Vragen examen wiskunde deel 2 (juni ’14)

Het examens bestond uit 2 versies elks 2 delen. Versie wit en blauw. Oefeningen (90 min) en theorie (60 min).

Wit

Oefeningen

Vraag 1:

Beschouw de reeks ∑n≥1

14 n ²−1

ga na of deze convergeert. Via de ratiotest, integraaltest en

leibniztest. Leg kort uit of deze testen toepasbaarzijn.

Vraag 2:

Bepaal via integraalrekening de inhoud van een fles. Het ondervlak vormt een cirkel met als middelpunt de oorsprong en punt (1,-1), y ≥ -x. Voor de hoogte z = x – 2

Theorie

vraag 1

a) Wanneer kan je een definitieve beslissing nemen over een reeks E(an) als je kijkt naar lim(n->oneindig)(an)

b) Definieer een partieelbreuk van de 2de soort en ga na of je ook zo'n partieelbreuk kan vormen met (x^17 + 8x)/(x^2+6x+9) , je hoeft deze niet op te lossen.

c) Gegeven zijn de functies f(x) en g(x) waarvan de Taylorveelterm met referentiepunt x0 kan worden opgesteld. Geef 2 manieren waarop de Taylorveelterm voor f(x)*g(x) rond het referentiepunt x0 kan worden opgesteld. d) Definieer de maat van een interval I in R^3. Geef een voorbeeld van een maat tussen 2 en 3 in I (= deelverzameling van R^3)

Vraag 2

a) Geef en bewijs de fundamentele stelling van integralen

b) Definieer een normaalgebied t.o.v. de X-as

c) Zijn er nog extra integratietechnieken nodig voor het uitwerken van integralen over zo'n normaalgebied? Leg uit waarom wel/niet.

Vragen examen wiskunde deel 2 (juni ’14)

d) leg uit aan de hand van een klein voorbeeld wanneer je wel een normaalgebied t.o.v. de X-as hebt, maar niet t.o.v. de Y-as

Vraag 3

a) Gegeven de functie y(c). Geef de formule van mclauren voor deze functie.

b) Zijn er nog enkele voorwaarden verbonden bij het opstellen van die formule? Zo ja, geef ze.

c) Geef het bewijs voor de formule die in (a) werd opgesteld. Voor het bewijs mag je aannemen dat c > 0.

Blauw

Oefeningen

Vraag 1:

a) Bepaal de oppervlakte tussen f(x) = ln(x)/x en de x als we de grens 1e ²≤x ≤e ³ in

beschouwing nemen. b) Bepaal het volume van een doos als de opp. a van het grondvlak gelijk is aan de oplossing

van a en de hoogte op elk punt: z=xy ². Schrijf dit in een algemene integraal je hoeft het niet op te lossen.

Vraag 2:

a) Bepaal de algemene taylorreeks voor f ( x )= ln (3+x ) , rand x0 = -1

b) Bepaal het convergentiegebied van deze reeks.

Theorie

1. Enkele definities: (op 2 punten)

a) Als je voor de functie f(x) en de functie g(x) de taylorreeksen kunt opstellen, leg dan uit hoe je op twee verschillende manieren de taylorreeks voor f(x) + g(x) kunt opstellen.

b) (Iets te maken met de definitie van een partitie van een interval in R^2)

Vragen examen wiskunde deel 2 (juni ’14)

c) Geef de definitie van een partieelbreuk van de eerste graad/soort en geef aan of volgende breuk indien opgesplitst zo een soort partieelbreuk bevat: 𝑥3+𝑥2+𝑥+1(𝑥2+3𝑥+2)^2 Je hoeft de splitsing niet zelf uit te voeren.Exacte breuk betwist, andere bron: x^17+.../((x^2+3x+7)^2)

d) Met welke voorwaarden zal de Taylorreeks convergeren? (ook dit ongeveer)

2. …. (op 2 punten)

a) Welke zijn de mogelijkheden voor een convergentie-interval van een machtreeks.

b) Geef de integraaltest voor convergentie en zijn voorwaarden (voor bepaalde reeks en functie uit de reeks) + geef een voorbeeld van een reeks die niet aan 1 (of meerdere) van de voorwaarden voldoet en dus na toepassing van de test het tegengestelde geeft van wat je verwacht.

3. Stelling van Leibniz: (op 2 punten)

a) definieer de stelling

b) geef bewijs met alle verantwoording (x en y waren omgewisseld en ipv t(x) was het a(x)

Inhaal examen

Oefningen :

1. Bepaal de oppervlakte van f(x)=x/sqrt(x^2+4) met x^2>=4 (uitwerken)

dan waren er drie dubbel integralen gegeven. Twee poolcoordinaten en een met in de grenzen formule halve cirkel. Je moest dan zeggen of het volume werd berekend met een grondvlak van een halve cirkel met straal 5. Niet gewoon ja of neen, maar ook redenering. Integralen zelf niet uitwerken

2. Bereken de algemene Maclaurin reeks van ln(1-x^2)Hoe kan je eenvoudig die van ln(1+x^2) vinden. (subsititutie)Geef de algemene maclauring reeks van ln(1-x^2/1+x^2) (breuk kan ook omgedraaid geweest zijn... Dit doe je door rekenregels Ln en dan heb de twee gekende reeksen en deze in één schrijven.Van deze laatste bekomen reeks het convergentiegebied bepalen.

Theorie

Vragen examen wiskunde deel 2 (juni ’14)

Vraag 1 (2 ptn)

Leg kort uit waarom men goniometrische substituties gebruikt en pas toe op int 1/(sinx +1) (moest je nie echt uitwerken, gwn t-formules illustreren)

Geef de defnitie van Laplace voor Y(c)

Als men weet dat de algemene term van de rij naar nul gaat wat kan men dan besluiten over de reeks? En illustreer dit met een voorbeeld (heb harmonische reeks gegeven)

Vraag 2

Geef + bewijs de stelling van Taylor voor de functie g in het interval [a1,a2] met a2<a1 en verklaar elke stap

vraag 3

Geef def normaalgebied t.o.v de x-as en geef een voorbeeld van een normaalgebied enkel rond de y-as

Geef en bewijs de fundamentele integraal stelling voor de functie Y met domein [c,d]