Ontwikkeling van een crash-platform voor extreme...

Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep

Mechanische Constructie en Productie

Voorzitter: Prof. Dr. Ir. J. DEGRIECK

Ontwikkeling van een crash-platform

voor extreme impactbelastingen

door

Davy STANDAERT

Jeroen GOETHALS

Promotoren: Prof. Dr. Ir. J. DEGRIECK, Prof. Dr. Ir. W. VAN PAEPEGEM

Scriptiebegeleider: Ir. E. LAMKANFI

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van

burgerlijk bouwkundig ingenieur

Academiejaar 2006–2007

Voorwoord

Bij de start van het academiejaar moet iedere laatstejaarsstudent een thesisonderwerp kiezen,

al vlug bleek dat we allebei interesse hadden in hetzelfde onderwerp, hieruit ontstond onze

samenwerking. Onze achtergrond als industrieel ingenieur heeft de interesse voor dit onderwerp

opgewekt, we zagen hierin een praktische oefening op de opgedane kennis tijdens onze studies

burgerlijk bouwkundig ingenieur. Het vergde een grote inspannning, maar we zijn zeer trots om

het eindresultaat aan u voor te stellen.

Aan het begin van dit afstudeerwerk zouden we enkele personen willen bedanken voor hun

hulp bij het realiseren ervan. Eerst en vooral willen we onze promotoren, Prof. Dr. Ir. Joris

Degrieck en Prof. Dr. Ir. Wim Van Paepegem bedanken voor het ter beschikking stellen van de

software waarvan we gebruik mochten maken. Ook volgden ze ons eindwerk regelmatig en met

deskundige commentaar op. Tevens willen we onze begeleider, Ebrahim Lamkanfi danken voor

de steun, de opvolging en de nuttige tips die hij ons gegeven heeft doorheen het academiejaar.

Hij was steeds bereid hulp te verschaffen en enkele nieuwe ideeen aan te brengen. Tevens gaat

een woord van dank uit naar Prof. Dr. Ir. Patricia Verleysen die hulp bood bij het opstellen van

de spectra van de impactbelasting. Tenslotte willen we alle mensen bedanken die onrechtstreeks

in contact gekomen zijn met ons eindwerk (hierbij denken we in de eerste plaats aan onze ouders

en vrienden) en ons zo op de een of andere manier geholpen hebben.

Davy Standaert

Jeroen Goethals

4 juni 2007

Toelating tot bruikleen

“De auteurs geven de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van

de scriptie te kopieren voor persoonlijk gebruik.

Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met be-

trekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten

uit deze scriptie.”

“The author gives the permission to use this thesis for consultation and to copy parts of it for

personal use.

Every other use is subject to the copyright laws, more specifically the source must be extensively

specified when using results from this thesis.“

4 juni 2007

Davy Standaert Jeroen Goethals

Ontwikkeling van een crash-platform

voor extreme impactbelastingen

doorDavy STANDAERTJeroen GOETHALS

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad vanburgerlijk bouwkundig ingenieur

Academiejaar 2006-2007

Promotoren: Prof. Dr. Ir. J. DEGRIECK, Prof. Dr. Ir. W. VAN PAEPEGEMScriptiebegeleider: Ir. E. LAMKANFIFaculteit IngenieurswetenschappenUniversiteit Gent

Vakgroep Mechanische Constructie en ProductieVoorzitter: Prof. Dr. Ir. J. DEGRIECK

Samenvatting

Een drop weight test is een valopstelling waarbij men een impactor vanop een bepaalde hoogtenaar beneden laat vallen op een proefstuk en nagaat welke schade aangericht wordt aan hetproefstuk. Dergelijke testen worden reeds vaak uitgevoerd in laboratia maar weliswaar op kleineschaal. De uitdaging van deze thesis is om een crash platform te ontwikkelen voor een nieuwegrootschalige drop weight test, met een valhoogte van 25 m en een gewicht van de impactorvan 500 kg. Het is de bedoeling deze proefopstelling te bouwen in een bestaande toren van deUniversiteit Gent. Een dergelijke proefopstelling bestaat constructief uit twee delen, enerzijdsis er de bovenbouw die het valgewicht takelt, loslaat en begeleidt tijdens de val, anderzijds iser het crash platform waarop het proefstuk gemonteerd wordt en dat de krachten opvangt enoverdraagt naar de fundering. Vandaar dat het ontwerp van de proefopstelling opgesplitst werdin twee thesisonderwerpen. In dit werk wordt het crash platform van deze grootschalige dropweight test ontworpen. Dit platform moet in staat zijn de impactbelasting op te vangen en uit tedempen zodat de fundering en omliggende constructies zo weinig mogelijk hinder ondervinden.

In Hoofdstuk 1 wordt kort kennis gemaakt met de drop weight test door het geven van enkelevoorbeelden. Daarna wordt een beeld geschetst van de bestaande toren waarin de proefopstellingdient te komen om uiteindelijk te komen tot de doelstelling en afbakening van de thesis.

In Hoofdstuk 2 wordt een voorstel gedaan voor de opbouw van het crash platform. Voor hetuitvoeren van de analytische berekeningen wordt dit crash platform omgevormd tot een modelmet twee vrijheidsgraden. Drie methoden worden toegepast op het model, vooreerst wordt geenrekening gehouden met demping en komt men tot een eerste voorstel voor de dimensies vanhet crash platform. De overige twee methoden houden wel rekening met demping en zullen het

eerste ontwerp verfijnen, om zo te komen tot een optimaal ontwerp. Uiteindelijk worden deverscheidene analytische methodes met elkaar vergeleken en besproken.

In Hoofdstuk 3 wordt het optimale ontwerp van Hoofdstuk 2 onderworpen aan een numeriekeberekening. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van het eindige elementpakket ABAQUS. Erworden twee grote groepen van modellen opgesteld, enerzijds wordt de impactbelasting ge-simuleerd als een sinusbelasting, anderzijds wordt de impactor mee gemodelleerd. Voor elk vandeze modellen worden verschillende simulaties uitgevoerd en worden de resultaten besproken envergeleken.

Hoofdstuk 4 heeft als doelstelling een vergelijking te maken tussen de analytische en numeriekeberekeningen. Er wordt nagegaan als de gesloten formules van de analytische berekening corres-ponderen met de numerieke simulaties uit ABAQUS.

Uiteindelijk geeft Hoofdstuk 5 een besluit over het ontwerp van het crash platform op basis vande berekeningen in de vorige hoofdstukken.

Trefwoorden

impact, crash platform, dynamica, eindige-elementenmethode

Development of a crash-platform for extremeimpact loads

Davy Standaert, Jeroen Goethals

Supervisor(s): Joris Degrieck, Wim Van Paepegem

Abstract—This article explains the development of a crash platform fora new drop weight test on large scale (drop height of 25 m, weight of tupof 500 kg). The crash platform will be transformed into a model which canbe submitted to analytical and numerical calculations. These two types ofcalculations will be compared and a final design of the crash platform willbe proposed.

Keywords—Impact, Crash platform, Dynamics, Finite-elementsmethod

I. INTRODUCTION

IN a drop weight test a falling weight, known as tup, fallsfrom a certain height on a testobject. This type of test has

been executed several times but mostly on small size. The dropweight test, discussed here, deals with a drop height of 25 m anda weight of the tup of 500 kg. You can imagine that a test withthese dimensions results in extreme impact loads. These loadsneed to be absorbed and reduced by a crash platform on whichthe testobject is mounted. For the design of the crash platform,we assume that the tup drops directly on the platform, which isthe worst case scenario.

The aim is to build the construction for the drop weight testin an existing drop tower, located in the centre of Ghent. Con-sequently the vibrations created by the drop test have to be re-duced and damped, otherwise damage will occur on the existingfoundations of the drop tower and the surrounding buildings.

II. ANALYTICAL CALCULATIONS

A. Model

A typical arrangement of a crash platform for a drop weighttest at large scale, which is the case here, consists of a steel anviland a foundation block in concrete. To reduce the transmissionof impact stresses to the concrete block and the foundation, anelastic pad consisting of rubber, air springs or another dampingmaterial is provided between the anvil and the foundation blockand below the foundation block. The arrangement is shown inFig. 1.

As the stiffness of through is usually very high compared tothat of the pad below the foundation block, the through maybe assumed to be rigidly supported on the foundation and sothe arrangement can be presented as a two mass-spring-dashpotmodel in Fig. 2.

B. Analysis of the model

The equations of motion for the model shown in Fig.2 can bewritten as:

m1 · z1 + k1 · (z1 − z2) + c1 · (z1 − z2) = F (t) (1)

m2 · z2 +k2 ·z2 +c2 · z2−k1 ·(z1−z2)−c1 ·(z1− z2) = 0 (2)

Elastic pad

Elastic pad

Through

Anvil

Foundation block

Tup

Fig. 1. Arrangement for the crash platform

Anvil

Foundation block

m1

m2

k1

k2

z1

z2

Tup

c1

c2

Fig. 2. Two mass-spring-dashpot model of the crash platform

in which F (t) represents the impact load. To solve the equationsof motion three types of methods are used. The first methodis called the method for impact machines and is derived fromliterature [1] and doesn’t take damping into account, in contrastwith the other two methods. The second method is based onthe law of conservation of momentum and assumes that the tupstays on the anvil after impact. Those two methods start thecalculations after impact, which means that the amplitudes ofanvil and foundation vibration are computed by considering thefree vibrations of the system and given an initial velocity to theanvil by the impact of the tup. The third method is called themethod impact load and describes the behavior of the tup andthe system by equations of motion of both and makes it possibleto determine the behavior of the system during the impact andafter impact (free vibration). This method also deals with a localdeformation of the anvil by the formula of Hertz [2]. The methodimpact load makes it possible to determine the impact load F (t)

and it seems that this load is very similar to a sine-function witha half period. By changing the ratio of modulus of elasticity,which is a parameter in the formula of Hertz, it is possible inthis method to simulate two types of impact: a hard impact,E1/E2 = 1 and a soft impact E1/E2 = 1.000. The last one isthe most realistic because it assumes an impact between a rigidbody (the anvil) and a more deformable body (the tup).

C. Results

After several simulations, by changing the parameters (m, kand c see Fig.2) in the three methods we came to a mass of thesteel anvil of 6.280 kg and of the concrete foundation block of20.000 kg. The surface of the parts is limited by the geometrie ofthe drop tower to 2 by 2 square metres. The value of the springconstants k1 and k2 is set at 50.000.000 N/m and the dampingconstants c1 and c2 at 250.000 N.s/m. With these parameterswe found, for a hard impact, to a maximal amplitude of anvilvibration of 30 mm and 20 mm for the foundation block vibra-tion. The vibration was damped out after 1,5 s in both parts.The impact load F (t) for hard impact has a maximal value of40 MN. The same values for soft impact are 29 mm of maximalamplitude of anvil vibration and 19 mm for the foundation blockvibration. The vibrations are damped out after 1,3 s in both partsand the maximal value of the impact load is 3,3 MN. The periodof anvil and foundation block vibration is 0,18 s.

D. Remark

The anvil and foundation block are not a problem becausethey are steel and concrete parts. The elastic pads on the otherhand can consist of several materials. In the crash platform,handled here, is chosen for a rubber pad between the anvil andfoundation block and air springs below the foundation block.After calculation we found to a rubber of 0,16 m of thicknessand a modulus of elasticity of 2.000.000 Pa. The air springs aresingle convolution springs type 19 by Firestone [3], 16 pieceswith a total spring constant of 50.000.000 N/m.

III. NUMERICAL CALCULATIONS

For the numerical calculations the finite element programABAQUS is used. The advantages are that we can take materialbehavior into account and the local deformations of the parts bydividing these parts into elements (mesh).

A. Modelling

In ABAQUS the model with the dimensions obtained fromthe analytical calculations is used, only one fourth of the crashplatform is modelled for reasons of symmetry. Two groups ofmodels are considered: one uses a sine-function as impact load,in the other group the tup is also modelled, which seems to bemore realistic. A further division is made by the type of impact,hard and soft. Finally we also make a difference in the materialbehavior. The steel of the anvil can be elastic or elastic-plastic.The concrete of the foundation block is elastic. The two elas-tic pads are modelled as a hyperelastic 8% sulfur rubber withthe Arruda-Boyce strain energy potential. This means that theair springs are replaced by rubber because of the difficulty ofmodelling air springs in ABAQUS.

B. Results

The results of the different models are analysed by the defor-mations and stresses in the different parts. The first conclusionis that there seems to be a good agreement in maximal ampli-tudes of anvil and foundation block between the two groups ofmodels. This means that the impact load modelled by a sine-function was a realistic choice. During soft impact there is noinfluence of the steel as an elastic material or an elastic-plasticmaterial, indeed the deformations of the anvil at impact zone arenot plastic and thus the stress stays below the yield stress. Thisis not the case when modelling a hard impact. If the steel ismodelled as an elastic-plastic material, plastic deformations ex-ist at the zone of impact and the stresses there exceed the yieldstress. As moving further from this impact zone the stressesdecrease and no more plastic deformations appear. It seems ob-vious that a hard impact involves plastic deformations which isconfirmed by the model in ABAQUS. The stress wave, causedby the impact, is especially perceptible in the anvil and less inthe foundation block. This is because the rubber between theanvil and foundation block isolates the stress wave in the anvil.The function of the foundation block is not to absorb stress butto create mass and so it reduces the vibrations. A view of themotion of the rubber below the anvil can be seen in Fig.3

Fig. 3. Motion of the rubber below the anvil

After several simulations we retain one model in which thetup is also modelled as a part. We choose the model with thesteel as an elastic-plastic material, concrete elastic and rubberhyperelastic. This results for the soft impact in a maximal ampli-tude of anvil vibration of 28 mm and 17 mm for the foundationblock vibration. For the hard impact this results in a maximalamplitude of anvil vibration of 15 mm and 9 mm for the founda-tion block vibration. The period is as well for the anvil as thefoundation block vibration equal to 0,2 s.

IV. CONCLUSIONS

As we compare both types of calculations, numerical and ana-lytical, the results are very similar for a soft impact but differentfor the hard impact, this is because the numerical method takesthe material behavior into account, especially the plastic defor-mations. The numerical calculations are always more accurateand the analytical calculations can be used to make a draft of thecrash platform.

REFERENCES

[1] S. PRAKASH, V. PURI, Foundations for Machines: Analysis and Design,John Wiley & Sons, New York (1988).

[2] W. BEITZ, K.-H. KUTTNER, Dubbel-Taschenbuch fur den Maschinenbau,Springer-Verlag, Berlin (1981).

[3] http://www.airsprings.com.au/Docs/PDF/ASAM 011 e.pdf

INHOUDSOPGAVE vii

Inhoudsopgave

Voorwoord i

Overzicht iii

Extended Abstract v

1 Inleiding 1

1.1 Drop weight test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Bestaande infrastructuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Doel en afbakening van de thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Analytische berekeningen 8

2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Methode voor impact machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Soorten funderingen voor impact machines . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Keuze elastische lagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Opstellen van een model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.4 Analyse van het ongedempt model met twee vrijheidsgraden . . . . . . . . 16

2.2.5 Ontwerpprocedure voor het crash platform . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.6 Ontwerp van het crash platform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Definitief model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Methode van behoud van impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Methode impactbelasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.1 De vrije val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.2 Tijdens contact met het aambeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.3 Filosofie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

INHOUDSOPGAVE viii

2.5.4 Programma impactbelasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5.5 Analyse resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.6 Bespreking elastische lagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6.1 Rubberlaag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.6.2 Luchtveren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.7 Vergelijking methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7.1 Beschrijving van de verschillende methodes . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.7.2 Vergelijking van de verschillende methodes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.8 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Numerieke berekeningen 68

3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2 Eindige-elementenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1 Sinusbelasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.2 Impactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Modellering in ABAQUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.2 Materialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.3 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4.4 Stappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.4.5 Interactie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4.6 Belasting en randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4.7 Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5 Resultaten en bespreking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5.1 Verplaatsingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.5.2 Spanningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.6 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4 Vergelijking analytische en numerieke berekeningen 111

4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.1 Materiaaleigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

INHOUDSOPGAVE ix

4.2.2 Impactbelasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2.3 Plastische vervormingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2.4 De demping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2.5 De trilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5 Besluit 116

A MATLAB programma’s 120

B Formule van Hertz 137

C Catalogus luchtveren 143

D Hyperelastisch gedrag van rubber 149

D.1 Rek energie potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

D.2 8% sulfur rubber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

INLEIDING 1

Hoofdstuk 1

Inleiding

In dit hoofdstuk wordt het thesisonderwerp voorgesteld. Eerst wordt kort kennis gemaakt

met de drop weight test, want in deze thesis wordt een gedeelte van een grootschalige drop

weight test ontwikkeld. Daarna wordt een beeld gevormd van de bestaande infrastructuur waar

de proefopstelling zal terecht komen en de daaraan verbonden beperkingen. Tenslotte worden

het doel en de afbakening van deze thesis toegelicht.

1.1 Drop weight test

Een proefopstelling waarbij men een gewicht van een bepaalde hoogte naar beneden laat

vallen en bestudeert wat de impact hiervan is op een ander voorwerp, kan algemeen omschreven

worden als een drop weight test. Deze testen bestaan in alle vormen en dimensies. Met enkele

voorbeelden wordt getracht een dergelijke proefopstelling te verduidelijken.

In een doorsnee laboratorium waar men aan materiaalonderzoek doet en waar de interesse

uitgaat naar het materiaalgedrag onder een impactbelasting, vindt men standaard proefop-

stellingen zoals in Figuur 1.1. Met dergelijke toestellen wordt een valhoogte van 1,25 m bereikt,

uiteraard bestaan er ook grotere modellen. Duurdere types kunnen met behulp van luchtdruk

hogere valhoogtes (bv. 20,4 m) simuleren. De impact-energie is bij dit type opstellingen steeds

beperkt.

1.1 Drop weight test 2

Figuur 1.1: Standaard impact machine

Een variant op de drop weight test is deze waarbij men het testobject zelf laat vallen van

een bepaalde hoogte in plaats van een valgewicht te laten vallen op het testobject. Dit doet

men bijvoorbeeld om containers die nucleair materiaal bevatten te testen. Dergelijke testen

vinden onder meer plaats in The Federal Institute for Materials Research and Testing (BAM)

in Horstwalde, 50 km ten zuiden van Berlijn. Het BAM heeft nog andere drop weight test

opstellingen, maar dit is de meest indrukwekkende, zie Figuur 1.2. De toren heeft een totale

hoogte van 36 m en kan testen uitvoeren met een maximaal gewicht van 200 ton en tot 30 m

valhoogte. De impact wordt overgedragen naar de ondergrond met behulp van een gewapende

betonblok van 2450 ton (dikte: 5 m, opp.: 14m x 14 m) waarop een stalen plaat van 22 cm dikte

en een oppervlakte van 10 m x 4,5m wordt gemonteerd.

a b c

Figuur 1.2: BAM: a. Algemeen overzicht b. De proefopstelling c. De impact

1.2 Bestaande infrastructuur 3

Het woord proefopstelling is al enkele malen gevallen vandaar dat het nuttig is om dit

wat beter te omschrijven. Zoals gebleken gaat het om een proefopstelling voor het uitvoeren van

drop weight testen. Een eenvoudig voorbeeld toont aan waarvoor de proefopstelling zou kunnen

gebruikt worden:

In heel wat opslagplaatsen van bedrijven rijden vorkheftrucks rond, die voorwerpen van rekken

halen en vervolgens wegvoeren. Het kan nu gebeuren dat een voorwerp toevallig naar beneden

valt op het dak van zo’n vorkheftruck. Het dak ondervindt deze impact en zal voldoende stevig

moeten zijn om de bestuurder te beschermen. Men zou dus een dergelijke vorkheftruck aan een

drop weight test kunnen onderwerpen.

Constructief kan een proefopstelling van een drop weight test in twee delen gesplitst worden.

Enerzijds is er de valconstructie, dit is een soort frame dat het valgewicht takelt en via een

loslaatmechanisme naar beneden laat vallen. Anderzijds is er een platform waarop het proefstuk

bevestigd is en die de impact van het valgewicht opvangt. Vandaar dat het ontwikkelen van zo

een proefopstelling opgesplitst wordt in twee thesisonderwerpen. De thesis van Alfons Theerens

en Bert Herteleer [1] behandelt de valconstructie en men kan dit de bovenbouw noemen. In dit

afstudeerwerk wordt een crash platform ontwikkeld dat de impactbelastingen veilig overdraagt

naar de fundering en men kan dit de onderbouw noemen. Deze twee delen kunnen uiteraard

niet volledig afzonderlijk beschouwd worden want het gaat tenslotte over dezelfde proefopstelling.

Vandaar dat er in bepaalde delen van deze thesis zal verwezen worden naar de bovenbouw. Bij

een proefopstelling komt er ook nog het luik van de instrumentatie. Dit omhelst het opmeten

van grootheden tijdens de proef zelf, dit gedeelte zal echter niet in dit afstudeerwerk behandeld

worden.

1.2 Bestaande infrastructuur

Op dit moment beschikt de Universiteit Gent over een toren gelegen langs de Sint Pieters-

nieuwstraat, zie Figuur 1.3 voor de exacte locatie. Deze toren was oorspronkelijk gebouwd voor

het uitvoeren van windtunneltesten, maar reeds gedurende verscheidene jaren staat de toren

volledig leeg. Een beeld van de toren is weergegeven in Figuur 1.5. In de toren is een schacht

voorzien met een totale hoogte van circa 32m en een opening van 3×3 m, in Figuur 1.4 kan men

de openingen zien in de tussenvloeren die de schacht vormen. Binnen de vakgroep Mechanische

Constructie en Productie is het idee ontstaan om deze toren te gaan gebruiken voor het uitvoeren

van drop weight testen. Het zou de bedoeling zijn om de proefopstelling te vervaardigen in deze


torenschacht. De bestaande toren met daarin de torenschacht legt een aantal beperkingen op

aan de proefopstelling:

� De torenschacht heeft een oppervlakte van 3 × 3 m en hierin zal de valconstructie en het

crash platform moeten ingepast worden. Het beproeven van zeer grote testobjecten (zoals

containers in het BAM) is bijgevolg uitgesloten. Vanwege de dimensies van de bovenbouw

moet de oppervlakte van het crash platform beperkt worden tot een oppervlakte van

2× 2 m.

� Constructieve redenen, zoals de ruimte die nodig is voor de takel en het loslaatmechanisme

alsook de valconstructie zelf, zullen ervoor zorgen dat er geen gebruik kan gemaakt worden

van de volledige 32m. De valhoogte zal daarom beperkt worden tot 25m.

� De bestaande fundering van de toren is hoogstwaarschijnlijk een fundering op staal. Derge-

lijke funderingen zijn niet in staat om hoge impactbelastingen (500 kg, valhoogte 25 m) over

te dragen naar de ondergrond. Er moet naast de bestaande fundering een nieuwe fundering

voorzien worden die wel in staat is om de impactbelasting over te dragen.

� De toren zelf kan ten gevolge van de impactbelasting grote trillingen ondervinden. Voor

dergelijke gebouwen zijn trillingen op lange termijn fataal. Er moet bijgevolg een construc-

tie ontwikkeld worden die deze trillingen vernietigt of uitdempt. Deze constructie wordt

het crash platform genoemd.

� Door de locatie van de toren, in het centrum van Gent, zijn de eerder besproken trillingen

ook nefast voor de omliggende gebouwen. Vandaar dat het ontwikkelen van een crash

platform onvermijdelijk is. Bij andere drop weight tests zoals die van het BAM, bevindt

de opstelling zich in een onbewoond gebied en kunnen de trillingen vrij in de ondergrond

worden geleid.


Toren

Figuur 1.3: Locatie toren

3m

3m

Figuur 1.4: Torenschacht

1.3 Doel en afbakening van de thesis 6

Figuur 1.5: Algemeen zicht toren

1.3 Doel en afbakening van de thesis

Schematisch kan een valopstelling weergegeven worden zoals in Figuur 1.6. Het onderscheid

tussen de bovenbouw, zijnde de valconstructie, en de onderbouw, zijnde het crash platform wordt

daar nogmaals aangegeven. In deze thesis wordt enkel het crash platform behandeld. Voor de

ontwikkeling van het crash platform worden volgende gegevens over de valopstelling verzameld:

� Het crash platform wordt ontwikkeld voor een drop weight test met een hoogte van maxi-

maal 25m en een impactor (valgewicht) van maximaal 500 kg.

� Het crash platform moet weerstand kunnen bieden tegen de meest nadelige situatie en dit

is wanneer de impactor rechtstreeks inslaat op het crash platform. Wanneer deze situatie

zich voordoet spreekt men van een accidentele belasting.

� Het crash platform moet kunnen ingepast worden in de bestaande torenschacht van de

toren.

1.3 Doel en afbakening van de thesis 7

Uit deze ontwerpgegevens moet een ontwerp van het crash platform volgen. De dimensione-

ring gebeurt volgens analytische en numerieke berekeningsmethoden. Het louter dimensioneren

is echter niet de enige doelstelling, daarnaast worden de verschillende berekeningsmethoden

kritisch geanalyseerd en met elkaar vergeleken.

Crash-platform

Valconstructie

Fundering

Figuur 1.6: Schematische voorstelling van een valopstelling

ANALYTISCHE BEREKENINGEN 8

Hoofdstuk 2

Analytische berekeningen

2.1 Inleiding

Na het voorstellen van het onderwerp, kan overgegaan worden tot de ontwikkeling van

het crash platform. Er wordt gestart met een bestaande modelleringsprocedure voor impact

machines, maar dan toegepast op deze proefopstelling. Deze modelleringsprocedure wordt de

methode voor impact machines genoemd. Hierbij wordt er echter geen rekening gehouden met

demping en wordt de impactbelasting zelf buiten beschouwing gelaten, wat voor een eerste

benadering van het probleem aanvaardbaar is.

Vervolgens worden nog twee methoden uitgewerkt die wel rekening houden met demping,

daar het de bedoeling is de opgewekte trilling ten gevolge van de impact zo vlug mogelijk te

dempen. In de eerste methode wordt de impact zelf buiten beschouwing gelaten terwijl bij de

tweede methode getracht wordt de impactbelasting zelf en de responsie erop te begroten. Voor

de eenvoud wordt de eerste methode, de methode van behoud van impuls genoemd en de tweede

de methode impactbelasting. Figuur 2.1 toont schematisch waar beide methoden starten met

hun berekeningen. Het verloop van een crash test kan opgesplitst worden in de zuivere impact

en de responsie erop. De methode van behoud van impuls start na de impact en de methode

impactbelasting neemt de impact in beschouwing.

Ten slotte worden de drie methodes met elkaar vergeleken en beoordeeld. Er wordt op basis

van de resultaten van deze methoden een definitieve keuze gemaakt voor de afmetingen van de

verschillende onderdelen van het crash platform.

2.2 Methode voor impact machines 9

Impact Responsie in vrije trilling

Tijd

Methode behoud van impuls

Methode impactbelasting

Figuur 2.1: Afbakening methodes

2.2 Methode voor impact machines

Een drop weight test vertoont veel gelijkenissen met een impact machine: het aanslaan van

een hamer of een impactor op een aambeeld leidt zowel bij een drop weight test als bij een

impact machine tot het ontstaan van een schokbelasting die uitgeoefend wordt op het stootblok.

Deze schokbelasting, ook wel impulsbelasting genoemd, is een kortstondige, niet-periodisch aan-

grijpende kracht. Een voorbeeld van een schokbelasting met uniforme intensiteit F0 en duur τ

is weergegeven in Figuur 2.2.

F(t)

t0

F0

Figuur 2.2: Schokbelasting met intensiteit F0 en duur τ


In de literatuur zijn verscheidene methodes beschreven voor het ontwerpen van funderingen

voor impact machines. Aangezien een drop weight test kan vergeleken worden met een impact

machine zal in deze paragraaf een methode uit de literatuur [2] voor het ontwerpen van impact

machines toegepast worden op de valopstelling. In eerste instantie wordt een type crash platform

gekozen, dat zal omgevormd worden tot een ongedempt model met twee vrijheidsgraden en

waarvan een analyse zal uitgevoerd worden. Op die manier komt men tot een ontwerpprocedure,

die dan specifiek zal toegepast worden op de valopstelling.

2.2.1 Soorten funderingen voor impact machines

Een opstelling van een impact machine bestaat uit een valconstructie, een valgewicht, een

aambeeld en een funderingsblok. In het Engels spreekt men over de volgende benamingen:

frame, tup, anvil, foundation block. De verschillende onderdelen worden kort toegelicht:

� De valconstructie is een constructie die het valgewicht takelt en naar beneden laat vallen.

� Het valgewicht is het voorwerp dat naar beneden valt. Voor het ontwerp van het crash

platform zal gewerkt worden met een gewicht van maximaal 500 kg.

� Het aambeeld is een massieve stalen blok waarop het valgewicht neerkomt. Bij een proef-

opstelling zal er op dit aambeeld een proefstuk (bv. een bumper van een auto) gemonteerd

worden die de impact van het valgewicht ondergaat.

� Het funderingsblok is een gewapend betonnen blok.

Er bestaan verschillende schikkingen van aambeeld en funderingsblok voor impact machines.

De mogelijkheden zijn weergegeven in Figuur 2.3.


Figuur 2.3: Verschillende schikkingen voor aambeeld en funderingsblok [2]


In geval van kleine impact kan het aambeeld rechtstreeks op het funderingsblok geplaatst

worden (Figuur 2.3(a)). De overdracht van de impact naar het funderingsblok kan gereduceerd

worden door een elastische laag van rubber, kurk of een ander dempend materiaal aan te brengen

tussen het aambeeld en het funderingsblok (Figuur 2.3(b)). In het geval van grotere impact

kan de elastische laag vervangen worden door veren en dempers (Figuur 2.3(c)). De impact,

die door het funderingsblok aan de fundering wordt overgedragen, kan op zijn beurt nog eens

gereduceerd worden door onder het funderingsblok een elastische laag of veren en dempers aan

te brengen (Figuur 2.3(d) en (e)). De schikkingen van Figuur 2.3 voor impact machines kunnen

gebruikt worden om een type crash platform voor de valopstelling te kiezen. De valopstelling

die in dit werk behandeld wordt, werkt met valgewichten van 500 kg en een valhoogte van 25 m.

Dit zorgt voor extreme impact belastingen die door het crash platform zoveel mogelijk moeten

gereduceerd worden. Er zal daarom enkel met de configuraties van Figuur 2.3(d) en (e) verder

gewerkt worden. Het crash platform van de valopstelling kan dan voorgesteld worden zoals

weergegeven in Figuur 2.4. In deze figuur bestaat het crash platform uit drie starre onderdelen:

aambeeld, funderingsblok en kuip. Deze laatste staat in contact met de fundering en is door een

luchtopening zijdelings gescheiden van het funderingsblok en aambeeld. De impact moet reeds

zodanig gereduceerd zijn door het systeem van aambeeld, funderingsblok en elastische lagen dat

de kuip zo goed als geen invloed van de impact ondervindt. Vandaar dat deze kuip het ideale

onderdeel vormt om de valconstructie op te bevestigen. Op die manier zal de valconstructie

gevrijwaard blijven van de trillingen afkomstig van de impact. In Figuur 2.4 ziet men ook dat

het valgewicht voorgesteld wordt door een impactor. Dit is enkel een kwestie van benaming en

in wat volgt zal verder gewerkt worden met de impactor als benaming voor het valgewicht.


Elastische tussenlaag

Elastische tussenlaag

Kuip

m1

m2

m3

k1

k2

Aambeeld

Funderingsblok

Impactor

Frame Frame

Figuur 2.4: Crash platform

2.2.2 Keuze elastische lagen

De term elastische laag moet men zeer ruim opvatten, traditionele metalen veren kunnen

hiervoor ook gebruikt worden. Er wordt echter gezocht naar materialen die een goede isolerende

en dempende werking hebben.

Als tussenlaag voor het aambeeld en het funderingsblok wordt gekozen voor rubber, vanwege

zijn dempende werking. Rubber is ook het ideale materiaal om een gelijkmatige krachtoverdracht

te verwezenlijken tussen het stalen aambeeld en het betonnen funderingsblok. Door het rubber

worden lokale spanningsconcentraties in het beton vermeden. Rubber heeft een goede dempende

werking maar scoort minder goed op het gebied van isolerende eigenschappen, vandaar dat

rubber alleen niet zal volstaan.

Om een goede isolerende werking te verkrijgen, wordt gebruik gemaakt van luchtveren tussen

het funderingsblok en de kuip. Het grote voordeel van luchtveren is dat de heersende luchtdruk


kan aangepast worden naar gelang de situatie, ze zijn dus zeer flexibel, daarenboven nemen ze

relatief weinig plaats in. Luchtveren zijn de best isolatoren, maar hun dempende werking is te

verwaarlozen.

Door de dempende werking van het rubber te combineren met de isolerende eigenschappen

van de luchtveren wordt het doel van het crash platform bereikt. Het komt er nu nog op neer

het type rubber en luchtveren te bepalen.

2.2.3 Opstellen van een model

Het crash platform in Figuur 2.4 kan omgevormd worden tot een model voor het opstellen van

analytische uitdrukkingen. Dit model is weergegeven in Figuur 2.5 en heeft drie vrijheidsgraden

die bestaan uit de verticale beweging van de stijve lichamen.

De berekeningen zullen verder vereenvoudigd worden door het maken van volgende aan-

names:

1. Het aambeeld, funderingsblok, kuip, frame en impactor zijn stijve lichamen.

2. De elastische tussenlagen en de grond kunnen gesimuleerd worden als equivalente, gewichtsloze,

elastische veren.

3. De demping van de elastische tussenlagen en de grond wordt verwaarloosd.

4. De duur van impact is kort in vergelijking met de periode van natuurlijke trilling van het

systeem.

5. Er is geen wrijving langsheen het funderingsblok.

6. De impactor slaat centrisch in op het aambeeld.

7. De stijfheid van de grond is veel groter dan de stijfheid van het systeem.

Geldigheid van de aannames

Aanname 1 over de stijfheid van het aambeeld, funderingsblok, kuip, frame en impactor is

als eerste benadering correct. Men kan zich weliswaar voorstellen dat de zone waar de impactor

op het aambeeld terecht komt meer zal doorbuigen. Maar om een beeld te krijgen van de

globale zakking van de onderdelen kan men deze als stijf veronderstellen. Door ervoor te zorgen

dat de spanningen en vervormingen van de elastische lagen in de elastische zone van het σ-ε


Aambeeld

Funderingsblok

Kuip

m1

m2

m3

k1

k2

Grond veer k3

c

c

c

z3

z2

z1

Impactor

Figuur 2.5: Model met drie vrijheidsgraden

diagram blijven, kan men deze inderdaad als elastisch beschouwen. De aanname van het elastisch

gedrag van grond gaat minder op, aangezien grond een visco-elastisch materiaal is. Aanname

2 is bijgevolg maar ten dele gerechtvaardigd. De derde aanname over het verwaarlozen van

de demping van de elastische lagen en de grond is niet correct. Elk materiaal beschikt over

dempingseigenschappen en deze kunnen niet zomaar buiten beschouwing gelaten worden. Het

systeem moet trouwens de trilling juist zo goed mogelijk proberen te dempen. Aanname 4

gaat wel op want de duur van impact is zeer kort terwijl het systeem na deze impact nog zal

natrillen met een periode groter dan de duur van impact (paragraaf 2.5). Het voorzien van

luchtopeningen tussen de kuip en het funderingsblok zorgt ervoor dat er geen wrijving ontstaat

langsheen het funderingsblok (aanname 5). De zesde aanname is enkel een kwestie van ontwerp.

In overleg met de studenten die de valconstructie ontwerpen is ervoor gekozen om de impactor

steeds centraal op het aambeeld te laten inslaan. Aanname 7 zorgt ervoor dat het model met

drie vrijheidsgraden kan vereenvoudigd worden tot een model met twee vrijheidsgraden. Men

gaat er namelijk van uit dat de elastische laag onder het funderingsblok steunt op een stijf geheel

bestaande uit de kuip en de fundering. De stijfheid van deze delen is inderdaad veel groter dan

de stijfheid van de elastische laag.

De aannames zijn weliswaar niet allemaal volledig correct, maar ze zorgen er daarentegen


wel voor dat de berekeningen van de trillingen van het crash platform vereenvoudigd kunnen

worden. Het model waarmee de berekeningen uitgevoerd worden, kan beschreven worden als

een ongedempt systeem met twee vrijheidsgraden en is afgebeeld in Figuur 2.6.

Aambeeld

Funderingsblok

m1

m2

k1

k2

z1

z2

Impactor

Figuur 2.6: Ongedempt model met twee vrijheidsgraden

2.2.4 Analyse van het ongedempt model met twee vrijheidsgraden

Het model met twee vrijheidsgraden zal nu verder onderzocht worden. De bewegingsverge-

lijkingen worden opgesteld, de natuurlijke frequenties van het systeem en de amplitudes van

trilling van het aambeeld en funderingsblok zullen bepaald worden.

Bewegingsvergelijkingen

De bewegingsvergelijkingen van het twee massa - twee veren systeem worden opgesteld door

het vrijmaken van de lichamen. Het vrijgemaakte model met de erop inwerkende krachten is

weergegeven in Figuur 2.7


Aambeeld

Funderingsblok

m1

m2

k1

k2

z1

z2

Impactor

( )a

Aambeeld

( )tF

+111zzz•••

Teken conventie

11zm••

⋅

( )211zzk −⋅

( )c

+

Funderingsblok

( )211zzk −⋅

22zk ⋅

22zm••

⋅

Teken conventie

( )d

222zzz

•••

( )b

+

Aambeeld

Funderingsblok

m1

m2

( )211zzk −⋅

22zk ⋅

( )tF

+111zzz•••

222zzz•••

Teken conventie

Figuur 2.7: (a) Systeem met twee vrijheidsgraden (b) Vrijgemaakt systeem (c) Vrijgemaakt

aambeeld (d) Vrijgemaakt funderingsblok

De positie waarin het systeem zich in Figuur 2.7(a) bevindt is een evenwichtspositie. Dit

wordt toegelicht aan de hand van een eenvoudig voorbeeld.

Figuur 2.8(a) toont een veer in niet-ingedrukte positie. Wanneer een massa m op de veer

geplaatst wordt, dan komt het massa-veer systeem terecht in de positie van Figuur 2.8(b). De

statische deflectie δstat van de veer vanuit de niet-ingedrukte positie is

δstat =m · g

k(2.1)

waarin m de massa, g de versnelling veroorzaakt door de zwaartekracht en k de veerconstante

voorstelt. De positie van het systeem dat correspondeert met die in Figuur 2.8(b) wordt

beschouwd als de evenwichtspositie. Wanneer dit toegepast wordt op het systeem in Figuur

2.7(a) dan stemt z1 = 0 en z2 = 0 overeen met een evenwichtspositie. Het aambeeld en

funderingsblok hebben al een statische deflectie ondergaan. Door te vertrekken vanuit deze


mstatδ

z=0

k k

evenwichtspositie

(a) (b)

Figuur 2.8: Massa-veer systeem. (a) Niet-ingedrukte veer (b) Evenwichtspositie

evenwichtspositie moet geen rekening meer gehouden worden met de gravitatiekrachten van het

aambeeld en funderingsblok. De krachten die op de vrijgemaakte lichamen inwerken in Figuur

2.7(c) en (d), zijn de volgende:

� m · z beschrijft de traagheid van het lichaam, wat wil zeggen dat er een kracht nodig is

om het lichaam te doen versnellen.

� k · z is een veerkracht. Het is een mechanische kracht waarmee het lichaam tracht zijn

oorspronkelijke vorm in te nemen na vervormd te zijn (ingedrukt of uitgetrokken).

� F(t) is de impactbelasting. Deze kracht wordt door de impactor op het systeem uit-

geoefend.

Het stel veralgemeende coordinaten die de beweging van het systeem beschrijft, worden gegeven

door

z(t) =

z1(t)

z2(t)

(2.2)

De snelheid en versnelling worden gegeven door z(t) en z(t). Het vrijmaken van het aambeeld

in Figuur 2.7(c) geeft de bewegingsvergelijking:

m1 · z1 + k1 · (z1 − z2) = F (t) (2.3)

Het vrijmaken van het funderingsblok in Figuur 2.7(d) geeft de tweede bewegingsvergelijking:

m2 · z2 + k2 · z2 − k1 · (z1 − z2) = 0 (2.4)


In vgln.(2.3) en (2.4) zijn m1 de massa van het aambeeld, m2 de massa van het funderingsblok,

k1 een equivalente veer voor de elastische laag onder het aambeeld, k2 een equivalente veer voor

de elastische laag onder het funderingsblok, z1 de verplaatsing van het aambeeld en z2 de ver-

plaatsing van het funderingsblok. Vgln.(2.3) en (2.4) vormen een stelsel bewegingsvergelijkingen

die de beweging van het crash platform beschrijven.

Natuurlijke frequenties

De natuurlijke frequenties van het crash platform worden bekomen door het systeem te

beschouwen in vrije trilling. Dit komt neer op het feit dat de impactbelasting F(t) gelijk aan

nul wordt gesteld. De bewegingsvergelijkingen voor vrije trilling kunnen dan geschreven worden

als

m1 · z1 + k1 · (z1 − z2) = 0 (2.5a)

m2 · z2 + k2 · z2 − k1 · (z1 − z2) = 0 (2.5b)

De oplossingen van deze differentiaalvergelijkingen worden gegeven door

z1 = Z1 sin ωnt (2.6a)

z2 = Z2 sin ωnt (2.6b)

Substitueren van vgl.(2.6) in vgl.(2.5) geeft

−m1ω2nZ1 + k1Z1 − k1Z2 = 0 (2.7a)

(−m2ω2n + k2)Z2 + k1Z2 − k1Z1 = 0 (2.7b)

Uit vgl.(2.7) haalt men−m2ω

2n + k2 + k1

k1=

k1

−m1ω2n + k1

Na vereenvoudigen wordt dit

m1m2ω4n − k2m1ω

2n − k1m1ω

2n − k1m2ω

2n + k1k2 = 0

of

ω4n − (

k2

m2+

k1

m2+

k1

m1)ω4

n +k1

m1

k2

m2= 0

Stelt men

µ =m1

m2


Dan bekomt men

ω4n − (

k2(m1 + m2)(m1 + m2)m2

+µk1

m1+

k1

m1)ω2

n +k1

m1 + m2

m1 + m2

m1

k2

m2= 0

of

ω4n − (1 + µ)(ω2

nl1 + ω2nl2)ω

2n + (1 + µ)ω2

nl1ω2nl2 = 0 (2.8)

waarin

ωnl1 =√

k1

m1(2.9a)

ωnl2 =√

k2

m1 + m2(2.9b)

de limiet natuurlijke frequenties zijn. De twee natuurlijke frequenties ωn1 en ωn2 van het systeem

worden gevonden door het oplossen van vgl.(2.8) naar ω2n.

Amplitudes van aambeeld en funderingsblok

Het berekenen van de amplitudes van het aambeeld en funderingsblok gebeurt door het

systeem met twee vrijheidsgraden te beschouwen in vrije trilling waarbij aan het aambeeld

een beginsnelheid wordt gegeven die veroorzaakt wordt door de impact van de impactor. De

oplossingen voor de amplitudes van de trilling worden bekomen door z1 en z2 als volgt uit te

drukken

z1 = C1 sinωn1t + C2 sinωn2t (2.10a)

z2 = D1 sinωn1t + D2 sinωn2t (2.10b)

De beginvoorwaarden van de trilling worden gegeven door uit te drukken dat op t = 0 geldt

z1 = z2 = 0 (2.11a)

z1 = v1,0 en z2 = 0 (2.11b)

Hierin stelt v1,0 de beginsnelheid van het aambeeld voor. Het subscript 1 staat voor het aambeeld

en 0 voor het tijdstip t = 0. Substitueren van z1 en z2 uit vgl.(2.10) in vgl.(2.5) en gebruik

makend van de beginvoorwaarden gegeven door vgl.(2.11), worden de uitdrukkingen voor z1 en

z2 verkregen

z1 =1

ω2n2 − ω2

n1

{(ω2

nl1 − ω2n1) sinωn2t

ωn2−

(ω2nl1 − ω2

n2) sinωn1t

ωn1} · v1,0 (2.12a)

z2 =(ω2

nl1 − ω2n2)(ω

2nl1 − ω2

n1)ω2

nl1(ω2n2 − ω2

n1)(sinωn2t

ωn2− sinωn1t

ωn1) · v1,0 (2.12b)


De bijdrage van de hoogste van de twee natuurlijke frequenties, ωn1 en ωn2, tot de amplitude

van beweging is klein [3] en mag verwaarloosd worden voor alle praktische gevallen. Ook de

termen van sinωn2t (waarbij ωn2 > ωn1) in vgl.(2.12) mogen verwaarloosd worden. De maximum

waarden van de verplaatsingen van aambeeld en funderingsblok worden (sinωn1t = 1)

Z1 =(ω2

nl1 − ω2n2)

(ω2n2 − ω2

n1)ωn1· v1,0 (2.13a)

en

Z2 =(ω2

nl1 − ω2n2)(ω

2nl1 − ω2

n1)ω2

nl1(ω2n2 − ω2

n1)ωn1· v1,0 (2.13b)

De waarden van de amplitudes van het aambeeld en funderingsblok kunnen bepaald worden met

vgl.(2.13) door substitueren van de waarden van ωnl1, ωn1, ωn2 en v1,0.

Beginsnelheid van de impactor op moment van impact

De snelheid van de impactor op het moment van impact op het aambeeld is de beginsnelheid

en wordt voorgesteld door vi,0, waar het subscript i staat voor de impactor en 0 voor het moment

van impact op tijdstip t = 0. Tijdens de vrije val kan men aannemen dat de impactor zich in

een conservatief systeem bevindt. De wet van behoud van energie is geldig en daaruit kan de

beginsnelheid van de impactor bepaald worden. Wanneer de impactor vanop een hoogte h naar

beneden valt, kan de potentiele geschreven worden als

Epot = migh (2.14)

Hierin is mi de massa van de impactor, g de versnelling veroorzaakt door de zwaartekracht en h

de valhoogte. Op het moment van impact is de potentiele energie omgezet in kinetische energie

die gegeven wordt door

Ekin =12miv

2i,0 (2.15)

Gelijkstellen van Epot aan Ekin geeft de beginsnelheid vi,0

vi,0 =√

2gh (2.16)

Beginsnelheid van het aambeeld

De beginsnelheid van het aambeeld v1,0 net na de impact van de impactor kan bepaald

worden door gebruik te maken van de wet van behoud van impuls. Het ontwerp van de valcon-

structie zorgt ervoor dat de impactor centrisch inslaat op het aambeeld. Deze centrale impact


resulteert enkel in translatie trillingen in verticale richting en dus moet alleen de lineaire impuls

beschouwd worden. De impuls van de impactor voor impact is mivi,0, met mi de massa en vi,0

de beginsnelheid van de impactor. Het aambeeld is initieel in rust, en de impuls is nul voor de

impact. De impuls van de impactor en het aambeeld kan dan geschreven worden als

mivi,0 + 0 (2.17)

De impuls van de impactor en aambeeld na de impact is

mivi,t + m1v1,0 (2.18)

Hierin is vi,t de snelheid van de terugkaatsing van de impactor na impact, subscript i staat

opnieuw voor de impactor en t voor de terugkaatsing, m1 de massa van het aambeeld en v1,0 de

snelheid van het aambeeld na impact. De wet van behoud van impuls voor stijve lichamen zegt

dat de impuls voor impact en na impact in een conservatief systeem constant is. Er geldt

mivi,0 + 0 = mivi,t + m1v1,0 (2.19)

Vgl.(2.19) heeft twee onbekenden, vi,t en v1,0. Er is bijgevolg nood aan een tweede vergelijking.

Hiervoor kan beroep gedaan worden op een coefficient e die als volgt gedefinieerd wordt

e =relatieve snelheid na impact

relatieve snelheid voor impact(2.20)

De waarde van e hangt af van de materialen die betrokken zijn bij de impact. Voor een impact

tussen twee perfect stijve lichamen is e gelijk aan 1. Wanneer een plastisch lichaam inslaat op

een stijf lichaam is e gelijk aan nul. De waarde van e is dus gelegen tussen het bereik van 0

en 1. Voor de ontwerpfase kan gerekend worden met een waarde van e = 0, 5. Vgl.(2.20) kan

geschreven worden als

e =v1,0 − vi,t

vi,0 − 0(2.21)

Uit vgln.(2.19) en (2.21) halen we de uitdrukking voor v1,0

v1,0 =1 + e

1 + s· vi,0 (2.22)

hierin is

s =m1

mi(2.23)

2.2.5 Ontwerpprocedure voor het crash platform

Na de analyse van een systeem met twee vrijheidsgraden, kan er nu een ontwerpprocedure

opgesteld worden die de dimensies van het crash platform geeft evenals de amplitudes van het

aambeeld en funderingsblok.


Ontwerp gegevens

Hier worden alle gegevens verzameld omtrent de valopstelling en de geometrie van de valtoren.

Start dimensies voor het crash platform

Bij de start van de berekeningen zijn de dimensies van het aambeeld en funderingsblok nog

onbekend. Om deze te bepalen kan gebruik gemaakt worden van volgende richtlijnen:

� Massa: de massa van het aambeeld mag genomen worden op 20 keer de massa van de

impactor. De massa van het funderingsblok varieert gewoonlijk van 60 tot 120 keer de

massa van de impactor volgens [3] en [4].

� Dikte: de dikte van het aambeeld en funderingsblok kan bepaald worden met de massa,

de oppervlakte en volumieke massa van de onderdelen.

Natuurlijke frequenties van het crash platform

Bereken de limiet natuurlijke frequenties ωnl1 en ωnl2 als

ωnl1 =√

k1

m1

ωnl2 =√

k2

m1 + m2

waarin

m1 = massa van het aambeeld

m2 = massa van het funderingsblok

k1 = equivalente veer voor de elastische laag onder het aambeeld

k2 = equivalente veer voor de elastische laag onder het funderingsblok

De natuurlijke frequenties ωn1 en ωn2 volgen uit de vergelijking

ω4n − (1 + µ)(ω2

nl1 + ω2nl2)ω

2n + (1 + µ)ω2

nl1ω2nl2 = 0 (2.25)

met

µ =m1

m2


Snelheid van impactor en aambeeld

De snelheid van de impactor voor impact wordt bepaald uit

vi,0 =√

2gh

waarin

h = de valhoogte

g = de versnelling ten gevolge van de zwaartekracht

De snelheid van het aambeeld v1,0 na de impact is

v1,0 =1 + e

1 + s· vi,0

waarin

e = 0,5 voor ontwerp

s = m1mi

Amplitudes van het aambeeld en funderingsblok

De beweging van het aambeeld en funderingsblok zijn z1 en z2 met als maximale waarden:

Voor het aambeeld

Z1 =(ω2

nl1 − ω2n2)

(ω2n2 − ω2

n1)ωn1· v1,0 (2.26a)

Voor het funderingsblok

Z2 =(ω2

nl1 − ω2n2)(ω

2nl1 − ω2

n1)ω2

nl1(ω2n2 − ω2

n1)ωn1· v1,0 (2.26b)

2.2.6 Ontwerp van het crash platform

De ontwerpprocedure zal nu toegepast worden voor de valopstelling om te komen tot een

ontwerp voor het crash platform en de amplitudes van de bewegingen van het aambeeld en

funderingsblok. Figuur 2.4 toont de opbouw van het crash platform. Deze opbouw wordt

omgevormd naar een systeem met twee vrijheidsgraden waarbij de demping verwaarloosd wordt,

voorgesteld in Figuur 2.6.


Ontwerp gegevens

� Valopstelling. De bedoeling is om drop weight testen uit te voeren met een valhoogte van

maximaal 25m en een gewicht van de impactor van 500 kg. Er wordt bovendien vanuit

gegaan dat de impactor rechtstreeks inslaat op het aambeeld. Voor het ontwerp van het

crash platform is dit de meest nadelige situatie. De impactor en het aambeeld zullen

uitgevoerd worden in staal en het funderingsblok in beton. Aan de elastische tussenlagen

onder het aambeeld en funderingsblok zal een veerconstante k toegekend worden.

� Geometrie valtoren. De valtoren waarin de valopstelling zal uitgevoerd worden legt een

aantal beperkingen op aan de afmetingen van het crash platform. In de valtoren is een

torenschacht van 3 × 3 meter voorzien waarin de valopstelling moet komen. De valcon-

structie zal bevestigd worden op de kuip en tussen de kuip en het funderingsblok is nog

een luchtopening voorzien (Figuur 2.4). Uit het ontwerp van de valconstructie [1] volgt dat

er nog een oppervlakte van 2 × 2 meter overblijft voor het aambeeld en funderingsblok.

Voordimensionering van het crash platform

De massa’s van het aambeeld en funderingsblok worden best zo laag mogelijk gehouden en

dit om de kosten te drukken. Er wordt daarom gewerkt met een massa van het aambeeld van

20 keer de massa van de impactor en voor het funderingsblok 60 keer de massa van de impactor.

De dikte van het aambeeld en funderingsblok kan bepaald worden uit de voorgaande gegevens.

Voor de elastische tussenlagen onder het aambeeld en het funderingsblok zal gewerkt worden

met een veerconstante k = 50.000.000 N/m. De veerconstante k wordt voorlopig vrij gekozen.

Wanneer hiermee aanvaardbare resultaten verkregen worden, kan de waarde van k volstaan. Uit

het voorgaande worden volgende gegevens verzameld:

algemene data

Valhoogte h = 25m

ρstaal = 7.850 kg/m3

ρgewapend beton = 2.500 kg/m3

Impactor

Massa impactor mi = 500 kg


Aambeeld

Massa aambeeld m1=20 ·mi=20·500 = 10.000 kg = 10 ton

Oppervlakte aambeeld = 2 × 2 = 4 m2

Dikte aambeeld d1 = 10.0007.850·4 = 0,32 m

Funderingsblok

Massa funderingsblok m2 = 60 ·mi=60·500 = 30.000 kg = 30 ton

Oppervlakte funderingsblok = 2 × 2 = 4 m2

Dikte funderingsblok d2 = 30.0002.500·4 = 3 m

Elastische tussenlagen

Oppervlakte tussenlaag = 2 × 2 = 4 m2

Equivalente veerconstanten k1 = k2 = 50.000.000N/m

Natuurlijke frequenties van het crash platform

Eerst worden de limiet natuurlijke frequenties bepaald:

ωnl1 =

√50.000.000

10.000= 70, 71 rad/s

ωnl2 =

√50.000.000

10.000 + 30.000= 35, 36 rad/s

De verhouding van de massa’s van het aambeeld en funderingsblok wordt gegeven door

µ =10.00030.000

=13

Deze waarden worden ingevuld in vgl.(2.25) om te komen tot de volgende uitdrukking

ω4n − 8.333, 33 · ω2

n + 8, 33 · 106 = 0

Oplossen van deze kwadratische vergelijking naar ω2n

ωn1 = 34, 09 rad/s

en

ωn2 = 84, 68 rad/s


De twee verschillende periodes T1 en T2 van de vrije trilling van het systeem kunnen nu bekomen

worden uit de respectievelijke natuurlijke frequenties

T1 =2π

ωn1= 0, 184 s

en

T2 =2π

ωn2= 0, 074 s

Snelheid van impactor en aambeeld

De snelheid van de impactor

vi,0 =√

2 · 9, 81 · 25 = 22, 15 m/s

De snelheid van het aambeeld

v1,0 =1 + 0, 5

1 + 10.000500

· 22, 15 = 1, 58 m/s

Amplitudes van het aambeeld en funderingsblok

De hoger berekende waarden kunnen nu gebruikt worden om de maximale waarden van de

beweging van het aambeeld Z1 en funderingsblok Z2 te bepalen. Z1 en Z2 haalt men uit vgln.

(2.26a) en (2.26b)

Z1 = 16, 8 mm

en

Z2 = 12, 9 mm

Resultaat

Het resultaat van de berekeningen is samengevat in Figuur 2.9. Verder worden nog de waarden

van de belangrijkste grootheden gegeven:

ωn1 = 34, 09 rad/s

ωn2 = 84, 68 rad/s

zi,0 = vi,0 = 22, 15 m/s

z1,0 = v1,0 = 1, 58 m/s

Z1 = 16, 8 mm

Z2 = 12, 9 mm

Deze maximale verplaatsingen van aambeeld en funderingsblok lijken voor een eerste benadering

aanvaardbaar, maar daarover later meer.

2.3 Definitief model 28

Aambeeld

Funderingsblok

m1 = 10 ton

m2 = 30 ton

k1 = 50.000.000 N/m

z1

z2

Impactor

mi =500 kg

k2 = 50.000.000 N/m

d1 = 0,32 m

d2 = 3 m

Opp = 2 x 2 m

h = 25 m

Figuur 2.9: Dimensies crash platform

2.3 Definitief model

In de methode voor impact machines wordt er geen rekening gehouden met demping, in

de twee methoden die volgen echter wel. Vandaar dat het model uit de vorige paragraaf moet

aangepast worden. Figuur 2.10 toont het definitieve model waarmee wordt verder gerekend.

De dempers die worden ingevoerd zijn snelheidsdempers. Dit betekent concreet dat de

dempingskracht afhankelijk is van de snelheid waarmee de demper wordt geactiveerd. Als c

(N.s/m) de dempingsconstante is, dan is de dempingskracht

Fc = c · z (2.28)

Door het invoeren van de dempers zullen de bewegingsvergelijkingen van het crash platform

veranderen. Bij het vrijmaken van het aambeeld en het funderingsblok moeten de dempings-

krachten ingevoerd worden, dit wordt in Figuur 2.11 geıllustreerd. Er dient opnieuw opgemerkt

te worden dat er geen rekening wordt gehouden met de gravitatiekrachten, omdat in de even-

wichtstoestand de gravitatie- en veerkrachten elkaar in evenwicht houden (cfr. paragraaf 2.2.4).

De veerkrachten in de evenwichtstoestand zijn het gevolg van de statische indrukking ten gevolge

van de eigen gewichten van aambeeld en funderingsblok.

2.4 Methode van behoud van impuls 29

Aambeeld

Funderingsblok

m1

m2

k1

k2

z1

z2

Impactor

c1

c2

zi

Figuur 2.10: Definitief model

Aambeeld

( )tF

+111zzz•••

Teken conventie

11zm••

⋅

−⋅

••

211zzc( )

211zzk −⋅

( )211zzk −⋅

Funderingsblok

22zk ⋅

222zzz•••

22zm••

⋅

Teken conventie

−⋅

••

211zzc

22zc•

⋅

(a) (b)

Figuur 2.11: (a) Vrijgemaakt aambeeld (b) Vrijgemaakt funderingsblok

Het definitieve stelsel bewegingsvergelijkingen van aambeeld en funderingsblok is

m1 · z1 + k1 · (z1 − z2) + c1 · (z1 − z2) = F (t) (2.29)

m2 · z2 + k2 · z2 + c2 · z2 − k1 · (z1 − z2)− c1 · (z1 − z2) = 0 (2.30)

2.4 Methode van behoud van impuls

In dit stadium is er geen enkele parameter van het crash platform gekend. Uit de paragraaf

2.2 volgen enkel grootte-ordes voor deze onbekende parameters. Via een trail and error proces


worden hier geschikte waarden voor gezocht. Deze parameters dienen zodanig gekozen te worden

dat de amplitude van de trilling ten gevolge van de impactbelasting beperkt blijft en dat deze

trilling binnen een aanvaardbare tijd uitgedempt wordt.

Om de reactie van het crash platform op de impactbelasting te kennen moet men de bewegings-

vergelijkingen oplossen. De impactbelasting F(t) is echter onbekend. Om dit te omzeilen wordt

er gebruik gemaakt van de wet van behoud van impuls [6].

Hierbij wordt het systeem conservatief verondersteld. Door toepassing van de wet van behoud

van impuls wordt de effectieve impact buiten beschouwing gelaten en wordt enkel de responsie

op de impact berekend. Er wordt ook verondersteld dat de impactor en het aambeeld na de

impact samen bewegen en dat er dus een volledige energie-overdracht plaatsvindt. Concreet

betekent dit dat de impactor na de impact niet terug gekaatst wordt. Met behulp van Figuur

2.12 schrijft men de wet van behoud van impuls uit.

mi · zi,0 = (mi + m1) · z1,0 (2.31)

Hierin is mi de massa van de impactor, m1 de massa van het aambeeld, zi,0 de snelheid van de

impactor net voor de impact en z1,0 de gezamenlijke snelheid van impactor en aambeeld net na

de impact. Hierbij volgen mi en zi,0 uit de ontwerpgegevens, inderdaad mi is maximaal 500 kg

en uit vgl.(2.16) kan zi,0 berekend worden met een maximale valhoogte van 25 m. Door m1 vrij

te kiezen, kan z1,0 berekend worden als:

z1,0 =mi

mi + m1· zi,0 (2.32)

Deze snelheid wordt gebruikt als beginvoorwaarde bij het oplossen van de bewegingsverge-

lijkingen. Doordat de reactie na de impact berekend wordt is F(t) gelijk aan nul. Er is echter

nog een extra beginvoorwaarde, namelijk een extra statische indrukking ten gevolge van het

gewicht van de impactor. Deze statische indrukking wordt berekend als

z1,0 =mi · g

k1(2.33)

Doordat verondersteld wordt dat impactor en aambeeld samen trillen, moet in de bewegings-

vergelijkingen de massa van het aambeeld vermeerderd worden met de massa van de impactor.

Rekening houdend met F(t)=0 worden de bewegingsvergelijkingen

(m1 + mi) · z1 + k1 · (z1 − z2) + c1 · (z1 − z2) = 0 (2.34)

m2 · z2 + k2 · z2 + c2 · z2 − k1 · (z1 − z2)− c1 · (z1 − z2) = 0 (2.35)


ziz1

m1

mi

mi

h

k1

zi

m1

mi

k1z1

0,iz&

(a)

(b)

0,1z&

z1,0

Figuur 2.12: Behoud van impuls (a) Voor impact (b) Na impact

met als beginvoorwaarden

z1,0 =mi · g

k1(2.36)

z1,0 =mi

mi + m1· zi,0 (2.37)

Het oplossen van de differentiaalvergelijkingen en de bijhorende beginvoorwaarden gebeurt

met het programma MATLAB 7.0.1. Bijlage A geeft een beknopte uitleg over het oplossen

van differentiaalvergelijkingen met MATLAB. Tevens is een programma geschreven voor het

toepassen van de methode van behoud van impuls. Dit kan eveneens gevonden worden in

Bijlage A.

Nu men in staat is om de bewegingsvergelijkingen met de bijhorende beginvoorwaarden op


te lossen, kunnen de parameters een voor een aangepast worden en hun invloed op de responsie

geanalyseerd worden. Uiteindelijk wordt een optimale combinatie van parameters weerhouden.

Deze ontwerpprocedure wordt gestart met dezelfde parameters als het voorbeeld in para-

graaf 2.2.6, maar er worden nog waarden voor de dempingsconstanten toegevoegd. De dem-

pingsconstanten c1 en c2 worden gelijk gesteld aan 250.000 N.s/m. Deze waarden worden

vooreerst willekeurig gekozen. Wanneer blijkt dat hiermee de trilling voldoende snel uitgedempt

wordt, kunnen de waarden behouden worden. Alle gegevens worden nogmaals samengevat.

h = 25 m

mi = 500 kg

m1 = 10.000 kg

m2 = 30.000 kg

k1 = 50.000.000N/m

k2 = 50.000.000N/m

c1 = 250.000 N.s/m

c2 = 250.000 N.s/m

Met deze gegevens worden de bewegingsvergelijkingen opgelost en worden volgende resultaten

verkregen.

-1.0E-02

-5.0E-03

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

1.5E-02

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

z1 [m]

Figuur 2.13: Verplaatsing aambeeld


-8.E-03

-6.E-03

-4.E-03

-2.E-03

0.E+00

2.E-03

4.E-03

6.E-03

8.E-03

1.E-02

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

z2 [m]

Figuur 2.14: Verplaatsing funderingsblok

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

v1 [m/s]

Figuur 2.15: Snelheid aambeeld

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

v2 [m/s]

Figuur 2.16: Snelheid funderingsblok


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

a1 [m/s²]

Figuur 2.17: Versnelling aambeeld

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

a2 [m/s²]

Figuur 2.18: Versnelling funderingsblok

Men ziet duidelijk de invloed van de dempers, zonder deze dempers zou de amplitude van

de trilling niet afnemen, en zouden de lichamen theoretisch oneindig lang blijven trillen. Ten

gevolge van de demping is de trilling van het aambeeld en funderingsblok een harmonische trilling

die exponentieel uitsterft en na ongeveer twee seconden volledig uitgedempt is. Men kan tevens

zien dat de piekwaarden van de verplaatsingen van aambeeld en funderingsblok respectievelijk

12,9mm en 9 mm zijn. Deze waarden zijn zeker aanvaardbaar, maar men mag niet uit het oog

verliezen dat met deze amplitudes zeer grote massa’s voor aambeeld en funderingsblok gepaard

gaan. Indien deze massa’s omgerekend worden naar hoogtes, wetende dat de horizontale opper-

vlakte beperkt is tot 4 m2, dan hebben aambeeld en funderingsblok een hoogte van respectievelijk

0,318m en 3m. Deze hoogtes liggen aan de hoge kant vandaar dat er zal getracht worden deze

hoogtes te verkleinen en na te gaan wat de invloed hiervan is op de verplaatsingen van het aam-


beeld en funderingsblok. Naast de maximale verplaatsingen is het tevens interessant de periode

van de trilling van het aambeeld en funderingsblok te kennen. Figuur 2.13 en 2.14 tonen dat er

in 0,5 s ongeveer 2,75 cycli doorlopen worden. Hieruit volgt dat de periode van de trilling gelijk

is aan 0,5/2,75 of 0,181 s.

Door het veranderen van de parameters (m, k en c) kunnen verschillende simulaties uit-

gevoerd worden. Uiteindelijk zijn het slechts de piekwaarden van de verplaatsingen en de duur

van de trilling die maatgevend zullen zijn, vandaar dat enkel nog deze piekwaarden gegeven

worden. Tabel 2.1 toont de combinaties van de parameters waarmee de verschillende simulaties

worden uitgevoerd en ook de overeenstemmende hoogtes van aambeeld en funderingsblok. Alle

parameters met index 1 slaan op het aambeeld, die met index 2 slaan op het funderingsblok.

Combinatie 1 is het bovenstaande voorbeeld.

Invoergegevens

Combinatie mi m1 h1 m2 h2 k1 k2 c1 c2

[kg] [kg] [m] [kg] [m] [N/m] [N/m] [N.s/m] [N.s/m]

1 500 10000 0,318 30000 3,0 50000000 50000000 250000 250000

2 500 10000 0,318 20000 2,0 50000000 50000000 250000 250000

3 500 6280 0,200 30000 3,0 50000000 50000000 250000 250000

4 500 6280 0,200 20000 2,0 50000000 50000000 250000 250000

5 500 6280 0,200 15000 1,5 50000000 50000000 250000 250000

6 500 4710 0,150 15000 1,5 50000000 50000000 250000 250000

7 500 3140 0,100 20000 2,0 50000000 50000000 250000 250000

8 500 3140 0,100 15000 1,5 50000000 50000000 250000 250000

9 500 3140 0,100 30000 3,0 50000000 50000000 250000 250000

10 500 6280 0,200 20000 2,0 50000000 50000000 200000 200000

11 500 10000 0,318 30000 3,0 25000000 25000000 250000 250000

12 500 6280 0,200 20000 2,0 25000000 25000000 250000 250000

13 500 6280 0,200 20000 2,0 50000000 50000000 125000 125000

14 500 6280 0,200 20000 2,0 25000000 25000000 125000 125000

Tabel 2.1: Invoergegevens v/d simulaties v/d methode behoud van impuls


Vervolgens worden voor iedere combinatie de piekwaarden in Tabel 2.2 samengevat. De

kolom t staat voor de duur van de trilling. In de eerste negen combinaties worden enkel de

massa’s van het aambeeld en funderingsblok aangepast. Men kan duidelijk zien dat afnemende

massa’s, toenemende amplitudes tot gevolg hebben. In de laatste vijf combinaties worden ook

de veer- en dempingsconstanten aangepast. De amplitude van de trilling stijgt wanneer de

veerconstanten afnemen en de duur van de trilling stijgt wanneer de dempingsconstanten afne-

men. Daarenboven merkt men ook een lichte stijging van de amplitude bij een daling van de

dempingsconstanten op.

Piekwaarden

Combinatie z1 z2 v1 v2 a1 a2 t

[m] [m] [m/s] [m/s] [m/s2] [m/s2] [s]

1 0,0129 0,0090 1,027 0,298 15,12 15,69 2,0

2 0,0134 0,0099 1,027 0,361 17,69 21,39 1,7

3 0,0150 0,0092 1,568 0,341 31,22 21,07 2,1

4 0,0154 0,0105 1,568 0,429 22,59 29,42 1,7

5 0,0159 0,0112 1,568 0,494 26,20 36,93 1,2

6 0,0171 0,0116 2,016 0,545 29,42 45,00 1,4

7 0,0186 0,0106 2,820 0,509 64,27 45,66 1,3

8 0,0190 0,0118 2,821 0,609 46,49 58,86 1,0

9 0,0183 0,0088 2,820 0,384 82,42 31,65 1,7

10 0.0160 0,0111 1,579 0,454 28,89 29,50 1,8

11 0,0171 0,0116 1,028 0,272 7,34 11,25 2,0

12 0,0202 0,0133 1,571 0,390 10,93 22,29 1,5

13 0,0171 0,0123 1,597 0,503 46,02 30,78 2,3

14 0,0231 0,0162 1,600 0,468 23,31 21,07 2,4

Tabel 2.2: Resultaten v/d simulaties v/d methode behoud van impuls

Op basis van deze gegevens wordt een keuze gemaakt voor de parameters. Er kan een dis-

cussie gevoerd worden over wat nu eigenlijk aanvaardbare verplaatsingen zijn. Omdat het in

de toekomst de bedoeling zal zijn om metingen uit te voeren, moeten de verplaatsingen toch

enigszins beperkt worden. Aan de andere kant is deze drop weight test van een zodanige grote

omvang dat het gebruik van zeer gevoelige en nauwkeurige meetapparatuur (bv. rekstrookjes)

2.5 Methode impactbelasting 37

uitgesloten is. Hoogstwaarschijnlijk zal in de toekomst met fotografische meetapparatuur (zoals

een hoge snelheidscamera) gewerkt worden. Deze apparatuur wordt niet op het aambeeld beves-

tigd, maar op de trillingsvrije vloer naast het platform. Met deze beschouwingen in het achter-

hoofd lijkt een maximale verplaatsing van ongeveer 15 mm van het aambeeld aanvaardbaar,

vandaar dat combinatie 4 wordt weerhouden, met:

m1 = 6.280 kg

m2 = 20.000 kg

k1 = 50.000.000N/m

k2 = 50.000.000N/m

c1 = 250.000 N.s/m

c2 = 250.000 N.s/m

2.5 Methode impactbelasting

In de vorige benadering wordt geen rekening gehouden met de impactbelasting. Het is te

zeggen, de impactbelasting is niet gekend. In deze paragraaf wordt getracht het verloop van

de impactbelasting te bepalen. Tevens wordt de reactie van het systeem op deze specifieke

impactbelasting onderzocht. Opnieuw wordt er gewerkt met de bewegingsvergelijkingen, maar

nu wordt ook de beweging van de impactor in rekening gebracht. Vandaar dat er gestart wordt

met het beschrijven van de bewegingsvergelijkingen van de impactor.

Er worden twee gevallen beschouwd, namelijk de vrije val en de beweging wanneer er contact

is met het aambeeld. Om de bewegingsvergelijkingen te bepalen wordt het lichaam vrijgemaakt

en worden de krachten beschouwd die erop werken.

2.5.1 De vrije val

In Figuur 2.19 stellen mi · zi en mi · g respectievelijk de traagheidskracht en de zwaartekracht

voor. Omdat er evenwicht zou heersen, moeten de zwaartekracht en de traagheidskracht een-

zelfde absolute waarde hebben, maar tegengesteld zijn aan elkaar, zodat de bewegingsvergelijking

omgevormd wordt tot

zi = g (2.38)

Men kan de snelheid van de impactor net voor de impact berekenen uit deze bewegings-

vergelijking. Deze snelheid volgt ook uit vgl.(2.16) en bedraagt√

2gh.


Impactor

..

.iizm

gmi.

Figuur 2.19: Impactor vrijgemaakt tijdens de vrije val

2.5.2 Tijdens contact met het aambeeld

Naast de zwaartekracht en de traagheidskracht werkt nu ook de impactbelasting F(t) op de

impactor, dit wordt geıllustreerd in Figuur 2.20. Deze impactbelasting varieert in de tijd. Door

het evenwicht uit te schrijven wordt de bewegingsvergelijking

F (t) + mi · zi = mi · g (2.39)

Impactor

..

. ii zm

gmi .

)(tF

Figuur 2.20: Impactor vrijgemaakt tijdens contact met het aambeeld

2.5.3 Filosofie

Tijdens de impact moet gedurende een oneindig klein tijdsinterval zi gelijk zijn aan z1 en

dit onder een gelijke F(t). zi moet gelijk zijn aan z1 omdat verondersteld wordt dat beide

lichamen onvervormbaar zijn en dus zeker niet in elkaar kunnen dringen. Volgens de derde wet


van Newton (actie=reactie) moet dit gebeuren onder gelijke maar tegengestelde krachten. Dit

wordt verduidelijkt in Figuur 2.21 waarin de toestand op het tijdstip t bekeken wordt.

ziz1m1

mi

zi(t) = z1(t)F(t)

F(t)

Ref. as

Figuur 2.21: Filosofie bij het zoeken naar de impactbelasting

In feite is dit een iteratief proces waarin een F(t) vooropgesteld wordt en de differen-

tiaalvergelijkingen geıntegreerd worden over een zeer klein tijdsinterval. Zolang zi niet gelijk

is aan z1 past men F(t) aan, uiteindelijk vindt men F(t) die behoort bij dit tijdsinterval. Men

zal beslist inzien dat dit een onbegonnen werk is om handmatig te doen. Vandaar dat er een

programma wordt geschreven om de impactbelasting te bepalen.

2.5.4 Programma impactbelasting

Dit programma wordt geschreven in MATLAB 7.0.1 . Het volledige programma is te vinden

in Bijlage A. Hier worden slechts de moeilijkheden behandeld die opgedoken zijn, tevens wordt

de algemene vorm van het programma gegeven.

Moeilijkheden

Het eerste probleem dat opdook was dat het programma geen oplossing vond. Dit was te

wijten aan het feit dat er geen indrukking, plastische vervorming, toegelaten werd. Om dit

probleem te omzeilen, wordt er toch een beperkte indrukking toegelaten. Deze indrukking moet

afhankelijk van de optredende impactbelasting F (t) zijn, en wordt beschreven door de formule

van Hertz [7]

w0 = 3

√2, 25 · (1− ν2)2 · F (t)2

E2 · r(2.40)

met


E = 2·E1·E2(E1+E2) = de equivalente elasticiteitsmodulus met E1 en E2 de respectievelijke

elasticiteitsmoduli van de twee lichamen

r = 11/r1+1/r2

= de equivalente straal met r1 en r2 de respectievelijke stralen van de

twee lichamen

ν de coefficient van Poisson

F (t) de impactbelasting op tijdstip t.

Figuur 2.22 verduidelijkt de verschillende parameters uit de formule van Hertz. Wegens het

belang van deze formule, kan achtergrondinformatie gevonden worden in Bijlage B. In dit geval

heeft slechts de impactor een straal, want het aambeeld is namelijk plat. Men kan dit oplossen

door de straal van het aambeeld oneindig groot te veronderstellen.

r2

r1

E2

E1

w0

Figuur 2.22: Principe formule van Hertz

Zonder de formule van Hertz is de voorwaarde voor het vinden van F(t)

zi = z1

Met behulp van de formule van Hertz wordt deze voorwaarde

zi − w0 = z1

die in Figuur 2.23 verduidelijkt wordt.

Het volgende waarop gelet moet worden is dat F(t) niet negatief wordt. Indien F(t) negatief

is dan betekent dit dat het aambeeld en de impactor naar elkaar toe getrokken worden. Dus

wanneer F(t) negatief is, is er geen contact meer tussen impactor en aambeeld. Er moet voor

gezorgd worden dat F(t) gelijk gesteld wordt aan nul wanneer het contact verloren gaat. Wanneer

de bewegingsvergelijkingen opgelost worden met F(t)=0 en met de beginsnelheid en -verplaatsing


ziz1m1

zi(t) – w0(t) = z1(t)

F(t)

Ref. as F(t)

mi

z1(t)zi(t)

w0(t)

Figuur 2.23: Voorwaarde met behulp van de formule van Hertz

gelijk aan deze van het vorige tijdsinterval dan is de exacte reactie op de impactbelasting gekend

en moet de wet van behoud van impuls niet meer toegepast worden.

Algemene vorm

Het programma is opgebouwd uit enkele hoofdlussen. Deze lussen worden kort behandeld,

zodat men een idee heeft hoe het programma opgebouwd is. Het programma uitleggen aan de

hand van de MATLAB-file (Bijlage A) is onbegonnen werk, omdat men al vlug het overzicht

verliest. Hieronder is de opbouw van het programma weergegeven. De cursief gedrukte tekst

geeft uitleg over een tussenstap.

Er wordt gestart met het ingeven van de variabele parameters, hierdoor kan men in de

toekomst gemakkelijk enkele parameters aanpassen.

Naast de reeds gekende parameters (h, mi,m1,m2, k1, k2, c1, c2) worden ook volgende waar-

den ingevoerd:

j = De tijdsstap waarover geıntegreed wordt

T = De totale duurtijd van het programma

Vervolgens dienen alle beginvoorwaarden te worden geınitialiseerd. Omdat er gestart wordt

vanuit de evenwichtstoestand, wordt alles gelijk gesteld aan nul, behalve de snelheid van de im-

pactor.

zi,0 = z1,0 = z2,0 = z1,0 = z2,0 = 0

zi,0 =√

2 · g · h

Er dient nog een beginwaarde toegekend te worden aan de impactbelasting en aan het tijdstip,


dit louter om het programma te doen starten.

F (t)0 = 1

F (t) = F (t)0

t = j

De onderstaande hoofdlus zorgt er voor dat het programma stopt wanneer T bereikt wordt.

While (t ≤ T )

Oplossen van het stelsel bewegingsvergelijkingen van aambeeld en funderingsblok over

tijdstap ∆t = j.

m1 · z1 + k1 · (z1 − z2) + c1 · (z1 − z2) = F (t)

m2 · z2 + k2 · z2 + c2 · z2 − k1 · (z1 − z2)− c1 · (z1 − z2) = 0

Hieruit volgen:

⇒ z1(t), z2(t), z1(t), z2(t), z1(t), z2(t)

Oplossen van de bewegingsvergelijking van de impactor tijdens contact met het aam-

beeld over tijdstap ∆t = j.

F (t) + mi · zi = mi · g

Hieruit volgen:

⇒ zi(t), zi(t), zi(t)

While (zi − z1 6= w0)

Nu moet afhankelijk van het verschil tussen zi en z1 de impactbelasting ver-

groot of verkleind worden. Voor de eenvoud worden vergroten en verkleinen

voorgesteld door respectievelijk het optellen of aftrekken van een fictieve

waarde i.

If (z1 + w0 > zi)

F (t) = F (t)− i

End

Else

F (t) = F (t) + i

End

Zoals besproken moet ervoor gezorgd worden dat F(t) niet negatief wordt.

Indien dit wel het geval is wordt F (t) gelijk gesteld aan nul en is er geen


contact meer tussen impactor en aambeeld

If (F (t) > 0)

Oplossen van het stelsel bewegingsvergelijkingen van aambeeld en

funderingsblok over tijdstap ∆t = j.

m1 · z1 + k1 · (z1 − z2) + c1 · (z1 − z2) = F (t)

m2 · z2 + k2 · z2 + c2 · z2 − k1 · (z1 − z2)− c1 · (z1 − z2) = 0

Hieruit volgen:

⇒ z1(t), z2(t), z1(t), z2(t), z1(t), z2(t)

Oplossen van de bewegingsvergelijking van de impactor tijdens

contact met het aambeeld over tijdstap ∆t = j.

F (t) + mi · zi = mi · g

Hieruit volgen:


End

Else

In dit geval is F(t) negatief en is het contact tussen impactor en

aambeeld verbroken. Vanaf hier berekent het programma de res-

ponsie (vrije trilling) op de impactbelasting. Tevens wordt de be-

weging van de impactor ook opgevolgd.

While (z1 6= zi)

Oplossen van het stelsel bewegingsvergelijkingen van aam-

beeld en funderingsblok waarbij F(t)=0 over tijdstap ∆t =

j.

m1 · z1 + k1 · (z1 − z2) + c1 · (z1 − z2) = 0

m2 · z2 + k2 · z2 + c2 · z2 − k1 · (z1 − z2)− c1 · (z1 − z2) = 0

Hieruit volgen:

⇒ z1(t), z2(t), z1(t), z2(t), z1(t), z2(t)

Oplossen van de bewegingsvergelijking van de impactor tijdens

de vrije val over tijdstap ∆t = j.

zi = g Hieruit volgen:


Nu moeten per tijdsstap de oplossingen van de bewegings-


vergelijking weggeschreven worden en moet het tijdstip ver-

hoogd worden

Wegschrijven: zi(t), z1(t), z2(t), zi(t), z1(t), z2(t), zi(t), z1(t), z2(t)

t = t + j

F (t) = F (t)0

End

End

End

Wanneer op het einde van de lus de juiste F(t) gevonden is, dan worden F(t) en de

andere parameters weggeschreven. Tevens worden de beginvoorwaarden aangepast en

het tijdstip verhoogt zodat aan de nieuwe lus gestart kan worden.

Wegschrijven: F (t), zi(t), z1(t), z2(t), zi(t), z1(t), z2(t), zi(t), z1(t), z2(t)

zi,0 = zi(t)

z1,0 = z1(t)

z2,0 = z2(t)

zi,0 = zi(t)

z1,0 = z1(t)

z2,0 = z2(t)

zi,0 = zi(t)

z1,0 = z1(t)

z2,0 = z2(t)

t = t + j

End

2.5.5 Analyse resultaten

Het programma rekent met de parameters die gebruikt worden bij de methode van behoud

van impuls. De desbetreffende parameters zijn:

h = 25 m

mi = 500 kg

m1 = 10.000 kg

m2 = 30.000 kg

k1 = 50.000.000N/m


k2 = 50.000.000N/m

c1 = 250.000 N.s/m

c2 = 250.000 N.s/m

De grafieken hieronder tonen de resultaten. Eerst worden alle grafieken gegeven van het systeem

tijdens de impact en daarna die van na de impact. Na de impact is het systeem in vrije trilling.

Deze grafieken zouden sterke gelijkenissen moeten hebben met de grafieken die volgen uit de

methode van behoud van impuls.

Figuur 2.24 toont de impactbelasting, de piekwaarde bedraagt 40MN en grijpt gedurende

ongeveer 0,001 s aan. Na deze tijd verdwijnt het contact tussen impactor en aambeeld en valt

de impactbelasting terug op 0 N. De curve van deze belasting benadert sterk de vorm van

een sinusfunctie, wanneer de numerieke berekeningen worden uitgevoerd (Hoofdstuk 3) zal de

belasting gemodelleerd worden als een sinus.

0.0E+00

5.0E+06

1.0E+07

1.5E+07

2.0E+07

2.5E+07

3.0E+07

3.5E+07

4.0E+07

4.5E+07

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

F(t) [N]

Figuur 2.24: Impactbelasting

Uit het eerder besproken programma volgt dat de verplaatsing van de impactor gelijk is aan

de som van de elastische indrukking en de verplaatsing van het aambeeld. Figuur 2.25 toont

duidelijk dat tijdens de impact de verplaatsing van de impactor (zi) grotendeels te wijten is aan

de elastische indrukking (w0) en slechts gedeeltelijk door de verplaatsing van het aambeeld (z1).

De maximale verplaatsing van de impactor tijdens de impact bedraagt ongeveer 7,5mm. Op het

moment dat het contact tussen de impactor en het aambeeld verdwijnt is de verplaatsing van

de impactor gelijk aan de verplaatsing van het aambeeld en bedraagt ongeveer 1 mm. Op dat

ogenblik is de elastische indrukking terug gevallen op 0mm, dit is echter niet realistisch en is

het gevolg van de formule van Hertz. In realiteit zullen er ten gevolge van de impact plastische

vervormingen (indrukking) ontstaan, die na de impact niet meer zullen verdwijnen.


0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

4.E-03

5.E-03

6.E-03

7.E-03

8.E-03

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

[m]

w0 zi z1

Figuur 2.25: w0 de indrukking, zi verplaatsing impactor, z1 verplaatsing aambeeld - tijdens de

impact

In Figuur 2.26 kan men de verplaatsing van het funderingsblok tijdens de impact zien. Deze

curve kent hetzelfde verloop als z1 in Figuur 2.25. Als men kijkt naar de maximale waarde,

namelijk 0,0025 mm, dan is dit verwaarloosbaar.

0.0E+00

5.0E-07

1.0E-06

1.5E-06

2.0E-06

2.5E-06

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

z2 [m]

Figuur 2.26: Verplaatsing funderingsblok tijdens impact

Figuur 2.27 geeft het verloop van de snelheid van de impactor tijdens de impact. De impactor

bereikt het aambeeld na de vrije val met een snelheid van 22,15 m/s. Na 0,0005 s bedraagt de

snelheid nul en verandert de beweging van neerwaarts naar opwaarts. Op dit tijdstip kan tevens

de maximale verplaatsing (zi) gevonden worden in Figuur 2.25. Bij het verdwijnen van het

contact heeft de impactor een opwaartse snelheid van 20 m/s. De impactor bevindt zich nu in

vrije val, dit is een eenparig versnelde beweging met een versnelling gelijk aan g.


-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

vi [m/s]

Figuur 2.27: Snelheid impactor tijdens impact

Figuur 2.28 en 2.29 tonen respectievelijk het verloop van de snelheid van het aambeeld en

van het funderingsblok tijdens de impact. Er wordt op het einde van de impact respectievelijk

een snelheid van 2,1 m/s en 0,009m/s bereikt. De grafieken hebben een verschillende vorm, dit

is te wijten aan het feit dat de funderingsblok naijlt op het aambeeld.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

v1 [m/s]

Figuur 2.28: Snelheid aambeeld tijdens impact

In Figuur 2.30,2.31 en 2.32 wordt het verloop van de versnelling van respectievelijk de im-

pactor, het aambeeld en het funderingsblok tijdens de impact gegeven. Deze grafieken zijn

afgeleid van de eerder besproken snelheidsgrafieken.


0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

4.E-03

5.E-03

6.E-03

7.E-03

8.E-03

9.E-03

1.E-02

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

v2 [m/s]

Figuur 2.29: Snelheid funderingsblok tijdens impact

-9.E+04

-8.E+04

-7.E+04

-6.E+04

-5.E+04

-4.E+04

-3.E+04

-2.E+04

-1.E+04

0.E+00

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

ai [m/s²]

Figuur 2.30: Versnelling impactor tijdens impact

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

a1 [m/s²]

Figuur 2.31: Versnelling aambeeld tijdens impact


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.E+00 2.E-04 4.E-04 6.E-04 8.E-04 1.E-03

t [s]

a2 [m/s²]

Figuur 2.32: Versnelling funderingsblok tijdens impact

Figuur 2.33 geeft de verplaatsing van de impactor na de impact. De impactor wordt

teruggekaatst tot een hoogte van ongeveer 20 m en bereikt het aambeeld terug na 4 s. Men

kan op Figuur 2.34 zien dat de trilling dan reeds uitgedempt is, dit betekent dat er opnieuw een

impact zal volgen en dat het systeem op dezelfde manier zal reageren als hier beschreven.

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 1 2 3 4 5

t [s]

zi [m]

Figuur 2.33: Verplaatsing impactor na impact

In Figuur 2.34 ziet men de responsie van het aambeeld op de impact. Kort na de im-

pact neemt de verplaatsing nog toe van 1 mm tot 25 mm. Vervolgens neemt deze verplaatsing

zeer snel af, na 2 s is de trilling volledig uitgedempt. De snelle demping is het gevolg van

de dempingskarakteristieken van de elastische lagen. De dempingsconstante werd echter vrij

gekozen. Tevens ziet men ook dat de verplaatsing negatief wordt, dit betekent dat het aambeeld

boven zijn evenwichtspositie komt te liggen.

Vervolgens toont Figuur 2.35 de responsie van het funderingsblok op de impact. De maximale


-2.0E-02

-1.5E-02

-1.0E-02

-5.0E-03

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

1.5E-02

2.0E-02

2.5E-02

3.0E-02

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

z1 [m]

Figuur 2.34: Verplaatsing aambeeld na impact

verplaatsing is ongeveer 17mm, dit is 8mm minder dan de maximale verplaatsing van het

aambeeld. Dit verschil is te wijten aan de dempende werking van de elastische laag, ook in dit

opzicht vervult deze perfect zijn taak. Tevens zorgt de elastische laag er opnieuw voor dat de

trilling na 2 s volledig is uitgedempt. Uit de Figuren 2.34 en 2.35 kan men, net zoals bij de

methode behoud van impuls, zien dat er in 0,5 s ongeveer 2,75 cycli doorlopen worden en dit

geeft opnieuw een periode van 0,181 s.

-1.5E-02

-1.0E-02

-5.0E-03

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

1.5E-02

2.0E-02

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

z2 [m]

Figuur 2.35: Verplaatsing funderingsblok na impact

Voor de volledigheid worden nog de grafieken van de snelheid en de versnelling van het

aambeeld en het funderingsblok na de impact gegeven. Beide type grafieken worden afgeleid

van de grafieken van de verplaatsingen.


-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

v1 [m/s]

Figuur 2.36: Snelheid aambeeld na impact

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

v2 [m/s]

Figuur 2.37: Snelheid funderingsblok na impact

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

a1 [m/s²]

Figuur 2.38: Versnelling aambeeld na impact


-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 0.5 1 1.5 2

t [s]

a2 [m/s²]

Figuur 2.39: Versnelling funderingsblok na impact

Echter net zoals bij de methode van behoud van impuls behoren deze resultaten niet bij

de optimale oplossing. De berekeningen worden opnieuw uitgevoerd met de parameters uit de

zogenaamde optimale oplossing (combinatie 4) uit de methode van behoud van impuls (paragraaf

2.4). Deze parameters zijn:

m1 = 6.280 kg

m2 = 20.000 kg

k1 = 50.000.000N/m

k2 = 50.000.000N/m

c1 = 250.000 N.s/m

c2 = 250.000 N.s/m

Het is weinig zinvol om opnieuw alle grafieken van de resultaten van deze berekeningen te

tonen, want de vorm van de grafieken is volledig gelijklopend met de behandelde grafieken. Enkel

de piekwaarden zijn verschillend. De piekwaarden horend bij combinatie 4 zijn:

� De impactbelasting bereikt een piekwaarde van 40MN en het contact verdwijnt na 0,001 s.

Dus dit verschilt niet van het eerder beschouwde geval.

� De maximale verplaatsing van de impactor tijdens de impact bedraagt 7,5 mm en is terug

hoofdzakelijk te wijten aan de elastische indrukking. Er is opnieuw weinig verschil met

het eerder beschouwde geval.

� Op het eind van de impact hebben het aambeeld en de impactor een verplaatsing van

1,5 mm, dat is 0,5 mm meer dan het vorige voorbeeld. Opnieuw is de elastische indrukking

terug nul op het eind van de impact.


� Pas na de impact worden de verschillen door het veranderen van de parameters duidelijk.

De maximale verplaatsing van het aambeeld na de impact bedraagt 30 mm, dit is 5mm

meer dan in het vorige geval. De trilling is na 1,5 s volledig uitgedempt.

� De maximale verplaatsing van het funderingsblok na de impact bedraagt 20 mm, dit is

3 mm meer dan in het vorige geval. Ook deze trilling is binnen de 1,5 s volledig uitgedempt.

� Opmerkelijk is ook dat de impactor na de impact tot 18 m wordt teruggekaatst, dit is 2 m

minder dan in het vorige geval.

Deze resultaten wijken sterk af van deze bij de methode van behoud van impuls, sterker nog, de

piekwaarden zijn zo goed als verdubbeld. Combinatie 4 lijkt met deze rekenmethode bijlange

niet meer optimaal. De oorzaken van deze verschillen worden later behandeld (paragraaf 2.7).

Om nu te stellen dat combinatie 4 niet meer optimaal is, is sterk uitgedrukt, want voorheen

werd telkens een harde impact gesimuleerd. Met een harde impact wordt bedoelt dat de impactor

rechtstreeks op het aambeeld zal terecht komen. Uiteraard is dit niet het doel van de uiteindelijke

proefopstelling. Wanneer de impactor toch rechtstreeks op het aambeeld komt, dan zal dat

eerder accidenteel zijn. In dit geval moet het crash platform toch in staat zijn om deze harde

impact veilig over te dragen naar de fundering, echter in dit geval zijn de piekwaarden van de

verplaatsingen van secundair belang.

De werkelijke proeven, waarbij de impactor eerst op het proefstuk terecht komt en daarna

pas op het aambeeld, worden vanaf nu een zachte impact genoemd. Doordat de impactor eerst

op het proefstuk terecht komt, wordt de impact al in ruime mate gedempt, vandaar de benaming

zacht. Het is eerder deze gebruikstoestand die zal bepalen of combinatie 4 nog steeds optimaal

is. Het is echter niet vanzelfsprekend om deze zachte impact te modelleren. Men kan echter

via een vereenvoudiging toch deze zachte impact simuleren met de methode impactbelasting.

Als men kijkt naar de formule van Hertz in vgl.(2.40), meer bepaald naar de definitie van E,

namelijk

E = 2·E1·E2(E1+E2)

dan kan men de zachte impact simuleren als een verschil in elasticiteitsmoduli. Inderdaad de

impact tussen een vervormbaar lichaam (kleine E) en een stijf lichaam (grote E) zorgt ervoor

dat er energie verloren gaat in de vervorming van het lichaam met kleinere E en er bijgevolg

minder energie overgedragen wordt naar het crash platform (stijf, grote E). Er kan ingezien

worden dat dit een sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid is. Maar om de reactie van het


crash platform op deze zogenaamde zachte impact te begroten is deze vereenvoudiging zeker te

rechtvaardigen.

Er wordt een simulatie van de zachte impact uitgevoerd door een verschil in elasticiteits-

moduli van een factor 1.000. De elasticiteitsmodulus van het aambeeld heeft een waarde

E1=210.000MPa, de elasticiteitsmodulus van de impactor wordt dan E2=210MPa. Dit re-

sulteert in een equivalente elasticiteitsmodulus E=420 MPa. Met deze waarde voor E en met

de andere parameters van het algemene voorbeeld en van combinatie 4 worden simulaties uit-

gevoerd. De piekwaarden die hierbij voorkomen zijn:

� De impactbelasting bereikt in beide gevallen een piekwaarde van 3,3 MN en het contact

verdwijnt na 0,0115 s. In vergelijking met de harde impact is de piekwaarde ruim 10 keer

kleiner, maar daarentegen grijpt de impactbelasting 10 keer langer aan.

� De maximale verplaatsing van de impactor tijdens de impact bedraagt voor het alge-

meen voorbeeld 89,4 mm en 92,5 mm voor combinatie 4 waarvan respectievelijk 87,4mm

en 86,5 mm te wijten zijn aan de indrukking. Deze grote verplaatsingen zijn enkel het

gevolg van de verlaagde elasticiteitsmoduli in de formule van Hertz.

� Op het einde van de impact hebben het aambeeld en de impactor een verplaatsing van

respectievelijk 11 mm en 16 mm. Deze verplaatsingen zijn 10 maal groter dan bij de harde

impact. Dit komt doordat de impactbelasting 10 maal langer aangrijpt dan bij de harde

impact, niettegenstaande de piekwaarden 10 maal kleiner zijn.

� De maximale verplaatsingen van het aambeeld na de impact zijn respectievelijk 24,6 mm en

28,7 mm. Deze waarden zijn gelijklopend met deze van de harde impact, dit betekent dat

de formule van Hertz geen invloed heeft op de maximale verplaatsingen. Na respectievelijk

2 s en 1,3 s zijn deze trillingen volledig uitgedempt.

� De maximale verplaatsingen van het funderingsblok na de impact bedragen respectievelijk

16,95 mm en 19,19 mm, ook hier heeft de formule van Hertz geen invloed op deze ver-

plaatsingen. Deze trillingen zijn ook na respectievelijk 2 s en 1,3 s volledig uitgedempt.

� De impactor wordt respectievelijk tot 20,68m en 18,79m teruggekaatst, deze waarden

komen eveneens overeen met deze van de harde impact.

Men kan besluiten dat de formule van Hertz enkel op de impactbelasting invloed heeft. In

de zogenaamde gebruikstoestand zijn de piekwaarden van de verplaatsingen even groot als in


het accidenteel geval, dit komt omdat er reeds een grote verplaatsing ontstaat tijdens de impact

ten gevolge van de tien maal langer aangrijpende impactbelasting. Als het algemene voorbeeld

vergeleken wordt met combinatie 4, dan valt er op dat met een relatief grote toename van de

massa’s slechts een beperkte afname van de verplaatsingen gepaard gaat. Het eerder gekozen

criterium met betrekking tot de keuze van de meest optimale combinatie, namelijk een maximaal

toelaatbare verplaatsing van 15 mm, lijkt bij deze nogal streng gekozen. Vooraleer combinatie

4 volledig af te schrijven wordt eerst de invloed van de massa van de impactor van naderbij

onderzocht. Het is nogal evident dat men in de toekomst niet steeds een massa van 500 kg zal

gebruiken om de proeven uit te voeren. Sterker nog: dit zal eerder zeldzaam zijn. Vandaar dat

er verschillende simulaties worden uitgevoerd met een varierende massa van de impactor. Er

wordt steeds een zachte impact met de parameters van combinatie 4 gesimuleerd. Tabel 2.3 vat

de piekwaarden van de simulaties samen. In de kolommen die de duur weergeven wordt bij de

kolom Ft de duur van de impactbelasting bedoeld, de andere kolom geeft de tijd die de impactor

nodig heeft om na het terugkaatsen het aambeeld terug te bereiken.

Invloed van de massa van de impactor

Maxima Net na de impact Duur

mi [kg] F(t) [N] z1 [m] z2 [m] z1,0 [m] v1,0 [m/s] F(t) [s] Totaal [s]

5 215279 0,000306 0,000208 0,000032 0,033588 0,00187 4,43188

50 858558 0,002993 0,002050 0,000773 0,310808 0,00470 4,41471

100 1296919 0,005866 0,004038 0,001971 0,589949 0,00618 4,35619

200 1950441 0,011666 0,007857 0,004949 1,088414 0,00812 4,23813

300 2467733 0,017474 0,011677 0,008373 1,527758 0,00951 4,11952

400 2909395 0,023168 0,015473 0,012073 1,920411 0,01063 4,02064

500 3300129 0,028733 0,019193 0,015950 2,274636 0,01158 3,91159

Tabel 2.3: Invloed v/d massa v/d impactor op de resultaten bij combinatie 4 en zachte impact

De piekwaarde van de impactbelasting is groter naarmate de massa van de impactor stijgt.

Ook de maximale verplaatsingen van aambeeld en funderingsblok stijgen bij toenemende massa

van de impactor. Hoe kleiner de massa van de impactor, hoe langer het duurt tot dat de

impactor na het terugkaatsen het aambeeld terug bereikt. Dit betekent dat de impactor hoger

teruggekaatst wordt naarmate zijn massa daalt. Als de maximale verplaatsingen van aambeeld

en funderingsblok uitgezet worden ten opzichte van de massa van de impactor, dan worden


respectievelijk Figuur 2.40 en 2.41 verkregen.

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

1.5E-02

2.0E-02

2.5E-02

3.0E-02

3.5E-02

0 100 200 300 400 500

mi [kg]

z1,max [m]

Figuur 2.40: Maximale verplaatsing aambeeld t.o.v. de massa van de impactor

0.0E+00

5.0E-03

1.0E-02

1.5E-02

2.0E-02

2.5E-02

0 100 200 300 400 500

mi [kg]

z2,max [m]

Figuur 2.41: Maximale verplaatsing funderingsblok t.o.v. de massa van de impactor

Er blijkt een praktisch lineair verband te bestaan tussen beide grootheden voor massa’s van

de impactor tot 500 kg, over het verder verloop bij hogere massa’s kan geen uitspraak gedaan

worden. Tussen de andere grootheden bestaat dit verband niet. De lineaire verbanden kunnen

als volgt uitgedrukt worden:

� Tussen z1,max en mi: z1,max = 5, 75 · 10−5 ·mi

� Tussen z2,max en mi: z2,max = 3, 83 · 10−5 ·mi

Indien de grens van 15 mm voor het aambeeld toch aangehouden wordt, dan moet de massa

van de impactor beperkt worden tot 260 kg bij de parameters van combinatie 4. Het lineair ver-

band wiskundig verklaren is bijna onmogelijk omdat de maximale waarden van de verplaatsingen

2.6 Bespreking elastische lagen 57

van het aambeeld en funderingsblok volgen uit de bewegingsvergelijkingen, terwijl de massa van

de impactor enkel verwerkt zit in de formule voor het bepalen van de beginsnelheid van het

aambeeld v1,0. Deze beginsnelheid is op zijn beurt een beginvoorwaarde voor het oplossen van

de bewegingsvergelijkingen.

2.6 Bespreking elastische lagen

In paragraaf 2.2.2 werd reeds een kwalitatieve keuze voor de elastische lagen gemaakt.

Hier worden op basis van de uitgevoerde berekeningen de elastische lagen verder gespecificeerd.

Tijdens de berekeningen werden het rubber en de luchtveren gemodelleerd als een veer-demper

systeem met een veerconstante k en een dempingsconstante c. Er zal een keuze gemaakt worden

op basis van de parameters van combinatie 4, meer bepaald een veerconstante k=50.000.000 N/m

en een dempingsconstante c=250.000N.s/m. Er bleek al vlug dat rubber en luchtveren niet

gedefinieerd worden aan de hand van een k en c. Echter met de gegevens die wel te vinden zijn

in de literatuur en de catalogussen van de producenten kan een k berekend worden, maar c zal

proefondervindelijk bepaald moeten worden.

2.6.1 Rubberlaag

In de literatuur [5] wordt rubber gedefinieerd aan de hand van een elasticiteitsmodulus E, uit

deze E en de te bereiken k kan de dikte [2] van de rubberlaag berekend worden met vgl.(2.41):

k =E ·Adp

(2.41)

Waarin

E = Young modulus van de elastische laag

A = oppervlakte van de elastische laag

dp = dikte van de elastische laag (pad)

De dikte van de rubberlaag zal toenemen met een toenemende E, het is dus beter om een slapper

rubber (dus een lage E) te kiezen. Vandaar de keuze voor een rubber met E=2.000.000 Pa. Deze

E in combinatie met k=50.000.000 N/m geeft een dikte van 16 cm. Deze dikte lijkt op het eerste

gezicht aanvaardbaar, daar in de praktijk grotere dikten kunnen geproduceerd worden, zoals bij

oplegtoestellen voor bruggen.


2.6.2 Luchtveren

Er wordt op basis van de catalogus van luchtveren van Firestone (zie Bijlage C) een keuze

gemaakt voor het type luchtveer. Met de gegevens uit deze catalogus kan bij ieder type een

veerconstante k begroot worden met vgl.(2.42) [8]:

k =n · P · S2

V(2.42)

Met

P = de absolute gasdruk in de luchtveer

V = het volume van het gas overeenkomstig met de heersende gasdruk

n = de relatieve warmtecoefficient, voor lucht is dit 1,4

S = de gemiddelde oppervlakte van de doorsnede van de luchtveer bij de heersende

gasdruk

Vanwege de hoge veerconstante k=50.000.000 N/m, is het praktisch onmogelijk om slechts een

luchtveer te plaatsen. Daarvoor zou een extreem grote luchtveer, met een zeer hoge heersende

gasdruk vereist zijn, dit zou economisch niet te verantwoorden zijn. Dit probleem kan opgelost

worden door meerdere kleinere luchtveren naast elkaar te plaatsen. Dit noemt men ook wel een

parallelle schikking van de luchtveren. De resulterende veerconstante van parallel geplaatste

veren wordt berekend met vgl.(2.43):

kres = n · k (2.43)

Met

n = het aantal parallel geplaatste veren

k = de veerconstante van een individuele veer

Naast het bereiken van de berekende veerconstante moeten de luchtveren ook in staat zijn

om de statische belasting te dragen. De statische belasting bestaat uit het gewicht van het

aambeeld, rubberlaag en funderingsblok. In totaal bedraagt deze belasting 267 kN.

Vanwege de afmetingen van het crash platform wordt het aantal luchtveren beperkt tot 16

stuks die in een rooster van 4 × 4 geplaatst worden. Uit de catalogus blijkt dat voor kleine

verplaatsingen (<76,2 mm) best het type ’single convolution’ gekozen wordt. De berekeningen


worden samengevat in Tabel 2.4, de afmetingen en de kracht (bij 1 inch stroke) bij ieder type

volgen uit Bijlage C. Met deze gegevens wordt bij ieder type de veerconstante k berekend, vervol-

gens berekent men het aantal veren n nodig om de resulterende veerconstante k=50.000.000 N/m

te bereiken. En ten slotte wordt de totale draagkracht Ftotaal van de n veren bepaald.

Uit de tabel blijkt dat een ontwerp van 16 veren van het type 19 aan alle eisen voldoet,

er is zelf nog een overschot aan draagkracht (267 kN<343 kN). De indrukking door de statische

belasting is minder dan 25,4 mm, uit de catalogus volgt dat er dan nog 63,5 mm overschiet voor

de dynamische indrukking, wat ruim voldoende is. Ook constructief is er geen enkel probleem,

want een rij van 4 veren beslaat slechts 131 cm van de 200 cm beschikbare ruimte.

Bepalen type en aantal ’single convolution’ luchtveren bij P=62 bar en 1 inch stroke

Type Ømax Øgem S Hoogte F k n Ftotaal

[m] [m] [m2] [m] [N] [N/m] [kN]

16 0,15240 0,11430 0,01026 0,05842 3044 1517208 33,0 100

16ST 0,13716 nvt nvt 0,05842 2949 nvt nvt nvt

131 0,16510 0,11430 0,01026 0,07874 4280 1125670 44,4 190

110 0,21082 0,11430 0,01026 0,10414 6626 851116 58,7 389

116 0,23114 0,13487 0,01429 0,10414 8528 1185095 42,2 360

116-1 0,24384 0,13487 0,01429 0,13208 9448 934401 53,5 506

115 0,25654 0,16027 0,02018 0,10414 11255 1673488 29,9 336

19 0,32766 0,22860 0,04104 0,11430 21305 3101847 16,1 343

19-.75 0,34290 0,22860 0,04104 0,12446 22320 2848635 17,6 392

113 0,38608 0,28727 0,06482 0,12192 31387 4592316 10,9 342

113-1 0,40386 0,28727 0,06482 0,14224 34431 3936271 12,7 437

153-2 0,45974 nvt nvt 0,16002 41644 nvt nvt nvt

119** 0,44196 0,35077 0,09664 0,13208 44481 6320215 7,9 352

121** 0,51562 0,41910 0,13795 0,11684 62141 10199007 4,9 305

126** 0,56896 0,48260 0,18292 0,13716 82400 11520233 4,3 358

138-1.5 0,70866 0,59690 0,27983 0,16002 137692 15105774 3,3 456

148-1 0,94996 0,83007 0,54115 0,16002 248245 29212677 1,7 425

Tabel 2.4: Bepalen van het type luchtveer

2.7 Vergelijking methoden 60

2.7 Vergelijking methoden

In dit hoofdstuk zijn verscheidene methodes aangewend om de responsie van het crash

platform op de impactbelasting te beschrijven. Het lijkt daarom aangewezen om de verschillende

methodes naast elkaar te leggen en te vergelijken. Bovendien wordt getracht een antwoord te

geven op de vraag welke methode het meest aangewezen is voor het bepalen van de responsie

van het systeem in vrije trilling en welke methode kan gebruikt worden voor het bepalen van de

impactbelasting.

2.7.1 Beschrijving van de verschillende methodes

De drie gebruikte methodes zijn:

� Methode voor impact machines

� Methode van behoud van impuls

� Methode impactbelasting

Methode voor impact machines

Dit is een methode beschreven in de literatuur [2] voor het ontwerp van impact machines

en werd toegepast op de valopstelling. Het crash platform wordt omgevormd tot een model

met twee vrijheidsgraden waarbij er geen rekening gehouden wordt met demping. De maximale

verplaatsingen van het aambeeld en het funderingsblok worden geschreven in functie van de

natuurlijke frequenties ωn1 en ωn2, de limiet natuurlijke frequentie ωnl1 en de beginsnelheid

van het aambeeld v1,0. Het is deze beginsnelheid van het aambeeld die in de verschillende

methodes een belangrijke rol zal vervullen. Er wordt namelijk vanuit gegaan dat het systeem

met twee vrijheidsgraden in vrije trilling is en waarbij aan het aambeeld een beginsnelheid wordt

toegekend, gegeven door

v1,0 =1 + e

1 + m1mi

· vi,0 (2.44)

De beginsnelheid v1,0 is functie van vi,0, de snelheid van de impactor net voor de impact, en van

de coefficient e. Overigens zijn m1 de massa van het aambeeld en mi de massa van de impactor.

De snelheid van de impactor net voor de impact is afhankelijk van de valhoogte want vi,0 =√

2gh

en aangezien de valhoogte 25 m bedraagt ligt deze term vast. De massa’s van het aambeeld en

impactor worden eveneens constant gehouden. De enige onbekende parameter in de formule van


v1,0 is de coefficient e. De waarde van e hangt af van de materialen die betrokken zijn bij de

impact. Deze waarde moet gelegen zijn tussen tussen de volgende twee uiterste waarden:

� e = 1 impact tussen twee stijve lichamen, dergelijke impact noemt men voortaan een

volkomen harde impact.

� e = 0 impact tussen een stijf en een volkomen plastisch vervormbaar lichaam, dergelijke

impact noemt men voortaan een volkomen zachte impact.

In deze methode wordt voor het ontwerp van het crash platform gewerkt met een waarde e die

gelijk is aan 0,5. Deze e-waarde is verschillend van nul hetgeen wil zeggen dat de impactor

terugkaatst wordt na impact op het aambeeld. De gesimuleerde impact is noch volkomen hard,

noch volkomen zacht.

Methode van behoud van impuls

Deze methode houdt rekening met demping. Er wordt gebruik gemaakt van de wet van

behoud van impuls om de responsie van het systeem op de impact te bepalen. Bovendien

wordt verondersteld dat de impactor na impact op het aambeeld blijft liggen en bijgevolg niet

teruggekaatst wordt. De bewegingsvergelijkingen worden opgesteld voor een systeem in vrije

trilling (F(t)=0), rekening houdend met het feit dat de impactor en aambeeld samen trillen.

Uiteraard moeten er beginvoorwaarden aan het aambeeld toegekend worden. Enerzijds is er

een statische indrukking z1,0 ten gevolge van het gewicht van de impactor, anderzijds heeft het

aambeeld een beginsnelheid ten gevolge van de impact van de impactor. Deze beginsnelheid

wordt gegeven door

v1,0 =mi

mi + m1· vi,0 (2.45)

en kan omgevormd worden tot

v1,0 =1 + 0

1 + m1mi

· vi,0 (2.46)

Deze vorm zorgt ervoor dat v1,0 opnieuw geschreven wordt in functie van vi,0 en de coefficient

e, die weliswaar nul is. Dit wijst erop dat de impactor niet teruggekaatst wordt na de impact,

zodanig dat men kan spreken van een volkomen zachte impact.

Methode impactbelasting

In de vorige twee methodes wordt de responsie van het systeem bepaald door de impact-

belasting F(t) gelijk aan nul te stellen en aan het aambeeld een beginsnelheid te geven. De


bewegingsvergelijkingen worden dan opgelost voor een systeem in vrije trilling mits de juiste

beginvoorwaarden worden gehanteerd. De methode voor impact machines en de methode van

behoud van impuls geven de responsie van het systeem net na de impact. De eigenlijke impact

wordt buiten beschouwing gelaten.

In de methode impactbelasting wordt zowel de impact als reactie van het crash platform op de

impactbelasting onderzocht. Opnieuw wordt er gewerkt met de bewegingsvergelijkingen, maar

nu wordt ook de beweging van de impactor in rekening gebracht. De bewegingsvergelijkingen

worden opgelost door te integreren over zeer kleine tijdsstappen en hiervoor werd een programma

in MATLAB geschreven. Er worden twee fases beschouwd, namelijk wanneer de impactor in

contact is met het aambeeld en wanneer de impactor loskomt van het aambeeld. In de eerste

fase wordt rekening gehouden met een plastische indrukking via de formule van Hertz en bepaalt

men het verloop van de impactbelasting in functie van de tijd. De relatieve eigenschappen van

de lichamen komen tot uiting in de formule van Hertz. In deze formule zit een equivalente

elasticiteitsmodulus E die functie is van E1 en E2. Deze laatste zijn de twee elasticiteismoduli

van de materialen betrokken bij de impact. In de tweede fase schiet de impactor terug omhoog

en bepaalt men de responsie van het crash platform in vrije trilling. De beginsnelheid van

het aambeeld in een bepaalde tijdstap is telkens gelijk aan de snelheid van het aambeeld in de

vorige tijdstap. Ook in deze methode wordt rekening gehouden met demping. Er worden twee

simulaties uitgevoerd, de eerste kan men een harde impact noemen want E1/E2 = 1, de tweede

noemt men een zachte impact met een verhouding van de elasticiteitsmoduli E1/E2 = 1.000.

2.7.2 Vergelijking van de verschillende methodes

De verschillende methodes worden met elkaar vergeleken aan de hand van het algemene

voorbeeld dat gedurende dit hoofdstuk werd behandeld. De besluiten kunnen doorgetrokken

worden voor de andere combinaties. Samengevat heeft men de volgende parameters voor het

algemene voorbeeld: een valhoogte h van 25 m, een massa van de impactor mi van 500 kg, een

massa van het aambeeld m1 van 10.000 kg, een massa van het funderingsblok m2 van 30.000 kg,

equivalente veerconstanten voor de elastische lagen onder het aambeeld en funderingsblok k1

en k2 van 50.000.000 N/m en dempingsconstanten c1 en c2 van 250.000 N.s/m. De belangrijkste

grootheden voor het vergelijken van de verscheidene methodes zijn de maximale verplaatsingen

van het aambeeld z1,max en funderingsblok z2,max evenals de beginverplaatsing en -snelheid van

het aambeeld z1,0 en v1,0. Ze worden weergegeven in Tabel 2.5.


Vergelijking van de analytische berekeningsmethoden

Methode z1,max z2,max z1,0 v1,0 e e

[mm] [mm] [mm] [m/s] (theoretisch) (berekend)

Impact machines 16,8 12,9 0 1,582 0,5 nvt

Behoud van impuls 12,9 9,0 0,1 1,054 0 nvt

Impactbelasting

Harde impact 24,7 17,2 1,0 2,080 1 0,972

Zachte impact 24,6 16,9 11,0 1,678 onbekend 0,591

Behoud van impuls met e 24,98 17,21 0,1 2,109 1 nvt

18,74 12,90 0,1 1,582 0,5 nvt

19,87 13,69 0,1 1,678 0,591 nvt

Tabel 2.5: Vergelijking resultaten algemeen voorbeeld

Op het eerste zicht bestaat er geen enkele overeenkomst tussen de resultaten van de verschil-

lende methoden. Maar zoals reeds aangehaald moet de oorzaak hiervan gezocht worden bij de

dimensieloze parameter e, want bij de vier verschillende methoden behoort telkens een andere

e, namelijk:

� Bij de methode impact machines wordt e = 0, 5 gekozen, dit betekent concreet dat de

impact noch volkomen hard noch volkomen zacht is, maar tussen de twee.

� Bij de methode behoud van impuls hoort een theoretische e = 0. Bij e = 0 wordt in feite

een volkomen zachte impact gesimuleerd.

� Bij de harde impact (E1/E2 = 1) van de methode impactbelasting hoort een theoretische

e = 1. Dit kan gecontroleerd worden met vgl.(2.44). Met deze vergelijking kan e berek-

end worden die hoort bij de gevonden beginsnelheid van het aambeeld, namelijk v1,0 =

2, 080 m/s. Uit deze berekening volgt e = 0, 972, zoals men kan zien, ligt deze waarde zeer

dicht bij 1.

� Bij de zachte impact (E1/E2 = 1.000) van de methode impactbelasting is het niet vanzelf-

sprekend om een waarde aan e toe te kennen, het is echter wel zo dat de beginsnelheid

van het aambeeld in de buurt ligt van de beginsnelheid van het aambeeld bij de methode


impact machines. Vandaar dat men kan voorspellen dat e in de buurt van 0,5 zal liggen,

maar iets groter zal zijn. Als e opnieuw berekend wordt met vgl.(2.44) dan vindt men

e = 0, 591. De voorspelling was bijgevolg correct.

Zoals men merkt, hoort bij ieder methode een andere e. Of met andere woorden wordt er bij

iedere methode een andere impact gesimuleerd, het is dan ook logisch dat er geen overeenkomsten

bestaan tussen de resultaten van de verschillende methoden.

Om de verschillende methodes toch te kunnen vergelijken wordt een nieuwe methode ont-

wikkeld die een combinatie is van de methode impact machines en de methode behoud van impuls,

deze nieuwe methode wordt de methode behoud van impuls met e genoemd. Deze nieuwe meth-

ode is volledig gelijklopend met de methode behoud van impuls, maar nu wordt de beginsnelheid

van het aambeeld berekend met vgl.(2.44). Het programma van deze nieuwe methode is te

vinden in Bijlage A.

Met de nieuwe methode worden simulaties uitgevoerd met e = 1, e = 0, 5 en met e = 0, 591.

De resultaten van deze simulaties vindt men terug in Tabel 2.5. Pas nu kunnen de verschillende

methoden met elkaar vergeleken worden. Men kan het volgende vaststellen:

� Wanneer de resultaten van de methode impactbelasting, harde impact vergeleken worden

met de resultaten van de methode behoud van impuls met e=1 dan kan men zien dat zowel

de beginsnelheid als de maximale verplaatsingen zeer dicht bij elkaar aanleunen. Op basis

van deze resultaten zou men kunnen besluiten dat beide methoden dezelfde resultaten

geven.

� Wanneer de resultaten van de methode impact machines vergeleken worden met de resul-

taten van de methode behoud van impuls met e=0,5 dan ziet men dat de beginsnelheden

uiteraard dezelfde zijn, want ze worden met dezelfde formule berekend. De maximale ver-

plaatsingen daarentegen zijn niet gelijk, hoewel ze niet veel van elkaar verschillen. Dit

verschil ontstaat doordat bij de methode impact machines de hogere orde termen verwaar-

loosd worden, bij de nieuwe methode gebeurt dit niet. Men mag dus besluiten dat de

resultaten van de nieuwe methode correcter zullen zijn.

� Als men tenslotte de resultaten van de methode impactbelasting, zachte impact vergelijkt

met de methode behoud van impuls met e=0,591 dan is uiteraard de beginsnelheid opnieuw

hetzelfde, maar nu verschillen de maximale verplaatsingen veel van elkaar. Als men kijkt

naar de beginverplaatsingen van het aambeeld z1,0 dan valt eveneens een groot verschil op


tussen beide methoden. Bij de nieuwe methode wordt de beginverplaatsing berekend als

de statische indrukking ten gevolge van het gewicht van de impactor, deze is uiteraard zeer

klein. Bij de methode impactbelasting volgt de beginverplaatsing uit de simulatie zelf en

doordat de impactbelasting bij een zachte impact 10 maal langer duurt dan bij een harde

impact is de beginverplaatsing veel groter. De combinatie van deze grote beginverplaatsing

met de beginsnelheid zorgt voor het grote verschil van de maximale verplaatsingen tussen

beide methoden. Men kan besluiten dat de methode behoud van impuls met e de zachte

impact onderschat.

Uit bovenstaande beschouwingen volgt duidelijk het belang van de relatieve eigenschappen

van de materialen die betrokken zijn bij de impact. Deze eigenschappen hebben een rechtstreekse

invloed op de beginsnelheid van het aambeeld in vrije trilling na de impact. De relatieve eigen-

schappen van de materialen worden uitgedrukt in de dimensieloze parameter e. Figuur 2.42 toont

het verband tussen de beginsnelheid v1,0 en de parameter e bij mi=500 kg en m1=10.000 kg.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

e

v1,0 [m/s]

Figuur 2.42: Verband v1,0 t.o.v e

Echter in de vgl.(2.44) is v1,0 niet enkel afhankelijk van e maar ook van de relatieve ver-

houding tussen de massa van het aambeeld en de massa van de impactor, namelijk m1/mi.

Om dit verband duidelijk te maken, wordt telkens de parameter e berekend die hoort bij de

beginsnelheden uit Tabel 2.3, deze berekeningen worden samengevat in Tabel 2.6.

Zoals verwacht heeft de massa van de impactor een duidelijke invloed op de parameter e.

Tabel 2.7 kan een hulpmiddel zijn bij het bepalen van de beginsnelheid van het aambeeld na de

impact. De tabel geeft de relatieve verhouding tussen de snelheid van de impactor net voor de

impact vi,0 en de beginsnelheid van het aambeeld net na de impact v1,0 weer in functie van e en


de relatieve verhouding tussen de massa van de impactor mi en de massa van het aambeeld m1.

Invloed mi op e

mi [kg] v1,0 [m/s] e

5 0,034 0,906

50 0,311 0,777

100 0,590 0,699

200 1,088 0,592

300 1,528 0,513

400 1,920 0,448

500 2,275 0,393

Tabel 2.6: Invloed v/d massa v/d impactor op de parameter e

v1,0/vi,0

mi/m1

e 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

0 0,010 0,020 0,029 0,038 0,048 0,057 0,065 0,074 0,083 0,091

0,1 0,011 0,022 0,032 0,042 0,052 0,062 0,072 0,081 0,091 0,100

0,2 0,012 0,024 0,035 0,046 0,057 0,068 0,079 0,089 0,099 0,109

0,3 0,013 0,025 0,038 0,050 0,062 0,074 0,085 0,096 0,107 0,118

0,4 0,014 0,027 0,041 0,054 0,067 0,079 0,092 0,104 0,116 0,127

0,5 0,015 0,029 0,044 0,058 0,071 0,085 0,098 0,111 0,124 0,136

0,6 0,016 0,031 0,047 0,062 0,076 0,091 0,105 0,119 0,132 0,145

0,7 0,017 0,033 0,050 0,065 0,081 0,096 0,111 0,126 0,140 0,155

0,8 0,018 0,035 0,052 0,069 0,086 0,102 0,118 0,133 0,149 0,164

0,9 0,019 0,037 0,055 0,073 0,090 0,108 0,124 0,141 0,157 0,173

1 0,020 0,039 0,058 0,077 0,095 0,113 0,131 0,148 0,165 0,182

Tabel 2.7: Hulpmiddel bij het bepalen van v1,0

2.8 Besluit 67

2.8 Besluit

De meest correcte methode blijkt de methode impactbelasting te zijn. Deze methode bepaald

zowel de impactbelasting als de responsie van het crash platform op deze belastingen. Echter

met deze methode gaan zeer lange rekentijden gepaard.

Indien men niet geınteresseerd is in de impactbelasting dan geeft de methode van behoud van

impuls met e sneller de responsie op de impactbelasting. Echter bij deze methode moet men de

factor e schatten, dit vraagt enige ervaring. Bij een harde impact geeft deze methode zeer goede

resultaten, maar bij een eerder zachte impact lijkt deze methode de responsie te onderschatten.

Dit komt doordat de beginverplaatsing van het aambeeld onderschat wordt, men is dus in feite

verplicht om ook de beginverplaatsing van het aambeeld te schatten wil men goede resultaten

bekomen bij een zachte impact. Vanwege de twee schattingen die gemaakt moeten worden, leent

deze methode zich er eerder toe om een eerste voorontwerp te maken.

Na alle simulaties die in dit hoofdstuk werden besproken wordt nog steeds combinatie 4 als

de meest optimale gekozen. Dit omdat met een relatief grote toename van de parameters van

combinatie 4 slechts een zeer kleine afname van de responsie gepaard gaat. Ook uit praktische

beschouwingen mogen de parameters van combinatie 4 niet meer toenemen, want men mag niet

vergeten dat het volledige crash platform in de bestaande toren moet komen. Samengevat zijn

de piekwaarden bij de parameters van combinatie 4 en een impactor massa mi=500 kg:

� Harde impact:

z1,max=30mm

z2,max=20mm

� Zachte impact:

z1,max=28,7mm

z2,max=19,19mm

Wenst men de maximale verplaatsing van het aambeeld z1,max te beperken tot 15 mm dan moet

men de massa van de impactor mi beperken tot 260 kg.

In het volgend hoofdstuk wordt verder gewerkt met de parameters van combinatie 4.

NUMERIEKE BEREKENINGEN 68

Hoofdstuk 3

Numerieke berekeningen

3.1 Inleiding

In dit hoofdstuk wordt het crash platform (met de dimensies van combinatie 4 van vorig

hoofdstuk) onderworpen aan numerieke berekeningen, daarvoor wordt beroep gedaan op het

eindige-elementen pakket ABAQUS. Eerst wordt besproken hoe het crash platform en de im-

pact gemodelleerd worden. Vervolgens wordt uitgelegd hoe deze modellen in ABAQUS worden

ingegeven. Daarna worden de resultaten die volgen uit de simulaties uitvoerig geanalyseerd en

met elkaar vergeleken. Tenslotte worden in het besluit de meest realistische modellen gekozen.

3.2 Eindige-elementenmethode

De eindige-elementenmethode (e.e.m) [9] is een rekenmethode waarmee b.v. de sterkte-

eigenschappen van een ingewikkelde constructie kunnen worden berekend. De methode is ont-

wikkeld, omdat analytische rekenmethoden onvoldoende mogelijkheden bieden, of te complexe

berekeningen vergen. De methode vindt toepassing bij sterkteberekeningen, maar ook bij elek-

tromagnetisme, warmteleer, stromingsleer en nog veel andere disciplines. Het is wiskundig aan

te tonen, dat bij het verkleinen van de elementen, de oplossing die met de e.e.m. wordt bereikt,

nadert tot de analytisch juiste oplossing. Toch kunnen er bij onjuiste modellering fouten worden

gemaakt die ernstige gevolgen kunnen hebben. De eindige-elementenmethode deelt een con-

structie op in een beperkt (eindig) aantal elementen, en koppelt deze elementen aan elkaar door

middel van knooppunten (nodes). Aan deze koppelingen wordt, afhankelijk van het soort ele-

ment een aantal eisen gesteld. In elk geval moeten de nodes van de elementen tegelijk met elkaar

verplaatsen. Het bepalen van de knooppunten en koppelingen komt overeen met het bepalen

3.3 Modellen 69

van een rooster. Door deze methodiek is het mogelijk het gedrag van een complexe constructie

te benaderen middels een matrixvergelijking. Het doel is de bepaling van de verplaatsingsvector

om daaruit de spanningen en rekken te kunnen bepalen, en daarmee de sterkte van de construc-

tie bij belasting. Om een nauwkeurige berekening te doen, moeten de elementen voldoende klein

gekozen worden. Daardoor worden de rekenmodellen over het algemeen wel groot. De elementen

die gebruikt worden in deze methoden varieren al naargelang het aantal dimensies (D):

� (1D) Staafelementen

� (2D) Oppervlakte-elementen (driehoekig of met vier hoekpunten)

� (3D) Volume-elementen (tetraeder of kubus)

Elk element krijgt op basis van de getekende geometrie, de (niet getekende) geometrische pa-

rameters als plaatdikte, doorsnede e.d., het gebruikte materiaal, de stijfheidseigenschappen

toegewezen. Bij het uitvoeren van een dynamische berekening is het nodig om ook gewichts-

eigenschappen toe te wijzen.

Om de eindige-elementenmethode toe te passen wordt gebruik gemaakt van het programma

ABAQUS [10]. Dit eindige-elementenpakket bevat verschillende paketten, namelijk:

� ABAQUS/Standard, dit is een eindige-elementen programma voor algemeen gebruik;

� ABAQUS/Explicit, dit is een eindige-elementen programma speciaal ontwikkeld voor dy-

namische problemen;

� ABAQUS/CAE, dit is een interactieve omgeving voor het creeren van eindige-elementen

modellen, het samenstellen van de soort ABAQUS analyse en het analyseren van de resul-

taten;

� ABAQUS/Viewer, dit is een onderdeel van ABAQUS/CAE dat alleen gebruikt wordt voor

het visualiseren van de resultaten.

Omdat een impact een dynamisch proces is, wordt gebruik gemaakt van ABAQUS/Explicit.

3.3 Modellen

Het modelleren van het crash platform en de impact is de belangrijkste stap in de eindige-

elementenmethode. Want een onjuiste modellering leidt tot foute resultaten die ernstige gevolgen

kunnen hebben.

3.3 Modellen 70

Vanwege het belang van de modellering worden in deze paragraaf de behandelde modellen

besproken. Figuur 3.1 geeft een overzicht van de modellen. Er worden in totaal 7 modellen ge-

simuleerd. Een eerste onderscheid gebeurt op basis van de modellering van de impactbelasting.

Een verdere onderverdeling gebeurt in analogie met Hoofdstuk 2 op basis van het soort impact.

Ten slotte is er nog een onderverdeling op basis van de modellering van de betrokken ma-

terialen, de tabel naast de boomstructuur toont deze onderverdeling. In deze tabel betekenen

de afkortingen het volgende:

� el = elastisch materiaalgedrag

� el pl = elastisch plastisch materiaalgedrag

� hyp el = hyperelastisch materiaalgedrag

De kenmerken van de verschillende soorten materiaalgedrag komen aan bod in paragraaf 3.4.2.

Het materiaal van het aambeeld is staal en van het funderingsblok is dit beton. In de modellen

waar de impactor mee gemodelleerd wordt, moet aan deze ook een materiaal toegekend worden.

Voor de harde impact krijgt de impactor dezelfde materiaaleigenschappen als het staal van het

aambeeld. Voor de zachte impact zal een fictief materiaal aan de impactor toegekend worden

met een elasticiteitsmodulus die 1.000 keer kleiner is dan de E-modulus van staal.

Naast het model impactor-rigid wordt geen materiaalgedrag gedefinieerd, dit komt doordat

dit model geen goede resultaten genereert, de reden hiervoor komt later aan bod (paragraaf

3.4.7). Wanneer men model 2 laat lopen in ABAQUS, levert dit een error op doordat de

verhouding tussen de vervormingssnelheid en golfsnelheid de waarde 1 overschrijdt in minstens

1 element. Er worden bijgevolg geen resultaten verkregen uit dit model. Om na te gaan of de

gesimuleerde modellen convergeren naar de juiste oplossing, werd een model gemaakt waarbij

de mesh van de onderdelen verfijnd is. Na vergelijking van dit model met het overeenkomstige

model, maar met een grovere mesh, blijkt dat de resultaten overeenkomen. Het model met de

fijnere mesh is niet opgenomen in de modellenboom.

Voor de modellering van het crash platform wordt vertrokken van Figuur 2.4 (Hoofdstuk 2),

hierbij wordt de kuip gemodelleerd als zijnde een stijve ondersteuning voor de elastische laag

die erop rust. De elastische laag boven de kuip bestaat in feite uit luchtveren. Het modelleren

van luchtveren in ABAQUS gebeurt met behulp van fluid elements. Dit is echter geen sinecure

en zou ons te ver leiden, vandaar dat ervoor gekozen wordt om de luchtveren te vervangen door

een rubberlaag.

3.3 Modellen 71

ABAQUS

Sinusbelasting F(t)

Impactor

Harde impact 12

1 =E

E

Zachte impact 10002

1 =E

E

Harde impact 12

1 =E

E

Zachte impact 10002

1 =E

E

Rigid

Staal Beton RubberModel

1 el el hyp el

el el hyp el3

el pl hyp el4

el el hyp el5

el pl hyp el6

el el hyp el7

el

el

el pl hyp el2 el

Figuur 3.1: Behandelde modellen

De grootste uitdaging is het ingeven van de impactbelasting. Er worden twee modellen

ontwikkeld om deze impactbelasting te simuleren.

3.3.1 Sinusbelasting

Er is reeds aangehaald dat de vorm van de impactbelasting gevonden met de methode

impactbelasting in Hoofdstuk 2 paragraaf 2.5.5 sterk lijkt op een sinusfunctie. Vandaar het idee

om de impactbelasting te modelleren als een sinusfunctie, deze omgevormde impactbelasting

wordt voor de eenvoud een sinusbelasting genoemd. De algemene vorm van de sinusbelasting is:

F (t) = A · sin(ω · t) (3.1)

Figuur 3.2 en Figuur 3.3 toont de bepaling van de sinusbelasting bij respectievelijk een harde en

een zachte impact met de parameters van combinatie 4 uit Hoofdstuk 2 paragraaf 2.4. In deze

figuren staan eveneens de impactbelastingen F (t), gevonden met de methode impactbelasting,

afgebeeld.

3.3 Modellen 72

0

5000000

10000000

15000000

20000000

25000000

30000000

35000000

40000000

45000000

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001

t [s]

F(t) [N]

F(t) sinusbelasting

Figuur 3.2: Sinusbelasting bij een harde impact en de parameters van combinatie 4

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

tijd (s)

Ft (N)

F(t) Asin(wt)

Figuur 3.3: Sinusbelasting bij een zachte impact en de parameters van combinatie 4

De sinusbelasting in Figuur 3.2 heeft de volgende karakteristieken:

� Amplitude A=39.455.067 N

� Periode T=0,001672 s

� Frequentie f=598,0861Hz

� Hoeksnelheid ω=3.757,886 rad/s

De sinusbelasting in Figuur 3.3 heeft de volgende karakteristieken:

� Amplitude A=3.350.174 N

� Periode T=0,02052 s

3.4 Modellering in ABAQUS 73

� Frequentie f=48,73Hz

� Hoeksnelheid ω=306,19 rad/s

Beide sinusbelastingen worden als een puntbelasting op het midden van het aambeeld aange-

bracht gedurende een halve periode T . Het onderscheid tussen een harde of een zachte impact

wordt nu gemaakt door de keuze van een der sinusbelastingen. Uiteraard is een echte impact-

belasting geen puntbelasting, dus dit is een vereenvoudiging. Concreet betekent dit dat in de

dichte buurt van de puntlast zeer hoge spanningen zullen voorkomen. Nochtans is deze benader-

ing zeker aanvaardbaar, maar men moet onthouden dat de lokale spanningen ter hoogte van

de puntlast buiten beschouwing moeten gelaten worden. Globaal gezien zal deze puntlast een

goede benadering van een impactbelasting zijn.

3.3.2 Impactor

Een andere manier om de impactbelasting te modelleren is door de impactor mee te nemen

in het model en deze te laten impacteren op het aambeeld. Dit is het beste, maar tegelijkertijd

het meest complexe model, waardoor ook de rekentijd drastisch toeneemt. Op het vorige model

(sinusbelasting) kan men kritiek uiten op het feit dat de impactbelasting zelf volgt uit een

analytische berekening en men daardoor niet zeker is van de juistheid van het model. Door

de impactor mee te modelleren moet men de impactbelasting niet meer op voorhand kennen.

Uiteraard wordt hier een accidenteel belastingsgeval beschouwd waarbij de impactor rechtstreeks

op het aambeeld inslaat, dit belastingsgeval werd voorheen een harde impact genoemd. Om

de zachte impact te modelleren wordt, zoals in Hoofdstuk 2, de elasticiteitsmodulus van de

impactor 1.000 maal kleiner genomen dan de elasticiteitsmodulus van het aambeeld. In het

model impactor-rigid (zie Figuur 3.1) wordt de impactor als stijf verondersteld. Dit model geeft

echter geen resultaten.

3.4 Modellering in ABAQUS

3.4.1 Geometrie

Er wordt verder gewerkt met de afmetingen van het crash platform uit combinatie 4 bekomen

in Hoofdstuk 2 paragraaf 2.4. Dit is nodig om een vergelijking te kunnen maken tussen de

analytische berekeningen en de numerieke berekeningen. Het crash platform heeft in boven-

aanzicht twee symmetrie assen en de impactbelasting grijpt in het snijpunt van deze twee sym-


metrie assen aan, meer bepaald in het midden van het aambeeld. In het model waar de impactor

mee gemodelleerd wordt, treft de impactor het aambeeld ook in het snijpunt van de symmetrie

assen. Om deze reden wordt slechts een vierde van het crash platform en van de impactor ge-

modelleerd, dit heeft als gevolg dat de rekentijden in belangrijke mate worden gereduceerd. Men

mag dit doen want de spanningen die de impactbelasting in het crash platform teweeg brengen

zijn symmetrisch ten opzichte van de geometrische symmetrie assen.

Ieder uniek onderdeel van het crash platform wordt in ABAQUS gemodelleerd als een part.

Hierna wordt van iedere part de afmetingen gegeven en enkel de impactor wordt afgebeeld.

Het aambeeld

Het aambeeld wordt ingegeven als een 3D-deformable-solid-extrusion met als afmetingen:

� Oppervlakte = 1m × 1 m, men mag niet vergeten dat in werkelijkheid de oppervlakte van

het aambeeld vier maal groter is en dit geldt ook voor de andere onderdelen.

� Dikte = 0,20 m

Het funderingsblok

Het funderingsblok wordt ingegeven als een 3D-deformable-solid-extrusion met als afmetingen:

� Oppervlakte = 1 m × 1 m

� Dikte = 2 m

De rubberlagen

De rubberlaag komt tweemaal voor in het crash platform, namelijk tussen het aambeeld en het

funderingsblok en onder het funderingsblok. Het rubber wordt ingegeven als een 3D-deformable-

solid-extrusion. In Hoofdstuk 2 paragraaf 2.6 wordt een voorstel gedaan van de dikte voor de

elastische lagen op basis van de elasticiteitsmodulus en de veerconstante die toegekend wordt

aan de elastische laag. Men komt daar tot een dikte van 0,16 m. In de numerieke berekening

wordt deze dikte behouden om een vergelijking te kunnen maken met de analytische berekening.

� Oppervlakte = 1 m × 1 m

� Dikte = 0,16 m


De impactor

De impactor wordt ingegeven als een 3D-deformable-solid-extrusion, in Figuur 3.4(a) wordt

de impactor afgebeeld. De afmetingen worden weergegeven in Figuur 3.4(b). De afmetingen

zijn zodanig dat het gewicht van een vierde van de impactor gelijk is aan 125 kg (=500 kg/4).

(a) (b)

510 mm

180 mm

R=180 m

m

Figuur 3.4: De impactor

3.4.2 Materialen

De materialen die toegekend worden aan de verschillende onderdelen van het model zullen

hier besproken worden. In het model zijn drie materialen opgenomen, zijnde staal, beton en

rubber. Het ingeven van de materialen gebeurt in de module property.

Staal

Het aambeeld wordt gemodelleerd als een stalen plaat met een dikte van 0,2m. Vooreerst zal

het staal gemodelleerd worden als een elastisch materiaal met een elasticiteitsmodulus E van

210.000MPa en een coefficient van Poisson van 0,3. Er wordt gewerkt met staalsoort Fe 360,

gekarakteriseerd door een vloeigrens fy van 235 MPa. Het spannings-rekdiagram van dit zacht

staal kan verkregen worden uit een trekproef in de longitudinale richting.

Men kan zich uiteraard inbeelden dat het aanslaan van de impactor op het aambeeld aanlei-

ding zal geven tot grote spanningen in de stalen plaat. Het staal zal de elastische zone verlaten

en overgaan tot plastische vervormingen. Het lijkt dan aangewezen om het staal te modelleren


als een elastisch-plastisch materiaal. Hiervoor wordt het ware spannings-rekdiagram, verkregen

uit trekproeven, omgevormd tot een geschematiseerd diagram [11]. Een dergelijk diagram voor

staalsoort Fe 360 is weergegeven in Figuur 3.5

A B

C

0

E

Ep

F/A

∆L/Le=0,00112 p=0,017

fy

Figuur 3.5: Geschematiseerd σ-ε diagram staal Fe 360

Het staal is volmaakt elastisch tot in A en kan dan plastisch worden gerekt bij een constante

spanning gelijk aan de vloeispanning fy tot in B. Wanneer het punt B bereikt is, moet men

de spanning verhogen om het metaal verder uit te rekken. De richtingscoefficient Ep van het

deel BC ligt tussen 3.000 MPa en 6.000 MPa. De tak BC stelt de versteviging van het staal

voor. Die tak is zeer lang, want de proefstaaf breekt slechts bij een breukrek die 0,16 a 0,20

bedraagt. Wanneer het staal gemodelleerd wordt als een elastisch materiaal dan bedoelt men

hiermee de tak OA. Om het staal elastisch-plastisch te modelleren, wordt de tak OA en de tak

AB ingegeven. Er wordt geen rekening gehouden met de versteviging en de plastische rek wordt

beperkt tot 0,017.

Wanneer de impactor eveneens gemodelleerd wordt, zal ook hieraan een materiaal moeten

toegekend worden. In het geval van harde impact krijgt de impactor eerst staal als lineair

elastisch materiaal toegewezen. Maar net zoals het aambeeld, zal de impactor aan grote span-

ningen blootgesteld worden. Om de plastische vervormingen die met deze spanningen gepaard

gaan te kennen, wordt aan de impactor het materiaal staal als elastisch-plastisch toegekend.

In het model met de impactor en zachte impact is het minder eenduidig welk materiaalmodel

moet worden gegeven aan de impactor. Men wil hier namelijk een simulatie uitvoeren van een

impact tussen twee materialen waarvan de elasticiteitsmoduli een factor 1.000 van elkaar ver-


schillen. Om dit te verkrijgen, modelleert men het aambeeld als staal lineair elastisch met een

elasticiteitsmodulus E van 210.000MPa en coefficient van Poisson van 0,3. De impactor wordt

gemodelleerd als een materiaal met een elasticiteitsmodulus E van 210 MPa en coefficient van

Poisson van 0,3. Dit is echter een fictief materiaal maar biedt toch de mogelijkheid om de zachte

impact te simuleren. De dichtheid van het staal bedraagt 7.850 kg/m3.

Beton

Het funderingsblok is een blok beton, dit beton wordt gemodelleerd als een elastisch materiaal

met een elasticiteitsmodulus E van 30.000 MPa [12]. De coefficient van Poisson mag voor ela-

stische rek (σc ≤ 0, 4fc, met σc de drukspanning in het beton en fc de druksterkte van het beton)

gelijkgesteld worden aan 0,2 [14]. De dichtheid van gewapend beton bedraagt 2.500 kg/m3.

Rubber

De elastische lagen onder het aambeeld en funderingsblok zullen, zoals reeds vermeld in

paragraaf 3.3, gemodelleerd worden als rubber. In het vorige hoofdstuk wordt aan de elastische

lagen een veerconstante k en een dempingsconstante c gegeven. De waarden hiervan worden

zodanig gekozen dat men tot aanvaardbare verplaatsingen van het aambeeld en funderingsblok

komt. De veerconstante k heeft dan een waarde van 50.000.000N/m en de dempingsconstante

c een waarde van 250.000 N.s/m. Het ingeven van rubber in ABAQUS gebeurt echter niet

op deze manier. In ABAQUS worden elastomeren (rubber) gemodelleerd als hyperelastische

materialen [15] en [16]. Dit verschil in modelleren van de elastische lagen zal een belangrijke rol

spelen in het vergelijken van de analytische methodes met de numerieke benadering, zijnde het

eindige-elementenpakket ABAQUS, maar hierover later meer.

De meeste elastomeren hebben een zeer kleine samendrukbaarheid in vergelijking met hun

afschuifcapaciteit. De relatieve samendrukbaarheid van een materiaal wordt uitgedrukt als de

verhouding van de initiele compressiemodulus K0 tot de initiele glijdingsmodulus µ0. Deze

verhouding kan ook uitgedrukt worden in termen van de coefficient van Poisson ν volgens

ν =3K0/µ0 − 26K0/µ0 + 2

(3.2)

Wanneer verondersteld wordt dat het rubber onsamendrukbaar is, dan is de compressiemodulus

oneindig, dit stemt overeen met een ν van 0,5 en dus een constant volume [13] want

4V = V · (1− 2ν) · ε (3.3)


Hierin is 4V het verschil in volume, V het oorspronkelijk volume, ε de rek (=4l/l) en ν de

Poisson coefficient. Een constant volume wil zeggen dat de kracht nodig om het volume te

veranderen oneindig is en bijgevolg K0 = ∞.

Hyperelastische materialen worden beschreven in termen van een rek-energie potentiaal,

U(ε), deze potentiaal bepaalt de rek-energie die opgeslagen wordt in het materiaal per eenheid

van een referentievolume (dit is het volume in de oorspronkelijke configuratie) als een functie

van de rek op dat moment in het materiaal. Er zijn verschillende vormen van de rek-energie

potentiaal beschikbaar in ABAQUS om onsamendrukbare elastomeren te modelleren. Voor het

modelleren van het rubber van het crash platform wordt gewerkt met de Arruda-Boyce vorm

[15]. Voor meer informatie hieromtrent wordt verwezen naar Bijlage D. In de Arruda-Boyce

vorm wordt het afschuifgedrag beschreven door de materiaalconstanten µ en λm, terwijl D de

samendrukbaarheid beschrijft. De initiele glijdingsmodulus en compressiemodulus worden dan

gegeven door

µ0 = µ(1 +3

5λ2m

+99

175λ4m

+513

875λ6m

+42039

67375λ8m

) en K0 =2D

(3.4)

Het rubber dat gebruikt wordt voor de elastisch laag, is een 8% sulfur rubber [16] dat een

hoog omkeerbaar gedrag vertoont. Informatie hieromtrent kan gevonden worden in Bijlage D.

De materiaalconstanten die gebruikt worden in het Arruda-Boyce model zijn µ=0,321MPa,

λm=5,24 en D=0. Dit geeft een initiele glijdingsmodulus µ0 van 0,328 MPa en een initiele

compressiemodulus K0 = ∞ (onsamendrukbaar).

Er wordt nog vermeld dat voor de dichtheid van het rubber 1.522 kg/m3 [18] genomen wordt.

3.4.3 Assemblage

In deze module worden alle onderdelen van het crash platform samengevoegd. Bij de mo-

dellen waar de impactor mee gemodelleerd wordt, wordt de afstand tussen de bovenkant van de

impactor en het aambeeld op 0,9072 m gezet. Dit heeft te maken met de module stappen, die

besproken worden in paragraaf 3.4.4. In Figuur 3.6 wordt de assemblage van het model met de

impactor weergegeven.


Figuur 3.6: Assemblage model met impactor

3.4.4 Stappen

De module step zorgt ervoor dat men bij het opbouwen van een model kan bepalen wanneer

de randvoorwaarden en krachten aangebracht worden. Voor het beschrijven van de stappen

in de modellering wordt een onderscheid gemaakt tussen het model met de sinusbelasting en

het model met de impactor. Voor beide modellen echter bestaat er een step initial waarin de

randvoorwaarden aangebracht worden. Deze randvoorwaarden worden behandeld in paragraaf

3.4.6.

Sinusbelasting

De impactbelasting die ontstaat door het aanslaan van de impactor op het aambeeld heeft

een vorm die kan benaderd worden als een sinus met een zekere amplitude en periode en dit

zowel voor de harde impact als de zachte impact (Figuur 3.2 en 3.3). Wanneer de duur van

de impactbelasting voorbij is, zal het systeem in vrije trilling zijn. Er worden twee stappen

ingevoerd:

� Step Impact : aanbrengen van de impactbelasting als een sinus.

� Step Free Vibration: vrije trilling van het systeem.


De duur van de twee stappen moet nog bepaald worden. Voor de Step Impact is dit duur van

de impactbelasting. Aangezien deze benaderd wordt als een sinus neemt men hiervoor de halve

periode T . Bij een harde impact is de periode 0,001672 s, voor de zachte impact 0,02052 s. Dit

geeft een duur van de Step Impact van respectievelijk 0,000836 s voor harde impact en 0,01026 s

voor zachte impact. De duur van de Step Free Vibration kan eigenlijk vrij gekozen worden. Men

kan het systeem zolang laten natrillen als men zelf verkiest. Om de rekentijd echter te beperken

wordt de duur van deze stap op 0,5 s gezet. Deze duur is voldoende om een beeld te vormen

over de responsie van het systeem na de impact.

Impactor

In dit model wordt de impactor mee gemodelleerd. Er moet vooreerst uitgedrukt worden dat

de impactor zich in vrije val bevindt. De vrije val eindigt door contact tussen de impactor en

het aambeeld: de impact. Vervolgens kaatst de impactor terug en is het crash platform in vrije

trilling. Dit alles wordt uitgedrukt in de volgende twee stappen:

� Step Shoot : de impactor is in vrije val en beweegt met een snelheid van 22,15 m/s (=√

2gh).

Deze stap duurt tot er contact is tussen de impactor en het aambeeld.

� Step Impact : de impactor impacteert op het aambeeld en dit vormt de impact. Daarna

kaatst de impactor terug en is het systeem in vrije trilling.

De duur van de Step Shoot is van weinig belang, men zou deze zeer kort kunnen nemen want

deze stap dient er enkel voor om de impactor in beweging te brengen. Maar om het model

duidelijk te houden, laat men deze stap duren tot wanneer er contact is met het aambeeld. In

de assemblage wordt de impactor op een afstand van 0,9072 m van het aambeeld geplaatst. Men

weet dat de impactor een hoogte heeft van 0,6857m en dat deze beweegt met een snelheid van

22,15m/s. Wanneer men de Step Shoot nu 0,01 s laat duren, dan zal er op het einde van deze

stap juist contact zijn tussen impactor en aambeeld. Inderdaad 0,6857 m + 0,01 s · 22,15m/s =

0,9072m. De duur van de Step Impact wordt net als bij de sinusbelasting op 0,5 s gezet.

3.4.5 Interactie

In de module assembly worden de verschillende onderdelen geschikt in de juiste positie. Maar

dit zorgt er nog niet voor dat deze delen aan elkaar gekoppeld zijn. Dit gebeurt in de module

interaction. In deze module wordt er gezorgd worden dat de onderdelen niet van elkaar loskomen


en als het ware verbonden zijn met elkaar. Deze beperking kan opgelegd worden met een tie

constraint, die ervoor zorgt dat twee gescheiden oppervlakken met elkaar verbonden worden

zodat er geen relatieve verplaatsing tussen beide optreedt. In het model van het crash platform

moet er een tie constraint aangebracht worden tussen het aambeeld en de eerste rubberlaag,

tussen de eerst rubberlaag en het funderingblok en tussen het funderingsblok en de tweede

rubberlaag.

3.4.6 Belasting en randvoorwaarden

Het ingeven van de belasting en de randvoorwaarden gebeurt in de module load.

Belasting

Het aanbrengen van een belasting gebeurt enkel in het model dat werkt met de sinusbelasting.

In het model met de impactor wordt deze mee gemodelleerd en moet er bijgevolg geen belasting

ingevoerd worden.

De impactbelasting F (t) wordt benaderd door een sinus. Het ingeven van een dergelijke

periodieke kracht gebeurt in ABAQUS met een amplitude curve [19]. Het is vooreerst een

geconcentreerde kracht waarvan het verloop in functie van de tijd een sinus is, in ABAQUS

wordt deze kracht geschreven als een Fourier reeks:

a = A0 +N∑

n=1

[An cos nω(t− t0) + Bn sinnω(t− t0)] (3.5)

Voor zowel de impactbelasting bij harde impact als bij zachte impact volstaat een sinus als

benadering van de impactbelasting. Dit zorgt ervoor dat in vgl.(3.5) An=0 en N=1. Bij de

start zijn de amplitude en de tijd gelijk aan 0 en dit geeft dat A0=t0=0. Er moet nu nog een

waarde toegewezen worden aan B1 en ω. De waarden zijn reeds bepaald in paragraaf 3.3.1. Er

moet slechts een vierde van de amplitude genomen worden aangezien er slechts een vierde van

het crash platform gemodelleerd wordt. Voor de harde impact geeft dit een amplitude B1 van

9,86MN en een pulsatie ω van 3.757,886 rad/s, voor de zachte impact is B1 gelijk aan 0,8375MN

en ω gelijk aan 306,1981 rad/s.

Randvoorwaarden

Er wordt een vierde van het crash platform gemodelleerd en daarom zullen de juiste rand-

voorwaarden moeten ingegeven worden. Eerst worden de randvoorwaarden besproken die gelijk


zijn in beide modellen (sinusbelasting en impactor). Elk onderdeel (aambeeld, funderingsblok

en rubberlagen) van het crash platform heeft vier randen. Twee ervan zijn vrij en moeten

niet van randvoorwaarden voorzien worden. De andere twee randen moeten randvoorwaarden

toegewezen krijgen die ervoor zorgen dat er beperkingen opgelegd worden welke veroorzaakt

worden door het overige drie vierde van het crash platform. In ABAQUS gebeurt dit door aan

de ene rand X-symmetrie en aan de andere rand Y-symmetrie als randvoorwaarde te geven.

Bovendien moet het crash platform onderaan ingeklemd zijn, dit komt erop neer dat alle ver-

plaatsingen en hoekrotaties op nul gezet worden. Deze drie randvoorwaarden worden als volgt

uitgedrukt en zijn afgebeeld in Figuur 3.7, de letter U staat voor een verplaatsing en de letters

UR voor een hoekrotatie:

� X-symmetrie: U1=UR2=UR3=0

� Y-symmetrie: U2=UR1=UR3=0

� Inklemming: U1=U2=U3=UR1=UR2=UR3=0

Elk van deze randvoowaarden wordt aangehouden in de verschillende stappen van de modellen,

zowel voor het model met sinusbelasting als het model met de impactor.

(a) (b)

(c)

Figuur 3.7: Randvoorwaarden: (a) X-symmetrie (b) Y-symmetrie (c) Inklemming


In het model met de impactor moet er echter nog een extra randvoorwaarde ingegeven

worden, welke zal veranderen gedurende de verschillende stappen. Deze randvoorwaarde krijgt

de benaming stampvelocity en beschrijft de beweging van de impactor. Ze wordt als volgt

ingegeven in de verschillende stappen, de letter V staat voor snelheid en de letters VR voor een

hoeksnelheid:

� Step Initial : de impactor wordt vastgehouden, V1=V2=V3=VR1=VR2=VR3=0

� Step Shoot : de impactor krijgt de snelheid 22,15m/s, dit wordt uitgedrukt door V3=

-22,15 m/s

� Step Impact : de impactor wordt afgeremd door contact met het aambeeld en wordt dan

teruggekaatst, dit doet men door de randvoorwaarde op inactief te zetten tijdens de Step

Impact. Het contact tussen de impactor en het aambeeld wordt gemodelleerd als een hard

contact in ABAQUS. Dit zorgt ervoor dat de impactor niet door het crash platform heen

gaat maar teruggekaatst wordt.

. De randvoorwaarde stampvelocity tijdens de Step Shoot is te zien in Figuur 3.8

Figuur 3.8: Randvoorwaarde impactor tijdens de Step Shoot


3.4.7 Mesh

In de module mesh worden de onderdelen in elementen opgesplitst, ze krijgen namelijk een

mesh toegewezen. Er zal besproken worden waarom het model met de impactor als rigid niet kan

gebruikt worden. Vervolgens wordt de grootte van de elementen bepaald door het signaal van de

impactbelasting te analyseren. Tenslotte worden de elementen van de verschillende onderdelen

gegeven.

Model met impactor rigid

Wanneer in ABAQUS een model opgesteld wordt waarbij de impactor als een rigid part

inslaat op het aambeeld, geeft dit geen stabiele resultaten. De reden hiervoor ligt bij het feit

dat de impactor oneindig stijf is (rigid) en bijgevolg geen vervormingen kan ondergaan. De

impactbelasting van een dergelijke impact zou het volgende verloop hebben in functie van de tijd:

een zeer korte stijgtijd, een piek en een zeer korte daaltijd. Wanneer een dergelijke belasting aan

een Fouriertransformatie zou onderworpen worden, worden er zeer grote frequenties bekomen die

nog steeds van groot belang zijn voor het gedrag van het crash platform. Deze hoge frequenties

bepalen de grootte van de elementen in ABAQUS, dit wordt later besproken in deze paragraaf.

De elementen zouden veel te klein moeten zijn om de spanningsgolf te kunnen volgen. Bovendien

heeft dit ook een invloed op de rekentijd, die veel te groot wordt. Dergelijke impact is ook niet

realistisch want zowel de impactor als het aambeeld zullen vervormingen ondergaan en dit is

niet mogelijk wanneer de impactor als rigid gemodelleerd wordt.

Bepalen grootte van de elementen

De impactbelasting F (t) zowel van de harde impact als van de zacht impact wordt onder-

worpen aan een Fouriertransformatie. Hierbij wordt de geanalyseerde functie uitgedrukt als een

superpositie van cosinussen. Elke cosinus term is voorzien van een amplitude en een frequentie.

Wanneer men nu een grafiek uitzet met in verticale as de amplitude tegenover de frequentie op

de horizontale as dan bekomt men een spectrum van het signaal. De impactbelasting kan reeds

goed benaderd worden door een cosinus (of sinus), stelt men de amplitude die hierbij hoort gelijk

aan A1 en beperkt men in het spectrum de amplitude tot 0,01·A1 dan bekomt men een grafiek

als in Figuur 3.9 voor harde impact en als in Figuur 3.10 voor zachte impact. Het uitvoeren van

een Fouriertransformatie gebeurt met het programma MATCAD.


0 5 .104

1 .105

1.5 .105

2 .105

2.5 .105

3 .105

3.5 .105

4 .105

4.5 .105

5 .105

0

0.05

spectrum of signal

spectrum of filter

spectrum of signal

spectrum of filter

f [Hz]

spectra [-]

Figuur 3.9: Spectrum harde impact

0 5 .104

1 .105

1.5 .105

2 .105

2.5 .105

3 .105

3.5 .105

4 .105

4.5 .105

5 .105

0

0.05

spectrum of signal

spectrum of filter

spectrum of signal

spectrum of filter

f [Hz]

spectra [-]

Figuur 3.10: Spectrum zachte impact

De kleinste frequentie waar de amplitude van de bijhorende cosinus-term op 10% van A1

is teruggevallen, blijkt voor beide signalen onder de 10.000 Hz te liggen. Er wordt een filter

toegepast op de impactbelastingen. Deze filter werkt met een cut-off frequentie van 10.000 Hz,


wat wil zeggen dat alle frequenties hoger dan 10.000 Hz verwaarloosd worden. Aan de hand van

deze filter kan de impactbelasting opnieuw opgesteld worden. In Figuur 3.11 en 3.12 kan men

zien dat de het origineel signaal en het gefilterd signaal volledig samenvallen.

0 1 .104

2 .104

3 .104

4 .104

5 .104

6 .104

7 .104

8 .104

9 .104

0.001

0

1 .107

2 .107

3 .107

4 .107

original signal

filtered signal

original signal

filtered signal

t [s]

signal [..]

Figuur 3.11: Harde impact: origineel en gefilterd signaal met cut-off limiet 10 kHz

0 2 .104

4 .104

6 .104

8 .104

0.001

1 .106

0

1 .106

2 .106

3 .106

4 .106

original signal

filtered signal

original signal

filtered signal

t [s]

signal [..]

Figuur 3.12: Zachte impact: origineel en gefilterd signaal met cut-off limiet 10 kHz

Er kan besloten worden dat de impactbelasting F (t) zowel voor harde als zachte impact een

frequentie f heeft van 10.000 Hz.

De voortplantingssnelheid van een longitudinale golf in een materiaal wordt gegeven door

c =

√E

ρ(3.6)


Hierin is E de elasticiteitsmodulus en ρ de dichtheid. De voortplantingssnelheid van een longi-

tudinale golf in staal wordt dan

c =

√210 · 109

7.850= 5.172 m/s

De golflengte is

λ =c

f=

5.17210.000

= 0, 5172 m

De afmetingen van de elementen worden best beperkt tot de halve golflengte of tot 0,25 m. Deze

afmeting zal geen probleem vormen bij het meshen van de onderdelen, omdat ze voldoende groot

is.

Elementen

De elementen worden gekozen uit de bibliotheek van ABAQUS/Explicit. Er wordt gekozen

voor hexahedrale eerste orde elementen. Alle onderdelen worden gemodelleerd met C3D8R ele-

menten. Dit zijn 8 knopige lineaire bricks met gereduceerde integratie. Gereduceerde integratie

gebruikt een lagere orde integratie om de stijfheid van de elementen te bepalen. Vooral wanneer

men werkt in drie dimensies zorgt dit voor een reductie van de rekentijd. Voor de rubberlagen

wordt de hourglass control op enhanced gezet. Hourglassing kan namelijk een probleem vormen

bij eerste orde elementen met gereduceerde integratie. Daar deze elementen slechts een integratie

punt hebben, is het mogelijk dat ze in een zodanige wijze vervormen dat de rekken berekend in

het integratie punt allen nul zijn, wat leidt tot een ongecontroleerde vervorming van de mesh.

De mesh van het model met sinus en het model met impactor zijn weergegeven in Figuur 3.13

3.5 Resultaten en bespreking 88

(a) (b)

Figuur 3.13: Mesh: (a) Model met sinusbelasting (b) Model met impactor

3.5 Resultaten en bespreking

Zoals aangeduid in Figuur 3.1 worden er 7 modellen gesimuleerd. Het is onmogelijk om

alle resultaten van deze simulaties uitvoerig te bespreken, dit zou leiden tot een onoverzichtelijk

geheel. Om deze reden worden de resultaten van een model uitvoerig besproken en worden de

belangrijkste verschillen met de andere modellen aangehaald. Indien nodig worden bepaalde

verschillen toch iets verder uitgewerkt. Er wordt gekozen voor model 7 uit de modellenboom,

in dit model wordt een zachte impact gesimuleerd. De impactor wordt mee gemodelleerd en

krijgt een elasticiteitsmodulus toegewezen die 1.000 maal kleiner is dan deze van het staal van

het aambeeld. Er wordt bewust voor dit model gekozen, omdat dit model het meest realistisch

is en tevens de gebruikstoestand simuleert. Het is duidelijk dat bij normaal gebruik van de

proefopstelling het crash platform geen onherstelbare schade mag oplopen, dit zal moeten blijken

uit de resultaten van model 7. In wat volgt worden eerst de verplaatsingen behandeld en daarna

de spanningen.


3.5.1 Verplaatsingen

De verplaatsingen worden telkens in verschillende punten geregistreerd, meer bepaald alle

punten die op de diagonaal van het aambeeld of funderingsblok liggen. Met de diagonaal wordt

bedoelt de lijn die de impactzone met de vrije hoek verbindt. Figuur 3.14 toont de punten die

op deze diagonaal liggen.

Figuur 3.14: Geselecteerde punten op de diagonaal

Model 7

Er wordt gestart met de verplaatsingen van de punten op de diagonaal van het aambeeld,

ze worden afgebeeld in Figuur 3.15. De grootheid U3 op de y-as stelt de verticale verplaatsing

voor. Er dient opgemerkt te worden dat de totale simulatietijd 0,5 s bedraagt en dat er geen

rekening wordt gehouden met de demping, dit is duidelijk zichtbaar op de grafiek. Deze twee

opmerkingen gelden voor alle simulaties.


-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

U3 [m]

T

Figuur 3.15: Model 7: verplaatsingen langs de diagonaal van het aambeeld

Figuur 3.15 toont de verplaatsingen van alle punten op de diagonaal van het aambeeld,

nochtans wordt er slechts een curve afgebeeld, dit komt doordat alle curves op elkaar liggen. Dit

betekent dat op elk tijdstip, elk punt dezelfde verplaatsing heeft. Fysisch wil dit zeggen dat het

aambeeld als een stijf geheel beweegt. De maximale verplaatsing bedraagt 28,31 mm. Er blijkt

ook een bepaalde periodiciteit te bestaan in de vorm van de verplaatsing, de periode T wordt

aangeduid in de figuur en bedraagt ongeveer 0,2 s.

Vervolgens worden de verplaatsingen langs de diagonaal van het funderingsblok afgebeeld

in Figuur 3.16. Net zoals het aambeeld, beweegt het funderingsblok als een stijf geheel, echter

bij het funderingsblok is de maximale verplaatsing 17,35mm. Er is een verschil in maximale

verplaatsing tussen aambeeld en funderingsblok van 11 mm, dit verschil is de verdienste van

de rubberlagen. Net zoals bij het aambeeld wordt de trilling gekenmerkt door een periode van

ongeveer 0,2 s, aangeduid in Figuur 3.16.


-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

U3 [m]

T

Figuur 3.16: Model 7: verplaatsingen langs de diagonaal van het funderingsblok

Tenslotte worden de verplaatsingen van het rubber in beschouwing genomen. Het aambeeld

en funderingsblok bewegen als een stijf geheel, daardoor zal het rubber gelijkmatig samenge-

drukt of uitgerekt worden. De boven- en onderkant van de rubberlaag tussen aambeeld en

funderingsblok zullen respectievelijk de beweging van het aambeeld en het funderingsblok vol-

gen. Het verschil tussen de beweging van de boven- en onderkant is ofwel de samendrukking

ofwel de uitrekking, op Figuur 3.17 wordt dit geıllustreerd. Wanneer het verschil negatief is dan

wordt het rubber gelijkmatig samengedrukt en bij positieve waarden gelijkmatig uitgetrokken.

Uit de figuur blijkt dat het rubber onder het aambeeld maximaal 13,07mm wordt samenge-

drukt en maximaal 19,65 mm wordt uitgetrokken. De beweging van de rubberlaag onder het

funderingsblok volgt volledig de beweging van het funderingsblok, want de onderkant van deze

rubberlaag is verbonden met de bewegingsloze kuip. Dit betekent dat bij een neerwaartse be-

weging van het funderingsblok, het rubber evenveel gelijkmatig wordt samengedrukt en bij een

opwaartse beweging wordt uitgetrokken. Men bekomt een maximale indrukking van 12,72mm

en een maximale uitrekking van 17,34 mm.


-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

U3 [m]

Bovenkant onderkant Verschil

Figuur 3.17: Model 7: samendrukking en uitrekking van de rubberlaag onder het aambeeld

In paragraaf 3.4.2 wordt aangehaald dat rubber zo goed als onsamendrukbaar is. Hieruit

volgt dat het volume van de rubberlagen niet verandert onder de impactbelasting. Echter uit

het voorgaande blijkt dat het rubber samengedrukt en uitgetrokken wordt, het samengedrukt

(of uitgetrokken) volume rubber moet ergens anders gecompenseerd worden. Deze compensatie

gebeurt aan de vrije randen en wordt duidelijk geıllustreerd in Figuur 3.18. In de figuur worden

de verticale verplaatsingen afgebeeld, het aambeeld en funderingsblok hebben een kleur, wat

nogmaals bevestigt dat ze als een stijf geheel bewegen. Wanneer de rubberlaag samengedrukt

wordt (Figuur 3.18(a)) dan puilt het rubber als het ware uit. De maximale uitpuiling komt

voor wanneer de rubberlaag maximaal samengedrukt wordt, en bedraagt 24,62 mm. Wanneer

daarentegen de rubberlaag uitgetrokken wordt (Figuur 3.18(b)) dan beweegt de zijkant van het

rubber naar binnen. Deze beweging is maximaal als de uitrekking maximaal is en bedraagt

33,94mm. Deze waarden horen bij de rubberlaag onder het aambeeld, uiteraard gebeurt het-

zelfde met de rubberlaag onder het funderingsblok, maar met als maximale uitpuiling 21,18mm

en een maximale beweging naar binnen van 29,86 mm. Dit effect treedt niet op bij de niet-vrije

randen, maar dit is het gevolg van de opgegeven randvoorwaarden.


(a)

(b)

Figuur 3.18: Model 7: zijdelingse verplaatsingen van het rubber (a) samendrukking (b)

uitrekking

Vergelijking met de andere modellen

Om gemakkelijk de modellen te vergelijken, worden alle piekwaarden van de verplaatsingen

gebundeld in Tabel 3.1.

Piekverplaatsingen

Modelnr Aambeeld Funderingsblok Periode T

[mm] [mm] [s]

1 26,73 16,70 0,2

2 nvt nvt nvt

3 24,80 16,57 0,2

4 24,88 16,57 0,2

5 21,73 12,77 0,2

6 15,09 9,38 0,2

7 28,31 17,35 0,2

Tabel 3.1: Vergelijkingstabel piekwaarden


In deze tabel wordt ook de periode gegeven, de periode blijkt bij ieder model ongeveer 0,2 s

te zijn. Model 2 geeft geen resultaten ten gevolge van een error die te wijten is aan het feit dat

de verhouding van de vervormingssnelheid tot golfsnelheid de waarde 1 overschrijdt.

Model 5 simuleert een harde impact, waarbij de impactor en het aambeeld uit hetzelfde

materiaal bestaan (staal elastisch). Als dit model vergeleken wordt met een zachte impact

(model 7) dan valt op dat de zachte impact grotere verplaatsingen teweeg brengt. Dit komt

doordat het contact tussen de impactor en het aambeeld langer aanhoudt, daardoor kan er als

het ware meer energie overgedragen worden naar het aambeeld, met grotere verplaatsingen als

gevolg. Ook in model 5 gedragen aambeeld en funderingsblok zich als een stijf geheel wat de

verplaatsingen betreft.

Bij model 1, waar een harde impact gesimuleerd wordt met behulp van een sinusbelasting,

wordt voor de eerste maal opgemerkt dat het aambeeld zich niet meer verplaatst als een stijf

geheel, dit komt tot uiting in Figuur 3.19 en Figuur 3.20. In Figuur 3.19 stellen de curven van

onder naar boven de punten voor vertrekkend van het punt onder de impactor.

-0,016

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009

t [s]

U3 [m]

Figuur 3.19: Model 1: verplaatsingen langs de diagonaal van het aambeeld tijdens impact


-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

U3 [m]

Figuur 3.20: Model 1: verplaatsingen langs de diagonaal van het aambeeld na impact

In Figuur 3.19 komt de curve met de grootste verplaatsingen (oranje) overeen met het punt

net onder de sinusbelasting. Doordat de sinusbelasting een puntbelasting is, zijn de verplaatsin-

gen in het aangrijpingspunt groter dan in de andere punten. Naarmate men zich verder verwi-

jdert van dit punt, worden de verplaatsingen kleiner en bovendien voelen deze punten de impact

later dan het punt net onder de impactbelasting. Dit komt doordat de spanningsgolf zich steeds

verder voortplant, waardoor het verste punt als laatste in beweging komt. Echter in Figuur 3.20

ziet men duidelijk dat het verschil in verplaatsingen op de diagonaal van het aambeeld reeds na

ongeveer 0,05 s verdwijnt en daarna gedraagt het aambeeld zich terug als een stijf geheel.

Nu kan ook de link gelegd worden tussen de twee types modellen. Als bijvoorbeeld model 1

(harde impact als sinusbelasting) met model 5 (harde impact door impactor mee te modelleren)

vergeleken wordt, dan blijkt dat model 1 grotere verplaatsingen oplevert, dus dat de sinus-

belasting de harde impact overschat. Indien model 3 (zachte impact als sinusbelasting) met

model 7 (zachte impact door impactor mee te modelleren) wordt vergeleken, dan blijkt model

7 grotere verplaatsingen te genereren. Er blijkt dat de sinusbelasting een zachte impact onder-

schat. Echter de verschillen bij zowel een harde als een zachte impact zijn niet overdreven groot,

dus de benadering van een impact door een sinusbelasting lijkt gerechtvaardigd.

Bij alle reeds behandelde modellen wordt het staal van het aambeeld steeds als volkomen


elastisch gemodelleerd. Om de invloed van elastisch-plastisch materiaalgedrag op de resultaten

te onderzoeken moeten model 5 (elastisch materiaalgedrag) en model 6 (elastisch-plastisch ma-

teriaalgedrag) met elkaar vergeleken worden. Uit Tabel 3.1 blijken de verplaatsingen sterk af te

nemen bij elastisch-plastisch materiaalgedrag. In Figuur 3.21 wordt de invloed van het elastisch-

plastisch materiaalgedrag duidelijk.

-0,025

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

U3 [m]

Figuur 3.21: Model 6: verplaatsingen langs de diagonaal van het aambeeld

In deze grafiek worden de verplaatsingen van alle punten langs de diagonaal van het aambeeld

voorgesteld, nochtans zijn er slechts drie duidelijke curven te onderscheiden. De oranje curve

stelt het eerste punt van de diagonaal voor, dus in de impactzone. De blauwe curve stelt het

punt er net naast voor. De derde curve toont alle andere punten, deze curves liggen zo goed als

op elkaar. Deze curve geeft in feite de globale beweging van het aambeeld weer. Het verschil

tussen deze curve en de andere twee curves stelt de lokale plastische vervormingen voor, dit

verschil wordt geıllustreerd in Figuur 3.22. Opnieuw stelt de oranje curve het eerste punt voor

en de blauwe curve het punt ernaast. Beide vervormingen lopen op tot een piekwaarde en

nemen vervolgens lichtjes af om uiteindelijk constant te blijven. De afname is te wijten aan

de elastische terugvering. De plastische vervormingen zijn het gevolg van het overschrijden van

de vloeispanningen. Het valt ook op dat beide vervormingen tegengesteld van teken zijn, dit

komt doordat het tweede punt opgeduwd wordt ten gevolge van materiaalverdringing. Dit is


duidelijk zichtbaar op Figuur 3.23. Er kan tenslotte besloten worden dat het eerste punt 10mm

plastisch ingedrukt wordt en het tweede punt 4 mm plastisch opgeduwd wordt. Deze plastische

vervormingen liggen ook aan de basis van het verschil van de verplaatsingen tussen model 5

en model 6, want er gaat veel energie verloren in het plastisch vervormen van het aambeeld,

waardoor er minder energie overblijft om het aambeeld in zijn geheel te verplaatsen. Uit deze

beschouwingen volgt ook dat er bij een harde impact, dus in het accidentele geval, onvermijdelijk

oppervlakkige schade zal optreden.

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

Plastische vervormingen [m]

1ste punt 2de punt

Figuur 3.22: Model 6: plastische vervormingen


Figuur 3.23: Model 6: plastische vervormingen in de impactzone

De bovenstaande vergelijking wordt ook gemaakt tussen model 3 en model 4 om de invloed

van elastisch-plastisch materiaalgedrag op een zachte impact te controleren. Bij deze zachte

impact blijken de spanningen steeds onder de vloeispanning te blijven waardoor er geen plastische

vervormingen optreden. Concreet betekent dit dat beide modellen dezelfde resultaten zouden

moeten geven, de verplaatsingen uit Tabel 3.1 beamen dit.

3.5.2 Spanningen

In tegenstelling tot de analytische berekening, is het met het eindige-elementenpakket

ABAQUS mogelijk om de optredende spanningen te laten optekenen in de verschillende onderde-

len. Er zal gekeken worden naar de von Mises spanningen in het aambeeld, de S33 spanningen

in het funderingsblok en de maximale hoofdspanningen in de rubberlagen. Net zoals bij de

verplaatsingen zal de bespreking gebeuren aan de hand van het basismodel (model 7) en worden

er linken gelegd met de andere modellen.

De spanning [20] is een grootheid die gebruikt wordt om de inwendige krachtwerking binnen

een materiaal te beschrijven. In een drie dimensionaal voorwerp, kan de interne kracht die werkt

op een zeer klein oppervlak dA van een vlak dat gaat door een willekeurig punt in het materiaal

opgesplitst worden in drie componenten: een component die loodrecht staat op het vlak, de

normale spanning σ en twee componenten die evenwijdig zijn met het vlak, de schuifspanningen

τ (Figuur 3.24).


z

x

yxx

yy

zz

zy

zx

yz

yxxy

xz

P1

P2

Figuur 3.24: Spanningstensor

De drie dimensionale spanningstensor wordt dan gedefinieerd als

σij =

σxx τxy τxz

τyx σyy τyz

τzx τzy σzz

(3.7)

Het is steeds mogelijk om twee orthogonale vlakken te lokaliseren waar de schuifspanningen

nul zijn. Deze vlakken waarop de normale krachten werken, worden de hoofdvlakken genoemd,

terwijl de normale spanningen op deze vlakken de hoofdspanningen zijn.

De von Mises spanning σv is een scalaire functie van de componenten van de spanningstensor

die een waardering geeft van de grootte van de spanningstensor. Het is een eenvoudige manier

om de spanningen in drie dimensies te combineren en het breukcriteria te controleren. Op deze

wijze kan de sterkte van een materiaal in een drie dimensionale staat van spanningen vergeleken

worden met een proefstuk dat belast werd in een dimensie. In drie dimensies kan de von Mises

spanning uitgedrukt worden als


σv =1√2

√(σxx − σyy)2 + (σyy − σzz)2 + (σzz − σxx)2 + 6(τ2

xy + τ2yz + τ2

zx) (3.8)

Volgens het criterium van Huber-Hencky-von Mises ontstaat een blijvende vervorming zodra

σv een materiaal kenmerkende grenswaarde overtreft, voor staal is dit de vloeigrens fy.

Aambeeld

In het aambeeld wordt gekeken naar het verloop van de von Mises spanningen in de tijd. Er

worden twee grafieken opgetekend: de eerste geeft een beeld van de von Mises spanning langsheen

de diagonaal van de bovenkant van het aambeeld, de tweede toont de von Mises spanning

over de dikte van het aambeeld onder de zone waar de impactor inslaat op het aambeeld. De

geselecteerde elementen worden afgebeeld in Figuur 3.25.

Figuur 3.25: Geselecteerde elementen voor de von Mises spanning in het aambeeld

Figuur 3.26 toont het verloop van de von Mises spanningen in de tijd langs de diagonaal

van het aambeeld. Tijdens de eerste 0,01 s zijn de spanningen nul want dan zit men nog in de

Step Shoot, nadien impacteert de impactor op het aambeeld en ontstaat er een eerste piek in

het spanningsbeeld. Deze piek is uiteraard het grootst in het element vlak onder de impactor,

de piek daalt naarmate de elementen verder van de impactzone verwijderd zijn.


0,E+00

1,E+06

2,E+06

3,E+06

4,E+06

5,E+06

6,E+06

7,E+06

8,E+06

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

von Mises [Pa]

Figuur 3.26: Model 7: von Mises spanningen langs de diagonaal van het aambeeld

De grootste waarde van de von Mises spanning in de eerste piek bedraagt 7,53MPa en vormt

geen probleem met betrekking tot plastische vervormingen want de vloeispanning bedraagt

235 MPa. Na deze eerste piek valt de spanning in het aambeeld terug en treedt in alle ele-

menten een golvende beweging van de von Mises spanning op. De golvende beweging kan als

volgt verklaard worden: wanneer men kijkt naar de von Mises spanningen in het volledige crash

platform (aambeeld, rubber en funderingsblok) dan blijkt dat de grootste spanningen in het

aambeeld optreden en niet doorgegeven worden naar het funderingsblok. Een beeld hiervan is

te zien in Figuur 3.27. De rubberlaag tussen het aambeeld en funderingsblok isoleert als het

ware de spanningen in het aambeeld. Hierdoor blijft de spanningsgolf die ontstaat ten gevolge

van de impact voor het grootste gedeelte in het aambeeld. Deze golf plant zich voort langsheen

de diagonaal en over de diepte. Wanneer de golf aan de randen van het aambeeld gekomen is,

wordt hij teruggekaatst en kan interferentie ontstaan met een golf die zich nog aan het voort-

planten is in de andere richting. Dit verklaart de pieken en dalen die aanwezig zijn in Figuur

3.26 na de eerste piek.


Figuur 3.27: Model 7: Isolatie van de von Mises spanningen in het aambeeld

Figuur 3.28 geeft het verloop van de von Mises spanningen in de tijd over de dikte van het

aambeeld onder de impactzone. Het verloop is vrij gelijkaardig aan dit in Figuur 3.26 en dezelfde

vaststellingen kunnen gemaakt worden. De eerste twee elementen onder de impactzone vertonen

een grote eerste piek, voor de volgende twee elementen is de eerste piek reeds sterk gereduceerd.

De elementen hebben een hoogte van 5 cm, inderdaad vier elementen over een dikte van 20 cm

van het aambeeld, en bijgevolg zal de impact vooral voelbaar zijn over een dikte van 10 cm van

het aambeeld.


0,E+00

1,E+06

2,E+06

3,E+06

4,E+06

5,E+06

6,E+06

7,E+06

8,E+06

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

von Mises [Pa]

Figuur 3.28: Model 7: von Mises spanningen over de dikte van het aambeeld onder de impactzone

Na de bespreking van de von Mises spanningen in het aambeeld van het basismodel, kan

een vergelijking gemaakt worden met de andere modellen. Het model 3 uit de modellenboom

simuleert eveneens een zachte impact en in beide modellen wordt gewerkt met een elastisch

materiaalgedrag. Het enige verschil is dat de impactbelasting F (t) gemodelleerd is als een

sinusbelasting in model 3. Het verloop van de von Mises spanningen in functie van de tijd langs

de diagonaal van het aambeeld kent een gelijkaardig verloop als in het basismodel, namelijk eerst

een grote piekwaarde, gevolgd door een golvend verloop van de spanningen. Het golvend verloop

van de spanningen is gekenmerkt door pieken die steeds kleiner worden naarmate de tijd vordert.

De spanningsgolf sterft uit naarmate de tijd vordert. Op 0,45 s treedt er maar een piek meer op

met een waarde van 3,25MPa onder de impactbelasting. Dit gelijkmatig dalen van de pieken

kan niet vastgesteld worden in het basismodel (Figuur 3.26). De eerste grote piek die optreedt in

het model met de sinusbelasting (model 3) heeft een maximale waarde van 700MPa en treedt op

net onder de impactbelasting (het impactpunt). Deze waarde is zeer groot en is het gevolg van

het feit dat de impactbelasting ingegeven wordt als een puntbelasting. Onder dit impactpunt

zullen er dan ook zeer grote spanningen ontstaan. In werkelijkheid zal de impactor die inslaat

op het aambeeld een groter oppervlak bestrijken waardoor de spanningen meer gespreid worden

dan in het geval van een puntbelasting. De eerste piekwaarde van de von Mises spanning is in


het vijfde element van de diagonaal, vertrekkend van het impactpunt, in model 3 reeds gedaald

tot 47MPa. Het verloop van de von Mises spanningen tijdens de Step Impact van model 3 is

te zien in Figuur 3.29. Tijdens deze stap grijpt de sinusbelasting op het aambeeld aan, dezelfde

sinusvorm vindt men terug in het spanningsverloop. De eerste piek treedt op tijdens deze stap

en heeft de eerder vermelde maximale waarde van 700MPa in het impactpunt. In het element

ernaast is de eerste piekwaarde al gedaald tot 115 MPa (Figuur 3.29).

0,E+00

1,E+08

2,E+08

3,E+08

4,E+08

5,E+08

6,E+08

7,E+08

8,E+08

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

t [s]

von Mises [Pa]

Figuur 3.29: Model 3: von Mises spanningen langs de diagonaal van het aambeeld tijdens Step

Impact

Er moet ook nog gekeken worden naar de von Mises spanningen bij een harde impact.

Hiervoor wordt gebruik gemaakt van model 5 uit de modellenboom waarbij de impactor mee

gemodelleerd is en het overeenkomstige model met sinusbelasting (model 1). Wanneer gekeken

wordt naar het verloop van de von Mises spanningen langs de diagonaal van het aambeeld dan is

hetzelfde verloop vast te stellen als bij de zachte impact, met name een eerste piek die ontstaat

door de impact, gevolgd door een golvend verloop waarbij de spanningen afnemen. Dit kan in

beide modellen vastgesteld worden. De maximale piekwaarde in het model met de sinusbelasting

bedraagt 8000 MPa op ongeveer 0,0004 s en treedt op onder het impactpunt. Deze waarde is

extreem hoog maar dit komt opnieuw door het ingeven van een geconcentreerde puntkracht.


Na deze eerst piek treedt er nog een kleine piek op van ongeveer 110 MPa op 0,15 s, vervolgens

daalt de von Mises spanning tot 20 MPa op 0,30 s. Behalve gedurende de Step Impact zijn de

spanningen aanvaardbaar met een maximum van 110MPa. In het model waar de impactor mee

gemodelleerd is (model 5) treedt hetzelfde spanningsverloop op, waarbij tijdens de impact de

spanningen lokaal hoog oplopen. De piekwaarden zijn weliswaar kleiner dan bij model 1, maar

dit is opnieuw te wijten aan het ingeven van de kracht als een puntbelasting in model 1. Ten

gevolge van deze hoge lokale spanningen zullen er plaatselijk plastische vervormingen optreden,

zoals aangetoond in paragraaf 3.5.1.

Funderingsblok

Voor het analyseren van de spanningen in het funderingsblok, wordt gebruik gemaakt van

de S33 spanningen. Dit zijn de normale spanningen volgens de verticale as. Deze spanningen

worden gehanteerd omdat het beton moet gecontroleerd worden op trek en druk. Men zou

ook kunnen kijken naar de maximale en minimale hoofdspanningen, maar de extrema van deze

spanningen zijn eveneens de extrema van de S33 spanningen. Figuur 3.30 toont het verloop van

de S33 spanningen in de tijd langs de diagonaal van het funderingsblok (in analogie met het

aambeeld). Het S33 spanningsbeeld heeft een oscillatie vorm net als de verplaatsingen van het

funderingsblok (U3). Positieve waarden van S33 zijn trekspanningen en negatieve waarden zijn

drukspanningen. De maximale trekspanning bedraagt 0,80 MPa en de maximale drukspanning

is 0,71 MPa.

Beton, het materiaal van het funderingsblok, kan goed drukspanningen opnemen en de maxi-

maal optredende waarde zal zeker geen probleem vormen. Inderdaad beton van sterkteklasse

C25/30, welke in de meeste gevallen wordt voorgeschreven om te voldoen aan de eisen van

sterkte en duurzaamheid voor toepassing in gebouwen [14], heeft een karakteristieke druksterkte

fck van 25 MPa en is groter dan de maximaal optredende drukkracht. Beton dient niet voor

het opnemen van trekspanningen maar het heeft toch een beperkte treksterkte fct die kan ge-

lijkgesteld worden aan 0,1 keer de druksterkte van het beton [14]. Voor een beton C25/30 is

dit een treksterkte van 2,5 MPa. Hieruit volgt dat de trekspanningen theoretisch al door het

beton kunnen opgenomen worden. Toch zal het beton zeker moeten voorzien worden van een

minimumwapening. Er kan bijgevolg geconcludeerd worden dat de spanningen in het beton geen

gevaar vormen. Dit wordt eveneens vastgesteld in de andere modellen. De verklaring voor de

lage spanningen in het beton is al aangehaald bij de bespreking van de von Mises spanningen


in het aambeeld. De rubberlaag tussen aambeeld en funderingsblok zorgt er namelijk voor dat

de spanningen in het staal blijven en niet doorgegeven worden aan het beton. Het nut van het

betonnen funderingsblok is het creeren van massa om de verplaatsingen te beperken niet voor

het opnemen van de spanningen.

-8,E+05

-6,E+05

-4,E+05

-2,E+05

0,E+00

2,E+05

4,E+05

6,E+05

8,E+05

1,E+06

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

S33 [Pa]

Figuur 3.30: Model 7: S33 spanningen langs de diagonaal van het funderingsblok

Rubberlagen

De rubberlagen tussen het aambeeld en funderingsblok en onder het funderingsblok zijn een

8% sulfur rubber, waarvan het hyperelastisch gedrag onder een biaxiale trekproef beschreven is

in Bijlage D, Figuur D.1. Deze figuur geeft het verloop van de nominale spanningen in functie

van de nominale rek. Om het rubber te beoordelingen qua spanningen, moet er beroep gedaan

worden op die spanningen die het dichtst aanleunen bij de nominale spanningen uit de biaxiale

trekproef. De maximale hoofdspanningen in het rubber komen hiervoor het best in aanmerking.

De grootste spanningen in het rubber onder het aambeeld, treden op in het punt onder de

impactor vandaar dat de maximale hoofdspanningen in functie van de tijd uitgezet worden voor

de elementen in het rubber onder de impactor (Figuur 3.31). Het resultaat is voorgesteld in

Figuur 3.32.


Figuur 3.31: Geselecteerde elementen voor de maximale hoofdspanningen in de eerste rubberlaag

-8,E+05

-6,E+05

-4,E+05

-2,E+05

0,E+00

2,E+05

4,E+05

6,E+05

8,E+05

1,E+06

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

Max hoofdspanningen [Pa]

Figuur 3.32: Model 7: Maximale hoofdspanningen over de dikte van de eerste rubberlaag

Met negatieve spanningen komt een samendrukking van het rubber overeen en met een

positieve spanning een uitrekkking van het rubber. Deze samendrukking en uitrekking kan


gevonden worden in Figuur 3.17 meer bepaald de curve die het verschil geeft. Het verloop van

de maximale hoofdspanningen in de eerste rubberlaag (Figuur 3.32) is analoog als de curve die

het verschil aangeeft in Figuur 3.17.

De maximale hoofdspanningen vertonen een oscillatie vorm met als maximale waarde 0,74 MPa.

De spanningen in de eerste rubberlaag liggen in het eerste gedeelte van het spannings-rek dia-

gram in Figuur D.1. In paragraaf D.2 van Bijlage D is aangetoond, dat wanneer de spanningen

in het rubber beperkt blijven tot 0,50MPa, hetgeen dus voor de eerste rubberlaag met uitzonde-

ring van een paar waarden voldaan is, dit gedeelte van het spannings-rekdiagram kan benaderd

worden met een elasticiteitsmodulus van 2.204.301Pa. Dit wil zeggen dat het rubber dat ge-

bruikt wordt voor de analytische berekeningen (Hoofdstuk 2 paragraaf 2.6), namelijk met een

elasticiteitsmodulus van 2.000.000 Pa overeenkomt met dit rubber. Deze elasticiteitsmodulus

wordt samen met de veerconstante gebruikt om de dikte van de rubberlagen (0,16 m) te bepalen

die ingegeven wordt in het model in ABAQUS.

Voor de tweede rubberlaag, gelegen onder het funderingsblok, kunnen eveneens de maximale

hoofdspanningen uitgezet worden in functie van de tijd. Het resultaat is weergegeven in Figuur

3.33.

-6,E+05

-4,E+05

-2,E+05

0,E+00

2,E+05

4,E+05

6,E+05

8,E+05

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

t [s]

Max hoofdspanningen [Pa]

Figuur 3.33: Model 7: Maximale hoofdspanningen over de dikte van de tweede rubberlaag

3.6 Besluit 109

De maximale waarde die voorkomt is 0,64 MPa, waardoor dezelfde conclusie kan getrokken

worden als voor de eerste rubberlaag. In de analystische berekeningen is voorgesteld om voor

de tweede elastische laag luchtveren te gebruiken (Hoofdstuk 2 paragraaf 2.6). Het modelleren

van luchtveren in ABAQUS is niet zo eenvoudig vandaar dat er in de modellen voor gekozen is

om de tweede elastische laag eveneens te modelleren als rubber.

Het overeenkomstige model, waarbij de impactbelasting ingegeven wordt als een sinusbe-

lasting (model 3), heeft een maximale hoofdspanning van 0,65MPa in de eerste rubberlaag

en 0,53 MPa in de tweede rubberlaag. Deze resultaten zijn bijgevolg gelijklopend met het ba-

sismodel. Wanneer de resultaten bekeken worden van de modellen waarbij een harde impact

gesimuleerd wordt (model 2 en 5) dan treedt een maximale hoofdspanning op van 0,93MPa en

dit in de eerste rubberlaag. Het is evident dat bij een harde impact grotere spanningen zullen

ontstaan.

3.6 Besluit

De numerieke berekeningen worden uitgevoerd voor twee groepen van modellen. In de eerste

groep wordt de impactbelasting ingegeven als een sinusbelasting en in de tweede groep wordt de

impactor mee gemodelleerd. Verder wordt er nog een onderscheid gemaakt tussen een harde en

een zachte impact. De simulaties in het eindige-elementenpakket ABAQUS maken het mogelijk

om rekening te houden met het gedrag van de materialen. Het staal wordt ingegeven als een

elastisch of elastisch-plastisch materiaal, het beton als een elastisch materiaal en het rubber als

een hyperelastisch materiaal volgens de rek-energie potentiaal van Arruda-Boyce. Op basis van

de verplaatsingen en de spanningen worden de verschillende modellen met elkaar vergeleken.

Na het vergelijken van de verplaatsingen van het aambeeld en funderingsblok tussen de

modellen met de sinusbelasting en de modellen met de impactor blijkt dat deze in dezelfde

grootte-orde liggen. De modellen met de sinusbelasting overschatten lichtjes de harde impact

(5 mm voor het aambeeld, 4 mm voor het funderingsblok) en onderschatten lichtjes de zachte

impact (3,5mm voor het aambeeld, 1 mm voor het funderingsblok). Hieruit kan besloten worden

dat een modellering met de sinusbelasting gerechtvaardigd is. Daarnaast moet nog gekeken

worden naar de invloed van het materiaalgedrag, meer bepaald het verschil tussen staal als een

elastisch materiaal en staal als een elastisch-plastisch materiaal. Bij een zachte impact treden

er geen plastische vervormingen op in het aambeeld en is er bijgevolg geen verschil tussen de

modellen met staal als elastisch en staal als elastisch-plastisch materiaal. Bij een harde impact

3.6 Besluit 110

ontstaan er plastische vervormingen in het aambeeld wanneer het staal als een elastisch-plastisch

materiaal ingegeven wordt. Deze plastische vervormingen treden op in de impactzone, en daar

overschrijden de spanningen dan ook de vloeigrens. Naarmate men zich verder verwijdert van

deze impactzone dalen de spanningen snel en treden er geen plastisch vervormingen meer op. Het

optreden van de plastische vervormingen in de impactzone heeft tot gevolg dat er veel energie

gaat naar deze plastische vervormingen waardoor er minder energie overblijft om het aambeeld

in zijn geheel te verplaatsen. Dit zorgt voor het verschil in verplaatsingen van het aambeeld

en funderingsblok tussen het model waarbij staal als een elastisch materiaal en staal als een

elastisch-plastisch materiaal wordt ingegeven. Voor het beton en de rubberlagen vormen de

spanningen geen probleem omdat de rubberlaag tussen het aambeeld en funderingsblok ervoor

zorgt dat de spanningen geısoleerd blijven in het aambeeld (staal).

De algemene conclusie is dat de modellen met de sinusbelasting een goede benadering zijn

van de impact, toch zijn de modellen met de impactor altijd juister omdat ze de impact zoals

in de werkelijk nabootsen, namelijk een impactor (zit ook in het model) die aanslaat op het

aambeeld, terwijl bij de sinusbelasting een geconcentreerde kracht ingegeven wordt die volgt uit

de analytische berekeningen. Men weerhoudt voor een zachte impact model 7: staal elastisch,

beton elastisch en rubber hyperelastisch. Dit geeft volgende maximale verplaatsingen:

� Aambeeld: 28,31 mm

� Funderingsblok: 17,35 mm

Voor een harde impact moet rekening gehouden worden met de plastische vervormingen in

de impactzone en hiervoor neemt men model 6: staal elastisch-plastisch, beton elastisch en

rubberhyperelastisch met als maximale verplaatsingen:

� Aambeeld: 15,09 mm

� Funderingsblok: 9,38 mm

VERGELIJKING ANALYTISCHE EN NUMERIEKE BEREKENINGEN 111

Hoofdstuk 4

Vergelijking analytische en

numerieke berekeningen

4.1 Inleiding

In dit hoofdstuk worden de analytische berekeningen vergeleken met de numerieke berekenin-

gen. Uit de analytische berekeningen volgen geen spanningen, daardoor kan de vergelijking enkel

gebeuren op basis van de verplaatsingen. Er werd ook getracht een vergelijking te maken tussen

de snelheden net na de impact, maar het was niet mogelijk om uit de numerieke berekeningen

de snelheid net na de impact te bepalen, omdat het niet duidelijk waarneembaar is wanneer de

impact afgelopen is. Er wordt van uitgegaan dat de numerieke berekeningen de meest betrouw-

bare resultaten opleveren, omdat ze het meest overeen stemmen met de realiteit. Het verifieren

dat de resultaten van de numerieke berekeningen overeen komen met de realiteit zal de toekomst

moeten uitwijzen wanneer het crash platform daadwerkelijk gebouwd wordt.

4.2 Vergelijking

4.2.1 Materiaaleigenschappen

Het grootste verschil tussen de analytische en numerieke berekeningen vindt men terug bij het

definieren van het materiaalgedrag. Bij de analytische berekeningen worden het aambeeld en het

funderingsblok gemodelleerd als twee stijve massa’s, bij de numerieke berekeningen daarente-

gen krijgen het aambeeld en het funderingsblok specifieke materiaaleigenschappen toegewezen.

Het aambeeld krijgt de materiaaleigenschappen van staal toegewezen en het funderingsblok de

4.2 Vergelijking 112

materiaaleigenschappen van beton, hierdoor zijn het aambeeld en het funderingsblok niet langer

meer onvervormbaar. Uit de verplaatsingen van het aambeeld en het funderingsblok volgens de

numerieke berekeningen blijkt dat beide zich als een stijf geheel verplaatsen, dus de modellering

in de analytische methode zou dezelfde resultaten moeten opleveren. Echter het materiaalgedrag

van de elastische tussenlagen wordt ook anders gemodelleerd. De rubberlaag en de luchtveren

worden als een veer-demper systeem gemodelleerd in de analytische berekeningen, dergelijke

veer-demper systemen worden gekenmerkt door een veerconstante k en een dempingsconstante

c. In werkelijkheid heeft rubber een hyperelastisch materiaalgedrag, met dit gedrag wordt wel

rekening gehouden in de numerieke berekeningen. Dus het verschil in modelleren van het rub-

ber moet aan de basis liggen van de eventuele verschillen tussen de verplaatsingen van beide

methoden. Om dit te controleren worden de verplaatsingen van de methode impactbelasting

(combinatie 4) uit de analytische berekeningen vergeleken met de verplaatsingen van model 1

(harde impact) en model 3 (zachte impact) van de numerieke berekeningen. Er wordt gekozen

voor deze modellen omdat ze berekend worden met de sinusbelasting die volgt uit de analytische

berekeningen. Tevens wordt in beide modellen het staal als lineair elastisch gemodelleerd. Deze

verplaatsingen worden samengevat in Tabel 4.1.

Vergelijkingstabel piekverplaatsingen

Aambeeld [mm] Funderingsblok [mm]

Harde impact

Analytische berekeningen combinatie 4 30,0 20,0

Numerieke berekeningen model 1 26,7 16,7


Zachte impact

Analytische berekeningen combinatie 4 28,7 19,2



Tabel 4.1: Vergelijking verplaatsingen analytische en numerieke berekeningen

Er blijkt dus wel degelijk een verschil te bestaan tussen de verplaatsingen van beide be-

rekeningswijzen, de verplaatsingen van de analytische berekeningen zijn zowel bij een harde

als een zachte impact groter dan deze van de numerieke berekening. Voor een harde impact

is het verschil 3,3mm voor zowel het aambeeld als het funderingsblok en voor een zachte im-


pact is het verschil 4,1mm voor het aambeeld en 2,6 mm voor het funderingsblok. Deze ver-

schillen zijn klein, dit is te wijten aan de geldende elasticiteitsmodulus van het rubber bij de

optredende spanningen. Bij de analytische berekeningen heeft het rubber een elasticiteitsmo-

dulus E=2.000.000 Pa en bij de numerieke berekeningen hoort bij de optredende spanningen

(≤500.000 Pa) een elasticiteitsmodulus E=2.204.301 Pa. Het rubber reageert dus iets stijver

bij de numerieke berekeningen, wat de kleinere verplaatsingen verklaart. Daarnaast is rubber

als onsamendrukbaar gemodelleerd bij de numerieke berekeningen, terwijl bij de analytische

berekeningen hiermee geen rekening wordt gehouden, dit heeft hoogstwaarschijnlijk ook een in-

vloed op de verplaatsingen. Bij de analytische berekeningen wordt eigenlijk niet gewerkt met

de elasticiteitsmodulus, maar wel met de veerconstante k. Er bestaat echter wel een verband

tussen beide die beschreven wordt door vgl.(2.41), namelijk: k = E·Adp

Doordat de verplaatsingen van beide methoden zo dicht bij elkaar liggen, mag besloten worden

dat de weliswaar eenvoudige betrekking in vgl.(2.41) het verband tussen de veerconstante en de

elasticiteitsmodulus goed beschrijft. Er dient opgemerkt te worden dat de overeenkomsten niet

meer zou gelden indien de spanningen in het rubber hoger zouden oplopen dan 500.000 Pa, want

dan moet een andere elasticiteitsmodulus aan het rubber toegewezen worden. Bovendien is dit

ook enkel geldig voor het gebruikte rubber (8%sulfur rubber).

4.2.2 Impactbelasting

Bovenstaande vergelijking wordt gemaakt met dezelfde impactbelasting die volgt uit de

analytische berekeningen. Nu kan vergeleken worden in hoe verre de berekende impactbelasting

overeen komt met de werkelijk optredende impact aan de hand van de verplaatsingen. Deze

vergelijking wordt binnen de numerieke berekeningen reeds gemaakt in Hoofdstuk 3 paragraaf

3.5.1. Daar wordt model 1 vergeleken met model 5 voor de harde impact en model 3 met model

7 voor de zachte impact, deze piekwaarden worden ook opgenomen in Tabel 4.1. Er blijkt dat

de sinusbelasting de harde impact overschat met ongeveer 5 mm voor het aambeeld en ongeveer

4 mm voor het funderingsblok en dat de sinusbelasting de zachte impact onderschat met ongeveer

3,5mm voor het aambeeld en ongeveer 1 mm voor het funderingsblok.

De verschillen tussen de verplaatsingen van de analytische berekeningen (combinatie 4 in

Tabel 4.1) en de numerieke berekeningen waar de impactor mee gemodelleerd wordt (model 5

en 7 in Tabel 4.1) zijn een combinatie van deze verschillen ten gevolge van de impactbelasting

en de verschillen ten gevolge van de materiaaleigenschappen. Dit valt zeer duidelijk op voor


de harde impact, waar het verschil tussen combinatie 4 en model 5 oploopt tot 8,3 mm. Dit

valt in veel minder mate op bij de zachte impact, maar dit louter toeval omdat beide soorten

verschillen elkaar compenseren. Ondanks deze verschillen hebben de verplaatsingen van de

analytische berekeningen toch dezelfde grootte-orde als de verplaatsingen die volgen uit de nu-

merieke berekeningen.

4.2.3 Plastische vervormingen

Tot nu toe werd steeds de vergelijking gemaakt met staal die volmaakt lineair elastisch

gemodelleerd wordt, uiteraard is dit minder realistisch. Staal beschikt over een vloeigrens en

bij het overschrijden van deze grens zullen plastische vervormingen optreden. In Hoofdstuk

3 paragraaf 3.5.1 wordt reeds de invloed van deze materiaaleigenschap geanalyseerd. Daaruit

volgt dat deze materiaaleigenschap geen invloed heeft op de verplaatsingen die optreden bij een

zachte impact. Dit komt doordat de vloeigrens niet overschreden wordt, daardoor treden er

geen plastische vervormingen op. Dit betekent concreet dat de verplaatsingen berekent met de

analytische methode nog steeds in dezelfde grootte-orde liggen als de verplaatsingen behorend

bij de numerieke berekeningen. Echter bij de harde impact blijkt er wel een groot verschil op te

treden wanneer rekening wordt gehouden met het elastisch-plastisch materiaalgedrag van staal,

dit bleek uit model 6 waar de maximale verplaatsingen 15,1 mm voor het aambeeld en 9,4mm

voor het funderingsblok bedragen. Als we dit vergelijken met model 5 dan bedraagt het verschil

6,6mm voor het aambeeld en 3,4 mm voor het funderingsblok. Dit komt doordat er bij een harde

impact lokaal, meer bepaald in de impactzone, zeer hoge spanningen optreden met plastische

vervormingen als gevolg. Door deze plastische vervormingen gaat zeer veel energie verloren

waardoor het aambeeld zich minder gaat verplaatsen. Indien nu de vergelijking gemaakt wordt

met de analytische berekeningen (combinatie 4 harde impact) dan liggen de verplaatsingen niet

meer in dezelfde grootte-orde, dit komt doordat bij de analytische berekeningen geen sprake is

van plastische vervormingen.

4.2.4 De demping

In de grafieken van de verplaatsingen van aambeeld en funderingsblok uit de numerieke

berekeningen, meer bepaald Figuur 3.15 en Figuur 3.16, blijkt dat de amplitude van de ver-

plaatsingen niet afneemt in de tijd. Dit betekent dat er bij de numerieke berekeningen geen

rekening wordt gehouden met de demping. Bij de analytische berekeningen wordt wel rekening

4.3 Besluit 115

gehouden met de demping door de dempingsconstante c, echter deze dempingsconstante wordt

vrij gekozen. Het is dus onmogelijk om de demping te verifieren met de numerieke berekeningen,

hierdoor kunnen er geen besluiten getrokken worden wat de demping betreft.

4.2.5 De trilling

Zowel in de analytische als in de numerieke berekeningen heeft de trilling van het aambeeld

en het funderingsblok eenzelfde periode, namelijk ongeveer 0,2 s. Wat de vorm van de trilling

betreft zijn er duidelijke verschillen, dit kan men duidelijk zien als men Figuur 2.34 en Figuur

3.15 met elkaar vergelijkt, ze tonen beiden de verplaatsing van het aambeeld voor respectievelijk

de analytische en de numerieke berekeningen.

4.3 Besluit

Na al deze beschouwingen kan men besluiten dat de numerieke berekeningen, meer bepaald

model 6 waarbij men de impactor mee modelleert en het staal elastisch-plastische materiaaleigen-

schappen geeft, de meest realistische resultaten oplevert en dit zowel voor een zachte als een

harde impact. Uiteraard moet men in model 6 de materiaaleigenschappen van de impactor

aanpassen wil men een zachte impact simuleren. In feite voldoet model 7 ook om een zachte

impact te modelleren, maar in tegenstelling tot model 6 kan men met model 7 geen harde

impact simuleren die realistische resultaten oplevert. Men mag echter de analytische berekenin-

gen niet volledig afschrijven, want gezien de vereenvoudigingen die doorgevoerd worden hebben

de resultaten dezelfde grootte-orde als de resultaten van de numerieke berekeningen. Echter

uit de analytische berekeningen volgen geen spanningen. Met dit in het achterhoofd kan men

besluiten dat de analytische berekeningen eerder geschikt zijn voor het maken van een voor-

ontwerp, meer bepaald voor het bepalen van de grootte-ordes van de onderdelen van het crash

platform. Met de analytische berekeningen gaan veel kleinere rekentijden gepaard dan met de

numerieke berekeningen, vandaar ook dat de analytische berekeningen het perfecte hulpmid-

del zijn om een voorontwerp te maken. Eens men tot een voorontwerp gekomen is kan men

vervolgens met de numerieke berekeningen het ontwerp optimaliseren en ook de sterkte van de

onderdelen controleren.

BESLUIT 116

Hoofdstuk 5

Besluit

In dit afstudeerwerk wordt een crash platform ontwikkeld die in staat is om de impact van

een impactor met een maximale massa van 500 kg en een maximale valhoogte van 25 m veilig

over te dragen naar de onderliggende fundering. Dit crash platform moet in een bestaande

torenconstructie worden ingepast, dit beperkt de oppervlakte van het crash platform tot een

vierkant van 2 m bij 2m.

Het crash platform bestaat uit verschillende onderdelen, men vindt van boven naar onder:

� Het aambeeld, hierop slaat de impactor in.

� Een eerste elastische tussenlaag, deze moet de impactbelasting isoleren van de onderliggende

onderdelen en de ontstane trilling van het aambeeld dempen.

� Het funderingsblok, dit onderdeel moet de verplaatsingen beperken door zijn gewicht.

� Een tweede elastische tussenlaag, deze laag moet eveneens de trilling dempen en isoleren

van de onderliggende kuip en fundering.

� De kuip, deze biedt ondersteuning aan de bovenliggende onderdelen en vormt de verbinding

met de fundering.

Men voert het aambeeld uit in staal en het funderingsblok in beton. Als eerste elastische

tussenlaag wordt gekozen voor rubber, omdat dit zeer dempende eigenschappen heeft en eveneens

in staat is om de impactbelasting gelijkmatig over te dragen naar het funderingsblok. Als

tweede elastische tussenlaag wordt gekozen voor luchtveren omdat deze zeer goede isolerende

eigenschappen hebben en eveneens zeer flexibel zijn, want door de luchtdruk in deze luchtveren

aan te passen verkrijgt men een andere veerconstante.

BESLUIT 117

Om de verschillende onderdelen te dimensioneren wordt gebruik gemaakt van verschillende

berekeningsmethoden. Er worden analytische en numerieke berekeningen uitgevoerd. Men kan

algemeen besluiten dat de analytische berekeningen eerder geschikt zijn om een voorontwerp te

maken en de numerieke berekeningen het best geschikt zijn om het voorontwerp te optimaliseren.

Om de analytische berekeningen uit te voeren wordt de opbouw van het crash platform

omgevormd tot een model met twee vrijheidsgraden en waarbij het aambeeld en het funde-

ringsblok gemodelleerd worden als twee stijve massa’s. De elastische tussenlagen worden ge-

modelleerd als veer-demper systemen, gekenmerkt door een veerconstante k en een dempingscon-

stante c. Uit deze analytische berekeningen volgt een voorontwerp met volgende dimensies:

� Het aambeeld heeft een dikte van 20 cm, dit resulteert in een totale massa van 6.280 kg.

� Het funderingsblok krijgt een hoogte van 2 m, wat een massa van 20.000 kg tot gevolg

heeft.

� Aan de twee elastische tussenlagen worden een veerconstante k=50.000.000 N/m en een

dempingsconstante c=250.000N.m/s toegewezen.

Uit de analytische berekeningen volgen ook de verplaatsingen van het aambeeld en het funde-

ringsblok, maar deze zijn minder correct dan de verplaatsingen die volgen uit de numerieke

berekeningen, vandaar dat ze niet in dit besluit worden opgenomen.

Zowel rubber als luchtveren worden niet gekarakteriseerd door een veerconstante en een

dempingsconstante. Er bestaat echter een eenvoudig verband tussen de veerconstante en de

elasticiteitsmodulus van rubber. Uit dit verband volgt dat de rubberlaag tussen het aambeeld

en het funderingsblok een elasticiteitsmodulus E=2.000.000 Pa en een dikte van 16 cm moet

hebben. Er bestaat eveneens een verband tussen de veerconstante en de karakteristieken van

de luchtveren. De karakteristieken van de luchtveren volgen uit de catalogus van Firestone, er

wordt dan ook uit deze catalogus een type luchtveer weerhouden, namelijk single convolution

springs type 19.

Dit voorontwerp wordt nu aan numerieke berekeningen onderworpen. Het grote voordeel

van numerieke berekeningen is dat ze rekening houden met de materiaaleigenschappen van de

verschillende onderdelen. Dit betekent concreet dat het aambeeld en het funderingsblok niet

meer gemodelleerd moeten worden als stijve massa’s, maar dat ze vervormingen kunnen onder-

gaan, al dan niet plastisch. Ook het rubber wordt beter gemodelleerd, het krijgt hyperelastische

materiaaleigenschappen en wordt als onsamendrukbaar ingegeven. Tevens volgen uit de nu-

BESLUIT 118

merieke berekeningen naast de verplaatsingen ook de optredende spanningen in de verschillende

onderdelen. Er dient een onderscheid gemaakt te worden tussen een zogezegd harde en zachte

impact. Met een harde impact wordt het accidentele geval bedoelt, waarbij de impactor recht-

streeks op het aambeeld inslaat. Bij een zachte impact slaat de impactor eerst op een proefstuk

in waardoor de impact al grotendeels gedempt wordt. In het model die de beste resultaten

oplevert worden de onderdelen als volgt gemodelleerd:

� Het staal van het aambeeld krijgt elastisch-plastische materiaaleigenschappen toegewezen.

� Het beton van het funderingsblok wordt elastisch gemodelleerd.

� De elastische tussenlagen worden gemodelleerd als hyperelastisch 8% sulfur rubber met

behulp van de Arruda-Boyce rek-energie potentiaal.

� Het staal van de impactor wordt ook elastisch-plastisch gemodelleerd. Maar het krijgt

afhankelijk van het type impact, hard of zacht respectievelijk dezelfde of een 1.000 maal

kleinere elasticiteitsmodulus dan die van het staal van het aambeeld toegewezen.

Uit de berekeningen met dit model volgt dat de dimensies van het voorontwerp niet aangepast

moeten worden. Bij de harde impact worden volgende resultaten opgetekend:

� Het aambeeld trilt met een maximale amplitude van 15,1 mm ten gevolge van de impact.

� Het funderingsblok trilt met een maximale amplitude van 9,4 mm ten gevolge van de

impact.

� De periode van de trilling van zowel het aambeeld als het funderingsblok bedraagt 0,2s.

� In het aambeeld komen er in de impactzone spanningen voor die de vloeispanning van

het staal overschrijden, hierdoor treden er lokaal plastische vervormingen op. Deze plasti-

sche vervormingen zijn onvermijdelijk bij een harde impact. Echter deze lokale plastische

vervormingen betekenen geen gevaar voor de algemene stabiliteit van het crash platform.

� In het beton komen geen ontoelaatbare druk of trekspanningen voor.

Bij de zachte impact verkrijgt men volgende resultaten:

� Het aambeeld trilt met een maximale amplitude van 28,3 mm ten gevolge van de impact.

� Het funderingsblok trilt met een maximale amplitude van 17,3 mm ten gevolge van de

impact.

BESLUIT 119

� De periode van de trilling van zowel het aambeeld als het funderingsblok bedraagt 0,2s.

� De spanningen in het aambeeld blijven zelf in de impactzone onder de vloeispanning van

het staal. Dit betekent dat er geen plastische vervormingen optreden.

� In het beton komen geen ontoelaatbare druk of trekspanningen voor.

MATLAB PROGRAMMA’S 120

Bijlage A

MATLAB programma’s

Omdat het een onbegonnen werk is om de programma’s van de verschillende methoden uit-

gewerkt in Hoofdstuk 2 op te nemen in de tekst, worden ze in deze bijlage gebundeld. Ze zijn

geschreven in de programmeertaal van het programma MATLAB. De tekst die vooraf gegaan

wordt door het procentteken % is geen commando maar geeft een woordje uitleg over de desbe-

treffende stap in het programma. In deze bijlage staat achtereenvolgens:

� Een artikel over het oplossen van differentiaalvergelijkingen in MATLAB.

� De differentiaalvergelijkingen die gebruikt worden in de verschillende programma’s.

� Het programma voor het toepassen van de methode behoud van impuls.

� Het programma voor het toepassen van de methode impactbelasting

� Het programma voor het toepassen van de methode behoud van impuls met e.

Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijking van de impactor

function dxy = diffSystemAbove(t, xy) % definieer alle variabelen uit de differentiaalvergelijkingen zi = xy(1); zidot = xy(2); Ft=xy(3); mi=xy(4); g=xy(5); % definieer het verband tussen de variabelen en hun afgeleiden aan de

hand van de differntiaalvergelijkingen zidot=zidot; zidoubledot = -Ft/mi+g; % het programma geeft als oplossing de agfeleiden van de variabelen dxy = [zidot; zidoubledot; 0; 0; 0]

Differentiaalvergelijkingen van het systeem tijdens impact

function dxy = diffSystemBelow(t, xy) % definieer alle variabelen uit de differentiaalvergelijkingen z1 = xy(1); z2 = xy(2); z1dot = xy(3); z2dot = xy(4); Ft=xy(5); m1=xy(6); c1=xy(7); k1=xy(8); m2=xy(9); c2=xy(10); k2=xy(11); % definieer het verband tussen de variabelen en hun afgeleiden aan de

hand van de differntiaalvergelijkingen z1dot = z1dot; z2dot = z2dot; z1doubledot = (Ft-c1*(z1dot-z2dot)-k1*(z1-z2))/m1; z2doubledot = (-c2*z2dot+c1*(z1dot-z2dot)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; % het programma geeft als oplossing de agfeleiden van de variabelen dxy = [z1dot; z2dot; z1doubledot; z2doubledot; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]

Differentiaalvergelijkingen van het systeem in vrije trilling

function dxy = diffSystemBelowlos(t, xy) % definieer alle variabelen uit de differentiaalvergelijkingen z1 = xy(1); z2 = xy(2); z1dot = xy(3); z2dot = xy(4); Ft=xy(5); m1=xy(6); c1=xy(7); k1=xy(8); m2=xy(9); c2=xy(10); k2=xy(11); % definieer het verband tussen de variabelen en hun afgeleiden aan de

hand van de differntiaalvergelijkingen z1dot = z1dot; z2dot = z2dot; z1doubledot = (-c1*(z1dot-z2dot)-k1*(z1-z2))/m1; z2doubledot = (-c2*z2dot+c1*(z1dot-z2dot)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; % het programma geeft als oplossing de agfeleiden van de variabelen dxy = [z1dot; z2dot; z1doubledot; z2doubledot; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]

Programma methode behoud van impuls %openen van een resultatenfile fid = fopen('momentum_14.txt','wt'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % invoergegevens % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % algemene gegevens g=9.81 % valhoogte h=25 % totale simulatietijd T=4 % tijdstap j=0.001 % impactor mi=500 % aambeeld m1=6280 k1=50000000 c1=250000 % funderingsblok m2=20000 k2=50000000 c2=250000 % wegschrijven van de invoergegevens fprintf(fid,'mi m1 m2 k1 k2 c1 c2\n'); geg=[mi; m1; m2; k1; k2; c1; c2]; fprintf(fid,'%6.0f %8.0f %8.0f %12.0f %12.0f %12.0f %12.0f\n',geg); fprintf(fid,'\n'); % hoofding van de kolommen fprintf(fid,'t z1 z2 v1 v2 a1 a2\n'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % startvoorwaarden % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% t=0 %impactor zi0=0 vi0=sqrt(2*g*h) ai0=g %aambeeld z10=mi*g/k1 v10=vi0*mi/(mi+m1) a10=0 %funderingsblok z20=0 v20=0 a20=0

% wegschrijven van de startvoorwaarden res=[t; z10; z20; v10; v20; a10; a20]; fprintf(fid,'%12.6f %14.10f %14.10f %14.10f %14.10f %16.10f %16.10f\n',res); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % integratielus % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % de tijd verhogen met een tijdstap t=j; % lus wordt herhaald totdat de totale simulatietijd bereikt wordt while t<T % oplossen van de differentiaalvergelijking [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20 v10 v20 0 m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1) z2=XY2(end,2) v1=XY2(end,3) v2=XY2(end,4) % berekening versnellingen a1=(-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; % wegschrijven van de resultaten res=[t; z1; z2; v1; v2; a1; a2]; fprintf(fid,'%12.6f %14.10f %14.10f %14.10f %14.10f %16.10f %16.10f\n',res); % de resultaten worden de startvoorwaarden van de volgende lus z10=z1 v10=v1 z20=z2 v20=v2 % de tijd wordt met een tijdstap verhoogd t=t+j end % sluiten van de resultatenfile fclose(fid);

Programma methode impactbelasting

%openen van een resultatenfile fid = fopen('impactbelasting.txt','wt'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % invoergegevens % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % algemene gegevens g=9.81 pr=0.3 %poisson ratio % valhoogte h=25 % totale simulatietijd T=5 % tijdstappen j=0.00001 % tijdstap voor het integreren tijdens de impact l=0.01 % tijdstap voor het integreren tijdens de vrije trilling % impactor mi=500 r=0.1778 % straal van de impactor E2=210.E6 % aambeeld m1=6280 k1=50000000 c1=250000 E1=210.E9 % funderingsblok m2=20000 k2=50000000 c2=250000 % wegschrijven van de invoergegevens fprintf(fid,'mi m1 m2 k1 k2 c1 c2\n'); geg=[mi; m1; m2; k1; k2; c1; c2]; fprintf(fid,'%6.0f %8.0f %8.0f %12.0f %12.0f %12.0f %12.0f\n',geg); fprintf(fid,'\n'); % hoofding van de kolommen fprintf(fid,'t Ft w0 zi z1 z2 vi v1 v2 ai a1 a2\n'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % startvoorwaarden % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% t=0 w0=0 Ft=0 % impactor zi0=0 vi0=sqrt(2*g*h) ai0=g

% aambeeld z10=0 v10=0 a10=0 % funderingsblok z20=0 v20=0 a20=0 % wegschrijven van de startvoorwaarden res=[t; Ft; w0; zi0; z10; z20; vi0; v10; v20; ai0; a10; a20]; fprintf(fid,'%12.6f %12.0f %14.10f %14.10f %14.10f %14.10f %12.6f

%14.10f %14.10f %16.6f %16.6f %16.10f\n',res); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % integratielussen % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % de equivalente elasticiteitsmodulus berekenen E=2*E1*E2/(E1+E2) % de startwaarde van de impactbelasting initialiseren F0=1 % de tijd verhogen met een tijdstap j t=j; Ft=F0; % lus wordt herhaald totdat de totale simulatietijd bereikt wordt while t<T % oplossen van de differentiaalvergelijkingen [T1,XY]=ode45('diffSystemAbove',[0 j],[zi0 vi0 Ft mi g]); [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20 v10 v20 Ft m1 c1 k1

m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1); z2=XY2(end,2); v1=XY2(end,3); v2=XY2(end,4); zi=XY(end,1); vi=XY(end,2); % berekening versnellingen a1=(Ft-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; ai=-Ft/mi+g; % toepassen formule van Hertz w0=((2.25*(1-pr^2)^2*Ft^2)/(E^2*r))^(1/3) % lus voor het zoeken van de impactbelasting while abs(z1+w0-zi)>1.E-6 if (zi>z1+w0) % Ft vergroten i=Ft Ft=Ft*2 if (Ft>2050) % oplossen van de differentiaalvergelijkingen [T1,XY]=ode45('diffSystemAbove',[0 j],[zi0 vi0 Ft mi

g]); [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20 v10

v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1); z2=XY2(end,2);

v1=XY2(end,3); v2=XY2(end,4); zi=XY(end,1); vi=XY(end,2); % berekening versnellingen a1=(Ft-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; ai=-Ft/mi+g; % toepassen formule van Hertz w0=((2.25*(1-pr^2)^2*Ft^2)/(E^2*r))^(1/3) else % in deze lus wordt de vrije trilling berekend while z1-zi>0 % oplossen van de differentiaalvergelijkingen [T3,XY3]=ode45('diffSystemBelowlos',[0 l],[z10 z20

v10 v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY3(end,1) z2=XY3(end,2); v1=XY3(end,3); v2=XY3(end,4); % berekening versnellingen a1=(-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2=(-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; % berekening verplaatsing, snelheid en versnelling

van de impactor zi=zi0+vi0*m+1/2*g*m^2 vi0=vi0+g*m ai=g; % de resultaten worden de startvoorwaarden van de

volgende lus zi0=zi z10=XY3(end,1) z20=XY3(end,2) v10=XY3(end,3) v20=XY3(end,4) % wegschrijven van de resultaten res=[t; 0; 0; zi; z1; z2; vi0; v1; v2; ai; a1;

a2]; fprintf(fid,'%12.6f %12.0f %14.10f %14.10f %14.10f

%14.10f %12.6f %14.10f %14.10f %16.6f %16.6f %16.10f\n',res);

% de tijd verhogen met een tijdstap l t=t+l Ft=F0 end % oplossen van de differentiaalvergelijkingen [T1,XY]=ode45('diffSystemAbove',[0 j],[zi0 vi0 Ft mi

g]) [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20 v10

v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1); z2=XY2(end,2); v1=XY2(end,3); v2=XY2(end,4); zi=XY(end,1); vi=XY(end,2);

% berekening versnellingen a1=(Ft-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; ai=-Ft/mi+g; % toepassen formule van Hertz w0=((2.25*(1-pr^2)^2*Ft^2)/(E^2*r))^(1/3) end else % in deze lus wordt Ft verkleint en indien nodig terug

vergroot while abs(z1+w0-zi)>1.E-6 if (zi<z1+w0) % Ft verkleinen Ftvorig=Ft Ft=Ft-(Ft-i)/2 if (Ft>2050) % oplossen van de differentiaalvergelijkingen [T1,XY]=ode45('diffSystemAbove',[0 j],[zi0 vi0

Ft mi g]); [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20

v10 v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1); z2=XY2(end,2); v1=XY2(end,3); v2=XY2(end,4); zi=XY(end,1); vi=XY(end,2); % berekening versnellingen a1=(Ft-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2;

ai=-Ft/mi+g; % toepassen formule van Hertz w0=((2.25*(1-pr^2)^2*Ft^2)/(E^2*r))^(1/3) else % in deze lus wordt de vrije trilling berekend while z1-zi>0 % oplossen van de

differentiaalvergelijkingen [T3,XY3]=ode45('diffSystemBelowlos',[0

l],[z10 z20 v10 v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY3(end,1) z2=XY3(end,2); v1=XY3(end,3); v2=XY3(end,4); % berekening versnellingen a1=(-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2=(-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; % berekening verplaatsing, snelheid en

versnelling van de impactor zi=zi0+vi0*m+1/2*g*m^2; vi0=vi0+g*m ai=g; % de resultaten worden de startvoorwaarden

van de volgende lus zi0=zi z10=XY3(end,1) z20=XY3(end,2)

v10=XY3(end,3) v20=XY3(end,4) % wegschrijven van de resultaten res=[t; 0; 0; zi; z1; z2; vi0; v1; v2; ai;

a1; a2]; fprintf(fid,'%12.6f %12.0f %14.10f %14.10f

%14.10f %14.10f %12.6f %14.10f %14.10f %16.6f %16.6f %16.10f\n',res); % de tijd verhogen met een tijdstap l t=t+l Ft=F0 end % oplossen van de differentiaalvergelijkingen [T1,XY]=ode45('diffSystemAbove',[0 j],[zi0 vi0

Ft mi g]) [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20

v10 v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1); z2=XY2(end,2); v1=XY2(end,3); v2=XY2(end,4); zi=XY(end,1); vi=XY(end,2) % berekening versnellingen a1=(Ft-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; ai=-Ft/mi+g; % toepassen formule van Hertz w0=((2.25*(1-pr^2)^2*Ft^2)/(E^2*r))^(1/3) end else % Ft terug vergroten i=abs(Ftvorig-Ft)/2; Ftvorig=Ft; Ft=Ft+i if (Ft>2050) % oplossen van de differentiaalvergelijkingen [T1,XY]=ode45('diffSystemAbove',[0 j],[zi0 vi0

Ft mi g]); [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20

v10 v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1); z2=XY2(end,2); v1=XY2(end,3); v2=XY2(end,4); zi=XY(end,1); vi=XY(end,2); % berekening versnellingen a1=(Ft-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; ai=-Ft/mi+g; % toepassen formule van Hertz w0=((2.25*(1-pr^2)^2*Ft^2)/(E^2*r))^(1/3) else % in deze lus wordt de vrije trilling berekend while z1-zi>0

% oplossen van de

differentiaalvergelijkingen [T3,XY3]=ode45('diffSystemBelowlos',[0

l],[z10 z20 v10 v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY3(end,1) z2=XY3(end,2); v1=XY3(end,3); v2=XY3(end,4); % berekening versnellingen a1=(-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2=(-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; % berekening verplaatsing, snelheid en

versnelling van de impactor zi=zi0+vi0*m+1/2*g*m^2; vi0=vi0+g*m ai=g; % de resultaten worden de startvoorwaarden

van de volgende lus z10=XY3(end,1) z20=XY3(end,2) v10=XY3(end,3) v20=XY3(end,4) zi0=zi % wegschrijven van de resultaten res=[t; 0; 0; zi; z1; z2; vi0; v1; v2; ai;

a1; a2]; fprintf(fid,'%12.6f %12.0f %14.10f %14.10f

%14.10f %14.10f %12.6f %14.10f %14.10f %16.6f %16.6f %16.10f\n',res);

% de tijd verhogen met een tijdstap l t=t+l Ft=F0 end % oplossen van de differentiaalvergelijkingen [T1,XY]=ode45('diffSystemAbove',[0 j],[zi0 vi0

Ft mi g]) [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20

v10 v20 Ft m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1); z2=XY2(end,2); v1=XY2(end,3); v2=XY2(end,4); zi=XY(end,1); vi=XY(end,2); % berekening versnellingen a1=(Ft-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2;

ai=-Ft/mi+g; % toepassen formule van Hertz w0=((2.25*(1-pr^2)^2*Ft^2)/(E^2*r))^(1/3) end end end end end

% wegschrijven van de resultaten res=[t; Ft; w0; zi; z1; z2; vi; v1; v2; ai; a1; a2]; fprintf(fid,'%12.6f %12.0f %14.10f %14.10f %14.10f %14.10f %12.6f

%14.10f %14.10f %16.6f %16.6f %16.10f\n',res);

% de resultaten worden de startvoorwaarden van de volgende lus zi0=zi vi0=XY(end,2) z10=z1 v10=XY2(end,3) z20=XY2(end,2) v20=XY2(end,4) % de tijd verhogen met een tijdstap j t=t+j Ft=F0 end % sluiten van de resultatenfile fclose(fid);

Programma methode behoud van impuls met e %openen van een resultatenfile fid = fopen('momentum_met_e_1.txt','wt'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % invoergegevens % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % algemene gegevens g=9.81 % valhoogte h=25 % totale simulatietijd T=4 % tijdstap j=0.001 % impactor mi=500 % aambeeld m1=6280 k1=50000000 c1=250000 % funderingsblok m2=20000 k2=50000000 c2=250000 %relatieve materiaal eigenschappen e=1 % wegschrijven van de invoergegevens fprintf(fid,'mi m1 m2 k1 k2 c1 c2\n'); geg=[mi; m1; m2; k1; k2; c1; c2]; fprintf(fid,'%6.0f %8.0f %8.0f %12.0f %12.0f %12.0f %12.0f\n',geg); fprintf(fid,'\n'); % hoofding van de kolommen fprintf(fid,'t z1 z2 v1 v2 a1 a2\n'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % startvoorwaarden % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% t=0 %impactor zi0=0 vi0=sqrt(2*g*h) ai0=g %aambeeld z10=mi*g/k1 v10=vi0*mi*(1+e)/(mi+m1) a10=0 %funderingsblok z20=0

v20=0 a20=0 % wegschrijven van de startvoorwaarden res=[t; z10; z20; v10; v20; a10; a20]; fprintf(fid,'%12.6f %14.10f %14.10f %14.10f %14.10f %16.10f %16.10f\n',res); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % integratielus % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % de tijd verhogen met een tijdstap t=j; % lus wordt herhaald totdat de totale simulatietijd bereikt wordt while t<T % oplossen van de differentiaalvergelijking [T2,XY2]=ode45('diffSystemBelow',[0 j],[z10 z20 v10 v20 0 m1 c1 k1 m2 c2 k2]) z1=XY2(end,1) z2=XY2(end,2) v1=XY2(end,3) v2=XY2(end,4) % berekening versnellingen a1=(-c1*(v1-v2)-k1*(z1-z2))/m1; a2= (-c2*v2+c1*(v1-v2)-k2*z2+k1*(z1-z2))/m2; % wegschrijven van de resultaten res=[t; z1; z2; v1; v2; a1; a2]; fprintf(fid,'%12.6f %14.10f %14.10f %14.10f %14.10f %16.10f %16.10f\n',res); % de resultaten worden de startvoorwaarden van de volgende lus z10=z1 v10=v1 z20=z2 v20=v2 % de tijd wordt met een tijdstap verhoogd t=t+j end % sluiten van de resultatenfile fclose(fid);

FORMULE VAN HERTZ 137

Bijlage B

Formule van Hertz

CATALOGUS LUCHTVEREN 143

Bijlage C

Catalogus luchtveren

De gegevens in deze bijlage staan niet in SI eenheden, het onderstaande kan helpen bij de

omzetting:

� 1 inch=0,0254 m

� 1 pound=0,453592 kg

� 1 psi= 6894,8 Pa

� 1 psig=108248,4 Pa

IRSTROKER

R

ISOLATORS

IRMOUNTIRMOUNT

IRSTROKEACTUATORS

ISOLATORS

ACTUATORS

AS

AM

011

2

AIRSTROKE ACTUATORSAirstroke actuators are used primarily inplace of pneumatic or hydraulic cylinders.A few of the typical applications currentlyinclude:

Surface area presses

Stamping presses

Conveyors

Clamping devices

Assembly equipment

Irrigation equipment

Automotive alignment equipment

Paper and textile machinery

Sawmill machinery

Material handling

Valves

Commercial laundry

Due to the unique capabilities of Airstrokeand Airmount products, many applicationsare in use where the product is used forboth actuation and isolation, or for a completely different purpose. Just a few ofthese applications include:

Protective boots

Flexible connectors

Vacuum devices

Shock absorbers

Expansion chambers

Drive couplings

AIRMOUNT ISOLATORSAirmount isolators are used as vibrationisolators on many different types of equip-ment. Following is a partial list of just afew of the typical types of installations.

Lasers

Holographs

Electron microscopes

Optical benches

Spectrometers

Interferometers

Test bed shakers

Shock test equipment

Forging hammers

Generator sets

Industrial machinery

Fans

Anechoic chambers

Vibrating screens and sifters

Earthquake simulator

Vibrating convey-ors and feeders

Inertial massmountings

Vibrating testequipment

Seat springs

TYPICALAPPLICATIONS

The first successful application ofairsprings for vibration isolationoccurred during the late nineteenthirties. Airsprings were developedby Firestone to fill a need for amore efficient suspension systemfor highway trucks, trailers, andbuses. Airide® springs, as they were named, provided themeans for a suspension that reduced the amount of roadshock and vibration transmitted into the vehicle. Billions ofmiles of actual use have proven the dependability andeffectiveness of the air suspension conceptusing Airide springs by Firestone.

Airmount isolators and Airstroke actuatorsare a further application and refinement ofthe Airide spring. They are basically thesame product with theuse of the prod-uct determiningwhich name isapplied to it.Some parts,however, aredesigned for aparticularapplication,

and all parts are not necessarilycompatible with all three applica-tions.

Airsprings are highly engineeredelastomeric bellows with speciallydesigned metal end closures.The bellows itself is constructed

from plies of cord-reinforced rubber with standard construc-tion utilizing two plies of special cord fabric. High strengthversions designed to handle greater loads and pressures

are also available on many of the styles. Airmountisolators and Airstroke actuators are capableof handling loads up to 100,000 pounds and

can be designed into systems to utilize up to fourteen

inches of stroke.The standard air-spring willoperate in tem-peratures from–35°F to 135°Fand special compounds are available onsome parts toextend this range.

© Copyright 1998, Firestone Industrial Products Company

* On plates with a 3/4 inch NPT air inlet, B dimension is 1.50 inch.** When using the rolled plate end closure option, add .7 inch to heights shown.

3

ENDCLOSURES

SIDEPROFILE

TYPE 1 bead plate

DoubleConvolution

TripleConvolution

ReversibleSleeve

Selection Guide

1/4 NPTAIR INLET

A

TYPE 2 bead plate

1/4 OR3/4 NPTAIR INLET

A

A

TYPE 3 bead plate

1/4 OR 3/4 NPTAIR INLET

A

B

TYPE 4 bead ring

C

TYPE 5 bead plate

3/4 NPTAIR INLET

A

B

SingleConvolution

SEE INDIVIDUALDATA PAGE

1M1A-0 3.41M1A-1 3.452M1A 3.52M2A 2.3

1 1.75 4 4.50 63 3.50 1.75* 4 6.31 83 3.50 1.75* 4 6.31 83 3.50 1.75* 4 6.31 83 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 122 6.25 4 11.31 122 6.25 4 11.31 12

3 6.20 2.88 N/A N/A N/A2 6.25 4 11.31 122 6.25 4 11.31 125 9.00 13.79 4 13.81 185 12.00 16.50 4 16.50 245 15.00 19.00 4 19.00 24

4 23.50 324 32.68 40

1 1.75 4 4.50 61 1.75 4 4.50 61 2.75 4 5.31 61 2.75 4 5.31 63 3.50 1.75* 4 6.31 83 3.50 1.75 4 6.31 83 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 122 6.25 4 11.31 122 6.25 4 11.31 122 6.25 4 11.31 125 9.00 13.79 4 13.81 185 12.00 16.50 4 16.50 245 15.00 19.00 4 19.00 24

4 22.00 244 23.50 324 32.68 40

SEE INDIVIDUALDATA PAGE

1X84D-1 NOT AN AIRSTROKE ACTUATOR

4001 3.17002 4.27010 4.07012 5.0

1T12E-3 5.01T14C-1 9.11T14C-3 9.01T14C-7 9.0 1T28C-71T15T-1 11.21T15S-6 11.11T15L-4 11.71T15M-0 12.81T15M-2 12.61T15M-4 12.61T15M-6 12.61T15M-9 12.71T19L-7 14.2

1T19L-11 14.2

352 13.1313 15.1 39333 15.2

312** 18.2 314323** 20.5 324320** 22.4 328321 27.9

348-3 37.4 348-3 is 4Ply

25 6.4255-1.5 6.5

224 8.026 8.620 9.9 202

20-2 10.422 12.9 210

22-1.5 13.721 15.1 205

21-2 16.0233-2 15.528** 17.4 201203** 20.0 21829** 22.7 207200 26.0215 27.9

248-2 37.4 248-2 is 4Ply

TRIPLE CONVOLUTION

SHAPED SLEEVE

1 1.75 4 4.50 61 1.75 N/A N/A N/A1 1.75 4 4.50 61 1.75 4 4.50 61 2.75 4 5.31 61 2.75 4 5.31 63 3.50 1.75* 4 6.31 83 6.20 2.88 4 9.00 123 6.20 2.88 4 9.00 122 6.25 4 11.31 122 6.25 4 11.31 122 6.25 N/A N/A N/A 5 9.00 13.79 4 13.81 185 12.00 16.50 4 16.50 245 15.00 19.00 4 19.00 24

4 23.50 324 32.68 40

SINGLE CONVOLUTION16 6.0

16ST 5.4131 6.5110 8.3116 9.1 117

116-1 9.6115 10.1 12419 12.9

19-.75 13.5113 15.2 128

113-1 15.9 128-1153-2 18.1119** 17.4121** 20.3126** 22.4

138-1.5 27.9148-1 37.4 148-1 is 4Ply

Maximum HighStyle Diameter Strength

Number at 100 PSIG Number(inches)

Bead Dim. A Bead Dim. C Number

Plate (blind nut Dim. B Ring (bolt circle of Bolts

Type centers) (inches) Type diameter) (each(inches) (inches) ring)

DOUBLE CONVOLUTION

REVERSIBLE SLEEVE

END CLOSURE OPTIONS

4

Advantages of:

Why use an Airstroke actuator (rather than air orhydraulic cylinder) for actuation?

LOW COSTGenerally, the initial cost of an Airstroke actuator is one-half orless than that of a conventional pneumatic or hydraulic cylinder ofthe same force capabilities. This initial cost advantage is manytimes greater in the larger sizes.

WIDE SIZE RANGEAirstroke actuators are available in sizes ranging from 2.2 inchesto 37 inches in diameter. The force capability is 100,000 pounds.Strokes of up to 14 inches are possible.

DURABLE FOR LONG LIFEAirstroke actuators are another application of the proven FirestoneAiride spring used on truck and bus suspensions. Airide springshave proven longevity and durability to perform under adverseenvironmental conditions – a critical factor in machine design.

NO MAINTENANCE OR LUBRICATION REQUIREDAirstroke actuators have no internal rods, pistons, or sliding sealsthat would require lubrication or maintenance. This allows for thedesign of Airstroke actuators into applications where dirt or gritwould destroy the seals on conventional cylinders.

FRICTION FREE FOR IMMEDIATE RESPONSESince Airstroke actuators have no sliding seals, there is no break-away friction as with conventional cylinders.

FLEXIBLE MEDIAAn Airstroke actuator can do its work with either a liquid or gas.(Please see page 14 in our Engineering Manual for acceptablemedia choices.)

ANGULAR CAPABILITYAn Airstroke actuator possesses the unique capability of strokingthrough an arc without a clevis. Angular motion of up to 30 degreesis possible, along with the design advantage of generally less complex linkages.

SIDE LOADING CAPABILITYAirstroke actuators, within certain limits, are not affected by sideloads as are conventional cylinders. This misalignment capabilityeliminates potential rod bending, scoring, and excessive seal wearcommon to conventional cylinders.

COMPACT STARTING HEIGHTAirstroke actuators have a low profile compared to conventionalcylinders. Our smallest Airstroke actuator (2.2 inch/dia.) collapsesto just 1.2 inches in height, while our largest triple convolutedAirstroke (37 inch/dia.) will collapse to a very compact 5.5 inches.

FACTORY SEALED AND TESTEDMost Airstroke actuators feature Firestone’s proven concept ofcrimped end plates. The crimped design allows for pre-shipmenttesting and quicker installation on equipment.

Minimum Maximum80 PSI Force* at Stroke of

StyleHeight StrokeNumber

(inches) (inches)1 Inch

(pounds)3 Inches(pounds)

MaximumStroke

(pounds)

1X84D-1 DO NOT USE 1X84D-1 AS AN AIRSTROKE ACTUATOR4001 3.6 3.6 280 310 3107002 3.5 2.5 710 660 6607010 5.75 4.25 570 600 6407012 5.0 4.5 690 750 760

1T12E-3 6.0 7.6 750 600 5401T14C-1 5.0 7.7 2,790 2,570 1,7201T14C-3 5.8 8.2 2,930 2,550 1,7801T14C-7 8.0 9.4 3,040 2,610 1,6301T15T-1 4.0 6.7 5,010 4,370 2,9101T15S-6 6.0 10.0 5,070 4,420 2,8301T15L-4 6.0 9.9 5,690 5,500 3,6801T15M-0 4.3 7.0 5,700 5,550 3,8401T15M-2 5.0 8.3 6,080 5,930 4,0601T15M-4 6.0 10.5 6,270 5,730 4,0201T15M-6 7.0 12.2 6,280 5,730 3,9501T15M-9 8.5 15.1 6,450 5,850 4,2101T19L-7 6.0 12.8 8,800 7,300 4,700

1T19L-11 8.0 15.4 8,600 7,300 5,100

352 4.5 11.2 8,030 7,340 4,080313 4.5 10.5 10,650 9,700 5,460333 4.5 12.0 10,921 10,033 5,800

312** 4.5 10.4 15,700 14,200 8,740323** 4.5 10.9 21,200 19,500 12,420320** 4.5 11.8 28,700 26,700 17,390321 4.5 14.2 43,300 41,200 26,420

348-3 5.5 13.8 77,000 74,000 53,600

25 2.8 3.3 1,380 780 660255-1.5 3.0 4.0 2,039 1,786 1,198

224 2.8 4.9 2,350 1,760 1,03026 3.0 5.7 2,700 2,230 1,42020 3.0 6.1 3,790 3,180 1,770

20-2 3.0 8.0 4,125 3,753 2,12222 3.0 7.1 7,180 6,470 3,700

22-1.5 3.0 7.8 7,680 6,990 3,83021 3.0 7.1 10,300 9,310 5,670

21-2 3.0 8.7 11,330 10,670 5,850233-2 3.0 10.4 10,966 10,564 5,90028** 3.3 6.8 15,000 13,200 8,530

203** 3.3 7.2 21,400 19,200 12,91029** 3.3 7.5 26,900 24,400 17,280200 3.3 7.3 35,700 33,300 24,250215 3.3 8.8 42,500 40,000 28,160

248-2 4.2 9.1 78,200 74,100 53,990

TRIPLE CONVOLUTION

SINGLE CONVOLUTION16 1.9 1.4 960 620

16ST 1.8 1.5 930 580131 2.0 2.1 1,350 850110 2.0 3.1 2,090 1,030 940116 2.0 3.1 2,690 1,370 1,300

116-1 2.0 4.2 2,980 2,240 1,460115 2.0 3.1 3,550 1,730 1,62019 2.0 3.5 6,720 4,500 3,400

19-.75 2.0 3.9 7,040 5,000 3,250113 2.0 3.8 9,900 6,890 4,650

113-1 2.0 4.6 10,860 8,800 5,500153-2 2.5 4.8 13,135 10,604 6,422119** 2.0 4.2 14,030 11,450 7,850121** 2.0 3.6 19,600 14,450 11,350126** 2.0 4.4 25,990 22,460 16,000

138-1.5 2.0 5.3 43,430 38,230 22,700148-1 2.5 4.8 78,300 67,690 52,500

1M1A-0 1.5 1.4 450 4001M1A-1 1.5 2.0 490 3752M1A 2.5 3.4 470 410 3602M2A 1.2 1.0 10.8 10.8

SHAPED SLEEVE

DOUBLE CONVOLUTION

REVERSIBLE SLEEVE

* To determine Airstroke force at other pressures, divide force shown by 80 PSIG and multiply result by new pressure.

** When using the rolled plate end closure option, add .7 inch to heights shown.

AIRSTROKE®

ACTUATORS

5

Airstroke® Actuator Selection ProcedureRefer to the selection guide on page 4 for Airstroke actuatorforce and stroke capabilities. This information is intended to give a general guide to part capabilities. Before selecting the correctAirstroke actuator you need to know certain attributes of yourapplication. Once this data is known, the selection is relativelyeasy. For more detailed information please obtain a copy ofFirestone’s Engineering Manual and Design Guide.

1. STROKE:The maximum STROKE CAPABILITY of an Airstroke actuator isthe difference between the maximum useable height and theminimum height. This entire stroke, or any portion thereof, maybe used. If an internal rubber bumper is required, please notethat the minimum height is increased, and therefore, the totalstroke is decreased. Once this is determined, you can choosethe general style of part you would need. For strokes of less than3 to 4 inches, the Single Convolution parts are generally themost efficient. Use the shortest style that will give you the neces-sary stroke for your application.

2. FORCE: Read the forces from the chart for 100 psi at 1 inch, 50% ofMaximum Stroke, and Maximum Stroke. Notice that the force

generally decreases as height increases. If you have less than100 psi available, divide the force by 100 and multiply by youravailable pressure. If your stroke is between these values, astraight line interpolation will approximate the value. You shouldalways check our Engineering Manual and Design Guide formore exact information.Select the smallest part with the neces-sary stroke to meet your force requirements.

3. DIMENSIONAL DATA CAN BE FOUND ON PAGE 3:

It is important to make sure that the part you select will fit in theavailable space. The higher the force required the larger in diam-eter the part. The longer the stroke, the higher the minimumheight. Make sure that you follow all of the guidelines shown inthe Do’s and Don’ts section below.

4. SELECT THE END CLOSURES AND AIR INLET SIZE:

Most Airstroke actuators are available with either permanentlyattached plates or bead ring (flange) attachments. (See end clo-sure options chart for attachments, air fittings, and attachmentlocations.) Most parts with plates are available with either 1/4" or3/4" NPT air fittings.

Do’s and Don’tsDOWN AND UP STOPSPositive stops in both directions (compression and extension)should always be used with Airstroke actuators.

1. In COMPRESSION, the minimum height shown for each airspring is at, or slightly above the PINCH POINT of the bellows.The bellows can be damaged if allowed to constantly bottomout; therefore, a down stop is required to prevent this. An exter-nal down stop can be something as simple as a steel block andshould be sized at or slightly greater than the minimum heightof the Airstroke actuator. If an external down stop cannot beused, many parts are available with internal rubber bumpers.See Engineering Manual and Design Guide.

2. In EXTENSION, an up stop is required to prevent the air springfrom overextending. Failure to install an up-stop could result in areduced bellow life, and allow the end crimp seal to open up.

There are many ways to design-in an up-stop, including a) a chain, b) a cable, or c) contacting a metal stop, etc.

RETURNAn Airstroke actuator is a single acting device. To return theactuator to its minimum height for another cycle or stroke, somereturn force must be used. Gravity acting on the load may be allthat’s required. (Refer to the order block section in theEngineering Manual for the force required to return convolutedAirstroke actuators to minimum height.) If the load is not suffi-cient, then a second actuator or coil spring may be required.

GUIDINGAn Airstroke actuator follows the path of least resistance; there-fore, the actuator should always be guided. This is often easilyaccomplished in the mounting geometry.

ANGULAR CAPABILITYAn Airstroke actuator can stroke through an arc without a clevis.Angular motion of up to 30 degrees is possible. When using anactuator with the mounting plates at an angle to each other,observe the following:

a. Measure force at the height between the plate centers.

b. Measure maximum height at the side separated the furthest.

c. Measure minimum height at the side collapsed the most.

These measurements must fall within the guide lines for thatparticular part.

Reversible sleeve type (1T) parts may also stroke through anarc. In this case, care must be taken to prevent the bellows fromrubbing (internally) against itself where it rolls over the piston.

HORIZONTAL MISALIGNMENTThe upper and lower bead plate centers (or mounting plate cen-ters in the case of a bead ring type attachment) may be out ofline somewhat without injury to the bellows. Our “rule of thumb”for convoluted type actuators is one inch misalignment allowedper convolution. So, a single convoluted air spring may be out ofline by as much as 1 inch, a double convoluted by 2 inches, anda triple convoluted air spring by 3 inches.

DESIGN ENVELOPEAdequate clearance should be provided around the Airstrokeactuator to prevent puncturing or rubbing of the bellows. (Referto the selection guide on page 3 for the maximum diameter at100 psi for each Airstroke bellows.)

STACKINGIt is permissible to stack actuators, one on top of another, to increasestroke; however, the center plate (or plates) connecting the two ormore Airstroke actuators MUST BE GUIDED. Please note that theair spring forces are not additive in this configuration.

FAIL SAFE DEVICESSome applications require the use of fail safe mechanisms(such as a mechanical lock-out on a scissors lift) to preventdamage or injury in the event of an air system failure.

VACUUMAn Airstroke actuator can withstand a small amount of vacuumwithout injury to the bellows. The maximum amount of accept-able vacuum is dependent upon the bellow’s size, the height inuse, and whether it is a two ply or high strength (fabric) airspring. (A high strength Airstroke bellows has a “stiffer” wallthan a two ply; therefore, it is less susceptible to dimpling anddeformation inward). It is generally best to use only single con-voluted air springs under vacuum.

HYPERELASTISCH GEDRAG VAN RUBBER 149

Bijlage D

Hyperelastisch gedrag van rubber

D.1 Rek energie potentialen

Hyperelastische materialen worden beschreven in termen van rek energie potentialen, U(ε).

Er zijn verschillende vormen van rek energie potentialen beschikbaar in ABAQUS om een on-

samendrukbaar isotroop elastomeer te modelleren. Hier wordt enkel de Arruda-Boyce vorm

besproken.

Arruda-Boyce vorm

De Arruda-Boyce vorm van de rek energie potentiaal is

U = µ{12(I1 − 3) +

120λ2

m

(I21 − 9) +

111050λ4

m

(I31 − 27) +

197000λ6

m

(I41 − 81)

+519

673750λ8m

(I51 − 243)}+

1D

(J2

el − 12

− lnJel) (D.1a)

Hierin is U de rek energie per eenheid van referentievolume, µ, λm en D zijn temperatuurs-

afhankelijke materiaalconstanten; I1 is de eerste invariant van de deviator rek en worden gedefinieerd

als

I1 = λ21 + λ

22 + λ

23 (D.2)

Hierin is de deviator rek λi=J− 13 λi, J is de totale volume ratio, Jel de elastische volume ratio en

λi zijn de hoofdrekken. De initiele glijdingsmodulus µ0 is gerelateerd aan µ door de uitdrukking

µ0 = µ(1 +3

5λ2m

+99

175λ4m

+513

875λ6m

+42039

67375λ8m

) (D.3)

De initiele compressiemodulus K0 is gerelateerd aan D door de uitdrukking

K0 =2D

(D.4)

D.2 8% sulfur rubber 150

D.2 8% sulfur rubber

Het rubber dat besproken wordt is een 8% sulfur rubber met een hoog omkeerbaar gedrag. Het

hyperelastisch gedrag van het rubber onder een biaxiale trekproef volgens [16] wordt weergegeven

in Figuur D.1. De exacte waarden zijn te vinden in Tabel D.1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4

Nominal strain

Nominal stress [MPa]

Figuur D.1: Hyperelastisch gedrag rubber onder biaxiale trekproef

Wanneer de nominale spanningen in het rubber beperkt blijven tot 0,50 MPa, dan zou men dit

eerste gedeelte van de grafiek (Figuur D.1) kunnen modelleren als een rubber met een gemiddelde

elasticiteitsmodulus, welke niets anders is dan de verhouding tussen de spanning en de rek, van

2.204.301Pa. Dit komt erop neer dat men dit eerste gedeelte van de grafiek vervangt door een

rechte met de elasticiteitsmodulus als richtingscoefficient. De curve verloopt vlakker tussen de

nominale spanningen 0,51 MPa en 1,44 MPa. Nadien wordt de curve terug steiler.

De testresultaten van de biaxiale trekproef van het rubber worden getoetst aan het Arruda-

Boyce model in [16]. Het resultaat is weergegeven in Figuur D.2. De nominale spanning staat

in kgf/cm2 (=0,0981 MPa)


Nominale spanning [MPa] Nominale rek

0,09 0,02

0,16 0,06

0,24 0,11

0,26 0,14

0,33 0,20

0,43 0,31

0,51 0,42

0,65 0,68

0,76 0,94

0,96 1,49

1,24 2,03

1,44 2,43

1,71 2,75

1,97 3,07

2,20 3,26

2,42 3,45

Tabel D.1: Nominale spanningen en nominale rek uit biaxiale trekproef

Figuur D.2: Toetsen resultaten biaxiale trekproef aan Arruda-Boyce model


Het Arruda-Boyce model geeft aanvaardbare resultaten en bijgevolg kan men het hyper-

elastisch gedrag van dit rubber met dit model beschrijven. De materiaalconstanten die dan

verbonden zijn aan dit Arruda-Boyce model zijn

µ = 0, 321 MPa en λm = 5, 24 (D.5)

Het rubber wordt verondersteld onsamendrukbaar te zijn, wat erop neer komt dat de com-

pressiemodulus K0 oneindig is en dus D=0. Uit de constanten µ en λm haalt men tenslotte nog

de initiele glijdingsmodulus µ0 met de vgl.(D.3) en dit geeft 0,321 MPa.

BIBLIOGRAFIE 153

Bibliografie

[1] A. THEERENS, B. HERTELEER, Haalbaarheids- en ontwerpstudie van een 25 m hoge

valtoren voor grootschallige impactproeven (2007).

[2] S. PRAKASH, V. PURI, Foundations for Machines: Analysis and Design, John Wiley &

Sons, New York (1988).

[3] D. D. BARKAN, Dynamics of Bases and Foundations, McGraw-Hill, New York (1962).

[4] A. MAJOR, Dynamics in Civil Engineering. Analysis and Design, Vol. 2, Akademiai Kiado,

Budapest (1980).

[5] W. MATEK, D. MUHS, H. WITTEL, M. BECKER, Roloff/Matek machine-onderdelen:

normering, berekening, vormgeving, Academic Service, Schoonhoven (1993).

[6] A. DIMAROGONAS, S. HADDAD, Vibration for Engineers, Prentice-Hall International,

Inc.

[7] W. BEITZ, K.-H. KUTTNER, Dubbel-Taschenbuch fur den Maschinenbau, Springer-

Verlag, Berlin (1981).

[8] C. M. HARRIS, A. G. PIERSON, Harris’ Shock And Vibration Handbook Fifth Editon,

McGraw Hill, New York (2002).

[9] http://www.nl.wikipedia.org/wiki/Eindige-elementenmethode

[10] ABAQUS ANALYSIS USER’S MANUAL (v6.6) Overview of the ABAQUS finite element

system

[11] http://www.berekeningvanconstructies.be/2 1.htm

[12] http://www.nl.wikipedia.org/wiki/Elasticiteitsmodulus

BIBLIOGRAFIE 154

[13] http://www.nl.wikipedia.org/wiki/Poisson-factor

[14] L. VANHOOYMISSEN, M. SPEGELAERE, A. VAN GYSEL, W. DE VYLDER, Gewapend

beton-berekening volgens NBN B15-002(1999), Academia Press, Gent (2002)

[15] ABAQUS ANALYSIS USER’S MANUAL (v6.6) Hyperelastic behavior of rubberlike ma-

terials

[16] ABAQUS BENCHMARKS MANUAL (v6.6) Fitting of rubber test data

[17] ABAQUS EXAMPLE PROBLEMS MANUAL (v6.6) Hydrostatic fluid elements: modeling

an airspring

[18] http://www.simetric.co.uk/si materials.htm

[19] ABAQUS ANALYSIS USER’S MANUAL(v6.6) Amplitude curves

[20] http://www.en.wikipedia.org/wiki/Stress (physics)

Ontwikkeling van een crash-platform voor extreme...

Documents

Transcript of Ontwikkeling van een crash-platform voor extreme...