Operations Research

Hoorcollege week 4

Deel 1

o.a. Poisson-verdeling en

Negatief-exponentiële verdeling

R.B.J. PijlgromsInstituut Informatica en ElektrotechniekHogeschool van Amsterdam

2

Discrete kansverdelingen

discrete uniforme verdeling (N-aselector) Bernoulli-verdeling binomiale verdeling meetkundige of geometrische verdeling logaritmische verdeling (Benford-verdeling) Poisson-verdeling

Verdelingen en typische voorbeelden

N-aselector (zuivere munt, dobbelsteen) Bernoulli-experiment of alternatief

(Bernoulli-trial): 2 uitkomsten; 2 kansen. binomiale verdeling: geeft de kans op k

successen in een rij van n Bernoulli-trials.Er geldt: 0 < k < n

geometrische verdeling of meetkunige verdeling: geeft de kans op succes na pas n Bernoulli-trials, (n=1,2,3,...)

Samenvatting van het voorafgaande

N-aselector

Bernoulli-experiment

binomiale verdeling

meetkundige ofgeometrischeverdeling

…

…

discrete uniforme verdeling (N-aselector) Stochast X; uitkomstenverzameling:{1, 2, 3, ..., N}

P(X=x) = 1/N; E(X) = =(N+1)/2; 2 = (N2 - 1)/12

Bernoulli-verdeling Stochast I; uitkomstenverzameling: {0, 1}

P(I=0) = q = 1- p; P(I=1) = p; E(I)= = p; 2 = pq

binomiale verdeling: Bin(n, p) Stochast B; uitkomstenverz.: k = {0, 1, 2, ..., n}

P(B=k)= (n boven k)pkqn-k; E(B) = = n p; 2 = n pq

meetkundige of geometrische verd.: Geom(p) Stochast N; uitkomstenverz.: n = {1, 2, 3, ...}

P(N=n)= pqn-1; E(N) = = 1/p; 2 = q/p2

6

Het verjaardagprobleem

Hoe groot is de kans pm dat in een gezelschap van m personen, er tenminste twee op dezelfde dag jarig zijn?

Complementaire kans Hoe groot is de kans dat er geen van de m op dezelfde jarig zijn, of: hoe groot is de kans dat ze alle m op verschillende dagen jarig zijn? 1- pm

Samen zijn deze kansen gelijk aan één!

De Poisson-verdeling

8

Poisson-verdeling

Genoemd naar één van de pioniers op het gebied van de theorie van de kansrekeningSiméon Dénis Poisson (1781-1840) Definitie:

Beschouw U={0, 1, 2, 3, ... oneindig }; laat een vast getal >0 zijn. De onderstaande waarden voor p(n) zijn de kansen van de Poissonverdeling met parameter

p en

nn

n

!

( , , ,...) 0 1 2

9

Poisson-verdeling

p(0) = e- = exp(-) p(1) = e- = exp(-).1/1!= .exp(-) p(2) = exp(-). /2! p(3) = exp(-). /3! p(4) = exp(-). /4! ...

,...)2 ,1 ,0( !

)( nn

epnpn

n

10

Poisson-verdeling

Wat is de betekenis van de parameter in verband met de grootheid die Poisson()-verdeeld is, in samenhang dus met de stochast of kansvariabele ?

We bekijken eerst wat voorbeelden van Poisson-verdeelde kansvariabelen.

Poisson-verdeling (vervolg)

Voorbeelden het aantal moleculen van de soort X in een bepaald

volumedeel van met X verontreinigde vloeistof. het aantal vaste deeltjes in een vast gekozen

volumedeel van de atmosfeer. het aantal registraties in een Geiger-Muller-teller

(radio activiteit) gedurende een vast gekozen tijdsinterval.

het aantal windhozen in Nederland dat vergezeld gaat met aanzienlijke schade per tijdvak van bijvoorbeeld 20 jaar.

Poisson-verdeling (vervolg)

Voorbeelden (vervolg)

het aantal zetfouten per pagina van een boek. het aantal klanten per tijdseenheid aan een loket. het aantal weeffouten per oppervlakte-eenheid van

een rol textiel. het aantal schepen dat per uur de Rotterdamse

haven binnenvaart. het aantal passerende auto's per minuut op een

bepaald punt van een autosnelweg. het aantal universeelmeters dat per maand defect

raakt op een bepaald practicum.

13

Poisson-verdeling (vervolg)

Globaal: De Poisson-verdeling is een model voor het optreden van ‘zeldzame’ verschijnselen.

Toelichting op het begrip ‘zelden’. Als het bijvoorbeeld gaat om verschijnselen in de tijd, dan wordt met ‘zelden’ bedoeld: de tijdsduur van het verschijnsel is klein t.o.v.

de tijdsduur tussen twee opeenvolgende verschijnselen.

14

Poisson-verdeling (vervolg)

Toelichting op het begrip ‘zelden’. Als het bijvoorbeeld gaat om exemplaren in een volume, dan wordt met ‘zelden’ bedoeld: dat het exemplaar zelf een klein volume inneemt

ten opzichte van het gemiddelde volume dat aan elk exemplaar ter beschikking staat. Het aantal exemplaren behoeft beslist niet klein te zijn.

15

Poisson-verdeling (vervolg)

De parameter is gelijk aan het gemiddelde aantal exemplaren per eenheid van volume of tijd. Gemiddeld over een zeer groot volume of

gemiddeld over een zeer lange tijdsperiode.

Klassiek voorbeeld (Bortkiewicz, 1898) Uit 200 jaarverslagen van 10 Pruisische

cavaleriekorpsen over een periode van 20 jaar volgen de onderstaande aantallen ongelukken per jaar met dodelijke afloop tengevolge van de trap van een paard. k aantal rel.freq. theorie #trappen

0 109 0.545 0.544 01 65 0.325 0.331 652 22 0.110 0.101 443 3 0.015 0.021 94 1 + 0.005 + 0.003 + 4 + 200 1 1 122 gemiddeld aantal trappen per jaar = 122/200 = 0.61

17

Klassiek voorbeeld (Bortkiewicz, 1898)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3 4

Observed

Theory

=0.61

k=0, 1, 2, 3, 4,...

p(k)=exp(-0.61).(0.61)k

k!k

p(k)

18

Het verjaardagsprobleem

P(1 of meer) = 1 - P(0) P(1 of meer) = 1 - Bin((1/2)*m*(m-1);1/365) P(1 of meer) = 1 - Poisson(0; (1/2)*m*(m-

1))

Bin(n; p) Poisson()

n Bin Poisson10 0,11614 0,11599120 0,406229 0,40580522 0,469399 0,46893823 0,500477 0,50000224 0,531023 0,53053625 0,560908 0,56041250 0,965291 0,965131

100 0,999999 0,999999200 1 1400 1 1

19

Binomiaal vergeleken met Poissonbenadering

n Bin Poisson10 0,11614 0,11599120 0,406229 0,40580522 0,469399 0,46893823 0,500477 0,50000224 0,531023 0,53053625 0,560908 0,56041250 0,965291 0,965131

100 0,999999 0,999999200 1 1400 1 1

De benadering werkt als n groot is en p klein.

n*p =

De kansen op k successen zijn praktisch gelijk.

De logarithische-verdeling of wet van Benford

21

De logaritmische verdeling of de wet van Benford

De wet van Benford:In veel getallenverzamelingen (die random zijn ontstaan) bezitten de eerste cijfers van de getallen een aflopende verdeling die begint met ongeveer 30% voor het cijfer 1, ca. 18% voor het cijfer 2, en zo verder tot ongeveer 5% voor het cijfer 9.

Frank Benford (1883 - 1948)

22

twee vragen dringen zich op

Wat is een getallenverzameling die ‘random’ is ontstaan ?

Hoe groot zijn die kansen voor het optreden van de eerste cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 dan wel precies? NB: Het gaat om het

eerste cijfer (van links naar rechts gaande) dat ongelijk is aan nul; d.w.z. het meest significante cijfer.

de antwoorden verzameling van fundamentele

natuurconstanten getallen in kranteartikelen oppervlakten van meren en

rivieren lengten van telefoongesprekken helderheidsverdelingen van

sterren tegoeden op bankrekeningen grootten in bytes van

printbestanden

de logaritmische verdeling

24

De logaritmische verdeling

In het tientallige stelsel is de uitkomstenverzameling: {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Kansen zijn:

Opgave: Toon zelf aan dat de som van deze negen kansen gelijk is aan 1.

pi

iii

10 1log ; = 1,2, ... ,8,9

25

Paginagrote advertentie van ah in de dagbladen van 12 juli 1989

Geteld cijfer 1 42.2 % cijfer 2 16.5 % cijfer 3 9.1 % cijfer 4 5.5 % cijfer 5 7.3 % cijfer 6 8.3 % cijfer 7 3.7 % cijfer 8 3.7 % cijfer 9

3.7 %

Theoretisch verwacht cijfer 1 30.0 % cijfer 2 17.6 % cijfer 3 12.5 % cijfer 4 9.7 % cijfer 5 7.9 % cijfer 6 6.7 % cijfer 7 5.8 % cijfer 8 5.1 % cijfer 9 4.58%

Kunnen we de verschillen verklaren ??

De meetkundige of geometrische kansverdeling

27

De logaritmische verdeling vergeleken met de meetkundige of geometrische verdeling

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

logaritmischgeometrisch

28

De meetkundige of geometrische verdeling

pqpqqpqqqpqqqqp… + 1

…

11

1

)1( 432

pp

qp

qqqqp

qqqpqqpqpp

)1/(1

)1(1

1

...

...1

qS

qS

qSS

qSqqqqqqqqqq

Sqqqqqqqqqq

af

29

De negatief-exponentiële kansverdeling

2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

De negatief-exponentiële verdeling

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

f(x)

f(x)= e x

=1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f(x) = e –x

= exp(-x)

= 0.5

1/

1/

0.5

31

De negatief-exponentiële verdeling

De stochast Y met U = {y | y>0} heet (negatief-) exponentieel verdeeld als:

21/=Var(X)

1/=(X)

)0(01)(

)(

E

xexF

exfx

x

32

De negatief-exponentiële verdeling

VoorbeeldenDe tussentijden bij radioactieve

desintegratie

De levensduur van sommige artikelen (gloeilampen)

Tijdstippen tussen twee opeenvolgende telefoongesprekken of bezoeken aan een loket (giromaat,...)

33

De negatief-exponentiële verdeling

rij van Bernoulli-experimenten

geometrische verdeling

binomiale verdeling

t

rij van neg.-exp. verd. intervallen

Poisson-verdeling

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.05

0.1

0.15

0.2

t

aantal per tijdseenheid

De negatief-exponentiële verdeling

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

experimenteel gevonden fracties

theoretische kansen, berekend met de Poisson(2.5)-verdeling

Hieronder staat het resultaat van het tellen van ‘het aantal begintijdstippen per 5 seconden’ van een rij van 1000 Exp(=0,5 sec)-verdeelde aaneengesloten tijdsintervallen.

aantal per 5 sec 5 seconden

2 sec

35

Twee kanten van één medaille

Poissonverdeling(aantallen aankomsten per vaste tijdseenheid)

Negatief-exponetiële verdeling (verdeling van tussenaankomsttijden)