INLE ID ING OPTICA

Lens (opt iek) (Doorverwezen vanaf Lens (optisch)) Een lens is een transparant, veelal glazen voorwerp waarmee lichtstralen

geconvergeerd dan wel gedivergeerd kunnen worden. De meeste lenzen zijn zgn. sferische lenzen, lenzen met twee bolvormige oppervlakken. Daarnaast zijn er ook cilindrische en andervormige lenzen.

Sferische lenzen

Met sferische lenzen kunnen beelden vergroot of verkleind worden. Voor veel doeleinden worden groepen van lenzen gebruikt die dan wel objectief worden genoemd; ook een oculair van een microscoop of telescoop bestaat meestal uit

verscheidene lenzen. Het menselijk oog bevat ook een lens.

De mate van vergroting of verkleining hangt af van de sterkte van de lens. Deze lenssterkte S is het omgekeerde van de brandpuntsafstand f en wordt uitgedrukt in dioptrie (dpt = m − 1).

Brandpuntsafstand

De brandpuntafstand van een lens is de afstand tussen de lens en het punt waar evenwijdig invallende stralen na doorgang door de lens samenkomen of samen

zouden komen. Brandpuntsafstanden kunnen uiteenlopen van fracties van enkele millimeters (microscoopobjectieven, fisheye lens van een fototoestel), tot enkele meters (bij een telescooplens). In onderstaande figuur wordt de brandpuntsafstand f aangegeven. Te zien is dat het licht van een verre lichtbron (de evenwijdige rode lijnen) na passage van de lens in het brandpunt samenkomen.

Pos it ieve lens Een negatieve lens heeft een virtueel brandpunt. In onderstaande figuur is te zien dat het licht van een verre lichtbron, de rode evenwijdige lijnen aan de linkerkant van de figuur, na het passeren van de lens uit elkaar gaan (divergeren). Het virtuele brandpunt is het punt waar deze divergerende lichtstralen schijnbaar vandaan komen.

Negat ieve lens Van een positieve lens, een vergrootglas of loep, kan eenvoudig de brandpuntsafstand worden bepaald. Wordt licht van een verre lichtbron

(bijvoorbeeld de zon) afgebeeld via de lens op bijvoorbeeld een papier, dan ontstaat een scherp beeld van de lichtbron, op een afstand van de lens gelijk aan de brandpuntsafstand.

De oorsprong van het woord brandpuntsafstand is dat de afbeelding van de zon het papier echt kan verbranden. De lens moet dan enige tijd exact op dezelfde plek gehouden worden. In het brandpunt wordt het papier dan zo heet, dat het in brand vliegt.

De afstanden van het voorwerp, beeld en brandpunt tot het optisch centrum voldoen aan de lenzenformule.

Opt ische as

De mate waarin een lichtstraal van richting verandert is afhankelijk van de hoek tussen de lichtstraal en het oppervlak van de lens. Als de hoek tussen lichtstraal en lensoppervlak 90° is vindt geen richtingverandering plaats. Of er nu sprake is van een positieve of negatieve lens, elke lens heeft een optische as waar het licht rechtdoor gaat (aan de voorzijde én aan de achterzijde is de hoek tussen lensoppervlak en lichtstraal een rechte hoek).

Fotograf ie

De in de fotografie gebruikte objectieven zijn samengestelde lenzen. Een objectief is zodanig opgebouwd dat de lensfouten van de enkelvoudige lenzen elkaar zoveel mogelijk compenseren, zodat de afbeelding zo zuiver mogelijk is.

Een van de belangrijkste afwijkingen is de sferische aberratie. Een bolvormige lens met een niet-verwaarloosbare dikte maakt geen perfect brandpunt, zoals

geïllustreerd is in onderstaande figuur.

Sfer ische aberrat ie

Omdat een bolvormige lens het eenvoudigste is te maken, worden bolvormige lenzen toch het meeste toegepast. Lenzen met een afwijkende (bijvoorbeeld

parabolische) vorm heten asferische lenzen. Met asferische lenzen zijn sommige beeldafwijkingen beter te corrigeren dan met sferische. Ze worden daarom steeds meer toegepast, ook dankzij verbeterde productietechnieken. Zo kan bijvoorbeeld een zeer dunne geperste asferische kunststoflens gecombineerd worden met een

sferische lens van glas. Ook worden computergestuurde slijptechnieken toegepast. De mogelijkheid om tegenwoordig met computers optiek met asferische lenzen te berekenen, is natuurlijk ook een belangrijke voorwaarde voor de realisatie ervan.

Een andere belangrijke lensafwijking is chromatische aberratie. Chromatische aberratie wordt veroorzaakt doordat de brekingsindex van het gebruikte lensmateriaal afhankelijk is van de golflengte van het licht (dispersie). Hierdoor is de brandpuntsafstand van de lens afhankelijk van de golflengte van het licht, en treedt kleurschifting in de afbeelding op.

Zoomlenzen zijn objectieven met een instelbare brandpuntsafstand. Het brandpunt van het lenzenstelsel wordt bepaald door de onderlinge afstand van de samenstellende lenzen.

LENS FORMULE

Formule met f, v en b

De ene formule geeft weer hoe afstanden, voorwerp en beeld van een dunne ideale lens zich tot elkaar verhouden. De formule wordt afgeleid uit de gelijkvormigheid van de driehoeken van lichtstralen met voorwerp en beeld als

zijden.

Deze formule wordt gegeven door

met

f = brandpuntsafstand. Deze is positief voor een bolle (positieve) lens en negatief voor een holle (negatieve) lens.

v = voorwerpsafstand (de afstand van het voorwerp tot het optisch middelpunt, gemeten over de hoofdas)

b = beeldafstand (de afstand van het beeld tot het optisch middelpunt, gemeten over de hoofdas). Deze is positief voor een reëel beeld en negatief voor een virtueel beeld.

Uit deze lenzenformule volgen de wortelformules

waarin

d = v + b, de totale afstand van het voorwerp tot het beeld, gemeten langs de hoofdas. Door de wortelformules voor v en b op te tellen, zien we dat we

weer d krijgen, zoals moet.

1. Zetten we voor een bolle lens een voorwerp op een afstand van de dubbele brandpuntsafstand voor de lens, dan verschijnt het beeld even ver aan de andere kant. Neem f = 0,50 m en v = 1,0 m, dan levert invullen van de formule b = 1,0 m. De wortelformules geven hetzelfde resultaat met d = v + b = 2,0 m.

2. Als we voor een bolle lens een voorwerp op de helft van de brandpuntsafstand zetten, krijgen we een virtueel beeld, met een beeldsafstand kleiner dan nul

volgens de tekenafspraak. Neem f = 50 cm = 0,5 m en v = 25 cm = 0,25 m. Invullen en oplossen geeft b = -0,5 m = -50 cm. De wortelformules geven dezelfde uitkomsten voor d = v + b = -0,25 m.

Sp iege l formule

Deze formule geldt ook voor vlakke, holle en bolle spiegels. Deze lensformule is dus ook een "spiegelformule". Voor een vlakke spiegel is f oneindig, 1/f = 0 en

zijn v en b dus gelijk. Voor een holle spiegel is f positief, voor een bolle negatief. Het teken van b is positief voor een reëel beeld en negatief voor een virtueel beeld.

Formule met brekingsindex en kromtestralen

De andere formule (lense maker's equation) legt een verband tussen de kromtestralen van de lensoppervlakken, de brekingsindex van het materiaal van de lens en de brekingsindex. De formule kan worden afgeleid door te kijken naar de

afstanden die twee lichtbundels uit een punt in dezelfde tijd afleggen: de ene bundel gaat door het midden van de lens, de andere scheert langs de top. Ze komen weer tegelijk uit in een beeldpunt. De afleiding veronderstelt een dunne lens.

Positieve lens met hoofdas, brandpunt en kromtestralen R1 en R2

De formule luidt

met

f = brandpuntsafstand. Deze is negatief voor een bolle lens en positief voor een holle lens.

n = de brekingsindex van het lensmateriaal, bijvoorbeeld n = 1,5 voor glas.

R1 = de kromtestraal van de voorzijde van de lens. Keert het oppervlak zijn bolle

kant naar het buitenmedium (vaak lucht), dan is R1 positief. Voor een hol oppervlak is R1 negatief.

R2 = hetzelfde voor de andere zijde.

Voorbee lden

1. Een holbolle lens van glas met brekingsindex (lucht→glas) = 1,5 wordt begrensd door een bol vlak met een kromtestraal van 20 cm en een hol vlak van 30 cm. We rekenen dit om in meters. We krijgen R1 = +0,2 m en R2 = -0.3 m dus

1/f = (1,5 - 1 ) x (1/0.2 - 1/(-.30) = ong. 4,17 dus f = 0,24 m = 24 cm.

2. Een lensvormig luchtinsluitsel in glas heeft een brekingsindex (glas → lucht) = 1/n = 2/3. We vinden dat n - 1 < 0 dus f < 0. De luchtbel werkt als een holle en dus divergerende lens.

Weerkaats ing van l icht

Als licht invalt op een voorwerp, zal het licht terugkaatsen en van richting veranderen. Het is doordat licht weerkaatst wordt dat we voorwerpen die geen

licht uitzenden (donkere lichamen), kunnen zien.

Dat licht weerkaatst wordt is zo vanzelfsprekend, dat het bijna overbodig lijkt om de weerkaatsing van licht verder te onderzoeken. Toch is het belangrijk om dit verschijnsel te bestuderen.

Als men een smalle lichtbundel op een witte muur laat schijnen, ziet men een lichtvlek op de muur. Als men dezelfde lichtbundel op een spiegel laat schijnen,

ziet men geen lichtvlek. De oorzaak hiervan is de verschillende manier waarop het licht weerkaatst wordt door het voorwerp.

Als je de muur met een microscoop zou bestuderen, zou je zien dat deze heel veel oneffenheden bevat. De muur zal het licht in alle richtingen weerkaatsen. Dit noemen we diffuse weerkaatsing. De spiegel is helemaal vlak en zal het licht in één richting terugkaatsen. Enkel indien we ons in de weerkaatste lichtbundel

bevinden, zullen we de lichtstralen kunnen zien.

Een lichtstraal die invalt op een voorwerp, valt altijd in op een bepaald punt van

het voorwerp. Het invalspunt is het punt waar de invallende straal het voorwerp raakt. De lijn die loodrecht op het voorwerp staat en door het invalspunt gaat, noemen we de normaal. De hoek die de invallende lichtstraal maakt met de

normaal, noemen we de invalshoek, en de hoek die de weerkaatste lichtstraal maakt met de normaal, noemen we de weerkaatsingshoek.

De wet van de terugkaatsing luidt als volgt: De invalshoek van een lichtstraal is altijd gelijk aan de weerkaatsingshoek.

We kunnen m.b.v. een experiment deze wet controleren. Door te onderzoeken welke invalshoek overeenkomt met welke weerkaatsingshoek, kunnen we controleren dat deze wet inderdaad klopt.

Bee ldvorming b i j v lakke sp iege ls

Bij vlakke spiegels zien we als gevolg van de wijze van terugkaatsen van de lichtstralen, een spiegelbeeld op gelijke afstand van de spiegel als het voorwerp voor de spiegel, en in afmetingen daaraan gelijk. De afstand van een punt tot een rechte is de afstand van dat punt tot het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op die rechte.

Brek ing van het l icht Als een lichtstraal vanuit de lucht een wateroppervlak treft en z'n weg in het water vervolgt, treedt een welbekend verschijnsel op: de lichtstraal gaat niet rechtdoor, maar wordt gebroken. Als gevolg daarvan zien we een stok die gedeeltelijk in het water staat alsof er een knik in zit. Dit verschijnsel heet brek ing van het licht; het doet zich voor telkens wanneer licht het grensvlak passeert tussen media van verschillende optische dichtheid.

Indien we een lichtstraal loodrecht op een wateroppervlak laten invallen, zal de lichtstraal niet breken. Als we in stilstaand water recht naar beneden kijken, ziet

alles er gewoon uit.

Als licht van een stof met lage dichtheid, overgaat in een stof met hogere dichtheid, breekt het licht naar de normaal toe. De hoek tussen de gebroken lichtstraal en de normaal noemen we de brekingshoek. De brekingshoek zal kleiner zijn dan de invalshoek.

De verhouding tussen de invalshoek en de brekingshoek wordt bepaald door de

optische dichtheid of brekingsindex van elk medium waar de lichtbundel doorheen loopt.

Totale weerkaatsing

Lenzen

Wanneer we een druppel olie op een blad papier bekijken, wordt het beeld onder de druppel vervormd. Dit komt doordat de druppel olie het licht breekt. De druppel gedraagt zich als een bolle lens.

Een lens is een doorzichtig voorwerp dat begrensd wordt door minstens één gebogen oppervlak.

Bol le lenzen of convexe lenzen : zijn in het midden dikker dan aan de zijkanten.

Hol le lenzen of concave lenzen : zijn in het midden dunner dan aan de

zijkanten.

Brandpunten Een evenwijdige bundel evenwijdig met de hoofdas wordt door de lens gebroken, waarna de gebroken stralen samenkomen in een punt op de hoofdas. Dat punt wordt een brandpunt van de lens genoemd. Er zijn twee brandpunten, gelegen aan weerszijden van de lens op gelijke afstanden van de lens. De afstand tussen het midden van de lens en een brandpunt heet de brandpuntsafstand. De naam brandpunt verwijst ernaar dat het licht van de zon dat geconcentreerd wordt in het brandpunt, de temperatuur in het brandpunt zo hoog doet oplopen, dat materiaal kan ontbranden. In figuren wordt een brandpunt gewoonlijk aangegeven met de hoofdletter F en de brandpuntsafstand met de kleine letter f van het Latijse focus.

De dr ie hoofdstra len

Bij de beeldconstructie zijn er 3 hoofdstralen, van waaruit een beeld kan worden opgebouwd:

Eén evenwijdig aan de hoofdas, die na de hoofdas wordt afgebogen door het brandpunt (parallelstraal).

Een straal, recht door het optisch middelpunt. Deze lichtstraal wordt niet

gebroken (centrumstraal).

Een straal door het brandpunt, die in de lens wordt gebroken en vanaf daar evenwijdig aan de hoofdas verder gaat (brandstraal).

NB: De term 'hoofdas' wordt vaak juist gebruikt voor de lijn haaks op de lens (in bovenstaande figuur aangeduidt met N)

Beeldvorming b i j de bo l le lens

Men kan bij een lens het beeld construeren m.b.v. twee van de drie hoofdstralen.

We voeren een aantal begrippen in:

f is de brandpuntsafstand.

v is de afstand van het voorwerp tot de lens

b is de afstand van het beeld tot de lens

V is de grootte van het voorwerp

B is de grootte van het beeld

Eerste geva l : v > 2f

De voorwerpsafstand is groter dan het dubbele van de brandpuntsafstand. In dit geval staat het beeld omgekeerd en is het verkleind. Een toepassing die gebruik maakt van dit geval is het fototoestel. De werkelijkheid wordt verkleind en omgekeerd op een film of CCD geprojecteerd.

Tweede geva l : v = 2f

De voorwerpsafstand is gelijk aan het dubbele van de brandpuntsafstand. In dit geval staat het beeld omgekeerd en is het even groot.

Derde geva l : 2f > v > f

De voorwerpsafstand is groter dan de brandpuntsafstand maar kleiner dan het dubbele van de brandpuntsafstand. Het beeld staat omgekeerd en is vergroot. Een toepassing die gebruik maakt van dit geval is een diaprojector. De dia (voorwerp) wordt vergroot op een scherm geprojecteerd.

Vierde geva l : v = f De voorwerpsafstand is gelijk aan de brandpuntsafstand. In dit geval is er geen beeld. De stralen treden als een evenwijdige bundel uit. Dit werd toegepast in kleinere zoeklichten die voor de bundelvorming met een lens waren uitgerust.

Vi j fde geva l : f > v De voorwerpsafstand is kleiner dan de brandpuntsafstand. In dit geval is het beeld virtueel. Het staat rechtop en is vergroot. Een toepassing die gebruik maakt van dit geval is een vergrootglas.

Lenzenformules Eerste lenzenwet

N: de vergrotingsfactor

v: de afstand van het voorwerp tot de lens (in meters)

b: de afstand van het beeld tot de lens (in m)

V is de grootte van het voorwerp (in m)

B is de grootte van het beeld (in m)

Tweede lenzenwet

f : de brandpuntsafstand (in m)

v: de afstand van het voorwerp tot de lens (in m)

b: de afstand van het beeld tot de lens (in m)

De afstand van het voorwerp tot de lens (v), wordt de voorwerpsafstand genoemd. De afstand van het beeld tot de lens (b), wordt de beeldafstand genoemd.

Als v heel groot is, dan is 1/v ongeveer gelijk aan nul. De tweede lenzenwet wordt dan: