de totaal-impulsmoment toestand

|j1, j2; j = j1 + j2,m = j1 + j2 1i .

Volgens (2-73) geldt:

|j1, j2; j = j1 + j2,m = j1 + j2 1i == 1

~ 2(j1+j2)J |j1, j2; j = j1 + j2,m = j1 + j2i .

Wanneer we nu gebruik maken van J = J1, + J2, en van (2-74), krijgen wedus:

|j1, j2; j = j1 + j2,m = j1 + j2 1i =J1, + J2,

~p2 (j1 + j2)

|j1, j2;m1 = j1,m2 = j2i .

Het rechterlid kunnen we nu verder uitwerken, omdat de werking van de Ji,op de direct-produkt toestanden bekend is (zie (2-71) en (2-72)).

g) Toon aldus aan dat geldt:

|j1, j2; j = j1 + j2,m = j1 + j2 1i =

=q

j1j1+j2

|j1, j2;m1 = j1 1,m2 = j2i +

+q

j2j1+j2

|j1, j2;m1 = j1,m2 = j2 1i .

84

We gaan nu aantonen dat de op één na hoogste waarde van j die daadwerkelijkaangenomen wordt gegeven wordt door: j = j1 + j2 1.

h) i) Toon aan dat de op één na hoogste eigenwaarde van Jz op Tj1Tj2 gegeven wordt door: (j1 + j2 1) ~, en dat deze eigenwaardetweevoudig ontaard is.

ii) Beargumenteer dat de op één na hoogste waarde van j die daadwer-kelijk aangenomen wordt gegeven wordt door: j = j1 + j2 1.

iii) Beargumenteer dat de totaal-impulsmoment toestand

|j1, j2; j = j1 + j2 1,m = j1 + j2 1i

zich bevindt in de ruimte die opgespannen wordt door de volgendetwee direct-produkt toestanden:|j1, j2;m1 = j1 1,m2 = j2i en |j1, j2;m1 = j1,m2 = j2 1i.

iv) Beargumenteer dat de totaal-impulsmoment toestand

|j1, j2; j = j1 + j2 1,m = j1 + j2 1i

loodrecht moet staan op de totaal-impulsmoment toestand

|j1, j2; j = j1 + j2,m = j1 + j2 1i .

v) Beargumenteer dat (op een vrij te kiezen fasefactor na) geldt:

|j1, j2; j = j1 + j2 1,m = j1 + j2 1i =

=q

j1j1+j2

|j1, j2;m1 = j1,m2 = j2 1i +

+q

j2j1+j2

|j1, j2;m1 = j1 1,m2 = j2i .

Nu we de totaal-impulsmoment toestand

|j1, j2; j = j1 + j2 1,m = j1 + j2 1i

kennen, kunnen we daaruit met behulp van (2-73) de overige toestanden

|j1, j2; j1 + j2 1,mi

bepalen door J herhaaldelijk te laten werken. In totaal construeren we op diemanier 2 (j1 + j2 1) + 1 totaal-impulsmoment toestanden. Enzovoorts.De vraag is alleen nog: tot hoever voorts? De hoogste waarde van j is j1+j2; deop één na hoogste j1+j2 1. Tot hoever naar beneden worden er daadwerkelijkj-waarden aangenomen? Het antwoord is: tot en met |j1 j2|. Dit is in te zienop grond van de volgende gelijkheid:

j1+j2X

j=|j1 j2|

(2j + 1) = (2j1 + 1) (2j2 + 1) . (2-75)

85

i) Neem even aan dat (2-75) geldt. Waarom volgt dan dat j geen lagerewaarden aanneemt dan |j1 j2|?Hint: Onderdeel a).

j) Toon (2-75) aan.

We hebben nu dus een antwoord op de vraag welke j-waarden daadwerkelijkaangenomen worden:

j = |j1 j2| , |j1 j2|+ 1, . . . , j1 + j2.

k) Toon aan dat de speciale gevallen die u in de opgaven 2.14 en 2.15 bestu-deerd heeft in overeenstemming zijn met deze regel.

l) Beschouw de spinruimte van een systeem van twee spin-1 deeltjes.

i) Wat is de dimensie van deze ruimte?

ii) Geef de basis van direct-produkt toestanden van deze ruimte.

iii) Geef ook de basis van totaal-impulsmoment toestanden van dezeruimte.

2.17 Direct-produkt toestanden en totaal-impulsmo-ment toestanden

In opgave 2.16 hebben we twee bases leren kennen. Een basis van direct-produkttoestanden |j1, j2;m1,m2i en een basis van totaal-impulsmoment toestanden|j1, j2; j,mi. Beide bases spannen de ruimte Tj1 Tj2 op. We hebben al geziendat het in sommige situaties handig is de ene basis te gebruiken, en in anderesituaties de andere. In deze opgave oefenen we hier nog wat verder mee, enontwikkelen we tevens een procedure om de twee bases in elkaar uit te kunnendrukken.

a) Welke basis (direct-produkt of totaal-impulsmoment) lijkt het meest ge-schikt om de eigenwaarden te bepalen van:

i) S1,z S2,z;

ii)³~S1 ~S2

´2;

iii) C ~S1 · ~S2 +D (S1,z S2,z);

iv) C ~L · ~S +D (Lz + Sz);v) Lz + 2Sz;

vi) C ~L · ~S +D (Lz + 2Sz).

Opmerking: Bedenk dus altijd goed welke basis het handigst is om eenprobleem aan te pakken. In de opgaven 2.14 en 2.15 heeft u gemerkt datu zich door een geschikte basiskeuze vaak behoorlijk wat rekenwerk kuntbesparen.

86

In Quantummechanica 1 zijn waterstofachtige atomen behandeld, zonder errekening mee te houden dat een elektron een spin-12 deeltje is. De Hamiltoniaanwordt dan gegeven door:

Hzonder spin =~2

2~ 2 Ze2

r.

De eigentoestanden zijn dan van de vorm (zie opgave 2.7):

U` (r)

r|`,mi ,

waarbij de |`,mi corresponderen met de bolfuncties en U` (r) voldoet aan:µ

~2

2

d2

dr2+` (`+ 1) ~2

2 r2Ze2

r

¶U` = EU`.

Wanneer we wel rekening houden met de spin van het elektron, vinden we datde Hamiltoniaan aangepast moet worden tot:

Hmet spin =~2

2~ 2 Ze2

r+

Ze2

2 2c21

r3~L · ~S. (2-76)

Dit is dus de Zeeman-Hamiltoniaan zonder magneetveld (zie opgave 2.9). Ver-der moet de ruimte van toestanden uitgebreid worden van Tb naar Tb T 1

2(zie

opgave 2.10). Afgezien van een radiële functie wordt deze ruimte opgespannendoor de direct-produkt toestanden

¯`, s = 1

2 ;m`,ms

®,

maar ook door de totaal-impulsmoment toestanden¯`, s = 1

2 ; j,mj

®.

b) Welke waarden doorlopen m` en ms resp. j en mj , bij gegeven `?

Vindt u evenveel direct-produkt toestanden als totaal-impulsmoment toe-standen?

c) i) Beargumenteer waarom het handig is om eigentoestanden van (2-76)te zoeken van de vorm:

U`j (r)

r

¯`, s = 1

2 ; j,mj®.

ii) Toon aan dat de radiële functie U`j dan moet voldoen aan:

~2

2

d2

dr2Ze2

r+` (`+ 1) ~2

2 r2+Ze2~2

4 2c2r3©j (j + 1) ` (`+ 1) 3

4

ª¸U`j =

= EU`j . (2-77)

Opmerking: We zullen deze radiële vergelijking in zijn algemeenheidniet oplossen. Wel zullen we later met behulp van storingsrekeningbenaderde oplossingen vinden van het met de Hamiltoniaan (2-76)geassocieerde eigenwaardeprobleem.

87

Ook al is het bv. voor een snelle bepaling van eigenwaarden in sommige situatieshandig om de ene basis te gebruiken en in andere situaties de andere, toch zalhet vaak ook nodig zijn om toestanden die ten opzichte van de ene basis bekendzijn expliciet uit te drukken in de andere basis. Daarvoor is het dus nodig detotaal-impulsmoment toestanden en de direct-produkt toestanden in elkaar uitte kunnen drukken. We weten bij voorbaat al dat dit kan, daar ze dezelfderuimte opspannen. We kunnen dus schrijven:

|j1, j2; j,mi =j1X

m1= j1

j2X

m2= j2

C

µjm

¯¯ j1 j2m1 m2

¶|j1, j2;m1,m2i .

De getallen Cµjm

¯¯ j1 j2m1 m2

¶heten Clebsch-Gordan coëfciënten.

d) Toon aan dat geldt: Cµjm

¯¯ j1 j2m1 m2

¶= hj1, j2;m1,m2|j1, j2; j,mi.

In opgave 2.16 is in feite al aangegeven hoe de totaal-impulsmoment toestan-den uit te drukken zijn in direct-produkt toestanden. We gaan de daar ge-schetste methode nu toepassen op de gevallen die we in de opgaven 2.14 en2.15 beschouwd hebben. We beginnen met het in opgave 2.14 beschouwde ge-val van de spinruimte van een systeem van twee spin-12 deeltjes. We hebbenhier dus te maken met de direct-produkt toestanden

¯12 ,12 ;m1,m2

®en de totaal-

impulsmoment toestanden¯12 ,12 ;S,M

®. De direct-produkt toestanden zullen we

kortweg noteren als |m1,m2i, de totaal-impulsmoment toestanden als |S,Mi.

e) Wat zijn de mogelijke waarden die m1 en m2 aan kunnen nemen?

Wat zijn de mogelijke waarden die S en M aan kunnen nemen?

Overtuig uzelf ervan dat het aantal toestanden in beide bases gelijk is.

Bij voorbaat weten we al dat de twee bases in elkaar uitgedrukt kunnen worden:

|S,Mi =

12X

m1,m2=12

C

µSM

¯¯

12

12

m1 m2

¶|m1,m2i . (2-78)

De Clebsch-Gordan coëfciënten CµSM

¯¯

12

12

m1 m2

¶= hm1,m2|S,Mi gaan

we nu bepalen.

f) Ga na waarom geldt: hm1,m2|S,Mi = 0, als m1 +m2 6=M .

g) Beargumenteer waarom geldt (op een vrij te kiezen fasefactor na):

|S = 1,M = 1i =¯m1 =

12 ,m2 =

12

®

Opmerking: We noteren dit ook wel als |1, 1iS,M =¯12 ,12

®m1,m2

.

h) Druk door herhaalde toepassing van Stot, = S1, + S2, ook de totaal-impulsmoment toestanden |1, 0iS,M en |1, 1iS,M uit in direct-produkttoestanden.

88

i) Beargumenteer dat |0, 0iS,M een lineaire combinatie is van¯12 ,

12

®m1,m2

en¯

12 ,12

®m1,m2

, die bovendien loodrecht staat op |1, 0iS,M .

Druk nu |0, 0iS,M uit in direct-produkt toestanden.

j) Achteraf gezien heeft u in opgave 2.14 in feite ook al de totaal-impuls-moment toestanden |S,Mi uitgedrukt in de direct-produkt toestanden|m1,m2i. Namelijk bij de bepaling van de eigentoestanden van

C ~S1 · ~S2 +D (S1,z + S2,z)

ten opzicht van de direct-produkt basis. Kloppen de bevindingen uitopgave 2.14 inderdaad met wat u hier gevonden heeft?

k) Geef elk van de Clebsch-Gordan coë ciënten hm1,m2|S,Mi.

We gaan nu over tot het in opgave 2.15 beschouwde geval van een spin-12 deeltje.Daar beschouwden we de direct-produkt ruimte T`=1 Ts= 1

2. We beschouwen

nu het geval van een willekeurige `, dus T` Ts=12. Deze ruimte wordt dus

enerzijds opgespannen door de direct-produkt toestanden¯`, 12 ;m`,ms

®en an-

derzijds door de totaal-impulsmoment toestanden¯`, 12 ; j,mj

®. Er geldt nu:

¯`, 12 ; j,mj

®=

X

m`= `

12X

ms=12

C

µjmj

¯¯ ` 1

2m` ms

¶ ¯`, 12 ;m`,ms

®.

Hierbij worden de Clebsch-Gordan coëfciënten Cµ

jmj

¯¯ ` 1

2m` ms

¶gegeven

door `, 12 ;m`,ms|`, 12 ; j,mj

®.

l) Leid af dat geldt (op een vrij te kiezen fasefactor na):¯`, 12 ; j = `+

12 ,mj = `+

12 k

®=

= 1~k

q(2` k+1)!(2`+1)!k! (L + S )k

¯`, 12 ;m` = `,ms =

12

®.

m) Toon aan dat geldt (op een vrij te kiezen fasefactor na):

¯`, 12 ; j = `+

12 ,mj

®=

r`+mj+

12

2`+1

¯`, 12 ;m` = mj

12 ,ms =

12

®+

+

r` mj+

12

2`+1

¯`, 12 ;m` = mj +

12 ,ms =

12

®.

Hint: Voor getallen a en b geldt het binonium van Newton:

(a+ b)k =kX

i=0

µk

i

¶ak ibi.

Beargumenteer waarom deze uitdrukking ook geldig is voor a = L enb = S . Bedenk verder dat geldt (waarom?): S2

¯`, 12 ;m` = `,ms =

12

®=

0.

89

Volgens de standaard-procedure moeten we nu eerst de totaal-impulsmomenttoestand

¯`, 12 ; j = `

12 ,mj = `

12

®gaan uitdrukken in direct-produkt toe-

standen, om vervolgens daarop herhaaldelijk J = L + S te laten werken.Voor het geval dat we hier beschouwen kan echter eenvoudig worden beargu-menteerd dat geldt (op een vrij te kiezen fasefactor na):

¯`, 12 ; j = `

12 ,mj

®=

r`+mj+

12

2`+1

¯`, 12 ;m` = mj +

12 ,ms =

12

®+

+

r` mj+

12

2`+1

¯`, 12 ;m` = mj

12 ,ms =

12

®. (2-79)

n) Beargumenteer waarom (2-79) geldt.

o) Achteraf gezien heeft u in opgave 2.15 voor ` = 1 in feite ook al de totaal-impulsmoment toestanden uitgedrukt in direct-produkt toestanden. Na-melijk bij de bepaling van de eigentoestanden van ~L · ~S ten opzicht vande direct-produkt basis.

Kloppen de bevindingen uit opgave 2.15 inderdaad met wat u hier gevon-den heeft?

p) Geef elk van de Clebsch-Gordan coë ciënten 1, 12 ;m`,ms|1, 12 ; j,mj

®.

2.18 Scalaire operatoren en vectoroperatoren

In opgave 2.11 is afgeleid dat de toestand | i van een deeltje met spin onder eenrotatie R (~ ) overgaat in de toestand | 0i = e

i~ ~ ·

~J | i, waarbij ~J het totaleimpulsmoment van het deeltje is: ~J = ~L+ ~S. Onder een rotatie transformeerteen verwachtingswaarde dus als volgt:

h |O | i 7 0¯O¯ 0® = h | e

i~ ~ ·

~J O ei~ ~ ·

~J | i .

Op grond hiervan onderwerpen we in deze opgave operatoren van de vormei~ ~ ·

~J O ei~ ~ ·

~J aan een nadere studie, in het bijzonder voor twee speciale klas-sen van operatoren. De eerste klasse betreft die van scalaire operatoren. Eenoperator S heet een scalaire operator als geldt:

[Jk , S] = 0, voor k = 1, 2, 3.

De tweede klasse betreft die van vectoroperatoren. Een drietal operatoren ~V =VxVyVz

heet een vectoroperator als geldt:

[Jk , Vl] =3X

m=1

i~ ²klm Vm, voor k, l {1, 2, 3} .

De naamgeving �‘scalaire operator�’ is gebaseerd op het feit dat een scalaire ope-rator S als een scalar transformeert onder rotaties (dwz., niet verandert):

ei~ ~ ·

~J S ei~ ~ ·

~J = S. (2-80)

90

De naamgeving �‘vectoroperator�’ is gebaseerd op het feit dat een vectoroperator~V onder rotaties transformeert als een vector:

ei~ ~ ·

~J ~V ei~ ~ ·

~J = R (~ ) ~V . (2-81)

Deze resultaten gaan we in deze opgave aeiden. We beginnen echter met na tegaan dat enkele zeer vertrouwde operatoren vallen binnen de klasse van scalaireoperatoren of de klasse van vectoroperatoren.

a) Toon aan dat �ˆ~x, �ˆ~p, ~L, ~S en ~J vectoroperatoren zijn.

b) Toon aan dat als ~V en ~W vectoroperatoren zijn, dat dan ~V · ~W een scalaireoperator is.

c) Leid (2-80) af.

d) Welke van de volgende operatoren zijn invariant onder rotaties?

i) S 2x ;

ii) ~L · ~S;iii) 1

2m�ˆ~p · �ˆ~p+ m 2

2�ˆ~x · �ˆ~x;

iv) ~B · ~S, met ~B een constant en homogeen magneetveld.

We zullen (2-81) niet algemeen bewijzen, maar alleen voor rotaties om de z-as(~ = ~e3). In dat geval kan (2-81) geschreven worden als:

ei~ Jz

VxVyVz

ei~ Jz =

cos sin 0sin cos 00 0 1

VxVyVz

. (2-82)

e) Leid (2-82) af.

Hint: De eerste component van (2-82) wordt gegeven door:

ei~ Jz Vx e

i~ Jz = (cos )Vx (sin )Vy. (2-83)

Bewijs (2-83) door aan te tonen dat de gelijkheid geldt voor = 0, endat het linkerlid en het rechterlid beide voldoen aan de volgende 1e-ordedi erentiaalvergelijking voor operatoren:

dK

d( ) =

i

~[Jz ,K ( )] .

Waarom is (2-83) nu bewezen?

Bewijs ook de andere twee componenten van (2-82).

We besluiten deze opgave met enkele eigenschappen aan te tonen van een vec-toroperator ~V , namelijk dat de componenten ervan (Vx, Vy en Vz ) dezelfdeeigenwaarden hebben, terwijl ook de tegenstelde van een eigenwaarde altijd eeneigenwaarde is. Bij het aeiden hiervan kunt u zonder bewijs van de algemeneidentiteit (2-81) gebruik maken.

91

f) Toon aan dat als een eigenwaarde is van Vx, dat dan ook een eigen-waarde is van Vx. Idem voor Vy en Vz.

Hint: Stel Vx | i = | i. Beschouw vervolgens:

Vx ei~ Jz | i = e

i~ Jz e

i~ Jz Vx e

i~ Jz | i = . . .

Probeer iets soortgelijks voor Vy en Vz.

g) Toon aan dat Vx, Vy en Vz dezelfde eigenwaarden hebben.

2.19 Het Wigner-Eckart theorema voor scalaire ope-ratoren

Beschouw een fysisch systeem waarvan de toestandsruimte wordt opgespannendoor de orthonormale basis {| , j,mi}. De quantumgetallen j en m hebben alsgebruikelijk te maken met een impulsmomentoperator. Verder staat �‘ �’ voorde eventueel nog andere quantumgetallen die nodig zijn opdat {| , j,mi} eenvolledige basis is. Er geldt dus:

, j,m| 0, j0,m0® = , 0 j,j0 m,m0 ;X

,j,m

| , j,mi h , j,m| = 1.

In de quantummechanica spelen de matrixelementen van een operator ten op-zichte van deze basis, dwz., inprodukten van de vorm h 0, j0,m0|O | , j,mi, vaakeen belangrijke rol, bv. bij storingsrekening.Wanneer we te maken hebben met scalaire operatoren of vectoroperatoren,blijken we over zulke matrixelementen een heleboel te kunnen zeggen. Voor eenscalaire operator S geldt bv. het volgende:

1. h 0, j0,m0|S | , j,mi = j0,j m0,m h 0, j,m|S | , j,mi;2. h 0, j,m|S | , j,mi is onafhankelijk van m.

Deze twee beweringen tezamen vormen het Wigner-Eckart theorema voor eenscalaire operator. In deze opgave gaat u deze stelling bewijzen. In het vervolgis S steeds een scalaire operator.

a) Laat zien dath~J 2, S

i= [Jz , S] = [J± , S] = 0.

b) Laat zien dat h 0, j0,m0|S | , j,mi = j0,j h 0, j,m0|S | , j,mi.

Hint: Beschouw 0 = h 0, j0,m0|h~J 2, S

i| , j,mi.

c) Laat zien dat h 0, j0,m0|S | , j,mi = m0,m h 0, j0,m|S | , j,mi.

Uit de onderdelen b) en c) volgt het eerste onderdeel van het Wigner-Eckarttheorema.

92

We besluiten met het tweede onderdeel van het Wigner-Eckart theorema.

d) Ga na dat geldt:

SJ+ | , j,mi =pj (j + 1) m (m+ 1) ~S | , j,m+ 1i .

e) Laat zien dat geldt:

J+S | , j,mi =

=pj (j + 1) m (m+ 1) ~

X

0

0, j,m¯S | , j,mi

¯ 0, j,m+ 1®.

Hint: De volledigheidsrelatie.

f) Laat zien dat voor m 6= j:

0, j,m¯S | , j,mi = 0, j,m+ 1

¯S | , j,m+ 1i .

Hiermee is het tweede onderdeel van het Wigner-Eckart theorema bewezen. Omaan te geven dat h 0, j,m|S | , j,mi onafhankelijk is van m, wordt het somsook wel genoteerd als: h 0, jkS k , ji. In deze notatie luidt het Wigner-Eckarttheorema:

0, j0,m0¯S | , j,mi = j0,j m0,m0, j°°S k , ji .

2.20 Selectieregels voor vectoroperatoren

Er is ook een Wigner-Eckart theorema voor vectoroperatoren. Daar gaan wenu echter niet op in. Wel gaan we aantonen dat voor een vectoroperator eenheleboel matrixelementen de waarde 0 te hebben. Voor een vectoroperator ~Vgeldt namelijk:

1. h 0, j0,m0|Vx | , j,mi = 0, als |m0 m| 6= 1;

2. h 0, j0,m0|Vy | , j,mi = 0, als |m0 m| 6= 1;

3. h 0, j0,m0|Vz | , j,mi = 0, als m0 6= m.

In deze opgave gaat u deze zogenaamde selectieregels bewijzen.In het vervolg is ~V steeds een vectoroperator. Verder deniëren we de operato-ren V+ en V door: V± = Vx ± iVy.

a) Laat zien dat [Jz , Vz] = 0 en [Jz , V±] = ±~V±.

b) Bewijs bovenstaande selectieregel 3.

Hint: Beschouw h 0, j0,m0| [Jz , Vz] | , j,mi.

c) Bewijs de selectieregels 1 en 2.

Hint: Leid eerst selectieregels af voor de operatoren V+ en V .

93

2.21 Samenvatting

Ook in deel 2 over het impulsmoment is het in feite gegaan om het aanlerenvan enkele algemene procedures. Zet ze, in ieder geval bij uw voorbereiding ophet tentamen, eens kernachtig op een rijtje.

94

Deel 3

Identieke deeltjes

Dit deel gaat over de beschrijving van systemen van deeltjes. Als in een systeemtwee of meerdere deeltjes voorkomen die identiek zijn (bv. allemaal elektronenzijn), blijkt de ruimte van toestanden waarin zo�’n systeem zich kan bevindenbeperkter te zijn dan die van een systeem waarbij alle deeltjes onderscheidbaarzijn. De aard van de beperking blijkt bovendien af te hangen van de spin van deidentieke deeltjes. Als de spin van de identieke deeltjes heeltallig is (0, 1, 2, . . . ),zijn alleen toestanden toegestaan die symmetrisch zijn onder elke verwisselingvan twee identieke deeltjes. Als de spin van de identieke deeltjes halftallig is(12 ,

32 ,

52 , . . . ), zijn alleen toestanden toegestaan die anti-symmetrisch zijn onder

elke verwisseling van twee identieke deeltjes. Deeltjes met heeltallige spin hetenbosonen, deeltjes met halftallige spin fermionen.In dit deel gaan we aan de hand van enkele betrekkelijk eenvoudige systemenna wat het uitmaakt dat we met een systeem van onderscheidbare deeltjes,identieke bosonen of identieke fermionen te maken hebben. De wiskunde diedaarbij gehanteerd wordt is erg eenvoudig en behelst eigenlijk niet veel meerdan wat combinatoriek en tellen.In Sakurai zijn de betre ende stukken te vinden in de paragrafen 6.1�—6.3.

95

3.1 De verwisselingsoperator

Wanneer zich in een systeem enkele deeltjes van dezelfde soort bevinden, ver-wachten we dat de fysische situatie niet verandert bij verwisseling van twee vandie identieke deeltjes. In deze opgave proberen we dit idee concreter vorm tegeven in termen van een verdwijnende commutator tussen de Hamiltoniaan vanhet systeem en een zogenaamde verwisselingsoperator .Om de gedachten te bepalen beschouwen we een systeem van twee spin-s deeltjesdie in één dimensie bewegen: deeltje 1 en deeltje 2. De toestandsruimte van ditsysteem wordt opgespannen door de direct-produkt toestanden:

¯p0®1

¯s,m0s

®1

¯p00®2

¯s,m00s

®2,

waarbij de subindices �‘1�’ en �‘2�’ refereren naar deeltje 1 resp. deeltje 2. Dezedirect-produkt toestanden noteren we ook wel als:

¯p0®1

¯p00®2

¯s,m0s

®1

¯s,m00s

®2, (3-1)

waarbij |p0i1 |p00i2 het baandeel van de toestand van het systeem voorstelt en|s,m0si1 |s,m00

si2 het spindeel.We deniëren nu de verwisselingsoperator P1 2 op deze toestanden als volgt:

P1 2

¡ ¯p0®1

¯p00®2

¯s,m0

s

®1

¯s,m00

s

®2

¢=¯p00®1

¯p0®2

¯s,m00s

®1

¯s,m0s

®2. (3-2)

De verwisselingsoperator zet een toestand waarbij deeltje 1 zich bevindt in detoestand |p0i |s,m0si en deeltje 2 in |p00i |s,m00si dus om in een toestand waarbijdeeltje 1 zich bevindt in |p00i |s,m00

si en deeltje 2 in |p0i |s,m0si. Daar de direct-produkt toestanden (3-1) de hele toestandsruimte voor het systeem opspannen,is middels (3-2) dus ook de werking van de verwisselingsoperator op de heletoestandsruimte gedenieerd.

a) Toon aan dat geldt: P21 2 = 1.

b) Toon aan dat hieruit volgt dat de eigenwaarden van P1 2 gegeven wordendoor ±1.

c) i) Geef twee kwalitatief verschillende eigentoestanden van P1 2 bij ei-genwaarde +1.

ii) Geef twee kwalitatief verschillende eigentoestanden van P1 2 bij ei-genwaarde 1.

Opmerking: Eigentoestanden van P1 2 bij eigenwaarde +1 heten symme-trisch onder verwisseling van de twee deeltjes; eigentoestanden van P1 2

bij eigenwaarde 1 anti-symmetrisch onder verwisseling van de twee deel-tjes.

We gaan nu onderzoeken onder welke voorwaarden de verwisselingsoperatorcommuteert met een Hamiltoniaan. Om de gedachten te bepalen beschouwenwe dat het systeem van de twee spin-s deeltjes beschreven wordt door:

H0 =�ˆp212m1

+�ˆp222m2

g1e1B

2m1cS1,z

g2e2B

2m2cS2,z.

96

Hierbij is mi de massa, ei de lading en gi de gyromagnetische verhouding vandeeltje i.

d) Toon aan dat geldt:

[H0,P1 2]¯p0®1

¯p00®2

¯s,m0s

®1

¯s,m00s

®2=

=³1m1

1m2

´(p002 p02)

2

¯p00®1

¯p0®2

¯s,m00s

®1

¯s,m0

s

®2

³g1e1m1

g2e2m2

´B~(m00

s m0s)

2c

¯p00®1

¯p0®2

¯s,m00

s

®1

¯s,m0

s

®2.

e) Beargumenteer waarom [H0,P1 2] = 0 voor het geval de twee deeltjesidentiek zijn, dus van dezelfde soort (bv. allebei een elektron).

f) Beargumenteer dat in het algemeen moet gelden voor een HamiltoniaanH die een systeem van twee identieke deeltjes beschrijft: [H,P1 2] = 0.

Beschouw nu een systeem van twee identieke deeltjes dat beschreven wordt dooreen Hamiltoniaan H.

g) Leg uit waarom we een stelsel van eigentoestanden van H kunnen vindendie ofwel symmetrisch ofwel anti-symmetrisch zijn onder verwisseling vande twee deeltjes.

h) Toon aan dat als het systeem zich op begintijdstip t0 in een toestandbevindt die symmetrisch (anti-symmetrisch) is onder verwisseling van detwee deeltjes, dat het systeem zich dan op elk tijdstip in een toestandbevindt die symmetrisch (anti-symmetrisch) is onder verwisseling van detwee deeltjes.

Hint: Volgens opgave 1.12 wordt de formele oplossing van de Schrödin-gervergelijking gegeven door | (t)i = U (t, t0) | (t0)i, waarbij de evolu-tieoperator gegeven wordt door de Dyson-reeks (1-57).

De bevindingen uit de onderdelen g) en h) geven weer wat we op formeel-mathematische gronden kunnen zeggen over systemen met identieke deeltjes.Het blijkt echter dat de natuur nog selectiever is. Systemen met identieke bo-sonen (deeltjes met heeltallige spin) blijken alleen maar in toestanden voor tekomen die symmetrisch zijn onder verwisseling van elk tweetal identieke bos-onen; systemen met identieke fermionen (deeltjes met halftallige spin) blijkenalleen maar in toestanden voor te komen die anti-symmetrisch zijn onder ver-wisseling van elk tweetal identieke fermionen. Dit resultaat lijkt te mooi omslechts toeval te zijn�–daar moet wel iets achter zitten of onder liggen. Inder-daad blijkt het om een consistente quantumveldentheorie op te zetten nodigom de genoemde symmetrie-eisen te stellen. Wij zullen hier niet op dit zoge-naamde spin-statistiek theorema ingaan, maar de symmetrie-eisen opvatten alsempirisch behoorlijk ondersteunde beweringen (zie bv. p.19�—20 van het novem-bernummer van Physics Today uit 1996).

97

i) In welke van de volgende toestanden zou een systeem van twee identiekedeeltjes zich kunnen bevinden en in welke niet?

i) |pi1 |pi2¯s = 1

2 ,ms = +12

®1

¯s = 1

2 ,ms = +12

®2;

ii) |pi1 |pi2 |s = 1,ms = +1i1 |s = 1,ms = +1i2;iii) |pi1 |pi2

¯12 ,+

12

®1

¯12 ,

12

®2;

iv) |pi1 |pi2 |1,+1i1 |1, 0i2;v) {|p0i1 |p00i2 |p00i1 |p0i2}

¯12 ,+

12

®1

¯12 ,+

12

®2;

vi) {|p0i1 |p00i2 |p00i1 |p0i2} |1,+1i1 |1,+1i2;vii) {|p0i1 |p00i2 + |p00i1 |p0i2}

©¯12 ,+

12

®1

¯12 ,

12

®2+¯12 ,

12

®1

¯12 ,+

12

®2

ª;

viii) {|p0i1 |p00i2 + |p00i1 |p0i2} (|1,+1i1 |1, 0i2 + |1, 0i1 |1,+1i2);ix) |p0i1 |p00i2

¯12 ,+

12

®1

¯12 ,

12

®2

|p00i1 |p0i2¯12 ,

12

®1

¯12 ,+

12

®2;

x) |p0i1 |p00i2 |1,+1i1 |1, 0i2 |p00i1 |p0i2 |1, 0i1 |1,+1i2.

3.2 Identieke deeltjes zonder onderlinge interactie

Deze opgave is een eerste oefening met een procedure voor de behandeling vaneen systeem van twee identieke deeltjes. In deze opgave beschouwen we hetgeval dat de deeltjes geen onderlinge wisselwerking hebben. De Hamiltoniaanvan deeltje 1 wordt gegeven door H1.

a) Geef de vorm van de Hamiltoniaan van het twee-deeltjes systeem.

Veronderstel dat H1 alleen operatoren bevat die werken op de baanruimte,en dus geen operatoren die werken op de spinruimte. Neem verder aan datde eigenwaarden En (n = 0, 1, 2, . . . ) van H1 niet ontaard zijn: H1 n (~r1) =En n (~r1); En < En+1.

b) Geef het grondniveau en het eerste aangeslagen niveau van het twee-deeltjes systeem, voor het geval de twee deeltjes identieke spin-0 deeltjeszijn (bijvoorbeeld twee -mesonen).

Geef voor beide niveaus ook de ontaardingsgraad en de ruimte van eigen-toestanden.

Hint: De toestand van een systeem van identieke deeltjes is symmetrischonder verwisseling van de deeltjes in het geval de deeltjes bosonen zijn.

c) Geef nu het grondniveau en het eerste aangeslagen niveau van het twee-deeltjes systeem, voor het geval de twee deeltjes identieke spin-12 deeltjeszijn (bijvoorbeeld twee elektronen).

Geef voor beide niveaus ook weer de ontaardingsgraad en de ruimte vaneigentoestanden.

Hint: De totale toestand van het systeem, dus baanstuk en spinstuk teza-men, moet in dit geval (twee identieke fermionen) anti-symmetrisch zijnonder verwisseling van de deeltjes. Dit kan bereikt worden door ofwel eensymmetrisch baanstuk te combineren met een anti-symmetrisch spinstuk,ofwel een anti-symmetrisch baanstuk met een symmetrisch spinstuk.

98

d) Dezelfde vragen voor het geval van twee identieke spin-1 deeltjes (bijvoor-beeld twee -mesonen).

3.3 Systemen van onderscheidbare deeltjes, en vanidentieke fermionen dan wel bosonen

De bedoeling van deze opgave en opgave 3.4 is te laten zien dat de fysica vansystemen van deeltjes wezenlijk verschillend kan zijn als zich identieke deeltjesin die systemen bevinden. In deze opgave beschouwen we een systeem van tweeniet-wisselwerkende deeltjes; in opgave 3.4 zullen we een geval van wisselwer-kende deeltjes beschouwen.De Hamiltoniaan van een twee-deeltjes systeem wordt gegeven door:

H = H1 +H2, met

Hi = 12m �ˆp

2i +

m 2

2 �ˆx2i .

De eigentoestanden van de één-deeltje Hamiltonianen Hi noteren we als |nii,zodat geldt: Hi |nii = ~

¡n+ 1

2

¢|nii.

a) Ga na dat de direct-produkttoestanden |ni1 |mi2 eigentoestanden zijn vanH. Wat zijn de bijbehorende eigenwaarden?

b) Veronderstel dat de twee deeltjes onderscheidbare spin-0 deeltjes zijn.

Leid af dat de energie-eigenwaarden van het systeem van deze twee deeltjesgegeven worden door: Ek = ~ (k + 1), met k = 0, 1, 2, . . . ; en dat deontaardingsgraad van niveau Ek gegeven wordt door: k + 1.

c) Veronderstel nu dat de twee deeltjes identieke spin-0 deeltjes zijn.

Laat zien dat de energie-eigenwaarden weer gegeven worden door Ek =~ (k + 1), met k = 0, 1, 2, . . . Wat is nu echter de ontaardingsgraad vanniveau Ek?

Hint: Bij het bepalen van de ontaardingsgraad van Ek verdient het aan-beveling onderscheid te maken tussen het geval dat k even is en het gevaldat k oneven is.

d) Beschouw nu het geval dat de deeltjes onderscheidbare spin-12 deeltjes zijn.

Wat zijn nu de mogelijke energie-eigenwaarden? Geef ook de ontaardings-graad van elk van die eigenwaarden. Licht uw antwoorden toe.

e) Beantwoord weer dezelfde vragen voor het geval van twee identieke spin-12deeltjes.

We beschouwen tenslotte een systeem van twee spin-12 deeltjes die in een mag-neetveld zijn geplaatst. Bij verwaarlozing van de spin-spin interactie wordt deHamiltoniaan gegeven door:

H = H1 + H2 +geB2mc (S1,z + S2,z) ,

waarbij g de gyromagnetische verhouding is van de deeltjes (we veronderstellendat die voor beide deeltjes hetzelfde is).

99

f) Bepaal het grondniveau en de bijbehorende ontaardingsgraad van dit sys-teem voor de volgende gevallen:

i) de twee deeltjes zijn onderscheidbaar ;

ii) de twee deeltjes zijn identiek .Hint: Het verdient aanbeveling de gevallen 0 < geB

2mc < en 0 < <geB2mc te onderscheiden.

3.4 Identieke deeltjes met een harmonische wissel-werking

In deze opgave beschouwen we een systeem van twee deeltjes die zich in een 1-dimensionale harmonische potentiaal bevinden, en elkaar bovendien aantrekkenvia een harmonische interactie. De Hamiltoniaan van dit systeem is dus:

H =1

2m�ˆp21 +

1

2m�ˆp22 +

m 2

2�ˆx21 +

m 2

2�ˆx22 +

m 2

2(�ˆx1 �ˆx2)

2 .

Hieronder gaan we eerst de eigenwaarden van deze Hamiltoniaan bepalen. Ver-volgens gaan we na welke van deze eigenwaarden toegestaan zijn (en dus geme-ten kunnen worden) in het geval de twee deeltjes identiek zijn.Om dit probleem te behandelen blijkt het handig te gaan werken met nieuwecoördinaten en bijbehorende impulsen, namelijk:

�ˆXdef= 1

2 �ˆx1 +12 �ˆx2 �ˆx

def= �ˆx1 �ˆx2 ;

�ˆPdef= �ˆp1 + �ˆp2 �ˆp

def= 1

2 �ˆp112 �ˆp2 .

a) Toon aan dat �ˆX en �ˆP aan de canonieke commutatierelatie voldoen evenals�ˆx en �ˆp, terwijl alle andere commutatoren van �ˆX, �ˆP , �ˆx en �ˆp verdwijnen.

b) Schrijf de Hamiltoniaan in termen van de nieuwe coördinaten en bijbeho-rende impulsen.

c) Laat zien dat de eigenfuncties van H gegeven worden door:

N,n (X,x)def= N (2m, ; X) n(

12m,

p2 + 2 2; x).

Hierbij geldt dat N,n {0, 1, 2, . . . }. Verder is k ( , $; y) gedenieerdals de eigenfunctie bij eigenwaarde ~$

¡k + 1

2

¢van een harmonische os-

cillator met massa en hoekfrequentie $ (voor verschillende en/of $zijn de eigenfuncties van de harmonische oscillator verschillend):

µ~2

2

d2

dy2+

$2

2y2¶

k ( , $; y) = ~$¡k + 1

2

¢k ( , $; y) .

Wat zijn de eigenwaarden van H? Wat is de ontaardingsgraad van elkvan die eigenwaarden?

Gegeven: U kunt ervan uitgaan dat2 + 2 2

/ Q.

100

d) Veronderstel dat de twee deeltjes identieke spin-0 deeltjes zijn.

Wat zijn de energie-eigenwaarden van dit systeem, en wat is de ontaar-dingsgraad van elk van die eigenwaarden?

Hint: k ( , $; y) = ( 1)k k ( , $; y).

e) Beantwoord dezelfde vragen als bij onderdeel d) voor het geval de tweedeeltjes identieke spin-12 deeltjes zijn. (De Hamiltoniaan blijft hetzelfde.Spin-spin wisselwerking wordt dus verwaarloosd.)

f) De twee identieke spin-12 deeltjes worden vervolgens in een magneetveld~B = B~e3 geplaatst. Aan de Hamiltoniaan wordt dan de volgende termtoegevoegd:

Hspin =ge

2mc~B · ~Stot =

geB

2mcStot,z.

Bepaal ook voor dit systeem de energie-eigenwaarden en bijbehorendeontaardingsgraden.

3.5 Atomen met meerdere elektronen

Bij verwaarlozing van de spin-baan koppeling wordt de Hamiltoniaan HH vaneen elektron dat zich in het veld van een lading +Ze bevindt (een waterstof-achtig atoom) gegeven door:

HH =~2

2~ 2 Ze2

r.

Zoals bekend (zie ook opgave 2.8) worden de negatieve eigenwaarden vanHH ge-geven door: EZ,n = Z2e2

2an2, waarbij n = 1, 2, . . . , en met a = ~2

e2de Bohrstraal.

Verder zijn er n2 onafhankelijke baantoestanden met de energie-eigenwaardeEZ,n, namelijk de toestanden |n`m`i, waarbij ` = 0, 1, . . . , n 1 en m` bijgegeven ` de waarden `, `+ 1, . . . , ` doorloopt.In deze opgave beschouwen we enkele atomen met meer dan één elektron. Wezullen uiteindelijk tot een procedure voor de beschrijving van zulke systemenkomen, die generaliseerbaar is naar systemen van meer dan twee deeltjes.We beginnen met een Helium-atoom: twee elektronen in het veld van een kern-lading +2e. Wanneer we de spin-baan koppelingen en de interacties tussen detwee elektronen onderling buiten beschouwing laten, wordt de Hamiltoniaangegeven door:

HHe =~2

2~ 21

~2

2~ 22

2e2

r1

2e2

r2.

a) Toon aan dat het grondniveau van HHe de waarde 4e2

a heeft.

Toon tevens aan dat dit niveau niet ontaard is, en dat een bijbehorendeeigentoestand gegeven wordt door:

12|100i1 |100i2 (| i | i) . (3-3)

101

b) Bepaal de waarde van het eerste aangeslagen energie-niveau van HHe.

Toon ook aan dat de bijbehorende eigenruimte 16-dimensionaal is, enspeciceer een basis van deze ruimte.

De anti-symmetrische toestanden van een systeem van identieke fermionen kun-nen handig weergegeven worden door zogenaamde Slater-determinanten. Vooreen heliumatoom geldt bv. dat alle (genormeerde) anti-symmetrische eigentoe-standen van HHe van de volgende vorm zijn:

1

2

¯¯¯

|n0`0m0`i1 |m0si1 |n00`00m00` i1 |m

00si1

|n0`0m0`i2 |m0si2 |n00`00m00` i2 |m

00si2

¯¯¯ . (3-4)

Hiermee wordt de toestand bedoeld die verkregen wordt door de determinantals gebruikelijk uit te werken, dus:

12

¡¯n0`0m0

`

®1

¯m0s®1

¯n00`00m00

`

®2

¯m00s

®2

¯n00`00m00

`

®1

¯m00s

®1

¯n0`0m0

`

®2

¯m0s®2

¢=

12

¡¯n0`0m0`

®1

¯n00`00m00`

®2

¯m0s®1

¯m00s®2

¯n00`00m00

`

®1

¯n0`0m0`

®2

¯m00s®1

¯m0s

®2

¢.

Verwisseling van deeltje 1 en deeltje 2 komt in deze notatie neer op het ver-wisselen van de twee rijen in (3-4), en zoals bekend geeft dat een minteken.De toestanden van de vorm (3-4) zijn dus inderdaad anti-symmetrisch onderverwisseling van de twee deeltjes. De grondtoestand (3-3) van HHe kunnen webv. als volgt als een Slater-determinant weergeven:

1

2

¯¯¯

|100i1 | i1 |100i1 | i1

|100i2 | i2 |100i2 | i2

¯¯¯ .

c) Geef een basis van de eigenruimte van het eerste aangeslagen niveau vanHHe in termen van Slater-determinanten.

Toon expliciet aan dat deze basis inderdaad dezelfde ruimte opspant alsde basis die u bij onderdeel b) gegeven heeft.

U heeft nu twee procedures gezien voor de behandeling van systemen met tweeidentieke spin-12 deeltjes. De eerste procedure kwam neer op het construe-ren van toestanden bestaande uit ofwel een symmetrisch baandeel en een anti-symmetrisch spindeel ofwel een anti-symmetrisch baandeel en een symmetrischspindeel. De tweede procedure voor de constructie van totaal anti-symmetrischetoestanden kwam neer op het gebruik van Slater-determinanten.

d) Leg uit waarom de eerste procedure niet kan werken voor een systeem vandrie identieke spin-12 deeltjes.

Het gebruik van Slater-determinanten is wel generaliseerbaar naar systemenvan meer dan twee identieke spin-12 deeltjes. Beschouw bv. een Lithium-atoom:drie elektronen in het veld van een kernlading +3e.

102

Wanneer we de spin-baan koppelingen en de interacties tussen de elektronenonderling buiten beschouwing laten, wordt de Hamiltoniaan gegeven door:

HLi =~2

2~ 21

~2

2~ 22

~2

2~ 23

3e2

r1

3e2

r2

3e2

r3.

Alle (genormeerde) totaal antisymmetrisch eigentoestanden van HLi, dus eigen-toestanden die anti-symmetrisch zijn onder verwisseling van elk tweetal elek-tronen, zijn van de volgende vorm:

1

6

¯¯¯¯¯

|n0`0m0`i1 |m

0si1 |n00`00m00

` i1 |m00si1 |n000`000m000` i1 |m

000s i1

|n0`0m0`i2 |m

0si2 |n00`00m00

` i2 |m00si2 |n000`000m000` i2 |m

000s i2

|n0`0m0`i3 |m

0si3 |n00`00m00

` i3 |m00si3 |n000`000m000` i3 |m

000s i3

¯¯¯¯¯. (3-5)

Om de notatie wat korter te houden, kunt u de toestand (3-5) noteren als:

16

¯¯n0`0m0`

® ¯m0s

®;¯n00`00m00`

® ¯m00s

®;¯n000`000m000

`

® ¯m000s

®¯.

e) Bepaal de waarde en de ontaardingsgraad van het grondniveau van HLi.

Speciceer tevens een basis van de bijbehorende eigenruimte.

f) Het uitsluitingsprincipe van Pauli wordt ook wel als volgt geformuleerd:twee identieke fermionen kunnen zich niet in dezelfde toestand bevinden.Licht deze uitspraak toe m.b.v. Slater-determinanten.

3.6 Samenvatting en uitbreiding

In dit deel over identieke deeltjes zijn enkele procedures behandeld voor debepaling van de toegestane toestandsruimte van systemen waarin zich iden-tieke deeltjes bevinden. Begonnen is met zo�’n procedure voor systemen vantwee identieke deeltjes, en voor identieke fermionen is een procedure aange-geven die ook werkt voor systemen met meer dan twee deeltjes, namelijk hetgebruik van Slater-determinanten. Formuleer deze procedures, en probeer ookeen procedure te bedenken die werkt voor systemen van willekeurig veel iden-tieke bosonen.Hint: Beschouw de Slater-determinant 1

6

¯¯ 0® ;¯ 00® ;

¯ 000®¯ voor een systeemvan drie identieke fermionen. Hierbij zijn

¯ 0®,¯ 00® en

¯ 000® onafhankelijkeenergie-eigentoestanden (inclusief spintoestand) bij dezelfde energie-eigenwaar-de. Volgens de denitie van de determinant, kan deze toestand uitgebreiderweergegeven worden als:

13!

X

P3

( 1)¯ 0®

(1)

¯ 00®(2)

¯ 000®(3),

waarbij gesommeerd wordt over alle 3! permutaties van {1, 2, 3}, en ( 1) hetteken van de permutatie voorstelt (dus de waarde 1 heeft voor een evenpermutatie en 1 voor een oneven permutatie).

103

104

Deel 4

Geladen deeltjes in een externelektromagnetisch veld

In dit deel beschouwen we geladen deeltjes in een extern elektromagnetisch veld.In feite hebben we daar al voorbeelden van gezien. Bij waterstofachtige atomenhebben we immers te maken met elektronen die zich bevinden in het elektrischveld van een kernlading, en bij het (sterke) Zeemane ect met geladen deeltjes ineen extern magneetveld. Bij geladen deeltjes met spin hebben we bovendien temaken met een interactie tussen het door het spinimpulsmoment gegenereerdemagnetische dipoolmoment en een extern magneetveld, bv. met het door eenbewegende kernlading opgeroepen magneetveld (spin-baan koppeling).In dit deel gaan we nader in op de systematische quantumtheoretische beschrij-ving van een geladen deeltje in een extern elektromagnetisch veld. Daarbijzal ook een speciaal aspect van die theorie aan de orde komen, namelijk dat detheorie invariant is onder zogenaamde ijktransformaties. De theorie van elektro-magnetische wisselwerking die we hier beschouwen heet daarom een ijktheorie.In Sakurai is hierover meer te vinden in paragraaf 2.6 (ijktransformaties inelektromagnetisme).

105

4.1 De quantummechanische beschrijving van gela-den deeltjes in een elektromagnetisch veld

Klassiek voldoet een deeltje (met lading q en massa m) dat zich in een externelektromagnetisch veld { ~E, ~B} bevindt aan de volgende bewegingsvergelijking:

m~x = q³~E + 1

c~x× ~B

´, (4-1)

waarbij het rechterlid de Lorentzkracht is.In de theorie van het elektromagnetisme worden vaak als hulpgrootheden eenscalaire potentiaal en een vectorpotentiaal ~A ingevoerd, die als volgt gerela-teerd zijn aan het elektromagnetisch veld { ~E, ~B}:

~E = ~ 1

c

~A

t; (4-2)

~B = ~ × ~A. (4-3)

Een eerste vraag hierbij is natuurlijk of bij een gegeven elektromagnetisch veld{ ~E, ~B} altijd een scalaire potentiaal en een vectorpotentiaal ~A te vindenzijn zodanig dat voldaan is aan (4-2) en (4-3). Het antwoord op deze vraag ispositief. Een elektromagnetisch veld { ~E, ~B} voldoet immers aan de Maxwell-vergelijkingen (zie Gri ths, Introduction to electrodynamics, p.307; de andereconstanten hebben weer te maken met een ander eenhedenstelsel):

~ · ~E = 4 ; ~ × ~E =1

c

~B

t;

~ × ~B1

c

~E

t=4

c~; ~ · ~B = 0,

(4-4)

met de ladingsdichtheid en ~ de stroomdichtheid. Verder gelden de volgendetwee wiskundige stellingen:

�— een divergentievrij vectorveld is te schrijven als een rotatie;

�— een rotatievrij vectorveld is te schrijven als een gradiënt.

Dus volgt uit het feit dat het magneetveld ~B divergentievrij is meteen dat ~B teschrijven is als (4-3): ~B = ~ × ~A. Wanneer we dit invullen in ~ × ~E =

~Bc t

volgt meteen: ~ ׳~E +

~Ac t

´= ~0, zodat ~E+

~Ac t te schrijven is als een gradiënt,

zeg: ~ ( ) (het minteken is conventioneel). Hieruit volgt (4-2) onmiddellijk:~E = ~ ~A

c t .In opgave 4.2 gaan we in op de vraag of de potentialen uniek bepaald zijn door(4-2) en (4-3). In deze opgave zullen we plausibel maken dat in termen van

de potentialen een Hamiltoniaan H³, ~A´opgeschreven kan worden die het

gedrag van een (spinloos) deeltje quantummechanisch correct beschrijft:

H³, ~A´= 1

2m ~2³~A´+ q . (4-5)

106

Hierbij is de zogenaamde kinetische impuls ~³~A´gedenieerd door (in de

plaatsrepresentatie):~³~A´= i~ ~ q

c~A. (4-6)

De reden waarom (4-5) plausibel is, is dat deze Hamiltoniaan aanleiding geefttot bewegingsvergelijkingen voor verwachtingswaarden die in overeenstemmingzijn met de klassieke bewegingsvergelijking (4-1). Er geldt namelijk:

d h~x idt

=h~ im; (4-7)

d h~ idt

= q

µD~EE+

1

2mc

D~ × ~B ~B × ~

E¶. (4-8)

a) Leid (4-7) af.

Hint: Het is het handigst dit componentsgewijs te doen. Bepaal dusd hxiidt

m.b.v. de gegeneraliseerde stelling van Ehrenfest (en leid af dat

daar uiteindelijkh iim

uitkomt).

b) Leid (4-8) af.

Ter ondersteuning staan hieronder enkele tussenresultaten die een rol spe-len bij de aeiding (en die u zelf ook nog af dient te leiden).

[ j , k] =iq~c

µAkxj

Ajxk

¶; (4-9)

3X

l=1

²jklBl =Akxj

Ajxk. (4-10)

Hint: Bij het werken met uitprodukten kan handig gebruik gemaakt wor-den van de Levi-Civita tensor:

³~a×~b

´

i=

3X

j,k=1

²ijkajbk.

4.2 IJkinvariantie

In opgave 4.1 hebben we bij een gegeven elektromagnetisch veld een scalairepotentiaal en een vectorpotentiaal ~A ingevoerd middels (4-2) en (4-3). Indeze opgave gaan we in op de vraag of de scalaire potentiaal en de vectorpo-tentiaal hierdoor uniek bepaald zijn. Als het antwoord op deze vraag negatiefwas, zouden er dus bij hetzelfde elektromagnetisch veld verschillende potenti-alen zijn, en dus volgens (4-5) en (4-6) ook verschillende kinetische impulsenen Hamiltonianen, en dus verschillende eigenwaarde-problemen en Schrödinger-vergelijkingen. Kortom, de fysica van een geladen deeltje lijkt dan niet uniekbepaald te zijn door het elektromagnetisch veld waarin het zich bevindt.

107

Het blijkt dat er inderdaad meerdere potentialen te vinden zijn bij één en het-zelfde elektromagnetisch veld, zoals we nu eerst aan gaan tonen. Daarna gaanwe op de fysische implicaties in.

a) Toon aan dat de potentialen { 0, ~A0}, zoals gedenieerd door:

0 =1

c t;

~A0 = ~A+ ~ ,

(4-11)

waarbij de ijkfunctie (~r, t) een willekeurige reële functie is, aanleiding ge-ven tot hetzelfde elektromagnetisch veld { ~E, ~B} als de potentialen { , ~A}.

De transformatie { , ~A} { 0, ~A0}, zoals gedenieerd door (4-11), heet eenijktransformatie. Binnen de theorie van het elektromagnetisme kunnen we vande vrije keuze van (de zogenaamde ijkvrijheid) bv. gebruik maken om deMaxwell-vergelijkingen tot een betrekkelijk eenvoudige vorm te reduceren. Ver-onderstel namelijk dat en ~A potentialen zijn bij het elektromagnetisch veld{ ~E, ~B}. Het is dan altijd mogelijk zo te kiezen dat geldt:

~ 2 1

c2

2

t2=

µ~ · ~A+ 1

c t

¶.

b) Toon aan dat de potentialen { 0, ~A0} dan voldoen aan:

~ · ~A0 + 1

c

0

t= 0; (4-12)

~ 2 0 1

c2

2 0

t2= 4 ; (4-13)

~ 2 ~A01

c2

2 ~A0

t2=

4

c~. (4-14)

Hint: Er geldt voor een willekeurig vectorveld ~C:

~ ׳~ × ~C

´= ~

³~ · ~C

´~ 2 ~C.

Opmerking: Een zodanige keuze van de potentialen dat voldaan is aan(4-12) wordt een Lorentz -ijking genoemd. Merk verder op dat de ver-gelijkingen (4-13) en (4-14) voor de potentialen van dezelfde soort zijn:golfvergelijkingen met een bronterm. Bij het vak Maxwelltheorie wordtuitgebreid ingegaan op het oplossen van zulke vergelijkingen, en daarmeedus ook van de Maxwell-vergelijkingen.

We gaan nu in op de vraag of we de ijkvrijheid die we klassiek hebben in dequantummechanica verliezen doordat de Hamiltoniaan niet slechts afhangt vanhet veld { ~E, ~B} maar van de potentialen { , ~A}, en dus onder een ijktransfor-matie overgaat in een andere Hamiltoniaan: H

³, ~A´

H³

0, ~A0´.

108

Het blijkt dat we ook quantummechanisch ijkvrijheid hebben, mits we nietalleen de potentialen transformeren maar ook de gol unctie:

0 =1

c t;

~A0 = ~A+ ~ ;

0 = eiq~c ,

(4-15)

waarbij de ijkfunctie (~r, t) weer een willekeurige reële functie is.Er blijkt namelijk dat als voldoet aan de Schrödingervergelijking:

i~t= H

³, ~A´,

dat dan 0 voldoet aan de Schrödingervergelijking:

i~0

t= H

³0, ~A0

´0.

We gaan dit nu eerst aantonen, en vervolgens gaan we in op de vraag in hoeverrede ijktransformatie { , ~A, } { 0, ~A0, 0} tot andere fysische voorspellingenleidt.

c) i) Toon aan dat voor twee gol uncties en 0 die gerelateerd zijnvolgens 0 = e

iq~c geldt:

i

³~A0´

0 = eiq~c i

³~A´. (4-16)

ii) Toon door herhaalde toepassing van (4-16) aan dat geldt:

~ 2³~A0´

0 = eiq~c ~ 2

³~A´. (4-17)

iii) Toon aan dat voldoet aan de Schrödingervergelijking met Hamil-

toniaan H³, ~A´precies dan als 0 voldoet aan de Schrödingerver-

gelijking met Hamiltoniaan H³

0, ~A0´.

d) Ga na welke van de volgende grootheden invariant zijn onder een ijktrans-formatie { , ~A, } { 0, ~A0, 0}.

i) het elektromagnetisch veld { ~E, ~B};ii) de waarschijnlijkheidsdichtheid = | |2;iii) de verwachtingswaarde h~ i van de kinetische impuls;iv) de verwachtingswaarde h~p i van de canonieke impuls.

109

Als het goed is heeft u gemerkt dat de verwachtingswaarde van de canoniekeimpuls niet invariant is onder ijktransformaties, maar de verwachtingswaardevan de kinetische impuls wel. In feite correspondeert de canonieke impuls voorhet geval van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld niet met eenrelevante fysische grootheid. Dit is ook te zien uit (4-7) en (4-8): het is dekinetische impuls, en niet de canonieke impuls, die gerelateerd is aan de snelheid~v van het deeltje: ~ = m~v.Eenzelfde soort redenering gaat op voor de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid,die gangbaar gedenieerd is door (in de plaatsrepresentatie):

~ = ~2mi

³~ ~

´= 1

2m { ~p + (~p ) } .

Deze blijkt niet invariant te zijn onder ijktransformaties, maar weer wel decorresponderende uitdrukking waarbij de canonieke impuls vervangen is doorde kinetische impuls:

~~ =12m { ~ + (~ ) } .

e) Ga na dat ~ niet en ~~ wel invariant is onder ijktransformaties.

Ondanks dat de Hamiltoniaan die een geladen deeltje in een elektromagnetischveld beschrijft niet slechts afhangt van dat elektromagnetisch veld maar ookvan de potentialen, blijkt het gedrag van zo�’n geladen deeltje�–zoals beschre-ven door de Schrödingervergelijking�–toch niet wezenlijk van die potentialenaf te hangen en in essentie alleen maar van het elektromagnetische veld. Ookquantummechanisch hebben we dus ijkvrijheid.We bespreken nu nog een andere illustratie van het feit dat er ijkvrijheid is, ookal lijkt het op het eerste gezicht van niet. Beschouw namelijk het geval dat we temaken hebben met een magneetveld ~B (~r ) dat alleen plaatsafhankelijk is, terwijler geen elektrisch veld is. We kunnen dan een vectorpotentiaal kiezen die alleenvan de plaats afhangt: ~A (~r ), en waarvoor natuurlijk geldt: ~B = ~ × ~A. Daar ergeen elektrisch veld is, moet dus ~ = ~0. We kiezen nu = 0, en beperken onstot ijkfuncties waarbij dit zo blijft. Uit de ijktransformatie voor de scalairepotentiaal volgt dat we ons dan moeten beperken tot ijkfuncties die alleen vande plaats afhangen: (~r ). De ijktransformatie voor de vectorpotentiaal is dandus:

~A0 (~r ) = ~A (~r ) + ~ (~r ) .

Onder zo�’n ijktransformatie is en blijft de Hamiltoniaan

H =~ 2

2m

dus tijdsonafhankelijk. Wanneer we nu van H het energiespectrum willen bepa-len, kan het op het eerste gezicht weer lijken dat dit zal afhangen van de ijkingdie we kiezen (omdat H daarvan afhangt). Dit blijkt echter weer niet zo te zijn.

110

f) Toon aan dat E een eigenwaarde is van~ 2( ~A)2m precies dan als E een

eigenwaarde is van~ 2( ~A0)2m .

Hoe zijn de respectieve eigenfuncties aan elkaar gerelateerd?

Hint: Onderdeel c ii).

Onder een ijktransformatie gaat een gol unctie over in de gol unctie 0,met 0 (~r, t) = e

iq~c (~r,t) (~r, t). De oorspronkelijke gol unctie wordt dus ver-

menigvuldigd met een (ruimte-tijd afhankelijk) element van de eenheidscirkelin het complexe vlak. Op een wat ingewikkelde manier geformuleerd kunnenwe zeggen dat op de oorspronkelijke gol unctie een (ruimte-tijd afhankelijke)1-dimensionale unitaire afbeelding werkt. Eén-dimensionale unitaire afbeeldin-gen (unitaire 1×1-matrices) kunnen we immers voorstellen door elementen vande eenheidscirkel in het complexe vlak (ga na!). Daarom heet U(1), dit is degroep van 1-dimensionale unitaire afbeeldingen, wel de ijkgroep van de theorievan elektromagnetisme.Alle moderne fundamentele fysische theorieën zijn ijktheorieën. Zo is het stan-daardmodel, dat een geüniceerde beschrijving geeft van de sterke wisselwer-king, de zwakke wisselwerking en elektromagnetisme (dus van alle bekendekrachten behalve gravitatie), een ijktheorie met als ijkgroep: SU (3)× SU (2)×U(1). Het SU (3)-deel hiervan heeft te maken met de sterke wisselwerking, hetSU (2)-deel met de zwakke wisselwerking, en het U(1)-deel (in essentie net alsin het voorgaande) met elektromagnetisme.

4.3 Het eigenwaarde-probleem H = E voor eengeladen deeltje in een magneetveld

Mede ter illustratie van het idee van ijkvrijheid, gaan we in deze opgave naderin op het geval dat we te maken hebben met een situatie zonder elektrisch velden met een magneetveld ~B (~r ) dat alleen plaatsafhankelijk is. Zoals uiteengezetin opgave 4.2 kunnen we ons dan beperken tot het geval dat de scalaire po-tentiaal verdwijnt ( = 0) en de vectorpotentiaal alleen van de plaats afhangt( ~A (~r )). De Hamiltoniaan van een spinloos geladen deeltje wordt dan gegeven

door H³~A´= 1

2m ~2³~A´.

a) Laat zien dat H³~A´ook geschreven kan worden als:

H³~A´=

~2

2m~ 2 +

q2

2mc2~A 2 +

i~q2mc

n³~ · ~A

´+ 2 ~A · ~

o.

(4-18)

In de rest van de opgave beperken we ons tot het geval van een constant en ho-mogeen magneetveld ~B = B~e3, en voor dat geval gaan we het energiespectrumbepalen.

111

b) Laat zien dat een geschikte vectorpotentiaal voor dit geval gegeven wordtdoor:

~A (~r ) = 12~r × ~B. (4-19)

Laat dus zien dat ~ × ~A = ~B.

c) Laat zien dat met de vectorpotentiaal (4-19), de Hamiltoniaan (4-18)geschreven kan worden als:

H³~A´=

~2

2m~ 2 +

q2B2

8mc2¡x2 + y2

¢ i~q2mc

³~r × ~B

´· ~ , (4-20)

waarbij de derde term in het rechterlid verder uitgewerkt kan worden tot:

q

2mc~B · ~L =

qB

2mcLz.

Opmerking: We hebben nu dus een alternatieve aeiding gegeven vande interactieterm qB

2mcLz die we ook al in opgave 2.9 tegengekomenzijn (voor een elektron met lading e). Deze interactieterm is geldigvoor een spinloos deeltje. In opgave 2.9 hebben we ook al gevondendat voor het geval van een deeltje met spin de correspondererende in-teractieterm van de vorm qB

2mc (Lz + gSz) wordt, met g de gyromagneti-sche verhouding van het betre ende deeltje. Uit (4-20) volgt dat we aande Zeeman-Hamiltoniaan (2-60) eigenlijk ook nog een term van de vormq2B2

8mc2

¡x2 + y2

¢zouden moeten toevoegen. Daar deze term kwadratisch is

in het magneetveld, is deze term over het algemeen verwaarloosbaar tenopzichte van de overige termen in de Zeeman-Hamiltoniaan.

Om de eigenwaarden van H³~A´te bepalen kunnen we volgens 4.2 f) ook in

een andere ijking werken. We zullen dit nu doen in een ijking waarbij de eigen-waardevergelijking wat eenvoudiger wordt. Beschouw namelijk:

~A0 (~r ) =B y00

. (4-21)

d) i) Toon aan dat ook ~A0 een vectorpotentiaal is bij het magneetveld~B = B~e3.

ii) Bepaal expliciet een ijkfunctie (~r ) die de vectorpotentiaal ~A zoalsgegeven door (4-19) overvoert in de vectorpotentiaal ~A0 zoals gegevendoor (4-21).

e) Laat zien dat met de vectorpotentiaal (4-21), de Hamiltoniaan (4-18)geschreven kan worden als:

H³~A0´=

~2

2m~ 2 +

q2B2

2mc2y2

i~qBmc

yx.

112

f) Laat zien dat H³~A0´commuteert met �ˆpx en �ˆpz, maar niet met �ˆpy.

Daar H³~A0´, �ˆpplaatsx en �ˆpplaatsz onderling commuteren hebben ze een gemeen-

schappelijk stelsel van eigenfuncties. Er zijn dus functies E,px,pz (x, y, z) zo-danig dat:

H³~A0´

E,px,pz = E E,px,pz ;

�ˆpplaatsx E,px,pz = px E,px,pz ;

�ˆpplaatsz E,px,pz = pz E,px,pz .

(4-22)

g) Laat zien dat uit (4-22) volgt, dat H³~A0´een volledige set van eigen-

functies van de volgende vorm heeft:

E,px,pz (x, y, z) = ei~ (px x + pz z) E,px,pz (y) ,

waarbij de reële getallen px en pz en de functie E,px,pz voldoen aan:

~22m

d2

dy2 +m( qBmc)

2

2

³y + c px

qB

´2¸E,px,pz (y) =

³E p 2z

2m

´E,px,pz (y) .

h) Geef nu een volledige set van eigenfuncties van H³~A0´, met bijbehorende

eigenwaarden. Wat is de ontaardingsgraad van elk van de eigenwaarden?

Hint: Als de functie voldoet aan³

~22m

d2

dy2+ m 2

2 y2´

(y) = (y),

voldoet de functie gedenieerd door (y)def= (y + a) aan de vergelij-

king³

~22m

d2

dy2 +m 2

2 (y + a)2´

(y) = (y).

i) Geef tenslotte een volledige set van eigenfuncties van H³~A´, met bijbe-

horende eigenwaarden.

Hint: Opgave 4.2 f).

4.4 Samenvatting

In het afgelopen deel 4 zijn niet zozeer algemene procedures behandeld, maaris veeleer een concreet stuk theorie behandeld: over geladen deeltjes in eenelektromagnetisch veld, wat in essentie neerkomt op de Maxwell-vergelijkingen(4-4) en de Hamiltoniaan (4-5). Leer ter voorbereiding op het tentamen dieconcrete theorie zeker niet uit uw hoofd. Probeer wel het idee van ijkinvariantiegoed te begrijpen.

113

114

Deel 5

Benaderingsmethoden

Toepassing van de quantummechanica op een fysische systeem komt in essentieneer op het oplossen van het eigenwaardeprobleem H | i = E | i en/of deSchrödingervergelijking i~ ddt | i = H | i voor het betre ende systeem. Ditheeft u ook gedaan voor een aantal systemen, zoals de harmonische oscillatorof het waterstofatoom. In zekere zin waren dit uitzonderlijke systemen, omdathet daarbij mogelijk was expliciete oplossingen te construeren. Voor het grosvan de fysische systemen, echter, is het zo dat ze niet analytisch oplosbaar zijn.Voor zulke systemen zullen we een beroep moeten doen op numerieke methodenen benaderingsmethoden (vaak in combinatie met elkaar). Ook al vinden wemet benaderingsmethoden geen exacte oplossingen, toch kunnen we daarmeevaak wel een goed kwalitatief inzicht bereiken. Daarom is het nuttig van enkelevan die methoden op de hoogte te zijn.Wat betreft het oplossen van het eigenwaardeprobleem H | i = E | i, bespre-ken we drie benaderingsmethoden:

�• Tijdsonafhankelijke storingsrekening (zowel voor ontaarde als niet-ontaar-de energieniveaus). Deze methode is ontwikkeld door Rayleigh en Schrö-dinger.

�• Variatierekening. Deze methode is ontwikkeld door Rayleigh en Ritz.

�• Semi-klassieke benadering. Deze methode is ontwikkeld door W entzel,K ramers en Brillouin, en wordt ook wel de WKB-benadering genoemd.

Wat betreft het oplossen van de Schrödingervergelijking i~ ddt | i = H | i be-handelen we één methode:

�• Tijdsafhankelijke storingsrekening. Deze methode is ontwikkeld door Di-rac.

Bij elk van deze methodes zullen we steeds het principe bespreken, alsmedeenkele toepassingen op meer of minder realistische fysische systemen.In Sakurai zijn de betre ende stukken te vinden in de paragrafen 2.4 (WKB-methode), 5.1�—5.2, en 5.4�—5.6.

115

5.1 De methode van tijdsonafhankelijke storingsre-kening

In het algemeen is een eigenwaarde-probleemH | ni = En | ni niet exact oplos-baar. In veel gevallen is het echter wel mogelijk de Hamiltoniaan H te splitsenin een gedeelte waarvan de oplossing van het eigenwaarde-probleem bekend is(H0) en een kleine restterm:

H = H0 + gV .

H0 en V zijn beide hermitische operatoren, die van dezelfde �‘orde van grootte�’zijn; g R is een kleine constante: |g| ¿ 1. H0 wordt vaak de ongestoordeHamiltoniaan genoemd, en gV een storing op H0. Belangrijk is echter datwe de eigenwaarden n van de ongestoorde Hamiltoniaan H0 bekend kunnenveronderstellen, alsmede een volledig orthonormaal stelsel van bijbehorende ei-gentoestanden {| ni}, waarvoor dus geldt:1

H0 | ni = n | ni ; (5-1)

h m| ni = m,n; (5-2)X

n

| ni h n| = 1. (5-3)

Een idee achter de methode van tijdsonafhankelijke storingsrekening is dat weniet slechts gaan proberen één eigenwaardeprobleem op te lossen, maar eenheleboel tegelijk door de constante g te vervangen door een variabele. Dus doorals storingsterm te nemen: V , waarbij R de storingsparameter heet. Opdit moment kan het raar lijken dat het, om een speciek probleem op te gaanlossen, blijkbaar een nuttige strategie is om een heleboel problemen tegelijkertijdop te gaan lossen. Hopelijk wordt dit gaandeweg duidelijk.We hebben nu dus te maken met een heleboel Hamiltonianen, één voor elkewaarde van :

H ( ) = H0 + V .

Voor verschillende waarden van zal het energiespectrum verschillend zijn,evenals de basis van bijbehorende eigentoestanden. Onder de En ( ) verstaanwe de eigenwaarden van H ( ) en onder | n ( )i de bijbehorende eigentoestan-den. Voor waarden en 0 die dicht bij elkaar liggen ( ' 0) valt te verwachtendat de respectieve eigenwaarden en eigentoestanden van H ( ) en H

¡ 0¢ dichtbij elkaar zullen liggen: En ( ) ' En

¡ 0¢; | n ( )i '¯n

¡ 0¢®. In het bijzonderverwachten we voor kleine storingen, dus voor | | ¿ 1, dat de eigenwaarden eneigentoestanden van H ( ) niet veel zullen verschillen van die van H0.We beschouwen nu, voor variabele , de eigenwaarde-problemen:

H ( ) | n ( )i = En ( ) | n ( )i . (5-4)

1We beschouwen hier gemakshalve gebonden toestanden, die dus normeerbaar zijn op deKronecker-delta. De redeneringen gaan overigens onverminderd door voor ongebonden toe-standen, mits we maar de juiste aanpassingen maken: sommen vervangen door integralen,Kronecker-delta�’s door Dirac-delta�’s, etc.

116

Het principe van storingsrekening is dat geprobeerd wordt oplossingen van (5-4)te vinden door te veronderstellen dat | n ( )i en En ( ) te ontwikkelen zijn alsmachtreeksen in . We stellen dus:

| n ( )i =¯¯ (0)n

E+

¯¯ (1)n

E+ 2

¯¯ (2)n

E+ · · · =

X

k=0

k¯¯ (k)n

E; (5-5)

En ( ) = E(0)n + E(1)n + 2E(2)n + · · · =X

k=0

kE(k)n , (5-6)

met nader te bepalen getallen E(0)n , E(1)n , E(2)n , . . . en toestanden¯¯ (0)n

E,¯¯ (1)n

E,

¯¯ (2)n

E, . . . .

Wanneer we erin slagen zulke oplossingen te vinden, hebben we dus in één klapde eigenwaardeproblemen (5-4) opgelost voor alle waarden van waarvoor dereeksen (5-5) en (5-6) convergeren. In het bijzonder dus voor het oorspronkelijkeprobleem (H0 + gV ), indien de constante g binnen de convergentiestralen ligt.Verder is het dan zo dat de eerste paar termen uit de reeksen (5-5) en (5-6) aleen vrij goede benadering geven. We zullen overigens nooit expliciet nagaan ofde reeksen wel convergeren, en er altijd van uitgaan dat de lagere ordes al eengoede benadering vormen.

a) Wat verwacht u voor E(0)n en¯¯ (0)n

Ete zullen vinden?

Verder zullen we ook nog proberen de¯¯ (0)n

E,¯¯ (1)n

E,¯¯ (2)n

E, . . . zo te kiezen dat

de | n ( )i een orthonormaal stelsel vormen voor alle waarden van waarvoorde reeks (5-5) convergeert, zodat dus geldt (zie voetnoot 1):

h m ( ) | n ( )i = m,n. (5-7)

b) i) Toon aan, door invullen van de reeksen (5-5) en (5-6) in (5-4), datmoet gelden:

0 = 0³H0

¯¯ (0)n

EE(0)n

¯¯ (0)n

E´+

+ 1³H0

¯¯ (1)n

E+ V

¯¯ (0)n

EE(0)n

¯¯ (1)n

EE(1)n

¯¯ (0)n

E´+

+ 2³H0

¯¯ (2)n

E+ V

¯¯ (1)n

EE(0)n

¯¯ (2)n

EE(1)n

¯¯ (1)n

EE(2)n

¯¯ (0)n

E´+ · · ·

· · · + k H0

¯¯ (k)n

E+ V

¯¯ (k 1)n

E kX

j=0

E(j)n

¯¯ (k j)n

E+ · · · (5-8)

ii) Toon aan dat de orthonormaliteitseis (5-7) oplevert:

0 = 0³D

(0)m | (0)

n

Em,n

´+ 1

³D(0)m | (1)

n

E+D

(1)m | (0)

n

E´+

+ 2³D

(0)m | (2)

n

E+D

(1)m | (1)

n

E+D

(2)m | (0)

n

E´+ · · ·

· · · + kkX

j=0

D(j)m | (k j)

n

E+ · · · (5-9)

117

We maken nu gebruik van het feit dat we het eigenwaardeprobleem (5-4) ende orthonormaliteitseis (5-7) voor een heel bereik van waarden van ineensproberen op te lossen, dus dat we (5-8) en (5-9) voor een heel bereik van waardenvan ineens proberen op te lossen. Wil echter aan (5-8) en (5-9) voldaan zijnvoor een heel bereik van waarden van , dan zal de coë ciënt van elke machtvan afzondelijk moeten verdwijnen:

0 : H0

¯¯ (0)n

EE(0)n

¯¯ (0)n

E= 0;

:D

(0)m | (0)

n

Em,n = 0;

1 : H0

¯¯ (1)n

E+ V

¯¯ (0)n

EE(0)n

¯¯ (1)n

EE(1)n

¯¯ (0)n

E= 0;

:D

(0)m | (1)

n

E+D

(1)m | (0)

n

E= 0;

2 : H0

¯¯ (2)n

E+ V

¯¯ (1)n

EE(0)n

¯¯ (2)n

EE(1)n

¯¯ (1n

EE(2)n

¯¯ (0)n

E= 0;

:D

(0)m | (2)

n

E+D

(1)m | (1)

n

E+D

(2)m | (0)

n

E= 0;

. . . : . . .

k : H0

¯¯ (k)n

E+ V

¯¯ (k 1)n

E kX

j=0

E(j)n

¯¯ (k j)n

E= 0;

:kX

j=0

D(j)m | (k j)

n

E= 0;

. . . : . . .

Merk op dat we bij 0 het eigenwaardeprobleem krijgen voor de ongestoordeHamiltoniaan H0 (zie (5-1) en (5-2)) waarvan we verondersteld hebben dat wede oplossing kennen. Wat betreft de E(0)n is de zaak duidelijk: deze zijn deeigenwaarden van H0, dus de n.

c) Wat voor keuzevrijheid is er nog voor de¯¯ (0)n

E, in het geval:

i) n niet ontaard is?

ii) n wel ontaard is?

Het idee van de methode van tijdsonafhankelijke storingsrekening is dat we,soms met gebruikmaking van de keuzevrijheid in de

¯¯ (0)n

E, uit de vergelij-

kingen behorend bij 1 de E(1)n kunnen oplossen alsmede de¯¯ (1)n

E(eventueel

met nog wat keuzevrijheid). Om dan vervolgens uit de vergelijkingen behorendbij 2 . . . . Etc. Hopelijk wordt nu duidelijk wat het nut is van een heleboeleigenwaarde-problemen tegelijkertijd op te lossen, dus voor een heel bereik van-waarden ineens. We krijgen dan namelijk een systematische procedure omde �‘coë ciënten�’

¯¯ (k)n

Een E(k)n uit de reeksen (5-5) en (5-6) successievelijk te

bepalen. En daarmee dus ook een procedure om de oplossing van het oorspron-kelijke probleem (H0 + gV ) willekeurig dicht te benaderen (mits natuurlijk deconstante g binnen de convergentiestralen ligt).

118

In de rest van deze opgave zullen we enkele stappen uit deze procedure zetten.We beginnen met het eenvoudigste geval, namelijk dat n een niet-ontaardeeigenwaarde is van H0. We weten dus dat we in dat geval hebben:

E(0)n = n;¯¯ (0)n

E= ei n | ni , met n R.

d) Begrijpt u dat n volledig onbepaald is?

Wanneer we de gevonden oplossingen voor E(0)n en¯¯ (0)n

Einvullen in de verge-

lijkingen behorend bij 1 krijgen we:

0 = H0

¯¯ (1)n

E+ ei nV | ni n

¯¯ (1)n

Eei nE(1)n | ni ; (5-10)

0 = e i n

Dn| (1)

n

E+ ei n

D(1)n | n

E; (5-11)

0 =D

(0)m | (1)

n

E+ ei n

D(1)m | n

E, voor m 6= n. (5-12)

Hieruit gaan we proberen E(1)n en¯¯ (1)n

Eop te lossen.

e) i) Toon door (5-10) links te sluiten met h n| aan dat moet gelden:

E(1)n = h n|V | ni . (5-13)

ii) De bij onderdeel i) gevonden waarde voor E(1)n is onafhankelijk vann. Waarom moet dit ook?

f) Toon door de (5-10) links te sluiten met h k|, waarbij k 6= n, aan datmoet gelden:

Dk| (1)

n

E= ei n

h k|V | ni( n k)

. (5-14)

Waarom mag in (5-14) gedeeld worden door ( n k)?

g) Toon aan dat geldt:¯¯ (1)n

E= ei n

X

k 6=n

h k|V | ni( n k)

| ki +D

n| (1)n

E| ni

Hint: De volledigheidsrelatie (5-3).

We hebben nu, op een klein detail na,¯¯ (1)n

Ebepaald uit (5-10). Dat kleine

detail is dat we de coë ciëntD

n|(1)n

Enog niet kennen. Het blijkt echter dat

die coë ciënt ook helemaal niet eenduidig te bepalen is uit die vergelijking. Ergeldt namelijk dat

¯¯ (1)n

E= ei n

X

k 6=n

h k|V | ni( n k)

| ki + dn | ni ,

met dn een willekeurig complex getal, en E(1)n gegeven door (5-13), voldoet aan

(5-10).

119

h) Toon deze laatste bewering aan.

i) Ga na dat de eis (5-11) een beperking aan dn oplegt, namelijk: e i ndn+ei ndn = 0, en dat daarom moet gelden:

¯¯ (1)n

E= ei n

X

k 6=n

h k|V | ni( n k)

| ki + i n | ni , met n R.

j) i) Toon aan dat we kunnen schrijven, tot op de orde waarop we tot nutoe uitspraken kunnen doen:

| n ( )i = ei( n+ n) | ni +X

k 6=n

h k|V | ni( n k)

| ki + O¡2¢.

ii) Welke vrijheid wordt gereecteerd door de vrije keuze van n en n?

We hebben nu, voor het geval n een niet-ontaarde eigenwaarde is van H0, vande vergelijkingen behorend bij 0 en 1 de algemene oplossing bepaald van E(0)n ,¯¯ (0)n

E, E(1)n en

¯¯ (1)n

E. Het enige dat we nog niet zijn nagegaan is of ook aan

de orthonormaliteitseis (5-12) is voldaan. Om dit na te kunnen gaan, moeten

we ook voor alle andere m 6= n de toestanden¯¯ (0)m

Een¯¯ (1)m

Ekennen. In het

geval ook m een niet-ontaarde eigenwaarde is van H0, kunnen we analoog aanbovenstaande

¯¯ (0)m

Een¯¯ (1)m

Ebepalen.

k) Ga voor dat geval na dat inderdaad aan (5-12) is voldaan.

In het geval m een ontaarde eigenwaarde is van H0, kunnen we nog niet nagaanof aan de orthonormaliteitseis (5-12) is voldaan, omdat we dan

¯¯ (0)m

Een¯¯ (1)m

E

nog niet bepaald hebben. We zullen er later op terugkomen. Voordat we echternaar het ontaarde geval overgaan, zetten we voor het niet-ontaarde geval nog éénstapje verder om de procedure van tijdsonafhankelijke storingsrekening naderte illustreren.

l) Toon met behulp van een vergelijking behorend bij 2 aan dat moet gel-den, voor het geval n een niet-ontaarde eigenwaarde is van H0:

E(2)n =X

k 6=n

|h k|V | ni|2

( n k).

Opmerking: Voor de bepaling van E(2)n maakt het niet uit welke waardenwe voor n en n nemen (zoals hoort).

120

Samengevat hebben we gevonden, voor het geval n een niet-ontaarde eigen-waarde is van H0:

E(0)n = n;

¯¯ (0)n

E= | ni ;

E(1)n = h n|V | ni ;

¯¯ (1)n

E=X

k 6=n

h k|V | ni( n k)

| ki ;

E(2)n =

X

k 6=n

|h k|V | ni|2

( n k).

Daar we begrijpen waarom we n en n vrij kunnen kiezen, hebben we hiermet een gerust geweten de meest simpele keuze gemaakt: n = n = 0.We beschouwen nu het geval dat n een ontaarde eigenwaarde is van H0, zegg-voudig ontaard. In feite hebben we dan dus als vergelijkingen behorend bij0 (met i, j {1, 2, . . . , g} en m 6= n):

H0

¯¯ (0)ni

E= n

¯¯ (0)ni

E; (5-15)

D(0)ni |

(0)nj

E= i,j ; (5-16)

D(0)m | (0)

ni

E= 0. (5-17)

Hierbij hebben we een zodanige herlabeling toegepast dat alle eigentoestandenvan H0 bij eigenwaarde n de index n dragen, zodat dus bij een eigentoestandvan H0 die een index m 6= n draagt een eigenwaarde m 6= n hoort. Het is danduidelijk dat voldaan is aan (5-17). Verder wordt voldaan aan (5-15) en (5-16)door iedere orthonormale basis van de eigenruimte van H0 bij eigenwaarde n.We gaan nu aantonen dat we van deze keuzevrijheid gebruik moeten gaan makenom aan de vergelijkingen behorend bij 1 te kunnen voldoen. Deze luiden, voori, j {1, 2, . . . , g} en m 6= n:

H0

¯¯ (1)ni

E+ V

¯¯ (0)ni

En

¯¯ (1)ni

EE(1)ni

¯¯ (0)ni

E= 0; (5-18)

D(0)ni |

(1)nj

E+D

(1)ni |

(0)nj

E= 0; (5-19)

D(0)m | (1)

ni

E+D

(1)m | (0)

ni

E= 0. (5-20)

m) Zij nun¯¯ (0)ni

E|i = 1, 2, . . . , g

oeen orthonormale basis van de eigenruimte

bij n. Toon aan dat de vergelijkingen (5-18) equivalent zijn aan hetvolgende stelsel:

E(1)ni =D

(0)ni

¯¯V¯¯ (0)ni

E, voor i {1, 2, . . . , g} ; (5-21)

D(0)nj

¯¯V¯¯ (0)ni

E= 0, voor i, j {1, 2, . . . , g} , i 6= j; (5-22)

Dm| (1)

ni

E=

Dm |V |

(0)ni

E

( n m), voor m 6= n en i {1, 2, . . . , g} . (5-23)

121

Vergelijking (5-23) legt een eis op aan de nog onbekende¯¯ (1)ni

E, die we daaruit

wellicht op kunnen lossen. Vergelijking (5-22) legt een eis op aan de toestan-

den¯¯ (0)ni

E, waarvan we nog moeten laten zien dat eraan voldaan kan worden.

Voorzover we zulke toestanden¯¯ (0)ni

Ekunnen vinden, geeft (5-21) de eerste

orde verschuivingen van de energie.

n) i) Beargumenteer dat er een orthonormale basis van de eigenruimtebehorend bij n te bepalen is waarvoor voldaan is aan (5-22).

Hint: Zijn¯¯ (0)n1

E,¯¯ (0)n2

E, . . . ,

¯¯ (0)ng

Eoeen willekeurige orthonormale

basis van de eigenruimte behorend bij n. Beschouw dan de g × g-matrix: Vij =

D(0)ni

¯¯V¯¯ (0)nj

E. Ga na dat deze matrix hermitisch

is, en concludeer dat er een unitaire g × g-matrix U is zodanig datU �†V U een diagonaalmatrix is.

ii) Is er een unieke orthonormale basis van de eigenruimte behorend bijn die voldoet aan (5-22)?

o) i) Toon aan dat aan (5-18) en (5-19) voldaan is, precies dan als geldt(voor i {1, 2, . . . , g}):

E(1)ni =D

(0)ni

¯¯V¯¯ (0)ni

E; (5-24)

¯¯ (1)ni

E=

X

m6=n

Dm |V |

(0)ni

E

( n m)| mi + i

gX

j=1

Cn,ij

¯¯ (0)nj

E, (5-25)

waarbijn¯¯ (0)n1

E,¯¯ (0)n2

E, . . . ,

¯¯ (0)ng

Eoeen orthonormale basis is die

voldoet aan (5-22), en waarbij Cn een hermitische g × g-matrix is:

Cn,ij = Cn,ji, voor i, j {1, 2, . . . , g}). (5-26)

ii) Beargumenteer dat de eerste orde-verschuivingen van de energie, zo-als gegeven door (5-24), niet afhangen (zoals natuurlijk hoort) vande specieke keuze van de aan (5-22) voldoende orthonormale basisn¯¯ (0)n1

E,¯¯ (0)n2

E, . . . ,

¯¯ (0)ng

Eo.

Opmerking: Voorzover de E(1)ni van elkaar verschillen, wordt de oor-spronkelijke ontaarding van het ongestoorde niveau n dus opgehevendoor de storingsterm V .

iii) Er zijn nog wat orthonormaliteitseisen, waarvan we niet zijn nage-gaan of eraan voldaan is: (5-12) en (5-20).Ga na of ook daaraan voldaan is.

We gaan zo meteen nader in op de vraag hoe we de onbepaaldheid moeten inter-preteren die er nog steeds is in de coë ciënten Cn,ij . We formuleren echter eersteen voor de praktijk wat handzamer manier om de eerste-orde verschuivingenE(1)ni van de energie te bepalen.

122

p) Zijn¯¯ (0)n1

E,¯¯ (0)n2

E, . . . ,

¯¯ (0)ng

Eoeen willekeurige orthonormale basis van

de eigenruimte behorend bij n, die dus niet noodzakelijkerwijs voldoetaan (5-22). Beschouw dan de volgende g × g-matrix:

Vij =D

(0)ni

¯¯V¯¯ (0)nj

E.

Beargumenteer dat de eigenwaarden van deze zogenaamde storingsmatrixprecies de eerste-orde verschuivingen E(1)ni van de energie zijn.

We komen nu terug op de interpretatie van de Cn,ij in (5-25). De situatie ishier gedeeltelijk hetzelfde als bij het niet-ontaarde geval, maar ook gedeeltelijkverschillend. We beginnen met een overeenkomst.

q) Toon aan dat de vrije keuze van de coë ciënt Cn,ii correspondeert metde vrije keuze van een fasefactor.

Een verschil met het niet-ontaarde geval is dat voor i 6= j de coë ciëntenCn,ij niet zonder meer vrij te kiezen zijn, maar dat de vergelijkingen behorendbij 2 daar eisen op kunnen leggen. Ter afsluiting van de bespreking van demethode van tijdsonafhankelijke storingsrekening, wenden we ons daarom totde vergelijkingen behorend bij 2 (waarbij we de orthonormaliteitseisen buitenbeschouwing laten). Er moet gelden, voor i {1, 2, . . . , g}:

H0

¯¯ (2)ni

E+ V

¯¯ (1)ni

En

¯¯ (2)ni

EE(1)ni

¯¯ (1ni

EE(2)ni

¯¯ (0)ni

E= 0.

r) Leid uit deze vergelijking af dat moet gelden, waarbij zoals in het voor-

gaanden¯¯ (0)n1

E,¯¯ (0)n2

E, . . . ,

¯¯ (0)ng

Eoweer een orthonormale basis is van

de eigenruimte bij n die voldoet aan (5-22):

i)E(2)ni =

X

m6=n

¯¯D

m |V |(0)ni

E¯¯2

( n m). (5-27)

Opmerking: Dit resultaat geldt ongeacht wat we voor de Cn,ij ne-men. Later zullen we terugkomen op de vraag of het resultaat ookonafhankelijk is (zoals moet) van de keuze van de orthonormale basisdie voldoet aan (5-22).

ii) Voor i 6= j geldt:

Cn,ij

³D(0)ni

¯¯V¯¯ (0)ni

E D(0)nj

¯¯V¯¯ (0)nj

E´=

= iX

m6=n

Dm |V |

(0)ni

ED(0)nj |V | m

E

( n m),

of ook:

Cn,ij

³E(1)ni E(1)nj

´= i

X

m6=n

Dm |V |

(0)ni

ED(0)nj |V | m

E

( n m). (5-28)

123

Er kunnen zich nu twee gevallen voordoen:

1. de oorspronkelijke ontaarding wordt door de eerste orde correctiesop de energieniveaus volledig opgeheven: E(1)ni 6= E

(1)nj voor alle i, j

{1, 2, . . . , g}, zodanig dat i 6= j;2. de oorspronkelijke ontaarding wordt door de eerste orde correcties opde energieniveaus niet (volledig) opgeheven: E(1)ni = E

(1)nj voor zekere

i, j {1, 2, . . . , g} met i 6= j.

s) Veronderstel dat het eerste geval van toepassing is.

i) Ga na hoeveel keuzevrijheid er dan nog is voor de¯¯ (0)ni

E, en dat die

keuzevrijheid het resultaat (5-27) niet verandert.

ii) Ga na dat de Cn,ij voor i 6= j dan gegeven zijn door:

Cn,ij = iX

m6=n

Dm |V |

(0)ni

ED(0)nj |V | m

E

( n m)³E(1)ni E

(1)nj

´ ,

en dat dit consistent is met de eis dat Cn een hermitische g×g-matrixis.

We gaan nu nog even kort in op het geval de oorspronkelijke ontaarding niet(volledig) wordt opgeheven door de eerste orde correcties op de energieniveaus:zodat dus voor zekere i, j {1, 2, . . . , g} met i 6= j: E(1)ni = E

(1)nj . Volgens (5-28)

zou voor zulke waarden van i en j moeten gelden:

X

m6=n

Dm |V |

(0)ni

ED(0)nj |V | m

E

( n m)= 0. (5-29)

Vergelijking (5-29) legt, naast (5-22), een tweede eis op aan een geschikte basisn¯¯ (0)n1

E,¯¯ (0)n2

E, . . . ,

¯¯ (0)ng

Eovan de eigenruimte bij n. Het blijkt dat inder-

daad tegelijkertijd aan beide eisen voldaan kan worden, en dat de dan nog res-terende keuzevrijheid het resultaat (5-27) niet verandert (zoals hoort). Verderblijven dan voor de betre ende i, j-waarden de coë ciënten Cn,ij onbepaald.Indien de ontaarding in de tweede orde opgeheven wordt, zijn ze te bepalen uitde vergelijkingen bij 3. Etc. We zullen hier nu echter niet nader op ingaan.Samengevat hebben we voor het geval n een g-voudig ontaarde eigenwaarde isvan H0 gevonden:

E(0)ni = n;

E(1)ni =D

(0)ni

¯¯V¯¯ (0)ni

E;

E(2)ni =X

m6=n

¯¯D

m |V |(0)ni

E¯¯2

( n m).

124

Hierbij isn¯¯ (0)n1

E,¯¯ (0)n2

E, . . . ,

¯¯ (0)ng

Eoeen zodanige basis van de eigenruimte

bij n, dat geldt:D

(0)nj

¯¯V¯¯ (0)ni

E= 0, voor i, j {1, 2, . . . , g} , i 6= j.

Indien de ontaarding in eerste orde volledig wordt opgeheven (E(1)ni 6= E(1)nj voor

alle i 6= j), geldt bovendien:¯¯ (1)ni

E=

=X

m6=n

Dm |V |

(0)ni

E

( n m)| mi +

X

j 6=i

X

m6=n

Dm |V |

(0)ni

ED(0)nj |V | m

E

( n m)³E(1)ni E

(1)nj

´¯¯ (0)nj

E.

Hierbij hebben we de simpelste keuze gemaakt voor de vrij te kiezen coë ciëntCn,ii, namelijk: Cn,ii = 0.

5.2 Harmonische oscillator met x4-storingsterm

In deze opgave gaan we bij wijze van oefening tijdsonafhankelijke storingsreke-ning toepassen op een 1-dimensionale harmonische oscillator (H0) met daaraantoegevoegd een storing g m

2 3

~ �ˆx4. De factor m2 3

~ is toegevoegd opdat g dimen-sieloos is. Verder is g R een kleine parameter: |g| ¿ 1. De Hamiltoniaanwordt dus gegeven door:

H = 12m �ˆp

2 + m 2

2 �ˆx2 + g m2 3

~ �ˆx4.

Bereken met behulp van de resultaten uit opgave 5.1 de eigenwaarden en bij-behorende eigentoestanden van H tot en met de eerste orde in g.Hint: In opgave 1.8 heeft u gezien dat H0 = 1

2m �ˆp2 + m 2

2 �ˆx2 = ~¡a�†a+ 1

2

¢,

waarbij a =p

m2~

¡�ˆx+ i

m �ˆp¢. Als we de eigentoestanden van H0 noteren als

|ki (k = 0, 1, 2, . . . ), dan gelden de volgende regels (zoals u in opgave 1.8 heeftafgeleid): a |ki = k |k 1i en a�† |ki = k + 1 |k + 1i. Wanneer u nu ook destoringsterm uitdrukt in a en a�†, kunt u zulke regels gebruiken om de relevantematrixelementen hj| �ˆx4 |ki te berekenen.

5.3 Harmonische oscillator met p-storingsterm

In sommige gevallen kan het rekenwerk dat met storingsrekening gepaard gaataanzienlijk verkort worden. In deze opgave zullen we zo�’n geval beschouwen.Veronderstel dat ²n een niet-ontaarde eigenwaarde is van H0, en dat voor debijbehorende eigentoestand | ni geldt dat er een operator B is zodanig dat

V | ni = [H0 , B] | ni . (5-30)

In dat geval blijkt te gelden:¯¯ (1)n

E= B | ni + h n|B | ni | ni ; (5-31)

E(1)n = 0 ; (5-32)

E(2)n = h n|V B | ni . (5-33)

125

a) Toon (5-32) aan.

b) Toon (5-31) aan.

Hint: Volledigheidsrelatie.

c) Toon (5-33) aan.

In het vervolg van deze opgave gaat u het bovenstaande toepassen op een 1-dimensionale harmonische oscillator (H0) met daaraan toegevoegd een storing

g V , met V =q~m �ˆp en g dimensieloos:

H = 12m �ˆp

2 + m 2

2 �ˆx2 + gq

~m �ˆp.

d) Bepaal een operator B zodanig dat V = [H0 , B].

Opmerking: Als we zo�’n operator kunnen vinden, kunnen we boven-staande methode toepassen op elk niet-ontaard energieniveau. In opgave5.6 zullen we slechts voor één ongestoorde toestand een B bepalen zoda-nig dat voldaan is aan (5-30). Aan de ene kant is het gemakkelijker omeen operator te bepalen die voor slechts één ongestoorde toestand voldoetaan (5-30). Aan de andere kant kan de methode dan alleen maar op hetbijbehorende niveau toegepast worden.

e) Bereken de eigenwaarden van H tot en met de tweede orde in g, en debijbehorende eigentoestanden tot en met de eerste orde in g.

f) Geef de expliciete vorm van de grondtoestand van H in de plaatsrepre-sentatie (tot op eerste orde in g).

Hint: In opgave 1.8 heeft u enkele eigentoestanden van de harmonischeoscillator in de plaatsrepresentatie bepaald (zie ook Sakurai , appendixA.4).

Daar H een betrekkelijk eenvoudige Hamiltoniaan is, blijken de eigenwaardenen eigentoestanden ervan ook exact te bepalen. Er zijn namelijk hermitischeoperatoren x en p en een reële constante D te vinden zodanig dat:

[x , p] = i~;

H = 12m p

2 + m 2

2 x2 +D.(5-34)

In termen van deze nieuwe operatoren kunnen we analoog aan opgave 1.8 de bij-

behorende annihilatie-operator a deniëren: a def=p

m2~

¡x+ i

m p¢. Daar x en

p aan de canonieke commutatierelatie voldoen, kunnen we analoog aan opgave1.8 aeiden dat 1

2m p2+ m 2

2 x2 = ~¡a�†a+ 1

2

¢, en dus H = ~

¡a�†a+ 1

2

¢+D.

Verder kunnen we analoog aan opgave 1.8 een volledig orthonormaal stelsel vantoestanden | ki genereren (k = 0, 1, 2, . . . ), zodanig dat: a | ki = k

¯k 1

®en

a�† | ki = k + 1¯k+1

®.

g) Laat zien dat dan deze | ki eigentoestanden van H zijn.

126

h) Bepaal hermitische operatoren x en p en een reële constante D zodanigdat aan (5-34) voldaan is.

Wat zijn de exacte eigenwaarden vanH? Klopt dit met wat u in onderdeele) heeft gevonden? Licht uw antwoord toe.

i) Bepaal de expliciete vorm van de exacte grondtoestand vanH in de plaats-representatie. Is dit in overeenstemming met uw resultaat uit onderdeelf)? Licht uw antwoord toe.

Hint: De exacte grondtoestand | 0i is zodanig geconstrueerd dat geldt:a | 0i = 0.

5.4 Het waterstofatoom in een uitwendig elektrischveld

De opgaven 5.2 en 5.3 waren vooral oefeningen met de methode van tijdsonaf-hankelijke storingsrekening, en hadden weinig fysische relevantie. In de opga-ven 5.4 t/m 5.7 gaat het om een voortgezette oefening met storingsrekening,maar beschouwen we bovendien een reëel fysisch systeem dat we op een redelijkadequate manier gaan behandelen. Het systeem dat we beschouwen is een wa-terstofatoom in een constant en homogeen uitwendig elektrisch veld ~E, waarvanwe uiteindelijk enkele energieniveaus en eigentoestanden gaan benaderen metstoringsrekening.In deze opgave bestuderen we allereerst de Hamiltoniaan van een waterstofa-toom in een constant en homogeen uitwendig elektrisch veld ~E. Ter vereenvou-diging van de navolgende berekeningen, vatten we het proton (p) en het elektron(e) waaruit het waterstofatoom bestaat op als spinloze deeltjes. De toestands-ruimte van het waterstofatoom is dan wat eenvoudiger, daar we de spinruimtevan het elektron-proton systeem buiten beschouwing laten. Bovendien is deHamiltoniaan dan wat eenvoudiger, doordat we spin-baan en spin-spin interac-tietermen (~Le · ~Se, ~Le · ~Sp, ~Se · ~Sp, etc.) buiten beschouwing laten. Wat overblijftis de volgende Hamiltoniaan (in de plaatsrepresentatie):

H =~2

2mp~ 2~xp

~2

2me

~ 2~xe

e2

|~xe ~xp|e ~E · ~xp + e ~E · ~xe.

a) Interpreteer elk van de termen van H.

H is hierboven uitgedrukt in termen van de plaats- en impuls-operatoren vanhet proton en het elektron. H kan echter ook uitgedrukt worden in termen vande plaats- en impuls-operatoren van het zwaartepunt en de relatieve coördinaat.Net als in de klassieke mechanica, zijn deze gedenieerd als:

�ˆ~Xdef=

me �ˆ~xe +mp �ˆ~xpme +mp

�ˆ~xdef= �ˆ~xe �ˆ~xp ;

�ˆ~Pdef= �ˆ~pe +

�ˆ~pp�ˆ~pdef=

mp �ˆ~pe me�ˆ~pp

me +mp.

127

b) Leid af dat ook de plaats- en impuls-operatoren van het zwaartepunt resp.de relatieve coördinaat aan de canonieke commutatierelaties voldoen:

h�ˆXk , �ˆPl

i= i~ kl ; [�ˆxk , �ˆpl] = i~ kl .

c) Toon aan dat geldt (net als in de klassieke mechanica):

1

2M�ˆ~P · �ˆ~P +

1

2�ˆ~p · �ˆ~p = 1

2mp�ˆ~pp · �ˆ~pp +

1

2me

�ˆ~pe · �ˆ~pe,

met de totale massa M en de gereduceerde massa gedenieerd door:

Mdef= me +mp ;

1 def=

1

me+

1

mp.

d) Leid af dat in de plaatsrepresentatie geldt:

�ˆ~P = i~ ~~X ;�ˆ~p = i~ ~~x .

Hint: Schrijf de coördinaten ~x en ~X als functie van de coördinaten ~xe en~xp. Bepaal daaruit (met de kettingregel) de operator xe,i

in termen van(partiële) di erentiaties naar relatieve coördinaten en zwaartepuntscoör-

dinaten. Doe hetzelfde voor xp,i. Bepaal tenslotte �ˆ~P en �ˆ~p in de plaats-

representatie. �ˆ~P = �ˆ~pe +�ˆ~pp wordt in de plaatsrepresentatie b.v. gegeven

door i~~~xe i~~~xp = . . .

In termen van de plaats- en impuls-operatoren van het zwaartepunt en de rela-tieve coördinaat kunnen we de Hamiltoniaan in de plaatsrepresentatie dus ookschrijven als:

H =~2

2M~ 2~X

~2

2~ 2~x

e2

|~x|+ e ~E · ~x.

Merk op dat het deel van de Hamiltoniaan dat de beweging van het zwaar-

tepunt betreft een vrij-deeltje Hamiltoniaan is: 12M

�ˆ~P · �ˆ~P . Het deel van deHamiltoniaan dat de beweging van het elektron t.o.v. het proton betreft, is deHamiltoniaan van een waterstofatoom met daaraan toegevoegd de zogenaamdeStark-potentiaal VStark = e ~E · �ˆ~x.

e) Toon aan dat de totale impuls een behouden grootheid is.

f) Begrijpt u fysisch waarom het uitwendig elektrisch veld geen invloed heeftop de zwaartepuntsbeweging van het waterstofatoom?

5.5 Enkele selectieregels voor de Stark-potentiaal

In opgave 5.6 zullen we het e ect van VStark op enkele energieniveaus en eigen-toestanden van het waterstofatoom gaan bepalen met storingsrekening. MetH0 de Hamiltoniaan van het waterstofatoom in afwezigheid van een elektrischveld stellen we dus:

H = H0 + VStark .

128

In de plaatsrepresentatie geldt:

H0 =~2

2~ 2 e2

r,

en wanneer we de z-as langs het elektrisch veld ~E kiezen:

VStark = e ~E · ~x = eE z = eE r cos .

De eigenwaarden en eigentoestanden van H0 zijn bekend (zoals nodig is voorstoringsrekening). De negatieve eigenwaarden van H0 zijn: n =

c2

2

2

n2, met

n = 1, 2, . . . , en waarbij = e2

~c '1137 de jnstructuurconstante is. De ont-

aardingsgraad van n is n2. De bijbehorende eigenruimte wordt opgespannendoor de toestanden |n, `,mi, waarbij ` = 0, 1, . . . , n 1 en m bij gegeven ` dewaarden `, ` + 1, . . . , ` doorloopt. Verder is er nog een continu spectrumvan positieve eigenwaarden, die elk -voudig ontaard zijn.Wanneer we met storingsrekening het e ect van VStark gaan bepalen, hebbenwe volgens opgave 5.1 matrixelementen hn00, `00,m00|VStark |n0, `0,m0i nodig. Tervoorbereiding op opgave 5.6, gaat u in deze opgave aantonen dat een heleboelvan die matrixelementen verdwijnen. In het bijzonder gaat u de volgende se-lectieregels aantonen:

n00, `00,m00¯VStark¯n0, `0,m0® = 0, als

¯`00 `0

¯even is of m00 6= m0. (5-35)

Deze selectieregels zijn aan te tonen met gebruikmaking van de volgende iden-titeiten:

Lz |n, `,mi = m~ |n, `,mi ;P |n, `,mi = ( 1)` |n, `,mi .

Hierin is P de pariteitsoperator, die gedenieerd is door h~x| P | i = h ~x| i.In de plaatsrepresentatie luidt deze denitie:

¡Pplaats

¢(~x) = ( ~x).

a) Laat zien dat P hermitisch is.

b) Laat zien dat VStarkP + P VStark = 0.

c) Laat zien dat [VStark , Lz] = 0.

d) Bewijs de selectieregels (5-35).

5.6 Het Stark-e ect

In deze opgave gaan we met storingsrekening het e ect van VStark bepalen ophet grondniveau, de grondtoestand en het eerste aangeslagen niveau van hetwaterstofatoom. We beginnen met de verschuiving van het grondniveau 1 tebepalen. Daar dit niveau niet ontaard is, kunnen we niet-ontaarde storingsre-kening toepassen.

a) Laat zien dat er geen eerste-orde verschuiving van het grondniveau is:E(1)1 = 0.

129

Volgens niet-ontaarde storingsrekening wordt de tweede-orde verschuiving vanhet grondniveau (het zogenaamde kwadratische Stark-e ect) gegeven door:

E(2)1 =

X

| i6=|1,0,0i

Z|h |VStark |1, 0, 0i|2

1.

De sommatie/integratie gaat hier over alle van de grondtoestand verschillendeeigentoestanden vanH0: niet alleen over de gebonden toestanden |n, `,mi, maarook over alle eigentoestanden behorend bij de positieve energie-eigenwaarden.Het lijkt onbegonnen werk E(2)1 te gaan bepalen door de som/integraal uitte rekenen, gegeven bv. dat er niet alleen een continu spectrum van positieveenergie-eigenwaarden is maar dat elk van die eigenwaarden ook nog eens -voudig ontaard is. We zullen er dan ook niet aan beginnen, en proberen E(2)1op een andere manier te berekenen.Zo is het niet uitgesloten, gegeven dat E(1)1 verdwijnt, dat de methode vanopgave 5.3 toegepast kan worden.

b) Waarom had de methode van opgave 5.3 zeker niet toegepast kunnenworden, als E(1)1 niet nul was geweest?

c) Bepaal een operator B zodanig dat VStark |1, 0, 0i = [H0 , B] |1, 0, 0i.Hint: Zoek een B van de volgende vorm (in de plaatsrepresentatie):B =

¡c r2 + d r

¢cos , met nader te bepalen constanten c en d. Zie verder

opgave 2.7 voor een uitdrukking van de kinetische term in de plaatsrepre-sentatie (in bolcoördinaten). Verder geldt in de plaatsrepresentatie (inbolcoördinaten):

h~x |1, 0, 0i = era

a32

, met a= ~2e2de Bohrstraal.

d) Bepaal nu de tweede-orde verschuiving van het grondniveau, en de eerste-orde verschuiving van de grondtoestand.

Hint: Bij de berekening kunt u gebruik maken van:R

0

dxxn e x = n! .

Het eerste aangeslagen niveau 2 van het waterstofatoom is viervoudig ont-aard. De bijbehorende eigenruimte wordt opgespannen door |2, 0, 0i, |2, 1, 1i,|2, 1, 0i en |2, 1, 1i. Uit de theorie van ontaarde storingsrekening volgt (zieopgave 5.1p)) dat de eerste-orde verschuivingen van 2 gegeven worden door deeigenwaarden van de storingsmatrix:

h2, 0, 0|VStark |2, 0, 0i h2, 0, 0|VStark |2, 1, 1i h2, 0, 0|VStark |2, 1, 0i h2, 0, 0|VStark |2, 1, 1i

h2, 1, 1|VStark |2, 0, 0i h2, 1, 1|VStark |2, 1, 1i h2, 1, 1|VStark |2, 1, 0i h2, 1, 1|VStark |2, 1, 1i

h2, 1, 0|VStark |2, 0, 0i h2, 1, 0|VStark |2, 1, 1i h2, 1, 0|VStark |2, 1, 0i h2, 1, 0|VStark |2, 1, 1i

h2, 1, 1|VStark |2, 0, 0i h2, 1, 1|VStark |2, 1, 1i h2, 1, 1|VStark |2, 1, 0i h2, 1, 1|VStark |2, 1, 1i

.

130

e) Bepaal de eerste-orde verschuivingen van het eerste aangeslagen niveau.

Hint: Er geldt in de plaatsrepresentatie (in bolcoördinaten):

h~x |2, 0, 0i =

¡1 r

2a

¢e

r2a

2 2 a32

;

h~x |2, 1, 0i =r e

r2a cos

4 2 a52

;

h~x |2, 1,±1i =r e

r2a sin e±i

8 a52

.

5.7 De polariseerbaarheid van een waterstofatoom

In deze opgave bespreken we een toepassing van de resultaten van de storings-rekening uit opgave 5.6, namelijk de bepaling van het geïnduceerde elektrischdipoolmoment van een waterstofatoom. We beginnen eerst met op te halen wateen elektrisch dipoolmoment ook al weer is.

a) Toon aan dat de operator voor het elektrisch dipoolmoment ~d van hetwaterstof gegeven wordt door (in de notatie van opgave 5.4):

~d = e �ˆ~x.

b) Toon aan dat de verwachtingswaarde van het elektrisch dipoolmomentvan een waterstofatoom in zijn grondtoestand verdwijnt:

h1, 0, 0| ~d |1, 0, 0i = ~0.

c) Begrijpt u fysisch dat een waterstofatoom geen permanent elektrisch di-poolmoment heeft.

Wanneer een atoom in een elektrisch veld geplaatst wordt, wordt daarin eendipoolmoment geïnduceerd waarvan in de elektriciteitsleer gangbaar aangeno-men wordt dat het voor een niet al te groot elektrisch veld daaraan evenredigis (zie b.v. Gri ths, Introduction to electrodynamics, p.159):

~d = a ~E. (5-36)

Hierbij heet a de atomaire polariseerbaarheid . Met behulp van de resultaten vaneerste orde storingsrekening zullen we voor een waterstofatoom (5-36) aantonenen de atomaire polariseerbaarheid expliciet bepalen.

d) Beschouw een waterstofatoom in een elektrisch veld ~E = E~ez en stel dathet zich in de grondtoestand bevindt.

Toon aan dat dan voor de verwachtingswaarde van het elektrisch dipool-moment geldt:

D~dE= 2Re

³h1, 0, 0| ~d |1, 0, 0i(1)

´+ O

¡E2¢, waarbij

|1, 0, 0i(1) de eerste-orde verschuiving van de grondtoestand is.

e) Leid af dat (5-36) geldt voor een waterstofatoom en bepaal en passant eenuitdrukking voor de atomaire polariseerbaarheid van een waterstofatoom.

131

5.8 Storingsrekening aan een systeem van twee deel-tjes met spin 1

2

Deze opgave betreft een systeem van twee spin-12 deeltjes, wier baanbewegingwe buiten beschouwing laten. De Hamiltoniaan wordt gegeven door:

H = H0 +H1, met

H0 = A (S1,z + S2,z) ;

H1 = B (S1,x S2,x S1,y S2y) .

A en B zijn positieve constanten. Deze Hamiltoniaan gaan we niet op grond vanfysische relevantie bestuderen, maar om verder te oefenen met storingsrekening.

a) Geef de eigenwaarden van H0, en de bijbehorende eigentoestanden t.o.v.de direct-produkt basis.

b) Vat H1 op als een storing op H0, en bereken met storingsrekening deeerste- en tweede-orde verschuivingen van de niet-ontaarde energieniveausvan H0.

c) Bereken de eigenwaarden van H = H0 +H1 exact.

Hint: Bepaal de matrixgedaante van H t.o.v. de direct-produkt basis.

d) Zijn de resultaten van de onderdelen b) en c) met elkaar in overeenstem-ming? Licht uw antwoord toe.

5.9 Het Zeemane ect met storingsrekening

In deze opgave komen we terug op de Zeeman-Hamiltoniaan voor een waterstof-achtig atoom in een constant en homogeen magneetveld ~B = B~ez (zie opgave2.9):

HZeeman =~2

2~ 2 Ze2

r+eB

2 c(Lz + 2Sz) +

Ze2

2 2c21

r3~S · ~L. (5-37)

In deze opgave gaan we enkele energieniveaus van de Zeeman-Hamiltoniaanbenaderen met behulp van storingsrekening. Daartoe schrijven we:

HZeeman = H0 + V , met

H0 =~2

2~ 2 Ze2

r, en

V =eB

2 c(Lz + 2Sz) +

Ze2

2 2c21

r3~S · ~L,

en vatten we V op als een storing op H0. De eigenwaarden van H0 worden gege-ven door: n =

c2

2

2

n2, met = e2

~c '1137 de jnstructuurconstante. De eigen-

toestanden worden gegeven door de direct-produkt toestanden |n, `,m`i¯12 ,ms

®.

De ontaardingsgraad van n wordt gegeven door 2n2. De ontaarding in hetbaandeel wordt volgens opgave 2.8 a) immers gegeven door n2. Verder kan msvoor een spin-12 deeltje nog twee waarden aannemen.

132

De eigentoestanden kunnen we wat uitgebreider schrijven als:

|n, `i |`,m`i¯12 ,ms

®= |n, `i

¯`, 12 ;m`,ms

®, (5-38)

waarbij |n, `i correspondeert met de radiële functie Rn` (r), |`,m`i met de bol-functie Y`,m`

( , ), en¯`, 12 ;m`,ms

®de gebruikelijke alternatieve manier is om

de direct-produkt toestanden |`,m`i¯12 ,ms

®te noteren.

Vanzelfsprekend kunnen we de eigenruimte behorend bij n ook opgebouwddenken uit de totaal-impulsmoment toestanden

|n, `i¯`, 12 ; j,mj

®. (5-39)

In deze opgave gaan we storingsrekening toepassen op het (tweevoudig ont-aarde) grondniveau 1 en op het (achtvoudig ontaarde) eerste aangeslagen ni-veau 2. Daarom gaan we nu eerst de eigenruimtes bestuderen die bij dezeongestoorde niveaus horen.

a) i) Speciceer een basis van de eigenruimte van 1 in termen van toe-standen van de vorm (5-38) en in termen van toestanden van de vorm(5-39).

ii) Doe hetzelfde voor de eigenruimte van 2.

In opgave 2.17 heeft u gezien hoe totaal-impulsmoment toestanden zijn uit tedrukken in direct-produkt toestanden. Hiervan kan gebruik gemaakt wordenom de verschillende bases van de eigenruimtes in elkaar uit te drukken.

b) i) Druk de twee bases van de eigenruimte van 1 in elkaar uit.

ii) Doe hetzelfde voor de eigenruimte van 2.

We beginnen nu met storingsrekening toe te passen op het grondniveau 1.Hiervoor is het nuttig eerst het volgende resultaat aan te tonen.

c) Ga na dat geldt:

~S · ~L©R (r)

¯` = 0, 12 ; j =

12 ,mj

®ª= 0; (5-40)

~S · ~L©R (r)

¯` = 0, 12 ;m` = 0,ms

®ª= 0,

waarbij R (r) een willekeurige radiële functie is.

d) Bepaal de eerste-orde verschuivingen van het grondniveau.

We gaan nu over tot het eerste aangeslagen niveau 2. De vraag is ten opzichtevan welke basis we de storingsmatrix gaan bepalen: de basis van toestanden vande vorm (5-38) of de basis van toestanden van de vorm (5-39). Een probleemis dat de storingmatrix ten opzichte van geen van beide bases diagonaal wordt.Ten opzichte van de basiselementen van de vorm (5-39) echter wel bijna.

133

We kunnen namelijk schrijven: V = V1 + V2, met

V1 =eB

2 cJz +

Ze2

2 2c21

r3~S · ~L, en

V2 =eB

2 cSz.

e) Toon aan dat ten opzichte van de basiselementen van de vorm (5-39) destoringsmatrix behorend bij V1 diagonaal is. Toon en passant aan dat dediagonaalelementen gegeven worden door:

± e~B4 c ;

(Z )4 c2

96 ± 3e~B4 c ;

(Z )4 c2

96 ± e~B4 c ;

(Z )4 c2

48 ± eB~4 c .

Met ' 1137 en c2 de rustenergie van een elektron (' 0, 5MeV) volgt

dus dat de energieverschuivingen ten gevolge van de spin-baan koppelingvan de orde van enkele tientallen micro-elektronvolts zijn.

Hint: Bedenk dat voor de toestanden met ` = 0 de spin-baan koppelingvolgens (5-40) geen bijdrage heeft. Verder is gegeven:

R20 (r) = 2¡Z2a

¢ 32¡1 Zr

2a

¢e

Zr2a ; R21 (r) =

23

¡Z2a

¢ 52 re

Zr2a .

f) Bepaal de storingsmatrix behorend bij V2 ten opzichte van de basisele-menten van de vorm (5-39).

Ter controle: Enkele relevante tussenresultaten bij deze berekening zijnals volgt. Sommige van de totaal-impulsmoment toestanden

¯`, 12 ; j,mj

®

zijn ook eigentoestand van Sz: de toestanden¯` = 0, 12 ; j =

12 ,mj =

12

®en¯` = 1, 12 ; j =

32 ,mj =

32

®

bij de eigenwaarde ~2 ; de toestanden

¯` = 0, 12 ; j =

12 ,mj =

12

®en¯` = 1, 12 ; j =

32 ,mj =

32

®

bij de eigenwaarde ~2 . Verder geldt:

Sz¯` = 1, 12 ; j =

32 ,mj =

12

®= ~

6

¯` = 1, 12 ; j =

32 ,mj =

12

®

+ 2~3

¯` = 1, 12 ; j =

12 ,mj =

12

®;

Sz¯` = 1, 12 ; j =

12 ,mj =

12

®= 2~

3

¯` = 1, 12 ; j =

32 ,mj =

12

®

~6

¯` = 1, 12 ; j =

12 ,mj =

12

®;

Sz¯` = 1, 12 ; j =

32 ,mj =

12

®= ~

6

¯` = 1, 12 ; j =

32 ,mj =

12

®

+ 2~3

¯` = 1, 12 ; j =

12 ,mj =

12

®;

Sz¯` = 1, 12 ; j =

12 ,mj =

12

®= 2~

3

¯` = 1, 12 ; j =

32 ,mj =

12

®

+~6

¯` = 1, 12 ; j =

12 ,mj =

12

®.

134

g) Toon aan dat de eerste orde verschuivingen van 2 ten gevolge van Vgegeven worden door:

±e~B2 c ,

(Z )4 c2

96 ± e~Bc ,

(Z )4 c2

192 ± e~B4 c +

12

r³e~B2 c

´2± e~(Z )4cB

96 +³(Z )4 c2

32

´2,

(Z )4 c2

192 ± e~B4 c

12

r³e~B2 c

´2± e~(Z )4cB

96 +³(Z )4 c2

32

´2.

In de linkerguur navolgend zijn de gevonden energieverschuivingen als functievan de sterkte van het magneetveld uitgezet.

Experimenteel wordt echter zoiets als de rechterguur gevonden. Met namewat betreft de bijdrage van de spin-baan koppeling is het resultaat van deberekening dus nog niet erg goed. De reden hiervoor is overigens niet datwe slechts eerste-orde storingsrekening hebben gedaan, maar simpelweg datde Zeeman-Hamiltoniaan (5-37) nog niet correct is. Het blijkt namelijk datrelativistische e ecten van dezelfde orde van grootte zijn als die van de spin-baan koppeling, en dus met name bij een zwak magneetveld niet verwaarloosdmogen worden. Op (de aard van) deze relativistische e ecten zullen we hierniet ingaan.

5.10 De bandenstructuur van een roosterkristal inéén dimensie

In deze opgave gaan we met storingsrekening een benadering geven van de ener-gieniveaus van een deeltje dat zich op een 1-dimensionaal roosterkristal bevindt.De Hamiltoniaan van zo�’n deeltje wordt gegeven door (in de plaatsrepresentatie)

H =~2

2m

d2

dx2+ V (x) ,

waarbij V een potentiaal is die periodiek is in de roosterafstand d: V (x+ d) =V (x). Verder nemen we aan dat de lengte L van het kristal N roosterafstandenbedraagt: L = Nd, met N À 1.Behalve als een verdere oefening met storingsrekening, is deze opgave bedoeldom een (kwalitatief) begrip te ontwikkelen van de voor roosterkristallen karak-teristieke bandenstructuur (zie de navolgende guur).

135

6E

Om deze bandenstructuur te begrijpen, beschouwen we V als een storing op de

vrij-deeltje Hamiltoniaan H0 =~2

2m

d2

dx2. Teneinde storingsrekening te kun-

nen toepassen moeten we eerst het ongestoorde eigenwaarde-probleem H0 =E oplossen. In het onderstaande gaat u dat doen door zogenaamde periodiekerandvoorwaarden op te leggen: (x+ L) = (x). We stellen ons dus voor dathet kristal zich steeds herhaalt. Daar we uiteindelijk in de limiet N(L ) geïnteresseerd zijn, lijkt dit een legitieme procedure.

a) Laat zien dat de oplossing van het probleem

H0 = E

(x+ L) = (x)

als volgt is.

De energie-eigenwaarden zijn: n =2 2~2mL2

n2, n = 0, 1, 2, . . . ; 0 is nietontaard; voor n = 1, 2, . . . is n tweevoudig ontaard. Verder geldt dat

wanneer we gol uncties n invoeren door n (x)def= e i

2 nL x

L, dat dan de

eigenruimte van 0 opgespannen wordt door 0, en voor n = 1, 2, . . . dievan n door n en n.

Merk op dat de eigenfuncties n orthonormaal zijn, wanneer we als in-

produkt nemen: h | i def=LR

0

dx (x) (x).

Vervolgens gaan we storingsrekening toepassen. Daartoe moeten we weer ma-trixelementen gaan berekenen van de vorm h n|V | n0i. Omdat V periodiek isin de roosterafstand, kan V ontwikkeld worden in een Fourierreeks:

V (x) =X

n=

Vn ei 2 ndx.

Daar V (x) reëel is, geldt hierbij: V n = Vn .

136

b) Laat zien dat geldt:

i) voor j Z: 1L

LR

0

dx e2 ij xL = j,0.

ii) als er geen k Z is zodanig dat n0 = n Nk, dan h n|V | n0i = 0;iii) voor k Z: h n|V

¯n Nk

®= Vk.

c) Bereken de eerste-orde verschuivingen van alle energieniveaus ten gevolgevan de potentiaal V . Bedenk eerst of u ontaarde dan wel niet-ontaardestoringsrekening toe moet passen.

Voor L heeft de ongestoorde (vrij-deeltje) Hamiltoniaan een continu spec-trum. Ten gevolge van de potentiaal V verschuift dit spectrum en ontstaan eropeningen in.

d) Rond welke energiewaarden verwacht u die openingen op grond van eerste-orde storingsrekening?

Hoe breed schat u elk van die openingen op grond van eerste-orde sto-ringsrekening?

5.11 De methode van variatierekening

We gaan nu over tot een tweede benaderingsmethode: variatierekening. Dezemethode is vooral geschikt om het grondniveau en een grondtoestand van eenbepaald systeem te benaderen. Laat T de toestandsruimte van het systeem zijnen H de Hamiltoniaan van het systeem. Voor het grondniveau E0 geldt dan:E0 = min

| i TE [| i], waarbij de uitdrukking E [| i] is gedenieerd door:

E [| i] def= h |H | ih | i

. (5-41)

Verder geldt dat het minimum van E [| i] uitsluitend wordt aangenomen voortoestanden uit de eigenruimte van E0.We zullen deze resultaten zo dadelijk aeiden, maar bespreken nu eerst de me-thode van variatierekening. Die komt neer op het minimaliseren van de uitdruk-king E [| i] op een geschikte ruimte. In de praktijk zal het vaak ondoenlijk zijndeze uitdrukking voor alle toestanden uit T te bepalen, laat staan vervolgensnog eens te minimaliseren op T . Vaak kan dit echter wel op een geschikt geko-zen deelverzameling V van T . De toestanden uit die deelverzameling noemenwe vaak probeer-toestanden. Het idee is dat we het minimum dat E [| i] op Vaanneemt, min

| i VE [| i], beschouwen als een benadering van het grondniveau;

de probeertoestand waarvoor dit minimum wordt aangenomen beschouwen weverder als de bijbehorende benadering van een grondtoestand. De benaderingvan het grondniveau die aldus gevonden wordt, is altijd een bovengrens voorhet exacte grondniveau E0. Er geldt immers:

E0 = min| i T

E [ ] min| i V

E [ ] .

137

Het zal duidelijk zijn dat de mate van succes van de variatiemethode van tweefactoren afhangt. Ten eerste van de kwaliteit van de keuze van de verzameling Vvan probeer-toestanden. Als deze verzameling erg onverstandig gekozen wordt,zal de benadering van het grondniveau die we aldus vinden niet erg goed zijn;als V heel verstandig gekozen is zou het zo kunnen zijn dat V een elementvan de eigenruimte van E0 bevat, en dan vinden we met deze methode hetexacte grondniveau. Ten tweede hangt de mate van succes van deze methodeaf van de grootte van de verzameling van probeer-toestanden. Hoe groter dezeverzameling is, des te scherper de bovengrens voor het grondniveau gesteldkan worden. Vanwege deze tweede factor, is het succes van de methode vanvariatierekening enorm toegenomen met de toename van de rekenkracht vancomputers.We gaan nu in op de twee beweringen waarop de methode van variatierekeningis gebaseerd:

1. E0 = min| i T

E [| i];

2. Het minimum van E [| i] op T wordt uitsluitend aangenomen bijtoestanden uit de eigenruimte van E0.

a) Toon deze twee beweringen aan.

Hint: Ontwikkel een willekeurige toestand uit T in eigentoestanden vande Hamiltoniaan H, en vul deze ontwikkeling in (5-41) in.

De methode van variatierekening wordt soms ook gebruikt om de aangeslagenniveaus en bijbehorende toestanden te bepalen. Daarbij wordt gebruik gemaaktvan de volgende bewering:

3. Extrema van E [| i] op T worden uitsluitend aangenomen bij eigen-toestanden van H.

In de rest van deze opgave gaan we deze bewering aantonen. Veronderstelallereerst dat E [| i] een extremum aanneemt bij | ei. Er geldt dan dus, vooreen willekeurige | i:

E [| ei+ | i] = E [| ei] +O¡2¢. (5-42)

b) Leid uit (5-42) af dat voor een willekeurige | i moet gelden:

h e|H E [| ei] | i+ h |H E [| ei] | ei = 0. (5-43)

c) Toon aan dat | ei een eigentoestand is van H.Hint: Toon allereerst aan dat ook geldt:

h e|H E [| ei] | i h |H E [| ei] | ei = 0.

Doe dit door (5-43) toe te passen op de toestand i | i.

d) Ga na dat de redenering ook omgekeerd geldt, dus dat E [| i] bij eigen-toestanden van H een extremum heeft.

138

5.12 Variatierekening voor een exponentiële poten-tiaal

Deze opgave is een oefening met de methode van variatierekening zonder al te-veel fysische relevantie. We beschouwen een spinloos deeltje met massa m,bewegend in één dimensie onder invloed van de volgende potentiaal (in deplaatsrepresentatie):

V (x) = Ae B|x|, met A,B > 0.

a) Schets de potentiaal V (x). In welk energie-gebied zijn gebonden toestan-den te verwachten?

b) Schrijf de Hamiltoniaan van het deeltje op.

Beschouw nu de volgende verzameling van probeer-gol uncties:

(x) = e |x|, met > 0.

c) Schets . Beargumenteer waarom deze keuze van probeer-gol unctiesverstandig lijkt�–of althans niet erg onverstandig.

d) Laat zien dat geldt:

E [ ] =~2 2

2m

2A

(2 +B).

Hint: is wel continu maar niet di erentieerbaar in x = 0. In de tweedeafgeleide van komen dus -termen voor (zie opgave 1.10). Om dezegoed te bepalen, kunt u handig gebruik maken van de sign-functie:

sgn (x) =1, voor x < 0;

1, voor x > 0.

Er geldt namelijk:

|x| = x sgn (x) ; d sgn

dx(x) = 2 (x) ; x (x) = 0.

e) Schrijf de vergelijking op voor de extrema van E [ ]. Bewijs dat dezevergelijking slechts één reële wortel heeft, en dat die wortel positief is.Bewijs vervolgens dat de energie minimaal is voor deze wortel.

5.13 Variatierekening voor een harmonische oscilla-tor met een storingsterm x4

Behalve om een oefening met de methode van variatierekening, gaat het in dezeopgave ook om een vergelijking van deze methode met de eerder behandeldemethode van storingsrekening. Daarom beschouwen we een systeem dat we inopgave 5.2 al eerder beschouwd hebben: een harmonische oscillator met eenstoringsterm g m

2 3

~ �ˆx4.

139

In opgave 5.2 hebben we met storingsrekening de energieniveaus van dit systeembepaald tot op eerste orde in g. Voor het grondniveau hebben we toen gevonden:

E0 =12~

¡1 + 3

2g¢+ O

¡g2¢. (5-44)

In deze opgave gaan we het grondniveau benaderen met variatierekening, en hetresultaat vergelijken met (5-44). Beschouw daartoe de volgende verzameling vanprobeer-gol uncties:

(x) = em2~ (1+ )x2 , met > 1. (5-45)

a) Beargumenteer dat dit een niet onverstandige keuze lijkt.

Verwacht u voor een kleine storing (g ¿ 1) een grote of een kleine waardevoor te zullen vinden? Licht uw antwoord toe.

b) Bereken de energie-functionaal:

E [ ] =h |H | ih | i

.

Hint: U kunt de volgende gegevens gebruiken:Z

dx x2n e x2 =

¡n+ 1

2

¢

n+ 12

; (z + 1) = z (z) ;¡12

¢= .

c) Toon aan dat voor een waarde van waarvoor E [ ] een minimum aan-neemt, moet gelden:

3 + 3 2 + 2 6g = 0. (5-46)

Daar (5-46) een derdegraads-vergelijking is, is de waarde waarvoor E [ ]een minimum aanneemt te bepalen als functie van g (voor verschillende g zalhet minimum bij verschillende worden aangenomen). De minimumwaardevan E [ ] op de verzameling van probeer-gol uncties is daarmee dus ook tebepalen als functie van g.In deze opgave zijn we geïnteresseerd in een vergelijking met het in storingsre-kening gevonden resultaat. Dwz., we willen (5-44) vergelijken met E(g)var: de metvariatierekening bepaalde waarde van het grondniveau tot op eerste orde in g.E(g)var is te bepalen door het minimum dat E [ ] op de verzameling van probeer-gol uncties aanneemt te ontwikkelen tot op eerste orde in g, maar kan ookdirect perturbatief bepaald worden. Hieronder zullen we deze laatste methodevolgen. Schrijf dus:

= 0 + 1 g + O¡g2¢. (5-47)

d) Bepaal 0 en 1 door (5-47) in te vullen in (5-46) en de coë ciënten vangelijke machten van g aan elkaar gelijk te stellen. Bedenk daarbij dat ookmoet gelden: > 1 (zie (5-45)).

Klopt uw verwachting bij onderdeel a) over de grootte van voor eenkleine storing (g ¿ 1)?

140

e) Bepaal E(g)var, en vergelijk dit antwoord met het antwoord verkregen doorstoringsrekening.

f) Beredeneer waarom in het algemeen (voor een willekeurige storingstermen een willekeurige verzameling probeerfuncties) voor voldoend kleine gmoet gelden:

E(g)var 0 + g E(1)0 ,

met E(g)var de met variatierekening bepaalde waarde van het grondniveautot op eerste orde in g, 0 het ongestoorde grondniveau en E

(1)0 de met

storingsrekening bepaalde eerste-orde verschuiving van het grondniveau.

5.14 Variatierekening voor een heliumatoom

Ook in deze opgave gaat het om een oefening met de methode van variatiereke-ning en om een vergelijking van deze methode met de methode van storingsreke-ning. Bovendien beschouwen we een fysisch relevant systeem. We gaan namelijkhet grondniveau en een grondtoestand van het heliumatoom benaderen.We beginnen echter met enige resultaten betre ende waterstof-achtige systemenop te halen (zie Sakurai , appendix A.6). De grondtoestandsfunctie van eenelektron in het elektrisch veld van een kern met lading Ze wordt gegeven door(op een normeringsconstante na): (~r ) = e

Zar; het bijbehorende grondniveau

wordt gegeven door Z2e2

2a . Hierbij is a de Bohr-straal: a =~2me2 . Er geldt dus:

³~22m~ 2 Ze2

r

´e

Zar = Z2e2

2a eZar. (5-48)

We beschouwen nu een heliumatoom: een systeem dat bestaat uit een helium-kern (twee protonen en twee neutronen), en twee elektronen (e1 en e2).

-¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶7

e1

e2

He2+

~r2

~r1

Voor dit systeem schrijven we de volgende Hamiltoniaan op:

H =~2

2m~ 2~r1

~2

2m~ 2~r2

2e2

r1

2e2

r2+

e2

|~r1 ~r2|.

a) Interpreteer elk van de termen van H. Geef ook aan welke vereenvoudi-gende aannames er zoal gemaakt zijn, voordat de Hamiltoniaan van eenheliumatoom aldus geschreven kan worden.

141

Om het grondniveau en een grondtoestand van H te benaderen met de methodevan variatierekening, gaan we H minimaliseren op de volgende verzameling vanprobeer-functies.

(~r1, ~r2) = e(2 )a

r1 e(2 )a

r2 , met 0 < < 2. (5-49)

Merk op dat uit het bovenstaande volgt dat precies de grondtoestand is vaneen systeem van twee onderling niet wisselwerkende elektronen die zich in hetveld van een zeer zware kern met lading 2 bevinden.

b) Waarom lijkt de door (5-49) gegeven verzameling van probeer-functies eenverstandige keuze als het erom gaat het grondniveau en een grondtoestandvan H te benaderen?

Volgens de methode van variatierekening moeten we E [ ] = h |H| ih | i gaan

minimaliseren. Een belangrijk deel van de opgave zal hieraan besteed worden.

c) Laat zien dat h | i = 2a6

(2 )6.

d) Laat m.b.v. (5-48) zien dat geldt:

h |H | i = e2(2 )2

a h | i h | e2r1 +e2

r2| i +

+ h | e2

|~r1 ~r2|| i .

e) Laat zien dat h | e2r1 +e2

r2| i = 2 2e2a5

(2 )5.

f) Laat zien dat h | e2

|~r1 ~r2| | i = 5 2e2a5

8 (2 )5.

Hint: Wat hier uitgerekend moet worden is een integraal van de vorm:

I (A) =

Zd3r1

Zd3r2

e Ar1 e Ar2

|~r1 ~r2|, met A > 0.

Hieronder volgen aanwijzingen om deze integraal uit te rekenen. Er wor-den twee manieren aangegeven. De eerste manier is rechttoe, rechtaan envrij bewerkelijk. De tweede manier is wat minder bewerkelijk, doordatdaarbij handig gebruik gemaakt wordt van Fouriertransformatie.

We beginnen met te schrijven:

I (A) =

Zd3r1 b (~r1) c (~r1) , met (5-50)

b (~r1)def= e Ar1 ; (5-51)

c (~r1)def=

Zd3r2

e Ar2

|~r1 ~r2|. (5-52)

Volgens de rechttoe, rechtaan manier gaan we eerst c (~r1) bepalen. Wenemen even een vaste ~r1. Wanneer we dan de positieve z2-as langs deze~r1 kiezen, geldt (ga dit na!) in de bolcoördinaten (r2, 2, 2):

|~r1 ~r2| =qr 21 + r

22 2 r1r2 cos 2.

142

Er volgt dus:

c (~r1) = 2

Z

0dr2 r

22 e

Ar2

Z

0d 2

sin 2pr 21 + r

22 2 r1r2 cos 2

.

De 2-integratie is nu uit te voeren, en geeft (ga dit na!):

Z

0d 2

sin 2pr 21 + r

22 2 r1r2 cos 2

=

2

r1, als r2 < r1,

2

r2, als r2 > r1.

Er volgt dus:

c (~r1) =4

r1

Z r1

0dr2 r

22 e

Ar2 + 4

Z

r1

dr2 r2 eAr2 .

De verdere berekening levert (op het vele werk na) geen problemen op.

Een integraal van de vormdR

cdx xn e Ax, bijvoorbeeld, is voor n = 0

eenvoudig te berekenen. De integralen voor n 6= 0 zijn hieruit te bepalenm.b.v. partiële integratie of di erentiatie naar A.

Ter ondersteuning geven we hieronder nog een tussenresultaat en het eind-resultaat.

c (~r1) =8

A3 r1

½1

µ1 +

Ar12

¶e Ar1

¾;

I (A) =20 2

A5. (5-53)

De tweede manier ter berekening van I (A) maakt gebruik van Fourier-transformatie. De Fouriergetransformeerde van een functie f op R3 isgedenieerd als:

(Ff)³~k´def=

1

(2 )32

Zd3r f (~r ) e i~k·~r.

Daar de functie b zoals gedenieerd in (5-51) reëel is, kan (5-50) ook

geschreven worden als: I (A) = (b , c) =Zd3r b (~r ) c (~r ) (het standaard

inprodukt op L2¡R3¢). Daar Fouriertransformatie unitair is op L2

¡R3¢

(zie opgave 1.9.c), kunnen we ook schrijven:

I (A) = (Fb ,Fc) =Zd3k (Fb)

³~k´(Fc)

³~k´.

Uit (5-52) zien we dat de functie c een convolutie is:

c (~r ) = (b ? d) (~r ) , met

d (~r )def=

1

r.

143

Zoals bekend, is de Fouriergetransformeerde van de convolutie van tweefuncties het produkt van de Fouriergetransformeerden (op een constante

(2 )32 na). Er geldt dus ook:

I (A) = (2 )32

Zd3k

¯¯(Fb)

³~k´¯¯2(Fd)

³~k´. (5-54)

Wat we nu dus moeten doen is de Fouriergetransformeerden van b en dbepalen. Voor b levert dit geen problemen op:

(Fb)³~k´=

4A

2 (k2 +A2)2. (5-55)

De Fouriergetransformeerde van d is niet gedenieerd in ~k = ~0. U dientdaarom extra zorgvuldig te werk te gaan om het gedrag rond ~k = ~0

correct te bepalen: gaat (Fd)³~k´als 1

k, als 3

k2 , als(k)2 k , . . . ? Indien u

niet erg vertrouwd bent met Fouriertransformatie, en bv. niet weet datvoor de Fouriergetransformeerde (in één dimensie) van de stapfunctie

geldt dat 2 (F ) (k) =R

0

dx e ikx =i

k+ (k), raden we u aan als

volgt voorzichtig te werk te gaan. Beschouw functies d² die convergerennaar d (lim

² 0d² = d), en waarvan de Fouriergetransformeerden wel overal

bestaan. Vanwege de continuïteit van Fouriertransformatie geldt dan:Fd = lim

² 0(Fd²). Een geschikte keuze voor de functies d² is als volgt:

d² (~r )def= e ² r

r . Hoe u ook te werk gaat, de uitkomst is:

(Fd)³~k´=

2

2 k2. (5-56)

Combinatie van (5-54), (5-55) en (5-56) geeft dan (ga na):

I (A) = 128 A2Z

0dk

1

(k2 +A2)4= 64 A2

Zdk

1

(k2 +A2)4.

Deze laatste integraal, tenslotte, kan berekend worden door de functie1

(z2+A2)4te integreren over een geschikt gekozen kromme in het complexe

vlak. Hierbij kunt u gebruik maken van de residuen-stelling: als een func-tie f : C 7 C analytisch is op C met uitzondering van de eindig veelpunten 1, . . . , k, en w een gesloten kromme is die eenmaal in positievezin om deze punten heen loopt, dan geldt:

I

wdz f (z) = 2 i

kX

l=1

Res (f, l) .

Verder geldt dat als f een n-de orde pool in heeft, dat dan voor hetresidu van f in geldt:

Res (f, ) =1

(n 1)!

dn 1

dzn 1{(z )n f (z)} |z= .

Uiteindelijk wordt de uitkomst van I (A) gegeven door (5-53).

144

g) Laat zien dat geldt: E [ ] = e2

a

¡114 +

58

2¢.

h) Geef een benadering van het grondniveau, en de bijbehorende benaderingvan een grondtoestand van H.

Tenslotte gaan we het grondniveau van H benaderen met storingsrekening.Daartoe schrijven we:

H = H0 + V , met

H0 =~2

2m~ 2~r1

~2

2m~ 2~r2

2e2

r1

2e2

r2, en

V =e2

|~r1 ~r2|.

Verder vatten we V op als een storing op H0.

i) Toon aan dat volgens eerste-orde storingsrekening geldt:

E0 ' 0 +E(1)0 = E [ =0] =

11e2

4a .

j) Welke waarde ligt dichter bij het exacte grondniveau van H: het bij on-derdeel h) met variatierekening gevonden resultaat of het bij onderdeel i)met eerste-orde storingsrekening gevonden resultaat?

Beargumenteer uw antwoord. Is er een tegenspraak met de bewering in5.13f)?

5.15 Het H+2 -molecule

In deze opgave beschouwen we een systeem van twee protonen en één elektron.We gaan in deze opgave onder andere met behulp van variatierekening aanne-melijk maken dat dit systeem gebonden toestanden heeft. Daarmee geeft dezeopgave ook een kwalitatief inzicht in het bestaan van stabiele moleculen, in ditgeval van het meest simpele molecule (of beter, moleculaire ion) dat er is: H+2 .In opgave 5.4 hebben we gezien dat het voor een twee-deeltjes systeem vaak

handig is om op de zwaartepuntscoördinaat ~R =m1~r1 +m2~r2m1 +m2

en de relatieve

coördinaat ~r = ~r2 ~r1 over te gaan.

-¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶7

m1

m2

~0

~r2

~r1HH

HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

HHY

~r

»»»»»»

»»»»»»

»»»»»»:

~R

145

Als we bovendien de impulsen ~P = ~p1 + ~p2 en ~p =m1~p2 m2~p1m1 +m2

invoeren,

geldt dat daarmee aan de canonieke commutatie-relaties is voldaan: [Ri, Pj ] =i~ ij , [ri, pj ] = i~ ij , terwijl alle andere commutaties tussen de Ri, Pi, ri en piverdwijnen. Net als klassiek geldt voor de som van de kinetische termen:

~p 212m1

+~p 222m2

=~P 2

2M+~p 2

2, met

M = m1 +m2, en1

=1

m1+

1

m2.

Bovendien geldt dan in de plaatsrepresentatie: ~P = i~~ ~R en ~p = i~~~r.Iets analoogs kunnen we (net als in de klassieke mechanica) doen voor een sys-teem van drie deeltjes. We kiezen als nieuwe coördinaten de zwaartepuntscoör-

dinaat ~R =m1~r1 +m2~r2 +m3~r3m1 +m2 +m3

, de positie ~ = ~r2 ~r1 van deeltje 2 ten

opzichte van deeltje 1, en de positie ~r = ~r3m1~r1 +m2~r2m1 +m2

van deeltje 3 ten

opzichte van het zwaartepunt van de deeltjes 1 en 2.

-¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶7

m1

m2

~0

~r2

~r1HH

HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

HHY

~

~r3

~R

~r

´´

´´

´´

´´

´´

´´3

££££££££££±

©©©©

©©©©

©©©©

©©©©

©©©©*

m3

Onder ~P , ~ en ~p verstaan we de met ~R, ~ resp. ~r samenhangende canoniekeimpulsen.

a) i) Druk de impulsen ~P , ~ en ~p uit in de impulsen ~p1, ~p2 en ~p3.

ii) Toon aan dat geldt:

~p 212m1

+~p 222m2

+~p 232m3

=~P 2

2 1

+~ 2

2 2

+~p 2

2 3

.

Druk en passant de massa�’s 1, 2 en 3 uit in de massa�’s m1, m2

en m3.

iii) Toon aan dat geldt:

~P = i~~ ~R; ~ = i~~~ ; ~p = i~~~r.

146

We gaan bovenstaande coördinaten gebruiken ter beschrijving van een systeemvan twee protonen (deeltje 1 en deeltje 2) en één elektron (deeltje 3).

b) Toon aan dat we onder verwaarlozing van spin-baan en spin-spin interac-ties de Hamiltoniaan van dit systeem kunnen schrijven als:

~2

2 1

~ 2~R~2

2 2

~ 2~

~2

2 3

~ 2~r

e2¯~r 1

2~¯ e2¯

~r + 12~¯ +

e2, (5-57)

waarbij 1 ' 2mp, 2 =12mp, 3 ' me.

c) Beargumenteer waarom we in plaats van (5-57) zonder aan algemeenheidin te boeten net zo goed de volgende Hamiltoniaan kunnen bestuderen:

~2

2 2

~ 2~

~2

2 3

~ 2~r

e2¯~r 1

2~¯ e2¯

~r + 12~¯ +

e2. (5-58)

Beschouw nu het eigenwaarde-probleem behorend bij de Hamiltoniaan (5-58):Ã

~2

2 2

~ 2~

~2

2 3

~ 2~r

e2¯~r 1

2~¯ e2¯

~r + 12~¯ +

e2!

(~,~r ) = E (~,~r ) .

(5-59)

Het idee is dat we deze vergelijking in twee stappen gaan oplossen: eerst voorde snelle elektronbeweging en vervolgens voor de langzame protonbeweging.Daar het elektron een veel kleinere massa heeft dan de protonen, zal het op eentijdschaal waarop de protonen zich nauwelijks verplaatst hebben reeds ettelijkemalen om de protonen heen en tussen de protonen door bewogen zijn. Watbetreft de beweging van de protonen, kunnen we het e ect van het elektron dusvoorstellen als dat van een �‘uitgesmeerde�’ ladingsverdeling. Klassiek moeten weeerst de bewegingsvergelijking van het elektron oplossen bij een gegeven onder-linge positie ~ van de protonen. Bij de resulterende beweging van het elektronmoeten we vervolgens met behulp van een geschikte middeling een soort vane ectieve ladingsverdeling bepalen, die dus hoort bij de gegeven onderlinge po-sitie ~ van de protonen. De invloed van het elektron op de beweging van deprotonen, tenslotte, moeten we bepaald stellen door die e ectieve ladingsverde-ling. Daar we bij deze aanpak steeds de bewegingsvergelijking voor het elektronoplossen als stonden de protonen stil (dus bij een vaste onderlinge positie ~ vande protonen), spreken we hier wel van een statische limiet .Op een quantummechanische manier toegepast, wordt deze aanpak ook welde Born-Oppenheimer benadering genoemd. Daarbij lossen we eerst, voor eenvaste onderlinge positie ~ van de protonen, het volgende eigenwaarde-probleemvoor de elektronbeweging op:

Ã~2

2 3

~ 2~r

e2¯~r 1

2~¯ e2¯

~r + 12~¯

!

~ (~r ) = E~ ~ (~r ) . (5-60)

In deze vergelijking is ~ een parameter. Er staat dus in feite een collectie ei-genwaarde-problemen: voor elke waarde van ~ een eigenwaarde-probleem.

147

Voor elke waarde van ~ is er een energiespectrum, zeg E~,j , met bijbehorende

eigenfuncties, zeg ~,j (~r ). De grootheid e¯~,j (~r )

¯2 zouden we kunnen in-terpreteren als een quantummechanisch toegestane e ectieve ladingsverdelingvan het elektron en E~,j als de bijbehorende e ectieve potentiële energie tengevolge van de interactie van elk van de protonen met het elektron. Het ideevan de Born-Oppenheimer benadering is dat deze potentiële energie de invloedvan het elektron op de protonbeweging bepaalt, zodat voor de protonbeweginghet volgende eigenwaarde-probleem ontstaat:

µ~2

2 2

~ 2~ +

e2+ E~

¶(~) = E (~) . (5-61)

Om dit wat preciezer te maken, stellen we:

(~,~r ) = (~ ) ~ (~r ) , (5-62)

waarbij ~ voldoet aan (5-60).

d) i) Toon aan dat (5-62) dan voldoet aan (5-59) als geldt:

~ (~r )

µ~2

2 2

~ 2~ +

e2+ E~ E

¶(~ ) =

=~2

2 2

n2³~~ (~ )

´·³~~ ~ (~r )

´+ (~ )

³~ 2~ ~ (~r )

´o.

ii) Toon aan dat (~) in goede benadering aan (5-61) voldoet, indiende eigenfuncties ~ (~r) voldoende langzaam variëren als functie van~ :¯¯~~ ~ (~r )

¯¯

¯~ (~r )

¯ ¿

¯¯~

2

~ (~ )¯¯

¯¯~~ (~ )

¯¯;

¯¯~

2

~ ~ (~r )¯¯

¯~ (~r )

¯ ¿

¯¯~

2

~ (~ )¯¯

| (~ )|. (5-63)

In de rest van de opgave beschouwen we eerst het eigenwaarde-probleem (5-60) voor de elektronbeweging. We zullen, voor elke waarde van ~ , met behulpvan de methode van variatierekening een benadering proberen te vinden voorhet laagste energieniveau (E~,0). Vervolgens zullen we met deze benadering alse ectieve potentiële energie het eigenwaarde-probleem (5-61) voor de protonbe-weging bestuderen. Daarbij zullen we ook nagaan of aan de consistentie-eisen(5-63) voor de geldigheid van de benadering is voldaan.Beschouw nu dus, voor gegeven ~, de Hamiltoniaan:

Hel =~2

2 3

~ 2~r

e2¯~r 1

2~¯ e2¯

~r + 12~¯ ,

en neem als probeerfuncties om het laagste niveau hiervan te bepalen:¯c1,c2

®= c1 | 1i+ c2 | 2i , met

h~r | 1i = e1a |~r 1

2~| en h~r | 2i = e

1a |~r+ 1

2~|, en met

als Bohrstraal: a = ~2

3e2 .

148

e) Beargumenteer de plausibiliteit van deze probeerfuncties.

Opmerking: Deze keuze voor de probeerfuncties staat bekend als LCAO:linear combination of atomic orbitals.

Voor later gemak introduceren we nu de 2× 2-matrices H en door:

Hij = h i|Hel¯j

®;

ij = i| j

®.

f) i) Toon aan dat geldt:

11 = 22 =

Zd3r e

2ar; (5-64)

12 = 21 =

Zd3r e

1a |~r 1

2~|e

1a |~r+ 1

2~|; (5-65)

H11 = H22 =e2

2a11 e2

Zd3r

e2a |~r 1

2~|

¯~r + 1

2~¯ ; (5-66)

H12 = H21 =e2

2a12 e2

Zd3r

e1a |~r 1

2~|e

1a |~r+ 1

2~|

¯~r + 1

2~¯ . (5-67)

ii) Toon aan dat al deze matrixelementen alleen maar afhangen vande onderlinge afstand = |~| tussen de protonen, en niet van hunonderlinge oriëntatie.

g) Toon aan dat voor E (c1, c2) = E£¯

c1,c2

®¤=

c1,c2

¯Hel

¯c1,c2

®

c1,c2 | c1,c2

® geldt:

E (c1, c2) =

¡c1 c2

¢H

µc1c2

¶

¡c1 c2

¢ µc1c2

¶ .

Wanneer E een extremum heeft in (c1, c2), geldt voor willekeurige (d1, d2):

E (c1 + d1, c2 + d2) = E (c1, c2) +O¡2¢.

h) Leid hieruit af dat moet gelden:

{H E (c1, c2) }µc1c2

¶=

µ00

¶.

Hint: Zie opgave 5.11 b) en c) voor een vergelijkbaar probleem.

i) Toon aan dat de extrema van E gegeven worden door:

E~,± =H11 ±H1211 ± 12

,

en dus aangenomen worden voor c2 = ±c1.Hint: Een matrixvergelijking van de vorm A~v = ~0 heeft alleen niet-trivialeoplossingen indien detA = 0.

149

Om de extrema expliciet te bepalen, moeten we de integralen in (5-64) t/m(5-67) berekenen. Dit is doenbaar, maar tamelijk bewerkelijk. Het resultaat is:

E~,± =e2

2a

hn1 + 2a 2

³1 + a

´e

2a ±

n3 + 3a +

13

¡a

¢2oe a

oi

h1±

n1 + a +

13

¡a

¢2oe a

i . (5-68)

Merk op dat deze grootheden alleen van de onderlinge afstand tussen deprotonen afhangt: E~,± = E ,±. In de navolgende guur staan deze grootheden(uitgedrukt in de eenheid eV) uitgezet als functie van a : de bovenste graekhoort bij E , , de onderste bij E ,+.

-40

-30

-20

-10

02 4 6 8 10

j) i) Wat vinden we nu met variatierekening als benadering voor het laag-ste energieniveau (E~,0) van het eigenwaarde-probleem (5-60) voorde elektronbeweging: E ,+ of E , ?

ii) Beargumenteer waarom het op grond van de resultaten tot dusverplausibel is een oplossing van het eigenwaarde-probleem (5-59) tezoeken van de vorm

(~, ~r ) = (~ )³e

1a |~r 1

2~| + e

1a |~r+ 1

2~|´,

waarbij (~ ) voldoet aanµ

~2

2 2

~ 2~ + Vprot ( )

¶(~) = E (~) , (5-69)

met Vprot ( ) =e2+ E ,+.

In de navolgende guur staat Vprot ( ) (uitgedrukt in de eenheid eV) uitgezetals functie van a .

-16

-14

-12

-10

-8

0 2 4 6 8 10

150

k) i) Beargumenteer waarom op grond van de berekeningen tot nu toe hetbestaan van een stabiel H+2 -molecule te verwachten is.

ii) Geef een schatting van de energie die nodig is om het H+2 -moleculeuiteen te laten vallen in een waterstofatoom en een los proton.

iii) Geef een schatting van de energie die nodig is om het H+2 -moleculeuiteen te laten vallen in een los elektron en twee losse protonen.

We gaan nu over tot een zeer ruwe bestudering van de proton-beweging, onderandere om een kwalitatief inzicht te krijgen in de voor een molecule typischevibratie- en rotatie-niveaus.Daar Vprot ( ) bolsymmetrisch is, zijn de oplossingen van (5-69) zoals gebruike-lijk van de vorm:

(~) =U ( )

YL,ML ( , ) ,

waarbij U ( ) voldoet aan:µ

~2

2 2

d2

d 2+L (L+ 1) ~2

2 22

+ Vprot ( )

¶U ( ) = EU ( ) . (5-70)

Om van deze vergelijking benaderde oplossingen te vinden, gaan we de totale

e ectieve potentiaalL (L+ 1) ~2

2 22

+ Vprot ( ) benaderen. Zij nu 0 de waarde

van waarvoor de totale e ectieve potentiaal minimaal is.

l) Leg uit waarom we de totale e ectieve potentiaal kunnen benaderen als:

L (L+ 1) ~2

2 22

+ Vprot ( ) =L (L+ 1) ~2

2 220

+ Vprot ( 0) +

+ 22

2( 0)

2 + O ( 0)3 , waarbij

=

rk

2+ 3L(L+1)~2

2240

; k = V 00prot ( 0) .

Er geldt overigens dat de centrifugaaltermL (L+ 1) ~2

2 22

verwaarloosbaar is ten

opzichte van Vprot ( ) voor a (en voor niet al te grote waarden van L). Dit

is in te zien door de centrifugaalterm te schrijven als: 3

2 2

L (L+ 1)a e2

, en te

bedenken dat 3

2 2

' me

mp' 1

2000. Uit de voorgaande guur zien we dan dat

0 ' 2.5a. Een rechttoe, rechtaan berekening levert vervolgens op:

Vprot ( 0) ' 0.56e2

a;

k ' 0.062e2

a3.

151

Beschouw nu gol uncties die (voor niet te ver van 0) gegeven zijn door:

n,L,ML(~,~r ) =

1n ( 2, ; 0)YL,ML ( , )

³e

1a |~r 1

2~| + e

1a |~r+ 1

2~|´,

waarbij n ( , $; y) gedenieerd is als de eigenfunctie van een harmonischeoscillator met massa en hoekfrequentie $ bij eigenwaarde ~$

¡n+ 1

2

¢.

m) i) Ga na dat de n,L,ML(in benadering) eigenfuncties zijn van de Ha-

miltoniaan (5-59) bij de eigenwaarden (in benadering):

Vprot ( 0) + ~¡n+ 1

2

¢+ ~2

2 220L (L+ 1) '

e2

a

µ0.56 + 0.25

³3

2

´12 ¡n+ 1

2

¢+ 0.080 3

2L (L+ 1) + O

³3

2

´32

¶.

ii) Welke protonbeweging correspondeert met de n-afhankelijke niveausen welke met de L-afhankelijke niveaus?

iii) Schets het energiespectrum. Maak eerst een orde van grootte schat-ting van de drie bijdragen.

n) i) Ga na dat de expliciete vorm van de grondtoestandsfunctie als volgtis (in benadering): (~,~r ) '

' 1µexp

µ0.12

q2

3

³0

a

´2¶¶³e

1a |~r 1

2~| + e

1a |~r+ 1

2~|´.

(5-71)

ii) Ga na of voor deze grondtoestandsfunctie voldaan is aan de consis-tentie-eisen (5-63) voor de geldigheid van de benadering.

o) i) In (5-71) staat alleen het baandeel van de (benaderde) grondtoestandvan het H+2 -molecule.Geef nu de volledige toestand(en), dus inclusief spindeel.

ii) Beargumenteer dat in de grondtoestand het H+2 -molecule als geheeleen spin-12 deeltje is.

5.16 De WKB-methode

Tot nu toe hebben we twee methodes besproken om oplossingen van een eigen-waarde-probleem H | i = E | i te benaderen: storingsrekening en variatiereke-ning. In deze opgave beschouwen we nog een andere methode: de zogenaamdeWKB-methode. Deze methode is vooral geschikt om de hogere aangeslagenenergieniveaus goed te benaderen. We zullen de methode illustreren aan tweegevallen: een deeltje dat zich in één dimensie beweegt in een put-achtige po-tentiaal (zie de linker guur navolgend); een deeltje dat zich in drie dimensiesbeweegt in een bolsymmetrische, monotoon stijgende potentiaal (zie de rechterguur navolgend).

152

-

6

a b x

E

V (x)

-

6

a r0

E

V (r)

We beginnen met het één-dimensionale geval, en gaan voor het eigenwaarde-probleem

µ~2

2m

d2

dx2+ V

¶= E (5-72)

een oplossing zoeken van de volgende vorm:

(x) = ei~ S(x), (5-73)

met S een nader te bepalen complexwaardige functie. (Merk op dat altijd zogeschreven kan worden.)

a) Leid door invullen van (5-73) in (5-72) af dat S moet voldoen aan:

i~2m

S00 (x) +1

2m

¡S0 (x)

¢2+ V (x) E = 0. (5-74)

Het idee achter de WKB-methode is als volgt. Veronderstel dat S te ontwikkelenis als een machtreeks in ~:

S (x) = S0 (x) + ~S1 (x) + ~2 S2 (x) + · · · , (5-75)

en los hiermee (5-74) perturbatief op.

b) Vul (5-75) in (5-74) in, orden vervolgens het resultaat naar machten van~: (. . . ) ~0 + (. . . ) ~1 + · · · = 0, en stel tenslotte de coë ciënten van elkemacht van ~ gelijk aan 0. Laat zien dat de coë ciënten van ~0 en ~1

aanleiding geven tot de vergelijkingen:

1

2m

¡S00 (x)

¢2+ V (x) E = 0; (5-76)

S00 (x) S01 (x)

i

2S000 (x) = 0. (5-77)

S kan nu dus iteratief bepaald worden: uit (5-76) is S0 te bepalen; hiermee isvervolgens S1 uit (5-77) te bepalen; . . .

c) Leid af dat de oplossingen van (5-76) en (5-77) gegeven worden door:

S0 (x) = ±Z x

x0

dx0p2m {E V (x0)},

S1 (x) =i

4log |E V (x)| + C1,

met x0 een reële constante en C1 een complexe constante.

153

Hoewel de WKB-methode in principe verder doorgevoerd kan worden om S2,S3, . . . successievelijk te bepalen, wordt meestal volstaan met S0 en S1, dwz.,met gol uncties van de vorm:

(x) =

exp

µ± i~

xRdx0

p2m {E V (x0)}

¶

|E V (x)|14

. (5-78)

De rechtvaardiging van de WKB-methode is dat zulke gol uncties vrij goedebenaderingen zijn als voldaan is aan:

¯¯¯

~

m |E V (x)|32

dV

dx(x)

¯¯¯¿ 1.

In dat geval blijken namelijk de termen S2, S3, . . . verwaarloosbaar te zijn.Hieruit volgt dus dat de gol unctie (5-78) geen goede benadering is in de buurtvan de klassieke omkeerpunten: de punten x waarvoor geldt V (x) = E. Boven-dien volgt dat we kunnen verwachten dat de benadering beter wordt als we temaken hebben met een potentiaal die langzaam varieert en ook als we op zoekzijn naar hogere eigenwaarden.Op grond van het bovenstaande kunnen we nu voor de 1-dimensionale put-achtige potentiaal de vorm van een mogelijke eigenfunctie bij eigenwaarde Econstrueren. Om de formules overzichtelijk te houden, voeren we eerst de vol-gende functies in:

k (x)def=p2m {E V (x)};

(x)def=p2m {V (x) E}.

Merk op dat k (x) voor a < x < b een positief reëel getal is, en (x) voor x < aen x > b. Hierbij zijn a en b de klassieke omkeerpunten die horen bij de energieE (zie de linker guur op pagina 168).In termen van k (x) en (x) geldt voor de vorm van een mogelijke eigenfunctiebij eigenwaarde E (ga dit na!):

�• in het gebied links van a, maar niet te dicht bij a:

(x) =A+ exp

µ+ 1~

aRxdx0 (x0)

¶+ A exp

µ1~

aRxdx0 (x0)

¶

(x); (5-79)

�• in het gebied tussen a en b, maar ver genoeg van zowel a als b:

(x) =B+ exp

µ+ i~

xRadx0 k(x0)

¶+ B exp

µi~

xRadx0 k(x0)

¶

k(x); (5-80)

�• in het gebied rechts van b, maar niet te dicht bij b:

(x) =C+ exp

Ã+ 1~

xR

b

dx0 (x0)

!+ C exp

Ã1~

xR

b

dx0 (x0)

!

(x). (5-81)

154

Wat we nu nog moeten doen is de randvoorwaarden opleggen. De eis dat degol unctie overal begrensd moet zijn, levert onmiddellijk op dat moet gelden:A+ = C+ = 0. Verder is er nog de eis dat de gol unctie overal continu di e-rentieerbaar moet zijn. Daar de gol unctie in de buurt van a en b niet gegevenwordt door (5-79), (5-80) of (5-81), valt niet eenvoudig af te leiden welke con-dities deze eis oplevert.Met behulp van een vrij ingewikkelde mathematische procedure, kan echterhet volgende aangetoond worden. Als een oplossing op enige afstand links van

een klassiek omkeerpunt gegeven wordt door:exp

µ1~

aRxdx0 (x0)

¶

(x), dan wordt de

oplossing op enige afstand rechts ervan gegeven door:2 cos

µ1~

xRadx0 k(x0)

4

¶

k(x). Dit

wordt gangbaar genoteerd als een zogenaamde connectieformule:

exp

µ1~

aRxdx0 (x0)

¶

(x)

2 cos

µ1~

xRadx0 k(x0)

4

¶

k(x).

Analoog geldt de volgende connectieformule:

2 cos

Ã1~

bRxdx0 k(x0)

4

!

k(x)

exp

Ã1~

xR

b

dx0 (x0)

!

(x).

In het onderhavige geval volgt hieruit dat voor alle x zodanig dat a < x < b,en zodanig dat x ver genoeg verwijderd is van zowel a als b, moet gelden:

A cos

µ1~

Z x

adx0 k

¡x0¢

4

¶= C cos

µ1~

Z b

xdx0 k

¡x0¢

4

¶. (5-82)

d) Leid af dat aan (5-82) alleen door alle x uit het middengebied (en vergenoeg van de klassieke omkeerpunten) voldaan kan worden als geldt:

Z b

adx0 k

¡x0¢=¡n+ 1

2

¢~, voor zekere n {0, 1, 2, . . . } , (5-83)

en dat dan C = ( 1)n A .

Hint: Voor nader te bepalen constanten D1 en D2 kan (5-82) ook geschre-ven worden als:

D1 cos

µ1~

Z x

adx0 k

¡x0¢

4

¶+ D2 sin

µ1~

Z x

adx0 k

¡x0¢

4

¶= 0.

Vanwege de onafhankelijkheid van de functies cos en sin, kan alleen maardoor alle y in een bepaald interval voldaan worden aan cos y+ sin y = 0als = = 0.

Uit (5-83) volgen de benaderingen van de energieniveaus volgens de WKB-methode. Bedenk immers dat de omkeerpunten a en b afhangen van de ener-

gie E: a(E) en b(E). Voor elke waarde van E isZ b(E)

a(E)dx0 k (x0) te bereke-

nen, en alleen die E-waarden waarbij de uitkomst¡n+ 1

2

¢~ is, voor zekere

n {0, 1, 2, . . . }, zijn volgens de WKB-methode benaderingen van de energie-eigenwaarden van de Hamiltoniaan.

155

We gaan nu verder met het drie-dimensionale geval. Voor een deeltje dat indrie dimensies beweegt in een bolsymmetrische, monotoon stijgende potentiaal,is met de WKB-methode een benadering te vinden van de ` = 0 energieniveaus(de energieniveaus waarbij bolsymmetrische eigenfuncties horen). Voor eenbolsymmetrische potentiaal en een bolsymmetrische gol unctie geldt immersdat het eigenwaarde-probleem H = E gegeven wordt door:

µ~2

2m

d2

dr2+ V

¶(r ) = E (r ) .

De functie (r ) voldoet dus in feite aan een 1-dimensionaal eigenwaarde-pro-bleem. (Bedenk echter wel dat r 0.)

e) Wat is volgens de WKB-methode de algemene vorm van een mogelijkeeigenfunctie (r) bij eigenwaarde E? Onderscheid hierbij het gebied openige afstand links van het klassieke omkeerpunt a = V 1 (E) en hetgebied op enige afstand rechts van dit klassieke omkeerpunt (zie de rechterguur op pagina 168).

f) Toon aan dat volgens de WKB-methode de energie-eigenwaarden E inhet onderhavige geval moeten voldoen aan:

Z V 1(E)

0dr0p2m {E V (r0)} =

¡n+ 3

4

¢~,

voor zekere n {0, 1, 2, . . . }.Hint: Leg eerst de randvoorwaarde voor r op, pas dan de relevanteconnectieformule toe, en leg tenslotte de randvoorwaarde voor r = 0 op.

5.17 Het waterstofatoom met de WKB-methode

In deze opgave gaan we de WKB-methode toepassen op het waterstofatoom.

In dat geval hebben we dus te maken met de Coulombpotentiaal V (r) =e2

r.

a) Laat zien dat we met de WKB-methode voor dit geval als benadering vande (negatieve) energieniveaus vinden:

En =me4

2~2¡n+ 3

4

¢2 , met n = 0, 1, 2, . . .

Hint: De integraal1R

0

dxq

1x 1 kan m.b.v. de substitutie x = cos2 be-

rekend worden.

b) Wat is het relatieve verschil tussen het met de WKB-methode bepaaldegrondniveau en het exacte grondniveau? Idem voor de aangeslagen ni-veaus.

Neemt het relatieve verschil toe of af voor de hoger gelegen niveaus? Kloptdit met wat u verwacht?

156

5.18 Harmonische oscillator met x-storingsterm

In deze opgave gaan we op verschillende manieren energieniveaus berekenenvan een 1-dimensionale harmonische oscillator met storingsterm ² ~m 3 �ˆx.De Hamiltoniaan wordt dus gegeven door:

H =�ˆp2

2m+m 2

2�ˆx2 + ² ~m 3 �ˆx.

Behalve als een oefening in elk van de benaderingsmethodes op zich, is de opgaveook bedoeld om de manier waarop de methodes zich tot elkaar verhouden teonderzoeken.

a) Bepaal met storingsrekening de energieniveaus tot op tweede orde in ².

b) Gebruik de methode van variatierekening om een benaderde uitdrukkingte vinden voor het grondniveau. Neem als probeer-gol uncties:

, (x) = ex2+ x, met > 0 en R.

Hint:Rdx e a x2+b x =

¡a

¢12 e

b2

4a . De overige relevante integralen zijn

hieruit door di erentiatie naar a en b te bepalen.

c) Bepaal de WKB-benadering van de energieniveaus.

Hint: De WKB-conditie op de energieniveaus leidt voor het onderhavigegeval tot een vergelijking die zich handig laat oplossen door de integraal

om te schrijven naar de vorm1R

1

dx 1 x2. Deze laatste integraal is

eenvoudig te bepalen door de functie 1 x2 te schetsen.

d) Bepaal de exacte energieniveaus.

Hint: Voer operatoren x en p in die aan de canonieke commutatierelatievoldoen en in termen waarvan H een eenvoudige gedaante heeft. (Zieopgave 5.3 voor een soortgelijk probleem.)

e) Vergelijk de antwoorden uit de onderdelen a) t/m d).

Bespreek de overeenkomsten en verschillen. Zijn deze zoals u vantevorenhad kunnen verwachten?

157

5.19 De methode van tijdsafhankelijke storingsreke-ning

Bij de methode van tijdsonafhankelijke storingsrekening ging het om het oplos-sen van de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking ofwel het eigenwaarde-probleem H | i = E | i. Bij de methode van tijdsafhankelijke storingsrekeningdie we in deze opgave bespreken, gaat het om het oplossen van de tijdsafhan-kelijke Schrödingervergelijking ofwel een beginwaarde-probleem:

i~d

dt| (t)i = H (t) | (t)i

| (0)i = | 0i(5-84)

De aanpak van beide methodes is vergelijkbaar. Net als een eigenwaardepro-bleem is ook een beginwaardeprobleem in het algemeen niet exact oplosbaar.In veel gevallen is het echter wel mogelijk de Hamiltoniaan H te splitsen in eentijdsonafhankelijk gedeelte waarvan de oplossing van het eigenwaarde-probleembekend is (H0), en een kleine, eventueel tijdsafhankelijke restterm:

H (t) = H0 + g V (t) .

H0 en V (t) zijn beide hermitische operatoren, die van dezelfde �‘orde van grootte�’zijn; g R is een kleine constante: |g| ¿ 1. H0 wordt vaak de ongestoordeHamiltoniaan genoemd, en g V (t) een storing op H0. Belangrijk is weer datwe de eigenwaarden n van de ongestoorde Hamiltoniaan H0 bekend kunnenveronderstellen, alsmede een volledig orthonormaal stelsel van bijbehorende ei-gentoestanden {| ni}, waarvoor dus geldt:

H0 | ni = n | ni ;h m| ni = m,n;X

n

| ni h n| = 1.

Daar de | ki een volledig orthonormaal stelsel vormen, kunnen we de oplossing| (t)i van de Schrödingervergelijking ontwikkelen als:

| (t)i =X

k

ck (t) ei~ kt | ki , (5-85)

waarbij de tijdsafhankelijke coë ciënten ck (t) nader te bepalen zijn.

a) Wat is de reden waarom in (5-85) alvast een tijdsafhankelijkheid ei~ kt

afgesplitst is?

Hint: Hoe ziet volgens opgave 1.12 de algemene oplossing van de Schrö-

dingervergelijking i~d

dt| (t)i = H0 | (t)i eruit?

158

b) Leid door invullen van (5-85) in (5-84) af dat ck moet voldoen aan hetbeginwaarde-probleem:

dckdt(t) = i

~ gP

jcj (t) e

i~ ( k j)t h k|V (t)

¯j

®;

ck (0) = h k| 0i .

(5-86)

Net als bij de methode van tijdsonafhankelijke storingsrekening, is de strategievan de methode van tijdsafhankelijke storingsrekening

�— dat we niet slechts gaan proberen één probleem op te lossen maar eenheleboel tegelijk door de constante g te vervangen door een variabelestoringsparameter R;

�— dat we de betre ende oplossing proberen te vinden in de vorm vaneen machtreeks in , in dit geval:

ck (t) = c(0)k (t) + c

(1)k (t) + 2 c

(2)k (t) + · · · (5-87)

c) Leid af dat de c(m)k moeten voldoen aan de volgende beginwaardeproble-men:

dc(0)k

dt(t) = 0 ;

c(0)k (0) = h k| 0i ,

en voor m = 1, 2, . . . :

dc(m)k

dt(t) = i

~

X

j

c(m 1)j (t) e

i~ ( k j)t h k|V (t)

¯j

®;

c(m)k (0) = 0.

d) Beargumenteer waarom we nu een systematische procedure gevonden heb-ben om de oplossing van het oorspronkelijke beginwaardeprobleem (5-84),met H (t) = H0 + gV (t), willekeurig dicht te benaderen.

5.20 De Gulden Regel van storingsrekening

In deze opgave passen we de methode van tijdsafhankelijke storingsrekening toeom de zogenaamde Gulden Regel van storingsrekening af te leiden. Beschouwhet geval dat we te maken hebben met een ongestoorde Hamiltoniaan H0 eneen tijdsonafhankelijke storing gV . Het eigenwaarde-probleem behorend bij H0veronderstellen we opgelost:

H0 | ki = k | ki .

159

Op tijdstip t = 0 bevindt het systeem zich in de eigentoestand | ii van deongestoorde Hamiltoniaan:

i~d

dt| (t)i = (H0 + gV ) | (t)i

| (0)i = | ii

a) Toon met behulp van eerste-orde tijdsafhankelijke storingsrekening aandat de waarschijnlijkheid Pk i (t) voor een overgang van toestand | ii optijdstip 0 naar een toestand | ki op tijdstip t behorend bij een andereenergie-eigenwaarde ( k 6= i) gegeven wordt door:

Pk i (t) =4g2 |Vki|2

~2sin2

¡12 kit

¢

2ki

+O¡g3¢, waarbij

ki =k i

~, en Vki = h k|V | ii .

b) Beargumenteer dat zich voor grote waarden van t vrijwel alleen maarovergangen voordoen naar toestanden behorend bij energiewaarden in eenband met een breedte van de orde ~

t om i.

Hint: Ga na dat de functies ft, gedenieerd door:

ft ( )def=

sin2¡12 t

¢

2,

voor toenemende t steeds scherper gepiekt zijn rond = 0. Geef dehoogte van de piek en maak een schatting van de breedte.

We veronderstellen dat de energie-eigenwaarden van H0 zeer dicht bij elkaarliggen (in ieder geval in de buurt van i), zodat we e ectief van een toestands-dichtheid kunnen spreken. Onder (E) dE verstaan we het aantal (onafhanke-lijke) eigentoestanden van H0 met een energie-eigenwaarde in een intervalletjeter grootte dE om de waarde E.We proberen nu een uitdrukking af te leiden voor de waarschijnlijkheid Pk i,

van een overgang vanuit | ii op tijdstip 0 naar van | ii verschillende eigentoe-standen op tijdstip t die behoren bij een energie in een band om k.

c) Beargumenteer dat voor tÀ ~ en voor | i k| & geldt: Pk i, ' 0.

d) Toon aan dat voor tÀ ~ , | i k| ¿ en voldoend kleine geldt:

Pk i, (t) = 4g2 |Vki|2 ( k)

Zk+ 2

k 2

dEsin2

³E i2~ t

´

(E i)2 =

=4g2 |Vki|2 ( k)

~

Zki+ 2~

ki 2~

dsin2

¡12 t

¢

2' 2 g2

~|Vki|2 ( k) t.

Gegeven:Z

dxsin2 x

x2= .

160

Het resultaat uit de onderdelen c) en d) is het eerst afgeleid door Dirac. Gang-baar wordt het niet geformuleerd in termen van de overgangswaarschijnlijk-heid Pk i, , maar in termen van de overgangswaarschijnlijkheid per tijdseenheidWk i:

Wk i (t) =2 g2

~|Vki|2 ( k) , waarbij k ' i.

Op deze manier geformuleerd heeft Fermi dit resultaat de Gulden Regel vanstoringsrekening genoemd, omdat het zo vaak wordt toegepast binnen quan-tummechanische redeneringen. In opgave 6.6 zullen we zo�’n toepassing zienbinnen de context van verstrooiingstheorie.

5.21 Een harmonische oscillator met een tijdsafhan-kelijke storingsterm

Deze opgave is puur een toepassing van de methode van tijdsafhankelijke sto-ringsrekening: op een 1-dimensionale harmonische oscillator H0 met hoekfre-quentie en massa m, met daaraan toegevoegd een storing:

g

qm3 5

~ �ˆx3 cos 0t = 12g

qm3 5

~ �ˆx3³ei

0t + e i 0t´, met 0 / {± ,±3 } .

Gegeven is dat het deeltje zich op tijdstip t = 0 in de grondtoestand van deharmonische oscillator bevindt.

a) Bepaal de oplossing van de Schrödingervergelijking tot en met de eersteorde in g.

Hint: Ter ondersteuning geven we een tussenresultaat (dat u zelf nog dientaf te leiden):

dc(1)k

dt(t) = i 2

8

³3 k,1 + 6 k,3

´nei(k + 0)t + ei(k

0)to.

b) Bereken, tot en met de tweede orde in g, de kans dat het deeltje zich inde grondtoestand van de harmonische oscillator bevindt.

Hint: Er is een manier om dit te berekenen zonder eerst de toestand toten met de tweede orde in g te bepalen.

5.22 Een instantane verandering van een harmoni-sche potentiaal

Ook deze opgave heeft op zich weinig fysische relevantie, en is puur een oefe-ning met de methode van tijsafhankelijke storingsrekening. We beschouwen eendeeltje in een 1-dimensionale harmonische potentiaal. Op t = 0 wordt de hoek-frequentie instantaan veranderd van 1 naar 2 = 1 1 + g , met 0 g ¿ 1.

161

De Hamiltoniaan wordt dus gegeven door:

H =H1

def= 1

2m �ˆp2 +

m 212 �ˆx2, voor t < 0,

H2def= 1

2m �ˆp2 +

m 222 �ˆx2 = 1

2m �ˆp2 +

m 212 �ˆx2 + g

m 212 �ˆx2, voor t > 0.

Verder is gegeven dat het deeltje zich voor t 0 bevindt in de stationairetoestand die hoort bij het grondniveau van H1:

| (t)i = e12i 1t | 0i .

a) Beschouw gm212 �ˆx2 als een storingsterm, en pas voor t > 0 tijdsafhanke-

lijke storingsrekening toe. Laat zien dat tot op eerste orde in g de toestandvoor t > 0 gegeven wordt door:

| (t)i =¡1 i

4g 1t¢e

12i 1t | 0i 2

8 g³e

12i 1t e

52i 1t´| 2i +

+ O¡g2¢, (5-88)

met {| ki} de verzameling van eigentoestanden van H1, waarvoor dusgeldt: H1 | ki = ~ 1

¡k + 1

2

¢| ki.

Hint: Indien u weet hoe u dit zelf uit zou kunnen rekenen, kunt u gebruikmaken van:

h k| �ˆx2 | 0i = ~2m 1

³k,0 + 2 k,2

´.

b) Beredeneer dat de verwachtingswaarde van de energie voor t > 0 behou-den is: h (t)|H2 | (t)i = h (0)|H2 | (0)i.Bepaal vervolgens die verwachtingswaarde, en laat zien dat deze voorg > 0 groter is dan 1

2~ 2 (het grondniveau van H2).

c) Laat met behulp van (5-88) expliciet zien dat h (t)|H2 | (t)i tot opeerste orde in g gelijk is aan de bij onderdeel b) gevonden waarde.

Wat kunt u op grond van onderdeel b) concluderen betre ende de hogereorde termen?

Het probleem van de instantane verandering van 1 naar 2 kan ook exactopgelost worden, door voor t > 0 de toestand van het deeltje te ontwikkelen inde eigentoestanden | ki van H2. Voor de toestanden | ki geldt dus: H2 | ki =~ 2

¡k + 1

2

¢| ki. Merk op dat de bases {| ki} en {| ki} verschillend zijn.

d) Geef een uitdrukking voor de exacte toestand op t > 0.

e) Welke mogelijke waarden kunnen voor t > 0 gevonden worden bij eenmeting van de energie?

Geef een uitdrukking voor de kans op elk van die waarden.

162

f) Bereken expliciet de kans om de laagst mogelijke energiewaarde te meten.

Als 1 = 2 (g = 0) blijkt deze kans 1 te zijn. Kunt u dat verklaren?

Hint: In opgave 1.8 is aangetoond:

hx| 0i =¡m 1~

¢14 e

m 12~ x2 ;

hx| 0i =¡m 2~

¢14 e

m 22~ x2 .

Verder geldt:Rdx e x2 =

p.

g) Beredeneer nu nogmaals dat voor g 6= 0 de verwachtingswaarde van deenergie voor t > 0 groter is dan 1

2~ 2.

5.23 Samenvatting

Het belangrijkste uit dit hoofdstuk is natuurlijk dat er verschillende benade-ringsprocedures zijn met onderscheiden toepassingscriteria. Deze proceduresdient u op hoofdlijnen te kennen en te kunnen toepassen. Verder dient u teweten in welke situaties welke methode het best te gebruiken is.

163

164

Deel 6

Verstrooiingstheorie

Een belangrijke toepassingscontext van quantummechanica is die van verstrooi-ing. Hierbij valt een bundel deeltjes in op een materiaal of een andere bundeldeeltjes. De interactie van de deeltjes met het materiaal of met de deeltjes uitde andere bundel kunnen we vaak voorstellen door een bepaalde potentiaal.De aannames over zo�’n potentiaal kunnen getoetst worden door de berekendeoplossing van het verstrooiingsprobleem te vergelijken met het experiment. Hetbepalen van de oplossing van een verstrooiingsprobleem komt neer op het op-lossen van de Schrödingervergelijking met voor verstrooiing specieke fysischerandvoorwaarden.Bij Quantummechanica 1 heeft u de basistechnieken voor het oplossen vanéén-dimensionale verstrooiingsproblemen reeds leren kennen. Daarbij heeft uook voor enkele voorbeelden reectie- en transmissie-coë ciënten bepaald, watvoor één-dimensionale verstrooiingsproblemen de grootheden zijn waardoor eenlink met het experiment te maken is. In aansluiting op deze één-dimensionaleverstrooiingsproblemen, komen in dit deel onder meer de volgende onderwerpenaan de orde.

�• De centrale begrippen van verstrooiingstheorie in drie dimensies.Daarbij worden uitgaande bolgolven en de grootheid �‘verstrooiingsam-plitude�’ behandeld, en tevens wordt een relatie gelegd met empirisch tebepalen (di erentiële) werkzame doorsneden.

�• De methode van partiële golfanalyse.Deze methode, ook wel de Faxen-Holtzmark methode genoemd, wordtgepresenteerd als een algemene aanpak van verstrooiingsproblemen in driedimensies. De methode wordt toegepast op verstrooiing aan harde bollen.

�• De perturbatieve aanpak van verstrooiingsproblemen.Hierbij wordt de Lippmann-Schwinger vergelijking behandeld, en de Born-reeks als oplossing daarvan. Van de eerste-orde term uit deze reeks wordtook een alternatieve aeiding gegeven met behulp van de Gulden Regelvan storingsrekening.

In Sakurai zijn de betre ende stukken te vinden in de paragrafen 7.1�—7.3, 7.5�—7.8.

165

6.1 Verstrooiing van spin-12 deeltjes in één dimensie

In deze opgave halen we de theorie van 1-dimensionale verstrooiing op die uin Quantummechanica 1 heeft leren kennen. Wat er hier extra aan toegevoegdwordt, is dat het verstrooiing van een spin-12 deeltje betreft. Beschouw dus eenspin-12 deeltje dat zich in slechts één dimensie kan bewegen (langs de x-as), endat beweegt onder de invloed van een gelokaliseerd magneetveld (in de richtingvan de positieve z-as).

-6 6 6 6

x0 a

~B

6z

De Hamiltoniaan van het deeltje wordt dus gegeven door, met B > 0 de groottevan het magneetveld:

H =~2

2m

d2

dx2+ V (x) , met

V (x) =

0, voor x < 0;

eB

mcSz, voor 0 < x < a;

0, voor x > a.

We gaan nu van de Schrödingervergelijking i~ ddt | (t)i = H | (t)i een oplossingbepalen, die fysisch geïnterpreteerd kan worden als de toestand die ontstaatwanneer een vrije deeltje met impuls ~k van links invalt en verstrooid wordt aande potentiaal V . Zoals zal blijken, is deze oplossing een stationaire toestand diehoort bij een specieke eigentoestand van H bij energie E = ~2k2

2m . We beginnendaarom met de vergelijking H | i = E | i te bestuderen. We beschouwen hetgeval dat voor de energie van de inkomende deeltjes geldt: E > e~B

2mc .

a) Laat zien dat wanneer nog geen randvoorwaarden opgelegd worden, dealgemene oplossing van de vergelijking H | i = E | i gegeven wordt door(t.o.v. de basis {| i , | i}):

(x) =

eikxµA1A2

¶+ e ikx

µB1B2

¶, voor x < 0,

µC1 e

ik1x +D1 eik1x

C2 eik2x +D2 e

ik2x

¶, voor 0 < x < a,

eikxµE1E2

¶+ e ikx

µF1F2

¶, voor x > a,

(6-1)

met k1def=q

2m~2¡E e~B

2mc

¢; k2

def=q

2m~2¡E + e~B

2mc

¢.

166

b) Welke randvoorwaarden moeten in ieder geval opgelegd worden aan eenfysische oplossing?

c) Beargumenteer dat de oplossing (6-1) eenduidig bepaald is, wanneer daar-enboven nog de randvoorwaarden A1 = A2 =

12 2 en F1 = F2 = 0

opgelegd worden. (U hoeft deze oplossing hier niet expliciet te bepalen.)

Zij E (x) de unieke fysische oplossing van H | i = E | i met de extra rand-voorwaarden A1 = A2 =

12 2 en F1 = F2 = 0. Beschouw dan de stationaire

toestand (x, t) behorend bij E (x):

(x, t)def= E (x) e

i~Et.

d) Laat zien dat (x, t) voldoet aan de Schrödingervergelijking (in de plaats-representatie).

e) Beargumenteer waarom de fysische interpretatie van (x, t) als volgt is:De toestand die ontstaat wanneer deeltjes met energie E en zodanig ge-prepareerd dat hun spin in de positieve x-richting wijst, van links invallenen verstrooid worden aan de potentiaal V .

Wat is dan de fysische interpretatie van |B1|2, |B2|2, |E1|2 en |E2|2 ?

Beschouw nu de situatie die ontstaat wanneer de deeltjes van links invallen,weer met energie E > e~B

2mc maar dit keer zodanig geprepareerd dat hun spin inde positieve z-richting wijst, en verstrooid worden aan de potentiaal V .

f) Welke extra randvoorwaarden moeten nu opgelegd worden aan (6-1) ?

g) Wat is de kans om bij meting van Sz de waarde 12~ te vinden? Maakt

het nog uit waar die meting gedaan wordt?

6.2 Werkzame lengtes en doorsneden

In één-dimensionale verstrooiingsproblemen zijn reectie- en transmissie-coë -ciënten de relevante empirische grootheden. In het meer-dimensionale geval isniet slechts voor- en achterwaartse verstrooiing mogelijk, maar verstrooiing naareen continuüm aan richtingen. Het centrale empirische begrip daarbij is dat vaneen werkzame lengte (voor verstrooiing in twee dimensies) of werkzame door-snede (voor verstrooiing in drie dimensies). Deze opgave is bedoeld om u eniggevoel te geven voor deze grootheden. Daartoe beginnen we met een klassiektwee-dimensionaal verstrooiingsprobleem, namelijk verstrooiing aan een hardeschijf met straal a.

a

167

Beschouw dus een bundel invallende deeltjes. We veronderstellen dat de deeltjeszeer veel kleiner en lichter zijn dan de schijf en dat ze perfect elastisch botsenmet de schijf. Er geldt dan dus dat de schijf zelf niet van positie verandert,terwijl voor een botsend deeltje de hoek van inval gelijk is aan de hoek vanterugkaatsing.Het is duidelijk dat sommige van de invallende deeltjes ongehinderd doorgaan,terwijl andere verstrooid worden. Verder is het duidelijk dat de vraag of, en zoja naar welke hoek, een deeltje verstrooid wordt afhangt van de vraag of, en zoja op welke hoogte, het met de schijf botst.

a) Toon aan dat een deeltje verstrooid wordt naar de hoek (gemeten tenopzicht van de invallende bundel) als het invalt op een hoogte a cos 12(gemeten ten opzichte van de horizontale lijn door het middelpunt van deschijf).

Een werkzame lengte is een maat om aan te geven hoeveel er in welke richtingverstrooid wordt. Meer precies, onder de werkzame lengte ( ; ) voorverstrooiing naar een hoek in een interval om de hoek , verstaan we debreedte van de bundel waarin zich de deeltjes bevinden die verstrooid wordennaar een hoek in het interval om .

Onder de di erentiële werkzame lengte verstaan we dand

d(= lim

0). On-

der de totale werkzame lengte verstaan we de breedte van de bundel bestaandeuit alle deeltjes die verstrooid worden.

b) Wat is de totale werkzame lengte voor verstrooiing aan de schijf?

c) Toon aan dat de di erentiële werkzame lengte voor verstrooiing aan deschijf gegeven wordt door:

d

d( ) = 1

2a sin12 .

d) Wat is de relatie tussen de totale en de di erentiële werkzame lengte?

168

Ter verdere oefening van de begrippen, beschouwen we nog een voorbeeld, name-lijk klassieke twee-dimensionale verstrooiing van relatief kleine en lichte deeltjesaan een hard vierkant met zijde a.

a

e) Bepaal de di erentiële en totale werkzame lengte voor dit geval.

Het idee van een werkzame lengte laat zich gemakkelijk generaliseren naar ver-strooiing in drie dimensies. Onder de werkzame doorsnede ( , ; , )voor verstrooiing naar een richting

¡ 0, 0¢ met 0 in een interval om en0 in een interval om , verstaan we de grootte van het oppervlak loodrechtop de invallende bundel waar de deeltjes doorheen gaan die verstrooid wordennaar een richting

¡ 0, 0¢ in het genoemde interval om de richting ( , ). De

di erentiële werkzame doorsnede wordt gegeven door:d

d= lim

, 0, met

= sin . De totale werkzame doorsnede is de grootte van het op-pervlak loodrecht op de invallende bundel waar de deeltjes doorheen gaan dieverstrooid worden. De relatie met de di erentiële werkzame doorsnede is:

=

Zd

d

d( , ) =

Z 2

0d

Z

0d sin

d

d( , ) . (6-2)

Er volgt nu een oefening met deze begrippen voor het geval van klassieke drie-dimensionale verstrooiing van relatief kleine en lichte deeltjes aan een harde bolmet straal a

f) i) Wat is de totale werkzame doorsnede voor dit geval?ii) Denieer de z-as als de as die door het centrum van de bol gaat en

parallel is aan de invallende bundel.Ga na dat een deeltje verstrooid wordt naar de richting ( , ) als hetinvalt met de (x, y)-coördinaat

¡a cos 12 cos , a cos 12 sin

¢.

iii) Bepaal de di erentiële werkzame doorsnede voor dit geval en ga nadat aan (6-2) voldaan is.

g) Verwacht u dat de totale werkzame doorsnede voor quantummechanischeverstrooiing aan een harde bol groter of kleiner is dan de klassieke waarde?Licht uw antwoord toe.

Hint: Bedenk dat we de inkomende deeltjes quantummechanisch kunnenvoorstellen als de Broglie golven.

Opmerking: In opgave 6.5 zullen we de werkzame doorsnede van quan-tummechanische verstrooiing aan een harde bol expliciet bepalen, nadatwe in de tussenliggende opgaven technieken voor die bepaling ontwikkeldhebben.

169

6.3 Een vrij deeltje in drie dimensies

Analoog aan verstrooiing in één dimensie, zijn we ook bij verstrooiing in drie di-mensies op zoek naar een oplossing van de Schrödingervergelijking i~ ddt | (t)i =H | (t)i die fysisch geïnterpreteerd kan worden als de toestand die ontstaatwanneer een vrij deeltje met impuls ~~k invalt en verstrooid wordt aan een poten-tiaal V (~r ) met een eindige dracht. Verder proberen we die oplossing, analoogaan het 1-dimensionale geval, te vinden in de vorm van de stationaire toestanddie hoort bij een specieke oplossing van de vergelijking H | i = ~2k2

2m | i, metk =

¯¯~k¯¯.

Als mathematische voorbereiding op een nadere fysische bestudering van ver-strooiing in drie dimensies in opgave 6.4, bestuderen we in deze opgave devergelijking

µ~2

2m~ 2 + V (~r )

¶=~2k2

2m

voor een potentiaal met een eindige dracht. Om de discussie te vereenvoudigen,zullen we aannemen dat de potentiaal verdwijnt voor r = |~r | R. (De resulta-ten die we hieronder vinden blijken overigens onverminderd te gelden wanneerde potentiaal maar snel genoeg naar 0 nadert voor r .) Voor r R hebbenwe in feite te maken met de vrij-deeltje Hamiltoniaan:

~2

2m~ 2

k =~2k2

2m k. (6-3)

We gaan de algemene oplossing van deze vergelijking nu in bolcoördinaten be-palen. We weten al dat k (~r ) een lineaire combinatie is van termen van devorm:

Rk,` (r)Y`,m ( , ) ,

waarbij de Rk,` voldoen aan (zie opgave 2.7):µd2

dr2+ k2

` (`+ 1)

r2

¶(rRk,`) = 0. (6-4)

De oplossingen van deze vergelijking zijn te geven in termen van de zogenoemdesferische Besselfuncties j` en sferische Neumannfuncties n`. Deze zijn als volgtgedenieerd:

j` (u) =X

k=0

( 1)k 2` (k + `)!

k! {2 (k + `) + 1}!u2k+`;

n0 (u) =X

k=0

( 1)k+1

(2k)!u2k 1;

n` (u) =X

k=0

( 1)k+`+1 (2k 1) (2k 3) · · · (2k (2` 1))

(2k)!u2k (`+1),

waarbij de laatste uitdrukking geldt voor ` 1.

170

a) Toon aan dat twee onafhankelijke oplossingen van (6-4) gegeven wordendoor R(1)k,` (r) = j` (kr) en R

(2)k,` (r) = n` (kr).

De sferische Bessel- en Neumann-functies zijn overigens uit te drukken in ver-trouwde functies.

b) i) Toon aan dat geldt:

j0 (u) =sinu

u; n0 (u) =

cosu

u. (6-5)

ii) Toon aan dat sferische Bessel- en Neumann-functies van hogere ordeals volgt zijn uit te drukken in die van lagere orde:

j`+1 (u) =`

uj` (u) j0` (u) ; n`+1 (u) =

`

un` (u) n0` (u) . (6-6)

iii) In principe zijn alle sferische Bessel- en Neumannfuncties nu expliciette bepalen. Ga bv. na dat geldt:

j1 (u) =1u cosu+

1u2sinu; j2 (u) =

¡1u

3u3

¢sinu 3

u2cosu;

n1 (u) =1u sinu

1u2cosu; n2 (u) =

¡1u

3u3

¢cosu 3

u2sinu.

In berekeningen zullen we vaak het asymptotisch gedrag van de Bessel- enNeumann-functies voor u 0 en voor u nodig hebben.

c) i) Toon m.b.v. de reeksontwikkelingen aan dat voor u 0 geldt:

j` (u) = 2``!(2`+1)!u

`¡1 +O

¡u2¢¢;

n` (u) = (2`)!2``!u (`+1)

¡1 +O

¡u2¢¢.

Opmerking: De sferische Besselfuncties zijn dus regulier in u = 0,maar de sferische Neumannfuncties niet.

ii) Toon m.b.v. volledige inductie aan dat voor u geldt:

j` (u) = 1u sin

¡u `

2

¢+O

¡1u2

¢;

n` (u) = 1u cos

¡u `

2

¢+O

¡1u2

¢.

Maak daarbij gebruik van (6-5) en (6-6).

Wanneer we nu terugkeren naar (6-3), dan wordt de algemene oplossing daarvanvoor r R dus gegeven door:

k (~r ) =X

`=0

X

m= `

{A`m (k) j` (kr) +B`m (k)n` (kr)}Y`,m ( , ) .

d) Ga na dat de algemene oplossing van (6-3) voor r een hoekafhanke-lijke lineaire combinatie is van een uitgaande en een inkomende bolgolf :

k (~r )r' g+ (k, , )

e+ikr

r+ g (k, , )

e ikr

r, (6-7)

met g+ en g willekeurig.

171

6.4 Verstrooiing in drie dimensies

We hervatten nu de aanpak van drie-dimensionale verstrooiing aan een poten-tiaal met eindige dracht. Deze aanpak is bedacht door Faxen en Holtzmarkbinnen de theorie van het elektromagnetisme (verstrooiing van licht), en wordtook wel de methode van partiële golfanalyse genoemd.We zijn op zoek naar een stationaire toestand die hoort bij een specieke oplos-sing van de vergelijking H | i = ~2k2

2m | i. We hebben al gezien dat in het gebiedr R waar de potentiaal verdwijnt de algemene oplossing van H | i = ~2k2

2m | igegeven wordt door:

k (~r ) =X

`=0

X

m= `

{A`m (k) j` (kr) +B`m (k)n` (kr)}Y`,m ( , ) . (6-8)

Net als in het 1-dimensionale geval moet deze algemene oplossing nader gespe-ciceerd worden door twee soorten randvoorwaarden op te leggen. De rand-voorwaarden van de eerste soort kunnen we regulariteitsvoorwaarden noemen,en komen erop neer dat de oplossing begrensd moet zijn en in het buitenge-bied op de juiste manier moet aansluiten op de oplossing in het gebied waarde potentiaal niet verdwijnt. In het 1-dimensionale geval dat in opgave 6.1behandeld is, kwamen die regulariteitsvoorwaarden erop neer dat de oplossingcontinu di erentieerbaar moet zijn in de punten x = 0 en x = a. Dit leverdeacht vergelijkingen op. Vier van die vergelijkingen konden gebruikt wordenom de coë ciënten uit het gebied waar de potentiaal niet verdwijnt (de Cien Di) te elimineren, en dan resulteerden nog vier relaties waaraan voldaanmoet worden door de coë ciënten uit het gebied waar de potentiaal verdwijnt(de Ai, Bi, Ei en Fi). Naar analogie zullen de regulariteitsvoorwaarden in hetdrie-dimensionale geval neerkomen op een aantal relaties tussen de coë ciën-ten uit het gebied waar de potentiaal verdwijnt (de A`m (k) en B`m (k)). Hoedie relaties er precies uit zien kan in het algemeen niet gezegd worden, omdatdit afhangt van de specieke potentiaal waarmee we te maken hebben. Formeelkunnen we deze met de regulariteitsvoorwaarden samenhangende relaties echterschrijven als:

Fj (A`m (k) , B`m (k) , `,m, k) = 0. (6-9)

Behalve deze gebruikelijke regulariteitsvoorwaarden zijn er ook nog randvoor-waarden die speciek te maken hebben met de verstrooiingscontext. In het1-dimensionale geval dat in opgave 6.1 behandeld is, kwamen die verstrooi-ingsvoorwaarden erop neer dat vastgelegd werd wat de spintoestand van deinkomende deeltjes was (specicatie van A1 en A2), en dat geëist werd dater geen teruglopende golf in het gebied rechts van de potentiaal mocht zijn(F1 = F2 = 0). De regulariteits- en verstrooiingsvoorwaarden tezamen legdende oplossing eenduidig vast.Voor het 3-dimensionale geval nemen we gemakshalve aan dat we te makenhebben met spin-0 deeltjes. Verder kiezen we de z-as zodanig dat de deeltjeslangs de positieve z-as invallen.

172

a) Beargumenteer dat de verstrooiingsvoorwaarden voor het 3-dimensionalegeval erop neerkomen dat de coë ciënten A`m (k) en B`m (k) zodanigmoeten zijn dat het asymptotisch gedrag voor r in plaats van dealgemene vorm (6-7) meer speciek de volgende vorm heeft:

eikz + f (k, , )eikr

r. (6-10)

Geef in uw argumentatie de fysische gronden aan waarom we in dit asymp-totisch gedrag de term eikz eisen en waarom we dan behalve een term

van de vorm f (k, , )eikr

rniet ook nog een term toelaten van de vorm

h (k, , )e ikr

r.

Net zoals de fysisch relevante grootheden voor het in opgave 6.1 behandelde1-dimensionale geval, de reectie- en transmissie-coë ciënten, uit te drukkenwaren in de coë ciënten van de naar buiten bewegende golven (B1, B2, E1, E2),zo zijn de voor het 3-dimensionale geval fysisch relevante grootheden, zoals dedi erentiële en totale werkzame doorsnede, uit te drukken in de hoekafhankelijke

coë ciënt van de uitgaande bolgolfeikr

r: de zogenaamde verstrooiingsamplitude

f (k, , ). We zullen daar later op ingaan.We gaan nu eerst na wat de voorwaarde (6-10) impliceert voor de coë ciëntenA`m (k) en B`m (k), door ook de hoekafhankelijkheid van de twee termen in(6-10) te ontwikkelen in termen van bolfuncties.

b) Beargumenteer waarom er coë ciënten C` (k) moeten zijn zodanig dat:

eikz =X

`=0

C` (k) j` (kr)Y`,0 ( ) . (6-11)

Hint: Let op de -afhankelijkheid.

Opmerking: Een meer precieze analyse levert: C` =p4 (2`+ 1) i`, en

dus de zogenaamde formule van Bauer:

eikz =X

`=0

p4 (2`+ 1) i`j` (kr)Y`,0 ( ) . (6-12)

Wanneer we ook de (nog onbekende) verstrooiingsamplitude in bolfuncties ont-wikkelen (wat natuurlijk altijd kan), krijgen we:

f (k, , ) =X

`=0

X

m= `

f`m (k)Y`,m ( , ) , (6-13)

waarbij de (nog onbekende) f`m (k) partiële golfamplitudes heten.

173

c) Ga na dat uit de verstrooiingsvoorwaarde (6-10) volgt dat moet gelden:

A`,0 (k) + iB`,0 (k) =p4 (2`+ 1) i`;

A`,m (k) + iB`,m (k) = 0, voor `,m 6= 0,(6-14)

en dat dan de partiële golfamplitudes gegeven worden door:

f`m (k) = ( i)`B`,m (k)

k. (6-15)

Het idee is nu dat, net als in het 1-dimensionale geval, de regulariteitsvoorwaar-den (6-9) en de verstrooiingsvoorwaarde (6-10) tezamen de oplossing eenduidigvastleggen�–dus in het bijzonder de coë ciënten A`m (k) en B`m (k), dus vol-gens (6-15) de partiële golfamplitudes, dus volgens (6-13) de verstrooiingsam-plitude.We komen nu terug op de fysische interpretatie van de verstrooiingsamplitude.Deze blijkt als volgt gerelateerd te zijn aan de di erentiële werkzame doorsnede:

d

d(k, , ) = |f (k, , )|2 . (6-16)

Om dit in te zien doen we een beroep op de grootheid waarschijnlijkheidsstroom-dichtheid . Deze wordt gegeven door:

~ =~2mi

³~ ~

´.

d) Toon aan dat voldaan is aan de volgende behoudswet:

~ · ~+t= 0,

met = | |2 de waarschijnlijkheidsdichtheid, en dat deze behoudswet inintegraalvorm ook geschreven kan worden als:

d

dt

Z

Vd3r =

Z

VdO · ~. (6-17)

In de context van een experiment waarbij een bundel onderling niet wisselwer-kende deeltjes verstrooid wordt, vatten we (~r, t) d3r op als de fractie van hetaantal deeltjes dat zich (op tijdstip t) in het volume-elementje d3r om ~r bevindt.Volgens (6-17) staat ~ (~r, t) · dO dan voor de fractie van het aantal deeltjes dat(ten tijde t) per tijdseenheid door het oppervlakje dO (ter plaatse ~r ) gaat.Zij nu ~in de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid corresponderend met de inko-mende golf eikz en ~verstr de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid corresponderend

met de verstrooide golf f (k, , )eikr

r.

e) i) Beargumenteer op grond van de denitie van de werkzame doorsnedeen de fysische interpretatie van de waarschijnlijkheidsstroomdicht-heid dat moet gelden:

(k, , ; , ) =jverstr,r r

2 sin

jin,z,

waarbij de subindex �‘r�’ staat voor �‘radiële component�’.

174

ii) Toon (6-16) aan.

Gegeven: ~ f =f

r~er +

1

r

f~e +

1

r sin

f~e .

f) Ga na dat voor de totale werkzame doorsnede geldt:

(k) =X

`=0

X

m= `

`m (k) ,

waarbij de zogenaamde partiële werkzame doorsneden `m (k) gegevenworden door:

`m (k) = |f`m (k)|2 =|B`,m (k)|2

k2.

We beschouwen tenslotte het geval dat we te maken hebben met verstrooiingaan een bolsymmetrische potentiaal: V (~r ) = V (r). De potentiaal verdwijntweer voor r R.

g) Beargumenteer waarom voor dit geval de gol unctie, en dus ook de ver-strooiingsamplitude, geen -afhankelijkheid heeft.

Opmerking: We kunnen dus schrijven:

voor r R, k (~r ) =X

`=0

{A` (k) j` (kr) +B` (k)n` (kr)}Y`,0 ( ) ;

f (k, ) =X

`=0

f` (k)Y`,0 ( ) .

h) Toon aan dat voor dit geval moet gelden:

A` (k) + iB` (k) =p4 (2`+ 1) i`

f` (k) = ( i)`B` (k)

k=ip4 (2`+ 1)

k³1 iA`(k)B`(k)

´ ;

(k) =X

`=0

` (k) , met

` (k) = |f` (k)|2 =4 (2`+ 1)

k2¯¯1 iA`(k)B`(k)

¯¯2 .

Opmerking: De nog onbekende B` (k), of verhoudingA` (k)

B` (k), is te bepalen

uit de regulariteitsvoorwaarden.

175

6.5 Verstrooiing aan een harde bol

In deze opgave passen we de methode van partiële golfanalyse toe op quantum-mechanische verstrooiing van deeltjes die met impuls ~k~ez invallen op een hardebol met straal a. We hebben dan dus te maken met de volgende (bolsymmetri-sche) potentiaal:

V (r) =, voor 0 r < a,

0, voor r a.

a) Beschouw de volgende twee waardenbereiken: ka¿ 1 en kaÀ 1.

Bij welk bereik verwacht u overeenstemming en bij welk bereik de groot-ste verschillen met klassieke verstrooiing aan een harde bol? Licht uwantwoord toe.

Voor het onderhavige geval weten we dat de oplossing voor r a gegeven wordtdoor:

k (~r ) =X

`=0

{A` (k) j` (kr) +B` (k)n` (kr)}Y`,0 ( ) .

b) Welke regulariteitsvoorwaarde(n) hebben we in r = a?

c) Toon aan dat geldt: ` (k) =4 a2 (2`+ 1)

(ka)2µ1 +

³n`(ka)j`(ka)

2¶ .

d) Toon het volgende aan met behulp van de eigenschappen van de sferischeBessel- en Neumannfuncties (zie opgave 6.3).

i) 0 (k) =4 a2 sin2 ka

(ka)2.

ii) Voor ka¿ 1:

` (k) '4 a2 (ka)4`

(2`+ 1)³(2`)!2``!

´4 (6-18)

iii) Voor kaÀ 1:

` (k) '4 a2 (2`+ 1) sin2

¡ka `

2

¢

(ka)2. (6-19)

We gaan nu voor de twee waardenbereiken ka ¿ 1 en ka À 1 de totale werk-zame doorsnede nader onderzoeken. We beginnen met het geval waarbij we degrootste verschillen verwachten met klassieke verstrooiing: ka¿ 1. Uit (6-18)volgt dat we in deze benadering hebben:

0 (k) ' 4 a2;

voor ` 1, ` (k) ' 0.

Uit het feit dat elke ` (k) met ` 1 naar nul nadert voor ka 0, hoeftnatuurlijk nog niet te volgen dat ze bij elkaar opgeteld ook naar nul naderen.Toch blijkt dit wel het geval te zijn.

176

e) i) Toon aan dat voor ka¿ 1 voor de totale werkzame doorsnede geldt:

(k) ' 0 (k) ' 4 a2. (6-20)

Hint: Toon aan dat geldt (voor ka¿ 1):

0X

`=1

` (k) 4 a2X

`=1

(ka)4` =4 a2 (ka)4

1 (ka)4

ii) Is het resultaat (6-20) in overeenstemming met uw verwachting bijopgave 6.2 g)?

We gaan nu over tot het bereik waar we overeenstemming met het klassiekeresultaat verwachten: ka À 1. Uit (6-19) volgt dat we in deze benaderinghebben (voor alle ` 0):

` (k) ' 0.

Ook nu volgt uit het feit dat elke ` (k) naar nul nadert weer niet noodzakelij-kerwijs dat ze bij elkaar opgeteld ook naar nul naderen. En dat blijkt hier ookproblematisch te liggen. Er geldt namelijk:

(k) =X

`=0

` (k)kaÀ1' 4 a2

(ka)2

X

`=0

(2`+ 1) sin2¡ka `

2

¢.

Het probleem is dat de som divergeert, daar voor n = 0, 1, 2, . . . geldt:

2nX

`=0

(2`+ 1) sin2¡ka `

2

¢= n (2n+ 1) + (2n+ 1) sin2 ka; (6-21)

2n+1X

`=0

(2`+ 1) sin2¡ka `

2

¢= (n+ 1) (2n+ 1) + 2 (n+ 1) cos2 ka, (6-22)

en dus:nX

`=0

(2`+ 1) sin2¡ka `

2

¢= 1

2n2¡1 +O

¡1n

¢¢. (6-23)

In de limiet ka krijgen we aldus dat (k) onbepaald is: (k) ' 4 a2 .

f) Toon (6-21) t/m (6-23) aan.

We zitten nu met het probleem hoe we op een geschikte manier de limietka moeten nemen. Daar we voor ka À 1 het klassieke resultaat terugverwachten te winnen, laten we ons inspireren door een klassieke beschouwing.

g) i) Toon aan dat voor een klassiek deeltje dat met impuls p invalt opeen harde bol het volgende geldt. Invallende deeltjes waarvoor degrootte L van het impulsmoment (ten opzichte van het centrum vande bol) zodanig is dat L > pa, worden niet verstrooid.

177

ii) Maak met behulp van een semi-klassieke beschouwing aannemelijkdat we ons (voor kaÀ 1) bij de berekening van de totale werkzamedoorsnede kunnen beperken tot deeltjes met ` . ka.

Het idee wordt nu dus om de totale werkzame doorsnede voor het geval kaÀ 1als volgt te bepalen:

(k) ' limka

`'kaX

`=0

` (k) .

h) Toon aan dat we op deze manier vinden voor kaÀ 1: (k) ' 2 a2.Opmerking: We vinden hier dus, tegen de verwachting in, het dubbelevan de totale werkzame doorsnede voor klassieke verstrooiing aan eenharde bol. Een meer precieze analyse leert dat de quantummechanischedi erentiële werkzame doorsnede voor kaÀ 1 van de volgende vorm is.

2

0.25

1a2

dd

De quantummechanische di erentiële werkzame doorsnede is dus gelijk

aan de klassieke (a2

4), op een zeer scherpe piek rond = 0 na. Deze

piek blijkt ook ongeveer een bijdrage a2 aan de totale werkzame door-snede te leveren. De fysische verklaring voor de piek die we quantum-mechanisch vinden is dat er behoorlijk wat buiten de bol invallende deel-tjes/golven zijn die nog afgebogen worden. Die buiging is dan echterminimaal en vindt voornamelijk plaats naar richtingen in een zeer smalleruimtehoek rond de voorwaartse richting ( = 0). Ook al dragen diedeeltjes/golven dus bij aan de totale werkzame doorsnede�–ze wordenimmers verstrooid�–toch zijn ze vanwege de minieme buiging praktischniet te onderscheiden van de deeltjes/golven die niet verstrooid worden.De fysische intuïtie dat voor ka À 1 de deeltjes zich gedragen als klas-sieke deeltjes is dus correct, ook al komen we quantummechanisch tot eenandere werkzame doorsnede.

178

6.6 De Gulden Regel en de Born-benadering

De methode van partiële golfanalyse stelt ons in staat de verstrooiingsamplitude(en dus de werkzame doorsnede) in principe te bepalen. In principe, omdatwe in opgave 6.4 alleen maar gevonden hebben hoe de partiële golfamplitudes

afhangen van de coë ciënten B`m (k) (of van de verhoudingenA` (k)

B` (k)voor

het geval van een bolsymmetrische potentiaal). En om die coë ciënten (ofverhoudingen) te bepalen, moeten we in staat zijn de continuïtsvoorwaardenexpliciet op te lossen. Dit zal voor eenvoudige potentialen (zoals de in opgave6.5 besproken harde-bol potentiaal) wel lukken, maar in het algemeen niet. Demethode van partiële golfanalyse leidt dus in principe tot exacte resultaten,maar zal in de praktijk vaak niet uitvoerbaar zijn.Er zijn ook methoden om werkzame doorsneden te bepalen, die in de praktijkwel uitvoerbaar zijn. Deze hebben echter als nadeel dat ze niet tot exacteresultaten leiden, maar slechts tot benaderde uitdrukkingen. In deze opgavebespreken we één zo�’n methode, in opgave 6.8 een wat betere. De methode vandeze opgave is gebaseerd op eenzelfde redenering als die tot de Gulden Regelvan storingsrekening heeft geleid (zie opgave 5.20). De twee basale ingrediëntenvan die redenering zijn:

1. Volgens eerste-orde tijdsafhankelijke storingsrekening wordt de waarschijn-lijkheid Pk i (t) voor een overgang van toestand | ii op tijdstip 0 naareen toestand | ki op tijdstip t gegeven door:

Pk i (t) =4 |Vki|2

~2sin2

¡12 kit

¢

2ki

, met ki =k i

~en Vki = h k|V | ii .

Hierbij zijn de | ii en i de eigentoestanden en bijbehorende eigenwaardenvan de ongestoorde Hamiltoniaan H0. V is de storing.

2. Voor steeds grotere t wordt de functie

ft ( )def=

sin2¡12 t

¢

2

steeds scherper gepiekt rond = 0. (De hoogte van de piek is t2

4 en debreedte van de orde 1

t .)

We gaan deze resultaten nu toepassen op de situatie van drie-dimensionaleverstrooiing aan een potentiaal V . We vatten deze potentiaal op als een sto-ringsterm op de ongestoorde vrij-deeltjes Hamiltoniaan: H0 = ~2

2m~ 2. Onder¯

¯~kEverstaan we de toestand van een vrij deeltje met impuls ~~k. Er geldt dan

dus: ~k= ~2k2

2m . Bij verstrooiing hebben we te maken met een invallende bun-del deeltjes, zeg met impuls ~k~ez, en zijn we geïnteresseerd in de kans dat eendeeltje na de interactie met de potentiaal uiteindelijk met impuls ~~k0 beweegt.Voor verstrooiing zijn dus de grootheden P~k0 k~ez

(t) relevant voor voldoendgrote t, en daar zeggen voornoemde resultaten van eerste-orde tijdsafhankelijkestoringsrekening wat over.

179

a) Ga na dat uit voornoemde resultaten van eerste-orde tijdsafhankelijkestoringsrekening volgt:

i) P~k0 k~ez(t) = 4

~2

¯¯h~k0 |V | k~ezi

¯¯2 sin2

³12 ~k0,k~ez

t´

2~k0,k~ez

, met ~k0,~k=

~(k02 k2)2m ;

ii) voor de impuls van een verstrooid deeltje geldt: ~k0 ' ~k.

Zij nu P( , ; , ) k~ez (t) de kans dat een deeltje verstrooid is naar een hoek¡ 0, 0¢ met 0 in een interval om en 0 in een interval om . Voor wedeze grootheid gaan berekenen, gaan we eerst na dat dit een relevante grootheidis, omdat deze gerelateerd is aan de werkzame doorsnede ( , ; , ) voorverstrooiing naar een richting

¡ 0, 0¢ met 0 in een interval om en 0 ineen interval om :

( , ; , ) =ddtP( , ; , ) k~ez

jin, (6-24)

met jin de grootte van de waarschijnlijkheidsstroomdichtheid van de inkomendegolf.

b) Beargumenteer waarom (6-24) geldt.

We gaan nu over tot de berekening van P( , ; , ) k~ez . Wanneer we onder

(~k)d3k het aantal toestanden verstaan met een impuls in een interval d3k rond~k, dan geldt met ~k0 =

¡k0 sin 0 cos 0, k0 sin 0 sin 0, k0 cos 0¢:

P( , ; , ) k~ez (t) =

= 4~2

Z +

d 0Z +

d 0 sin 0Z

0dk0 k0 2 (~k0)

¯¯h~k0 |V | k~ezi

¯¯2 sin2

³12 ~k0,k~ez

t´

2~k0,k~ez

.

c) i) Toon aan dat geldt:

P( , ; , ) k~ez (t) '2 m~3 |hk~er|V |k~ezi|

2 t (k~er) k sin ,

met ~er = (sin cos , sin sin , cos ) de eenheidsvector in radiëlerichting.

ii) Toon aan dat geldt:

d

d(k, , ) =

2 m

~3|hk~er|V |k~ezi|2 (k~er) k

jin.

Om de berekening van met name de dichtheid (~k) te vergemakkelijken, denkenwe ons het systeem geplaatst in een grote doos met zijde L, en leggen we peri-odieke randvoorwaarden op. Hierbij is L veel groter dan het gebied waarop depotentiaal niet verdwijnt. Een deel van de rechtvaardiging van deze procedureis dat het eindresultaat onafhankelijk van L zal blijken te zijn.

180

d) Toon aan dat de genormeerde eigentoestanden¯¯~kEvan de vrij-deeltje

Hamiltoniaan H0 gegeven worden door:

h~x |~ki = 1

L32ei~k·~x,

waarbij ~k = 2L (n1, n2, n3), met ni Z.

e) Toon aan dat dan geldt:

i) hk~er|V |k~ezi = 1L3

Zd3x0 V (~x 0) e ik(~er ~ez)·~x 0 ;

ii) (~k) =¡L2

¢3;

iii) jin = ~kL3m

;

iv) d

d(k, , ) =

³ m

2 ~2´2 ¯¯

Zd3x0 V

¡~x 0¢e ik(~er ~ez)·~x 0

¯¯2

. (6-25)

v) Beargumenteer waarom (6-25) een benadering is van de di erentiëlewerkzame doorsnede.

We hebben nu dus een uitdrukking gevonden voor de di erentiële werkzamedoorsnede, die enerzijds alleen bekendheid veronderstelt met de potentiaal maaranderzijds slechts een benadering geeft. Deze benadering wordt de Bornbena-dering genoemd. Zoals we in opgave 6.8 zullen zien, blijkt de Bornbenaderingde laagste term van een reeksontwikkeling te zijn.We beschouwen tenslotte het speciale geval van een bolsymmetrische potentiaal.

f) Toon aan dat in de Bornbenadering voor een bolsymmetrische potentiaal(V (~x) = V (r)) geldt:

d

d(k, ) =

µ2m

~2k |~er ~ez|

¶2 ¯¯Z

0dr0 r0V

¡r0¢sin¡k |~er ~ez| r0

¢¯¯2

=

=2m2

~4k2 (1 cos )

¯¯Z

0dr0 r0V

¡r0¢sin³kp2 (1 cos )r0

´¯¯2

.

Hint: Kies voor de berekening van de integraal de integratievariable ~x 0

zodanig dat de z0-as langs ~er ~ez valt (waarom mag dit?), en ga vervolgensover op de bolcoördinaten

¡r0, 0, 0¢.

6.7 Verstrooiing aan een Yukawa-potentiaal

In deze opgave gaan we de Bornbenadering toepassen op een verstrooiingsexpe-riment met nucleonen (protonen en neutronen). Wanneer nucleonen op elkaargeschoten worden, interageren ze door pionen uit te wisselen. Het blijkt dathet e ect van de pionuitwisseling goed benaderd kan worden door te doen alsofde nucleonen verstrooid worden aan een e ectieve potentiaal, namelijk de Yu-kawa-potentiaal:

VYukawa (r) = g2 e

c~ r

r.

181

Hierbij is g de zogenaamde koppelingsconstante (die de sterkte van de interactiebepaalt), de massa van het pion (die de reikwijdte van de interactie bepaalt)en c de lichtsnelheid.In deze opgave gaan we verstrooiing aan een Yukawa-potentiaal bestuderenin de Born-benadering. Door een geschikte keuze van de parameters hebbenwe dan tevens verstrooiing aan de Coulomb-potentiaal als een speciaal gevalbehandeld.

a) Door welke geschikte keuze van de parameters krijgen we verstrooiingaan de Coulomb-potentiaal als een speciaal geval? Kunt u dit fysischbegrijpen?

b) Toon aan dat in de Bornbenadering de di erentiële en totale werkzamedoorsnede voor verstrooiing aan de Yukawa-potentiaal gegeven wordendoor:

d

d(k, ) =

4m2g 4

{ 2c2 + 2~2k2 (1 cos )}2;

(k) =16 m2g 4

2c2 ( 2c2 + 4~2k2).

c) Beschouw nu verstrooiing aan de Coulomb-potentiaal.

Wat worden dan de resultaten voor de di erentiële en totale werkzamedoorsnede? Begrijpt u waarom men zegt dat de Coulomb-interactie eenoneindige dracht heeft?

6.8 De Born-reeks en de Lippmann-Schwinger ver-gelijking

In opgave 6.6 hebben we met behulp van tijdsafhankelijke storingsrekening deBornbenadering (6-25) van de di erentiële werkzame doorsnede gevonden. Hetis echter niet onmiddellijk duidelijk hoe goed die benadering is, en ook niet hoedeze te verbeteren valt. In deze opgave bespreken we een systematische aanpakom tot een steeds betere benadering te komen van de verstrooiingsamplitude.Wanneer we verstrooiing beschouwen aan een potentiaal gV , dan kunnen wede verstrooiingsamplitude ontwikkelen als een machtreeks in g. Voor de eerstetwee termen in deze reeks geldt bv.:

f (k, , ) = g m2 ~2

Zd3x0 V

¡~x 0¢e ik(~er ~ez)·~x 0 +

+ g2¡m2 ~2

¢2Zd3x0 V

¡~x 0¢e ik~er·~x 0

Zd3x00 V

¡~x 00¢ eik|~x 0 ~x 00|

|~x 0 ~x 00|eik~ez ·~x

00+ O

¡g3¢.

(6-26)

De Bornbenadering (6-25) correspondeert met de eerste term in deze reeksont-wikkeling, en levert dus een goede benadering indien g voldoende klein is.

182

In deze opgave zullen we ingaan op de systematische aanpak die leidt tot dereeks (6-26). Deze aanpak is gebaseerd op een alternatieve manier om heteigenwaarde-probleem

³12m�ˆ~p · �ˆ~p + gV

´| i = E | i (6-27)

te formuleren en op te lossen. Zoals gebruikelijk is V een hermitische operatordie alleen maar afhangt van de plaatsoperator �ˆ~x: V (�ˆ~x ). Allereerst deniërenwe voor reële E en > 0 de operatoren G+(E) en G (E) als volgt (voor eenwillekeurige toestand | i):

G±(E ) | i def=Zd3p

h~p | iE p2

2m ± i|~p i , met p = |~p | .

Daar de noemer E p2

2m±i nergens de waarde 0 aanneemt, is de integrant in hetrechterlid goed gedenieerd. We nemen aan dat de integraal ook convergeert.

a) Toon aan dat de operator³E 1

2m�ˆ~p · �ˆ~p± i

´inverteerbaar is, en dat

geldt:³E 1

2m�ˆ~p · �ˆ~p± i

´ 1= G±(E )

Hint: Werk (voor een willekeurige toestand | i) de volgende uitdrukkin-gen verder uit.³E 1

2m�ˆ~p · �ˆ~p± i

´G±(E ) | i ; G±(E )

³E 1

2m�ˆ~p · �ˆ~p± i

´| i

Beschouw nu de zogenaamde Lippmann-Schwinger vergelijking:

| i = |~p i + g G±³p2

2m

´V | i . (6-28)

Merk op dat in (6-28) in feite twee vergelijkingen staan: één met het plustekenen één met het minteken. Verder hangt een oplossing ervan nog af van ~p en .Om al deze afhankelijkheden expliciet aan te geven, noteren we een oplossingvan (6-28) ook wel als

¯¯ ±~p,

E. Het idee is nu dat als

¯¯ ±~p,

Eeen oplossing is van

de Lippmann-Schwinger vergelijking, dat dan de toestand¯¯ ±~p

Edef= lim

0

¯¯ ±~p,

E. (6-29)

een oplossing is van het eigenwaarde-probleem (6-27) bij eigenwaarde E = p2

2m .We gaan ervan uit dat de limiet in het rechterlid van (6-29) bestaat, dus dat¯¯ ±~p

Egoed gedenieerd is.

b) Toon aan dat¯¯ ±~p

Eeen oplossing is van het eigenwaarde-probleem (6-27)

bij eigenwaarde E = p2

2m .

Hint: Laat de operator³E 1

2m�ˆ~p · �ˆ~p± i

´werken op beide leden van

(6-28).

183

We gaan nu over tot het oplossen van de Lippmann-Schwinger vergelijking, omvervolgens de limiet 0 te nemen.

c) Leid door itereren van de Lippmann-Schwinger vergelijking af dat¯¯ ±~p,

E

ook moet voldoen aan (voor n = 0, 1, 2, . . . ):

¯¯ ±~p,

E=

nX

k=0

gknG±³p2

2m

´Vok|~p i + gn+1

nG±³p2

2m

´Von+1 ¯

¯ ±~p,

E.

(6-30)

d) De uitdrukking (6-30) suggereert het volgende als oplossing van de Lipp-mann-Schwinger vergelijking:

¯¯ ±~p,

E=X

n=0

gnnG±³p2

2m

´Von|~p i . (6-31)

Ga door invullen na dat de zogenaamde Born-reeks (6-31) inderdaad eenoplossing is van de Lippmann-Schwinger vergelijking.

In de rest van deze opgave zullen we laten zien hoe uit de Born-reeks (6-31)een reeksontwikkeling voor de verstrooiingsamplitude volgt. Om de discussieoverzichtelijk te houden, beschouwen we alleen de eerste drie termen uit deBorn-reeks:

¯¯ ±~p,

E= |~p i+ g G±

³p2

2m

´V |~p i + g2

nG±³p2

2m

´Vo2|~p i + O

¡g3¢.

e) Toon aan dat in de plaatsrepresentatie geldt:

(2 ~)32 ±

~p, (~x) = ei~~x·~p + g

Zd3x0 h~x|G±

³p2

2m

´|~x 0iV

¡~x 0¢ei~~x

0·~p +

+ g2Zd3x0 h~x|G±

³p2

2m

´|~x 0iV

¡~x 0¢ Zd3x00h~x 0|G±

³p2

2m

´|~x 00iV

¡~x 00¢ei~~x

00·~p +

+ O¡g3¢.

f) Toon aan dat geldt:

h~x|G±³p2

2m

´|~x 0i = m

4 3~3

Zd3p0

ei~ (~x ~x 0)·~p 0

p2 |~p 0|2 ± 2mi=

=im

2 2~2 |~x ~x 0|

Zdp0

p0ei~ |~x ~x 0|p0

p2 p02 ± 2mi. (6-32)

De integraal in (6-32) kan expliciet berekend worden met behulp van complexeintegratie over het pad C (R).

-R R

i R

C(R)

184

g) i) Toon aan dat geldt:Z

dp0p0e

i~ |~x ~x 0|p0

p2 p02 ± 2mi= lim

R

I

C(R)du

uei~ |~x ~x 0|u

p2 ± 2mi u2.

ii) Toon aan dat geldt (voor R groot genoeg):I

C(R)du

uei~ |~x ~x 0|u

p2 ± 2mi u2= i e

i~ |~x ~x 0|u0,±(p, ),

waarbij u0,± (p, ) de wortel is van p2± 2mi met een positief imagi-nair deel.Hint: Maak gebruik van de residuen-stelling. Zie eventueel opgave5.14f).

iii) Toon aan dat geldt: lim0u0,± (p, ) = ±p.

iv) Toon aan dat geldt:

lim0h~x|G±

³p2

2m

´|~x 0i = me±

i~ |~x ~x 0|p

2 ~2 |~x ~x 0|.

v) Toon aan dat geldt: (2 ~)32 ±

~p (~x) =

= ei~~x·~p g m

2 ~2

Zd3x0

ei~~x

0·~p± i~ |~x ~x 0|p

|~x ~x 0|V¡~x 0¢+

+ g2¡m2 ~2

¢2Zd3x0

e±i~ |~x ~x 0|p

|~x ~x 0|V¡~x 0¢ Zd3x00

ei~~x

00·~p± i~ |~x

0 ~x 00|p

|~x 0 ~x 00|V¡~x 00¢+ O

¡g3¢.

(6-33)

We gaan nu naar een verstrooiingssituatie toewerken. We veronderstellen daar-toe dat we te maken hebben met een potentiaal van eindige dracht, zeg V (~x 0) =0 voor |~x 0| r0. Verder zijn we dan geïnteresseerd in het gedrag van de golf-functie in een gebied ver buiten het bereik van V , dus voor |~x| À r0. Watbetreft de integralen over ~x 0 in (6-33) hebben we dan dus te maken met desituatie dat geldt: |~x 0| r0 ¿ |~x|.

h) Ga na dat we dan kunnen benaderen:

i) |~x ~x 0| ' |~x| ~x · ~x 0

|~x|+ O

³1|~x|

´.

ii)e±

i~ |~x ~x 0|p

|~x ~x 0|' e

± i~ |~x|p

i~~x·~x 0|~x| p

|~x|

³1 + O

³1|~x|

´´.

iii) (2 ~)32 ±

~p (~x)|~x|Àr0'

' ei~~x·~p g m

2 ~2e±

i~ |~x|p

|~x|

Zd3x0 V

¡~x 0¢ei~~x

0·~p i~~x·~x 0|~x| p +

+ g2¡m2 ~2

¢2 e±i~ |~x|p

|~x|

Zd3x0 V

¡~x 0¢e

i~~x·~x 0|~x| p

Zd3x00 V

¡~x 00¢ e

i~~x

00·~p± i~ |~x

0 ~x 00|p

|~x 0 ~x 00|+

+ O¡g3¢. (6-34)

185

i) i) Leg uit welke fysische situatie beschreven wordt door de plus-oplos-sing +

~p (~x) in (6-34).

ii) Neem als impuls van het invallende deeltje ~p = ~k~ez en leid (6-26)af.

iii) Wat wordt de derde term in de ontwikkeling van +~p (~x)?

6.9 Samenvatting

Het belangrijkste uit dit hoofdstuk is natuurlijk dat er verschillende procedu-res zijn om de verstrooiingsamplitude of de di erentiële werkzame doorsnedete bepalen. Deze procedures dient u op hoofdlijnen te kennen en te kunnentoepassen. Bv. de rol van twee typen van randvoorwaarden in de methode vanpartiële golfanalyse. Vanzelfsprekend hoeft u geen formules als die van Bauer(zie (6-12)) van buiten te kennen, maar dient u daarentegen weer wel te wetenwaarom een vlakke golf te ontwikkelen is als in (6-11).

186